PROBLEMA DE INCERTEZA EM SISTEMAS DINÂMICOS UTILIZANDO DEFUZZIFICAÇÃO PELO CENTROIDE

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1 POSMEC 205 Smpóso do Programa de Pós-Graduação em Egehara Mecâca Faculdade de Egehara Mecâca Uversdade Federal de Uberlâda 8 e 9 de Novembro de 205, Uberlâda - MG PROBLEM DE INCERTEZ EM SISTEMS DINÂMICOS UTILIZNDO DEFUZZIFICÇÃO PELO CENTROIDE Nathal Vega Cabrera, athy232_@hotmal.com, athyvc232@gmal.com Valder Steffe Júor, vsteffe@mecaca.ufu.br Resumo. Este trabalho apreseta uma metodologa para a aálse das certezas os sstemas mecâcos. s certezas paramétrcas estão sedo modelados através das varáves fuzzy mostrado resultados prelmares promssores. Propõe-se uma abordagem dos cojutos fuzzy tpo e tpo 2 e a aplcação do algortmo de Kark-Medel e o Cetrode como técca de defuzzfcação. Palavras chave: álse de Icertezas, Varáves fuzzy, Cojutos Fuzzy Tpo e Tpo 2, lgortmo de Kark-Medel, Cetrode.. INTRODUÇÃO defuzzfcação é uma fase mportate da lógca fuzzy. O defuzzfcador é que pesa as dversas respostas forecdas pelas regras lógcas e atrbu à saída um úmero. Esse úmero é que drá o que é mas pertete de fazer e com que grau. Essa poderação de respostas pode ser realzada por dversos métodos. Essa fase é cohecda também como máqua de ferêca fuzzy e segue os segutes passos para obter o resultado da ferêca para um cojuto de fatos: fatos com premssas (atecedetes); grau de compatbldade de cada regra; creça em cada regra: agregação. Os dos métodos mas mportates são: método baseado o cetro de massa e método baseado a méda dos mámos das fuções de pertêca, também cohecdo como Mamda. No presete trabalho, utlzamos a defuzzfcação pelo Cetrode, por este método ecotra-se o valor umérco o eo mas pertete. Etão, voltado às fuções de pertêca elaboradas pelas regras, descobre-se o sgfcado da defuzzfcação em termos das varáves lguístcas. 2. NÁLISE DE SISTEMS DINÂMICOS COM PRÂMETROS FUZZY 2.. Cojutos fuzzy tpo Defção. Um subcojuto fuzzy do uverso X é uma fução de pertêca μ que, a cada elemeto de X, assoca um úmero μ() etre zero e um, chamado de grau de pertêca de a, o qual é deotado por: : X [0,] () Os valores μ () = e μ () = 0 dcam, respectvamete, a pertêca plea e a ão pertêca do elemeto a. Defção 2. Seja um cojuto fuzzy e α (0, ]. Defmos como α ível de ao cojuto, [ ] X : (2) Defção 3. Suporte de um cojuto fuzzy são todos os elemetos de X que têm grau de pertêca dferete de zero em e deotamos por supp(). supp() X : 0 (3) Defmos o ível zero de um cojuto fuzzy, como o fecho do suporte de, sto é, [] 0 supp() (4) Defção 4. Seja um subcojuto ão vazo de um cojuto parcalmete ordeado E. o meor dos lmtes superores de dá-se o ome de supremo de que é dcado por sup.

2 Nathal V. Cabrera, Valder Steffe Jr. Problema de Icerteza em Sstemas Dâmcos utlzado defuzzfcação pelo Cetrode Prcípo da Etesão de Zadeh: Sejam X e Y dos uversos ão vazos e uma fução f: X Y. Dado um cojuto fuzzy D X, o cojuto fuzzy f (D) Y, com fução de pertêca dada por: y) sup f y f D ( { : ( ) } ( ) 0, ( ), D se { : f ( ) y} caso cotráro (5) é chamada de Prcípo da Etesão de Zadeh de D por f. Note que f (D) = f(d) se D é um cojuto clássco de X. Proposção. Sejam X e Y espaços métrcos ão vazos, D um cojuto fuzzy de X e f X Y uma fução cotíua. Etão para cada 0 α, [f (D)] α = f([d] α ). Este resultado dca que os α - íves do cojuto fuzzy, obtdos pelo Prcípo de Etesão de Zadeh, cocdem com as mages dos α - íves pela fução f. Defção 5. O Cetro de Gravdade (CG) é o método de defuzzfcação mas comum, a qual, para um domío dscreto, é calculado da segute forma: CG ( z ) z ( z ) 2.2. Cojutos fuzzy tpo 2, é o úmero de potos através do qual o domío é dscretzado. (6) Defção 6. teora de cojutos fuzzy tpo 2 fo troduzda por Lotf Zadeh em 975 como uma etesão do cojuto fuzzy tradcoal. Um cojuto fuzzy tpo 2, sobre X, é caracterzado por uma fução de pertêca tpo 2, μ (, u), ode X e u J [0, ], ou seja, {((, u), (, u)) / X, u J [0,]}, ode 0 (, u). (7) Se (, u), como mostra a Fg. (). u, X, J o cojuto fuzzy tpo 2 é chamado de cojuto fuzzy tpo 2 tervalar, tal Fgura. Cojuto fuzzy tpo 2 tervalar. Defção7. s fuções de pertêca prmáras do cojuto fuzzy tpo 2 são defdos por (J, X) e sua certeza é represetado pela Maca de Icerteza (FOU) que é defdo como a uão de todas as pertêcas prmáras, dado por, FOU ( ~ ) (, ), J = [J, J ], (8) X J

3 ENEBI 205 Ecotro Nacoal de Egehara Bomecâca Defção 8. Um cojuto fuzzy tpo 2 é delmtado por uma fução de pertêca tpo superor [Medel et. al, 2006] que é represetada a forma μ (), X e uma fução de pertêca feror que é a fução mas tera que lmta a FOU( ) e é represetada a forma de μ (), X, dadas por () (, J ), ( ) X (, J ) (9) X Prcípo de Etesão de Zadeh para Cojutos Fuzzy Tpo 2 Itervalar. Seja X = X X o produto cartesao de X, =,, e sejam cojutos fuzzy tpo 2 tervalar, defdo em cada de X, =,,, respectvamete. lém dsto, seja Y outro cojuto uverso e B Y, um cojuto fuzzy tpo 2 tervalar tal que e B = f(,, ), ode f: X Y é uma aplcação moótoa. Etão o Prcípo da Etesão de Zadeh para cojutos fuzzy tpo 2 tervalar, é como segue: (y) [ sup m{ ~ ( ),..., ~ ( )}, sup m{ ~ ( ),..., ~ ( )}] (0) B (,..., ) f ( y) (,..., ) f ( y) ode y = f (,, ) [Hamraw, et. l, 200]. Fg. (2) represeta o Prcípo da Etesão de Zadeh para a fução de pertêca superor e feror de um cojuto fuzzy tpo 2 tervalar, ode f é uma fução moótoa. Utlzamos a Proposção para as fuções de pertêca superor μ e feror μ de um cojuto fuzzy tpo 2 tervalar com parâmetro fuzzy tragular. Fgura 2. Prcípo da Etesão de Zadeh para μ e μ de um cojuto fuzzy tpo 2 tervalar [Cabrera, N.V., 204]. 2.3 Cetrode de um Cojuto Fuzzy Tpo 2 Itervalar O algortmo de Kark-Medel é usado para calcular o cetrode de um cojuto fuzzy tpo 2 tervalar medate dos processos depedetes, a prmera para calcular o poto de etremdade esquerda do tervalo, C l, e o segudo para calcular sua etremdade dreta, C R, do mesmo tervalo. Fo proposto para calcular o tpo redutor de cojutos fuzzy tpo 2 tervalar. Este algortmo fo estudado teórco e epermetalmete, a fm de melhorar o seu desempeho em aplcações e dar uma maera eata para obter o cetrode (se estr), que é um tervalo fechado, de um cojuto fuzzy tpo 2 tervalar. Defção 9 Seja e um cojuto fuzzy tpo, dzemos que e é merso o cojuto, se, μ () μ e () μ (). () Na Fg. (3) vemos eemplos de cojutos fuzzy tpo, e, merso o cojuto tpo 2 tervalar.

4 Nathal V. Cabrera, Valder Steffe Jr. Problema de Icerteza em Sstemas Dâmcos utlzado defuzzfcação pelo Cetrode Fgura 3. Cojutos fuzzy tpo mersos em [Cabrera, N.V., 204]. Dado um cojuto fuzzy tpo 2 tervalar,, defdo em um cojuto X R com fução de pertêca μ () de suporte compacto, o cetrode, C( ), é a coleção de cetrodes de todos os cojutos mersos tpo [Medel J.M. e Wu, H., 2007]. Está provado que C( ) = [c L, c R ]. lém dsso, o valor defuzzfcado do cetróde é dado por: c L c C R (2) 2 3. SIMULÇÕES NUMÉRICS Nesta seção utlzaremos a técca de defuzzfcação do cetrode medate o algortmo de Kark- Medel [Cabrera, N.V., 204] para um sstema massa-mola-amortecedor. aplcação deste método é lustrada o sstema mecâco smples apresetado a segur, através de uma aálse o domío do tempo ode se cosdera certeza os parâmetros de rgdez e de amortecmeto. 3.. Sstema massa-mola-amortecedor O sstema da Fg. (4a) possu um grau de lberdade. Neste modelo cosderamos a certeza o coefcete de atrto e rgdez da mola represetada por c e k respectvamete. certeza os parâmetros é modelada por um úmero tragular fuzzy do tpo e do tpo 2 a Fg. (4b), ode m = 0:0Kg e k =< 0.9; ;. > N/m e c =< 0.05; 0.06; 0.07> Ns/m [Lara, F. e Steffe,V., 204]. a) Sstema massa-mola-amortecedor b) Parâmetros com certezas fuzzy: c e k Fgura 4. Sstema massa- mola-amortecedor com certeza fuzzy [Lara, F. e Steffe,V., 204]. O modelo do sstema massa-mola-amortecedor é represetado por: m ~ ( t) +c ~~ ( t) +k ~~ = f ( t ), ode ~ (t) é o deslocameto de massa e ~ ( t ) (3) é a respectva velocdade. fução de resposta em frequêca (FRF) do sstema, H(ω) a equação a segur, caracterza a relação etre a saída X(ω) em estado estacoáro e a etrada harmôca f(t) = F(ω)e ωt. X ( ) H( ) 2 ~ F( ) m c~ (4) k 3.2. Cálculo do Cetrode Eq. (4) permte ecotrar a solução do sstema de massa-mola-amortecedor em fução do tempo e com ajuda do software MTLB, obtemos as respostas do sstema a preseça de certezas fuzzy tpo 2 o domío de tempo como

5 ENEBI 205 Ecotro Nacoal de Egehara Bomecâca mostra a Fg. (5a), este gráfco também mostramos os valores defuzzfcados medate o cetrode Fg. (5b). Fg. (6) mostra o cálculo do cetrode para o tempo t= a) Resposta o domío do tempo b) Valores defuzzfcados Fgura 5. Defuzzfcação pelo cetrode. Fgura 6. Cálculo do cetrode para t= REFERÊNCIS Cabrera, N.V., 204, plcação da Etesão de Zadeh para Cojutos Fuzzy Tpo 2 Itervalar,Dsertação de Mestrado em Matemátca, Uversdade Federal de Uberlâda. Hamraw, H., Couplad, S. e R. Joh, 200 Novel lpha-cut Represetato for Type-2 Fuzzy Sets, Proc. of IEEE World Cogress o Computatoal Itellgece, Barceloa, Spa, pp Lara, F. e Steffe,V., 204, Problemas de Icertezas em Sstemas dâmcos utlzado Lógca Fuzzy, VIII Cogresso Nacoal de Egehara Mecâca, Uberlâda, MG. Medel, J.M., Joh, R. e Lu, F.T., 2006, Iterval Type-2 Fuzzy Logc Systems Made Smple, IEEE Trasactos o Fuzzy Systems, 4, No. 6, pp Medel J.M. e Wu, H., 2007, New results about the cetrod of a terval type-2 fuzzy set, cludg the cetrod of a fuzzy graule, Iformato Sceces, 77, pp GRDECIMENTOS Os autores agradecem ao Programa de Pós-Graduação em Egehara Mecâca da UFU. 6. BSTRCT Ths paper presets a methodology for ucertaty aalyss of mechacal systems. The parametrc ucertates are modeled usg a fuzzy varable approach. Prelmary results are show. We propose to cosder fuzzy sets of types. ad 2 together wth the applcato of the Kamk-Medel algorthm ad cetrod techque for deffuzfcato. 6. RESPONSBILIDDE PELS INFORMÇÕES Os autores são os úcos resposáves pelas formações cluídas este trabalho.