SOLUÇÃO COMENTADA ITA 2005/2006 MATEMÁTICA

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1 MATEMÁTICA Sej E u ponto eterno u circunferênci Os segentos EA e ED intercept ess circunferênci nos pontos B e A, e C e D, respectivente A cord AF d circunferênci intercept o segento ED no ponto G Se EB 5, BA 7, EC, GD e AG, então GF vle ) b) c) d) e) 5 n ( Ai ) i, por eeplo Se {,, n } podeos tor A φ A { } A {, } Ak {, } Logo, k n + Alterntiv C Sej A e B subconjunto finitos de u eso conjunto X, tis que n(b\a), n(a\b) e n(a B) for, nest orde, u progressão ritétic de rzão r > Sbendo que n(b\a) e n(a B) + r, então, n(a\b) é igul ) b) 7 c) d) e) G Ddos: EB S, BA 7, EC, GD, AG Denote GF X e GC Y D potênci do ponto E teos: EB E A EC ED 5 ( 7 + Y ) Y n ( B \ A) r r ( A \ B ) n ( A B ) + r na ( B) n (A \ B) + n (B \ A) + n (A B) r Assi teos: r + r 7 e r n ( A \ B ) 7 Alterntiv B D potênci do ponto G teos: GA GF GD GC X Alterntiv D Sej U u conjunto não vzio co n eleentos, n Sej S u subconjunto de P(U) co seguinte propriedde: Se A, B S, então A B ou B A Então, o núero áio de eleentos que S pode ter é ) n- b) n/, se n for pr, e (n + )/ se n for ípr c) n + d) n e) n- + D propriedde dos eleentos de S observ-se que S { A, A,, Ak } onde A, A Ak ( condição de cdei ) Se quereos k áio, fços Sej f : definid por f() 77 sen[5( + /) e sej B o conjunto ddo por B { : f() } Se é o ior eleento de B (-,) e n é o enor eleento de B (, + ), então + n é igul ) / 5 b) /5 c) - / d) - 5 e) - /5 SOLUÇÃO COMENTADA ITA 5/ MATEMÁTICA

2 f IR IR f( ) 77 sen5 ( + ) { ( ) } B IR f IR Sen5( + ) IR 5( + ) + k ou 5( + ) + k k + k IR ou ; k Z 5 5 Obs: Abs s epressões pr cresce co k { } () i á B (, ) k k 5 E k ; k < < k < 5 5 Vlor áio negtivo: - + k k + E k ; k < < k < 5 5 vlor áio negtivo : II 5 Considere equção ( - ) / ( + - ), n vriável rel, co < O conjunto de todos os vlores de pr os quis est equção dite solução rel é ) (-, ) (,) b) (-, -) (, + ) c) (-, ) d) (, ) e) (-, + ) + ( + ) ( + ) ( ) te solução rel > ( + ) ( ) II, { } ( ii ) n in B (, + ) k 7 E k ; vlor ínio positivo : 5 + k E k ; vlor ínio positivo : 5 7 in, + n 5 Alterntiv E + > < < Alterntiv C Considere u prov co questões de últipl escolh, cd questão co 5 lterntivs Sbendo que cd questão dite u únic lterntiv corret, então o núero de fors possíveis pr que u cndidto certe soente 7 ds questões é ) b) c) 5 7 d) e) 7 ( i ) Escolher 7 questões 7 ( i i ) Mrcr s outrs questões letoriente ( errds ) SOLUÇÃO COMENTADA ITA 5/ MATEMÁTICA

3 Respost : Pelo princípio ultiplictivo teos possibiliddes Alterntiv A pois 7 Considere s seguintes firções sobre epressão S log ( ) : k k 7 I S é so dos teros de u progressão geoétric finit II S é so dos teros de u progressão ritétric finit de rzão / III S 5 IV S + log Então, pode-se firr que é (são) verddeir(s) pens ) I e III c) II e IV e) III b) II e III d) II IFls IIVerddeir Pois k+ ( k+ ) ( k ) log Log Log log k III Verddeir Pois S k k k k log k k log ( ) log k 5 k log log 5 5 ( ) 5 log 7 log 7 5 Se pr todo z, f( z) z e f( z) f() z, então, pr todo z, f() f( z) + f() f( z) é igul ) b) z c) Rez d) Iz e) z Sej s z f () f ( z) + f () f ( z) f ( z) f() z f( z) f() f( z) f() z Portnto teos: Alterntiv C ( )( ) f( z) f( z) f( z) f( ) f( ) f( z) + f( ) f( ) z z S+ z z z S+ ( z )( z ) z z S+ z z z z + S z+ z S Re z 9 O conjunto solução de (tg ) ( cotg ), k /, k, é ) { / + k /, k } b) { / + k /, k } c) { / + k /, k } d) { / + k /, k } e) { / + k /, k } tg cot g k, ; K ( )( ) ( tg ) ( cot g ) ( ) Sen Cos Sen Cos Cos Sen ; Coo Sen + Cos Sen Sen ou Sen k Logo o conjunto é ddo por +, K Alterntiv D IV Fls Alterntiv B SOLUÇÃO COMENTADA ITA 5/ MATEMÁTICA

4 Se α [, ) é o rguento de u núero copleo z e n é u núero nturl tl que (z/ z ) n isen(nα ), então, é verdde que ) nα é últiplo de b) nα - é últiplo de c) nα - / é últiplo de / d) nα - é últiplo não nulo de e) nα - é últiplo de [, ) z i z ρ (cos + i senα ) ρ n z isen( nα ) z iα i ρ Sen ( n α ) ρ inα i Sen ( n α ) Sen ( n α ) nα + K, k Z n α k A condição pr que s constnte reis e b torne incoptível o siste liner + y+ z + y+ 5z é + y+ z b ) b d) /b / b) + b e) b c) - b, b + y + z + y + 5z + y + z b 5 y For Mtricil do Siste z b Sej A 5 Se det A então o siste é possível e deterindo, isto é únic solução Se det A o siste pode ser possível e indeterindo ( infinits soluções ) ou o siste é ipossível ( não possui solução) Ms det A + + Pr A O Siste pode ser SPI ou SI Substituindo o vlor no siste obteos: 5 y z b Esclonndo o siste, obteos 5 ~ ~ b b b Então, pr e b, o siste é SI Logo b Alterntiv A b c Se det p q r -, então o vlor do det y z - -b -c p+ q+y r+z é igul y z ) b) c) d) e) b c det p q r y z b c clculr det p q y r z y z ª Solução Usndo o Método de Srrus, obteos que SOLUÇÃO COMENTADA ITA 5/ MATEMÁTICA

5 b c p q y r z det cp + bzp + yr qz br pcy y z b c det p q r ( ) y z Letr D [ ] Sej p u polinôio co coeficientes reis, de gru 7, que dite i coo riz de ultiplicidde Sbe-se que so e o produto de tods s rízes de p são, respectivente, e - Sendo firdo que três rízes de p são reis e distints e for u progressão ritétic, então, tis rízes são ) / - 9/,, / + 9/ b) -,, + c) -,, d) -,, e) -,, 5 p() [ (i)] [ (+ i)] q() Pois os coeficientes de p() são reis então se ( i) é riz dupl então ( + i) é tbé riz dupl p() [ + ] q() p() [ + + ] q() Onde q() + b + c + d So ds rízes b b + Produto ds rízes d d Às três rízes reis e distints de P são de fto s rízes de q q() + c + Rízes ( γr, γ, γ+ r) reis e PA So γ γ é riz de q q() + c + c c Coo é riz de q, vos fzer q() ( ) por Briot-Rufii q() ()( 5) ( )(+ )(5) ( ( ))()(5) Rízes e PA (-,, 5) Alterntiv E Sobre o polinôio p() podeos firr que ) não é riz de p b) p só dite rízes reis, sendo u dels inteir, dus rcionis e dus irrcionis c) p dite u únic riz rel, sendo el u riz inteir d) p só dite rízes reis, sendo dus dels inteirs e) p dite soente rízes reis, sendo u dels inteir e dus irrcionis 5 p() 5 + p() [] p() + p() é ríz de p() Assi Sej rcionis de p() ( )( ) h() + + +, s possíveis rízes h() eh( ) h() + + +, são + e -, s Logo p() ( ) ( ) dite pens u únic riz rel, sendo el u riz inteir Respost C 5 Sej o siste liner ns incógnits e y, co e b reis, ddo por ( b) ( + b) y ( + b) + ( b) y Considere s seguintes firções: I O siste é possível e indeterindo se b II O siste é possível e deterindo se e b não são siultneente nulos III + y ( + b ) -, se + b Então, pode-se firr que é (são) verddeir(s) pens ) I b) II c) III d) I e II e) II e III SOLUÇÃO COMENTADA ITA 5/ MATEMÁTICA 5

6 ,b (b) (+ b)y ( + b) + ( b)y For Mtricil b (+ b) + b b y b (+ b) Sej A + b b det A ( b) + (+ b) b + b + + b + b + b det A ( + b ) Considere o polinôio p() ( + ) +, onde O conjunto de todos os vlores de, pr os quis o polinôio p() só dite rízes inteirs, é ) n, n { } { } { } b) n, n c) n n, n { + } { } d) n( n ), n e) Nosso propósito é encontrr pr que q() tenh rízes inteirs suponh que, n são rízes inteirs de q(), então + n (n+ ) n (n+ ) n n(n+ ) Anlisndo s firções: I) O siste é SPI se b se det A então o sisete é SPI ou SI Assi ( + b ) + b b substituindo no siste, teos queo siste é SI Logo firção I) é fls II) O siste é SPD se e b não são siultneente nulos det A ( + b ) pr det A, bst pens que sej não nulo ou b sej não nulo, então e b não precis ser siultneente nulos Logo firção II) é verddeir III) + y ( + b ),se + b D D Teos que e y, onde D ( + b ) D D (+ b) D b+ + b b b D b bb + b Reciprocente, se n(n+ ),n Então s rízes de q() + n(n+ ) São etente n e (n+ ) Alterntiv D 7 Nu circunferênci C rio r c está inscrito u heágono regulr H; e H está inscrit u circunferênci C; e C está inscrito u heágono regulr H e, ssi, sucessivente Se An (e c ) é áre do heágono Hn, então A n n (e c ) é igul ) 5 b) 5 c) (+ ) d) 7/ ( ) e) (+ ) C H b Assi e y ; + b + b r r Logo y b ( + b ) ( + b ) y ( b ) Se + b Afirção Verddeir Letr E O ldo do heágono Hn é igul o rio rn A áre N é igul vezes áre de u triângulo eqüilátero de rio rn Note que rn é ltur do triângulo eqüilátero de ldo rn- rn-, sendo ssi, r n, logo rzão de SOLUÇÃO COMENTADA ITA 5/ MATEMÁTICA

7 seelhnç K entre o heágono Hn e Hn- é, logo rzão entre N e Nn- é K Então A, A, A, for u PG de rzão Logo A A A 5 - n n Sej rets s: 5y + 7 e circunferênci C: + y + + y A ret p, que é perpendiculr s e é secnte C, cort o eio Oy nu ponto cuj ordend pertence o seguinte intervlo 9 ), 7 b), 7 c), 7 d), 75 9 e), 9 9 5k k k k 9k + > (k k ) 9k + 5k 9k k + 59 > k 5k > < k< 9 Alterntiv C < k < 9 Os focos de u elipse são F (, -) e F (, ) Os pontos A (, 9) e B (, ), >, estão n elipse A áre do tringulo co vértices e B, F e F é igul ) b) c) 5 d) e) -5 y + k 7 S: 5y+ 7 y c : + y + + y 5 p: 5 y X + K k k X k + k + + k y ( y) + () 9 y y+ y + y 5 y 7 A FF F y 7 F 9 A X - B X - y FF BF + BF SOLUÇÃO COMENTADA ITA 5/ MATEMÁTICA 7

8 U pirâide regulr te por bse u heágono cuj digonl enor ede c As fces lteris dest pirâide for diedros de º co o plno d bse A áre totl d pirâide, e c, é ) / b) / c) / d) 7 e) 7 A l B B cosº, B A áre lterl A 7 7 A áre totl AT 7 + Respost A F l B C Considere A u conjunto não vzio co u núero finito de eleentos Dizeos que F { A,, A } ( ) P A é u prticipção de A se s seguintes condições são stisfeits: I Ai, i,, II A A, se i j, pr i, j,, i j E V M D III A A A A Dizeos ind que F é u prticipção de orde k se n ( Ai ) k, i,, Supondo que n (A), deterine: ) As ordens possíveis pr u prticipção de A b) O núero de prticipções de A que tê orde h ) Se F é u prtição de orde k, Lei dos cossenos no ( ) 7 B ABF + cos º 7 + A áre d bse A B 7 AB VM póte d pirâide () OM póte d bse (B) M A A; i A A; k i k k K {,,, } De fto é possível eibir prtições de cd u dests ordens A {,,,,,,,,} 5 7 {{ }, { },,{ } } {{, }, {, }, { 5, }, { 7, } } {{,,, },{ 5,, 7, } } {{,,,,,,, }} K F K F K F K F 5 7 b) Pr deterinr o núero de prtições de orde vos escolher: ( i ) O prieiro ebro d prtição SOLUÇÃO COMENTADA ITA 5/ MATEMÁTICA

9 ( i i ) O º ebro d prtição 5 ( i i i ) O º ebro d prtição ( i v ) O º ebro d prtição A orde dos ebros d prtição não iport logo o núero de prtições de orde é 5 5!, < / Sej f : [, ) definid por f ( ), / < f( + /), -/ < < Sej g : ( - /, / ) dd por g() f ( + /), < / co f definid ci Justificndo respost, deterine se g é pr, ípr ou ne pr ne ípr Pr < <, teos < <, então : g() j g( ) j Logo g() g( ), pr < < Pr <, Teos < g() j g( ) j Então, g() g( ),pr o < Logo g() é pr Deterine o coeficiente de no desenvolviento de ( + + ) 9 Sbeos que ( ) 9 9! + + α! β! γ! α+ β+ γ 9 α, β, γ + β+ γ 9, β, γ 9! α! β! γ! β+ γ γ B ( ) Coo quereos o tero de, teos que β + γ β β β log o, ou ou γ γ γ Assi o tero de 9! 9! 9! + + 5!!!!!! 7!!! sen - < cos pois o < cos < é Deterine pr quis vlores de (- /, / ) vle desiguldde log cos (sen ) log cos ( sec ) > log cos ( sen - ) - log cos ( - sec ) > sen - cos log cos > log co - sec - sec sen - < cos - cos cos ( sen - ) - < cos cos sen - cos - < cos (sen - cos cos < cos fzendo y cos teos y ( - y ) < y y SOLUÇÃO COMENTADA ITA 5/ MATEMÁTICA 9

10 y Condição de eistênci dos logritos () i sen sen sen y Por outro ldo, y cos > < cos < ou < cos < < cos < sen ] -, - [ ], [ ou < cos < ], - [ [, [ ( ii) sec cos cos coo cos > cos teos cos ] -, [ \ ι o} SOLUÇÃO COMENTADA ITA 5/ MATEMÁTICA

11 Doínio {] -, - ] [, - [ } [ -, ] [ -, - ] [, - ] Respost {] -, - [ ], [ ] -, [ \ { } {[ -, - ] [, - ]} ] -, - ] [, - ] 5 Considere o polinôio P() + + +, co rízes reis O coeficiente é rcionl e diferenç entre dus de sus rízes tbé é rcionl Nests condições, nlise se seguinte firção é verddeir: Se u ds rízes de p() é rcionl, então tods s sus rízes são rcionis p() + + +, Q Rízes { α, βγ}, α, βγ, αβ b, b Q α+γ b º cso α Q Neste cso, βαb Q e γ b Q º cso β Q Neste cso, α b+β Q e γ b Q º cso γ Q Neste cso, bγ α Q e s b - α Q As edids, e etros, do rio d bse, d ltur e d gertriz de u cone circulr reto for, nest orde, u progressão ritétic de rzão etros Clcule áre totl deste cone e Rio de bse R Altur h Gertriz g R, h, g for u PA de rzão, então h R + e g R + sbe-se que R + h g R + (R+ ) (R+ ) R + R + R+ R + R+ R R R our (não Pode) Logo h e g AT R (R + g) (+ ) 9 Respost: A áre totl é 9 7 Sej s trizes / / 5 A e B 5 / 5 / 5 Deterine o eleento C d triz C ( A + B ) - A+ B 5 Sej M e N 5 detm 9 detn 5 M N 9 SOLUÇÃO COMENTADA ITA 5/ MATEMÁTICA

12 M A + B det(a+ B) detm detn 99 N M (A+ B) ;defto; N M M I I N N I Logo, (A B) Seu eleento teos : c Sej (,,,, n,) u progressão geoétric infinit de rzão positiv r, e que é u núero rel não nulo Sbendo que so de todos os teros de índices pres dest progressão geoétric é igul e que so de todos os teros de índices últiplos de é /, deterine o vlor de + r Note que, os teros,,,, for u PG de rzão r, e os teros,, 9,, for u PG de rzão r Então: r (I) e r r (II) r 9 Sbendo que 9Y y + 5 é equção de u hipérbole, clcule su distnci focl 9y y + 5 Encontrr A equção Gerl: (copletndo o Qudrdo) 9y y + 5 9y y ( + 7 7) 5 9(y ) 57 ( 7) (y ) ( 7) (y ) ( 7) 9 b 9 SeiEioMior b SeiEioMenor c SeiDistFocl c DistFocl Pr Hipérbole Teos: c + b c + 9 c 5 c 5 c Considere u losngo ABCD cujo períetro ede c e cuj ior digonl ede c Clcule áre, e c, do círculo inscrito neste losngo Dividindo (II) por (I): r r r r r( r)( + r) ( r)( + r + r ) 9r 5 5 Substituindo e r (I): Logo, + r coo o períetro do losngo é c, teos que o ldo vle 5 Aplicndo Pitágors no AOD: 5 - O 5 no AOD tbé teos relção 5 R 5 R c logo áre do cálculo inscrito vle c SOLUÇÃO COMENTADA ITA 5/ MATEMÁTICA