UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA ROSIANE CRISTINA DE LIMA

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1 uesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ROSIANE CRISTINA DE LIMA Smulação de Grades Escalas de Escoametos Icompressíves com Trasferêca de Calor e Massa por um Método de Elemetos Ftos de Subdomío Ilha Soltera, feverero de 2005.

2 uesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Smulação de Grades Escalas de Escoametos Icompressíves com Trasferêca de Calor e Massa por um Método de Elemetos Ftos de Subdomío ROSIANE CRISTINA DE LIMA Dssertação apresetada à Faculdade de Egehara de Ilha Soltera UNESP, como parte dos requstos para obteção do título de Mestre em Egehara Mecâca. ORIENTADOR: PROF. DR. JOÃO BATISTA CAMPOS SILVA Ilha Soltera, feverero de 2005.

3 FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técca de Aqusção e Tratameto da Iformação/Servço Técco de Bbloteca e Documetação da UNESP-Ilha Soltera L732s Lma, Rosae Crsta. Smulação de grades escalas de escoametos compressíves com trasferêca de calor e massa por um método de elemetos ftos de subdomío. -- Ilha Soltera : [s..], p. : l. Dssertação (mestrado) - Uversdade Estadual Paulsta. Faculdade de Egehara de Ilha Soltera, 2005 Oretador: João Batsta Campos Slva Bblografa: p Dâmca de fludos. 2. Método dos elemetos ftos. 3. Naver-Stokes, Equações de. 4. Turbulêca. 5. Calor Trasmssão. 6. Poluetes.

4 uesp ~;!~~ UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE ILHASOLTEIRA FACULDADEDE ENGENHARIADE ILHASOLTEIRA CERTIFICADO DE APROVAÇÃO TíTULO: SIMULAÇÃO DE GRANDES ESCALAS DE ESCOAMENTOS INCOMPRESsíVEIS COM TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA POR UM MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS DE SUBDOMíNIO AUTORA: ROSIANE CRISTINA DE LIMA ORIENTADOR: Dr. JOAO BATISTA CAMPOS SILVA Aprovado como parte das exgêcas para obteção do Título de MESTRE em ENGENHARIA MECÂNICA pela CO~SSãO Examadora Dr. JOAO B~~;tOS SILVA Data da realzação:22 de feverero de 2005 '0;u L~ Presdete da Comss o Examadora Dr. JOAO BATISTA CAMPOS SILVA '"'

5 À mha mãe Marl e a mha avó Aa. Aos meus rmãos Ala e Pâmela.

6 AGRADECIMENTOS O valor das cosas ão está o tempo em que elas duram, mas a tesdade com que elas acotecem. Por sso exstem mometos esquecíves, cosas explcáves e pessoas comparáves. (Ferado Pessoa) Durate toda a mha vda tve a sorte de cohecer pessoas que me fzeram ser o que sou hoje, mas três delas foram comparáves. Uma delas é mha avó Aa, que detro de toda sua dfculdade e humldade sempre me ajudou, mesmo que com pouco cetvo por receo que eu sofresse com o fracasso, dspôs de algumas votades para fazer a mha. Agradeço-a por ter cofado que seu vestmeto ão sera em vão sem em questoar. A outra pessoa é o José Roberto Noguera, o qual fo meu professor de graduação e meu grade cetvador do mestrado. Agradeço a ele por ter acredtado a mha capacdade e por ter me feto acredtar também. A outra pessoa comparável é João Batsta Campos Slva, que acetou me oretar durate o mestrado e acabou gahado uma flha, com todos os problemas e preocupações que um flho dá e desempehou o papel com grade louvor. Agradeço por todos os mometos, por todo carho, pela pacêca, pelos mometos de descotração, por ter me ajudado a crescer, ão só academcamete, mas também como ser humao. Agradeço a todas as pessoas que tveram presetes os bos e maus mometos. Aos amgos que fz em Ilha Soltera e que vou procurar cultvar. Agradeço ao Vater que esteve sempre presete, mesmo a dstâca, os mometos mas dfíces sempre com muto carho, compreesão e pacêca. Agradeço as mhas amgas de repúblca, Kéter, Vaessa e Jussara pela amzade, pelo compahersmo, pela compreesão e pela pacêca. Agradeço ao professor de glês Wager Ctra, da escola de glês YEP, o qual me cocedeu uma bolsa o curso de glês. Agradeço ao Odacr por ter se mostrado um grade amgo um mometo muto mportate, muto obrgada pela dedcação. A todos muto obrgada e mha etera gratdão. Agradeço a CNPq pelo suporte facero.

7 ... O da está a mha frete, esperado para ser o que eu quser. E aqu estou eu, o escultor que pode dar a forma. Tudo depede de mm... (Charles Chapl)

8 RESUMO Lma, Rosae Crsta de Lma, Smulação de Grades Escalas de Escoametos Icompressíves com Trasferêca de Calor e Massa por um Método de Elemetos Ftos de Subdomío, Ilha Soltera, Faculdade de Egehara de Ilha Soltera UNESP, 2005, 6 p., Dssertação (Mestrado em Egehara Mecâca) O objetvo prcpal deste trabalho é a smulação umérca de escoametos vscosos, compressíves e trasetes, com trasferêca de calor e massa; através do método de elemetos ftos de subdomío; usado a metodologa de smulação de grades escalas para a modelagem da turbulêca. Algumas aplcações de teresse são as smulações de escoametos com trasporte de um escalar, como os casos de dspersão de poluetes duzda pelo movmeto do ar atmosférco. O domío é dscretzado usado elemetos ftos quadrlateras de ove ós e as equações são tegradas em volumes de cotrole ao redor dos ós dos elemetos ftos. As equações goverates passam por um processo de fltragem, devdo à metodologa aplcada, Smulação de Grades Escalas (LES Large-Eddy Smulato), e desta forma as maores escalas são resolvdas dretamete através da solução das equações de Naver-Stokes fltradas, equato que as meores escalas ou escalas submalhas são modeladas, pelo modelo de vscosdade turbuleta de Smagorsky. Algus casos testes bdmesoas clásscos são resolvdos para valdação do códgo e os resultados são apresetados e comparados com resultados dspoíves a lteratura. Algus poucos casos de dspersão de poluetes em geometras que smulam câos de ruas (urba street cayos) foram também smulados. Palavras-chave: Método de Elemetos Ftos, Equações de Naver-Stokes, Smulação de Grades Escalas de Turbulêca, Trasferêca de Calor, Dspersão de Poluetes

9 ABSTRACT Lma, Rosae Crsta de Lma, Large-Eddy Smulato of Icompressble Flows wth Heat ad Mass Trasfer by a Sub-doma Fte Elemet Method, Ilha Soltera, Faculdade de Egehara de Ilha Soltera UNESP, 6 p., Dssertação (Mestrado em Egehara Mecâca) The ma purpose of ths work s the umercal smulato of vscous, compressble ad usteady flud flows by a sub-doma fte elemet method, usg the methodology of large-eddy smulato (LES) for turbulece modelg. Some applcatos of terest are sothermal ad thermal flows wth trasport of scalar varable such as the pollutat dsperso the atmosphere by arflow. The doma s dscretzed usg e-odes quadrlateral fte elemets ad the equatos are tegrated to cotrol volumes aroud the odes of the fte elemets. The govermet equatos are submtted to a flterg process for applcato of LES methodology, whch the large scales are drectly solved usg the fltered Naver-Stokes equatos, whle the small or sub-grd scales are modeled by the eddy vscosty model of Smagorsky. Two-dmesoal bechmark problems are solved to valdate the umercal code ad the results are preseted ad compared wth avalable results from the lterature. Some cases of pollutat dsperso geometres that smulate urba street cayos have bee also smulated. Keywords: Fte Elemet Method, Naver-Stokes Equatos, Large-eddy smulato, Heat Trasfer, Pollutat Dsperso.

10 LISTA DE SÍMBOLOS Letras Latas A área de um volume de cotrole C cocetração Cs costate de Smagorsky c p calor específco à pressão costate D coefcete de dfusão de massa g gravdade Gr úmero de Grashof Gr m úmero de Grashof da massa G ( x r x r ) - fução fltro J t - massas submalhas k codutvdade térmca [W/mK] L comprmeto característco [m] N α - fução de terpolação para o espaço N α ' - fução de terpolação para a pressão p pressão dmesoal [N/m 2 ] p p P = - pressão admesoal ρu Pr úmero de Pradtl Pr t úmero de Pradtl turbuleto q tj - fluxos de calor submalha Ra úmero de Raylegh Re úmero de Reyolds Re t úmero de Reyolds turbuleto Sc úmero de Schmdt Sc t úmero de Schmdt turbuleto S j - taxa de deformação

11 S u - termo fote a equação de quatdade de movmeto a dreção x S φ - termo fote uma equação de trasporte para a varável φ t * coordeada do tempo dmesoal [s]. Se admesoal: * t = t u / L 0 T temperatura u compoete de velocdade dmesoal a dreção do exo x u compoete de velocdade em otação tesoral cartesaa a dreção do exo x v - compoete de velocdade dmesoal a dreção do exo y U = u / u 0 - compoete de velocdade admesoal a dreção do exo X [K] [m/s] [m/s] [m/s] U compoete de velocdade admesoal em otação tesoral cartesaa a dreção do exo X V = v / v 0 - compoete de velocdade admesoal a dreção do exo Y X = x / L - abscssa admesoal o sstema de coordeadas cartesaas x abscssa o sstema de coordeadas cartesaas em otação tesoral X = x L - exos do sstema de coordeadas cartesaas em otação tesoral / Y = y / L - ordeada admesoal o sstema de coordeadas cartesaas y ordeada o sstema de coordeadas cartesaas em otação tesoral Letras Gregas α - ídce que dca o úmero do ó local ou do subvolume de cotrole um elemeto β - coefcete de expasão volumétrca térmca [K] - β m - coefcete de expasão volumétrca térmca devdo a varação de cocetração δ j - delta de Kroecker - espessura do fltro η - ordeada do sstema de coordeadas local o elemeto de referêca ( T T ) T θ = / - temperatura admesoal 0 µ - vscosdade dâmca [kg/ms] µ e - vscosdade dâmca efetva [kg/ms] µ t - vscosdade dâmca turbuleta [kg/ms]

12 ν - vscosdade cemátca [m 2 /s] ν e - vscosdade cemátca efetva [m 2 /s] ν t - vscosdade cemátca turbuleta [m 2 /s] ξ - abscssa do sstema de coordeadas local o elemeto de referêca ρ - massa específca [kg/m 3 ] τ j - tesões submalhas φ - varável qualquer a equação de trasporte de um escalar Φ - escalar ψ - fução de correte [s] - ω j - compoete do vetor rotação a dreção do exo x j Γ - um coefcete de dfusão as equações de trasporte, Equação (2.4)... Superescrtos - sgfca gradeza avalada o tempo t - sgfca gradeza avalada o tempo t t k - teração ateror o processo de solução um tempo t qualquer k - teração k cremetada o processo de solução um tempo t qualquer * - usado para dcar varável dmesoal... Subscrtos I - represeta dreção do exo o sstema de coordeadas α - represeta o subvolume de cotrole assocado a um ó de elemeto β - represeta a fução de terpolação assocada ao ó de um elemeto 0 - represeta uma varável ou propredade um estado de referêca...

13 Abrevações CFD Dâmca de Fludos Computacoal CLA Camada Lmte Atmosférca CLP Camada Lmte Plaetára CVFDM Método de Dfereças Ftas baseado em Volumes de Cotrole CVFEM Método de Elemetos Ftos baseado em Volumes de Cotrole DNS Smulação Numérca Dreta DTM Modelo Tesoral Dâmco EPA Agêca de Proteção Ambetal FDM - Método de Dfereças Ftas FEM - Método de Elemetos Ftos FVM Método de Volumes Ftos LES Smulação de Grades Escalas RANS Equações Médas de Reyolds WRM Método de Resíduos Poderados... Sglas DEM Departameto de Egehara Mecâca FEIS Faculdade de Egehara de Ilha Soltera UNESP Uversdade Estadual Paulsta Julo de Mesquta Flho UNICAMP Uversdade Estadual de Campas

14 2 SUMÁRIO CAPÍTULO INTRODUÇÃO 23. Dâmca dos Fludos Computacoal 23.2 Métodos Numércos 25.3 Smulação de Escoametos Turbuletos 28.4 Polução Atmosférca 30.5 Escopo e Objetvos do Trabalho 3.6 Orgazação do Trabalho 32 CAPÍTULO 2 - MODELO MATEMÁTICO Formulação Matemátca Tratameto da Turbulêca: Smulação de Grades Escalas Processos de Fltragem das Equações e de Separação das Escalas Modelagem Submalha da Turbulêca: Modelo de Smagorsky Admesoalzação das Varáves 42 CAPÍTULO 3 - DESENVOLVIMENTO DO MODELO NUMÉRICO Método de Resíduos Poderados Aproxmação medate MWR Dscretzação dos Domíos para Problemas Bdmesoas Itegração das Equações os Subvolumes de Cotrole Dscretzação o Tempo Dscretzação Espacal das Equações - Aplcação de um Método de Elemetos Ftos por Volumes de Cotrole (CVFEM) Solução do Sstema de Equações Dscretzadas Estrutura do programa computacoal 7

15 22 CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES DO MODELO NUMÉRICO PARA ESCOAMENTOS ISOTÉRMICOS Escoameto uma Cavdade Quadrada com Parede Superor Deslzate Square Ld-Drve Cavty Flow Geometra e codções de cotoro Escoameto um Caal com Expasão em Degrau Backward-Facg Step Flow Perfl de Velocdade Parabólco a Etrada do Caal Geometra e Codções de Cotoro Resultados com perfl de velocdade parabólco a etrada Perfl de Velocdade Uforme a Etrada do Caal Geometra e Codções de Cotoro Resultados com perfl de velocdade uforme a etrada 97 CAPÍTULO 5 APLICAÇÕES PARA ESCOAMENTOS NÃO ISOTÉRMICOS 0 5. Escoameto por Covecção Natural e Trasporte de uma Gradeza Escalar uma Cavdade Quadrada Casos de Covecção Natural com Dspersão de Poluete. Malha 2 por 2 elemetos Casos de Covecção Natural com Dspersão de Poluete. Malha 40 por 40 elemetos. 06 CAPÍTULO 6 CASOS DE CONVECÇÃO MISTA COM DISPERSÃO DE POLUENTE EM CÂNIONS URBANOS URBAN STREET CANYONS FLOWS 3 6. Dspersão de Poluetes em Câos Urbaos Urba Street Cayos Dspersão de Poluetes um caal com dos obstáculos de alturas dferetes Geometra e Codções de Cotoro Resultados Covecção msta, razão do úmero de Grashoff pelo quadrado do úmero de Reyolds gual a Covecção msta, razão do úmero de Grashoff pelo quadrado do úmero de Reyolds gual a 4 2 CAPÍTULO 7 CONCLUSÃO E DESDOBRAMENTOS DO TRABALHO Coclusões Desdobrametos do Trabalho 36 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 37 ANEXO I RESULTADOS NUMÉRICOS 45

16 23 CAPÍTULO INTRODUÇÃO. Dâmca dos Fludos Computacoal O teresse pelo estudo do movmeto dos fludos exste há város séculos, devdo à sua preseça em grade parte dos processos que ocorrem a atureza e em mutas aplcações em egehara. Hstorcamete, a mecâca dos fludos preocupou-se em estudar esses movmetos expermetalmete muto ates do que matematcamete (Fortua, 2000). Até mesmo porque, a descrção matemátca desses movmetos só fo possível a partr do século XIX com as equações de Naver-Stokes. Apesar, da úca restrção para a aplcação de tas equações ser para meos cotíuos, sua solução aalítca tora-se extremamete complexa quado sujetas a regões arbtráras com codções de cotoro geras, pos se tratam de equações dferecas parcas (EDPs) ão leares e a matemátca ada ão está embasada sufcetemete para resolvê-las. Desta forma, soluções aalítcas das equações de Naver- Stokes só são possíves para algus poucos casos bastate smplfcados e dealzados. Com o adveto do computador, a partr dos aos de 950, surgu a alteratva de se obter soluções umércas das equações de Naver-Stokes, utlzado téccas computacoas, para a obteção dos campos de velocdade, pressão, etc, que compõem o escoameto. Com sto, surgu de uma ova lha de estudos de fludos, deomada Dâmca de Fludos Computacoal (CFD Computatoal Flud Dyamcs), que é a área da computação cetífca que estuda métodos computacoas desevolvdos para realzação de expermetos computacoas ou smulações umércas de escoametos, em regões arbtráras e com codções de cotoro geras, evolvedo escoametos com ou sem trasferêca de calor. Nos últmos aos, esta área gahou mutos adeptos, tato que, os das atuas, essas smulações estão sedo muto utlzadas por pesqusadores e projetstas, para preverem o As sglas usadas este trabalho acompaham o habtualmete empregado a lteratura teracoal.

17 24 comportameto de produtos de egehara, ou para verfcar uma stuação físca sedo mpostas as devdas codções de cotoro. Pode-se ctar dversas razões que levaram ao crescmeto do teresse de cetstas e egeheros a desevolverem estudos esta área (Löer, 200): ecessdade de prever o comportameto de um determado produto, pos defetos ão vsíves podem causar falhas e ter um efeto devastador sobre o produtor; o custo de um expermeto pode ser muto alto, por exemplo, um teste subterrâeo de um artefato uclear custara, aproxmadamete, U$ 0 8 ; algus expermetos podem ser probtvos, ou por ão serem passíves de reprodução em laboratóro, ou por terem alto rsco, como por exemplo stuações bomédcas; a trospecção é uma das grades vatages do CFD, pos smulações umércas oferecem mas formações sobre o escoameto do que os expermetos. Além dsso, uma malha com 2x0 7 potos é equvalete a um expermeto com 2x0 7 sesores ou strumetos de medda; mas uma vatagem de CFD ctada por Löer (200) é o avaço computacoal. Segudo o autor por volta de 983 um problema com cerca de 000 elemetos ftos era cosderado excessvamete grade, hoje um problema desta magtude pode ser faclmete resolvdo, mesmo um computador pessoal. Esses são algus dos motvos que toram a smulação umérca mas teressate, justfcado, assm, o úmero de pesqusadores adeptos desse tpo de estudo. Apesar de todas essas vatages apresetadas pelos procedmetos umércos ão se pode dexar de ressaltar a mportâca das aálses teórcas (aalítca) e dos métodos expermetas, pos têm crucal mportâca a valdação de códgos umércos. A Tabela. lustra uma comparação etre as três estratégas para solucoar problemas da mecâca dos fludos.

18 25 Tabela. Comparação etre as três téccas de solução (Taehll et. al., 997). Técca Vatages Desvatages Expermetal - Mas Realsta - Equpameto exgdo - Problemas de escala - Dfculdades de medção - Custo operacoal - Mas Geral - Fórmula fechada Teórca (Aalítca) Numérca - Não há restrção - Geometras e processos complcados - Evolução temporal do processo - Restrta a geometras e processos físcos smples - Geralmete restrta a problemas leares - Erros de trucameto e arredodameto - Prescrção das codções de cotoro apropradas - Custos operacoas.2 Métodos Numércos A dâmca dos fludos computacoal (CFD), como já fo dto, requer o uso de métodos umércos para se calcular as gradezas de teresse os escoametos, em potos do domío físco, geralmete, deomados de potos odas ou, smplesmete, ós. Os prcpas métodos utlzados para smulação umérca de escoametos de fludos são: Métodos de Dfereças Ftas (FDM - Fte Dfferece Method); Métodos de Dfereças Ftas baseado em Volumes de Cotrole (CVFDM - Cotrol Volume Fte Dfferece Method); Método de Volumes Ftos (FVM - Fte Volume Method); Métodos de Elemetos Ftos (FEM - Fte Elemet Method) e Métodos de Elemetos Ftos baseado em Volumes de Cotrole (CVFEM - Cotrol Volume-Fte Elemet Method). Na realdade, todos estes métodos umércos dervam de um úco método cohecdo como Método de Resíduos Poderados (MWR - Method of Weghted Resduals), sedo dferecados matematcamete pela fução de poderação ou, smplesmete, fução peso aplcada a aulação do resíduo. No Capítulo 3, apresetam-se os prcpas aspectos do método de resíduos poderados e respectvas fuções de poderação que dão orgem aos prcpas métodos umércos ecotrados a lteratura. Algus cometáros sobre os prcpas métodos utlzados para cálculos de escoametos de fludos são fetos a segur. O método de dfereças ftas tem sdo usado para o cálculo de escoametos de fludos e trasferêca de calor; o que pode ser observado pela grade quatdade de trabalhos a lteratura especalzada; exstdo mutos códgos computacoas baseados o mesmo.

19 26 Város autores afrmam que uma lmtação deste método está a dscretzação de domíos com complexdade geométrca, problema este que pode ser parcalmete solucoado pelo uso de malhas ão-ortogoas. Um método apresetado por Patakar (980); deomado a lteratura de método de volumes ftos (FVM - Fte Volume Method), também chamado por mutos autores de método de dfereças ftas baseado em volumes de cotrole (CVFDM - Cotrol Volume Fte Dfferece Method), costtu-se hoje em um dos prcpas métodos para aálse umérca de escoametos e trasferêca de calor. A característca prcpal deste método é a fácl terpretação físca dos termos das equações em termos de fluxos, fotes e forças, devdo ao fato da formulação resultate ser de atureza coservatva uma vez que tal formulação é obtda através dos prcípos de coservação. O método de volumes de cotrole com malhas ortogoas e ão-ortogoas em coordeadas geeralzadas, para o tratameto de geometras rregulares, tem sdo mplemetado por város grupos de pesqusa e aplcado a solução de problemas de escoametos e trasferêca de calor, (Campos-Slva, 998). Devdo às dfculdades em se utlzar o método das dfereças ftas em geometras complexas, o método de elemetos ftos, calmete desevolvdo para aálse de estruturas, começou a ser aplcado para o caso de escoametos, devdo à sua grade versatldade a dscretzação de domíos geometrcamete complexos. O método torou-se amplamete aceto a partr dos aos 60, quado foram cadas pesqusas em váras partes do mudo. Daquela época para cá sofreu algumas reformulações e desde 967, após a serção do método, pode-se ecotrar uma vasta lteratura devotada a teora e aplcação do método, (Dath & Touzot, 984). Algumas referêcas báscas que tratam da aplcação do método de elemetos ftos (FEM) em escoametos de fludos são: Coor & Brebba (976), Chug (978), Baker (983), Saabas (99) e Whtg (999). O método de elemetos ftos tem sdo combado com téccas de upwd, que procuram adequá-lo para o cálculo de escoametos de fludos e trasferêca de calor para altos úmeros de Reyolds e de Peclet, e atualmete este método é também muto utlzado para smulação umérca tato de escoametos lamares quato turbuletos e/ou trasferêca de calor. De forma bastate sucta, o termo "upwd" deoma uma técca especal de dscretzar os termos covectvos das equações de trasporte, em problemas os quas predoma a covecção, de forma que a fluêca do escoameto à motate tem mas peso sobre os coefcetes da matrz das equações dscretzadas. O objetvo é elmar coefcetes egatvos as equações algébrcas que podem levar a resultados sem sgfcado físco. O presete trabalho ão utlza tal técca.

20 27 O método de elemetos ftos clássco é cohecdo como método de elemetos ftos de Galerk. Outra varate do método de elemetos ftos é cohecda como método de elemetos ftos de mímos quadrados. Neste trabalho, é abordada uma tercera vertete do método de elemetos ftos cohecda como Método de Elemetos Ftos baseado em Volumes de Cotrole (CVFEM - Cotrol Volume Fte Elemet Method) ou também cohecdo como Método de Subdomíos. No presete trabalho será utlzado o termo CVFEM. Este método fo prmeramete apresetado por Balga & Patakar (980), Balga & Patakar (983), Balga, Pham & Patakar (983), usado elemetos tragulares para dscretzação do domío. Posterormete, Scheder & Raw (986, 987) apresetaram este método para elemetos ftos quadrlateras leares (elemetos com 4 ós). Raw, Scheder & Hassa (985) utlzaram um elemeto fto quadrlateral quadrátco (elemeto com ove ós) para problemas de codução de calor. Também tem sdo utlzado um elemeto fto com oto ós (equvalete a elmar o ó cetral do elemeto ateror), cohecdo como elemeto de seredpty, o método de elemetos ftos de Galerk para resolução de problemas de escoametos. Segudo Saabas (99), CVFEM oferece uma combação da flexbldade geométrca do FEM e a fácl terpretação físca assocada com o Método de Volumes Ftos (FVM Fte Volume Method). A formulação de CVFEM evolve cco passos báscos, Saabas (99):. a dscretzação do domío em elemetos e uma dscretzação em volumes de cotrole assocados com os ós dos elemetos; 2. a prescrção de fuções de terpolação baseadas os elemetos para as varáves depedetes; 3. dervação de equações dscretzadas, que são aproxmações algébrcas das equações dferecas goverates; 4. uma motagem de elemeto por elemeto das equações dscretzadas; 5. prescrção de um processo para resolver as equações dscretzadas resultates. A aplcação de um método umérco também pode ser dvdda em três etapas prcpas, as quas, a omeclatura do método de elemetos ftos, são: pré-processameto, processameto e pós-processameto. Na etapa de pré-processameto, defe-se a geometra ou domío físco do problema; domío este dscretzado por algum tpo de elemeto, costtudo a malha de elemetos ftos. Nesta etapa podem ser defdas as propredades físcas do fludo e demas parâmetros (codções de cotoro e cas) ecessáros para a solução do problema. Na fase de processameto, aplca-se um solver (ome usado a lteratura para programas umércos) baseado o modelo umérco para obteção das gradezas de teresse (velocdade, pressão, temperatura) em potos do domío deomados

21 28 de ós dos elemetos. Na etapa de pós-processameto os resultados são aalsados para se verfcar a valdade do modelo umérco ou para os propóstos para os quas se resolveu o problema. Téccas de vsualzação gráfca, geralmete, são empregadas para aálse dos resultados. Uma vez valdado o solver, pode-se aplcá-lo para o projeto de modelos de equpametos ode ocorrem os escoametos. Neste trabalho, cocetra-se a fase de processameto. A segur será apresetada uma breve descrção de metodologas aplcadas à smulação de escoametos turbuletos e posterormete serão defdos os objetvos prcpas do trabalho..3 Smulação de Escoametos Turbuletos A maora dos escoametos são turbuletos, (Möller & Slvestr, 2004), (Slvera- Neto, 2002) e (Tejada-Matíez, 2002). A turbulêca é um feômeo que ocorre freqüetemete a atureza, por sso tem sdo objeto de estudos de város pesqusadores há város séculos, (Matos et. al. 999). Segudo Pomell (999) e Frere (2002) em 50, Leoardo da Vc fez város desehos de escoametos turbuletos, os quas as stabldades eram muto bem represetadas. Um desevolvmeto hstórco mas detalhado sobre a turbulêca pode ser ecotrado em Frere (2002). Um grade avaço o estudo desse tpo de problema fo atgdo as últmas décadas devdo ao avaço dos métodos expermetas e sstemas de aqusção eletrôca de dados e avaços espetaculares em métodos umércos e recursos computacoas. Na modelagem da turbulêca três metodologas são mas usuas: smulação umérca dreta (DNS Drect Numercal Smulato), equações médas de Reyolds (RANS Reyolds Averaged Naver-Stokes) e smulação de grades escalas (LES). No capítulo 2 é apresetada a modelagem da turbulêca e uma breve descrção de LES. Para se fazer DNS é ecessáro uma malha sufcetemete fa para poder resolver todas as escalas, o que acarreta um custo computacoal muto alto, por sso esta metodologa somete é usada para baxos úmeros de Reyolds. RANS tem custo o computacoal mas baxo que DNS, porém somete estruturas maores são resolvdas e as codções de cotoro ão são tão smples de serem mpostas. A vatagem de LES sobre DNS é que, devdo ao processo de separação das escalas e ao processo de modelagem dos tesores submalhas adcoas que aparecem, é possível resolver escoametos a altos Reyolds. Segudo Bogey et. al. (2003), etre os três métodos dferetes, LES aparece como o mas teressate para aproxmar uma ampla classe

22 29 de escoametos, uma vez que ão é restrto a baxos úmeros de Reyolds como DNS, e ao cotráro de RANS, uma parte mportate das pequeas escalas pode ser calculada precsamete, se cosderadas corretamete pela resolução da malha. Um largo espectro de eerga é uma das mas mportates característcas de escoametos turbuletos. A coseqüêca medata é que é muto dfícl smular todas as escalas que o caracterzam, ou seja, o uso da Smulação Numérca Dreta (DNS) somete é possível para algus poucos casos com baxos Reyolds e a grade maora dos escoametos é caracterzada por altos úmeros de Reyolds. As característcas da turbulêca segudo Boço (998), Slvera-Neto (2002, 2003) e Tejada-Martíez (2002) são:. os escoametos turbuletos são trdmesoas, são rotacoas, rregulares e radômcos, o setdo de que a velocdade vara radomcamete com o tempo; 2. ocorrem a altos úmeros de Reyolds. O úmero de Reyolds represeta a razão etre as forças ercas e as forças vscosas do escoameto; 3. são fortemete dsspatvos, ou seja, há cotuamete coversão de eerga cétca em eerga tera. Assm, a turbulêca deca se ão houver eerga sedo forecda cotuamete; 4. são caracterzados pelo amplo espectro de escalas de movmeto dferetemete dos escoametos lamares, os quas tem poucas escalas. Tas escoametos apresetam uma sére de estruturas turblhoares que podem varar desde o tamaho do domío até mutas ordes de magtude meores. Esses vórtces dstrbuem-se segudo um espectro de freqüêcas. Vórtces maores têm freqüêca meor e os meores têm freqüêcas maores; 5. são fortemete dfusvos. As flutuações de velocdade a turbulêca resultam em taxas de trasferêca de quatdade de movmeto, calor e massa (ou qualquer outra propredade escalar) que podem ser mutas ordes de magtude maores do que aquelas devdo ao trasporte molecular (ou dfusão molecular). De fato, quado porções de fludo deslocam-se em vórtces, levam cosgo suas propredades trasportado-as para outra regão do escoameto. Neste setdo, o trasporte de propredades pelos vórtces turbuletos é aálogo ao trasporte dfusvo molecular, mas em escala muto maor; 6. a turbulêca é característca de escoametos e ão de fludos. Se o úmero de Reyolds é sufcetemete alto, a maora das dâmcas assocadas à meor escala a turbulêca é a mesma para todos os fludos. Em resumo, as característcas prcpas de escoametos turbuletos ão são cotroladas pelas propredades da partícula do fludo.

23 30.4 Polução Atmosférca A polução é caracterzada quado uma cocetração de certas substâcas se toram mprópras, ocvas ou ofesvas ao meo ambete, começado a afetar o equlíbro atural e prejudcado formas de vda exstetes a Terra. Embora o meo ambete possua mecasmos aturas que lhe permtem receber uma certa cocetração de resíduos, sem que se torem poluetes, os últmos aos, as quatdades de poluetes emtdos estão sedo maores do que a suportada pela atureza e, mesmo com todo o cotrole realzado por parte de etdades ambetas, o problema está se agravado, o que aflge as populações e o meo ambete, prcpalmete, os grades cetros urbaos. A emssão de poluetes pode alterar as codções atmosfércas, provocado, o homem, dstúrbos respratóros, alergas, lesões degeeratvas o sstema ervoso e os órgãos vtas e até mesmo câcer. Em cdades muto poluídas, os dstúrbos se agravam o vero com a versão térmca, quado uma camada de ar fro forma uma redoma a alta atmosfera, aprsoado o ar quete e mpeddo a dspersão dos poluetes. Este feômeo é comum em mahãs fras de vero, com pouco veto e mutas uves. O teresse pelo estudo da dspersão de poluetes em zoas urbaas se deve à cetralzação do problema esta área. Em zoas urbaas, a polução pode ser causada por fotes móves que são as refaras, as dústras petroquímcas, sderúrgcas, fábrcas de papel, celulose e cmeto, bem como por fotes móves, que são os veículos automotores, resposáves pela emssão de gases, resultates da combustão em seus motores, cotedo óxdos de trogêo, moóxdo e dóxdo de carboo, dóxdo de exofre e dervados de hdrocarboetos. Os veículos automotores são resposáves por 40% da polução as cdades. Uma outra fote poludora é a ceração de lxos doméstcos e dustras, que emtem fumaças cotedo msturas de gases com varadas composções químcas. Em cdades como São Paulo, o lxo hosptalar é cerado a uma temperatura elevada em um foro especal. Desta forma, somete é lberado a atmosfera CO 2, sedo que metas pesados e poluetes, costtutes de algus remédos, se fudem e se depostam o fudo do foro.

24 3.5 Escopo e Objetvos do Trabalho O presete trabalho tem como objetvo prcpal troduzr a metodologa de smulação de grades escalas de turbulêca um modelo umérco desevolvdo por Campos-Slva (998), usado um método de elemetos ftos baseado em volumes de cotrole (CVFEM). Para tato, é utlzado um elemeto quadrlateral com ove ós para dscretzação do domío. Um programa fo desevolvdo com o tuto de smular algus casos de escoametos de fludos, em varáves prmtvas (u,v,p), com ou sem trasferêca de calor, em geometras bdmesoas, em regme permaete ou trasete. Um outro objetvo é aplcar tal método para cálculos de escoametos com trasporte de um escalar passvo, vsado aplcações voltadas para o estudo de dspersão de poluete, a atmosfera. Algumas geometras smples, porém extesvamete utlzadas para valdar códgos umércos, são utlzadas. Nesses domíos, uma fote poludora é fxada uma dada frotera para se verfcar como o poluete se espalha pelo domío, sob a fluêca de um dado campo de escoameto. Apesar da dspersão de poluetes a atmosfera ser um feômeo trdmesoal, este trabalho, por razões de smplcdade e melhor etedmeto das etapas, serão cosderados, apeas, casos bdmesoas. Poder-se-a cosderar que o equacoameto represetara o campo médo, quado se tegra as equações uma dada dreção, elmado a depedêca aquela dreção, Pa & Tsag (99). O elemeto fto de ove ós fo utlzado por Campos-Slva (998) para smulação de escoametos de fludos, sem modelagem de turbulêca. Assm uma das motvações do presete trabalho é amplar um solver desevolvdo aquele trabalho, pela trodução da metodologa de smulação de grades escalas. Os elemetos ftos mas utlzados, segudo lteratura pesqusada, como mecoado aterormete, o método de elemetos ftos por volumes de cotrole (CVFEM) para cálculos de escoametos de fludos são os elemetos tragulares com três ou ses ós ou elemetos quadrlateras com quatro ós. O elemeto fto quadrlateral com ove ós cotém três ós em cada face e um ó cetral. Neste elemeto podem ser defdas fuções de terpolação quadrátcas que podem levar a melhores resultados do que com o uso de fuções de terpolação leares. Outra vatagem deste elemeto é sua versatldade geométrca, pos pode ser deformado para represetar, de maera mas precsa, cotoros curvos de mutos domíos com complexdade geométrca ode os escoametos ocorrem. O uso de elemetos ftos leares pode comprometer a aproxmação de cotoros rregulares ou curvos se a malha ão puder ser sufcetemete refada ou o elemeto usado ão for aproprado.

25 32 O tratameto da turbulêca, como dto aterormete, é feto através de smulação de grades escalas (LES). Nesta metodologa, as equações goverates do problema passam por um processo de fltragem, que separa as escalas maores das meores. As escalas maores são resolvdas dretamete e as meores devem ser modeladas. Para tato, pode-se ecotrar a lteratura tato modelos dâmcos quato ão-dâmcos. O modelo dâmco ão requer a prcípo uma escala de comprmeto para ser especfcado, porém a questão que surge, ctada por Scott & Meeveau (997), é se tal modelo é cosstete para smular turbulêca sotrópca em malhas asotrópcas. Já o modelo de Smagorsky ão-dâmco faz-se ecessáro o ajuste da costate de Smagorsky, Cs. Segudo Hughes et. al. (2000) Cs=0,8 provê satsfatoramete casos de turbulêca sotrópca homogêea. LES, além de sua elegâca matemátca, é bem mas fácl de ser mplemetada do que modelos de turbulêca a duas equações, por exemplo, e embora, teha um custo computacoal mas elevado; com o crescmeto da capacdade computacoal tem gahado mutos adeptos..6 Orgazação do Trabalho Neste prmero capítulo, fo feta uma trodução, ode se procurou mostrar algus aspectos prcpas da dâmca dos fludos computacoal (CFD), dos métodos umércos mas utlzados, com êfase ao método de elemetos ftos baseado em volumes de cotrole (CVFEM) utlzado como ferrameta para solução dos problemas; um resumo sobre escoametos turbuletos e as metodologas dspostas a lteratura e, por fm, os objetvos e o escopo do trabalho. No capítulo 2, apreseta-se o modelo matemátco costtuído pelas equações de Naver-Stokes, equação de eerga e equação de trasporte de um escalar qualquer, as quas são admesoalzadas de modo que possam smular também problemas com varáves dmesoas. Nesse capítulo, também é feta a modelagem da turbulêca. No capítulo 3, faz-se uma apresetação do método de resíduos poderados (MWR) para, posterormete, apresetar a dscretzação das equações. O objetvo prcpal do capítulo 3 é apresetar o desevolvmeto do modelo umérco, segudo-se algus passos báscos para mplemetação de um modelo umérco. No capítulo 4, 5 e 6, são apresetados os resultados obtdos. No capítulo 4, apresetam-se resultados para problemas de escoametos cosderados como padrões, com o tuto de mostrar a valdação do códgo computacoal costruído com base o modelo umérco. No capítulo 5, apreseta-se um resultado de escoametos ão-sotérmcos, como o caso de covecção atural uma cavdade quadrada

26 33 com trasporte de um escalar. No capítulo 6, são apresetados resultados do modelo aplcado a problemas de dspersão de poluetes duzda pelo escoameto do ar atmosférco em covecção msta. Os escoametos smulados foram: o escoameto uma cavdade quadrada duzdo pelo movmeto da parede superor (square ld-drve cavty flow); escoameto um caal com uma expasão assmétrca, cohecdo como escoameto um degrau (backward-facg step flow); e escoametos em câos urbaos (urba street cayo flow). Os testes fetos este trabalho, embora, sejam de problemas já há muto vestgados, geralmete, são os problemas tomados como padrões para valdação de modelos umércos. E falmete, o capítulo 7, apresetam-se as coclusões e possíves desdobrametos a cotuação deste trabalho.

27 35 CAPÍTULO 2 - MODELO MATEMÁTICO Neste capítulo, é apresetada a formulação matemátca do modelo proposto para um escoameto com ou sem trasferêca de calor. Esta formulação pode ser ecotrada a lteratura e as equações foram escrtas de forma a permtr tato smulações de escoametos em varáves admesoas, quato varáves dmesoas. 2. Formulação Matemátca O escoameto de um fludo pode ser modelado pelas equações de cotudade, de quatdade de movmeto e de eerga. A dedução dessas equações ecotra-se dspoível em Fox & MacDoald (995) e Ladau & Lfshtz (987) ou em outros lvros de Mecâca dos Fludos. Na obteção das equações matemátcas, algumas hpóteses são assumdas:. o efeto de varação da desdade é cosderado apeas as forças gravtacoas (hpótese de Boussesq), sedo a desdade expressa por: [ β ( T T ) ( C m )] ρ = ρ β C (2.) sedo ρ 0, T 0, β e C 0 uma desdade de referêca uma temperatura de referêca, T 0, o coefcete de expasão volumétrca térmca e uma cocetração de referêca, respectvamete. β m é o coefcete de expasão volumétrca devdo a varação de cocetração; 2. o fludo é ewtoao e o escoameto compressível; 3. o termo de geração de eerga também será desprezado, pos ão são cosderados efetos de geração tera de calor (absorção ou emssão de radação, por exemplo) em a preseça de umdade, a qual podera ser resposável por troca de calor latete; 4. podem exstr efetos das forças de Corols e de rotação do sstema de coordeadas. Cosderadas as hpóteses acma, as equações goverates podem ser escrtas, de forma geérca e em otação tesoral cartesaa, como:

28 36 Equações do escoameto: ( ρ u ) x = 0 (2.2) ( ρ u ) ( ρ u ju ) t x j p = x x j u µ x j u j x S u (2.3) Equações de trasporte de calor ou massa: ( ρ φ) ( ρ u jφ) t x j = x j Γ φ φ S x j φ (2.4) Nas Equações (2.2) a (2.4), embora, seja cosderado escoameto compressível, em todo o trabalho optou-se por ão extrar a desdade de detro da dervada. Nestas equações u represeta os compoetes de velocdade ao logo dos exos coordeados, os quas são represetados por x ; p represeta a pressão; ρ a massa específca; µ a vscosdade dâmca e Γ φ é um coefcete de dfusão que depede de qual varável φ está sedo trasportada; S u e S φ são termos fotes que podem eglobar outros termos, clusve dferecas, que ão são escrtos explctamete. Su [ g ( β ( T T ) β ( C C )) ( ε ω u ( ω x ) ω ( ω ω ) x )] = ρ 2 0 m 0 jl j l j j j j (2.5) Sedo g o compoete da aceleração da gravdade a dreção do exo x e ω j o compoete da velocdade agular de rotação do escoameto, se for o caso, em toro do exo x j. O sgfcado físco dos termos da Eq. (2.5) são dados a segur, algus deles também podem ser ecotrados em Fox & MacDoald (995). [ ( ( T ))] g β T 0 : empuxo devdo varação de desdade, pela mudaça de temperatura ;

29 37 [ ε ω u ] 2 : aceleração de Corols decorrete do movmeto da partícula detro do sstema jl j l de coordeadas cartesaas; ( x ) ω ( ω ω ) x ) ω : aceleração cetrípeta decorrete da rotação do sstema de j j coordeadas cartesaas. g β c ( C ) C 0 j j : aparece devdo à varação de cocetração de uma espéce. Na Eq. (2.4) o termo φ pode represetar quasquer varáves escalares, como: eerga cétca turbuleta, taxa de dsspação vscosa ou específca da eerga cétca turbuleta, temperatura ou cocetração de um cotamate um meo. 2.2 Tratameto da Turbulêca: Smulação de Grades Escalas No presete trabalho, a smulação de grades escalas (LES - Large Eddy Smulato) fo mplemetada um códgo de um método de elemetos ftos baseado em volumes de cotrole (CVFEM - Cotrol-Volume Fte Elemet Method), para resolver escoametos bdmesoas, compressíves de fludos ewtoaos. Nesta metodologa, as varáves do escoameto passam por um processo de fltragem, que separa as maores escalas das meores. Os termos fltrados são resolvdos dretamete usado as equações de movmeto, equato que um modelo submalha é empregado para represetar as meores estruturas. Devdo ao processo de separação das escalas, LES se torou uma das mas mportates metodologas para a solução de escoametos complexos, Slvera-Neto (2002) e, atualmete, vem sedo bastate empregada em problemas de teresse prátco. Segudo Frgo (2004) e Zag et. al. (993) uma das prmeras aplcações da LES em egehara fo realzada por Deardorff (970) a vestgação de um escoameto turbuleto o teror de um caal a altos úmeros de Reyolds Processos de Fltragem das Equações e de Separação das Escalas As Eqs. (2.2) a (2.4) represetam o escoameto compressível de um fludo ewtoao em regme trasete. Tas equações são, respectvamete, a coservação de massa, equação de quatdade de movmeto e equação de eerga. A solução dreta destas equações é possível apeas para baxos úmeros de Reyolds. Por sso quado se deseja

30 38 smular casos com altos Reyolds, opta-se por um processo de fltragem que separa as r escalas. Neste processo de fltragem, uma varável geérca f ( x, t) é decomposto em duas r ' r partes, uma parte fltrada, f ( x, t) e uma parte flutuate, f ( x, t), como r f ( x, t) = r f ( x, t) ' r f ( x, t) (2.6) As Fgs. 2. e 2.2 lustram, respectvamete, o esquemas da fução f (x) e sua compoete fltrada f (x) e o esquema udmesoal do fltro, apresetados por (Tejada- Martíez, 2002). Fgura 2. Fução f (x) e sua compoete fltrada f (x), (Tejada-Martíez, 2002). O processo de fltragem pode ser defdo como sedo uma tegral de covolução evolvedo a fução a ser fltrada e uma fução fltro aproprada: r r r r r f ( x, t) = f ( x, t) G( x x ) dx (2.7) D sedo que a barra deota uma varável fltrada ou de grade escala. G represeta a fução fltro; uma das mas utlzadas é a fução fltro por volume, dada a segur:

31 39 G r ( x) / = 0 3 se se r x r x / 2 > / 2 (2.8) Fgura 2.2 Esquema udmesoal do fltro, (Tejada-Martíez, 2002). Outros tpos de fltragem são: fuções gaussaas, Top-hat ou Sharp Fourer cut-off flters, Chdambaram (998); sedo o tamaho característco, geralmete, defdo como ( ) / 3 = x y z, com x sedo o comprmeto da malha o exo x. Em fução do processo de fltragem acma, as propredades clásscas da decomposção de Reyolds ão são mas verfcadas, ou seja: u u 0 u j u (2.9) Este tem ão tem o tuto de explcar detalhadamete todos os processos de fltragem, uma explcação mas detalhada do mesmo pode ser ecotrada em Frgo (2004), Slvera-Neto (2003) e Tejada-Martíez (2002). Na prátca, o que mas se utlza é um tpo de méda volumétrca local, como processo de fltragem, com um comprmeto característco da escala dado pelo tamaho da malha, (Shyy et. al., 997).

32 40 Aplcado-se o processo de fltragem as Eqs. (2.2) a (2.4) obtém-se: Equações do escoameto: ( ρ u ) x = 0 (2.0) ( ρ u ) ( ρ u ju ) t x j p = x x j u µ x j u x j τ j S u (2.) Equações de trasporte de calor e massa: ( ρ c T ) ( ρ c u T ) t p p x x T k x q t = q (2.2) c t ( u c ) x x c D x J t = S c (2.3) Nas Equações (2.0) a (2.3) os termosτ j, q tj e J t, que aparecem devdo ao processo de fltragem, são os termos das tesões submalhas, dos fluxos de calor e de massa submalhas, respectvamete Modelagem Submalha da Turbulêca: Modelo de Smagorsky O modelo de vscosdade turbuleta de Smagorsky é um dos modelos mas utlzados; torou-se mas popular depos do trabalho poero de Deardorff (970) para escoametos em caas. Esse modelo básco tem dado orgem a uma famíla de modelos dervados (Mo & Km, 982). O desevolvmeto recete mas mportate é o modelo dâmco proposto por Germao et. al. (99). Uma outra famíla de modelos de escalas submalhas é baseada a teora de vscosdade turbuleta espectral de Kracha, (Matos et. al., 999). Uma versão prátca e freqüetemete usada dessa famíla de modelos fo desevolvda por Métas & Leser (992) o modelo de fução estrutura, e fo usado em város trabalhos de LES (Slvera-Neto et. al., 993). O modelo tem uma mportate característca que somete a

33 4 costate evolvda é determada aaltcamete. A costate o modelo de Smagorsky é ajustada e depede de algus parâmetros como a dscretzação da malha, por exemplo, (Matos et. al., 999). A segur são apresetados algus passos da modelagem submalha da turbulêca, segudo o modelo de Smagorsky. As tesões submalhas que aparecem a Eq. (2.), devdo ao processo de fltragem, são dadas por j ( u u u u ) τ = ρ ; (2.4) j j a qual, pode ser reescrta, utlzado a hpótese de Boussesq de vscosdade turbuleta, como a segur: 2 τ j = ρ k δ j 2 µ t Sj, (2.5) 3 sedo µ t a vscosdade dâmca turbuleta, Eq. (2.6), k a eerga cétca turbuleta, Eq. (2.7), e S j a taxa de deformação, Eq. (2.8). A vscosdade dâmca turbuleta, segudo o modelo de Smagorsky, é dada por µ = ρ t ( Cs ) 2 2 Sj Sj (2.6) sedo Cs é a costate de Smagorsky e a espessura do fltro. A eerga cétca turbuleta e a taxa de deformação são defdas como. τ k = ; (2.7) 2 S j = u 2 x j u x j (2.8) por Os fluxos de calor e massa devdo aos efetos submalhas são dados, respectvamete,

34 42 ( ) p t t t p t x T c x T k T u u T c q = = = ρ ν ρ Pr ; (2.9) ( ) t t t t x c Sc x c D c u c u J = = = ν. (2.20) Um astersco é usado, por coveêca, as equações a segur para dcar varáves dmesoas. As equações modeladas são: Equações do escoameto: ( ) 0 * = x u ρ (2.2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] u m j t j j j S C C T T g x u x x p x u u t u = 0 * 0 * * * * * * * * * β β ρ µ µ ρ ρ (2.22) Equações de trasporte de calor e massa: ( ) ( ) q x T c k x x u T c t T c t t p p p = Pr * * * * * * * * * ν ρ ρ ρ (2.23) ( ) c t t S x c Sc D x x c u t c = * * * ν (2.24) 2.3 Admesoalzação das Varáves A dfculdade de mplemetação das Eqs. (2.2) a (2.24), as quas represetam matematcamete um escoameto, está em se fxar propredades físcas que satsfaçam os mas dversos fludos. Com sto, a opção por varáves admesoas tora-se muto

35 43 relevate; porém é mportate frsar que os parâmetros tomados como referêca para a admesoalzação devem ser defdos de acordo com as característcas geométrcas, cemátcas e dâmcas do problema a ser cosderado. No caso de escoametos evolvedo covecção forçada ou msta, pode-se defr as gradezas admesoas da segute forma: X x = ; L U u = ; u 0 P * ( p p ) = ; ρ u t t u * 0 = ; L = ( T T ) 0 θ ; T φ φ0 Φ = φ (2.25) que são os admesoas do espaço, da velocdade, da pressão, do tempo, da temperatura e de um escalar qualquer. * * * * * ρ µ ν β β m ρ = ; µ = ; ν = ; β = ; β m = ; Γ ρ µ ν β β 0 Lω j Ω j = ; u 0 0 p0 0 0 m0 Γ * φ φ = ; Γ 0 g g * = ; * * c p D c p = ; D =. (2.26) c D 0 g Na Eq. (2.26) estão os admesoas da desdade, da vscosdade absoluta, vscosdade cemátca, do coefcete de expasão volumétrca térmca, coefcete de expasão volumétrca devdo a cocetração, do coefcete de dfusão, da gravdade, da rotação, calor específco e dfusvdade da massa, respectvamete. L é um comprmeto característco. Usado as varáves admesoas as Eqs. (2.2) à (2.4), tas equações podem ser reescrtas da segute forma: Equações do escoameto: ( ρu ) X = 0 (2.27) ( ρ U ) ( ρ U ju ) P e U µ µ e = t X j X X j X Re j Re X j U X j S u (2.28) Equações de trasporte de calor e de massa: ( ρ Φ) ( ρu jφ) t X j = X j Γφ Φ Re X j S φ (2.29)

36 44 O termo fote da Eq. (2.28) é dado por: S u Gr Gr m = ρ g βθ 2ε klω ku l ( Ω j X j ) Ω ( Ω jω j ) X g β cc 2 2 ( Re) ( Re) (2.30) O cojuto de Eqs. (2.27) a (2.29), embora, as varáves estejam escrtas a forma admesoal, pode ser utlzado para cálculo de escoametos com varáves dmesoas, como dto aterormete, para sto basta tomar Re, Gr e Gr m utáros. No cálculo de escoametos utlzado as varáves admesoas as propredades físcas são tomadas utáras. Na Eq. (2.28), a vscosdade efetva será cosderada da segute forma: µ para escoametos lamares µ e = µ µ t para escoametos turbuletos ; (2.3) Algumas varáves represetadas as Eq. (2.29) são mostradas a Tabela 2.. Os parâmetros admesoas: úmero de Reyolds, Re; úmero de Pradtl, Pr; úmero de Grashof, Gr; úmero de Schmdt, Sc, são defdos em fução das propredades de referêca da segute forma: Re ρ u L 0 0 = ; µ 0 0c p µ ρ0 gβ 0 TL Pr = ; Gr = ; 2 k µ 0 0 Sc µ 0 = (2.32) ρ D 0 0 Tabela 2. - Varáves, propredades e termos das equações (2.27) e (2.29). Nome φ Γφ Calor T T 0 T t Sφ µ µ Geração de calor t Pr Pr Massa C µ µ Reações químcas t Sc Sc t

37 45 As propredades ada ão defdas são: o calor específco à pressão costate, c p ; a codutvdade térmca, k; e a dfusvdade de uma espéce, D o caso de trasferêca de massa.

38 47 CAPÍTULO 3 - DESENVOLVIMENTO DO MODELO NUMÉRICO Neste capítulo é apresetada a metodologa umérca para resolver o sstema de equações dferecas goverates apresetado o capítulo 2. Ates, é apresetado um resumo do método de resíduos poderados, que se costtu a base matemátca dos prcpas métodos umércos usados em CFD (Computatoal Flud Dyamcs): dfereças ftas, volumes ftos e elemetos ftos. 3. Método de Resíduos Poderados O Método de Resíduos Poderados (MWR Method of Weghted Resdual) possblta obter soluções aproxmadas de equações dferecas que ão possuem um fucoal assocado. Desta forma, cosdere um sstema físco, cotíuo e permaete, o qual pode ser descrto por um sstema de equações dferecas parcas de ordem m (lear ou ão lear) sobre um domío Ω como a segur (Reddy, 993; Jourglard,2002): ( ) f = 0 A u Ω (3.) ode u uma gradeza qualquer a ser calculada e sujeta a codções aturas de cotoro sobre o cotoro Γ N, dadas por A ( u) e ( u) ( u) g = 0 M. (3.2) Γ M são operadores dferecas. O operador dferecal A pode ser escrto como o exemplo segute: A () = () ( ) k x k y (3.3) x x y y

39 48 Uma solução aproxmada u ~ da fução u substtuída a equação dferecal (3.) e em sua codção de cotoro atural dada pela Eq. (3.2), produzrá os resíduos domío e R R Ω Γ R Γ em seu cotoro, dados por: ( u ~ ) = A( u~ ) f 0 em Ω ~ ~ Γ ( u ) = M ( u ) g 0 em N R Ω em seu (3.4) (3.5) A déa básca do MWR é que seja satsfeta a segute codção: Ω W R Ω ( u) dω W R ( u) dγ = 0 Γ N Γ (3.6) para quasquer par de fuções arbtráras W e W tegráves e ão ulas. Satsfetas tas codções pode-se demostrar que a fução u é a solução exata da equação dferecal e de suas codções de cotoro aturas. 3.. Aproxmação medate MWR A partr da déa descrta o tem 3. é possível gerar soluções aproxmadas da segute forma: u ~ = a N ( x, y) (3.7) = em que as fuções de terpolação ( x, y), dadas pelas Tabelas 3. e 3.2, satsfazem as N codções de cotoro essecas e as costates a são coefcetes a determar mpodo codções da forma: Ω W R ~ ~ = Ω ( u ) dω W R ( u ) dγ = 0,,2,...,. Γ N Γ (3.8) As fuções W e W são cohecdas como fuções de poderação ou fuções peso, as quas são defdas segudo o método empregado. A segur são descrtos, resumdamete, estes métodos.