Parábolas e hipérboles envolventes

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1 Práols e hipéroles envolventes Clito Grci * Resumo Não é rro n escol do ensino ásico confecção de trlhos rtísticos que consistem em unir, com rntes esticdos, pregos fidos em um se pln, seguindo lgum regulridde. Nesse conteto, curvs podem ser definids com propriedde de tngencir cd linh d coleção de segmentos conceidos por tis rntes, crcterístic ds chmds curvs envolventes. Pretende-se eplorr neste trlho dus situções que germ curvs com ess propriedde, quis sejm: práol e hipérole. Plvrs-chve: curvs envolventes, práol, hipérole. Introdução Dr trtmento mtemático situções do cotidino é um háito que usulmente se desenvolve nquele que preci s ciêncis ets. A situção que epomos no resumo é oportun esse trtmento. Ao ordá-l, dispondo-se de um se pln, inicilmente estelecemos um disposição pr os pregos e, depender d interligção destes com os rntes, determinmos nliticmente práol ou hipérole como curv envolvente. Em seguid, pr cd cso, procedemos um generlizção (com demonstrção de recíproc), estudndo o comportmento de cd curv crid n medid em que ltermos o posicionmento dos pregos. Nesse estudo, é interessnte e instrutivo contr com o uílio de softwres gerdores de gráficos ou dedicdos à Geometri, tis como o Winplot, Grphmtic, Cri e o Geoger, soretudo com os que oferecem presentção dinâmic. * Emil: klig@yhoo.com.r. EEP, Pircic, SP; Uniesp, Tietê, SP; Colégio Grdul, Cerquilho, SP; E. E. Pres. Arthur d Silv Bernrdes, Cerquilho, SP GARCIA, C. Práols e hipéroles envolventes. C.Q.D. - Revist Eletrônic Pulist de temátic, Buru, v. 4, p. 3-4, go. 15. DOI: /cqdvol cg34 - Disponível em: 3

2 1 Práol envolvente Imginemos, n figur 1, pregos igulmente espçdos sore os ldos de um ângulo reto. Note que os pedços de rnte esticdos que unem cd dois deles são hipotenuss de triângulos com som ds medids dos ctetos constnte. figur 1 ostremos que eiste um práol tngencindo cd linh dess coleção, ou, em outrs plvrs, que curv envolvente crid por esss linhs é um práol. Iniciemos com um eemplo, dotndo pr som ds distâncis dos pontos de fição do rnte o vértice do referido ângulo reto, considerndo-o com ldos ns issetrizes dos dois primeiros qudrntes de um plno crtesino. Oservndo figur, devemos ter OP + OQ. Assim, sendo Q k, com k, temos OQ k e, portnto, OP k ( k). Com isso, concluímos que P ( k) e, tmém, conhecemos Q (k, k) e P (k, k). figur GARCIA, C. Práols e hipéroles envolventes. C.Q.D. - Revist Eletrônic Pulist de temátic, Buru, v. 4, p. 3-4, go. 15. DOI: /cqdvol cg34 - Disponível em: 31

3 Então, ret PQ tem coeficiente ngulr equção é: y k (k 1)( k). k ( k) k ( k ) k 1, e, portnto, su Emor tenhmos um número finito de rntes, pr cd k rel entre e, vmos considerr fmíli de rets com equção y k (k 1)( k). Ess equção é qudrátic n vriável k, ser, k ( + )k + + y, e deve presentr um só solução, se procurrmos os pontos (, y) pelos quis pss um únic ret dess fmíli. Com isso, seu discriminnte Δ ( + ) 4( + y) deve ser nulo, o que conduz à equção y ¼ + 1, reconhecidmente de um práol. E, pr cd k, não é difícil verificr que tl ret intersect ess práol no ponto ((k 1), (k 1) + 1). Em outrs plvrs, todos os pontos por onde pss somente um ret d fmíli pertencem à práol y ¼ + 1. Vmos proceder gor um generlizção compreendendo inclinção ds semirrets OP e OQ e tl som OP + OQ. Sem perdê-l, entretnto, podemos posicionr n origem O o vértice do ângulo que delimit curv envolvente, tendo como issetriz prte positiv do eio y, como fizemos cim. Denominemos S som ds distâncis dos pontos de fição do rnte o vértice desse ângulo. Como se pode oservr n figur 3, os ldos dos ângulos estão contidos ns rets de equções y (tgα) e y (tgα). Dí, sendo Q k, temos Q (k, (tgα) k). Como k k OQ cosα e OQ + OP S, então OP S, pr k S cosα. Disso, P cos OP cosα S cosα k, ou, P k S cosα e, tmém, yp (tgα) P S senα k tgα. Portnto, P (k S cosα, S senα k tgα). Dí, ret PQ, de coeficiente ngulr k tg S sen, tem equção y k tgα S cos k tg S sen ( k). Ess equção S cos pode ser reescrit ssim: (tgα) k (S senα + tgα) k + S senα + S y cosα. N vriável k, deve presentr pens um solução, se desejrmos encontrr os pontos (, y) pelos quis pss um únic ret dess fmíli. sen discriminnte, o que equivle y S cos Isso signific que é nulo o seu S sen, com < α < π/. GARCIA, C. Práols e hipéroles envolventes. C.Q.D. - Revist Eletrônic Pulist de temátic, Buru, v. 4, p. 3-4, go. 15. DOI: /cqdvol cg34 - Disponível em: 3

4 figur 3 Pr ilustrr lguns csos prticulres desss porções de práols com prolongmentos, presentmos figur 4: n esquerd, temos fio α π/3 e, n direit, S 4. figur 4 GARCIA, C. Práols e hipéroles envolventes. C.Q.D. - Revist Eletrônic Pulist de temátic, Buru, v. 4, p. 3-4, go. 15. DOI: /cqdvol cg34 - Disponível em: 33

5 Vmos formulr um espécie de recíproc do que foi trtdo cim. Sej um práol e um ângulo com vértice em seu eio de simetri, de modo que seus ldos tngencim-n. Considere os pontos P e Q, cd qul pertencente um ldo desse ângulo, tl que o segmento PQ sej tmém tngente à práol. ostremos que, quisquer que sejm os pres de pontos P e Q ssim tomdos, som ds distâncis destes pontos o vértice do referido ângulo é constnte. De fto, sem comprometer idei gerl, podemos tomr um práol com vértice n origem do sistem crtesino, com concvidde voltd pr cim. El tem, portnto, equção d form y, com >. Pr ddo λ >, sej R (, λ) o vértice do ângulo descrito cim. Como se pode oservr n figur 5, os ldos desse ângulo estão contidos em rets de equções y m λ e y m λ e, já que são tngentes à práol, têm discriminnte nulo s equções m λ, o que implic em m e, dí, os pontos de tngênci são U, e V,. figur 5 Semos que, cd ponto T (, ) d práol em questão, está ssocid equção do feie de rets y m ( ) que o contém. Se procurrmos pel ret PQ deste feie que tngencie neste ponto, devemos impor nulo o discriminnte d GARCIA, C. Práols e hipéroles envolventes. C.Q.D. - Revist Eletrônic Pulist de temátic, Buru, v. 4, p. 3-4, go. 15. DOI: /cqdvol cg34 - Disponível em: 34

6 equção m ( ), n vriável, o que equivle se ter m (*). Com isso, equção d ret PQ fic ssim: y. Resolvendo dois sistems com ess equção em comum, comind com cd um ds equções ds rets suportes y λ e y λ dos ldos do ângulo ddo, otemos s coordends de Q e P. Eis sus scisss: Q e P. Um vez que y + λ, então, como PR P ( y P ) e QR Q y Q ( ), temos som S PR + QR P 4 P + Q 4 Q ( ) 1. Sendo P Q 4, S ( Q ) 1 4 P 1 4. Com lgums mnipulções lgérics chegmos S λ 1 4, que é constnte, como querímos mostrr. Hipérole envolvente A figur 6 ilustr mesm disposição dos pregos que n figur 1. figur 6 * Pr oter o coeficiente m mis diretmente, é suficiente clculr derivd d função f() no ponto. GARCIA, C. Práols e hipéroles envolventes. C.Q.D. - Revist Eletrônic Pulist de temátic, Buru, v. 4, p. 3-4, go. 15. DOI: /cqdvol cg34 - Disponível em: 35

7 Note, gor, que os pedços de rnte esticdos que unem cd dois deles são hipotenuss de triângulos com o produto ds medids dos ctetos constnte. A curv envolvente crid por esss linhs é um rmo de um hipérole equiláter. Sus ssíntots são s rets suportes dos ldos desse ângulo. De fto, sej o produto ds distâncis dos pontos de fição do rnte o vértice do referido ângulo reto, considerndo-o com ldos ns issetrizes dos dois primeiros qudrntes de um plno crtesino, ssim como fizemos com o cso nterior. OQ k Oservndo figur 7, devemos ter OP OQ. Assim, com Q k >, temos e, portnto, OP k conhecemos Q (k, k) e P (. Com isso, concluímos que P k, k k k k, e, portnto, su equção é: y k k k k k e, tmém, ). Então, ret PQ tem coeficiente ngulr k k ( k). figur 7 Emor tmém tenhmos um número finito de rntes, pr cd rel k >, vmos considerr fmíli de rets com equção y k k k ( k). Ess equção é qudrátic n vriável k, ser, (y ) k k + (y + ), e deve presentr um só solução, se procurrmos os pontos (, y) pelos quis pss um únic ret dess fmíli. Com isso, seu discriminnte Δ 4[ (y )] deve ser nulo, o que conduz à equção y, reconhecidmente de um hipérole equiláter com s issetrizes dos qudrntes do plno crtesino como ssíntots. GARCIA, C. Práols e hipéroles envolventes. C.Q.D. - Revist Eletrônic Pulist de temátic, Buru, v. 4, p. 3-4, go. 15. DOI: /cqdvol cg34 - Disponível em: 36

8 Em outrs plvrs, todos os pontos por onde pss somente um ret d fmíli pertencem à hipérole y. Vmos proceder um generlizção, sendo-nos n figur 3, ind com < α < π/ e gor, com OP OQ. Sendo Q (k, k tgα), k >, como k OQ cosα, então, OP cos k. E, como P OP cosα, então, P cos k. Dí, yp (tgα) P sen cos k cos sen cos. Portnto, P,. k k A ret PQ, de coeficiente ngulr m k tg sen cos, tem equção k cos y k tgα m( k) que, pós mnipulções lgérics, tmém pode ter seguinte form: (y tgα) k ( senα cosα) k + y cos α + senα cosα. N vriável k, est equção deve presentr pens um solução, se desejrmos encontrr os pontos (, y) pelos quis pss um únic ret dess fmíli. Isso signific que é nulo o seu discriminnte, o que, com um pouco de trlho, nos conduz o equivlente: y, com y >, que, por su vez, pode ser reescrit n form eplícit sen cos y tgα cos. Um conclusão mis: pr cd k, cd ponto dess hipérole é médio do segmento PQ, um vez que equção d hipérole é stisfeit pr s coordends desse ponto. De fto, se T é ponto médio de PQ, T k cos k sen cos k, k tg. Dí, tgα cos T tgα k cos cos k tg k ( k cos ) sen cos k k tg yt. A figur 8 ilustr lguns csos prticulres desses rmos de hipéroles com sus ssíntots: n esquerd, temos fio α π/3 e, n direit,. GARCIA, C. Práols e hipéroles envolventes. C.Q.D. - Revist Eletrônic Pulist de temátic, Buru, v. 4, p. 3-4, go. 15. DOI: /cqdvol cg34 - Disponível em: 37

9 figur 8 Formulemos um recíproc pr esse resultdo. Consideremos um rmo de um hipérole de centro O, o ponto comum de sus ssíntots, e um ret tngente ess curv. Sejm P e Q os pontos de intersecção dess ret com tis ssíntots. Então, o produto OP OQ é constnte, e mis: o ponto de tngênci d ret considerd é médio do segmento PQ. De fto, sem fetr generlidde, podemos considerr o rmo com ordends y positivs d hipérole 1, com e positivos, ou sej, d curv com equção y crtesino, com ssíntots y. Trt-se d tl porção de hipérole centrd n origem O do plno e y (figur 9). figur 9 GARCIA, C. Práols e hipéroles envolventes. C.Q.D. - Revist Eletrônic Pulist de temátic, Buru, v. 4, p. 3-4, go. 15. DOI: /cqdvol cg34 - Disponível em: 38

10 Semos que, cd ponto T (, ssocid equção do feie de rets y ) d hipérole em questão, está m( ) que o contém. A ret desse feie que é tngente ess hipérole tem o coeficiente m igul o vlor d derivd d função f() no ponto, ser, m (*). Assim, equção d ret tngente à hipérole no ponto T é y ( ). Resolvendo dois sistems com ess equção em comum, comind com cd um ds equções y e y ds ssíntots, otemos P, e Q,. Com lgums mnipulções lgérics chegmos o produto OP OQ +, que é constnte, como pretendido. Aind, P Q 1 [ ( )] T e yp y Q 1 Com isso, T é ponto médio de PQ. Isso complet demonstrção d recíproc. y yt. 3 Construções geométrics Os gráficos presentdos ns figurs 4 e 8 form construídos por um softwre prtir de sus equções crtesins. Tmém se contndo com recursos d informátic, esss curvs podem ser oservds qundo d construção geométric ds rets que s delimitm, prtir ds proprieddes que possuem, evidencids nesse estudo. * Emor mis trlhoso, é possível oter o coeficiente m d mneir que foi relizdo pr encontrr m, no cso d práol, ou sej, sem se vler do Cálculo Diferencil. GARCIA, C. Práols e hipéroles envolventes. C.Q.D. - Revist Eletrônic Pulist de temátic, Buru, v. 4, p. 3-4, go. 15. DOI: /cqdvol cg34 - Disponível em: 39

11 No cso d práol, devemos construir segmentos com etremiddes em cd ldo de um ângulo ddo, de modo que som ds distâncis desss etremiddes o vértice desse ângulo sej fi. Pr tnto, primeirmente construímos o ângulo e um segmento de medid fi s (figur 1). rcmos um ponto nesse segmento e trnsferimos (vi compsso) s medids ds distâncis u e v desse ponto às sus etremiddes em cd ldo do ângulo, prtir de seu vértice. Com isso determinmos nesses ldos segmentos com propriedde descrit cim, isto é, com u + v s. Ao deslizrmos o ponto mrcdo, o longo do segmento de medid s, o softwre de Geometri Dinâmic encrreg-se de trçr os segmentos que delimitm práol envolvente. figur 1 No cso d hipérole, devemos construir segmentos com etremiddes em cd ldo de um ângulo ddo, de modo que o produto ω ds distâncis desss etremiddes o vértice desse ângulo sej fio. Pr tnto, primeirmente definimos o segmento de medid unitári, construímos o ângulo e o segmento de medid ω (figur 11). Assim, se desejmos crir segmentos de medids p e q tis que pq ω é constnte, serem trnsferids nos ldos do ângulo ddo, como n situção nterior, efetumos um construção uilir, que se encontr io e à esquerd n figur 11. figur 11 GARCIA, C. Práols e hipéroles envolventes. C.Q.D. - Revist Eletrônic Pulist de temátic, Buru, v. 4, p. 3-4, go. 15. DOI: /cqdvol cg34 - Disponível em: 4

12 Ness construção uilir, temos um ângulo nos ldos do qul são trnsferids s medid 1 e um medid p, por meio do posicionmento ritrário do ponto P, seguid d trnsferênci de ω. A medid q, sendo qurt proporcionl ness construção, grnte que pq ω. Ao deslizrmos o ponto P o longo d semirret que pertence, o softwre de Geometri Dinâmic encrreg-se de trçr os segmentos que delimitm hipérole envolvente. Ess hipérole pode tmém ser otid pelo softwre com o trçdo do lugr geométrico dos pontos médios T desses segmentos, por meio do menciondo deslizmento de P. A figur 1 ilustr um número considerável de segmentos, com s proprieddes citds, que delimitm s curvs envolventes: n esquerd, práol e, n direit, hipérole. figur 1 4 Conclusão As cônics possuem váris definições equivlentes. Nesse teto form eplords crcterizções de práol e hipérole por meio de envolventes, pouco usuis nos currículos escolres, contudo, ssocids construções cessíveis o ensino ásico, sej fisicmente, sej com o uílio de softwres d informátic. Podemos construir um infinidde de triângulos em que certo ângulo interno é fio. Vimos qui que, queles triângulos cuj som ds medids dos ldos que formm GARCIA, C. Práols e hipéroles envolventes. C.Q.D. - Revist Eletrônic Pulist de temátic, Buru, v. 4, p. 3-4, go. 15. DOI: /cqdvol cg34 - Disponível em: 41

13 esse ângulo é constnte têm ldos opostos ele delimitndo um práol. Já, queles cujo produto ds medids dos ldos que formm esse ângulo é constnte têm ldos opostos ele delimitndo um hipérole. Aliás, ess hipérole é formd pelos pontos médios desses mesmos ldos que delimitm. Em outrs plvrs, hipérole pode ser considerd o lugr geométrico dos pontos médios de segmentos que têm etremiddes em cd um dos ldos de um ângulo α ddo, desde que os triângulos formdos, conforme mostr figur 13, sejm equivlentes. figur 13 Referêncis [1] GARCIA, J. C. Práols envolventes. Revist do Professor de temátic, SB, v. 75, p. 1-14, (11). [] WAGNER, E. Construções Geométrics. SB, Rio de Jneiro, RJ, (7). GARCIA, C. Práols e hipéroles envolventes. C.Q.D. - Revist Eletrônic Pulist de temátic, Buru, v. 4, p. 3-4, go. 15. DOI: /cqdvol cg34 - Disponível em: 4