Método de Partículas para a Modelagem de Fluidos Incompressíveis

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1 Método de Partículas para a Modelagem de Fludos Icompressíves Jaro H. Tovar, Kazuo Nshmoto Departameto de Egehara Naval e Oceâca, Escola Poltécca da Uversdade de São Paulo, São Paulo, Brasl atovar@usp.br Jose Solao Isttuto de Matemátcas e Estatístca da Uversdade de São Paulo, São Paulo, Brasl solao@me.usp.br Resumo. Detre os recetes métodos de modelagem de fludos, cludo as superfíces lvres, destacam-se os métodos que dspesam malhas, cohecdos como Métodos de Partículas. Nestes métodos permtem-se a modelagem e smulação de dferetes propredades físcas do fludo, represetado por partículas, cada uma cotedo posção, velocdade, pressão e massa fxa. As EDP de govero, equações de Naver-Stokes em formalsmo lagragao, são covertdas em modelos de teração etre as partículas a partr de operadores dferecas gradete e laplacao, fazedo uso de uma fução kerel de terpolação assm como de um algortmo sem-mplícto (MPS- Movg Partcle Sem-Implct Method). Neste trabalho desevolvesse uma extesão do método de partículas para a modelagem de fludos com uma aplcação ao problema de mpacto hdrodâmco de um modelo b-dmesoal em forma de cuha. Resultados umércos e sua comparação com esaos expermetas são também apresetados. Keywords: CFD, Método de Partículas, MPS, Iteração Fludo-Estrutura, Impacto Hdrodâmco.. INTRODUÇÃO Métodos computacoas para a smulação de fludos compreesíves foram baseados, as ultmas décadas, a dscretzacão do domío em células elemetares, métodos chamados de malhas Grds ou Mesh Method - utlzado-se de uma formulação euleraa das equações da mecâca dos fluídos. Cotudo, segue sedo dfcultoso aalsar problemas em que o cotoro da terface mude cotuamete com as superfíces lvres, evolvedo o complexo feômeo de mpacto hdrodâmco, sto reflete à carêca de pesqusas de métodos umércos aplcados especfcamete a este problema. O problema de teração fludo estrutura é mportate em mutas aplcações da egehara. O feômeo de mpacto hdrodâmco de um corpo sóldo, rígdo ou elástco, a superfíce lvre da água, é uma destas aplcações. Este feômeo pode ser observado a proa das embarcações avegado sobre odas, o pouso e decolagem de avões afíbos; o laçameto de balsas salva vdas e o mpacto das odas em estruturas oceâcas como plataformas de petróleo e em cas, quebra-mares e outras estruturas portuáras. Recetemete têm se desevolvdo uma famíla de métodos umércos que dspesam o uso de malhas Grd-less ou Meshless Methods, cohecdos como Métodos de Partículas - em que cada partícula-fludo segue uma formulação lagragaa. Neste trabalho é desevolvdo um método de partículas para aalsar o problema de teração fludo-estrutura, mas partcularmete o feômeo de mpacto hdrodâmco. Não havedo a ecessdade de ós este método as deformações topológcas das terfaces podem ser completamete aalsadas.. EQUAÇÕES DE GOVERNO As equações de Euler e Naver-Stokes descrevem o movmeto de um fludo em R ( ou 3). Em essas equações as varáves a serem ecotradas são um vetor de velocdade u ( x,t) ( u ( x,t) ) R p x,t R pressão ( ) x R t e a defdos para a posção e. Aqu restrgmos a ateção para fludos compressíves, assm às equações de Naver- Stokes são dadas por, u + t dv u u u x u x p ν u + f x ( x,t) ( x R,t ) ( x R, t ) () () sedo as codções cas: u x, u x x R (3) ( ) ( ) ( )

2 Nas equações aterores, f ( x, t) são as compoetes da força extera aplcada e cohecda sobre o fludo (por exemplo a gravdade), ν é um coefcete postvo (a vscosdade), é o x u laplacao o espaço das varáves e é a velocdade cal cohecda. As equações de Euler são (),() e (3) com ν gual a zero. A Eq. () é ustamete a Le de Newto f m a para um elemeto de fludo sueto à força extera f f x, t e às forças que ( ( )) surgem da pressão e da frção. A Eq. () sgfca que o fludo é cosderado mcompresvel. Em uma formulação lagragaa, para fludos compressíves e ão vscosos, as equações de coservação da massa e coservação do mometo, sem o termo de vscosdade, tomam a forma das Eq. (4), a segur, ρ t Du P + f Dt ρ (4) Ode ρ,u, P e f represetam a desdade, a velocdade, a pressão e as forças exteras atuado sobre o fludo, correspodetemete. As Eq. (4) são as equações de Naver-Stoke em coordeadas materas evolvedo termos de coveção que são calculados dretamete pelo movmeto das partículas. No processo de dscretzação das Eq. (4) todos os termos expressados por operadores dferecas são substtuídos pelas terações etre as partículas. Com este fm serão apresetados mas adate modelos de teração etre estas partículas. Neste trabalho e para a aplcação do problema de teração fludo-estrutura, utlza-se a formulação lagragaa das equações de Naver- Stoke, Eq. (4). 3. MÉTODO DE PARTÍCULAS Formulação Básca O método que será usado para examar o problema de mpacto tem orgem o método SPH (Smoothed Partcle Hydrodyamc), desevolvdo os 7 s por Ggold e Moagha [] e Lucy [], como uma tetatva para modelar físca cotua, evtado as lmtações do método das dferecas ftas. A dscretzação espacal das varáves de estado é proporcoada por um couto de potos. Em lugar de grds, o método utlza uma fução kerel para terpolar as varáves do campo em qualquer poto do domío. Assm, uma estmação ( ) do valor de uma fução f x dada em forma cotua por: f ( x) f ( x' ) w( x x',h) dx' a localzação x é (5) Ode deota a aproxmação kerel, h é um parâmetro que defe o tamaho do suporte do kerel, cohecdo como o comprmeto de suavdade e x' é a ova varável depedete. ( ) Quado a fução f x é cohecda só um umero fto de potos o valor de uma varável uma partícula, deotada pelo subdce, é calculado somado as cotbuções de um couto de partículas vzhas, deotadas pelo super dce e para o qual o kerel é dferete de zero. f N m ( x ) f ( x ) w( x x, h ρ ) (6) Para completar a dscretzação é ecessáro defr a fução kerel. Dferetes fuções kerel tem sdo dscutdas a lteratura, desde poloas até gaussaas, como podem ser vsta em Moagha e Ggold [3], Koshzuka et. al. [4], Koshzuka et. al. [5] e Koshzuka e Oka [6]. SPH tem sdo calmete aplcado para fludos compressíves, á um outro método de partículas, o MPS (Movg Partcle Sem-Implct Method), fo proposto para smular fludos compressíves. Uma extesão deste últmo método é dscutda este estudo para o tratameto de problemas de teração fludo-estrutura. Método de Partículas MPS O método de partículas MPS fo apresetado calmete por Koshzuka e Oka [6]. Este método de atureza lagragaa, fo desevolvdo para resolver as equações de govero de fludos compressíves. O MPS requer somete das propredades dos fludos, sua posção e velocdade cal. Na avalação da compresbldade, faz-se uso de um algortmo sem-mplícto. O MPS dspesa o uso de malhas, dscretzado o espaço por termédo de partículas (potos lagragaos), ode a solução será cohecda. Todas as varáves do problema são calculadas esses potos, fazedo uso de uma fução kerel de terpolação. Neste estudo uma partícula terage com as outras da sua vzhaça e delmtada pela fução de peso kerel w(r) gual a:

3 re w( r) r ( r < r ) ( r e r) e (7) Ode r é a dstâca etre duas partículas e r e é o rao da área de teração como é mostrado a fgura. [ ] λ w( r )r dv w( r ) dv () V V O teorema do lmte cetral garate que a solução umérca se aproxme da solução aalítca quado o aumeto da varâca é a gual ao da solução aalítca. Este modelo laplacao é aplcado à equação de posso de pressão e aos termos de dfusão as equações de Naver-Stoke. O Algortmo r re O algortmo sem-mplícto utlzado é apresetado a fgura. Todos os termos exceto os de gradete de pressão são calculados explctamete, obtedo-se os valores temporas da velocdade ecessáros uto com as posções das partículas, também temporas, para o cálculo da pressão, equação de Posso, Eq. (). Fgura : Área de Iteração Modelos de Iteração etre Partículas Com a faldade de avalar o termo de gradete da pressão a Eq. (4), é ecessáro calcular os vetores gradetes as posções das partículas. Para sto, os vetores gradetes etre as partículas e sua partícula vzha são poderados com a fução kerel, Eq. (7), e assm obtêm-se o vetor gradete a partícula, segudo a Eq. (8). ( d φ φ φ ( r r )w r r ) (8) r r ode d é o úmero de dmesões do espaço, posção da partícula, e o a desdade do úmero de partículas a cofguração cal. w ( ) r r r a (9) O laplacao é um operador represetado dfusão. No método MPS, dfusão é modelada pela dstrbução de uma quatdade a partr de uma partícula para suas partículas vzhas usado a fução kerel. Assm, o modelo laplacao pode ser expresso pela Eq. (). d φ [ φ φw( r r ) λ ], () Na Eq. (), o parâmetro λ represeta um cremeto da varâca e é gual daquele da solução aalítca da Eq. (). ode P + ρ t () é a desdade do úmero de partículas em toro da partícula. Fo utlzado o método de gradete cougado pré-codcoado completo de Cholesky (ICCG), para a solução das EDP da Eq. (). Icremeto de tempo Verfca Crtéro de Parada Fm Iíco Dados de Etrada Cálculo Explcto Provsoro: u u + t r r + u t Cálculo de : w r r ( ) Resolve Equação de Posso de Pressão + ρ P Cálculo de : u t + u P ρ Correção do Movmeto da Partcula: u u + u t r r + u t Fgura : Algortmo Sem-Implícto de Partículas MPS

4 4. ENSAIOS NUMÉRICOS E RESULTADOS Esaos umércos do feômeo de mpacto hdrodâmco foram realzados utlzado o método MPS. Os resultados foram comparados com esaos expermetas á efetuados e valdados por Myag [7] o taque de provas do laboratóro de Egehara Naval da EPUSP. O procedmeto expermetal fo executado laçado o modelo de mpacto bdmesoal a superfíce do taque em queda lvre a partr de uma altura determada. O modelo fo strumetado com trasdutores de pressão como mostra a fgura 3, regstrado as pressões dâmcas potuas a face de mpacto do modelo. Fgura 3: Foto do modelo de cuha de âgulo de deadrse β 45 - [7] O modelo de mpacto utlzado a comparação fo uma cuha, cofeccoada em acrílco trasparete com uma massa de 4,8 Kg e um âgulo de elevação em relação à horzotal de 45 o. A massa total cludo o modelo e o couto carro haste é de 8 kg. Smulou-se umercamete o feômeo de cotato e teração de um fluído por meo do método MPS. A cuha e o taque foram represetados por 4848 e 566 partículas respectvamete, utlzado-se a mesma massa e dmesões usadas o procedmeto expermetal de Myag [7]. No método MPS as paredes de cotoro são represetadas por um arrao de partículas fxas com velocdades guas a zero. As paredes da esquerda, do fudo e da dreta são represetadas por 6 partículas. A dstâca etre as duas partículas vzhas é de. x - m. A fgura 4 lustra o modelo expermetal e umérco da cuha, detalhado as localzações de tomadas das pressões. Os parâmetros de cálculo da smulação umérca são lstados a tabela. A comparação da smulação pelo método das partículas com uma magem do feômeo fotografada por Myag [7] é apresetada a fgura 5. Pode-se observar a semelhaça do cálculo umérco com o problema real. A fgura 6 represeta os resultados de séres temporas de pressão de mpacto da cuha de 45 o meddos em 5 dferetes localzações da face do modelo de mpacto, P a P5, a partr do procedmeto expermetal. A altura de queda h determa a velocdade de queda o state do mpacto a superfíce lvre. A fguras 7 lustra os resultados as mesmas localzações a superfíce da cuha, mas desta vez, utlzado o procedmeto umérco dervado do método MPS. A velocdade de queda da cuha é represetada umercamete pela fgura Fgura 4: Modelo de cuha expermetal e umérco de âgulo de deadrse β 45 Tabela : Parâmetros da smulação Máx. Número de Iterações Máx. Icremeto de Tempo.e-3 Covergêca.e-6 Máx. Iteração p/ Rota da Pressão Mí. Iteração p/ Rota da Pressão Dstâca méda etre Partículas.e- Rao de Iteração (Partcle Number Desty). Rao de Iteração (Laplacao) 4. Dstâca Mí. p/ colsão.5 Número Drchlet.97

5 Posção Fgura 5: Comparação de uma magem do procedmeto expermetal versus smulação umérca do feômeo de mpacto (t.45 seg) Posção Fgura 6: Sére temporal da pressão de mpacto - Cuha de β45º - h,5m - V mp,5 m/s Myag (3) Posção 3

6 Posção CONCLUSÕES Neste trabalho fo utlzado um método de partículas proveete do método MPS para a smulação do feômeo de mpacto hdrodâmco. A técca fo baseada em uma dscretzação dos operadores dferecas, presetes as equações de Naver-Stoke, utlzado modelos de teração etre partículas. Estabelecedo um cofroto vsual etre a smulação umérca e a expermetal a fgura 5, observa-se a semelhaça a fragmetação do fludo assm como a deformação da superfíce lvre Comparado agora os resultados umércos apresetados a fgura 7, com os esaos expermetas do procedmeto valdado por Myag (3), pode se observar alguma dvergêca os valores pcos das pressões, sto se deve as osclações umércas mplíctas e própras do método, mas pode-se coclur que a meda dos valores acompaham os obtdos expermetalmete, fgura 6. A velocdade de mpacto, represetada umercamete a fgura 8, apresetou um erro em toro de % do valor do esao expermetal. A cotudade deste estudo cocetra-se a extesão do método MPS a fm de reduzr as osclações os dados do cálculo das pressões as partículas que represetam sóldos. REFERÊNCIAS Posção 5 [] Ggold, A., Moagha, J.J. Smoothed partcle hydrodyamc: theory ad applcato to o-sphercal stars. Mo. Not. R. Astr. Soc. 8, , 977. Fgura 7: Resultados das smulações umércas as dferetes localzações Cuha de β45º - h,5m Velocdade (m/s) Vmp,5 m/s [] Lucy, L.B., A umercal approach to the testg of fuso process. Astroomcal Joural, Vol. 88, pp. 3-4, 977. [3] Moagha J.J. e Ggold, R. A., Shock smulato by the partcle method SPH. Joural of Computatoal Physcs Vol. 5, pp , Fgura 8: Velocdade de queda da cuha de 45º - Vmp.3 m/s [4] Koshzuka, H. Tamako, e Y. Oka, A partcle method for smulatg compressble Vscous Flow. Proc. Exteded Abstract 3 rd. World Cogress Computatoal Mechacs (WCCM III), p. 88, Chba, Japa, 994 [5] Koshzuka, H. Tamako e Y. Oka, A partcle method for compressble vscous flow wth flud fragmetato. Comput. Flud Dyamcs, J., 4, 9, 995. [6] Koshzuka S. e Oka Y., Movg partcle semmplct method for fragmetato of compressble flud. Nucl Eg Scece 3, 4-434, 996. [7] Myag, Carlos, Aálse expermetal e umérca de mpacto hdrodâmco bdmesoal. Dssertação de Mestrado, Escola Poltécca da USP, 3.