Capítulo V. Forças Distribuídas: Centróides e Baricentros

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1 Cpítulo V Forçs Distriuíds: Centróides e Bricentros 5 Determine posição do centróide d superfície pln d figur Oserve que figur pode ser considerd como compost por um qudrdo do qul foi sutrído um qurto de círculo Logo o seu centróide pode ser determindo pel composição dos centróides ds figurs componentes, considerndo o qurto de círculo como tendo áre negtiv I II 6mm 6 mm 6 6mm 6mm - determinção dos centróides ds figurs componentes: - qudrdo I = 6 / = mm - qurto de círculo (pág 95) 54

2 4R 46 X II 5, 465mm,4 Logo X II 6, 5,465 4, 55mm ) Centróide d figur compost: Componentes Áre ( mm ) X (mm ) (mm ) Qudrdo 6 8 Qurto de -87,4 4,55 97,645 círculo Totl 77,57,55 As equções que definem s coordends e do ricentro de um plc omogêne são A = da e A = da, que pr figurs composts por figurs geométrics conecids podem ser simplificds pr A = da e A = da Note que est fórmul n verdde é derivd do teorem de Vrignon que mostr que o momento d resultnte de um sistem de forçs é igul som dos momentos ds forçs componentes, no cso de ests forçs serem concorrentes Os momentos de Primeir Ordem de áre são, n verdde os momentos de forçs peso de plcs omogênes e de espessur constnte em que mss especific e espessur form simplificds por ocorrerem em mos os ldos d iguldde Note tmém que s forçs peso são sempre concorrentes, um vez que prlels Portnto teremos de X A X A: X (77,57) =,5 Como figur é simétric em relção os dois eios ortogonis e semos que s coordends do centróide são iguis Portnto, = =,4 mm 5 Determine posição do centróide d áre pln d figur Tmém neste cso figur pode ser visulizd como sendo limitd por dois rcos de práol cujos ricentros form previmente determindos e podem ser encontrdos n tel d pgin 95 do livro teto 55

3 - Posição do centróide ds figurs componentes (pág 95): X=K Y Y 5mm Y=K X Y C X XII CII YII X 5mm XII = = 5 = 75mm 4 4 II = = 5 = 5mm AII = = 5 = 8 mm XI = = 5 = mm 5 5 I = = 5 = 87,5mm 8 8 AI = = 5 = 66666,67mm Compondo um tel com os elementos A áre ds figurs componentes, e, coordends dos centróides ds figurs componentes, e A e A momentos de primeir ordem ds áres componentes, pode-se visulizr com mis fcilidde resolução 56

4 Componentes A ( mm ) X(mm) I 66666,67 II -8, 75, TOTAL 8 Y(mm) AX AY 87, , Logo = = / 8 = 5 mm Portnto, simétric, como já er sido 5 -- O eio, orizontl, pss pelo centróide C d superfície d figur e divide em dus prtes A e A Determine o momento estático de cd prte componente em relção o eio e eplique os resultdos otidos Y 5mm 75mm A C A CIII CII CI X 5mm A - Precismos inicilmente determinr o vlor do segmento, que represent medid d interseção do eio com o triângulo, e que pode ser otido prtir d seguinte proporção (Teorem de Tles): então 5 mm 5 - Determinção dos momentos de l ordem Como não eiste um fórmul que permit clculr posição do centróide do trpézio io do eio, est áre deverá ser dividid nos triângulos I e II Portnto: TriânguloI Q 85 mm 57

5 75 75 TriânguloII Q 975mm Cuj som vle 75 mm Deve-se oservr que este vlor deve ser tomdo como negtivo, um vez que s áres se loclizm io do eio Pr o triângulo prcil teremos: 5 5 TriânguloIII Q 75mm vlor que é positivo porque figur se locliz cim do eio Oservmos que [Q + Q ]=[Q ], ou sej, o momento de primeir ordem d prte superior d figur é igul o momento de primeir ordem d prte inferior d figur, um vez que, como o centróide está sore o eio Q A O luno deve entender, prtir deste eemplo, que o centróide de um áre é o ponto de equilírio dos momentos de primeir ordem Se considerrmos que áre sendo estudd represent um plc ou lje de espessur constnte e de densidde uniforme, o centróide d áre, gor denomindo ricentro d plc, é o ponto onde poderemos considerr plicdo o vetor que represent o peso totl d plc Como o somtório dos momentos de Ordem é nulo em relção o centróide, se pendurrmos plc pelo seu ricentro, plc ssumirá posição orizontl, ou sej, verá equilírio de momentos de todos os pesos elementres componentes d plc em relção este ponto, e este ponto é único Assim não se deve imginr que os eios que pssm pelo centróide dividem áre totl em áres iguis, ms sim em áres cujos momentos de ordem são iguis e se nulm qundo somdos 5 - Um rme omogêneo ABCD é dordo como se vê n figur Em C o fio é preso por um rticulção Determine o comprimento L pr que prte BCD fique n posição orizontl 58

6 4 4 C L/ L/ B P I C P III 6 P II A ) devemos inicilmente dividir o rme em três segmentos Considerndo que o vlor p como o peso por comprimento unitário do mteril, teremos como vlores dos pesos de cd um dos segmentos: P = 8p; P = p; P = Lp; E evidente que o vlor d forç que sustent o rme em C deve ser igul som dos vlores dos pesos dos segmentos nos quis está dividido o rme, já que um ds condições de equilírio deve ser F = Pr que o rme fique n posição orizontl é necessário tmém que M C =, o que implic em que o momento dos segmentos esquerd de C deve igulr o momento dos segmentos situdos direit de C Portnto: M c 8 p4 p4 LpL L 4,4 L mm 59 Determinr por integrção o centróide d superfície d figur d el = / el 59

7 6 devemos inicilmente determinção d equção d ret que delimit o triângulo, o que pode ser otido por semelnç de triângulos Assim otemos: / = / e equção d ret será = / Deve-se oservr que no retângulo elementr s coordends do centróide vlem el = /, ou sej metde d ltur do retângulo, que é ordend, el =, que é ciss contd prtir do eio e da = d, que é áre do retângulo elementr, produto d se pel ltur - Determinção d áre por integrção: integrndo em, vrindo entre e temos: d d A epressão já conecid e que represent áre de um triângulo qulquer de se e ltur c - Determinção dos momentos de ordem: Novmente teremos que oservr que o momento d áre totl deve ser igul o somtório dos momentos ds áres prciis que compõem figur Neste cso s áres prciis são representds pelos retângulos elementres de dimensões infinitesimis em que pode ser dividido o triângulo com se no eio, entre e Como s áres gor são infinitesimis, o seu somtório se trnsform num integrl, e teremos: d d da el el d d da 6 d - Determinção d posição do centróide d figur: da A el da A el 6 Note que determind posição do centróide do triângulo por integrção, situdo / d ltur em dus direções perpendiculres dus ses tomds ritrrimente, este vlor poderá ser usdo n determinção do centróide de áres que possm ser decomposts em triângulos prciis

8 54 - Determine por integrção o centróide d superfície d figur = m = k el - Determinção ds constntes ds equções d práol e d ret Práol ( equção ) equção gerl d práol do segundo gru pode ser escrit como = k onde = qundo = Assim k e k, E = (/ ) De mneir semelnte temos pr equção d ret ( equção ) : k e k Logo, - coordends do centróide do retângulo elementr Note que o centróide d áre entre o segmento de ret e o segmento de práol pode ser determindo considerndo os momentos de ª Ordem do triângulo e d áre so práol, já conecidos Iremos, no entnto, pr resolver o prolem por integrção, considerr o retângulo elementr trçdo entre s curvs e Pr este retângulo elementr de ltur - temos como coordends do centróide os vlores e o segmento de práol el e el ( ) com da ( ) d d 6

9 6 Note que o retângulo considerdo é igul diferenç entre o retângulo trçdo entre o eio e ret e o retângulo trçdo entre o eio e práol c - determinção d áre totl entre s dus curvs: A d da A 6 d - determinção dos momentos de ordem el d d da 4 4 el d d d da 4 5 ) ( Notr que os momentos de Primeir Ordem el el Q da Q e da têm dimensão L e - Determinção d posição do centróide: da A X el 6 da A Y el Oter s coordends e do centróide de um setor circulr Como o setor circulr é simétrico em relção o eio semos que = Pr determinção d outr coordend teremos que considerr o setor circulr como dividido em triângulos elementres de vértice em O Considerndo o centróide do triângulo elementr teremos cos r el e d r da - determinção d áre do setor circulr por integrção Note que integrção será feit em vrindo entre - e + considerndo áre do triângulo elementr r r d r A

10 el r d c - determinção do momento de ordem: d - determinção de : el da rcos r d r sen r sen A = el da Logo ( r ) = / r sen, e = r sen / Oserve que nest equção o vlor de que prece no denomindor deve ser tomdo em rdinos 557- Determine o volume do sólido gerdo pel rotção d figur escurecid so práol, em tomo do eio: ) ) AA A posição do centróide do segmento de práol do segundo gru se encontr teldo e vle: =/4 = / e áre A = / - Determinção do volume do sólido de revolução rotção em 6

11 Semos d teori (Teorem de Pppus Guldin) que o volume do sólido gerdo é igul o produto d áre d figur gertriz pel distânci percorrid pelo seu centróide num rotção de grus V A( eio) V, logo V = /5 c - Determinção do volume do sólido de revolução rotção em A A V = ( /4 ) ( / ), logo V AA = / Determine o volume e áre do corpo d figur C I D C III E C II 4 B novmente será utilizdo o teorem de Pppus Guldin A áre do triângulo será determind por: A = ½ 5 6 = 5 mm 64

12 o centróide do triângulo pode ser determindo considerndo-se diferenç entre os dois triângulos retângulos: 7 mm mm C ( ) C ( X Y ) 6 mm 6 mm Como só interess rotção em torno do eio só precismos clculr : Σ i A i = A logo (7/)(76 /)+(/) (6/) = {(76/)+(6/)} e = mm Logo distânci té o eio será d = + = 5mm c - determinção do volume considerndo rotção de pens = 8, já que o sólido é ssim definido: V A 55 6 mm d - determinção d áre superficil Pr determinção d áre devemos considerr seprdmente cd um dos ldos do triângulo e usr o primeiro teorem de Pppus Guldin Assim: Lin BD: Comprimento: 6 Centróide: X mm L 6, 5mm Lin DE: Comprimento: Centróide: L 5mm 45 65mm Lin BE: Comprimento: L 7 6 9, 95mm Centróide: X 7 55mm Fzendo gor rotção destes três segmentos em 8 grus teremos: A A A 6,5,8, mm ,95 e - determinção d áre dos triângulos ds etremiddes 65

13 Como rotção d figur não é de 6 grus, deve-se considerr que áre superficil do sólido gerdo inclui os dois triângulos ds etremiddes A 56 mm f - áre totl d superfície A áre totl será, portnto som d áre gerd pel rotção de 8 grus dos segmentos de ret que compõem os ldos do triângulo com s dus áres dos triângulos ds etremiddes, ou sej A, A 5, mm 564- Determinr o volume e mss d peç de ferro fundido otid pel rotção d superfície qudrngulr escurecid em torno do eio de simetri do cno de mm de diâmetro (mss específic do ferro fundido = 7, kg/m ) - determinção do volume do sólido de revolução Considerndo áre curd como diferenç entre os dois triângulos: A 6mm A (94) 8mm Triângulo : Triângulo : 6 mm 6 9 9mm A Como A A podemos clculr o volume como: 66

14 C I 9 C II 4 8 Os dimensão 8mm no deseno originl do livro é n verdde mm, conforme medids no deseno cim e vlor nos cálculos Assim o volume será: V - determinção d mss: A (689) V,4 mm 7kg / m m V 7,4 9 m 5,6 kg 57 - Determine o módulo e loclizção d resultnte ds crgs distriuíds d ilustrção Clcule tmém s reções em A e B R R I R II N/m 9N/m 9N/m A B A B m 6m,5m ) determinção d crg concentrd equivlente o crregmento distriuído 67

15 Oservmos que figur pode ser dividid em um retângulo e um práol A crg distriuíd que é representd pel figur compost pode ser sustituíd, pr fcilitr determinção ds reções nos poios, por um crg concentrd de vlor igul à áre do crregmento, considerndo est crg concentrd como plicd no centróide d áre Assim teremos: R I (práol) = / 6 = N R II (retângulo) = 9 6 = 5 4N Logo crg concentrd (áre totl) será R = R I + R II = +54 = 76N - determinção d posição do centróide A posição do centróide d figur compost pelo retângulo mis práol será determind igulndo o momento d áre d figur totl som dos momentos ds áres componentes, conforme efetudo nos prolems nteriores Portnto X R R X 76,5 54 Logo X =,566 m Oserve que o centróide d práol foi otido d tel fzendo um pequen trnsformção, um vez que figur teld é simétric à deste prolem Assim pr figur teld 4, ms devemos tomr o vlor Como = 6m (ddo do eercício) X =,5m c - determinção ds reções nos poios Considerndo somtóri dos momentos em relção o ponto A: M A B6 76,566 B 5N F A 5 76 A 45N Oserve que este será sempre o procedimento de cálculo ds reções de poio qundo estrutur estiver crregd com crgs distriuíds As crgs distriuíds serão sustituíds por crgs concentrds plicds nos centróides ds áres que representm os crregmentos e s reções serão clculds utilizndo s crgs concentrds sustituts ns equções de equilírio Oserve que este rtifício só pode 68

16 ser utilizdo n determinção ds reções nos poios, ou sej, n determinção ds crgs eterns No cálculo dos esforços internos (forç cortnte e momento fletor) sustituição de crregmentos distriuídos por crgs concentrds lterri o prolem, e portnto resultri em digrms diferentes pr os esforços internos 58 - Determinr: ) crg distriuíd n etremidde A d vig ABC, de modo que reção em C sej nul; ) reção correspondente em B R I R II W 5, A B C R B R C,5m,m - resultntes dos crregmentos distriuídos Um ds mneirs de trnsformr o crregmento trpezoidl em um crg concentrd é trnsformr figur trpezoidl em dois triângulos A outr é considerá-lo som de um retângulo com um triângulo Utilizndo os dois triângulos teremos: R,6,8 e R 5,,6 9, kn - determinção ds reções nos poios Usndo o ponto B pr determinr os momentos: -distânci de,6 R B,, 9m -distânci de R,6 B,, m 69

17 Considerndo gor somtóri dos momentos ds forçs eterns em relção o poio B: M B 8,8,,9,9,54 Deve-se lemrr que o vlor d reção em C é nulo 5kN / m Tendo o vlor de podemos clculr o vlor correspondente de R,85 7kN Fzendo em seguid o somtório ds forçs segundo direção igul zero: F B 7 9 B 6kN 58- A vig AB está sumetid dus crgs concentrds e poid no solo, o qul eerce um crg distriuíd liner, como mostr figur Determine os vlores de A e B correspondentes o equilírio -determinção ds crgs concentrds que sustituem reção do solo,6m,6m,m,m 4kN kn A C D B W A R I R II W B,6m,6m,6m Devemos inicilmente sustituir crg distriuíd que represent reção do solo sore fundção por um crg concentrd E interessnte oservr que s reções dos solos 7

18 de fundção sore spts são função d nturez dos solos, renosos ou rgilosos, e são considerds como tendo configurções prólics, côncvs ou conves Este digrm trpezoidl é um simplificção No entnto o procedimento de cálculo presentdo seguir é etmente o mesmo dotdo no dimensionmento de fundções direts R I = ½ w A,8 =,9 w A e R II = ½ w B,8 =,9 w B O ponto de plicção de R I e R II será / d ltur dos triângulos, tomds n direção do eio, ou sej: 8 / =,6 m - determinção ds ts de crg ds crgs distriuíds Considerndo o somtório dos momentos em relção o ponto D teremos M D 4,6,,9,6 Logo: w A A = kn/m Considerndo gor o somtório ds forçs n direção F 4,9,9 Logo: w B = 4kN/m 54 - Determine loclizção do ricentro do refletor prólico d figur, que é feito usinndo-se um loco retngulr de modo que superfície curv sej um prolóide de revolução com rio d se e ltur B Como o sólido é simétrico em relção os plnos e z só precismos determinr o vlor de D figur 5d pág 44, pr o prolóide, otemos = / Como pr o prlelepípedo posição do centróide é n metde d ltur, iremos considerr o sólido como formdo por um prlelepípedo de volume positivo do qul se sutri o prolóide (volume negtivo) 7

19 Volume V Bloco 4 -/ - Prolóide -/ - / +/6 / / A som dos volumes result em V = ( 4 - / ) Já o somtório dos momentos result em Σ V = ( - + /6 ) Fzendo V = Σ V temos : ( 4 - / ) =( - + /6 ) Logo = - ( - /6) / (4 - / ) = -, Loclizr o ricentro d peç d figur, sendo que el é feit de fol metl com espessur constnte Como peç é simétric em relção o plno z coordend X =5 mm Como fol tem espessur constnte podemos determinr o ricentro considerndo o contorno d projeção d fol sore o plno z e 7

20 - determinção dos centróides ds figurs componentes: Semicírculo I - considerdo no plno Y = 5+8+(4 5)/ = 8, mm e z = Qurto de cilindro II considerdo no plno z (ver tel ) 8 Y 5, 9m Retângulo III - 8 Z 5, 9mm 5 Y 75mm 8 Z 4mm Elemento Cálculo Are z A za I (/)5 4,54X 8, 6,947X 6 II (/)85,4X,9 5,9 6,X 6,599X 6 III 7*5 4,5X 75 4,88X 6,7X 6 Som 98,46X 6,447X 6,99X 6 * O vlor 7 foi otido trvés d epressão: posição do centróide d peç inteir 6 Y A A Y (98,46 ) 6,447 Y 67, 4mm 6 Z A Z A Z (98,46 ),99 Z, 56mm 56 - Loclize o ricentro do ojeto d figur, sendo que ele é feito de rrs fins de ronze, com diâmetro uniforme - como estrutur é simétric em relção o plno z X = - os ricentro e centróides dos segmentos são coincidentes e vlem: -pr os segmentos retilíneos: L/ r -pr o segmento semicirculr: 7

21 c - determinção de L e z L Segmento Comprimento z L zl (m) (m) (m) (m ) (m ) AB,45,875,7968 AD,45,875,,7968,45 AE,45,875,7968 BDF,68,78,8 Soms,9,94,5 L AB,75,, 45m e L BDE r,4,, 68m d - determinção de Y e Z:,94,5, 5m e z, 64m,9,9 5- Determinr, por integrção, epressão dd pr n figur P5 - prolóide de revolução 74

22 r d Como o sólido é simétrico em relção dois plnos podemos considerr, pr integrção, um elemento com form de um disco de rio r e espessur d Dest form, emor o cálculo do volume requeresse um integrção tripl, podemos resolver o prolem com um integrl simples, um vez que, como conecemos o volume do disco elementr podemos fzer integrção deste volume elementr entre e Volume do disco elementr d V = r d Posição do centróide el = A práol d págin 95, correspondente curv io tem por equção = k Se quisermos equção de um práol conve devemos escrever = k, considerndo os mesmos eios e origem ( fig ) Oserve que gertriz do prolóide é um práol invertid em relção d fig, em que r = qundo =, e onde s coordends n direção vlem - A equção dest práol será, portnto, r = k ( ) 75

23 76 Teremos portnto pr =, r = e equção se trnsform em = k ( - ), onde constnte vle k = / e, portnto, ) ( r O volume do disco elementr pode ser escrito, então, como d dv ) ( c - determinção do volume O volume do prolóide pode ser otido pel simples integrção em do volume do disco elementr, um vez que temos epressão deste volume d d d dv V ) ( d - determinção de dv el 6 ) ( ) ( d d dv el e -posição do centróide: Devido á simetri semos que Z = Y =, e o centróide está sore o eio A coordend X pode ser otid considerndo iguldde dos momentos de primeir ordem, ou sej: Fig = k Fig = k Fig = k ( )

24 Logo X = / el 6 v dv 58- Loclizr o centróide d pirâmide irregulr ilustrd:,, u d v z Pr s integrções deste prolem devemos escoler o elemento volumétrico de volume dv = uvd (plc retngulr), cujs equções de volume e posição do centróide são conecids Est escol fcilit resolução do prolem, um vez que resolveremos pens integris simples Poderímos escoler como volume elementr o cuo de rests d, d e dz, e de volume dv = d d dz Neste cso terímos que trlr com integris tripls e fição dos limites de integrção trri dificulddes dicionis pr o prolem Pr plc elementr teremos, portnto: el = ½ u z el = ½ v e el = 77

25 Ds relções dentro dos triângulos que formm s fces ds pirâmides, otemos: u / v / ( ) / e, portnto: u ( ) e v ( ) - determinção do volume O volume d pirâmide será determindo simplesmente integrndo-se o volume d plc elementr n direção do eio / ( ) / V dv u v d ( / ) ( ) d ( / ) c c - determinção de el dv dv d - determinção de el u ( u v d) 4 el dv : ( ) d ( ) 4 8 dv ( u v d) ( ) d ( ) d el 4 4 e - determinção de z el dv z el dv v ( u v d) ( ) d ( ) d f - determinção do centróide: 4 [ ( ) ] 4 8 X V / 8 X / X el dv X 8 78

26 Y V Y el dv Y / Y / 4 Z V Z el dv Z / 8 Z / 8 79