MODELAGEM NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS TURBULENTOS PARIETAIS SOB GRADIENTES ADVERSOS DE PRESSÃO

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1 6º POSMEC Uversdade Federal de Uberlâda Faculdade de Egehara Mecâca MODELAGEM NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS TURBULENTOS PARIETAIS SOB GRADIENTES ADVERSOS DE PRESSÃO Also Satago de Faras Uversdade de Brasíla Departameto de Egehara Mecâca 79-9 Brasíla-DF José Luz Alves da Fotoura Rodrgues Uversdade de Brasíla Departameto de Egehara Mecâca 79-9 Brasíla-DF Resumo: O objetvo deste estudo é a smulação umérca de escoametos turbuletos paretas submetdos a gradetes adverso de pressão. O domío umérco é um dfusor côco com um âgulo de dvergêca total de 8º, com razão de área de 4: e cosderado escoameto completamete desevolvdo a etrada. Os resultados expermetas do campo médo de pressão, de velocdade, eerga cétca de turbulêca e coefcete de arrasto são comparados com os resultados obtdos umercamete, para o úmero de Reyolds gual a 93.. A smulação umérca fo realzada utlzado um códgo de pesqusa bdmesoal baseado o método dos elemetos ftos. A dscretzação espacal é feta por elemetos P/soP e a dscretzação temporal é mplemetada pelo método das dfereças ftas, em um esquema sem-mplícto sequecal. O acoplameto pressão-velocdade é umercamete resolvdo pelo algortmo de Uzawa. Para fltrar as ão-leardades, orgadas do tratameto smétrco do método de Galerk para fluxos covectvos, é utlzado o método do balaço da dsspação. As demas ãoleardades umércas proveetes das les de paredes são tratadas pelo método dos mímos resíduos. O resultado obtdos com quatro les de parede, usadas a mplemetação da smulação umérca, são avalados este trabalho. Palavras-chave: turbulêca, dfusor côco, les de parede, smulação umérca, elemetos ftos.. INTRODUÇÃO Na parte tera das camadas lmtes turbuletas as taxas locas de produção e dsspação de eerga cétca são tão elevadas que o escoameto depede totalmete da tesão csalhate, ão sofredo fluêca perceptível do escoameto extero. A parte tera da camada lmte caracterza-se também por apresetar equlíbro etre as taxas locas de produção e dsspação de eerga cétca turbuleta, sedo deomada por algus autores, como Towsed (96), de camada de equlíbro. Porém, cosderado a possbldade de smulação umérca dos fluxos turbuletos paretas, a característca mas mportate das camadas lmtes de equlíbro é sua auto-smlardade e a coseqüete possbldade de modelagem aalítca por meo das relações cohecdas como les de parede. O objetvo deste trabalho é fazer uma aálse de desempeho operacoal de les de parede capazes de reagr a gradetes adversos de pressão, em escoametos ode ão ocorre descolameto de camada lmte. O escoameto escolhdo para tato é o fluxo turbuleto que se estabelece em dfusores côcos com âgulo total de abertura de 8º, relação etre áreas das seções de saída e de etrada de 4:. Na etrada do dfusor o escoameto é totalmete desevolvdo. O escoameto esaado tem o úmero de Reyolds gual a 93., calculado com base o dâmetro da seção de etrada do dfusor.

2 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, 6. O dfusor côco esaado é referêca para aplcações tecológcas por oferecer alto desempeho a trasformação de eerga cétca em gradete postvo (adverso) de pressão. Suas característcas geométrcas levam o escoameto a uma stuação muto próxma do descolameto de camada lmte provocado por gradete adverso de pressão sem, cotudo, permtr este acotecmeto. Os dados expermetas usados como base de comparação e demas formações sobre os escoametos modelados umercamete estão cotdos os trabalhos de Okwob e Azad (97) e Arora e Azad (98). O códgo umérco adotado a smulação do escoameto, deomado TurboD, é um algortmo FORTRAN desevolvdo o Grupo de Mecâca dos Fludos de Escoametos Complexos - Vortex, do Departameto de Egehara Mecâca da Uversdade de Brasíla. A varate sotérmca do códgo adotada este trabalho basea-se a técca de elemetos ftos com formulação por resíduos poderados de Galerk, que adota a dscretzação espacal do domío de cálculo elemetos tragulares tpo P-soP. A dscretzação temporal do sstema de equações goverates, mplemetada pelo algortmo de Bru (988), usa dfereças ftas sem-mpíctas seqüecas, com erro de trucameto da ordem de O( t) e permte a learzação do sstema de equações a cada passo de tempo. A resolução das equações acopladas de cotudade e quatdade de movmeto é feta por uma varate do algortmo de Uzawa proposta por Buffat (98). O problema de fechameto das equações médas de Reyolds é resolvdo com base o coceto de vscosdade turbuleta de Boussesq complemetada pelo modelo κ-ε proposto por Joes e Lauder (97) com as modfcações troduzdas por Lauder e Spaldg (974). No TurboD as codções de cotoro de velocdade podem ser calculadas por quatro les de parede de velocdade: le logarítmca clássca, le de (966), le de Nakayama e Koyama (984) e le de Cruz e Slva Frere (998). A stabldade umérca resultate do cálculo explícto das codções de cotoro de velocdade, ao logo do processo evolutvo temporal, é cotrolada pelo algortmo proposto por Fotoura Rodrgues (99).. EQUAÇÕES GOVERNANTES. Modelo κ-ε O sstema de equações goverates para um escoameto turbuleto sotérmco e moofásco de um fludo ewtoao, composto pelas equações médas de Reyolds e equações do modelo de turbulêca κ-ε é dado por u x =, () u P u u j + ( uu j) = + + +, () t xj x xj Re ReT xj x κ κ κ + u j = + + ε, (3) t xj xj Re ReTσ κ xj ε ε ε ε ε + uj = + + Cε Cε, (4) t xj xj Re ReTσ ε xj κ κ ' ' em que u, p, u, p, x e Re represetam, respectvamete, a velocdade méda, a pressão méda a dreção, a flutuação da velocdade a dreção, a flutuação da pressão a dreção, a varável espacal o sstema cartesao e o úmero de Reyolds; e P, Re T e represetam, respectvamete, uma pressão geeralzada, o úmero de Reyolds turbuleto e o termo de produção das tesões de Reyolds.

3 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, 6. O últmo termo da equação da quatdade de movmeto, Equação (3), deomado tesor de Reyolds, represeta o valor médo da taxa de trasferêca de quatdade de movmeto devdo às flutuações turbuletas de velocdade e costtu-se em uma cógta suplemetar. Dessa forma, as equações médas de Reyolds formam um sstema aberto de equações, o que justfca a adoção do modelo de turbulêca modelo κ-ε, que modela o tesor de Reyolds com base a hpótese de Boussesq (877), dada pela relação uu = u u + ' ' j j ν t κδj xj x 3, (5) sedo δ j o operador delta de Kroecker. A modelagem da vscosdade turbuleta ν t é defda pela le de Pradtl-Kolmogorov, como κ ν t = C µ, (6) ε ode C µ é uma costate expermetal valedo,9; κ é a eerga cétca de turbulêca; ε é a taxa de dsspação da eerga cétca de turbulêca.. Les de Parede A parte tera da camada lmte turbuleta pode ser dvda bascamete em três partes: subcamada vscosa ou lamar, regão de trasção e regão completamete turbuleta ou logarítmca. Devdo à capacdade do modelo de turbulêca κ-ε em represetar a regão cal da parte tera da camada lmte, ou seja, subcamada lamar, regão de trasção e íco da regão logarítmca, é ecessáro modelar esta regão por meo de relações deomadas de les de parede. O papel das les de parede é restrto ao cálculo das codções de cotoro de velocdade, as froteras da malha de cálculo que represetar as paredes sóldas do domío. São utlzadas este trabalho quatro les de paredes: le logarítmca clássca, le de (966), le de Nakayama e Koyama (984) e a le de Cruz e Slva Frere (998). A úca le de parede que ão cosdera o gradete adverso de pressão é a le logarítmca clássca... Les de Parede Logarítmca Clássca A le de parede logarítmca clássca é obtda a partr da equação méda de Pradtl para a camada lmte turbuleta, a forma bdmesoal dada por u u ' ' p ν uv =, (7) y y ρ x em que x e y represetam as dreções ormas e tagecas à parede, u e v são as velocdades ' ' médas segudo as dreções x e y, o tesor de Reyolds é represetado por uv, a pressão méda é represetada por p, a vscosdade cemátca por ν e a massa específca por ρ. Desprezado o gradete de pressão a dreção logtudal da Equação (7), uma dupla tegração forece a le de parede logarítmca clássca, que ão leva em cota gradetes adversos de pressão e é dada por yu l( ), F, u u = y + C y = u = (8) K ν u F 3

4 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, 6. em que K é a costate de Vo Kármá, que vale,49; C é uma costate de calbração expermetal, valedo 5,445; e é um parâmetro de escala deomado velocdade de atrto. u F.. Les de Parede de (966) A le de parede de (966) leva em cosderação a preseça de gradetes logtudas de pressão. Assm, partdo da Equação (7) e tegrado a dreção ormal à parede, tem-se a le de (966) para a subcamada vscosa dada por y = u + p y, (9) ode p represeta o gradete de pressão admesoal. Para a regão turbuleta da parte tera da camada lmte, a tegração da Equação (7) resulta em u ( p y ) 4y = C K K + py + + py em que os valores da costate de tegração de pressão admesoal p...3 Les de Parede de Nakayama e Koyama (984) P, () C P são dados em fução da tesdade do gradete A le de parede de Nakayama e Koyama (984) é baseada a equação da eerga cétca de turbulêca para a camada lmte turbuleta. Com base o estudo expermetal de Stratford (959), Nakayama e Koyama (984) propõem algumas alterações a modelagem da tesão de csalhameto, com o objetvo de calcular o perfl de velocdade etre duas stuações extremas que são o escoameto estável resultate da ausêca de gradete adverso de pressão e o íco de descolameto da camada lmte. A relação proposta por Nakayama e Koyama (984) é t 3 ( ) l s + ts u = t ts + Γ t s ts +, () em que KC + τ τ e t =, τ = = + p y e y =, () 3 + p s τ w ode o sub-ídce w dca a propredade a parede e t s é um valor de t correspodete a uma posção y s do perfl e o valor expermetal de é gual a, Les de Parede de Cruz e Slva Frere (998) 4

5 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, 6. A le de parede de velocdade de Cruz e Slva Frere (998) basea-se a aálse asstótca do comportameto da camada lmte turbuleta sob a ação de gradetes adversos de pressão. A solução da formulação asstótca proposta é dada pela relação τ w ν dpw τ w w dpw w uf y u τ τ y τ u w R = + + l τw K τw ρ dx τw K L ρ + ρ dx ρ, com Lc = (3) c dpw ρ dx Para escoametos que se processam sob a ação de gradetes favoráves de pressão, a le de parede de velocdade de Cruz e Slva Frere (998) tede a forma da le logarítmca clássca, dada pela Equação (8). Para escoametos sob gradetes adversos de pressão a Equação (3) tede gradualmete para a formulação de Stratford (959), a medda em que se aproxma a stuação de descolameto de camada lmte. 3. FORMULAÇÃO NUMÉRICA 3. Dscretzação Temporal A dscretzação temporal do sstema de equações é feta por meo de uma aproxmação de prmera ordem para a dervada temporal, obtda com um algortmo de dfereças ftas semmplícto, seqüecal, com erro de trucameto de prmera ordem. O algortmo adotado permte a learzação das equações goverates a cada passo de tempo, e sua mplemetação, cocebda por Bru (988), prevê o cálculo dos campos médos de pressão, velocdade e dos campos de eerga cétca de turbulêca e de sua taxa de dsspação em um state (+) O( t) a partr dos valores cohecdos o state O( t), ode é um úmero tero e O( t) é o tervalo de tempo cosderado, por meo de uma seqüêca de operações dvdda em quatro etapas, com o ecadeameto apresetado como segue: ª Etapa: o tempo t = t são cohecdos u, P, κ e ε. ª Etapa: o tempo t = (+) t são calculadas as velocdades u + e a pressão P +, resolvedo as equações acopladas de pressão e velocdade segudo o algortmo de Uzawa adaptado por Buffat (98) u x + =, (4) u u u + P u j + ( u uj ) = (5) t xj x xj Re ReT xj x 3ª Etapa: o tempo t = (+) t e com os valores de são resolvdas seqüecalmete as equações u + e P + calculados a seguda etapa, κ κ κ κ + ε u j t xj xj Re ReT σκ x + + = + +, j κ (6) ε ε ε ε ε + ε + + uj = + C + ε C ε ε, t xj xj Re ReT σε xj κ κ (7) 5

6 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, 6. ode o termo + é dado pela relação + = + Re u u j u κδ j T x j x xj. (8) 4ª Etapa: o tempo t = (+) t são calculados os valores de Re + T por meo da equação Re + ( κ ) = C + µ T ε 3. Dscretzação Espacal +. (9) A dscretzação espacal é feta por meo de elemetos ftos tragulares com fuções de terpolação leares, utlzado o método de Galerk. São utlzadas duas malhas de cálculo: uma malha elemetar para o cálculo do campo de pressão, com elemetos ftos do tpo P ; e outra utlzada para o cálculo das demas varáves, com elemetos ftos do tpo P /sop e obtda pela subdvsão de cada elemeto P em quatro elemetos guas. A malha grossa P, utlzada para o cálculo de pressão, é costtuída por 4 ós e 378 elemetos. A malha fa P /sop é formada 7797 ós e 487 elemetos. O dfusor côco adotado apreseta as segutes partculardades geométrcas: âgulo total de abertura de 8º; razão etre as áreas de saída e de etrada de 4:; dâmetro da seção de etrada o dfusor gual a,6 metros; comprmeto do dfusor com,796 metros; e caal de desevolvmeto do escoameto com 7,954 metros. A malha de cálculo adotada cobre todo o dfusor e o trecho fal do caal de desevolvmeto, com,34 metros, já que o perfl de velocdade expermetal é meddo esta posção do caal para os dos escoametos esaados. A estação poscoada este trecho é deomada estação de referêca, e o valor do seu dâmetro é represetado por, que vale,6 metros. 3.3 Codções de Cotoro As codções de cotoro, o domío de cálculo axssmétrco para o dfusor côco, as três estações de medção selecoadas (e, e5 e e) e uma amplação de 6,57 vezes da malha de cálculo de velocdade a vzhaça medata da parede são apresetados esquematcamete a Fgura (). D ref Fgura : Esquema geral do dfusor côco. 6

7 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, 6. Os perfs de velocdade méda mpostos a etrada do tubo do dfusor axssmétrco são dados expermetas. A produção de eerga cétca de turbulêca e sua taxa de dsspação, mpostas a seção de etrada do dfusor axssmétrco, são calculadas por meo da formulação proposta por Maouz e Fort (99), para escoametos com úmero de Reyolds da ordem de 5. κ 3,9κ =,3U e ε =, () Dref,3 em que U é a velocdade méda do perfl de velocdade a estação de referêca. 4. RESULTADOS E ANÁLISES O escoameto o dfusor côco correspode ao estudo expermetal de Okwoub e Azad (97), para escoameto com úmero de Reyolds gual a 93.. Foram utlzadas estações de medção dstrbuídas ao logo do dfusor, porém os resultados umércos selecoados para apresetação correspodem às estações, 5 e, dstates da estação de referêca,3633 m,,633 m e,933 m, respectvamete, de maera a lustrar perfs do íco, meo e da parte termal do dfusor. A admesoalzação da velocdade é feta com base a velocdade de referêca e a admesoalzação da dmesão radal é feta por meo da expressão ( R r) Dref U, que dca a dstâca admesoal a dreção radal partdo da parede, sedo R o rao da estação e r a varável espacal radal com orgem o exo de smetra. A comparação dos dados expermetas com os dados umércos obtdos será feta por meo dos campos de velocdade, pressão, coefcete de arrasto, e eerga cétca de turbulêca κ. As Fguras (), (3) e (4) lustram os perfs de velocdade para as estações, 5 e, respectvamete.. u/u Expermetal Le Log (R-r)/D ref Fgura : Perfl de velocdade a estação. 7

8 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, 6.. u/u Expermetal Le Log (R-r)/D ref Fgura 3: Perfl de velocdade a estação u/u.6.4. Expermetal Le Log (R-r)/D ref Fgura 4: Perfl de velocdade a estação. Os resultados para o campo de velocdade mostraram que a le de Nakayama e Koayama (984) se aproxmou mas do valor expermetal, especalmete para as regões mas afastadas da parede. O erro para o campo de velocdade para esta le está etre 4,3% e 7,5%. O coefcete de pressão estátca também fo aalsado, sedo dcado a Fgura (5). A pressão fo medda a uma dstâca de mm da parede, ao logo do dfusor. O cálculo do é mostrado a Equação (). A pressão de referêca p é tomada a estação de referêca, a etrada do tubo. C p C p ( p p ) =. () ρu 8

9 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, 6. Cp Expermetal Le Log x /D ref Fgura 5:Coefcete de pressão estátca. Aalsado o campo de pressão, percebe-se que a le de Nakayama e Koyama (984) produz o melhor resultado etre as les de parede, com um erro percetual médo de 7%. O valor da eerga cétca de turbulêca obtda umercamete também fo cofrotado com os respectvos valores expermetas, extraídos do trabalho de Arora e Azad (98), como mostra a Fgura (6). k/u Expermetal Le Log (R-r)/D ref Fgura 6: Perfl de eerga cétca de turbulêca a estação. O campo da eerga cétca de turbulêca a estação mostrou que para regões próxmas à parede as les logarítmca e de (966) apresetaram melhores resultados, equato que para regões mas afastadas a le de Nakayama e Koayama (984) se destacou. O coefcete de arrasto C ao logo do dfusor, é mostrado a Fgura (7), sedo calculado com f x base a velocdade de atrto u F em cada estação, de acordo com a equação C fx = τ w ρu ρu =. () F ρu 9

10 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, 6. C fx Expermetal Le Log x/d ref Fgura 7: Coefcete de arrasto. O coefcete de arrasto fo mas próxmo do resultado expermetal a regão fal do dfusor, ode o gradete adverso de pressão é mas suave e a camada lmte se aproxma mas da codção de auto-smlardade, o qual o modelo de turbulêca utlzado se basea. Na regão de íco do dfusor, o gradete adverso de pressão é mas elevado, sedo esta a prcpal causa da quebra da codção de auto-smlardade da camada lmte. O trabalho de Towsed (96) mostra que gradetes adversos de pressão combados com altos úmeros de Reyolds quebram a codção auto-smlardade da camada lmte, o que acarreta valores subestmados da tesão de csalhameto a regão tera da camada lmte. 5. CONCLUSÃO O escoameto o dfusor côco esaado é de dfícl modelagem umérca devdo ao afastameto da codção de ão smlardade da camada lmte, provocado pelo forte gradete adverso de pressão. Esta codção explca as dfereças ecotradas etre os resultados expermetas e os perfs de velocdade, pressão e eerga cétca de turbulêca obtdos com as les logarítmca clássca, de (966) e de Cruz e Slva Frere (998). Os bos resultados obtdos com a le de Nakayama e Koyama (984), podem ser explcados pelo fato de que esta le de parede, cotraramete as demas, ão é obtda a partr da equação de Pradtl, mas a partr da equação da eerga cétca de turbulêca, cuja calbração expermetal leva em cota as varações a magtude da tesão de csalhameto a regão tera da camada lmte. Os resultados obtdos mostram uma predomâca da le de Nakayama e Koyama (984), que regstrou os meores erros, varado etre 4,3% e 6%. Com relação aos custos computacoas, a le de Nakayama e Koayama (984) fo a que apresetou o maor tempo de processameto por teração. 6. REFERÊNCIAS Arora, S. C. & Azad, R. S., 98, Turbulet ketc eergy balace a flow wth adverse pressure gradet, AIAA Joural, pp.. Bru, G., 988, Developpemet et Applcato d ue M ethod d Élémets Fs pour le Calcul des E coulemets, PhD thess, Ecole Cetrale de Lyo, Frace. Buffat, M., 98, Formulato Modres Carr es Adapt ees au Tratemet des Effets Covectfs das les Équatos de Naver-Stokes, PhD thess, Uversté Claude Berard, Frace. Che, Y. S., 984, Applcatos of a ew wall fucto to turbulet flow computatos, AIAA Joural, vol. 86,., pp. 438.

11 6 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-MG, 6. Cruz, D. O. A. & Frere, A. P. S., 998, O sgle lmts ad the asymptotc behavour of separatg turbulet boudary layers, Iter. J. Heat ad Mass Trasfer, vol. 4, pp. 97. Fotoura Rodrgues, J. L. A., 99, Méthode de Mmsato Adaptée à la Techque des Élémets Fs pour la Smulato des E coulemets Turbulets avec Codtos aux Lmtes o L eares de Proche Paro, PhD thess, Ecole Cetrale de Lyo, Frace. Hajalc, K. & Lauder, B. E., 97, A Reyolds-stress model of turbulece ad ts applcatos to th shear flows, Joural of Flud Mechacs, vol. 5,. 4, pp Joes, W. P. & Lauder, B. E., 97, The predcto of lamarsato wth a two- equato model of turbulece, Joural of Heat ad Mass Trasfer, vol. 5, pp Lauder, B. E. & Spaldg, D. B., 974, The umercal computato of turbulet flows, Computatoal Methods Appled Mechac Egeerg, vol. 3, pp Maouz, H. & Fort, M., 99 A treatmet of wall boudares for turbulet flows by the use of trasmsso fte elemet method, Iteratoal Joural for Numercal Methods Egeerg, vol. 3., G. L., 966, The effects of pressure gradets o turbulet flow ear a smooth wall, Joural of Flud Mechacs, vol. 3,., pp Nakayama, A. & Koyama, H., 984, A wall law for turbulet boudary layers adverse pressure gradets, AIAA Joural, vol. 4. Okwuob, P. A. C. & Azad, R. S., 97, Turbulece a cocal dffuser wth fully developed flow at etry Joural of Flud Mechacs, vol. 57, pp Stratford, B. S, 959, A expermetal flow wth zero sk-frcto throughout ts rego of pressure rse Joural of Flud Mechacs, vol. 5. Towsed, A. A., 96, Equlbrum layers ad wall turbulece, Cambrdge Uversty Press. MODELAGEM NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS TURBULENTOS PARIETAIS SOB GRADIENTES ADVERSOS DE PRESSÃO Also Satago de Faras Uversdade de Brasíla Departameto de Egehara Mecâca 79-9 Brasíla-DF alsofaras@gmal.com Jose Luz Alves da Fotoura Rodrgues Uversdade de Brasíla Departameto de Egehara Mecâca 79-9 Brasíla-DF fotoura@ub.br Abstract: The am of ths work s the umercal smulato of attached turbulet flows uder adverse pressure gradet. The umercal doma s a cocal dffuser, havg a total dvergece agle of 8º ad a area rato of 4:, wth fully developed flow at etry. The expermetal results of mea pressure, mea velocty ad local frcto coeffcet are compared wth the umercal results, for the Reyolds umbers equal to 93.. The umercal smulato were performed wth a two-dmesoal research code based o the fte elemets method. The turbulece model adopted s the classcal k-epslo. Spatal dscretzato s doe by P/soP fte elemet method ad temporal dscretzato s mplemeted by a sem-mplct sequetal scheme of fte dfferece. The couplg pressure-velocty s umercally solved by a varato of Uzawa's algorthm. To flter the umercal oses, orgated by the symmetrc treatmet used by Galerk method to the covectve fluxes, t was adopted the balace dsspato method. The remag o-leartes, due to laws of wall, were treated by mmal resdual method. The performace of four dfferet wall laws, used the mplemetato of the umercal smulatos, were evaluated. Keywords: turbulece, cocal dffuser, wall laws, umercal smulato, fte elemets.