ANÁLISE DE INCERTEZAS E FUSÃO DE DADOS BASEADA EM ARITMÉTICA FUZZY PARA MEDIÇÃO DA VELOCIDADE DO VENTO UTILIZANDO TRANSDUTORES ULTRASÔNICOS

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1 ANÁLISE DE INCETEZAS E FUSÃO DE DADOS BASEADA EM AITMÉTICA FUZZY PAA MEDIÇÃO DA VELOCIDADE DO VENTO UTILIZANDO TANSDUTOES ULTASÔNICOS JUAN M. M. VILLANUEVA,2, ICADO TANSCHEIT E SEBASTIAN Y.C. CATUNDA 2 Departameto de Egehara de Elétrca, Potfca Uversdade Católca do o de Jaero, o de Jaero, J 2 Departameto de Egehara de Eletrcdade, Uversdade Federal do Marahão, Av. Dos Portugueses, s/, Campus do Bacaga São Luís MA, Brasl E-mals: juamv@ele.puc-ro.br, rcardo@ele.puc-ro.br, catuda@dee.ufma.br Abstract I ths work, a wd speed measuremet system based o data fuso of the tme-of-flght (ToF) formato s preseted. Ths formato s obtaed through threshold detecto (TH) ad phase dfferece (PD) techques. Fuzzy membershp fuctos are derved from ToF measuremet values ad represet measured values ad ther ucertates. Two data fuso methods are preseted based o the compatblty relatoshp betwee elemets to be combed ad usg weghts defed by the OWA (Order Weghted Average) operator. Ucertaty aalyss s carred out by quatfyg the fluece of each put parameter o the global fuso result. ToF data fuso values are determed cosderg several measured values usg the TH ad PD techques. Keywords Ultrasoc trasducer, tme of flght (ToF), data fuso, fuzzy arthmetc, ucertaty aalyss. esumo Neste trabalho, apreseta-se um sstema de medção da velocdade do veto baseado em fusão de dados das formações dos tempos de vôo (ToF) obtdas pelas téccas de detecção de lmar (TH) e da dfereça de fase (PD). A partr das medções dos ToF, são dervadas fuções de pertêca fuzzy que represetam as medções e suas certezas. Dos métodos de fusão de dados são apresetados baseados a relação de compatbldade etre os elemetos a serem fuddos e utlzado pesos defdos pelo operador OWA (Order Weghted Average). ealza-se uma aálse da certeza quatfcado a fluêca dvdual de cada parâmetro de etrada sobre o resultado global de fusão. Os valores de fusão do ToF cosderado váras medções depedetes são obtdas pelas téccas de TH e PD. Palavras-chave Trasdutores ultra-sôcos, tempo de vôo (ToF), fusão de dados, artmétca fuzzy, aálse de certezas Itrodução Trasdutores ultrasôcos ecotram mportates aplcações dustras e cetífcas para medção da velocdade do veto. Assm, uma estratéga comumete utlzada para a medção da velocdade do veto cosste em medr o tempo de vôo (ToF Tme-of-Flght), que é defdo como o tempo ecessáro para que a oda ultrasôca vaje desde o trasdutor trasmssor para o receptor. Para este propósto, dversas téccas ultrasôcas foram desevolvdas, utlzado odas cotíuas, odas pulsadas, métodos de correlação, detecção de lmar (TH Thershold Detecto), dfereça de fase (PD Phase Dfferece), etre outras (Hauptma, 2). Etretato, a medção da velocdade do veto ão é realzada com exatdão satsfatóra devdo às certezas assocadas a medção do ToF, tas como erros devdos às aproxmações teórcas desevolvdas, erros dos strumetos de medção, erros exteros, como ruído aleatóro e reflexões, e erros troduzdos pelo operador (Kamal, 963). De acordo com a atureza das certezas, dos tpos de estratégas são utlzados para sua avalação. Se as medções de um sstema de medção são represetadas através de dstrbuções de probabldade cohecdas, a avalação das certezas é realzada por meo da teora de probabldades e processos estatístcos. Se as medções apresetam formações mprecsas e ão é possível obter formações estatístcas, estratégas baseadas a teora de cojutos fuzzy podem ser utlzadas para a represetação e avalação das certezas (Lma, 2) e (ezk, 24). Na prátca, os parâmetros de sstemas de strumetação apresetam varabldades e erros, e a modelagem exata dos sesores em sempre é dspoível. Neste ceáro, o resultado da aálse de certezas que são especfcadas por valores exatos (crsp) em sempre pode ser cosderada como uma solução geral para represetar o espectro completo de certezas possíves. A represetação dos parâmetros meddos e suas certezas através de úmeros fuzzy, cujas formas são dervadas das própras medções, provê uma estratéga prátca para a abordagem alteratva para tal tpo de problema. A defuzzfcação de um úmero fuzzy permte estmar o valor de medção (valor crsp), assm como também sua certeza assocada. Com a faldade de reduzr as certezas assocadas aos processos de medção, sem alterar o valor absoluto do resultado, téccas de fusão de dados são utlzadas a área de strumetação e medção, acrescetado cofaça aos resultados meddos. O processo de fusão de dados comba formações com uma cosderação aproprada das característcas de suas certezas, de uma maera cosstete.

2 De forma a realzar a medção da velocdade do veto com baxa certeza, a estmação do ToF é baseada a técca de fusão de dados que comba as formações depedetes dos ToF obtdas pelos métodos de detecção de lmar e da dfereça de fase. A partr destas formações dos ToF, são dervadas as formas dos úmeros fuzzy que represetam as medções e suas certezas assocadas. ealza-se a aálse das certezas por meo do método de trasformação geeralzado, que determa o grau de fluêca das certezas depedetes das medções o resultado global de fusão. As téccas de TH e PD são resumdamete apresetadas, assm como a represetação das certezas por úmeros fuzzy. Um modelo de fusão de dados baseado as relações de compatbldade e operadores OWA é utlzado para a combação das formações obtdas a partr das téccas desevolvdas. 2 Defções Prelmares Uma cofguração comum para medção da velocdade do veto utlzado trasdutores ultrasôcos cosste em alhá-los com um âgulo especfcado à dreção do veto, como lustrado a Fgura. O trasdutor T A emte um trem de pulsos que é captado pelo trasdutor T B ; a velocdade de propagação da oda soora através de um fludo é a soma vetoral das velocdades de propagação atural (velocdade do som, C) e do fludo a ser meddo (velocdade do veto, ϑ). Para o propósto de medção da velocdade do veto, apresetam-se suctamete as defções prelmares das téccas de detecção de lmar e da dfereça de fase, assm como a represetação das medções e suas certezas através de úmeros fuzzy e a aálse de certezas através do método de trasformação geeralzado. 2. Técca de detecção de lmar (TH) A técca de detecção de lmar cosste em trasmtr um trem de odas seodas e medr o tempo ecessáro para sua detecção (ToF) o trasdutor receptor, através da detecção de lmar, como lustrado a Fgura 2. O valor meddo do ToF ( t M ) ão correspode AB - - Tx x t AB M t AB Lmar t E AB dretamete ao tempo de recepção devdo ao retardo mposto pela dâmca dos trasdutores. O tempo meddo pode ser expresso como a soma do tempo de trasmssão (t AB ) com o tempo de detecção ( t E ). AB Uma aferção pode ser realzada de forma a determar o tempo de detecção, com velocdade do veto zero. Assm, a velocdade do veto pode ser determada por: L ϑ = C M E cos θ tab tab () em que: ϑ é a velocdade do veto, L é a dstâca etre os trasdutores, θ é o âgulo etre a propagação do veto e a dreção da lha dos trasdutores, C é a velocdade do som o ar parado, o qual vara prcpalmete com a temperatura. A depedêca de C com a temperatura T K (em Kelv) é dada por: C = 2.74 TK (2) 2.2 Técca da dfereça de fase (PD) x t(s) x -4 Fgura 2. Medção do ToF pela técca de detecção de lmar. Na técca da dfereça de fase, mede-se a dfereça de fase etre as odas ultrasôcas trasmtdas e recebdas, como lustrado a Fgura 3. Pode-se observar que é possível realzar a medção de város - Tx x x -4 φ AB t(s) x -4 Fgura. Estrutura para a medção da velocdade do veto. Fgura 3. Medção do ToF pela técca da dfereça de fase

3 valores de dfereça de fase em um tervalo determado; estas medções podem ser utlzadas em um procedmeto de fusão de dados para determar um valor do ToF com uma melhor cofabldade e baxa certeza. A fase statâea o trasmssor e receptor é φ = 2πft AB e a velocdade do veto é: 2πfL ϑ = C cosθ φ 2.3 Números Fuzzy e epresetação de Icertezas (3) Um úmero fuzzy é um cojuto fuzzy defdo em um uverso de dscurso sobre os úmeros reas, X = {(x, µ(x)) / x U} U (4) As formas mas comus de úmeros fuzzy são a tragular, a trapezodal e a Gaussaa. Por razões de smplcdade de formulação e efcêca computacoal, úmeros fuzzy tragulares são frequetemete utlzados, referdos como úmeros fuzzy do tpo L-, com fução de pertêca dada por: x x µ T ( x) = max, δ (5) em que δ = 2πσ ; σ é o desvo padrão defdo para uma dstrbução Gaussaa (σ =,5 x ) e x é o valor meo. De forma prátca, o úmero fuzzy tragular é expresso em sua forma resumda por: T = x δ, x, x + δ (6) A operação α-cut pode ser aplcada para os úmeros fuzzy, em que o α-cut para um cojuto fuzzy X é o cojuto X (α), defdo por: X (α) = {x µ X (x) α}, α (7) A otação α-cut comumete utlzada para a forma de úmeros fuzzy L- é dada por: em que X α L e de cada tervalo ( α) X X L X X α X α. = [, ] (8) são os lmtes feror e superor 2.4 Método de trasformação geeralzado O método de trasformação geeralzado descreve um procedmeto para a aálse da propagação das certezas, permtdo determar o grau de fluêca das certezas dvduas o resultado global obtdo através do procedmeto de fusão de dados (Hass, 22). Defe-se um modelo de parametrzação fuzzy costtuído por um cojuto de parâmetros de etrada com valores fuzzy defdos por p, com fuções de pertêca µ p (x ), =,...,. O parâmetro de saída do valor fuzzy é defdo por q, com fução de pertêca µ q (z), obtdo como resultado do mapeameto etrada-saída da fução F: q = F(p,..., p ) (9) Para a smulação do modelo de parametrzação fuzzy usado o método de trasformação, cada parâmetro de etrada p é decomposto em íves α- cut em um cojuto de (m+) tervalos, dado por: ( ) {,,..., m = } P X X X =,, ( j ) () X a b a b () em que: =,...,, j =,..., m, a j e b são os lmtes feror e superor de cada tervalo X. Para o propósto de decomposção em α-cuts, o exo µ é subdvddo em m segmetos, gualmete espaçados por µ = /m, e (m+) íves de pertêca µ j = j* µ, j =,..., m. O método de trasformação geeralzado adcoa elemetos o tervalo X, =,...,, j =,..., (m - 2), como lustrado a Fgura 4, e os tervalos são trasformados em vetores X ˆ j : com: ˆ X = (( γ,,..., γ( ) ),...,( γ,,,..., γ( ) )) m+ j m+ j, (2) ( j + ) ( j+ ) cl, + cl, l, ( m+ j) l, cl, cl, γ = (,..., ) (3) 4243 ( m+ j) elemetos a ; l = j =,,..., m c = ; l = 2,3,.. m j j =,,..., m 2 2 ( j ) b ; l = m j + j =,,..., m (4) Para o modelo de parametrzação fuzzy dado em (9), a estmação da saída é avalada para cada colua do vetor, utlzado-se artmétca covecoal para úmeros crsp. Assm, a saída q pode ser expressa em sua forma decomposta e trasformada por vetores ˆ ( j ) ˆ ( j ) ˆ j Z, j =,..., m; o k-ésmo elemeto z do vetor Z é dado por: k k ˆ k ˆ k ˆ ˆ, 2,..., z = F x x x (5) Fgura 4. Decomposção da -ésma certeza do parâmetro p pelo método de trasformação geeralzado (m = 5)

4 2.5 Aálse das certezas para o modelo fuzzy Para o modelo de parametrzação fuzzy defdo em (9), a saída do sstema q apreseta uma certeza global como resultado das fluêcas dos parâmetros de etrada p. Coseqüetemete, podem-se determar as cotrbuções das certezas dvduas dos parâmetros de etrada sobre a certeza global da saída (Hass, 22). Para este propósto, defem-se os coefcetes η, =,...,, j =,..., (m - ), dados por: com: 2 em que m + j b a η = ( m+ j) ( m+ j) k = l = s2 s ( zˆ zˆ ) + ( ) s ( k, l) = k + l m + j s ( k, l) = k + m + j l m + j k z ˆ j é o k-ésmo elemeto do vetor ˆ ( j ) Z. (6) (7) j Os coefcetes η determam as cotrbuções das certezas do parâmetro p a saída q, o ível de pertêca µ j. A medda da fluêca total que quatfca o efeto do parâmetro p sobre a saída q é dado por: β = µ η ( a + b ) (8) m j m Falmete, a medda da fluêca relatva, ρ, para valores ormalzados, é dada por: m µ j η a + b β j = m β q µ j q aq + bq q= q= ρ = = 3 Procedmeto de Fusão de Dados (9) Neste trabalho, são desevolvdas duas estratégas de fusão de dados baseadas a teora de cojutos fuzzy. A prmera emprega uma relação de compatbldade etre os elemetos que partcpam o processo de fusão. A seguda estratéga atrbu pesos assocados a cada valor estmado utlzado para a fusão. 3. Fusão utlzado elações de Compatbldade Para um sstema de medção em partcular, são realzadas medções defdas por x,..., x. O procedmeto de fusão de dados comba estas formações através de uma fução de fusão defda por F, determado-se o valor, x, defdo como a melhor estmação obtda pelo procedmeto de fusão e dada por: x = F(x,..., x ) (2) A combação de formações através de F depede dos elemetos a ser fuddos, sto é, deve exstr uma compatbldade etre elas para se aplcar o procedmeto de fusão. Por tato, defe-se uma relação de compatbldade, a qual reduz o grau de pertêca assocado a pares que são dscrepates e favorece o grau de pertêca etre elemetos compatíves (Dubos, 998) e (Yager, 996). Para duas medções x e x 2, a relação de compatbldade dada por (x, x 2 ) depede da dstâca etre elas, tedo um comportameto decrescete quado a dstâca x x 2 aumeta. Coseqüetemete, defe-se um cojuto fuzzy M, tal que M(x) = M( x), M() = e: (x, x 2 ) = M(x x 2 ) (2) Assm, o mapeameto dos úmeros fuzzy X e X 2 através de é dado por: e {X } = X = X M (22) {X 2 } = X 2 = X 2 M (23) em que {.} defe o mapeameto de X e X 2 através de, é a soma fuzzy. Geeralzado a relação de compatbldade, para medções, tem-se: (x,..., x ) = m j (x, x j ) (24) em que é a míma compatbldade etre todos os pares (x, x j ). O mapeameto do úmero fuzzy X através de é dado por: {X } = X [ X j ] (25) j em que {X } represeta o mapeameto de X através de, relacoado a compatbldade com as medções X j, e é o operador de tersecção. 3.2 Medda de dstâca etre úmeros fuzzy Para o cálculo da relação de compatbldade, dada em (24), utlza-se uma medda de dstâca geeralzada para úmeros fuzzy, em que o resultado da dstâca etre dos úmeros fuzzy é outro úmero fuzzy (Voxma, 998). Para dos úmeros fuzzy X e X 2, com represetação α-cut da forma [ X, X ] e L2 X 2 L [ X, ], respectvamete, a dstâca etre X e X 2 é defda por M ( α) L M = [ M, M ] e dada por: ( α) L L L2 2 X + X X + X max { X L2 X,}; 2 2 = X X X X max { X L X 2,}; 2 2 L2 + 2 L + (26)

5 e { } ( α) max L2, 2 L M = X X X X (27) 3.3 Fusão utlzado Operadores OWA O coceto de operadores OWA (Ordered Weghted Average) basea-se a agregação ou fusão de elemetos em que o resultado da operação está cotdo o tervalo correspodete ao valor mímo e máxmo dos elemetos. Os operadores OWA permtem a mplemetação de dferetes fuções de fusão, atrbudo, através de pesos, êfase aos elemetos a ser fuddos (Yager, 996). Assm, o operador OWA de dmesão tem assocado um vetor de pesos W, defdo por: W = [ w... w ] ' (28) w [, ], w = e F ( x,..., x ) = x jwj (29) = em que x j é o j th maor elemeto de x,..., x. Na fução de fusão F, a escolha do vetor de pesos W permte a agregação poderada das fuções de pertêca dos úmeros fuzzy. Os pesos do operador OWA são determados como a solução de um problema de programação matemátca (O Haga, 99), defdo por: sujeto a: Mmzar wj l wj (3) wjh = ε, com h j = (3) wj =, w j (32) em que ε [, ] defe o grau favorável de assocação etre os úmeros fuzzy. A cada elemeto x j, represetado por um úmero fuzzy X j e mapeado através da relação de compatbldade {X j } defdo em (25), é assocado um peso de poderação w j, dado por: {X j } W = {X j }.w j (33) em que {X j } W represeta o mapeameto de {X j } através do peso de poderação w j. 4 esultados com o Procedmeto de Fusão Com a faldade de avalar o procedmeto de medção baseado em fusão de dados fuzzy, cosderase a medção da velocdade de veto ( Fgura ). Para este propósto, são realzadas as medções dos ToF pelos métodos de TH e PD. O sstema de medção fo smulado o Smulk (Matlab ), cosderado-se as segutes especfcações: freqüêca dos trasdutores f = 4 khz, temperatura de operação T K = 25ºC, âgulo etre trasdutores θ = π/3 e dstâca etre os trasdutores L = λ, com λ = C/f = 8,66 mm. Tabela. Medções do ToF pelas téccas de TH e PD. Técca Número Fuzzy: X (µs) TH, x 29,68; 239,73; 269,77 PD, x 2 24,67; 245,43; 276,9 PD 2, x 3 25,57; 246,46; 277,34 De maera a exemplfcar o procedmeto de medção proposto, realza-se a medção de um valor do ToF pela técca TH e duas medções do ToF pela técca de PD. A partr destas três medções são dervadas as represetações dos úmeros fuzzy tragulares, como apresetado a Tabela. Em seguda são aplcados os procedmetos de fusão de dados utlzado relações de compatbldade e operadores OWA. 4. Fusão utlzado elações de Compatbldade A partr das medções de ToF: x, x 2 e x 3, determase a relação de compatbldade utlzado (24), dado por: (x, x 2, x 3 ) = m{(x,x 2 ),(x,x 3 ),(x 2,x 3 )} (34) (x, x 2, x 3 ) = -,8; ;,8 µs (35) A segur, cada medção x represetada pelo úmero fuzzy X é mapeada através de, como defdo em (25): {X } = X (X 2 ) (X 3 ) (36) {X 2 } = X 2 (X ) (X 3 ) (37) {X 3 } = X 3 (X ) (X 2 ) (38) Defdo-se a fução de fusão F como a méda artmétca das três medções, tem-se: F { X } + { X } + { X } 2 3 = (39) Na Fgura 5, lustram-se o resultado da fusão de dados, F, e as etradas represetadas pelos úmeros fuzzy X = TH, X 2 = PD e X 3 = PD 2. Embora a fução de fusão F seja defda como a méda artmétca das etradas, ela leva em cosderação as relações de compatbldade etre as medções que partcpam o processo de fusão. Para obter o resultado da estmação (valor crsp) do ToF a partr do úmero fuzzy F, é utlzado o método de defuzzfcação do cetro da área (COA), que forece ToF F = 243,44 µs. µ(x) TH (s) x -4 Fgura 5. Fusão de dados utlzado a relação de compatbldade. 3 PD PD 2 F

6 µ(x) (s) x Fusão utlzado Operadores OWA O vetor de pesos W do operador OWA é determado a partr da solução do problema de programação matemátca dada em (3). Por tato, para ε =,25, temos que: w =,62, w 2 =,2676, w 3 =,662. Para corporar o operador OWA ao procedmeto de fusão que utlza relações de compatbldade, os valores das medções x são ordeados de forma descedete (x 3 >x 2 >x ), em que x j é o j th maor elemeto de x, x 2, x 3. Assm o mapeameto de X j através de é efatzada utlzado os pesos de poderação w j, dado por: {X } W = [X 3 (X ) (X 2 )]w (4) {X 2 } W = [X 2 (X ) (X 3 )]w 2 (4) {X 3 } W = [X (X 2 ) (X 3 )]w 3 (42) Defdo-se a fução de fusão F W como a soma poderada das três medções, tem-se: F = { X } + { X } + { X } (43) W W 2 W 3 W Na Fgura 6, lustra-se o resultado de fusão utlzado o operador OWA; para este caso, o valor defuzzfcado é ToF FOWA = 244,36 µs. 4.3 Aálse da fluêca das certezas TH Para a aálse da propagação das certezas, o valor da fluêca relatva ρ fo determado pelo método de trasformação geeralzado (Eq.9). Assm, para cada elemeto X que partcpa do processo de fusão de dados, fo determada a fluêca das certezas sobre os resultados de fusão F e F OWA, respectvamete, como apresetado a Tabela 2. 5 Coclusões Neste trabalho, apresetou-se um procedmeto de medção de velocdade de veto, a qual as PD PD 2 F OWA Fgura 6. Fusão de dados com o operador OWA. Tabela 2. Ifluêca relatva das certezas ρ. Método de Fusão Ifluêca elatva ρ (%) certezas das gradezas meddas são represetadas utlzado-se a teora dos cojutos fuzzy, vablzado a smulação e aálse de propagação de certezas. Como resultado, é possível quatfcar o grau de fluêca de cada parâmetro de etrada sobre o resultado fal de fusão, torado-se uma ferrameta de apoo à decsão para determação das especfcações e modfcações do sstema de medção. Através da aplcação dos procedmetos de fusão de dados, é possível obter um resultado fal de ToF, compatível com as gradezas meddas dvdualmete, etretato, com uma baxa certeza e cofável. Este procedmeto de medção pode ser aplcado a sstemas de medção telgetes a preseça de certezas, forecedo resultados com maor exatdão e cofabldade. Agradecmetos Os autores agradecem à CAPES ao CNPq / PADCT e à FAPEMA pelo apoo e cetvo recebdo. eferêcas Bblográfcas Hauptma, P., Hoppe, N., Puettmer, A. (2). Ultrasoc sesors for process dustry, IEEE Ultrasoc Sysmposum, Vol., pp Kamal, J.C. e Busger, J.A. (963). A cotuous wave soc aemometer-thermometer, Joural of Appled Meteorology, pp Lma, S.L.P. e Ebecke, N.F.F., (2). A comparso of models for ucertaty aalyss by the fte elemet method, Fte Elemets Aalyss ad Desg, 34: ezk, L. e Dabke, K.P. (24). Measuremet models: applcato of tellget methods, Measuremet, 35: Hass, M. (22). The trasformato method for the smulato ad aalyss wth ucerta parameters, Fuzzy Sets ad Syst, 3: Dubos, D., Prade, H., Yager,.., (998). Computato of tellget fuso operatos based o costraed fuzzy arthmetc, Fuzzy Systems Proceedgs, : Yager,.., Kelma, A., (996). Fuso of fuzzy formato wth cosderatos for compatblty, partal aggregato, ad reforcemet. Iteratoal Joural of Approxmate easog, pp Voxma, W. (998). Some remarks o dstaces betwee fuzzy umbers, Fuzzy Sets ad Systems, : O Haga, M. (99). Usg maxmum etropyordered weghted averagg to costruct a fuzzy euro, Cof. o Sgals, Systems, pp ρ (TH) ρ 2(PD) ρ 3(PD2) Compatbldade 32,8 33,8 33,4 Operador OWA 6, 27,3,7