6.3 Movimento de uma partícula carregada num campo magnético

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1 6.3 Moviento de ua partícula carregada nu capo agnético Nua seção futura vereos que é be fácil criar u capo agnético que seja unifore nu volue de alguns litros ou até alguns etros cúbicos. Se nos preocupar no oento coo isto pode ser feito, vaos estudar o coportaento de ua partícula eletricaente carregada que foi introduzida nua região V co capo agnético constante e co capo elétrico nulo. Há ua dificuldade na análise deste problea. Antes de introduzir a partícula naquele volue V, os capos tinha os valores E ( r ) = e B ( r ) = B = const. para r V. Mas, ua vez que jogaos a partícula neste volue, os capos não serão ais os esos, pois a própria partícula dá ua contribuição para o capo elétrico e certaente tabé para o capo agnético. Vios na seção 1.4 que o capo gerado pela própria partícula é singular na posição da partícula. A parte singular do capo te que ser reovida fazendo ua édia de valores do capo sobre a superfície de ua esfera co centro na posição da partícula e toando u liite andando o raio desta esfera para zero. Pode-se ostrar que, para o caso de ua partícula e repouso ou e oviento retilíneo unifore, este procediento de retirada de singularidade resulta na eliinação total de força que a partícula exerce sobre si esa. Mas isto não é o caso quando há aceleração. Neste caso a reoção da parte singular do capo não eliina toda a força devido ao capo gerado pela própria partícula. Já enfrentaos este problea na seção 3.4 quando discutios a aceleração de elétrons no tubo de Braun. Naquela ocasião encionaos ua fórula cuja dedução é vista nua disciplina uito ais avançada e que infora a potência irradiada por ua carga acelerada. Citaos esta fórula aqui de novo: 2 2 q a Pradiação = (6.3.1) 3 6πε c Esta fórula ede e teros energéticos os efeitos do capo gerado pela partícula sobre o oviento dela. No caso do tubo de Braun nos convenceos de que estes efeitos pode tranquilaente ser desprezados. No estudo do oviento de ua partícula carregada nu capo agnético, vaos tabé desprezar estes efeitos causados pelo capo da partícula. Dependendo da assa da partícula, da sua velocidade e do ódulo do capo agnético aplicado, isto pode não ser ua boa aproxiação. Mas, para os capos que podeos gerar aqui no nosso laboratório eso co partículas leves coo o elétron e co energias de alguns quiloeletronvolt, a aceleração é ainda tão pequena que podeos desprezar estes efeitos. Ou seja, podeos fazer de conta que a eliinação da parte singular do capo eliina praticaente toda a força que o capo da partícula exerce sobre ela. Fazendo isto, vaos siplesente supor que os capos aos quais a partícula está exposta seja E ( r ) = e B ( r ) = B = const. para r V. Co esta hipótese a segunda lei de Newton para esta partícula é dv = q v B dt (6.3.2) Para resolver esta equação diferencial, vaos escrevê-la e coponentes. Para não criar uitos teros, vaos escolher u sistea de coordenadas cartesianas tal que o 292

2 capo agnético aponte na direção do eixo z. Co esta escolha o capo e V te o valor B = B zˆ. Teos v B = xˆ v + yˆ v + zˆ v zˆ B = yˆ v B + xˆ v B (6.3.3) ( ) x y z x y Então a (6.3.2) fornece as seguintes três equações: dv dt dv dt y x = q v B (6.3.4) y x = q v B (6.3.5) dv z = (6.3.6) dt Podeos resolver a equação da coponente z iediataente: v = v = const., e consequenteente ( ) z t = z + v t. Então na direção z a partícula anda coo ua z partícula livre. O oviento nas direções x e y é deterinado pelo sistea de equações diferenciais acopladas (6.3.4) e (6.3.5). Para resolver este sistea, vaos cobinar as equações. Calculaos a derivada da (6.3.4) e substituíos dvy / dt da (6.3.5): dv = = dt dt 2 d vx y q vxb q B 2 q B z z (6.3.7). Então resultou ua equação diferencial que conheceos da Física II no estudo do oscilador harônico: 2 d vx 2 dt q B = 2 v x (6.3.8) Conheceos a solução geral desta equação. Há várias aneiras de escrever a solução geral: co a ajuda de u cosseno co ua constante de fase, co a ajuda de u seno co ua constante de fase ou coo ua cobinação linear de u cosseno e u seno. Eu prefiro u cosseno co ua constante de fase. Mas, coo aqui teos que integrar x t, usarei u seno para ficar no fi ainda ua vez para obter a própria coordenada ( ) co u cosseno para a coordenada: q vx ( t) = v sen ( ω t + ϕ ) co ω = B (6.3.9) Da equação (6.3.4) podeos então calcular a coponente y da velocidade: dvx vy ( t) = = v cos ( ω t + ϕ ) (6.3.1) q B dt Integrando estas expressões das coponentes da velocidade, obteos a lei horária copleta do oviento: v q x( t) = x + cos( ω t + ϕ ) co ω = B ω v q y ( t) = y sen ( ω t + ϕ ) co ω = B ω (6.3.11) (6.3.12) 293

3 z ( t ) = z + v z t (6.3.13) As constantes que pode ser ajustadas às condições iniciais do oviento são x, y, z, vz, v e ϕ. Por outro lado a constante ω não depende das condições iniciais, as é deterinada pela dinâica da partícula. Fig Apola para visualizarão de trajetórias de elétrons nu capo agnético unifore. A luz eitida por oléculas de gás atingidas pelos elétrons arca a trajetória. A lei horária coposta pelas três fórulas (6.3.1), (6.3.12) e (6.3.13) descreve u oviento helicoidal. Enquanto a partícula avança da direção z co velocidade constante, ela executa u oviento circular unifore no plano x-y. A velocidade angular deste oviento circular independe das condições iniciais e é deterinada soente pela carga e assa da partícula e pelo valor do capo agnético. A figura ostra u equipaento que perite realizar este oviento experientalente. U feixe de elétrons é gerado co u canhão de elétrons parecido co aquele do tubo de Braun. Este canhão de elétrons está ontado nua apola que possui ainda u resto de gás cujas oléculas eite luz quando fora atingidas pelos elétrons. Desta fora o feixe de elétrons fica visível. Duas bobinas circulares fora da apola fornece o valor diferente de zero do capo agnético. Fig Feixe circular de elétrons nu capo agnético unifore. Fig Trajetória helicoidal de elétrons nu capo agnético unifore. A figura ostra a trajetória de elétrons nu capo agnético unifore. As condições iniciais na saída do canhão de elétrons são tais que a coponente da velocidade na direção do capo é zero, vz =, e a trajetória é circular. Já na figura a apola contendo o canhão foi girada de tal fora que os elétrons avança na direção do capo e se fora ua hélice. 294

4 q A constante ω = B deterina o tepo T que é necessário para a partícula copletar ua volta. Da Física I lebraos que ω = 2 π / T. Mas a dinâica da partícula deterina não apenas este tepo. A direção do eixo de giro e o sentido de giro são tabé deterinados pela dinâica. Para poder descrever todas estas características de u oviento giratório, inventou-se u vetor ω chaado de velocidade angular vetorial. Iagine algu oviento circular unifore co período T, coo indicado na figura A tal oviento vaos associar o vetor ω cujo ódulo vale 2 π / T, cuja direção é a direção do eixo de rotação e cujo sentido é tal que o giro junto co u avanço neste sentido define u parafuso direito. agnético te este eso sentido. Repare que a base é eso ua base direita. A orientação do oviento descrito pelas fórulas (6.3.11) e (6.3.12) para o caso q > e B > é horária. Quando giraros u parafuso neste sentido, ele entrará no plano de desenho. Então o vetor ω aponta no sentido contrário do capo agnético. Fig Sentido da rotação de ua partícula positivaente carregada nu capo agnético B z co B >. Fig Velocidade angular vetorial. Quando posicionaos a ão direita de tal fora que o dedo indicador acopanhe o oviento giratório, o polegar indica o sentido do vetor ω. No caso do oviento de ua partícula carregada nu capo agnético unifore, a direção da velocidade angular vetorial obviaente coincide co a direção do capo agnético. Para ver qual é o sentido deste vetor, analisaos as fórulas (6.3.11) e (6.3.12) para o caso q > e B >. A figura ostra a projeção de ua trajetória no plano x-y para este caso. Mostrei os vetores unitários ˆx, ŷ e ẑ. O últio vetor é ostrado coo ponta de ua flecha voando na direção do observador. O capo ˆ Juntando este resultado co a inforação sobre o ódulo da velocidade angular, obteos o resultado: ω = q B (6.3.14) Na seção 6.1 definios o capo agnético coo u capo tensorial. Isto significa que o valor deste capo nu ponto é u tensor. De fato o valor é u tensor antissiétrico. Para poder visualizar este tipo de objeto graficaente, associaos u vetor B a este tensor através da seguinte correspondência: y z x 295

5 B B B B xy xz z y B B = B yx yz z x B B B B zx zy y x B = xˆ B + yˆ B + zˆ B B x y z (6.3.15) Na seção 6.1 encionaos que esta substituição do tensor por u vetor é ua utreta, e que esta representação por vetores te os seus defeitos. Agora teos os conhecientos necessários para entender estes defeitos. Co a fórula (6.3.14) podeos concluir que B te as esas propriedades geoétricas de ua velocidade angular. Descreveos ua velocidade angular co u vetor, as isto não está totalente correto. Vereos qual é o coportaento de vetores perante u espelho. Fig Coportaento de vetores no processo de espelhaento. A figura ostra vetores realizados co conectores banana. Dois vetores estão postos perante u espelho e suas iagens do outro lado do espelho aparece na fotografia. U vetor está paralelo ao plano do espelho e o outro está perpendicular. Percebeos que a iage especular do vetor paralelo ao plano especular descreve o eso vetor do objeto original. Por outro lado, a iage do vetor perpendicular ao espelho descreve u vetor que difere do original por u fator 1. Agora vereos coo fica estes casos co velocidades angulares. Na sala de aula girei u objeto na frente de u espelho. Aqui nestas notas convencionais se filage, posso substituir os ovientos por desenhos de setas que indique ua rotação e peças redondas. A figura ostra os casos de eixos de rotação paralelos e perpendiculares ao plano de espelho. Fig Coportaento de velocidades angulares no processo de espelhaento. 296

6 Percebeos que o coportaento é exataente o contrário daquele dos vetores. Então velocidades angulares não são vetores! Velocidades angulares assi coo valores do capo agnético são tensores e não vetores. Os vetores que usaos para visualizar estes objetos são apenas quebra-galhos e este tipo de quebra-galho é chaado de pseudovetor. Futuraente utilizareos os coportaentos de reflexão especular destes objetos co arguentos de sietria. Então o leitor deve gravar as iagens e na eória. Discutireos alguas aplicações deste oviento circular de ua partícula carregada nu capo agnético. A fórula ω = q B / pode ser usada para edidas uito precisas. Para baixas acelerações, o capo eletroagnético da partícula te ua influência desprezível sobre o oviento. Mas o capo existe e ele pode ser edido. U correspondente sensor, que podeos chaar de antena, ligado nu circuito eletrônico pode registrar o capo elétrico da partícula que está girando, e isto resulta nu sinal elétrico oscilatório que oscila exataente co a frequência angular ω = q B / sinal antena. Medidas de frequências pode ser feitas co altíssia precisão. Então se pode edir q B / co uita precisão. As partículas subatôicas possue cargas que são últiplos inteiros da carga eleentar. Os valores ais frequentes de carga são + 1e e 1e. Geralente é fácil descobrir o valor da carga de ua destas partículas. Injetando ua destas partículas nu capo agnético be conhecido, podese edir a assa desta partícula co boa precisão, edindo a frequência angular do sinal de ua antena perto da partícula que circula no capo. Inversaente pode-se usar a edida desta frequência co ua partícula be conhecida, cujo valor de assa já foi previaente edido, para edir o ódulo de u capo agnético co alta precisão. Outra aplicação deste oviento co trajetória circular é u tipo de acelerador de partículas. O étodo ais direto de acelerar ua partícula carregada é deixando a partícula atravessar ua grande diferença de potencial. Mas, quando se quer partículas extreaente energéticas, precisar-se-ia de diferenças de potencial uito elevadas e isto resulta e liitações ou e áquinas de aceleração uito grandes. Fig (esquerda) Esquea de u ciclotron. (direita)vista lateral de u dos eletrodos ocos e fora de D. B U étodo de atingir altas energias se precisar de elevadas diferenças de potencial é de utilizar a esa diferença de potencial várias vezes. Para poder aproveitar ua diferença de potencial diversas vezes é necessário trazer a partícula de volta para o lugar de ais alta energia potencial. Isto pode ser feito co a trajetória circular nu capo agnético. Para evitar que no transporte para o ponto de partida a energia cinética seja convertida de volta e energia potencial, é tabé necessário variar o capo elétrico 297

7 que acelera teporalente. Estas ideias são realizadas nu acelerador chaado de ciclotron, que foi inventado e 1931 por Ernest Lawrence 1. A figura ostra o esquea deste tipo de acelerador. As partículas (na aioria das vezes prótons ou íons ais pesados) sae de ua fonte de partículas perto do centro do aparato. Esta fonte não fornece ua sequência contínua de partículas, as libera partículas e pequenas porções saindo dela regularente co certa periodicidade. Perpendicularente ao vetor velocidade destas partículas aplica-se u capo agnético constante que anté o pacote de partículas nua trajetória circular. Logo que as partículas saíra da fonte, elas entra nu eletrodo oco de fora de u D. O interior deste eletrodo é quase ua gaiola de Faraday. Então as partículas estão expostas a u capo elétrico nulo enquanto elas peranece neste D. Mas, copletando pouco enos de eio círculo, as partículas chega de novo na parte reta do D e sae. Oposto a este prieiro D se encontra u D invertido. No oento da passage do pacote de partículas entre os dois eletrodos e fora de D, aplica-se ua diferença de potencial entre estes eletrodos que acelera as partículas. No segundo D, ou elhor, no D invertido, a trajetória é de novo circular, poré co u raio já u pouco aior, pois a velocidade auentou na passage do D para o D invertido e de acordo co a (6.3.11) o raio de curvatura da trajetória vale v / ω. Enquanto o pacote de partículas percorre outro seicírculo, a diferença de potencial entre os eletrodos é trocada de tal fora que, ao sair do D invertido, as partículas encontra de novo u capo elétrico que as acelera. Seguindo desta aneira, o pacote de partículas percorre ua espiral auentando a velocidade e cada passage de u eletrodo para o outro. No fi as partículas entra nu canal onde elas são guiadas co a ajuda de u capo elétrico para sair da áquina. Nas prieiras décadas do desenvolviento da física nuclear, os ciclotrons fora ua ferraenta uito usada e pesquisa fundaental. Para poder investigar os núcleos dos átoos, precisava-se de partículas uito energéticas para poder excitar os elevados níveis de energia e, no caso de projéteis positivos, precisava-se de uita energia para poder vencer a repulsão elétrica dos núcleos positivos. Hoje se usa ciclotrons ainda para aplicações édicas e na fabricação de radioisótopos. Tipicaente se consegue 7 energias na orde de 1 e V co estas áquinas. Para as pesquisas fundaentais interessa hoje faixas de energia uito ais elevadas que requere áquinas ais sofisticadas. Há dois fenôenos que liita a energia áxia que se pode atingir co u ciclotron. Usaos a segunda lei de Newton para ontar a equação diferencial (6.3.2), que supostaente descreve a dinâica da partícula. Mas, quando a partícula atinge velocidades co ódulo próxio da velocidade da luz, a segunda lei de Newton perde sua validade. Na Física IV aprendereos u pouco da teoria da relatividade e vereos que a segunda lei de Newton precisa ser corrigida. A correção pode ser expressa co u fator de correção coo se a assa da partícula auentasse co a velocidade. Esta assa corrigida, tabé chaada de assa relativística, é = rel. 1 / Então na edida e que a partícula entra nas voltas ais externas da espiral no cíclotron, sua assa auenta e consequenteente a velocidade angular diinui. Desta fora a fonte da voltage que fornecia as diferenças de potencial entre os eletrodos D vai trocar de polaridade na hora errada. Esta dificuldade pode ser resolvida de 1 Ernest Orlando Lawrence (8/8/191 27/8/1958). 2 2 v (6.3.16) c 298

8 várias aneiras. Pode-se variar a frequência de oscilação da fonte de tensão para poder acopanhar a udança de velocidade angular, ou pode-se alterar o valor do capo agnético para anter a velocidade angular constante. Isto é feito e aceleradores chaados de síncrotron. A segunda liitação de energia atinge principalente as partículas leves coo os elétrons. Na descrição da dinâica pela equação (6.3.2), consideraos apenas o capo eletroagnético externaente aplicado na partícula e desprezaos a contribuição de capo oriunda da própria partícula. A força agnética q v B é perpendicular à velocidade e consequenteente esta força não realiza trabalho. Então a energia cinética não deve udar quando ua partícula circula nu capo agnético constante e nu capo elétrico nulo. Mas, coo encionaos, ua carga e oviento acelerado eite ondas que leva energia ebora. A potência perdida é descrita pela fórula (6.3.1). Se há perda de energia, então há trabalho envolvido, e isto ostra que o capo da própria partícula realente exerce força sobre a partícula. As perdas de energia causadas por este efeito de radiação precisa ser repostas pelo acelerador. Coo a aceleração que entra quadraticaente na fórula da potência perdida cresce co a velocidade, existe u liite superior da velocidade que pode ser alcançada. Neste liite o acelerador iria soente repor as perdas se poder auentar a velocidade da partícula. O ódulo da aceleração nu oviento circular unifore co velocidade v e raio de 2 curvatura R é v / R. Isto ostra que ua aneira de diinuir estas perdas por radiação é usar raios de curvatura grandes. Por esta razão o acelerador de partículas no CERN (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) te diensões enores. O grande anel do acelerador principal te u diâetro de 8,6 k. As perdas de energia por radiação nu síncrotron não são sepre u efeito indesejável. O síncrotron pode tabé ser usado coo fonte desta radiação para fins de pesquisa e diversas áreas. O Brasil possui u centro de pesquisa ultidisciplinar construído e volta de u enore síncrotron (Laboratório Nacional de Luz Síncrotron e Capinas - SP). Quando falaos de aplicações de u fenôeno físico, pensaos geralente e algua invenção huana que utiliza aquele fenôeno e prol de algu benefício. Mas às vezes a própria Natureza fornece u benefício para a huanidade baseada nu fenôeno físico. Isto reete às afirações feitas na seção 1.1 quando falei da copreensão das condições de vida. Si, as condições de vida, e não apenas da vida huana, depende crucialente destes ovientos helicoidais de partículas carregadas nu capo agnético. Do nosso Sol, cuja energia irradiada é a fonte de toda a vida na Terra, vê tabé partículas eletricaente carregadas e co elevada energia cinética. Este fluxo de partículas é chaado de vento solar. O capo agnético da Terra captura estas partículas antendo-as e trajetórias helicoidais e volta das linhas de capo do capo agnético. Se este escudo agnético o vento solar iria destruir as oléculas essenciais dos seres vivos e iria co o passar do tepo levar toda a atosfera terrestre ebora. Se atosfera as condições de teperatura da superfície da Terra se tornaria ipróprias para a vida. As partículas do vento solar presas nas linhas do capo agnético terrestre provoca u fenôeno visível perto dos polos agnéticos da Terra. No céu noturno nestas regiões aparece luzes chaadas auroras polares (aurora boreal no norte e aurora austral no sul). As linhas de capo agnético que na região equatorial fica aproxiadaente paralelas à superfície terrestre converge nos polos e se aproxia da superfície. As partículas do vento solar espiralando e volta das linhas do capo são 299

9 então guiadas para baixas altitudes. Baixa altitude significa algo coo 1 k de altura acia da superfície terrestre. Nesta altura já há ua pequena pressão de gás da atosfera terrestre e as partículas do vento solar ioniza e excita as oléculas do gás. Ao voltar para o estado fundaental, as oléculas eite luz que é a fonte do fenôeno observado. A figura ostra ua fotografia de aurora boreal. Fig Aurora boreal (Iage toada da Wikipedia; United States Air Force photo by Senior Airan Joshua Strang. _2.jpg) O capo agnético da Terra não é u capo unifore e as trajetórias das partículas do vento solar não são estas hélices siples que calculaos. O prieiro que calculou trajetórias e capos agnéticos parecidos co o capo da Terra foi C. Störer 2. Kr. Birkeland 3 e E. Brüche 4 fizera experiências para coparar os cálculos co dados experientais. As trajetórias e capos não unifores pode ser bastante coplicadas e no capo entre dois polos de barras agnéticas pode-se inclusive aprisionar partículas carregadas coo indicado qualitativaente na figura A trajetória ostrada nesta figura não foi calculada e não é para ser toada ao pé da letra. Mas esta trajetória ostra u fenôeno que realente ocorre; na região da confluência das linhas agnéticas, a trajetória helicoidal retorna. Isto possibilita aprisionar ua partícula nua garrafa agnética. Perto dos polos agnéticos da Terra acontece algo parecido co as partículas do vento solar. N S Fig Representação qualitativa da trajetória de ua partícula carregada nu capo não unifore entre os polos de dois íãs. Outra aplicação do oviento de partículas carregadas nu capo agnético não unifore são lentes para elétrons. Pode-se fabricar íãs e fora de funil duplo coo ostra a figura Os polos deste íã são dois anéis paralelos, u perto do outro. Pode-se ostrar que elétrons que incide sobre este funil duplo co trajetórias perto do eixo de sietria do funil sofre ua deflexão parecida co aquela de raios N luinosos perto do eixo óptico de ua lente biconvexa. A S única diferença e coparação co os raios luinosos é u giro da iage por volta do eixo de sietria. Os icroscópios eletrônicos usa este tipo de lentes agnéticas. Fig Lente agnética. 2 C.Störer: Vidensk. Skr. Nr e C.Störer: ZS. f. Astrophys. 1, Kr. Birkeland: Nornegian Aurora Polaris, Exp , Teil 1, 192, Teil E. Brüche: Störers Polarlichttheorie in Experienten. ZS. f. Astrophys. 2 p veja tabé H. A. Bauer: Grundlagen der Atophysik Springer-Verlag

10 Exercícios: E 6.3.1: Calcule a frequência angular do oviento de u elétron nu capo de 1T. 1 E 6.3.2: U elétron do vento solar se ove co ua velocidade de 4ks nua 6 2 região onde o capo agnético da Terra te u ódulo de 1 Vs. A velocidade do elétron faz u ângulo de 45 o co o capo de tal 1 fora que v B = + (,4 / 2 ) V. A trajetória deste parafuso esquerdo parafuso direito passo p elétron te a fora de ua hélice. (a) Deterine se esta hélice é u parafuso direito ou esquerdo. (b) Calcule o passo deste parafuso, ou seja, a distância entre as espiras (copare co a figura). (c) Calcule o raio desta hélice. Dados: assa do elétron = 9,11 1 kg, carga do elétron = 1,62 1 As. E 6.3.3: Seja V e W Es dois vetores deslocaento na frente de u espelho e V Es e W os respectivos vetores espelhados. Seja P e S dois pseudovetores na frente de u Es espelho e P Es e S os respectivos pseudovetores espelhados. Expresse os produtos Es Es Es Es escalares V W, P S Es Es e V S e teros dos respectivos produtos V W, P S e V S. E 6.3.4: Força e velocidade são vetores. Então podeos concluir da fórula da força agnética que o produto vetorial de u pseudovetor e u vetor resulta nu vetor. Use este fato, os resultados do exercício E assi coo as propriedades do produto a b c para ostrar que o produto vetorial de dois vetores é u pseudovetor e triplo ( ) que o produto vetorial de dois pseudovetores é tabé u pseudovetor. E 6.3.5: Escreva os pontos de destaque desta seção. 31