CONTRIBUIÇÕES AO ESTUDO DE MICROESTRUTURAS REFORÇADAS

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1 28 CONTRIBUIÇÕE AO ETUO E MICROETRUTURA REFORÇAA Cotrbutos to the tud of Reforced Mcrostructures Paula aa Queroz Adrade, José Julo de Cerquera Ptuba 2 Recebdo em 9 de mao de 207; aceto em 20 de setembro de 207; dspoível o-le em 06 de março de 208. PALARA CHAE: Compósto de Matrz Metálca; Plastcdade; Elemeto de olume Represetatvo; Mcroestrutura; Método dos Elemetos Ftos. EYWOR: Metal Matrx Composte; Plastct; Represetatve olume Elemet; Mcrostructure; Fte Elemet Method. REUMO: Este artgo trata da aálse da mcroestrutura de materas compóstos com matrz metálca (CMM), os quas têm grade aplcabldade a Egehara Estrutural. Para sso, são cosderados os processos dsspatvos de plastfcação, que ocorrem a matrz, e de descolameto, que ocorrem a regão de terface matrz/clusão, ode a fluêca de tas processos a resposta macroscópca do materal será vestgada. Para as smulações umércas do comportameto estrutural de CMM, o modelo de vo Mses é utlzado a modelagem da matrz e um modelo de fratura coesva é utlzado a smulação do processo de descolameto a terface. A clusão é cosderada elástca com grade rgdez. Cotudo, os processos dsspatvos que ocorrem a mcroestrutura e que repercutem o comportameto macromecâco do materal são aalsados através de uma modelagem a mcroescala utlzado um processo de homogeezação baseado o coceto de Elemeto de olume Represetatvo (ER) e o Método dos Elemetos Ftos (MEF). A tesão e deformação são médas volumétrcas dos respectvos campos mcroscópcos sobre o ER. O objetvo geral é verfcar as potecaldades e lmtações do emprego da modelagem proposta para futuros aperfeçoametos de compóstos de matrz metálca para aplcação a egehara. ABTRACT: Ths paper deals wth the aalss of the mcrostructure of metal matrx compostes (MMC) ad ts applcato tructural Egeerg. For ths reaso, t s cosdered the dsspatve processes related to plastct, whch occurs the matrx, ad the phase debodg that occurs the matrx/cluso terface rego, where the fluece of such processes o the macroscopc respose of the materal wll be vestgated. For the umercal smulatos of the MMC structural behavor, the vo Mses model wll be used the modelg of the matrx ad a cohesve fracture model wll be used the smulato of the phase debodg process. Icluso wll be cosdered elastc wth hgh rgdt. However, the dsspatve processes that occur the mcrostructure ad that affect the macromechacal behavor of the materal wll be aalzed through a mcroscale modelg usg a homogezato process based o the cocept of Represetatve olume Elemet (RE) ad the Fte Elemet Method (FEM). The stra ad stress are volumetrc average of the respectve mcroscopc felds o the ER. The major goal s to verf the potetaltes ad lmtatos of the use of the proposed modelg for future mprovemets of metal matrx compostes to appl egeerg. * Cotato com os autores: e-mal: paulavqadrade@gmal.com (P.. Q. Adrade) Egehera Cvl, mestrada, Faculdade de Egehara Cvl, GECON, Uversdade Federal de Goás, Goâa, Goás, Brasl. 2 e-mal: julo_ptuba@ufg.br (J. J. C. Ptuba) Egehero Cvl, Prof Assocado, Laboratóro de Modelagem Computacoal, Faculdade de Egehara, Uversdade Federal de Goás, Regoal Catalão, Goás, Brasl. IN: OI: 0.526/reec REEC - Todos os dretos reservados.

2 29. INTROUÇÃO esde o começo da humadade, os materas marcavam o progresso das cvlzações. Assm, com o passar dos aos, os materas exstetes já ão eram mas sufcetes para a utlzação, sedo etão crados os materas compóstos, orgados das prmeras socedades agrícolas. Os prmeros compóstos foram paredes reforçadas com fexes de palha, arcos e carroças fetos com paus e ossos, etre outros. Etão estes foram sedo substtuídos por materas mas resstetes. etro desse cotexto, o materal a ser estudado este trabalho é o compósto de matrz metálca reforçado, compósto esse, largamete utlzado as dústras aeroáutca, aeroespacal e automoblístca, tedo como exemplos mas específcos: avões mltares, capacetes mltares com pesos meores, veículos espacas, etre outros. Atualmete, os mercados de materas compóstos estão cada vez mas dfuddos. Estudos recetes mostram que o maor mercado cotua a ser o dos trasportes (3%), mas a costrução cvl (9,7%), marha (2,4%), equpameto elétrco/eletrôco (9,9%), produtos de cosumo (5,8%), aparelhos e equpametos comercas são também mercados em grade expasão. O mercado aeroespacal e de aeroaves represeta apeas 0,8 % o que é surpreedete tedo em cota a sua mportâca a orgem dos compóstos. (ENTURA, 2009, p.2). Portato, o artgo estuda o comportameto mecâco de compóstos de matrz metálca reforçados por clusões com alta rgdez quado submetdos às ações de carregameto de atureza mecâca, verfcado as potecaldades e lmtações do emprego de uma modelagem do comportameto mecâco da sua mcroestrutura. e modo mas específco, pretede-se estudar a fluêca da cosderação do descolameto da terface matrz/clusão a resposta macroscópca do compósto. Para tato, um modelo costtutvo baseado a Mecâca da Fratura e Cotato será utlzado a smulação do descolameto de fase e, por outro lado, o modelo de Plastcdade de vo Mses será empregado para a represetação do comportameto mecâco da matrz metálca. 2. EENOLIMENTO TEÓRICO A formulação da modelagem Multescala segue a proposta de Germa et al. (983 apud GIUTI, 2009) e sua estrutura varacoal está descrta detalhadamete por ouza Neto e Fejóo (2006), Ferades et al. (205a) e Ferades et al. (205b). Utlza-se um Elemeto de olume Represetatvo (ER) para descrever a mcroestrutura de um materal, estado assocado a um poto o problema macroscópco, ou seja, é um poto a macroestrutura que represeta a mcroestrutura do materal, sedo uma forma prátca de ldar com as propredades do materal ao ível mcroscópco, o qual tem fluêca o seu comportameto global. A formulação para um problema a mcroescala é baseada em um prcípo varacoal, o Prcípo dos Trabalhos rtuas (PT). Já fo vsto aterormete que o ER represeta a mcroestrutura e a formulação do MEF é a ferrameta utlzada para resolver o problema de equlíbro. As varáves do ER, como as dmesões e costates elástcas se dferem do materal o macrocotíuo e tas característcas são defdas para um ER padrão, o qual será utlzado para todos os potos da estrutura, logo, a solução de um ER, seu cálculo dos deslocametos, das forças teras, das tesões verdaderas e da matrz costtutva elastoplástca dos seus elemetos ftos, é obtdo quado se alcaça a covergêca, de acordo com a tolerâca adotada do seu problema de equlíbro proposto. É precso defr as codções de cotoro a serem mpostas o ER para que se tore possível resolver esse problema, evdecado que a resposta obtda pode varar em fução da codção de cotoro adotada.

3 30 Assumdo que o ER está sujeto a um campo de forças de volume b = b(,t) e a um campo de forças exteras de superfíce t e = t e (,t) atuado o cotoro Ω μ, em aaloga com o PT da mecâca dos sóldos, é dto que o ER está em equlíbro se, e somete se, a equação varacoal (Equação ) é satsfeta a cada state: e : d b d t da 0 Eq.[] Em que: ν μ: é o campo de deslocametos vrtuas cematcamete admssíves; Ω μ: é o cotoro extero do ER; Ω μ: é o domío do ER. Admte-se que exstem vazos o ER, logo: Ω μ = Ω ν μ Ս Ω μ, ode, Ω ν μ é o domío dos vazos e Ω μ é o domío dos sóldos, logo a Equação se torará a Equação 2: : d b d : d b d 0 e t da Eq.[2] O Prcípo de macro homogeedade de Hll-Madel (GIUTI, 2009) estabelece que a potêca das tesões macroscópcas em qualquer poto do macrocotíuo deve ser gual à méda volumétrca da potêca das tesões mcroscópcas sobre o ER assocado a esse poto para qualquer movmeto cematcamete admssível do ER, ou seja (Equação 3): d : : Eq.[03] O Prcípo de macro homogeedade de Hll-Madel é váldo se, e somete se, os trabalhos vrtuas exercdos pelas forças exteras de superfíce, t e, e os trabalhos vrtuas exercdos pelas forças de volume b, são guas a zero, coforme demostrado por Gust (2009). t e da 0 Eq.[04] b d 0 Eq.[05] A partr das equações 4 e 5, a equação de equlíbro resulta em: : d t da 0 Eq.[06] A tesão mcroscópca σ μ = σ μ(,t) em um poto qualquer do ER é relacoada com a deformação mcroscópca ε μ = ε μ (,t), através da fução costtutva f (ε μ(,t)) a qual evolve varáves teras de acordo com o modelo costtutvo. O σ μ pode ser defdo, como sedo: (, t) f ( u (, t)) Eq.[07] Fazedo a substtução da Equação 7 a Equação 6 chega-se a Equação 8: f ( u (, t)) : d t (, t) da 0 Eq.[08] Ao fazer a dscretzação do domío do ER em elemetos ftos, o pseudo-tempo, para um determado cremeto e dscretzação h, é precso ecotrar o vetor de flutuações que h u ~ satsfaça a Equação 9: T ~ B f ( Bu ) d 0 Eq.[09] h Em que, B é a matrz que relacoa deslocametos com deformações (para um elemeto ε e=b e.u e e f é o fucoal que calcula as tesões mcroscópcas. Para um campo h qualquer a Equação 9 sempre será satsfeta se: T ( ~ G B f Bu ) d 0 Eq. [0] h Aplcado o método de Newto- Raphso, que cosste em buscar a correção da flutuação ~ k u Equação 0, tal que: F k para teração k, resolve-se a k ~ k u 0 Eq. [] edo, F o vetor de forças e a matrz de rgdez tagete o ER.

4 3 eotado B e como elemeto matrz de deformação-deslocameto e N e como úmero de elemetos ftos, F e são defdos como: k F k h B T h B k T k f ( Bu~ ) d Bd N e e Tem-se ada que B T e k e B d e e Eq. [2] Eq.[3] k, o campo da matrz tagete costtutva cosstete ao logo do domío do ER é dado por: k df d ~ Bu Após computar as correções Eq.[4] k u ~ Equação, o campo de flutuação de deslocametos, cosderado a teração k relatva ao mcrocotíuo é dado por: u ~ k k k u ~ u ~ da Eq.[5] Na tesão homogeezada se admte que o domío do ER tem uma parte sólda e uma parte de vazos (matrz e agregados), resultado a segute equação: x, t, td,, td t v d Eq.[6] e acordo com Ferades et al. (205a), utlzado o Teorema de Gree, a dscretzação dos elemetos o domío do ER em elemetos ftos, a Equação 6 pode ser escrta sedo: x, t, td Eq.[7] Utlza-se a expressão u s v u v v u o cálculo das 2 tegras, válda para quasquer vetores u e v. A Equação 7 é calculada de forma aproxmada, com a dscretzação do ER em elemetos ftos, aode te represeta as forças teras dos ós sobre o cotoro e represeta o vetor das coordeadas x e x 2 do poto do ER. edo assm, para um determado elemeto e, o vetor das forças teras é dado por meo da Equação 8: T F Be ee t Eq.[8] e Em que, são as tesões e e é o volume do elemeto. Para se obter o vetor de forças teras total do ER, somam-se as cotrbuções de todos os elemetos. feretes codções de frotera podem ser aplcadas ao ER para defr as dversas classes de modelos multescala, essas dferetes codções, levam a dferetes íves de lberdade, com sso, os resultados obtdos possuem dfereças sgfcatvas, sedo precso escolher os resultados de acordo com o tpo de problema, do materal, da atureza e da dstrbução dos costtutes o ER. (LOPE, 203) Exstem três classes de modelos multescala para as codções de cotoro do ER mas usuas, que se dferecam pela mposção de um espaço de varações admssíves, que são o modelo de Talor, o modelo de deslocameto lear o cotoro do ER e o modelo de flutuações de deslocametos peródcas o cotoro do ER. O modelo de Talor é o mas restrtvo e com a aplcação mas smples, apresetado a solução mas rígda do problema mcroscópco. Já o modelo de flutuações peródcas é o mas utlzado pela comudade cetífca, pos apreseta uma melhor covergêca das propredades médas utlzado ER de meores dmesões, além de apresetar uma solução meos rígda detro os três modelos ctados o parágrafo ateror. No presete trabalho são comparadas as respostas obtdas com o emprego do modelo de deslocameto lear o cotoro do

5 32 ER e o modelo de flutuações peródcas de deslocametos o cotoro do ER. Cotudo, por apresetar respostas mas flexíves evdecado os processos dsspatvos ocorrdos a mcroestrutura, o modelo de flutuações peródcas será mas utlzado. Por fm, maores detalhes sobre as classes de modelos mult-escala ecotram-se em Gust (2009) e Ferades et al. (205a). O modelo de flutuações de deslocametos peródcas o cotoro do ER é aproprado para represetar o comportameto de materas com mcroestrutura peródca. Pode-se mostrar que qualquer comportameto do materal apreseta uma resposta peródca se malhas refadas são cosderadas, o setdo de que mas potos de tegração sgfcam mas ERs. Cada lado cotoro é oposto sedo, o qual a dreção ormal ao, correspode a um lado gual e, com dreção ormal ao cotoro, =. essa mesma forma, para cada poto + pertecete ao cotoro exste um poto correspodete - pertecete ao cotoro. Nesse modelo tem que a flutuação do deslocameto deve ser peródca o cotoro do ER, sedo assm, cada par de potos + e - são guas, ou seja: ~ ~ u (, t) u (, t ) par de potos, Eq.[9] As forças do corpo b(,t) devem ser ulas sobre o domío do ER. Neste caso, para obter o vetor de forças teras odas, o vetor dos deslocametos o ER e a matrz costtutva tagete em cada elemeto, é precso resolver prmero o problema de equlíbro o ER. A equação será decomposta em parcelas, ode o sub-ídce é relatvo aos ós teros, p e m referem-se aos pares de potos + e - defdos o cotoro, ão cocddo com o cato, chegado em: Fp Fm F k pp mp p pm mm m p m k u ~ p ~ u m ~ u k 0 Eq.[20] edo, F p, F m e F forças teras, calculadas através da Equação 8 os potos p, m e, respectvamete. esta forma, para evtar deslocametos de corpo rígdo, os catos são prescrtas flutuações ulas, ão sedo defdos a Equação 20 termos relatvos aos catos. Cosderado que u ~ m u~ p, a Equação 20 se resulta em: Fp Fm F k pp mp p pm mm m p m k u ~ p ~ u p ~ u k 0 Eq.[2] Após as mapulações algébrcas a equação acma pode ser escrta como: Fp F F k k pp pm mp mm p m m p m u ~ p ~ u k 0 Eq.[22] As flutuações os potos p e os ós teros são as cógtas do problema. O vetor F p F F m k pode ser obtdo a partr do vetor de forças teras chegado à segute equação: F p Fm F k k pp mp pm mm p m pc mc p m u p um u u c c Eq.[23] e acordo com Ferades et al. (205a), a tesão homogeezada relatva ao macrocotíuo em um cremeto + é dada pela Equação 24: : Eq.[24] edo, o operador costtutvo tagete homogeezado.

6 33 A tesão homogeezada o cremeto + é: f ( ( ) ) d f ~ d Eq.[25] ( u ( ) ) esse modo, o operador tagete homogeezado equvale à Equação 26: f ( u ( ) ) ( ) ~ d Eq.[26] Como o modelo de Talor o campo de flutuações é ulo o ER, u~ ( ) = 0, fazedo com que a Equação 26 se tore: f ( ) Talos d d ( ) d Eq.[27] edo, m operador tagete cosstete com a le costtutva cremetal mcroscópca e Talor a méda volumétrca do tesor costtutvo cremetal. Cosderado-se a Equação 23 para um caso geral, é possível represetar o operador tagete sedo: Talos ~ Eq. [28] ~ Ode o é: ~ f ( u~ ) d ~ Eq. [29] Para o cálculo de, cosderado que o ER sejam defdas N f fases, podedo cada fase ter propredades elástcas dferetes, a equação 27 será calculada da segute forma: ( ) Eq. [30] Talos N f Total ~ A fm de calcular o, cosdere a segute forma smplfcada: u ~ R R F R Eq. [3] Tedo etão: ER ER ( F R) ( F ) Eq. [32] ( u~ ) ( u~ ) Eq. [33] R ER ER k R ( ) Eq. [34] Cosderado as equações acma e que ( ), a Equação 29 pode ser escrta como: ~ T GR R GR Eq. [35] Ode a matrz G R é obtda a partr da matrz G total, calculada da segute maera: G Ne e e B e e Eq. [36] Ode, N e é o úmero de elemetos utlzados a dscretzação e B e é a matrz que relacoa deslocameto com deformação do elemeto. Essa mesma defção é utlzada para o Modelo de Flutuações Peródcas. ~ Para o cálculo de, o operador tagete é dado pela Equação 28, sedo a parcela de Talor dada pela Equação 30 e cosderado-se ~ a Equação 33, resulta em: ~ G G T Eq. [37] edo G a parcela da matrz G referete aos potos teros. Assm como o Modelo de eslocameto Lear o Cotoro do ER, para ~ calcular o, é cosderado a segute forma smplfcada para a Equação 22, tedo etão: ER F ER p Fm ( FR ) Eq. [38] F ~ ER ~ u ER p ( ur ) ~ Eq. [39] u k pp pm mp mm p m R Eq. [40] p m

7 34 ~ Para o cálculo de, o operador tagete é dado pela Equação 28, sedo a parcela de Talor dada pela Equação 30 e a Equação 37, R é dado pela Equação 40 e G R é defda como: ~ G R p m G G G Eq. [4] Logo a Equação 35 tora-se: G G G G G G T p m R p m Eq. [42] Para a formulação do Modelo de Fratura Coesva e de Cotado, em 999, Ortz e Padolf propuseram um modelo costtutvo para fratura coesva, o qual descreve a le coesva de deformação fta rreversível. Neste modelo aalsa-se a propagação da fssura trdmesoalmete. e acordo com o modelo de Ortz e Padolf (999), a eerga coesva lberada durate o processo de propagação da fratura é dada pela Equação 43:,q Eq. [43], s Em que, é a abertura devdo ao modo I, s é a abertura devdo ao modo II e q é a varável tera que descreve os processos elástcos durate a ucleação e propagação da fratura o materal. egudo os Prcípos da Termodâmca dos Processos Irreversíves (GERMAIN et al., 983), do potecal de eerga lvre é obtda a le coesva ou relação costtutva do materal fraturado (vde Equação 50). Podemos escrever que: s δ s Eq. [44] ado assm um caráter sotrópco para o seu comportameto aquela superfíce, e para a formulação da le coesva dos modos mstos, troduz-se um deslocameto de abertura efetva: Eq. [45] edo δ é o deslocameto de abertura efetva, β assume valores dferetes para as aberturas de escorregameto e ormal, varado de 0 a, sedo um parâmetro que quatfca a razão etre os processos de abertura da fratura devdo ao escorregameto e à separação ormal. Como um modelo smples de coesão é obtdo assumdo que a eerga potecal lvre depede apeas do deslocameto de abertura efetva, sto é:,q Eq. [46] A partr dsso, segue a le coesva, dada pela Equação 47: t 2 t δ Eq. [47] Em que, é o vetor ormal a fssura, s é o vetor de abertura do escorregameto localzado a superfíce da fssura, é o vetor de abertura da ormal localzado a superfíce da fssura e t é a tesão coesva escalar, o valor de t é dado pela Equação 48: t t s t Eq. [48] Essa relação mostra que β defe que a razão etre os processos relatvos ao csalhameto e as tesões ormas crítcas, sedo etão um fator de peso para se levar em cota o feômeo de escorregameto etre as bordas da fssura. Percebe-se que, próxmo ao fechameto, à superfíce coesva é sujeta à codção de restrção de cotato, cludo o atrto, cosderado ambos como feômeos depedetes a serem modelados fora da le coesva (ORTIZ; PANOLFI, 999). Ptuba et al. (206) propõem, para smular o comportameto mecâco de materas, com o tuto de mmzar problemas de stabldade da resposta umérca desse tpo de formulação, a eerga coesva lberada a mcroestrutura do materal (Equação 43) é dada pela expressão: c e e cc. Eq. [49] Ode a le de tesão efetva coesva para o caso de carregameto é obtda da 47, como sedo:

8 35 t ce / c, se = máx e >0 Eq. [50] Em complemetação a relação proposta para a tesão efetva escalar o caso de descarregameto é proposta admtdo-se um caso elástco, ou seja, sem deslocameto de abertura efetva resdual, sedo descrta a segur: t t máx máx, se <máx e 0 Eq. [5] edo e é a base eperaa (e = 2,7828), c é um parâmetro do modelo que reflete a máxma tesão de tração ormal coesva, é a velocdade de abertura, máx é a máxma abertura efetva até o state da aálse, t máx é a máxma tesão efetva até o state da aálse e c é a abertura crítca. Equato a tesão efetva for meor que a tesão de tração ormal coesva, c, ão exste fratura a regão verfcada, mas quado essa tesão efetva assumr valores maores que a tesão de tração ormal coesva, a fratura é crada, cosderada como um processo de separação gradual com a faldade de evtar uma forte e brusca descotudade o materal. egudo Ortz e Padolf (999), há uma relação etre a taxa lberada de eerga crítca (G c) para a propagação de fratura, em osso caso, a mcroestrutura do materal, e a le coesva. Adotado-se a dreção como sedo aquele o plao da fratura e a dreção de propagação da mesma, pode-se admtr que G c é dado por: G c R t. dx Eq. [52] 0. Ode R é o comprmeto da zoa coesva. Para o caso da Equação 50, temos que a taxa lberada de eerga crítca é expressa como: G C C C e Eq. [53] Obvamete que a eerga de fratura das modelages covecoas, aquelas realzadas com modelos costtutvos feomeológcos, trata da fratura o macrocotíuo como um meo homogeezado. No presete trabalho, o coceto de eerga de fratura está tmamete lgado ao que ocorre a zoa de trasção a mesoescala do materal, que ao se propagar e ur com outras mcrofssuras podem vr a gerar um processo de localzação, o que leva à formação de uma fratura o macrocotíuo. Esse processo leva a uma relação etre as eergas de fratura o macrocotíuo (materal homogeezado) e a masoescala do materal, como abordado em OLIER et al. (204). Ates do aparecmeto das fraturas, uma rgdez etre as bordas da possível fratura presete etre os elemetos ftos tragulares é chamada de fator de pealdade (λ p). Este fator de pealdade é um parâmetro de valor escalar. Na prátca, valores altos para o fator de pealdade são adotados a fm de obter uma aproxmação precsa. Tal procedmeto garate que a possível fratura permaeça fechada até se atgr o crtéro de separação e, ao mesmo tempo, garate a admssbldade físca de todo o processo. O fator de pealdade é, portato, uma rgdez mposta ao fechameto da fssura. Por outro lado, segudo Crak et al., 2005, é crada uma rgdez os ós pares com o processo de cotato de elemetos ftos coesvos, para ão permtr a peetração das superfíces de fssura, porém, os regmes predomates de tração, este fator de pealdade substtu efetvamete a porção rígda cal da le coesva por uma resposta lear rígda, coforme se vê a equação 54. Para detectar o feômeo de cotato coesvo, é adotado o coceto das dfereças etre os potos de Gauss do elemeto fto de cotato e fratura coesva. t, se Eq. [54] p p Adota-se a fratura como aparecedo e propagado apeas a frotera do elemeto fto de cotato e fratura coesva. Neste artgo será utlzada a técca em que o elemeto fto de cotato e fratura coesva é serdo etre os elemetos ftos tragulares, c

9 36 o qual forece respostas precsas, evtado assm a ecessdade de uma adaptação da malha a serção do elemeto coesvo. Ptuba e ouza Neto (205) apresetaram uma formulação a qual o elemeto fto de cotato e fratura é defdo como um elemeto de quatro ós, e a sua geometra é compatível com a de dos elemetos tragulares usados para modelar as fases da matrz e a clusão, e o presete trabalho será adotado a mesma formulação, que pode ser vsta mas detalhadamete em PITUBA et al. (206). 3. REULTAO E ICUÕE A partr do trabalho de Azz (202), foram defdos os valores cas dos parâmetros referetes às propredades dos materas, adotado-se para a matrz um coefcete de Posso m= 0,3 e um módulo de elastcdade, atrbuído de acordo com o tpo de materal e esse caso fo defdo sedo gual a E m = MPa. Para as clusões, fo utlzado um coefcete de Posso = 0,7 e a relação para o módulo de elastcdade fo de E = 5,7x E m, resultado em E = MPa. A tesão de plastfcação adotada fo de 200 MPa e o módulo de ecruameto adotado fo de 500 MPa. O modelo utlzado fo o de vo Mses com ecruameto sotrópco, e fo cosderado estado plao de tesão (EPT). Baseado o trabalho de Crak et al. (2005), Ferades et al. (205a) e atos et al. (206), foram cosderados os parâmetros, correspodetes às característcas dos elemetos de fratura, c = 0, MPa, = 0,707, p = e c = 0,02 mm. Foram utlzados 580 elemetos ftos tragulares e 6 elemetos ftos de cotato e fratura coesva e 339 ós a malha que correspode à modelagem. Icalmete, foram adotados dos modelos para verfcar a resposta do ER, o modelo de eslocameto Lear e o modelo de Flutuação Peródca, o modelo de Talor, por ser o mas restrto, ão fo adotado. Nas dreções x e, foram cosderadas as deformações macroscópcas geércas aplcadas x = 0,004, = -0,0007 e fo aplcada uma deformação dstorcoal, x = 0, Para verfcar etão a sesbldade do modelo em termos de parâmetros, fo feta uma comparação etre os dos modelos, para ver qual a fluêca deles para a tesão homogeezada e a deformação macroscópca mposta o ER, e seus resultados são apresetados as Fguras 2 e 3. FIGURA : Modelo utlzado para a aálse do comportameto de mcroestruturas de CMMs. FONTE: Autor (207). FIGURA 2: Tesão de csalhameto (2) x eformação dstorcoal (2). FONTE: Autor (207).

10 37 FIGURA 3: Tesão ormal () x eformação ormal (). FONTE: Autor (207). A partr dos gráfcos é verfcado que apesar dos resultados serem bem próxmos, o modelo de Flutuação Peródca represeta mas a dsspação de eerga, demostrado prcpalmete quado a fase de descolameto da terface matrz/agregado se ca, obtedo respostas mas flexíves e mas próxmas da realdade quado comparado com o modelo de eslocameto Lear que se trata de uma classe de modelo mult-escala com resposta mas rígda devdo a sua codção de cotoro o ER. Esse comportameto qualtatvo apresetado a Fgura 3 é o esperado e está de acordo com ouza Neto e Fejó (2006). Percebe-se sso prcpalmete o gráfco que represeta o csalhameto (Fgura 2), já o resultado do gráfco a dreção ormal é bem parecdo para ambos os modelos (Fgura 3). edo assm, para as próxmas aalses fo utlzado o modelo de Flutuação Peródca. Uma seguda aálse fo em relação à mportâca do parâmetro, o qual relacoa a abertura ormal com a abertura por csalhameto, e suas varações, de acordo com o tpo de carregameto adotado. Os outros parâmetros utlzados são os mesmos adotados para o prmero exemplo. Foram smulados três tpos de carregametos, tesão de tração alta a dreção x, tesão de compressão e tesão de csalhameto puro e três parâmetros foram comparados, o utlzado calmete, = 0,707, um valor maor e um meor,= 0,800 e = 0,600, respectvamete. Para o prmero caso, tesão de tração alta a dreção x, foram utlzadas as dreções x e, as deformações macroscópcas, x = 0,002, = - 0,0005 e uma deformação dstorcoal, x = 0,000. As comparações são vstas as Fguras 4 e 5. FIGURA 4: Tesão de csalhameto (2) x eformação dstorcoal (2). FONTE: Autor (207).

11 38 FIGURA 5: Tesão ormal () x eformação ormal (). FONTE: Autor (207). A partr dos gráfcos represetados acma, é possível perceber que a fluêca do parâmetro para os gráfcos de tesão ormal é muto pequea, como se espera para um materal dúctl. Já para o gráfco de tesão homogeezada de csalhameto a dfereça se tora um pouco mas evdete, pos está relacoada ao escorregameto etre as faces da fratura. Quato meor o, maor a perda de resstêca e rgdez do materal e um maor processo de fratura em relação ao csalhameto. Para o segudo caso, tesão de compressão alta, foram utlzadas as deformações macroscópcas de: x = -0,002, = 0,0005 e a mesma deformação dstorcoal, x = 0,000. A segur pode ser vsto, por meo das Fguras 6 e 7, que o parâmetro ão flueca os resultados para o caso de tesão de compressão, para todos os casos os resultados são dêtcos, depedetemete do valor adotado para. FIGURA 6: Tesão de csalhameto (2) x eformação dstorcoal (2). FONTE: Autor (207). FIGURA 7: Tesão ormal () x eformação ormal (). FONTE: Autor (207).

12 39 Para o tercero caso, csalhameto puro, foram utlzadas as deformações macroscópcas de: x = 0,000000, = 0, e a deformação dstorcoal, x = 0,008. Nas Fguras 8 e 9, segue os resultados da fluêca do parâmetro para esse ovo caso. É possível coclur de forma aáloga ao exemplo de tesão de tração, que este caso a fluêca do para o gráfco de tesão homogeezada de csalhameto é pratcamete ula, equato para os gráfcos de tesão ormal a dfereça se tora mas evdete, pelo parâmetro se relacoar ao escorregameto etre as faces da fratura. A tercera aálse teve a teção de se evdecar a mportâca de cosderar o descolameto em regme de colapso o Compósto de Matrz Metálca e para sso fo comparado um modelo de uma clusão aderda, ou seja, com a terface perfetamete aderda, sem fratura, e uma clusão descolada, com fratura. Novamete foram ressaltados os três casos, o prmero sedo de tesão de tração, o segudo de tesão de compressão e o últmo de csalhameto puro. Para essas comparações, foram utlzados ovamete os parâmetros do prmero exemplo e as deformações macroscópcas utlzadas o exemplo ateror, as quas são, para o caso de tesão de tração alta a dreção x, guas a: x = 0,002, = -0,0005 e x = 0,000. As Fguras 0 e represetam as comparações etre as tesões e deformações. FIGURA 8: Tesão de csalhameto (2) x eformação dstorcoal (2). FONTE: Autor (207). FIGURA 9: Tesão ormal () x eformação ormal (). FONTE: Autor (207).

13 40 FIGURA 0: Tesão de csalhameto (2) x eformação dstorcoal (2). FONTE: Autor (207). FIGURA : Tesão ormal () x eformação ormal (). FONTE: Autor (207). A Fgura 2 represeta a malha da clusão descolada. FIGURA 2: ER em Processo de escolameto. FONTE: Autor (207). No gráfco da Fgura 0, de tesão homogeezada de csalhameto e tesão ormal, já se percebe a mportâca de cosderar o deslocameto a clusão, em regme de colapso do CMM, havedo uma dfereça cosderável os resultados, ou seja, exste uma dmução a rgdez do ER ao cosderar a fratura. Na Fgura, observa-se a fratura ocorredo realmete a clusão descolada, havedo uma descotudade e uma perda acetuada de resstêca. Já para a clusão aderda exste uma cotudade e leardade o gráfco. Novamete se percebe uma maor rgdez para o caso da clusão aderda, por ão haver fratura. Para o caso de tesão predomate de compressão, as deformações são: x = -0,002, = 0,0005 e x = 0,000, e os resultados são comparados as Fguras 3 e 4. Para o caso de tesão de compressão, os resultados são bem próxmos para ambas as clusões, aderda e descolada, tato para a tesão homogeezada csalhate como para as tesões ormas. Já para o últmo caso, de csalhameto, as deformações utlzadas são: x = 0,000000, = 0, e x = 0,008. Nas Fguras 5 e 6 abaxo são vstas as comparações. Para esse caso, a Fgura 6 percebe-se que a tesão é cosderada ula, em comparação a Fgura 5, como esperado, pos está sedo aplcada apeas dstorção.

14 4 FIGURA 3: Tesão de csalhameto (2) x eformação dstorcoal (2). FONTE: Autor (207). FIGURA 4: Tesão ormal () x eformação ormal (). FONTE: Autor (207). FIGURA 5: Tesão de csalhameto (2) x eformação dstorcoal (2). FONTE: Autor (207). FIGURA 6: Tesão ormal () x eformação ormal (). FONTE: Autor (207). Uma outra aálse é sobre a fluêca da clusões os resultados. O gráfco da Fgura 8

15 42 dstrbução de clusões deslocadas, ode são apresetadas quatro dferetes dstrbuções de clusões deslocadas em um ER de tamaho 00 mm x 00 mm e de espessura gual a 0,2 mm e com o úmero de elemetos ftos de fratura gual a 780. Em todos os modelos, a fração de volume dos agregados é a mesma, de 50% e as clusões são dstrbuídas de forma aleatóra. Etão compara-se o efeto dessa dstrbução das clusões. A Fgura 7 apreseta tas dstrbuções das clusões para os quatro modelos. FIGURA 7: ERs para aálse da fluêca da dstrbução das clusões: [a] Modelo ; [b] Modelo 2; [c] Modelo 3; [d] Modelo 4. FONTE: Autor (207). Para o modelo fo utlzado um ER de 2380 ós e 358 elemetos. Para o modelo 2 fo utlzado 2340 ós e 3078 elemetos, para o modelo 3, 2295 ós e 2988 elemetos e por fm, para o modelo 4, utlzou-se 2293 ós e 2984 elemetos. A partr deles, foram geradas aalses cosderado a terface matrz/clusão modelada por elemetos de fratura e cotato, submetedo os ERs a uma deformação macroscópca dêtca para todos os modelos, obtedo-se valores de tesão homogeezada a dreção x para o ER. Após feto sso, jutou-se em um só gráfco os resultados, gerado a comparação etre eles para verfcar a fluêca da dstrbução das relacoa as tesões homogeezadas a dreção x com as deformações macroscópcas. Por meo do gráfco da Fgura 8 é possível perceber que os quatro modelos apresetam curvas pratcamete dêtcas de tesão-deformação, depedetemete do tpo de dstrbução adotado, cofrmado etão que a tal dstrbução ão flueca a resposta macromecâca homogeezada do ER. Por fm, a últma aálse rá avalar a fluêca da quatdade de clusões e suas dstrbuções sobre o comportameto do materal em regme predomate de tração. Essa aálse fo feta para 2 grupos de 6 ERs dferetes em cada um. Os grupos se dferem pela dstrbução aleatóra das clusões. Eles possuem um aumeto gradatvo da fração volumétrca das clusões, cado com 0% até 60%. A Fgura 9 lustra os 2 ERs, sedo o prmero grupo composto pelos ERs represetados as fguras 20a, 20b, 20c, 20d, 20e, 20f e o segudo grupo composto pelos ERs 20g, 20h, 20, 20j, 20k, 20l. Para aalsar a fluêca da quatdade de clusões e sua dstrbução, os ERs foram submetdos a uma deformação macroscópca dêtca para os 2 casos, obtedo-se os valores de tesões homogeezadas a dreção x com as deformações macroscópcas, e com esses gráfcos é gerado um ovo gráfco que agrupa o resultado de todos os ERs em um só, que são apresetados a Fgura 20. Por meo do gráfco da Fgura 20, observa-se que o aumeto de volume das clusões fluecam o comportameto do materal, quato maor o volume de clusões a mcroestrutura, mas rígda é a resposta macroscópca do materal, e quato a dstrbução, esse caso percebe-se que ao aumetar o volume do materal, aumeta a fluêca da prmera para a seguda dstrbução das clusões, ou seja, quato maor o volume, maor a fluêca dessa dstrbução o materal, torado mas rígdo o materal a seguda dstrbução.

16 43 FIGURA 8: Relação de tesão-deformação a dreção x para dferetes modelos de dstrbução de clusões FONTE: Autor (207). FIGURA 9: ERs para aálse da fluêca do aumeto de volume de clusões. a)0%. (b)20%. (c)30%. (d)40%. (e)50%. (f)60%. (g)0%. (h)20%. ()30%. (j)40%. (k)50%. (l)60%. FONTE: Autor (207). FIGURA 20: Relação de tesão-deformação a dreção x para os dferetes modelos de quatdade e dstrbução das clusões. FONTE: Autor (207).

17 44 4. CONCLUÕE Ao comparar os modelos para verfcação da resposta do ER, modelo de eslocameto Lear e modelo de Flutuação Peródca, percebese que apesar de resultados bem próxmos, o modelo de Flutuação Peródca represeta melhor a dsspação de eerga, obtedo respostas mas flexíves, estado de acordo com ouza Neto e Fejó (2006). Quado se trata da fluêca do parâmetro, ou seja, o parâmetro que relacoa a abertura ormal com a abertura por csalhameto, percebe-se que sua fluêca é bem pequea para o caso de tração e que quato meor o seu valor, maor a perda de resstêca e rgdez do materal e maor o processo de fratura, já para o caso de csalhameto a fluêca é pratcamete ula. Por fm, a respeto da mportâca da cosderação do descolameto em regme de colapso o CMM, percebe-se uma maor rgdez para o caso da clusão aderda, por ão haver fratura, essa dfereça se vê prcpalmete o caso de tração. Os resultados apresetaram coerêca com o comportameto esperado. Por fm, as respostas obtdas com a formulação proposta ecorajam os pesqusadores em seu emprego uma aálse mult-escala totalmete acoplada para a aálse de estruturas compostas por compóstos estudados esse trabalho. 5. AGRAECIMENTO Os autores gostaram de agradecer ao CNPq (Coselho Nacoal de esevolvmeto Cetífco e Tecológco) e a CAPE (Coordeação de Aperfeçoameto de Pessoal de Nível uperor) pelo suporte facero. 6. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA AZIZI, R. Mcromechacal Modelg of amage Perodc Compostes usg tra Gradet Plastct. Egeerg Fracture Mechacs, Lgb, emark, p. 0 3, 202. CIRA, F.; ORTIZ, M.; PANOLFI, A. A. A cohesve approach toth-shellfracture ad fragmetato. Computer Methods AppledMechacs ad Egeerg, v 94, p , FERNANE, G. R.; PITUBA, J.J.C.; OUZA NETO, E.A. Mult-cale Modellg for Bedg Aalss of Heterogeeous Plates B Couplg BEM ad FEM. Egeerg Aalss wth Bodar Elemets, v. 5, p. -3, 205a. FERNANE, G. R.; PITUBA, J.J.C.; OUZA NETO, E.A. FEM/BEM formulato for mult-scale aalss of stretched plates. Egeerg Aalss wth Bodar Elemets, v. 54, p , 205b. GERMAIN, P.; NGUYEN, Q..; UQUET, P. Cotuum thermodamcs. Joural of Appled Mechacs, Trasactos of the AME, 50(4):00-020, 983. GIUTI,. M. Aálse de sesbldade topológca em modelos costtutvos mult-escalas, f. Tese (outorado em Cêcas) Laboratóro Nacoal de Computação Cetífca do Mstéro da Cêca e Tecologa da Repúblca Federatva do Brasl, Petrópols, OLIER, J.; CAICEO, M.; ROUBIN, E.; HERNAÉZ, J. A.; HUEPE, A. Mult-scale (FE2) aalss of materals falure cemet/aggregate-tpe composte structure. I: EURO-C, 2004, t. Ato am Alberg, XX. Aas. Computatoal Modellg of Cocrete tructure, Lodres: CRC PRE, v., p LOPE, I. A. R. Aálse de ao úctl Baseada em Modelos Multescala f. ssertação (Mestrado Itegrado em Egehara Mecâca) Faculdade de Egehara da Uversdade do Porto, Portugal, 203. ORTIZ, M.; PANOLFI, A. Fte-deformato rreversble cohesve elemets for tree-dmesoal crack-propagato aalss. Iteratoal Joural for Numercal Methods Egeerg, v 44, p , 999. PITUBA, J. J. C.; OUZA NETO, E. A. Modelg of ulateral effect brttle materals b a mesoscopc scale approach. Joural Computers ad Cocrete, v. 5,. 5, p , 205. PITUBA, J. J. C.; FERNANE, G. R.; OUZA NETO, E. A. Modellg of cohesve fracture ad plastct processes composte mcrostructures. Joural of Egeerg Mechacs.. 42,. 0, , 206. ANTO, W. F., FERNANE, G. R., PITUBA, J. J. C. Aalss of the fluece of plastct ad fracture processes o the mechacal behavor of Metal Matrx Compostes mcrostructures. Revsta Matéra, v.2,.3, pp , 206. OUZA NETO, E. A.; FEIJÓO, R. A. aratoal Foudatos of Mult-cale Costtutve Models of old: mall ad Large tra ematcal Formulato. Techcal Report 6/2006, Laboratóro Nacoal de Computação Cetífca LNCC/MCT, Petrópols, Brasl, 2006.

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