MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO RESFRIAMENTO RÁPIDO DE MORANGO COM AR FORÇADO 1

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1 MODELAGEM MAEMÁICA E SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO RESFRIAMENO RÁPIDO DE MORANGO COM AR FORÇADO 1 DANIELA C. Z. PIROZZI, MARIÂNGELA AMENDOLA 3 RESUMO: Este trabalho abordou o resframeto rápdo com ar forçado de morago va smulação umérca. Para tato, fo empregado o modelo matemátco que descreve o processo de trasferêca de calor, com base a le de Fourer, escrto em coordeadas esfércas e smplfcado para descrever o processo udmesoal. A resolução da equação expressa pelo modelo matemátco deu-se por meo da mplemetação de um algortmo, fudametado o esquema explícto do método umérco das dfereças ftas, executado o ambete de computação cetífca MALAB 6.1. A valdação do modelo matemátco fo realzada a partr da comparação de dados teórcos com dados obtdos um expermeto, o qual moragos foram resfrados com ar forçado. Os resultados mostraram que esse tpo de vestgação para a determação do coefcete de trasferêca de calor por covecção é promssora como ferrameta o suporte à decsão do uso ou desevolvmeto de equpametos a área de resframeto rápdo de frutos esfércos com ar forçado. PALAVRAS-CHAVE: métodos umércos, trasferêca de calor, computação cetífca. MAHEMAICAL MODEL AND NUMERICAL SIMULAION OF SRAWBERRY FAS COOLING WIH FORCED AIR ABSRAC: hs work approaches the forced ar coolg of strawberry by umercal smulato. he mathematcal model that was used descrbes the process of heat trasfer, based o the Fourer s law, sphercal coordates ad smplfed to descrbe the oe-dmesoal process. For the resoluto of the equato expressed for the mathematcal model, a algorthm was developed based o the explct scheme of the umercal method of the fte dffereces ad mplemeted the scetfc computato program MALAB 6.1. he valdato of the mathematcal model was made by the comparso betwee theoretcal ad expermetal data, where strawberres had bee cooled wth forced ar. he results showed to be possble the determato of the covectve heat trasfer coeffcet by fttg the umercal ad expermetal data. he methodology of the umercal smulatos was showed lke a promsg tool the support of the decso to use or to develop equpmet the area of coolg process wth forced ar of sphercal fruts. KEYWORDS: umercal methods, heat trasfer, scetfc computato. INRODUÇÃO O uso de refrgeração o armazeameto de produtos agrícolas é recomedado para garatr o tempo de pratelera dos mesmos, pos reduz o metabolsmo desses produtos, dmu a perda de água e cotrola o crescmeto de mcroorgasmos, os quas são prejudcados. Para que esse armazeameto refrgerado possa ser efcete, deve-se levar em cosderação, etre outros fatores, o resframeto rápdo medatamete após a colheta (CHIARRA, 1999). 1 Extraído da dssertação de mestrado do prmero autor. Egº Agrôomo, Doutorado, Departameto de Botâca, Isttuto de Bocêca, UNESP, Botucatu - SP, Foe: (XX14) , dcprozz@yahoo.com 3 Matemátca, Profa. Doutora, FEAGRI-UNICAMP, Campas - SP. Recebdo pelo Coselho Edtoral em: Aprovado pelo Coselho Edtoral em: 4--5

2 Modelagem matemátca e smulação umérca do resframeto rápdo de morago com ar forçado 3 A proposção e o uso da tecologa de resframeto rápdo com ar forçado de produtos perecíves ecessta de aprofudameto o cohecmeto dos processos físcos que ocorrem durate esse resframeto, o que pode ser realzado tato por meo de vestgação expermetal, quato por estudos teórcos por meo do emprego de métodos matemátcos, sedo esses últmos, somete recetemete, utlzados a FEAGRI/UNICAMP. Segudo INCROPERA & DE WI (1996), os métodos matemátcos empregados para o estudo de resframeto expressam, em geral, problemas de codução trasete, com mutas geometras e codções de cotoro smplfcadas e podem ser resolvdos por meo de métodos aalítcos ou umércos. Quado é possível obter as soluções aalítcas, essas aparecem a forma de uma sére fta, que para serem calculadas devem ser trucadas com um úmero determado de termos. Uma vez que essas séres ftas são trucadas, elas passam a forecer soluções aproxmadas, assm como aquelas obtdas pelo uso de métodos umércos. ALVAREZ & RYSRAM (1995) smularam umercamete o resframeto rápdo com ar forçado de frutos esfércos, utlzado modelo matemátco baseado a le de Fourer, e mostraram que modelos matemátcos e smulação umérca são ótmas ferrametas, tato para o projeto, quato para o uso do resframeto. Para a valdação dos resultados gerados, va smulação umérca do processo de resframeto rápdo com ar forçado, são ecessáros as medções expermetas de temperatura e o cohecmeto de parâmetros físcos do mesmo. Detre os parâmetros físcos, um é lmtate, o coefcete de trasferêca de calor por covecção, deotado por h, é sesível aos parâmetros do processo expermetal, como velocdade e propredades térmcas do ar de resframeto, geometra do sstema, local ode a temperatura do fludo é medda, etre outros. Nesse setdo, CASRO & AMENDOLA (1999), ERUEL () e AMENDOLA & ERUEL (), usado modelos matemátcos e métodos umércos dsttos, smularam o resframeto rápdo com ar forçado de larajas e estmaram o valor de h, ajustado os dados ecotrados umercamete aos dados obtdos va expermeto prátco. Essa metodologa também pode ser vsta em processos de secagem, como em QUEIROZ & NEBRA () e IO & AMENDOLA (), que a usaram para estmar o coefcete de dfusão em secagem de baaas e soja, respectvamete. Os resultados ecotrados os trabalhos ctados aterormete justfcam o cumprmeto do objetvo do presete trabalho, que fo selecoar um modelo matemátco e desevolver método umérco para smular o resframeto rápdo com ar forçado de morago para obter o respectvo coefcete de trasferêca de calor por covecção. MAERIAL E MÉODOS Os dados expermetas utlzados este trabalho foram extraídos do expermeto realzado por BINOI (), o qual moragos sofreram o resframeto rápdo com ar forçado. Além desses dados expermetas, foram extraídos da lteratura dados de propredades termofíscas do morago, como codutvdade térmca (k p ) gual a,54 W m -1 ºC -1 e dfusvdade térmca () gual a 1,7 1-7 m s -1, extraídos de MILES et al. (1983), ctados por JANCSÓK et al. (). No expermeto realzado por BINOI (), foram utlzados: a câmara fra do laboratóro de termodâmca da Faculdade de Egehara Agrícola - FEAGRI, da Uversdade Estadual de Campas - UNICAMP, um computador, o programa de aqusção de dados - AQDADOS, termopares do tpo, caxas de papelão e moragos da varedade Campas IAC-71. A partr desse expermeto, pode-se extrar: a temperatura cal ( ) o cetro de 1 moragos, os quas a meor temperatura cal medda fo gual a 13,8 C e a maor gual a 17, C; a temperatura do ar de resframeto ( a ) fo de ºC; o rao médo (R) dos moragos fo de,5 m, obtdo a partr da méda do maor dâmetro logtudal dos

3 Daela C. Z. Prozz & Marâgela Amêdola 4 moragos, e os dados da temperatura o cetro do morago ( exp ) meddos ao logo do resframeto, os quas foram utlzados para a valdação dos dados umércos e ajuste do valor do coefcete de trasferêca de calor por covecção (h). Para obter os dados de temperatura o teror dos moragos ao logo do resframeto, foram tomados 1 frutos aleatoramete, os quas foram troduzdos os termopares o mas próxmo possível do cetro. Desses dados de temperatura, puderam-se obter 1 curvas expermetas (deoma-se curvas a dspersão desses dados). A partr dessas curvas, foram tomadas aleatoramete duas, uma para a escolha do melhor tpo de ajuste das curvas expermetas e outra para a avalação da fluêca da malha. Para a valdação da smulação umérca e ajuste do valor do coefcete de trasferêca de calor por covecção (h), foram tomadas, também aleatoramete, ses das curvas expermetas. Para determar o melhor ajuste para os dados expermetas, foram aplcados os ajustes expoecal e polomas de o ; 3 o ; 4 o e 6 o graus a curva expermetal selecoada. A escolha da equação que sera a empregada para ajustar os dados expermetas fo feta com base tato a represetatvdade do feômeo físco em questão, quato o valor do resíduo gerado quado comparada com uma das curvas obtdas expermetalmete. Segudo BOLDRINI et al. (198), para o cálculo desse resíduo, pode-se aplcar a orma da dfereça etre os dados reas e os apresetados, que é dada pela segute expressão: ( exp (t) um (t)) = (1) exp um exp - temperatura o cetro do morago, obtda expermetalmete, C; um - temperatura o cetro do morago, obtda segudo a equação do ajuste, C; - total de meddas, e t - tempo, s. O modelo matemátco assocado ao processo de resframeto de frutos esfércos e selecoado para o desevolvmeto dessa pesqusa é o que aparece em RELEA et al. (1998), com base a le de Fourer e que descreve o processo, trasferêca de calor em frutos esfércos, que, escrto para determação de (r,t), é expresso por : ( r, t) = ( r, t) ( r, t) ; t, r [, R] t + r r r (r,t) - temperatura o teror do morago ao logo do tempo, ºC; t - tempo, s; r - dstâca r do cetro do morago, m; - dfusvdade térmca do morago, m s -1 ; k p - codutvdade térmca do morago, W m -1 ºC -1 ; C p - calor específco do morago, J kg -1 ºC -1 ; - desdade do morago, kg m -3, e R - rao do morago, m. () A codção cal assocada é: ( r,) ; r [, R] = (3) As codções de cotoro são:

4 Modelagem matemátca e smulação umérca do resframeto rápdo de morago com ar forçado 5 (, t) = ; t k p (R, t) = h[s (t) a (t)]; t (5) h - coefcete de trasferêca de calor por covecção, W m - ºC -1 ; s - temperatura a superfíce do morago, ºC; a - temperatura a câmara de resframeto, ºC; k p - codutvdade térmca do morago, W m -1 ºC -1, e R - rao do morago, m. O método umérco selecoado para a resolução da equação presete o modelo matemátco fo o método explícto das dfereças ftas (RICHMYER & MORON, 1967). A escolha desse método umérco fo baseada o trabalho de PIROZZI & AMENDOLA (), já que os resultados mostraram uma dfereça feror a 1% etre os dados de orgem umérca e expermetal. Utlzado esse método, que é um método codcoalmete stável, é possível escrever a forma dscretzada da eq.(). O prmero passo para dscretzar a eq.(), sujeta às codções (3), (4) e (5), é estabelecer uma coveção que, o caso, será: ( r, t) ; para = [1,x] e = [1,t] (6) - localzação dos potos de resolução a dreção radal; x - últmo poto de resolução a dreção radal; r - dstâca etre os potos de resolução a dreção radal, m; - úmero total de passos o tempo; t - cremeto de tempo, m, e t - últmo passo o tempo. A semdscretzação o tempo da eq.(), por uma fórmula de dfereças ftas avaçadas, com erro da ordem de ( t), é: (r,t) t + 1 t A semdscretzação o espaço do prmero termo do lado dreto da eq.(), por uma fórmula de dfereças ftas avaçadas, para o caso explícto e com erro da ordem de ( r), é: + 1 (r, t) r A semdscretzação o espaço do segudo termo do lado dreto da eq.(4), por uma fórmula de dfereças ftas cetradas, para o caso explícto e com erro da ordem de ( r ), é: (4) (7) (8) + 1 (r, t) Deotado-se 1 + r (9)

5 Daela C. Z. Prozz & Marâgela Amêdola 6 t F = ; (1) r a forma dscretzada da eq.(4) é: F F = (11) + 1 F F + F A dscretzação da codção cal (3) é dada por: 1 A dscretzação da codção de cotoro (4) é dada por: + 1 (1, t) ou r = ; 1 (1) ; = 1 ; (13) = ; 1 ; = 1 ; (14) 1 Aalogamete, a dscretzação da codção de cotoro (5) é dada por: = ; = 1...x ; = 1 ; x [ ] ; = 1...t ; x 1 h (15) x a r kp h x 1 + r a kp x = ; = 1...t h 1 + r kp Após selecoar o modelo matemátco, o método umérco e garatr a establdade do método umérco, evtado assm possíves erros ou perturbações que poderam mascarar e até prejudcar os resultados, fo feta a elaboração de um algortmo, sedo esse mplemetado o MALAB 6.1. Seqüecalmete, foram realzadas as smulações umércas, prmero para a avalação da fluêca da malha, e segudo para o ajuste do h. Para avalar a fluêca da malha os resultados umércos, tomou-se r = R/5, em que r é a dstâca etre os potos de resolução a dreção radal, m, e cujos resultados podem ser obtdos por meo do uso de calculadora. Em seguda, r = R / (5 L), para L =, 3, , cujos resultados são obtdos com o uso do computador. Em cada um desses casos, os valores da temperatura smulada ao logo do tempo o poto dscreto da malha espacal cosderada mas próxma do cetro do fruto: =, quado r = R / 5, foram coletados e, posterormete, colocados um gráfco. A seleção da malha a ser cosderada as smulações umércas e o ajuste do valor de h foram realzados segudo o cálculo do resíduo etre duas smulações subseqüetes. Para o cálculo do resíduo, fo utlzada a eq.(1). Selecoada a melhor malha, pode-se dar íco às smulações umércas e ao ajuste do valor de h. Para determar qual o valor de h mas represetatvo para cada curva expermetal, foram realzadas smulações umércas, varado-se o valor de h a partr do cálculo do resíduo etre os dados umércos e os expermetas. O cálculo do resíduo fo feto utlzado a eq.(1). Fetos a seleção da melhor curva umérca e o respectvo valor de h para cada curva expermetal, pode-se calcular o tempo de 1/ e 7/8 do resframeto teórco em cada smulação umérca. ; (16)

6 Modelagem matemátca e smulação umérca do resframeto rápdo de morago com ar forçado 7 O cálculo da temperatura o tempo de 1/ e 7/8 do resframeto é realzado por meo da taxa admesoal de temperatura (A) (MICHEL, 199), que é dada pelas expressões: A (1/) = ce ce A(7/8) = ar = (1-1/) (17) ar ar = (1-7/8) (18) ar ce - temperatura o cetro do morago ao logo do resframeto, ºC; ar - temperatura do ar de resframeto, ºC, e - temperatura cal o cetro do morago, ºC. RESULADOS E DISCUSSÃO Detre os ajustes realzados para os dados expermetas, o de meor resíduo fo o polomal de sexta ordem; o etato, a curva que melhor represetou o feômeo físco do processo fo a do ajuste polomal de quarta ordem, sedo esse o ajuste selecoado. Pela abela 1, pode-se observar que, o refameto da malha, o resíduo etre as curvas umércas dmuu. A partr de 31 até 71 potos dscretos a malha, os resíduos são todos da ordem de 1-1 e para aumetar a precsão para 1 - só acma de 76 potos dscretos a malha. Etretato, a Fgura 1, é possível verfcar que, a partr de 3 potos dscretos a malha, ão há mas fluêca da mesma. ABELA 1. Resíduo etre cada par de curva umérca, obtdo com dferetes potos dscretos a malha (x). x Resíduo x Resíduo x Resíduo 6 x 86 1,49 36 x 86, x 86, x 86, x 86, x 86,19 16 x 86, x 86, x 86,69 1 x 86, x 86,36 81 x 86,3 6 x 86, x 86,8 31 x 86, x 86,13 emperatura (Celcus]) Dreção que dca o refameto da malha empo (mutos) FIGURA 1. Curvas umércas da varação da temperatura do morago, ao logo do tempo de resframeto rápdo, obtdas com x = 6 a 86, para o morago º 7 e h = 19, 578 W m - ºC -1.

7 Daela C. Z. Prozz & Marâgela Amêdola 8 Quato ao ajuste do valor de h, as smulações umércas foram realzadas com valor de h calmete gual a 1 W m - ºC -1, até que se obtvesse o meor resíduo etre curvas expermetas e umércas. Na abela, são mostrados os valores dos meores resíduos obtdos etre as curvas expermetas e umércas do morago e seus respectvos valores de h. Nessa tabela, pode-se verfcar, também, que é possível obter dferetes valores de h detro de uma mesma caxa durate um processo de resframeto rápdo de ar forçado. Isso ocorre, pos o valor do coefcete de trasferêca de calor por covecção ão depede apeas de um fator, mas de um cojuto de fatores assocados. Isso pode ser observado também, por exemplo, em ERUEL () que, avalado três potos detro de uma mesma caxa, ecotrou valores dferetes de h para cada poto, em que a meor dfereça etre eles fo de 9% e a maor de 6%. ABELA. Valores dos meores resíduos obtdos etre as curvas de temperatura expermetal e umérca para cada morago, e seus respectvos valores de h. Moragos Valores dos meores resíduos 1,185 1,5971 1,864 1,5484 1,1884 1,185 h [W m - C -1 ] Um exemplo de como fo realzado o resframeto rápdo com ar forçado de moragos e determado o valor de h para dferetes velocdades do ar de resframeto é apresetado em FIKIIN et al. (1999). Para realzar o expermeto, utlzaram tato a temperatura do ar de resframeto, quato as caxas de acodcoameto dos moragos, próxmas às de BINOI () e reduzram a temperatura dos frutos um total de ºC. Os autores apresetaram resultados os quas os valores de h, obtdos para valores da velocdade do ar de resframeto ferores a 1m s -1, foram ferores a W m - ºC -1, e para atgr valores de h acma de 5 W m - ºC -1, fo ecessára uma velocdade do ar de resframeto em toro de,5 m s -1, o que chega a ser quatro vezes superor às utlzadas por BINOI (), que fo de,8 m s -1. Na abela 3, são apresetados os tempos umércos e expermetas para 1/ e 7/8 do resframeto do morago 3 para h =16 W m - ºC -1, em que se pode otar uma dfereça de dos mutos para o tempo de 1/ do resframeto e de 1 mutos para tempo de 7/8 do resframeto. ABELA 3. Comparação do tempo de 1/ e 7/8 do resframeto umérco e expermetal - morago 3, com valor de h =16 W m - ºC -1. 1/ resframeto (m) 7/8 do resframeto (m) Dados umércos 5,8 65,9 Dados expermetas 3,8 87, Na Fgura, é apresetada a curva que mostrou o meor resíduo, quado comparadas as curvas de temperatura de orgem umérca e expermetal e o respectvo valor de h ajustado. Uma vez que, para o morago 3, se obteve o meor resíduo quado comparadas as curvas de orgem umérca e expermetal, pode-se, por exemplo, estabelecer que o morago e seu respectvo h sejam represetatvos do processo e, com essa estmatva, pode-se smular o processo de trasferêca de calor o teror do fruto e calcular o tempo que o mesmo demora para atgr certa temperatura, o que, em termos prátcos, sgfca maor cotrole do processo de resframeto. Por exemplo, a Fgura 3, pode ser vsta a smulação umérca da varação da temperatura ao logo do resframeto em ses potos do rao do morago 3. O comportameto prevsto para a varação da temperatura ao logo do rao do morago, o resframeto rápdo com ar forçado, é que, quato mas próxmo da superfíce do fruto, mas rápdo se dá o processo. Nota-se que a colua ao lado do gráfco relacoa cor com temperatura em graus Celsus.

8 Modelagem matemátca e smulação umérca do resframeto rápdo de morago com ar forçado dados umercos c/ h = 16 dados expermetas - EP emperatura [Celcus] empo [mutos] FIGURA. Varação da temperatura ao logo do tempo de resframeto segudo dados expermetas e umércos para o morago 3, com valor de h = 16 W m - ºC exo y, emperatura [Celcus] e x o x, te m p o [ m u to s ] ex o z,ds tac a ao logo do rao [ c etm etros ] FIGURA 3. Varação da temperatura ao logo do resframeto em ses potos do rao do morago 3, com valor de h =16 W m - ºC -1. CONCLUSÕES A metodologa das smulações umércas mostrou-se promssora como ferrameta o suporte à decsão do uso ou desevolvmeto de equpametos a área de resframeto rápdo com ar forçado de frutos esfércos, uma vez que fo capaz de forecer subsídos para a estmação do valor do coefcete covectvo de trasferêca de calor e determação do tempo de resframeto do morago. No caso do método umérco explícto usado, deve-se observar a codção de establdade. AGRADECIMENOS Ao Prof. Luís Augusto Barbosa Cortez e Cbele Bott, por cederem getlmete os dados de atureza expermetal.

9 Daela C. Z. Prozz & Marâgela Amêdola 3 REFERÊNCIAS ALVAREZ, G.;RYSAM, G. Desger of a ew strategy for the cotrol of the refrgerato process: frut ad vegetables codtoed a pallet. Food Cotrol, Gulford, v.6,.6, p ,1995. AMENDOLA, M.;ERUEL, B. Uso de um esquema mplícto y de sples para la smulacó umérca Del processo de eframeto de arajas. Smete, Satago, v.7,.3-4, p.141. BINOI, C.S. Avalação quattatva do método de resframeto rápdo com ar forçado para morago.. 83 f. Dssertação (Mestrado em ecologa Pós-Colheta) - Faculdade de Egehara Agrícola, Uversdade Estadual de Campas, Campas,. BOLDRINI, J.L.; RODRIGUES COSA, S.I.; FIGUEIREDO, V.L.; WEZLER,H.G. Álgebra lear. 3.ed. São Paulo: Harper & Row do Brasl, p. CASRO, L.R.; AMENDOLA, M. Smulação umérca do processo de trasferêca de calor em vegetas esfércos. I: CONGRESSO IBERO-LAINO-AMERICANO EM MÉODOS COMPUACIONAIS E ENGENHARIA,., 1999, São Paulo. Aas... São Paulo. 1 CD ROM. CHIARRA, A.B. Armazeameto de frutos e hortalças por refrgeração. Lavras: FAEPE, p. FIKIIN, A.G.; FIKIIN, K.A.;RIPHONOV, S.D. Equvalet thermophyscal propertes ad surface heat trasfer coeffcet of fruts layers trays durg coolg. Joural of Food Egeerg, Lodo, v.4,.1-, p.9-13, INCROPERA, F.P.; DE WI, D.P. Fudametals of heat ad mass trasfer. New York: Joh Wlley, p. IO, A.P.; AMENDOLA, M. Costrução e avalação de um sstema de determação de codutvdade e dfusvdade térmca em regme trasete. Smete, Satago, v.7,.3-4, p.141-,. MILES, C.A.; BEEK, G. va; VEERKAMP, C.H. Calculato of thermophscal propertes, I: JANCSÓK, P.I.; SCHEERLINCK, N.; VERBOVEN, P.; NICOLAI, B.M.; DEBAERDEMAEKER, J. Shape modelg for stochastc FE computaco of coolg processes of agrcultural products. < Acesso em: ago.. MICHEL, F.G. Coolg hortcultural commodtes. I: KADER, A.A. Postharvest techology of hortcultural crop. d ed. Davs: Cooperatve Exteso Dvso of Agrcultural ad Natural Resources, Uversty of Calfora, 199. p PIROZZI, D.C.Z.; AMENDOLA, M. Resframeto rápdo com ar forçado de moragos: um estudo umérco usado método das dfereças ftas explíctas. I: CONGRESSO BRASILEIRO DE ENGENHARIA AGRÍCOLA, 31.,, Salvador. Aas... Salvador: Socedade Braslera de Egehara Agrícola,. 1 CD ROM. QUEIROZ, M.R.; NEBRA, S.A. Abordagem teórca e expermetal do ecolhmeto a secagem de baaas. I: CONGRESSO BRASILEIRO DE ENGENHARIA AGRÍCOLA. 31.,, Salvador. Aas Salvador: Socedade Braslera de Egehara Agrícola,. 1 CD ROM. RICHMYER, R.D.; MORON, K.W. Dfferece methods for tal - value problems. New York: Iterscece, p. ERUEL, M.B.J. Estudo teórco expermetal do resframeto de laraja e baaa com ar forçado.. 49 f. ese (Doutorado em Egehara Mecâca) - Faculdade de Egehara Mecâca, Uversdade Estadual de Campas, Campas,. RELEA, I.C.; ALVAREZ, G.; RYSAM, G. Nolear predctve optmal cotrol of a batch refrgerato process. Joural of Food Process Egeerg, Westport, v.1, p.1-3, 1998.