MODELAGEM DO FLUXO DE TRÁFEGO VEICULAR: MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS E SIMULAÇÃO DIRETA DE MONTE CARLO RESUMO

Transcrição

1 ODELAGE DO FLUXO DE TRÁFEGO VEICULAR: ÉTODO DOS VOLUES FINITOS E SIULAÇÃO DIRETA DE ONTE CARLO ADILANDRI ÉRCIO LOBEIRO 1, ADRIANA LUIZA DO PRADO 2, ELOY KAVISKI 3, LILIANA ADALENA GRAANI 2, ARINA V. FERREIRA 4 1 UTFPR-Campus Campo ourão, alobero@utfpr.edu.br 2 DAT, UFPR, alprado@ufpr.br, l.grama@gmal.com 3 DHS, UFPR, eloy.ds@ufpr.br 4 PPGNE, UFPR, mara.v.ferrera@otmal.com RESUO O fluxo de tráfego vecular pode ser observado e represetado em dferetes escalas. Comparações dos resultados do método matemátco (VF) e o método computacoal (DSC) são realzadas. Neste trabalo apreseta-se a modelagem matemátca do tráfego vecular em escala cétca para uma psta com codções de cotoro peródcas PALAVRAS-CHAVES: Escalas de represetação, étodo dos Volumes Ftos, Smulação Dreta de ote Carlo. ABSTRACT Te flow of vecular traffc ca be observed ad represeted at dfferet scales. Comparsos of results of matematcal metod (FV) ad te computatoal metod (DSC) are performed. Ts work presets te matematcal modelg of ketc-scale vecular traffc to oe lae wt perodc boudary codtos. KEY WORDS: Scales of Represetato, Fte Volume etod, Drect Smulato ote Carlo. I. INTRODUÇÃO O fluxo de tráfego vecular pode ser observado e represetado em dferetes escalas: () croscópca observa os veículos detfcados dvdualmete e os modelos matemátcos esta escala são baseados a mecâca ewtoaa. () acroscópca utlza o estado do sstema por quatdades médas como varáves depedetes do tempo e do espaço com represetação semelate à drodâmca. () Cétca utlza o estado do sstema detfcado pela posção e pela velocdade dos veículos. Os modelos utlzam uma estrutura tpo Boltzma. Város lvros tratam deste assuto podedo o letor ecotrar uma valosa referêca da físca do tráfego o lvro do Kerer [6], para os modelos cétcos em Prgoge e Herma [10], para os modelos mcroscópcos em Leutzbac [8], e também em artgos como os de Klar, Küe e Wegeer [7] e de Bellomo, Deltala e Cosca [1]. Por outro lado, a modelagem exstete ada ão represeta de forma completamete satsfatóra a descrção do tráfego real. Vetor, Ro Grade, v.17,.1, p ,

2 Neste artgo apreseta-se a modelagem matemátca do tráfego vecular em escala cétca para o caso ão-espacalmete omogêeo. Usamos uma equação tpo Boltzma. As soluções umércas do sstema são obtdas pelo modelo matemátco de velocdades dscretas, cujas terações etre os veículos são avaladas através de uma tabela de jogos, determadas pelo método dos volumes ftos. O prcpal objetvo deste trabalo é comparar os resultados dos métodos matemátco (VF) e computacoal (DSC). O artgo está orgazado em mas três seções as quas são brevemete descrtas abaxo: - Seção 2 troduz a descrção do fluxo de trafego vecular através de uma estrutura matemátca para uma psta. - Seção 3 troduz as equações de evolução. - Seção 4 apreseta o método dos volumes ftos e os cocetos báscos do método de smulação dreta de ote Carlo. A comparação etre esses resultados e a coclusão é apresetada. 2. A DESCRIÇAO DO FLUXO DE TRÁFEGO Nesta seção detala-se a descrção cétca do fluxo de tráfego vecular ao logo de uma psta e troduz as quatdades feomeológcas. Todas as varáves depedetes que descrevem o fluxo de tráfego são dmesoas e seus valores ormalzados o tervalo [0,1]. As segutes quatdades de referêcas são troduzdas: L é o comprmeto da psta, V velocdade máxma (a velocdade de um veículo solado movedo-se em codções de tráfego lvre), ρ é a desdade máxma de veículos que a psta suporta. Com base as quatdades dmesoas acma, as segutes varáves admesoas são troduzdas: x é a posção referda do veículo a L, t é o tempo ormalzado represetado velocdade referda a V e LV, v V V ρ = ρ ρ é a desdade de veículos referda as quatdades máxmas. é a = é a O método da teora cétca dscreta será aplcado a modelagem do fluxo de tráfego utlzado-se uma dscretzação da velocdade a forma: 0 = v < v < v < < v < v = 1, (1) referdo-se ao domío D v = [0,1]. Assume-se que a velocdade é represetada por um úmero fto de classes. O modelo das velocdades dscretas para o fluxo de veículos com mesma probabldade de acotecerem é proposto por Cosca [3] e Deltala e Tos [4], ou seja, os veículos que trafegam ao logo da psta tedem a se moverem em grupos com velocdade dscreta. Cosca [3] admte que as velocdades destes grupos v, depedem das codções medas locas do tráfego va desdade macroscópca ρ. Vetor, Ro Grade, v.17,.1, p ,

3 Deltala e Tos [4] sugerem que seja fxado uma grade da velocdade com partções, v =, ode os valores de v são costates com relação ao tempo e ao espaço, em partcular, sto sgfca que globalmete o cojuto de velocdades poderá ser obtdo sem a fluêca das codções de tráfego. Com base esta pótese a evolução o tempo e o espaço do fluxo de tráfego em uma psta é represetada pela fução de dstrbução f como uma combação lear de fuções delta de Drac a varável v, como segue: f ( xtv,, ) = f( xt, ) δ ( v), (2) = 1 v em que f, = 1, 2,.., deota o úmero de veículos com velocdade v. As quatdades macroscópcas, tas como a desdade e o fluxo, são fuções dervadas da fução de dstrbução f, represetadas por: () a desdade de veículos ρ( xt, ) = f( xt, ), com ρ [0,1], (3) = 1 () o fluxo de veículos qxt (, ) = vf( xt, ), com q< 1. (4) = 1 3. AS EQUAÇÕES DE EVOLUÇÃO Nesta seção o fluxo de tráfego vecular é descrto, em geral, pela a equação de evolução represetada por: f t + v f x = G L, = 1,2,...,, (5) As equações dferecas parcas do sstema (5) para as fuções de dstrbução f ( tx, ), = 1,..., são compostas por quatro termos, deomados: taxa de varação temporal f t, trasporte covectvo v f x e termos de gaos G e de perdas L, sedo que a dfereça etre os termos de gaos e perdas deoma-se de termo de fotes. Essas terações são dstrbuídas sobre uma zoa de vsbldade com comprmeto característco ξ > 0, ou seja, um veículo localzado em uma posção x é supostamete afetado por outros veículos que se ecotram detro desta zoa de vsbldade. Três categoras de veículos são cosderadas: () o veículo caddato ( v ): é a velocdade do veículo que após uma teração com um veículo de mesma velocdade ou velocdade dferete poderá ou ão alterar a sua velocdade fal. () o veículo campo ( v k ): é a velocdade do veículo com o qual o veículo caddato terage. Vetor, Ro Grade, v.17,.1, p ,

4 () o veículo teste ( v ): é a velocdade do veículo após a teração do veículo caddato com o veículo campo. Cosderado o trabalo [4] a estrutura matemátca para o caso ão - espacalmete omogêeo é: f t f + v = [ ] A f(, txf ) (, tx) f(, tx) [ ] f(, tx) η ρ η ρ k k x = 1 k= 1 k= 1. (6) Este modelo é caracterzado pelas segutes quatdades: (1) η [ ρ] = c 1 ρ, é a razão etre o úmero de terações por udade de tempo etre os veículos com 0 velocdade v e v. As terações são dstrbuídas sob um comprmeto característco (ou zoa de k vsbldade) ξ > 0, etretato supõe-se que as terações ocorrem com maores ou meores frequêca de acordo com o comprmeto de ξ > 0. Espacalmete, η é estmado va a quatdade 1 ρ em que c é 0 uma costate. (2) A defe a desdade de probabldade que o veículo caddato com velocdade v ajusta a sua velocdade para v depos de teragr com um veículo trafegado com velocdade v k e depede da desdade local: A [ ρ] 0, A [ ρ] = 1,, k = 1,...,, ρ (7) = 1 Os autores em [4] sugerem que A [ ρ ] é modelado por uma tabela de jogos com o parâmetro feomeológco α [0,1] que represeta as codções da estrada, sedo α = 0 a por estrada. Esta tabela cosdera três casos: Iteração com um veículo mas rápdo ( v < v ), quado o veículo caddato ecotra um veículo campo mas rápdo e o veículo caddato ou matém sua velocdade correte ou possvelmete acelera, depededo do espaço lvre a frete. Iteração com um veículo mas leto ( v > v ), quado o veículo caddato ecotra um veculo k campo mas leto e supoe-se que ão acelerado a probabldade de passar depede do tráfego local. Iteração com um veículo com velocdade gual ( v = v ), quado o veículo caddato e o veículo campo estão vajado a mesma velocdade. Cosderado a estrutura (6) e a desdade de probabldade solução umérca é obtda pelo método dos volumes ftos. 4. ÉTODO DOS VOLUES FINITOS k k A modelado pela tabela de jogos [4], a Vetor, Ro Grade, v.17,.1, p ,

5 Neste trabalo, um problema de codção cal com codções de cotoro peródcas, modelado pelo sstema de equações (5) fo solucoado umercamete pelo étodo dos Volumes Ftos (VF)[13]. O algortmo usado fo preparado com um VF de alta resolução com lmtador de fluxo umérco "superbee" de Roe, coforme descrto em [9]. Estes recursos coferem uma maor precsão os resultados em relação à precsão obtda com os métodos de seguda ordem. Em cojuto com o VF utlzamos o método de ote Carlo. A smulação dreta de problemas probablístcos é a forma mas smples do uso do método de ote Carlo. O método de smulação dreta é caracterzado por ser faclmete projetado e por possur uma estrutura que geralmete cosdera um grade úmero de aproprados detales mcroscópcos do sstema dâmco aalsado [5]. O método de ote Carlo de smulação dreta (DSC) tem sdo extesvamete usado o estudo do movmeto de gases rarefetos[2]. O local e o state de ocorrêca das colsões ão são letamete determadas pela comparação da trajetóra de todas as partículas, mas usado-se cosderações estatístcas[11]. As dfculdades ecotradas com os métodos de solução dreta da equação de Boltzma podem ser cotoradas com a realzação de smulações físcas do sstema cosderado. Os métodos de smulação estocástcos em geral são os meos mas utlzados para ecotrar soluções para problemas que podem ser represetados pela equação de Boltzma. Os prcípos geras, de qualquer método de smulação, cosstem em costrur um processo estocástco para um sstema real de N partículas (~ ), por meo de um cojuto de partículas smuladas (~ 10 6 ), cuja dstrbução o tempo seja comparável com a solução da equação de Boltzma (N ). Cosderado-se codções de cotoro apropradas, as soluções umércas que são determadas através do método DSC são obtdas dvddo-se o espaço do sstema aalsado um úmero fto de células, em que partículas smulado as moléculas, são locadas de acordo com as codções cas do sstema aalsado. Neste trabalo, o método DSC fo aplcado para modelar um fluxo de tráfego vecular ão-espacalmete omogêo com codções de cotoro peródcas. A modelagem pelo DSC fo realzada usado-se a aaloga que exste com os problemas da teora cétca modelados pela equação de Boltzma [12]. 5. SIULAÇÃO NUÉRICA E RESULTADOS A smulação umérca fo aplcada para uma psta com codções de cotoro peródcas adotado-se como parâmetro feomeológco α =1 (estrada ótma), o valor de desdade máxma ρ = 1, o tempo total de smulação é 25 e comprmeto máxmo da estrada x = 1. Os resultados foram testados para dos valores da zoa de vsbldade. Vetor, Ro Grade, v.17,.1, p ,

6 Atrbudo-se uma desdade cal de ρ = 0, 46 adota-se a segute dstrbução cal (t=0) de veículos ao logo da estrada, calmete 2% dos veículos ecotra-se a posção etre [0; 0,6), 18% dos veículos etre [0,6; 0,7), 16% dos veículos etre [0,7; 0,8), 8% dos veículos etre [0,8;0,9) e 2% dos veículos etre [0,9; 1]. Para a zoa de vsbldade utlzou-se os valores de ξ = 0, 05 e ξ = 0, As terações ocorrem com maor ou meor freqüêca de acordo com a zoa de vsbldade. Os resultados obtdos pela smulação umérca utlzado o modelo matemátco de velocdades dscretas cujas terações etre os veículos são avaladas através da tabela de jogos [4] e as soluções umérca são determadas pelo método dos volumes ftos são apresetados as fguras 1 e 2 para ξ = 0,05 e ξ = 0,0025, respectvamete. Fgura 1. Velocdade versus Desdade (para valores de ξ =0,05) usado velocdades dscretas e VF Nas fg. 1 e 2 o tempo t=0 represeta a codção cal da desdade dos veículos a estrada. O tempo total de smulação fo 25 sedo cosderados 9 tempos para represetação gráfca pos a partr de t=10 o sstema para ξ = 0,05 tede ao equlíbro. Embora para ξ = 0, 0025 o tempo de tedêca ao equlíbro é posteror a t=10, mateve-se a fgura 2 os mesmos tempos da fgura 1 com objetvo de comparar estes resultados aos obtdos pelo método de ote Carlo Na Fgura 3 tem-se a represetação da codção cal para a desdade e o seu comportameto para 9 tempos. Costatou-se que este sstema etra em equlíbro para um tempo superor a t=10 etretato adotou-se os tempos guas a t=0,2;1,2;3;4;5;7 e 10 com objetvo de comparar estes resultados com os resultados obtdos pelo VF. Vetor, Ro Grade, v.17,.1, p ,

7 Fgura 2. Velocdade versus Desdade (para valores de ξ =0,0025) usado velocdades dscretas e VF Fgura 3. Velocdade versus Desdade (para valores de ξ =0,0025) usado o DSC 6. CONCLUSÕES Neste artgo desevolveu-se o modelo cétco das velocdades dscretas cujas terações etre os veículos foram represetadas por uma tabela de jogos e as soluções umércas determadas pelo VF e comparadas com as soluções do modelo computacoal DSC. Cosderou-se o estudo do fluxo de tráfego de vecular para uma psta com codções de cotoro peródcas. As maores dfereças exstetes etre as soluções obtdas com o modelo DSC e pelo VF, ecotram-se as dstrbuções de velocdades, que pelo DSC são dstrbuídas uformemetes etre v m Vetor, Ro Grade, v.17,.1, p ,

8 e v max, e com VF as velocdades são dscretas e a ampltude espacal das terações etre os veículos, que pelo modelo DSC é varável e depede da posção relatva dos veículos e velocdades, e pelo VF é um comprmeto costate. Observa-se que a fgura 2 a oda de coque va para trás até o tempo t=5 e a partr deste tempo, a oda se desloca para frete e também ocorre a fgura 3 usado o DSC. Para comparar os resultados obtdos pelo modelo DSC e pelo VF, foram aalsados dos valores ξ = 0, 05 e ξ = 0, Deve-se saletar que a zoa meor acarreta um maor úmero de terações. O método VF para a ξ = 0, 05 forece desdades com comportametos semelates para dversos tempos etre 0 e 25. Isto também é observado para a zoa de vsbldade ξ = 0, 0025, etretato para esta zoa observa-se que a oda de coque tem uma ampltude meor para os tempos etre 0 e 5 atgdo o equlíbro mas rapdamete, meor do que 9 tempos. Desta forma, podemos afrmar que o método VF coverge mas rapdamete ao equlíbro do sstema para uma zoa de vsbldade meor. Testado a zoa de vsbldade meor ξ = 0, 0025 para um outro método de resolução, DSC, obtemos para o tempo 0.2 uma melor represetação da desdade do que aquela apresetada pelo método VF. O método DSC represeta melor o comportameto do tráfego real atgdo o equlíbro em um tempo posteror ao do VF, ou seja, posteror a 9 tempos. Ambos os métodos VF e DSC foram utlzados para aálse do fluxo em uma psta para o caso ão-espacalmete omogêeo. Comparado estes dos métodos, o VF coverge mas rapdamete, além de apresetar um meor tempo de execução do que o DSC sedo também mas smples de elaborar, as terações e todas as suas cosderações o DSC ão são tão óbvas. Cocluu-se que exste uma smlardade etre os resultados obtdos pelo modelo matemátco e pelo modelo computacoal, cuja ter-relação é caracterzada pela dstâca da zoa de vsbldade. Os resultados obtdos demostram que quato meor for a zoa de vsbldade, maor é o úmero de terações, acarretado em um maor tempo de smulação para o sstema etrar em equlíbro. REFERÊNCIAS [1] Bellomo N., Deltala. ad Cosca V., O te matematcal teory of vecular traffc flow I flud dyamc ad ketc modelg, atematcal odels ad etods Appled Sceces, 12, , (2002). [2] Brd, G. A., Drect smulato ad te Boltzma equato, Pys. Fluds 13 (11), 2676, (1970). [3] Cosca V., Deltala. ad Frasca P., O te matematcal teory of vecular traffc flow models II. Dscrete velocty ketc models, Iteratoal Joural No-lear ecacs, 42, , (2007). Vetor, Ro Grade, v.17,.1, p ,

9 [4] Deltala. ad Tos A., atematcal modelg of vecular traffc: a dscrete ketc teory approac, atematcal odels ad etods Appled Sceces, vol 17, o. 6, , (2007) [5] Hammersley, J.., Hadscomb, D.C. ote Carlo etods, Capma ad Hall, [6] Kerer B.S., Te Pyscs of Traffc, Sprge, New York, (2004). [7] Klar A., Küe R. ad Wegeer R., atematcal models for vecular traffc, Surveys atematcal Idustry, 6, , (1996) [8] Leutzbac, W., Itroducto to te Teory of Traffc Flow, Sprger, New York, (1988). [9] Leveque R.J, Numercal etods for Coservato Laws, Lectures atematcs ETH Zürc. Brkäuser Verlar, (1990). [10] Prgoge, I. ad Herma, R., Ketc Teory of Vecular Traffc, Elsever, New York, (1971). [11] eburg, E. Comparso of te molecular dyamcs metod ad te drect smulato ote Carlo tecque for flows aroud smple geometres, Pys. Fluds 29 (10), 3107 (1986) [12] Waldeer, K.T. Te drect smulato ote Carlo metod appled to a Boltzma-lke vecular traffc flow model, Comput. Pys. Commu., Vol. 156, 1, (2003). [13] Yu L., Rgetto A., arts R.P, Rosma P.C.C ad Eger S., étodos Numércos em Recursos Hídrcos 4, ABRH, Ro de Jaero, (1999). Vetor, Ro Grade, v.17,.1, p ,