UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Reitora: Profa. Dra. SUELY VILELA. Vice-Reitor: Prof. Dr. FRANCO M. LAJOLO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

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1 São Carlos, v

2 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Retora: Profa. Dra. SUELY VILELA Vce-Retor: Prof. Dr. FRANCO M. LAJOLO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Dretor: Profa. Dra. MARIA DO CARMO CALIJURI Vce-Dretor: Prof. Dr. ARTHUR JOSÉ VIEIRA PORTO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS Chefe do Departameto: Prof. Dr. CARLITO CALIL JUNIOR Suplete do Chefe do Departameto: Prof. Dr. SERGIO PERSIVAL BARONCINI PROENÇA Coordeador de Pós-Graduação: Prof. Dr. MARCIO ANTONIO RAMALHO Edtor Resposável: Prof. Dr. MÁRCIO ROBERTO SILVA CORRÊA Coordeadora de Publcações e Materal Bblográfco: MARIA NADIR MINATEL e-mal: matel@sc.usp.br Edtoração e Dagramação: FRANCISCO CARLOS GUETE DE BRITO MARIA NADIR MINATEL MASAKI KAWABATA NETO MELINA BENATTI OSTINI RODRIGO RIBEIRO PACCOLA TATIANE MALVESTIO SILVA

3 São Carlos, v

4 Departameto de Egehara de Estruturas Escola de Egehara de São Carlos USP Av. Trabalhador Sãocarlese, 400 Cetro CEP: São Carlos SP Foe: (16) Fax: (16) ste:

5 SUMÁRIO Modelo estocástco de pressões de produtos armazeados para a estmatva da cofabldade estrutural de slos esbeltos Adrés Batsta Cheug & Carlto Call Juor 1 Sobre a establdade de catoeras de aço formadas a fro submetdas à compressão Waderso Ferado Maa & Maxmlao Malte 23 Estudo do efeto de cofameto do cocreto em PMP curtos Walter Luz Adrade de Olvera & Aa Lúca Homce de Cresce El Debs 39 Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do Método dos Elemetos de Cotoro Gabrela Rezede Ferades & Wlso Sergo Vetur 55 Avalação expermetal da cotrbução da alveara o erjecmeto de pórtcos metálcos Rta de Cássa Slva Sat Aa Alvarega, Roberto Márco da Slva & Helea M. Cuha Carmo Atues 83 Estratégas de resolução umérca de problemas de cotato Dorval Pedade Neto & Sergo Persval Baroc Proeça 101 Um procedmeto umérco para a determação de parâmetros elástcos Edmar Borges Theóphlo Prado & Adar Roberto Aguar 121 Estudo expermetal de cosolos de cocreto com fbras moldados em etapas dsttas dos plares Jôatas Barreto de Adrade Costa & Mour Khall El Debs 141 Aálse de blocos de cocreto armado sobre duas estacas com cálce totalmete embutdo medate preseça de vga de travameto Rodrgo Barros & José Samuel Gogo 161 Aduela pré-moldada com CAD Rodrgo Vera da Coceção & Jefferso Beedcto Lbard Lbóro 177

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7 ISSN MODELO ESTOCÁSTICO DE PRESSÕES DE PRODUTOS ARMAZENADOS PARA A ESTIMATIVA DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL DE SILOS ESBELTOS Adrés Batsta Cheug 1 & Carlto Call Juor 2 Resumo Os slos vertcas são estruturas com elevado ídce de deformações e ruptura causados, prcpalmete, pelo descohecmeto da varabldade as pressões devdas ao produto armazeado. O objetvo deste trabalho é apresetar um estudo teórco, umérco e expermetal das pressões exercdas pelos produtos armazeados graulares as paredes de slos esbeltos, com a proposta da corporação de parâmetros com propredades estocástcas, os modelos de pressões apresetados a lteratura. Os parâmetros mas relevates dos modelos de pressões foram ajustados aos dados expermetas obtdos em um slo-ploto, utlzado a técca de estmação de parâmetros por máxma verossmlhaça (EMV), e, para sso, foram empregados os algortmos geétcos (AGs) como procedmeto de otmzação. As avalações expermetas o slo-ploto foram coduzdas com três produtos: soja, mlho e ração. Com as varabldades dos parâmetros dos modelos de pressões ecotrados os expermetos, a cofabldade estrutural dos slos vertcas metálcos clídrcos de chapas oduladas e fudo plao fo avalada por meo da técca de smulação de Mote Carlo (SMC). Os resultados mostraram que os modelos de pressões de Jasse (1895) e de Jeke et al. (1973) podem ser utlzados para o cálculo das pressões com as varabldades dos parâmetros represetadas pela dstrbução logormal. A avalação da cofabldade estrutural mostrou que a probabldade de falha para este sstema está acma dos valores recomedados teracoalmete, dcado que ateção especal deve ser dada aos projetos de slos vertcas esbeltos. Palavras-chave: Modelo estocástco. Pressões. Slos. Vertcas. Cofabldade. RELIABILITY OF SLENDER SILO EVALUATION USING A PRESSURE STOCHASTIC MODEL Abstract Vertcal slos are structures wth a large umber of deformatos ad falures maly due to msuderstadg of pressure varablty of the storage products. The am of ths work s theoretcal, umercal ad expermetal study of wall pressure sleder slos wth the corporato of stochastc propertes of the parameters pressures models used the teratoal lterature. The most relevat parameters of the pressure models were adjusted to the expermetal data obtaed from a plot-slo usg maxmum lkelhood fucto, ad for ths purpose, Geetc Algorthms (GA) were used the optmzato procedure. The expermetal evaluato plot-slo was coducted wth three dfferet bulk solds, whch are: maze, soy ad amal feed mxture. Wth the pressures models parameters, the structural relablty of flat bottom corrugated cyldrcal steel slos wth was evaluated usg Mote Carlo smulato (SMC) to smulate a stochastc process. The results showed that Jasse (1895) ad Jeke et al. (1973) pressure models ca be used to evaluate the pressures wth the parameters ucertates modeled to logormal dstrbutos. The relablty dex determed ths structural system was less tha teratoal recommeded values for the desg of sleder slos. Keywords: Stochastc mode. Pressures. Slos. Vertcal. Sleder. Relablty. 1 Doutor em Egehara de Estruturas EESC-USP, acheug@sc.usp.br 2 Professor do Departameto de Egehara de Estruturas da EESC-USP, call@sc.usp.br Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

8 2 Adrés Batsta Cheug & Carlto Call Juor 1 INTRODUÇÃO A costrução de ovos sstemas de armazeameto é uma premssa ecessára para o armazeameto de produtos agrícolas e dustras, para que o país seja compettvo em um mudo globalzado. Porém, o Brasl ada ão possu uma orma específca para cálculo das ações em slos, sedo aqu serdos os estudos que cotrburão para o projeto de slos vertcas esbeltos, com o objetvo de vestgar as certezas a estmatva das pressões. Em slos, as ações provocadas pelo produto armazeado são afetadas por operações como: carregameto (echmeto), armazeameto (estocagem) e descarregameto (esvazameto) que ocorrem ao logo de toda a vda útl da estrutura. Segudo Pham (1983), as ações em slos devdo a produtos são afetadas pela atureza aleatóra das varáves evolvdas e têm sdo estudadas com bastate freqüêca a lteratura teracoal. Uma mportate ferrameta para aalsar as certezas é a teora da cofabldade que pode corporá-las por meo de dstrbuções de probabldades. É mportate lembrar que as pressões varam o espaço e o tempo e que os slos são uma das estruturas que apresetam o maor úmero de ruías o mudo (Call, 1989). Nesse cotexto, este trabalho desevolve um modelo estocástco para a determação das pressões de produtos graulares, em slos vertcas, para a elaboração de projetos seguros detro da cocepção probablístca. Como objetvo prcpal da pesqusa, eumera-se: Avalação paramétrca das dstrbuções de probabldade estmadas a partr dos dados obtdos expermetalmete por meo do esao o Jeke Shear Tester. Costrução de um slo-ploto para avalações das pressões expermetas para três tpos de produtos graulares. Proposta de um modelo estocástco parametrzado para a determação das pressões de produtos graulares de slos vertcas esbeltos. Determação da probabldade de falha P f de slos vertcas, após a costrução dos modelos estocástcos. 2 MODELOS DE PRESSÕES UTILIZADOS 2.1 Modelo de Jasse (1895) Jasse (1895) propôs uma formulação através do equlíbro estátco de uma camada elemetar, cosderado a cotrbução do atrto lateral desevolvdo as paredes. Esse modelo é váldo somete para a codção de carregameto, pos é deduzdo através do equlíbro estátco. As hpóteses smplfcadoras desta teora são: A pressão vertcal é costate o plao horzotal. O valor de φ wc, (âgulo de atrto do produto com a parede do corpo do slo) é costate em todo perímetro e altura do slo. O peso específco do produto é uforme ( γ = ρ. g). As paredes do slo são totalmete rígdas. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

9 Modelo estocástco de pressões de produtos armazeados para a estmatva da cofabldade estrutural 3 A relação etre as pressões horzotas e vertcas, K, é costate em toda a seção trasversal e altura do slo. 2.2 Teora de Jeke para as pressões o corpo do slo Pode-se dzer que Jeke (1961) mudou totalmete a déa de pressões e fluxo em slos vertcas e revolucoou o projeto desde Jasse (1895). Até etão os pesqusadores cohecam os efetos de sobrepressão em slos esbeltos devdo ao íco do descarregameto, mas ão coseguam explcar o feômeo. Fo etão que Adrew W. Jeke e seu aluo Jerry R. Johaso apresetaram, detfcaram e defram os dos prcpas tpos de fluxo, estabeleceram crtéros para o fluxo, determaram as prcpas propredades físcas dos produtos armazeados, assm como projetaram equpametos para estas medções, além de desevolver teoras para determar as ações atuates sobre as paredes dos slos. Isso promoveu um grade avaço o etedmeto e cocepção de projeto de slos (Palma, 2005). Codções estátcas de carregameto e armazeameto Jeke et al. (1973) cocluem que, para a codção de carregameto, o valor de K = 0, 4 é recomedado e forece uma boa relação com sua teora de balaço de eerga e que os valores ecotrados desta são mutos próxmos dos obtdos por Jasse (1895). Codções dâmcas para slos com fluxo de massa Segudo Jeke et al. (1973), as pressões de descarregameto exercdas pela massa de produto cotda por uma parede vertcal de um slo são fortemete afetadas: pelas pequeas rregulardades as paredes do slo; pela camada fa stável que é formada o cotoro etre o produto e a parede do slo, fazedo com que ocorra uma mudaça do âgulo de atrto com a parede. Sedo assm, afrmam que somete os lmtes das pressões de descarregameto podem ser estabelecdos. O lmte feror pode ser ecotrado com a formulação de Jasse (1895) e o lmte superor pela formulação baseada a cosderação da eerga de deformação da massa de produto. 2.3 Teora de pressões para as tremohas As prcpas teoras exstetes de pressões em tremohas são baseadas o equlíbro de uma fata elemetar de produto submetdo a uma tesão cal a parte superor. Apesar de esta proposção de equlíbro a tremoha ão ter sdo proposta por Jasse (1895), a dedução basea-se a mesma déa do equlíbro de uma faxa de sóldo e fo obtda calmete por Walker (1966). 3 CALIBRAÇÃO DOS MODELOS ESTOCÁSTICOS DE PRESSÕES Os modelos estocástcos de pressões propostos este trabalho foram desevolvdos a partr da calbração dos modelos de pressões com os esaos realzados em um slo-ploto. Os modelos de pressões foram calbrados a partr da equação de Jasse (1895) para o estado de carregameto e de Jeke et al. (1973) para o estado de descarregameto. Para esta faldade foram utlzados os Algortmos Geétcos, por sua smplcdade de aplcação e robustez para solução de problemas Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

10 4 Adrés Batsta Cheug & Carlto Call Juor complexos. A partr dos parâmetros calbrados foram estmadas as dstrbuções de probabldades dos mesmos para o estudo de cofabldade. 3.1 Formulação do procedmeto de calbração dos modelos de pressão Para cada esao foram calbrados os parâmetros dos modelos de pressão que melhor se ajustavam aos dados de pressões expermetas. Para sso, fo utlzado o modelo de Jasse, (1895) para as pressões de carregameto, e o de Jeke et al. (1973), para as pressões de descarregameto. Para que o modelo teórco fosse ajustado às pressões obtdas expermetalmete fo utlzada a técca de máxma verossmlhaça a qual trasforma o problema de calbração em um problema de maxmzação. A fução a ser maxmzada é expressa pela eq. (1): max = L( θ x ) (1) θ ode θ é o vetor dos parâmetros a serem estmados e x as pressões obtdas expermetalmete. Aplcado a eq. (1) ao problema de calbração dos parâmetros das pressões, obtém-se as eq. (2), (3) e (4). Para o desevolvmeto das expressões de máxma verossmlhaça, fo utlzada a dstrbução de probabldade ormal para explcar os resíduos etre o modelo teórco e as pressões obtdas expermetalmete. 1 max[l( L( σγ,, K, μ p ))].l(2 π) l( σ) ( p p ) (2) wc, = σ = 1 hc, ( Jasse) 1 max[l( L( σγ,, K, μ p ))].l(2 π) l( σ) ( p p ) (3) w, c = σ = 1 h, c( Jeke) 2 max[l( L( σ, C, Kt p ))] =.l(2 π) l( σ ) ( p 2 p,( t geérco) ) σ = 1 1 (4) ode: represeta o úmero de potos observados; p represeta a pressão expermetal obtda o slo-ploto para o poto ; p hc, ( Jasse) represeta o modelo de pressões de Jasse (1895) para a codção de carregameto; p h, c( Jeke) represeta o modelo de pressões de Jeke et al. (1973) para a codção de descarregameto; p,( t geérco) represeta o modelo de pressões para a tremoha. Dessa forma, para a obteção dos estmadores de máxma verossmlhaça, é ecessáro um algortmo de otmzação o qual deve maxmzar a propesão de ocorrêca dos dados expermetas. Neste trabalho, foram utlzados os algortmos geétcos, para resolver o problema de otmzação e para sso foram mplemetadas rotas computacoas a plataforma de programação C++. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

11 Modelo estocástco de pressões de produtos armazeados para a estmatva da cofabldade estrutural 5 4 MATERIAIS E MÉTODOS Este trabalho fo desevolvdo com um estudo umérco e expermetal, utlzado, a parte expermetal, o aparelho de csalhameto de Jeke para a determação das propredades físcas dos produtos armazeados e um slo-ploto para determação das pressões as paredes e o fudo. Com estes dados fo realzada a calbração dos parâmetros dos modelos de pressões para a determação de suas dstrbuções de probabldades e posteror avalação de cofabldade, com base em um exemplo de slo clídrco metálco de chapa odulada. Este capítulo descreve ada a cocepção e a costrução do slo-ploto, os esaos realzados e os prcpas objetvos que drecoaram o estudo das pressões o slo-ploto. Justfca-se a escolha do modelo adotado tecedo-se cometáros sobre a sua represetatvdade em relação às estruturas em escala real. Também é detalhada a costrução do slo expermetal e são formados os materas utlzados para a cofecção do mesmo. Por fm, é descrta a metodologa umérca utlzada para a aálse dos resultados. A Fgura 1 apreseta, de forma sucta, as atvdades desevolvdas este trabalho. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL JENIKE SHEAR CELL SILO-PILOTO PROPRIEDADES FÍSICAS PRESSÕES EXPERIMENTAIS PROCEDIMENTO NUMÉRICO OBTENÇÃO DAS PROPRIEDADES FÍSICAS CALIBRAÇÃO DOS PARÂMETROS DOS MODELOS DE PRESSÕES COMPARAÇÃO ESTIMAÇÃO DAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES ESTIMAÇÃO DAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES AVALIAÇÃO DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL Fgura 1 Fluxograma das atvdades realzadas. 4.1 Metodologa expermetal para a obteção das propredades físcas dos produtos armazeados Para a realzação dos esaos foram escolhdos três produtos: mlho, soja e ração de frago. A escolha fo feta a partr da grade produção acoal e especalmete, da forma geométrca das partículas desses produtos, vsto ela ter grade fluêca o padrão de pressões de descarregameto. A soja é um produto graular que apreseta forma geométrca esférca e de fluxo lvre. Em cotrapartda, o mlho apreseta forma rregular e, apesar de ter um peso específco próxmo ao da soja, possu propredades físcas dsttas das obtdas os esaos com a soja. Já a ração de frago apreseta pequea quatdade de fos e dâmetro das partículas bem ferores aos da soja e do mlho, o que justfca o estudo deste produto. Não foram estudados os produtos pulveruletos coesvos, vsto que estes tpos de produtos apresetam um comportameto muto dferete dos graulares que são o foco do trabalho. Os esaos expermetas foram dvddos em 2 categoras: Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

12 6 Adrés Batsta Cheug & Carlto Call Juor Esaos das propredades físcas do produto armazeado: as propredades físcas dos produtos armazeados foram obtdas pelos esaos de csalhameto dreto (Jeke Shear tester), esao graulométrco e csalhameto com as paredes; Esao o slo-ploto: fo o esao prcpal da pesqusa, pos serve de base para a costrução do modelo estocástco de pressão. Com ele foram obtdos os parâmetros do modelo de pressão, bem como os coefcetes de sobrepressão C d. Com a repetção dos esaos de carregameto e descarregameto, fo estudada a varabldade dos parâmetros dos modelos de pressões para a aplcação o estudo da cofabldade estrutural. 4.2 Esao o slo-ploto Para avalação das pressões expermetas os slos reas fo projetado um slo-ploto com base o modelo cofeccoado por Peper e Schütz (1980). Para sso fo costruída uma estação expermetal que cosste em um slo auxlar de armazeameto, um elevador de caecas e um sloploto (Fgura 2). Os esaos com o slo-ploto foram realzados o LaMEM-SET-EESC-USP (Laboratóro de Madera e Estruturas de Madera do Departameto de Egehara de Estruturas da Escola de Egehara de São Carlos da Uversdade de São Paulo). Modelo de Peper e Schütz (1980) O modelo proposto por Peper e Schütz (1980), do poto de vsta da aálse expermetal, é um equpameto cocebdo para realzar medções dretas das ações do produto a célula, o slo. As pressões são meddas a partr das deformações dos aés que são strumetados com meddores de deformação (células de carga). O slo usado este estudo pode ser deomado modelo ploto, cosderado a classfcação de testes em slos (Brow e Nelse, 1998): Classe A: slos dustras; Classe B: estações expermetas em escala real; Classe C: modelos plotos; Classe D: modelos em escala pouco reduzda; Classe E: modelos em escala muto reduzda (cetrfugação). O slo-ploto é defdo como aquele em que os efetos de escala são sgfcates, pos suas dmesões e as dmesões do produto são compatíves com as estruturas reas. Assm sedo, os resultados obtdos podem ser utlzados o estudo de estruturas reas, ou seja, o comportameto do modelo ploto pode ser cosderado dêtco (qualtatvamete e quattatvamete) ao comportameto em escala 1:1, segudo Peper e Schutz (1980). Modelo de slo-ploto costruído para os esaos O slo-ploto clídrco, baseado os estudos de Wezel (1963 apud Peper e Schultz, 1980, p. 5), fo utlzado como padrão pela orma alemã DIN 1055: O slo-ploto costruído esta pesqusa é formado por 12 aés depedetes suspesos de modo estatcamete determado, cada um com 50 cm de altura (Fgura 2), com um dâmetro tero de 70,6 cm de parede tera lsa e 64,36 cm de parede tera odulada, com uma altura total de 600 cm, capacdade de armazeameto de 2,55 m³ para produto graular quado utlzada a tremoha axssmétrca com α = 15 o. As vatages deste slo-ploto para as meddas de pressões são: Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

13 Modelo estocástco de pressões de produtos armazeados para a estmatva da cofabldade estrutural 7 potos de medção em quatdade sufcete para determar todas as possíves pressões; medção de carregametos tegrados sobre grades superfíces, tal que ão sejam meddos pcos de carregameto ão-mportates a avalação dos coefcetes de sobrepressão (médos); grade relação altura dâmetro, "domío fto", tal que as máxmas pressões o slo sejam meddas sem a fluêca da superfíce lvre superor e do fudo; possbldade de stalação de város tpos de paredes lsas e oduladas para que a fluêca da rugosdade da parede possa ser quatfcada. Para esaos com paredes oduladas foram parafusados teramete sem-aés de chapa odulada. Motate Chapa Odulada Motate de establzação Motate 706mm Parafusos Chumbadores dos motates Fgura 2 Sstema de esao e detalhes dos aés de medção de pressões. Para a escolha dos tpos de tremoha foram utlzados os crtéros de fluxo e de utlzação em slos reas o Brasl. As tremohas escolhdas para os esaos foram: fudo plao; tremoha com 15º; tremoha com 45º. Em todas as tremohas foram staladas células de pressões do tpo dafragma de 70 kpa de capacdade omal para as meddas de pressão ormal, sedo fxadas as paredes com o auxílo de uma base de madera compesada e parafusos passates. As Fguras 3 a, b e c mostram as tremohas strumetadas a execução dos esaos. São mostradas todas as clações utlzadas, bem como o poscoameto das células de pressões. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

14 8 Adrés Batsta Cheug & Carlto Call Juor (a) (b) (c) Fgura 3 (a) Fudo plao. (b) Tremoha α = 45 (c). Tremoha α = 15. Operação e execução dos esaos O modelo fo equpado de forma a realzar as operações de carregameto e descarregameto de forma automatzada. Os esaos foram coduzdos com as segutes cofgurações: quatro relações de altura/lado ( H / D ) foram cosderadas: 2,17 (3 aés), 4,34 (6 aés), 6,51 (9 aés) e 7,96 (11 aés); três tpos de produtos, já descrtos aterormete, foram utlzados: soja, mlho e ração de frago; três tpos de clação de tremoha foram utlzados: 15º, 45º e fudo plao; dos tpos de parede foram utlzados: lsa e odulada. Para cada codção de combação foram realzadas ses réplcas, perfazedo um total de 434 esaos, com exceção do mlho com chapa lsa (12 réplcas) e fudo plao e a soja com chapa odulada e clação ( α = 15 ) (7 réplcas). Para o mlho, o motvo para a realzação de um úmero maor de réplcas fo a adequação dos esaos e verfcação da varabldade com o aumeto do úmero de réplcas. 4.3 Metodologa umérca Após a realzação dos esaos expermetas fo coduzda a etapa de aálse de resultados e avalação da cofabldade estrutural. Esta etapa fo dvda em três partes: aálse das propredades físcas dos produtos armazeados com a respectva estmação paramétrca das dstrbuções de probabldades; calbração dos modelos estocástcos de pressão com a corporação dos parâmetros estocástcos; avalação da cofabldade de um slo metálco exemplo. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

15 Modelo estocástco de pressões de produtos armazeados para a estmatva da cofabldade estrutural 9 Estmatva das dstrbuções de probabldade para as propredades físcas Como as propredades físcas fluecam as pressões, foram estmadas as dstrbuções de probabldade dos esaos realzados o Jeke Shear Cell, para a comparação com os modelos de pressão, utlzado os parâmetros calbrados. As propredades físcas que foram vestgadas são γ, μwc, e φ e. Neste estudo foram utlzadas a técca de máxma verossmlhaça jutamete com os Algortmos Geétcos (AGs) para as dstrbuções que ão puderam ser estmadas aaltcamete. Calbração dos modelos de pressão Os modelos de pressão foram calbrados com os resultados expermetas. Para as pressões de carregameto fo utlzado o modelo de Jasse (1895) e para as pressões de descarregameto fo utlzado o modelo de Jeke et al. (1973). Para a estmatva dos parâmetros dos modelos de pressão, foram utlzados os estmadores de máxma verossmlhaça (EMVs), jutamete aos Algortmos Geétcos (AGs). Fo ada aalsado um modelo smplfcado por meo dos coefcetes de sobrepressões, e, para sso, foram estmadas as dstrbuções de probabldade para estes coefcetes. Determação da cofabldade estrutural Para a determação da cofabldade estrutural fo escolhdo, como exemplo, um slo metálco de chapas oduladas e a cofabldade calculada utlzado o método de smulação de Mote Carlo. Para a determação da resstêca das lgações foram utlzados os dados expermetas de Esteves (1989), que esaou chapas oduladas submetdas à tração. Implemetações computacoas Os modelos de pressões, bem como a smulação de Mote Carlo, foram mplemetados em Bulder 5, com suporte computacoal da bbloteca GAlb (Wall, 1996), também escrta a lguagem C++. A avalação de cofabldade fo mplemetada o programa P-Slos, utlzado o método de smulação de Mote Carlo. 5 RESULTADOS E DISCUSSÕES 5.1 Propredades físcas dos produtos esaados A segur, apresetam-se algus dos resultados obtdos para as propredades físcas do mlho, soja e ração de frago. São mostrados os resumos dos valores ecotrados. Esao de umdade, peso específco aparete e graulometra Os resultados dos esaos de umdade, temperatura e desdade aparete para os produtos são apresetados as Tabela 1, Tabela 2 e Tabela 3. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

16 10 Adrés Batsta Cheug & Carlto Call Juor Tabela 1 Estatístca descrtva para o esao da soja Estatístca Básca Umdade (%) Peso específco aparete (γ p ) (kn/m³) T ( ºC ) Méda (μ) 13,57 7,90 21,84 Desvo (σ) 0,15 0,21 0,73 Cov (δ) 0,01 0,03 0,03 Máxmo 13,90 8,54 23,30 Mímo 13,20 7,44 20,50 Tabela 2 Estatístca descrtva para o esao do mlho Estatístca Básca Umdade (%) Peso específco aparete (γ p ) (kn/m³) T ( ºC ) Méda (μ) 13,57 7,90 21,84 Desvo (σ) 0,15 0,21 0,73 Cov (δ) 0,01 0,03 0,03 Máxmo 13,90 8,54 23,30 Mímo 13,20 7,44 20,50 Tabela 3 Estatístca descrtva para o esao da ração de frago Estatístca Básca Umdade (%) Peso específco aparete (γ p ) (kn/m³) T ( ºC ) Méda (μ) 13,57 7,91 21,65 Desvo (σ) 0,13 0,20 0,72 Cov (δ) 0,01 0,03 0,03 Máxmo 13,90 8,41 23,00 Mímo 13,20 7,33 20,50 As Fguras 4 e 5 mostram o hstograma de freqüêcas e a dstrbução de probabldade acumulada ajustada aos dados expermetas da soja, respectvamete. Para a verfcação da adequabldade dos modelos de dstrbuções de probabldade foram realzados os testes estatístcos de Kolmogorov-Smrov e Aderso-Darlg, ao ível de sgfcâca de 5%. 25 0, ,75 Freqüêca Fx (x) 0,60 0,45 0,30 Amostra 5 0 6,8 7,0 7,2 7,4 Peso específco aparete (kn/m³) 7,6 0,15 0,00 Normal D:0,0756 A:0,581 Logormal D:0,07199 A: 0,481 6,8 6,9 7,1 7,2 7,4 7,5 7,7 7,8 Peso específco aparete (kn/m³) Fgura 4 Hstograma do peso específco aparete γ p da soja. Fgura 5 Fuções de dstrbuções acumuladas de probabldade estmadas para o γ p da soja. Esaos de csalhameto A Tabela 4 apreseta os resultados obtdos para o peso específco ( γ ), coesão () c, âgulo de atrto tero ( φ ), efetvo âgulo de atrto tero ( φ e), resstêca cofada ( f c ) e resstêca cofada ( f c ) para os produtos esaados. Porém o trabalho mostrou que a dstrbução logormal é a mas adequada para represetar os dados expermetas após os testes estatístcos de Kolmogorov- Smrov e de Aderso-Darlg. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

17 Modelo estocástco de pressões de produtos armazeados para a estmatva da cofabldade estrutural 11 Tabela 4 Estatístca descrtva para os esaos de csalhameto Estatístca Básca μ Peso específco γ (kn/m³) 7,18 (0,2%) Coesão c (kpa) 0,23 φ ( º ) 34,81 (0,09%) φ e ( º ) 35,71 (0,1%) f c (kpa) f c (kpa) 0,84 23,73 Soja σ 0,11 (9,0%) - 2,67 (9,02%) 2,80 (9,01%) - 6,00 cov(δ) 2% - 7,7% 7,9% - 25% μ 8,10 (0,4%) 0,04 29,53 (1,07%) 29,78 (0,1%) 0,11 10,28 Mlho σ 0,27 (9,01%) - 2,51 (9,01%) 2,18 (9,01%) - 2,47 cov(δ) 3,29% - 8,5% 7,3% - 24,0% Ração de frago μ σ 7,928 (0,24%) 0,151 (9,01%) 0,90 0,35 37,98 (0,45%) 2,362 (8,8%) 41,54 (0,4%) 1,41 (9,01%) 3,63 24,70 1,31 5,58 cov(δ) 1,9% 39,1% 6,2% 3,4% 36,2% 22,6% OBS: O valor etre parêteses represeta a certeza estatístca do parâmetro estmado. 5.2 Resultados das pressões e dos parâmetros calbrados dos modelos de pressões Nesta seção são aalsados os resultados das pressões obtdos expermetalmete os esaos de carregameto e descarregameto do slo-ploto. Os resultados foram utlzados para a calbração dos parâmetros dos modelos de pressões para o corpo e tremoha do slo-ploto. Defção do coefcete de sobrepressão Um procedmeto mportate para a avalação das pressões de descarregameto é por meo dos coefcetes de sobrepressão que foram utlzados para aalsar os resultados das pressões obtdas expermetalmete. O coefcete de sobrepressão é defdo como a relação etre a pressão de descarregameto e a pressão de carregameto, expressa pela eq. (5). C d = p p hd, he, (5) Resultados de pressões obtdos o esao do slo-ploto Neste trabalho fo realzado um grade úmero de esaos os quas estão apresetados, resumdamete, a segur. Como exemplos são apresetados somete os resultados das pressões obtdos para a soja, com a cofguração de tremohas com fudo plao e tremoha com α = 15 o (Fgura 6 e 7). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

18 12 Adrés Batsta Cheug & Carlto Call Juor Slo com fudo plao e parede lsa h (m) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 ph,e (kn/m²) ph,d (kn/m²) ,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 h (m) 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 Fgura 6 Pressões horzotas de carregameto para fudo plao (produto: soja). Fgura 7 Pressões horzotas de descarregameto para fudo plao (produto: soja). Nota-se que a pressão horzotal de carregameto mostrada a Fgura 6 apreseta uma tedêca expoecal, o que pode ser represetado pelo modelo de pressões de Jasse (1895). Observa-se também, a Fgura 7, que a pressão horzotal de descarregameto segue a mesma tedêca expoecal e esta pode ser estudada por meo dos coefcetes de sobrepressão ou pelo modelo de Jeke et al. (1973). Calbração dos parâmetros dos modelos de pressões Com os dados obtdos foram calbrados os parâmetros dos modelos de pressões com a rota computacoal mplemetada, este trabalho, o programa P-Slos. Os parâmetros dos algortmos geétcos utlzados foram: represetação real com escaloameto lear, seleção por rakg, população (150), probabldade de mutação (0,05), probabldade de crossover (0,9). Para a escolha dos parâmetros acma descrtos fo realzada uma aálse de covergêca para os dados expermetas da soja, com fudo plao e parede lsa e com uma altura de carregameto de 5,5m. Com o objetvo de lustrar os procedmetos de calbração dos parâmetros γ, K e μ w,c, são apresetados os ajustes dos modelos de pressões realzados a partr dos dados expermetas de pressões o corpo do slo-ploto, que estão mostrados grafcamete as Fguras 8 e 9. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

19 Modelo estocástco de pressões de produtos armazeados para a estmatva da cofabldade estrutural 13 h (m) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 ph,e (kn/m²) parâmetros calbrados γ =7,06kN/m3 K=0,3388 μw,c=0, ,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 h (m) 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 ph,d (kn/m²) pressão calbrada γ =7,560kN/m3 K=0,919 μw,c=0,183 Fgura 8 Pressões horzotas de carregameto calbradas para o slo com fudo plao e parede lsa (produto: soja e altura de carregameto=5,5 m). Fgura 9 Pressões horzotas de descarregameto calbradas para o slo com fudo plao e parede lsa (produto: mlho e altura de carregameto=5,5 m). Da mesma forma, as pressões ormas a tremoha foram ajustadas aos dados expermetas com a calbração dos parâmetros C e K. t Dstrbuções de probabldades estmadas para os parâmetros dos modelos de pressões Com os parâmetros ajustados a partr dos modelos de pressões elaborados a seção ateror, costruu-se o modelo estocástco parametrzado a partr das dstrbuções de probabldades para cada parâmetro ajustado. As dstrbuções de probabldades foram estmadas e testadas pelo mesmo programa utlzado para a determação das dstrbuções de probabldades para as propredades físcas. Os parâmetros estmados são apresetados em forma de tabelas. Aalogamete às propredades físcas, os testes estatístcos de Kolmogorov-Smrov e Aderso-Darlg foram utlzados com um ível de sgfcâca α = 5%. Os testes estatístcos, bem como os resultados detalhados, podem ser cosultados em Cheug (2007). Dstrbuções estmadas para os parâmetros dos modelos de pressões para os produtos esaados As Fguras 10 e 11 mostram as fuções de dstrbuções acumuladas ormal, logormal e logormal deslocada ajustadas aos dados expermetas do peso específco e do K da soja. Pode-se observar que ambas as dstrbuções podem ser utlzadas e sto é cofrmado por meo dos testes estatístcos de Aderso-Darlg e Kolmogorov-Smrov. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

20 14 Adrés Batsta Cheug & Carlto Call Juor Fx(x) 1,0 0,8 0,6 0,4 Amostra Normal 0,2 Logormal Logormal deslocada (EMVs) 0,0 6,85 6,95 7,05 7,15 7,25 7,35 7,45 7,55 7,65 peso específco (kn/m³) - carregameto Fx(x) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 Amostra Normal Logormal Logormal deslocada (EMVs) 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 K (carregameto) Fgura 10 Fuções de dstrbuções acumuladas estmadas para o peso específco (γ ) para a codção de carregameto e parede lsa do sloploto. Fgura 11 Fuções de dstrbuções acumuladas estmadas para o K para a codção de carregameto e parede lsa. 1,0 0, Fx(x) 0,6 0,4 Amostra Freqüêca ,2 Normal Logormal 0,0 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 C d (horzotal) ,05 1,20 1,35 1,50 1,65 Cd (horzotal) 1,80 1,95 Fgura 12 Fuções de dstrbuções acumuladas estmadas para o coefcete de sobrepressão horzotal para parede lsa. Fgura 13 Hstograma de freqüêcas para o coefcete de sobrepressão horzotal para o slo-ploto com parede lsa. A Fgura 12 e 13 mostra o hstograma de freqüêcas para o coefcete de sobrepressão horzotal, com o objetvo de observar a hpótese de ormaldade dos dados expermetas obtdos este trabalho. A Tabela 5 e 6 apreseta os resumos dos parâmetros calbrados para o corpo do slo para os esaos realzados com os produtos: soja, mlho e ração de frago para as paredes lsas e oduladas. Os testes estatístcos ão são mostrados as tabelas podedo ser cosultados em Cheug (2007). Os resultados ecotrados mostram que a dstrbução logormal pode ser utlzada para represetar as certezas dos parâmetros dos modelos de pressões, bem como, para os coefcetes de sobrepressões. Em algus casos a dstrbução logormal deslocada apreseta uma melhor aderêca aos dados expermetas e também pode ser utlzada. O coefcete de sobrepressão horzotal médo apresetou valores dferetes etre os produtos aalsados, o que dca que, para cada produto, é ecessára a sua determação o sloploto. Dessa forma, é sugerdo este trabalho que procedmetos expermetas sejam coduzdos para produtos com característcas dferetes dos esaados, como, por exemplo, produtos pulveruletos, pulveruletos coesvos e de geometra rregular. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

21 Modelo estocástco de pressões de produtos armazeados para a estmatva da cofabldade estrutural 15 Tabela 5 Resumo dos parâmetros de pressões para o corpo do slo-ploto com parede lsa (produto armazeado: soja, mlho e ração de frago) Soja Estatístca μ σ Parâmetros (pressão carregameto) γ (kn/m³) 7,235 (0,27%) 0,164 (8,48%) K μ w γ (kn/m³) 0,348 (0,5%) 0,020 (8,4%) 0,220 (1,35%) 0,025 (8,42%) Parâmetros (pressão descarregameto) 7,014 (0,28%) 0,168 (8,5%) K μ w C d,h (horzotal) 1,214 (1,25%) 0,129 (8,4%) 0,218 (3,47%) 0,064 (8,48%) Coefcetes de sobrepressões 1,426 (0,59%) 0,192 (3,09%) C d,v (vertcal) 1,148 (0,06%) 0,082 (5,8%) C d,a (atrto) 1,070 (0,41%) 0,038 (8,48%) cov(δ) 3,0% 5,9% 11,5% 2,4% 10,6% 29,0% 13,4% 7,1% 3,5% Mlho μ σ 8,154 (0,38%) 0,307 (7,27%) 0,409 (0,92%) 0,037 (7,27%) 0,264 (1,74%) 0,045 (7,27%) 7,791 (0,42%) 0,319 (7,27%) 1,117 (0,75%) 0,083 (7,27%) 0,198 (2,91%) 0,057 (7,27%) 1,608 (0,52%) 0,224 (2,68%) 1,206 (0,54%) 0,096 (4,84%) 1,078 (0,19%) 0,021 (7,27%) cov(δ) 3,8% 9,1% 17,1% 4,1% 7,4% 28,6% 14,0% 8,0% 1,9% Ração de frago μ σ 8,011 (0,25%0 0,172 (8,42%) 0,289 (1,28%) 0,031 (8,42%) 0,226 (2,59%) 0,050 (8,42%) 7,759 (0,385%) 0,254 (8,42%) 1,306 (0,71%) 0,079 (8,42%) 0,237 (3,59%) 0,072 (8,42%) 1,227 (0,467%) 0,131 (3,09%) 1,052 (0,33%) 0,045 (5,47%) 1,076 (0,28%) 0,026 (8,42%) cov(δ) 2,2% 10,9% 22,0% 3,3% 6,0% 30,5% 10,7% 4,3% 2,4% OBS: O valor etre parêteses represeta a certeza estatístca do parâmetro estmado. Tabela 6 Resumo dos parâmetros de pressões para o corpo do slo-ploto com parede odulada (produto armazeado: soja, mlho e ração de frago) Soja Estatístca μ σ Parâmetros (pressão carregameto) γ (kn/m³) 7,270 (0,33%) 0,209 (8,3%) K μ w γ (kn/m³) 0,344 (1,35%) 0,040 (8,3%) 0,363 (0,69%) 0,022 (8,3%) Parâmetros (pressão descarregameto) 6,876 (0,3%) 0,170 (8,42%) K μ w C d,h (horzotal) 1,312 (0,63%) 0,070 (8,42%) 0,225 (3,57%) 0,068 (8,42%) Coefcetes de sobrepressões 1,418 (0,57%) 0,188 (3,04%) C d,v (vertcal) 1,151 (0,41%) 0,051 (6,52%) C d,a (atrto) 1,098 (0,32%) 0,030 (8,3%) cov(δ) 2,9% 11,6% 6,0% 2,5% 5,4% 30,4% 13,3% 4,5% 2,7% Mlho μ σ 8,168 (0,54%) 0,374 (8,42%) 0,427 (1,37%) 0,050 (8,42%) 0,380 (1,14%) 0,037 (8,42%) 8,041 (0,60%) 0,409 (8,42%) 1,143 (1,09%) 0,106 (8,42%) 0,227 (2,51%) 0,048 (8,42%) 1,536 (0,67%) 0,232 (3,1%) 1,131 (0,43%) 0,063 (5,47%) 1,159 (0,7%) 0,069 (8,42%) cov(δ) 4.57% 11,7% 9,7% 5,1% 9,3% 21,4% 15,2% 5,6% 6,0% Ração de frago μ σ 8,086 (0,36%) 0,204 (10,4%) 0,259 (2,46%) 0,044 (10,4%) 0,319 (2,37%) 0,053 (10,4%) 7,653 (0,58%) 0,312 (10,4%) 1,314 (1,30%) 0,116 (10,4%) 0,287 (5,53%) 0,110 (10,4%) 1,270 (0,58%) 0,138 (3,8%) 1,126 (0,60%) 0,047 (10,4%) 1,134 (0,54%) 0,043 (10,4%) cov(δ) 2,5% 17,1% 16,5% 4,1% 8,8% 38,3% 10,9% 4,1% 3,8% OBS: O valor etre parêteses represeta a certeza estatístca do parâmetro estmado. A Tabela 7 e 8 apreseta os resumos dos parâmetros calbrados para as tremohas para os esaos realzados com os produtos: soja, mlho e ração de frago para a cofguração de parede do slo-ploto lsa. Os testes estatístcos ão são mostrados as tabelas podedo ser cosultados em Cheug (2007). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

22 16 Adrés Batsta Cheug & Carlto Call Juor Tabela 7 Resumo dos parâmetros de pressões para a tremoha com o slo-ploto com parede lsa (produto armazeado: soja, mlho e ração de frago) Estatístca Parâmetros (pressão carregameto) α = 45 f Parâmetros (pressão descarregameto) Parâmetros (pressão carregameto) α = 15 K t C K t C K t C K t C f Parâmetros (pressão descarregameto) Soja μ σ 1,168 (1,93%) 0,110 (14,9%) 0,580 (4,76%) 0,102 (14,9%) 5,782 (3,85%) 1,096 (14,8%) 5,398 (3,34%) 0,884 (14,9%) 0,825 (4,25%) 0,172 (14,9%) 3,205 (4,77%) 0,748 (14,9%) 2,961 (4,53%) 0,657 (14,9%) 9,548 (3,27%) 1,529 (14,9%) cov(δ) 9,4% 17,6% 19,0% 16,4% 20,8% 23,3% 22,1% 16,0% Mlho μ σ 0,899 (2,37%) 0,105 (14,9%) 0,437 (7,32%) 0,157 (14,9%) 3,884 (5,74%) 1,093 (14,9%) 4,951 (5,97%) 1,450 (14,9%) 0,834 (3,69%) 0,151 (14,9%) 1,767 (5,31%) 0,460 (14,9%) 3,472 (5,77%) 0,982 (14,9%) 5,956 (3,51%) 1,0254 (14,9%) cov(δ) 11,6% 35,9% 28,1% 29,3% 18,1% 26,1% 28,3% 17,2% Ração de frago μ σ 1,302 (2,50%) 0,160 (14,9%) 0,618 (8,39%) 0,254 (14,9%) 7,020 (4,71%) 1,623 (14,9%) 6,121 (5,44%) 1,600 (15,24%) 1,053 (3,88%) 0,201 (14,9%) 2,674 (6,05%) 0,792 (14,9%) 3,468 (5,44%) 0,924 (14,9%) 8,490 (5,82%) 2,423 (14,9%) cov(δ) 12,3% 41,1% 23,1% 26,1% 19,1% 29,6% 26,7% 28,5% OBS: O valor etre parêteses represeta a certeza estatístca do parâmetro estmado. Tabela 8 Resumo dos parâmetros de pressões para a tremoha com parede odulada (produto armazeado: soja, mlho e ração de frago) Estatístca Parâmetros (pressão carregameto) α = 45 f Parâmetros (pressão descarregameto) Parâmetros (pressão carregameto) α = 15 K t C K t C K t C K t C f Parâmetros (pressão descarregameto) Soja μ σ 1,235 (2,10%) 0,127 (14,9%) 0,497 (4,6%) 0,112 (14,9%) 3,047 (5,2%) 0,785 (14,9%) 4,554 (5,56%) 1,242 (14,9%) 0,965 (3,37%) 0,166 (14,3%) 3,069 (4,4%) 0,688 (14,3%) 2,260 (4,89%) 0,542 (14,9%) 9,048 (4,07%) 1,805 (14,9%) cov(δ) 10,3% 22,6% 25,8% 27,3% 17,2% 22,4% 24,0% 20,0% Mlho μ σ 0,950 (1,73%) 0,081 (14,9%) 0,498 (5,87%) 0,143 (14,9%) 3,041 (3,6%) 0,535 (14,9%) 3,752 (1,99%) 0,366 (14,9%) 0,746 (2,63%) 0,096 (14,9%) 3,570 (4,67%) 0,817 (14,9%) 2,065 (4,2%) 0,425 (14,9%) 6,343 (4,07%) (14,9%) cov(δ) 8,5% 28,8% 17,6% 9,8% 12,9% 22,8% 20,6% 20,0% Ração de frago μ σ 1,375 (2,31%) 0,1558 (14,9%) 0,697 (7,41%) 0,253 (14,9%) 8,446 (2,11%) 0,877 (14,9%) 9,591 (0,16%) 0,077 (14,9%) 1,229 (2,27%) 0,137 (14,9%) 3,201 (5,40%) 0,846 (14,9%) 3,969 (6,0%) 1,176 (14,9%) 11,818 (5,64%) 3,267 (14,9%) cov(δ) 11,3% 36,3% 10,4% 0,8% 11,1% 26,4% 29,6% 27,6% OBS: O valor etre parêteses represeta a certeza estatístca do parâmetro estmado. K t da tremoha podem ser represetadas pelas As certezas dos parâmetros C e dstrbuções ormal e logormal e ota-se, ada, que a varabldade ecotrada para o K t para a Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

23 Modelo estocástco de pressões de produtos armazeados para a estmatva da cofabldade estrutural 17 codção de descarregameto fo maor que para a codção de carregameto, que é fluecado pelos pcos de pressões a trasção etre a tremoha e o corpo do slo-ploto. 5.3 Cofabldade estrutural de slos vertcas metálcos de chapas oduladas Com a faldade de demostrar a aplcação do estudo de cofabldade o estudo da seguraça estrutural de slos, apreseta-se um exemplo de um slo vertcal esbelto metálco de chapa odulada com fudo plao. Para sto foram desevolvdos os segutes procedmetos: Foram formuladas as equações de estado lmte últmo para os modos de ruptura (tração a chapa, rasgameto, esmagameto, corte o parafuso e compressão do motate). Foram troduzdas as varabldades da resstêca das lgações em chapas oduladas obtdas por Esteves (1989). Fo utlzada a teora de membraa para a determação dos esforços a casca. Foram utlzados múltplos modos de falha ao logo da altura do slo. Foram troduzdas as varabldades dos produtos armazeados os modelos de pressão de Jasse e dos coefcetes de sobrepressão utlzado as varabldades obtdas este trabalho. Fo utlzado também o modelo de Jeke para o estado de descarregameto. Fo utlzado o método de smulação de Mote Carlo para o cálculo da probabldade de falha do sstema. Modelo de resstêca estrutural de slos metálcos No dmesoameto de slos clídrcos metálcos de chapas oduladas são verfcados os város modos de ruptura 3. Uma ateção especal é sempre mportate as chapas tracoadas do costado e os motates comprmdos pela força de atrto proveete do produto armazeado. Dessa forma, este trabalho, são abordados os modos de ruptura referetes à ruptura das chapas por tração, ao csalhameto os parafusos e do motate à compressão cetrada e que podem ser subdvddos por: modo de ruptura por corte do parafuso; tração a área bruta das chapas (costado); tração a área líquda das chapas (costado); ruptura por rasgameto etre furos ou etre furo e borda; modo de ruptura por esmagameto a regão dos furos por pressão de cotato; modo de ruptura por compressão do motate (colua). A partr dos resultados de Esteves (1989), foram utlzados os modos de ruptura estudados expermetalmete por meo de esaos em corpos de prova. Exemplo de cálculo Com a faldade de exemplfcar a utlzação das equações propostas, fo utlzado o estudo de um slo real (Call e Cheug, 2005), por meo da smulação de Mote de Carlo, para a determação da cofabldade de um sstema com múltplos modos de falha. A cofabldade calculada fo cosderada como um sstema em sére para as equações de estado lmte e para as alturas de chapas verfcadas. 3 Ruptura é o feômeo de desagregação da matéra sólda sob ação de solctações mecâcas (Fusco, 1976). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

24 18 Adrés Batsta Cheug & Carlto Call Juor Aalsou-se um slo esbelto vertcal com chapa odulada e fudo plao, mostrado a Fgura 14. Este slo apresetou um estado lmte últmo (colapso total) e por sso fo utlzado para verfcar sua seguraça estrutural. 2,25 m 35 P 20,11 m 22 aés (0,9144m) úmero de motates: 14 DETALHE dstâca etre chapas y e P x 70mm y 6,42 m x 100mm VISTA PLANTA DETALHE Fgura 14 Esquema do slo exemplo estudado. O produto utlzado esta aálse fo o mlho, para a codção de descarregameto, e as varabldades utlzadas para a smulação de Mote Carlo foram obtdas por meo da calbração do slo-ploto com parede odulada, mostradas a seção ateror. Já as varabldades das resstêcas das chapas oduladas submetdas à tração foram as ecotradas expermetalmete por Esteves (1989). Para as propredades mecâcas dos aços foram utlzadas as recomedações sugerdas pelo JCSS (2000). Tabela 9 Varáves aleatóras utlzadas o caso 1 N Varáves báscas Símbolo Dstrbução Udades Méda c.o.v Fote 1 Ação permaete G Normal kn/m 4,000 0,02 JCSS (2001) 2 Peso específco do produto γ Logormal kn/m³ 8,170 0,05 3 Relação etre as pressões horzotas e vertcas Κ Logormal - 0,430 0,12 4 Coefcete de atrto com a parede μ w,c Logormal - 0,380 0, Coefcete de sobrepressão para as pressões horzotas Coefcete de sobrepressão para as forças de atrto Resstêca últma das chapas Coefcete para o modo de ruptura por esmagameto Coefcete para o modo de ruptura por rasgameto (para duas lhas) Coefcete para o modo de ruptura por amassameto Resstêca ao corte dos parafusos (M10) Resstêca ao escoameto dos motates Módulo de elastcdade do aço do motate C d,h Logormal - 1,536 0,15 C d,a Logormal - 1,159 0,06 Expermeto realzado Expermeto realzado Expermeto realzado Expermeto realzado Expermeto realzado f u,c Logormal kn/cm² 37,000 0,04 JCSS (2000) K 2 Normal - 3,021 0,08 ESTEVES (1989) K 3 Normal - 0,952 0,03 ESTEVES (1989) K 4 Normal - 2,877 0,07 ESTEVES (1989) R p,v Logormal kn 17,210 0,07 ESTEVES (1989) f y,m Logormal kn/cm² 29,270 0,07 JCSS (2000) E M Logormal TPa 0,205 0,03 JCSS (2000) 14 Icerteza do modelo de resstêca θ 1 Normal - 1,000 0,02 ESTEVES (1989) 15 Icerteza do modelo de pressões θ 2 Normal - 1,000 0,08 Expermeto realzado Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

25 Modelo estocástco de pressões de produtos armazeados para a estmatva da cofabldade estrutural 19 Para o estudo da cofabldade estrutural fo utlzado o método de smulação de Mote Carlo, por meo de um programa mplemetado em C++, e a justfcatva desta escolha fo que a avalação das equações de estado lmte, para o caso estudado, ão demada muto esforço computacoal, podedo utlzar um grade úmero de realzações. Foram empregados dos modelos de pressões para avalação das pressões de descarregameto, o modelo de Jasse (1895), com coefcetes de sobrepressão, e o modelo de Jeke et al. (1973). A Tabela 9 apreseta as varabldades utlzadas para a avalação da cofabldade estrutural utlzado o modelo de Jasse (1895). As correlações utlzadas para o estudo foram obtdas expermetalmete este trabalho. Após a realzação de 10 7 smulações de Mote Carlo, os resultados mostrados a Tabela 10 mostram a probabldade de falha e o ídce de cofabldade obtdo para o sstema estrutural do slo em questão, para o modelo de Jasse (1895), com os coefcetes de sobrepressões. O valor ecotrado mostra uma probabldade de falha acma da recomedada pelo JCSS (2000) que é, o mímo, de 3,8. Tabela 10 Probabldade de falha obtda para o caso 1 - modelo de pressões de Jasse (1895) Tabela 11 Probabldade de falha ao logo da altura para cada chapa o caso 1 P f,sys Pf, α = 5% P f Pf, α = 95% β sys β α = 5% β β α = 95% 0,0530 0,0503 0,0476 1,616 1,642 1,669 Chapa Pf, α = 5% P f Pf, α = 5% α 5% β α = 8 2,0E-04 1,5E-04 9,8E-05 3,53 3,61 3,72 9 5,3E-04 4,3E-04 3,2E-04 3,27 3,33 3, ,2E-04 2,6E-04 1,9E-04 3,41 3,47 3, ,8E-03 5,1E-03 4,4E-03 2,52 2,57 2, ,1E-04 2,4E-04 1,5E-04 3,42 3,50 3, ,5E-04 4,4E-04 3,2E-04 3,26 3,33 3, ,4E-04 7,4E-04 5,4E-04 3,11 3,18 3, ,3E-03 1,1E-03 8,7E-04 3,01 3,07 3, ,6E-03 2,9E-03 2,2E-03 2,69 2,76 2, ,8E-03 9,0E-03 8,2E-03 2,33 2,37 2, ,0E-02 3,7E-02 3,4E-02 1,75 1,78 1, ,1E-03 8,2E-04 5,6E-04 3,07 3,15 3, ,3E-03 4,6E-03 3,8E-03 2,55 2,61 2, ,8E-02 1,6E-02 1,3E-02 2,09 2,15 2, ,1E-02 4,8E-02 4,5E-02 1,63 1,66 1,70 β = β 5% 0,00 1,00 2,00 3,00 4, β chapa de referêca Cofabldade alvo JCSS (2000) Fgura 15 Ídces de cofabldade para altura a chapa de referêca. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

26 20 Adrés Batsta Cheug & Carlto Call Juor A Tabela 11 apreseta a probabldade de falha para cada chapa do slo estudado e mostra que as chapas 22 e 18 apresetam as maores probabldades de falha. Observa-se ada que a probabldade de falha do sstema é meor que a dos elemetos solados e sto é decorrete de os modos de falhas estarem dspostos em um sstema em sére. A Fgura 15 mostra que as probabldades de falha, ao logo da altura, são varáves e estão abaxo dos valores recomedados pelo JCSS (2000), que estão represetados por uma lha vermelha. Pode-se observar que a chapa 18 ocorre a mudaça de espessura e, por sso, ocorre também uma dmução da seguraça. Como sugestão, propõe-se que exsta uma uformzação do ídce de cofabldade ao logo da altura do slo estudado. 6 CONCLUSÕES O slo-ploto apresetou-se adequado para as meddas expermetas de pressões dos produtos armazeados, com boas respostas para a avalação das pressões de carregameto e descarregameto, por meo do sstema de strumetação utlzado. Os resultados expermetas mostraram que as pressões de carregameto são bem represetadas pela teora de Jasse (1895) e as pressões de descarregameto são bem represetadas pela teora de Jeke et al. (1973). Uma alteratva possível e recomedada este trabalho é a utlzação dos coefcetes de sobrepressões em cojuto com a formulação de Jasse (1895), dada a facldade de sua aplcação. Observou-se, aalogamete às propredades físcas, que a dstrbução logormal pode represetar bem as certezas dos parâmetros dos modelos de pressões o que fo cofrmado pelos testes estatístcos de Kolmogorov-Smrov e de Aderso-Darlg. A calbração dos modelos de pressões, utlzado os estmadores de máxma verossmlhaça acoplados aos Algortmos Geétcos, mostrou-se adequada para a obteção dos parâmetros dos modelos de pressões, sedo estes obtdos o ajuste, para cada realzação do esao, a partr dos dados expermetas. O coefcete de sobrepressão horzotal médo apresetou valores dferetes etre os produtos aalsados e etre os tpos de paredes, o que dca que para cada produto, é ecessára a sua determação o slo-ploto. Dessa forma, sugere-se que procedmetos expermetas sejam coduzdos para produtos com característcas dferetes dos esaados, como, por exemplo, produtos pulveruletos, pulveruletos coesvos e de geometra rregular. Os coefcetes médos de sobrepressão vertcal e de atrto apresetaram o mesmo comportameto do coefcete de sobrepressão horzotal, sedo que as varabldades ecotradas etre os produtos aalsados e os tpos de parede foram bem meores que a varabldade ecotrada para o coefcete de sobrepressão horzotal. Uma mportate costatação dz respeto ao coefcete de sobrepressão para a força de atrto com a parede odulada, pos esta apresetou um valor superor ao obtdo para o slo-ploto com a parede lsa. O modelo estocástco parametrzado proposto fo cosstete e pode ser utlzado para a avalação das flutuações das pressões ao logo da altura. Com a corporação da varabldade dos parâmetros de pressões, o modelo tora-se smples e de fácl aplcação em problemas prátcos de projetos. O modelo de Jeke et al. (1973) é o mas recomedado, porém de dfícl aplcação em projetos corretes, devdo a sua complexdade. Desta forma, sugere-se a adoção do modelo smplfcado de Jasse (1895) com os coefcetes de sobrepressões, por este apresetar smplcdade. O estudo da cofabldade mostrou que o slo vertcal metálco vestgado apresetou valores de probabldade de falha acma dos valores recomedados teracoalmete, o que justfca a Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

27 Modelo estocástco de pressões de produtos armazeados para a estmatva da cofabldade estrutural 21 grade ocorrêca de falhas estruturas em slos metálcos ocorrdas os últmos aos. Para o slo metálco exemplfcado, o modo de ruptura mas mportate fo o por compressão do motate, devdo à esbeltez do slo. 7 AGRADECIMENTOS À Fudação de Amparo à Pesqusa do Estado de São Paulo (FAPESP), pela cocessão da bolsa de doutorado e pela outorga de recursos do projeto de pesqusa de apoo facero para realzação desta pesqusa. (processo: o. 2003/ e 2004/ ). 8 REFERÊNCIAS BROWN, C. J.; NIELSEN, J. Slos: Fudametals of theory, behavour ad desg. Lodo: E & FN Spo, p. CALIL JUNIOR, C. Recomedações de cargas para o dmesoameto de slos. São Carlos: EESC-USP, p. (Relatóro de pesqusa de pós-doutorado. São Carlos). CALIL JUNIOR, C.; CHEUNG, A. B. Relatóro técco de colapso de um slo metálco clídrco de chapa corrugada. São Carlos: EESC-USP, p. (Relatóro técco, º1/2005). CHEUNG, A. B. Modelo estocástco de pressões de produtos armazeados para a estmatva da cofabldade estrutural de slos esbeltos p. Tese (Doutorado em Egehara de Estruturas) - Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, DEUTSCHE NORM. DIN 1055 Part 6: Desg loads for buldgs; Loads slos bs. Berl, Verlaz, ESTEVES JÚNIOR, P. Slos metálcos de chapa corrugada p. Dssertação (Mestrado em Egehara Cvl) - Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, FUSCO, P. B. Estruturas de cocreto: fudametos do projeto estrutural. São Paulo: McGraw-Hll do Brasl, v.1, 298p. JANSSEN, H. A. Versuche uber Getrededruck Slozelle. Z. Vere Deutcher Igeeure, v. 39, p , JCSS (Jot Commttee o Structural Safety). Probablstc Model Code Part 1 Bass of Desg. 12th draft. 62 p, JENIKE, A. W. Gravty flow of bulk solds. Salt Lake Cty: Uversty of Utah (Bullet. Utah Egeerg Expermet Stato, º108). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

28 22 Adrés Batsta Cheug & Carlto Call Juor JENIKE, A. W; JOHANSON, J. R.; CARSON, J. W. B loads 3 parts. Joural of egeerg for Idustry, ASCE, v.95. p. 1-5, 6-12, 13-20, PALMA, G. Pressões e fluxo em slos esbeltos (h/d 1,5). 2005, 109p. Dssertação (Mestrado em Egehara de Estruturas) - Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, PHAM, L. Varablty of b loads due to bulk solds for structural desg. IN: CIVIL ENGINNERING TRANSPORTATION, Newcastle, Proceedgs p PIEPER, K.; SCHÜTZ, M. Bercht Über das Forschugsvorhabe - Norm-Mess-Slo für Schüttgutegeschafte. Techsche Uverstät Brauschweg - Lehrstuhl für Hochbaustatk, Deutschlad, 1980, 109p. WALKER, D. M. A approxmate theory for pressures ad archg hoppers. Chemcal Egeerg Scece, v. 21, p , WALL, M. Galb: A C++ lbrary of geetc algorthm compoets (verso 2.4). Mechacal Egeerg Departmet, Massachusetts Isttute of Techology, WALTERS, J. K. A theoretcal aalyss of stresses slos wth vertcal walls. Chemcal Egeerg Scece, v. 28, p , WALTERS, J. K. A theoretcal aalyss of stresses axally-symmetrc hoppers ad bukers. Chemcal Egeerg Scece, v. 28, p , Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p. 1-22, 2009

29 ISSN SOBRE A ESTABILIDADE DE CANTONEIRAS DE AÇO FORMADAS A FRIO SUBMETIDAS À COMPRESSÃO Waderso Ferado Maa 1 & Maxmlao Malte 2 Resumo Catoeras smples de aço formadas a fro, prcpalmete com abas esbeltas, apresetam dos modos crítcos: () modo global de flexão, o caso de barras logas, () e um modo cocdete local-chapa/global de flexotorção, que é crítco para barras de meor comprmeto. Algus trabalhos dcam que a cosderação do modo de flexo-torção é coservador, equato outros trabalhos dcam a ecessdade dessa abordagem. O objetvo do trabalho é vestgar a resposta estrutural de catoeras smples e erjecdas submetdas à compressão, por meo de aálse expermetal e umérca ão-lear va elemetos ftos; também são avalados os resultados proveetes dos procedmetos ormatvos: () o clássco método da largura efetva e () o método da resstêca dreta (DSM), em que as catoeras ão são relacoadas como perfs pré-qualfcados. Os resultados da aálse expermetal e da aálse umérca ão-lear dcam a ecessdade da cosderação do modo de flexo-torção. Palavras-chave: Estruturas de aço. Catoeras de aço formadas a fro. Establdade estrutural. ON THE STABILITY OF COLD-FORMED STEEL ANGLES UNDER COMPRESSION Abstract Cold-formed steel smple agles, especally those wth sleder legs, preset two crtcal modes: () global flexural mode, the case of log members, ad () a cocdet local-plate/global-torsoal-flexural mode, whch s crtcal for shorter members. Some works dcate that cosderg the torsoal-flexural mode s coservatve, whle other works dcate the eed for ths approach. The preset work volves a vestgato of the structural respose of smple ad lpped agles subjected to compresso, by meas of expermetal ad olear umercal aalyss va fte elemets; ad the results of the followg stadard procedures: () the classcal effectve wdth method, ad () the drect stregth method (DSM), whch the agles are ot cosdered prequalfed sectos. The results of the expermetal aalyss ad the olear umercal aalyss dcate the ecessty of cosderg the torsoal-flexural mode. Keywords: Steel structures. Cold-formed steel agles. Structural stablty. 1 INTRODUÇÃO Os grades avaços os processos de fabrcação têm levado à utlzação mas correte de aços com elevada resstêca mecâca e, por coseqüêca, reduzda espessura das chapas que compõem os perfs. Com sso, dferetes modos de stabldade que até etão ão eram observados passam a merecer ateção especal. Pesqusas teórcas e expermetas têm sdo realzadas a fm de se caracterzar e descrever o comportameto estrutural destes elemetos, buscado soluções de cálculo e métodos de dmesoameto ecoômcos e seguros. As catoeras smples de aço formadas a fro, em geral com paredes delgadas (elevadas relações largura/espessura), apresetam dos modos de stabldade: () modo global de flexão, 1 Mestre em Egehara de Estruturas - EESC-USP, wfmaa@sc.usp.br 2 Professor do Departameto de Egehara de Estruturas da EESC-USP, mamalte@sc.usp.br Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

30 24 Waderso Ferado Maa & Maxmlao Malte domate o caso de barras logas, e um modo cocdete local-chapa/global de flexo-torção, que é crítco para barras de meor comprmeto. Embora exstam procedmetos smplfcados de cálculo, recomedados pelas ormas, a cosderação do modo de flexo-torção ão é coseso etre os pesqusadores. Para algus, os procedmetos de cálculo são excessvamete coservadores esse caso, pos cosderam o mesmo feômeo duas vezes: ao se cosderar o modo de stabldade global por flexo-torção e o cálculo da largura efetva da seção. Em catoeras erjecdas ão se verfca a cocdêca etre o modo local e o modo global de flexo-torção, além dsso, elas apresetam um melhor desempeho estrutural, prcpalmete quato à stabldade local. Porém, para algus autores as ormas também são coservadoras para esses perfs. Apreseta-se esse trabalho um estudo sobre o comportameto de catoeras smples e erjecdas submetdas à compressão cetrada e excêtrca, de modo a cofrmar a ecessdade de cosderar o modo global de flexo-torção o cálculo da força ormal resstete. São apresetadas opções para aplcação do Método da Resstêca Dreta (MRD), apresetado o AISI (2007) como um método de cálculo alteratvo. Tora-se relevate e oportuo avalar a aplcabldade do MRD já que até o mometo as catoeras ão são relacoadas como seções pré-qualfcadas para o método. Apreseta-se também uma aálse umérca ão-lear va elemetos ftos, ode se buscou avalar a resposta estrutural de catoeras smples e erjecda quato à sesbldade às mperfeções geométrcas cas. 2 ANÁLISE EXPERIMENTAL Uma sére de esaos em catoeras smples e erjecdas formadas a fro fo realzada a EESC/USP para dferetes codções de apoo (Maa (2008); Maa et al. (2008)). Os esaos tpos I, II, III e IV referem-se à catoera smples e os tpos V e VI à catoera erjecda. Os esaos de catoera smples foram realzados com a mesma seção estudada por Chodrau (2006), perfl L 60x2,38. Para a catoera erjecda foram utlzadas duas seções, perfs Le 60x15x2,06 e Le 100x15x1,50. As propredades mecâcas e geométrcas das seções esaadas são apresetadas a Tabela 1. Para as barras tpos I, V e VI, os dspostvos de apoo permtram rotação em toro do exo de meor érca, restrgdo rotação em toro do exo de maor érca, bem como rotação em toro do exo axal (torção) e empeameto. O comprmeto teórco (L r ) fo admtdo como sedo L barra mm, correspodedo à dstâca etre os exos de rotação dos dspostvos de apoo feror e superor. As barras tpo II foram esaadas com as extremdades egastadas (sem rotação). Prevamete aos esaos de compressão cetrada, foram soldadas chapas de aço com espessura de 12,5 mm as extremdades das barras para assegurar o cotato etre o perfl e o dspostvo de aplcação de força. A Fgura 1 mostra uma vsão geral do esao e do dspostvo para cetralzação das barras. As barras tpos III e IV foram submetdas à compressão excêtrca com força aplcada a aba por meo de lgação parafusada, sedo tpo III por um parafuso e tpo IV por dos parafusos, como lustrado a Fgura 2. Tabela 1 Propredades mecâcas e geométrcas das seções esaadas Seção Aba Erjecedor Espessura f y f u E (mm) (mm) (mm) (MPa) (MPa) (MPa) L 60x2, , Le 60x15x2, , Le 100x15x1, , Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

31 Sobre a establdade de catoeras de aço formadas a fro submetdas à compressão 25 (a) (b) Fgura 1 (a) Vsão geral do esao; (b) dspostvo para cetralzação das barras. Para as prevsões teórcas fo adotado o procedmeto de cálculo do AISI (2007), ode examou-se a aplcação do método da largura efetva em catoeras sob compressão cetrada, descosderado o deslocameto do cetróde da seção bruta para a seção efetva, sedo a força ormal de compressão resstete calculada com base () o caso geral de establdade elástca que utlza o mímo etre flexão e flexo-torção e () o caso partcular que utlza apeas flexão, como recomedado por Rasmussem (2003) e Youg (2004). Para catoera smples fo adotado um tercero procedmeto de cálculo que utlza o mímo etre flexão e flexo-torção, porém ão faz ehuma redução da área (A ef = A). Como há uma cocdêca etre os modos local e de flexotorção, algus autores acredtam que o mesmo feômeo é cosderado duas vezes, ao se cosderar o modo de flexo-torção e ao calcular a largura efetva da seção. Vale dzer que o procedmeto do AISI (2007) é smlar ao procedmeto que está sedo proposto para o ovo texto da orma braslera ABNT NBR Nas Tabelas 2 a 4 e Fguras 3 a 7 são apresetados os resultados dos esaos expermetas comparados com os procedmetos de cálculo adotados. (a) (b) Fgura 2 Catoeras parafusadas: (a) tpo III; (b) tpo IV. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

32 26 Waderso Ferado Maa & Maxmlao Malte Tabela 2 Descrção das barras esaadas e resultados: perfl L 60x2,38 (f y = 357 MPa) Tpo AISI (2007) Expermetal L r N (mm) c,r Modo de N Exp Modo de (kn) falha (kn) falha N Exp /N c,r Tpo I Rotação permtda em toro do exo de meor érca (K 2 = 1,0 e K 1 = K t = 0,5) I ,7 FT 31,0 FT 1,16 I ,6 FT 29,0 FT 1,09 I ,4 FT 22,5 FT 0,85 I ,4 F 21,0 FT 0,94 I ,6 FT 36,1 FT 1,36 I ,5 FT 39,8 F 1,50 I ,3 FT 28,5 F 1,08 Tpo II Extremdades egastadas (K 1 = K 2 = K t = 0,5) II ,7 FT 40,9 FT 1,53 II ,6 FT 34,5 FT 1,30 II ,4 FT 30,6 FT 1,16 II ,2 FT 26,7 FT 1,02 Tpo III Força excêtrca: catoera coectada por um parafuso (K 1 = K 2 = K t = 1,0) III ,5 FT 26,1 FT 0,98 III ,0 FT 22,8 FT 0,88 III ,3 FT 21,9 FT 0,87 III ,4 FT 17,7 FT 0,79 Tpo IV Força excêtrca: catoera coectada por dos parafusos (K 1 = K 2 = K t = 1,0) IV ,0 FT 38,0 FT 1,46 IV ,3 FT 29,0 FT 1,15 F = Istabldade por flexão; FT = Istabldade por flexo-torção. 60 AISI (2007) modfcado (somete flexão) Força ormal resstete - N c,r (kn) AISI (2007) modfcado [m(flexão e flexo-torção); A ef =A] Esaos - Tpo I (FT) Esaos - Tpo I (F) AISI (2007) [m(flexão e flexo-torção)] L r (mm) Fgura 3 Esaos tpo I comparados com o AISI (2007). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

33 Sobre a establdade de catoeras de aço formadas a fro submetdas à compressão AISI (2007) modfcado (somete flexão) Força ormal resstete - N c,r (kn) AISI (2007) modfcado [m(flexão e flexo-torção); A ef =A] Esaos - Tpo II (FT) AISI (2007) [m(flexão e flexo-torção)] L r (mm) Fgura 4 Esaos tpo II comparados com o AISI (2007). 60 AISI (2007) modfcado (somete flexão) Força ormal resstete - N c,r (kn) AISI (2007) modfcado [m(flexão e flexo-torção); A ef =A] Esaos - Tpo III (FT) Esaos - Tpo IV (FT) AISI (2007) [m(flexão e flexo-torção)] L r (mm) Fgura 5 Esaos tpos III e IV comparados com o AISI (2007). Tabela 3 Descrção das barras esaadas e resultados: perfl Le 60x15x2,06 (f y = 273 MPa) Tpo AISI (2007) Expermetal L r N (mm) c,r Modo de N Exp Modo de (kn) falha (kn) falha N Exp /N c,r Tpo V Rotação permtda em toro do exo de meor érca (K 2 = 1,0 e K 1 = K t = 0,5) V ,4 FT 76,3 FT 1,17 V ,0 FT 62,5 FT 1,12 V ,0 FT 58,9 FT 1,05 V ,4 FT 43,1 FT 1,02 V ,4 FT 43,8 FT 1,03 V ,2 FT 40,0 F 1,10 V ,2 FT 36,9 FT 1,02 V ,3 FT 36,5 F 1,17 V ,3 FT 32,0 FT 1,02 V ,6 FT 27,3 FT 0,99 V ,9 FT 25,7 F 1,03 F = Istabldade por flexão; FT = Istabldade por flexo-torção. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

34 28 Waderso Ferado Maa & Maxmlao Malte Força ormal resstete - N c,r (kn) AISI (2007) modfcado (somete flexão) AISI (2007) [m(flexão e flexo-torção)] Esaos - Tpo V (FT) Esaos - Tpo V (F) L r (mm) Fgura 6 Esaos tpo V comparados com o AISI (2007). Tabela 4 Descrção das barras esaadas e resultados: perfl Le 100x15x1,50 (f y = 205 MPa) Tpo AISI (2007) Expermetal L r N (mm) c,r Modo de N Exp Modo de (kn) falha (kn) falha N Exp /N c,r Tpo VI Rotação permtda em toro do exo de meor érca (K 2 = 1,0 e K 1 = K t = 0,5) VI ,2 FT 32,1 L 0,76 VI ,2 FT 48,8 L 1,16 VI ,1 FT 40,4 FT 1,01 VI ,1 FT 43,8 FT 1,09 VI ,8 FT 39,9 FT 1,06 VI ,8 FT 47,5 FT 1,26 VI ,1 FT 25,1 FT 0,89 VI ,1 FT 24,0 FT 0,85 L = Istabldade local; FT = Istabldade por flexo-torção. 50 AISI (2007) modfcado (somete flexão) Força ormal resstete - N c,r (kn) Esaos - Tpo VI (L) Esaos - Tpo VI (FT) AISI (2007) [m(flexão e flexo-torção)] L r (mm) Fgura 7 Esaos tpo VI comparados com o AISI (2007). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

35 Sobre a establdade de catoeras de aço formadas a fro submetdas à compressão 29 Com relação à catoera smples, ota-se que a maora das barras apresetou stabldade por flexo-torção. Nos esaos tpo I (Fgura 3) duas barras apresetaram stabldade por flexão, porém ota-se que ão fo um fato observado com freqüêca. O fato de terem apresetado tal modo pode estar lgado às mperfeções geométrcas cas, pos dferetes paoramas podem duzr dferetes modos de stabldade, como observado os resultados da aálse umérca. Os esaos tpo II (Fgura 4) mostram que as resstêcas das barras foram superores aos valores calculados de acordo com o AISI (2007), prcpalmete para as barras mas curtas. Porém pode-se observar que os resultados foram ferores aos valores calculados cosderado apeas o caso partcular de establdade elástca por flexão. Para os esaos com carregameto excêtrco, todas as barras apresetaram stabldade por flexo-torção. Nota-se que para as barras coectadas por apeas um parafuso a força ormal resstete fo feror à calculada de acordo com o AISI (2007) (Fgura 5). No caso das barras coectadas por dos parafusos observa-se um sgfcatvo aumeto da força ormal resstete, esse caso a lgação proporcoa uma maor restrção à rotação das extremdades o plao da aba coectada (flexão) e também em relação ao exo logtudal (torção). Para as catoeras erjecdas foram observados modos de stabldade por flexo-torção e flexão para as barras tpo V (Fgura 6). Um fato teressate observado é que barras com mesmo comprmeto apresetaram modos de stabldade dferetes, porém apresetado forças ormas resstetes muto próxmas. Esse fato pode estar lgado à preseça de mperfeções geométrcas cas, como observado os resultados da aálse umérca. Pode-se observar a Fgura 6 que os resultados expermetas das barras tpo V foram muto próxmos aos valores calculados de acordo com o AISI (2007). Para as barras tpo VI foram observados modos de stabldade local e por flexo-torção (Fgura 7). Nota-se que os resultados apresetam uma maor varabldade em relação aos valores calculados de acordo com o AISI (2007), apresetado algus resultados cotra a seguraça, cotrarado os resultados dos esaos apresetados por Youg (2005), para os quas o procedmeto ormatvo mostrou-se muto coservador. As Fguras 8 a 10 lustram os modos de stabldade observados os esaos de catoeras smples e erjecdas. Flexo-torção Flexão Fgura 8 Modos de stabldade observados os esaos do perfl L 60x2,38. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

36 30 Waderso Ferado Maa & Maxmlao Malte Flexo-torção Flexão Fgura 9 Modos de stabldade observados os esaos do perfl Le 60x15x2,06. Local Flexo-torção Fgura 10 Modos de stabldade observados os esaos do perfl Le 100x15x1,50. 3 ANÁLISE NUMÉRICA As smulações umércas va método dos elemetos ftos foram realzadas utlzado o programa ANSYS (1997). Foram utlzados dos elemetos: um deomado SHELL181 para modelagem do perfl e outro deomado SOLID45 para modelagem dos dspostvos de extremdade. Para serção das mperfeções geométrcas cas, fo realzada uma aálse de autovalor/autovetor, buscado detfcar os modos crítcos solados: flexo-torção e flexão para catoera smples; local, flexo-torção e flexão para catoera erjecda. A partr da cofguração Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

37 Sobre a establdade de catoeras de aço formadas a fro submetdas à compressão 31 deformada referete a cada um dos modos crítcos escolhdos para cada caso, fo adotado um crtéro a fm de se amplfcar ou reduzr esta ampltude, obtedo assm uma ova geometra de todos os ós da malha de elemetos ftos da barra. Vale frsar que houve uma sobreposção das mperfeções, procurado sempre a combação mas desfavorável. Tabela 5 Aálse probablístca de mperfeções [adaptado de Schafer & Peköz (1998)] P (Δ > d) Tpo 1 Tpo 2 Tpo 1 Tpo 2 P (Δ > d) d 1 /t d 2 /t d 1 /t d 2 /t 0,75 0,14 0,64 0,05 1,35 3,44 0,50 0,34 0,94 0,01 3,87 4,47 0,25 0,66 1, d2 d1 d2 Tabela 6 Aálse de sesbldade às mperfeções: perfl L 60x2,38 Imperfeção de flexo-torção Expermetal d 2 /t = 0,64 d 2 /t = 1,55 L Tpo r (mm) Aálse de establdade elástca: modo crítco N Exp (kn) Modo de falha N EF (kn) Modo de falha N EF (kn) Modo de falha I FT 31,0 FT 29,7 FT 26,2 FT I FT 36,1 FT 29,2 FT 26,6 FT I FT 29,0 FT 28,4 FT 26,2 FT I FT 39,8 F 27,2 FT 25,2 FT I FT 22,5 FT 25,5 FT 23,5 FT I FT 28,5 F 23,9 FT 21,9 FT I F 21,0 FT 21,3 FT 19,6 FT II FT 40,9 FT 49,7 FT 50,5 FT II FT 34,5 FT 41,0 FT 42,0 FT II FT 30,6 FT 37,3 FT 38,5 FT II FT 26,7 FT 34,9 FT 36,5 FT III FT 26,1 FT 30,1 FT 30,3 FT III FT 22,8 FT 27,6 FT 27,4 FT III FT 21,9 FT 24,3 FT 23,5 FT III FT 17,7 FT 19,1 FT + F 18,6 FT + F IV FT 38,0 FT 35,0 FT 34,7 FT IV FT 29,0 FT 28,5 FT 28,0 FT F = Istabldade por flexão; FT = Istabldade por flexo-torção. Para as mperfeções localzadas, foram utlzados os resultados da aálse probablístca CDF (fução de dstrbução cumulatva estmada) apresetados por Schafer & Peköz (1998) (Tabela 5), referetes às mperfeções em elemetos com bordas apoadas e elemetos com borda lvre. O valor típco de CDF é escrto como P (Δ>d) e dca a probabldade de que um valor de mperfeção selecoado aleatoramete (Δ) exceda um valor de mperfeção dscreto determístco (d), ou seja, probabldade de que os valores de mperfeção geométrca cal meddos e que costam desse baco de dados sejam maores que os adotados os modelos umércos. Para a catoera smples foram adotadas mperfeções do tpo 2 para o modo de flexo-torção, equato para a catoera erjecda foram adotadas mperfeções do tpo 1 para o modo local e do tpo 2 para o modo de flexo- Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

38 32 Waderso Ferado Maa & Maxmlao Malte torção. Para a mperfeção global de flexão fo adotado o valor de L/1500. Os resultados da aálse de sesbldade às mperfeções são apresetados as Tabelas 6 e 7. Em geral, os resultados da aálse umérca ão-lear de catoera smples em que foram adotadas as mperfeções de 0,64t para o modo de flexo-torção e L/1500 para o modo de flexão foram bastate coeretes com os resultados dos esaos (Tabela 6). Comparado os resultados dos esaos das barras tpo I com os valores da aálse umérca obteve-se uma relação méda N Exp /N EF de 1,12; com 0,88 N Exp /N EF 1,46. Para as barras tpo II, ota-se que os resultados dos esaos foram lgeramete ferores aos valores umércos, apresetado uma relação méda N Exp /N EF de 0,81; com 0,76 N Exp /N EF 0,84. Além dsso, as barras se mostraram pouco sesíves às mperfeções cas. Para as barras tpo III, os resultados dos esaos foram lgeramete ferores aos valores umércos, com uma relação méda N Exp /N EF de 0,88; com 0,83 N Exp /N EF 0,93. Para as barras tpo IV os valores da relação N Exp /N EF foram de 1,09 e 1,02 para as duas barras esaadas. A Fgura 11 lustra um típco modo de stabldade por flexo-torção observado a aálse umérca do perfl L 60x2,38. A mesma fgura mostra a dstrbução de tesões de vo Mses o state em que a barra atge a resstêca máxma. Fgura 11 Istabldade por flexo-torção e dstrbução de tesões de vo Mses em kn/cm 2 (perfl L 60x2,38). Pode-se observar a Tabela 7 que os resultados da aálse umérca de catoera erjecda com mperfeções de 0,14t, 0,64t e L/1500 para os modos local, de flexo-torção e de flexão, respectvamete, foram mas coeretes com os esaos, apresetado uma relação méda N Exp /N EF de 1,19; com 1,10 N Exp /N EF 1,33 para as barras tpo V. Para as barras tpo VI, a relação méda N Exp /N EF fo de 1,01; com 0,76 N Exp /N EF 1,19. As Fguras 12 e 13 lustram o típco modo de stabldade por flexo-torção observado a aálse umérca dos perfs Le 60x15x2,06 e Le 100x15x1,50. As mesmas fguras mostram a dstrbução de tesões de vo Mses o state em que as barras atgem as resstêcas máxmas. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

39 Sobre a establdade de catoeras de aço formadas a fro submetdas à compressão 33 Tabela 7 Aálse de sesbldade às mperfeções: perfs Le 60x15x2,06 e Le 100x15x1,50 Imperfeções local e de flexo-torção Aálse de Expermetal d 1 /t = 0,14 d 1 /t = 0,66 L Tpo r establdade d 2 /t = 0,64 d 2 /t = 1,55 (mm) elástca: Modo Modo Modo modo crítco N Exp N de EF N de EF de (kn) (kn) (kn) falha falha falha V FT 76,3 FT 59,7 FT 47,0 L + FT V.2 62,5 FT 730 FT V.3 58,9 FT 52,0 FT 41,3 L + FT V.4 43,1 FT 1090 FT V.5 43,8 FT 39,3 FT 32,4 FT V.6 40,0 F 1310 FT V.7 36,9 FT 32,6 FT 27,8 FT V.8 36,5 F 1530 FT V.9 32,0 FT 27,4 FT + F 23,5 FT + F V FT 27,3 FT 23,3 FT + F 20,4 FT + F V FT 25,7 F 20,2 FT + F 18,0 FT + F VI.1 32,1 L 535 FT VI.2 48,8 L 42,4 L 34,6 L + FT VI.3 40,4 FT 635 FT VI.4 43,8 FT 40,0 L + FT 30,7 L + FT VI.5 39,9 FT 735 FT VI.6 47,5 FT 39,8 L + FT 31,0 L + FT VI.7 25,1 FT 1135 FT VI.8 24,0 FT 26,1 FT 21,2 FT L = Istabldade local; F = Istabldade por flexão e FT = Istabldade por flexo-torção. Fgura 12 Istabldade por flexo-torção e dstrbução de tesões de vo Mses em kn/cm 2 (perfl Le 60x15x2,06). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

40 34 Waderso Ferado Maa & Maxmlao Malte Fgura 13 Istabldade por flexo-torção e dstrbução de tesões de vo Mses em kn/cm 2 (perfl Le 100x15x1,50). 4 MÉTODO DA RESISTÊNCIA DIRETA (MRD) No trabalho são apresetadas duas opções de aplcação para o MRD. Na opção 1, para o modo global, cosdera-se o mímo etre flexão e flexo-torção para cálculo da força ormal resstete. Na opção 2, cosdera-se apeas flexão para o modo global. Como a catoera smples ão apreseta poto de mímo defdo, utlza-se para o modo local o poto ode as curvas FT e F se terceptam (FT*) (Fgura 14). Etede-se que é um procedmeto prátco para ser utlzado em projetos. Nas Fguras 14 e 15 são apresetadas as aálses de establdade elástca realzadas o programa CUFSM para os perfs L 60x2,38 e Le 100x15x1,50. Na Tabela 8 são apresetados os resultados dos esaos comparados com as opções propostas para aplcação do MRD. FT Tesão ref.: 357 MPa Half-wavelegth: mm FT* F Fgura 14 Aálse de establdade elástca (CUFSM): perfl L 60x2,38. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

41 Sobre a establdade de catoeras de aço formadas a fro submetdas à compressão 35 L Tesão ref.: 205 MPa Half-wavelegth: mm FT F Fgura 15 Aálse de establdade elástca (CUFSM): perfl Le 100x15x1,50. Para a catoera smples (tpos I e II), a opção 1 fo mas coerete com os resultados dos esaos. Quado comparados com a opção 2 ota-se que a maora dos resultados resultam cotra a seguraça, reafrmado a ecessdade de se cosderar o modo global de flexo-torção o cálculo da força ormal resstete. Para a catoera erjecda, seção Le 100x15x1,50 (tpo VI), a opção 1 fo a que mas aproxmou dos resultados expermetas, porém ota-se que a maora dos resultados resultaram cotra a seguraça. É mportate observar que esse fato também ocorreu ao se comparar os resultados expermetas com os valores calculados pelo método da largura efetva. Como o perfl apreseta aba muto esbelta, as prevsões teórcas podem coduzr a resultados cotra a seguraça, tedo em vsta a grade sesbldade às mperfeções geométrcas. Tabela 8 Opções para aplcação do MRD comparadas com os resultados dos esaos Tpo N Exp (kn) Opção 1 Opção 2 N MRD (kn) N Exp /N MRD N MRD (kn) N Exp /N MRD I.1 31,0 26,5 1,17 51,2 0,61 I.2 29,0 26,4 1,10 41,8 0,69 I.3 22,5 26,2 0,86 30,9 0,73 I.4 21,0 22,5 0,93 22,5 0,93 I.5 36,1 26,4 1,37 47,0 0,77 I.6 39,8 26,3 1,51 36,9 1,08 I.7 28,5 26,1 1,09 26,6 1,07 II.1 40,9 26,5 1,54 56,7 0,72 II.2 34,5 26,4 1,31 53,9 0,64 II.3 30,6 26,2 1,17 50,1 0,61 II.4 26,7 26,0 1,03 45,5 0,59 VI.1 32,1 49,2 0,65 54,9 0,58 VI.2 48,8 49,2 0,99 54,9 0,89 VI.3 40,4 46,8 0,86 54,6 0,74 VI.4 43,8 46,8 0,94 54,6 0,80 VI.5 39,9 44,2 0,90 54,2 0,74 VI.6 47,5 44,2 1,07 54,2 0,88 VI.7 25,1 31,8 0,79 52,0 0,48 VI.8 24,0 31,8 0,75 52,0 0,46 5 CONCLUSÕES Para as catoeras submetdas à compressão cetrada os resultados expermetas apresetaram, de modo geral, valores termedáros etre os obtdos com base os procedmetos Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

42 36 Waderso Ferado Maa & Maxmlao Malte teórcos apresetados. Portato, cosderar o cálculo da força ormal resstete apeas o modo global de flexão coduz a resultados cotra a seguraça, por outro lado, cosderar o modo de flexotorção mplca em resultados coservadores. Cosderado o procedmeto teórco sem redução da área (A ef = A), para a catoera smples, os resultados apresetaram pequeas dfereças em relação ao procedmeto ormatvo que cosderou a área efetva, em méda houve um aumeto de 15% o valor teórco de resstêca das barras os casos aqu estudados. Para a catoera erjecda com aba de elevada esbeltez (tpo VI) obteve-se resultados expermetas sesvelmete abaxo dos valores teórcos equato outros resultaram acma dos mesmos (Fgura 7), refletdo a sgfcatva sesbldade da resposta quato às mperfeções locas, o que fo cofrmado pela aálse umérca. Para as catoeras submetdas à compressão excêtrca (lgação parafusada) pôde-se costatar que as barras coectadas por um úco parafuso (tpo III), o procedmeto teórco cosderado compressão cetrada resultou cotra a seguraça. Cosderado os mesmos casos, porém com dos parafusos a lgação (tpo IV), os resultados expermetas apresetaram valores sesvelmete mas elevados que o procedmeto teórco que cosderou o modo de flexo-torção e abaxo do procedmeto que cosderou apeas o modo de flexão (Fgura 5). Nesse caso a lgação proporcoou uma maor restrção à rotação das extremdades o plao da aba coectada (flexão) e também em relação ao exo logtudal (torção). Portato, pode-se coclur que para dos ou mas parafusos a dreção da solctação o modelo teórco admtdo compressão cetrada resulta satsfatóro. Sobre a aálse umérca desevolvda esse trabalho, os resultados com mperfeções para o quatl de 75% de probabldade de excedêca (mperfeções baxas), coforme apresetado por Schafer & Peköz (1998), para os modos local e de flexo-torção e L/1500 para o modo de flexão foram os que mas se aproxmaram dos resultados expermetas. Como coclusão geral, pode-se relatar que a resposta das catoeras é muto sesível ao tpo e ampltude das mperfeções. Assm, a força ormal de compressão resstete das barras com mperfeções locas e de flexo-torção tederam para os valores do procedmeto teórco que cosderou o modo de flexo-torção, equato barras com mperfeções de flexão tederam para o modelo teórco que cosderou apeas o modo de flexão. Em vsta do caráter aleatóro das mperfeções, as quas depedem de dversos fatores que ão podem ser cotablzados em projeto, etede-se que seja prudete cosderar como procedmeto de cálculo aquele que cosdera o modo de flexo-torção. 6 AGRADECIMENTOS Os autores agradecem a CAPES e ao Covêo de cooperação técca etre USIMINAS e FIPAI a área de costrução metálca pelos recursos faceros coceddos. 7 REFERÊNCIAS AISI. Drect Stregth Method (DSM) Desg Gude CF06-1. Commttee o Specfcatos for the Desg of Cold-Formed Steel Structural Members, Washgto, D.C., ANSI/AISI S100. North Amerca Specfcato for the Desg of Cold-Formed Steel Structural Members. Washgto, D.C., ANSYS. Structural oleartes: user s gude for revso 5.5, Housto. v.1, 1997 Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

43 Sobre a establdade de catoeras de aço formadas a fro submetdas à compressão 37 CHODRAUI, G. M. B. Aálse teórca e expermetal de perfs de aço formados a fro submetdos à compressão Tese (Doutorado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, Dmesoameto de estruturas de aço costtuídas por perfs formados a fro (Muta 6). Edção Julho de Texto-base de revsão da ABNT NBR 14762:2001 MAIA, W. F. Sobre a establdade de catoeras de aço formadas a fro submetdas à compressão Dssertação (Mestrado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, MAIA, W. F.; MUNAIAR NETO, J.; MALITE, M. Stablty of cold-formed steel smple ad lpped agles uder compresso. I: LABOUBE, R. A.; YU, W. W. (Ed). Recet research ad developmets cold-formed steel desg ad costructo. Rolla, Mssour, USA: Mssour Uversty of Scece & Techology, RASMUSSEN, K. J. R. Desg of Agle Colums wth Locally Ustable Legs. Departmet of Cvl Egeerg. Research Report No. R830, Uversty of Sydey, Australa, SCHAFER, B. W.; PEKÖZ, T. Computatoal modelg of cold-formed steel: characterzg geometrc mperfectos ad resdual stresses. Joural of Costructoal Steel Research, v. 47, p , SCHAFER, B. W. Fte strp aalyss of th-walled members. I: CUFSM. Corell Uversty, Fte Strp Method, Ithaca, USA, YOUNG, B. Tests ad desg of fxed-eded cold-formed steel pla agle colums. Joural of Structural Egeerg, v. 130,. 12, p , YOUNG, B. Expermetal vestgato of cold-formed steel lpped agle cocetrcally loaded compresso members. Joural of Structural Egeerg, v. 131,. 9, p , Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

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45 ISSN ESTUDO DO EFEITO DE CONFINAMENTO DO CONCRETO EM PMP CURTOS Walter Luz Adrade de Olvera 1 & Aa Lúca Homce de Cresce El Debs 2 Resumo Além de mportates aspectos costrutvos dos plares mstos preechdos (PMP), destaca-se o cofameto. Na etapa cal de carregameto, ada ão há a separação etre o aço e o cocreto. Cotudo, com a elevação da força o processo de mcrofssuração se tesfca, a expasão lateral do materal atge o valor máxmo e, etão, o perfl tubular é solctado tesamete, cofado o cocreto. Este trabalho apreseta os resultados expermetas de 8 plares. Os plares possuíam D=114,3mm e L=343mm, resultado em uma relação L/D = 3. Os plares possuíam duas espessuras de tubo: t=3,35mm e t=6,0mm. Foram utlzados cocretos de classes C30, C60, C80 e C100. Fo verfcado que o efeto do cofameto dmu com o aumeto de f c e com a redução de t. Os resultados expermetas foram comparados com os obtdos segudos os cálculos com dferetes códgos ormatvos. Palavras-chave: Plares mstos preechdos. Seção crcular. Cofameto. Aálse expermetal. CONFINEMENT EFFECT IN CFT SHORT COLUMNS Abstract Beyod good costructve aspects of cocrete-flled steel tubular colums (CFT), there are the cofemet effect. I the frst stages of loadg the cofemet ca bee eglected, sce the Posso coeffcet of the cocrete s smaller tha the steel s coeffcet. At ths pot, the steel tube s subjected to compressve stresses, wth o separato betwee the tube ad the cocrete core. However, wth the crease of the appled load, the mcrocrackg of cocrete s creased. I ths stuato, the lateral expaso of the cocrete reaches ts maxmum, moblzg the steel tube ad effcetly cofg the cocrete core. Ths work show the results of 8 colums tested. The testd specmes were D=114.3mm ad L=343mm, resultg L/D=3. The tube thckess were t=3.35mm ad t=6.0mm. The tested colums were flled by cocrete wth compressve stregths of 30, 60, 80, ad 100MPa. It was foud that the cofemet effect decreases wth the crease of fc ad the decrease of t. Test results were compared wth 4 code predctos. Keywords: Cocrete-flled steel tubular colums. Crcular cross secto. Cofemet. Expermetal aalyss. 1 INTRODUÇÃO Nas últmas décadas, o desevolvmeto e a aplcação do cocreto de alta resstêca (CAR) vêm crescedo o mudo. A utlzação desse materal em plares de cocreto armado fo tema de estudo de algus pesqusadores, destacado-se: Sarg et al. (1971); Ket e Park (1971), Shekh e Uzumer (1982), Mader et. al. (1988), Agost (1992), Saatcoglu e Razv (1992), Cusso e Paultre (1992 e 1995), Pava (1994), Lma Júor (2003), Légero e Paultre (2003), Olvera e Gogo (2003). O aumeto da resstêca à compressão do cocreto possblta a redução da seção trasversal do plar, requeredo meos cocreto, reduzdo o peso própro e permtdo a execução de vãos maores. Cotudo, um dos maores coveetes da utlzação do CAR é a ecessdade de uma armadura 1 Doutor em Egehara de Estruturas - EESC-USP, wluz@sc.usp.br 2 Professora do Departameto de Egehara de Estruturas da EESC-USP, aaluca@sc.usp.br Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

46 40 Walter Luz Adrade de Olvera & Aa Lúca Homce de Cresce El Debs trasversal mas efcete para cofar o cocreto, ductlzado seu comportameto e mmzado a ocorrêca de perda do cocreto do úcleo do plar. Isso pode ser resolvdo utlzado meor espaçameto etre os estrbos. A cofguração dos estrbos é de grade mportâca e seu espaçameto deve ser o meor possível, dexado espaço sufcete para uma cocretagem adequada. Mesmo assm, há a formação de um plao de separação etre cocreto cofado e sem cofameto (cobrmeto), havedo rsco de perda prematura desse cobrmeto (cover spallg). Dessa maera, a utlzação de plares mstos preechdos (PMP) oferece uma solução compettva para a utlzação do CAR, já que todo o úcleo de cocreto fca cofado pelo tubo de aço (JOHANSSON, 2002a). Os plares mstos preechdos, pelas suas vatages, vêm sedo cada vez mas utlzados em aplcações estruturas em todo o mudo. Em algus países da Ása e da Oceaa sso é devdo, partcularmete, à sua propredade de resstr melhor aos efetos de abalos sísmcos, pelo aumeto da resstêca do plar por cota do cofameto, pela alta ductldade promovda pelo tubo de aço e pela grade capacdade de absorção de eerga (JOHANSSON & GYLLTOFT, 2001). Esses plares têm sdo usados em potes de portos submetdas a mpacto devdo ao tráfego, em plares de reservatóros e em plares de edfícos altos. Etretato, para utlzação em estruturas ode há maor rsco de cêdos, os plares preechdos ecesstam de proteção adcoal cotra o fogo, utlzado amaduras adcoas ou cocreto reforçado com fbras (SHANMUGAM & LAKSHMI, 2001). Além de vatages mecâcas, a utlzação dos plares mstos preechdos possblta ecooma com fôrmas, já que o tubo de aço resste às ações da fase costrutva até que o cocreto possa colaborar, e possblta a redução da seção trasversal quado comparadas com plares de cocreto armado. Por esses e outros motvos, os plares mstos preechdos vêm sedo estudados por dversos pesqusadores ao redor do mudo De maera geral, um plar msto de aço e cocreto é um elemeto estrutural sujeto a forças predomates de compressão, o qual a parcela de aço é formada por um ou mas perfs de aço estrutural. Em fução da posção que o cocreto ocupa a seção msta, os plares podem ser classfcados como revestdos ou preechdos. Os plares mstos revestdos caracterzam-se por um ou mas perfs de aço totalmete evolvdos por cocreto (Fgura 1a). Estes perfs podem ser dos tpos I, U, C, L, etc. A preseça do cocreto estrutural como revestmeto do perfl promove um aumeto a capacdade resstete da seção de aço, pos os dos materas trabalham em cojuto, mmzado os feômeos de flambagem local e global do plar de aço e fucoado como proteção cotra o fogo e a corrosão. Além do aspecto de proteção, outra vatagem atrbuída aos plares revestdos é a varabldade de formas que a seção fal msta pode apresetar (DE NARDIN, 1999). a) Plares revestdos b) Plares preechdos Fgura 1 Plares mstos revestdos e preechdos. Os plares mstos preechdos são elemetos estruturas resultates da assocação de um tubo de aço preechdo com cocreto de qualdade estrutural (cocreto de resstêca à compressão gual ou superor a 20MPa). Pela posção que o tubo ocupa a seção, geralmete ão se usa armadura logtudal composta por barras de aço e, por sso, sua execução se tora bastate smplfcada em Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

47 Estudo do efeto de cofameto do cocreto em PMP curtos 41 relação à execução dos plares de cocreto armado. A Fgura 1b apreseta algumas das seções trasversas mas utlzadas. Quado comparados a plares de cocreto armado, os plares mstos preechdos dspesam o uso de fôrmas e cmbrameto, resultado em ecooma de materal e mão-de-obra. Outra mportate característca é a redução sgfcatva do peso própro da estrutura, pos, para resstr a uma determada carga, os plares mstos preechdos possuem seção trasversal meor que os elemetos de cocreto armado, por exemplo. (SHAMS & SAADEGHVAZIRI, 1997; SAW & LIEW, 2000; GIAKOUMELIS & LAM, 2004). Além dessas característcas, os plares mstos preechdos possuem maor ductldade e teacdade do que os plares de cocreto armado. (ELR Y & AZIZINAMINI, 2002). Segudo Y et. al. (2006), a desvatagem em relação aos plares de cocreto armado é a baxa resstêca ao fogo, pelo fato do aço exposto ser meos resstete ao fogo que o cocreto. Em relação aos plares de aço, os plares mstos preechdos apresetam maor capacdade resstete e rgdez com a utlzação de uma quatdade meor de aço estrutural sedo, por esse motvo, mas ecoômcos. Segudo Saw e Lew (2000), os plares mstos preechdos possuem maor resstêca ao fogo dos que os plares de aço. Um fator que tem mpulsoado a utlzação dos plares mstos preechdos é a possbldade de obter cocretos cada vez mas resstetes. O surgmeto de ovas classes de cocreto favorece a utlzação dos plares preechdos, pos o comportameto frágl do materal cocreto é mmzado com a ação das pressões lateras que oferecem resstêca à sua tetatva de expasão quado comprmdo. A este efeto chama-se cofameto. 2 O EFEITO DE CONFINAMENTO DO CONCRETO 2.1 Geeraldades A busca pelo etedmeto do efeto de cofameto do cocreto fo um dos prcpas objetvos das pesqusas realzadas ao logo dos aos com plares de cocreto armado submetdos à compressão cetrada. As pesqusas mas recetes sobre o assuto foram realzadas por Mader et. al. (1988), Saatcoglu e Razv (1992), Cusso e Paultre (1995) e o Brasl, as referêcas são Agost (1992), Pava (1994), Lma Júor (2003) e Olvera e Gogo (2003). Já o caso do plar msto preechdo ada exstem lacuas e dversos aspectos merecem ser estudados. Nos plares de cocreto armado o cocreto pode ser submetdo a um estado traxal de tesões, por meo do cofameto por armaduras trasversas. Essas armaduras podem ser formadas por estrbos com pequeo espaçameto, por tubos de aço, ou ada por tubos de materas compóstos. Em todos esses casos, as armaduras trasversas geram cofameto passvo. Assm, para baxas tesdades de força aplcada, a expasão lateral do cocreto é desprezível; coseqüetemete, a armadura trasversal pratcamete ão é solctada e o comportameto do cocreto cofado é semelhate ao do cocreto ão cofado. Com a elevação da força para tesdades da resstêca uaxal do materal cofado, o processo de mcrofssuração se tesfca, a expasão lateral aumeta rapdamete e, etão, a armadura trasversal é solctada tesamete, cofado o cocreto. A armadura de cofameto é muto utlzada em plares de cocreto armado, com o objetvo de aumetar a capacdade resstete à compressão e melhorar o seu comportameto o tocate à ductldade. Cusso e Paultre (1992) explcam que sso acotece porque a dstrbução das tesões de cofameto logtudalmete, etre os estrbos, tem a forma de arco; dessa maera, quato meor o espaçameto etre os estrbos, melhor será o efeto de cofameto. Segudo Cusso e Paultre (1995), um maor espaçameto etre os estrbos dexa um volume de cocreto sem cofameto, que pode se despreder do elemeto durate o carregameto da estrutura por causa do gradete tero Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

48 42 Walter Luz Adrade de Olvera & Aa Lúca Homce de Cresce El Debs de tesões, coforme mostrado a Fgura 2a. Segudo Olvera e Gogo (2003), devdo à fragldade pós-pco do cocreto de alta resstêca, é ecessára a utlzação de maor taxa de armadura trasversal para que o plar apresete comportameto dúctl, semelhate a um plar moldado com cocreto de resstêca usual e meor taxa de armadura trasversal. Em relação ao comportameto estrutural dos plares mstos preechdos, destaca-se o cofameto do úcleo de cocreto. Segudo Susatha et. al. (2001), Shamugam e Lakshm (2001), Johasso (2002b), Johasso e Åkesso (2002) e Sako et. al. (2004), as prmeras etapas de carregameto o efeto de cofameto do cocreto ão é exgdo, pelo fato do coefcete de Posso do cocreto ser meor que o do aço. Nesta etapa de carregameto, o aço está submetdo a tesões de compressão e o cocreto está em fase de expasão, ão havedo ada a separação etre o aço e o cocreto. Cotudo, com a elevação da força para tesdades da resstêca uaxal do cocreto, o processo de mcrofssuração se tesfca, a expasão do materal cofado atge o patamar a poto de solctar o tubo de aço, cofado o cocreto. Observa-se, etão, que o valor da capacdade resstete do plar preechdo é superor à soma dos valores das parcelas de resstêca correspodetes ao tubo de aço (As fy) e ao úcleo de cocreto (Ac fc). A tesão gerada pelo cofameto é resposável pelo acréscmo a capacdade resstete à compressão uaxal do plar preechdo. Nesta stuação, o cocreto está submetdo a um estado traxal de tesões e o tubo de aço, a um estado baxal de tesões. Segudo Shams e Saadeghvazr (1997), Scheder (1998) e Shamugam e Lakshm (2001), apeas os plares de seção crcular apresetam esse acréscmo de resstêca devdo ao estado traxal de tesões (Fgura 2b). Esse acréscmo ão é percebdo os plares de seção quadrada e retagular, como apresetado a Fgura 2c. Isso porque os lados dos plares de seção quadrada ão são rígdos o sufcete para resstr à pressão exercda pelo cocreto em expasão, dessa maera, apeas o cocreto stuado a porção mas cetral e os catos da seção quadrada estão cofados. a) Plares de cocreto armado b) Seção quadrada c) Seção crcular Fgura 2 Arqueameto das tesões de cofameto os plares de CA e efeto da seção trasversal em plares mstos preechdos. 2.2 Fatores fluetes o efeto de cofameto Resstêca à compressão do cocreto (f c ) Os estudos sobre cofameto em plares mstos preechdos também mostraram que elemetos preechdos com cocreto de resstêca usual (CRU), por apresetarem maor capacdade de deformar-se ates da ruptura, recebem uma cotrbução maor do cofameto para sua capacdade resstete que aqueles preechdos com cocreto de alta resstêca (CAR). Neste últmo caso, os estudos de O Shea e Brdge (2000) mostram que a ductlzação do cocreto de alta resstêca resulta em pequeos acréscmos de capacdade resstete. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

49 Estudo do efeto de cofameto do cocreto em PMP curtos Esbeltez local (D/t) Segudo Huag et. al. (2002), Vrcelj e Uy (2002) Zeghche e Chaou (2005) e Gupta et. al. (2006), o aumeto da relação D/t (Dâmetro por espessura do tubo) também reduz o efeto do cofameto e da capacdade resstete do plar, por torá-lo mas susceptível ao efeto da flambagem local. Para Brdge e O Shea (1998) e Uy (1998), os plares mstos preechdos são projetados para que grade parte da solctação seja resstda pelo cocreto; sso possblta o uso de tubos de aço de pequea espessura, o que resulta em certa ecooma o cosumo de aço. Por outro lado, a reduzda espessura do tubo o tora mas susceptível aos efetos da stabldade local da seção trasversal. 3 DIMENSIONAMENTO SEGUNDO AS NORMAS Aqu são apresetadas as equações de dmesoameto da NBR 8800:2008, do Eurocode 4:2004, ANSI/AISC:2005 e CAN/CSA:2001. É apresetada a formulação exstete essas ormas para o cálculo da capacdade resstete de plares mstos preechdos de seção crcular, submetdos à compressão smples. Os termos e expressões usados são apresetados, também, os textos-base dos códgos ormatvos apresetados. 3.1 NBR 8800:2008 A força axal resstete de cálculo, de plares mstos axalmete comprmdos sujetos à stabldade por flexão, é dada pela (3.1). Como, este trabalho, ão foram adotadas barras de armadura adcoas colocadas detro dos plares, as parcelas correspodetes a esta cotrbução foram suprmdas das expressões doravate apresetadas. N Rd f A f A =χ +α γa γc y a ck c (3.1) ode, A c é a área da seção trasversal do cocreto; f ck é a resstêca característca do cocreto à compressão; γ c é o coefcete de moração da resstêca do cocreto, gual a 1,40, γ a é o coefcete de moração da resstêca do aço, gual a 1,10 e α é gual a 0,85 para seção retagular ou quadrada e 0,95 para crcular. 3.2 Eurocode 4:2004 Para a orma Européa BS EN :2004, que este trabalho será tratada como Eurocode 4:2004 e, em algus casos, apeas como EC4, a redução da resstêca do cocreto pelo coefcete 0,85 pode ser omtda para os plares mstos preechdos, já que o cocreto ecotra-se protegdo dos efetos do meo ambete. O efeto de cofameto é cosderado quado a esbeltez relatva λ é meor que 0,5 e a excetrcdade da carga ão excede 10% do dâmetro extero do tubo. A força ormal resstete de cálculo à plastfcação total da seção trasversal do plar preechdo de seção crcular é calculada pela (3.2). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

50 44 Walter Luz Adrade de Olvera & Aa Lúca Homce de Cresce El Debs fy Aa fck A f c t y Np,Rd =χ ηa + 1+ηc γa γc D fck (3.2) a qual, η c é o fator que ampla a resstêca do cocreto quado cofado e, η a é o fator de redução da resstêca do aço. 3.3 ANSI/AISC 360:2005 A orma amercaa para estruturas de aço permte a utlzação do coefcete 0,95 em substtução ao coefcete 0,85, como forma smplfcada de cosderar o efeto de cofameto a amplação da resstêca à compressão do cocreto. Além dsso, a utlzação de cocreto de alta resstêca é permtda para o cálculo do módulo de elastcdade, podedo se esteder para o dmesoameto da seção trasversal, se forem realzados esaos e aálses adequados. Segudo o ANSI/AISC 360:2005, a capacdade resstete à compressão é calculada dretamete como força, equato o AISC-LRFD:1994 coverta tesões equvaletes em força. Além dsso, a relação etre áreas de aço e cocreto a seção trasversal pode ser meor que 1%. A capacdade resstete (P) é calculada pela (3.3). P=φ P c (3.3) O coefcete de seguraça φ c é tomado gual a 0,75 (LRFD Load ad Resstace Factor Desg). O valor de P pode ser obtdo empregado as (3.4) ou (3.5), que levam em cosderação os efetos da stabldade global e são fução da relação P 0 /P e : P P 0,658, se P 0,44 P P0 Pe = 0 e 0 (3.4) P = 0,877 P e, se Pe < 0,44 P (3.5) CAN/CSA S16-01:2001 (3.6). A capacdade resstete do plar msto preechdo segudo a orma caadese é dada pela 2 ( ) ( ) 1 C = τ φ A f +τ φ A f 1+λ rc s y c c c (3.6) a qual, τ = τ = 1, exceto para plares mstos preechdos de seção crcular com relação L/D meor que 25. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

51 Estudo do efeto de cofameto do cocreto em PMP curtos 45 4 ANÁLISE EXPERIMENTAL Foram esaados 8 plares mstos preechdos de seção crcular com as característcas apresetadas a Tabela 1. Em relação à omeclatura dos elemetos, a desgação de cada plar segue o procedmeto: a P1-60-3D-E b c d a) Espessura do tubo de aço: 1 3,35mm; 2 6mm; b) Resstêca à compressão do cocreto: 30MPa, 60MPa, 80MPa ou 100MPa; c) Relação altura / dâmetro do tubo (L/D): 3D; d) Tpo de carregameto aplcado: E Na seção msta. Tabela 1 Característcas geométrcas e resstêca do cocreto e do aço para os plares Plar D (mm) L (mm) t (mm) f y (MPa) f c (MPa) P1-30-3D-E 32,68 P1-60-3D-E 58,68 3,35mm 287,3 P1-80-3D-E 88,78 P D-E 105,45 114,3 342,9 P2-30-3D-E 32,68 P2-60-3D-E 58,68 6,0mm 343,0 P2-80-3D-E 88,78 P D-E 105,45 a) Istrumetação tera b) Cocretagem c) Istrumetação extera Fgura 3 Preparação dos plares para esao. A Fgura 3 apreseta detalhes da preparação dos plares para os esaos. A Fgura 3a mostra a barra usada para strumetação tera do plar, com extesômetros colados de modo a medr deformações radas e logtudas. Na fgura 3b é apresetado um plar o mometo da cocretagem e, detalhes da strumetação extera, são mostrados a Fgura 3c. Para a strumetação extera Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

52 46 Walter Luz Adrade de Olvera & Aa Lúca Homce de Cresce El Debs foram usados 4 trasdutores de deslocameto poscoados ao redor do plar e ada 4 extesômetros colados ao tudo, 2 para medr deformação radal e 2 deformação logtudal. 5 RESULTADOS DOS ENSAIOS Os plares curtos (L/D = 3) apresetaram ruptura por esmagameto do úcleo de cocreto, agravado pela flambagem local do tubo de aço do elemeto, após ser atgda a resstêca ao escoameto do aço. A Fgura 4 apreseta algus detalhes da cofguração fal dos plares com esbeltez L/D = 3. a) P1-60-3D-E b) P2-60-3D-E Fgura 4 Cofguração fal dos plares com relação L/D = 3. A fluêca da espessura do tubo pode ser aalsada comparado as Fgura a e Fgura b, cujos modelos possuem os mesmos cocretos e a mesma codção de carregameto. Neste cotexto, o aumeto da espessura do tubo uformza e dstrbu a deformação radal do plar, ão permtdo que a deformação se cocetre apeas a regão cetral. Também é possível verfcar (Fgura 4b) que o cofameto mposto pelo equpameto de esao as extremdades do plar, quado o mesmo é solctado a seção msta, leva à ocorrêca de stabldade local próxmo às extremdades e reduz a deformação radal a regão cetral. Nos plares com relação L/D = 3 houve aumeto sgfcatvo da seção trasversal do plar, sem redução brusca da capacdade resstete como mostram os dagramas Força vs. Deformação axal as Fgura 5a e b. Para algus elemetos ão fo possível obter o trecho pós-pco até a deformação de 30 por cota de problemas durate os esaos. Nos dagramas a lha tracejada dca a deformação correspodete ao escoameto do aço. Fo estabelecdo um crtéro para defr a força máxma expermetal dos plares. Nos casos em que a força máxma ocorre para deformações superores a 30, é adotado o valor correspodete a esta deformação. Este fato fo observado os plares preechdos com cocreto de 30MPa e 60MPa (Fgura 5b). Isso se justfca, pos para deformações tão elevadas ão se tem mas um elemeto estrutural com aparêca que propce seguraça pos os materas compoetes já atgram os valores de deformação correspodetes à ruptura covecoal. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

53 Estudo do efeto de cofameto do cocreto em PMP curtos Força (kn) ε y = -2,0 P1-3D-E C30 C60 C80 C100 Força (kn) ε y = -1,5 P2-3D-E C30 C60 C80 C Deformação ( ) Deformação ( ) a) Plares com tubo de 3,35mm b) Plares com tubo de 6,0mm Fgura 5 Dagramas Força vs. Deformação dos plares esaados. O comportameto geral dos dagramas Força vs. Deformação axal mostra que os plares preechdos com cocreto de meor resstêca à compressão apresetam comportameto que tede ao elasto-plástco perfeto o tocate ao gaho de resstêca após ser atgdo o pco de resstêca. Isso dca que o efeto de cofameto é mas proucado os plares com cocreto de resstêca usual, cocordado com o que fo apresetado o tem Isto é evdete os plares preechdos com cocreto de classes C30 e C60. 6 COMPARAÇÃO COM AS PREVISÕES NORMATIVAS Para efeto de dmesoameto, foram usados os valores de módulo de elastcdade do cocreto calculados de acordo com as expressões exstetes em cada uma das ormas para prevsão da força resstete. Para efeto de verfcação da parcela de acréscmo de resstêca do cocreto (ηc), exstete a formulação do EC4, foram cosderadas as duas possbldades: cosderação das parcelas ηc e ηa atrbuídas ao cofameto e sem o efeto do cofameto (ηc = 0 e ηa = 1, apresetados a colua EC4*). A Tabela 2 apreseta os resultados expermetas e ormatvos para os plares das séres P1 e P2. Tabela 2 Resultados de força expermetal e ormatva Plar F exp NBR EC4 ANSI/AISC CAN/CSA EC4* P1-30-3D-E ,81 813,35 615,51 804,89 632,67 P1-60-3D-E , ,85 838, ,73 869,09 P1-80-3D-E 1136,2 1102, , , , ,80 P D-E 1453,1 1246, , , , ,38 P2-30-3D-E 1075,4 955, ,70 951, ,05 968,71 P2-60-3D-E 1329,1 1158, , , , ,42 P2-80-3D-E , , , , ,82 P D-E 1683,4 1523, , , , ,84 Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

54 48 Walter Luz Adrade de Olvera & Aa Lúca Homce de Cresce El Debs A Fgura 6 apreseta grafcamete os resultados da Tabela 2. Para os plares das séres P1 e P2 verfca-se um aumeto da capacdade resstete em fução do aumeto da resstêca à compressão do cocreto. Os resultados gráfcos mostram que as ormas EC4 e CAN/CSA superestmam a capacdade resstete dos plares a grade maora dos casos Força (kn) P1-30-3D-E P1-60-3D-E P1-80-3D-E P D-E P2-30-3D-E P2-60-3D-E P2-80-3D-E P D-E Expermetal NBR 8800:2007 EC4:2004 ANSI/AISC:2005 CAN/CSA S16-01:2001 EC4* Fgura 6 Força últma expermetal e ormatva. As Tabelas 3 e 4 apresetam as relações etre força expermetal e ormatva para os plares das séres P1 e P2, respectvamete. Os resultados dos plares da sére P1 mostram que a NBR e o ANSI apresetam os valores mas coservadores do cojuto, com os resultados expermetas 13% e 13,6%, em méda, acma dos prevstos por essas ormas, respectvamete. No caso da sére P2, os resultados da prevsão va ormas são também coservadores; os valores expermetas são 11,3% e 11,8% maores que os prevstos pela NBR e pelo ANSI, respectvamete. Tabela 3 Relação etre força expermetal e ormatva para a sére P1 Plar F exp /F NBR F exp /F EC4 F exp /F ANSI F exp /F CAN F exp /F EC4* P1-30-3D-E 1,193 0,906 1,197 0,916 1,165 P1-60-3D-E 1,130 0,919 1,135 0,947 1,095 P1-80-3D-E 1,031 0,877 1,036 0,918 0,994 P D-E 1,166 1,008 1,173 1,063 1,123 Méda 1,130 0,927 1,136 0,961 1,094 Desvo padrão 0,071 0,057 0,071 0,070 0,073 Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

55 Estudo do efeto de cofameto do cocreto em PMP curtos 49 Se levarmos em cosderação o dmesoameto segudo o EC4, sem cosderar a parcela de acréscmo de resstêca do cocreto (η c ) e de pealzação do aço (η a ) devdo ao cofameto, os valores ormatvos são ferores aos expermetas, mas mas próxmos, em méda, apresetado, 9,4% e 8,9% de dfereça para os plares das séres P1 e P2, respectvamete. Tabela 4 Relação etre força expermetal e ormatva para a sére P2 P2-30-3D-E 1,126 0,826 1,130 0,805 1,110 P2-60-3D-E 1,147 0,886 1,153 0,876 1,124 P2-80-3D-E 1,074 0,865 1,079 0,866 1,046 P D-E 1,105 0,906 1,111 0,913 1,074 Méda 1,113 0,871 1,118 0,865 1,089 Desvo padrão 0,031 0,035 0,031 0,045 0,035 Para os plares da sére P1, o EC4 e o CAN apresetam valores, em méda, cotra a seguraça, porém, para os plares preechdos com cocreto de alta resstêca, o equacoameto dessas ormas pealza de maera satsfatóra a capacdade resstete dos plares. O problema resde o dmesoameto dos plares preechdos com cocretos de baxas resstêcas, para os quas essas ormas prevêem valores bem acma dos expermetas. Nos plares da sére P2 os resultados são ada mas cotra a seguraça segudo o EC4 e o CAN. Os valores expermetas fcam 12,9% e 13,5% abaxo dos prevstos pelo EC4 e pelo CAN, respectvamete. O por resultado para os plares da sére P2, comparado-se com os resultados da sére P1, segudo o dmesoameto dessas ormas, se deve ao acréscmo de resstêca do cocreto calculado por essas ormas por cota do maor efeto de cofameto proporcoado pelo tubo de maor espessura. De maera geral, o EC4 e o CAN superestmam a capacdade resstete dos plares. Uma possível justfcatva é de que a formulação mas complexa para levar em cota acréscmo de resstêca devdo ao efeto de cofameto do cocreto esteja superestmado demas a capacdade resstete dos plares preechdos com cocreto de meor resstêca. Isso se justfca, pos, as equações de dmesoameto, exstem em ambas as ormas uma parcela que leva em cosderação a relação f y /f c. Para os plares de uma sére, o valor de f y se matém costate e f c vara, de tal maera que para o meor valor de resstêca do cocreto a parcela aumeta de valor, e essa cotrbução aumeta a capacdade resstete do plar. 7 CONCLUSÕES Os plares curtos (L/D = 3) da sére P1 (tubo de 3,35mm de espessura) apresetaram ruptura por esmagameto do úcleo de cocreto, agravado pela flambagem local do elemeto após ser atgda a tesão de escoameto do aço. Para os plares da sére P2, cujos tubos possuem maor espessura (t = 6,0mm), a ruptura também fo caracterzada pelo esmagameto do cocreto, mas os efetos da flambagem local são meos aparetes devdo à maor resstêca do tubo a este efeto. Ada em relação aos plares da sére P2, estes apresetaram comportameto pós-pco com alto grau de ductldade ou seja, elevados valores de deformação axal sem perda brusca da capacdade resstete. Esta elevada deformação axal ocorreu também para os plares preechdos com cocretos de alta resstêca (80MPa e 100MPa). A redução a espessura do tubo de aço plares da sére P1 resultou em ductldade cosderável apeas para os plares preechdos com Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

56 50 Walter Luz Adrade de Olvera & Aa Lúca Homce de Cresce El Debs cocretos de resstêca meor (30MPa e 60MPa). Isto é atrbuído à meor resstêca do tubo de 3,35mm à expasão lateral do cocreto. As quatro ormas cosderadas apresetam dferetes formulações para o dmesoameto sedo que, apeas o EC4 e o CAN/CSA apresetam uma formulação específca para a cosderação do efeto de cofameto do cocreto. Etretato, os resultados mostraram que EC4 e CAN/CSA superestmam a capacdade resstete dos plares em quase todos os casos. O por resultado obtdo para os plares da sére P2, em relação à sére P1, segudo o dmesoameto dessas ormas, se deve ao acréscmo de resstêca do cocreto por cota do maor efeto de cofameto proporcoado pelo tubo de maor espessura. De maera geral, EC4 e CAN superestmam a capacdade resstete dos plares; sto pode decorrer da formulação para levar em cota o efeto de cofameto do cocreto, que superestma este feômeo. Isso se justfca, pos, as equações de dmesoameto exstem, em ambas as ormas, uma parcela que leva em cosderação a relação f y /f c. Para os plares de uma sére, o valor de f y se matém costate e f c vara, de tal forma que, para o meor valor de resstêca do cocreto a parcela f y /f c aumeta, e tal cotrbução aumeta a prevsão de capacdade resstete do plar. Se levarmos em cosderação o dmesoameto do EC4 sem as parcelas devdas ao cofameto (η c e η a ), os valores fcam a favor da seguraça e mas próxmos, em méda, dos expermetas, 9,4% e 8,9% de dfereça para os plares da sére P1 e P2, respectvamete. As prevsões da NBR e do ANSI/AISC apresetam os resultados mas a favor da seguraça o geral. Os valores expermetas são, em méda, 13% e 13,6% maores que os prevstos por essas ormas para os plares da sére P1, respectvamete, e 11,3% e 11,8%, para os plares da sére P2. 8 AGRADECIMENTOS Agradecemos ao CNPq e à FAPESP pelo apoo facero, sem o qual esta pesqusa ão podera ter sdo realzada. 9 REFERÊNCIAS AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION. AISC-LRFD: Metrc load ad resstace factor desg specfcato for structural steel buldgs. Chcago, Illos, AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION. ANSI/AISC 360: Specfcato for Structural Steel Buldgs. Chcago, Illos, AGOSTINI, L. R. S. Plares de cocreto de alta resstêca Tese (Doutorado) Escola Poltécca, Uversdade de São Paulo. São Paulo, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8800:2008. Projeto e execução de estruturas de aço e de estruturas mstas aço-cocreto de edfícos: Projeto de revsão. Ro de Jaero, 2008 BRIDGE, R. Q.; O SHEA M. D. Behavor of th-walled steel box sectos wth or wthout teral restrat. Joural of Costructoal Steel Research. v. 47,.1-2, p July, 1988 Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

57 Estudo do efeto de cofameto do cocreto em PMP curtos 51 CAN/CSA S16-01:2001. Lmt states desg of steel structures. Caada Stadards Assocato. Otaro, Caada, CUSSON, D.; PAULTRE, P. Behavor of hgh-stregth cocrete colums cofed by rectagular tes uder cocetrc loadg. Iteral report of Departmet of Cvl Egeerg, Uversty of Sherbrooke, SMS-92/2. 47p., 1992 CUSSON, D.; PAULTRE, P. Stress-stra model for cofed hgh-stregth cocrete, Joural of Structural Egeerg, ASCE, v. 121,. 3, p , DE NARDIN, S. Estudo teórco-expermetal de plares mstos compostos por tubos de aço preechdos com cocreto de alta resstêca Dssertação (Mestrado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo. São Carlos, ELR Y, A.; AZIZINAMINI, A. Behavor ad stregth of crcular cocrete-flled tube colums. Joural of Costructoal Steel Research. v. 58,. 12, p Dec., EN :2004. Desg of composte steel ad cocrete structures, Part 1-1:Geeral rules ad rules for buldgs. EUROCODE 4, Europea Commttee for Stadardzato, GIAKOUMELIS, G.; LAM, D. Axal capacty of crcular cocrete-flled tube colums. Joural of Costructoal Steel Research. v.60,.7, p July, JOHANSSON, M; ÅKESSON, M. Fte elemet study of cocrete-flled steel tubes usg a ew cofemet-sestve cocrete compresso model. Nordc Cocrete Research, v. 2/2001,. 27, p Oslo, Ja., JOHANSSON, M. Composte acto ad cofemet effects tubular steel-cocrete colums. Thess for the degree of doctor of phlosophy. Göteborg, Swede: Chalmers Uversty of Techology, JOHANSSON, M. The effcecy of passve cofemet CFT colums. Steel ad Composte Structures, v. 2,. 5, p Oct., JOHANSSON, M.; GYLLTOFT, K. Mechacal behavor of crcular steel cocrete composte stub colums. Joural of Structural Egeerg, ASCE, v. 128,. 8, p Aug., KENT, D. C.; PARK, R. Flexural members wth cofed cocrete. Joural of Structural Dvso, ASCE, v. 97,. 7, p , LÉGERON, F.; PAULTRE, P. Uaxal cofemet model for ormal- ad hgh-stregth cocrete colums. Joural of Structural Egeerg, ASCE, v. 129,. 2, p , Feb., Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

58 52 Walter Luz Adrade de Olvera & Aa Lúca Homce de Cresce El Debs LIMA JÚNIOR, H. C. Avalação da ductldade de plares de cocreto armado, submetdos a flexocompressão reta com e sem adção de fbras metálcas Tese (Doutorado) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, MANDER, J. B.; PRIESTLEY, M. J. N.; PARK, R. Theoretcal stress-stra model for cofed cocrete. Joural of Structural Egeerg, ASCE, v. 114,. 8, p , Aug., OLIVEIRA, W. L. A. Aálse teórco-expermetal de plares mstos preechdos de seção crcular. São Carlos Tese (Doutorado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara de Estruturas, Uversdade de São Paulo, São Carlos, OLIVEIRA, W. L. A.; GIONGO, J. S. Aálse da ductldade de plares de cocreto armado submetdos à força de compressão cetrada com dferetes taxas de armadura trasversal e resstêcas à compressão do cocreto. Egehara: estudo e pesqusa, v. 6,. 2, p , O SHEA, M. D.; BRIDGE, R. Q. Desg of crcular th-walled cocrete flled steel tubes. Joural of Structural Egeerg, ASCE, v. 126,. 11, p Nov., PAIVA, N. M. B. Plares de cocreto de alta resstêca com seção trasversal retagular solctados à compressão smples Dssertação (Mestrado) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, SAATCIOGLU, M.; RAZVI, S. R. Stregth ad ductlty of cofed cocrete. Joural of Structural Egeerg, ASCE, v. 118,. 6, p , Jue, 1992 SAKINO, K.; NAKAHARA, H.; MORINO, S.; NISHIYAMA, A. Behavor of cetrally loaded cocrete-flled steel-tube short colums. Joural of Structural Egeerg, ASCE. v.130,. 2, p Feb., SARGIN, M.; GLOSH, S. K.; HANDA, V. K. Effects of lateral reforcemet upo stregth ad deformato propertes of cocrete. Magaze of Cocrete Research, v. 23, , p , SAW, H. S.; LIEW, J. Y. R. Assessmet of curret methods for desg of composte colums buldgs. Joural of Costructoal Steel Research. v. 53,. 2, p Feb., SCHNEIDER, S. P. Axally loaded cocrete-flled steel tubes. Joural of Structural Egeerg, ASCE, v.124,.10, p Oct., SHAMS, M.; SAADEGHVAZIRI, M. A. State of the art of cocrete-flled steel tubular colums. ACI Structural Joural, ACI, v.94,.5, p Sep-Oct., SHANMUGAM, N. E.; LAKSHMI, B. State of the art report o steel-cocrete composte colums. Joural of Costructoal Steel Research. v. 57,. 10, p Oct., Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

59 Estudo do efeto de cofameto do cocreto em PMP curtos 53 SHEIKH, S. A.; UZUMERI, S. M. Stregth ad ductlty of ted cocrete colums. Joural of Structural Dvso, ASCE, v. 106,. 5, p , SUSANTHA, K. A. S.; GE, H. B.; USAMI, T. A capacty predcto procedure for cocrete-flled steel colums. Joural of Earthquake Egeerg, v. 5,. 4, p Oct., UY, B. Local ad post-local bucklg of cocrete flled steel welded box colums. Joural of Costructoal Steel Research. v. 47, p , YIN, J.; ZHA, X.; LI, L. Fre resstace of axally loaded cocrete flled steel tube colums. Joural of Costructoal Steel Research. v. 62,. 7, p July, Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v, 11,. 48, p , 2009

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61 ISSN ANÁLISE NÃO-LINEAR DE ESTRUTURAS DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIO ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO Gabrela Rezede Ferades 1 & Wlso Sergo Vetur 2 Resumo Neste trabalho, a formulação lear do método dos elemetos de cotoro - MEC, baseada as hpóteses de Krchhoff, é adaptada à aálse de estruturas de pavmetos de edfícos, levado-se em cota, além da flexão, o comportameto dos elemetos como membraa. A formulação tegral é deduzda a partr da prmera detdade de Bett, ode as lajes e vgas são cosderadas com rgdez costate. A fm de reduzr o úmero de graus de lberdade, apreseta-se um modelo ode as vgas são represetadas por seus exos médos. Estede-se essa formulação à aálse ão-lear, através da clusão de campos de esforços cas, ode as tegras de domío são calculadas através da dscretzação em células teras. A solução ão-lear é obtda a partr da formulação mplícta, utlzado-se o operador tagete cosstete. O crtéro elasto-plástco utlzado é o de Vo Mses, sedo os esforços em uma seção qualquer da placa calculados umercamete a partr dos valores das tesões. Palavras-chave: Flexão de placas. Elemetos de cotoro. Pavmetos de edfíco. NON-LINEAR ANALYSIS OF BUILDING FLOOR STRUCTURES BY THE BOUNDARY ELEMENT METHOD Abstract I ths work, the plate bedg lear formulato of the boudary elemet method - BEM, based o the Krchhoff's hypothess, s exteded to corporate beam elemets. A umercal model to aalyse buldg floor structures s obtaed, whch stffess s further creased by the presece of membrae effects. A alteratve formulato where the umber of degrees of freedom s further reduced s also vestgated. The, the formulato s exteded to perform o-lear aalyss by corporatg tal effort felds where the o-lear soluto s obtaed usg the local cosstet taget operator. The doma tegral requred, to evaluate the tal effort flueces, are performed by usg the well-kow cell sub-dvso. The o-lear behavour s evaluated by the Vo Mses crtero, that s verfed at pots alog the plate thckess, approprately placed to allow performg umercal tegrato to approach momets ad ormal forces usg Gauss pot schemes. Keywords: Plate bedg. Boudary elemets. Buldg floor structures. 1 INTRODUÇÃO O surgmeto do método dos elemetos de cotoro e a sua utlzação como uma alteratva para a obteção de soluções umércas em quase todos os campos da egehara represeta um avaço sgfcatvo que ocorreu essa área do cohecmeto os últmos aos. Em mutos problemas, comprovadamete, esse método é uma alteratva mas precsa e que permte a obteção de respostas mas cofáves quado comparadas com as dos métodos usuas. Em algumas aplcações as equações tegras são represetações exatas do modelo matemátco utlzado para represetar o problema físco, o que, em geral, é traduzdo como aumeto de cofaça os resultados obtdos. Esse 1 Doutora em Egehara de Estruturas - EESC-USP, gabrela.ferades@pq,cpq.br 2 Professor do Departameto de Egehara de Estruturas da EESC-USP, vetur@sc.usp.br Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

62 56 Gabrela Rezede Ferades & Wlso Sergo Vetur método vem despertado os pesqusadores dos grades cetros de pesqusa um teresse crescete e que tem resultado em eorme progresso. Desse modo, o que se propõe a segur, é mas um trabalho o qual se utlza como método umérco apeas o método dos elemetos de cotoro e ode se pretede desevolver uma formulação ão-lear para aálses de pavmetos de edfícos. O pavmeto é modelado por uma placa composta de sub-regões de dferetes rgdezes, sedo cada sub-regão a represetação de uma vga ou laje. Icalmete, é desevolvda uma formulação para aálse lear de placas sujetas à flexão smples, ode as sub-regões são represetadas por suas superfíces médas. Em seguda, é troduzdo essa formulação o efeto de membraa, para que se possa fazer a aálse fora das superfíces médas das sub-regões. Por últmo, é obtda a formulação ão-lear, através da clusão de esforços cas a formulação lear. 2 METODOLOGIA A programação da formulação apresetada fo feta em lguagem FORTRAN para mcrocomputadores e a fm de se verfcar o modelo proposto, foram aalsados exemplos umércos cujos resultados são comparados com os exstetes a lteratura ou cujas respostas podem ser obtdas aaltcamete. Como método umérco, utlzou-se o MEC dreto baseado em colocação, tedo sdo cosderado a aálse ão-lear o operador tagete cosstete. 3 DESENVOLVIMENTO A segur será apresetada a formulação lear do MEC para flexão de placas compostas de sub-regões de dferetes rgdez e defdas em dferetes plaos. Pretede-se com essa formulação represetar o pavmeto de um edfíco sujeto à flexão, cosderado-se a preseça de esforços de membraa. A formulação é obtda através de um acoplameto das teoras de chapa e placa delgada sujeta à flexão smples. A aálse do pavmeto será feta represetado-se cada laje ou vga por uma sub-regão. Icalmete, será desevolvda a formulação defdo-se as varáves sobre o cotoro extero e terfaces da placa. Nesse modelo, ao logo do cotoro extero do pavmeto e das terfaces etre duas sub-regões serão cosderados os segutes graus de lberdade por ó: o deslocameto trasversal (w), a dervada do deslocameto trasversal a dreção ormal ao cotoro, rotação (w,) e os deslocametos us, u o plao da placa, sedo s a dreção tagecal ao cotoro. Nas terfaces, ada serão defdas as forças ps e p.. Em seguda, será cosderado o modelo alteratvo, ode as varáves são defdas os exos das vgas. Nesse modelo, serão defdas os exos das vgas as mesmas ses varáves que exstam as terfaces do modelo ateror e ada as rotações us, e u,. O problema de placas em sub-regões e sujetas à flexão smples pode ser ecotrado os trabalhos de Vetur & Pava (1988) e Vetur (1988). A formulação ão-lear é obtda a partr do prmero teorema de Bett (1872), como fo feto para se obter a formulação lear, cosderado-se porém, que a placa é sujeta também a campos de mometos e forças ormas cas. Essa formulação também podera ser usada para se fazer uma aálse lear, ode os esforços cas seram orgáros de gradetes de temperatura, por exemplo. Cotudo, o processo teratvo da aálse ão-lear, tas esforços cas são cosderados como sedo os campos de mometos e forças ormas de correção que devem ser aplcados à placa, a fm de que ela alcace o seu equlíbro. A aálse ão-lear da placa sujeta à flexão smples pode ser ecotrada os trabalhos de Chuer (1994) e Ferades (1998). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

63 Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do método dos elemetos de cotoro EQUAÇÕES INTEGRAIS DE PLACAS PARA DOMÍNIOS COMPOSTOS Relações báscas No caso do problema de flexão, cosderado-se o efeto de membraa, cada sub-regão é represetada pela superfíce de referêca e ão mas por sua superfíce méda como era o caso da flexão smples. A superfíce de referêca é aquela em relação à qual se defem os valores das varáves o cotoro e terfaces. Cosdere-se a placa represetada a Fgura 1, ode se admte como superfíce de referêca, a superfíce méda do subdomío Ω 1 Superfíce de referêca t 1 /2 t 1 /2 x 2 x 3 x t 3 /2c 3 x x 3 t 2 /2 3 c 2 Fgura 1 Placa subdvdda em sub-regões. ode t 1, t 2 e t 3 são, respectvamete, as espessuras das sub-regões Ω 1 Ω 2 e Ω 3 ; c 2 e c 3 represetam o deslocameto da superfíce méda em questão em relação à superfíce de referêca, ou seja, esse 2 3 caso: c 2 = t 2 / 2 t1 / 2 ec3 = t 3 / 2 t1 / 2 ; x 3 e x 3 são os exos a dreção x 3 tedo como referêca 2 3 as superfíces médas das sub-regões Ω 2 e Ω 3 e são dados por: x 3 = x 3 c2 ; x 3 = x 3 c3. Para se obterem os tesores de deformação e de tesão a placa, sujeta à flexão composta, somam-se os problemas de chapa e placa delgada, ode são cosderadas as hpóteses de Krchhoff (1850). Com sso, o campo de deslocametos, além da compoete trasversal w a dreção x 3, também há as compoetes u 1 e u 2 as dreções x 1 e x 2 do plao da placa. Note-se que os deslocametos u 1 e u 2 terão uma parcela referete ao problema de placa ( u = x 3w, ) e outra relatva ao problema de chapa. Desse modo, o tesor de deformações é dado pela expressão: ε = ε + ε,j=1,2 (1) j 2D j F j ode as parcelas do problema de chapa 2D 1 respectvamete, por = ( u + u ) F ε j, j j, e ε j = x 3w, j. 2 2 D ε j e aquela do problema de flexão ε F j são dadas, Lembrado-se que se trata de um estado plao de tesão, com o tesor de tesão dado por: σ = σ + σ,j=1,2 (2) j 2D j F j sedo 2 D σ j e F σ j dados, respectvamete, por Ex 3 [ νw, kk δj + ( 1 ν) w j ] 2 ( 1 ν ) σ =. F j, E 2D 2D ( ) ( ) [ νε kk δj + ν εj ] 2 1 ν σ = e 2D j 1 Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

64 58 Gabrela Rezede Ferades & Wlso Sergo Vetur Itegrado-se as tesões ao logo da espessura da sub-regão, obtêm-se os esforços resultates a superfíce méda da mesma. Assm, o esforço ormal N j e os mometos m j em uma sub-regão s, defdos em sua superfíce méda, são dados respectvamete, por: N j = E 2D 2D [ νε kk δj + ( 1 ν) εj ] 2 ( 1 ν ), j=1, 2 (3) m [ νw, δ + ( 1 ν) w ] j D kk j, j = (, j, k = 1,2) (4) sedo ν o coefcete de Posso; E o módulo de elastcdade logtudal; E represeta a rgdez à flexão da placa. = te, 3 Et D =, ( ν ) Equações tegras dos deslocametos o domío As equações tegras podem ser obtdas a partr do prmero teorema de Bett (1872), que é váldo para cada subdomío Ω da Fgura 1, ou seja: s σjεj dv = σj εjdv (5) V s s* s V s s* s ode ε s* j e s* σ j são as soluções fudametas para a sub-regão Ω s e V s seu volume. É cosderado apeas o caso em que todas as sub-regões têm o mesmo coefcete de Posso, s* * logo as tesões fudametas ão mudam de um sub-domío para outro, ou seja: σ j = σ j. Levado-se em cota as Eqs. (1) e (2), pode-se dzer que s* ε jk = (2D)s* jk s s* ε - x w e σ = σ + σ. Itegrado-se ao logo da espessura t s e cosderado-se separadamete os problemas bdmesoal e de flexão, obtêm-se: 3, j * jk (2D)* jk F* jk Ω ε s (2D)s* kj N dω j = εj N dω (6) Ω s 2D * kj w, Ω s s* j m dω j = Ω s w, j * j m dω (7) ode * N jk e * m jk são as cohecdas soluções fudametas dos problemas bdmesoal e de flexão. Porém, a fm de se obterem as Eqs. (6) e (7) em fução dos deslocametos e forças a superfíce de referêca, cosdere as segutes relações: 2D 2D ε j( Ω ) = εj cs w, j (8) s Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

65 Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do método dos elemetos de cotoro 59 ode ε j e mj( Ω s ) = mj cs Nj (9) m j são as deformações e mometos a superfíce de referêca. Além dsso, para que se possa fazer o equlíbro dos esforços e deslocametos as terfaces, * após a tegração por partes, é coveete escrever as Eqs. (6) e (7) em fução das curvaturas ( w, j ) e deformações ( ε kj * 2D ) fudametas do sub-domío ode está o poto de colocação. Assm, cosdere as segutes relações: (2D)s* E ε * 2D kj = εkj (10) E s D w, = (11) s* * j w, j Ds ode D e E são relatvos ao sub-domío ode está o poto de colocação. Substtudo-se as Eqs. (8) a (10) em (6) e (7), chega-se à: * 2D Es ε kj NjdΩ = * 2D * N kj εj dω c s N kj w, jdω E s Ωs Ωs Ω (12) c w, Ω s s * j N dω + w, j Ω s * j m dω = j Ds D Ω s w, j * j m dω (13) Cosderado-se um caso geérco de uma placa composta de N s sub-regões as expressões do problema bdmesoal e de flexão são dadas respectvamete, por: N ε s *2D E s * 2D kj N j dω = N kjεj dω cs Ω s= 1 E Ωs Ωs N * kj w, jdω, k,j =1, 2 (14) N s s s= 1 Ωs c w, * j N dω + j Ω w, * j m dω = j N s D s D s= 1 Ωs w, j m dω * j (15) Itegrado-se as Eqs. (14) e (15) por partes, chega-se às equações tegras dos deslocametos de um poto do domío para os problemas bdmesoal e de flexão, escrtas em fução de tegras ao logo do cotoro extero da placa e das terfaces: N s E k k ( k s ks ) dγ + * * [ c ( q) w, ( q) + u ( q) ] = u ( P) p ( q, P) + u ( P) p ( q, P) E = 1 Γ N ( E j E pa ) * * ( u ( P) p ( q, P) + u s ( P) p ( q, P) ) k ks t E j= 1 Γj dγ j N + S E E = 1 Γ c [ p * k ( q,p) w, ( P) + Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

66 60 Gabrela Rezede Ferades & Wlso Sergo Vetur Nt ( q,p) w, s ( P)] ( E jc j E pacpa ) * * Γ + ( p k ( q,p) w, ( P) + p ks ( q,p) w, s ( P) ) dγj + * + p d + Γ ks E j= 1 Γj * * * * ( u ( q,p) p ( P) + u ( q,p) p ( P) ) dγ + u ( q,p) b ( p) + u ( q,p) b ( p) ( k ks s ) k ks s dω k=l,m Ωb (16) ode q é o poto de colocação; o poto P dca um poto campo p poscoado sobre o cotoro ou uma terface; N t é o úmero de terfaces; Γ é o cotoro extero da placa; Ω pa é a sub-regão adjacet; Γ j é a terface pertecete ao domío Ω j, que dvde duas sub-regões e que dca o setdo em que se faz a tegração; e s são as dreções ormal e tagecal ao cotoro; k a dreção da carga fudametal; m e l são as dreções ormal e tagecal ao cotoro ode está o poto de colocação. N S D * w * w (q) = M ( q,p) ( P) V ( q,p) w( P) dγ( P)+ 1 D = Γ N t + j= 1 Γj D j D D pa M * w * ( q,p) ( P) V ( q,p) w( P) dγ ( P)+ j N c3 = 1 D () D R * c ( q,p) w ( P) c D + D = N D c N 2 + V Γ j 1 c pa * R ( q,p) w ( P)+ ( ) * R P w ( q, P )+ 1 cj c w N c = 1 s * ( P) w ( q,p) M ( P) ( q,p) dγ( P)+ c p ( P) w, ( q, P) c c N [ = 1 Γ Nt * * * + p s ( P) w, s ( q, P)] dγ ( c j c pa ) [ p ( P) w, ( q,p) + ps ( P) w, s ( q,p) ] dγj j= 1 Γj ( g( p) w ( q,p) ) dωg ( p) s * * b ( p) w, ( q,p) + bs ( p) w, ( q,p) s Ωg N [ ] = 1 Ω c dω (17) + ode Ω g é a regão em que atua o carregameto trasversal g; D j é a rgdez referete ao domío Ω j ; D pa a rgdez do domío adjacete à Ω j ; c 1, c 2 e c 3 são os tpos de catos defdos a Fgura 2. O cato c 3 é um cato smples e evolve apeas um sub-domío. O cato c 2 evolve dos subdomíos e está defdo o ecotro de duas vgas de rgdezes dferetes ou o ecotro de uma vga com uma laje; já o cato c 1 evolve três sub-domíos (caso do ecotro de duas vgas com uma laje). No caso de c 1 a rgdez D pa se refere à vga que é terrompda (a Fgura 2 para o cato formado por V 1, V 2 e Ω j, D pa =D v1 ). Para potos sobre o cotoro ou terface, as Eqs. (16) e (17) devem ser modfcadas, adcoado os termos lvres o lado esquerdo da equação. Assm, o lado esquerdo da Eq. (16) se trasforma em: 1 ( 1 E t / Et) δ ( u c w, ) 2 +. Para o problema de flexão (Eq. 17), os termos lvres para os dferetes casos são dados a Tabela 1. pa pa kj j s j Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

67 Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do método dos elemetos de cotoro 61 c 3 c 3 c 2 c 2 c 2 c 2 c 3 c 2 c 2 c 1 c 1 c 1 c 1 c 1 β 1 γ c 1 V 2 c 1 c 1 c 2 c 2 V 1 Γ j Ω j c 1 β c 3 3 c 1 c 1 β 2 c 1 γ c 3 c 2 c 2 Fgura 2 Tpos de catos a placa com sub-regões. Nas Eqs. (16) e (17) a varável w, s é elmada, pos ela é aproxmada por dfereças ftas. A fm de se reduzr o úmero de gruas de lberdade do problema, serão fetas aproxmações para os deslocametos u s, u, w e w, e para as forças p s e p sobre as terfaces, que possbltarão defr essas varáves apeas as lhas médas das vgas. Para sso, cosdere a Fgura 3. Os vetores dcados os exos das vgas (lhas tracejadas) represetam os setdos da ormal das vgas tera e extera ( v e ve ), assm como os setdos (s v e s ve ) em que os elemetos devem ser declarados. Nas lhas cotíuas estão dcados os setdos de tegração dos cotoros das vgas, que acompaham sempre a oretação do cotoro da laje. Note-se que o caso das vgas teras, se a mesma for defda a dreção de y os elemetos devem ser declarados o setdo verso ao do exo y e o caso dela ser defda a dreção de x, esses devem segur o setdo de x. Etretato, para as vgas exteras os elemetos são declarados segudo a oretação do cotoro extero da placa. Portato, o caso da vga extera as tegras sobre os cotoros da vga são fetas o mesmo setdo da sua lha méda, logo segudo as mesmas dreções da ormal e do cotoro, sto é, ve = e = s s. Porém, para a vga tera, a tegral referete ao domío Ω + é feta Γ = e Γve s ve Γ = e Γve o setdo cotráro da lha méda, ou seja, v = e s v = s + s. + = Γ v Γv = Γ v Γv Tabela 1 Valores de K(Q) VALOR DE K(Q) POSIÇÃO DE Q K(Q)=0.5 Q o cotoro extero K (Q) ( D / ) = pa D j Q a terface; poto em j Γ da Fgura 2 K β 2π ( Q) = D 3 D 2 γ D D 2π Q do tpo c 1 (Fgura 2), para D(Q)=D=D laje, β é defdo a laje e γ a vga (terrompda) de rgdez D 3. K(Q) = β 2π D + D pa j γ 2π Q do tpo c 2 (Fgura 2), para D(Q)=D j (D j e D pa são, respectvamete, as rgdezes da placa ode se defem β e γ) K (Q) = β / 2π Q do tpo c 3 (Fgura.2). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

68 62 Gabrela Rezede Ferades & Wlso Sergo Vetur v + Γ v s v s ve Γ ve ve s Γe Γe s + Γv + Γv y Γ Ω - v Ω + x Γv a v a v s Γ v s Γve Γve a ve a ve Γ e Fgura 3 Modelo de pavmeto que represeta a vga pela sua lha méda. ode a largura da vga tera é dada por 2a v e a da vga extera por 2a ve, sedo que essas larguras devem ser defdas sempre a dreção da ormal da vga. São fetas as segutes aproxmações para os deslocametos: w (18.a) Γ = w ( + w, a e ve exo ( ) exo) ( ) ( ) ve w w w = w ( w, a ( ) ( ) Γ exo) ve ( exo ) ve ve = w ( + w, a + ( ) ( ) Γ exo) v ( exo ) v v = w ( w, a ( ) ( ) Γ exo) v ( exo ) v v (18.b) (18.c) (18.d) (, ) = w, = ve w, Γ w (19.a) exo e Γve (, ) = w, = w, + w (19.b) v exo Γ v Γv u Γ = u u, a =, s (20.a) ( ) (exo) ( ) ( ) ve e + ve exo u = u u, a Γ =, s (20.b) u ( ) (exo) ( ) ve ( exo ) ve ve [ u + u, a v ] + ( ) (exo) ( ) v ( exo ) = Γ =, s (20.c) v u = u u, a Γ =, s (20.d) ( ) (exo) ( ) v ( exo ) v v (, ) ( u, ) + ( u ) u,k =, s (21.a) k v = k Γ =, k v Γ v (, ) ( u, ) ( u ) u,k =, s (21.b) k ve = k Γ =, k e Γ ve Com sso, surgem a formulação as rotações u, e u s, defdas os exos de vgas. Sejam agora as forças p s e p sobre as terfaces. Cosderado-se calmete que as forças estejam o sstema global (x 1,x 2 ), como está represetado a Fgura 4, as forças p 1 e p 2 das terfaces e que atuam a vga, são decompostas em duas parcelas: Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

69 Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do método dos elemetos de cotoro 63 p p 1 ( e ) = p Δp Γ =1,2 (22) 2 1 ( ) = p + Δp Γ d (23) 2 Nas Eqs. (22) e (23) a soma das parcelas p /2 gera a resultate p o cetro, que correspode ao carregameto atuate a vga. Essa parcela produz tesões egatvas ao logo do cotoro Γ e e tesões postvas ao logo de Γ d. A soma das parcelas Δp, ão dá resultate o cetro e produz tesão costate a vga. No etato, as equações tegras são escrtas utlzado-se o sstema local (,s) das terfaces, logo deve-se ada escrever as Eqs. (22) e (23) em fução dos sstema local da terface e etão passar as forças para o sstema local adotado o exo (ver Fgura 3). Feto sso, as forças Δps e Δp são substtuídas pela le de Hooke, através das segutes expressões: u u Δp = (24) E s + ν 2 ( 1 ν ) s E u s u Δps = ( ) + + ν (25) 2 1 s ode os deslocametos u, e u s, já são cógtas exstetes o exo e os deslocametos u, s e u s, s são escrtos, respectvamete, em fução dos deslocametos u e u s, utlzado-se dfereças ftas. X 1 Γ e Γ d X 2 p 1 /2 p 1 /2 p 2 /2 p 2 /2 Δp 1 Δp 1 Δp Δp 2 2 s s Fgura 4 Decomposção de forças as faces da vga. Substtudo-se as aproxmações (20) a (23) as Eqs. (16) e (17), obtêm-se as equações tegras escrtas em fução das varáves defdas o cotoro extero sem vgas, exos de vgas e catos. Para se obterem as equações dos deslocametos u k, m e w, m basta dervar em relação à m, respectvamete, as Eqs. (16) e (17). A equação das curvaturas w, j é obtda dervado-se duas vezes a Eq. (17) do deslocameto trasversal Equações algébrcas As tegras sobre o cotoro e terfaces são trasformadas em termos algébrcos, dvddose o cotoro extero da placa e as terfaces em segmetos, deomados elemetos de cotoro. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

70 64 Gabrela Rezede Ferades & Wlso Sergo Vetur As varáves são aproxmadas os elemetos por fuções terpoladoras, defdas em fução de potos prevamete escolhdos em cada elemeto, dtos ós ou potos odas. Nesse trabalho, são adotadas fuções quadrátcas. Assm, as equações tegras trasformam-se em equações algébrcas, que são escrtas em fução dos valores das varáves os ós do cotoro e exos de vgas, deomados de valores odas, como está descrto o trabalho de Ferades (1998). Nos potos do cotoro extero sem vgas, têm-se oto varáves (u, u s, p, p s, w, w,, V e M ), das quas quatro varáves são dadas como codção de cotoro, logo é ecessáro escrever quatro equações esses potos. No caso de se ter c laje =0, que será o caso tratado a segur, têm-se dez varáves os potos de vgas exteras (u, u s, p, p s, w, w,, V, M, u, e u s, ), sedo quatro delas cohecdas, pos são mpostas as codções de cotoro. Nas vgas teras são defdas oto varáves (u, u s, p, p s, w, w,, u, e u s, ), sedo que esse caso todas as varáves são cógtas do problema. Nos catos têm-se ada duas varáves (w e R c ), sedo uma delas prescrta como codção de cotoro. Com sso, para se obter a solução do problema de flexão composta de placas, para cada poto stuado sobre o cotoro extero sem vgas escreve-se duas Eq. (17) do deslocameto trasversal w (uma para o poto sobre o cotoro e outra para um poto extero) e uma Eq. (16) relatva aos deslocametos u e u s. Cotudo, se o poto pertecer ao exo de uma vga, escreve-se uma Eq. (17) do deslocameto trasversal w, uma equação da dervada de w, uma Eq. (16) relatva aos deslocametos u e u s e, ada, as equações das rotações u, e u s,. Deve-se escrever ada as equações das rotações u, s e u s, s. somete para os potos de vga tera. Além dsso, deve ser escrta uma equação de w para cada cato. Escrevedo-se todas as equações ecessáras para a resolução do problema, chega-se ao segute sstema de equações, do qual após a mposção das codções de cotoro, obtêm-se as cógtas os exos das vgas, os catos e o cotoro da placa sem vgas. [ H] [ H] [ H] F F C [ H] [] 0 [ H] 2D 2D { U} { w} { U} F C 2D [ G] [ G] [ G] F = C [] 0 [] 0 [ G] 2D 2D { P} { R} {} P F C 2D + { T} F {} T 2D (26) ode a parte superor se refere ao problema de flexão e a parte feror ao problema de membraa; os vetores e matrzes são dados por: U {... w w,...} ~ T F = cotêm os valores odas dos deslocametos do cotoro extero sem vgas e dos exos das vgas, T P {... V M...} ~ F = é o vetor dos valores odas dos esforços o cotoro extero sem vgas e os exos das vgas exteras, T c { w c... w } 1 c... w cnc ~ T { R... R... R } w = é o vetor dos deslocametos os catos, R = é o vetor das reações de cato, c ~ c 1 c cnc * [H F ] é resultate da tegração dos esforços fudametas ( V e do cotoro extero e terfaces; [G F ] é obtda a partr da tegração das fuções extero ou exos de vgas exteras; * w e w *, * M ou suas dervadas) ao logo, ou suas dervadas, ao logo do cotoro Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

71 Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do método dos elemetos de cotoro 65 [H c ] e [G c ] são relatvas aos catos, sedo a prmera a matrz que traz os termos relatvos aos esforços fudametas ( R ou sua dervada) os catos e a seguda cotém os termos referetes ao cálculo de * C * w ou sua dervada os catos. T U {... u u u u...} 2 D = s s,,, é o vetor dos deslocametos do problema de membraa os ~ potos sobre o cotoro extero sem vgas e exos de vgas (ote-se que os deslocametos u s, e u s, são defdos apeas os potos sobre os exos das vgas); P {... p p...} T 2 D = s é o vetor das forças de superfíce do problema de membraa, dos potos ~ sobre o cotoro extero sem vgas, exos de vgas exteras e teras; [ H ] 2D é uma das matrzes que represeta a fluêca do problema de membraa o de flexão e cujos termos são obtdos da tegração dos deslocametos fudametas dervadas) ao logo das terfaces. * w, e * w, s (ou suas [ G ] 2D é outra matrz que represeta a fluêca do problema de membraa o de flexão e cujos termos são obtdos da tegração dos deslocametos fudametas * w, e * w, s (ou suas dervadas) ao logo do cotoro extero sem vgas e dos cotoros logtudas das vgas exteras e teras. {0} é um vetor ode todos os termos são guas a zero; [H 2D ], é a matrz do problema bdmesoal, cujos termos são obtdos pela tegração das fuções p * k e * p ks, ou suas dervadas, ao logo do cotoro extero e terfaces; [ H ] F represeta a fluêca do problema de flexão o problema de membraa sedo obtda pela tegração das fuções * p k e * p ks, ou suas dervadas, ao logo do cotoro extero e terfaces; [G 2D ] é a matrz do problema de membraa, cujos termos são relatvos à tegração das fuções * u k e u * ks, ou suas dervadas, ao logo do cotoro extero sem vgas ou o caso das vgas exteras, seus termos são dados pela méda daqueles obtdos com a tegração das fuções ao logo dos dos cotoros logtudas da vga; T 2D é o termo correspodete ao carregameto o plao da placa T F é o termo correspodete ao carregameto trasversal da placa 3.2 ANÁLISE NÃO LINEAR DO PAVIMENTO ENRIJECIDO Equações Itegras da placa erjecda sujeta à flexão composta e com a preseça de campos de mometos e forças ormas cas As equações tegras do problema ão-lear são guas àquelas do problema lear acrescdas de tegras de domío evolvedo os mometos e forças ormas cas. Para um poto q do domío da placa chega-se às segutes equações tegras: N S D k * w * w (q) = M ( q,p) ( P) V ( q,p) w( P) dγ( P)+ k 1 D = Γ Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

72 66 Gabrela Rezede Ferades & Wlso Sergo Vetur Nt + k= 1 Γk D k D D pa M * w * ( q,p) ( P) V ( q, P) w( P) dγ ( P)+ k N c3 k= 1 D k D R * ck ( q,p) w ( P) ck D + D k = N D c N 2 + V Γ k 1 c pa * R ( q,p) w ( P)+ ( ) * R P w ( q, P )+ 1 ck ck w N c k= 1 s * ( P) w ( q,p) M ( P) ( q,p) dγ( P)+ c k p ( P) w, ( q, P) ck ck N [ k= 1 Γk Nt * * * + p s ( P) w, s ( q, P)] dγk ( c k c pa ) [ p ( P) w, ( q, P) + ps ( P) w, s ( q, P) ] dγk k= 1 Γk s * * ( g( p) w ( q,p) ) dωg ( p) c k b ( p) w, ( q,p) + bs ( p) w, s ( q,p) Ωg N k= 1 Ω N 0 * ( mj (p)w, j (q,p)) dω(p + s 0 * ( Nj(p)w, j (q,p)) ) Ω [ ] dω + k dω(p) k= 1 Ω c,j=1,2 (27) b + N s E k k ( k s ks ) dγ + N * * [ c ( q) w, ( q) + u ( q) ] = u ( P) p ( q, P) + u ( P) p ( q, P) E N= 1 Γ N t N ( E N E ) S pa * * E Nc N ( u ( P) p k ( q,p) + u s ( P) p ks ( q,p) ) dγn + [ E N= 1 ΓN E N= 1 Γ p * k ( q,p) w, ( P) Nt ( q,p) w, s ( P)] ( E Nc N E pacpa ) * * Γ + ( p k ( q,p) w, ( P) + p ks ( q,p) w, s ( P) ) dγn + * + p d ks E N= 1 Γ * * * * ( u ( q,p) p ( P) + u ( q,p) p ( P) ) dγ + u ( q,p) b ( p) + u ( q,p) b ( p) + k ks s Γ Ωb N ( ) dω + 0 ( 2D )* ( Nj (p) ε kj (q,p)) dω(p k=l,m,j=1,2 + ) Ω k ks s + (28) Dscretzação do domío em células A fm de se calcular as tegras de domío das Eqs. (27) e (28), que evolvem os esforços cas a placa, deve-se dscretzar os domíos das vgas e lajes em células, as quas os mometos e forças ormas cas de um poto p da placa serão aproxmados por fuções de terpolação. Porém, ão se adotará o mesmo tpo de dscretzação para as vgas e lajes. Para as vgas serão cosderadas células retagulares e para as lajes, células tragulares, ode as vgas estão dscretzadas em uma célula retagular e a laje em 4 células tragulares. Nas células tragulares das lajes, serão utlzadas fuções aproxmadoras leares. Nas vgas, os esforços cas serão cosderados costates ao logo da largura, mas varáves ao logo do comprmeto. Cada célula retagular terá três ós, que são cocdetes com os ós do elemeto e, será dvdda em quatro células tragulares ode os esforços cas terão aproxmação lear. No ecotro de vgas tem-se uma célula retagular com apeas um ó, logo os esforços terão aproxmação costate. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

73 Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do método dos elemetos de cotoro Equações algébrcas As equações algébrcas são obtdas após a dscretzação do cotoro extero sem vgas e exos de vgas em elemetos e do domío em células. Assm, a equação algébrca dos mometos elástcos em um poto tero é obtda a partr da Eq. (4), sedo as curvaturas calculadas dervado-se duas vezes a Eq. (27). A equação aproxmada dos mometos elástcos em todos os potos odas das células, a forma matrcal, é dada por: { } [ ] [ ] [ ] ] { U } e M + H * H * H * { U} F C 2D { U} F C 2D = [ ] [ ] [ ] ] { P } G * G * G * {} P F C 2D {} P F C 2D + 0 { T *} + [ E *] { M } + [ E *] { N 0 } + (29) F F 2D Dervado-se uma vez a Eq. (27) e cosderado-se a Eq. (3), obtém-se a equação matrcal relatva à força ormal elástca de um poto q. Escrevedo-se essa equação em todos os potos odas das células, chega-se à: { } [ ] [] [ ] ] { U } e N + H * 0 H * { U} de { N 0 } e { 0 } F 2D { U} F C 2D = { P} [[] 0 [] 0 [ G *] 2D ] {} P {} P F C 2D { T '*} + [ E *] { 0 } 2D N ~ + + (30) M são, respectvamete, os resíduos de forças ormas e de mometos Fazedo-se algumas operações matemátcas as Eqs. (29) e (30), essas podem ser escrtas da segute forma smplfcada: e 0 0 = K+ SM M SN N (31) ~ ~ ~ ~ ~ ~ M + ~ e ~ ' N ~ N = K' + S N + S ~ 0 ' M ~ M ~ 0 (32) Nas Eqs. (31) e (32) {K} e {K } cotêm a resposta elástca, sem cosderar os esforços cas; [S M ] e [S N ] represetam, respectvamete, a fluêca dos mometos e forças ormas cas os ' ' valores dos mometos elástcos; [ S M ] e [ S N ] represetam, respectvamete, a fluêca dos mometos e forças ormas cas os valores das forças ormas elástcas. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

74 68 Gabrela Rezede Ferades & Wlso Sergo Vetur Formulação ão-lear mplícta utlzado o operador tagete cosstete A solução ão-lear é obtda através de um procedmeto cremetal-teratvo, o qual a carga total é subdvdda em cremetos de carga. Em cada cremeto, o equlíbro da estrutura é verfcado através do processo teratvo de correção de esforços. Na formulação mplícta, as correções que devem ser dadas aos estados de curvatura e das deformações de chapa em uma determada teração, são obtdas através do operador tagete cosstete, que é atualzado a cada teração, e da correção dos esforços os potos da placa. O operador tagete cosstete é determado a partr da formulação com campo de esforços cas, cosderado-se também o modelo costtutvo adotado. Nesse cotexto, é teressate ctar os segutes trabalhos, ão ecessaramete de placas, que tratam de modelos que utlzam o método dos elemetos de cotoro e o operador tagete cosstete: Boet (1995), Boet & Mukerjee (1996), Fudol (1999) e Botta (2003). Na solução ão-lear, os mometos e forças ormas a placa são dados por: { M} { M e } { M 0 } { N} = { N } { } e N 0 =, j =1,2 (33) e e sedo { N } e { } M dados pelas Eqs. (31) e (32). A partr das Eqs. (33) e (34), chega-se às segutes equações de equlíbro da placa: (34) { K} + [ S ][ ( C ]( { 1/ r) } { M} ) [][ I C ]( 1/ r) { }+ ( ) 0 2D M m m [ SN ] [ C N ]{ } { N} = ' 2D 2D ' { K '} + [ S ][ ( C ]{ ε } { N} ) [][ I C ]{ ε }+ [ S ] [ C ] ( 1/ r) N N N ε (35) ( { } { M} ) 0 M M = (36) ode[c N ] e [C m ] são os tesores de rgdez elástcos obtdos a partr da le de Hooke; {1/r} é o vetor de curvaturas e {ε 2D } o vetor de deformações do problema bdmesoal. Com sso, ao aplcar-se uma determada carga à estrutura, se esta estver equlbrada, as Eqs. (35) e (36) devem ser satsfetas. Caso sso ão ocorra, deve-se dvdr a carga total em cremetos de carga, sedo que em um determado cremeto, o equlíbro é verfcado através das segutes equações: ( ) [ I][ C ] Δ( 1/ r) { ΔK } + [ S ][ C ]{ Δ( 1/ r) } { ΔM} M m ' 2D { ΔK '} + [ S ][ C ]{ Δε } { ΔN} N m { } + 2D ( N ) [ I][ C N ]{ Δε } + ' [ S ][ C ]{ Δ( 1/ r) } { ΔM} ( ) 0 M M = ( N ) 0 2D [ S ][ C ]{ Δε } { ΔN} + (37) N = + (38) { Δε } = T Se as relações de equlíbro (37) e (38) ão forem verfcadas, deve-se ecotrar o valor de t Δ ( 1/ r) ~ Δε ~ 2D, que satsfaça as mesmas, sto é, deve-se ecotrar os valores dos Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

75 Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do método dos elemetos de cotoro 69 cremetos de curvaturas e de deformação de chapa que satsfazem tato as equações de equlíbro t estátco da estrutura quato o modelo costtutvo. Para se obter { Δ ε } ecessta-se de um procedmeto teratvo (Newto), o qual o valor fal dessa varável é obtdo somado-se as t sucessvas correções { Δ( ε )} δ que devem ser aplcadas ao sstemas de equações ão-leares (Eqs. 37 e 38) ao logo do processo teratvo do cremeto. Em uma teração, essa correção é dada por: t t + 1 t { δδ( ε )} { ( )} { ( )} = Δ ε Δ ε (ver Fgura 11). O processo teratvo terma quado as relações (37) e (38) forem verfcadas detro de uma margem de erro pré-estabelecda, que é traduzdo pelo crtéro de covergêca utlzado. Em uma teração +1, deve-se satsfazer as segutes relações de equlíbro: Ode ext t + 1 t + 1 { M } { M } { ΔM } = 0 (39) + 1 ext t + 1 t + 1 { N } { N } { ΔN } = 0 (40) + 1 ext { M } = { ΔK} Δ (41) t 2D { ΔM } = [ S ]{ ( ΔM} [ C ]{ Δ( 1/ r) } ) + [][ I C ]{ Δ( 1/ r) } + [ ] { ΔN} [ C ]{ Δε } M ext { Δ N } = { ΔK' } m t 2D 2D { Δ } = [ S ] { ΔN} [ C ]{ Δε } + [][ I C ]{ Δε } + ' N N N [ S ]{ M} [ C ]{ Δ( 1/ r) } N m S N N (42) ' M ( ) M (43) Δ (44) Utlzado-se o método de Newto Raphso as Eqs. (39) e (40) resultam em: ext t { M } { M } 1 t { ΔM } t { δδ( ε )} = 0 t { Δ( ε )} (45) ext t { N } { N } 1 t { ΔN } t { δδ( ε )} = 0 t { Δ( ε )} (46) T Na Fgura 5 { M N} ~ ~ F = é o vetor dos esforços a placa; [K TC ] é a matrz tagete, que relacoa o cremeto de esforços teros ou verdaderos e o cremeto de deformações, a t teração, ( ) ext ε é o vetor de deformações da teração, Ψ é o vetor de resíduo da teração, F + 1 é o e() vetor de mometos e forças ormas exteros do cremeto +1, Δ F é o cremeto de mometos e forças ormas elástcos da teração, F é o vetor dos esforços teros verdaderos da teração, t do cremeto e ( ε é o vetor de deformações do cremeto. ) Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

76 70 Gabrela Rezede Ferades & Wlso Sergo Vetur Esforços (F) ext F 1 + [K TC ] 0 [K TC ] 1 [K TC ] 2 2 Ψ ΔF e (1) ΔK ΔK = ' 3 F 2 F 2 ΔF 1 ΔF Ψ = 1 0 (1) F ext F = F t Δ( ε ) 1 t Δ( ε ) 2 t δδ( ε ) 1 t Δ( ε ) t t ( ε ) ( ) 2 t ε ( ) 3 t ε ( ε ) + 1 Fgura 5 Método de Newto Raphso padrão. ε Porém, cosderado-se que os cremetos de mometos e forças ormas elástcos a e + 1 ext t + teração +1 são dados por { Δ M } = { M } { M } 1 e + 1 ext t + e { N } = { N } { N } 1 e (46) podem ser escrtas como: + 1 Δ, as Eqs. (45) + 1 e { ΔM } e { ΔN } t { ΔM } { Δ( 1/ r) } t { ΔN } { Δ( 1/ r) } { δδ( 1/ r) } { δδ( 1/ r) } t { ΔM } 2D { Δ( ε )} t { ΔN } 2D { Δ( ε )} 2D { δδ( ε )} = 0 2D { δδ( ε )} = 0 (47) (48) As Eqs. (47) e (48) podem ser escrtas em uma mesma equação matrcal: e + { ΔM } e + { ΔN } 1 1 = [ K M ] [ K ] 2D [ K M ] [ K ] 2D δ δ { Δ( 1/ r) } 2D { Δε } (49) ode: t [ ] { ΔM } ep K = [ ] [ C ] [ C ] + [ I][ C ] M { Δ( 1/ r) } t [ ] { ΔM } K 2D { Δ( ε 2D )} = m S M m m (50) ep = [ ] [ C ] [ C ] S N N (51) = N t [ ] { ΔN } ep K M = [ K M ] [ S' M ][ ( Cm ] [ Cm ])] { Δ( 1/ r) } = (52) Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

77 Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do método dos elemetos de cotoro 71 t [ ] { ΔN } K 2D 2D { Δε } ' = N N N N (53) ep = [ S ] [ C ] [ C ] + [ I][ C ] sedo: ( ) (+ 1) t / t / 2 ep N σ ep [ C N ] = = = Δ( ε ) dx 3 [ ] 3 2D t / 2 Δ() C dx ε t / 2 (+ 1) t / 2 (+ 1) (+ 1) ep M [ ] ( σ x 3 ) ( σ ) Δ( ε) t / 2 2 ep C = = dx = ( x ) [ C ] 3 m Δ ( 1/ r) t / 2 σ Δ() ε Δ( 1/ r) t / 2 3 dx (54) (55) ep ode [ C ], que é obtdo a partr do modelo costtutvo adotado, é a matrz tagete que relacoa a tesão real com o cremeto de deformação (esse trabalho é adotado o crtéro de Vo Mses). A Eq. (49) pode ser escrta de forma smplfcada como: e + 1 TC() t { ΔF } [ ] { } = K () δ Δε (56) TC ( ) ode [ K ] ( ), que é o operador tagete cosstete, é dado por: TC() [ K () ] = [ K ] [ ] [ ] [ ] M K 2D K M K 2D (57) Da resolução do sstema (49), se obtêm as correções de curvatura e deformações de chapa que devem ser dadas à estrutura. Na Eq. (49) tem-se ada que: e + 1 { ΔM } = β { K} e + 1 e { ΔM } { } { } { } = ΔM ΔM = ΨM se = 0, (58.a) se 1 (58.b) e + 1 { ΔN } = β { K' } e + 1 e { ΔN } { } { } { } = ΔN ΔN = ΨN se = 0 se 1 (59.a) (59.b) ode β é coefcete de multplcação da carga, o cremeto ; { respectvamete, os resíduos de mometos e forças ormas da teração. } M Ψ e { } N Ψ são, Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

78 72 Gabrela Rezede Ferades & Wlso Sergo Vetur Modelo estratfcado Admte-se que a placa é dvdda em camadas, as quas podem ter espessuras e propredades dferetes, cosderado-se, porém, costates as propredades sobre cada camada, como é mostrado o trabalho de Fgueras (1983). O cálculo em camadas é mportate uma aálse ãolear, pos permte represetar a dstrbução ão-lear das tesões ao logo da espessura e é essecal a aálse de placas compostas de materas dferetes, pos materal e modelos costtutvos dsttos podem ser admtdos para cada camada. Para cada camada, atrbu-se um valor de tesão assocado a sua superfíce méda e cosdera-se que as compoetes de tesão são costates ao logo da espessura t da camada (ver Fgura 6), sedo a tegração das tesões ao logo da espessura da placa feta através da fórmula de quadratura de Gauss. Camadas de cocreto Camadas de armaduras C( ) σ j t x 3 S( ) σ j ξ ξ = -1 ξ ξ = +1 Fgura 6 Modelo estratfcado para o cocreto armado. Na Fgura 11 tem-se que t / 2 x 3 t / 2, sedo t a espessura da placa. No caso da placa de cocreto armado, os potos de Gauss, defdos ao logo da espessura em fução da coordeada homogêea ξ, represetarão as camadas de cocreto, como é mostrado a Fgura 11, e as armaduras serão dstrbuídas em potos adcoas, cujas posções são prevamete estabelecdas. Para a placa de aço, que será ocaso a ser tratado aqu, os potos de Gauss represetam camadas de aço. Os mometos e forças ormas teros ou verdaderos, o caso da placa de cocreto armado, são calculados a partr das equações: Mj = 2 t 4 Ng g= 1 σ (g) j ξ g W g Ns + σ δ A x (60.a) k= 1 S(k) j j S(k) k 3S Nj = t 2 Ng Ns (g) S(k) σ j Wg σj δjas(k) g= 1 k= 1 + (60.b) ode N s é o úmero de armaduras, A s a área da seção trasversal da armadura e x 3s sua posção. Para a placa de aço, as Eq. (60) exste apeas o prmero somatóro referete aos potos de Gauss Procedmeto cremetal e teratvo para a obteção da resposta ão-lear O algortmo é o segute: para uma teração +1 de um cremeto, segue-se os segutes passos: M + e 1) Calculam-se os cremetos de mometos { Δ } 1 e e forças ormas { } 1 referetes a todos os potos odas das células, a partr das Eqs. (58) e (59). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009 N + Δ elástcos,

79 Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do método dos elemetos de cotoro + 2) Se =0 calculam-se os cremetos de curvaturas { Δ( 1 / r) } 1 2 D + { Δε } 1 3) Se 1 através da le de Hooke., atualza-se a matrz tagete global [ ] TC )( ) devem ser dadas ao cremeto de curvaturas { Δ( 1 / r) } ( 73 e de deformações de chapa K (Eq. 57) e calculam-se as correções que δ e ao cremeto das deformações de 2 D chapa { δ Δε (Eq. 49), obtedo-se o ovo estado de curvaturas e deformações de chapa a } + 1 placa: { Δ( 1/ r) } { ( )} { ( )} = Δ 1/ r + δδ 1/ r Δε 2D + 1 = Δε 2D 2D e { } { } { } 4) Para cada poto odal das células, procede-se da segute maera: 4.1 Verfca-se o modelo costtutvo para cada poto de Gauss g defdo ao logo da espessura da placa, segudo os segutes passos: a) Se 1, calcula-se a correção o cremeto de deformações 2D 1 Δε = δδε x δδ 1/ r Δ ε + = Δε + δδε e { } { } ( ) ( ) δ { } 3 g, o cremeto de deformações { } { } { } as deformações totas: { } { } { } 1 1 2D 1 { ε} = { Δε } ( x ) Δ( 1/ r) Δ. 3 g{ } 1 + δδε ε = ε + Δε. Se = 0, tem-se que e b) Obtém-se o cremeto de tesões elástcas, ou de tetatva, { } + σ 1 e + 1 e + 1 { Δσ } = [ C] δδ() ε se 1 ou a partr da equação { σ } = [ C] Δ() ε { } ; Δ através da equação + { } 1 Δ (sedo [C] o tesor elástco dado pela le de Hooke) se = 0. Soma-se esse últmo ao estado de tesão e e + verdadero da teração ateror, obtedo-se as tesões totas { } {} { } 1 σ = σ + Δσ. c) Com as tesões totas verfca-se o modelo costtutvo, obtedo-se o vetor de tesão verdadero { } + 2 verdadero { } e + 1 p + σ, dado por {} {} { } { } 1 σ = σ + Δσ Δσ, e o cremeto de tesão Δ σ para o poto em questão. Se a teração ão for elástca, deve-se atualzar também a relação costtutva elasto-plástca [C ep ]. Procededo-se, da mesma forma, para todos os potos de Gauss, obtém-se uma ova dstrbução de tesão ao logo da espessura. 4.2 Calculam-se os mometos e forças ormas teros ou verdaderos { M } + 2 e { } 2 dos cremetos de mometos e forças ormas teros ou verdaderos { Δ } 1 e { } 1 N +, e o vetor M + N + Δ, que são calculados a partr das Eq. (60). Calculam-se, etão, os vetores de mometos e forças ormas resduas os potos plástcos: e { ΔM } = { Ψ } = { M } + 1 M e { ΔN } = { Ψ } = { N } + 1 N M + Δ -{ } 1 Δ -{ N } + 1 Δ (61) Δ (62) 4.3 Para todos os potos ao logo da espessura, verfca-se o crtéro de covergêca. 5) Segue-se o mesmo procedmeto para todos os potos odas das células. Se o crtéro de covergêca ão for verfcado, para algum poto, quer dzer que o estado de tesão a estrutura é tal que verfca o modelo costtutvo em todos os potos, mas ão é mas estatcamete admssível. Assm, aplcam-se { Ψ } 1 e { Ψ } 1 M + N + ao sstema como campos de esforços cas e passa-se à teração +2 (passo 1). Caso o crtéro de covergêca seja verfcado, passa-se ao cremeto (+1) segute (passo 1, =0). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

80 74 Gabrela Rezede Ferades & Wlso Sergo Vetur Ao fal de um cremeto, têm-se: X = L+ R M + R ~ ~ M ~ ~ 0 N ~ N ~ 0 (63) ode {X} é o vetor de cógtas da placa; {L} a resposta elástca; {M 0 } e {N 0 } são os vetores dos resíduos de mometos e forças ormas acumulados, que são obtdos somado-se a cada teração os cremetos das forças resduas. No algortmo apresetado aterormete, são fetas modfcações o que dz respeto à verfcação do crtéro para os potos pertecetes às vgas ou para aqueles que represetam o ecotro de vgas. Cosdere calmete, os potos defdos ao logo de uma vga. Para esses potos será e corrgdo apeas o cremeto de tesão Δ σ a dreção s v do cotoro o exo da vga. Assm, os sv sv e e cremetos de tesão Δ σ sv e Δ σ V V V, sedo v a dreção da ormal o exo da vga, serão cosderados sempre elástcos. Com sso, cosderado-se uma teração +1 de um cremeto, procede-se da segute forma para os potos de vga: e + Obtém-se o vetor das tesões totas de tetatva ({ } 2 maera apresetada aterormete. e Calcula-se a tesão total σ a dreção s v da vga, através da equação: sv sv σ ) o sstema (X 1, X 2 ) da mesma e 2 e e 2 e σ s = cos ασ x x + 2cosαse ασ x x + se ασ x x (64) sv V sedo α o âgulo que a dreção s v da vga faz com o exo X 1. Com σ verfca o crtéro, obtedo-se { } p + 1 e sv sv sv sv Δ σ. p ( ) Calcula-se o cremeto de tesões plástcas { } s + 1 p + ao cremeto de tesão{ Δ σ } 1, ou seja: Δσ Δσ Δσ p(s) 11 p(s) 22 p(s) 12 sv sv 2 cos α 2 = se α Δσ cos se α α p s s V V Δ σ o sstema (X 1, X 2 ) relatvas apeas e + p(s) + Obtêm-se as tesões verdaderas: {} {} { } { } 1 1 (65) σ = σ + Δσ Δσ (66) No caso de um poto que represeta o ecotro de duas vgas, segue-se o mesmo algortmo do poto pertecete a uma vga, porém esse caso o crtéro deve ser verfcado, separadamete, em cada uma das dreções s v1 e s v2,, que são as dreções do exo das vgas que chegam o poto. 4 RESULTADOS OBTIDOS 4.1 Exemplo umérco da formulação lear: placa erjecda com quatro vgas exteras e uma tera Nesse exemplo aalsa-se o caso de um pavmeto smples, cotedo uma vga tera e vgas de cotoro (ver Fgura 7) e cujas dmesões estão dadas em m. Foram cosderados dos lados lvres e os outros dos apoados. Para as lajes foram adotados: espessura t L =8cm, módulo de elastcdade Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

81 Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do método dos elemetos de cotoro 75 E= kN/m 2, coefcete de Posso ν=0,25. Para as vgas, adotaram-se o mesmo módulo de elastcdade e coefcete de Posso, porém espessura t V =30cm. Ao logo dos lados apoados foram prescrtos mometos guas a M x =1000kNxm/m, mas com sas cotráros, prescreveu-se ada ps=u =0 para todos os potos, a meos de um poto em uma das extremdades de um dos lados ode se mpõe us=u =0. Nos lados lvres tem-se: ps=p =0. 0,1 2,0 x 0,1 2,0 0,1 0,1 4,0 0,1 Fgura 7 Placa erjecda com vgas exteras e uma vga tera Fgura 8 Dscretzação cosderado mod Fgura 9 Dscretzação através da lha méda das vgas (mod2). No caso do modelo em que as varáves são defdas as terfaces (mod1), a aálse fo realzada cosderado-se uma malha de 84 elemetos (ver Fgura 8) e para o modelo em que as varáves são cosderadas os exos de vgas (mod2) foram cosderadas duas dscretzações: 42 e 122 elemetos. Na Fgura 9 tem-se a dscretzação de 42 elemetos. Além dsso, comparam-se esses resultados com aqueles obtdos através de um programa em elemetos ftos desevolvdo por Saches (2003). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

82 76 Gabrela Rezede Ferades & Wlso Sergo Vetur w(cm) x(m) mod1-84 elem - flexão smples mod2-42 elem - flexão smples MEF - flexão smples mod2-122 elem flexão composta Fgura 10 Deslocametos o exo da vga tera. Nas Fguras 10 e 11 apresetam-se os resultados obtdos o exo da vga tera (exo x da Fgura 7), ode se pode observar, que os valores obtdos com a formulação da placa sujeta à flexão composta são meores que aqueles da placa sujeta à flexão smples cosderado-se mod2, sedo a dfereça relatva o poto do maor deslocameto de 26%. No valor do maor mometo essa dfereça fo de 135 %. Os deslocametos obtdos com o programa em elemetos ftos foram muto próxmos daqueles obtdos com o modelo mod1 e bem meores que aqueles do modelo mod2. mx (10 3 knm/m) ,6 1,2 1,8 2,4 3 3,6 4, x(m) mod1-84 elem - flexão smples mod2-42 elemflexão smples mod2-122 elem - flexão composta MEF - flexão smples Fgura 11 Mometos, a dreção x, a vga tera. 4.2 Exemplo umérco da formulação ão-lear: placa erjecda com vgas exteras e uma vga tera com carga uformemete dstrbuída A placa aalsada esse exemplo está a Fgura 12, ode as udades são dadas em metro. A placa é smplesmete apoada com carga uformemete dstrbuída. Adotou-se E=25000KN/cm 2, K=2500KN/cm 2, σ y =24kN/cm 2, ν=0,25, t V =25cm, t L =8cm e carga dstrbuída q=20n/cm 2. Foram cosderadas duas dscretzações. Na prmera, a placa for dscretzada em 42 elemetos (ver exemplo 4.1) e cada laje em 16 células. A dscretzação do domío das lajes segue o modelo daquela dcada a Fgura 13, porém cosderam-se apeas três potos teros ao vés de cco. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

83 Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do método dos elemetos de cotoro 77 Fgura 12 Placa smplesmete apoada, erjecda com vgas exteras e uma tera. Na seguda dscretzação, cosderaram-se 122 elemetos e 48 células em cada laje. Nesse caso, a dscretzação do domío das lajes fo feta segudo o mesmo modelo daquela dcada a Fgura 14, dvddo-se porém, o lado maor em ses partes guas, ao vés de quatro. A placa fo aalsada cosderado-se flexão smples e flexão composta. Para o problema de chapa, foram cosderadas as segutes codções de cotoro: p s =p =0 para os dos lados exteros perpedculares à vga tera e também para um dos lados exteros o mesmo setdo dessa vga. No outro lado, cosderou-se: u s =u =0 em um poto localzado em uma das extremdades do lado e p s =u =0 para um poto da outra extremdade desse lado Fgura 13 Dscretzação da laje com 24 células. Fgura 14 Dscretzação da laje com 32 células. Os deslocametos do poto cetral da vga tera ao logo do processo cremetal estão represetados a Fgura 15. No cálculo com a flexão smples, a plastfcação se deu o segudo cremeto, ode β=2,2, a regão cetral da vga tera. Com a malha meos refada, o cremeto 23 ode se tha β=3,7, o cálculo ão covergu mas. Com a outra dscretzação o cálculo fo dvddo em 44 cremetos e a carga lmte obtda fo de q=91,2n/cm 2 quado o poto cetral da vga tera alcaçou o valor máxmo da deformação plástca efetva. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

84 78 Gabrela Rezede Ferades & Wlso Sergo Vetur flexao composta - 96 cel flexao composta -32cel flexao smples -32 cel flexao smples - 96 cel 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 w (cm) Fgura 15 Curva carga-deslocameto do poto cetral da vga tera. Na aálse com flexão composta a plastfcação se deu para β=1 e a carga lmte de q=52n/cm 2 fo atgda o cremeto 9. Os deslocametos trasversas esse cremeto, para a malha mas refada, estão a Fgura 16. Nesse caso, os deslocametos obtdos com a malha de 122 elemetos e 96 células foram muto meores que aqueles da malha de 42 elemetos e 32 células. Pode-se ver a Fgura 15 que a carga lmte obtda com a flexão smples fo quase o dobro daquela cosderado-se flexão composta e os deslocametos obtdos com a flexão composta foram muto meores que aqueles da flexão smples. Fgura 16 Deslocametos a vga tera o cremeto 8 da aálse de flexão composta com 96 células. 5 CONCLUSÕES O trabalho mostra que a aálse de estruturas plaas erjecdas pode ser feta através de uma formulação que evolva apeas elemetos de cotoro, dspesado-se portato a combação com o MEF tradcoalmete utlzada. O pavmeto é cosderado como sedo uma placa subdvdda em sub-regões, sedo cada sub-regão a represetação de uma vga ou laje. Com sso, ão é ecessáro defr elemetos de placa e vga. A formulação usado-se apeas MEC leva a um úmero meor de graus de lberdade, reduzdo também as aproxmações. O equlíbro de forças ao logo das terfaces é automatcamete satsfeto. A aplcação em estruturas de edfíco é um objetvo teressate; va permtr uma grade redução das dmesões do problema e melhorar a precsão da solução. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

85 Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do método dos elemetos de cotoro 79 Os dos modelos desevolvdos para aálse da flexão smples de placas erjecdas com vgas mostraram-se ser bastate efcetes. Porém, o modelo em que dscretza-se todo o cotoro das vgas, ecessta-se de um úmero muto elevado de ós a dscretzação, o que eleva muto o custo computacoal, além de dfcultar cosderavelmete a etrada de dados. O modelo alteratvo, em que dscretzam-se apeas as lhas médas das vgas mostrou-se ser mas teressate, devdo à redução do úmero de graus de lberdade do problema. As dfereças obtdas os resultados dos dos modelos ão foram sgfcatvas, quado se matêm as mesmas dstâcas etre as lhas ode se prescrevem as codções de cotoro. Caso cotráro, se as dmesões das lajes e vgas forem exatamete guas, as duas aálses, que é o caso dos exemplos apresetados aqu, em quase todos os exemplos, o modelo alteratvo mostrou-se ser mas rígdo, devdo às aproxmações fetas os deslocametos e rotações das vgas. Com relação à aálse lear do pavmeto cosderado-se o efeto de membraa, em todos os exemplos, a meos da placa escosa, os deslocametos foram meores que aqueles obtdos com a formulação de flexão smples, como era de se esperar. O exemplo da placa escosa é muto complexo, sedo dfícl justfcar porque os resultados seram maores a flexão composta, porém uma justfcatva possível sera o efeto da torção as vgas provocada pela excetrcdade. Nos exemplos umércos, cujas respostas podam ser verfcadas aaltcamete, o modelo apresetou ótmos resultados. Em todos os modelos, cosderado-se flexão smples ou composta, os resultados apresetaram boa covergêca com o refameto da malha, gerado respostas com boa precsão mesmo com malhas ão muto refadas. A clusão de campos de esforços cas a formulação obtda cosderado-se carregametos trasversas e o plao da placa, possblta a aálse de placas sujetas a efetos de temperatura e retração, bem como a aálse ão-lear. Na aálse ão-lear utlzou-se um algortmo cremetal-teratvo, baseado o Método de Newto-Raphso, computado-se a correção a partr do procedmeto de aplcação de campos de tesões cas, ode as matrzes evolvdas são atualzadas a cada teração. A utlzação do operador tagete cosstete, assocada à formulação mplícta de elemetos de cotoro, mostrou-se ser bem efcete. Nos exemplos, cujos valores dos esforços podam ser verfcados aaltcamete, os resultados foram muto bos. O modelo ão-lear mostrou-se ser estável, pos fo capaz de ecotrar a carga lmte e apresetou boa covergêca dos resultados com o refameto da malha. O procedmeto para obteção da correção o estado de curvaturas e de deformações de chapa, a ser aplcada em uma dada teração, em que os potos plástcos são separados dos elástcos, dmuu cosderavelmete o esforço computacoal, pos ao vés de verter a matrz tagete relatva a todos os potos da estrutura, se verta apeas a parcela relatva aos potos plástcos. Na aálse ão-lear, o cálculo dos esforços teros a placa fo feto cosderado-se um modelo estratfcado, ode a placa é dvdda em camadas, as quas verfcam-se os modelos costtutvos adotados para cada camada. Nesse trabalho, fo cosderado apeas o caso em que a placa é composta de apeas um materal, cujo comportameto ão-lear possa ser bem represetado pelo crtéro de Vo Mses, como é o caso do aço. No etato, o modelo pode ser faclmete esteddo para o caso de placas compostas de dferetes materas, como é o caso do cocreto armado. O tesor de mometos e forças ormas teros é obtdo, tegrado-se umercamete as tesões ao logo da espessura da placa. 6 AGRADECIMENTOS Agradecemos à FAPESP pelo apoo facero, sem o qual esta pesqusa ão podera ter sdo realzada. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

86 80 Gabrela Rezede Ferades & Wlso Sergo Vetur 7 REFERÊNCIAS BETTI, E. Teora dell elastcta. Il Nuovo Cemeto, p.7-10, BONNET, M.; MUKHERJEE, S. Implct BEM formulatos for usual ad sesvty problems elastoplastcty usg the cosstet taget operator cocept. It. J. Solds Structures, v. 33,. 30, p , BONNET, M. Équatos Itégrales et élémets de frotère. Pars: CNRS Édtos/Eyrolles, BOTTA, A. S. Uma formulação do método dos elemetos de cotoro para o estudo do comportameto de peças de cocreto armado com êfase os feômeos de perda de rgdez e localzação Tese (Doutorado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, CHUEIRI, L. H. M. Formulação do método dos elemetos de cotoro para aálse elastoplástca de placas São Carlos. 219p. Tese (Doutorado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, FERNANDES, G. R. O método dos elemetos de cotoro aplcado à aálse ão lear de placas São Carlos. 178p. Dssertação (Mestrado) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, FERNANDES, G. R. Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do método dos elemetos de cotoro São Carlos. Tese (Doutorado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, FIGUEIRAS, J. A. Ultmate load aalyss of asotropc ad reforced cocrete plates ad shells. Swasea. Tese (Doutorado) Uversty College of Swasea, FUDOLI, C. A. Formulação do método dos elemetos de cotoro e plastcdade com gradete Tese (Doutorado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, KIRCHHOFF, G. Uber das glechgewcht ud de bewegug eer elastsche sclebe. J. Math.,. 40, p , SANCHES, J. F. Desevolvmeto de modelos umérco para a aálse de pavmetos de edfícos de cocreto armado Tese (Doutorado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, VENTURINI, W. S.; PAIVA, J. B. Plate aalyss by the boudary elemet method cosderg zoed thckess doma. Software for Egeerg Workstatos., v. 4,. 4, p , Oct Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

87 Aálse ão-lear de estruturas de pavmetos de edfíco através do método dos elemetos de cotoro 81 VENTURINI, W. S. Um estudo sobre o método dos elemetos de cotoro e suas aplcações em problemas de egehara Tese (Lvre-Docêca) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

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89 ISSN AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL DA CONTRIBUIÇÃO DA ALVENARIA NO ENRIJECIMENTO DE PÓRTICOS METÁLICOS Rta de Cássa Slva Sat Aa Alvarega 1, Roberto Márco da Slva 2 & Helea M. Cuha Carmo Atues 3 Resumo Apreseta-se este trabalho um estudo expermetal do comportameto de pórtcos metálcos de perfs soldados, preechdos com blocos de alveara estrutural de cocreto celular autoclavados, cosderado a cotrbução da alveara a rgdez global da estrutura. O cojuto pórtco-pael fo submetdo a uma ação horzotal aplcada o exo da vga superor do pórtco. Foram realzadas duas séres de esaos em que foram avalados dferetes parâmetros, como: relação altura/comprmeto dos pórtcos, argamassa utlzada as jutas, elemetos compoetes da terface pórtco-pael e exstêca ou ão de aberturas as paredes. Os resultados obtdos comprovam a efcêca de se utlzar a alveara como elemeto de erjecmeto de estruturas metálcas, proporcoado ecooma e rapdez a execução. Palavras-chave: Alveara estrutural. Pórtco preechdo. Aálse expermetal. Estrutura metálca. EXPERIMENTAL ANALYSIS OF MASONRY INFILLED STEEL FRAMES STRUCTURES Abstract Ths work presets a expermetal study of the behavor of masory flled steel frames structures, regardg the cotrbuto of the masory to the structure global stffeg. The system steel frame flled wth structural blocks of autoclaved aerated cocrete was subjected to horzotal acto appled to the frame upper beam axs. The study cossted of two seres tests, real sze, where dfferet parameters had bee evaluated: frames wth dfferet ratos heght/legth, type of mortar used the jots, compoet elemets of the terface frame-pael ad exstece or ot of opegs the paels. The results obtaed prove the masory effcecy as stffeg elemet for steel structures, provdg steel weght ecoomy, as well as speed the masory executo. Keywords: Masory. Iflled steel frame. Expermetal ad umercal aalyss. 1 INTRODUÇÃO As estruturas de aço ou cocreto armado frequetemete utlzam paés de alveara como elemetos de vedação, sem dar a devda ateção à cotrbução destes como elemetos estruturas. No etato, as propredades e os detalhes costrutvos da assocação de pórtcos e paés podem ter uma grade fluêca o comportameto global da estrutura. A estrutura composta, resultate do preechmeto de pórtcos de aço com paés de alveara, apreseta um comportameto bastate dferete do comportameto de cada um deles soladamete. Os paés de alveara teragem em seus plaos com membros fletdos de aço, e a capacdade de carga dos pórtcos aumeta cosderavelmete em vrtude do erjecmeto destes pela preseça da alveara. Os paés de alveara, que são rígdos e resstetes à compressão mas relatvamete pouco resstetes à tração, podem servr de membros comprmdos em combação com as vgas e coluas resstetes à flexão e aos esforços axas. A trasferêca de cargas etre os 1 Professora da Uversdade Federal de Vçosa, rtadecassa@ufv.br 2 Professor do Departameto de Egehara de Estruturas da UFMG, roberto@dees.ufmg.br 3 Professora Aposetada do Departameto de Egehara de Estruturas da EESC-USP, helea@sc.usp.br Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

90 84 Rta de Cássa Slva Sat'Aa Alvarega, Roberto Márco da Slva & Helea M. Cuha Carmo Atues paés e a estrutura retculada é feta a partr do comprmeto efetvo de cotato que é fução da rgdez relatva etre os paés os seus plaos e a estrutura retculada. O comportameto de pórtcos preechdos com alveara, submetdos a ações lateras, pode ser descrto em 3 estágos (Polyakov 1960). No prmero estágo, o pael de alveara e os membros da estrutura retculada comportam-se como uma udade moolítca. Este estágo terma quado surgem as prmeras fssuras etre o pael e os membros do pórtco. Estas fssuras são observadas a terface do pael-pórtco, com exceção de pequeas regões ode as tesões de compressão são trasmtdas do pórtco para o pael os dos catos dagoalmete opostos, Fgura 1. P comprmeto de cotato (a) Fgura 1 (a) Sstema pórtco-parede; (b) comprmeto de cotato das terfaces, em sstemas solctados a ações horzotas. (b) O segudo estágo é caracterzado por um ecurtameto da dagoal comprmda e alogameto da dagoal tracoada. Neste estágo, a dstrbução de tesões cofgura-se de forma a detfcar uma dagoal comprmda o pael de alveara e o cojuto pórtco-pael se coverte em um sstema estrutural de pórtco com barra de travameto bartculada. Este estágo terma com fssuras o pael ao logo da dagoal comprmda. As fssuras usualmete aparecem de forma escaloada as jutas horzotas e vertcas. No tercero estágo, a estrutura composta cotua a resstr a cremetos de carga apesar das fssuras a dagoal. Estas cotuam a aumetar e ovas fssuras aparecem, ecerrado este estágo, uma vez que o sstema ão possu mas capacdade para suportar acréscmos de carga. 2 METODOLOGIA O programa expermetal costou de 10 esaos em pórtcos de aço preechdos com alveara e quatro esaos em pórtcos sem preechmeto, cujas característcas são apresetadas resumdamete a Tabela 1, além dos esaos de caracterzação dos materas. A fluêca da relação altura/comprmeto (H/L) o comportameto de pórtcos preechdos fo avalada através de esaos em dos protótpos de aço, em escala real, com relações H/L guas a 0,83 (268 cm x 322 cm) e 0,51 (268 cm x 522 cm). Os pórtcos trabalharam em regme elástco, equato a alveara fo esaada até o colapso, a fm de obter o seu modo de ruptura. Nas terfaces pórtco-pael utlzaram-se ferros-cabelo, a forma de estrbos, soldados à mesa dos plares, ou apeas argamassa polmérca, tpo colate. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

91 Avalação expermetal da cotrbução da alveara o erjecmeto de pórtcos metálcos 85 As duas prmeras paredes foram moldadas utlzado uma argamassa de traço em volume 1:3:7,5 de cmeto, cal e area. A partr da tercera parede, utlzou-se argamassa polmérca, tpo colate. Foram esaadas paredes costtuídas de blocos estruturas macços de cocreto celular autoclavado (CCA), com resstêca méda à compressão de 4,5 MPa. Tabela 1 Característcas dos esaos de pórtcos preechdos realzados ENSAIO RELAÇÃO H/L ARGAMASSA INTERFACE MATERIAL ABERTURA 01A 0,83 1:3:7,5 cmeto, cal e area Ferros-cabelo Blocos - CCA Não 02A 0,83 1:3:7,5 cmeto, cal e area Ferros-cabelo Blocos - CCA Não 03A 0,83 Cmet-cola Ferros-cabelo Blocos - CCA Não 04A 0,83 Cmet-cola Ferros-cabelo Blocos - CCA Não 05A 0,83 Cmet-cola Cmet-cola Blocos - CCA Não 06A 0,83 Cmet-cola Cmet-cola Blocos - CCA Não 01B 0,51 Cmet-cola Cmet-cola Blocos - CCA Não 02B 0,51 Cmet-cola Cmet-cola Blocos - CCA Não 03B 0,51 Cmet-cola Cmet-cola Blocos - CCA Sm 04B 0,51 Cmet-cola Cmet-cola Blocos - CCA Sm 2.1 Protótpos de aço Para avalação do comportameto de pórtcos de aço preechdos com alveara, foram utlzados dos protótpos em escala real, TIPO I e TIPO II, compostos de perfs soldados, aço ASTM A36, com relações altura/comprmeto guas a 0,83 e 0,51, respectvamete. O pórtco TIPO I, Fgura 2a, possuía as característcas geométrcas dadas pela Tabela 2. Os protótpos apresetavam bases egastadas, projetadas em fução das característcas do gabarto de furos da laje de reação do laboratóro e segudo prescrções da orma NBR Cada plar fo lgado rgdamete ao cetro de uma chapa de aço de 220 mm x 600 mm e espessura de 63,5 mm, que por sua vez fo soldada cetrada sobre outra chapa de 1100 mm x 600 mm, costtudo a base do plar. Para fxá-la, foram utlzados parafusos passates, de aço ASTM-A325, de 25,4 mm de dâmetro, com duas porcas em cada uma das extremdades de cada parafuso, coforme Fgura 3. Os perfs utlzados foram poscoados com a maor érca o plao da estrutura. As lgações vga-plar foram fetas através de catoeras parafusadas com abas de 63,3 mm x 6,3 mm x 160 mm de altura, espessura e comprmeto, respectvamete. Dos parafusos de 16 mm, espaçados 75 mm, smularam as lgações sem-rígdas, Fgura 4. Foram utlzados trates lgado o topo de cada plar ao pso do laboratóro, em ambos os lados, a fm de evtar a perda de establdade e efetos de excetrcdade o sstema. Os trates eram costtuídos por cabos de aço de 8 mm de dâmetro, com passadera regulável e fxos ao pso através de uma catoera de abas guas de 50 mm, espessura de 6,3 mm e dos parafusos de aço ASTM- A325 com dâmetro de 25,4 mm. O pórtco TIPO II, Fgura 2b, projetado e executado para fs desta pesqusa, fo composto de perfs I soldados, aço ASTM-A36, possudo as mesmas característcas geométrcas para a seção trasversal do pórtco TIPO I, dadas pela Tabela 2. As bases do pórtco eram rgdamete egastadas, segudo o modelo utlzado para o pórtco TIPO I. Foram também utlzados trates lgado o topo de cada plar ao pso do laboratóro, em ambos os lados, a fm de evtar perda de establdade e efetos de excetrcdade o sstema. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

92 86 Rta de Cássa Slva Sat'Aa Alvarega, Roberto Márco da Slva & Helea M. Cuha Carmo Atues 2.2 Paredes de alveara Neste trabalho, foram utlzados blocos estruturas macços de cocreto celular autoclavados da Scal, com resstêca méda à compressão de 4,5 MPa. Os blocos utlzados a cofecção dos paés possuíam dmesões de 600 mm x 300 mm x 150 mm e foram utlzados também os esaos de prsmas, uma relação altura/largura gual a 4. Nas jutas foram utlzados dos tpos de argamassa de assetameto: argamassa com traço em volume de materal seco de 1:3:7,5, de cmeto, cal hdratada e area lavada méda, respectvamete, coforme recomedações do fabrcate de blocos e argamassa cmet-cola. Alveara Força Protótpo TIPO I (a) (cm) 22 Força Alveara Protótpo TIPO II (cm) Fgura 2 Pórtcos esaados: (a) TIPO I: relação altura/comprmeto=0,83 e (b) TIPO II: relação altura/comprmeto=0,51. (b) Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

93 Avalação expermetal da cotrbução da alveara o erjecmeto de pórtcos metálcos 87 Fgura 3 Base egastada. Tabela 2 Característcas geométrcas do pórtco TIPO I CARACTERÍSTICA GEOMÉTRICA Comprmeto dos plares Comprmeto das vgas Seção trasversal para vgas e plares Altura da alma (hw) Espessura da alma (tw) Largura da mesa (bf) Espessura da mesa (tf) Lgação vga-plar com catoeras parafusadas de abas guas (Fgura 4): Altura das abas Espessura Comprmeto Parafusos aço ASTM-A325 (lgações sem-rígdas) ESPECIFICAÇÃO = 268 cm = 300 cm = 204 mm = 6,3 mm = 200 mm = 8 mm t f t w = 63,3 mm = 6,3 mm = 160 mm 2 parafusos de 16 mm espaçados etre s 75 mm b f h w d Fgura 4 Lgações sem-rígdas. Catoeras parafusadas. 3 DESENVOLVIMENTO Foram realzadas duas séres de esaos em que foram avalados dferetes parâmetros, como: relação altura/comprmeto dos pórtcos, argamassa utlzada as jutas, elemetos compoetes da terface pórtco-pael e exstêca ou ão de aberturas as paredes. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

94 88 Rta de Cássa Slva Sat'Aa Alvarega, Roberto Márco da Slva & Helea M. Cuha Carmo Atues 3.1 Iterface pórtco-pael Aalsou-se a terface pórtco-pael utlzado dos tpos de lgação etre as partes: lgação com barras de aço (ferros-cabelo) e lgação com argamassa polmérca (argamassa Cmet-cola). Para o pórtco TIPO I, que possu relação altura/comprmeto gual a 0,83, foram realzados quatro esaos utlzado ferros-cabelo e dos esaos sem os ferros-cabelo. Quado foram utlzados ferroscabelo, trabalhou-se com dos tpos de argamassa de assetameto: argamassa traço 1:3:7,5 de cmeto, cal e area e argamassa Cmet-cola, efetuado-se dos esaos com cada uma delas. Foram também realzados dos esaos com argamassa Cmet-cola, porém sem o ferro-cabelo, totalzadose ses esaos com o pórtco TIPO I. Para o pórtco TIPO II, sto é, com relação altura/comprmeto gual a 0,51, utlzou-se argamassa Cmet-cola as terfaces em todos os esaos realzados Lgação com barras de aço (ferros-cabelo) As amarrações foram executadas com um fo de aço lso (CA 60B), com 5 mm de dâmetro, a forma de retâgulo, como lustrado a Fgura 5. Esse ferro, comumete deomado ferro-cabelo, fo soldado à mesa do plar metálco a cada fada. Fgura 5 Característcas do ferro-cabelo: (a) detalhe do ferro-cabelo e (b) seção trasversal de uma fada de bloco com ferro-cabelo soldado à mesa do plar. 3.2 Sstema de carregameto Fo projetado e costruído, para fs deste estudo, um pórtco de reação de aço ASTM A36, cotravetado o plao por uma barra brrotulada clada. Fora do plao, o travameto é feto por duas barras de perfs soldados, perpedculares aos plares e lgadas a outro pórtco de reação, paralelo ao prmero. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

95 Avalação expermetal da cotrbução da alveara o erjecmeto de pórtcos metálcos 89 O carregameto aplcado os esaos costa de uma ação horzotal crescete, o exo da vga superor do protótpo. Para sso fo utlzado um sstema de cldro hdráulco, Fgura 6, fxado ao pórtco de reação e cotrolado por uma bomba hdráulca. O sstema mecâco fo coectado ao Sstema de Aqusção de Dados, permtdo a obteção das leturas de carga a cada state da aplcação. Fgura 6 Sstema de aplcação de carga (cldro hdráulco). Na Fgura 7 é mostrado um croqus do cojuto protótpo TIPO I - Pórtco de reação. ROLOS PARA TRAVAMENTO VERTICAL PROTÓTIPO PÓRTICO DE REAÇÃO CILINDRO (COMPRESSÃO) LAJE DE REAÇÃO SISTEMA DE AQUISIÇÃO DE DADOS BOMBA MANUAL Fgura 7 Croqus do cojuto protótpo-pórtco de reação. Dmesões (cm). 3.3 Istrumetação dos protótpos Para computar as respostas à ação do carregameto atuate sobre a estrutura, foram utlzados dferetes aparelhos e dspostvos, colocados em posções estratégcas a face frotal do cojuto pórtco-pael. A fm de medr as deformações e deslocametos em dversos potos do pórtco e da parede, foram utlzados cco trasdutores de deslocameto, oto extesômetros e oto relógos comparadores. A strumetação das paredes sem aberturas é apresetada a Fgura 8a e a Fgura 8b apreseta-se a legeda. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

96 90 Rta de Cássa Slva Sat'Aa Alvarega, Roberto Márco da Slva & Helea M. Cuha Carmo Atues (b) BOMB MANU (a) 1 : Extesômetro horzotal feror 2 : Extesômetro vertcal feror 3 : Extesômetro dagoal feror 4 : Extesômetro horzotal superor 5 : Extesômetro dagoal superor 6 : Extesômetro vertcal superor 7 : Extesômetro dagoal cetral 8 : Extesômetro bloco depedete 9 : DT-lateral global pórt. de reação 10 : DT-lateral global do protótpo 11 : DT-vertcal superor 12 : DT-horzotal superor 13 : DT-dagoal cetral 14 : Relógo comparador horz. superor 15 : Relógo comp. vertcal superor 16 : Relógo comp. catoera dreta 17 : Relógo comparador vertcal feror 18 : Relógo comparador vertcal feror 19 : Relógo comparador horz. feror 20 : Relógo comparador horz. Iferor 21 : Relógo comp. flambagem lateral 22 : Trasdutor de pressão * DT - Trasdutor de deslocameto (b) Fgura 8 Istrumetação dos esaos: (a) paredes sem aberturas e (b) legeda. 4 RESULTADOS OBTIDOS Os resultados dos esaos realzados, obtdos através do sstema Aq Dados 4.0, foram fltrados e covertdos em tabela ASC II, para tratameto em softwares de plalhas eletrôcas, que dspoblzam maor úmero de recursos gráfcos. A segur são apresetados os resultados dos esaos dos pórtcos TIPO I e TIPO II. 4.1 Resultados referetes aos esaos do pórtco tpo I (Sére A) Apresetam-se, a Fgura 9, os dagramas força-deslocameto correspodetes aos esaos do pórtco tpo I sem preechmeto e preechdo com blocos de CCA, de acordo com os ses esaos realzados, cujas característcas são descrtas a Tabela 1. Os esaos de pórtcos preechdos foram coduzdos até a fssuração do pael de alveara. A Fgura 9 stetza a grade cotrbução à rgdez do cojuto troduzda pela preseça dos paés. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

97 Avalação expermetal da cotrbução da alveara o erjecmeto de pórtcos metálcos 91 Força (kn) 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00 Pórtco Pórtco-Parede 1 Pórtco-Parede 2 Pórtco-Parede 3 Pórtco-Parede 4 Pórtco-Parede 5 Pórtco-Parede 6 0,00 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 Deslocameto (mm) Fgura 9 Dagrama força-deslocameto para o pórtco sem preechmeto e para os sstemas pórtco-parede da sére A. Nos dos prmeros esaos, realzados aos 20 e 28 das, respectvamete, utlzou-se argamassa de assetameto o traço em volume 1:3:7,5 de cmeto, cal e area, além de ferros-cabelo a terface pórtco-pael. A ruptura correspodete fo, em ambos os casos, por csalhameto as jutas de argamassa da alveara, coforme Fgura 10. As cargas de ruptura correspodetes aos dos prmeros esaos foram de 71,23 kn e 102,13 kn, respectvamete, e os deslocametos horzotas máxmos, de 4,41 mm e 9,96 mm. Nos quatro últmos esaos o pórtco TIPO I fo utlzada argamassa Cmet-cola as jutas de assetameto, com 5 mm de espessura. Como a argamassa Cmet-cola apreseta maor resstêca à tração e ao csalhameto que a argamassa covecoal (1:3:7,5), em todos os quatro casos houve aumeto cosderável da carga de ruptura em relação aos dos prmeros esaos. F F 213 cm 213 cm 278 cm 278 cm 20 kn kn kn kn 90 kn 100 kn Fgura 10 Modos de ruptura referetes aos dos prmeros esaos com jutas de assetameto de argamassa o traço 1:3:7,5 de cmeto, cal e area e ferros-cabelo a terface (esaos 1A e 2A). No tercero e quarto esaos foram utlzados ferros-cabelo as terfaces pórtco-pael e o quto e sexto, utlzou-se apeas argamassa Cmet-cola. As cargas de ruptura e os deslocametos Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

98 92 Rta de Cássa Slva Sat'Aa Alvarega, Roberto Márco da Slva & Helea M. Cuha Carmo Atues lateras globas do cojuto, correspodetes aos quatro últmos esaos, estão apresetados a Tabela 3. Tabela 3 Cargas de ruptura e deslocametos lateras globas do cojuto Esao Carga de ruptura (kn) Deslocameto lateral do sstema pórtcopael (mm) 3A 189,72 11,45 4A 206,60 11,80 5A 169,93 6,86 6A 175,00 10,45 Observou-se que, utlzado argamassa do tpo Cmet-cola, pratcamete ão surgram fssuras as jutas de argamassa até a carga de fssuração, com exceção do descolameto da terface. A parede fucoou durate todo o tempo como um pael moolítco, cofgurado-se a ruptura por tração a dagoal. 14. Os modos de ruptura dos esaos 3A, 4A, 5A e 6A são apresetados as Fguras 11,12,13 e Ifluêca do ferro-cabelo Apresetam-se a Fgura 15, os dagramas força x deslocameto dos esaos 3A, 4A, 5A e 6A, cujas paredes foram moldadas com argamassa polmérca, tpo Cmet-cola. Nos esaos 3A e 4A, foram utlzados ferros-cabelo as terfaces, ao passo que os outros dos fo usada apeas argamassa polmérca. Notou-se que a preseça dos ferros-cabelo ão afetou a rgdez global dos pórtcos preechdos e também ão cotrbuu para o aumeto da resstêca em termos de carga de ruptura. F 213 cm 278 cm 33 kn 170 kn 190 kn Fgura 11 Modo de ruptura referete ao esao com jutas de assetameto de argamassa cmet-cola e terface com ferros-cabelo (esao 3A). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

99 Avalação expermetal da cotrbução da alveara o erjecmeto de pórtcos metálcos 93 Fgura 12 Modo de ruptura referete ao esao com jutas de assetameto de argamassa cmet-cola e terface com ferros-cabelo (esao 4A). Fgura 13 Modo de ruptura referete ao esao com jutas de assetameto de argamassa cmet-cola e terface sem ferro cabelo (esao 5A). Fgura 14 Modo de ruptura referete ao esao com jutas de assetameto com argamassa Cmet-cola e terface sem ferros-cabelo (esao 6A). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

100 94 Rta de Cássa Slva Sat'Aa Alvarega, Roberto Márco da Slva & Helea M. Cuha Carmo Atues Dagrama Força-Deslocameto Força (kn) 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00 0,00-1,00 4,00 9,00 Deslocameto (mm) Com ferro-cabelo-3a Com ferro-cabelo-4a Sem ferro-cabelo-5a Sem ferro-cabelo-6a Fgura 15 Dagrama força-deslocameto os esaos da sére A com e sem ferros-cabelo Ifluêca do tpo de argamassa Os dagramas força-deslocameto apresetados a Fgura 16, relatvos aos esaos 1A, 2A, 3A e 4A, permtem efetuar uma avalação da fluêca do tpo de argamassa a rgdez e carga de ruptura de paés de pórtcos preechdos com alveara. Nos dos prmeros esaos (1A, 2A), utlzou-se argamassa traço 1:3:7,5 de cmeto, cal e area; e os outros dos fo usada argamassa polmérca, tpo Cmet-cola. Nos esaos 1A e 2A, o modo de ruptura fo por csalhameto e tração ao logo das jutas de argamassa, tedo em vsta que a argamassa utlzada apresetou baxa resstêca à tração e ao csalhameto. As fssuras a dagoal caram-se com baxas cargas e se propagaram com o acréscmo destas. Nos dos esaos segutes, utlzado-se argamassa Cmet-cola, as resstêcas à tração e ao csalhameto da argamassa aumetaram e ão surgram fssuras ao logo da dagoal. 250,00 200,00 Força (kn) 150,00 100,00 Arg. 1:3:7,5-1A Arg. 1:3:7,5-2A 50,00 Arg. Cmet-cola -3A 0,00 Arg. Cmet-cola - 4A 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 Deslocameto (mm) Fgura 16 Ifluêca do tpo de argamassa utlzada para assetameto dos blocos e terface a rgdez de pórtcos preechdos com alveara. 4.2 Resultados referetes aos esaos do pórtco tpo II (Sére B) Apreseta-se, a Fgura 17, o dagrama força-deslocameto para o pórtco TIPO II sem preechmeto e para cada um dos esaos do sstema de pórtco-parede realzados com esse pórtco Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

101 Avalação expermetal da cotrbução da alveara o erjecmeto de pórtcos metálcos 95 (sére B): dos com paredes sem aberturas e dos com paredes com abertura. Os esaos foram coduzdos até a fssuração dos paés de alveara. Nessa sére, todos os esaos foram realzados com 14 das de dade, e em todos eles se utlzou argamassa Cmet-cola para assetameto dos blocos e paés de alveara de CCA. Nos dos prmeros esaos, fo aplcada uma camada de reboco de 1,5 cm de espessura e 20 cm de largura ao logo das terfaces plar-pael, dexado-se um espaçameto de 1 cm etre o reboco e o plar, que fo preechdo com mastque, a face frotal da parede. Esse procedmeto vsou à avalação do comportameto do mastque como elemeto de vedação, de modo a mmzar vsualmete o efeto do descolameto surgdo as terfaces tracoadas. 250,00 Força (kn) 200,00 150,00 100,00 50,00 Pórtco-Parede 1B Pórtco-Parede 2B Pórtco-Parede 3B Pórtco-Parede 4B Pórtco TIPO II 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 Deslocameto (mm) Fgura 17 Dagrama força-deslocameto do pórtco sem preechmeto e dos sstemas pórtco-parede esaados. No prmero esao, aos 112 kn a parede se matha pratcamete tacta e o comprmeto de descolameto era costate, até que aos 140 kn cou-se o esmagameto dos catos comprmdos, que cotuou crescedo com a aplcação da carga. Com 150 kn, partes de blocos dos catos comprmdos começaram a se despreder, ocorredo ruptura frágl por tração da dagoal para uma carga de 173 kn, Fgura 18a". O segudo esao, com as mesmas característcas do prmero, apresetou desevolvmeto também smlar. Ates do íco do esao, a parede já apresetava descolameto a terface paelvga superor. Isso pode ter ocorrdo devdo à flecha surgda a vga feror, tedo em vsta o cosderável comprmeto do vão (5 m). Durate o segudo esao foram aplcadas cargas até 210 kn, e a parede ão sofreu ruptura da dagoal tracoada. As fssuras presetes eram a vertcal, cometada aterormete, e outras ao logo do ecuhameto, coforme mostrado a Fgura 18b". No etato, o pórtco fo descarregado para que ão ultrapassasse o seu lmte elástco. O tercero e quarto esaos da sére B foram de paredes com abertura cetral de 150 x 90 cm 2. As vergas e cotravergas pré-moldadas de CCA, com armação, de 2 m de comprmeto e seção trasversal de 15 x 30 cm 2, foram colocadas o setdo da meor érca, a fm de permtr a execução de mas uma fada etre a verga e a vga superor. Nestes dos esaos o modo de ruptura correspodete fo por csalhameto as jutas de argamassa da alveara e tração e csalhameto os blocos, coforme Fgura 19a e 19b". Mesmo sedo paredes cotedo abertura, cotuou a exstr a cofguração de uma bela, embora a carga de ruptura teha dmuído cosderavelmete. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

102 96 Rta de Cássa Slva Sat'Aa Alvarega, Roberto Márco da Slva & Helea M. Cuha Carmo Atues Fgura 18 Modos de ruptura referetes aos dos prmeros esaos: jutas de assetameto e terface de argamassa cmet-cola: (a) esao 1B e (b) esao 2B Ifluêca da abertura a parede Apresetam-se a Fgura 20 os dagramas força-deslocameto do pórtco TIPO II preechdo por parede sem abertura (esaos 1B e 2B) e com abertura (esaos 3B e 4B), de blocos de cocreto celular autoclavado. Comparado a rgdez cal dos esaos com e sem abertura, percebe-se a perda de rgdez produzda pela trodução da abertura a parede. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

103 Avalação expermetal da cotrbução da alveara o erjecmeto de pórtcos metálcos 97 F 213 cm 478 cm 30 kn 40 kn 50 kn 60 kn 20 kn 95 kn (a) F 213 cm 478 cm 30 kn 40 kn 50 kn 70 kn (b) 20 kn Fgura 19 Modos de ruptura referetes aos esaos de parede com abertura de 150 x 90 cm2: (a) esao 3B e (b) esao 4B. Para fs de comparação, cosdere a máxma força aplcada à estrutura e o deslocameto horzotal correspodete. Chamado-se de rgdez méda horzotal a razão etre a força máxma e o deslocameto correspodete, tem-se que esta rgdez para o sstema sem abertura era de 14,00 kn/mm, equato para o sstema com abertura a rgdez méda torava-se 8,36 kn/mm, correspodedo a uma perda de rgdez em toro de 40%. Se a comparação for feta em relação ao deslocameto de 10 mm, as rgdezas médas das paredes sem e com abertura toram-se, respectvamete, 16,7 kn/mm e 8,77 kn/mm, correspodedo a uma perda de rgdez da ordem de 47,5%; o mesmo acotece em termos de resstêca. A méda das forças máxmas aplcadas os esaos das paredes sem abertura é de 191,5 kn, equato para as paredes com abertura esse valor é de 82,5 kn, correspodedo a uma dmução de 57% o valor da carga. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

104 98 Rta de Cássa Slva Sat'Aa Alvarega, Roberto Márco da Slva & Helea M. Cuha Carmo Atues 250,00 200,00 Força (kn) 150,00 100,00 50,00 Pórtco-Parede 1B Pórtco-Parede 2B Pórtco-Parede 3B Pórtco-Parede 4B 0,00 0,00 3,00 6,00 9,00 12,00 15,00 Deslocameto (mm) Fgura 20 Dagramas força-deslocameto para os pórtcos preechdos com parede sem e com abertura, esaos 1B e 2B e 3B e 4B, respectvamete Ifluêca da relação altura/comprmeto dos protótpos Para avalação da fluêca da relação altura-comprmeto dos pórtcos a rgdez e resstêca de pórtcos preechdos, os resultados dos esaos 5A e 6A, realzados com o pórtco TIPO I (H/L=0,83), são comparados com aqueles obtdos através dos esaos 1B e 2B, com o pórtco TIPO II (H/L=0,51). Todos esses esaos referem-se a paredes sem aberturas de blocos de CCA, com jutas e terface de argamassa Cmet-cola. Na Fgura 21 são apresetados os dagramas força-deslocameto dos esaos realzados com os pórtcos TIPO I (esaos 5A e 6A) e TIPO II (esaos 1B e 2B). Com o aumeto da carga aplcada, o sstema TIPO I, que possu meor vão, ou seja, maor relação H/L (H/L=0,83), apreseta maor rgdez que o sstema TIPO II (H/L=0,51). Dagrama Força x Deslocameto 250,00 Força (kn) 200,00 150,00 100,00 50,00 0,00 0,00 4,00 8,00 12,00 16,00 Deslocameto (mm) H/L=0,51-1B H/L=0,51-2B H/L=0,83-5A H/L=0,83-6A Fgura 21 Dagramas força-deslocameto dos sstemas H/L=0,83 - TIPO I (esaos 5A e 6A) e H/L=0,51 - TIPO II (esaos 1B e 2B). Com relação à resstêca, o sstema TIPO I comporta-se como um moolto até a carta de ruptura, ão apresetado fssuras até o rompmeto da dagoal, por fssuração, de uma forma frágl. Já para o sstema TIPO II, com vão de 5 m, esse comportameto ão se repete. Ates da ocorrêca da ruptura frágl da dagoal, surgem fssuras vertcas o cato superor tracoado. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

105 Avalação expermetal da cotrbução da alveara o erjecmeto de pórtcos metálcos 99 Nos esaos TIPO I, a carga méda de fssuração da dagoal fo de 172 kn, equato o sstema TIPO II, em um dos esaos realzados, ocorreu a fssuração da dagoal para uma carga de 173 kn e o outro, até a carga de 210 kn, ão houve ruptura da dagoal. Percebeu-se, dessa forma, tedêca de aumeto da carga de fssuração da dagoal à medda que aumeta o vão, ou seja, dmu-se a relação H/L. No etato, as fssuras vertcas o cato superor tracoado apresetam comprmeto cosderável. Na carga de 170 kn, as rgdezas os esaos 5A e 6A do pórtco TIPO I possuem os valores de 25,40 kn/m e 28,48 kn/m, equato os esaos 1B e 2B esses valores valem 13,91 kn/m e 17,40 kn/m. Em termos de deslocametos, para um deslocameto lateral máxmo de 8 mm, as rgdezas dos esaos 5A e 6A do sstema TIPO I foram de 24,99 kn/mm e 22,05 kn/mm, ao passo que os esaos 1B e 2B, o sstema TIPO II, seus valores foram de 16,91 kn/mm e 17,86 kn/mm. Com relação aos descolametos das terfaces, esses aumetaram de forma mas acetuada em pórtcos de maores vãos e meores relações H/L, como pode ser percebdo pelos dagramas apresetados a fgura 3.58, em que são apresetados os maores descolametos ocorrdos as terfaces pórtco-pael. Esses descolametos referem-se àqueles meddos pelo Rel 05 e Rel 06 (horzotal feror) e DT 04 (horzotal superor). 5 CONCLUSÕES Apresetou-se este trabalho uma avalação expermetal de pórtcos preechdos com alveara de CCA, varado parâmetros como: relação altura/comprmeto de pórtcos, argamassa de assetameto, elemetos compoetes da terface pórtco-pael e a exstêca de abertura as paredes. No que se refere à relação altura/comprmeto dos pórtcos, foram avalados dos pórtcos com relação H/L=0,83 (TIPO I) e H/L=0,51 (TIPO II). Observou-se que, quato meor a relação H/L e, cosequetemete, maor o vão do pórtco, maor a carga últma do pael. No etato, o sstema TIPO II foram observadas fssuras vertcas a regão tracoada ates da ocorrêca da ruptura frágl da dagoal, equato o sstema TIPO I fucoou como moolto até a carga de ruptura por fssuração da dagoal. Com relação às argamassas utlzadas as jutas, fo verfcado que a de traço 1:3:7,5 de cmeto, cal e area ão teve bom desempeho quado submetda a carregameto horzotal, equato a argamassa Cmet-cola apresetou excelete performace, aumetado cosderavelmete a carga de ruptura, bem como a rgdez do cojuto. Os ferros-cabelo utlzados as terfaces plar-pael, de (10 x 30) cm, ão apresetaram resultados satsfatóros o que se refere ao mpedmeto do descolameto. Também, ão cotrbuíram para a resstêca ou rgdez do cojuto. As aberturas o pael coduzram a uma perda de rgdez e resstêca quado comparada com paredes sem aberturas. Percebeu-se, ada, o comportameto do pael como bela e cocetração de tesões os catos da abertura. Nos dos catos opostos, a dreção da dagoal comprmda surgram tesões prcpas máxmas de tração que provocaram fssurações escaloadas a partr desses catos. Essas tesões de tração apresetaram valores elevados para baxas cargas aplcadas. Observou-se, portato, uma baxa resstêca e rgdez dos paés com esse tpo de abertura. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

106 100 Rta de Cássa Slva Sat'Aa Alvarega, Roberto Márco da Slva & Helea M. Cuha Carmo Atues 6 AGRADECIMENTOS O prmero autor agradece à CAPES, pela cocessão da bolsa de doutorameto e à UFV, pela cocessão de lceça para treameto. Os autores agradecem à CODEME ENGENHARIA, pela doação dos pórtcos de aço para a realzação dos esaos e à SICAL S/A, pela doação dos blocos de alveara e forecmeto de mão-de-obra para a execução das paredes. 7 REFERÊNCIAS ALVARENGA, R. C. S. S. Aálse teéorco-expermetal de estruturas compostas de pórtcos de aço preechdos com alveara de cocreto celular autoclavado p. Tese (Doutorado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, DAWE, J. L.; SEAH, C. K. (1989). Aalyss of cocrete masory flled steel frames subjected to plae loads. I: CANADIAN MASONRY SYMPOSIUM, 5., Vacouver, Caada, Proceedgs... Uversty of Brtsh Columba. p FONSECA, G. M. Aálse umérco expermetal da teração cojuta pórtco-alveara p. Dssertação (Mestrado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara da Uversdade Federal de Mas Geras, Belo Horzote, MG, POLYAKOV, S. V. (1960). O the teracto betwee masory fller walls ad eclosg frame whe loaded the plae of the wall. Earthquake Egeerg. Earthquake Egeerg Research Isttute, Sa Fracsco, CA, p Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

107 ISSN ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE CONTATO Dorval Pedade Neto 1 & Sergo Persval Baroc Proeça 2 Resumo Os problemas de cotato represetam uma classe de problemas da Mecâca dos Sóldos para a qual a ãoleardade é troduzda pela alteração das codções de cotoro, as quas só podem ser determadas o decorrer do processo de resolução. O presete trabalho trata de problemas de cotato, abordado aspectos de sua formulação e mplemetação umérca. Apresetam-se, em partcular, as formulações de dos dferetes tpos de elemeto de cotato, bem como a aplcação de téccas de otmzação para o tratameto umérco das restrções decorretes do cotato. Algumas estratégas para resolução computacoal desta classe de problemas foram mplemetadas um programa computacoal de elemetos ftos e seu desempeho é avalado comparatvamete por meo de exemplos umércos. Palavras-chave: Problemas de cotato. Método dos elemetos ftos. Métodos de otmzação. Elemetos de cotato. NUMERICAL SOLUTION STRATEGIES FOR CONTACT PROBLEMS Abstract Cotact problems represet a class of Sold Mechacs problems for whch the olear behavor s caused by modfcatos of the boudary codtos durg the soluto process. The preset work treats of cotact problems addressg aspects of ts formulato ad umercal mplemetato. Specfcally, the formulatos of two dfferet cotact elemets are preseted, the dscussg, detals, the umercal strateges to accout for cotact restrctos. Some alteratves for the computatoal soluto of ths class of problems, gve by optmzato techques, were mplemeted a fte elemet computatoal program. The performace of the umercal strateges ad cotact elemets were compared ad evaluated by umercal examples. Keywords: Cotact problems. Fte elemet method. Optmzato problem. Cotact elemets. 1 INTRODUÇÃO Os problemas de cotato represetam uma classe de problemas da Mecâca dos Sóldos para a qual sóldos dsttos teragem quado partes que os compõe tedem a ocupar smultaeamete a mesma posção do espaço. Como coseqüêca atural altera-se as codções de cotoro e, devdo à mpeetrabldade, surgem forças de ação e reação etre os sóldos. Geralmete essas alterações só podem ser determadas o decorrer do processo de resolução e, dessa forma, o regme de comportameto do sstema se caracterza como ão-lear. Neste trabalho as bases teórcas da Mecâca do Cotato são brevemete revstas e o desempeho de algumas estratégas umércas é avalado medate exemplos de aplcação. 1 Mestre em Egehara de Estruturas - EESC-USP, dpedade@sc.usp.br 2 Professor do Departameto de Egehara de Estruturas da EESC-USP, persval@sc.usp.br Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

108 102 Dorval Pedade Neto & Sergo Persval Baroc Proeça 2 CONCEITOS GERAIS DA MECÂNICA DO CONTATO Quado um sóldo é modelado ao mesmo se aplcam codções de equlíbro, de compatbldade etre os campos de deslocametos e deformações, e relações costtutvas, as quas relacoam os campos de deformações e de tesões. Quado o problema passa a ser composto por um sstema de sóldos dsttos, codções adcoas surgem como coseqüêca da evetual teração etre os mesmos. Para dscutr o cotato, tome-se o caso geérco de dos sóldos S A e S B com domíos Ω A e Ω B, coforme dcado a Fgura 1. Γ t A Γ c Γ t B Ω A, Ω B R S A S B Ω A Ω B Γ c Γ t B Γ ua Γt A Γ u B Γ=Γ t U Γ u U Γ c (para S A e S B ) Γ c = Γ ca = Γ cb Fgura 1 Modelos físco e matemátco para um cojuto de dos sóldos. Assm como o caso de um sóldo solado, o cotoro dos mesmos é subdvddo em uma parcela Γ t sobre a qual se aplcam forças de superfíce (Neuma) e uma parcela Γ u ode se defem deslocametos mpostos (Drchlet). Além delas, para ambos os sóldos, tem-se uma tercera regão dstta dcada por Γ c, sobre a qual se realza o cotato. Uma vez que, aturalmete, partes dsttas dos sóldos ão podem ocupar smultaeamete a mesma posção o espaço, a restrção que se aplca em Γ c é dta de mpeetrabldade (Belytscho, Lu e Mora, 2003). Ada segudo os mesmos autores, uma das dfculdades da abordagem dos problemas de cotato decorre do fato de que a codção de mpeetrabldade ão pode ser serda dretamete o modelo matemátco a forma de uma expressão aalítca ou dferecal. Tal codção pode apeas ser represetada em termos geras como: Ω I Ω = A B (1) A alteratva para avalar a ocorrêca de peetração cosste em defr uma fução g que dca o tervalo de dstâca etre os potos das duas superfíces que cocorrem em Γ c. Tal fução é defda de maera a apresetar valor ulo quado do cotato e valores postvos quado exstrem folgas etre dos potos de cotato em potecal. Um valor egatvo de g dca a peetração de uma superfíce sobre a outra. Em termos teórcos tal possbldade ão é admssível, etretato, pode ser relaxada detro das etapas teratvas de correção dos algortmos de resolução umérca. Outra coseqüêca do cotato, já cometada, é o aparecmeto de forças de ação e reação etre os sóldos. Uma vez que, a depeder do modelo físco adotado, ão se admta a adesão das superfíces, o cotato será do tpo ulateral e etão passa a valer uma codção sobre a tesão ormal à superfíce (t c ) a regão de cotato, que, essa hpótese, deve ser sempre de compressão. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

109 Estratégas de resolução umérca de problemas de cotato 103 Esta últma codção sobre a tesão pode ser combada com a restrção de mpeetrabldade gerado uma úca codção, dta de complemetardade. A combação acaba por levar em cota duas stuações possíves: ) Quado o cotato ocorre g é ula e t c apreseta valor egatvo (compressão); ) Quado ão há ocorrêca de cotato, t c é ula, e g apreseta valor postvo. Assm, a codção de complemetardade é represetada pela segute expressão: gxt ( ). ( x) = 0, x Γ c c (2) Apesar das fuções que compõem a Eq. (2) serem descotuas quado aalsadas soladamete, é possível propor uma forma regularzada da Eq. (2) medate aproxmação, por exemplo, por uma hpérbole. Etretato, uma aproxmação de tal atureza permte valores postvos para a varável t c, o que, coforme já dscutdo, ão é admtdo pelo modelo físco. O emprego de tal regularzação demada cudados adcoas quado do procedmeto de resolução, devedo se avalar os sas de t c e g soladamete. Idepedete da regularzação ou ão da codção de complemetardade, qualquer procedmeto de resolução de um problema de cotato deve cotemplar a possbldade de atvação de restrções sobre as varáves evolvdas a regão do cotato. Nesse setdo, as cohecdas estratégas de otmzação com restrção da programação matemátca apresetam-se como alteratvas cosstetes para a solução deste tpo de problema, sedo prortaramete utlzadas as metodologas de resolução umérca que serão apresetadas o tem TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE CONTATO A modelação do comportameto estrutural dos sóldos é realzada este trabalho medate a aplcação de elemetos ftos covecoas de chapa, os quas serão brevemete apresetados em 3.1. No tem 3.2 são apresetados os métodos de otmzação rrestrta e téccas adotadas de restrção de varáves. Etre elas destacam-se, calmete, as estratégas de otmzação com varáves caalzadas, as quas o cotato é smulado pela defção de tervalos admssíves para algumas varáves soladamete (Rgo, 1999). Uma aplcação dreta mostrada cosste o caso dos sóldos solados sujetos ao cotato com ateparos rígdos retos, coveetemete poscoados em plaos perpedculares aos exos dos sstemas de coordeadas de referêca. No tem 3.3 troduzem-se elemetos ftos de cotato que permtem a abordagem de stuações geras, com ível de complexdade mas elevado. Tas elemetos, além de detectar o cotato etre superfíces, troduzem o sstema as restrções decorretes da teração etre os sóldos. 3.1 Modelagem dos sóldos por meo de elemetos ftos Para a modelagem bdmesoal dos sóldos empregam-se elemetos ftos de chapa clásscos, cuja formulação pode ser faclmete ecotrada as referêcas (Assa, 2003), (Savass, 2000) e (Zekewcz e Taylor, 2000). Esses elemetos permtem modelar tato Estados Plaos de Tesão (EPT) quato Estados Plaos de Deformação (EPD), (Tmosheko e Gooder, 1980). Utlza-se aqu o segute cojuto de vetores para descrever a posção e deslocameto dos sóldos modelados: o vetor x é utlzado para dcar a posção cal de um poto, o vetor u reúe as Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

110 104 Dorval Pedade Neto & Sergo Persval Baroc Proeça compoetes de deslocameto u e v, as dreções horzotal e vertcal, respectvamete, e o vetor x u dca a posção atual de de tal poto. Observa-se que uma etapa qualquer do processo físco: x u =x+u=(x+u,y+v). Para os elemetos desevolvdos adotou-se uma formulação soparamétrca, segudo a qual as mesmas bases de fuções de aproxmação para os campos de deslocameto são empregadas para descrever a posção dos potos do sóldo. Foram formulados elemetos tragulares e quadrlateras com aproxmação do prmero e segudo grau, dcados a Fgura ISOT3 ISOQ4 Aproxmação 1º grau ISOT6 ISOQ8 Aproxmação 2º grau Fgura 2 Elemetos ftos mplemetados. Itegração umérca fo empregada quado ecessáro, sedo que para os elemetos de domíos tragulares foram utlzadas as tabelas de Hammer (Cowper, 1972), equato que para os elemetos de domío retagular foram utlzados dretamete os potos dados pela Quadratura de Gauss-Legedre. 3.2 Estratégas de otmzação Em termos matemátcos, otmzação é a mmzação (ou maxmzação) de uma fução (objetvo) sujeta a restrções em suas varáves. Em geral, os algortmos clásscos de otmzação têm como estrutura básca adotar uma estmatva cal e teratvamete buscar soluções melhores, ou seja, que mas se aproxmem do valor mímo (ou máxmo) da fução objetvo, atededo às restrções mpostas pelo modelo. A forma geral dos algortmos de resolução clásscos é: k 1 k k u + = u + αd (3) Na Eq. (3) u é o vetor solução, que em cada teração k é aprmorado pela soma de um vetor d, que proporcoa uma dreção segudo a qual ocorre redução do valor objetvo. O escalar α é calculado de maera que se atja um poto de mímo a dreção por ele dcada. Bascamete os métodos clásscos de otmzação rrestrta se dferecam por adotar estratégas dsttas para a determação do vetor d. A segur serão dcados algus desses métodos que foram mplemetados o programa desevolvdo. Uma descrção mas detalhada dos mesmos pode ser obtda em (Lueberger, 2005) e (Nocedal e Wrght, 2006). Algus métodos de otmzação rrestrta Método do Gradete Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

111 Estratégas de resolução umérca de problemas de cotato 105 Este método basea-se o fato do vetor gradete apotar o setdo de maor varação postva da fução objetvo, e toma para d a mesma dreção com setdo oposto àquele do gradete. O método proporcoa uma trajetóra de busca em zguezague com taxa de covergêca que se reduz muto próxmo do poto de mímo. Método dos Gradetes Cojugados O método dos gradetes cojugados assoca d com uma seqüêca de dreções de busca dtas cojugadas, dferetes daquelas do gradete, mas que proporcoam grades melhoras de covergêca com relação ao método ateror. Devdo à facldade de mplemetação e taxa de covergêca, este método é também empregado para a resolução de grades sstemas de equações. Método de Newto O método de Newto parte de uma aproxmação do segudo grau para a fução objetvo, recado em um sstema de equações evolvedo a matrz hessaa e o vetor gradete em um dado poto, o qual sedo resolvdo resulta o vetor d. Uma vatagem do método é que as vzhaças da solução o mesmo apreseta taxa de covergêca quadrátca, equato o método dos gradetes apreseta taxa lear. Métodos do tpo quase Newto Trata-se de uma classe de métodos que se baseam o método de Newto, utlzado, etretato, aproxmações da matrz hessaa para a resolução do sstema do qual resulta d. No presete trabalho foram utlzadas duas varates do Método: DFP, proposto por Davdso, Fletcher e Powell, e BFGS, atrbuído a Broyde, Fletcher, Goldfarb e Shao. Sua taxa de covergêca é dta superlear, sedo termedára à lear e à quadrátca. Estratégas de restrção de varáves Quado o problema de otmzação apreseta codções lmtates sobre o cojuto de varáves, tem-se formalmete um problema de otmzação restrta. Neste caso, a estratéga de resolução cosste em trasformar o problema para uma forma de otmzação rrestrta, costrudo uma ova fução objetvo que corpora as restrções com o auxílo do método dos multplcadores de Lagrage ou do método da pealzação, por exemplo. O prmero faz uso de varáves λ L, que costtuem os multplcadores que dão ome ao método. Tas varáves multplcam a restrção que se quer mpor, e tal produto é somado à fução objetvo. A ova fução objetvo, ao ser mmzada, passa a ateder a restrção mposta em forma de gualdade. Devdo à smlardade etre as parcelas que evolvem os multplcadores e a codção de complemetardade, os problemas de cotato os multplcadores λ L têm o mesmo sgfcado físco que t c. O segudo método ão troduz ovas varáves ao sstema, smplesmete a ova fução é costruída somado-se à fução objetvo uma fução quadrátca que represeta a restrção multplcada por um fator de pealzação λ P. Na medda em que ao fator se atrbua um valor tededo ao fto, o peso da parcela adcoal faz com que a solução para o problema com a ova fução rrestrta teda a se gualar àquela sera obtda para o problema orgal atededo à restrção. No caso da pealzação também é possível atrbur um sgfcado físco ao fator de pealzação quado da sua aplcação em problemas de cotato. De fato, λ P equvale à rgdez de uma mola de dmesões ftesmas que lga os potos de cotato; quato maor é essa rgdez, maor é a restrção mposta à varação de dstâca etre os potos de cotato. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

112 106 Dorval Pedade Neto & Sergo Persval Baroc Proeça No presete trabalho esses dos métodos foram ada assocados à estratéga dos cojutos atvos (Lueberger, 2005), aplcada com sucesso por (Rgo, 1999) aos problemas de cotato ulateral em estruturas compostas por barras prsmátcas. A estratéga dos cojutos atvos parte da premssa que em ehum mometo a busca do poto ótmo extrapole os lmtes da regão factível. Quado o método de otmzação utlzado apota para um poto fora dos lmtes da regão factível, a estratéga determa a adoção de um passo α adequado, de tal modo a alcaçar a posção lmte daquela regão, atvado, a partr daí, uma restrção de gualdade e cotuado a busca um espaço de dmesão reduzda. Cada vez que uma restrção correspodete a um lmte da regão factível é atvada procede-se da mesma maera, até que se atja o poto de mímo do espaço reduzdo. Os problemas de otmzação com varáves caalzadas costtuem uma classe partcular ode as restrções se traduzem por tervalos de valores factíves mpostos a algumas varáves. Tal forma de restrção costtu a maera mas smples de smular o cotato em sóldos sujetos à ação de vículos ulateras potuas. Para casos mas geras, como os problemas de cotato etre corpos deformáves, outras téccas mostram-se ecessáras. 3.3 Elemetos de cotato No caso geral de problemas de cotato, a abordagem smplfcada por meo de varáves caalzadas ão se aplca, sedo o emprego de elemetos ftos de cotato a alteratva mas efcete. Essecalmete, é ecessáro o desevolvmeto de rotas de detecção de cotato, capazes de avalar a dstâca etre um poto e um segmeto, que represeta a superfíce de cotato para o caso bdmesoal. A codção de mpeetrabldade, que mplca que a dstâca g detectada seja ula ou postva, é etão mposta por meo dos elemetos de cotato. Estratégas de detecção de cotato No caso dos elemetos adotados, as superfíces de cotato são aproxmadas por segmetos defdos por fuções leares (elemetos ISOT3 e ISOQ4) ou quadrátcas (elemetos ISOT6 e ISOQ8). A Fgura 3 lustra as duas represetações: P (x P,y P ) 1 (x 1,y 1 ) N 2 (x N,y N ) (a) (x 2,y 2 ) P (x P,y P ) 1 ê t N 2 (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) (x N,y N ) (b) 3 (x 3,y 3 ) Fgura 3 Determação da dstâca etre um poto P e um segmeto de curva defdo com fuções de forma de 1º grau (a) e de 2º grau (b). Em ambos os casos, a dstâca etre o poto e o segmeto 1-2 é dada pelo segmeto P-N. Assm, para avalação do cotato deve-se, prmeramete, determar a posção do poto N. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

113 Estratégas de resolução umérca de problemas de cotato 107 Para o caso de segmetos aproxmados por fuções leares a obteção da coordeada admesoal do poto N (ξ ln ) pode ser coduzda por uma estratéga de detfcação de segmetos ode há projeção do poto, para o qual o valor da coordeada admesoal local deve estar o tervalo de -1 a 1. No caso quadrátco o vetor tagete pode varar ao logo do segmeto, e ξ ln é obtdo por meo de uma equação ão-lear que resulta da mposção da ortogoaldade etre P-N e esse vetor, a qual é dada por: [ ] [ ] x x( ξ ). x'( ξ ) + y y( ξ ). y'( ξ ) = 0 (4) P l l P l l A fm de possbltar a rápda detfcação dos segmetos com projeção do poto, adotou-se para a resolução da Eq. (4) o Método das Falsas Posções (Hammg, 1973), que já a prmera teração cosegue detfcar se há raz o tervalo cal adotado (-1 a 1). No caso da utlzação da estratéga dos cojutos atvos, também é ecessáro calcular o escalar α (tem 3.2), que garata da mpeetrabldade em todos os states do processo teratvo. Para tato, tome-se a stuação lustrada a Fgura 4. P (x P,y P ) (u,v) 2 (x 2,y 2 ) (x up,y vp ) 2 (x 2,y 2 ) 3 (x 3,y 3 ) P (x P,y P ) (u,v) (x up,y vp ) 1 (x 1,y 1 ) (a) 1 (x 1,y 1 ) (b) Fgura 4 Determação do escalar α para um segmeto de curva polomal (a) de 1º grau e (b) de 2º grau. Uma vez que o vetor u=(u,v) aplcado em P cruza o segmeto 1-2, é evdete que exste um escalar α tal que: ( x, y ) + α ( u, v) = ( x( ξ ), y( ξ )) P P l l (5) A expressão (5) resulta em um sstema de equações com cógtas α e ξ l, que por mapulação algébrca pode ser reduzdo a uma equação apeas de ξ l, e resolvda umercamete. Tedo-se determado ξ l, pode-se retorar a Eq. (5) e obter o valor de α. Uma vez defdas as téccas de determação da dstâca, podem ser formulados os elemetos de cotato. Cabe ressaltar que este trabalho optou-se por tratar apeas do caso partcular do cotato de um sóldo deformável com um ateparo deformável, sem a cosderação do atrto etre as superfíces, também cohecdo como Problema de Sgor. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

114 108 Dorval Pedade Neto & Sergo Persval Baroc Proeça Elemetos de cotato do tpo ó-segmeto Este elemeto se atrela a cada ó pertecete à regão dscretzada do cotoro passível de etrar em cotato com o ateparo, e por esse motvo são aqu referdos como elemetos de cotato do tpo ó-segmeto. Bascamete sua formulação trata-se de uma geeralzação da abordagem por meo das varáves caalzadas, sedo capaz de tratar cojutamete as restrções sobre as compoetes de deslocameto vertcal e horzotal observadas em um dado ó. O elemeto de cotato é atvado quado em uma etapa do processo de resolução detfca-se que o ó ao qual está atrelado ecostou ou peetrou a superfíce de cotato, codção que é detectada pelas estratégas dscutdas aterormete, aplcadas para a posção atual x u do poto (ó) P. Idetfcado o poto (N) do segmeto com o qual o ó deve estar em cotato a próxma etapa do processo teratvo, atva-se o sstema resolvete a restrção que correspode à codção de mpeetrabldade, por meo da fução g PN, que calculada segudo dcado o tem ateror resulta em: ( x x ) ê ( ) ( ) g = = x + u x. + y + v y. PN up N P P N x P P N y (6) Para o caso da utlzação de multplcadores de Lagrage como forma de cosderar a restrção de mpeetrabldade, o termo adcoal à fução objetvo, relatvo ao cotato, possu prmera varação dada por: δπ = λ δg + δλ g c L PN L PN (7) Sedo λ L aplcada a um úco poto, sua aproxmação pode ser dada por uma costate. Desevolvedo-se a Eq. (7) utlzado-se a Eq. (6), podem ser detfcadas as compoetes que devem ser adcoadas ao sstema global para levar em cota a stuação de cotato. Uma vez atvado um elemeto de cotato em certa teração, as próxmas deve-se verfcar o sal do multplcador de Lagrage assocado, como forma de detectar uma evetual perda de cotato o passo. Assm, um valor postvo para o multplcador dca que o cotato deve ser desatvado e a correspodete restrção retrada do sstema. No caso de se utlzar o termo de pealzação como forma de serr a restrção de mpeetrabldade, δπ c resulta em: δπ = λ g δg c P PN PN (8) Desevolvedo-se a Eq. (8) obtêm-se as compoetes que devem ser adcoados ao sstema global para o caso da utlzação do método da pealzação. Deve-se ada atetar que para este últmo caso a desatvação de um dado elemeto demada o uso de uma etapa adcoal de aálse, uma vez que ão exstem varáves assocadas dretamete à força de cotato, como o caso dos multplcadores de Lagrage. No presete trabalho, a estratéga adotada para estmar a força de cotato cosste um cálculo smples de reações os vículos ulateras, empregado-se a matrz de rgdez do sstema lvre das restrções de cotato. Elemetos de cotato mortar Dferetemete dos elemetos aterores que se aplcam a ós soladamete, os elemetos de cotato mortar estão atrelados a um segmeto do cotoro dscretzado do sóldo que etrará em Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

115 Estratégas de resolução umérca de problemas de cotato 109 cotato com o ateparo e dervam de uma técca orgalmete desevolvda para compatblzar redes de malhas ão-cocdetes (Berad, Maday e Patera, 1994) apud (Fsher e Wrggers, 2005). Essecalmete o método emprega uma terpolação de tas multplcadores ao logo do lado de um elemeto (Wrggers, 2006). A fução g também é terpolada ao logo do lado do elemeto. No caso tratado de cotato etre um sóldo deformável e um ateparo deformável, este últmo é tomado como referêca, sedo dto superfíce mortar, equato o lado do prmero é referdo como superfíce o-mortar, coforme lustrado a Fgura 5. A ξ l1 1 2 ζ l1 B (a) ξ l2 ζ l2 o-mortar (elemeto) C mortar (ateparo) A 1 3 o-mortar (elemeto) ξ l1 ξl2 ξ l3 2 E B ζ l1 ζ l2 C ζ l3 D mortar (ateparo) (b) Fgura 5 Lados de elemetos ftos aos quas se aplcam elemetos mortar com fuções de aproxmação lear (a) e quadrátca (b), e seus respectvos ateparos. Uma vez que o método também faz uso de tegração umérca, a formulação cosdera potos de tegração de Gauss dstrbuídos a superfíce o-mortar (ξ l ) e seus respectvos pares de cotato a superfíce mortar (ζ l ). No presete trabalho, para o caso lear adotam-se dos potos de Gauss (Fgura 5(a)) e três potos de tegração para o caso quadrátco (Fgura 5(b)). Para verfcar a peetração, essecalmete assume-se que se a maor parte do elemeto verfca a codção, etão todo ele etra em cotato com o ateparo. Uma forma de realzar tal cotrole cosste em estmar o sal da área sobre a fução g ao logo do elemeto, o que pode ser obtdo, por tegração umérca sobre um domío admesoal de referêca por: = = g gds g( ξ, ζ ) w ( ξ ) J ( ξ ) m Γ l l l GL l l e (9) Se g m 0, deve-se atvar a restrção. Quado da combação do crtéro lustrado a Eq. (9) com a estratéga dos cojutos atvos, a técca de avalação do fator α deve ser relaxada, de forma a possbltar a determação de um valor úco, que se aplca a todo o elemeto, a partr da aálse dos fatores correspodetes a cada um dos potos de Gauss. Assm, este trabalho, quado tal estratéga é utlzada, o valor do escalar α para um elemeto mortar é dado por α e =máx[α ], sedo α os escalares α calculados os potos de Gauss (ξ l ) do elemeto. Uma vez costatada a peetração ou cotato com o ateparo, a restrção relatva ao elemeto deve ser adcoada ao sstema. Devdo à abordagem ao logo de uma face, a compoete da prmera varação do fucoal de eerga é represetada pela segute tegral: ( g ) δπ = δλ + λ δg ds c Γ L L l c (10) Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

116 110 Dorval Pedade Neto & Sergo Persval Baroc Proeça Da Eq. (10) se obtém os termos a serem aplcados ao sstema de maera a mpor a restrção de cotato. Nesse caso, os mesmos são obtdos por meo de tegração umérca, sedo ecessáro desevolver a formulação que represeta λ L (ξ l ) e g(ξ l ) os potos de Gauss ξ l. Apesar de terem sdo crados com base os multplcadores de Lagrage, também é possível desevolver a formulação de elemetos com base o método da pealzação. Nesse caso, a prmera varação do fucoal da eerga relatva ao cotato fca dada por: δ λ gδg ds Π = c Γ P l c (11) Da Eq. (11) obtêm-se os termos a serem somados ao sstema para o caso do método da pealzação. Quato à avalação da codção de tesão para desatvação de elemetos, o caso da formulação dos multplcadores de Lagrage, a mesma é semelhate à efetuada os elemetos do tpo ó-segmeto, adotado-se agora como referêca o valor prepoderate o elemeto: = = λ λ ds λ ( ξ ) w ( ξ ) J ( ξ ) Lm Γ L l L l GL l l e No caso do método da pealzação, em lugar de λ L a Eq. (12), toma-se o valor estmado da reação o ateparo, que pode ser obtdo da mesma forma já apresetada para o elemeto do tpo ósegmeto. (12) 4 EXEMPLO NUMÉRICO Para avalar as estratégas umércas de resolução, fo elaborado um códgo computacoal de elemetos ftos, desevolvdo a lguagem de programação FORTRAN, o qual permte o tratameto do cotato tato por estratégas de otmzação com varáves caalzadas quato por meo dos elemetos de cotato apresetados o tem 3.3. Para a resolução de sstemas orgáros do Método de Newto, foram utlzadas rotas da bbloteca HSL, especfcas para sstemas esparsos, desevolvdas pelo Numercal Aalyss Group, do Rutherford Appleto Laboratory, (Duff e Red, 1983). Também é mportate ressaltar que todas as fguras de resultados obtdos com o códgo computacoal deste trabalho foram elaboradas por meo do Pós Processador do GMEC (Grupo de Mecâca Computacoal do Departameto de Egehara de Estruturas (SET) da Escola de Egehara de São Carlos (EESC)). 4.1 Problema de Hertz Trata-se um problema clássco de cotato, cuja solução aalítca fo apresetada por Herch Hertz em 1881 o artgo O the cotact of elastc solds (Johso, 2004). Nesta varate, o problema trata do cotato etre um sóldo deformável e um ateparo rígdo, para o qual as característcas de geometra, restrções e força aplcada permtem a modelação como problema bdmesoal em Estado Plao de Deformações (EPD). A Fgura 6 lustra o problema com valores umércos (admesoas) adotados para a resolução por meo do códgo computacoal. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

117 Estratégas de resolução umérca de problemas de cotato 111 q=30,00 r=8,00 E=1000,00 υ=0,3 Fgura 6 Exemplo de problema de cotato de Hertz, com valores adotados para o rao(r), força dstrbuída(q), Módulo de Elastcdade (E) e Coefcete de Posso (υ). Para a modelação do sóldo foram utlzadas redes de malha rregular, formadas tato por elemetos com 3 ós (ISOT3) quato com 6 ós (ISOT6), com úmero total de grau de lberdade dcados a Tabela 1. Tabela 1 Característcas das redes utlzadas Número de graus de lberdade ISOT3 ISOT6 Rede Rede Rede Rede Utlzado-se para resolução calmete os métodos de otmzação com varáves caalzadas, obteve-se um cofroto quato à efcêca de cada um deles, para cada uma das estratégas de restrções de varáves descrtas o tem 3.2, assocadas ou ão à estratéga dos cojutos atvos, também dscutda o mesmo tem. A Tabela 2 apreseta os resultados de desempeho obtdos para as redes compostas por elemetos do tpo ISOT6, tedo sdo utlzada a dcação L para Método dos Multplcadores de Lagrage, P para Método da Pealzação e +C.A. quado os mesmos foram assocados à Estratéga dos Cojutos Atvos. Também apreseta os mesmos resultados para a resolução por meo do processo teratvo de Gauss-Sedel (Proeça, Savass e Muaar Neto, 1987), aplcável em problemas compatíves com abordagem por varáves caalzadas. Os casos dcado por - ão covergram detro do úmero máxmo de terações adotado ( para Método dos Gradetes, Gradetes Cojugados e Processo Iteratvo de Gauss-Sedel, e para os Métodos do Tpo Quase-Newto). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

118 112 Dorval Pedade Neto & Sergo Persval Baroc Proeça Tabela 2 Parâmetros de efcêca (N.I. Número de Iterações e T.P Tempo de Processameto) dos métodos de otmzação com varáves caalzadas para redes com elemetos ISOT6 Varáves Caalzadas - ISOT6 Rede 1 Rede 2 Rede 3 Rede 4 N.I. T.P. (s) N.I. T.P. (s) N.I. T.P. (s) N.I. T.P. (s) M. Gradete , L 167 0, , , ,4129 Gradetes Cojugados Newto Quase- Newto DFP Quase- Newto BFGS P 190 0, , , ,6855 L+C.A , , , ,9469 P+C.A , , , ,4240 L 4 0, , , ,2117 P 6 0, , , ,6524 L+C.A. 3 0, , , ,6438 P+C.A. 3 0, , , ,8441 L 127 0, , , P 71 0, , , ,6382 L+C.A , , P+C.A. 74 0, , , ,4493 L 179 0, , P 71 0, , , L+C.A P+C.A. 71 0, , , ,9111 Gauss-Sedel 349 0, , , ,6341 Para avalar a precsão das estratégas em cada uma das redes, os valores obtdos foram cofrotados com os resultados aalítcos de referêca, sedo apresetado a Fgura 7, para fs lustratvos, o resultado de compressão máxma a dreção vertcal obtdo. Também são apresetados a mesma fgura os resultados do pacote computacoal ANSYS para os elemetos equvaletes aos utlzados o programa desevolvdo. Cabe observar que, de um modo geral, todas as estratégas produzram valores umércos pratcamete dêtcos, salvo em stuações que serão descrtas mas adate. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

119 Estratégas de resolução umérca de problemas de cotato 113 Tesão σy máxma (compressão) 180,00 160,00 Tesão σy máxma (valor absoluto) 140,00 120,00 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0, Rede ISOT3 ISOT6 PLANE42 PLANE82 Aalítco Fgura 7 Tesão de compressão máxma obtda para cada uma das redes. Na seguda abordagem, a resolução do mesmo problema fo coduzda utlzado-se elemetos de cotato, tato do tpo ó-segmeto quato do tpo mortar. Nessa ova aálse, observou-se que algus dos resultados obtdos utlzado-se elemetos mortar mostraram-se adequados, ão cosegudo apresetar uma cofguração de equlíbro smétrca (esperada), mesmo para redes que apresetam smetra (Fgura 8 (a)). (a) (b) Fgura 8 Exemplo de dagrama de cores do deslocameto vertcal v ão-smétrco obtdos por meo do uso de elemetos de cotato mortar (a),e resultado smétrco, obtdo com o emprego da estratéga dos cojutos atvos (b). A assmetra observada tem orgem umérca, e uma vez que ocorreram apeas para tas elemetos, evdecam uma maor sesbldade dessa estratéga a esse tpo de erro. É mportate ressaltar, etretato, que quado assocados à estratéga dos cojutos atvos, as respostas obtdas como os elemetos mortar foram dêtcas as que foram obtdas por meo dos elemetos do tpo ósegmeto, como lustra a Fgura 8 (b). Para falzar, apresetam-se a Fgura 9 os campos de tesão obtdos, para a rede 4 de elemetos ISOT6 utlzado-se os elemetos de cotato do tpo ó-segmeto. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

120 114 Dorval Pedade Neto & Sergo Persval Baroc Proeça (a) (b) Fgura 9 Campos de tesão obtdo para a rede 04 de elemetos ISOT6, com elemetos de cotato do tpo ósegmeto, (a) a dreção x (σ x ); (b) a dreção y (σ y ) e (c) de csalhameto (τ xy ). (c) 4.2 Vga em balaço sujeta a vículos ulateras Trata-se do problema de uma vga em balaço sujeta à ação de uma força P, coforme lustra a Fgura 10, possudo dos apoos sob sua face feror que represetam vículos ulateras, sedo a dstâca etre eles gual a 2,00 (valores admesoas). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

121 Estratégas de resolução umérca de problemas de cotato P=30 E=100,00; υ=0,3 A A A-A' 10 2,64 Fgura 10 Esquema estrutural e dmesões do problema da vga. Dada a geometra retagular da vga optou-se pela dscretzação da estrutura com redes de elemetos retagulares. Ada, para problema, devdo à observação do comportameto satsfatóro dos elemetos ISOQ8 em testes prelmares, foram utlzados apeas redes com elemetos do tpo ISOQ4, cujas característcas são apresetadas a Tabela 3. Tabela 3 Característcas das redes regulares, compostas por elemetos ISOQ4 Rede Número de Número de graus Número de Nós elemetos de lberdade (4x80) (6x120) (8x160) (10x200) Numa prmera aálse o problema fo resolvdo por meo do método de Newto com varáves caalzadas. Posterormete o mesmo também fo resolvdo utlzado os elemetos de cotato do tpo ó-segmeto e mortar. É mportate observar essa seguda abordagem também se utlza o método de Newto para obter a solução do sstema. O úmero de terações e tempo de processameto obtdo em cada uma das stuações relatadas é apresetada a Tabela 4. Tabela 4 Comparatvo da efcêca da resolução utlzado elemetos de cotato com relação a otmzação com varáves caalzadas (V.C.) Rede Número de Iterações Tempo de Processameto (s) Rede mortar ó-segmeto V.C. mortar ó-segmeto V.C ,4206 0,3305 0, ,3519 0,8612 0, ,9943 2,1531 2, ,3309 3,6753 3,4349 Quato aos valores obtdos por termédo de cada um dos métodos, observou-se que os elemetos mortar apresetaram resultados mas dstates dos valores de referêca, obtdos por meo do ANSYS, como pode ser evdecado os resultados de deslocameto vertcal máxmo, dcado a Fgura 11. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

122 116 Dorval Pedade Neto & Sergo Persval Baroc Proeça Deslocameto máxmo (para cma) - M. Newto + Mult. de Lagrage 18,00 16,00 14,00 12,00 Deslocameto v 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0, Rede Método Mortar Método Nó-Segmeto Método das Varáves Caalzadas Referêca Fgura 11 Covergêca do valor de deslocameto máxmo (para cma). A causa do dstacameto das soluções obtdas com os elemetos de cotato mortar se deve ao fato do mesmo tomar como referêca o valor prepoderate de tesão a terface do cotato, permtdo assm a ocorrêca de tesões de tração a mesma (Fgura 12(a)), equato que os elemetos do tpo ó-segmeto o mesmo ão ocorre (Fgura 12(b)). O comportameto satsfatóro observado para o uso dos elemetos mortar as redes de elemetos ISOQ8 tem a mesma orgem, ão tedo sdo observados para os elemetos do tpo ó-segmeto. (a) (b) Fgura 12 Campos de tesão vertcal obtdos utlzado elemetos de cotato mortar (a) e do tpo ósegmeto (b). Para falzar, apresetam-se a Fgura 13 os campos de tesões obtdos para a rede 02 de elemetos ISOQ4, com o uso de elemetos de cotato do tpo ó-segmeto. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

123 Estratégas de resolução umérca de problemas de cotato 117 (a) (b) Fgura 13 Campos de tesões obtdos utlzado-se elemetos de cotato do tpo ó-segmeto (rede 02 elemetos ISOQ4), sedo (a) a tesão a dreção horzotal (σ x ), (b) a dreção vertcal (σ y ) e (c) a tesão csalhate (τ xy ). (c) 5 CONCLUSÕES Quato aos métodos de otmzação com varáves caalzadas: Dos métodos de otmzação utlzados, o método de Newto apresetou desempeho comparavelmete superor aos demas, em grade parte devdo ao emprego das rotas de resolução de sstemas esparsos ctadas o tem 4. Os métodos do tpo quase-newto apresetaram taxa de covergêca pequea quado utlzados para sstemas grades, devdo à esparsdade das aproxmações da matrz de rgdez (hessaa) obtda por meo deles, que é bastate reduzda em relação à matrz exata utlzada o método de Newto. Apesar dos relatos postvos de (Rgo, 1999), que testou a estratéga dos cojutos atvos para problemas de cotato em barras sujetas à ação de vículos ulateras, para os casos testados, que apresetam sstemas de dmesão maores, a mesma demadou um úmero cosderavelmete maor de terações para obter a solução dos problemas. Deve-se atetar, porém, que o problema de Hertz a mesma fo capaz de solucoar problemas umércos observados para o uso dos elemetos de cotato mortar, represetado para esse caso uma solução mas estável. Quato aos elemetos de cotato: Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

124 118 Dorval Pedade Neto & Sergo Persval Baroc Proeça Os elemetos de cotato do tpo ó-segmeto apresetaram resultados satsfatóros e próxmos aos resultados de referêca adotados. Apesar dsso, deve-se atetar para o fato de que o elemeto ó-segmeto cosdera o cotato apeas os ós, o que em superfíces curvas pode represetar uma aproxmação grossera a depeder da dscretzação adotada, podedo volar a codção de mpeetrabldade etre ós. Em cotraposção, em teora os elemetos mortar são mas adequados para superfíces curvas, mas apresetaram resultados satsfatóros. Etede-se que a prcpal causa desses resultados satsfatóros decorre do crtéro de cotato, baseado a cosderação do valor prepoderate da força o elemeto, que acaba permtdo a ocorrêca de tesões de tração em algus trechos da superfíce, sem desatvação do cotato. Essa stuação pode proporcoar grades dfereças tato a dstrbução local de tesões quato a cofguração deformada da estrutura. Assm, uma proposta para futuros trabalhos é uma alteração o crtéro de atvação/desatvação adotado para os mesmos, de maera a reduzr os efetos adequados costatados. 6 AGRADECIMENTO Ao Coselho Nacoal de Desevolvmeto Cetífco e Tecológco (CNPq), pelo apoo facero coceddo (bolsa de mestrado). 7 REFERÊNCIAS ASSAN, A. E. Métodos dos Elemetos Ftos: Prmeros Passos. 2.Ed. Campas: Edtora Ucamp, p. BELYTSCHKO, T.; LIU, W; MORAN, B. Nolear fte elemets for cotua ad structures. New York: Joh Wley & Sos, p. BERNARDI C.; MADAY Y.; PATERA A. A ew ocoformg approach to doma decomposto: the mortar elemet method. I: BREZIS, H.; LIONS, J.L. (Eds.). Nolear partal dfferetal equatos ad ther applcatos. New York: Joh Wley & Sos, p COWPER, G. R. Gaussa quadrature formulas for tragles. Iteratoal Joural for Numercal Methods Egeerg. v. 7,. 3, p , DUFF, I. S.; REID, J. K. The multfrotal soluto of defte sparse symmetrc lear equatos. ACM Trasactos o Mathematcal Software. v. 9,. 3, p , FISHER, K. A.; WRIGGERS, P. Frctoless 2d cotact formulato for fte deformatos based o the mortar method. Computatoal Mechacs.. 36: p , DOI /s y. HAMMING, R. W. Numercal Methods for Scetsts ad Egeers. 2. Ed. New York: Dover Publcatos Ic., p. JOHNSON, K. L. Cotact Mechacs. Cambrdge Uversty Press, p. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

125 Estratégas de resolução umérca de problemas de cotato 119 LUENBERGER, D.G. Lear ad olear programmg. 2 Ed. Sprger, p. NOCEDAL, J.; WRIGHT, S. J. Numercal Optmzato. 2. Ed. New York: Sprger, p. PIEDADE NETO, D. Sobre estratégas de resolução umérca de problemas de cotato Dssertação (Mestrado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, PROENÇA, S. P. B.; SAVASSI, W.; MUNAIAR NETO, J. Aplcação do procedmeto teratvo de Gaus-Sedel a automatzação do cálculo de vgas cotíuas. São Carlos: Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, p. (Publcação 009/87). RIGO, E. Métodos de otmzação aplcados à aálse de estruturas p. Dssertação (Mestrado). Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, SAVASSI, W. Itrodução ao método dos elemetos em aálse lear de estruturas. São Carlos: Servço de publcações da EESC, p. (Rempressão). TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Teora da elastcdade. 3. Ed. Ro de Jaero: Edtora Guaabara Dos, p. WRIGGERS, P. Computatoal cotact mechacs. 2. Ed. Berl: Sprger-Verlag, p. ZIENKIEWICZ, O. C.; TAYLOR, R. L. The fte elemet method. 5. Ed. Oxford: Butterworth- Heema, v. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

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127 ISSN UM PROCEDIMENTO NUMÉRICO PARA A DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS ELÁSTICOS Edmar Borges Theóphlo Prado 1 & Adar Roberto Aguar 2 Resumo A teora de elastcdade lear clássca é utlzada o modelameto de problemas da Físca Médca relacoados com a determação de parâmetros elástcos de tecdos bológcos a partr da medção dos deslocametos, ou, das deformações. Baseados em observações expermetas, as quas revelam que os tecdos bológcos aômalos têm comportameto mecâco dferete dos tecdos bológcos sados, os pesqusadores têm modelado estes tecdos como sóldos elástco-leares, sotrópcos, heterogêeos e compressíves. Neste trabalho, aalsamos uma classe de problemas plaos relacoados à determação dos parâmetros elástcos de tecdos bológcos e propomos um procedmeto umérco para obter soluções aproxmadas destes problemas. Palavras chaves: Elastcdade lear. Elastografa. Equação hperbólca. Problema verso. Método dos elemetos ftos. A NUMERICAL PROCEDURE TO DETERMINE ELASTIC PARAMETERS Abstract The classcal lear elastcty theory s used the modelg of problems of Medcal Physcs related to the determato of elastc parameters of bologcal tssues from the measuremet of ether dsplacemets or stras. Based o expermetal observatos, whch dcate that the abormal bologcal tssues have dfferet mechacal behavor from ormal bologcal tssues, researchers have modeled these tssues as compressble, heterogeeous, ad sotropc lear elastc sold. I ths work a class of plae problems related to the determato the elastc parameters of bologcal tssues s examed ad a umercal procedure to obta approxmate solutos of these problems s proposed. Keywords: Lear elastcty. Elastography. Hyperbolc equato. Iverse problem. Fte elemet method. 1 INTRODUÇÃO Observações expermetas revelam que os tecdos bológcos aômalos têm comportameto mecâco dferete dos tecdos bológcos sados (Fug, 2004; Ophr et al, 1991; Lu et al, 2003). Em partcular, Sarvazya (1993) e Krouskop et al (1998) relatam que os tecdos aômalos apresetam maor rgdez (são mas frmes) do que os tecdos sados. O comportameto dferecado etre os tecdos aômalos e sados é utlzado o dagóstco do câcer de mama: cerca da metade de todos os casos de câcer de mama detectados os Estados Udos o período foram descobertos pelo própro pacete ao apalpar os seos e costatar a preseça de um ódulo em seus seos (Reeves et al, 1995). De fato, o exame de toque ada é o método padrão utlzado por profssoas da área médca para determar a preseça de lesões a mama e próstata. Em mutos casos, o etato, mesmo havedo dfereça de rgdez etre o tecdo lesoado e o tecdo sado, a lesão pode ão ser detectada devdo ao seu tamaho reduzdo, ou, devdo à sua localzação em regões profudas do corpo. A 1 Mestre em Egehara de Estruturas - EESC-USP, edmarbt@sc.usp.br 2 Professor do Departameto de Egehara de Estruturas da EESC-USP, aguarar@sc.usp.br Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

128 122 Edmar Borges Theóphlo Prado & Adar Roberto Aguar preseça de lesões o teror do corpo pode ão ser detectada mesmo com o auxílo dos exames de ultra-som covecoas (Ophr et al, 2001). Uma técca utlzada a Físca Médca para a detecção de tumores cacerígeos cosste em pressoar levemete uma soda ultra-sôca sobre uma superfíce extera do corpo humao, ocasoado deformação da parte do corpo localzada em uma regão próxma da área pressoada (Ophr et al, 2002). A deformação deve ser pequea, feror a 2,5%, para que o comportameto vscoso do tecdo bológco seja gorado e este possa ser tratado como um sóldo elástco-lear (Mrdha e Ödma, 1986). Ao se medr o campo de deslocameto esta regão, determa-se o campo de deformação ftesmal, o qual é proporcoal à rgdez tera do tecdo. Portato, ao relacoarmos as deformações com as tesões por meo da Le de Hooke Geeralzada e ao mpormos a codção de que o corpo deve satsfazer as les de balaço da Mecâca do Cotíuo, obtemos expressões para a determação dos parâmetros elástcos da parte do corpo sob aálse. Os valores destes parâmetros depedem do poto materal; especalmete se os tumores cacerígeos estverem dspersos o tecdo bológco sado. Em Mecâca, tratamos os tumores como clusões dspersas em uma matrz, a qual detfcamos como sedo o tecdo bológco sado. Em geral, o problema da determação dos parâmetros elástcos é mal-posto, pos as equações goverates são do tpo hperbólco e ão se cohecem os valores destes parâmetros o cotoro do corpo. Em partcular, Barboe e Bamber (2002) e Barboe e Gokhale (2004) vestgam problemas de deformação plaa para materas elástco-leares, sotrópcos, heterogêeos e compressíves. Eles observam que o problema da determação do módulo de elastcdade ao csalhameto μ é goverado por uma equação dferecal hperbólca de seguda ordem. Os coefcetes desta equação são dados em termos das deformações ferdas de medções expermetas obtdas de esaos quase-estátcos. Os autores observam também que μ ão pode ser determado de um úco expermeto. Se, o etato, dos campos de deslocameto forem meddos de dos expermetos dsttos realzados sobre o mesmo corpo, etão o módulo μ é determado com a exceção de quatro costates arbtráras. Utlzamos este resultado para propor um procedmeto umérco que foreça uma dstrbução aproxmada de μ em todo o corpo elástco. O procedmeto umérco está baseado em uma formulação varacoal das equações goverates jutamete com o Método dos Elemetos Ftos (MEF). O procedmeto cosste em aproxmar μ e a pressão reatva π por fuções cotíuas por partes, as quas estão defdas sobre todo o domío de um corpo elástco-lear, sotrópco e compressível. Admtem-se cohecdos os campos de deslocameto do corpo e as forças resultates exteras atuates sobre partes complemetares do cotoro do corpo. As fuções que aproxmam μ e π, as quas cotêm coefcetes a determar, são etão substtuídas em um sstema de equações orudo do MEF e as expressões que relacoam as forças resultates exteras, as quas são cohecdas, e teras, as quas depedem de μ e π. Obtém-se etão um sstema de equações leares para a determação dos coefcetes das fuções aproxmadoras. Em geral, este sstema é sobre-determado e requer a utlzação de pacotes umércos que possbltem vestgar todas as possíves soluções. Os resultados obtdos dcam que o sstema possu uma úca solução com sgfcado físco. Na Seção 2 apresetamos duas classes dsttas de problemas plaos de equlíbro. Prmeramete, cosderamos um problema dreto, o qual cosste a determação do campo de deslocameto em um sóldo elástco-lear, sotrópco e quase-compressível. Supodo que este campo de deslocameto aproxma bem o campo de deslocameto em um sóldo compressível, cosderamos a segur um problema verso, o qual cosste a determação de μ e π este sóldo. Admtdo que estes campos são suaves, elmamos π das equações goverates e obtemos uma úca equação goverate para μ. Utlzado mudaça de varáves, mostramos que esta equação é hperbólca e que ão forece o módulo μ de maera úca a partr de um úco campo de Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

129 Um procedmeto umérco para a determação de parâmetros elástcos 123 deslocameto cohecdo. Ilustramos este fato por meo de um exemplo cosderado por Barboe e Gokhale (2004). A segur, apresetamos resultados destes autores que são fudametas para o sucesso do procedmeto umérco proposto e que dzem respeto ao úmero de esaos que devem ser realzados para a determação do módulo μ. Neste trabalho, cosderamos dos esaos que podem ser realzados em laboratóro. Ambos os esaos são realzados sobre um cldro reto, logo e de secção trasversal retagular, o qual está sob estado plao de deformação (EPD) perpedcular ao seu exo. O prmero esao é baxal de tração-compressão e cosste em tracoar dos lados do cldro equato os outros dos lados são comprmdos. O segudo esao é de csalhameto e cosste a aplcação de forças tagecas sobre os lados do cldro. Fechado a Seção 2, utlzamos o MEF jutamete com o PTV para apresetar as formulações dos problemas dscretos correspodetes aos problemas dreto e verso. Na Seção 3 apresetamos resultados umércos obtdos das soluções destes problemas dscretos. Prmeramete, resolvemos dos problemas dretos dscretos para smular umercamete os esaos baxal de tração-compressão e de csalhameto. Utlzamos etão os campos de deslocameto e as resultates de forças sobre partes complemetares do cotoro do sóldo como dados de etrada a formulação do problema verso dscreto, cuja solução permte recostrur de forma aproxmada a dstrbução de μ sobre todo o sóldo. Assocado cores aos valores umércos obtdos para μ, mostramos grafcamete que os resultados umércos estão de muto bom acordo com os resultados aalítcos correspodetes. Na Seção 4 apresetamos coclusões sobre este trabalho e a Seção 6 apresetamos as referêcas bblográfcas. 2 FORMULAÇÕES DOS PROBLEMAS DIRETO E INVERSO 2.1 Formulações fortes dos problemas dreto e verso Seja B uma regão regular e compacta em 2 e seja X um poto materal pertecete a B. 2 Uma deformação de B é um mapeameto suave y : B com det y > 0, ode () = ()/ X. O poto x = y( X ) é o lugar ocupado por X a deformação y, coforme lustrado a Fgura 1. Observe desta fgura que a posção de x é dada por r = x - O. O campo F = y (1) é um membro do cojuto L de todas as trasformações leares de 2 em 2 e é cohecdo como o gradete de deformação. Se P é uma parte de B com dmesões ftesmas, etão det F é a razão etre o volume de y( B) e o volume de P e represeta o valor local da dlatação volumétrca de B. A deformação é socórca se det F - 1 = 0. (2) Em termos do campo de deslocameto u : B 2, defdo por u = y -X, (3) obtemos da Eq. (1) e Eq.(3) que F = 1 + u. (4) Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

130 124 Edmar Borges Theóphlo Prado & Adar Roberto Aguar Fgura 1 As cofgurações de referêca e deformada de um corpo B. Apresetamos agora as equações goverates do movmeto do corpo. Para sto, cosderamos a exstêca de dos tpos de força, a saber: ) Forças de cotato, ou, de superfíce trasmtdas através de uma superfíce de cotato. Estas forças podem ser teras, se trasmtdas através da superfíce de cotato etre partes dsttas de um corpo, ou, exteras, se trasmtdas sobre o cotoro de um corpo pelo meo exteror a este. Utlzamos a hpótese de Cauchy (Gurt, 1981) e supomos que exste uma desdade de força superfcal t = t( x,, t) para todo vetor utáro e posção r = x - O ocupada pelo poto X o tempo t. ) Forças de corpo, ou, de volume exercdas sobre todos os potos de um corpo pelo meo exteror, tas como a força gravtacoal da Terra. Aqu, admtmos que as forças de corpo são ulas. Supomos que o corpo satsfaz as les de balaço da Mecâca, as quas relacoam o movmeto de uma parte qualquer do corpo com as forças que atuam sobre esta parte. Na ausêca de forças de corpo e cosderado que o corpo está em equlíbro, estas les tomam a forma t P da = 0, r t da = 0 ode deota o produto vetoral, t = t(, x ) e r = r( x ). P, P B, (5) As les de balaço jutamete com a hpótese de Cauchy garatem a exstêca de um campo tesoral suave e smétrco T, o tesor tesão de Cauchy, dado por tx (, )= Tx ( ) (6) para todo vetor utáro e para qualquer poto x ( ) y B. Substtudo a Eq. (6) as les de balaço da Eq. (5), utlzado o teorema da dvergêca e cosderado P arbtráro, obtemos ambas, a equação de equlíbro T( x ) =, ( ) dv 0 x y B, (7) e a smetra de T. Na teora de pequeas deformações, a qual passamos a cosderar, todas as gradezas depedem de X, ao vés de x = y( X ), e trabalhamos com o tesor deformação ftesmal E, defdo por Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

131 Um procedmeto umérco para a determação de parâmetros elástcos ( ) T E su u u. (8) 2 Neste caso, det F é aproxmado por tr E dv u e a codção da Eq. (2) é substtuída por tr E = 0. (9) Além dsso, a Eq. (7) fca ( ) dv T X = 0, X B. (10) Na teora da elastcdade lear clássca, a tesão T é proporcoal à deformação E e, o caso de um materal sotrópco e compressível, esta proporcoaldade é expressa pela Le de Hooke Geeralzada T( X) = λ ( X) tr E( X ) + 2μ ( X) E( X ), (11) ode λ e μ> 0 são as costates de Lamé, as quas podem depeder do poto X. Estas costates devem satsfazer a desgualdade clássca 3λ + 2μ> 0. A costate μ é também chamada módulo de elastcdade ao csalhameto. Se λ μ, dzemos que o materal é quase-compressível. Neste trabalho, estamos teressados a determação das costates elástcas de um corpo compressível. Este corpo oferece uma resstêca tera a mudaças locas de volume ao ser deformado. Neste caso, a relação costtutva da Eq. (11) é substtuída por ( ) = π( ) + 2μ ( ) ( ) T X X 1 X E X, (12) ode 1 é o tesor detdade e π é chamado parte reatva de T, ou também, pressão reatva. Aqu, qualquer deformação ftesmal dada pela Eq. (8) deve satsfazer a restrção da Eq.(9). Além dsso, observe da Eq. (12) que a tesão T é determada da deformação E e do tesor esférco arbtráro π1. Substtudo a Eq. (12) a Eq. (10), obtemos a equação ( ) ( )( ) π X + 2dv μ E X = 0, X B. (13) Sejam agora Γ g e Γ u partes regulares do cotoro de B, B, tas que B = Γ Γ, g u o o Γg Γ u =, (14) ode Γ o deota o aberto de Γ. Admtmos que T = g sobre Γ g, (15) u= u sobre Γ u, (16) ode g e u são campos suaves defdos sobre as respectvas partes de B. Utlzamos Eq. (8), Eq.(9) e Eq. (13) a Eq.(16) para formular dos problemas dsttos. O prmero problema, chamado problema dreto, cosste em determar os campos de deslocameto 2 u : B e de pressão π: B que satsfaçam ambas, a restrção cemátca, Eq. (9), e a equação de equlíbro Eq. (13), ode E é dado pela Eq. (8) e μ é cohecdo, jutamete com as codções de cotoro Eq. (15) e Eq. (16). Se Γ u =, etão g deve satsfazer a codção para equlíbro global, dada por t da = 0, (17) B a qual é ecessára para a exstêca de solução do problema de valor de cotoro eucado acma. O segudo problema, chamado problema verso, cosste em determar o módulo de elastcdade ao csalhameto μ: B e o campo de pressão π : B que satsfaçam a equação Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

132 126 Edmar Borges Theóphlo Prado & Adar Roberto Aguar de equlíbro Eq. (13), ode E está relacoado a um campo de deslocameto u por meo da Eq. (8), sedo u cohecdo. Obvamete, E satsfaz a restrção cemátca Eq. (9) e u satsfaz a codção da Eq.(16). Admtmos, o etato, que a codção de cotoro da Eq. (15) ão é cohecda. As formulações dos problemas dreto e verso são chamadas formulações fortes, pos as equações goverates destes problemas devem ser satsfetas em todos os potos de B jutamete com o seu cotoro B. Na próxma seção apresetamos uma formulação tegral aproxmada do problema dreto, a qual é válda para materas quase-compressíves, que permte costrur um procedmeto umérco smples e efcete para o cálculo de u. 2.2 A formulação fraca do problema dreto 2 Seja L ( ) B o cojuto de todas as fuções quadrado-tegráves dado por ( ) = { ϕ: ; ϕ < } 2 L B B, (18) 0 ode a orma defdo por é dada por ( ) ( ( )) = { v: ; v < } ϕ ϕ 1/2 2, ϕ ϕ da 0 0 B 1 1/2 ( ) 2 1. Seja ( ) H B um espaço de Hlbert H B B, (19) 1/2 ode a orma é dada por (, ) 1 v v v ( ) da v v + v v. Seja u ( H ( B )) 2 um B 1 deslocameto cematcamete admssível, de modo a satsfazer a Eq. (16), e seja v ( H ( B )) 2 uma varação admssível que satsfaça v= 0 sobre Γ u. Sejam também A o cojuto de todos os deslocametos admssíves e V o cojuto de todas as varações admssíves. Utlzamos as defções acma para obter a forma tegral das equações Eq. (9) e Eq. (10). Para sto, tomamos o produto tero da Eq. (10) com um elemeto arbtráro v V, tegramos sobre 2 B e aplcamos o teorema da dvergêca jutamete com a Eq. (15) sobre a equação resultate. Além dsso, multplcamos a Eq. (9) por um elemeto arbtráro p L 2 ( B ) e tegramos a equação 2 resultate sobre B. O problema dreto pode etão ser reformulado como segue: Achar π L 2 B tal que ode ( ) ( π ) = ( ) 1/2 u A e ( ) a uv, b, v g, v, v V, (20) ( u ) =, p 2 ( ) b p, 0 ( ) s s a uv, 2 μ u v da B, ( ) s L B, (21) b p, u p tr u da. (22) A formulação acma é chamada fraca, pos as equações Eq.(20) e Eq.(21) devem ser satsfetas o setdo de uma tegral sobre todo o domío B. Itroduzmos agora uma formulação alteratva da Eq. (20) a Eq. (22) que forece um procedmeto umérco smples e efcete para o cálculo aproxmado de u e π. Para sto, seja 1 c ( π,p) π pda 2. (23) B Para ε > 0, cosdere o problema de achar ε u A e π L 2 ( ) ε B B tal que Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

133 Um procedmeto umérco para a determação de parâmetros elástcos ( ) ( π ) = ( ) a u, v b, v g, v, v V, (24) ε ε ( ) ( u ), p 2 ( ) ε c π,p + b p, = 0 ε ε Uma vez que p é arbtráro, resolvemos a seguda equação para resultate a prmera equação. Deste modo, obtemos o problema de achar ode ( ) + ( ) = ( ) L B, (25) 127 π ε e substtuímos a expressão u ε A tal que a u, v d u, v g, v, v V, (26) ε ε 2 d ( uε, v) ( tr s ε )( tr s ) da ε u v. (27) B A formulação deste problema é equvalete à formulação fraca do problema de valor de cotoro para um sóldo elástco-lear quase-compressível, para o qual T é dado pela Eq. (11). O módulo λ a Eq. (11) é cosderado costate e gual a 2/ε este trabalho. É bem cohecdo da teora de elastcdade lear clássca que para ε> 0 o problema de achar ambos, u ε A que satsfaça a Eq. π L 2 B que satsfaça a Eq. (25), tem uma úca solução que (26) jutamete com a Eq. (27) e ε ( ) coverge para a solução ( u,π) da Eq. (20) a Eq. (22) à medda que ε O Problema verso Na Seção dscutmos algus aspectos relacoados à ucdade de solução do problema verso descrto o fal da Seção 2.1. Na Seção apresetamos a formulação fraca deste problema verso Cosderações sobre a ucdade de solução Admtmos que B é a secção trasversal de um cldro reto e logo sob estado plao de deformação (EPD) paralelo ao plao desta secção. Admtmos também que ambos, o módulo de elastcdade ao csalhameto μ: B e a pressão π : B, são campos suaves. Seja etão (,, ) e e e uma base ortoormal em assocada a um sstema de coordeadas cartesaas retagulares com a orgem em O (sstema CCR). Os vetores e 1, e 2 são paralelos ao plao que cotém B equato que e 3 é paralelo ao exo do cldro reto. Neste sstema de coordeadas, um poto do cldro é represetado por X + ξ3 e 3, ode X = ξ1e 1 + ξ2 e2 B e ξ, = 1,2,3. Além dsso, u = υ1e 1+ υ2 e 2, ode υ, = 1,2. Segue de (1.8) que ode e e j é o produto tesoral etre e 1 e 2 e, o qual é defdo por ( ) 2 E = εj e e j,, j= 1 e e e =δ e, e j k j k 1 υ υ j ε j +. Segue da Eq. (9) que ε 2 ξ j ξ 22 = - ε11, uma vez que o cldro está sob EPD. Tomado o rotacoal da Eq. (13), elmamos π e obtemos a equação dferecal L[ μ] 2 2 ( μ ε12 ) 2 ( μ ε 11) = 0, (28) ξ1 ξ2 ξ1 ξ2 Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

134 128 ode L[ μ ] é um operador lear em μ. Edmar Borges Theóphlo Prado & Adar Roberto Aguar Agora, cosderamos uma trasformação versível de coordeadas, possvelmete ão- ξ =ξˆ η1, η 2, = 1,2, ode ( η1, η 2) são as coordeadas em um ovo sstema, de η = η ξ, ξ, = 1,2. Itroduzdo esta trasformação a Eq. (28), obtemos lear, dada por ( ) modo que ( ) η 1 η1 η 1 η 1 μˆ L[ μˆ ] εˆ ˆ ˆ 12 2ε11 ε ξ1 ξ1 ξ2 ξ2 η η 2 η2 η 2 η ˆ 2 μ εˆ ˆ ˆ 12 2ε11 ε ξ1 ξ1 ξ2 ξ2 η 2 2 η2 η 1 η1 η2 η2 η 1 η2 η 1 μˆ 2 εˆ ˆ ˆ 12 ε 11 + ε 12 + L1 [ μˆ ], (29) ξ1 ξ1 ξ1 ξ2 ξ1 ξ2 ξ2 ξ2 η1 η2 ode μ = μˆ ( η, η ), ε εˆ ( η, η ) 1 2 =,, j 1,2 j j 1 2 =, e [ ] L μ é um operador lear que cotém somete termos de ordem feror a 2 em ˆμ. Admtdo que εˆ 12 0, examamos o caso em que os dos prmeros coefcetes da expressão Eq. (29) são ulos, ou seja, examamos a equação 2 2 η η η η ξ1 ξ1 ξ2 ξ2 εˆ 2εˆ ε ˆ = 0, = 1,2. (30) As soluções desta equação são dadas por η η ˆ ε 11± Δ 2 2 =, Δ ( ε ˆ11) + ( εˆ12 ), ξ ξ εˆ = 1,2. (31) O operador L é chamado hperbólco se Δ > 0 (Weberger, 1965). Observe da Eq. (31) jutamete com o Jacobao da trasformação de coordeadas que esta codção é ecessára para que a 2 trasformação seja versível. Uma vez que E = εj e ej 0, Δ > 0 e, portato, a equação que 1 2 ξ1 ξ2, j= 1 govera a dstrbução de μ o cldro, dada pela Eq. (28), é hperbólca. Aalsaremos agora algumas coseqüêcas desta coclusão. Sem perda de geeraldade, reescrevemos a Eq. (31) a forma η1 η1 ε ˆ11+ Δ η2 η2 εˆ 11 Δ =, =. (32) ξ ˆ 1 ξ2 ε ˆ 12 ξ1 ξ2 ε12 Ao logo de uma reta η=η, = 1,2, ode η é costate, temos que d η η η= d ξ+ d ξ = 0. Segue desta expressão que η η d ξ 2 = ξ1 ξ2 d ξ, 1,2 1 Substtudo a Eq.(33) a Eq. (32), obtemos d ξ2 ε 11+ Δ =, d ξ ε ˆ =. (33) d ξ2 ε11 Δ =, (34) d ξ ε 1 12 Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

135 Um procedmeto umérco para a determação de parâmetros elástcos ode Δ é dado pela Eq. (31.b) e (, ) ε =ε ξ ξ. As Eq. (34.a) e Eq. (34.b) são equações dferecas j j 1 2 ordáras de prmera ordem em uma das varáves, dgamos, ξ 2. Itegrado a Eq. (34.a) e a Eq. (34.b) com respeto à outra varável, ξ 1, obtemos as curvas ξ 2 = ξ21( ξ 1) e ξ 2 = ξ22( ξ 1), as quas correspodem às retas η 1 =η 1 e η 2 =η 2, respectvamete. As Eq. (34) forecem também as ξ 2 =ξ22 ξ 1. Deotamos por β 1 e β 2 os âgulos correspodetes a estas clações. Por outro lado, as deformações prcpas de E em um dado poto X = ξ 1e 1+ξ2 e 2 são dadas clações das retas tagetes às curvas ( ) ξ =ξ ξ e ( ) por ε 1 = Δ e ε 2 = Δ e as dreções prcpas correspodetes são dadas por ata ε ε 1 11 α 1 =, 2 1 ε12 π α =α. (35) 2 Observe da Eq. (34.b) e do exposto o parágrafo ateror que ta β2 ( ε 1 ε11) ε 12 = ta α1 e que, portato, a reta tagete à curva ξ22 ( ξ 1) é paralela à dreção prcpal correspodete a ε 1. Smlarmete, ta β ( ε +ε ) ε = ta α e a reta tagete à curva ξ ( ξ ) é paralela à dreção prcpal correspodete a ε 2. Cosderamos agora dos esaos possíves de serem realzados em laboratóro. Desejamos elucdar o fato de que μ ão pode ser determado de um úco esao quado Γ g = a Eq. (14), ou seja, quado somete o campo de deslocameto é cohecdo em cada esao. Para sto, cosdere um cldro reto de secção trasversal retagular sob EPD perpedcular ao exo do cldro. O materal do cldro é elástco-lear, sotrópco e compressível. Submetemos o cldro aos esaos baxal de tração-compressão e de csalhameto, os quas estão lustrados a Fgura 2. Observe desta fgura que ξ, = 1,2, são os comprmetos dos lados do cldro, τ 1 e τ 2 são os módulos das forças resultates que atuam sobre os lados vertcas do cldro os esaos baxal (esao I) e de csalhameto (esao II), respectvamete. Supomos que os campos de deformação obtdos de ambos os esaos são homogêeos e dados por (I) (I) (I),, ε ξ, ξ = 0, (esao I), (36) ε ( ξ ξ ) = ε ( ξ ξ ) =ε, ( ) (II) (II) (II) ε ( ξ, ξ ) =ε ( ξ, ξ ) = 0, (, ) ε ξ ξ = ε, (esao II). (37) Claramete, os campos de deformação da Eq. (36) e Eq. (37) satsfazem a restrção da Eq. (9) detcamete e referem-se ao mesmo estado de csalhameto smples se ε=ε 1 2. Neste caso, as dreções prcpas assocadas a estes campos de deformação estão relacoadas etre s por uma rotação de exos de 45º graus. Além dsso, fermos que π = 0, pos lembramos do exposto a Seção 2.1 que π represeta a reação do corpo a mudaças de volume. Este cohecmeto a pror de π ão é utlzado a exposção abaxo, pos desejamos mostrar que, cohecedo-se somete o campo de deformação, μ ão pode ser determado de um úco esao. 129 Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

136 130 Edmar Borges Theóphlo Prado & Adar Roberto Aguar Fgura 2 Esaos para a determação de μ. ode Substtudo o campo de deformação da Eq. (36) a Eq. (28) e resolvedo para μ, obtemos (I) (I) (, ) ( ) ( ) μ ξ ξ = φ ξ + φ ξ, (38) (I) φ, = 1,2, são fuções arbtráras de seus argumetos e ão podem ser determadas ucamete do esao I. Cosderamos agora a trasformação de coordeadas lear 2 2 η ( ξ, ξ ) = ( ξ +ξ ), (, ) ( ) η2 ξ1 ξ 2 = ξ 1+ξ 2, (39) 2 ξ, ξ e os a qual correspode a uma rotação de 45º etre os exos de coordeadas o sstema ( 1 2) exos de coordeadas o sstema (, ) η η. Substtudo o campo de deformação da Eq. (37) 1 2 jutamete com a Eq. (39) a Eq. (29) e resolvedo para μ o ovo sstema de coordeadas, obtemos (II) (II) μˆ η, η = φ η + φ η, (40) ( ) ( ) ( ) (II) ode φ, = 1,2, são fuções arbtráras dos seus argumetos e, smlarmete ao exposto o parágrafo ateror, ão podem ser determadas ucamete do esao II. Para obter a Eq. (40), verfcamos que L1 [ μ ˆ ] = 0. Se, o etato, realzarmos ambos os esaos sobre o mesmo cldro reto e substturmos a Eq. (38), obtdo do esao I, jutamete com o campo de deformação da Eq. (37) do esao II a Eq. (28), obtemos uma expressão para μ que depede somete de quatro costates arbtráras. Esta expressão é dada por 2 2 ( 1, 2) ( 1 2) μ ξ ξ = μ + μ ξ + μ ξ + μ ξ + ξ, (41) ode μ, = 0,...,3, são costates a determar. A Eq. (41) é apresetada por Barboe e Gokhale (2004) para elucdar o fato de que μ ão pode ser determado de um úco esao quado somete o campo de deslocameto é cohecdo. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

137 Um procedmeto umérco para a determação de parâmetros elástcos 131 Substtudo a Eq. (41) a Eq. (10) e resolvedo para os campos de pressão π 1 e π 2 dos esaos I e II, respectvamete, obtemos ( ) ( ) π ξ1, ξ 2 = 2ε ˆ 1 μ 1ξ 1 μ 2 ξ 2 + μ 3 ξ1 ξ 2 + π, (42) ( ) 2 2 π ξ1, ξ 2 = 2ε ˆ 2 μ 2 ξ 1 + μ 1ξ μ3ξ 1 ξ 2 + π, (43) ode ˆπ, = 1,2, são costates a determar. Admtmos agora que as forças resultates τ, = 1,2, (veja a Fgura 2) são cohecdas de, por exemplo, medções expermetas. Itegrado a Eq. (6) sobre partes complemetares de B e utlzado a Eq. (12), obtemos o sstema de equações abaxo. Esao I: O campo de deformação para este esao é dado da Eq. (36). Assm, ξ2 ξ2 ( )( 0, ) d ( )(, ) d, (44) τ = π + 2 μ ε ξ ξ = π + 2 μ ε ξ ξ ξ ξ ξ τ = π 2 μ ε ξ ξ = π 2 μ ε ξ, ξ ξ ξ ( 1 1)( 1,0) d 1 ( 1 1)( 2 1) d 1 ξ. (45) Esao II: O campo de deformação para este esao é dado da Eq.(37). Assm, ξ2 ξ2 ( 0, ) d (, ) d, (46) τ =2 ε μ ξ ξ =2 ε μ ξ ξ ξ ξ2 ξ2 ( 2) 2 ( 1 2) 2, (47) 0= π 0, ξ d ξ = π ξ, ξ dξ 0 0 ξ ξ τ =2 ε μ ξ ξ =2 ε μ ξ,ξ ξ ξ ( 1,0 ) d 1 2 ( 2 1) d 1 ξ, (48) ξ1 ξ1 ( 1 ) 1 ( 1 2) 1. (49) 0 = π ξ,0 dξ = π ξ, ξ dξ 0 0 Substtudo as Eq. (41) Eq. (43) as Eq. (44) Eq. (49), obtemos um sstema de equações sobredetermado para a determação dos coefcetes μ, = 0,...,3, e ˆπ, = 1,2. A solução deste sstema é dada por τ2 τ1 2 μ 0 = = ε ξ ε ξ, 1 2 μ 1 =μ 2 =μ 3 = 0, π ˆ =π ˆ = 0. (50) Segue das Eq. (41) Eq. (43) que μ é costate (portato, o cldro é homogêeo) e que π = 0, = 1,2, o que está cosstete com o osso cohecmeto a pror dos campos de pressão para estes esaos. O procedmeto utlzado para a determação de μ a partr dos campos de deformação cohecdos, Eq. (36) e Eq. (37), e das forças resultates sobre partes complemetares dos lados do cldro pode ser geeralzado para o caso geral em que o cldro ão é homogêeo. Neste caso, a solução da equação de equlíbro Eq. (13) para os campos μ e π, = 1,2, ão é trval e exge a utlzação de métodos umércos que possbltem costrur aproxmações para estes campos. Na próxma seção apresetamos uma formulação fraca do problema de determação de μ e π, = 1,2, que, jutamete com o Método dos Elemetos Ftos (MEF), possblta a costrução destas aproxmações. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

138 132 Edmar Borges Theóphlo Prado & Adar Roberto Aguar A formulação fraca do problema verso Lembramos da Seção 2.1 que o problema verso cosste em determar μ: B e o campo de pressão π: B que satsfaçam a equação de equlíbro Eq. (13), ode E satsfaz a restrção cemátca da Eq. (9) e está relacoado ao campo de deslocameto u por meo da Eq. (8). Admtmos que u A é cohecdo e que Γ g = a Eq. (14). Cosderamos, o etato, que forças resultates são cohecdas em r partes complemetares de B, de modo que ode B ( ) R = π1 + 2 μ E d L, = 1,2,...,r, (51) r B B, j =1 satsfaçam B B para j, e é a ormal exteror a B. Obvamete, r R = 0. =1 A formulação fraca do problema verso cosste em achar μ L 2 ( B ) e π L 2 ( ) π tr v da + 2 μ u v da = 0 B s s s B, v V, (52) B que jutamete com as expressões da Eq. (51). Segue da dscussão realzada a Seção que a solução deste problema ão pode ser determada de um úco campo de deslocameto. Ada segudo esta dscussão, supomos que cohecemos dos campos de deslocameto, u 1 A e u 2 A, μ L 2 B e learmete depedetes. Cosderamos etão o problema da determação de ( ) π L 2 ( B ), 1,2 = 1,2, respectvamete. =, que satsfaçam a Eq. (51) e Eq. (52) para os campos de deslocameto u, 2.4 Formulações dos problemas dscretos Queremos obter aproxmações para as soluções u ε A do problema dreto dado pela Eq. (26) e Eq. (27) e para as soluções μ 2 L ( B ) e π L 2 ( B ), = 1,2, do problema verso formulado a seção ateror. Para sto, costruímos um domío de dscretzação B h composto de m sub-regões K 2 k, k = 1, 2,..., m, ão vazas, de modo que m B h K k, (53) k=1 ode K k K 1 k, k 2 1 k2, é vazo, um poto, ou, uma reta. O sub-ídce h a Eq. (53) refere-se a um comprmeto característco do cojuto { K k }, o qual pode ser tomado como o rao do círculo crcuscrto à sub-regão K k de maor área. Desejamos costrur um domío de dscretzação B h que aproxme B à medda que h 0 ; ou seja, para algum X B, desejamos que lm X- Y = 0 para Y B, ode é a orma Eucldaa usual em h 2. Admtmos que a sub-regão K k, k = 1, 2,..., m, cotém um cojuto de ˆ potos, ou, ós N ˆ k { X ˆ k 1, X ˆ ˆ k 2,..., Xk ˆ }. Sobre cada sub-regão K k troduzmos um cojuto de fuções de base ϕˆ : K, = 1, 2,..., ˆ tal que ormalzadas { } ( ˆ ) k k ˆϕ X =δ,, j = 1, 2,..., ˆ, (54) k k j j h 0 Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

139 Um procedmeto umérco para a determação de parâmetros elástcos 133 ˆX k é o -ésmo ó de K k. Estas fuções de base permtem defr um cojuto de fuções ode cotíuas sobre K k, dado por ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ Pk = ϕ: K k ϕ X = αjϕj X, α1, α2,..., αˆ. (55) j = 1 Para uma dada fução ˆϕ( X ) P ˆ k, está claro da Eq. (55) que ˆ ˆ ( ) cojuto de graus de lberdade ˆ ˆ ( ), = 1, 2,..., ˆ α = ϕ X são escalares que formam o Σ k = { ϕ X k }. À ordeação ( k, ˆ k, Σˆ k) K P chamamos elemeto fto Lagrageao e ao cojuto de elemetos ftos defdos sobre B h chamamos malha de elemetos ftos. X ˆ, k = 1,2,...,m, = 1,2,...,ˆ possu ós dsttos que defem o cojuto O cojuto { k } N { X, X,..., X } B, de modo que, para j { 1, 2,..., }, exstem k { 1, 2,..., m} e { 1, 2,..., ˆ } 1 2 h tal que j = ˆ k j B tal que X X. Defmos agora o cojuto de fuções { ϕj: h, j = 1, 2,..., } ( ) ˆ ( ) ϕ =ϕ X k X para k h X K B, j = 1, 2,...,, = 1, 2,..., ˆ. Além dsso, admtmos cotudade de ϕ j através da borda comum a dos elemetos adjacetes. Assm, que satsfaz ( ) ϕ j é uma fução cotíua em ϕ j X =δj. De fato, o cojuto destas fuções é uma base de dmesão fta sobre B h que permte troduzr o cojuto de fuções cotíuas defdo por ( ) ( ) ( ) P = ϕ: B h ϕ X = αjϕj X, α1, α2,..., α. (56) j = 1 Utlzado a Eq. (56), troduzmos o espaço fto-dmesoal V h como segue { ( ( )) ( ( )) } 2 2 h = v 0 h : v h, v = 0sobre Γhu 0 ode ( ) o hg V C B P B, (57) C B h é o cojuto de fuções cotíuas defdas sobre h o hu B h B e seu cotoro B h Γhg Γhu, Γ Γ =. Aqu, Γ hg e Γ hu são partes complemetares de B h sobre as quas atuam aproxmações de g, g h, e de u, u h, respectvamete. Observe da Eq. (57) e da defção de V a Seção 2.2 que V V se B B. h h ode Observe da Eq. (56) e Eq. (57) que uma fução v h V h é represetada por 2 ( ) = ϑ ( ) v X w X, X B h B h, (58) h = 1 2 ϑ e w é dado por w = ( ϕ ), = ( 0, ϕ ) 2-1,0 w, = 1, 2,...,, (59) 2 X. Observe da Eq. (58) e Eq. (59) que com ϕ sedo a fução de base assocada ao -ésmo ó vh( X ) = ( ϑ2-1, ϑ2 ) para = 1, 2,...,. Chamamos ϑ grau de lberdade do campo v h. Assm, cosderado que cada ó em N tem dos graus de lberdade e que v h V h, decompomos o cojuto * completo de 2 graus de lberdade em dos cojutos complemetares de teros, Z e Z, tas que * * ϑ=, Z, e Z { 1, 2,..., } \ Z. 0 De maera smlar ao realzado com o cojuto V h, troduzmos o cojuto A h defdo por Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

140 134 Edmar Borges Theóphlo Prado & Adar Roberto Aguar 0 { v ( ( )) ( ( )) } 2 : v 2, v = u sobre A = C B P B Γ. (60) h h h h hu Observe da Eq. (56) e Eq. (60) que um deslocameto uh A h é represetado por 2 ( ) = υ ( ) u X w X, X B h B h, (61) h = 1 * ode, para cada ídce Z, o valor correspodete de υ é prescrto e dado por υ=υ. Defmos também o cojuto L = μ : B : μ é cotíuo por partes sobre B. (62) { } h h h h h Um elemeto μh L h é represetado por m ( ) ( ) μ X = μ τ X, X B h B h, (63) h k k k = 1 μk e τ k é ode lembramos da exposção acma que m é o úmero de elemetos ftos a malha, uma fução de base escalar costate por partes, a qual assume valor utáro sobre o elemeto K k e é ula sobre B h\ K k. Neste trabalho, B = B e h K k, k = 1, 2,..., m, são quadrláteros cujos ós estão localzados os vértces destes quadrláteros. O problema dreto dscreto assocado ao espaço V h e obtdo da formulação de pealdades a Eq. (26) e Eq. (27) cosste em achar o deslocameto uh A h tal que a ( h, h) + d ( h, h) = ( h, h) ode a (, ) é dado pela Eq. (22.a) e d (, ) u v u v g v, vh V h, (64) é dado pela Eq. (27). Lembramos da Seção 2.1 que o problema dreto os parâmetros elástcos μ a Eq. (22.a) e ε a Eq. (27) são cohecdos. Uma vez que u h é dado pela Eq. (61) e v h é dado pela Eq. (58), ode os coefcetes ϑ, = 1, 2,...,, são arbtráros, podemos reescrever a Eq. (64) a forma ode ( κ +κ ˆ ) j j υ j = γ, j=1 κ 2 μ w w da j s s j B (, ) h Z, (65) 2 ˆ tr tr da ε w w, κj ( s )( s j ) B γ g w. (67) Admtmos que as fuções de base ormalzadas a Eq. (54) são bleares, ou seja, estas fuções são polômos de prmero grau em cada uma das coordeadas. Resolvemos o problema dreto dscreto com o pacote de elemetos ftos ANSYS Este pacote permte gerar malhas de elemetos ftos sobre geometras complexas e possu uma bbloteca ampla de elemetos ftos. Em partcular, utlzamos o elemeto fto PLANE42 devdo à smplcdade de sua formulação. Utlzamos a formulação dscreta apresetada acma para smular umercamete os esaos que forecem os dos campos de deslocameto u 1 e u 2 ecessáros para a determação de μ, coforme descrto o fal da Seção Estas smulações forecem também as forças resultates 1 R e 2 R da forma apresetada a Eq. (51) sobre partes complemetares jb de r B B. j=1 j (66) 3 ANSYS 5.5 é um software regstrado de propredade da empresa Asys Ic., PA, USA.. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

141 Um procedmeto umérco para a determação de parâmetros elástcos 135 O problema verso dscreto assocado aos espaços Eq. (52) cosste em achar μh L h e π tr v da + 2 μ u v da = 0 B h s h h s s h B ( ) j h h s j jb L h e πh L h, = 1,2, que satsfaçam, h h V h e obtdo da formulação fraca a v V, (68) R = π μ u d L. (69) Uma vez que B = B este trabalho, assummos que cada parte h jb é dada pela uão de bordas dos elemetos próxmos ao cotoro de B h, ou seja, jb = D p, ode D p é a borda do elemeto K p cotda em bordas cotdas em jb e p Z j Z j é o cojuto de úmeros teros que detfcam os elemetos com j B. Utlzado a Eq. (63), podemos escrever m μ = μ τ e h k k k = 1 m h πkτk k = 1 π =, = 1,2, ode μk e πk, k = 1, 2,..., m, são coefcetes a determar. Uma vez que u, = 1,2, são da forma apresetada a Eq. (61) e v h é dado pela Eq. (58), ode os coefcetes ϑ, = 1, 2,...,, são arbtráros, podemos reescrever a Eq. (68) e a Eq. (69) a forma 2 m α pq ω q = 0, p q=1 β q ω q = R j, j 1,2,...,r q Zj Z, (70) =, (71) respectvamete, ode = 1,2, e α 2 u w da, β p (2q-1) s s p Kq ( ) 2 u da, 2q-1 s q Dq α tr w β p (2q) s p Kq 2q Dq da, (72) da q, (73) ω μ, 2q-1 q ω 2q π. (74) Em geral, o sstema lear formado pelas expressões da Eq. (70) a Eq. (74) é sobredetermado. Para resolver este sstema é ecessáro utlzar téccas especas de versão. Aqu, utlzamos um algortmo de pseudo-versão, ou, versão geeralzada va decomposção SVD (Sgular Value Decomposto; veja Golub e Loa (1996)). Este algortmo fo mplemetado utlzado rotas do IMSL para FORTRAN Os prcpas dados de etrada destas rotas são os coefcetes R, a matrz W formada pelos coefcetes que multplcam j q ω o sstema da Eq. (70) e da Eq. (71), as dmesões de W e uma tolerâca que forece a maor matrz quadrada ão sgular de W. Neste trabalho, a tolerâca é um úmero ão-egatvo abaxo do qual um valor sgular de W é cosderado ulo. Os valores sgulares de W são a raízes quadradas dos autovalores do produto da trasposta de W pelo própro W e são ordeados em ordem decrescete. O úmero de valores sgulares ão-ulos é gual ao posto de W. Um estudo prelmar da fluêca da tolerâca sobre os valores de μ permtu coclur que, para tolerâcas meores do que 10-8, todos os valores obtdos para μ eram fscamete plausíves e dferam pouco etre s. q 4 IMSL 10.1 é um software regstrado da empresa Itel Corporato. IMSL é marca regstrada de propredade da empresa Vsual Numercs, Ic. 5 FORTRAN 10.1 é um software regstrado da empresa Itel Corporato. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

142 136 Edmar Borges Theóphlo Prado & Adar Roberto Aguar 3 RESULTADOS NUMÉRICOS Utlzamos as formulações dscretas da Seção 2.4 para, prmeramete, smular umercamete dos esaos sobre um cldro reto de secção quadrada cujo comprmeto do lado é ξ = 50 mm. O cldro está sob E.P.D. perpedcular ao seu exo de smetra e cotém uma clusão clídrca reta de secção crcular cujo rao é r = 6 mm, coforme lustrado a Fgura 3. Ambos os cldros possuem o mesmo exo de smetra, são homogêeos e quase-compressíves, com costates elástcas dadas por ν C = , μ C = Pa, (75) ν Ι =ν C, Ι 6 C μ = μ, (76) ode ν e μ são, respectvamete, os coefcetes de Posso e o módulo de elastcdade ao csalhameto e os sub-ídces I e C deotam, respectvamete, a clusão e o cldro de secção quadrada sem a clusão. Segue da dscussão sobre o método das pealdades a Seção 2.2 que os -11 parâmetros de pealdade para a clusão e o seu etoro são dados por ε Ι 1,85 10 Pa -1 e -10 ε C 1,11 10 Pa -1, respectvamete. Cosderamos os esaos b-axal de tração-compressão e de csalhameto, coforme lustrado a Fgura 3. As codções de cotoro sobre os lados do cldro com a clusão para estes esaos são dadas abaxo. ) Esao baxal de tração-compressão: a) Bordas Vertcas: u1( 0, ξ 2) = 0, u (, ) ( 2 1)( 0, ξ2) = ( 2 1)( ξ1, ξ 2) = 0 ξ ξ = ε ξ, (77) e T e e T e. (78) b) Bordas Horzotas: u,0 0 2( ξ 1 ) =, u (, ) ( 1 2)( ξ1,0 ) = ( 1 2)( ξ1, ξ 2) = 0 ξ ξ = ε ξ, (79) e T e e T e. (80) ) Esao de csalhameto: a) Bordas Vertcas: ( ξ ) = ( ξ ξ ) = ε ξ, 2( 2) 2( 1 2) u 0, u, b) Bordas Horzotas: u,0 u, 2 ( ξ ) = ( ξ ξ ) = ε ξ, 2( 1 ) 2( 1 2) u 0, ξ = u ξ, ξ = 0. (81) u ξ,0 = u ξ, ξ = 0. (82) Coforme explcado a Seção 2.4, realzamos as smulações umércas para os problemas dretos correspodetes aos esaos acma utlzado o pacote de elemetos ftos ANSYS 5.5. Obtvemos os campos de deslocameto e as forças resultates sobre os lados do cldro para cada esao, os quas foram utlzados como dados de etrada para a smulação umérca do problema verso relacoado à determação de μ. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

143 Um procedmeto umérco para a determação de parâmetros elástcos 137 Fgura 3 Esaos para a determação de μ em um cldro com clusão. Observe do exposto a Seção jutamete com as expressões da Eq. (77) a Eq. (82) que se o cldro fosse homogêeo (ou seja, se as costates elástcas da clusão fossem guas às costates elástcas do seu etoro), etão as soluções dos problemas dretos relacoados aos esaos ) e ) acma foreceram as deformações homogêeas da Eq. (36) e da Eq. (37), respectvamete. Neste caso, as compoetes ormas de tesão sobre os lados do cldro o esao ) seram ulas. Cosderado agora as costates dadas pela Eq. (76) e lembrado que os comprmetos dos lados da secção quadrada são muto maores do que o rao da clusão, esperamos que as compoetes ormas de tesão sobre as bordas exteras do cldro para o esao ) sejam muto pequeas. Na formulação do problema dreto dscreto da Eq. (64), as codções de carregameto da Eq.(78) e da Eq. (80) são mpostas fracamete, ou seja, esperamos obter as codções da Eq. (78) e da Eq. (80) o lmte, quado h 0. Portato, para um dado h > 0, estas codções ão se verfcam e exstem resíduos de forças resultates correspodetes às tesões csalhates a Eq. (78) e a Eq. (80). Estas forças resduas ão estão mostradas a Fgura 3, mas são levadas em cosderação a resolução do problema verso dscreto para smular possíves erros de medção o aparato expermetal. Apresetamos a Fgura 4 resultados relacoados com a recostrução do módulo de elastcdade ao csalhameto μ para o cldro com a clusão cetrada a partr dos campos de deslocameto e das forças resultates obtdas das smulações dos esaos ) e ) descrtos acma. Para sto, mplemetamos um programa computacoal baseado a formulação do problema verso dscreto dado pela Eq. (68) e Eq. (69). A Fgura 4 apreseta ses mages colordas jutamete com os mapas de cores correspodetes. A magem (a) o lado superor esquerdo apreseta somete duas cores que estão relacoadas aos valores de μ a Eq. (75) e Eq. (76). Esta magem é tomada como referêca. As demas mages, (b) a (f), correspodem às malhas 1 a 5 da Tabela 1, respectvamete. Assm, a magem (b) correspode à malha 1, a qual cotém 803 ós e 738 elemetos, e a magem (f) correspode à malha 5, a qual cotém 1544 ós e 1479 elemetos. Comparado estas mages à magem de referêca (a), observamos prmeramete que as soluções de todos os problemas dscretos correspodetes às malhas da Tabela 1 forecem recostruções de μ que permtem detfcar a clusão de seu etoro. Observamos também que a recostrução de μ é tato melhor quato mas refada a malha. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

144 138 Edmar Borges Theóphlo Prado & Adar Roberto Aguar (a) (b) (c) (d) (e) (f) Fgura 4 Images obtdas da recostrução de μ [Pa] para o cldro com clusão cetrada. (a) Imagem de referêca; (b) a (f) Images obtdas das soluções de problemas versos dscretos utlzado as malhas 1 a 5 da Tab. 1, respectvamete. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

145 Um procedmeto umérco para a determação de parâmetros elástcos 139 Tabela 1 Malhas de elemetos ftos para o cldro com clusão cetrada Malha Número de ós Número de elemetos CONCLUSÕES Apresetamos um procedmeto umérco para a determação do módulo de elastcdade ao csalhameto μ de um sóldo elástco-lear, sotrópco e compressível sob estado plao de deformação. Uma vez que os tecdos bológcos moles são cosderados quase-compressíves e têm sdo modelados sob les leares quado se aplca uma deformação feror a 2,5 %, o procedmeto desevolvdo este trabalho é uma ferrameta com grade potecal de aplcação o dagóstco de tumores mersos em tecdo sado e a detfcação de dferetes tecdos compodo um mesmo órgão a partr do cohecmeto de campos de deslocameto teros do corpo e de resultates de forças aplcadas em partes complemetares do cotoro do corpo. 5 AGRADECIMENTOS Agradecemos à CAPES pelo apoo facero, sem o qual esta pesqusa ão tera sdo possível. 6 REFERÊNCIAS BARBONE, P. E.; BAMBER, J. C. Quattatve elastcty magg: what ca ad caot be ferred from stra mages. Physcs Medce ad Bology, v. 47,. 12, p , ISSN: BARBONE, P. E.; GOKHALE, N. H. Elastc modulus magg: o the uqueess ad ouqueess of the eslastography verse problem two dmeso. Iverse Problems, v. 20, p , ISSN: FUNG, Y.C. Bomechacs: mechacal propertes of lvg tssues. 2. ed. New York, USA: Sprger, p. ISBN: GOLUB, G. H.; LOAN, C. F. V. Matrx computato. 3. ed. Baltmore, USA: The Johs Hopks Uversty Press, p. ISBN: GURTIN, E. M. A troducto to cotuum mechacs. New York, USA: Academc Press, p. ISBN: Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

146 140 Edmar Borges Theóphlo Prado & Adar Roberto Aguar KROUSKOP, T. et al. Elastc modul of breast ad prostate tssues uder compresso. Ultraso. Imagg, v. 20,. 4, p , ISSN: LIU, H. T. et al. Aalytc modelg of breast elastography. Medcal Physcs, v. 30,. 9, p , ISSN: MRIDHA, M.; ÖDMAN, S. Novasve method for the assessmet of subcutaeous edema. Medcal ad Bologcal Egeerg ad Computg, v. 24,. 4, p , ISSN: OPHIR, J. et al. Elastography: a quattatve method for magg the elastcty of bologcal tssues. Ultraso Imagg, v. 13,. 2, p , Apr., ISSN: OPHIR, J. et al. Optcal ad acoustcal magg of bologcal meda: elastography. Comptes Redus de l Académe des Sceces, t. 2, Sére IV, p , ISSN: OPHIR, J. et al. Elastography: magg the elastc propertes of soft tssues wth ultrasoud. Joural of Medcal Ultrasocs, v. 29,. 4, p , ISSN: PRADO, E. B. T. Estudo umérco sobre a determação de parâmetros em um sóldo elástcolear e compressível Dssertação (Mestrado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, REEVES, M. J. et al. Determats of breast cacer detecto amog Wscos (Uted States) wome, Cacer Causes ad Cotrol, v. 6,. 2, p , Mar., ISSN: SARVAZYAN, A. Shear acoustc propertes of soft bologcal tssues medcal dagostcs. The Joural of the Acoustcal Socety of Amérca, ASA, v. 93,. 4, p , ISSN: WEINBERGER, H. F. Partal dfferetal equatos wth complex varables ad trasform methods. New York, USA: Joh Wley & Sos, Ic, p. ISBN: Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

147 ISSN ESTUDO EXPERIMENTAL DE CONSOLOS DE CONCRETO COM FIBRAS MOLDADOS EM ETAPAS DISTINTAS DOS PILARES Jôatas Barreto de Adrade Costa 1 & Mour Khall El Debs 2 Resumo A produção dustral do cosolo tradcoal apreseta dfculdades devdo à grade quatdade de armadura em um espaço pequeo. Além da armadura do trate prcpal, ormalmete se utlzam estrbos vertcas e horzotas. O presete estudo expermetal propõe um cosolo moldado em etapa ateror à do plar, com a armadura e superfíces preparadas para a lgação posteror com o plar, durate a cocretagem deste elemeto. O cosolo dspõe somete da armadura do trate prcpal e de fbras metálcas corporadas à matrz de cocreto, sem estrbos vertcas ou horzotas. Em algus modelos fo utlzado um tpo de armadura de costura alteratvo. As prcpas varáves aalsadas foram a taxa de armadura e o arrajo das barras dos trates. A adção de fbras ao cosolo reduzu a fssuração a bela de compressão e aumetou a resstêca à ruptura dos cosolos em 8%, apresetado boa ductldade, mesmo depos da máxma solctação. Com o aumeto da armadura do trate o cosolo com fbras, a resstêca à ruptura fo 69% maor. Cosderado o patamar de solctação de servço do cosolo tradcoal, os modelos moldados em etapas dsttas apresetaram aberturas de fssuras a terface cosolo-plar 33% maores, apesar de demorarem mas a aparecer. Etretato, quado aumetada a taxa de armadura prcpal, os modelos moldados em etapas dsttas demostraram fssuras 23% meores que o cosolo tradcoal. Palavras-chave: Cosolo. Fbras metálcas. Pré-moldado. Esao expermetal. EXPERIMENTAL RESEARCH OF REINFORCED FIBER CONCRETE CORBELS SHAPED IN DISTINCT STAGE TO THE COLUMN Abstract The dustral producto of tradtoal corbel presets some dffcultes due to the great quatty of reforcemet a small space. Beyod the ma bars, t s geerally used vertcal ad horzotal strrups. Ths expermetal study proposes a corbel shaped the pror stage to the colum, wth the reforcemet ad surfaces prepared to the later coecto wth the colum durg the moldg of t. The corbel has oly the reforcemet of ma bars ad steel fbers corporated to the cocrete matrx, wthout vertcal or horzotal strrups. I some models were used a kd of alteratve secodary reforcemet. The ma varables aalyzed were the reforcemet rate ad the arragemet of the ma bars. The addto of fbers to the corbel reduced the crack the compressed dagoal ad creased the resstace to rupture of corbels 8%, presetg a reasoable ductlty eve after the maxmum load. Wth the crease of reforcemet of ma bars the corbel wth fbers, the resstace to rupture was 69% greater. Cosderg the basele of servce load of tradtoal corbel, models shaped dstct stages preseted crack opegs 33% larger, spte of takg a loger tme to show up. However, whe the rate of prmary reforcemet was creased, the models shaped dstct stages had cracks 23% smaller tha the tradtoal corbel. Keywords: Corbel. Steel fbers. Precast. Expermetal test. 1 Mestre em Egehara de Estruturas - EESC-USP, joatasbarreto@yahoo.com.br 2 Professor do Departameto de Egehara de Estruturas da EESC-USP, mkdebs@sc.usp.br Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

148 142 Joatas Barreto de Adrade Costa & Mour Khall El Debs 1 INTRODUÇÃO Um dos mas usuas elemetos de lgação é o cosolo. Estes fucoam como elemetos em balaço, projetados de plares e paredes, para apoo de outros elemetos. O seu comportameto estrutural é tratado de maera dferete das vgas, pos para o seu balaço bastate curto ão vale a teora clássca da flexão. A produção dustral deste elemeto apreseta dfculdades devdo à grade quatdade de armadura em um espaço pequeo. Além da armadura do trate prcpal, ormalmete se utlzam estrbos vertcas e horzotas. Etretato, coforme dcam Leohardt e Mög [0]: Estrbos vertcas são útes para a trasmssão da força ao cosolo; servem apeas para erjecer a armadura. Já os estrbos horzotas abaxo da armadura do bazo, dstrbuídos ao logo da altura têm setdo; em cosolos com a/h 0,7 a 0,5 eles aumetam a capacdade resstete das belas de compressão, quado dspostos com pequeo espaçameto. Os estrbos horzotas combatem a fssuração a bela. Porém, a proposta do presete trabalho é retrar todos os estrbos e aumetar a resstêca ao fedlhameto da bela através da corporação de fbras metálcas à matrz de cocreto. São matdas somete as barras do trate prcpal. A moldagem dos cosolos apreseta uma ovação produtva, com a produção dos cosolos em etapa ateror ao plar, com a armadura e superfíces preparadas para a lgação com o plar durate a moldagem deste elemeto. Desta forma, as fbras metálcas só estarão presetes o cocreto dos cosolos, sedo o plar moldado em cocreto covecoal. A Fgura 1.1 lustra o esquema represetatvo da motagem de dos cosolos em um trecho de plar. O cosolo já desformado deve ser ecaxado a fôrma do plar a ser moldado. A estrutura represetada correspode a um modelo expermetal, detalhado posterormete. armadura de costura Fgura 1.1 Esquema de motagem do cosolo. Para mmzar a abertura da fssura a terface cosolo-plar em algus modelos, fo utlzada a armadura de costura. A Fgura 1.1 mostra a dsposção da armadura de costura juto ao trate do cosolo. Este trabalho tem como objetvo geral propor uma ovação costrutva à fabrcação de cosolos em dústras de elemetos estruturas pré-moldados. Espera-se desevolver uma técca produtva mas efcete do que a usual, e que aprmore as característcas estruturas do elemeto. O trabalho expermetal completo deste estudo é apresetado por Costa [0]. 2 PROGRAMA EXPERIMENTAL Não fo ecotrada a lteratura técca ehuma referêca a cosolos com a moldagem em etapa dstta da do plar e com corporação de fbras de aço à matrz de cocreto. Detre suas característcas dferecadas, os modelos também ão apresetam estrbos vertcas e horzotas, permaecedo apeas a armadura do trate prcpal. Desta forma, fzeram-se ecessáros esaos Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

149 Estudo expermetal de cosolos de cocreto com fbras moldados em etapas dsttas dos plares 143 de dos modelos-ploto para aálse do comportameto geral. O programa expermetal completo, coforme apresetado por Costa [0], cosste dos dos modelos-ploto, de mas quatro modelos deftvos (Modelos 3 a 6) e um modelo de referêca (MRC7). Cada modelo é costtuído de um trecho represetatvo de um plar com dos cosolos smétrcos. Adotou-se para os modelos a omeclatura apresetada a Tabela 2.1. Tabela 2.1 Nomeclatura dos modelos expermetas Armadura de costura C S com armadura de costura sem armadura de costura MMC3 Número do modelo 1 a 7 B baxa Quatdade de armadura do trate M A R méda alta modelo de referêca Represetação de Modelo M modelo expermetal As prcpas varates etre os modelos aalsados são a taxa de armadura prcpal, arrajo das barras de aço do trate e a razão a/d, ode a é a dstâca etre a face do plar e poto de aplcação da força, e d é a altura útl do cosolo. A Tabela 2.2 apreseta o resumo das prcpas característcas dos modelos expermetas. Tabela 2.2 Resumo dos modelos expermetas Modelo Armadura trate prcpal Classfcação quatdade de armadura Armadura de costura a/d Resstêca pretedda cocreto (MPa) Porcetagem fbras de aço cosolo (%) MBS1 2Ø12,5mm baxa ão 0,75 65,00 2,00 MBC2 2Ø12,5mm baxa sm 0,75 65,00 2,00 MMS3 3Ø16,0mm méda ão 0,75 65,00 2,00 MMC4 3Ø16,0mm méda sm 0,75 65,00 2,00 MMC5 3Ø16,0mm méda sm 0,75 65,00 2,00 MAC6 4Ø20,0mm alta sm 0,75 65,00 2,00 MRC7 3Ø16,0mm méda sm 0,75 40,00 - Com exceção do modelo MRC7, moolítco, os modelos foram moldados em duas etapas. A matrz de cocreto dos cosolos possu fbras de aço com gachos (hooked) corporadas à taxa de 2%. Na seguda etapa os cosolos foram desformados e acoplados à fôrma do plar ates da sua cocretagem. O cocreto do plar ão tem adção de fbras metálcas. Nos esaos-ploto, as prcpas Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

150 144 Joatas Barreto de Adrade Costa & Mour Khall El Debs observações foram a força de ruptura, ductldade durate a ruptura do elemeto, esquema de motagem efcete para a armadura, formação e abertura de fssuras a terface cosolo-plar. De acordo com os resultados expermetas obtdos foram fetas modfcações para os quatro modelos deftvos (Modelos 3 a 6), aumetado-se as taxas de armadura para tetar obter um modo de ruptura por flexão, com escoameto do aço smultaeamete ao esmagameto do cocreto a bela. O modelo moolítco (MRC7) fo realzado com arrajo de armaduras covecoal para fs de comparação dos resultados. Devdo a uma coveêca de esao, todos os modelos foram esaados com a base do plar para cma e o topo para baxo. Desta forma, todos os modelos são represetados com o trate prcpal dos cosolos para baxo. 2.1 Dmesões dos modelos expermetas Todos os modelos expermetas têm as mesmas dmesões. Foram defdas as dmesões da seção trasversal do trecho de plar, com o objetvo de represetarem um plar pré-moldado tradcoal, sofredo pequeas modfcações para se adaptar às dmesões da máqua de esao. Dessa forma, as dmesões são 30cm x 40cm. A altura do trecho de plar é de 55cm. Os cosolos têm dmesões 27cm x 20cm x 20cm, respectvamete, a largura, altura e comprmeto. Fgura 2.1 Dmesões dos modelos expermetas (meddas em cm). 2.2 Armaduras dos modelos expermetas Detre as varações etre os modelos expermetas estão a quatdade de armadura o trate prcpal e o arrajo das barras. Nos modelos-ploto (MBS1 e MBC2), as armaduras tveram uma acoragem em gacho e as taxas de armadura baxas. Nos modelos deftvos (Modelos 3 a 6), a acoragem mudou para mecâca com solda, para tetar torar mas efcete a produção das peças, e as taxas de armadura foram aumetadas para tetar obter um modo de ruptura por flexão. Observe-se que todas as armaduras foram dobradas sem aquecer as barras de aço, de forma a preservar suas propredades físcas. A dsposção das armaduras em cada modelo é apresetada a Tabela 2.3. A represetação da btola de cada armadura segue o códgo de cores mostrado a Fgura 2.2. Fgura 2.2 Códgo de cores das btolas das armaduras. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

151 Estudo expermetal de cosolos de cocreto com fbras moldados em etapas dsttas dos plares 145 Tabela 2.3 Quadro resumo das armaduras dos modelos MBS1 MBC2 MMS3 MMC4 e MMC5 MAC6 MRC7 Os modelos MBS1 e MBC2 possuem acoragem do trate em gacho, a face oposta e a regão cetral do plar, respectvamete. Os modelos MMS3, MMC4 e MMC5 têm a acoragem do trate a face oposta do plar em forma de barra trasversal soldada. Nestes modelos, aparece uma armadura para combater o fedlhameto do cocreto o plar. O modelo MAC6 possu arrajo Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

152 146 Joatas Barreto de Adrade Costa & Mour Khall El Debs semelhate aos modelos 3, 4 e 5, só que com taxa de armadura do trate mas elevada. O modelo MRC7 tem um arrajo de armadura covecoal para efeto de comparação de resultados com os demas modelos. 2.3 Cocreto dos modelos expermetas As duas etapas de cocretagem dos modelos 1 a 6 são realzadas com cocretos dsttos. O prmero cocreto com 2% de fbras de aço, costtute dos cosolos, e o segudo cocreto covecoal, costtute do trecho de plar. Os traços destes cocretos são apresetados a Tabela 2.4. O traço com fbras de aço corporadas é uma adaptação da pesqusa de Ferrera, Haa e Ferrar [0]. Com esse traço, esperava-se atgr a resstêca de 65MPa. Na prmera cocretagem, dos modelos MBS1 e MBC2, o cocreto se apresetou mas fludo do que o desejado. Desta forma, para os outros modelos a quatdade de superplastfcate fo reduzda de 1,0% para 0,8% da massa de cmeto e o fator água-cmeto aumetado de 0,35 para 0,38. Foram utlzadas fbras de aço com gachos (hooked) de 13 e 25mm de comprmeto para cotrolar a mcrofssuração e melhorar as propredades mecâcas do cocreto. O dâmetro omal das fbras é de 0,75mm, com tesão máxma de tração de 1.100MPa. O cocreto covecoal fo fudametado os estudos de Aguar [0]. De acordo com as dcações do autor, esperava-se obter uma resstêca característca à compressão da ordem de 40MPa e abatmeto do troco de coe (slump) de 10 ± 1cm. Tabela 2.4 Traço dos cocretos dos modelos expermetas Cocreto com fbras (cosolos) Cocreto covecoal (plares) Modelos MBS1 e MBC2 MMS3, MMC4, MMC5 e MAC6 MBS1, MBC2, MMS3, MMC4, MMC5, MAC6 e MRC7 Cmeto CPV-ARI 1,00 1,00 1,00 Area seca 2,13 2,13 1,75 Brta 1 1,83 1,83 2,63 Fator a/c 0,35 0,38 0,50 Gleum 51 (superplastfcate) 1,0% 0,8% - Fbras aço Wrad FS8 0,75x25mm 1,0% 1,0% - Fbras aço 0,75x13mm 1,0% 1,0% - Cosumo cmeto (kg/m³ cocreto) 450,00 450,00 396, Propredades mecâcas dos materas Cocreto Em cada cocretagem, utlzado cocreto com fbras ou covecoal, foram moldados ses corpos-de-prova clídrcos de 10x20cm², sedo três destados aos esaos de compressão dametral Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

153 Estudo expermetal de cosolos de cocreto com fbras moldados em etapas dsttas dos plares 147 e três para compressão smples, com medção do módulo de elastcdade. Os valores das tesões máxmas e módulo de elastcdade de cada corpo de prova são mostrados a Tabela 2.5. Tabela 2.5 Resstêca à compressão e tração dos cocretos com fbras e covecoal Modelo expermetal Idade (das) Tesão de compressão (MPa) Módulo de Elastcdade Tagete (GPa) Tesão de tração (MPa) Cocreto com Fbras (cosolos) MBS1 e MBC ,06 30,46 3,43 MMS3 e MMC ,24 47,58 6,12 MMC5 e MAC ,90 43,69 5,41 Cocreto Covecoal (plares) MBS1 e MBC ,78 33,03 2,77 MMS3, MMC4 e MRC ,52 40,01 4,08 MMC5 e MAC6 9 48,25 35,79 2, Aço Foram retradas três amostras de cada dâmetro de barras de aço dos modelos as duas compras de aço que ocorreram. O prmero lote de aço se refere aos modelos MBS1 e MBC2, e o segudo aos demas modelos. Os valores médos da tesão de escoameto (f y ), tesão de ruptura (f u ) e módulo de elastcdade (E) para cada dâmetro são apresetados a Tabela 2.6. Algus módulos de elastcdade tveram valores fora do esperado, de 210GPa. Tabela 2.6 Propredades mecâcas dos aços dos modelos expermetas MBS1 e MBC2 MMS3, MMC4, MMC5, MAC6 e MRC7 Dâmetro omal f y (MPa) f u (MPa) E (GPa) Dâmetro omal f y (MPa) f u (MPa) E (GPa) 5,0mm 596,00 701,35 189,00 5,0mm 671,67 778,43 258,24 6,3mm 550,00 669,52 239,13 6,3mm 555,00 693,60 258,06 10,0mm 440,00 757,30 176,00 8,0mm 560,00 670,48 255,72 12,5mm 556,50 593,36 222,91 16,0mm 517,33 619,18 214, ,0mm 516,00 634,24 210, Istrumetação dos modelos A strumetação utlzada os modelos é dvdda em tera e extera. A tera correspode a extesômetros elétrcos de resstêca poscoados as barras da armadura do modelo e, portato, Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

154 148 Joatas Barreto de Adrade Costa & Mour Khall El Debs mersos o cocreto. A strumetação extera é composta de trasdutores de deslocameto poscoados exteramete ao modelo. O detalhameto de toda a strumetação dos modelos é apresetado a Fgura 2.3. Cada poto strumetado possu um códgo de detfcação, segudo a Tabela 2.7. A strumetação extera fo arrajada a ocasão do esao, já com o modelo poscoado a máqua de esao. Foram utlzados trasdutores de deslocameto para medr a abertura de fssuras a terface cosolo-plar. Também foram utlzados trasdutores a face superor do cosolo e a base do modelo para medr a rotação relatva do cosolo e o deslocameto vertcal do modelo. Tabela 2.7 Códgo de detfcação da strumetação Tpo de strumeto E T extesômetro elétrco de resstêca trasdutor de deslocameto C cosolo M plao médo do modelo Localzação I terface cosolo-plar EK1f- Sub-localzação A K s gacho de acoragem da armadura armadura de costura feror superor f face frotal Face do modelo p face posteror b barras termedáras Cosolo de referêca 1 cosolo da esquerda 2 cosolo da dreta Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

155 Estudo expermetal de cosolos de cocreto com fbras moldados em etapas dsttas dos plares 149 Fgura 2.3 Esquema represetatvo da strumetação dos modelos (meddas em cm). 2.6 Procedmetos de esao Os esaos foram realzados em duas etapas. Prmeramete, esaos-ploto com os modelos MBS1 e MBC2, os das 19 e 20 de setembro de Os demas modelos foram esaados o período de 17 a 24 de juho de Os modelos foram esaados a máqua servo-cotrolada com capacdade omal de 2500kN. Por uma questão de coveêca do esao, os modelos foram poscoados a máqua com a base para cma e o topo para baxo. Desta forma, os trates dos Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

156 150 Joatas Barreto de Adrade Costa & Mour Khall El Debs cosolos aparecem a parte feror, próxmos à face dos apoos rotulados, coforme represetado a Fgura 2.4. A opção pelos apoos rotulados é para permtr a lvre rotação do cosolo. Realzaram-se os esaos com a velocdade de 0,005mm/s. apoo rotulado trate prcpal Fgura 2.4 Poscoameto do modelo a máqua de esao. 3 ANÁLISE DOS RESULTADOS 3.1 Aálse das forças últmas Através dos trasdutores de deslocameto a base do plar e o bazo superor dos cosolos, fo meddo o deslocameto vertcal do poto de aplcação da força o cosolo. Os resultados apresetados a Fgura 3.1 represetam a méda dos valores dos trasdutores. Os modelos MMS3, MMC4 e MMC5, mesmo ão atgdo a suas forças resstetes máxmas, começaram a apresetar excessva deformação as barras do trate (acma de 10 ) e os esaos foram terrompdos por motvo de seguraça. Cosderou-se que uma ruptura brusca dos trates podera ocasoar o tombameto do modelo. A Tabela 3.1 apreseta a força máxma calculada e a força máxma obtda expermetalmete para cada modelo. O valor teórco da força máxma se baseou o método de cálculo descrto por El Debs [0]. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

157 Estudo expermetal de cosolos de cocreto com fbras moldados em etapas dsttas dos plares força x deslocameto força (kn) MBS1 MBC2 MMS3 MMC4 MMC5-200 MAC6 MRC7 0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 deslocameto (mm) Fgura 3.1 Curva de força x deslocameto do poto de aplcação da força o cosolo. Tabela 3.1 Força máxma teórca e expermetal dos modelos Modelo f cj do cosolo (MPa) f cj do plar (MPa) f y (MPa) crtéro de ruptura Força máxma teórca (kn) Força máxma expermetal (kn) MBS1 44,06 56,78 556,50 resst. aço 333,90 459,26 MBC2 44,06 56,78 556,50 resst. aço 333,90 485,28 MMS3 92,24 71,52 517,33 resst. aço 744, ,60* MMC4 92,24 71,52 517,33 resst. aço 744, ,40* MMC5 73,90 48,25 517,33 resst. aço 744,96 973,09* MAC6 73,90 48,25 516,00 resst. cocreto 1103, ,40 MRC7 71,52 71,52 517,33 resst. aço 744,96 897,78 *ão atgu a ruptura A comparação das forças de ruptura do modelo de referêca (MRC7) e do modelo com armadura méda MMC5 demostra que a preseça de fbras o cosolo aumetou a resstêca à ruptura do modelo em 8%. O grade beefíco das fbras, porém, fo mater uma boa ductldade dos cosolos, mesmo com o aumeto da resstêca. Isso fca ada mas efatzado o modelo com alta quatdade de armadura (MAC6), o qual a força de ruptura é 69% maor que o modelo de referêca e, mesmo com o cocreto mas solctado, ada se comporta de forma dúctl. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

158 152 Joatas Barreto de Adrade Costa & Mour Khall El Debs 3.2 Aálse da deformação da armadura Extesômetros o trate prcpal Foram dspostos extesômetros elétrcos de resstêca as barras do trate prcpal. As três regões strumetadas do trate são a regão da terface do cosolo com o plar, a regão cetral do trecho de plar e a acoragem das barras, respectvamete, os extesômetros de códgo EI, EM e EA. Na Fgura 3.2 são apresetadas as médas das meddas dos extesômetros para cada modelo força x deformação armadura do trate EA EA EM EM EI EI força (kn) EA EA EM MBS1 EI EI MBC2 MMS3 MMC deformação x EA EM força x deformação armadura do trate EI força (kn) EA EM EI EI MMC5 MAC6 MRC deformação x 10 6 Fgura 3.2 Curva de força x deformação do trate prcpal os modelos expermetas. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

159 Estudo expermetal de cosolos de cocreto com fbras moldados em etapas dsttas dos plares 153 Os extesômetros a regão do cetro do trecho de plar (EM) ão aparecem os modelos MBC2 e MRC7. O modelo de referêca MRC7 ão tha acoragem a regão do plar e, portato, ão dspuha dos extesômetros a regão de acoragem das barras dos trates (EA). Dos extesômetros (EI2f e EI2p), colados o trate prcpal do modelo MMS3, apresetaram comportameto aormal e foram descartados. O escoameto das barras do trate se deu prmeramete a regão da terface cosolo-plar. O modelo MAC6, com grade quatdade de armadura, ão apresetou escoameto do trate, equato o modelo MRC7 estava o íco do escoameto das barras. Os modelos MBS1 e MBC2 tham pequea quatdade de armadura e as barras escoaram bastate ates da ruptura. Nos modelos MMS3, MMC4 e MMC5, os esaos foram terrompdos ates da ruptura do modelo, devdo às deformações em algumas barras de aço estarem acma de 10, o que caracterzou uma codção segura de ruptura. Os modelos, em geral, apresetaram baxas deformações a regão da acoragem das barras, represetado sua efetvdade. Apeas o modelo MBC2 apresetou um aparete escorregameto da acoragem Extesômetros a armadura de costura Para avalar a efcêca da armadura de costura, foram poscoados extesômetros a camada de cma e méda da armadura de costura, respectvamete, os extesômetros de códgo EKs e EK-. A Fgura 3.3 apreseta as médas das meddas dos extesômetros para cada modelo. Os modelos MBS1 e MMS3 ão tham armadura de costura. O extesômetro EK2p-s do modelo MMC4 e o extesômetro EK2p- do modelo MMC5 apresetaram rregulardades durate o esao e foram descosderados. A forma de produção dos cosolos em etapa dstta da dos plares se mostrou efcete. Etretato, a armadura de costura fo de dfícl cofecção e só fo submetda a tesões sgfcatvas o modelo MBC2 e modelo MRC7, com arrajo covecoal de estrbos. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

160 154 Joatas Barreto de Adrade Costa & Mour Khall El Debs força x deformação armadura costura força (kn) EK-s EK- EK-s EK-s EK- EK- MBS1 MBC2-200 MAC6 MRC deformação x força x deformação armadura costura EK-s EK-s EK- EK- força (kn) MMS3 MMC4 MMC deformação x 10 6 Fgura 3.3 Curva de força x deformação da armadura de costura os modelos expermetas. 3.3 Aálse da abertura de fssuras A abertura da fssura a terface cosolo-plar fo determada por meo de trasdutores de deslocameto fxados paralelamete ao bazo tracoado do cosolo. A medda do trasdutor clu a abertura da fssura e a deformação do cocreto à tração. Desta forma, os valores das aberturas de fssura apresetados a Fgura 3.4 são a méda das Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

161 Estudo expermetal de cosolos de cocreto com fbras moldados em etapas dsttas dos plares 155 meddas dos trasdutores de cada modelo, descotado o valor da deformação do cocreto, calculada com base as teoras da flexão. Os valores em destaque a curva são as aberturas referetes à força de servço dos cosolos, cosderada como a metade da força de ruptura do modelo. Esse crtéro é baseado a dfereça aproxmada etre valores médos e valores de projeto para estruturas de Cocreto Armado abertura de fssura a terface força (kn) MBS1 MBC2 MMS3-400 MMC4 MMC5-200 MAC6 MRC7 0 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 abertura de fssura (mm) Fgura 3.4 Curva de abertura de fssura a terface cosolo-plar. O modelo MBC2 fo o prmero a ser esaado e ele ão foram colocados os trasdutores para medda da abertura da fssura. Os trasdutores TI1f dos modelos MMS3 e MMC4 apresetaram erros de medção durate o esao e foram descartados. A Tabela 3.2 apreseta as aberturas de fssura referetes à força de servço de cada modelo. Tabela 3.2 Abertura de fssura a terface cosolo-plar para força de servço Cosolo 1 (esquerdo) Cosolo 2 (dreto) Modelo Deslocameto cocreto (mm) Abertura fssura (mm) Deslocameto cocreto (mm) Abertura fssura (mm) MBS1 0,02 0,39 0,02 0,22 MMS3 0,03 0,49 0,03 0,53 MMC4 0,03 0,55 0,03 0,48 MMC5 0,03 0,41 0,03 0,53 MAC6 0,04 0,50 0,04 0,50 MRC7 0,03 0,30 0,03 0,30 Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

162 156 Joatas Barreto de Adrade Costa & Mour Khall El Debs A assmetra dos trates dos cosolos torou a abertura de fssura a terface cosolo-plar também assmétrca. Nos modelos MBS1, MMS3, MMC4 e MMC5 um dos cosolos apresetou maor abertura de fssura que o outro. O modelo MAC6, apesar dos trates assmétrcos, apresetou aberturas de fssura semelhates os dos cosolos. O modelo MRC7, com armaduras smétrcas, apresetou comportameto bem semelhate etre os dos cosolos. Para o patamar de força de servço do MRC7, os modelos MMS3, MMC4 e MMC5 demostraram uma abertura a terface 33% maor que os cosolos do modelo de referêca. Para este mesmo patamar de força, o MAC6 apresetou aberturas 23% meores que o modelo de referêca. Tomado por base os valores da Tabela 3.2, o modelo de referêca MRC7 teve as meores aberturas de fssura. Etretato, este fo o modelo ode a abertura da terface começou a aparecer prmeramete. 3.4 Quadro de fssuração do modelo e forma de ruptura O modo de ruptura dos modelos, em algus casos, é de dfícl defção, demostrado característcas de modos de ruptura dferetes, ou até os dos cosolos parecem ter modos de ruptura dferetes. A comparação de quadros de fssuração etre os modelos fo dfcultada pela grade dfereça etre as resstêcas dos cocretos a data dos esaos, apesar de o traço de cocreto ser bascamete o mesmo. O quadro de fssuração dos modelos é mostrado a Tabela 3.3. Tabela 3.3 Resumo do quadro de fssuração Modelo Face frotal Face posteror MBS1 MBC2 Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

163 Estudo expermetal de cosolos de cocreto com fbras moldados em etapas dsttas dos plares 157 Tabela 3.3 (cot.) Resumo do quadro de fssuração MMS3 Modelo Face frotal Face posteror MMC4 MMC5 MAC6 MRC7 Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

164 158 Joatas Barreto de Adrade Costa & Mour Khall El Debs O modelo MBS1 apresetou fssuras mas expressvas do que o modelo MBC2. As fssuras da terface começaram a aparecer com o carregameto de aproxmadamete 180kN, correspodete a 39% da força últma. O cosolo 1 teve uma abertura de fssura a terface cosolo-plar maor que o cosolo 2. As belas de cocreto dos cosolos do modelo MBS1 permaeceram tactas e a ruptura do modelo se deu pelo escoameto das barras do trate. As fssuras os cosolos e terface cosolo-plar do modelo MBC2 foram pouco expressvas. As prmeras fssuras apareceram a aproxmadamete 200kN, correspodete a 41% da força últma. Os cosolos do modelo MBC2, dferetemete do modelo MBS1, apresetaram uma pequea fssura próxma à bela de compressão. As fssuras o trecho de plar do modelo MBC2, a regão de tração da terface 1f, sugerem fedlhameto do cocreto pelo deslocameto do trate do cosolo. O aparecmeto de uma fssura o meo do plar e o comportameto dos extesômetros a regão da acoragem demostra que o arrajo de armadura do trate ão apresetou acoragem sufcete. No trecho de plar, abaxo do cosolo 1, apareceu uma fssura de arracameto do cocreto. O modelo MMS3 começou a apresetar fssuras a terface cosolo-plar com 325kN de carregameto, que correspode a meos de 30% da força últma. Como já cometado aterormete, o modelo ão fo levado à ruptura. Etretato, as fssuras a bela dos cosolos e o grade escoameto das barras do trate sugerem um maor aprovetameto da resstêca do cocreto e do aço, com um modo de ruptura por flexão. O modelo MMC4 apresetou fssuras somete a bela do cosolo 2. Neste cosolo também as fssuras a terface cosolo-plar foram mas expressvas. A cocetração de fssuras em dreção ao cosolo 2, clusve o trecho de plar, sugere uma clação do modelo durate o esao. As fssuras a terface cosolo-plar começaram a aparecer com 250kN de carregameto, que correspode a meos de 24% da força últma. O quadro de fssuração do modelo MMC4 fo dferete do modelo MMS3, o que ão era esperado. A úca dfereça etre os modelos é a armadura de costura presete o modelo MMC4. As prmeras fssuras a terface cosolo-plar do modelo MMC5 apareceram por volta de 205kN de carregameto, correspodete a meos de 21% da força últma. O modelo ão fo levado até a sua ruptura, mas o seu comportameto sugere uma ruptura por flexão, com escoameto do aço e fssuras a bela de compressão. Os modelos MMS3, MMC4 e MMC5 têm bascamete a mesma armadura e traço de cocreto. Etretato, a dade dos cocretos a data do esao é muto dferecada, o que tora dferetes seus comportametos e quadros de fssuração. O modelo MAC6 apresetou váras fssuras a bela de compressão do cosolo que abrram bastate. O aço do trate ão chegou a escoar e o modelo rompeu por fedlhameto da bela comprmda. As fssuras a terface cosolo-plar do modelo MAC6 só começaram a aparecer com 350kN, correspodete a 23% da força últma, e aumetaram bastate durate o esao. A armadura de costura teve pouca fluêca este modelo. No trecho de plar apareceu uma fssura clada as duas faces do modelo, sugerdo um plao de fssura de um lado a outro do plar. O modelo MRC7 represeta os cosolos tradcoas, sem adção de fbras e com arrajo usual de armaduras. O modelo fo o que apresetou fssuras vsíves a terface cosolo-plar com a meor força atuate, 120kN, que represeta 13% da força últma. Os cosolos do modelo MRC7 apresetaram múltplas fssuras com aberturas de até 0,7mm, maores que as observadas os outros modelos. O aparecmeto e abertura dessas fssuras ocorreram durate o escoameto do aço do trate prcpal, cofgurado uma ruptura por flexão. A armadura de costura em estrbos se mostrou efetva este modelo. O trecho de plar permaeceu pratcamete tacto, a ão ser por pequeas fssuras a regão da terface cosolo-plar. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

165 Estudo expermetal de cosolos de cocreto com fbras moldados em etapas dsttas dos plares CONCLUSÕES A moldagem do cosolo em etapa ateror à do plar proporcoa uma maor rapdez e smplcdade à produção. Nos modelos propostos ão aparecem estrbos, restado apeas a armadura do trate prcpal do cosolo. Para combater o aparecmeto prematuro de fssuras o cosolo, foram corporadas ao cocreto fbras de aço em altas taxas. Algumas fbras de 13mm foram utlzadas em razão do estudo de Ferrera, Haa e Ferrar [0] que demostrou sua efcêca sem prejudcar a trabalhabldade do cocreto fludo. Comparado-se os resultados expermetas dos modelos MMC5 e MRC7 (Fgura 3.1), observa-se que a adção de fbras metálcas à matrz de cocreto dos cosolos aumetou a força de ruptura do modelo MMC5 em 8%. O grade beefíco das fbras, etretato, fo a permaêca do comportameto dúctl dos cosolos, mesmo com o aumeto da resstêca. O modelo MAC6, com força de ruptura 69% maor que o modelo sem fbras (MRC7), demostrou comportameto dúctl até sua ruptura, apesar das grades solctações a bela de cocreto. O modelo MAC6, com maor quatdade de armadura, ão apresetou escoameto do trate, equato o MRC7 estava o íco do escoameto das barras. Os modelos MBS1 e MBC2 tham pequea quatdade de armadura e as barras escoaram bastate ates da ruptura. Nos modelos MMS3, MMC4 e MMC5, o escoameto do trate fo excessvo e os esaos foram terrompdos para evtar uma ruptura brusca das barras. A forma de produção dos cosolos em etapa dstta da dos plares se mostrou efcete. Etretato, a armadura de costura fo de dfícl cofecção e só fo submetda a tesões sgfcatvas o modelo MBC2 e, ada assm, devdo a uma acoragem sufcete do trate prcpal. O modelo MRC7 apresetou tesões a armadura de costura, mas o seu arrajo é o covecoal, com estrbos. Os esaos realzados ão dexaram evdete a efetvdade da armadura de costura dos modelos moldados em duas etapas, pos surgram fssuras expressvas a terface cosolo-plar. São ecessáros mas modelos expermetas com armadura de costura e sem ela, para verfcar o seu beefíco e efcêca o combate à abertura de fssuras. O modelo MBC2 mostrou uma fssura vertcal o meo do plar, demostrado que este arrajo de armadura ão tem comportameto satsfatóro. A acoragem do trate fo pouco efetva, com deformação acma da esperada esta regão. Os modelos MBS1, MMS3, MMC4 e MMC5 apresetaram assmetra etre os dos cosolos, a abertura de fssura da terface cosolo-plar. Isso pode se dar pela assmetra dos trates dos cosolos. Os modelos MAC6, com altas taxas de armadura, e MRC7, com trates smétrcos, apresetaram comportameto bem semelhate etre os dos cosolos. O modelo MBS1 demostrou fssuras bascamete ao logo da terface, com o plar permaecedo tacto. O modelo MBC2, por sua vez, apresetou algumas fssuras próxmas à bela de compressão e fssuras o plar. Neste modelo também apareceram fssuras a regão de tração do plar e algumas fssuras represetado arracameto de parte do materal do plar. O modelo MMS3 apresetou fssuras as belas de compressão e pequeas fssuras o plar. O modelo MMC4 teve um comportameto dferete, com as fssuras cocetradas o cosolo 2. O modelo MMC5 teve comportameto semelhate ao MMS3, etretato, com fssuras meores. O modelo MAC6 apresetou váras fssuras expressvas a bela de compressão e a terface cosolo-plar. Neste modelo também surgu uma fssura clada as duas faces do plar, sugerdo um plao de fssura. O modelo MRC7, devdo ao seu cocreto sem adção de fbras, fo o que mostrou maor abertura de fssuras as belas de cocreto dos cosolos. A adção de fbras os demas modelos retardou o surgmeto destas fssuras, bem como dmuu suas aberturas. Tomado por base o patamar de força de servço do modelo de referêca MRC7, os modelos MMS3, MMC4 e MMC5 apresetaram abertura a fssura de terface 33% maores que o modelo de referêca, equato que o modelo MAC6 apresetou aberturas 23% meores que o MRC7. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

166 160 Joatas Barreto de Adrade Costa & Mour Khall El Debs Os esaos realzados revelaram que o modelo com maor taxa de armadura o trate (MAC6) teve meores aberturas de terface cosolo-plar do que o modelo de referêca (MRC7), para solctações mas baxas. Desta forma, podem ser realzados mas esaos lmtado as tesões as barras de aço do trate, para se obterem aberturas de fssura equvaletes ou meores do que o cosolo tradcoal. Para sso, os modelos propostos podem ser utlzados apeas para um lmte determado de solctação, ou as taxas de armadura prcpal dos modelos com fbras podem ser aumetadas. Mas esaos são ecessáros para quatfcar os lmtes de solctação e armadura. 5 AGRADECIMENTOS Agradecemos à CAPES e à FAPESP pelo apoo facero, sem o qual esta pesqusa ão podera ter sdo realzada. 6 REFERÊNCIAS LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Costruções de cocreto: prcípos báscos sobre a armação de estruturas de cocreto armado. 3. ed. Ro de Jaero: Ed. Itercêca, v. 3, COSTA, J. B. A. Estudo expermetal de cosolos de cocreto com fbras moldados em etapas dsttas dos plares p. Dssertação (Mestrado em Egehara de Estruturas) - Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, FERREIRA, L. E. T.; HANAI, J. B.; FERRARI, V. J. Otmzação de cocretos híbrdos de alta resstêca reforçados com fbras de aço. I: CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO, 49., set. 2007, Beto Goçalves. Aas... Beto Goçalves: IBRACON, p AGUIAR, E. A. B. Comportameto de lgações vga-plar parcalmete resstetes a mometo fletor medate chumbadores grauteados Exame de Qualfcação (Doutorado em Egehara de Estruturas) - Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, EL DEBS, M. K. Cocreto pré-moldado: fudametos e aplcações. São Carlos: EESC-USP, p. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

167 ISSN ANÁLISE DE BLOCOS DE CONCRETO ARMADO SOBRE DUAS ESTACAS COM CÁLICE TOTALMENTE EMBUTIDO MEDIANTE PRESENÇA DE VIGA DE TRAVAMENTO Rodrgo Barros 1 & José Samuel Gogo 2 Resumo Este trabalho estuda o comportameto de blocos de cocreto armado sobre duas estacas com cálce totalmete embutdo, utlzado a lgação plar-fudação de estruturas de cocreto pré-moldado. Partcularmete, é avalado o efeto que a vga de travameto provoca o bloco quado apoada as paredes lateras do cálce. Fo desevolvda aálse umérca trdmesoal utlzado programa baseado o método dos elemetos ftos (MEF), a qual fo cosderada a ão-leardade físca dos materas. Os resultados dcam que a preseça da vga de travameto ão altera de modo sgfcatvo o comportameto do bloco, e que a parede do cálce é capaz de trasferr a força proveete da vga em dreção às estacas de modo efcaz. Palavras-chave: Blocos sobre estacas. Cálce de fudação embutdo. Vga de travameto. Belas e trates. ANALYSIS OF TWO PILE CAPS REINFORCED CONCRETE WITH EMBEDDED SOCKET BY PRESENCE OF LOCKING BEAM Abstract The preset research studes the behavor of two ple caps reforced cocrete wth embedded socked used coectos of precast cocrete structures. It was partcularly evaluated the effect provoked by the lockg beam o the ple-caps whe supported by the socket lateral walls. Three-dmesoal umercal aalyses usg software based o fte elemet method (FEM) were developed cosderg the olear physcal behavor of the materal. The results show that the presece of beam does ot chage sgfcatly the ple caps behavor ad that the socket wall s able to trasfer effectvely the force from the beam to the ple caps. Keywords: Ple caps. Embedded socket foudato. Lockg beam. Strut-ad-te model. 1 INTRODUÇÃO A escolha do tpo de fudação a ser utlzada uma obra depede essecalmete de parâmetros téccos e ecoômcos que devem ser avalados pelo egehero resposável pelo projeto. Dversos parâmetros a respeto do solo, tas como estratfcação do terreo, stuações topográfcas, tesdade das ações, dsposção das edfcações lmítrofes, bem como os tpos de fudação possíves de serem realzados, são mportates para que se obteha a melhor solução em termos da fudação a ser adotada. Quado as camadas superores do terreo ão são capazes de resstr às ações, é ecessáro recorrer a camadas mas profudas do solo, realzado, portato, o uso de fudações profudas. Detre as dversas soluções dspoíves, o uso de estacas de cocreto armado é uma das mas dfuddas o meo técco, podedo ser dmesoadas cosderado apeas sua resstêca de pota ou com o uso de atrto lateral, depededo da stuação. Porém, o uso desse tpo de solução 1 Doutor em Egehara de Estruturas - EESC-USP, barrosr@sc.usp.br 2 Professor do Departameto de Egehara de Estruturas da EESC-USP, jsgogo@sc.usp.br Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

168 162 Rodrgo Barros & José Samuel Gogo requer um ovo elemeto estrutural capaz de realzar a lgação etre os plares e as estacas. Tal elemeto é cohecdo como bloco de coroameto, bloco de fudação ou mesmo bloco sobre estacas. Segudo a ABNT NBR 6118:2003, blocos são estruturas de volume usadas para trasmtr às estacas as cargas de fudação. O surgmeto de ovas tecologas assm como o avaço a dústra da costrução cvl atge dretamete os processos costrutvos o que dz respeto ao tempo de costrução, aumeto da produtvdade e redução de desperdíco. Nesse ceáro, o uso do cocreto pré-moldado se tora cada vez mas dssemado o meo técco, por ateder a essas ovas exgêcas. Os blocos sobre estacas são peças mportates quado da lgação do plar pré-moldado com a fudação. Detre as possíves formas de lgação desses elemetos, destaca-se o uso de blocos de fudação com cálce ou colarho por apresetarem relatva facldade de costrução, possbldade de ajuste e de trasmssão de mometos dos plares para as estacas. O cálce é a parte do bloco que recebe o plar pré-moldado, fucoado como um ecaxe etre esses elemetos, podedo ter as paredes lsas ou rugosas. O plar fca em cotato com o cálce um trecho deomado comprmeto de embutmeto l emb. Nesse tpo de lgação, três stuações de cálces são admtdas coforme Fgura 1: totalmete extero ao bloco, parcalmete embutdo ou totalmete embutdo o bloco. Fgura 1 Bloco de fudações com cálce extero, parcalmete embutdo e totalmete embutdo. O uso cada vez mas freqüete de elemetos pré-moldados em estruturas usuas exge que os egeheros teham cohecmeto técco e prátco a respeto do assuto. No caso de elemetos prémoldados, exste ada uma vasta lacua a ser preechda com base em pesqusas e expermetos. Para as aálses realzadas esse trabalho, utlzaram-se resultados proveetes de modelos teórcos e aalítcos, assm como resultados obtdos por meo de modelos umércos utlzado o programa computacoal DIANA baseado o método dos elemetos ftos. Nesses modelos foram cosderadas as ão leardades físcas do cocreto e das barras de aço das armaduras. 2 CONSIDERAÇÕES SOBRE PROJETOS DE BLOCOS 2.1 Modelo de belas e trates O modelo de belas e trates basea-se a aaloga de trelça clássca troduzda o íco do século XX por Mörsch, a qual a vga de cocreto armado fssurada é comparada a uma trelça de bazos paralelos. Após aos de estudos, o modelo evoluu obtedo-se etão à trelça geeralzada de Mörsch, a qual os bazos superor e feror ão são paralelos, em a clação das belas é costate e gual a 45º ao logo de toda a vga. Porém, a déa básca da trelça clássca de que a vga se comporta como uma trelça cotua válda. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

169 Aálse de blocos de cocreto armado sobre duas estacas com cálce totalmete embutdo medate preseça 163 O modelo de belas e trates é uma represetação dscreta do fluxo de tesões um determado elemeto estrutural. A estrutura cal é represetada por uma estrutura equvalete composta por barras comprmdas e tracoadas, terlgadas por meo de ós. As barras comprmdas recebem o ome de bela e devem absorver o fluxo de tesões de compressão, sedo ormalmete represetadas por lhas tracejadas. As barras tracoadas recebem o ome de trate, e devem absorver o fluxo de tesões de tração exstetes o elemeto, sedo represetadas por lhas cotíuas. Em elemetos de cocreto armado, as belas represetam as regões de cocreto que estão submetdas à compressão, equato que os trates represetam as barras de aço submetdas à tração. Evetualmete, podem ser prevstos trates de cocreto em algus elemetos estruturas desde que a tesão máxma ão ultrapasse a resstêca a tração do materal. 2.2 Vga de travameto A vga de travameto é um elemeto estrutural utlzado etre elemetos da fudação, sejam blocos ou sapatas, cuja faldade é absorver as ações proveetes de recalques e excetrcdades costrutvas, evtado assm que os mesmos atjam a superestrutura. Em algumas stuações a vga de travameto pode ser utlzada como elemeto de apoo para as alvearas do pavmeto térreo de uma edfcação. Por essa razão, a vga de travameto é também chamada de vga baldrame. De acordo com CARNAÚBA et al. (2008), uma fudação com váras estacas, cada estaca trabalha sozha e depedete das demas, estado as mesmas apoadas em terreos com dferetes característcas. Dessa forma, cada estaca apresetará sua própra codção de acomodação e deformação após a atuação das ações, que vêm gradualmete se stalado a edfcação. Como coseqüêca, haverá recalques dferecas etre as estacas, os quas são dfíces de serem prevstos. As vgas de travameto que uem os blocos têm por faldade absorver essas deformações que poderam pealzar a superestrutura. CARNAÚBA et al. (2008) sugerem como dmesoar a vga de travameto etre blocos. Algus projetstas adotam a dmesão míma para a seção da vga em fução do vão l da mesma. Para a largura b w adota-se o maor valor etre 20 cm e l/25, equato que para a altura adota-se o maor valor etre 35 cm e l/12. A armadura logtudal da vga é obtda segudo o dmesoameto de um plar bapoado submetdo à compressão cetrada, recebedo uma ação gual a 10% da ação do plar mas solctado etre a vga. Recomeda-se ada que a face superor da vga de travameto cocda com a face superor do bloco. 3 BLOCOS SOBRE DUAS ESTACAS COM CÁLICE EMBUTIDO 3.1 Cosderações cas As smulações umércas foram fetas cosderado o método dos elemetos ftos, por meo do programa computacoal DIANA, versão 9.2, regstrada para o Departameto de Egehara de Estruturas da Escola de Egehara de São Carlos USP. Foram estudados blocos sobre duas estacas com cálce totalmete embutdo, utlzado a lgação com plar pré-moldado. As codções de cotoro bem como as ações que cdem sobre o bloco procuraram reproduzr uma stuação próxma da real exstete em projetos. As propredades mecâcas dos materas utlzados os modelos foram obtdas por meo das ormas ABNT NBR 6118:2003 e ABNT NBR 7480:2007. A aálse umérca teve por objetvo avalar o comportameto do bloco sobre duas estacas com cálce embutdo, o que dz respeto a curvas do tpo força versus deslocametos. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

170 164 Rodrgo Barros & José Samuel Gogo 3.2 Parâmetros aalsados Os parâmetros escolhdos para serem aalsados as smulações umércas foram os segutes: o âgulo de clação da bela comprmda, a espessura da parede lateral do cálce, a coformação das paredes do cálce (lsa ou rugosa) e a preseça ou ão da vga de travameto. Os âgulos adotados para a bela de compressão foram guas a 45º e 55º. A escolha desses valores se deu em fução das recomedações de BLÉVOT & FRÉMY (1967). Tratado da espessura das paredes lateras do cálce, foram adotados os valores de 15 cm e 20 cm. Por causa da ausêca de bblografa específca a respeto de cálce embutdo, optou-se por utlzar as recomedações de LEONHARDT & MÖNNIG (1978) e da ABNT NBR 9062:1985 para cálce extero. A coformação das paredes teras do cálce também fo cosderada, sedo avalados cálces com paredes rugosas e lsas. Em relação à vga de travameto, fo estudado o bloco com e sem a preseça da vga. Quado da preseça da vga, foram utlzados dos valores dsttos de ações, a fm de verfcar a sua fluêca o comportameto do bloco sobre duas estacas. No total foram estudados vte e quatro modelos de blocos sobre duas estacas com cálce totalmete embutdo. 3.3 Modelos aalsados umercamete A omeclatura adotada para os modelos fo dealzada a partr dos segutes parâmetros: coformação das paredes do cálce; altura total do bloco (fução do comprmeto de embutmeto, l emb ); âgulo de clação da bela comprmda; espessura da parede lateral do cálce e tpo de solctação a vga de travameto. Para compreeder melhor a omeclatura adotada, utlzam-se os exemplos a segur. O modelo BLH75A45_15 represeta o bloco com coformação das paredes lsa, altura do bloco de 75 cm, âgulo de clação da bela gual a 45º, espessura da parede gual a 15 cm e sem vga de travameto. Já o modelo BRH65A55_20_cv1 represeta o bloco com coformação das paredes rugosas, altura do bloco de 65 cm, âgulo de clação da bela gual a 55º, espessura da parede gual a 20 cm e com ação do tpo 1 a vga de travameto Apresetação dos modelos Os modelos estudados umercamete vsaram smular uma stuação bastate comum em projetos de galpões pré-moldados. Uma seqüêca de plares pré-moldados alhados e coectados por meo de vgas de travameto. Sobre essas vgas, é possível ada a costrução de paredes em alveara ou bloco, servdo, portato, como vga baldrame. A Fgura 2 reproduz a stuação aterormete descrta. Fgura 2 Stuação de projeto aalsada umercamete. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

171 Aálse de blocos de cocreto armado sobre duas estacas com cálce totalmete embutdo medate preseça 165 Para determar os valores das ações as vgas de travameto, foram dealzadas duas stuações. Na prmera delas, magou-se uma parede feta em blocos de argamassa, com dmesões em cetímetros de 14 x 19 x 29, revestmeto em argamassa de cmeto e area e 5,00 m de altura. Na seguda stuação, os blocos passaram a ter dmesões de 19x19x39, e parede com altura de 6,00 m. A prmera stuação, a qual será tratada como carregameto do tpo 1 (cv1) resultou uma ação de 18,5 kn/m, equato que a seguda, chamada de carregameto do tpo 2 (cv2) resultou em 29,4 kn/m. Apresetados os parâmetros que foram estudados as smulações umércas, obtemos um total de vte e quatro modelos apresetados a tabela 1. Tabela 1 Modelos aalsados umercamete Bloco Iterface Âgulo Espessura (cm) Vga Solctação SEM - 15 COM cv1 45º COM cv2 SEM - 20 COM cv1 BLH75 LISA COM cv2 SEM - 15 COM cv1 55º COM cv2 SEM - 20 COM COM cv1 cv2 SEM - 15 COM cv1 45º COM cv2 SEM - 20 COM cv1 BRH65 RUGOSA COM cv2 SEM - 15 COM cv1 55º COM cv2 SEM - 20 COM COM cv1 cv2 Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

172 166 Rodrgo Barros & José Samuel Gogo Geometra dos modelos Nesse tem é apresetada a geometra dos modelos de blocos sobre duas estacas com cálce embutdo aalsados umercamete por meo do programa DIANA, versão 9.2. Os blocos foram dmesoados segudo recomedações de BLÉVOT & FRÉMY (1967), da ABNT NBR 9062:1985 e da ABNT NBR 6118:2003 a determação do arrajo das barras das armaduras. Como o objetvo da aalse em questão é estudar o comportameto do bloco com cálce embutdo quado da preseça da vga de travameto, optou-se em ão varar a geometra dos plares, estacas e vgas os modelos aalsados. A tabela 2 apreseta as propredades geométrcas dos quatro grupos de blocos aalsados. Os plares e estacas são de seção quadrada com medda dos lados gual a 30 cm. As paredes lateras possuem dos valores de espessura, 15 cm e 20 cm. Além dsso, há uma folga etre o plar e o cálce de 5 cm em cada face, que posterormete é ocupado pelo graute, resultado assm os valores de B Ly. A tabela 3 apreseta as propredades mecâcas dos cocretos utlzados os modelos. Tabela 2 Propredades geométrcas dos modelos aalsados Blocos Dmesões da estaca (cm) Dmesão do plar (cm) Dmesão da vga (cm) B Lx (cm) B Ly (cm) l emb (cm) Altura (cm) BLH75A45 30x30 30x30 20x / BLH75A55 30x30 30x30 20x / BRH65A45 30x30 30x30 20x / BRH65A55 30x30 30x30 20x / Tabela 3 Propredades mecâcas dos cocretos Propredades f ck (MPa) f ct,m (MPa) E cs (MPa) Bloco 25 2, Plar 50 4, Estaca 50 4, Vga 25 2, Graute 50 4, As barras das armaduras prcpas do trate foram dmesoadas a partr do modelo de belas e trates, e os plares e estacas tveram cocretos com resstêca característca à compressão maor do que as resstêcas dos cocretos dos blocos e das vgas. Esse procedmeto fo feto com o tuto de evtar a ruía dos modelos o plar ou a estaca. A tabela 4 apreseta a cofguração das barras das armaduras adotadas os modelos. O valor da resstêca ao escoameto utlzado fo gual a 500 MPa, equato que o módulo de elastcdade fo gual a 210 GPa. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

173 Aálse de blocos de cocreto armado sobre duas estacas com cálce totalmete embutdo medate preseça 167 Tabela 4 Barras de aço das armaduras dos modelos aalsados Blocos BLH75A45 BLH75A55 BRH65A45 BRH65A55 Armadura Logtudal 6Ø20 mm 6Ø20 mm 6Ø20 mm 6Ø20 mm Estrbo Vertcal 6Ø6,3 c/10 6Ø6,3 c/11,5 6Ø6,3 c/13,5 6Ø6,3 c/15,5 Estrbo Horzotal 4Ø6,3 c/15 4Ø6,3 c/15 4Ø6,3 c/15 4Ø6,3 c/15 Ashp 3Ø6,3 c/6 3Ø6,3 c/6 3Ø6,3 c/6 3Ø6,3 c/6 Ashs 4Ø6,3 c/10 4Ø6,3 c/10 4Ø6,3 c/10 4Ø6,3 c/10 Asvp 2Ø6,3 c/10 2Ø6,3 c/10 2Ø6,3 c/10 2Ø6,3 c/10 Asvs 4Ø6,3 c/8 4Ø6,3 c/8 4Ø6,3 c/8 4Ø6,3 c/8 Armadura de Pução 4Ø6,3 c/8 4Ø6,3 c/8 4Ø6,3 c/8 4Ø6,3 c/8 Armadura de Costura 6Ø6,3 c/10 6Ø6,3 c/11,5 6Ø6,3 c/13,5 6Ø6,3 c/15,5 Armadura do Plar 12Ø12,5 mm 12Ø12,5 mm 12Ø12,5 mm 12Ø12,5 mm Armadura da Estaca 8Ø12,5 mm 8Ø12,5 mm 8Ø12,5 mm 8Ø12,5 mm 3.4 Elemetos ftos utlzados Os elemetos ftos utlzados a smulação umérca estão dspoíves a bbloteca de elemetos do DIANA. Para a modelagem do cocreto das estacas, do plar e do bloco, fo utlzado elemeto sóldo CHX60. O elemeto fto CHX60 é um elemeto soparamétrco com 20 ós, e fução aproxmadora quadrátca para os deslocametos. Cada ó apreseta três graus de lberdade, que são os deslocametos as dreções x, y e z. A Fgura 3 apreseta o elemeto CHX60 e a fução aproxmadora para os deslocametos. Fgura 3 Elemeto CHX60 com fução aproxmadora em deslocametos. Para modelagem das barras de aço das armaduras foram utlzados elemetos chamados de reforcemets. Esses elemetos ão possuem ós, e fucoam como erjecedores dos elemetos ftos aos quas estão coectados, também cohecdos como mother elemets. Os reforcemets ão possuem graus de lberdade, porém têm seu comportameto habltado a dreção axal da barra. Nessa stuação, a aderêca etre o aço e o cocreto é cosderada perfeta. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

174 168 Rodrgo Barros & José Samuel Gogo Para smulação do atrto exstete etre o plar e o graute e o graute e o bloco, foram utlzados elemetos de terface. O elemeto fto de terface utlzado fo o CQ48I, que é um elemeto plao, quadrlateral com fução aproxmadora quadrátca em deslocametos, recomedado em aálses trdmesoas. A escolha desse elemeto se deu em fução do elemeto fto CHX60 utlzado a modelagem do cocreto, já que ambos possuem oto ós em cada face. A Fgura 4 apreseta o elemeto CQ48I. Fgura 4 Elemeto CQ48I, DIANA (2005a). A utlzação dos elemetos de terface fo feta apeas os blocos cujas paredes do cálce apresetavam cofguração lsa. Na stuação de paredes rugosas, algus pesqusadores como CANHA (2004) verfcaram que, quado da ocorrêca de chave de csalhameto, pode-se cosderar que essa lgação apresete comportameto moolítco. De acordo com o maual do DIANA, a teração etre duas terfaces de uma estrutura pode ser descrto por um comportameto de frcção etre essas partes. O modelo de frcção de Coulomb, semelhate ao modelo modfcado de Mohr-Coulomb descrto em CHEN (1982), pode ser utlzado para descrever esse comportameto. De acordo com Che (1982), valores usuas para âgulo tero de atrto φ estão em toro de 37º. Etretato, esse valor resulta uma resstêca à tração em toro de 25% do valor da resstêca à compressão, valor esse comprovadamete alto para os cocretos atuas. Dessa maera, adotou-se um âgulo tero de atrto φ gual a 31º, cuja tagete resulta em 0,6 e o valor da resstêca característca à tração do cocreto fo cosderado de acordo com as recomedações da ABNT NBR 6118:2003. O valor da coesão fo calculado pela expressão (1), sedo que f c é a resstêca característca a compressão do cocreto, e φ o âgulo tero de atrto. c = f ' c ( 1 seφ) 2 cosφ (1) As Fguras 5-a e 5-b apresetam os modelos BLH75A45_15_cv1 e BRH65A55_15, respectvamete. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

175 Aálse de blocos de cocreto armado sobre duas estacas com cálce totalmete embutdo medate preseça 169 (a) (b) Fgura 5 Malha de elemetos ftos dos BLH75A45_15_CV1 e BRH65A55_15. As Fguras 6-a, 6-b, 6-c e 6-d apresetam as barras das armaduras dscretzadas o DIANA. (a) (b) (c) (d) Fgura 6 Barras das armaduras dscretzadas o DIANA. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

176 170 Rodrgo Barros & José Samuel Gogo 4 ANÁLISE DOS RESULTADOS 4.1 Blocos com parede rugosa, θ = 45º Nos modelos de blocos de parede rugosa com preseça de vga de travameto, as curvas força versus deslocameto apresetaram comportameto semelhate aos blocos sem preseça de vga. Costatou-se que a preseça da vga de travameto ão cotrbu de maera sgfcatva a ruía dos blocos, já que a parede do cálce cosegue trasmtr de modo satsfatóro a força proveete da vga em dreção as estacas. A Fgura 7-a apreseta as curvas força versus deslocameto de três modelos de blocos com parede rugosa, espessura da parede gual a 15 cm e com dos tpos de solctação a vga de travameto. São eles: BRH65A45_15, BRH65A45_15_cv1 e BRH65A45_15_cv2. A Fgura 7-b, por sua vez, apreseta a curva força versus deslocameto de modelos semelhates aos ctados aterormete, porém com espessura da parede do cálce gual a 20 cm. Comparado os modelos com espessura da parede gual a 15 cm e 20 cm, observa-se que, para uma mesma tesdade de solctação a vga de travameto, os blocos com espessura gual a 15 cm apresetaram força últma superor aos blocos com espessura de 20 cm. As Fguras 8-a e 8-b mostram as curvas força versus deslocameto para os modelos com solctação do tpo cv1 e cv2, respectvamete. BLOCO COM PAREDE RUGOSA, 45º, e=15 BLOCO COM PAREDE RUGOSA, 45º, e= força (kn) força (kn) ,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 deslocametos (mm) deslocametos (mm) BRH65A45_15 BRH65A45_15_cv1 BRH65A45_15_cv2 BRH65A45_20 BRH65A45_20_cv1 BRH65A45_20_cv2 (a) (b) Fgura 7 Comparação de blocos com e sem vga de travameto. BLOCO COM CÁLICE RUGOSO, 45º, cv1 BLOCO COM CÁLICE RUGOSO, 45º, cv força (kn) força (kn) ,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 deslocametos (mm) deslocametos (mm) BRH65A45_15_cv1 BRH65A45_20_cv1 BRH65A45_15_cv2 BRH65A45_20_cv2 (a) (b) Fgura 8 Blocos de parede rugosa com vga de travameto. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

177 Aálse de blocos de cocreto armado sobre duas estacas com cálce totalmete embutdo medate preseça Blocos com parede lsa, θ = 45º Assm como os modelos de parede rugosa, a preseça de vga de travameto ão fluecou o comportameto do bloco com coformação da parede lsa. Os resultados obtdos para os modelos BLH75A45_15, BLH75A45_15_cv1 e BLH75A45_15_cv2 foram semelhates aos apresetados em 4.1, ou seja, depedete da tesdade de solctação a vga, a curva força versus deslocameto apresetou a mesma tedêca de comportameto para os blocos com e sem vga de travameto, coforme Fgura 9-a e 9-b. No que dz respeto ao comportameto dos blocos relatvos à espessura da parede do cálce, mas uma vez os blocos com espessura da parede gual a 15 cm apresetaram valor de força últma superor aos blocos com espessura gual a 20 cm. Esses resultados podem ser observados os gráfcos das Fguras 10-a e 10-b. BLOCO COM PAREDE LISA, 45º, e=15 BLOCO COM PAREDE LISA, 45º, e= força (kn) força (kn) ,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 deslocametos (mm) deslocametos (mm) BLH75A45_15 BLH75A45_15_cv1 BLH75A45_15_cv2 BLH75A45_20 BLH75A45_20_cv1 BLH75A45_20_cv2 (a) (b) Fgura 9 Comparação de blocos com e sem vga de travameto. BLOCO COM PAREDE LISA, 45º, cv1 BLOCO COM PAREDE LISA, 45º, cv força (kn) força (kn) ,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 deslocametos (mm) deslocametos (mm) BLH75A45_15_cv1 BLH75A45_20_cv1 BLH75A45_15_cv2 BLH75A45_20_cv2 (a) (b) Fgura 10 Blocos de parede lsa com vga de travameto. 4.3 Blocos com parede rugosa, θ = 55º Dferete do que ocorreu os blocos de parede rugosa com âgulo de clação das belas gual a 45º, os modelos com clação de 55º apresetaram dmução a força últma medate preseça da vga de travameto. Nessa ocasão, verfca-se que para os modelos com espessura da parede gual a 15 cm, houve redução da força últma da ordem de 7% comparados com o modelo sem vga de travameto, equato para os modelos com espessura da parede gual a 20 cm, a redução fo da ordem de 14%. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

178 172 Rodrgo Barros & José Samuel Gogo Ada o caso de paredes com espessura de 20 cm, verfca-se que a curva força versus deslocameto do modelo BRH65A55_20 apreseta uma acomodação ao atgr uma força próxma dos 2450 kn para um deslocameto de 1,2 mm. A partr de etão a força matém-se próxma desse valor, e os deslocametos seguem aumetado até atgr 1,5 mm, quado etão o modelo volta a gahar capacdade resstete, atgdo o valor de força últma próxmo dos 2800 kn. A curva força versus deslocameto dos modelos com espessura da parede gual a 15 cm podem ser observados a Fgura 11-a, equato que as do modelo com espessura gual a 20 cm aparecem a Fgura 11-b. Comparado apeas os modelos com a preseça de vga, mas uma vez os modelos com espessura da parede gual a 15 cm apresetaram valor de força últma superor aos modelos com espessura gual a 20 cm, e podem ser observados as Fguras 12-a e 12-b. BLOCO COM PAREDE RUGOSA, 55º, e=15 BLOCO COM PAREDE RUGOSA, 55º, e= força (kn) força (kn) ,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 deslocametos (mm) deslocametos (mm) BRH65A55_15 BRH65A55_15_cv1 BRH65A55_15_cv2 BRH65A55_20 BRH65A55_20_cv1 BRH65A55_20_cv2 (a) (b) Fgura 11 Comparação de blocos com e sem vga de travameto. BLOCO COM PAREDE RUGOSA, 55º, cv1 BLOCO COM PAREDE RUGOSA, 55º, cv força (kn) força (kn) ,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 deslocametos (mm) deslocametos (mm) BRH65A55_15_cv1 BRH65A55_20_cv1 BRH65A55_15_cv2 BRH65A55_20_cv2 (a) (b) Fgura 12 Blocos de parede rugosa com vga de travameto. 4.4 Blocos com parede lsa, θ = 55º Os resultados dos modelos de blocos com parede lsa e âgulo de clação da bela gual a 55º foram dêtcos aos resultados obtdos para os modelos com clação da bela de 45º, e aterormete apresetados em 4.2. Os modelos BLH75A55_15, BLH75A55_15_cv1 e BLH75A55_15_cv2, assm como os modelos BLH75A55_20, BLH75A55_20_cv1 e BLH75A55_20_cv2 apresetaram a mesma tedêca de comportameto a obteção da curva força versus deslocameto. Ou seja, a vga de travameto ão alterou de modo sgfcatvo o comportameto do bloco sobre duas estacas, coforme Fguras 13-a e 13-b. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

179 Aálse de blocos de cocreto armado sobre duas estacas com cálce totalmete embutdo medate preseça 173 Em relação ao comportameto dos blocos medate a preseça da vga de travameto, os modelos com espessura da parede gual a 15 cm apresetaram valor de força últma superor ao apresetado pelos modelos com espessura da parede gual a 20 cm. Esse comportameto fo verfcado em todas as stuações estudadas em que houve a preseça da vga de travameto, e pode ser observado as Fguras 14-a e 14-b. BLOCO COM PAREDE LISA, 55º, e=15 BLOCO COM PAREDE LISA, 55º, e= força (kn) força (kn) ,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 deslocametos (mm) deslocametos (mm) BLH75A55_15 BLH75A55_15_cv1 BLH75A55_15_cv2 BLH75A55_20 BLH75A55_20_cv1 BLH75A55_20_cv2 (a) (b) Fgura 13 Comparação de blocos com e sem vga de travameto. BLOCO COM PAREDE LISA, 55º, cv1 BLOCO COM PAREDE LISA, 55º, cv força (kn) força (kn) ,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 deslocametos (mm) deslocametos (mm) BLH75A55_15_cv1 BLH75A55_20_cv1 BLH75A55_15_cv2 BLH75A55_20_cv2 (a) (b) Fgura 14 Blocos de parede lsa com vga de travameto. 4.5 Força últma os modelos Neste tem são apresetados os valores das forças últmas os blocos com e sem vga de travameto, assm como a tesão ormal máxma regstrada as barras das armaduras prcpas. Os dados foram obtdos cosderado o últmo passo de carregameto para cada modelo, e os resultados podem ser observados a segur a tabela 5. Como pode ser observado a tabela 5, algus valores de tesão ormal as barras da armadura prcpal do trate foram superores a tesão de escoameto gual a 500 MPa adotada para as barras de armadura. Aalsado um pouco mas os modelos, verfcou-se que esses valores eram potuas, e por sso ão devem ser tomados como represetatvos para obteção da força atuate o trate Rst. Outros resultados relatvos a esse estudo podem ser obtdos em BARROS (2009). Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

180 174 Rodrgo Barros & José Samuel Gogo Tabela 5 Força últma os blocos sobre duas estacas com cálce embutdo MODELO Força últma o plar (kn) Força últma a vga (kn/m) σ máx o trate (MPa) BLH75A45_ BLH75A45_15_cv1 2458,8 16, BLH75A45_15_cv2 2495,7 26, BLH75A45_ ,6-531 BLH75A45_20_cv1 2347,2 16, BLH75A45_20_cv2 2357,1 24, BLH75A55_ BLH75A55_15_cv1 2892,6 19,8 441 BLH75A55_15_cv2 2495,7 31, BLH75A55_ ,7-543 BLH75A55_20_cv1 2370,6 16, BLH75A55_20_cv2 2298,6 24, BRH65A45_ ,8-455 BRH65A45_15_cv1 2376,8 16, BRH65A45_15_cv , BRH65A45_ BRH65A45_20_cv , BRH65A45_20_cv , BRH65A55_ BRH65A55_15_cv , BRH65A55_15_cv , BRH65A55_ BRH65A55_20_cv , BRH65A55_20_cv , CONCLUSÕES O comportameto de blocos de fudação com cálce totalmete embutdo é objeto de mutas dúvdas o meo técco, uma vez que a lteratura exstem poucos trabalhos que abordam o assuto. Verfcou-se também que, de um modo geral, a preseça da vga de travameto os modelos de blocos com cálce totalmete embutdos, ão alterou de modo sgfcatvo o comportameto do bloco. Ou seja, a parede do cálce cosegue trasmtr de modo efcaz as ações proveetes da vga, Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

181 Aálse de blocos de cocreto armado sobre duas estacas com cálce totalmete embutdo medate preseça 175 sem comprometer o fucoameto do bloco. Esse resultado só fo dferete para os blocos com cofguração da parede rugosa e clação da bela gual a 55º, os quas a preseça da vga de travameto fez com que a força últma dos blocos dmuísse etre 7% e 14%. Com esses resultados, destaca-se a mportâca de se cosderar a preseça das vgas de travameto os projetos estruturas, uma vez que a mesma ão prejudca o comportameto dos blocos. Quato à tesdade das ações as vgas de travameto, verfcou-se que os dos valores utlzados a smulação umérca ão alteraram o comportameto do bloco, apresetado pratcamete a mesma curva força versus deslocameto em todos os modelos estudados. Em relação à espessura da parede do cálce, de um modo geral, os modelos com espessura da parede gual a 15 cm apresetaram força últma superor aos modelos cuja espessura da parede era gual a 20 cm. Esse resultado se repetu depedete do âgulo da clação da bela, do tpo de coformação das paredes do cálce, bem como da preseça ou ão da vga de travameto. Um fator que pode ter cotrbuído para esse resultado é a dscretzação da malha de elemetos ftos essa regão. Outra possível causa é o fato de que os blocos com parede gual a 20 cm apresetavam uma dstâca etre a face do bloco e a face da estaca maor do que a recomedada pelos crtéros usuas de projeto. 6 AGRADECIMENTOS Os autores agradecem ao CNPq pelo apoo facero, sem o qual esta pesqusa ão podera ter sdo realzada, e ao Departameto de Egehara de Estruturas da USP - São Carlos, por garatr as codções de realzação desse trabalho. 7 REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de cocreto. Ro de Jaero, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7480:2007 Aço destado a armaduras para estruturas de cocreto armado Especfcação. Ro de Jaero, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 9062: Projeto e execução de estruturas de cocreto pré-moldado. Ro de Jaero, BARROS, R. Aálse de blocos de cocreto armado sobre duas estacas com cálce totalmete embutdo medate preseça de vga de travameto p. Dssertação (Mestrado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, BLÉVOT, J.; FRÉMY, R. Semelles sur pex. Aalles d Isttut Techque du Bâtmet et des Travaux Publcs, Pars, v. 20,. 230, p , fev.,1967. CANHA, R. M. F. Estudo teórco-expermetal da lgação plar-fudação por meo de cálce em estruturas de cocreto pré-moldado p. Tese (Doutorado em Egehara de Estruturas) Escola de Egehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, São Carlos, Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

182 176 Rodrgo Barros & José Samuel Gogo CARNAÚBA, M.; MORAES, M.C.; HERVÉ NETO, E. Travameto terblocos sobre estacas-1. Lsta de dscussão eletrôca, comudade calculstas-ba. Dspoível em < < >. Acessos em 24 ju e 27 ju CHEN, W. F. Plastcty reforced cocrete. Ed. McGraw-Hll Book Compay. 474 p. New York, DIANA FINITE ELEMENT ANALYSIS. User s maual release 9, Elemet Lbrary. Delft, Netherlad: TNO DIANA, LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Costruções de cocreto. Ed. Itercêca, v. 1-4, Ro de Jaero, Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

183 ISSN ADUELA PRÉ-MOLDADA COM CAD Rodrgo Vera da Coceção 1 & Jefferso Beedcto Lbard Lbóro 2 Resumo Neste trabalho é abordada a caracterzação do mcrococreto de alta resstêca e alto desempeho para a fabrcação de aduelas tubulares de pequeas espessuras, proteddas pelo sstema proposto com barras dywdag, que servrão para compor o tabulero de passarelas estaadas. Também será apresetado um estudo de duas aduelas fabrcadas em escala real, smulado o processo de fabrcação, motagem e uso da passarela, para aalsar as solctações atuates e possíves formas de ruías. As resstêcas mecâcas dos corpos de prova foram aalsadas, cujos resultados de resstêca à compressão smples, compressão dametral e o módulo de elastcdade atgram ao prevsto o projeto. O acabameto superfcal, o tempo de laçameto, adesameto, desforma, cura e o trasporte foram estudados para a possbldade de reaprovetameto dos moldes. Com os resultados obtdos das aálses realzadas com os dos módulos do tabulero, verfcou-se uma pequea ampltude das deformações e deslocametos das aduelas. Palavras-chave: Cocreto. Aduela. Pré-moldado. Proteddo. Carboatação. PRECAST BARREL STAVES IN HPC Abstract Ths artcle s accosted the characterzato of hgh stregth ad hgh performace mcrococrete for the fabrcate small thckesses tubular barrel stave, prestressed by proposed system wth bars Dywdag, what wll serve to compose cable-stayed footbrdge deck. Too, wll be preseted oe study of two barrel stave molded full scale, smulatg the process of fabrcato, motage ad use of footbrdge, to aalyze the solct operatg ad the shape possble of ru. The mechacal stregth of the samples had bee aalyzed whose results of smple compressve stregth, dametrcal compresso ad the modulus of elastcty had reached to the foresee project. The superfcal fshg, the tme lauchg, compactg, desmouldg, cure ad the trasport had bee adjusted for molds reuse. Wth the results of aalyses coducted wth two modules of deck, there was also a small extet of deformato ad dsplacemet of barrel stave. Keywords: Cocrete. Barrel stave. Precast. Prestressed. Carboato. 1 INTRODUÇÃO Embora as passarelas e o cocreto de alto desempeho (CAD) estejam sedo estudados o mudo todo, deu-se preferêca àqueles estudos realzados o Brasl, pos o trabalho se desevolveu detro de crtéros fabrs, com materas regoas, a fm de repassar para a catva prvada os resultados colhdos das aálses já elaboradas e aqueles que poderão orgar a partr do processo produtvo. A trasformação de um cocreto em materal de alto desempeho, pode ser feta com a utlzação de materas (cmeto, sílca atva, agregados múdos e graúdos e superplastfcate) preparados e msturados com muto cudado e crtéro. Outro fator mportate o cocreto de alto desempeho é aalsar o fator operacoal, ou seja, qual a vabldade e as dfculdades de se produzr elemetos estruturas de alto desempeho em fabrcação serada, levado-se em cota, por exemplo, 1 Mestre em Egehara de Estruturas - EESC-USP, rvera@sc.usp.br / egvera@gmal.com 2 Prodessor e Coordeador do Laboratóro de Materas Avaçados à Base de Cmeto EESC-USP, lboroj@sc.usp.br Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

184 178 Rodrgo Vera da Coceção & Jefferso Beedcto Lbard Lboro a qualdade do cocreto produzdo em grade quatdade, o tempo de desforma, a cura projetada e os rscos de se executar uma passarela sem terromper o trafego de veículos sob a mesma. A utlzação da pré-moldagem em aduelas de cocreto para passarelas é muto favorável, podedo-se reduzr o custo dos materas, aumetar a qualdade do produto fal, dosar adequadamete o cocreto, etre outros fatores. A opção pela escolha de passarelas estaadas com aduelas pré-moldadas e proteddas fo a de projetar uma estrutura que além de harmôca aos olhos e arrojada, também seja ecoômca, pos se aplcado a protesão em aduelas que formam o tabulero, pode-se explorar uma das característcas que os cocretos de alto desempeho têm de melhor, que é a resstêca à compressão. Nota-se também, que a característca do tabulero em seção celular poderá remeter a sua utlzação em edfícos, promovedo além das váras vatages de resstêca e durabldade, o solameto acústco e a possbldade de poscoar a tubulação hdráulca por detro das mesmas 2 CARACTERÍSTICAS GERAIS PARA USO DA ADUELA 2.1 Cofgurações da passarela Detre as passarelas estaadas, pode-se ter váras cofgurações de torres e suposções de projeto. Na Fgura 1 (a) é mostrada uma torre cetral lgado dos lados de aterro em ível com o tabulero. Nota-se a utlzação de estas a extremdade do tabulero, pos as premssas de cálculo fo cosderado que o tabulero estar em balaço, trasferdo assm um maor esforço para a torre, ecesstado uma maor armadura a fudação. A suposção do tabulero em balaço é justfcada quado se ecessta costrur duas torres em seqüêca, ão sedo possível apoar pelo meos uma das extremdades do tabulero, como mostrado a Fgura 1 (b). Também se pode cosderar que a extremdade do tabulero ecotra-se apoada, portato há um alívo de esforços solctates a torre e coseqüetemete, um alívo de esforços a fudação, bem como, pode-se dspesar os dos últmos pares de estas, como mostrado a Fgura 1 (c). Não esquecedo a stuação mas comum ecotrada em rodovas, pode-se ter uma passarela a qual as extremdades ão se ecotram em ível com o tabulero, sedo ecessáro que o pedestre suba uma rampa ou escada, para etão percorrer a parte do tabulero estaado, Fgura 1 (d). Neste caso, parte do tabulero é executada em cocreto armado e parte é executada com cocreto proteddo, e estaado. Nota-se que um lado da torre é acorada dretamete o chão através de blocos sufcetemete rígdos e profudos. (a) com tabulero em balaço (b) com duas torres em sequêca em balaço (c) com tabulero apoado as ex tremdades (d) com rampa de acesso até o tabulero estaado Fgura 1 Cofgurações de passarelas estaadas. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

185 Aduela pré-moldada com CAD Aduela em estudo Ressalta-se etão, que a êfase do presete trabalho é cofeccoar elemetos celulares prémoldados de pequea espessura, protededo os mesmos para compor o tabulero de passarelas estaadas, já que a torre é de cocreto armado com dmesões sufcetes para suportar os esforços solctates. Portato, o elemeto celular escolhdo possu uma largura útl de 2,00 m por 2,45 m de comprmeto, coforme Fgura 2. A altura total da seção é de 0,70 m e a largura total de 2,40 m, com a espessura da laje superor e da laje feror de 0,07 m, bem como todas as espessuras á 45º graus, coforme a Fgura 3. Somete as duas lateras da peça possuem uma espessura de 0,09 m que podera proporcoar uma maor rgdez ao elemeto estrutural e para facltar o traspasse da armadura em tela soldada. Os traspasses das telas serão fetos respetado-se a codção de sobreposção de duas malhas, como recomeda a orma para armaduras prcpas com fos de Φ 8,00 mm. Além das telas soldadas, será aplcada uma protesão o setdo logtudal da peça através de barras de Dywdag; para sso a peça será moldada com furos de dâmetro sufcete o qual seja possível a trodução do sstema de protesão e posterormete a etrada do macaco de protesão aplcado-se uma força ormal o sstema. A dstâca etre barras de protesão ão será feror a 0,21 m. Fgura 2 Perfl celular escolhdo para a cofecção das aduelas. Fgura 3 Detalhe da seção trasversal da aduela. 2.3 Sstema de protesão da aduela O presete trabalho propõe que as aduelas sejam proteddas de duas em duas, através de um sstema composto por placas quadradas de 7,00 cm de comprmeto e 0,02 m de espessura, por porcas de 0,03 m de dâmetro scrto e 0,04 m de comprmeto para garatr uma protesão segura das peças, por uma luva de emeda de 0,035 m de dâmetro e 0,08 m de comprmeto. Nota-se a Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 52, p , 2009

186 180 Rodrgo Vera da Coceção & Jefferso Beedcto Lbard Lboro Fgura 4 que o sstema de protesão ctado fo motado os chos dexados a peça durate a cocretagem. Fgura 4 Sstema de protesão motado os chos dexados a peça. Apreseta-se a segur o processo de motagem das peças e o sstema de protesão propramete dto. Para proteder a prmera aduela a torre, deve-se dspor do escorameto dto aterormete, bem como a barra de Dywdag passada por detro do furo logtudal da peça. Coloca-se a placa e a porca a barra de Dywdag que fcou de espera a extremdade da peça (pelo meos 0,04 m de espera), em seguda aplca-se a protesão com macacos hdráulcos específcos para tal faldade que são alugados pela mesma empresa que foreceu o produto de protesão (barras, placas, porcas e luvas). Realzada a protesão da prmera peça a torre, passa-se para a protesão da aduela posteror, a aduela ateror. Para sso, aproxma-se a aduela posteror da aduela ateror com as barras de Dywdag devdamete passadas por detro dos furos. Nesse mometo, rosquea-se a luva a barra de Dywdag da aduela ateror e em seguda, aproxma-se a barra de Dywdag da aduela posteror para perto da luva, rosqueado-a também. Na seqüêca, aproxma-se a aduela posteror da aduela ateror, repetdo o processo de motagem, aplcado-se a protesão ovamete com a placa e porca o fal da aduela posteror. 2.4 Sstema de acoragem dos estas Após a motagem de duas aduelas, com todos os cabos de protesão devdamete colocados, aplca-se o sstema de acoragem de estas, como mostrado a Fgura 5. Para este sstema serão utlzadas barras de aço com 1 de dâmetro e chapas com espessura de 3/8. Fgura 5 Perspectva e foto dos sstemas de acoragem dos estas. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

187 Aduela pré-moldada com CAD 181 A vatagem deste sstema de acoragem é que se a peça passar pelos testes de ruptura localzada próxma a acoragem, especfcamete a qua superor e o meo do vão. Será fácl e rápdo sua motagem, pos se tem apeas que ecaxar os dos parafusos horzotas os furos lateras com as chapas de aço devdamete colocadas e rosquear as porcas coferdo-lhes pressão ecessára para que seja possível uma dstrbução de esforços uforme. Após a motagem do sstema de acoragem, foram passados os estas os dos lados da aduela. Estes estas, poderão ser também de barras de Dywdag com dâmetro de 32 mm de dâmetro. 3 DESENVOLVIMENTO DA ADUELA PRÉ-MOLDADA 3.1 Materas utlzados O Mcrococreto usado para a cofecção das aduelas que compõem o tabulero, está justfcado os trabalhos de Melo (2000), Slva, I.J. (2002), Slva (2006), Costearo (2003), Slva, V.M. (2002) Slva (2007), Castro (2007), Fagury (2002). Para sso fo utlzado CP V ARI RS, agregados múdos e brta 0 (D máx de 9,5 mm, em cosoâca com as característcas geométrcas do elemeto estrutural e da armadura). O traço fo projetado a partr das recomedações realzadas por Lboro & Melo (1996), com os respectvos avaços já obtdos, e os procedmetos estabelecdos por Helee & Terza (1992). Como armadura passva usou-se a tela soldada EQ 98 com dâmetro de 2,5 mm espaçados de 50 mm. Já para a armadura atva, selecoou-se barras de aço de alta resstêca da Dywdag, de dâmetro de 15 mm para as barras de protesão do tabulero e de dâmetro de 32 mm para as barras dos estas. 3.2 Defção do traço A determação dos traços de cocreto seguu os procedmetos que vêm sedo adotados o LMABC. O ídce de cosstêca, determado por meo de um troco de coe, fo de 230 ± 10 mm, de acordo com a NBR NM 67 (1998). Portato, defdos os materas dspoíves a regão de São Carlos-SP e as suas composções, o próxmo passo fo à determação do teor deal de argamassa (α). 1+ a α = (1) 1+ a + p Ode: a é a proporção de aglomerate múdo a mstura, e p é a proporção de aglomerate graúdo a mstura; Esse teor fo determado verfcado váras msturas com teores de argamassa dversos, até que ecotrar um teor que evolva completamete os agregados graúdos de forma que o cocreto seja trabalhável, coeso, ão ocorra exsudação e possua um bom acabameto superfcal do cocreto. O traço 1:m represeta a proporção aglomerate:agregado que compõe a mstura, a letra m represeta o total de agregados que esse caso refere-se a composção de areas selecoadas mas o pedrsco. Após a caracterzação de todos os materas compoetes dos traços das aduelas, determou-se a composção etre eles e em seguda o teor de argamassa. A Tabela 1 apreseta um resumo da dosagem dos cocretos das duas aduelas. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 52, p , 2009

188 182 Rodrgo Vera da Coceção & Jefferso Beedcto Lbard Lboro Tabela 1 Resumo da dosagem dos cocretos das aduelas Especfcação Aduela I Aduela II Udade Traço 1:2,32 1:2,5 Relação água/aglomerate 0,33 0,35 Teor de Argamassa (α) % Cosstêca mm Espalhameto cm Massa Específca kg/m 3 Cosumo teórco de materal para um volume de 1 m 3 Cmeto (CP V ARI RS) 612,29 586,46 kg Sílca Atva (SFS) 46,54 39,99 kg Pedrsco (Φ máx = 9,5 mm) 807,27 kg Pedrsco (Φ máx = 6,8 mm) 811,24 kg Area Grossa 344,34 kg Area Méda 229,56 475,56 kg Area Fa 143,47 203,81 kg SM ,49 kg Água 216,87 219,25 L Superplastfcate (ADVA Cast) 6,35 5,86 kg 3.3 Propredades mecâcas dos cocretos Para as aálses de resstêca do cocreto das aduelas foram selecoados corpos de prova clídrcos de 50 mm de dâmetro por 100 mm de altura e preparados de acordo com a NBR 5738 (1994). Logo após a moldagem, os corpos de prova, ada os moldes, foram colocados em local úmdo ode permaeceram durate 24 horas, para cura cal ao ar. Termado o tempo cal de cura, os mesmos são retrados dos moldes, detfcados e mersos em taque de cura cotedo água ão correte saturada com cal, ode são matdos até as datas de esao. Ao completar 1, 3, 7, 28, 63 e 91 das os corpos de prova são retrados da cura para ser verfcada sua resstêca à compressão axal smples de acordo com a NBR 5739 (1994), e em algumas dades o módulo de elastcdade e a resstêca à tração por compressão dametral, segudo recomedações da NBR 8522 (2003) e NBR 7222 (1994), respectvamete. O resumo dos resultados está a Tabela 2 para melhor comparar os dados de cada Aduela. Tabela 2 Resumo dos resultados das propredades mecâcas dos cocretos Idade (das) Compressão Smples (MPa) Tração por Compressão Dametral (MPa) Módulo de Elastcdade (GPa) Aduela I Aduela II Aduela I Aduela II Aduela I Aduela II 1 33,4 35,0 3 59,6 52,1 4,8 4,9 7 79,6 58,4 5,2 5, ,0 75,2 5,2 5, ,6 86, ,6 91, Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

189 Aduela pré-moldada com CAD 183 Ates de ser realzado os esaos os corpos-de-prova, suas superfíces que têm o cotato com os pratos da presa hdráulca para a aplcação da carga, são regularzadas com o auxílo de uma retífca de dsco damatado, que cosste a remoção, por meo mecâco, de uma fa camada de materal da superfíce a ser regularzada. Ates do esao são realzadas três medções em cada dmesão dos corpos-de-prova, dâmetro e altura, para a verfcação das reas dmesões dos corpos-de-prova. 3.4 Procedmeto para cocretagem das aduelas Devdo ao fato da aduela ser pré-moldada e de pequea espessura, deve-se tomar cudado tato a escolha do materal que compõe a forma metálca como a colocação do úmero de espaçadores adequados, pos se as dmesões das chapas e dos reforços forem muto robustas, a forma fcará muto cara e pesada, se os elemetos forem muto esbeltos, a forma poderá se deformar pelo peso do cocreto fresco e tesões advdas do adesameto, gerado dfereças as dmesões da peça. Ada que uma produção dustral as chapas devessem ter espessura em toro de 6,7 mm o mímo, as espessuras aqu adotadas levam em cota à mapulação por téccos de laboratóro. Os espaçadores também têm um papel fudametal, pos para pequeas espessuras, a colocação devda poderá causar tato patologas graves, como mudaça do comportameto estrutural calmete suposto o projeto, comprometmeto do cobrmeto, dmução da durabldade, etc. Para o espaçameto extero serão colocados objetos crculares fetos de plástco. Para o dstacameto tero, ou seja, os espaçametos etre telas serão colocados objetos fetos de fos de aço com dâmetro de 42 mm cohecdos por caraguejo. O úmero mímo de espaçadores de plástco recomedado é de 8 a 10 udades por metro quadrado e o úmero mímo de caraguejos recomedados é de 5 a 6 udades por metro quadrado. Ates da cocretagem é precso preparar a fôrma metálca. Por sso, escolheu-se um local plao e em ível adequado para colocação da base metálca. Em seguda, mota-se o restate das peças como descrto a segur: (1) Colocam-se as duas partes teras da forma, aparafusam-se as extremdades vertcas da peça e ajustam-se as dmesões teras com espaçadores soldados o teror da mesma. (2) O próxmo passo é a colocação das telas soldadas teras e exteras com os respectvos espaçadores exteros e os espaçadores etre telas. (3) Colocam-se as duas partes exteras da forma, aparafusado as extremdades vertcas da peça, bem como os parafusos da base, que servrão de gua para mater a espessura da aduela. (4) Ecaxam-se os copos dos chos de protesão o topo da forma aparafusado-os em seus respectvos lugares. (5) Passam-se as barras tubulares para dexar os furos de protesão da aduela e as barras para dexar os furos de acoragem dos estas. (6) Falmete, trava-se a forma com perfs tubulares de aço clados, aparafusado-as em catoeras horzotas soldadas a base, como reforço da forma lateral. Além do estudo dos materas soladamete, para qualquer tpo de cocreto, a ordem de sua colocação a betoera é de extrema mportâca, sedo que a mas adequada para o cocretagem das aduelas pode ser descrta coforme as etapas a segur: (1) Pesagem dos materas selecoados para cada saco de cmeto de 50 Kg. Para descotar a água cotda a umdade das area, fo medda a umdade delas com o auxílo do frasco de Chapma ates de coloca-las os sacos e descotada a pesagem da água de amassameto; Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 52, p , 2009

190 184 Rodrgo Vera da Coceção & Jefferso Beedcto Lbard Lboro (2) Colocação do pedrsco juto com a sílca atva e toda a água de amassameto, msturado por 1 muto e 30 segudos, para melhor dspersar os flocos da sílca; (3) Acréscmo do cmeto Portlad, msturado por mas 1 muto e trta segudos; (4) Adção da metade do adtvo superplastfcate, msturado por 2 mutos; (5) Restate do adtvo, msturado por mas 2 mutos; (6) E por fm, a serção da composção das três areas, msturado por mas 2 mutos. Os materas para a cocretagem das aduelas foram pesados em relação a cada saco de cmeto de 50 Kg dos 13 usados. Por sso, a cocretagem se realzou em 13 betoadas, sedo que a cada 3 betoadas, a betoera era lavada e mprmada para a mstura segute. Após a prmera betoada, medu-se o abatmeto e o espalhameto do cocreto com o auxílo do troco de coe para coferr a trabalhabldade estabelecda durate a defção do traço. O adesameto do cocreto é muto mportate para uma peça pré-moldada, pos um adesameto bem realzado garate que o cocreto preecha todos os vazos exstetes etre a fôrma e a armadura, prcpalmete para a peça estudada que possu um pequeo recobrmeto da armadura. Por tato, acoplaram-se a fôrma, váras chapas metálcas em dferetes íves para a colocação dos vbradores exteros como mostra a Fgura 6, possbltado a mudaça dos própros durate a cocretagem. Fgura 6 Vbrador de superfíce. No fal do adesameto, as hastes tubulares são gradas para dmur a aderêca com o cocreto, e após 1 hora da cocretagem elas são retradas e gradas meo metro a cada 30 mutos. Ates de completar 24 horas após a cocretagem, ca-se a desmoldagem das outras partes da fôrma fazedo a ordem versa de sua motagem. Paralelamete ca-se o processo de cura do cocreto, que pesado a produtvdade do processo, podera empregar a cura térmca para aumetar a resstêca as prmeras dades da peça. Porém, fo realzada a cura por aspersão durate 3 das, a qual as superfíces expostas foram matdas úmdas. 3.5 Trasporte das aduelas Da desmoldagem até a colocação das peças o seu local deftvo de utlzação, as aduelas precsam de equpametos e dspostvos auxlares para a sua movmetação. Para a movmetação das aduelas pré-moldadas, utlzou-se a parte tera do própro sstema de acoragem dos estas para o çameto vertcal, mostrado a Fgura 7 (a). Para o trasporte horzotal da peça, precsou-se passar uma fta etre os chos dexados para a protesão da aduela, além da parte exteror do própro sstema de acoragem, como mostra a Fgura 7 (b). Para resolver o problema da colocação da fta o trasporte horzotal, basta colocar a parte feror o mesmo sstema de acoragem exstete a parte superor da peça. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

191 Aduela pré-moldada com CAD 185 O trasporte tero o galpão do Laboratóro de Estruturas de Cocreto das peças já fabrcadas fo com o auxílo de uma pote rolate com capacdade de 60 kn, cuja também fo usada para a desmoldagem. O trasporte das peças só pode ser realzado após 3 das da moldagem, fato rum para a pré-moldagem, mas que pode ser resolvdo com o emprego da cura térmca aumetado a produtvdade do processo. (a) Trasporte vertc al (b) Trasporte horzotal Fgura 7 Trasporte da aduela. 4 ANÁLISE E RESULTADOS DAS ADUELAS Quato à metodologa para aálse das aduelas, usaram-se os dos elemetos pré-moldados fabrcados em escala real, com mcrococreto de alta resstêca e alto desempeho, a fm de se estudar as solctações atuates e as formas de ruía do sstema em laje de reação do Laboratóro de Estruturas de Cocreto. A efcêca das coexões também fo aalsada. Os dos módulos do tabulero foram estudados segudo a smulação do processo de motagem e uso da passarela, a fm de se estudar as solctações atuates e as formas de ruía das aduelas acopladas. Os elemetos estruturas são strumetados para determação da ampltude dos esforços e deslocametos. As deformações do tabulero serão verfcadas ao logo de seu exo cetral através da letura de extesômetros elétrcos colados a regão cetral das telas soldadas. Os carregametos foram aplcados através de sacos de areas. Para a smulação de um egaste para as aduelas, parte-se do prcpo que a Aduela I será presa o dspostvo de egaste através da protesão dos cabos passates pela sua seção trasversal. Em seguda a Aduela II será poscoada a Aduela I utlzado o mesmo sstema de protesão. 4.1 Protesão da aduela I A prmera parte do esao das aduelas cosstu em medr a deformação da Aduela I, quado a mesma estava sedo egastada o dspostvo de egaste pela protesão das barras de aço. Esse procedmeto smula o processo de motagem da prmera aduela da passarela. Após a motagem do dspostvo de egaste e a coexão dos extesômetros das aduelas o sstema de aqusção de dados, a Aduela I fo apoada a posção horzotal em cma de blocos de cocretos, de tal forma que os furos da sua seção trasversal, para a passagem das barras de protesão, cocdssem com os furos do dspostvo de egaste. Para sso, usaram-se cuhas de maderas etre os blocos de cocreto e superfíce feror da aduela, para regular a altura e também facltar a hora de retrar os apoos. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 52, p , 2009

192 186 Rodrgo Vera da Coceção & Jefferso Beedcto Lbard Lboro Com a Aduela I alhada com o dspostvo de egaste, passaram-se as barras de aço pelos furos da aduela e do dspostvo prededo-as com o sstema de acoragem das barras, ou seja, as placas e as porcas. Etão, o macaco hdráulco fo poscoado, como mostra a Fgura 8, e as medções de deformações dos extesômetro foram regstradas ao fal da protesão de cada barra, sedo o prmero regstro realzado ates do co da protesão. Fgura 8 Detalhe do macaco hdráulco para protesão da aduela I. A carga estabelecda para a aplcação do macaco hdráulco em cada barra de protesão fo de 6 toeladas, cuja a ordem de aplcação da carga os cabos de protesão é mostrada a Fgura 9. Fgura 9 Ordem de protesão das barras da aduela I. Depos da aplcação da protesão de todos os 12 cabos passates a seção trasversal da aduela, as cuhas foram retradas dexado a aduela em balaço, mas os blocos de cocreto foram matdos o local como uma medda de seguraça como podemos ver a Fgura 10. Fgura 10 Detalhe da aduela I em balaço. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

193 Aduela pré-moldada com CAD 187 As Fgura 11 (a) e Fgura 11 (b) mostram os resultados das deformações dos extesômetros do exo cetral da tela superor extera (SE) e da tela feror tera (II) da aduela I, respectvamete. A ordem dos evetos para as medções das deformações desse esao está apresetada a segur: I, zero dos extesômetros; II à XIII, ordem de protesão da Aduela I; XIV, retrada do apoo. Medção Medção Deformação 0, , , , , , , , , ,90000 I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV SE -2 SE - 3 SE - 4 SE - 5 Deformação 0, , , , , , , , ,40000 I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV IE - 2 IE - 3 IE - 4 IE - 5 (a) tela superor extera (b) tela feror extera Fgura 11 Gráfcos das deformações regstradas a parte cetral da aduela I após cada eveto da protesão da aduela I. 4.2 Protesão da aduela II A seguda parte do esao cosstu em acoplar a Aduela II a Aduela I meddo as deformações de ambas. Esse procedmeto smula o processo de motagem do prmero tramo da passarela sem a colocação dos estas. Termada a retrada dos apoos da Aduela I, a Aduela II fo poscoada para a passagem dos cabos da mesma forma da Aduela I. Mas, como se trata da terface etre aduelas, ecesstou-se da elaboração de uma argamassa fluda para soldarzar e preecher os vazos exstetes etre elas. Ates de preecher a terface das aduelas com a argamassa, foram colocadas ftas adesvas a parte feror e a lateral das terfaces para argamassa ão vazar. O preechmeto da terface das aduelas ocorreu smplesmete derramado a argamassa os espaços exstetes sem efetuar ehum tpo de adesameto, por sso a ecessdade de uma argamassa fluda. Após 3 das da moldagem a argamassa teve resstêca sufcete para a cotuação do esao, e a superfíce de jução ode fo preechda com a argamassa fcou sem ehuma fssuração, como mostra a Fgura 12. Fgura 12 Detalhe da jução das aduelas após preechmeto com argamassa. Com a argamassa tedo resstêca sufcete para a cotuação do esao, passaram-se as barras de aço pelos furos da Aduela II coectado-as a Aduela I por meo das luvas de emeda, e a extremdade colocaram-se as placas e as porcas. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 52, p , 2009

194 188 Rodrgo Vera da Coceção & Jefferso Beedcto Lbard Lboro Etão, ovamete o macaco hdráulco fo poscoado e as medções de deformações dos extesômetro foram regstradas como estabelecdo a protesão da Aduela I, modfcado a ordem de aplcação da protesão das barras da seção, como mostra a Fgura 13. As medções das barras 9 e 12 ão foram regstradas, por um erro a hora da medção dos dados. Fgura 13 Ordem de protesão das barras da aduela II. Depos da aplcação da protesão de todos os 12 cabos, as cuhas foram retradas dexado as duas aduelas em balaço, mas os blocos de cocreto também foram matdos o local como uma medda de seguraça como podemos ver a Fgura 14. Fgura 14 Aduelas I e II em balaço. A Fgura 15 mostra os resultados das deformações dos extesômetros do exo cetral da tela superor extera e da tela feror tera da aduela I, respectvamete. Já a Fgura 16 mostra os resultados das deformações dos extesômetros do exo cetral da tela superor extera e da tela feror tera da aduela II, respectvamete. A ordem dos evetos para as medções das deformações desse esao está apresetado a segur: I, zero dos extesômetros; II à XI, ordem de protesão das barras da Aduela II; XII, retrada do apoo. Medção Medção Deformação 0, , , , , , ,50000 I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII SE - 2 SE - 3 SE - 4 SE - 5 Deformação 0, , , , , , , , , , ,80000 I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII IE - 2 IE - 3 IE - 4 IE - 5 (a) tela superor extera (b) tela feror extera Fgura 15 Gráfco das deformações regstradas a parte cetral da Aduela I após cada eveto da protesão da aduela II. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

195 Aduela pré-moldada com CAD 189 Medção Medção 0,20000 I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII 0,20000 I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII Deformação 0, , , , ,80000 Deformação 0, , , , , , ,00000 SE - 3 SE - 4 SE - 5-1,20000 IE - 3 IE - 4 IE - 5 IE - 2 (a) tela superor extera (b) tela feror extera Fgura 16 Gráfco das deformações regstradas a parte cetral da aduela II após cada eveto da protesão da aduela II. 4.3 Aplcação do carregameto dstrbuído A tercera parte do esao cosstu em aplcar um carregameto dstrbuído a laje superor da passarela meddo as deformações dos extesômetro das aduelas e os deslocametos de relógos comparadores em potos mportates a parte feror de ambas. Esse procedmeto smula o processo de utlzação de carga máxma de um tramo da passarela prevsta o projeto. Ates de se aplcar a carga dstrbuída, lgou-se um cabo de aço o sstema de acoragem dos estas da Aduela II a um pórtco, para tetar travar as aduelas e smular os estas do prmero tramo da passarela. Com os cabos de aços presos dos dos lados da Aduela II, cou-se a aplcação do carregameto dstrbuído em cada metro quadrado da laje superor das aduelas. Esse carregameto fo executado com sacos de area de 50 kg, sedo colocados 10 sacos em cada metro quadrado. As medções das deformações e dos deslocametos foram realzadas após o preechmeto de cada metro quadrado, cuja ordem de aplcação da carga/m 2 é mostrada a Fgura 17. A Fgura 18 mostra os sacos de areas emplhados a laje superor das aduelas. Fgura 17 Ordem de colocação da carga dstrbuída e poscoameto dos relógos comparadores. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 52, p , 2009

196 190 Rodrgo Vera da Coceção & Jefferso Beedcto Lbard Lboro Fgura 18 Ordem de colocação da carga dstrbuída e poscoameto dos relógos comparadores. A Fgura 19 mostra a laje superor das duas aduelas acopladas após o descarregameto dos sacos de areas emplhados, ão apresetado ehuma fssura. Fgura 19 Aduelas depos de retrar o carregameto dstrbído. A Fgura 20 mostra os resultados das deformações dos extesômetros do exo cetral da tela superor extera e da tela feror tera da aduela I, respectvamete. Já a Fgura 21 mostra os resultados das deformações dos extesômetros do exo cetral da tela superor extera e da tela feror tera da aduela II, respectvamete. A ordem dos evetos para as medções das deformações desse esao está apresetado a segur: I, zero dos extesômetros; II à XI, colocação da carga em cada metro quadrado. Medção Medção Deformação 0, , , , , , , , , ,10000 I II III IV V VI VII VIII IX X XI SE - 2 SE - 3 SE - 4 SE - 5 Deformação 0, , , , , , , , , , , ,04000 I II III IV V VI VII VIII IX X XI IE - 2 IE - 3 IE - 4 IE - 5 (a) tela superor extera (b) tela feror extera Fgura 20 Gráfco das deformações regstradas a parte cetral da aduela I após cada eveto da aplcação do carregameto dstrbuído. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 48, p , 2009

197 Aduela pré-moldada com CAD 191 0,25000 Medção I II III IV V VI VII VIII IX X XI 0,25000 Medção I II III IV V VI VII VIII IX X XI 0, ,20000 Deformação 0, , ,05000 Deformação 0, , , , , ,05000 SE - 3 SE - 4 SE - 5-0,05000 IE - 3 IE - 4 IE - 5 (a) tela superor extera (b) tela feror extera Fgura 21 Gráfco das deformações regstradas a parte cetral da aduela II após cada eveto da aplcação do carregameto dstrbuído. 4.4 Aplcação do carregameto em balaço A últma parte do esao cosstu em aplcar um carregameto de 2 toeladas o extremo da Aduela II, em balaço e sem os cabos de aços, meddo os deslocametos dos relógos comparadores. Esse procedmeto smula a utlzação de algum equpameto para auxlar a motagem do tabulero da passarela. A aplcação da carga também fo realzada com os sacos de areas de 50 kg e as medções dos deslocametos foram realzadas após o carregameto de 500 Kg a faxa do metro fal da Aduela II, como mostra a Fgura 22. Fgura 22 Carga de 2 toeladas a aduela II em balaço. A Fgura 23 mostra os resultados das deformações dos extesômetros do exo cetral da tela superor extera e da tela feror tera da aduela I, respectvamete. Já a Fgura 24 mostra os resultados das deformações dos extesômetros do exo cetral da tela superor extera e da tela feror tera da aduela II, respectvamete. A ordem dos evetos para as medções das deformações desse esao está apresetado a segur: I, zero dos extesômetros; II à V, carregameto, sedo 500 kg para cada medda. Caderos de Egehara de Estruturas, São Carlos, v. 11,. 52, p , 2009