8.3 Motor, gerador, balança de Kibble e galvanômetro

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1 8.3 Motor, gerador, balança de Kibble e galvanôetro Já eplicaos a ideia básica de u otor elétrico na seção 6.6 quando discutios o torque atuando nua espira de corrente eposta a u capo agnético. Mas a lei de indução introduz u aspecto novo nesta discussão e deveos estudar otores sob este ponto de vista. Para facilitar a análise, vaos substituir o oviento rotatório, que a aioria dos otores apresenta, por u oviento e linha reta. Iagine ua barra condutora que possa deslizar se atrito ecânico e dois trilhos horizontais tabé condutores. Vaos iaginar íãs peranentes uito fortes instalados por baio do plano forado pelos trilhos. stes íãs cria supostaente u capo agnético unifore e perpendicular ao plano dos trilhos. Ua bateria de eletrootância e resistência interna desprezível está ligada nos trilhos. A barra te ua resistência elétrica e sua assa vale. Para facilitar, vaos supor que a resistência dos trilhos assi coo ua possível resistência elétrica de contato entre trilhos e barra seja desprezíveis. sta hipótese não é uito realista, as ela facilita a análise se alterar os aspectos essenciais que quero discutir. A figura ostra este tipo de otor linear esqueaticaente. A resistência da barra está representada coo u resistor à parte. A figura ostra ainda ua coordenada que caracteriza a posição da barra e vetores unitários de ua base ortonoral. O capo agnético gerado pelo íã peranente é indicado co flechas azuis que entra no plano de papel, enquanto o vetor unitário ẑ é ostrado coo flecha que sai voando na direção ao observador. I y z l Fig squea de otor linear. A força agnética gerada por corrente nua barra condutora acelera a barra. A lei que perite entender os ovientos da barra é a segunda lei de Newton. Podeos escrever esta lei na fora unidiensional considerando a força agnética coo a única força que atua na direção ˆ. trilho d = I ˆ d l (8.3.1) trilho1 O sentido da integração é o eso que o sentido positivo da corrente, ou seja, o trilho 1 é no desenho o trilho superior. Co a fórula (8.3.1) teos u eeplo da necessidade de copleentar a ecânica co ua teoria das forças. Por enquanto esta igualdade não constitui ua descrição da dinâica da barra, porque o lado direito, ou seja, a força conté incógnitas cuja relação co a incógnita ainda não é conhecida. stas incógnitas são a corrente I e tabé o capo agnético. Na aioria dos livros que discute este tipo de problea ne sequer se considera o capo agnético coo incógnita. Mas, a todo rigor, ele é ua incógnita, pois a corrente I que flui na alha forada pela bateria, pelos trilhos e pela barra contribui para o capo agnético, e coo I é incógnita, tabé o é. A dependência do capo agnético da corrente I pode ser calculada co a lei de iot- Savart. Já fizeos este tipo de cálculo. Mas isto dá uito trabalho e neste oento vaos evitar esta coplicação co a ajuda de ua boa desculpa. É fácil arruar esta desculpa; siplesente vaos supor que os íãs peranentes seja etreaente 41

2 fortes de tal fora que o capo agnético gerado pela própria corrente possa ser desprezado. ntão vaos supor que zˆ, >, = const. (8.3.). Co esta hipótese a segunda lei de Newton fica co u aspecto ais siples: d = Il (8.3.3). Mas continua u ecesso de incógnitas. Precisaos de ais ua equação que deterine I. Ingenuaente poder-se-ia escrever I = /. Mas isto está errado! Deveos aplicar corretaente a lei das alhas: dφ + I = (8.3.4). Nesta fórula Φ é o fluo agnético através da alha forada pela bateria, pelo trecho dos trilhos até a barra e pela barra. Na avaliação deste fluo agnético dever-seia tabé considerar o capo agnético gerado pela própria corrente. Mas de novo vaos desprezar esta contribuição. Na próia seção tratareos justaente da lei de indução e situações nas quais a contribuição da própria corrente é iportante. Mas aqui vaos desprezar esta contribuição. Co esta aproiação o fluo agnético é be siples: Inserindo isto na (8.3.4), obteos ntão no lugar do valor / teos Φ l (8.3.5). + I = l (8.3.6). I = l (8.3.7). Substituindo esta epressão da corrente na segunda lei de Newton (8.3.3), obteos finalente ua equação diferencial que descreve a dinâica da barra. d l = l (8.3.8) Percebeos que a equação poderá ser reduzida a ua equação diferencial de prieira orde se usaros a velocidade v = / coo incógnita: dv l l = v (8.3.9). sta equação é do tipo inhoogêneo-linear, co ua inhoogeneidade constante. ntão, seguindo nossa receita de resolver tal tipo de equação, fareos a tentativa de ua solução particular constante: vp = const.. A equação (8.3.9) deterina o valor desta constante: v P = (8.3.1). l 413

3 Para não perderos o hábito de sepre olhar nossos passos criticaente, verificaos rapidaente se a epressão / l é eso ua velocidade. screvendo as unidades destas grandezas, obteos ( ) V / Vs = / s. Isto está perfeito. A equação hoogênea é do tipo da conta bancária co juros negativos e a solução é be conhecida. Podeos logo escrever a solução geral copleta: l vg ( t) = + Aep t l (8.3.11). Se supuseros a condição inicial v ( ) =, ou seja, a barra partindo do repouso, obteos ( ) v t l = 1 ep t l (8.3.1). sta é a conhecida solução do problea do paraquedista ou da esfera caindo nu fluido viscoso. A figura 8.3. ostra este coportaento. v /l Fig Velocidade de u otor linear e função do tepo na ausência de forças não agnéticas. É interessante analisar a situação assintótica li v t é o para grandes tepos. O liite ( ) valor v P. Co a fórula (8.3.9) segue que a corrente nesta condição vale zero. Podeos entender este resultado se resolver nenhua equação diferencial. Pois se a barra eecuta u /l t oviento unifore, a força atuando sobre a barra te que ser nula. ntão se a força agnética for a única, esta te que valer zero e consequenteente teos I =. Podeos entender este resultado tabé usando u arguento energético: co velocidade constante e se força de atrito ou outra força eterna, a bateria não precisa fornecer nenhua energia e consequenteente deve valer I =. Durante a fase de aceleração, a bateria fornece energia (ercício 8.). Mas coo podeos entender que não flui corrente nua siples alha co ua bateria e u resistor? O segredo está na lei de indução: esta alha não é siples, a barra e oviento iersa nu capo agnético constitui ua segunda fonte e, na condição v = / l, esta fonte te a esa eletrootância da bateria. ntão nesta condição, o circuito equivale ao circuito da figura e é obvio que não flui corrente. t Fig Circuito equivalente para o sistea da figura na condição v = / l. A situação uda se acrescentaros ua força de atrito ecânico na dinâica do sistea ou ua outra força. Vaos iaginar que haja u atrito do tipo viscoso e que aarreos ua corda na barra que passa por ua roldana e segura ua assa M. A figura ostra este esquea e vista lateral. A corda co tensão T eercerá ua força adicional F = Tˆ sobre a barra. A equação da lei das alhas (8.3.7) não sofre c 414

4 nenhua udança por causa destas forças novas. Mas na equação de Newton tereos ais dois teros. ntão no lugar da equação (8.3.8) teos d l = T η l (8.3.13) Fig Motor linear levantando ua assa M. Nesta fórula, S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N η / representa u tero de atrito viscoso. M Nua situação geral, a tração T dependeria da própria aceleração da barra. Mas neste oento quero soente considerar u oviento unifore da barra e neste caso a tração é constante valendo Mg, sendo g a aceleração da gravidade. A condição de oviento unifore é Desta condição obteos a velocidade l = l η l T v = l + η e co a lei das alhas (8.3.7) obteos o valor da corrente I v = l l + η lt T (8.3.14). (8.3.15) (8.3.16) Para η > ou T > esta corrente não é zero e a bateria fornece energia. Ne toda energia fornecida pela bateria é usada para levantar o peso e para vencer o atrito viscoso. Ua parte aparece coo energia térica na resistência. No eercício 8.3 o leitor pode avaliar estes balanços de energia. v Fig Gerador elétrico. O arranjo da figura S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N funciona coo u otor elétrico, isto é, coo ua M áquina que transfora energia elétrica e energia ecânica. Podeos fazer tabé o inverso. Iagine que coloqueos a roldana na outra etreidade dos trilhos coo indicado na figura Nesta configuração a força eercida pela corda vale F ˆ c = + T. Considerando de novo apenas o caso de oviento unifore, obteos no lugar da fórula (8.3.16) a seguinte epressão para a corrente: 415

5 I = + T + η (8.3.17). Percebeos que agora a corrente pode ser negativa. Neste caso a bateria seria carregada. Nesta configuração teos ua áquina que transfora energia ecânica e energia elétrica. Fig Medida da resistência de u otor elétrico. O instruento indica u pouco ais que 18,4 Ω Vereos todos estes resultados qualitativaente co u pequeno otor, poré co u otor que gira e não co u otor linear. A figura ostra u pequeno otor ligado nu ohíetro. O otor te aproiadaente ua resistência de 18,4 Ω. Se ligaros este otor nua fonte de 1 V, esperareos ingenuaente ua corrente de,543 A. Mas a figura ostra que a corrente é apenas 38 A quando deiaos o otor girar livreente. Se atrito ecânico esta corrente seria até eataente zero. Na figura tento frear a rotação do otor co u dedo da ão e notaos que o valor da corrente auentou para quase,158 A. Na figura o otor está ligado nu voltíetro e eu giro o eio. Percebe-se ua voltage induzida. ntão neste caso o otor funciona coo gerador. Fig Motor girando livreente provoca ua corrente uito aqué do valor ôhico. Fig O atrito da roda ontada no eio do otor co o dedo auenta o valor da corrente. Fig Motor usado coo gerador. 416

6 Nas aplicações, ne todos os otores são de rotação. Alguns otores são realente lineares, as geralente não usa trilhos para transitir a corrente para o condutor e oviento. Os alto-falantes são eeplos de otores lineares. Neles o condutor óvel é u arae de cobre fino enrolado nu cilindro de papelão. ste solenoide é ergulhado nua fenda circular na qual eiste u forte capo agnético radial. O cilindro de papelão está preso nu funil de papelão que possui na parte ais aberta ua ondulação. sta ondulação torna a beirada do funil aleável. U suporte segura o funil nesta beirada. Por causa da ondulação da beirada do funil, este pode ser ovido pelo otor linear para frente e para trás ovientando co isto o ar criando ondas acústicas. No caso dos alto-falantes, os ovientos não são grandes e a transissão da corrente elétrica para o condutor óvel é feita co dois araes uito fleíveis fabricados de ua alha de araes finos de cobre. A figura ostra o esquea de u alto-falante. No caso do alto-falante a conversão de otor e gerador tabé pode ser 5 feita. stes alto-falantes agnéticos pode tabé ser usados coo icrofones. Nesta 6 função eles são geradores. Se o leitor encontrar S N N S algu rádio jogado no lio, ele deve aproveitar a oportunidade, deve retirar u alto-falante e desontá-lo para conhecer os detalhes deste equipaento. 1 Fig squea de u alto-falante agnético: 1.solenoide ergulhado e fenda circular,. íã, 3. funil de papelão, 4. beirada ondulada do funil, 5. suporte eterno, 6. fios fleíveis. U otor linear uito parecido é usado na etrologia na tentativa de substituir o antigo padrão de quilograa por u ancorado e padrões quânticos de apère e volt 1. Neste otor o condutor óvel tabé é u solenoide nu capo agnético radial. Poré o solenoide não está preso nu funil, ele está pendurado nua balança feita co ua roda apoiada e duas cunhas que serve não apenas coo eio de giro da roda, as são tabé usadas para transitir a corrente elétrica. Prieiraente os pesos do solenoide e de seu suporte são perfeitaente equilibrados co ua pequena assa. Depois duas edidas são feitas co este otor linear. Na prieira, chaada de odo estático, a força peso que atua sobre ua assa adicional pendurada no eso lado do solenoide é equilibrada co ua força agnética. A corrente necessária para esta realização de equilíbrio é edida co u aperíetro etreaente preciso. A geoetria desta eperiência é diferente do nosso otor linear feito co ua barra e dois trilhos. Mas podeos tranquilaente usar as nossas fórulas para entender as eperiências feitas co esta balança. O copriento l da barra corresponde ao copriento do fio enrolado no solenoide pendurado. A condição de equilíbrio é g = Il (8.3.18). 1 Kibble,. P. (1975), Sanders, J. H.; Wapstra, A. H., eds., Atoic Masses and Fundaental Constants 5, New York: Plenu, pp Stock M.: The watt balance: deterination of the Planck constant and redefinition of the kilogra, Phil. Trans.. Soc. A 369 (11), S Na invenção original feita por ryan Kibble e 1975, a balança não usava ua roda, as u feie de balança convencional. 417

7 Nesta fórula é o ódulo do capo agnético e g é a aceleração da gravidade, que deve ser edida tabé co etrea precisão. Nua segunda eperiência, chaada de odo de velocidade, co eataente o eso capo agnético, a bobina é ovida na direção vertical co ua velocidade constante uito precisaente edida. Nesta segunda eperiência não há corrente no solenoide. No lugar da fonte e do aperíetro, se conecta u voltíetro na bobina. ste voltíetro tabé deve ser etreaente preciso e estar etreaente perto da condição de voltíetro ideal. ste instruento indica a eletrootância agnética induzida na bobina. sta vale = vl (8.3.19). Podeos eliinar o produto l das duas fórulas e obteos ua epressão para a assa e teros da aceleração da gravidade, da velocidade, da voltage e da corrente: = I g v (8.3.) Pode-se interpretar a junção das duas eperiências coo ua coparação de ua potência ecânica g v co ua potência elétrica I. Coo Watt é ua unidade de potência, este equipaento recebeu o noe de balança de Watt 3. Usa- se tabé o noe balança de Kibble hoenageando o inventor ryan Kibble. As figuras e ostra as duas edidas esqueaticaente. Fig alança de Kibble usada no odo de equilibrar o peso de ua assa co força agnética. Fig alança de Kibble usada no odo de velocidade. A solenoide v otor para o oviento no odo de velocidade V solenoide 3 alança de Watt é u péssio noe. Poder-se-ia chaar este instruento de balança de potência, as não de balança de Watt. É sinal de ignorância pensar que ua grandeza é definida pela sua unidade. 418

8 A figura ostra ua fotografia de tal equipaento. Fig : Iage de ua balança de Watt ontada no National Institute of Standards and Technology (USA). Fotografia original feita por ichard Steiner. A iage foi tirada da Wikipedia. A roda te u diâetro de,61. Acia da balança se vê a borda inferior de ua capânula de vácuo. Durante a eperiência esta capânula é baiada e a edida é feita e alto vácuo para eliinar forças de epuo e para tornar a edida interferoétrica 4 da velocidade na segunda parte da edida ais precisa. O nosso odelo siples da barra deslizando e trilhos nu capo agnético constante pode ser usado para entender ais u instruento de edida. Vaos substituir a força de ua corda por ua força elástica de ua ola espiral coo indicado na figura I y z l Fig Modelo de galvanôetro. 4 Interferoetria é ua técnica de edir diversas grandezas usando o fenôeno de interferência de ondas. Aqui se usa ondas luinosas. 419

9 ntão no lugar do tero de tração da corda, ou seja, no lugar do últio tero na fórula (8.3.13), vaos colocar ua força elástica: d l = η κ l ( ) (8.3.1) Nesta fórula κ é a constante de ola e a constante é deterinada pelo copriento natural da ola e pela posição do suporte da ola. sta equação é a equação diferencial de u oscilador harônico aortecido co posição de equilíbrio constante de aorteciento equilíbrio l = + κ 1 l η α = + e frequência angular não aortecida (8.3.), (8.3.3) κ ω = (8.3.4). A edição da posição de equilíbrio fornece inforação sobre a eletrootância ou sobre a corrente /. ntão teos aqui u galvanôetro. Mas este equipaento te u coportaento inconveniente. Iagine que coeçaos co ua eletrootância nula e nu deterinado instante ligaos ua bateria co eletrootância >. Mas a barra não se deslocará diretaente e de fora rápida da posição original para a nova posição de equilíbrio descrita pela fórula (8.3.). Se α < ω, a barra oscila e volta do novo ponto de equilíbrio e lentaente a aplitude desta oscilação diinui. O observador precisa ter uita paciência para finalente poder edir a nova posição de equilíbrio. Se α > ω, o sistea é superaortecido e se aproia eponencialente e de fora lenta do novo ponto de equilíbrio. De novo o observador precisa ter uita paciência. A fora ais rápida de estabelecer o novo equilíbrio é obtida usando valores dos parâetros tais que α = ω, ou seja, na condição de aorteciento crítico. Nos galvanôetros este aorteciento é geralente obtido pelo ponteiro que sofre atrito viscoso no ar. U caso interessante é o nosso ultíetro de deonstração que usaos na discussão do divisor de tensão (fig ) ou na lei de indução (fig ). le foi construído co u galvanôetro de espelho. Isto significa que a orientação da bobina giratória não é indicada por ua haste longa, as co a ajuda de u pequeno espelho. ste espelho gira praticaente se nenhua força de atrito viscoso. Na construção deste aparato tive que usar o tero / ( ) l para conseguir u aorteciento crítico. Mas isto ipossibilita a alteração do fundo de escala ou a transforação do galvanôetro e voltíetro colocando resistores e paralelo ou e série. ntão eu tive que usar sepre o eso resistor. Para as transforações de fundo de escala e a transforação do galvanôetro e voltíetro, eu usei ua eletrônica adicional cujo funcionaento será discutido nua seção futura. 4

10 ercícios: 8.3.1: O epoente da função eponencial da fórula (8.3.1) te que ser u núero l / deve ser o inverso de u tepo. Mostre que esta epressão é puro. ntão ( ) realente u inverso de u tepo. 8.3.: Considere o otor linear da figura se atrito e se força eterna. Calcule a energia fornecida pela bateria durante a fase de aceleração da barra, ou seja, no intervalo de tepo [, ). Copare esta energia co a energia cinética final da barra : Analise as potências envolvidas no funcionaento do otor linear e regie de velocidade constante na presença da força viscosa e da força Mg de ua assa pendurada no fio da figura : Pense nas possíveis fontes de erro eperiental nas edidas de assa co ua balança de Kibble. Por que se pendura a assa no eso lado onde está o solenoide e não no lado oposto? 8.3.5: screva os pontos de destaque desta seção. 41