ANÁLISE NUMÉRICA DA VIBRAÇÃO INDUZIDA POR VÓRTICES A BAIXOS NÚMEROS DE REYNOLDS EM UM CILINDRO SOB BASE ELÁSTICA

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1 Aálse Numérca da Vbração Iduzda por Vórtces a Baxos Números de Reyolds em um Cldro Crcular sob Base Elástca Cogreso de Métodos Numércos e Igeería juo 2013, Blbao, España SEMNI, 2013 ANÁLISE NUMÉRICA DA VIBRAÇÃO INDUZIDA POR VÓRTICES A BAIXOS NÚMEROS DE REYNOLDS EM UM CILINDRO SOB BASE ELÁSTICA Paulo R.F. Texera 1 *, Rafael A. Goçalves 1 e Erc Dder 2 1: Programa de Pós-graduação em Egehara Oceâca Uversdade Federal do Ro Grade - FURG Av. Itála, Km 8, Campus Carreros, , Ro Grade, RS, Brasl e-mal: paulotexera@furg.br, rafa.a.g@furg.br, web: 2: Departameto de Hdráulca e Ambete (DHA) Laboratóro Nacoal de Egehara Cvl (LNEC) Av. do Brasl, 101, , Lsboa, Portugal Edereço postal e-mal: edder@lec.pt, web: Palavras-chave: Vbrações duzdas por vórtces, Método dos elemetos Ftos, Cldros osclates, Escoameto de fludos, Iteração fludo-estrutura Resumo. A vbração duzda por despredmetos de vórtces (VIV) é um feômeo ecotrado em dversos campos da egehara, como, por exemplo, a teração das corretes e odas com os ppeles e rsers. O objetvo deste estudo é de aalsar umercamete o comportameto de um cldro crcular apoado em base elástca sujeto a um escoameto uforme a baxo úmero de Reyolds, ode o escoameto tem um comportameto bdmesoal, lamar e peródco. O modelo umérco está baseado em um esquema partcoado de teração fludo-estrutura. O códgo de modelação umérca do escoameto emprega o método sem-mplícto de Taylor-Galerk de dos passos para dscretzar o tempo e o espaço as equações de Naver-Stokes usado uma formulação lagrageaa-euleraa arbtrára. A tegração temporal das equações dferecas do movmeto do cldro (sstema massa-mola-amortecedor) é realzada através do método de Newmark. Prmeramete, para o caso do cldro fxo, são calculados dversos parâmetros do escoameto para um úmero de Reyolds etre 90 e 140 e comparados com os expermetas e os de outros modelos umércos. Após, são realzadas smulações para esta faxa de úmeros de Reyolds cosderado o cldro sob apoo elástco a dreção trasversal ao escoameto e os resultados, em termos de deslocametos e de frequêcas de vbração, são comparados com os expermetas. Neste estudo, são detfcadas as frequêcas de lock- em que ocorre o feômeo de ressoâca.

2 Paulo R.F. Texera, Rafael A. Goçalves e Erc Dder 1. INTRODUÇÃO A vbração duzda por vórtces (VIV) é um feômeo ecotrado em város campos da egehara. Destacam-se os segutes exemplos: vetos causadores de osclações em potes, edfícos esbeltos, chamés e cabos de trasmssão de eerga; escoametos a altas velocdades que podem duzr movmeto orbtal em tubos teros de um trocador de calor; e as corretes e odas que podem causar vbrações em tubulações. A estera a jusate de um cldro crcular causada por um escoameto uforme coduz a uma varedade de feômeos complexos, causado stabldades que aumetam perto da estera. Este caso fo estudado por váras décadas e, hoje em da, o comportameto do escoameto é cohecdo [1]. Para úmero de Reyolds (Re) até 49, são observadas duas zoas de recrculação estacoáras lgadas à parede do cldro. De 49 a 190, a estera ada é lamar e é composta por duas lhas peródcas escaloadas de vórtces alterados (despredmeto de vórtces de vo Kármá). Para úmeros de Reyolds mas altos (de 190 a 260), a estera tora-se trdmesoal e progressvamete turbuleta. Este regme é segudo pela trasção da camada de csalhameto (até 1200), ode essas camadas separam-se e toram-se stáves e, por últmo, a trasção da camada lmte (Re de ordem 105), que está assocada a uma grade dmução do coefcete de arrasto (drag crss) [2]. Quado os despredmetos de vórtces de vo Kármá ão são claramete vsíves, a freqüêca relacoada a perocdade do escoameto pode ser defda, por exemplo, como uma das flutuações da compoete de velocdade cohecda [3]. Em mutas aplcações, o cldro oscla e terage com o despredmeto de vórtces. Para osclações forçadas em uma faxa de freqüêca e ampltude, o movmeto do cldro é capaz de cotrolar o mecasmo de stabldade gerado pelo despredmeto de vórtces. Uma das característcas mas teressates desta teração fludo-estrutura é a scrozação ou ressoâca (lock-) etre o despredmeto de vórtces e a frequêca de vbração. Feômeos semelhates são observados para VIV, ode o escoameto faz com que a osclação do cldro esteja próxmo a sua freqüêca atural, a qual depede da massa, da rgdez e do amortecmeto do cldro. Neste feômeo, que ocorre em uma faxa de velocdade de escoameto, a ampltude de vbração atge um valor máxmo. Este tpo de problema ada é objeto de mutos estudos, prcpalmete para a valdação de modelos umércos de teração fludo-estrutura. Váras aálses umércas podem ser ecotradas a lteratura para uma ampla faxa de úmeros de Reyolds, cludo aquelas baseadas as Equações de Naver-Stokes pela méda de Reyolds (Reyolds Averaged Naver-Stokes - RANS) [4,5], que usam a metodologa da smulação de grades escalas (Large Eddy Smulatos - LES) [6,7,8], que apresetam a smulação umérca dreta (Drect Numercal Smulatos - DNS) e os métodos que usam volumes ftos ou aproxmações de elemetos ftos para resolver as equações de Naver-Stokes [9,10,11]. Este trabalho apreseta a smulação umérca de um cldro rígdo, apoado em uma mola e um amortecedor a dreção trasversal ao escoameto, sujeto a escoametos com úmeros de Reyolds varado etre 90 e 140. A smulação é realzada utlzado o modelo umérco que usa um método sem-mplícto de dos passos de Taylor-Galerk para dscretzar as equações de Naver-Stokes e a formulação lagrageaa-euleraa arbtrára (ALE) para segur o

3 Paulo R.F. Texera, Rafael A. Goçalves e Erc Dder movmeto do cldro [12]. A descrção de movmeto do corpo rígdo é defda usado o método de Newmark. Nesta aálse é estudado o processo de geração de vórtces, além das forças de sustetação e de arrasto para o cldro fxo. Os deslocametos do cldro e as freqüêcas de vbração também são aalsados, destacado-se a scrozação (lock-) etre o despredmeto de vórtces e a vbração do cldro. 2. MODELO NUMÉRICO O modelo umérco é baseado em um esquema partcoado, o qual o escoameto do fludo e a estrutura são solucoados de forma acoplada. Bascamete, a teração fludoestrutura adotada o códgo cosste os segutes passos: (a) atualzar as varáves do escoameto do state t para t + t, (b) aplcar pressão e tesão vscosa como carga a estrutura; (c) atualzar as varáves da estrutura do state t para t + t; (d) mpor o movmeto do corpo para o escoameto em termos de atualzação do vetor de velocdade e da posção de cotoro. A atualzação das varáves do escoameto cosste das segutes etapas [12,13]: a) Calcular a velocdade ão corrgda em t + t/2, ode o termo de pressão está o state t, de acordo com a Eq. (1). ~ + 1 / 2 U U t f 2 x j j τ j p + x j x ρg ode ρ é a massa específca, p é a pressão, g são as compoetes da aceleração da gravdade, v são as compoetes de velocdade do fludo, w são as compoetes de velocdade de referêca do sstema e τ j é o tesor de tesões vscosas, U = ρ v, f = v j ( ρ v) = v ju (, j = 1,2). j w j U x (1) b) Atualzar a pressão p em t + t, dada pela equação de Posso: 1 ~ U p = t 2 c x + 1/ 2 t 4 x p x (2) ode p = p +1 p e = 1,2. c) Corrgr a velocdade em t + t/2, adcoado o termo da varação de pressão de t para t+ t/2, de acordo com a equação: U + 1 / 2 t p = ~ + 1/ 2 U (3) 4 x d) Calcular a velocdade em t + t usado as varáves atualzadas as etapas aterores, como segue:

4 Paulo R.F. Texera, Rafael A. Goçalves e Erc Dder U + 1 = U + f j t x 1/ 2 j + 1/ 2 + 1/ 2 + 1/ 2 τ j + 1/ 2 w j j x p + x U x ρg O método clássco dos resíduos poderados de Galerk é aplcado para a dscretzação espacal das Eq. (1), (2), (3) e (4), utlzado um elemeto tragular. Para as varáves os states t + t/2 é usada uma fução de forma costate, equato que para as varáves em t e t + t é usada uma fução de forma lear [14]. A equação de Posso, resultado da dscretzação espacal da Eq. (2), é resolvda usado o método dos gradetes cojugados com pré-codcoameto dagoal [15]. Na Eq. (4) dscretzada o espaço, a matrz de massa cosstete é substtuída pela matrz de massa dagoal (lumped matrx), sedo, etão, resolvda por um processo teratvo. O esquema é codcoalmete estável e a codção de establdade local para um elemeto E é dada por (4) t E β he u (5) ode h E é o tamaho característco do elemeto, β é o fator de seguraça e u é a velocdade do fludo. Para dmur as dstorções dos elemetos, é calculada a compoete vertcal da velocdade da malha (w 2 ) baseado as velocdades prescrtas das superfíces de cotoro móves e estacoáras. O algortmo de movmeto de malha adotado este artgo usa um procedmeto de suavzação para as velocdades baseado estas lhas de cotoro. A atualzação da velocdade da malha em um ó do domío é baseado a velocdade da malha dos ós j que pertecem as lhas de cotoro e é expressa da segute forma [13]: s j= 1 j 2 aj w j = 1 w2 = s (6) aj ode s é o úmero total de ós que pertecem as lhas de cotoro e a j são os coefcetes de fluêca etre o ó detro do domío e o ó j a lha de cotoro dada pela segute expressão: a 1 = d j 4 j com d j sedo a dstâca etre os ós e j. A modelagem dos movmetos de um corpo rígdo mplca o cálculo dos deslocametos e rotações de uma massa hpotétca cocetrada em seu cetro de gravdade. Neste estudo de caso, o movmeto ocorre só a dreção trasversal (um grau de lberdade - GDL) e, cosequetemete, as varáves a serem determadas em cada passo de tempo são o deslocameto, a velocdade e a aceleração esta dreção. Portato, para atualzar as (7)

5 Paulo R.F. Texera, Rafael A. Goçalves e Erc Dder varáves da estrutura, o movmeto rígdo do cldro é calculado a cada state, após as varáves do escoameto (pressão e tesão vscosa) serem cohecdas. Assm, é cosderada a equação dâmca de um GDL para a dreção trasversal, como se segue: m y + cy + ky = F (8) ode, y, y e y são a velocdade, a aceleração e o deslocameto trasversas, respectvamete; m é a massa; c é o coefcete de amortecmeto; k é a rgdez e F é a força dâmca. Neste códgo, a Eq. (8) é dscretzada o tempo, usado o método mplícto de Newmark [16]. O deslocameto, a velocdade e a aceleração a dreção trasversal são calculadas a cada state de tempo de acordo com o segute algortmo: a) Icalzação de 0 y, 0 y e 0 y; b) Cálculo das costates de tegração; 1 a = 0 α 2 t ; δ 1 1 δ t δ a1 = ; a2 = ; a 3 = 1; a 4 = 1; a 5 = 2 ; α t α t 2 α α 2 α a 6 = t( 1 δ ); a7 = δ t c) Formação do coefcete de rgdez efetvo: k e = k + a 0.m + a 1.c. E para cada passo de tempo, a sequêca é: a) Cálculo das cargas efetvas o state t+ t: t t t t t t t t t F = + F + m a y + a y + a y + c a y + a y t ( ) ( a y) + e ; t + t t + t b) Solução dos deslocametos em t+ t: y = Fe / ke ; c) Cálculo das acelerações e velocdades em t+ t: t+ t t+ t t t t y = a y y a y a ; ( ) y t + t t t t + t y = y + a y + a 6 7 y. 3. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS O estudo de caso cosste em um cldro (D = 1.6 x 10-3 m e m = kg) sujeto a um escoameto uforme da água (massa específca,, e vscosdade,, guas a kg/m 3 e 1 x 10-3 kg/(ms), respectvamete). O cldro é motado sobre uma mola e um amortecedor a dreção trasversal e fxado a dreção do escoameto. A rgdez da mola, k, é gual a 579 N/m, e o coefcete de amortecmeto, c, é gual a 3.25 x 10-2 kg/s, resultado em uma frequêca atural do sstema gual à f = Hz. Prmeramete, fo aalsada a fluêca do tamaho do domío computacoal para um úmero de Reyolds gual a 135, uma vez que os resultados tem forte depedêca com a dstâca do cldro em relação aos cotoros do domío, como já fo costatado por outros autores [17,18]. Após essa aálse de covergêca, adotou-se um domío retagular com 0.320m de largura e 0.384m de comprmeto, como mostrado a Fg. 1. O cetro do cldro está localzado o cetro do domío a dreção trasversal em relação

6 Paulo R.F. Texera, Rafael A. Goçalves e Erc Dder ao escoameto e a 0.160m (100D) a partr do seu lado esquerdo a dreção logtudal. Após, fo realzada uma aálse de depedêca de malha, chegado-se a coclusão de que o úmero de dvsões do cotoro do cldro que proporcoa a melhor relação etre o tempo computacoal e a precsão é de 200. Os tamahos dos elemetos aumetam gradualmete para os lmtes do domío. A malha ão estruturada tem ós e elemetos tragulares. Como codções de cotoro, é mposta velocdade costate o lado esquerdo; as paredes superor e feror, é mposta uma codção de ão deslzameto; o cotoro do lado dreto é mposta a pressão ula. O passo de tempo usado para as smulações é de 5.0.x.10-5 s. Fgura 1. Domío umérco. Prmeramete, é aalsado o comportameto do escoameto cosderado o cldro fxo. Especfcamete, são apresetadas este trabalho as característcas de escoameto em Re.=.105 (velocdade do escoameto U.= x 10-2 m/s). A Fgura 2 mostra os vetores de velocdade em quatro states, ao logo um período de formação de vórtce. A formação dos vórtces é claramete observada, mostrado duas regões dferetes à jusate do cldro, ode ocorre a separação do escoameto. Nota-se que, equato que o vórtce superor gra um setdo, o vórtce oposto gra em setdo oposto. A Fgura 3 mostra uma comparação etre os úmeros de Strouhal (St = f D/U) obtdos por resultados umércos (ode f é gual à frequêca de despredmeto de vórtces) e pelos resultados de Wllaso [19], baseados em dados expermetas para Re de 90 a 140. Os úmeros de Strouhal obtdos umercamete tem boa cocordâca com os expermetas, pos a dfereça méda é de apeas 0.03%.

7 Paulo R.F. Texera, Rafael A. Goçalves e Erc Dder t=2.9858s t=3.0902s t=3.0206s t=3.0554s Fgura 2. Vetores de velocdade em cco states ao logo de um período de formação de vórtces. A méda do coefcete de arrasto (C Dmédo ) e a méda quadrátca (Root Mea Square - RMS) do coefcete de sustetação (C Lrms ) para a mesma faxa de Re são mostrados as Fg. 4 e 5, respectvamete. Estes valores são comparados com aqueles obtdos por Poldzech e Grudma [20] e Baray e Lews [18], respectvamete. Poldzech e Grudma usam um método de elemeto espectral equato que Baray e Lews usam o método de dfereças ftas a formulação de dfereças cetras de quarta ordem para a aproxmação das dervadas espacas e um esquema upwd modfcado de tercera ordem para os termos advectvos. A méda das dfereças etre os resultados obtdos por este estudo e por esses autores são de 0.8% e 0.2% em relação ao C Dmédo e C Lrms, respectvamete. É mportate mecoar que a boa precsão dos valores obtdos para St e C Lmédo mostra a capacdade do modelo em reproduzr adequadamete as forças mpostas sobre a estrutura o processo de teração fludo-estrutura. Fgura 3. Relação etre o úmero de Strouhal (St) e úmero de Reyolds.

8 Paulo R.F. Texera, Rafael A. Goçalves e Erc Dder Fgura 4. Relação etre o coefcete de arrasto médo (C Dmédo ) e úmero de Reyolds. Fgura 5. Relação etre coefcete de sustetação RMS (C Lrms ) e úmero de Reyolds. Após a aálse cosderado o cldro fxo, é estudada a teração etre o cldro apoado sobre uma fxação elástca a dreção trasversal e os escoametos a város úmeros de Reyolds (de 90 a 140). As Fguras 6 e 7 mostram os campos de pressão e as lhas de correte ao redor do cldro móvel em quatro states de tempo detro de um período de osclação do cldro para Re = 105 e Re = 123. Observa-se que a ampltude de osclação para Re = 105 é bem maor que aquela para Re = 123. Por essa razão, as fguras mostram comportametos dferetes de formação de vórtces etre os dos casos: para Re.=.105 os vórtces se formam em uma regão mas próxma à lha de cetro logtudal do cldro, equato que para Re = 123, a formação de vórtces se dá de forma muto semelhate aquela que ocorre para o cldro fxo. Observa-se também que para Re = 105, o poto de estagação desloca-se a medda que o cldro oscla, dferetemete do que ocorre para Re = 123, ode o poto pratcamete ão sofre deslocameto.

9 Paulo R.F. Texera, Rafael A. Goçalves e Erc Dder t=81,1479s t=81,2523s t=81,1827s t=81,2175s Fgura 6. Dstrbuções de pressão e lhas de correte em cco states ao logo de um período de vbração da estrutura para Re = 105. As séres temporas dos deslocametos trasversas, admesoalzados cosderado o dâmetro do cldro como referêca (y/d) para Re guas a 95, 105, 111 e 140 estão mostradas a Fg. 8. As maores ampltudes ocorrem para Reyolds etre 102 e 113 e a característca dos gráfcos são muto semelhates aos da Fg. 8 para Re guas a 105 e 111. Para úmeros de Reyolds meores que 102 e maores que 113 os deslocametos são muto pequeos, pratcamete desprezves. t=158,0261s t=158,1348s t=158,0609s t=158,0957s Fgura 7. Dstrbuções de pressão e lhas de correte em quatro states ao logo de um período de vbração da estrutura para Re = 123. As dstrbuções espectras da relação etre a ampltude (Y) da osclação do cldro e o seu dâmetro (D) para Re guas a 95, 105, 111 e 140 são mostradas a Fg. 9. Para úmeros de Reyolds abaxo de 102, otam-se duas frequêcas: uma relacoada à de formação de vórtces (com ampltudes maores) e outra mas baxa; como exemplfcado a Fg. 9 para Re = 95. Para a faxa de úmeros de Reyolds em que as ampltudes são maores (de 102 a 113), observa-se apeas uma frequêca de vbração, como mostram os gráfcos da Fg. 9 referetes à Re guas a 105 e 113. Para úmero de Reyolds maores que 113, aparecem a frequêca relacoada à formação de vórtces e outra maor, mas com ampltudes bem meores, como pode-se otar a Fg. 9 para Re = 140. A Fgura 10 mostra a relação Y/D em fução do úmero de Reyolds (90 a 140). A Fgura 11 mostra a relação etre a frequêca de vbração e a frequêca atural (f/f) em fução do úmero de Reyolds. Os resultados umércos mostram que o feômeo de scrozação (lock-) fo captado para úmeros de Reyolds etre 102 e 113. Isto é observado devdo ao aumeto da ampltude e a gualdade etre as frequêcas de vbração

10 Paulo R.F. Texera, Rafael A. Goçalves e Erc Dder e a frequêca atural do sstema. Fora da regão de scrozação, as ampltudes são muto pequeas e as frequêcas de vbração se afastam mas da freqüêca atural. Além dsso, ota-se que a frequêca de vbração passa a acompahar a frequêca de despredmeto dos vórtces, como se pode perceber pela lha tracejada da Fg. 11 que represeta a frequêca de despredmeto dos vórtces para o cldro fxo determada através dos expermetos de Wllaso [19]. Os resultados expermetas de Agostopoulos e Bearma [9] dcam que a faxa de Re em que acotece a scrozação está etre 104 e 126, como pode-se observar o trecho em que f/f é aproxmadamete gual a udade. Além dsso, ota-se que as ampltudes obtdas umercamete esta faxa de Re são meores que as ampltudes apresetadas por Agostopoulos e Bearma. As dfereças ecotradas etre as ampltudes expermetas [9] e as umércas o tervalo de úmero de Reyolds da regão de scrozação, também foram observados por Dettmer e Perc [21]. Estes autores usaram um modelo que emprega a técca dos elemetos ftos com acoplameto pressão-velocdade establzado e de baxa ordem, uma formulação lagrageaa-euleraa e o método de dscretzação mplícto α geeralzado para o movmeto de corpo rígdo. De acordo com os autores, essas dfereças podem ser explcadas comparado o domío e as codções de cotoro cosderados a smulação umérca, com a stuação real da experêca, desevolvda por Aagostopoulos e Berma [9]. Equato a modelagem computacoal cosdera-se um domío bdmesoal, o expermeto é realzado em um caal de 0.70m de profuddade e o cldro crcular é composto de uma barra submersa até 0.12m de profuddade. A falta de uma placa horzotal a extremdade do cldro submerso e a fluêca da superfíce lvre cotrbu para o desevolvmeto de um escoameto trdmesoal, ao cotráro do que é suposto umercamete. y/d Re = 95 y/d Re = 105 y/d Re = 111 y/d Re = 140 Fgura 8. Séres temporas dos deslocametos do cldro para Re guas a 95, 105, 111 e 140, admesoalzado pelo dâmetro do cldro (y/d).

11 Paulo R.F. Texera, Rafael A. Goçalves e Erc Dder Fgura 9. Dstrbução espectral da ampltude de vbração (Y/D) para Re guas a 95, 105, 111 e 140. Fgura 10. Relação etre ampltude (Y/D) e úmero de Reyolds. Fgura 11. Relação etre frequêca de vbração (f/f ) o úmero de Reyolds.

12 Paulo R.F. Texera, Rafael A. Goçalves e Erc Dder 4. CONCLUSÕES Neste trabalho, foram apresetadas aálses umércas de feômeos que ocorrem a teração etre escoametos a baxos úmeros de Reyolds e cldros apoados sob base elástca. O modelo umérco usa o método mplícto de Taylor-Galerk de dos passos adotado um elemeto tragular e uma formulação ALE. Para o cldro fxo, fo aalsado o comportameto de formação de vórtce, observado-se que, equato um vórtce gra um setdo, o outro vórtce gra setdo oposto. Os úmeros de Strouhal, os coefcetes de arrasto médo e de sustetação RMS para úmeros de Reyolds varado de 90 a 140 foram comparados com os obtdos por outros autores, ecotrado-se valores muto semelhates. Para o cldro sob apoo elástco a dreção trasversal ao escoameto, o feômeo de scrozação fo observado para Reyolds de 102 a 113, caracterzado pelo aumeto sgfcatvo da ampltude de vbração, justfcado pela aproxmação da frequêca de vbração com a frequêca atural do sstema. Fora desta faxa, as ampltudes de vbração são pequeas e a frequêcas se aproxmam das frequêcas dos vórtces. As ampltudes e as freqüêcas de vbração foram comparadas com os resultados expermetas e algumas dfereças podem ser justfcadas pela preseça de efetos trdmesoas exstetes os expermetos e que ão são cosderados a smulação umérca. Este estudo de caso mostrou a capacdade do modelo umérco em tratar problemas de teração fludo-estrutura, especalmete quado evolve o feômeo de vbração duzda por vórtces. AGRADECIMENTOS Ao suporte do Coselho Nacoal de Desevolvmeto Cetífco e Tecológco - CNPq através do projeto / REFERÊNCIAS [1] J. Fredsφe e B.M. Sumer, Hydrodyamcs Aroud Cyldrcal Structures, Sgapore: World Scetfc Publshg Co. Pte. Ltd., Vol. 12, 1997, 530p., ISBN [2] M. Zdravkovch, Flow aroud crcular cylders, New York: Oxford uversty press, Vol. 1, 1997, 672p, ISBN [3] A. Placzek, J-F. β. Sgrst e A. Hamdou, Numercal smulato of a oscllatg cylder a cross-flow at low Reyolds umber: Forced ad free oscllatos, Computer & Fluds Vol. 38, pp , (2008). [4] M. Saghafa, P.K. Stasby, M.S. Sad e D.D. Apsley, Smulato of turbulet flows aroud a crcular cylder usg olear eddy-vscosty modelg: steady ad oscllatory ambet flows, Joural of Fluds ad Structures Vol. 15 (1), pp , (2003). [5] E. Gulmeau e P. Queutey, Numercal smulato of vortex-duced vbrato of a crcular cylder wth low mass dampg a turbulet flow, Joural of Fluds ad Structures Vol. 19, pp , (2004). [6] M. Breuer, A challegg test case for large eddy smulato: hgh Reyolds umber

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