Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto Politécnico, , Nova Friburgo, RJ, Brasil

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1 VI CONGREO NACIONAL DE ENGENHARIA MECÂNICA VI NATIONAL CONGRE OF MECHANICAL ENGINEERING 8 a de agosto de Campa Grade Paraíba - Brasl August 8, Campa Grade Paraíba Brazl OLUÇÕE NUMÉRICA PARA O PROBLEMA DE BURGER E BUCKLEY-LEVERETT: UMA COMPARAÇÃO DO MÉTODO COMPOTO COM O MÉTODO TVD COM LIMITADORE DE FLUXO Barbosa N.M., mbarbosa@prj.uerj.br Nélo Hederso, elo@prj.uerj.br Uversdade do Estado do Ro de Jaero, Isttuto Poltécco, 863-5, Nova Frburgo, RJ, Brasl Resumo: O presete trabalho fo motvado pelo fato de que um dos maores desafos a smulação da recuperação secudára de petróleo resde a captura das odas de choque, eretes às ão leardades do modelo usado para descrever o processo de jeção de água. Objetvado a captura desse feômeo físco, aqu testa-se um esquema de dfereças ftas composto, deomado. Essa técca fo troduzdo recetemete a lteratura de métodos umércos por Lska e Wedroff (998). A déa por trás do método composto é relatvamete smples. De fato, essecalmete, essa técca emprega quatro passos do esquema clásscco de La-Wedroff (LW) segudos de uma aplcação de outro método clássco, o método de La-Fredrchs (LF). Dessa forma, o esquema LF, que gera soluções satsfazedo o prcípo da etropa, fucoa como um fltro para o método LW, o qual é de seguda ordem o espaço. Duas dferetes les de coservação foram cosderadas: a equação de Burgers e a de Buckley-Leverett. Essa últma é comumete utlzada a modelagem do escoameto mscível água-óleo em meos porosos, ode os fludos são compressíves e os efetos de pressão caplar são desprezados. As soluções umércas para o problema de Cauchy para essas duas equações hperbólcas ão leares (geradas pelo método ) foram comparadas com soluções aalítcas e com soluções obtdas por outros esquemas umércos. Detre tas soluções umércas, destacamos aqu algumas computadas com métodos do tpo TVD (Total Varato Dmshg), que utlzam lmtadores de fluo. Como resultado prcpal, fo observado que o método, com restrções o passo de tempo mpostas pela codção CFL, é capaz de capturar odas de choque que represetam soluções descotíuas das equações dferecas paracas, além de descrever de forma aproprada soluções que costtuem odas de rarefação, elmado dessa forma as bem cohecdas osclações espúras e soluções ecessvamete dfusvas, típcas de mutos esquemas de dfereças ftas. Palavras-chave: Equação hperbólca ão lear, Método TVD, Esquema composto, Método.. INTRODUÇÃO Durate a etração de petróleo, para aumetar a produção de óleo, água é jetada o reservatóro através de poços específcos deomados de poços de jeção. Em geral, esse processo de recuperação provoca um escoameto mscível do tpo água-óleo, que calmete desloca o óleo a dreção de outros poços destados à etração de fludos, deomados de poços de produção, veja a Fg.. Fgura : Escoameto de Petróleo em meos porosos

2 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a Para smular esse processo de egehara são resolvdas equações dferecas parcas que costtuem o chamado modelo mscível para escoametos bfáscos em meos porosos. Essecalmete, esse modelo é formado pelas equações de coservação de massa das fases, água e óleo, jutamete com a cohecda le de Darcy, veja Peacema (977) e Azz (979), por eemplo. Desprezado-se os efetos da dfusão físca, oruda da pressão caplar, e cosderado-se um modelo ão lear para o chamado fluo fracoáro, a equação de coservação de massa da fase água se reduz a uma le de coservação hperbólca ão lear. Na sua forma admesoal, essa le de coservação pode ser escrta como segue: f ( ) + = t, () ode = (, t) é a saturação da fase água e a fução f = f ( (, t)) represeta o fluo fracoáro, a qual, além de ão lear, pode ão ser covea. Na Eq. (), os parâmetros e t deotam, respectvamete, as varáves espacal e temporal as suas formas admesoas. No problema de Buckley e Leverett (94), formulado para estudar o deslocameto da frete de água durate o processo de recuperação secudára de petróleo, geralmete utlza-se a descrção do fluo fracoáro o que se costuma chamar de modelo de toe (97), dado por f ( ) =, () + c ( ) ode c = µ agua µ oleo é a razão de vscosdade etre o fludo molhate (água) e o ão molhate (óleo). O gráfco dessa fução ão covea ecotra-se esboçado a Fg.. Aqu, a Eq. () com o fluo f ( ) descrto pela Eq. () será deomada equação de Buckley-Leverett. A cohecda equação de Burgers pode também ser obtda da Eq. (). Para sso, cosdera-se um fluo fracoáro coveo (veja a Fg. 3), defdo pela segute fução f ( ) =. (3).9.8 Fução de Fluo para o Modelo de toe's Fução de Fluo para o Modelo de Burgers Fução de Fluo f() Fução de Fluo f() c= c=.5 c= aturação () Fgura : Gráfco da fução de fluo para o problema Buckley-Leverett aturação () Fgura 3: Gráfco da fução de fluo para o problema de Burgers. Usado a equação de Buckley-Leverett, Welge (95) desevolveu uma solução aalítca para a chamada saturação de choque. Mas precsamete, ele mostrou como determar a saturação o poto de choque a partr da geometra da fução de fluo fracoáro. O trabalho de Welge (95) forece a segute relação: * * ( ) * ( ) f =. (4) df d * Na Eq. (4) o parâmetro deota a saturação de choque, também cohecda como saturação de corte. Para o modelo de toe, pode-se mostrar faclmete que

3 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a df d ( ) c( ) + c( ) =. (5) [ ] ubsttudo a Eq. (5) a Eq. (4) tem-se o valor da saturação de choque, o qual depede apeas da razão de vscosdade, sto é, * c = + c. (6) A solução de Welge é usada o presete trabalho para lustrar soluções aalítcas para o problema de Buckley- Leverett com codções cas descotíuas, as quas serão descrtas a próma seção. Para a equação de Burgers, se cosdera aqu soluções aalítcas de dos problemas de Cauchy com dferetes dados cas. O prmero problema eemplo apreseta a segute codção cal, se (,) =, se > (7) A Fg. 4 esboça a fução de fluo defda a regão de teresse deste prmero eemplo, efatzado a localzação de um choque. Para este problema, as retas característcas são lustradas a Fg. 5, ode se observa a formação de choque, típca de uma solução descotíua. Tal solução aalítca descotíua se ecotra resumda a Eq. (8). Fgura 4: Fução de fluo fracoáro em uma regão de teresse. (, ) t, se t > e < t 4 =, se t > e > t 4 (8)

4 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a Fgura 5: Retas característcas para o problema de Burgers com dados cas dcados a Eq. (7). O segudo eemplo teste para a equação de Burgers utlza a segute codção cal:, (, ) =, <, > (9) As retas característcas para este problema são mostradas a Fg. 6, ode se observa um leque de rarefação segudo de uma oda de choque. A solução aalítca é dada por, < + t, < < t (, t) = t, < < t 4, t < 4 () Fgura 6 Retas característcas para o problema de Burgers com codção cal dada a Eq. (9). O objetvo prcpal deste trabalho é testar o esquema composto a resolução umérca das les de coservação hperbólcas ão leares descrtas acma, vsado à captura de odas de choque, provavelmete segudas por uma rarefação. Comparações são fetas com métodos do tpo TVD com lmtadores de fluo, tato para o problema de Buckley-Leverett como para o de Burgers.

5 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a. METODOLOGIA Nesta seção são descrtos os esquemas umércos utlzados o presete trabalho. Tas esquemas são apresetados em cosoâca com o problema de Buckley-Leverett possudo as segutes codções cas descotíuas: t + ( f ( )) (,) = ; < < +, t > L se = R se >.. A Grade de Dscretzação e a Formulação Coservatva Cosdera-se o domío espacal dvddo em células deotadas por Ω = [ ] /, / (). Assm, obtém-se uma malha uforme de comprmeto = + / para cada célula. O domío temporal é dscretzado utlzado-se / passos de tempo costates, deotados por t, de modo que = t represeta o ível de tempo. Nesta dscretzação, é o cetro da -ésma célula e os bordos do tervalo [ ] O valor médo de (, t) em Ω = [ ] /, / /, o state de tempo / t t são os seus vértces. t = é dado por + /, / (, t ) d = ( t ) Ω d () d dt A le de coservação escalar restrta ao tervalo Ω = [ ] ( t) d = F( (, t) ) F( (, t) ) pode ser escrta a segute forma: /, /, / / (3) Ω Itegrado a Eq.(3) ao logo do tervalo de tempo t, obtém-se Ω t t, + / / Ω t t + + ( t ) d (, t ) d = F( (, t) ) dt F( (, t) ) dt. (4) Dvddo a Eq. (4) por e utlzado a defção descrta a Eq.(), tem-se t + t+ + = ( ( )) ( ( )) F /, t dt F /, t dt. (5) t t t Def-se o fluo médo o tervalo de tempo (para um determado bordo ± / ) como sedo Ξ ± / = t t + F ± / t ( (, t) ) dt. (6) Combado as Eqs. (5) e (6), obtém-se o que se costuma chamar de forma geral de um esquema (eplícto) coservatvo para o problema mostrado a Eq. (), dado por: t [ Ξ Ξ ] + / / =. (7).. Os Métodos Numércos de La-Fredrchs e La-Wedroff O método de La-Fredrchs (LF) é um esquema coservatvo clássco que possu precsão umérca de prmera ordem o espaço, veja Thomas (999) e Leveque (), por eemplo. Esse método costuma gerar solução umérca

6 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a com comportameto dfusvo, o qual tede a ser mtgado quado o úmero de Courat é mmzado. Esse esquema pode ser escrto a segute forma: t ( + ) + [ F F ] =, (8) + ode o fluo umérco assocado à Eq. (8) é t ( + F ) + [ ] Ξ. (9) / = F + O método de La-Wedroff (LW) é um esquema coservatvo com precsão de seguda ordem o espaço, veja ovamete Thomas (999) e Leveque (), por eemplo. Tal método é muto utlzado em problemas de escoametos em caas, desde que as odas de choque ão sejam freqüetes. Para problemas cujas soluções apresetam severas descotudades, o método LW troduz osclações espúras as promdades do choque, tas osclações podem ser reduzdas se o úmero de Courat utlzado ão for muto dstate da udade. O fluo umérco relacoado com esse esquema é dado por t ( + F ) + A [ ] Ξ / = F + /, () ode ( ) / F A + + /. Costuma-se empregar a segute apromação: A + / F. () Dessa forma, o esquema LW pode ser escrto como t t ( F + F ) + [ A ( F F ) A ( F F )] + / / = () As Fgs. 7 e 9 lustram soluções umércas do problema mostrado a Eq.(), obtdas com os métodos LF e LW L para dferetes tempos e dferetes razões de vscosdade. Foram utlzados os valores de saturação cas =.5 e R L R =., ode faz o papel da saturação da água o poto de jeção, e represeta essa saturação o poto de etração..9.8 LW LF.7.6 aturação () Comprmeto do Reseratóro [cm] Fgura 7: oluções geradas pelos métodos LW e LF para o problema de Buckley-Leverett em t = 36 com uma grade formada por células, ode c = e t =.

7 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a.9.8 LW LF.7.6 aturação () Comprmeto do Reservatóro [cm] Fgura 8: oluções geradas pelos métodos LW e LF para o problema de Buckley-Leverett em t = 9 com uma grade formada por células, ode c =.5 e t = 5..7 LW LF Comprmeto do Reservatóro [cm] Fgura 9: oluções geradas pelos métodos LW e LF para o problema de Buckley-Leverett em t = 9,com uma grade formada por células, ode c = e t =. Os resultados lustrados as Fgs. 7-9 mostram claramete as defcêcas dessas duas formulações. De fato, o método de La-Wedroff mostrou-se osclatóro as promdades do choque e o método de La-Fredrchs apresetou dfusão umérca. Como era de se esperar, as soluções são bem dsttas e varam quado se altera a razão de vscosdade..3. Esquema Composto O esquema composto é uma estratéga umérca elaborada recetemete por Lska e Wedroff (998), a qual tem como objetvo obter uma solução mas acurada e aproprada para a captura de choques, elmado as osclações espúras do esquema LW e a dfusão umérca do método LF. O é obtdo de uma composção dos esquemas de La-Wedroff e La-Fredrchs. Para essa composção, o método de La-Wedroff é modfcado para cotorar a egêca do cálculo da dervada da fução de fluo em cada passo de tempo, veja a Eq. (). A tal modfcação é cohecda como o método de La-Wedroff em duas etapas. A prmera etapa desse método modfcado é de predção, sedo dada por + / t / = ( + ) + f ( ) f ( ). (3) A seguda etapa é de correção e tem a forma do método das dfereças cetradas, como se vê a equação abao: + [ ( ) ( )] / F F / + t + = + / /. (4)

8 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a Nota-se que esse método modfcado utlza a estratéga das grades deslocadas, de forma que os valores da saturação os bordos das células os tempos médos são apeas cálculos termedáros, pos os valores efetvos da saturação são obtdos em cada ó da grade o tempo +. O método composto de Lska e Wedroff (998) utlza quatro passos do esquema de La-Wedroff (em duas etapas) segudos de uma aplcação do método de La-Fredrchs, o qual fucoa como um fltro para o esquema de seguda ordem aplcado ates. Nessa composção, o esquema de La-Fredrchs também trabalha em duas etapas. A prmera é a mesma mostrada a Eq. (3) e a seguda é escrta como segue: + + / + / t = ( / + 3/ ) + F ( / ) F ( 3/ ). (5) Em seguda, para torar mas claro o emprego de cada etapa do esquema composto, deota-se por L o operador W que defe o método de La-Wedroff em duas etapas e por L o operador do método de La-Fredrchs, também em F duas etapas. Assm, de uma forma geral, o operador Ψ deotará k etapas de k L segudas por uma aplcação de W L F. Usado essa otação, a estratéga geral do esquema composto LWLF-k de Lska e Wedroff pode agora ser descrta como Ψ = L o L o... ol. (6) ( k ) vezes k F W W Portato, a solução para o poto que se ecotra o ó, o ível de tempo +, é dada por + = Ψ k. (7) Baseados em testes computacoas, Lska e Wedroff (998) sugerram o valor k = 4, daí vem a deomação utlzada aqu e também o trabalho orgal de Lska e Wedroff. Deve ser efatzado que todos os resultados gerados com os esquemas empregados o presete trabalho respetaram rgorosamete a codção CFL descrta pela segute relação, veja Thomas (999) e Leveque (): t ma f. (8).4. Métodos do Tpo TVD com Lmtadores de Fluo Nesta seção resumem-se algus métodos do tpo TVD com lmtadores de fluo, coforme weby (984), Blut e Rub (99), Thomas (999) e Leveque (). Esses métodos também foram desevolvdos com o objetvo de evtar osclações espúras tpcamete ecotradas as soluções umércas geradas pelos esquemas clásscos. Tas métodos obedecem à segute dscretzação, + t ( / ) ( / ) f f + =. (9) Nota-se que a dscretzação do termo covectvo ( ) seguda ordem. O cálculo da saturação os potos médos, valores são obtdos por ϕ ( r + / ) ( ) / = + f w / fo obtda através de uma smples dfereça cetrada de / ±, represeta o grade dferecal desses métodos. Tas, (3) ode a fução ϕ (deomada de lmtador de fluo) depede de um parâmetro clação da saturação os bordos da célula [ ] /, /, como segue r / +. Esse parâmetro mede a razão de = / Ma, r. (3)

9 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a r / e é suave, espera-se que o parâmetro + se aprome da udade, por outro lado, a preseça de uma descotudade essa razão deve se afastar do valor utáro. Assm, usado a segute otação ϕ ( ) ( r ) ( / F + F = F + ), a partr das Eqs. (9) e (3), obtém-se o esquema: / / t = + F F ( / + / ) +. (3) Dferetes opções para a fução ϕ defem uma famíla de esquemas do tpo lmtadores de fluo. Assm, de acordo com weby (984), um membro dessa famíla dfere de outro pela escolha de ϕ ( r). A Tabela mostra algus lmtadores de fluo clásscos, veja Thomas (999). Tabela. Algus lmtadores de fluo. Fução ϕ ( r) Deomação { r } ϕ ( r) = ma,m(, ) MINMOD { r } ϕ ( r) = ma,m(, ) OHER { } ϕ ( r) = ma,m( r,( r + ),) MUCL { } ϕ ( r) = ma,m(, r), m(, r) UPERBEE 3. REULTADO 3.. Resultados Obtdos com o Esquema Composto Icalmete, cosderou-se o problema de Buckley-Leverett. Para esse problema, coforme a Eq. (), se tomou L R os valores = e =. As soluções umércas obtdas foram comparadas com as soluções de Welge (95), para as saturações de choque. As Fgs. -3 mostram os resultados umércos gerados pelo esquema para o problema de Buckley-Leverett em dferetes states de tempo. As Fgs. e lustram o efeto do refameto da grade. De fato, a Fg. fo gerada com uma grade relatvamete grossa, com 5 células e passo de tempo gual a. Por outro lado, a Fg. apreseta soluções umércas mas acuradas, obtdas com uma grade mas fa costtuída de 5 células e t = 7. Todos os resultados mostrados essas duas fguras foram obtdos com razão de vscosdade gual à udade, forecedo uma saturação de choque de Welge gual a.77. Em seguda, com uma grade mas fa, lustrou-se o efeto da razão de vscosdade sobre a solução do problema de Buckley-Leverett. Como se pode observar as Fgs. -3, a saturação de choque decresce à medda que a razão de vscosdade dmu. Em outras palavras, quato maor a vscosdade do óleo, com relação à da água, meor será o valor de saturação da água relacoado com o choque. Para c =.5 obteve-se uma saturação de choque gual a.577. Para c =. essa saturação assumu o valor.3. Passaremos a descrever os resultados obtdos a resolução da equação de Burges com o esquema, para os dos eemplos testes cosderados acma. Efatzamos que esses eemplos costtuem testes desafadores para qualquer esquema desevolvdo para capturar odas de choques. Em vsta dsso, como veremos, soluções umércas acuradas egrão uma grade muto fa. Para ateder essa egêca, cosderamos passos de tempo sufcetemete pequeos de modo que a codção CFL seja respetada. As Fgs. 4-6 mostram as soluções umércas obtdas para o prmero eemplo teste o state.8, para três dferetes grades. Para efeto de comparação, tas fguras também ebem as soluções aalítcas desses problemas. A Fg. 4 mostra claramete que a grade cal com 5 blocos ão é sufcete para descrever a solução desse problema de Burges. De fato, esse caso o esquema umérco forece uma solução etremamete dfusva, semelhate aquelas geradas pelo método LF. Coforme a Fg. 4, como era de se esperar esse feômeo de dfusão umérca pode ser mmzado com a utlzação de uma grade com 35 blocos. De fato, a Fg. 6 mostra que método é capaz de capturar o choque com uma grade formada de 45 blocos.

10 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a As Fgs. 7-9 ebem as soluções aalítcas e umércas do segudo problema teste para a equação de Burges o state gual a 3. Como mostrado a Fg. 6, a parte essecal da solução desse problema é uma rarefação seguda de uma oda de choque. Tal problema apreseta dfculdades maores do que o ateror. Observado-se as Fgs. 7-9, pode-se otar que soluções umércas satsfatóras só foram obtdas a partr de uma grade com 8 blocos. Usado blocos, o esquema fo capaz de gerar uma solução umérca bastate acetável. Em resumo, tas resultados umércos mostraram-se satsfatóros para todos os tempos cosderados. Como se pode ver, poucos potos são observados os saltos das soluções umércas. Além dsso, a dfusão umérca do esquema composto é pequea, desde que uma grade sufcetemete fa seja utlzada. aturação () Esquema Composto T=6s T=3s T=s T=7s T=4s T=s T=8s T=5s * Comprmeto do Reservatóro [cm] Fgura. olução do método para o problema de Buckley-Leverett com c =, 5 células e t =..9.8 Esquema Composto T=6s T=7s T=8s *.7 aturação () Comprmeto do Reservatóro [cm] Fgura. olução do método para o problema de Buckley-Leverett com c =, 5 células e t = Esquema Composto T=6s T=7s T=8s *.7 aturação () Comprmeto do Reservatóro [cm] Fgura. olução do método para o problema de Buckley-Leverett com c =.5, 5 células e t 7 =.

11 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a.9.8 Esquema Composto T=s T=4s T=7s *.7 aturação () Comprmeto do Reservatóro [cm] Fgura 3. olução do método para o problema de Buckley-Leverett com c =., 5 células e t 7 =. Problema de Burgers.5 olução Aalítca.4 aturação Fgura 4. Comparação da solução gerada pelo método LWLF- 4 com a solução aalítca do prmero problema de Burgers para uma grade com 5 células, o state.8. Problema de Burgers.5 olução Aalítca.4 aturação Fgura 5. Comparação da solução gerada pelo método com a solução aalítca do prmero problema de Burgers para uma grade com 35 células, o state.8.

12 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a Problema de Burgers.5 olução Aalítca.4 aturação Fgura 6. Comparação da solução gerada pelo método com a solução aalítca do prmero problema de Burgers para uma grade com 45 células, o state.8. Problema de Burgers.5.Aalítca.4 olução () Fgura 7. Comparação da solução gerada pelo método com a solução aalítca do segudo Problema de Burgers para uma grade com 4 células, o state gual a 3. Problema de Burgers.5.Aalítca.4 olução () Fgura 8. Comparação da solução gerada pelo método com a solução aalítca do segudo problema de Burgers para uma grade com 8 células, o state gual a 3.

13 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a Problema de Burgers.5.Aalítca.4 olução () Fgura 9. Comparação da solução gerada pelo método com a solução aalítca do segudo problema de Burgers para uma grade com células, o state gual a Comparação do Método com Métodos do Tpo TVD Nesta seção, com o objetvo de comparar o método com algus métodos do tpo TVD, cujos lmtadores de fluo são mostrados a Tabela, aborda-se ovamete a resolução da equação de Buckley-Leverett. Em vsta dsso, a solução aalítca de Welge (95) para a saturação de choque volta também a ser utlzada aqu. Para todas as smulações, se cosderou uma grade uforme com 35 células, sedo =.8. A fm de satsfazer a codção CFL, utlzou-se um passo de tempo sufcetemete pequeo, t =.5. Foram testados três lmtadores de fluo, os mas utlzados em problemas de petróleo: uperbee, Va Leer e Mmod. As Fgs. - comparam os resultados obtdos com os esquemas e TVD-uperbee, para três dferetes valores da razão de vscosdade:,.5 e.. Nota-se que em todos os casos a solução umérca gerada pelo método composto de Lska e Wedroff é superor aquela forecda pelo esquema uperbee, prcpalmete prómo à descotudade, ode se observa claramete que esse método TVD, ao cotráro do esquema, ão fo capaz de reproduzr a saturação de choque de Welge, para uma grade com 35 blocos. As Fgs. 3 e 4 comparam as soluções do esquema composto com as do método TVD de Va Leer, para dos dferetes valores da razão de vscosdade, e.. Os resultados ebdos as Fgs. 3 e 4 mostram que o esquema fo ovamete superor a um método TVD. Apesar do esquema de Va Leer ter apresetado resultados melhores do que o método uperbee, a Fg. 4 dea claro que esse esquema TVD também ão fo também capaz de capturar o valor da saturação de choque de Welge, pelo meos para a grade utlzada. Por outro lado, como se pode observar as Fgs. 5 e 6, o lmtador de fluo Mmod apresetou solução compatível com a do método. edo mas robusto que os outros lmtadores, o Mmod mostrou capacdade de capturar a solução aalítca de Welge (95), para uma grade com 35 blocos. As Tabelas e 3 mostram em detalhes os erros cometdos por cada esquema umérco cosderado esta aálse. Os cálculos para os erros relatvos mostrados essas tabelas foram fetos usado-se a segute fórmula * Numérco ERRO =, (33) * ode * é o valor aalítco da saturação de choque de Welge e Numérco deota o valor da saturação o poto de choque obtdo por um dos métodos umércos. Os resultados cotdos as Tabelas e 3 efatzam ovamete a superordade do esquema, segudo do lmtador Mmod.

14 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a.9.8 Comparação dos métodos a captura do choque UPERBEE-TVD *=.77 aturação Fgura. Comparação do método com o método uperbee, para c =..9.8 Comparação dos métodos a captura do choque UPERBEE-TVD *=.577 aturação Fgura. - Comparação do método com método uperbee, para c = Comparação dos métodos a captura do choque UPERBEE-TVD *=.3 aturação Fgura. Comparação do método com o método uperbee, para c =..

15 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a.9.8 Comparação dos métodos a captura do choque Va Leer-TVD *=.77 aturação Fgura 3. Comparação do método com o método de Va Leer, para c =..9.8 Comparação dos métodos a captura do choque Va Leer-TVD *=.3 aturação Fgura 4. Comparação do método com o método de Va Leer, para c = Comparação dos métodos para a captura do choque MINMOD-TVD *=.77.7 aturação Fgura 5. Comparação do método com o método Mmod, para c =.

16 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a.9.8 Comparação dos métodos para a captura do choque MINMOD-TVD *=.3.7 aturação Fgura 6. Comparação do método com o método Mmod, para c =.. Tabela. Valores da saturação o poto de choque: comparações usado c=. Tabela 3. Valores da saturação o poto de choque: comparações usado c= Tempo de Computação Aqu, refado-se a grade de dscretzação, foram calculados os tempos computacoas de processameto (em segudos) dos métodos TVD com os lmtadores de fluo uperbee e Mmod, e do método composto, todos para um mesmo problema de Buckley-Leverett. Tas resultados são mostrados a Tabela 4 e lustrados a Fg. 5. Nota-se que os tempos computacoas dos métodos TVD crescem learmete com o úmero de bloco a grade, matedo essecalmete a mesma taa de varação. O Método composto de Lska e Wedroff apreseta também um crescmeto lear o seu tempo computacoal, relatvo ao úmero de células a grade. No etato, a taa desse esquema composto parece ão mater-se costate. Apesar das dfereças dos tempos utlzados por esses métodos ão serrem muto acetuadas, supreedetemete o método composto fo mas efcete que os outros esquemas, para todas as grades testadas.

17 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a Tabela 4. Tempo computacoal em segudos Células uperbee Mmod Tempo Computacoal [s] UPERBEE MINMOD Células (N) Fgura 5. Tempo computacoal versus o úmero de células. 4. CONCLUÃO Neste trabalho fo testada uma metodologa para a solução umérca de les de coservação ão leares, costtuída de um esquema composto formulado por Lska e Wedroff (998), deomado. Tal esquema fo aplcado aos problemas de Buckley-Leverett e Burgers, vsado prcpalmete à smulação do escoameto mscível água-óleo em meos porosos e objetvado a captura de odas de choque. O esquema composto combou, de forma aproprada, os métodos de La-Fredrchs e La-Wedroff, de modo que o prmero fucoou como um fltro para o método de La-Wedroff. Os resultados foram satsfatóros, uma vez que as soluções obtdas ão apresetaram osclações espúras típcas do esquema de La-Wedroff e em tão pouco foram ecessvamete dfusvas, como comumete ocorre com os resultados gerados pelo método de La-Fredrchs. Dessa forma, se obteve valores da saturação o poto de choque bem prómos aos valores ecotrados aaltcamete pela abordagem de Welge (95). Assm, o esquema se mostrou um método com perspectvas váves para a smulação do escoameto mscível em meos porosos. O método composto apresetou superordade com relação a dos métodos do tpo TVD, com lmtadores de fluo, comumete usados a smulação de reservatóros de petróleo, o lmtador uperbee e o de Va Leer. O lmtador de fluo uperbee obteve um valor de saturação o poto de choque superor ao valor aalítco de Welge. Por outro lado, o método composto de Lska e Wedroff e o TVD com o lmtador de fluo Mmod obtveram resultados satsfatóros a captura de odas de choque. Devdo aos bos resultados obtdos aqu, recomeda-se a utlzação do método composto de Lska e Wedroff a resolução umérca do problema de Buckley-Leverett udmesoal. Recomeda-se também um estudo futuro do desempeho desse método composto aplcado aos problemas de Buckley-Leverett multdmesoas.

18 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a NOMECLATURA c α razão de vscosdade f fução de fluo fracoára do fludo α = ( w,o) k permeabldade efetva L F abrevação do método de La-Fredrchs L W abrevação do método de La-Wedroff LWLF k abrevação do método composto r parâmetro do lmtador de fluo saturação cal ou resdual w * w t TVD ou, saturação do fludo água ou * valor da saturação da água o poto de choque state de tempo abrevação para Total Varato Dmshg α = w,o u velocdade de Darcy para o fludo ( ) α u T velocdade total ( w u ~ V Letras gregas u + u ) o velocdade total dvdda pela a porosdade do meo velocdade do choque a codção de Rake-Hugoot varável espacal cremeto de uma fução t passo de tempo comprmeto da célula a dreção µ α vscosdade da fase α φ porosdade do meo ϕ ( r) lmtador de fluo Ψ operador defdo por (k-) etapa de L w segudo de uma aplcação do método Ξ fluo umérco Ω domío do reservatóro ubídces α relatvo ao fludo α, ( α = o, w com o = óleo e w = água ) relatvo a -ésma célula a dscretzação espacal L F AGRADECIMENTO Os autores agradecem à Fudação Carlos Chagas Flho de Apoo e Amparo à Pesqusa do Estado do Ro de Jaero (FAPERJ) e ao Isttuto Poltécco do Estado do Ro de Jaero (IPRJ/UERJ), pelo apoo e suporte facero. N. Hederso agradece também ao Procêca-UERJ e ao Coselho Nacoal de Desevolvmeto Cetífco e Tecológco (CNPq).

19 V I C o g re s s o N a c o a l d e E g e h a r a M e c â c a, 8 a d e A g o s to, C a mp a G ra d e - P a ra í b a REFERÊNCIA AZIZ, K.; ETTARI, A. Petroleum reservors smulato. Lodo: Appled cece, 979. BLUNT, M.; RUBIN, B. Implct flu lmtg schemes for petroleum reservor smulato. Joural of Computato Physcs,, 94, 99. BUCKLEY,. E.; LEVERETT, M. C. Mechasm of flud dsplacemet sads. Tras. AIME, 46, 7, 94. LEVEQUE, R.J. Fte volume methods for hyperbolc problems. Cambrdge: Cambrdge Uversty Press,. Cambrdge Tets Appled Mathematcs. LIKA, R.; WENDROFF, B. Composte schemes for coservato laws. ocety for Idustral ad Appled Mathematcs, v. 35,. 6, 998. PEACEMAN, D.W. Fudametals of umercal reservor smulato. New York: Elsever, 977. TONE, H. L. Probablty model for estmatg three-phase relatve permeablty. Tras. PE of AIME, v. 49, p. 4-8, 97. WEBY, P. K. Hgh resoluto schemes usg flu lmters for hyperbolc coservato laws. IAM Joural of Numercal Aalyss, v.,.5, 984. THOMA, J. W. Numercal partal dfferetal equatos: coservato laws ad ellptc equatos. New York: prger, 999. Tets Appled Mathematcs, 33. WELGE, H. J. A smplfed method for computg ol recovery by gas or water drve. Tras. AIME,. 95, p. 9-99, 95. NUMERICAL OLUTION TO THE BURGER AND BUCKLEY- LEVERETT PROBLEM: A COMPARION OF THE COMPOITE METHOD WITH TVD' METHOD WITH FLUX LIMITER Barbosa N.M., mbarbosa@prj.uerj.br Luz Nelo Hederso, elo@prj.uerj.br Uversdade do Estado do Ro de Jaero, Isttuto Poltécco, 863-5, Nova Frburgo, RJ, Brazl Abstract: The preset work was motvated by the fact that oe of the bggest challeges the smulato of the secudary petroleum recuperato resdes the capture of shock waves, heret to the olearty of the used model to descrbe the water jecto process. Objectfyg the capture of ths physcal pheomeum, here a composte scheme of fte dffereces (called ) s tested. Ths techque was troduced recetly the lterature of umeral methods by Lska ad Wedroff (998). The dea behd the composte method s relatvely smple. I fact, essetally, ths techque uses four steps of the classcal scheme of La-Wedroff (LW), followed by oe applcato of aother classcal method, the scheme of La-Fredrchs (LF). I that way, LF scheme, whch geerates solutos satsfyg the etropy prcple, works as a flter for LW method, whch s of secod order the space. Two dfferet coservato laws were cosdered here: the Burges equato ad the Buckley-Leverett equato. Ths last oe s commoly used modelg of the water-ol mscble flow porous meda, where the fluds are compressble ad the effects of capllary pressure are despsed. The umercal solutos for the Cauchy problem (geerated by techque), volvg these two equatos, were compared wth aalytc solutos ad wth solutos obtaed by other umercal schemes. Amog such umercal solutos, we hghlghted some solutos computed wth TVD (Total Varato Dmshg) methods, that use flow lmters. As ma result, t was observed that method, wth the tme step costraed by CFL codto, s capable to capture shock waves, that represet dscotuous solutos of the dfferetal parcal equatos, moreover method adequately descrbes the solutos that costtute rarefacto waves, elmatg, that way, the well-kow spurous oscllatos ad the ecessvely dfusve solutos, typcal of may fte dfferece schemes. Keywords: Nolear hyperbolc equato, TVD method, Composte scheme, method.