UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA ROSIANE CRISTINA DE LIMA

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1 uesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ROSIANE CRISTINA DE LIMA Smulação de Grades Escalas de Escoametos Icompressíves com Trasferêca de Calor e Massa por um Método de Elemetos Ftos de Subdomío Ilha Soltera, feverero de 2005.

2 Lvros Gráts Mlhares de lvros gráts para dowload.

3 uesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Smulação de Grades Escalas de Escoametos Icompressíves com Trasferêca de Calor e Massa por um Método de Elemetos Ftos de Subdomío ROSIANE CRISTINA DE LIMA Dssertação apresetada à Faculdade de Egehara de Ilha Soltera UNESP, como parte dos requstos para obteção do título de Mestre em Egehara Mecâca. ORIENTADOR: PROF. DR. JOÃO BATISTA CAMPOS SILVA Ilha Soltera, feverero de 2005.

4 FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técca de Aqusção e Tratameto da Iformação/Servço Técco de Bbloteca e Documetação da UNESP-Ilha Soltera L732s Lma, Rosae Crsta. Smulação de grades escalas de escoametos compressíves com trasferêca de calor e massa por um método de elemetos ftos de subdomío. -- Ilha Soltera : [s..], p. : l. Dssertação (mestrado) - Uversdade Estadual Paulsta. Faculdade de Egehara de Ilha Soltera, 2005 Oretador: João Batsta Campos Slva Bblografa: p Dâmca de fludos. 2. Método dos elemetos ftos. 3. Naver-Stokes, Equações de. 4. Turbulêca. 5. Calor Trasmssão. 6. Poluetes.

5 uesp ~;!~~ UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE ILHASOLTEIRA FACULDADEDE ENGENHARIADE ILHASOLTEIRA CERTIFICADO DE APROVAÇÃO TíTULO: SIMULAÇÃO DE GRANDES ESCALAS DE ESCOAMENTOS INCOMPRESsíVEIS COM TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA POR UM MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS DE SUBDOMíNIO AUTORA: ROSIANE CRISTINA DE LIMA ORIENTADOR: Dr. JOAO BATISTA CAMPOS SILVA Aprovado como parte das exgêcas para obteção do Título de MESTRE em ENGENHARIA MECÂNICA pela CO~SSãO Examadora Dr. JOAO B~~;tOS SILVA Data da realzação:22 de feverero de 2005 '0;u L~ Presdete da Comss o Examadora Dr. JOAO BATISTA CAMPOS SILVA '"'

6 À mha mãe Marl e a mha avó Aa. Aos meus rmãos Ala e Pâmela.

7 AGRADECIMENTOS O valor das cosas ão está o tempo em que elas duram, mas a tesdade com que elas acotecem. Por sso exstem mometos esquecíves, cosas explcáves e pessoas comparáves. (Ferado Pessoa) Durate toda a mha vda tve a sorte de cohecer pessoas que me fzeram ser o que sou hoje, mas três delas foram comparáves. Uma delas é mha avó Aa, que detro de toda sua dfculdade e humldade sempre me ajudou, mesmo que com pouco cetvo por receo que eu sofresse com o fracasso, dspôs de algumas votades para fazer a mha. Agradeço-a por ter cofado que seu vestmeto ão sera em vão sem em questoar. A outra pessoa é o José Roberto Noguera, o qual fo meu professor de graduação e meu grade cetvador do mestrado. Agradeço a ele por ter acredtado a mha capacdade e por ter me feto acredtar também. A outra pessoa comparável é João Batsta Campos Slva, que acetou me oretar durate o mestrado e acabou gahado uma flha, com todos os problemas e preocupações que um flho dá e desempehou o papel com grade louvor. Agradeço por todos os mometos, por todo carho, pela pacêca, pelos mometos de descotração, por ter me ajudado a crescer, ão só academcamete, mas também como ser humao. Agradeço a todas as pessoas que tveram presetes os bos e maus mometos. Aos amgos que fz em Ilha Soltera e que vou procurar cultvar. Agradeço ao Vater que esteve sempre presete, mesmo a dstâca, os mometos mas dfíces sempre com muto carho, compreesão e pacêca. Agradeço as mhas amgas de repúblca, Kéter, Vaessa e Jussara pela amzade, pelo compahersmo, pela compreesão e pela pacêca. Agradeço ao professor de glês Wager Ctra, da escola de glês YEP, o qual me cocedeu uma bolsa o curso de glês. Agradeço ao Odacr por ter se mostrado um grade amgo um mometo muto mportate, muto obrgada pela dedcação. A todos muto obrgada e mha etera gratdão. Agradeço a CNPq pelo suporte facero.

8 ... O da está a mha frete, esperado para ser o que eu quser. E aqu estou eu, o escultor que pode dar a forma. Tudo depede de mm... (Charles Chapl)

9 RESUMO Lma, Rosae Crsta de Lma, Smulação de Grades Escalas de Escoametos Icompressíves com Trasferêca de Calor e Massa por um Método de Elemetos Ftos de Subdomío, Ilha Soltera, Faculdade de Egehara de Ilha Soltera UNESP, 2005, 6 p., Dssertação (Mestrado em Egehara Mecâca) O objetvo prcpal deste trabalho é a smulação umérca de escoametos vscosos, compressíves e trasetes, com trasferêca de calor e massa; através do método de elemetos ftos de subdomío; usado a metodologa de smulação de grades escalas para a modelagem da turbulêca. Algumas aplcações de teresse são as smulações de escoametos com trasporte de um escalar, como os casos de dspersão de poluetes duzda pelo movmeto do ar atmosférco. O domío é dscretzado usado elemetos ftos quadrlateras de ove ós e as equações são tegradas em volumes de cotrole ao redor dos ós dos elemetos ftos. As equações goverates passam por um processo de fltragem, devdo à metodologa aplcada, Smulação de Grades Escalas (LES Large-Eddy Smulato), e desta forma as maores escalas são resolvdas dretamete através da solução das equações de Naver-Stokes fltradas, equato que as meores escalas ou escalas submalhas são modeladas, pelo modelo de vscosdade turbuleta de Smagorsky. Algus casos testes bdmesoas clásscos são resolvdos para valdação do códgo e os resultados são apresetados e comparados com resultados dspoíves a lteratura. Algus poucos casos de dspersão de poluetes em geometras que smulam câos de ruas (urba street cayos) foram também smulados. Palavras-chave: Método de Elemetos Ftos, Equações de Naver-Stokes, Smulação de Grades Escalas de Turbulêca, Trasferêca de Calor, Dspersão de Poluetes

10 ABSTRACT Lma, Rosae Crsta de Lma, Large-Eddy Smulato of Icompressble Flows wth Heat ad Mass Trasfer by a Sub-doma Fte Elemet Method, Ilha Soltera, Faculdade de Egehara de Ilha Soltera UNESP, 6 p., Dssertação (Mestrado em Egehara Mecâca) The ma purpose of ths work s the umercal smulato of vscous, compressble ad usteady flud flows by a sub-doma fte elemet method, usg the methodology of large-eddy smulato (LES) for turbulece modelg. Some applcatos of terest are sothermal ad thermal flows wth trasport of scalar varable such as the pollutat dsperso the atmosphere by arflow. The doma s dscretzed usg e-odes quadrlateral fte elemets ad the equatos are tegrated to cotrol volumes aroud the odes of the fte elemets. The govermet equatos are submtted to a flterg process for applcato of LES methodology, whch the large scales are drectly solved usg the fltered Naver-Stokes equatos, whle the small or sub-grd scales are modeled by the eddy vscosty model of Smagorsky. Two-dmesoal bechmark problems are solved to valdate the umercal code ad the results are preseted ad compared wth avalable results from the lterature. Some cases of pollutat dsperso geometres that smulate urba street cayos have bee also smulated. Keywords: Fte Elemet Method, Naver-Stokes Equatos, Large-eddy smulato, Heat Trasfer, Pollutat Dsperso.

11 LISTA DE SÍMBOLOS Letras Latas A área de um volume de cotrole C cocetração Cs costate de Smagorsky c p calor específco à pressão costate D coefcete de dfusão de massa g gravdade Gr úmero de Grashof Gr m úmero de Grashof da massa G ( x r x r ) - fução fltro J t - massas submalhas k codutvdade térmca [W/mK] L comprmeto característco [m] N α - fução de terpolação para o espaço N α ' - fução de terpolação para a pressão p pressão dmesoal [N/m 2 ] p p P = - pressão admesoal ρu Pr úmero de Pradtl Pr t úmero de Pradtl turbuleto q tj - fluxos de calor submalha Ra úmero de Raylegh Re úmero de Reyolds Re t úmero de Reyolds turbuleto Sc úmero de Schmdt Sc t úmero de Schmdt turbuleto S j - taxa de deformação

12 S u - termo fote a equação de quatdade de movmeto a dreção x S φ - termo fote uma equação de trasporte para a varável φ t * coordeada do tempo dmesoal [s]. Se admesoal: * t = t u / L 0 T temperatura u compoete de velocdade dmesoal a dreção do exo x u compoete de velocdade em otação tesoral cartesaa a dreção do exo x v - compoete de velocdade dmesoal a dreção do exo y U = u / u 0 - compoete de velocdade admesoal a dreção do exo X [K] [m/s] [m/s] [m/s] U compoete de velocdade admesoal em otação tesoral cartesaa a dreção do exo X V = v / v 0 - compoete de velocdade admesoal a dreção do exo Y X = x / L - abscssa admesoal o sstema de coordeadas cartesaas x abscssa o sstema de coordeadas cartesaas em otação tesoral X = x L - exos do sstema de coordeadas cartesaas em otação tesoral / Y = y / L - ordeada admesoal o sstema de coordeadas cartesaas y ordeada o sstema de coordeadas cartesaas em otação tesoral Letras Gregas α - ídce que dca o úmero do ó local ou do subvolume de cotrole um elemeto β - coefcete de expasão volumétrca térmca [K] - β m - coefcete de expasão volumétrca térmca devdo a varação de cocetração δ j - delta de Kroecker - espessura do fltro η - ordeada do sstema de coordeadas local o elemeto de referêca ( T T ) T θ = / - temperatura admesoal 0 µ - vscosdade dâmca [kg/ms] µ e - vscosdade dâmca efetva [kg/ms] µ t - vscosdade dâmca turbuleta [kg/ms]

13 ν - vscosdade cemátca [m 2 /s] ν e - vscosdade cemátca efetva [m 2 /s] ν t - vscosdade cemátca turbuleta [m 2 /s] ξ - abscssa do sstema de coordeadas local o elemeto de referêca ρ - massa específca [kg/m 3 ] τ j - tesões submalhas φ - varável qualquer a equação de trasporte de um escalar Φ - escalar ψ - fução de correte [s] - ω j - compoete do vetor rotação a dreção do exo x j Γ - um coefcete de dfusão as equações de trasporte, Equação (2.4)... Superescrtos - sgfca gradeza avalada o tempo t - sgfca gradeza avalada o tempo t t k - teração ateror o processo de solução um tempo t qualquer k - teração k cremetada o processo de solução um tempo t qualquer * - usado para dcar varável dmesoal... Subscrtos I - represeta dreção do exo o sstema de coordeadas α - represeta o subvolume de cotrole assocado a um ó de elemeto β - represeta a fução de terpolação assocada ao ó de um elemeto 0 - represeta uma varável ou propredade um estado de referêca...

14 Abrevações CFD Dâmca de Fludos Computacoal CLA Camada Lmte Atmosférca CLP Camada Lmte Plaetára CVFDM Método de Dfereças Ftas baseado em Volumes de Cotrole CVFEM Método de Elemetos Ftos baseado em Volumes de Cotrole DNS Smulação Numérca Dreta DTM Modelo Tesoral Dâmco EPA Agêca de Proteção Ambetal FDM - Método de Dfereças Ftas FEM - Método de Elemetos Ftos FVM Método de Volumes Ftos LES Smulação de Grades Escalas RANS Equações Médas de Reyolds WRM Método de Resíduos Poderados... Sglas DEM Departameto de Egehara Mecâca FEIS Faculdade de Egehara de Ilha Soltera UNESP Uversdade Estadual Paulsta Julo de Mesquta Flho UNICAMP Uversdade Estadual de Campas

15 2 SUMÁRIO CAPÍTULO INTRODUÇÃO 23. Dâmca dos Fludos Computacoal 23.2 Métodos Numércos 25.3 Smulação de Escoametos Turbuletos 28.4 Polução Atmosférca 30.5 Escopo e Objetvos do Trabalho 3.6 Orgazação do Trabalho 32 CAPÍTULO 2 - MODELO MATEMÁTICO Formulação Matemátca Tratameto da Turbulêca: Smulação de Grades Escalas Processos de Fltragem das Equações e de Separação das Escalas Modelagem Submalha da Turbulêca: Modelo de Smagorsky Admesoalzação das Varáves 42 CAPÍTULO 3 - DESENVOLVIMENTO DO MODELO NUMÉRICO Método de Resíduos Poderados Aproxmação medate MWR Dscretzação dos Domíos para Problemas Bdmesoas Itegração das Equações os Subvolumes de Cotrole Dscretzação o Tempo Dscretzação Espacal das Equações - Aplcação de um Método de Elemetos Ftos por Volumes de Cotrole (CVFEM) Solução do Sstema de Equações Dscretzadas Estrutura do programa computacoal 7

16 22 CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES DO MODELO NUMÉRICO PARA ESCOAMENTOS ISOTÉRMICOS Escoameto uma Cavdade Quadrada com Parede Superor Deslzate Square Ld-Drve Cavty Flow Geometra e codções de cotoro Escoameto um Caal com Expasão em Degrau Backward-Facg Step Flow Perfl de Velocdade Parabólco a Etrada do Caal Geometra e Codções de Cotoro Resultados com perfl de velocdade parabólco a etrada Perfl de Velocdade Uforme a Etrada do Caal Geometra e Codções de Cotoro Resultados com perfl de velocdade uforme a etrada 97 CAPÍTULO 5 APLICAÇÕES PARA ESCOAMENTOS NÃO ISOTÉRMICOS 0 5. Escoameto por Covecção Natural e Trasporte de uma Gradeza Escalar uma Cavdade Quadrada Casos de Covecção Natural com Dspersão de Poluete. Malha 2 por 2 elemetos Casos de Covecção Natural com Dspersão de Poluete. Malha 40 por 40 elemetos. 06 CAPÍTULO 6 CASOS DE CONVECÇÃO MISTA COM DISPERSÃO DE POLUENTE EM CÂNIONS URBANOS URBAN STREET CANYONS FLOWS 3 6. Dspersão de Poluetes em Câos Urbaos Urba Street Cayos Dspersão de Poluetes um caal com dos obstáculos de alturas dferetes Geometra e Codções de Cotoro Resultados Covecção msta, razão do úmero de Grashoff pelo quadrado do úmero de Reyolds gual a Covecção msta, razão do úmero de Grashoff pelo quadrado do úmero de Reyolds gual a 4 2 CAPÍTULO 7 CONCLUSÃO E DESDOBRAMENTOS DO TRABALHO Coclusões Desdobrametos do Trabalho 36 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 37 ANEXO I RESULTADOS NUMÉRICOS 45

17 23 CAPÍTULO INTRODUÇÃO. Dâmca dos Fludos Computacoal O teresse pelo estudo do movmeto dos fludos exste há város séculos, devdo à sua preseça em grade parte dos processos que ocorrem a atureza e em mutas aplcações em egehara. Hstorcamete, a mecâca dos fludos preocupou-se em estudar esses movmetos expermetalmete muto ates do que matematcamete (Fortua, 2000). Até mesmo porque, a descrção matemátca desses movmetos só fo possível a partr do século XIX com as equações de Naver-Stokes. Apesar, da úca restrção para a aplcação de tas equações ser para meos cotíuos, sua solução aalítca tora-se extremamete complexa quado sujetas a regões arbtráras com codções de cotoro geras, pos se tratam de equações dferecas parcas (EDPs) ão leares e a matemátca ada ão está embasada sufcetemete para resolvê-las. Desta forma, soluções aalítcas das equações de Naver- Stokes só são possíves para algus poucos casos bastate smplfcados e dealzados. Com o adveto do computador, a partr dos aos de 950, surgu a alteratva de se obter soluções umércas das equações de Naver-Stokes, utlzado téccas computacoas, para a obteção dos campos de velocdade, pressão, etc, que compõem o escoameto. Com sto, surgu de uma ova lha de estudos de fludos, deomada Dâmca de Fludos Computacoal (CFD Computatoal Flud Dyamcs), que é a área da computação cetífca que estuda métodos computacoas desevolvdos para realzação de expermetos computacoas ou smulações umércas de escoametos, em regões arbtráras e com codções de cotoro geras, evolvedo escoametos com ou sem trasferêca de calor. Nos últmos aos, esta área gahou mutos adeptos, tato que, os das atuas, essas smulações estão sedo muto utlzadas por pesqusadores e projetstas, para preverem o As sglas usadas este trabalho acompaham o habtualmete empregado a lteratura teracoal.

18 24 comportameto de produtos de egehara, ou para verfcar uma stuação físca sedo mpostas as devdas codções de cotoro. Pode-se ctar dversas razões que levaram ao crescmeto do teresse de cetstas e egeheros a desevolverem estudos esta área (Löer, 200): ecessdade de prever o comportameto de um determado produto, pos defetos ão vsíves podem causar falhas e ter um efeto devastador sobre o produtor; o custo de um expermeto pode ser muto alto, por exemplo, um teste subterrâeo de um artefato uclear custara, aproxmadamete, U$ 0 8 ; algus expermetos podem ser probtvos, ou por ão serem passíves de reprodução em laboratóro, ou por terem alto rsco, como por exemplo stuações bomédcas; a trospecção é uma das grades vatages do CFD, pos smulações umércas oferecem mas formações sobre o escoameto do que os expermetos. Além dsso, uma malha com 2x0 7 potos é equvalete a um expermeto com 2x0 7 sesores ou strumetos de medda; mas uma vatagem de CFD ctada por Löer (200) é o avaço computacoal. Segudo o autor por volta de 983 um problema com cerca de 000 elemetos ftos era cosderado excessvamete grade, hoje um problema desta magtude pode ser faclmete resolvdo, mesmo um computador pessoal. Esses são algus dos motvos que toram a smulação umérca mas teressate, justfcado, assm, o úmero de pesqusadores adeptos desse tpo de estudo. Apesar de todas essas vatages apresetadas pelos procedmetos umércos ão se pode dexar de ressaltar a mportâca das aálses teórcas (aalítca) e dos métodos expermetas, pos têm crucal mportâca a valdação de códgos umércos. A Tabela. lustra uma comparação etre as três estratégas para solucoar problemas da mecâca dos fludos.

19 25 Tabela. Comparação etre as três téccas de solução (Taehll et. al., 997). Técca Vatages Desvatages Expermetal - Mas Realsta - Equpameto exgdo - Problemas de escala - Dfculdades de medção - Custo operacoal - Mas Geral - Fórmula fechada Teórca (Aalítca) Numérca - Não há restrção - Geometras e processos complcados - Evolução temporal do processo - Restrta a geometras e processos físcos smples - Geralmete restrta a problemas leares - Erros de trucameto e arredodameto - Prescrção das codções de cotoro apropradas - Custos operacoas.2 Métodos Numércos A dâmca dos fludos computacoal (CFD), como já fo dto, requer o uso de métodos umércos para se calcular as gradezas de teresse os escoametos, em potos do domío físco, geralmete, deomados de potos odas ou, smplesmete, ós. Os prcpas métodos utlzados para smulação umérca de escoametos de fludos são: Métodos de Dfereças Ftas (FDM - Fte Dfferece Method); Métodos de Dfereças Ftas baseado em Volumes de Cotrole (CVFDM - Cotrol Volume Fte Dfferece Method); Método de Volumes Ftos (FVM - Fte Volume Method); Métodos de Elemetos Ftos (FEM - Fte Elemet Method) e Métodos de Elemetos Ftos baseado em Volumes de Cotrole (CVFEM - Cotrol Volume-Fte Elemet Method). Na realdade, todos estes métodos umércos dervam de um úco método cohecdo como Método de Resíduos Poderados (MWR - Method of Weghted Resduals), sedo dferecados matematcamete pela fução de poderação ou, smplesmete, fução peso aplcada a aulação do resíduo. No Capítulo 3, apresetam-se os prcpas aspectos do método de resíduos poderados e respectvas fuções de poderação que dão orgem aos prcpas métodos umércos ecotrados a lteratura. Algus cometáros sobre os prcpas métodos utlzados para cálculos de escoametos de fludos são fetos a segur. O método de dfereças ftas tem sdo usado para o cálculo de escoametos de fludos e trasferêca de calor; o que pode ser observado pela grade quatdade de trabalhos a lteratura especalzada; exstdo mutos códgos computacoas baseados o mesmo.

20 26 Város autores afrmam que uma lmtação deste método está a dscretzação de domíos com complexdade geométrca, problema este que pode ser parcalmete solucoado pelo uso de malhas ão-ortogoas. Um método apresetado por Patakar (980); deomado a lteratura de método de volumes ftos (FVM - Fte Volume Method), também chamado por mutos autores de método de dfereças ftas baseado em volumes de cotrole (CVFDM - Cotrol Volume Fte Dfferece Method), costtu-se hoje em um dos prcpas métodos para aálse umérca de escoametos e trasferêca de calor. A característca prcpal deste método é a fácl terpretação físca dos termos das equações em termos de fluxos, fotes e forças, devdo ao fato da formulação resultate ser de atureza coservatva uma vez que tal formulação é obtda através dos prcípos de coservação. O método de volumes de cotrole com malhas ortogoas e ão-ortogoas em coordeadas geeralzadas, para o tratameto de geometras rregulares, tem sdo mplemetado por város grupos de pesqusa e aplcado a solução de problemas de escoametos e trasferêca de calor, (Campos-Slva, 998). Devdo às dfculdades em se utlzar o método das dfereças ftas em geometras complexas, o método de elemetos ftos, calmete desevolvdo para aálse de estruturas, começou a ser aplcado para o caso de escoametos, devdo à sua grade versatldade a dscretzação de domíos geometrcamete complexos. O método torou-se amplamete aceto a partr dos aos 60, quado foram cadas pesqusas em váras partes do mudo. Daquela época para cá sofreu algumas reformulações e desde 967, após a serção do método, pode-se ecotrar uma vasta lteratura devotada a teora e aplcação do método, (Dath & Touzot, 984). Algumas referêcas báscas que tratam da aplcação do método de elemetos ftos (FEM) em escoametos de fludos são: Coor & Brebba (976), Chug (978), Baker (983), Saabas (99) e Whtg (999). O método de elemetos ftos tem sdo combado com téccas de upwd, que procuram adequá-lo para o cálculo de escoametos de fludos e trasferêca de calor para altos úmeros de Reyolds e de Peclet, e atualmete este método é também muto utlzado para smulação umérca tato de escoametos lamares quato turbuletos e/ou trasferêca de calor. De forma bastate sucta, o termo "upwd" deoma uma técca especal de dscretzar os termos covectvos das equações de trasporte, em problemas os quas predoma a covecção, de forma que a fluêca do escoameto à motate tem mas peso sobre os coefcetes da matrz das equações dscretzadas. O objetvo é elmar coefcetes egatvos as equações algébrcas que podem levar a resultados sem sgfcado físco. O presete trabalho ão utlza tal técca.

21 27 O método de elemetos ftos clássco é cohecdo como método de elemetos ftos de Galerk. Outra varate do método de elemetos ftos é cohecda como método de elemetos ftos de mímos quadrados. Neste trabalho, é abordada uma tercera vertete do método de elemetos ftos cohecda como Método de Elemetos Ftos baseado em Volumes de Cotrole (CVFEM - Cotrol Volume Fte Elemet Method) ou também cohecdo como Método de Subdomíos. No presete trabalho será utlzado o termo CVFEM. Este método fo prmeramete apresetado por Balga & Patakar (980), Balga & Patakar (983), Balga, Pham & Patakar (983), usado elemetos tragulares para dscretzação do domío. Posterormete, Scheder & Raw (986, 987) apresetaram este método para elemetos ftos quadrlateras leares (elemetos com 4 ós). Raw, Scheder & Hassa (985) utlzaram um elemeto fto quadrlateral quadrátco (elemeto com ove ós) para problemas de codução de calor. Também tem sdo utlzado um elemeto fto com oto ós (equvalete a elmar o ó cetral do elemeto ateror), cohecdo como elemeto de seredpty, o método de elemetos ftos de Galerk para resolução de problemas de escoametos. Segudo Saabas (99), CVFEM oferece uma combação da flexbldade geométrca do FEM e a fácl terpretação físca assocada com o Método de Volumes Ftos (FVM Fte Volume Method). A formulação de CVFEM evolve cco passos báscos, Saabas (99):. a dscretzação do domío em elemetos e uma dscretzação em volumes de cotrole assocados com os ós dos elemetos; 2. a prescrção de fuções de terpolação baseadas os elemetos para as varáves depedetes; 3. dervação de equações dscretzadas, que são aproxmações algébrcas das equações dferecas goverates; 4. uma motagem de elemeto por elemeto das equações dscretzadas; 5. prescrção de um processo para resolver as equações dscretzadas resultates. A aplcação de um método umérco também pode ser dvdda em três etapas prcpas, as quas, a omeclatura do método de elemetos ftos, são: pré-processameto, processameto e pós-processameto. Na etapa de pré-processameto, defe-se a geometra ou domío físco do problema; domío este dscretzado por algum tpo de elemeto, costtudo a malha de elemetos ftos. Nesta etapa podem ser defdas as propredades físcas do fludo e demas parâmetros (codções de cotoro e cas) ecessáros para a solução do problema. Na fase de processameto, aplca-se um solver (ome usado a lteratura para programas umércos) baseado o modelo umérco para obteção das gradezas de teresse (velocdade, pressão, temperatura) em potos do domío deomados

22 28 de ós dos elemetos. Na etapa de pós-processameto os resultados são aalsados para se verfcar a valdade do modelo umérco ou para os propóstos para os quas se resolveu o problema. Téccas de vsualzação gráfca, geralmete, são empregadas para aálse dos resultados. Uma vez valdado o solver, pode-se aplcá-lo para o projeto de modelos de equpametos ode ocorrem os escoametos. Neste trabalho, cocetra-se a fase de processameto. A segur será apresetada uma breve descrção de metodologas aplcadas à smulação de escoametos turbuletos e posterormete serão defdos os objetvos prcpas do trabalho..3 Smulação de Escoametos Turbuletos A maora dos escoametos são turbuletos, (Möller & Slvestr, 2004), (Slvera- Neto, 2002) e (Tejada-Matíez, 2002). A turbulêca é um feômeo que ocorre freqüetemete a atureza, por sso tem sdo objeto de estudos de város pesqusadores há város séculos, (Matos et. al. 999). Segudo Pomell (999) e Frere (2002) em 50, Leoardo da Vc fez város desehos de escoametos turbuletos, os quas as stabldades eram muto bem represetadas. Um desevolvmeto hstórco mas detalhado sobre a turbulêca pode ser ecotrado em Frere (2002). Um grade avaço o estudo desse tpo de problema fo atgdo as últmas décadas devdo ao avaço dos métodos expermetas e sstemas de aqusção eletrôca de dados e avaços espetaculares em métodos umércos e recursos computacoas. Na modelagem da turbulêca três metodologas são mas usuas: smulação umérca dreta (DNS Drect Numercal Smulato), equações médas de Reyolds (RANS Reyolds Averaged Naver-Stokes) e smulação de grades escalas (LES). No capítulo 2 é apresetada a modelagem da turbulêca e uma breve descrção de LES. Para se fazer DNS é ecessáro uma malha sufcetemete fa para poder resolver todas as escalas, o que acarreta um custo computacoal muto alto, por sso esta metodologa somete é usada para baxos úmeros de Reyolds. RANS tem custo o computacoal mas baxo que DNS, porém somete estruturas maores são resolvdas e as codções de cotoro ão são tão smples de serem mpostas. A vatagem de LES sobre DNS é que, devdo ao processo de separação das escalas e ao processo de modelagem dos tesores submalhas adcoas que aparecem, é possível resolver escoametos a altos Reyolds. Segudo Bogey et. al. (2003), etre os três métodos dferetes, LES aparece como o mas teressate para aproxmar uma ampla classe

23 29 de escoametos, uma vez que ão é restrto a baxos úmeros de Reyolds como DNS, e ao cotráro de RANS, uma parte mportate das pequeas escalas pode ser calculada precsamete, se cosderadas corretamete pela resolução da malha. Um largo espectro de eerga é uma das mas mportates característcas de escoametos turbuletos. A coseqüêca medata é que é muto dfícl smular todas as escalas que o caracterzam, ou seja, o uso da Smulação Numérca Dreta (DNS) somete é possível para algus poucos casos com baxos Reyolds e a grade maora dos escoametos é caracterzada por altos úmeros de Reyolds. As característcas da turbulêca segudo Boço (998), Slvera-Neto (2002, 2003) e Tejada-Martíez (2002) são:. os escoametos turbuletos são trdmesoas, são rotacoas, rregulares e radômcos, o setdo de que a velocdade vara radomcamete com o tempo; 2. ocorrem a altos úmeros de Reyolds. O úmero de Reyolds represeta a razão etre as forças ercas e as forças vscosas do escoameto; 3. são fortemete dsspatvos, ou seja, há cotuamete coversão de eerga cétca em eerga tera. Assm, a turbulêca deca se ão houver eerga sedo forecda cotuamete; 4. são caracterzados pelo amplo espectro de escalas de movmeto dferetemete dos escoametos lamares, os quas tem poucas escalas. Tas escoametos apresetam uma sére de estruturas turblhoares que podem varar desde o tamaho do domío até mutas ordes de magtude meores. Esses vórtces dstrbuem-se segudo um espectro de freqüêcas. Vórtces maores têm freqüêca meor e os meores têm freqüêcas maores; 5. são fortemete dfusvos. As flutuações de velocdade a turbulêca resultam em taxas de trasferêca de quatdade de movmeto, calor e massa (ou qualquer outra propredade escalar) que podem ser mutas ordes de magtude maores do que aquelas devdo ao trasporte molecular (ou dfusão molecular). De fato, quado porções de fludo deslocam-se em vórtces, levam cosgo suas propredades trasportado-as para outra regão do escoameto. Neste setdo, o trasporte de propredades pelos vórtces turbuletos é aálogo ao trasporte dfusvo molecular, mas em escala muto maor; 6. a turbulêca é característca de escoametos e ão de fludos. Se o úmero de Reyolds é sufcetemete alto, a maora das dâmcas assocadas à meor escala a turbulêca é a mesma para todos os fludos. Em resumo, as característcas prcpas de escoametos turbuletos ão são cotroladas pelas propredades da partícula do fludo.

24 30.4 Polução Atmosférca A polução é caracterzada quado uma cocetração de certas substâcas se toram mprópras, ocvas ou ofesvas ao meo ambete, começado a afetar o equlíbro atural e prejudcado formas de vda exstetes a Terra. Embora o meo ambete possua mecasmos aturas que lhe permtem receber uma certa cocetração de resíduos, sem que se torem poluetes, os últmos aos, as quatdades de poluetes emtdos estão sedo maores do que a suportada pela atureza e, mesmo com todo o cotrole realzado por parte de etdades ambetas, o problema está se agravado, o que aflge as populações e o meo ambete, prcpalmete, os grades cetros urbaos. A emssão de poluetes pode alterar as codções atmosfércas, provocado, o homem, dstúrbos respratóros, alergas, lesões degeeratvas o sstema ervoso e os órgãos vtas e até mesmo câcer. Em cdades muto poluídas, os dstúrbos se agravam o vero com a versão térmca, quado uma camada de ar fro forma uma redoma a alta atmosfera, aprsoado o ar quete e mpeddo a dspersão dos poluetes. Este feômeo é comum em mahãs fras de vero, com pouco veto e mutas uves. O teresse pelo estudo da dspersão de poluetes em zoas urbaas se deve à cetralzação do problema esta área. Em zoas urbaas, a polução pode ser causada por fotes móves que são as refaras, as dústras petroquímcas, sderúrgcas, fábrcas de papel, celulose e cmeto, bem como por fotes móves, que são os veículos automotores, resposáves pela emssão de gases, resultates da combustão em seus motores, cotedo óxdos de trogêo, moóxdo e dóxdo de carboo, dóxdo de exofre e dervados de hdrocarboetos. Os veículos automotores são resposáves por 40% da polução as cdades. Uma outra fote poludora é a ceração de lxos doméstcos e dustras, que emtem fumaças cotedo msturas de gases com varadas composções químcas. Em cdades como São Paulo, o lxo hosptalar é cerado a uma temperatura elevada em um foro especal. Desta forma, somete é lberado a atmosfera CO 2, sedo que metas pesados e poluetes, costtutes de algus remédos, se fudem e se depostam o fudo do foro.

25 3.5 Escopo e Objetvos do Trabalho O presete trabalho tem como objetvo prcpal troduzr a metodologa de smulação de grades escalas de turbulêca um modelo umérco desevolvdo por Campos-Slva (998), usado um método de elemetos ftos baseado em volumes de cotrole (CVFEM). Para tato, é utlzado um elemeto quadrlateral com ove ós para dscretzação do domío. Um programa fo desevolvdo com o tuto de smular algus casos de escoametos de fludos, em varáves prmtvas (u,v,p), com ou sem trasferêca de calor, em geometras bdmesoas, em regme permaete ou trasete. Um outro objetvo é aplcar tal método para cálculos de escoametos com trasporte de um escalar passvo, vsado aplcações voltadas para o estudo de dspersão de poluete, a atmosfera. Algumas geometras smples, porém extesvamete utlzadas para valdar códgos umércos, são utlzadas. Nesses domíos, uma fote poludora é fxada uma dada frotera para se verfcar como o poluete se espalha pelo domío, sob a fluêca de um dado campo de escoameto. Apesar da dspersão de poluetes a atmosfera ser um feômeo trdmesoal, este trabalho, por razões de smplcdade e melhor etedmeto das etapas, serão cosderados, apeas, casos bdmesoas. Poder-se-a cosderar que o equacoameto represetara o campo médo, quado se tegra as equações uma dada dreção, elmado a depedêca aquela dreção, Pa & Tsag (99). O elemeto fto de ove ós fo utlzado por Campos-Slva (998) para smulação de escoametos de fludos, sem modelagem de turbulêca. Assm uma das motvações do presete trabalho é amplar um solver desevolvdo aquele trabalho, pela trodução da metodologa de smulação de grades escalas. Os elemetos ftos mas utlzados, segudo lteratura pesqusada, como mecoado aterormete, o método de elemetos ftos por volumes de cotrole (CVFEM) para cálculos de escoametos de fludos são os elemetos tragulares com três ou ses ós ou elemetos quadrlateras com quatro ós. O elemeto fto quadrlateral com ove ós cotém três ós em cada face e um ó cetral. Neste elemeto podem ser defdas fuções de terpolação quadrátcas que podem levar a melhores resultados do que com o uso de fuções de terpolação leares. Outra vatagem deste elemeto é sua versatldade geométrca, pos pode ser deformado para represetar, de maera mas precsa, cotoros curvos de mutos domíos com complexdade geométrca ode os escoametos ocorrem. O uso de elemetos ftos leares pode comprometer a aproxmação de cotoros rregulares ou curvos se a malha ão puder ser sufcetemete refada ou o elemeto usado ão for aproprado.

26 32 O tratameto da turbulêca, como dto aterormete, é feto através de smulação de grades escalas (LES). Nesta metodologa, as equações goverates do problema passam por um processo de fltragem, que separa as escalas maores das meores. As escalas maores são resolvdas dretamete e as meores devem ser modeladas. Para tato, pode-se ecotrar a lteratura tato modelos dâmcos quato ão-dâmcos. O modelo dâmco ão requer a prcípo uma escala de comprmeto para ser especfcado, porém a questão que surge, ctada por Scott & Meeveau (997), é se tal modelo é cosstete para smular turbulêca sotrópca em malhas asotrópcas. Já o modelo de Smagorsky ão-dâmco faz-se ecessáro o ajuste da costate de Smagorsky, Cs. Segudo Hughes et. al. (2000) Cs=0,8 provê satsfatoramete casos de turbulêca sotrópca homogêea. LES, além de sua elegâca matemátca, é bem mas fácl de ser mplemetada do que modelos de turbulêca a duas equações, por exemplo, e embora, teha um custo computacoal mas elevado; com o crescmeto da capacdade computacoal tem gahado mutos adeptos..6 Orgazação do Trabalho Neste prmero capítulo, fo feta uma trodução, ode se procurou mostrar algus aspectos prcpas da dâmca dos fludos computacoal (CFD), dos métodos umércos mas utlzados, com êfase ao método de elemetos ftos baseado em volumes de cotrole (CVFEM) utlzado como ferrameta para solução dos problemas; um resumo sobre escoametos turbuletos e as metodologas dspostas a lteratura e, por fm, os objetvos e o escopo do trabalho. No capítulo 2, apreseta-se o modelo matemátco costtuído pelas equações de Naver-Stokes, equação de eerga e equação de trasporte de um escalar qualquer, as quas são admesoalzadas de modo que possam smular também problemas com varáves dmesoas. Nesse capítulo, também é feta a modelagem da turbulêca. No capítulo 3, faz-se uma apresetação do método de resíduos poderados (MWR) para, posterormete, apresetar a dscretzação das equações. O objetvo prcpal do capítulo 3 é apresetar o desevolvmeto do modelo umérco, segudo-se algus passos báscos para mplemetação de um modelo umérco. No capítulo 4, 5 e 6, são apresetados os resultados obtdos. No capítulo 4, apresetam-se resultados para problemas de escoametos cosderados como padrões, com o tuto de mostrar a valdação do códgo computacoal costruído com base o modelo umérco. No capítulo 5, apreseta-se um resultado de escoametos ão-sotérmcos, como o caso de covecção atural uma cavdade quadrada

27 33 com trasporte de um escalar. No capítulo 6, são apresetados resultados do modelo aplcado a problemas de dspersão de poluetes duzda pelo escoameto do ar atmosférco em covecção msta. Os escoametos smulados foram: o escoameto uma cavdade quadrada duzdo pelo movmeto da parede superor (square ld-drve cavty flow); escoameto um caal com uma expasão assmétrca, cohecdo como escoameto um degrau (backward-facg step flow); e escoametos em câos urbaos (urba street cayo flow). Os testes fetos este trabalho, embora, sejam de problemas já há muto vestgados, geralmete, são os problemas tomados como padrões para valdação de modelos umércos. E falmete, o capítulo 7, apresetam-se as coclusões e possíves desdobrametos a cotuação deste trabalho.

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29 35 CAPÍTULO 2 - MODELO MATEMÁTICO Neste capítulo, é apresetada a formulação matemátca do modelo proposto para um escoameto com ou sem trasferêca de calor. Esta formulação pode ser ecotrada a lteratura e as equações foram escrtas de forma a permtr tato smulações de escoametos em varáves admesoas, quato varáves dmesoas. 2. Formulação Matemátca O escoameto de um fludo pode ser modelado pelas equações de cotudade, de quatdade de movmeto e de eerga. A dedução dessas equações ecotra-se dspoível em Fox & MacDoald (995) e Ladau & Lfshtz (987) ou em outros lvros de Mecâca dos Fludos. Na obteção das equações matemátcas, algumas hpóteses são assumdas:. o efeto de varação da desdade é cosderado apeas as forças gravtacoas (hpótese de Boussesq), sedo a desdade expressa por: [ β ( T T ) ( C m )] ρ = ρ β C (2.) sedo ρ 0, T 0, β e C 0 uma desdade de referêca uma temperatura de referêca, T 0, o coefcete de expasão volumétrca térmca e uma cocetração de referêca, respectvamete. β m é o coefcete de expasão volumétrca devdo a varação de cocetração; 2. o fludo é ewtoao e o escoameto compressível; 3. o termo de geração de eerga também será desprezado, pos ão são cosderados efetos de geração tera de calor (absorção ou emssão de radação, por exemplo) em a preseça de umdade, a qual podera ser resposável por troca de calor latete; 4. podem exstr efetos das forças de Corols e de rotação do sstema de coordeadas. Cosderadas as hpóteses acma, as equações goverates podem ser escrtas, de forma geérca e em otação tesoral cartesaa, como:

30 36 Equações do escoameto: ( ρ u ) x = 0 (2.2) ( ρ u ) ( ρ u ju ) t x j p = x x j u µ x j u j x S u (2.3) Equações de trasporte de calor ou massa: ( ρ φ) ( ρ u jφ) t x j = x j Γ φ φ S x j φ (2.4) Nas Equações (2.2) a (2.4), embora, seja cosderado escoameto compressível, em todo o trabalho optou-se por ão extrar a desdade de detro da dervada. Nestas equações u represeta os compoetes de velocdade ao logo dos exos coordeados, os quas são represetados por x ; p represeta a pressão; ρ a massa específca; µ a vscosdade dâmca e Γ φ é um coefcete de dfusão que depede de qual varável φ está sedo trasportada; S u e S φ são termos fotes que podem eglobar outros termos, clusve dferecas, que ão são escrtos explctamete. Su [ g ( β ( T T ) β ( C C )) ( ε ω u ( ω x ) ω ( ω ω ) x )] = ρ 2 0 m 0 jl j l j j j j (2.5) Sedo g o compoete da aceleração da gravdade a dreção do exo x e ω j o compoete da velocdade agular de rotação do escoameto, se for o caso, em toro do exo x j. O sgfcado físco dos termos da Eq. (2.5) são dados a segur, algus deles também podem ser ecotrados em Fox & MacDoald (995). [ ( ( T ))] g β T 0 : empuxo devdo varação de desdade, pela mudaça de temperatura ;

31 37 [ ε ω u ] 2 : aceleração de Corols decorrete do movmeto da partícula detro do sstema jl j l de coordeadas cartesaas; ( x ) ω ( ω ω ) x ) ω : aceleração cetrípeta decorrete da rotação do sstema de j j coordeadas cartesaas. g β c ( C ) C 0 j j : aparece devdo à varação de cocetração de uma espéce. Na Eq. (2.4) o termo φ pode represetar quasquer varáves escalares, como: eerga cétca turbuleta, taxa de dsspação vscosa ou específca da eerga cétca turbuleta, temperatura ou cocetração de um cotamate um meo. 2.2 Tratameto da Turbulêca: Smulação de Grades Escalas No presete trabalho, a smulação de grades escalas (LES - Large Eddy Smulato) fo mplemetada um códgo de um método de elemetos ftos baseado em volumes de cotrole (CVFEM - Cotrol-Volume Fte Elemet Method), para resolver escoametos bdmesoas, compressíves de fludos ewtoaos. Nesta metodologa, as varáves do escoameto passam por um processo de fltragem, que separa as maores escalas das meores. Os termos fltrados são resolvdos dretamete usado as equações de movmeto, equato que um modelo submalha é empregado para represetar as meores estruturas. Devdo ao processo de separação das escalas, LES se torou uma das mas mportates metodologas para a solução de escoametos complexos, Slvera-Neto (2002) e, atualmete, vem sedo bastate empregada em problemas de teresse prátco. Segudo Frgo (2004) e Zag et. al. (993) uma das prmeras aplcações da LES em egehara fo realzada por Deardorff (970) a vestgação de um escoameto turbuleto o teror de um caal a altos úmeros de Reyolds Processos de Fltragem das Equações e de Separação das Escalas As Eqs. (2.2) a (2.4) represetam o escoameto compressível de um fludo ewtoao em regme trasete. Tas equações são, respectvamete, a coservação de massa, equação de quatdade de movmeto e equação de eerga. A solução dreta destas equações é possível apeas para baxos úmeros de Reyolds. Por sso quado se deseja

32 38 smular casos com altos Reyolds, opta-se por um processo de fltragem que separa as r escalas. Neste processo de fltragem, uma varável geérca f ( x, t) é decomposto em duas r ' r partes, uma parte fltrada, f ( x, t) e uma parte flutuate, f ( x, t), como r f ( x, t) = r f ( x, t) ' r f ( x, t) (2.6) As Fgs. 2. e 2.2 lustram, respectvamete, o esquemas da fução f (x) e sua compoete fltrada f (x) e o esquema udmesoal do fltro, apresetados por (Tejada- Martíez, 2002). Fgura 2. Fução f (x) e sua compoete fltrada f (x), (Tejada-Martíez, 2002). O processo de fltragem pode ser defdo como sedo uma tegral de covolução evolvedo a fução a ser fltrada e uma fução fltro aproprada: r r r r r f ( x, t) = f ( x, t) G( x x ) dx (2.7) D sedo que a barra deota uma varável fltrada ou de grade escala. G represeta a fução fltro; uma das mas utlzadas é a fução fltro por volume, dada a segur:

33 39 G r ( x) / = 0 3 se se r x r x / 2 > / 2 (2.8) Fgura 2.2 Esquema udmesoal do fltro, (Tejada-Martíez, 2002). Outros tpos de fltragem são: fuções gaussaas, Top-hat ou Sharp Fourer cut-off flters, Chdambaram (998); sedo o tamaho característco, geralmete, defdo como ( ) / 3 = x y z, com x sedo o comprmeto da malha o exo x. Em fução do processo de fltragem acma, as propredades clásscas da decomposção de Reyolds ão são mas verfcadas, ou seja: u u 0 u j u (2.9) Este tem ão tem o tuto de explcar detalhadamete todos os processos de fltragem, uma explcação mas detalhada do mesmo pode ser ecotrada em Frgo (2004), Slvera-Neto (2003) e Tejada-Martíez (2002). Na prátca, o que mas se utlza é um tpo de méda volumétrca local, como processo de fltragem, com um comprmeto característco da escala dado pelo tamaho da malha, (Shyy et. al., 997).

34 40 Aplcado-se o processo de fltragem as Eqs. (2.2) a (2.4) obtém-se: Equações do escoameto: ( ρ u ) x = 0 (2.0) ( ρ u ) ( ρ u ju ) t x j p = x x j u µ x j u x j τ j S u (2.) Equações de trasporte de calor e massa: ( ρ c T ) ( ρ c u T ) t p p x x T k x q t = q (2.2) c t ( u c ) x x c D x J t = S c (2.3) Nas Equações (2.0) a (2.3) os termosτ j, q tj e J t, que aparecem devdo ao processo de fltragem, são os termos das tesões submalhas, dos fluxos de calor e de massa submalhas, respectvamete Modelagem Submalha da Turbulêca: Modelo de Smagorsky O modelo de vscosdade turbuleta de Smagorsky é um dos modelos mas utlzados; torou-se mas popular depos do trabalho poero de Deardorff (970) para escoametos em caas. Esse modelo básco tem dado orgem a uma famíla de modelos dervados (Mo & Km, 982). O desevolvmeto recete mas mportate é o modelo dâmco proposto por Germao et. al. (99). Uma outra famíla de modelos de escalas submalhas é baseada a teora de vscosdade turbuleta espectral de Kracha, (Matos et. al., 999). Uma versão prátca e freqüetemete usada dessa famíla de modelos fo desevolvda por Métas & Leser (992) o modelo de fução estrutura, e fo usado em város trabalhos de LES (Slvera-Neto et. al., 993). O modelo tem uma mportate característca que somete a

35 4 costate evolvda é determada aaltcamete. A costate o modelo de Smagorsky é ajustada e depede de algus parâmetros como a dscretzação da malha, por exemplo, (Matos et. al., 999). A segur são apresetados algus passos da modelagem submalha da turbulêca, segudo o modelo de Smagorsky. As tesões submalhas que aparecem a Eq. (2.), devdo ao processo de fltragem, são dadas por j ( u u u u ) τ = ρ ; (2.4) j j a qual, pode ser reescrta, utlzado a hpótese de Boussesq de vscosdade turbuleta, como a segur: 2 τ j = ρ k δ j 2 µ t Sj, (2.5) 3 sedo µ t a vscosdade dâmca turbuleta, Eq. (2.6), k a eerga cétca turbuleta, Eq. (2.7), e S j a taxa de deformação, Eq. (2.8). A vscosdade dâmca turbuleta, segudo o modelo de Smagorsky, é dada por µ = ρ t ( Cs ) 2 2 Sj Sj (2.6) sedo Cs é a costate de Smagorsky e a espessura do fltro. A eerga cétca turbuleta e a taxa de deformação são defdas como. τ k = ; (2.7) 2 S j = u 2 x j u x j (2.8) por Os fluxos de calor e massa devdo aos efetos submalhas são dados, respectvamete,

36 42 ( ) p t t t p t x T c x T k T u u T c q = = = ρ ν ρ Pr ; (2.9) ( ) t t t t x c Sc x c D c u c u J = = = ν. (2.20) Um astersco é usado, por coveêca, as equações a segur para dcar varáves dmesoas. As equações modeladas são: Equações do escoameto: ( ) 0 * = x u ρ (2.2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] u m j t j j j S C C T T g x u x x p x u u t u = 0 * 0 * * * * * * * * * β β ρ µ µ ρ ρ (2.22) Equações de trasporte de calor e massa: ( ) ( ) q x T c k x x u T c t T c t t p p p = Pr * * * * * * * * * ν ρ ρ ρ (2.23) ( ) c t t S x c Sc D x x c u t c = * * * ν (2.24) 2.3 Admesoalzação das Varáves A dfculdade de mplemetação das Eqs. (2.2) a (2.24), as quas represetam matematcamete um escoameto, está em se fxar propredades físcas que satsfaçam os mas dversos fludos. Com sto, a opção por varáves admesoas tora-se muto

37 43 relevate; porém é mportate frsar que os parâmetros tomados como referêca para a admesoalzação devem ser defdos de acordo com as característcas geométrcas, cemátcas e dâmcas do problema a ser cosderado. No caso de escoametos evolvedo covecção forçada ou msta, pode-se defr as gradezas admesoas da segute forma: X x = ; L U u = ; u 0 P * ( p p ) = ; ρ u t t u * 0 = ; L = ( T T ) 0 θ ; T φ φ0 Φ = φ (2.25) que são os admesoas do espaço, da velocdade, da pressão, do tempo, da temperatura e de um escalar qualquer. * * * * * ρ µ ν β β m ρ = ; µ = ; ν = ; β = ; β m = ; Γ ρ µ ν β β 0 Lω j Ω j = ; u 0 0 p0 0 0 m0 Γ * φ φ = ; Γ 0 g g * = ; * * c p D c p = ; D =. (2.26) c D 0 g Na Eq. (2.26) estão os admesoas da desdade, da vscosdade absoluta, vscosdade cemátca, do coefcete de expasão volumétrca térmca, coefcete de expasão volumétrca devdo a cocetração, do coefcete de dfusão, da gravdade, da rotação, calor específco e dfusvdade da massa, respectvamete. L é um comprmeto característco. Usado as varáves admesoas as Eqs. (2.2) à (2.4), tas equações podem ser reescrtas da segute forma: Equações do escoameto: ( ρu ) X = 0 (2.27) ( ρ U ) ( ρ U ju ) P e U µ µ e = t X j X X j X Re j Re X j U X j S u (2.28) Equações de trasporte de calor e de massa: ( ρ Φ) ( ρu jφ) t X j = X j Γφ Φ Re X j S φ (2.29)

38 44 O termo fote da Eq. (2.28) é dado por: S u Gr Gr m = ρ g βθ 2ε klω ku l ( Ω j X j ) Ω ( Ω jω j ) X g β cc 2 2 ( Re) ( Re) (2.30) O cojuto de Eqs. (2.27) a (2.29), embora, as varáves estejam escrtas a forma admesoal, pode ser utlzado para cálculo de escoametos com varáves dmesoas, como dto aterormete, para sto basta tomar Re, Gr e Gr m utáros. No cálculo de escoametos utlzado as varáves admesoas as propredades físcas são tomadas utáras. Na Eq. (2.28), a vscosdade efetva será cosderada da segute forma: µ para escoametos lamares µ e = µ µ t para escoametos turbuletos ; (2.3) Algumas varáves represetadas as Eq. (2.29) são mostradas a Tabela 2.. Os parâmetros admesoas: úmero de Reyolds, Re; úmero de Pradtl, Pr; úmero de Grashof, Gr; úmero de Schmdt, Sc, são defdos em fução das propredades de referêca da segute forma: Re ρ u L 0 0 = ; µ 0 0c p µ ρ0 gβ 0 TL Pr = ; Gr = ; 2 k µ 0 0 Sc µ 0 = (2.32) ρ D 0 0 Tabela 2. - Varáves, propredades e termos das equações (2.27) e (2.29). Nome φ Γφ Calor T T 0 T t Sφ µ µ Geração de calor t Pr Pr Massa C µ µ Reações químcas t Sc Sc t

39 45 As propredades ada ão defdas são: o calor específco à pressão costate, c p ; a codutvdade térmca, k; e a dfusvdade de uma espéce, D o caso de trasferêca de massa.

40 46

41 47 CAPÍTULO 3 - DESENVOLVIMENTO DO MODELO NUMÉRICO Neste capítulo é apresetada a metodologa umérca para resolver o sstema de equações dferecas goverates apresetado o capítulo 2. Ates, é apresetado um resumo do método de resíduos poderados, que se costtu a base matemátca dos prcpas métodos umércos usados em CFD (Computatoal Flud Dyamcs): dfereças ftas, volumes ftos e elemetos ftos. 3. Método de Resíduos Poderados O Método de Resíduos Poderados (MWR Method of Weghted Resdual) possblta obter soluções aproxmadas de equações dferecas que ão possuem um fucoal assocado. Desta forma, cosdere um sstema físco, cotíuo e permaete, o qual pode ser descrto por um sstema de equações dferecas parcas de ordem m (lear ou ão lear) sobre um domío Ω como a segur (Reddy, 993; Jourglard,2002): ( ) f = 0 A u Ω (3.) ode u uma gradeza qualquer a ser calculada e sujeta a codções aturas de cotoro sobre o cotoro Γ N, dadas por A ( u) e ( u) ( u) g = 0 M. (3.2) Γ M são operadores dferecas. O operador dferecal A pode ser escrto como o exemplo segute: A () = () ( ) k x k y (3.3) x x y y

42 48 Uma solução aproxmada u ~ da fução u substtuída a equação dferecal (3.) e em sua codção de cotoro atural dada pela Eq. (3.2), produzrá os resíduos domío e R R Ω Γ R Γ em seu cotoro, dados por: ( u ~ ) = A( u~ ) f 0 em Ω ~ ~ Γ ( u ) = M ( u ) g 0 em N R Ω em seu (3.4) (3.5) A déa básca do MWR é que seja satsfeta a segute codção: Ω W R Ω ( u) dω W R ( u) dγ = 0 Γ N Γ (3.6) para quasquer par de fuções arbtráras W e W tegráves e ão ulas. Satsfetas tas codções pode-se demostrar que a fução u é a solução exata da equação dferecal e de suas codções de cotoro aturas. 3.. Aproxmação medate MWR A partr da déa descrta o tem 3. é possível gerar soluções aproxmadas da segute forma: u ~ = a N ( x, y) (3.7) = em que as fuções de terpolação ( x, y), dadas pelas Tabelas 3. e 3.2, satsfazem as N codções de cotoro essecas e as costates a são coefcetes a determar mpodo codções da forma: Ω W R ~ ~ = Ω ( u ) dω W R ( u ) dγ = 0,,2,...,. Γ N Γ (3.8) As fuções W e W são cohecdas como fuções de poderação ou fuções peso, as quas são defdas segudo o método empregado. A segur são descrtos, resumdamete, estes métodos.

43 49 Método de Elemetos Ftos de Bubov-Galerk: este método as fuções peso são tomadas guas às fuções de terpolação, resultado: W W = N = N R ( u ) dω N R ( u ) dγ = 0,,2 Ω ~ ~ = Ω (3.9) Γ,..., Γ N Obs.: as fuções de terpolação serão defdas posterormete. Método de Elemetos Ftos de Petrov-Galerk: este método adcoa-se uma perturbação à fução peso, de forma que, W N p = ( N p ) ( ) u dω = 0, =,,...,. e A u ~ e 2 (3.0) Ω p e é uma perturbação para fazer um upwd, prcpalmete, em problemas covectvos domate. Método de Elemetos Ftos de Mímos Quadrados: este método as costates a são determadas a partr da mmzação de um fucoal I defdo como I 2 2 = ( RΩ ( u~ )) dω α ( RΓ ( u~ )) dγ. (3.) Ω Γ N A mmzação do fucoal requer que I a = 0, =,2,...,.. (3.2) Neste caso, as fuções peso são guas às dervadas dos resíduos em relação aos coefcetes de terpolação. Método de Elemetos Ftos de Colocação: este método deve-se mpor o resíduo ulo em potos x, y ) do domío e da parte do cotoro ode são mpostas codções aturas. (

44 50 R R Ω Γ ~, ( u x, y ) = 0, =,2,..., p. ( u~, x, y ) = 0, = p, p 2,...,. (3.3) Isto é equvalete a adotar as fuções peso como as fuções delta de Drac ( x x, y ) δ que são defdas como: y Ω ( x, y) δ ( x x, y y ) dω = f ( x y ) f, (3.4) Método de Subdomíos: este se mpõe a tegral do resíduo ula em subdomíos Ω do domío e Γ da parte do cotoro ode são mpostas as codções aturas de cotoro, Ω Γ R Ω ( u ~ ) dω = 0, R ( u ~ ) dω = 0, Γ =,2,..., p. = p, p 2,...,. (3.5) Neste caso, as fuções peso são: o subdomío W = 0 fora do subdomío (3.6) O Método de Subdomíos clu os métodos de volumes ftos (FVM), dfereças ftas baseado em volumes de cotrole (CVFDM) e de elemetos ftos baseado em volumes de cotrole (CVFEM), este últmo é o método mplemetado o presete trabalho. 3.2 Dscretzação dos Domíos para Problemas Bdmesoas Os elemetos mas utlzados para dscretzação de domíos bdmesoas pelo método de elemetos ftos são os trâgulos e/ou quadrláteros. Detre os elemetos dspoíves para geometras bdmesoas, os tragulares são os mas smples e se adaptam bem a cotoros rregulares, segudo Baker & Pepper (99). Etretato, elemetos quadrlateras quadrátcos, quado deformados, também podem represetar de forma satsfatóra cotoros rregulares, porém em algus casos pode ser coveete uma

45 5 combação dos dos tpos de elemetos, quadrlateras e tragulares, (Zekewcz & Morga, 993). A Fg. 3. lustra uma combação dos dos tpos de elemetos. A dscretzação a ser apresetada serve para ambos os tpos de elemetos. Fgura 3. - Domío dscretzado em trâgulos e quadrláteros. A Fg. 3.2 lustra elemetos tragulares e quadrlateras subdvddos em subvolumes de cotrole. Cada elemeto tragular com três ós, localzados os vértces, pode ser composto em três subvolumes de cotrole, obtdos, por exemplo, udo-se seu cetróde aos potos médos dos lados, ou também em três subvolumes de cotrole, porém, smplesmete, udo-se os potos médos de dos lados ao poto médo do tercero, formado um subvolume com quatro lados e dos com três, como os trabalhos de Saabas (99, 994). Os elemetos quadrlateras com quatro ós são compostos por quatro subvolumes de cotrole. Desta forma um volume de cotrole em toro de um ó será um polígoo composto pelos lados dos subvolumes de cotrole de cada elemeto que compartlha aquele determado ó.

46 52 (a) (b) Fgura Elemetos subdvddos em subvolumes de cotrole de formas dferetes. (a) Elemetos tragulares. (b) Elemetos quadrláteros. O elemeto fto utlzado este trabalho é o elemeto quadrlateral quadrátco com ove potos odas. Este elemeto possu uma vatagem que é a de poder ser deformado para represetar com razoável exatdão froteras com curvatura, em domíos com complexdade geométrca. Campos-Slva (998) utlzou este elemeto para cálculos de escoametos com e sem trasferêca de calor e recetemete Lma, Campos-Slva & Masur (2004) utlzaram este elemeto para cálculo de escoameto com modelagem da turbulêca por LES. O úmero de lados do volume de cotrole depederá de quatos elemetos compartlham um determado ó. No caso de ós de frotera do domío, geralmete, o volume de cotrole será composto por dos subvolumes de cotrole. Um determado elemeto será, em geral, subdvddo em um úmero de subvolumes de cotrole gual ao seu úmero de ós, ou seja, o caso do elemeto quadrlateral com ove potos odas, utlzado este estudo, ele será subdvddo em ove subvolumes de cotrole, como pode ser observado o tem a Fg. 3.5 ou 3.6.

47 Itegração das Equações os Subvolumes de Cotrole Nesta seção, é feta a dscretzação das equações. A tegração das equações dferecas parcas goverates pelo CVFEM deve ser feta os subvolumes de cotrole detro de cada elemeto. Prmeramete, é feta a dscretzação o tempo. Para sto, város esquemas podem ser utlzados: desde um esquema explícto até um esquema totalmete mplícto. O esquema totalmete explícto possu lmtações quato ao passo de tempo, por razões de establdade da solução. Já o esquema totalmete mplícto, pode ter o passo de tempo fxado de acordo com a precsão desejada da solução. Em prcípo, este esquema, ão há lmtações quato ao passo de tempo, sedo o mesmo codcoalmete estável. Posterormete, a seção 3.4.2, é feta a dscretzação o espaço a partr da substtução das fuções de terpolação as equações tegras de coservação. A segur são descrtos os passos báscos para obteção das equações dscretzadas Dscretzação o Tempo A dscretzação o tempo é defda, o presete estudo, por um parâmetro θ, o qual desempehará o papel de dcador do esquema, ou seja, através deste parâmetro será dcado se o esquema é explícto ou mplícto. Sejam U, P e Φ, os campos de velocdade, pressão e uma gradeza escalar qualquer (temperatura, cocetração, gradezas turbuletas) defdas o tempo t, sedo t = t t. A partr de U e Φ e codções de cotoros especfcadas, os campos U, P e Φ são calculados pelas equações a segur: ( ρu ) t θ X j ( ρu U ) j µ Re e ( ρu ) X j P X = θ * ( S ) u R u (3.7a) a qual R u = ( ρ U ) t ( θ ) ( ) ρu ju µ ( ρ U ) X j X j e Re X j P X * ( S ) u (3.7b)

48 54 com a restrção da coservação da massa dada por ( ρ U ) X = 0 (3.8) ( ρ ) ( ρu Φ) ( Γ ) ( Φ) Φ Φ θ j = θ Φ t X j Re X j ( S ) R Φ (3.9a) em que R Φ ( ρ Φ) ( ρu jφ) ( Γ ) ( Φ) ( ) Φ = θ Φ t X j X j Re X j ( S ). (3.9b) Na Equação (3.7a), o termo fote com um astersco, * S u, egloba a soma dos dos últmos termos da equação de quatdade de movmeto (2.28). Algus valores, geralmete, adotados para θ são forecdos por Reddy (993): 0 para esquemas explíctos /2 para esquema Crak Ncolso θ = 2/3para esquema Galerk para esquema totalmete mplícto [ codcoalmete estável, ordemde precsão = O( t) ] 2 [ estável, ordemde precsão = O( t) )] 2 estável, ordemde precsão = O( t) ) [ estável, ordemde precsão = O( t) ] [ ] (3.20) Nas Equações (3.7a) e (3.9a), o passo de tempo para o esquema explícto pode ser fxado de acordo com a atureza da equação (parabólca, elíptca ou hperbólca). Hrsch (988) apreseta váras maeras de se aalsar a establdade de soluções e de como fxar o passo de tempo para satsfazer esses crtéros de establdade Dscretzação Espacal das Equações - Aplcação de um Método de Elemetos Ftos por Volumes de Cotrole (CVFEM) A dscretzação espacal das equações, o método de elemetos ftos de Galerk, é feta a partr da formulação fraca das mesmas. Esta forma fraca das equações é obtda

49 55 fazedo-se o produto escalar dos termos das equações por fuções de poderação ou peso e tegrado-as por partes sobre o domío, com o objetvo de abaxar o grau do operador de seguda ordem. Isto, a realdade, correspode ao método de resíduos poderados. No tem (3.2) é descrto um resumo sobre tal metodologa. No caso de métodos de elemetos ftos por volumes de cotrole (CVFEM), a fução peso é feta costate e utára detro de cada volume de cotrole. Assm, a partr da tegração por partes das Eqs. (3.7) a (3.9) obtém-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dv R dv S dv X P da X U U U dv t U V u V u V j A j e j V = * Re θ θ ρ µ ρ θ ρ (3.2a) a qual ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dv S dv X P da X U U U dv t U dv R V u V j j e j A V V u = * Re θ θ ρ µ ρ θ ρ (3.2b) ( ) 0 = dv X U V ρ (3.22) e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Φ Φ Φ = Φ Γ Φ Φ V V j A j j V dv R dv S da X U dv t Re θ ρ θ ρ (3.23a) a qual, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) dv S da X U dv t dv R V j A j j V V Φ Φ Φ Φ Γ Φ Φ = θ ρ θ ρ Re. (3.23b)

50 56 Nas Eqs. (3.2) a (3.23), j represeta os compoetes do vetor ormal, tomados para fora, das áreas de froteras dos volumes de cotrole, apotado a dreção do exo X j. Este vetor é defdo como: r r r da = ( j )da 2 (3.24a) resultado, o caso de problemas bdmesoas com tegração o setdo at-horáro: r r r da = dy dxj (3.24b) Para se obter o sstema algébrco de equações, as Eqs. (3.2) a (3.23) são aplcadas para cada subvolume de cotrole detro de um elemeto. O sstema completo de equações algébrcas é obtdo somado-se a cotrbução de elemeto por elemeto. Este procedmeto faclta a obteção das matrzes globas e ão afeta o prcípo de coservação, uma vez que, quado for levada em cosderação a cotrbução de cada elemeto para todos os ós, a cotrbução para os volumes de cotrole completos terá sdo feta. O procedmeto adotado a maora dos trabalhos é a tegração das equações para um volume de cotrole completo, smlarmete ao que é feto o método de volumes ftos. No caso deste trabalho, fo segudo o procedmeto adotado o método clássco de elemetos ftos, como em Campos-Slva (998) Fuções de Iterpolação No método de elemetos ftos, as varáves descohecdas podem ser terpoladas, detro de um elemeto, a forma: U e NNEL ( Ω t) = e N ( Ω e ) U ( t), (3.25) α = α α P e NNEL, α α ' = α ( Ω t) = e N ( Ω e ' ) P ' ( t) (3.26) Φ e NNEL e e ( Ω t) = N ( Ω) Φ ( t), (3.27) α = α α

51 57 ode N α e N ' são fuções de terpolação bdmesoas detro de um elemeto (vde α Tabelas 3. e 3.2); α, da pressão o ó e U α, e P α ' e e Φ α são, respectvamete os valores odas da velocdade o ó ' α e de um escalar qualquer o ó α de um elemeto fto. Usa-se para cosderar que a pressão pode ser terpolada por fuções de terpolação de ordem dferete daquela usada para terpolar a velocdade ou outro escalar qualquer. Geralmete, a ordem das fuções de terpolação para a pressão é mas baxa do que as utlzadas para terpolar a velocdade, desta forma evta-se valores ão realístcos para a pressão. Cosdera-se, agora, um determado subvolume de cotrole assocado ao ó α de um elemeto. A dscretzação das Eqs. (3.2) a (3.23) é feta, o presete trabalho, cosderado elemetos quadrlateras com ove ós. Este desevolvmeto é baseado prcpalmete o trabalho de Campos-Slva (998). As velocdades e demas gradezas escalares, exceto a pressão, são terpoladas usado-se os ove ós do elemeto. A pressão é terpolada usadose apeas os quatro ós de catos, o elemeto. Esta forma de terpolar a pressão por fuções de terpolação de ordem dferete das fuções de terpolação da velocdade é cohecda como formulação msta e é equvalete à terpolação por malha deslocada em volumes ftos. Um elemeto fto e seus respectvos subvolumes de cotrole (dcados por lhas tracejadas) são mostrados a Fg Cada subvolume de cotrole é detfcado pelo úmero do ó a ele assocado. ' α Tabela 3. - Fuções de terpolação e suas dervadas para elemeto com quatro ós. α N N / ξ N / ξ α ( ξ )( η) ( η) ( ξ ) 4 ξ η 4 ξ η 4 ξ η 4 α 4 η 4 η 4 η 4 α 4 ξ 4 ξ 4 ξ 4 2 ( )( ) ( ) ( ) 3 ( )( ) ( ) ( ) 4 ( )( ) ( ) ( )

52 58 Tabela Fuções de terpolação e suas dervadas para elemeto com ove ós. α N N / ξ N / ξ α ( ξ )( η) ξη ( 2ξ )( η) η ( ξ )( 2η ) 2 2 ( )( ) α ξ ξ η η ( η)ξη 2 2 ( ξ )( 2η ) 3 ( ξ )( η) ξη ( 2ξ )( η) η ( ξ )( 2η ) 4 4 ( ξ )( η 2 2 ) ξ ( 2ξ )( η ) 5 ( )( ) 2 ξ η 2 ξ ( )( ) 4 α 2 ξ 4 ( ξ )ξη 2 ( 2ξ )( η) η ( ξ )( 2η ) ξ η η ( η)ξη 2 ξ ( ξ )( 2η ) 7 ( ξ )( η) ξη ( 2ξ )( η) η ( ξ )( 2η ) 4 8 ( ξ )( η 2 2 ) ξ ( 2ξ )( η ) 9 2 ( ξ 2 )( η ) ξ 4 ( ξ )ξη 2 2( η 2 )ξ 2( ξ 2 )η Fgura Subvolumes de cotrole compodo um elemeto quadrlateral de ove ós.

53 59 A vatagem do elemeto de ove ós quado comparado com o elemeto de oto ós (elemeto de seredpty ) é que, o prmero caso, todas as faces dos subvolumes de cotrole são lhas de coordeadas costates detro do elemeto de referêca. Isto ão sera possível para o segudo elemeto que, geralmete, é o mas utlzado o método clássco de elemetos ftos de Galerk para cálculo de escoametos de fludos. No caso de problemas bdmesoas, as tegras (Eqs. 3.2 a 3.23) de volume se trasformarão em tegras de área e as tegras de área serão smplesmete tegras de lha, em cotoros dos subvolumes de cotrole. Cosderado etão as equações para um subvolume de cotrole assocado a um determado ó α de um elemeto obtém-se: Aα ( ρu ) Aα t P θ X da θ da θ * ( S u ) da ( Ru ) α ( µ ) ( U ) NF e ( ) ρuu dy Re K = X ΓKα ΓKα Aα ( ρvu ) ( µ ) ( U ) cotrbuções smlares de outros elemetos para o óα cotrbuções de cotoros se for o caso = 0 (3.28) e Re Y dx e Aα ( ρu ) X da cotrbuções de outros elemetos para o óα = 0 (3.29) Aα θ ( ρ Φ) t da θ ( Sφ ) da ( Rφα ) Aα ( ρuφ) ( Γ ) ( Φ) NF φ dy K = X ΓKα ΓKα ( ρvφ) ( Γ ) φ cotrbuçoes de cotoros se for o caso = 0 (3.30) ( Φ) cotrbuções smlares de outros elemetos para o ó α Y dx Nas Eqs. (3.22) e (3.23) as expressões para ( R ) α e ( ) u R φα são: ( R ) uα = ( ρu ) P X t da ( θ ) ( ρuu ) * ( θ ) da ( θ ) ( S u ) da Aα Aα Aα NF ( µ ) ( U ) X dy K = ΓKα ΓKα e Re ( ρvu ) ( µ ) ( U ) e Re Y dx (3.3)

54 60 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) da S dx Y V dy X U da t R A NF K A K K Φ Γ Φ Φ Γ Φ Φ = = Γ Γ α α α α φ φ φ φα θ ρ ρ θ ρ (3.32) Substtudo as fuções de terpolação defdas pelas Eqs. (3.5) a (3.27) as Eqs. (3.30) a (3.32), obtém-se o segute sstema, a forma escalar, para um elemeto: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e e e e e e e e e e e e e P H S S U K C t M P H U K C t M ' ' ' ' β αβ α α β αβ αβ αβ β αβ β αβ αβ αβ θ θ θ θ θ = (3.33) ( ) 0 ' = e e U D β β α (3.34) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) e e e e e e e e e e S S K C t M K C t M α α β αβ αβ αβ β αβ αβ αβ θ θ θ θ Φ Φ Φ = Φ (3.35) Nas Equações (3.33) a (3.35) as matrzes são defdas como da N M A SVC = α β αβ ρ (3.36a) Γ Γ = α β αβ ρ SVC d U N C j j (3.36b) Γ Γ = α β αβ µ SVC d x N K j j e Re (3.36c)

55 6 H ' αβ = N X ASVCα β ' da (3.36d) D ' α β = A N X SVCα ' β da (3.36e) S α = Γ SVCα Re µ e X j U X j dγ j ( Su ) da ASVCα (3.36f) Φ = S Φ A SVCα S da (3.36g) As fuções de terpolação podem ser ecotradas em lvros de elemetos ftos, por exemplo, Dhatt & Touzot (984). Fuções de terpolação especas também podem ser obtdas procurado-se modelar adequadamete os város termos (covectvos, dfusvos, pressão, fotes) para evtar resultados ão realístcos. Resultados sem sgfcado físco podem surgr, prcpalmete, quado o úmero de Reyolds é muto elevado e o problema se tora covectvo domate. Uma forma de se remedar sto é utlzar téccas de upwd para se terpolar os termos covectvos. Etretato, ao que tudo dca, se a malha puder ser sufcetemete refada, ão sera ecessáro ehuma técca de upwd Cálculo das Matrzes os Elemetos Uma vez defdas as fuções de terpolação, as matrzes defdas as Eqs. (3.36) podem ser calculadas para se obter os coefcetes das matrzes os elemetos. Ates de motar a matrz global, ecessta-se do cálculo das matrzes os elemetos. Este trabalho é facltado fazedo-se o mapeameto de cada elemeto do domío real em um elemeto de referêca deomado de elemeto mestre. Este mapeameto é feto em fução das coordeadas globas dos ós do elemeto e das fuções de terpolação defdas em coordeadas locas o elemeto. A Fg. 3.4 lustra o mapeameto de um elemeto qualquer o elemeto mestre. O elemeto fto mostrado a Fg. 3.4 (a), que pode ser deformado em

56 62 coordeadas globas, será um elemeto quadrado de comprmeto dos lados gual a 2, em coordeadas locas. As coordeadas globas detro de um elemeto são defdas por e NNEL X = N α = e α X α (3.37) ode X α, =...Ndm, represeta as coordeadas do ó α e N α são fuções de terpolação apresetadas a Tabela 3., para elemetos leares, e a Tabela 3.2, para elemetos quadrátcos. Naquelas tabelas também são apresetadas as dervadas das fuções de terpolação que são ecessáras a avalação das matrzes dos elemetos. Estas fuções de terpolação podem ser ecotradas em város lvros de elemetos ftos, por exemplo, em Dhatt & Touzot (984). As tegras de áreas, em coordeadas locas os elemetos, podem ser represetadas, geercamete, por f ( x, y) dx dy = f ( ξ, η) J dξ dη (3.38) A A Fgura 3.4 (a) - Elemeto em coordeadas globas, x-y.

57 63 Fgura 3.4 (b) - Elemeto mapeado o elemeto mestre em coordeadas locas, ξ-η. sedo ξ η η ξ = y x y x J o determate da matrz do jacobao da trasformação de coordeadas globas para as coordeadas locas dada por [ ] = η η ξ ξ y x y x J (3.39) As dervadas de qualquer fução em relação às coordeadas globas podem ser calculadas por dervadas em coordeadas locas, a forma: = η ξ ξ η f y f y J x f (3.40a) = η ξ ξ η f x f x J y f (3.40b) As tegras em cotoros podem ser trasformadas a forma: = S j j S d x f dx f ξ ξ (3.4)

58 64 com ξ j ξ para = η para j = j = 2 (3.42) Todas as trasformações de coordeadas, para facltar a tegração das equações, são fetas, localmete, em ível de elemeto. Dferete do que é feto o método de volumes ftos (FVM) em coordeadas geeralzadas; em que as equações goverates, escrtas em coordeadas cartesaas, são trasformadas para equações em coordeadas geeralzadas. O cálculo das matrzes pode ser feto elemeto por elemeto e motado-se a matrz global o fal para se obter a solução do sstema completo. As tegras em cotoros de subvolumes de cotrole são efetuadas usado três potos de Gauss e em áreas de subvolumes de cotrole detro de elemetos ftos, ove potos de Gauss. As matrzes covectvas e dfusvas, para um elemeto, Fg. 3.6, são costruídas a forma: C C C C C C C C C (, β ) = FLUC(, β ) FLUC(2, β ) ( 2, β ) = FLUC(, β ) FLUC(2, β ) FLUC(3, β ) ( 3, β ) = FLUC(3, β ) FLUC(4, β ) ( 4, β ) = FLUC(4, β ) FLUC(5, β ) FLUC(6, β ) ( 5, β ) = FLUC(6, β ) FLUC(7, β ) ( 6, β ) = FLUC(7, β ) FLUC(8, β ) FLUC(9, β ) ( 7, β ) = FLUC(9, β ) FLUC(0, β ) ( 8, β ) = FLUC(0, β ) FLUC(, β ) FLUC(2, β ) ( 9, β ) = FLUC(2, β ) FLUC(5, β ) FLUC(8, β ) FLUC(, β ) (3.43)

59 65 K K K K K K K K K (, β ) = FLUD(, β ) FLUD(2, β ) ( 2, β ) = FLUD(, β ) FLUD(2, β ) FLUD(3, β ) ( 3, β ) = FLUD(3, β ) FLUD(4, β ) ( 4, β ) = FLUD(4, β ) FLUD(5, β ) FLUD(6, β ) ( 5, β ) = FLUD(6, β ) FLUD(7, β ) ( 6, β ) = FLUD(7, β ) FLUD(8, β ) FLUD(9, β ) ( 7, β ) = FLUD(9, β ) FLUD(0, β ) ( 8, β ) = FLUD(0, β ) FLUD(, β ) FLUD(2, β ) ( 9, β ) = FLUD(2, β ) FLUD(5, β ) FLUD(8, β ) FLUD(, β ) (3.44) Nas Equações (3.43) e (3.44), os fluxos covectvos e dfusvos são defdos por: FLUC y x y x, β β η η (3.45) ξ ξ ( p β ) = ρ U V N dη ρ U V N dξ p p N β y N β x N β y N β x FLUD( p β ) µ e dη µ e dξ x η y η x ξ y ξ, = (3.46) p p ode p represeta um determado cotoro de um subvolume de cotrole detro de um elemeto como mostrado a Fg A matrz de massa é calculada de forma cosstete como M ( α, β ) = ρ N J dξ dη (3.47) Aα β O arrajo das varáves detro de um elemeto é mostrado a Fg Para os campos de velocdade e pressão, cada elemeto coterá vte e dos graus de lberdade. Em cada ó de cato exstrão três graus de lberdade: duas compoetes de velocdades e uma de pressão. Nos demas ós exstrão somete duas compoetes de velocdade.

60 66 Fgura Arrajo das varáves u, v, p, localmete um elemeto. As matrzes os elemetos são calculadas durate o processo de solução um processo teratvo, devdo às ão leardades dos termos covectvos e dfusvos. Parte dos cálculos requerdos tas como valores das fuções de terpolação e suas dervadas em potos de Gauss, as áreas e cotoros de subvolumes de cotrole, são fetos uma úca vez e armazeados em arquvos temporáros, que são ldos durate o processo de cálculo das matrzes dos elemetos. Este procedmeto tem por objetvo reduzr o tempo computacoal, para compesar, em parte, o tempo gasto pelo método frotal, o qual faz letura de dados em dsco. Para um sstema computacoal com memóra de processameto sufcetemete grade, poder-se-a armazear os dados a própra memóra, o que acelerara em muto o processo de cálculo. O método de solução, descrto o próxmo tem, requer armazeameto e letura de mutos dados o dsco rígdo, o que eleva o tempo total de processameto. Etretato, ele é aproprado para sstemas de pequeo porte, em que a capacdade de memóra pode ser ada uma lmtação.

61 67 Fgura Elemeto subdvddo em volumes de cotrole 3.4 Solução do Sstema de Equações Dscretzadas Neste trabalho, adota-se a segute estratéga de solução: () os campos de velocdades e pressão são calculados resolvedo-se as equações do movmeto; (2) obtdo o campo de velocdades, resolve-se uma equação de trasporte para cada escalar (temperatura, eerga cétca turbuleta, dsspação, cocetração) separadamete. O método de solução adotado fo o método frotal, descrto por Taylor & Hughes (98). O prmero objetvo do método frotal é a elmação de varáves logo após sua trodução, va equações apropradas, detro da matrz global. Imedatamete após todas as cotrbuções de todos os elemetos para um ó partcular terem sdo motadas, etão as varáves correspodetes e assocadas com aquele ó podem ser elmadas. Desta forma, a matrz completa uca é motada, vsto que todas as equações reduzdas podem ser elmadas da memóra e armazeadas em dsco. As equações matdas a memóra, com os ós e varáves correspodetes são deomadas frote e o úmero de varáves descohecdas detro do frote é deomado largura do frote. A largura do frote muda cotuamete, vsto que, uma vez que todas as cotrbuções para um ó teham sdo completamete somadas, etão a redução da equação correspodete, baseada sobre um

62 68 pvotameto dagoal, pode ser executada. Nos métodos de solução para matrzes smétrcas, apeas a tragular superor da matrz é armazeada em qualquer tempo. Etretato, para matrz global assmétrca, que é o caso do presete estudo, um procedmeto dferete é adotado. Uma área de memóra pré-assalada para a matrz global é preechda de cotrbuções de elemetos. A maor etrada dagoal esta área pré-assalada de memóra é ecotrada e usada como pvô um processo de elmação dreta de Gauss. Quado são elmadas, o máxmo úmero de equações pré-determadas, as equações reduzdas correspodetes são escrtas o dsco e mas elemetos e equações correspodetes troduzdos a memóra. O requermeto mímo de memóra para matrzes assmétrcas é quase duas vezes maor que o requerdo para matrzes smétrcas. As equações, ós e varáves corretemete a memóra são deomados atvos, aqueles guardados em dsco são deomados desatvados e aqueles para serem ada troduzdas a memóra são deomados atvos. Isto é mostrado esquematcamete a Fg Fo costruída uma rota por Campos-Slva (998) para elemetos com ove ós e escoametos lamares baseada em Taylor & Hughes (98). No presete trabalho, tal rota é modfcada e adaptada de forma a modelar o efeto da turbulêca. O método frotal tem a vatagem de que, em ehum state, a matrz global ecessta ser motada completamete, sedo que a maor matrz motada é defda por um parâmetro que defe o tamaho do frote. Desta forma, a solução do sstema pode ser realzada em computadores com memóras relatvamete pequeas e com méda capacdade de armazeameto em dsco. O preço a se pagar é um tempo maor a para solução, vsto que, durate o processameto, serão ldos dados armazeados em dsco e este processo ada é muto leto. Este método também pode ser adaptado para uma solução segregada, em que cada equação é resolvda separadamete. No caso de problemas trdmesoas, uma solução segregada pode ser mas efetva em termos de armazeameto de varáves a memóra do computador. O método frotal de solução fo escolhdo também pelo efoque que se adotou, o qual é baseado, prcpalmete, o método de motagem da matrz global, como o método de elemetos ftos de Galerk. Na maora dos trabalhos sobre o método de elemetos ftos por volumes de cotrole (CVFEM), o efoque é smlar ao do método de volumes ftos, em que o acoplameto pressão-velocdade é resolvdo por métodos baseados o método SIMPLE, Patakar (980). Assm, soluções segregadas são mas utlzadas. Nos métodos de volumes ftos, os sstemas resultates, geralmete, são matrzes com três, cco ou ove dagoas,

63 69 depedo de quatos ós vzhos são cosderados, para calcular os fluxos para os volumes de cotrole. Fgura Defção de frote e omeclatura usada o método frotal, (Campos- Slva, 998). Para se detfcar cada varável, utlzam-se dos vetores: um que cotém o úmero de graus de lberdade por ó e outro que detfca o úmero do prmero grau de lberdade em cada ó. Na solução das equações do movmeto, o prmero grau de lberdade correspode à compoete de velocdade U; o segudo a pressão, se for um ó de cato, e o tercero grau de lberdade correspode à velocdade V. Na solução da equação de gradezas escalares, exstrá um úco grau de lberdade por ó e o processo de motagem das matrzes dos elemetos, bem como da matrz global, é mas smples. Cada ó local um elemeto tem um úmero global que é dado pela matrz de coectvdade defda quado se gera a malha. Taylor & Hughes (98) mostram, uma maera bem clara, o processo de motagem das matrzes os elemetos e da matrz global. No presete trabalho, como se adotou o processo de solução msto, sto é, exstem mas ós de velocdade do que de pressão, tem-se úmero de graus de lberdade varável por ó, como está mostrado a Fg No cotexto global, uma varável é detfcada por um ídce defdo a forma, Taylor & Hughes (98), Fg. 3.8: ( ) totu = adfm o f ( odfm( o). eq.3) ( ) totv = adfm( o) odfm o totp = adfm( o) odfm o ( ) 2 Fgura 3.8 Ilustração da formação do ídce das varáves a matrz global.

64 70 Na Fg. 3.9, adfm é um vetor que cotém o úmero global do prmero grau de lberdade em cada ó, que correspode à velocdade u; totv correspode ao úmero global do tercero grau de lberdade em ós ode são calculados (u, v, p) ou ao úmero global do segudo grau de lberdade ode são calculados (u, v). totp represeta a varável pressão em ós ode esta é calculada. No presete caso, o vetor adfm é formado da maera lustrada a Fg. 3.9, equato que o vetor odfm, para um elemeto quadrátco qualquer, pode ser formado segudo o procedmeto mostrado a Fg adfm()= do po=2, po adfm(po)=adfm(po-) odfm(po-) Fgura Formação do vetor cotedo o ídce global do prmero grau de lberdade por ó. dofm=úmero máxmo de graus de lberdade um ó do elem=, elem do odp=, odp-2, 2 odfm(lods(elem, odp))=dofm odfm(lods(elem, odp))=dofm- Fgura Formação do vetor cotedo o úmero de graus de lberdade por ó. Na Fg. 3.0, dofm =3 para solução do escoameto, elem é o úmero de elemetos a malha, odp é o úmero de ós um elemeto e lods é a matrz de coectvdade. O crtéro de covergêca ou de parada da solução, baseado-se em Taylor & Hughes (98), é defdo como: k k φ φ k φ ε (3.48) O valor de ε pode ser defdo de acordo com o grau de precsão que se deseja a solução, ode φ represeta cada varável detro do sstema global e k é a teração o processo de solução. A cada teração, a ova varável, é atualzada usado um fator de relaxação a forma:

65 7 ~ k k φ = relax φ k ( relax) φ, 0 relax (3.49) O valor do fator de relaxação, geralmete é tomado etre 0,5 e 0, Estrutura do programa computacoal A estrutura do programa é apresetada pela Fg. 3., a qual pode-se observar a seqüêca de chamada das sub-rotas. A fução de cada sub-rota é brevemete descrta abaxo, bem como as sub-rotas chamadas por cada uma delas:. DIMENS Nesta sub-rota, estão defdas as dmesões máxmas da matrz de coectvdade, o tamaho máxmo do frote, bem como o úmero máxmo de potos da malha e úmero máxmo de varáves (o úmero total de varáves é calculado a sub-rota DINPUT descrta abaxo). Pode ser modfcada para defr um dmesoameto dâmco das matrzes e vetores usados o programa. 2. DINPUT Nesta sub-rota, são ldos os dados de cotrole como, coordeadas e umeração dos elemetos a matrz de coectvdade, as propredades físcas do fludo, dados da geometra do problema, as codções cas e as codções de frotera. Os vetores cotedo o úmero de graus de lberdade por ó e o úmero global do prmero grau de lberdade de cada ó, também são defdos esta sub-rota. São chamadas duas sub-rotas para checar os dados; DIAGN, checa os dados de cotrole (dmesões dos vetores) e os restates são checados pelo DIAGN2 (coordeadas e matrz de coectvdade). Se algum erro for detectado durate a execução do programa, a execução é parada e o erro é mpresso um arquvo de saída. 3. DRIVES Nesta sub-rota, calculam-se as fuções de terpolação e suas dervadas em todos os potos de Gauss em áreas (9 potos) e cotoros (3 potos) dos subvolumes de cotrole detro dos elemetos de referêca (9 ós para velocdades e outros escalares, 4 ós para

66 72 pressão), ode as tegrações são realzadas, através da sub-rota SHAPEG. Estes dados são armazeados em arquvos o dsco rígdo e são ldos o cálculo das matrzes dos elemetos. 4. ITERAT Esta sub-rota faz a chamada da sub-rota prcpal FRONTS para solução da matrz do problema e verfca se as varáves calculadas estão detro de uma tolerâca especfcada por um processo teratvo através da sub-rota TOLREL. Os resultados são mpressos pela sub-rota WRITER. A sub-rota SOLUES é chamada para fazer o cálculo de um escalar qualquer, como, por exemplo, cocetração de massa e a sub-rota FUNCORR para o cálculo da fução de correte. A sub-rota FRONTS formula a matrz global, mpõe as codções de cotoro e resolve os sstemas resultates de equações usado o método frotal ão smétrco de solução. FRONTS chama a sub-rota MATRIX que calcula as matrzes dos elemetos de acordo com o modelo umérco proposto e o vetor do lado dreto do sstema de equações. MATRIX por sua vez chama váras outras sub-rotas para cálculo dos város termos das equações. As sub-rotas chamadas por MATRIX são: TCEDIF, que calcula os fluxos covectvos e dfusvos os cotoros dos subvolumes de cotrole, que, por sua vez, chama as sub-rotas DJACOB, para o cálculo do jacobao em termos do sstema de coordeadas locas e VISTUR para calcular a vscosdade turbuleta. MCONV, que mota a matrz dos termos covectvos e dfusvos detro de cada elemeto; DIFUS que mota a matrz dos termos dfusvos e calcula a matrz de massa, chama DJACOB; PRESSL que calcula as matrzes dos termos de pressão das equações de quatdade de movmeto e as matrzes dos termos da equação de cotudade, chama a DJACOB; a sub-rota TFONTE calcula os vetores dos termos fote das equações de quatdade de movmeto, esta sub-rota se defe se o caso é de covecção atural ou msta, chama a DJACOB; BOUNDRF esta sub-rota calcula a matrz dos fluxos covectvos em cotoros exteros de cada elemeto, chama a sub-rota SHAPEG e a subrota MCONV3 que mota a matrz dos termos covectvos. A sub-rota SOLUES chama as sub-rotas WRITES para mpressão dos resultados e a FRONTP, a qual tem a mesma fução da sub-rota FRONTS; FRONTP chama MATRIP, que, por sua vez, chama TCEDIE para calcular as matrzes dos termos covectvos e dfusvos; DIFUES para crar as matrzes dos termos dfusvos e MCONES que mota a matrz dos termos covectvos e dfusvos detro de cada elemeto e chama BOUNDRT para calcular os fluxos covectvos em cotoros exteros dos elemetos.

67 73 PROGRAMA PRINCIPAL DIMENS DINPUT DRIVES ITERAT DIAGN DIAGN2 FRONTS SOLUES TOLREL WRITER FUNCORR SHAPEG WRITES FRONTP FRONTFC MATRIP MATRFC MATRIX TCEDIE DIFUES MCONES TDIFFC FONTFC BOUNDRP DIFUFC TCEDIF DIFUS TFONTE PRESSL MCONV BOUNDRF MCONV3 DJACOB DJACOB SHAPEG VISTUR BOUNDRT DJACOB SHAPEG VISTUR SHAPEG DJACOB Fgura 3. Estrutura do Programa Computacoal

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69 75 CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES DO MODELO NUMÉRICO PARA ESCOAMENTOS ISOTÉRMICOS Este capítulo tem como objetvo apresetar algus casos de escoametos de fludos utlzados para valdação do códgo desevolvdo o presete estudo. São apresetados casos de escoameto sem trasferêca de calor e/ou massa, com o objetvo de valdar a modelagem da turbulêca. Dos casos clásscos são utlzados a valdação do códgo umérco, o prmero é o caso da cavdade quadrada com a parede superor deslzate e o outro é o caso do caal com expasão brusca em degrau. Os resultados obtdos são comparados com resultados dspoíves a lteratura. 4. Escoameto uma Cavdade Quadrada com Parede Superor Deslzate Square Ld-Drve Cavty Flow Neste tem, são apresetados resultados obtdos para o escoameto duzdo pelo movmeto da parede superor de uma cavdade quadrada hdrodâmca. A solução deste tpo de problema costtu um excelete teste para a valdação de códgos umércos, pos, apesar de sua geometra bastate smples, o escoameto em seu teror é relatvamete complexo, apresetado uma grade zoa de recrculação o cetro da cavdade e vórtces secudáros, mesmo quado sujeta a baxos úmeros de Reyolds. Além dsso, exste a lteratura um cosderável úmero de artgos que tratam deste tema, oferecedo farto materal para a comparação de resultados. Porém, a maora dos casos, os resultados são comparados com Gha et al. (982). Uma das vestgações poeras do problema da cavdade com tampa deslzate bdmesoal, segudo Peg et al. (200), fo realzada por Burggraf (966), que apreseta perfs aalítcos e umércos de velocdades a lha de cetro da cavdade, para úmeros de Reyolds compreeddos etre 0 e 400. Este trabalho é referecado por Gha et al. (982), que apreseta soluções umércas para uma cavdade quadrada hdrodâmca para Reyolds até 0 4, e se se torou referêca para a maora dos trabalhos desevolvdos posterormete. Ku et al. (987) smularam um escoameto com úmeros de Reyolds 00, 400 e 000, tato para o caso bdmesoal como para o trdmesoal, com o objetvo de testar

70 76 um método pseudoespectral. A fluêca das paredes o caso da cavdade 3D pôde ser claramete observada, por termédo da aálse dos perfs de velocdade. Gallerao & Napol (999) smularam o escoameto uma cavdade 3D utlzado smulação de grades escalas (LES) para modelagem da turbulêca com um ovo modelo dâmco tesoral de escalas submalhas (DTM Dyamc Tesoral Model). As equações são dscretzadas em malhas deslocadas, usado aproxmação de FVM e método de passos fracoados. Zag et al. (993) também smularam escoameto a cavdade 3D utlzado a smulação de grades escalas, porém com o modelo de tesões submalhas de Germao et. al. (99). Recetemete, Frgo et al. (2004) fzeram smulações 2D, para úmeros de Reyolds 00, 400 e 000, e 3D, com Reyolds 400 e 000, com o objetvo de testar as mplemetações fetas um códgo desevolvdo em volumes ftos, bdmesoal, deomado Fluds 2D. O caso apresetado este tem é de um escoameto bdmesoal, compressível de fludo Newtoao e vscoso, em regme estatstcamete estabelecdo. 4.. Geometra e codções de cotoro Na Fg. 4. lustra-se a geometra e as codções de cotoro do problema. A cavdade tem lado utáro; a orgem do exo das coordeadas cartesaas está fxada o cato feror esquerdo. Em todas as paredes, é cosderada a codção de ão deslzameto, exceto a parede superor, a dreção do exo das abscssas, a qual a velocdade é mposta uforme gual à u w. As codções de cotoro para as velocdades são: U = V = 0 em X = 0 e X = (4.a) U = V = 0 em Y = 0 (4.b) U = ; V = 0 em Y = (4.c) Como o escoameto é cosderado compressível, a codção de cotoro para a pressão pode ser mposta apeas um poto. Neste caso, fo mposta a metade da parede feror, como defda a segur:

71 77 P = 0 em X = 0,5 e Y = 0 (4.2) U= u w, V=0 (0,) (,) U=0 V=0 U=0 V=0 Y (0,0) (,0) X U=V=0 Fgura 4. Geometra e codções de cotoro da cavdade quadrada. As equações goverates são as equações (2.27) e (2.28) que fcam a forma: U X V Y = 0 (4.3) U t V t ( UU ) ( VU ) P ν e U ν e U = X Y X X Re X Y Re Y ( UV ) ( VV ) P ν e V ν e V = X Y Y X Re X Y Re Y (4.4a) (4.4b) A vscosdade efetva as Eq. (4.4) é defda como ν t. As varáves admesoas do espaço, das velocdades, da pressão, do úmero de Reyolds e da vscosdade turbuleta, utlzadas as equações (4.3) a (4.4), foram defdas, respectvamete, como a segur: x y u v X = ; Y = ; U = ; V = ; L L u w u w P p p t 0 = ; 2 ρ uw ρ u w L ν Re = t ; ν t = Re (4.5) µ ν * ode L é o comprmeto do lado da cavdade.

72 78 Na Fg. 4.2 lustra-se uma malha de dscretzação. As malhas utlzadas são regulares e ão uformes. Neste caso foram testadas três malhas: uma mas refada de 00 por 00 elemetos, outra de 80 por 80 elemetos e 6 por 6 potos odas e uma mas grossera de 2 por 2 elemetos. Com a malha mas refada, foram testados apeas algus passos de tempo e, devdo a grade proxmdade de tas resultados com os obtdos pela malha 80 por 80 elemetos, optou-se por esta últma com o tuto de dmur o custo computacoal. Com a malha mas grossera são apresetados resultados para Re=00, 400 e 000, bem como a comparação dos mesmos com os obtdos pela malha 80 por 80 elemetos, o que pode ser observado a Fg Na malha grossa, também se tetou smular o escoameto a Re=0000, porém ão houve covergêca dos resultados quado testados casos sem depedêca de tempo. Fgura 4.2 Cavdade quadrada dscretzada em 80 por 80 elemetos. Todos os casos foram smulados com tempos admesoas da ordem de 0 30, garatdo desta forma a ão depedêca do tempo. As smulações foram cadas com Re=00, sedo suas codções cas tomadas zero, o segudo Reyolds testado fo 400, o qual teve como codção cal o Re=00, e o mesmo para os Reyolds sucessores.

73 79 Como o modelo utlzado é o de Smagorsky, faz-se ecessáro ajustar a costate Cs, deomada de costate de Smagorsky. Após algus testes, Cs fo ajustada, para este caso, em 0,6. Nas Fgs. (4.3) e (4.4) mostram-se, respectvamete, os perfs de velocdade obtdos para U em X=0,5 (lha cetral horzotal) e V em Y=0,5 (lha cetral vertcal), para Re=00, 400, 3200, 000 e 0000, sem depedêca do tempo. Etretato, é possível smular também o regme trasete. Os resultados são comparados com resultados de Gha et al. (982). Pode-se observar que há uma excelete cocordâca etre os resultados para todos os valores de Reyolds, mesmo ão havedo ehuma técca de upwd e em tegração de seguda ordem o tempo, como algus autores afrmam ser ecessára para o uso de LES.,0 0,8 0,6 Y 0,4 0,2 0,0 Re=00, 400, 000, 3200 e 0000 (Presete Trabalho) Gha et al. (982) Re=00 Re=400 Re=000 Re=3200 Re=0000 U -0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2 Fgura 4.3 Velocdade U a lha de cetro vertcal da cavdade.

74 80 0,6 0,4 0,2 V 0,0-0,2-0,4-0,6 Re=00, 400, 000, 3200 e 0000 (Presete Trabalho) Gha et al. (982) Re=00 Re=400 Re=000 Re=3200 Re=0000 0,0 0,2 0,4 X 0,6 0,8,0 Fgura 4.4 Velocdade V a lha de cetro horzotal da cavdade. As lhas de correte são obtdas através da solução da segute equação, utlzado método de elemetos ftos baseado em volumes de cotrole (CVFEM): 2 2 ψ ψ u v = 2 2 x y y x (4.6) As codções de cotoro para a fução de correte foram tomadas ulas em todo cotoro. Nas Fgs. (4.5), (4.6), (4.7), (4.8) e (4.9) lustram-se, respectvamete, as lhas de correte para Re = 00, 400, 000, 3200 e 0000 em regme permaete. Observa-se que à medda que se aumeta o úmero de Reyolds vão aparecedo mas regões de recrculações os catos ferores do domío, deomados de vórtces secudáros. Além dsso, também se pode observar uma grade recrculação cetral que ocupa a maor parte da cavdade; tal recrculação movmeta-se em dreção ao cetro geométrco da cavdade e va tomado um aspecto cada vez mas arredodado com o aumeto de Re.

75 Fgura Lhas de correte para Re= Fgura Lhas de correte para Re=

76 Fgura 4.7 Lhas de correte para Re= Fgura 4.8. Lhas de correte para Re=

77 Fgura 4.9. Lhas de correte para Re=0000. Na Tabela 4. mostram-se os valores das lhas de corretes (íves) para os úmeros de Reyolds smulados. A Tabela 4.2 cotém resultados dos valores máxmos e mímos da fução de correte, bem como as coordeadas dos potos ode aqueles valores estão localzados. Os comprmetos horzotal (HL) e vertcal (VL) dos vórtces secudáros, os catos da cavdade, também estão mostrados aquela tabela, para Re=400. Os valores de HL e VL foram ecotrados fazedo-se uma terpolação através do TECPLOT. Esta tabela também apreseta uma cocordâca satsfatóra etre a maora dos resultados deste trabalho e os resultados apresetados por Saabas & Balga (994) e por Gha et al.(982). Os resultados de Saabas & Balga (994) foram obtdos por um método de elemetos ftos baseado em volumes de cotrole (CVFEM) com elemetos tragulares de três ós em regme permaete. Gha et al. (982) obtveram resultados umércos para uma cavdade quadrada hdrodâmca para Reyolds até 0 4, este trabalho é extesvamete utlzado para valdar códgos umércos. Na Tabela 4.3 mostram-se resultados smlares para o escoameto com úmero de Reyolds, Re = 000 e a Tabela 4.4 mostram-se resultados para Re = 3200 e Re = 0000.

78 84 Tabela 4. Valores das lhas de correte para um escoameto duzdo uma cavdade quadrada para dferetes úmeros de Reyolds. Níves Re = 00 Re = 400 Re = 000 Re = 3200 Re = ,639E-2 -,4E- -,50E- -,52E- -,77E- 2-8,353E-2 -,073E- -,32E- -,093E- -,095E- 3-5,783E-2-9,07E-2 -,084E- -9,436E-2-8,870E-2 4-3,22E-2-6,262E-2 -,008E- -7,943E-2-5,82E-2 5 -,927E-2-3,453E-2-8,64E-2-4,958E-2 -,988E-2 6-6,49E-3 -,346E-2-5,689E-2 -,973E-2-3,257E-3 7-7,046E-4 -,04E-3-2,775E-2-4,806E-3-9,362E-5 8-9,047E-6-2,740E-5-3,248E-3 -,47E-4 -,256E-5 9-3,344E-7-2,376E-6-4,055E-5 6,094E-7,099E-5 0-8,387E-8,083E-7 4,765E-6 7,6E-5 2,303E-4 4,73E-6 7,620E-6 3,476E-5 2,05E-4 5,489E-4 2-6,779E-5,473E-4 7,460E-4 8,304E-4 3-2,206E-4 4,694E-4 9,598E-4,439E-3 4-4,394E-4,029E-3,98E-3 2,497E-3 5-5,73E-4,528E-3 2,66E-3 - Tabela 4.2 Escoameto duzdo uma cavdade quadrada. Resultados para Re=400. Vórtces Gha (982) 257x257 Saabas (994) FLO: 8x8 Saabas (994) MAW: 8x8 Presete Trabalho 6x6 Prmáros Ψ m -0,39-0,02-0,08-0,8 x 0,5547 0,5625 0,5625 0,559 y 0,6055 0,625 0,625 0,6068 Cato Esquerdo Ψ max,42e-5,033e-5 9,9E-6 9,730E-6 x 0,0508 0,050 0,050 0,04922 y 0,0469 0,050 0,0375 0,04504 H L 0,273 0,05 0, V L 0,08 0,0906 0,0897 0,0883 Cato Dreto Ψ max 6,423E-4 5,85E-4 4,265E-4 5,847E-4 x 0,8906 0,8875 0,9 0,88663 y 0,25 0,25 0,25 0,2037 H L 0,267 0,246 0,23 0,249 V L 0,3203 0,298 0,28 0,2958

79 85 Tabela 4.3 Escoameto duzdo uma cavdade quadrada. Resultados para Re=000. Vórtces Gha (982) 257x257 Saabas (994) FLO: 8x8 Saabas (994) MAW: 8x8 Presete Trabalho 6x6 Prmáros Ψ m -0,79-0,054-0,0965-0,54 x 0,533 0,5375 0,5375 0,5333 y 0,5625 0,5625 0,5625 0,56562 Cato Esquerdo Ψ max 2,3E-4,746E-4,898E-4 2,004E-4 x 0,0859 0,0750 0,0750 0,08364 y 0,078 0,0750 0,0750 0,07553 H L 0,288 0,95 0,95 0,2 V L 0,68 0,5 0,375 0,587 Cato Dreto Ψ max,75e-3,505e-3,70e-3,606e-3 x 0,8594 0,875 0,9 0,86776 y 0,094 0,25 0,25 0,075 H L 0,3034 0,277 0,23 0,3424 V L 0,3536 0,329 0,295 0,297 Tabela 4.4 Escoameto duzdo uma cavdade quadrada. Resultados para Re=3200 e Re=3200 Re=0000 Vórtces Gha (982) Presete Trabalho Gha (982) Presete Trabalho 257x257 6x6 257x257 6x6 Prmáros Ψ m -0, ,67-0,973-0,93 x 0,565 0,5203 0,57 0,5345 y 0,5469 0,5365 0,5333 0,536 Topo Ψ max 7,27682E-4 2,576E-4 2,4203E-3,89E-3 x 0,0547 0,0449 0,0703 0,073 y 0,8984 0,8905 0,94 0,902 H L 0,0859 0,0706 0,589 0,5 V L 0,2057 0, ,3203 0,336 Cato Esquerdo Ψ max 9,7823E-4 9,806E-4,5829E-3,476E-3 x 0,0859 0,0903 0,0586 0,05977 y 0,094 0, ,64 0,5876 H L 0,2844 0,2869 0,3438 0,34363 V L 0,2305 0,240 0,289 0,287 Cato Dreto Ψ max 3,3955E-3 2,657E-3 3,483E-3 3,059E-3 x 0,825 0, ,7656 0,76977 y 0,0859 0, ,0586 0,0583 H L 0,3406 0, ,3906 0,39257 V L 0,402 0, ,4492 0,44237

80 86 Na Fg. (4.0) mostra-se a fluêca do refameto da malha. Os resultados obtdos, pelo presete estudo, com a malha 80 por 80 elemetos são comprados com os resultados de uma malha grossera, 2 por 2 elemetos com 25 por 25 potos ao logo dos exos de coordeadas, para Re=00, 400 e 000. Mesmo para uma malha grossera pode-se observar uma boa cocordâca etre os resultados. Isto, talvez, possa ser justfcado pelo uso de fuções de terpolação quadrátcas, que é o caso do presete trabalho.,0 0,8 0,6 Y 0,4 0,2 Re=00 malha 2x2 malha 80x80 Re=400 malha 2x2 malha 80x80 Re=000 malha 2x2 malha 80x80 0,0-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2 U Fgura 4.0 Velocdade U em X=0, Escoameto um Caal com Expasão em Degrau Backward-Facg Step Flow Um escoameto um caal com uma expasão em degrau é vestgado esta seção. Este caso, apesar de sua smplcdade geométrca apreseta em seu escoameto alto grau de complexdade, pos há preseça de camada lmte em desevolvmeto, zoa de recrculação, descolameto e recolameto do escoameto após o degrau. Estes feômeos toram o problema relatvamete adequado para valdação de códgos umércos. Um dos trabalhos mas ctados a lteratura sobre o escoameto uma expasão é o de Km et al. (978). Km et al. (978) fzeram smulações umércas e expermetas,

81 87 mostrado toda a complexdade erete aos processos de descolameto, recolameto e de redesevolvmeto da camada lmte hdrodâmca a jusate do degrau. Um outro trabalho bastate ctado a lteratura é o de Armaly et al. (983), o qual apresetam-se resultados expermetas para escoametos lamares, trascoas e turbuletos, com o úmero de Reyolds varado etre 70 e Nesse é mostrado que o comprmeto de separação altera-se radcalmete com o úmero de Reyolds. Slvera-Neto et al. (993) fzeram uma aálse mucosa das estruturas turbuletas trdmesoas que se desevolvem este tpo de escoameto, utlzado como ferrametas as metodologas de smulação umérca dreta e de grades escalas. Fredrch & Aral (990), ctado por Frgo et al. (2004), estudaram o escoameto o teror dessa geometra, para altos úmeros de Reyolds, empregado, também, um programa baseado o método dos volumes ftos assocado à técca de smulação de grades escalas (LES). Os cálculos foram executados com malha uforme e os resultados tratados estatstcamete apresetaram uma boa coerêca. Recetemete, Chu et al. (2005) fez smulações de dspersão de poluetes em áreas urbaas e utlzou o caso do degrau para valdar o códgo, comparado os resultados com os resultados expermetas de Armaly et al. (983) Perfl de Velocdade Parabólco a Etrada do Caal Geometra e Codções de Cotoro O caso apresetado este tem é de um escoameto bdmesoal, compressível de fludo Newtoao e vscoso, em regme trasete. A segur, são mostradas a geometra, as codções de cotoro e os resultados obtdos o presete trabalho, para o caso do escoameto em degrau. A geometra é mostrada a Fg. 4.. O caso fo testado para úmeros de Reyolds relatvamete baxos. A altura do degrau é h, a etrada do caal tem altura 2h e comprmeto,33h; o comprmeto do caal, a partr do degrau, é de 28h; a coordeada R tem orgem a lha de cetro do caal de etrada.

82 88 L=29.33h H y h x,33h Fgura 4. Geometra e parâmetros do caal com expasão assmétrca. As equações que goveram o problema são as mesmas apresetadas o tem ateror, Eqs. (4.3), (4.4) Na etrada, é cosderado um perfl de velocdade parabólco, ou seja, um perfl de velocdade completamete desevolvdo. As codções de cotoro são apresetadas a segur: 2 U =,5( R ) em X =, 5 e R (4.7) U / X = 0; V = 0 a saída do caal (4.8) U = V = 0 as demas froteras do caal (4.9) A codção de cotoro para a pressão é cosderada a seção de saída do caal: P = 0 (4.0) As varáves admesoas são dadas pela Eq. (4.6), porém L, este caso, é cosderado como a altura h do degrau. Na Fg. 4.2 lustra-se o caal com expasão assmétrca a forma de um degrau. A malha é costtuída por 2550 elemetos e 043 potos odas, dstrbuídos em todo caal, totalzado graus de lberdade. Fgura Domío dscretzado em 3 por 5 e 2 por 8 elemetos.

83 89 As lhas de correte também são obtdas através da solução da Eq. (4.7), utlzado o método de elemetos ftos baseado em volumes de cotrole (CVFEM). A codção de cotoro, para a fução de correte, a etrada do caal é obtda através da tegração da Eq. (4.7), ao logo do exo das ordeadas. ψ ψ 0 Ψ = U h max =,5 Y ( Y ) ( ) (4.a) Nas paredes as codções de cotoro para a fução de correte são: Ψ = 2 em Y=3; Ψ = 0 ; as paredes ferores e face do degrau; (4.b,c) Resultados com perfl de velocdade parabólco a etrada O úmero de Reyolds é baseado a altura do degrau e a velocdade méda da etrada do caal. A costate de Smagorsky, adotada este caso também fo Cs 2 =0,026. Nas Fgs. 4.3 e 4.4 mostra-se a velocdade U, em regme permaete, ao logo do caal, em algus potos, para Re=73 e 229, respectvamete. Observa-se que, ao logo do caal, o perfl de velocdade va fcado totalmete desevolvdo, tomado um formato parabólco, como era esperado. Nas Fgs. 4.5 e 4.6 apreseta-se, respectvamete, uma comparação das velocdades U em X=2,0 e em X=6,0, do presete trabalho com Wterschedt & Suraa (994) e com Campos-Slva (998), para Re=73. Na Fg. 4.7 mostra-se uma comparação, da velocdade U em algumas estações ao logo caal, do presete trabalho com Wterschedt & Suraa (994), para Re=229. Observa-se uma boa cocordâca dos resultados.

84 90 3,0 2,5 2,0 Y,5 Re=73,0 0,5 x=0.0 x=2.2 x=8.9 x=5.4 0,0 U -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4,6 Fgura Velocdade U ao logo do caal, para Re=73. 3,0 2,5 2,0 Y,5 Re=229,0 0,5 0,0 x=5,4 x=6 x=2 x=0 U -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4,6 Fgura Velocdade U ao logo do caal, para Re=229. Os potos de Wterschedt & Suraa (994) mostrados as Fgs 4.5, 4.6 e 4.7 foram extraídos dos gráfcos apresetados aquele trabalho, o que pode ter acarretado a

85 9 pequea dscordâca de algus potos. O perfl de velocdade da etrada do caal, do trabalho utlzado para comparação fo tomado de dados expermetas, dferetes do presete trabalho. 3,0 2,5 2,0 Y,5 Presete Trabalho Wterschedt & Suraa, (994) Campos-Slva, (998),0 0,5 Re=73 0,0-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4 Fgura Velocdade U em X = 2,0, para Re=73. U 3,0 2,5 2,0 Y,5 Campos-Slva, (998) Wterschedt & Suraa, (994) Presete Trabalho,0 0,5 Re=73 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2 Fgura Velocdade U em X = 6,0, para Re=73. U

86 92 3,0 2,5 2,0 Re=229,5 Y,0 0,5 0,0-0,5 X=2 Wterschedt & Suraa, (994) X=2 Presete Trabalho X=6 Wterschedt & Suraa, (994) X=6 Presete Trabalho U -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4,6 Fgura Velocdade U ao logo do caal, para Re=229. Nas Fgs. 4.8, 4.9 e 4.20 mostram-se perfs de velocdade, U, do presete trabalho para Re=000, em város tempos, as seções X=0,0, X=2,0 e X=6,0, respectvamete. Observa-se que os perfs estão espacalmete desevolvdos mesmo um tempo baxo. Nas Fgs. 4.8 e 4.9 pode ser observado velocdades egatvas etre Y=0 e Y=, ode está localzado o degrau, o que mplca a formação de recrculações o escoameto. Na Fg. 4.2 lustra-se o perfl de velocdade U ao logo do caal, para t=0 e Re=000. Embora, teham sdo apresetados resultados para t=0, pôde-se observar que os perfs estavam completamete desevolvdos para tempos meores, em t=55, por exemplo, eles são pratcamete dêtcos.

87 93 3,0 2,5 2,0 Y,5 t=0 t=55 t=0,0 0,5 Re=E3 0,0 U -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4,6 Fgura Velocdade U em X = 0,0, para Re=000. 3,0 2,5 2,0 Y,5 X=2,0 t=0 t=55 t=0,0 0,5 Re=E3 0,0 U -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4,6 Fgura Velocdade U em X = 2,0, para Re=000.

88 94 3,0 2,5 2,0 Y,5 X=6,0 t=0 t=55 t=0,0 0,5 Re=E3 0,0-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4,6 Fgura Velocdade U em X = 6,0, para Re=000. U 3,0 2,5 2,0 Y,5 t=0 X=0,0 X=2,0 X=6,0,0 Re=E3 0,5 0,0-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4,6 U Fgura Velocdade U ao logo do caal em t = 0, para Re=000. Nas Fgs e 4.23 mostram-se as lhas de correte para Reyolds 73 e 229, respectvamete. Na Tabela 4.5 mostram-se os comprmetos de recrculação dos úmeros de Reyolds mostrados esta seção comparados com os trabalhos do Campos-Slva (998) e Wterschedt & Suraa (994). Os dados expermetas foram extraídos de

89 95 Wterschedt & Suraa (994). Na Fg mostra-se a evolução temporal das lhas de correte para Re=000. Observa-se que, para t = 20, mas um pequeo vórtce secudáro aparece juto à parede feror. Na Fg também se pôde verfcar o aparecmeto de uma recrculação a parede superor do caal, o que era esperado. Para úmero de Reyolds acma de 400 já aparece o vórtce juto à parede superor. Verfca-se que até um certo úmero de Reyolds, o comprmeto da regão de recrculação aumeta, retardado o recolameto do escoameto. Segudo dados da lteratura, a trasção este tpo de escoameto ocorre para úmero de Reyolds em toro de 200. Para escoametos totalmete turbuletos desde a etrada do caal, o comprmeto de recolameto dmu, como será vsto a seção Y 0 X Fgura 4.22 Lhas de correte para Re=73. 3 Y 0 X Fgura 4.23 Lhas de correte para Re=229. Tabela 4.5 Comprmetos da zoa de recrculação para três Reyolds. Campos-Slva (998) Wterschedt & Suraa (994) Expermetal Presete Trabalho Re=73 L R 5,0 5,3 4,0 5,9 Re=229 L R 9,7 9,7 Re=000 L R 6

90 96 3 Y 0 X Fgura 4.24a Lhas de correte para Re=000, t=. 3 Y 0 X Fgura 4.24b Lhas de correte para Re=000, t=20. 3 Y 0 X Fgura 4.24c Lhas de correte para Re=000, t=60. 3 Y 0 X Fgura 4.24d Lhas de correte para Re=000, t=90. 3 Y 0 X Fgura 4.24e Lhas de correte para Re=000, t= Perfl de Velocdade Uforme a Etrada do Caal Geometra e Codções de Cotoro O caso apresetado este tem é de um escoameto bdmesoal, compressível de fludo Newtoao e vscoso, em regme trasete. As equações goverates, a geometra,

91 97 bem como o domío dscretzado são os mesmos apresetados o tem ateror, para o caso com perfl parabólco, a dfereça está o perfl de velocdade do caal de etrada que este tem é uforme com U =. As demas codções de cotoro permaecem as mesmas Resultados com perfl de velocdade uforme a etrada As smulações foram fetas com Reyolds relatvamete altos. Apesar, de algus autores afrmarem que acma de Reyolds 450 começam a aparecer efetos trdmesoas, apeas casos bdmesoas foram smulados. Nas Fgs a 4.28 mostram-se a evolução temporal de perfs de velocdade ao logo do caal para Reyolds 0000, 4000, e 7000, respectvamete. A costate de Smagorsky fo ajustada em 0,8. Etretato, testes adcoas serão ecessáros com outros valores. O cálculo dâmco da costate de Smagorsky poderá coduzr a melhores resultados. O comprmeto de recrculação parece ser depedete do Reyolds, acma de um dado valor. Os valores expermetas ecotram-se uma faxa de 7 ± 0.5, (Saabas, 994). O comprmeto de recrculação obtdo fo de 7,3, o que dca que os resultados da presete smualação estão em boa cocordâca com os resultados da lteratura. 3,0 2,5 2,0 Y,5 t=0 t=20 X=0 X=6 X=2 X=2,0 0,5 0,0 Re=E4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4 Fgura Escoameto ao logo do caal, Re=0000. U

92 98 3,0 2,5 2,0 Y,5 t=30 t=33 X=0 X=6 X=2 X=2,0 0,5 Re=4E3 0,0 U Fgura Escoameto ao logo do caal, Re= ,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4 3,0 2,5 2,0 Y,5 t=5 t=0 X=0 X=6 X=2 X=2,0 0,5 0,0 Re=45E3 U Fgura Escoameto ao logo do caal, Re= ,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4

93 99 3,0 2,5 2,0 Y,5 t=2.08 t=8.35 X=0 X=6 X=2 X=2,0 0,5 Re=7E3 0,0 U Fgura Escoameto ao logo do caal, Re= ,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4 As lhas de correte também são obtdas da mesma forma do tem ateror, através da solução da Eq. (4.7), utlzado o método de elemetos ftos baseado em volumes de cotrole (CVFEM). As codções de cotoro para a fução de correte são dadas a segur: Ψ = Y em x = -,33h e h y 3h (caal de etrada) (4.2a) Ψ = 2 em Y=3; Ψ = 0 ; as paredes ferores e face do degrau; (4.2b,c) Nas Fgs a 4.32 lustram-se as lhas de correte para Reyolds 0000 em t=26, 4000 em t=33, em t=0 e 7000 em t=8,35. 3 Y 0 X Fgura 4.29 Lhas de correte do caal para Re=0000, t=26. 3 Y 0 X Fgura 4.30 Lhas de correte do caal para Re=4000, t=33.

94 00 3 Y 0 X Fgura 4.3 Lhas de correte do caal para Re=45000, t=0. 3 Y 0 X Fgura 4.32 Lhas de correte do caal para Re=7000, t=8,35. No caso do escoameto com alto úmero de Reyolds o degrau, a costate de Smagorsky ada deve ser mas bem calbrada. Aparetemete, os perfs de velocdade deveram ser mas achatados, embora o comprmeto de recolameto esteja cocordado com os valores da lteratura. Como dto aterormete, um modelo dâmco para cálculo da vscosdade turbuleta poderá ser mas efcete.

95 0 CAPÍTULO 5 APLICAÇÕES PARA ESCOAMENTOS NÃO ISOTÉRMICOS Este capítulo tem como objetvo apresetar algus casos smples de escoametos ão sotérmcos por covecção atural, com o objetvo de valdar o cálculo este tpo de escoameto e mplemetar a equação de trasporte de um escalar o códgo costruído, o presete trabalho. 5. Escoameto por Covecção Natural e Trasporte de uma Gradeza Escalar uma Cavdade Quadrada Neste exemplo, cosdera-se um escoameto por covecção atural e trasporte de um escalar, que podera smular a dspersão de uma espéce de poluete uma cavdade quadrada. A geometra é a mesma da Fg. 4., porém, com codções de cotoro adequadas para o caso. As equações goverates admesoalzadas, em otação tesoral, este caso, cosderado a hpótese de Boussesq, são dadas por: = 0 Y V X U (5.) ( ) ( ) = Y U Y X U X X P Y VU X UU t U e ν e ν (5.2a) ( ) ( ) θ ν ν Pr Ra Y V Y X V X Y P Y VV X UV t V e e = (5.2b) ( ) ( ) = Y Y X X Y V X U t e e θ α θ α θ θ θ (5.3) ( ) ( ) = Y C D Y X C D X Y VC X UC t C e e (5.4)

96 02 ν t com α θ = a Eq. (5.3) e Pr Prt D e = Sc ν t Sc t a Eq. (5.4). Nas Equações (5.) a (5.4) as varáves admesoas foram defdas como: X x = ; L U u L = ; ν t * t ν 2 L = ; P ( p p ) ρ 0 2 0ν L 2 ( T T ) r = ; θ = ; T ν Pr = e α 3 gβ TL Ra = (5.5) αν Na Equação (5.5) estão defdos os admesoas do espaço, das velocdades, do tempo, da pressão, da temperatura, o úmero de Pradtl e o de Raylegh, respectvamete. As codções de cotoro foram mpostas da segute forma: U = V = 0, em todos os cotoros; θ = C = em X = 0; θ = C = 0 em X = ; P = 0 em X = Y = 0,5. (5.6) As paredes feror e superor são soladas termcamete. As codções de cotoro para temperatura e cocetração foram tomadas guas, com o objetvo de comparar o comportameto de ambas, e, desta forma, valdar o cálculo da cocetração. Neste caso, aparece uma dfculdade adcoal que é o acoplameto etre as Eqs. (5.2) e (5.3). No presete trabalho, os campos velocdade e temperatura foram calculados smultaeamete e ão se cosderou o acoplameto devdo à cocetração. Desta forma, calcula-se de forma segregada o campo de cocetração, Eq. (5.4). A segur, são apresetados resultados para uma malha de 2 por 2 elemetos e para uma malha de 40 por 40 elemetos, respectvamete. 5.. Casos de Covecção Natural com Dspersão de Poluete. Malha 2 por 2 elemetos. Neste tem, é apresetado um caso de dspersão de poluete com escoameto por covecção atural uma cavdade quadrada. A malha utlzada é bastate grossera, possu apeas 2 por 2 elemetos o que costtu em 25 por 25 potos odas ao logo dos exos

97 03 cartesaos, totalzado 2044 graus de lberdade. Neste total de graus de lberdade, estão computados somete as velocdades, pressão e a temperatura, pos o cálculo da cocetração é feto separadamete. O caso aalsado fo para Ra = 0000, Pr = 0,72 e Sc = 0,2. Para haver a covergêca da solução o passo de tempo cal fo de t=0,, os passos sucessores puderam ser maores. Na Fg. 5. mostra-se a evolução temporal dos perfs de velocdade, V, a lha méda horzotal, Y = 0,5, para Ra = 0000 em város passos de tempo. Através deste gráfco, pode-se observar que em t = 0 o regme permaete já fo alcaçado Y=0,5 5 V Ra=E4 t=0,2 t=0 t= ,0 0,2 0,4 X 0,6 0,8,0 Fgura 5. Varação temporal da velocdade V a lha méda horzotal da cavdade, Y = 0,5, Ra = Na Fg. 5.2, são mostrados os resultados para as lhas de correte em t=20, pos fo cosderado que este tempo o perfl estava completamete desevolvdo, para Ra=0000. Através da Tabela 5., pode-se ver uma comparação quattatva dos resultados do presete trabalho com Ramaswamy et al. (988) e Campo-Slva (998). Pode ser verfcado que, apesar da malha utlzada, o presete trabalho, ser bastate grossera, foram obtdos bos resultados. Os valores para lha de correte estão com boa cocordâca, mas há uma pequea dscordâca o valor máxmo da velocdade, V. Porém, observa-se a Fg. 5., em t = 20, que o valor máxmo está cocordado com os dos trabalhos comparados.

98 Nas Fgs. 5.3 e 5.4 mostram-se resultados das solhas de cocetração e das sotermas, respectvamete, para Ra=00.000, com velocdade establzada, um escoameto por covecção atural. A Fg. 5.5 lustra as sotermas obtdas o escoameto por covecção atural, Campos-Slva (998). Comparado-as com as obtdas o presete trabalho, pode-se observar boa cocordâca etre elas Y X Fgura 5.2 Lhas de correte do escoameto por covecção atural uma cavdade quadrada, para Ra=0.000.

99 Y X Fgura 5.3 Isolhas de cocetração uma cavdade quadrada, para Ra = 0.000; t = Y X Fgura 5.4 Isotermas de covecção atural uma cavdade quadrada, para Ra = 0.000; t =

100 06 Fgura 5.5 Isotermas o escoameto por covecção atural uma cavdade quadrada, para Ra = 0.000, Campos-Slva (998). Tabela 5. - Comparação de resultados para valores máxmos da fução de correte e velocdade vertcal. Ramaswamy et al. Campos-Slva Presete trabalho (992) (998) Ra Ψ max Ψ max Ψ max ,099 5,00 5,2 Ra V max V max V max ,62 9,75 7, Casos de Covecção Natural com Dspersão de Poluete. Malha 40 por 40 elemetos. Neste tem, é apresetado um caso de escoameto por covecção atural com dspersão de poluete uma cavdade quadrada. A malha utlzada é de 40 por 40 elemetos, o que se costtu em 8 por 8 potos odas ao logo dos exos cartesaos, totalzado 2384

101 07 graus de lberdade. Neste total de graus de lberdade, estão computados apeas as velocdades, a pressão e a temperatura, pos o cálculo da cocetração é feto separadamete. Os casos aalsados foram para Ra = x0 5 e Pr = 0,72. As Fgs. 5.6 e 5.7 lustram os perfs de velocdade V, a lha méda horzotal, respectvamete, para Sc=0,2 e Sc=. Através de tas fguras, pode-se observar que, para o caso aalsado, o úmero de Schmdt quase ão flu, pos os resultados obtdos estão muto próxmos. Através destes gráfcos, também se pode observar que em t = 0,5 o regme permaete fo atgdo. Para haver a covergêca da solução, o passo de tempo cal fo de t=0,0. Nos cálculos os resultados dos passos de tempos aterores são tomados como codções cas para os tempos segutes. Nas Fgs. 5.8 e 5.9 mostram-se lhas de correte para Sc=0,2 e Sc=, respectvamete, equato que a Tabela 5.2 pode-se ver uma comparação quattatva dos resultados do presete trabalho com resultados de Ramaswamy et al. (988) e de Campo- Slva (998). Através daquela tabela, pode ser verfcado que, apesar da malha utlzada ser relatvamete grossera, foram obtdos bos resultados. Nas Fgs. 5.0 e 5. mostram resultados das solhas de cocetração e de temperatura para Ra = , respectvamete para Sc = 0,2 e Sc =, respectvamete, com velocdade establzada, um escoameto por covecção atural. Nas Fgs. 5.2 e 5.3 mostram-se resultados smlares para as sotermas com Ra = , respectvamete, para Sc = 0,2 e Sc =.

102 Ra=0E5 20 V t=0,3 t=0, ,0 0,2 0,4 X 0,6 0,8,0 Fgura 5.6 Varação temporal do perfl de velocdade V a lha de cetro vertcal da cavdade quadrada, para Ra=00.000, Sc=0, Ra=0E5 t=0,3 t=0,5 20 V Y=0, ,0 0,2 0,4 X 0,6 0,8,0 Fgura 5.7 Varação temporal do perfl de velocdade V a lha de cetro vertcal da cavdade quadrada, para Ra=00.000, Sc=.

103 Y X Fgura 5.8 Lhas de correte uma cavdade quadrada, para Ra=00.000, Sc=0, Y X Fgura 5.9 Lhas de correte uma cavdade quadrada, para Ra=00.000, Sc=.

104 Y X Fgura 5.0 Isolhas de cocetração uma cavdade quadrada, para Ra=00.000, Sc=0, Y X Fgura 5. Isolhas de cocetração uma cavdade quadrada, para Ra=00.000, Sc=.

105 Y X Fgura 5.2 Isotermas uma cavdade quadrada, para Ra=00.000, Sc=0, Y X Fgura 5.3 Isotermas uma cavdade quadrada, para Ra=00.000, Sc=.

106 2 Tabela Comparação de resultados para valores máxmos da fução de correte e velocdade vertcal. Sc=0,2 Sc= Ramaswamy et al. Campos-Slva Presete trabalho Presete trabalho (992) (998) Ra Ψ max Ψ max Ψ max Ψ max ,756 0,0,23,30 Ra V max V max V max V max ,62 70,39 67, ,59 Para se verfcar a real potecaldade do modelo, testes com úmeros de Raylegh mas elevados devem ser realzados. Porém, faz-se ecessáro o uso de malhas mas refadas, o que, aturalmete, acarretará um processo de smulação mas leto. Etretato, acredta-se que o modelo esteja valdado, também, este tpo de escoameto.

107 3 CAPÍTULO 6 CASOS DE CONVECÇÃO MISTA COM DISPERSÃO DE POLUENTE EM CÂNIONS URBANOS URBAN STREET CANYONS FLOWS Uma trodução à aplcação do modelo deste trabalho para casos de escoametos com dspersão de poluete é um outro objetvo do presete trabalho. Neste capítulo apresetam-se resultados prelmares deste trabalho. 6. Dspersão de Poluetes em Câos Urbaos Urba Street Cayos A cêca modera de modelos de polução de ar cou-se os aos 20 quado cetstas mltares, a Iglaterra, tetaram estmar a dspersão de agetes químcos tóxcos laçados os campos de batalha, sob váras codções. Segudo Boço (998), os prmeros estudos da dspersão de substâcas a atmosfera datam das prmeras décadas do século passado, com os trabalhos de Rchardso (925, 926), Taylor (92, 960), Rossby (932), Bosaquet & Pearso (936), Hewso (945) e Baro et al. (949). Ada segudo Boço (998), Sutto (932) publcou um trabalho apresetado uma teora para a dfusão turbuleta a atmosfera. Também Sutto (947a, 947b, 950) estudou o problema da dfusão a baxa atmosfera, a partr de fotes cotíuas potuas (chamés) e de lha, cosderado também gases quetes, em que era assumda uma dstrbução gaussaa da cocetração a partr da lha de cetro da pluma. Segudo Pasqull (962), ctado por Boço (998), Frekel (952) parece ter sdo o prmero a apresetar a equação para as cocetrações c=c(x,y,z,t), para uma fote potual statâea ("puff"), também assumdo dstrbução gaussaa as dreções trasversas à do veto. Embora o foco deste capítulo seja em dspersão de poluetes em câos urbaos (Urba Street Cayos), ão se pode dexar de efatzar a mportâca dos modelos do tpo pluma gaussaa, pos é um dos modelos regulametados pela Agêca de Proteção Ambeta (EPA - Evrometal Protecto Agecy) dos Estados Udos. Os Modelos Lagragaos de Partículas (MLP) têm se torado uma mportate ferrameta a descrção dos processos de dspersão de poluetes a camada lmte plaetára (CLP), (Perera et al., 200). Neste trabalho, os autores smularam a dspersão de poluetes

108 4 utlzado as equações leares de Lagev 2 Gaussaa acoplada ao modelo 3D de mesoescala, para descrever a trajetóra de partículas em uma área de 0000 km 2 dstrbuída sobre uma regão de terreo complexo. Mutos autores fzeram pesqusas locas, ou seja, em determadas cdades e em determados períodos, detre eles pode-se ctar: Be & Shao (s/d), Vacho et al. (999), Braga et al. (2004), etc.. Braga et al. (2004) também utlzaram o mesmo modelo para estudar a dspersão de poluetes a regão de Cadota, stuada o sudeste do estado do Ro Grade do Sul. Segudo o autor, esta regão ecotra-se a maor reserva carboífera braslera e o maor complexo termoelétrco do Ro Grade do Sul. Be & Shao (s/d), verfcaram o comportameto da dspersão de poluetes em câos de ruas próxmas ao baco Cha Tower, a lha de Hog Kog. Os autores mostraram que as característcas da crculação em câos urbaos (cty cayo) ão se dão apeas por codções atmosfércas, mas também por parâmetros escalares determados pela geometra da estrutura urbaa. O pacote de dâmca de fludos computacoal CFX-5, fo empregado, pos segudo os autores, este programa é capaz de usar malhas ão estruturadas e uma varedade de esquemas de fechameto de turbulêca. Vacho et al. (999) estudaram, o prmero estágo fracês do projeto teracoal URBCAP, os mpactos da polução urbaa a saúde da população da cdade de Nates. A dspersão de poluetes também pode ser smulada em túes de veto, como feto por Gerdes & Olvar (2000), Kovar-Paskus et al. (2002), etre outros. Gerdes & Olvar (2000) vestgaram a cotamação de um poluete de um câo urbao (urba street cayo) em um túel de veto. A smulação fo feta com duas paredes paralelas e perpedculares ao veto. Kovar-Paskus et al. (2002) estudaram a fluêca da geometra o escoameto detro de um câo urbao, comparado smulações umércas com expermetas, detro de um túel de veto. Wog et al. (2002) utlzaram o Método de Dfereças Ftas (FDM) para fazer um modelo de dspersão de poluete em um câo de rua, a fm de smular dferetes geometras, tas como câos urbaos com comprmetos e alturas dversas. Os autores cocluíram que a maor reteção de poluetes se dá em ruas estretas, de aspecto maor do que, e que câos com dferetes alturas retêm mas poluetes do que com alturas guas. 2 t / τl u ( t) = u (0) e rg ( t) sedo r g (t) a gaussaa em todas as dreções.

109 5 Sorbja & Ulasz (998) estudaram a camada lmte atmosférca (CLA) otura os efetos de uves stratocumul a dspersão de cotamates. O estudo fo baseado o modelo de LES, com a parametrzação do tamaho das uves. As smulações cluíram cálculos lagragaos de dspersão atmosférca de um traçador passvo laçado de potos fote, em váras alturas sobre o solo. Foram obtdos resultados mostrado que a dfusão vertcal ão é gaussaa e depede da localzação da fote a camada lmte. El Hamda et al. (2002) utlzaram o método de volumes ftos para smular a dspersão de poluetes procedetes de uma chamé, com escoameto de veto em covecção lamar forçada, detro de um caal. A segur, são apresetados algus casos de dspersão de poluete em câos urbaos, com dferetes cofgurações, bem como uma comparação dos resultados obtdos com os dados dspoíves a lteratura. 6.2 Dspersão de Poluetes um caal com dos obstáculos de alturas dferetes Geometra e Codções de Cotoro A dspersão de um determado poluete devdo à ação do veto em um câo urbao (Urba Street Cayo) é apresetada esta seção. O escoameto é bdmesoal, embora a realdade o escoameto seja trdmesoal, o modelo bdmesoal pode oferecer bos resultados. Escoameto compressível, trasete, de um fludo ewtoao, detro de um câo de rua, com dos sóldos de alturas dferetes e comprmetos guas, é cosderado como teste para o presete modelo umérco. A dspersão do poluete ocorre devdo à ação do veto com velocdade uforme mposta a etrada do domío. A Fg. 6. lustra a geometra e codções de cotoro de um escoameto em um câo urbao. O prmero sóldo possu altura e o segudo,5, ambos possuem o mesmo comprmeto, 0,4. O domío fo baseado em Wog et al. (2002), com domío de comprmeto 20 e altura 0. A orgem do exo de coordeadas cartesaas está fxada o cato feror esquerdo do domío. As equações goverates do escoameto são as segutes: U X V Y = 0 (6.)

110 6 U t ( UU ) ( VU ) X Y P = X X ν e U ν e U Re X Y Re Y (6.2a) U t ( UV ) ( VV ) X Y P ν e V ν e V Gr = θ 2 Y X Re X Y Re Y R e (6.2b) θ t X ( Uθ ) ( Vθ ) Y = X σ θ Re θ X σ θ Y Re θ Y (6.3) C t ( UC) ( VC) X Y = X σ c C Re X σ c C Y Re Y (6.4) As codções de cotoro para as velocdades, temperatura e pressão são dadas como: U = V = 0, o solo e em toro dos prédos; (6.5a) U= e V=0 em X=0, etrada do domío; (6.5b) θ = a etrada, o solo e em toro dos prédo; (6.5c) θ = 0, a frotera superor; (6.5d) P = 0, a seção de saída. (6.5e) As codções de cotoro para a cocetração foram tomadas em algus potos etre os prédos, em Y=0. U=V=0 U=Uw V=0 P=0 C=Cw Y X U=V=0, T=T W Fgura 6.- Geometra e codções de cotoro para escoameto em um Câo Urbao.

111 7 A Fg. 6.2 lustra um recorte do domío dscretzado. As dmesões do domío foram descrtas aterormete. A malha fo crada de forma rregular e ão uforme, com 72 por 46 elemetos, o que equvale a 45 por 93 ós ao logo dos exos das coordeadas, resultado em graus de lberdade. Neste capítulo, são apresetados dos casos de covecção msta: um com uma razão do úmero de Grashoff pelo quadrado do úmero de Reyolds gual a 0 e outro com a razão gual a 4. No prmero caso, fo smulado apeas o caso ode a fote poludora está fxada etre os prédos, o outro a fote poludora fo fxada em três lugares, etre os prédos, o cato do prmero prédo e o cato da etrada do caal. Nos dos casos, a costate de Smagorsky fo ajustada em 0,6 e os admesoas fxados, Sc=0,2, Pr=0,72 e Re=00. Os resultados obtdos parecem estar detro do esperado, embora os casos teham sdo smulados com dados hpotétcos. Fgura 6.2 Recorte do Domío Dscretzado.

112 8 6.3 Resultados Nesta seção apresetam-se resultados de covecção forçada pura e também de covecção msta varado-se a localzação da codção de cotoro da fote poludora em relação aos obstáculos Covecção msta, razão do úmero de Grashoff pelo quadrado do úmero de Reyolds gual a 0 Este caso fo smulado com úmero de Ra = 0, com o tuto de se smular uma covecção forçada. Neste caso, o passo de tempo cal fo de t = 0, 0 e os passos de tempo segutes foram t = 0,. Com o avaço da solução pode-se aumetar um pouco o passo de tempo. O prmero passo de tempo fo tomado como codção cal do próxmo e assm sucessvamete Fote poludora fxada o solo etre os prédos Na Fg. 6.3 mostra-se a evolução temporal da velocdade U ao logo do caal, em potos stuados ates do prmero obstáculo, etre os obstáculos e após o segudo obstáculo. Os perfs de velocdade ates e após os obstáculos estão ada em regões ode ão se observam recrculações. Nota-se pela Fg. 6.4, a qual apreseta a evolução temporal das lhas de correte deste caso, que ates do prmero prédo e depos do segudo aparecem recrculações; como esperado; pos há descolameto e recolameto da camada lmte, ates, etre e depos dos prédos. Para se verfcar com exatdão o comprmeto das recrculações seram ecessáros tempos admesoas maores dos que aqu apresetados, porém estes states smulados, já se dá para se ter uma déa do comportameto do escoameto.

113 9 0 8 t=0,5 t=2 X= X=2,9 X=2 Re=00; Ra=0 Sc=0,2; Pr=0,72 Y U Fgura 6.3 Evolução temporal da velocdade U ao logo do domío. -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4,6 5 Y X Fgura 6.4a Lhas de correte para Ra=0, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=0,5. 5 Y X Fgura 6.4b Lhas de correte para Ra=0, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=2. Na Fg. 6.5 lustra-se a evolução temporal do campo de cocetração, a qual fo fxada em algus potos seqüecas, o solo, etre os prédos. Este tpo de problema pode smular casos os quas a fote poludora, por exemplo, são escapametos de automóves. Através

114 20 daquela fgura ota-se que há pouca dspersão do poluete, cocetrado-se mas etre os dos prédos. Isto pode ser muto daoso para a saúde públca, tedo em vsta que o moóxdo de carboo, emtdo pelos automóves, é 00 vezes mas absorvdo pelos seres do que o oxgêo. É teressate ressaltar que os automóves são resposáves por 40% da polução as cdades. A Fg. 6.6 lustra a evolução temporal do campo de temperatura. A codção de cotoro para a temperatura é dada pela Eq. (6.). Observado essa fgura, ota-se que as sotermas evoluem segudo o esperado. Fgura 6.5a Isolhas de cocetração para Ra=0, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=0,5. Fgura 6.5b Isolhas de cocetração para Ra=0, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=2.

115 2 Fgura 6.6a Isotermas para Ra=0, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=0,5. Fgura 6.6b Isotermas para Ra=0, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t= Covecção msta, razão do úmero de Grashoff pelo quadrado do úmero de Reyolds gual a 4 Este caso fo smulado com úmero de Ra= Como dto aterormete, foram smulados três casos, ode a fote poludora fo fxada em três potos dferetes Fote poludora fxada o solo etre os prédos Na Fg. 6.7 mostra-se a evolução temporal da velocdade U ao logo do caal, em potos stuados ates do prmero obstáculo, etre os obstáculos e após o segudo obstáculo. Em testes, ão apresetados, otou-se que em t=5 o perfl de velocdade está establzado. Neste caso, o prmero passo de tempo fo tomado t=0,0, para o segudo e o tercero passo de tempo o tervalo fo de t = 0, 05, os sucessores tveram tervalo de t = 0, 5.

116 22 As Fgs. 6.8, 6.9 e 6.0 lustram, respectvamete, a evolução temporal das lhas de correte, dos campos de cocetração e de temperatura. 0 8 t=3 t=5 X= X=2,9 X=2 Re=00; Ra=28800 Sc=0,2; Pr=0,72 6 Y ,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4,6,8 Fgura 6.7 Evolução temporal da velocdade U ao logo do caal. U Na Fg. 6.8 mostra-se que o escoameto se desprede próxmo à saída do domío, crado um escoameto reverso e ascedete, mesmo com o tempo admesoal baxo. Apesar da Fg. 6.8a apresetar uma recrculação maor do que a Fg. 6.8b após o segudo prédo, o comportameto de ambas é semelhate. Ada ão se sabe se este comportameto é realístco, etretato, o caso de Ra = 0, a mesma versão do códgo parece ter dado uma solução coerete. O campo de cocetração possu comportameto semelhate ao do caso mostrado o tem Porém, esse caso, a Fg. 6.9b, ota-se que a cocetração va se dspersado a poto de atgr o lmte superor do domío. Grafcamete, a mpressão que se tem é que o poluete pode atgr camadas mas altas da atmosfera. Etretato, talvez, este caso, seja teressate aumetar a altura do domío para se aalsar melhor o feômeo.

117 23 Pela Fg. 6.0b, ota-se que as sotermas seguem o comportameto das lhas de correte a regão ode o escoameto subu. Como já fo dto, este comportameto precsa ser mas bem vestgado. 0 Y X Fgura 6.8a Lhas de correte para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=3. 0 Y X Fgura 6.8b Lhas de correte para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=5.

118 24 Fgura 6.9a Isolhas da cocetração para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=3. Fgura 6.9b Isolhas da cocetração para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=5.

119 25 Fgura 6.0a Isotermas para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=3. Fgura 6.0b Isotermas para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t= Fote poludora fxada o cato da etrada do caal Neste caso, a fote poludora fo fxada em algus potos, seqüecas, o cato feror da etrada do caal. Este caso smula uma fote poludora mas alta do que a apresetada aterormete, o que podera smular quemadas, chamés, etc.

120 26 Na Fg. 6. mostra-se a evolução temporal da velocdade U ao logo do caal, em potos stuados ates do prmero obstáculo, etre os obstáculos e após o segudo obstáculo. O passo de tempo cal fo t=0,0 e os passos de tempo posterores foram varados. As Fgs. 6.2, 6.3 e 6.4 lustram, respectvamete, a evolução temporal das lhas de correte, dos campos de cocetração e de temperatura. Na Fg. 6.2b apreseta-se o mesmo comportameto da Fg. 6.8b. Com base sto acredta-se que, com a evolução temporal, a recrculação após o segudo obstáculo teda a dmur e o escoameto teda a despreder-se mas como a Fg. 6.8b. Na Fg. 6.3, ota-se que à medda que o escoameto va evoludo a cocetração va se dspersado e seus íves aumetado em logas dstâcas. 0 8 t=0,5 t=5 X= X=2,9 X=2 Re=00; Ra=28800 Sc=0,2; Pr=0,72 6 Y U -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4,6 Fgura 6. Evolução temporal da velocdade U ao logo do caal.

121 27 0 Y X Fgura 6.2a Lhas de correte para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=0,5. 0 Y Fgura 6.2b Lhas de correte para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=5. X

122 28 Fgura 6.3a Isolhas da cocetração para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=0,5. Fgura 6.3b Isolhas da cocetração para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=5.

123 29 Fgura 6.4a Isotermas para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=0,5. Fgura 6.4b Isotermas para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t= Fote poludora fxada o solo o cato do prmero prédo Neste tem, são apresetados resultados para o caso em que a fote poludora fo fxada em algus potos seqüecas o solo, próxmo ao prmero prédo. Fxar a fote de polução este poto tem como objetvo smular casos ode o poluete advém de casas, automóves, chamés, etc.

124 30 Na Fg. 6.5 mostra-se a evolução temporal da velocdade U ao logo do caal, em potos stuados ates do prmero obstáculo, etre os obstáculos e após o segudo obstáculo. O passo de tempo cal fo t=0,0 e os passos de tempo posterores foram varados. Nas Fgs. 6.6, 6.7 e 6.8 lustram-se, respectvamete, as evoluções temporas das lhas de correte, dos campos de cocetração e de temperatura. Na Fg. 6.6b apreseta-se o mesmo comportameto da Fg. 6.2b, baseado sto acredta-se que com a evolução temporal a recrculação após o segudo obstáculo teda a dmur e o escoameto teda a despreder-se mas como a Fg. 6.8b. Na Fg. 6.7 ota-se que, à medda que o escoameto va evoludo, a cocetração va se dspersado e seus íves aumetado em regões mas dstates da fote poludora. 0 8 t=0,5 t=3 X= X=2,9 X=2 Re=00; Ra=28800 Sc=0,2; Pr=0,72 6 Y U -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4,6 Fgura 6.5 Evolução temporal da velocdade U ao logo do caal.

125 3 0 Y X Fgura 6.6a Lhas de correte para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=0,5. 0 Y X Fgura 6.6b Lhas de correte para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=3.

126 32 Fgura 6.7a Isolhas da cocetração para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=0,5. Fgura 6.7b Isolhas da cocetração para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=3.

127 33 Fgura 6.8a Isotermas para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=0,5. Fgura 6.8b Isotermas para Ra=28800, Sc=0,2, Re=00, Pr=0,72 em t=3. Os resultados foram obtdos para úmeros de Reyolds e Raylegh ada baxos. Etretato, pode-se observar que, mesmo o caso da fote ser colocada a etrada do domío, a regão etre os prédos é afetada pelo cotamate. Em casos de maores úmeros de Reyolds, acredta-se, que uma extesão maor do domío poderá ser cotamada. Testes mas coclusvos destes casos deverão ser realzados o futuro, para se verfcar se os resultados estão realmete cosstetes. Etretato, acredta-se que o modelo esteja valdado, mas ecessta de mas refametos.