ANÁLISE TEÓRICA DO COMPORTAMENTO OPERACIONAL DE MANCAIS RADIAIS HIDRODINÂMICOS OPERANDO COM LUBRIFICANTES NÃO-NEWTONIANOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ANÁLISE TEÓRICA DO COMORTAMENTO OERACIONAL DE MANCAIS RADIAIS HIDRODINÂMICOS OERANDO COM LUBRIFICANTES NÃO-NEWTONIANOS MÁRCIO RODRIGUES RAIMUNDO ORIENTADOR: CO-ORIENTADOR: ROF. Dr. AULO FERNANDES SILVA ROF. h.d. VILMAR ARTHUR SCHWARZ ITAJUBÁ - MG

2 Fcha catalográfca elaborada pela Bbloteca Mauá Bblotecára Margareth Rbero- CRB_6/7 R53a Ramudo, Márco Rodrgues Aálse teórca do comportameto operacoal de macas radas hdrodâmcos operado com lubrfcates Não- Newtoaos / por Márco Rodrgues Ramudo ; oretado por aulo Ferades Slva e co-oretado por Vlmar Arthur Schwarz. -- Itaubá, MG : UNIFEI,. 77 p. l. Itaubá. Dssertação (Mestrado) - Uversdade Federal de. Macas radas.. Lubrfcates Não-Newtoaos. 3. Modelo ower Law. I. Slva, aulo Ferades,

3 AGRADECIMENTOS Aos mutos que, de alguma forma, cotrbuíram para a realzação deste trabalho de dssertação; em partcular: Aos oretadores rof. Dr. aulo Ferades Slva e rof. hd. Vlmar Arthur Schwarz, pelo apoo e oretação durate a elaboração deste trabalho; Ao rof. Dr. Geéso José Meo pelo cetvo e apoo prestado desde o íco do mestrado; Ao bolssta de cação cetífca FAEMIG, Hélo Herque Rabelo, pela cotrbução de sua pesqusa ao presete trabalho; A todos os professores e fucoáros da UNIFEI que, dreta ou dretamete, cotrbuíram para a realzação deste trabalho; À Compaha Braslera de Alumío, as pessoas dos Egeheros José Eustáquo Ferades e Luís Sílvo ozz, pelo apoo e estímulo para o térmo deste trabalho; Em especal a Deus, fote de toda a vda, pela saúde e força os mometos dfíces.

4 Aos meus pas Beedto e Céla Aos meus rmãos Mara, Marcos, Mauro e Míram

5 RESUMO No presete trabalho é apresetado um modelo teórco para aalsar o comportameto operacoal de macas radas hdrodâmcos operado com lubrfcates ão-newtoaos modelo power law. A equação de Reyolds da lubrfcação hdrodâmca modfcada para fludos ão-newtoaos modelo power law é resolvda através do método de dfereças ftas e do esquema de sobrerelaxação sucessva. No modelo teórco são cosderados os efetos das temperaturas do óleo lubrfcate de suprmeto e de recrculação para a determação da temperatura efetva do flme de óleo lubrfcate que é realzada através de um procedmeto teratvo, cuo crtéro de parada é a sua covergêca, ou sea, o estabelecmeto da codção de operação em regme. Com base este modelo teórco um programa computacoal fo desevolvdo, em lguagem FORTRAN, para smular o comportameto operacoal de macas radas ftos operado com lubrfcates ão-newtoaos, dos tpos pseudoplástcos < e dlatates >, bem como um óleo meral comum, ou sea, fludo Newtoao. Três casos são aalsados: a solução sotérmca, a solução adabátca e uma solução termedára a qual admte-se que apeas uma certa parcela do calor gerado pelo atrto fludo cotrbu para a elevação de temperatura do óleo lubrfcate. Váras smulações computacoas foram realzadas, com o obetvo de aalsar a fluêca do ídce de característca reológca sobre o comportameto operacoal de um macal radal hdrodâmco em dversas codções de proeto e operação.

6 ABSTRACT A theoretcal model for the aalyss of the operatoal behavor of oural bearg operatg wth o-newtoa lubrcat obeyg the power law model s preseted ths work. The fte dfferece method ad successve over-relaxato scheme solve the basc modfed Reyolds equato for hydrodyamc lubrcato wth o-newtoa flud obeyg the power law model. I the theoretcal model, the effects of the supply ad recrculatg lubrcat ol temperatures are take to accout to the calculato of the ol flm effectve temperature. The soluto s take by a teratve method, whose stoppg crtero s the covergece of the effectve operatg temperature of the oural bearg ol flm,.e., the establshmet of the operato codto steady-state. A computatoal model s developed FORTRAN to smulate the operatoal behavor of oural bearg wth o-newtoa lubrcats, pseudoplastcs < ad dlatats >, as well as a commo meral ol,.e., Newtoa flud. Three cases are aalysed: the sotermc soluto, the adabatc soluto ad a termedary soluto that take o oly a certa geerated heat amout for the flud frcto cotrbute to the lubrcat ol temperature creasg. May computatoal smulatos are carred out to aalyse the flow behavor dex fluece about the operatoal behavor of a oural bearg some proect ad operatg codtos.

7 CONTEÚDO ága RESUMO... ABSTRACT... CONTEÚDO... SIMBOLOGIA... v ÍNDICE DE FIGURAS... x ÍNDICE DE TABELAS... x CAÍTULO INTRODUÇÃO. - Geeraldades Revsão Bblográfca Revsão do Comportameto e Característcas dos Lubrfcates Obetvos do Trabalho Deleameto do Trabalho... CAÍTULO - FORMULAÇÃO DO ROBLEMA. - Dedução da Equação Bdmesoal de Reyolds Modfcada para Fludos Não-Newtoaos, Modelo ower Law Modelo Físco Equações Goverates e Codções de Cotoro rocedmeto Iteratvo para Obteção dos arâmetros Resultates... 46

8 v ága CAÍTULO 3 SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DE REYNOLDS 3. Admesoalzação das Equações Goverates Dscretzação por Dfereças Ftas da Equação de Reyolds Cálculo dos arâmetros Resultates... 6 CAÍTULO 4 - RESULTADOS 4. Itrodução Defção da Malha Computacoal Aálse Comparatva dos Resultados Resultados do resete Trabalho CAÍTULO 5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES 5. Coclusões Sugestões para Trabalhos Futuros AÊNDICES A - Hpóteses Smplfcadoras Impostas à Equação da Cotudade e às Equações da Coservação da q.d.m A - Dedução da Equação da Espessura do Flme de Óleo h h (θ ) A3 - Itegração pelo Método de Smpso... 4

9 v ága A4 Aproxmação das Dervadas por Dfereças Ftas A5 Especfcação dos arâmetros do Macal e do Óleo Lubrfcate A6 rograma Computacoal A7 Tabelas dos arâmetros Resultates para os Ídces de Característca Reológca,8;,9;, e, REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 74

10 v SIMBOLOGIA Caracteres Latos Símbolo Descrção ága a,b Costates 5 A, B, C D Costates do processo teratvo do cálculo da pressão 55, c Folga radal 4 C p Calor específco do óleo lubrfcate 79 C C,,.. Costates 33, C3 D Dâmetro do macal d Dâmetro do exo 4 d Tesor taxa de deformação 6 e Excetrcdade 4 F Capacdade de carga 4 F Capacdade de carga admesoal 63 f Coefcete de atrto 4 f f,.. arâmetros da regra de Smpsom 64, f F a Força de atrto 68 F a Força de atrto admesoal 68 Fr Compoete radal da capacdade de carga 6 F r Compoete radal admesoal da capacdade de carga 6 Ft Compoete tagecal da capacdade de carga 6 F t Compoete tagecal admesoal da capacdade de carga 6 h Espessura do flme de óleo h Espessura míma do flme de óleo 4 H Espessura admesoal do flme 5

11 v H f erda de potêca 4 H f erda de potêca admesoal 7 I Ivarate do tesor taxa de deformação 6 Ídce da dreção crcuferecal do macal 6 Ídce da dreção axal do macal 6 k Número da teração do processo teratvo 47 L Comprmeto axal do macal m Vscosdade absoluta do óleo 9 m Vscosdade absoluta admesoal 5 m Vscosdade absoluta do óleo à temperatura de referêca 5 m ef Vscosdade efetva absoluta 4 m,m Vscosdades absolutas às temperaturas T e T 46 Ídce de característca reológca do lubrfcate 9 N Velocdade de rotação do exo 4 ressão do flme de óleo 4 ressão admesoal do flme 5 max ressão máxma do flme 4 ressão admesoal ó (, ) da malha computacoal 54 Q l Vazão lateral (ou axal) de lubrfcate 4 Q l Vazão lateral admesoal 79 Q rec Vazão de recrculação (ou crcuferecal de saída) 4 Q rec Vazão de recrculação admesoal 76 Q s Vazão de suprmeto 4 Q t Vazão total (ou crcuferecal de etrada) 4 Q t Vazão total admesoal 74 q x Vazão a dreção radal 38 q z Vazão a dreção axal 38 R Rao do macal 4

12 v s Número de tervalos da malha a dreção crcuferecal 54 S Número de Sommerfeld 66 t Número de tervalos da malha a dreção axal 54 T Temperatura do flme 4 T Temperatura de referêca 5 T ef Temperatura efetva do flme lubrfcate 4 T mst Temperatura da mstura de óleo 47 T rec Temperatura de recrculação do óleo 47 T s Temperatura do óleo de suprmeto 4 u Compoete de velocdade a dreção x 9 U Velocdade tagecal do exo 4 u,w Compoetes de Couette da velocdade em x e z 3 u, w Compoetes de oseulle da velocdade em x e z 3 v Compoete de velocdade a dreção y 4 w Compoete de velocdade a dreção z 4 W ot arâmetro de relaxação do processo teratvo 59 x Coordeada a dreção crcuferecal (movmeto) 4 y Coordeada da dreção radal 9 z Coordeada a dreção axal 4 Caracteres Gregos Símbolo Descrção ága α Costate do processo teratvo do cálculo da pressão 6 β Costate da le expoecal para a vscosdade do óleo lubrfcate 5 δ arâmetro da regra de Smpsom 64 T Elevação de temperatura 4

13 x T Elevação de temperatura admesoal 8 θ Icremeto de posção a dreção crcuferecal 54 z Icremeto de posção a dreção axal 54 ε Excetrcdade específca do macal 4 γ Costate da relação vscosdade-pressão 6 φ Âgulo de carga 4 Ψ λ Fator de covergêca do processo teratvo para o cálculo da pressão 6 Costate empírca da parcela de calor gerado retrado pelo óleo lubrfcate 47 µ Vscosdade aparete 9 µ Vscosdade aparete admesoal 74 µ Vscosdade aparete à temperatura T e pressão 5 µ ef Vscosdade aparete efetva 5 π, π ressões de referêca da expasão em sére da pressão exata 3 ρ Desdade do óleo lubrfcate 79 θ Âgulo de posção de pressão crcuferecal θ max Âgulo de posção da pressão máxma meddo a partr da lha de cetros OO ' 4 θ max osção agular da pressão máxma 6 θ ' Âgulo defdo pela regão de pressão a codção de cotoro de Reyolds ( π θ ') 4 σ arâmetro de perturbação da expasão em sére 9 τ Tesão de csalhameto do flme lubrfcate 9 ω Velocdade agular 5

14 x ÍNDICE DE FIGURAS Fgura ága. - Cofgurações típcas de hdrocarboetos Tesão de csalhameto versus taxa de deformação Curvas de hsterese Comportameto da vscosdade em fução da temperatura Vscosdade versus taxa de deformação para fludo lubrfcate Newtoao Vscosdade versus taxa de deformação para fludo lubrfcate ão-newtoao pseudoplástco Vscosdade versus taxa de deformação para fludo lubrfcate ão-newtoao dlatate Superfíces em movmeto relatvo Geometra do macal radal hdrodâmco Dstrbução de pressão do flme lubrfcate o plao médo do macal ( z L/ ) e codções de cotoro o plao ( θ, z ) Gráfco trdmesoal da dstrbução de pressão o plao ( θ, z) Dagrama de blocos do processo teratvo Malha para solução computacoal Dstrbução admesoal de pressão o plao médo do macal e codções de cotoro de pressão o plao ( θ, z ) Dstrbução de pressão e compoetes de carga Compoetes de vazão de lubrfcate e temperaturas correspodetes Capacdade de carga admesoal do macal em fução dos casos térmcos, para L/D e, Capacdade de carga admesoal do macal em fução dos casos térmcos, para L/D e,... 9

15 x Capacdade de carga admesoal do macal em fução dos casos térmcos, para L/D e, Dstrbução de pressão admesoal o plao médo do macal em fução dos casos térmcos, para L/D,,8 e ε, Dstrbução de pressão admesoal o plao médo do macal em fução dos casos térmcos, para L/D,, e ε, Dstrbução de pressão admesoal o plao médo do macal em fução dos casos térmcos, para L/D,, e ε, Número de Sommerfeld em fução do ídce de característca reológca para relação L/D Capacdade de carga admesoal em fução do ídce de característca reológca para relação L/D Vazão crcuferecal de etrada admesoal em fução do ídce de característca reológca para relação L/D Vazão lateral admesoal em fução do ídce de característca reológca para relação L/D ressão máxma admesoal do flme em fução do ídce de característca reológca para relação L/D Dstrbução de pressão admesoal o plao médo do macal em fução do ídce de característca reológca para relação L/D e ε, Coefcete de atrto em fução do ídce de característca reológca para relação L/D erda de potêca admesoal em fução do ídce de característca reológca para relação L/D Elevação de temperatura admesoal em fução do ídce de característca reológca para relação L/D Temperatura efetva do flme em fução do ídce de característca reológca para relação L/D Vscosdade efetva aparete em fução do ídce de característca reológca para relação L/D...

16 x Capacdade de carga admesoal em fução da relação L/D do macal para, Capacdade de carga admesoal em fução da relação L/D do macal para, Capacdade de carga admesoal em fução da relação L/D do macal para, Temperatura efetva do flme em fução da relação L/D do macal para, Temperatura efetva do flme em fução da relação L/D do macal para, Temperatura efetva do flme em fução da relação L/D do macal para, Temperatura efetva do flme em fução da rotação do macal para relação L/D e, Temperatura efetva do flme em fução da rotação do macal para relação L/D e, Temperatura efetva do flme em fução da rotação do macal para relação L/D e, Capacdade de carga admesoal do macal em fução da temperatura do óleo de suprmeto para L/D e Capacdade de carga admesoal do macal em fução da temperatura do óleo de suprmeto para L/D e Capacdade de carga admesoal do macal em fução da temperatura do óleo de suprmeto para L/D e erda de potêca admesoal em fução da temperatura de suprmeto do óleo lubrfcate para L/D e erda de potêca admesoal em fução da temperatura de suprmeto do óleo lubrfcate para L/D e erda de potêca admesoal em fução da temperatura de suprmeto do óleo lubrfcate para L/D e Temperatura efetva do flme em fução da temperatura de suprmeto do óleo lubrfcate para L/D e,8...,... 3,... 4,8... 5,... 6,... 7,8... 8

17 x Temperatura efetva do flme em fução da temperatura de suprmeto do óleo lubrfcate para L/D e Temperatura efetva do flme em fução da temperatura de suprmeto do óleo lubrfcate para L/D e Temperatura efetva do flme versus temperatura do óleo de suprmeto para L/D e ε,... 9,... 3, Temperatura efetva do flme versus rotação do macal para L/D e ε, A. - Cofguração básca de um macal radal hdrodâmco A3. - Nomeclatura da fução f (u) para regra de Smpso... 4 A4. - Aproxmação por dfereças ftas ÍNDICE DE TABELAS Tabela ága 4. - Defção das malhas computacoas Comparação do úmero de Sommerfeld para L/D Comparação do âgulo de carga φ para L/D Caso sotérmco (L/D ) Caso termedáro (L/D ) Caso adabátco (L/D ) A7. - arâmetros resultates para L/D /4 e A7. - arâmetros resultates para L/D / e A7.3 - arâmetros resultates para L/D e A7.4 - arâmetros resultates para L/D e A7.5 - arâmetros resultates para L/D /4 e A7.6 - arâmetros resultates para L/D / e A7.7 - arâmetros resultates para L/D e A7.8 - arâmetros resultates para L/D e

18 xv A7.9 - arâmetros resultates para L/D /4 e A7. - arâmetros resultates para L/D / e A7. - arâmetros resultates para L/D e A7. - arâmetros resultates para L/D e A7.3 - arâmetros resultates para L/D /4 e A7.4 - arâmetros resultates para L/D / e A7.5 - arâmetros resultates para L/D e A7.6 - arâmetros resultates para L/D e

19 83 CAÍTULO 4 RESULTADOS 4.- Itrodução Após as etapas de formulação do problema, defção do procedmeto teratvo para o estabelecmeto da codção de regme, apresetação do desevolvmeto de um modelo umérco para a solução da equação goverate, cálculo dos parâmetros resultates e desevolvmeto do programa computacoal; segue-se o presete capítulo a apresetação e aálse dos resultados, obtdos através de váras smulações computacoas, tomado por base as característcas do macal e lubrfcate o Apêdce A5. O comportameto dos parâmetros resultates do macal radal hdrodâmco é aalsado prcpalmete em fução de váras excetrcdades específcas e relações L / D do macal. Ivestga-se também a fluêca do ídce de característca reológca do óleo lubrfcate, o comportameto operacoal do macal. Além dsso, três tpos de abordages são mplemetadas: a solução sotérmca ode ão é cosderada a varação da vscosdade do óleo lubrfcate com a temperatura, a solução adabátca ode todo o calor gerado pelo atrto fludo é trasferdo para o óleo lubrfcate e por ele é carregado para fora do macal e a solução termedára ode apeas parte do calor gerado cotrbu para a elevação de temperatura do óleo lubrfcate. Nas soluções adabátca e termedára são determadas as temperaturas efetvas do óleo lubrfcate, a codção de operação em regme, e as suas correspodetes vscosdades usado-se a equação de Walther. Os resultados são apresetados em forma de tabelas e gráfcos para permtr a comparação com os resultados obtdos por outros pesqusadores e para facltar a realzação de aálses predtvas do comportameto operacoal de um macal radal hdrodâmco em dversas codções de operação.

20 84 4. Defção da Malha Computacoal Ates da smulação computacoal deftva fo feto um estudo do comportameto de algus parâmetros resultates (úmero de Sommerfeld e temperatura efetva) com relação ao grau de refameto da malha computacoal utlzada. Com sso, através da covergêca destes parâmetros determaram-se as segutes malhas computacoas a serem usadas as smulações, coforme mostra a tabela 4.. Tabela 4. Defção das Malhas Computacoas L / D,8,9,, /4 9 x 9 35 x 9 x 9 45 x 5 / 35 x 35 x 45 x 5 35 x 35 x 45 x 5 35 x 35 x 45 x 5 45 x 5 35 x 35 x Aálse Comparatva dos Resultados Através de um programa computacoal, desevolvdo em lguagem FORTRAN, smulou-se o comportameto operacoal de macas radas hdrodâmcos com relações L / D guas a /4, /, e, para excetrcdade específca ε varado de, a,9 e para óleos lubrfcates com ídces de característca reológca guas a,8;,9;, e, (demas dados o Apêdce A5). ara comprovar a valdade dos resultados obtdos o presete trabalho, os mesmos foram comparados com resultados obtdos por outros pesqusadores, tas como De e Elrod [3] e Raghuadaa e Maumdar [6]. ara tal, foram utlzados como parâmetros de comparação o úmero de Sommerfeld e o âgulo de carga φ, obtdos através da solução termedára, para um macal radal hdrodâmco com relação L / D, operado com um óleo ão-newtoao do tpo pseudoplástco,8 e com um óleo meral comum, ou sea, um óleo lubrfcate Newtoao

21 85,. As tabelas 4. e 4.3 lustram esta aálse comparatva, mostrado também os desvos ocorrdos etre os resultados. Tabela 4. Comparação do úmero de Sommerfeld para um macal com L/D ε S [3] S [6] S [presete] Desvo [3] Desvo [6],8,,4,9,84,87 -,3%,%,6,4,46,4,4%,99%,8,59,566,58 -,69%,47%,4,6,593,6,38%,65%,6,,3,,83%,58%,8,45,48,44 -,%,8% Aalsado a tabela 4. verfca-se uma boa cocordâca dos resultados obtdos o presete trabalho em relação ao úmero de Sommerfeld, parâmetro dos mas mportates para o proeto e aálse do comportameto operacoal de um macal radal hdrodâmco. ode-se otar que o maor desvo ocorreu para, e ε, 8, o qual fo de,% em relação aos resultados obtdos por De e Elrod [3] e,8% em relação aos resultados de Raghuadaa e Maumdar [6]. Tabela 4.3 Comparação do âgulo de carga φ para um macal com L/D, ε φ ( ) [3] φ ( ) [presete] Desvo [3],8,, 74, 74,6 -,5%,4 63,9 63,94 -,6%,6 5,7 5,73 -,5%,8 39,3 38,8 -,%,9 9,8 8,47-4,46%, 73,8 73,8,%,4 6,5 6,6,7%,6 5,5 5,4 -,5%,8 36,4 35,93 -,9%,9 6,5 5,4-4,75%

22 86 Novamete pode-se verfcar a boa cocordâca dos resultados obtdos para o âgulo de carga φ, este caso o maor desvo fo de 4,75% para, e ε,9, em relação aos resultados obtdos por De e Elrod [3]. 4.4 Resultados do resete Trabalho No tem ateror fo certfcada a valdade dos resultados obtdos o presete trabalho, comparado-os com os resultados obtdos por outros pesqusadores. rocede-se agora a apresetação e aálse dos resultados obtdos o presete trabalho. Serão apresetados resultados de smulações computacoas do comportameto operacoal de um macal radal hdrodâmco em váras codções de proeto e operação. Os parâmetros resultates do macal serão calculados e aalsados em fução da varação da relação L / D, da excetrcdade específca ε e do ídce de característca reológca do óleo lubrfcate. Do poto de vsta térmco são aalsados os casos sotérmco, termedáro (temperatura méda) e adabátco. rmeramete serão apresetados resultados de algus parâmetros relatvos às três abordages estudadas, ou sea, caso sotérmco, caso adabátco e caso termedáro. Neste últmo, é determada a temperatura efetva méda do flme de óleo e sua correspodete vscosdade. Desta forma têm-se resultados mas reas, quado comparados com os casos extremos, os quas ão superestmam em subestmam a capacdade de carga do macal. As tabelas 4.4, 4.5 e 4.6 mostram uma comparação dos 3 casos descrtos em relação aos parâmetros resultates capacdade de carga admesoal, F, e pressão máxma admesoal do flme, max, para relação L / D, T s 38 C, N 5 rpm e para três valores do ídce de característca reológca,8;, e, (ão-newtoao pseudoplástco, Newtoao e ão-newtoao dlatate, respectvamete). A segur, são apresetados também algus gráfcos comparatvos destes parâmetros relatvos as três abordages em estudo para uma melhor vsualzação de seus comportametos.

23 87 Tabela 4.4 Caso sotérmco ( L / D ) F max ε,,,3,4,5,6,7,8,9,8,5,43,687,,44,47 3,59 5,,738,,7,458,747,5,69,4 3,759 6,59 6,88,,3,47,77,64,79,585 4,5 7,53 9,65,8,88,4,66,5,54,37 3,857 7,46,76,,,434,735,55,8,99 5,57,55 34,494,,7,45,766,5,9 3,4 5,763,38 44,6 Tabela 4.5 Caso termedáro ( L / D ) F max ε,,,3,4,5,6,7,8,9,8,55,365,64,9,39,93,86 4,684,39,,85,8,44,68,37,588,49 4,63 9,664,,5,45,8,468,736,49,83 3,48 7,49,8,43,34,59,9,4,6 3,66 6,975 9,367,,79,6,48,77,48,93 3,35 6,87,7,,47,38,79,49,87,49,544 5,87 6,79 Tabela 4.6 Caso adabátco ( L / D ) F max ε,,,3,4,5,6,7,8,9,8,54,359,597,898,97,86,78 4,54 9,448,,8,5,394,64,935,379,58 3,56 7,746,,48,35,5,43,634,96,477,47 5,336,8,4,335,575,9,387,53 3,55 6,7 8,7,,76,4,388,646,35,676,93 5,687 6,68,,45,8,5,435,73,96,5 4,7,

24 88 Nas fguras 4. a 4.6, a segur, são aalsados os comportametos dos parâmetros capacdade de carga admesoal, F, e dstrbução de pressão admesoal o plao médo do macal,, em fução das três soluções estudadas do poto de vsta térmco. A capacdade de carga é apresetada em fução da excetrcdade específca, ε, e a dstrbução de pressão em fução do âgulo crcuferecal θ para ε,7 e em ambos os casos para relação L/D, T s 38 C e,8;, e,. A aálse das fguras 4. a 4.3 permte-os observar que a capacdade de carga admesoal do macal apreseta dos comportametos dsttos em relação aos casos térmcos estudados. ara os casos adabátco e termedáro a capacdade de carga admesoal do macal aumeta com a redução do ídce de característca reológca,, do óleo lubrfcate, equato que para o caso sotérmco ocorre o verso. Verfca-se desta forma que a solução sotérmca ão é uma boa aproxmação para os resultados, pos apeas para o óleo lubrfcate pseudoplástco,,8, ela forece resultados mas próxmos aos das soluções termedára e adabátca. ara os óleos meras comus (Newtoaos ) e os óleos ão-newtoaos dlatates ( >) a solução sotérmca forece resultados com erros cosderáves. Assm, a solução termedára é a que forece o resultado mas próxmo do real, para qualquer valor do ídce de característca reológca, vsto que é uma teora que ão adota hpóteses extremas sobre a forma de dsspação do calor gerado pelo atrto vscoso do óleo lubrfcate, como são os casos sotérmco e adabátco. É ecessáro destacar que, devdo ao parâmetro admesoal defdo para a capacdade de carga, o comportameto da mesma a forma dmesoal é o verso, ou sea, quado se aumeta o ídce de característca reológca do lubrfcate a capacdade de carga dmesoal do macal também aumeta. Aalsado as fguras 4.4 a 4.6, sobre a dstrbução de pressão admesoal o plao médo do macal, observa-se ovamete que o caso sotérmco apreseta um comportameto verso aos casos adabátco e termedáro, pos a solução sotérmca a pressão admesoal em uma

25 89 determada posção crcuferecal θ aumeta com o aumeto do ídce de característca reológca,, do óleo lubrfcate. Verfca-se também estas fguras a dfereça das três abordages estudadas, mostrado que a solução termedára é a que forece resultados mas realístcos pos ão superestma em subestma os valores das pressões hdrodâmcas do macal. Com relação aos valores dmesoas das pressões, verfca-se ovamete um comportameto verso ao comportameto admesoal, em vrtude do parâmetro de admesoalzação adotado para a pressão.

26 Fgura 4. 9

27 Fgura 4. 9

28 Fgura 4.3 9

29 Fgura

30 Fgura

31 Fgura

32 96 De acordo com os resultados apresetados aterormete e segudo pesqusadores, a solução termedára adotada o presete trabalho, do poto de vsta térmco para qualquer valor do ídce de característca reológca,, é a solução mas realsta. ortato, os gráfcos em seguda e as tabelas apresetadas o apêdce A7, bem como a dscussão dos resultados, serão deste poto em date sempre referetes ao caso termedáro. Nas fguras 4.7 a 4.7, em seguda, serão aalsados os comportametos de város parâmetros resultates em fução do ídce de característca reológca,, do óleo lubrfcate para uma relação L/D fxa do macal gual a, T s 38 C e para város valores da excetrcdade específca, ε. Três óleos lubrfcates de ídce de característca reológca,, dferetes serão utlzados esta aálse; um óleo ão- Newtoao pseudoplástco,,8; um óleo Newtoao,,; e um óleo ão- Newtoao dlatate,,. A fgura 4.7 mostra o comportameto de um parâmetro mportate e muto usado por pesqusadores e proetstas como elemeto base a aálse predtva de macas, ou sea o úmero de Sommerfeld, S. ela aálse da fgura verfca-se que o úmero de Sommerfeld aumeta com a redução do ídce de característca reológca,, e dmu com o aumeto da excetrcdade específca, ε. O comportameto da capacdade de carga admesoal, F, do macal é aalsado a fgura 4.8. Vê-se pelo gráfco que a capacdade de carga admesoal do macal aumeta com a redução do ídce de característca reológca,, e com o aumeto da excetrcdade específca, ε. orém, mas uma vez vale ressaltar que, a forma dmesoal, o comportameto é o verso, ou sea, a capacdade de carga dmesoal do macal aumeta com o aumeto do ídce de característca reológca,, do óleo lubrfcate. Desta forma coclu-se que a utlzação de óleos lubrfcates ão-newtoaos dlatates coferem ao macal uma maor capacdade de carga quado comparados aos óleos meras comus Newtoaos ou aos óleos lubrfcates ão-newtoaos do tpo pseudoplástcos.

33 97 A fgura 4.9 mostra o comportameto da vazão admesoal de etrada, Q t. Verfca-se que a vazão admesoal de etrada aumeta com o aumeto da excetrcdade, ε, e do ídce de característca reológca,. A fgura 4. lustra o comportameto da vazão admesoal lateral, Q l. A vazão admesoal lateral aumeta com o aumeto da excetrcdade específca, ε, e também é maor para maores ídces de característca reológca,, porém com meor fluêca que a excetrcdade. Na fgura 4. é apresetado o comportameto da pressão máxma admesoal, max, do macal. Observa-se que a pressão máxma admesoal aumeta com o aumeto da excetrcdade específca, ε, e é maor para meores ídces de característca reológca,, porém, como á cometado aterormete, devdo ao parâmetro de admesoalzação para a pressão, o comportameto da mesma a forma dmesoal é o verso com relação ao ídce de característca reológca. Ou sea, para o óleo de maor ídce de característca reológca (ão- Newtoao dlatate) a pressão máxma dmesoal é maor. Este parâmetro é muto mportate, pos serve de base para o dmesoameto do materal do revestmeto tero do macal. A dstrbução de pressão admesoal o plao médo do macal,, ao logo da dreção crcuferecal, θ, é mostrada a fgura 4. para excetrcdade específca ε,7. Nota-se que lubrfcates com meores ídces de característca reológca proporcoam pressões hdrodâmcas admesoas maores (em termos dmesoas, meores) em toda a regão da cuha de óleo do macal e que o âgulo θ da pressão máxma fca aproxmadamete etre 5 e 6. Isto cofrma a coclusão de que os óleos ão-newtoaos dlatates proporcoam maor capacdade de carga ao macal, relatvamete aos Newtoaos e aos ão- Newtoaos pseudoplástcos. A fgura 4.3 apreseta a varação do coefcete de atrto, f ( R / c), do macal, parâmetro este muto mportate a determação da perda de potêca do

34 98 mesmo. Observa-se que o coefcete de atrto aumeta com a dmução da excetrcdade específca, ε, e do ídce de característca reológca,, do lubrfcate. H f A fgura 4.4 os mostra que a perda de potêca admesoal do macal,, aumeta com a redução do ídce de característca reológca,, do lubrfcate, para uma excetrcdade fxa. Na forma dmesoal, a perda de potêca dmu com a redução do ídce de característca reológca. Com relação a excetrcdade específca, ε, a perda de potêca admesoal aumeta com o aumeto da excetrcdade. A elevação de temperatura admesoal, T, do óleo lubrfcate tem seu comportameto mostrado a fgura 4.5. Através deste parâmetro determa-se a temperatura efetva do flme de óleo lubrfcate. Nota-se que a medda que a excetrcdade específca aumeta a elevação de temperatura admesoal dmu. O mesmo acotece em relação ao ídce de característca reológca,, ou sea, a elevação de temperatura admesoal dmu com o aumeto do ídce. Na forma dmesoal, também ocorre o verso. A fgura 4.6 apreseta o comportameto da temperatura efetva (dmesoal) do flme de óleo lubrfcate do macal, T ef, parâmetro este que flu dretamete a vscosdade efetva do flme e cosequetemete a especfcação do lubrfcate mas adequado. Observa-se que a temperatura efetva dmu com o aumeto da excetrcdade específca até um certo valor, passa por um mímo próxmo a ε,7 e etão aumeta ovamete. Nota-se ada que o aumeto do ídce de característca reológca,, aumeta a temperatura efetva do flme e que o óleo pseudoplástco,,8, apreseta uma maor establdade térmca em relação a codção operacoal (excetrcdade específca de trabalho). A fgura 4.7 mostra o comportameto da vscosdade efetva aparete do lubrfcate, µ ef, a forma dmesoal. Observa-se ovamete que o óleo pseudoplástco,,8, apreseta-se mas estável que os demas vsto que sofre

35 99 pequea varação da vscosdade com a excetrcdade. Nota-se também que para uma mesma excetrcdade específca, ε, a vscosdade efetva aparete é maor para maores ídces de característca reológca,, e que a mesma aumeta com a excetrcdade até um certo valor e etão dmu ovamete, passado por um máxmo para uma excetrcdade etre,6 e,7. As fguras 4.8 a 4.3 mostram a fluêca da relação L/D do macal o comportameto dos parâmetros resultates capacdade de carga admesoal, F, e temperatura efetva do flme, T ef, para T s 38 C e,8;, e, em fução da excetrcdade, ε. Serão aalsadas as relações L/D /4, /, e. Verfca-se pelas fguras 4.8 a 4. que para os três ídces a capacdade de carga admesoal do macal aumeta com o aumeto da relação L/D do macal e da excetrcdade específca, ε. Na forma dmesoal, a fluêca da relação L/D também é a mesma. flme, Observado as fguras 4. a 4.3 ota-se que a temperatura efetva do T ef, aumeta com o aumeto da relação L/D do macal e que para uma relação L/D fxa a temperatura efetva passa por um mímo próxmo a excetrcdade ε,7. Verfca-se ada que a temperatura efetva apreseta, para uma determada excetrcdade fxa, uma tedêca de covergêca à medda que a relação L/D dmu. As fguras 4.4 a 4.6 mostram o comportameto da temperatura efetva do flme de óleo, T ef, com a varação da velocdade de rotação do exo do macal para relação L/D, T s 38 C e,8;, e,. Observa-se que o aumeto da rotação do exo eleva a temperatura efetva do flme de óleo para os três valores de e que a medda que a excetrcdade específca, ε, aumeta, a temperatura efetva do flme dmu até um certo valor e etão aumeta ovamete, passado por um mímo em uma excetrcdade etre,6 e,7.

36 As fguras 4.7 a 4.35 mostram o comportameto dos parâmetros resultates capacdade de carga admesoal, F, perda de potêca admesoal, H f, e temperatura efetva do flme, T ef, quado se vara a temperatura do óleo de suprmeto do macal, T s, para uma relação L/D, rotação de 5 rpm e,8,, e,. Aalsado-se as fguras 4.7 a 4.9 verfca-se que para o óleo lubrfcate pseudoplástco,,8, a capacdade de carga admesoal, F, do macal aumeta com a redução da temperatura do óleo de suprmeto, T s. ara os óleos Newtoao,, e ão-newtoao dlatate,,, ocorre um comportameto verso, ou sea, a capacdade de carga admesoal, F, dmu. Na forma dmesoal, o etato, é possível verfcar através da equação de admesoalzação que para qualquer dos ídces de característca reológca,, a capacdade de carga aumeta com a redução da temperatura do óleo de suprmeto, T s. As fguras 4.3 a 4.3 os mostra que para o óleo lubrfcate pseudoplástco,,8, a perda de potêca admesoal aumeta com a redução da temperatura do óleo de suprmeto, T s. Um comportameto verso ocorre para os óleos Newtoao,, e ão-newtoao dlatate,,. Novamete é mportate ressaltar que a forma dmesoal a perda de potêca aumeta com o aumeto da temperatura de suprmeto do óleo lubrfcate. Uma aálse das fguras 4.33 a 4.35 permte-os observar que a temperatura efetva do flme, T ef, aumeta com o aumeto da temperatura do óleo de suprmeto, T s. Mostra ada, mas uma vez, a maor establdade térmca do óleo pseudoplástco,,8, em relação a codção de operação (excetrcdade específca ε ) do macal quado comparado com os óleos Newtoao ou ão- Newtoao do tpo dlatate.

37 A fgura 4.36 mostra o comportameto da temperatura efetva do flme de óleo versus temperatura do óleo de suprmeto para dferetes ídces de característca reológca. Verfca-se ovamete uma meor temperatura efetva para o óleo ão-newtoao do tpo pseudoplástco,,8; para qualquer valor da temperatura do óleo de suprmeto. O comportameto da temperatura efetva do flme de óleo versus rotação do macal é mostrado a fgura 4.37, em fução do ídce de característca reológca. A fgura mostra, mas uma vez, a maor establdade térmca do óleo ão-newtoao do tpo pseudoplástco, uma vez que há pequea varação da temperatura efetva do flme com o aumeto da rotação do macal.

38 5 CAÍTULO 3 SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DE REYNOLDS 3. - Admesoalzação das Equações Goverates A fm de obter uma solução de maor geeraldade e para que fque claro qual é o couto mímo de varáves que goveram o feômeo é ecessáro resolver a equação de Reyolds a sua forma admesoal. ara sso, defem-se os segutes parâmetros admesoas : θ x R (3.a) z z (3.b) L h H (3.c) c U R ω m c c (3.d) m m m.6 ( K.logT K ) m (3.e) Substtudo as equações (3.) a equação (.55), obtém-se :

39 5 ( ) ( ) θ ω θ ω θ H R c m m U z c R c U m L ch z L c R c U m R ch R 6 (3.) Mapulado algebrcamete a equação (3.) e lembrado que N e RN U π ω π, pode-se chegar faclmete à equação a segur: θ θ θ d dh z m H z L d m H 6 4 (3.3) A equação (3.3) é a equação de Reyolds da lubrfcação hdrodâmca modfcada para fludos ão-newtoaos modelo power law, a forma admesoal. As codções de cotoro defdas pelas equações (.58), agora as formas admesoalzadas, tomam a segute forma: π θ θ π θ,, ' e z z em (3.4a) ' θ π θ θ θ e em (3.4b) Cosderado que o macal está perfetamete alhado, ou sea, que a espessura do flme H é fução somete de θ, a equação (3.3) resulta em: θ θ θ θ d dh z m H L d m H d dh H m 6 4 (3.5) Coforme deduzdo o apêdce A, a espessura do flme de óleo, h, em uma posção crcuferecal θ qualquer, é dada por:

40 53 h c( ε cosθ ) (3.6a) De acordo com as equações (3.c) e (3.6a), a espessura admesoal do flme de óleo é dada por: H ε cosθ (3.6b) Assm, H ( cosθ ) ε (3.7) H ( cosθ ) ε (3.8) dh ε seθ dθ (3.9) Substtudo-se as equações (3.7), (3.8) e (3.9) a equação (3.5), obtém-se: ( ) ε seθ d 6mε seθ ( cos ) ε θ θ 4 L ( ) θ z ε cosθ (3.a) ou ode: A B C (3.b) θ θ z ( ) ε seθ A (3.a) ε cosθ d B (3.b) 4 L C mε seθ ( ε cosθ ) (3.c)

41 φ L Qs Ts Qrec Trec Qt Tmst hmax θ O O' N ho θ ' Ql Tl Ql Tl Fgura 3.4 Compoetes de vazão de lubrfcate e temperaturas correspodetes 73

42 6 φ F Ft θ ; π Fr o' o N θ max θ π θ ' ho θ ' max θ max Fgura 3.3 Dstrbução de pressão e compoetes de carga

43 L π π θ ' Fgura.4 Gráfco trdmesoal da dstrbução de pressão o plao ( θ, z) 45

44 z L Domío Computacoal (a) (b) Fgura.3 (a) Dstrbução de pressão do flme lubrfcate o plao médo do macal ( z L / ) (b) Codções de cotoro o plao ( θ, z) 44

45 L F φ θ ; π y e o o' N x z d D θ ' θ π h φ Vsta Lateral Vsta Frotal Fgura. Geometra do macal radal hdrodâmco 4

46 T ef ( C) N (rpm) Fgura 4.37 Temperatura efetva do flme T ef versus rotação N. ( L/D e ε,7 ) 3

47 T ef ( C) T s ( C) Fgura 4.36 Temperatura efetva do flme T ef versus temperatura de suprmeto T S. ( L/D e ε,7 ) 3

48 Ts 3 C Ts 38 C Ts 45 C 8 T ef ( C) ε Fgura 4.35 Temperatura efetva do flme Tef em fução da temperatura do óleo de suprmeto. ( L/D e, ) 3

49 75 7 Ts 3 C Ts 38 C Ts 45 C 65 6 T ef ( C) ε Fgura 4.34 Temperatura efetva do flme T ef em fução da temperatura do óleo de suprmeto. ( L/D e, ) 9

50 55 5 Ts 3 C Ts 38 C Ts 45 C 45 T ef ( C) ε Fgura 4.33 Temperatura efetva do flme T ef em fução da temperatura do óleo de suprmeto. ( L/D e, 8 ) 8

51 8 7 Ts 3 C Ts 38 C Ts 45 C 6 5 H f 4 H f m H f U L R c U ε Fgura 4.3 erda de potêca admesoal H f em fução da temperatura do óleo de suprmeto. ( L/D e, ) 7

52 9 Ts 3 C Ts 38 C Ts 45 C 8 7 H f 6 5 H f m H f U L R c U ε Fgura 4.3 erda de potêca admesoal H f em fução da temperatura do óleo de suprmeto. ( L/D e, ) 6

53 Ts 3 C Ts 38 C Ts 45 C 9 H f 8 7 H f m H f U L R c U ε Fgura 4.3 erda de potêca admesoal H f em fução da temperatura do óleo de suprmeto. ( L/D e, 8 ) 5

54 9 8 7 Ts 3 C Ts 38 C Ts 45 C F F F U c m L R ε Fgura 4.9 Capacdade de carga admesoal F em fução da temperatura do óleo de suprmeto. ( L/D e, ) 4

55 9 Ts 3 C Ts 38 C Ts 45 C 8 F F F U c m L R ε Fgura 4.8 Capacdade de carga admesoal F em fução da temperatura do óleo de suprmeto. ( L/D e, ) 3

56 9 Ts 3 C Ts 38 C Ts 45 C 8 F F F U c m L R ε Fgura 4.7 Capacdade de carga admesoal F em fução da temperatura do óleo de suprmeto (L/D e, 8)

57 9 rpm 5 rpm 36 rpm T ef ( C) ε Fgura 4.6 Temperatura efetva do flme T ef em fução da rotação do macal. ( L/D e, )

58 rpm 5 rpm 36 rpm T ef ( C) ε Fgura 4.5 Temperatura efetva do flme T ef em fução da rotação do macal. ( L/D e, )

59 rpm 5 rpm 36 rpm 46 T ef ( C) ε Fgura 4.4 Temperatura efetva do flme Tef em fução da rotação do macal. ( L/D e,8 ) 9

60 L/D /4 L/D / L/D L/D T ef ( C) ε Fgura 4.3 Temperatura efetva T ef em fução da relação L/D do macal. (, ) 8

61 L/D /4 L/D / L/D L/D T ef ( C) ε Fgura 4. Temperatura efetva Tef em fução da relação L/D do macal. (, ) 7

62 L/D /4 L/D / L/D L/D T ef ( C) ε Fgura 4. Temperatura efetva T ef em fução da relação L/D do macal. (,8 ) 6

63 8 7 6 L/D /4 L/D / L/D L/D 5 F 4 3 F F U c m L R Fgura 4. Capacdade de carga admesoal F em fução da relação L/D do macal. (, ) ε 5

64 8 L/D /4 L/D / L/D L/D F 6 4 F F U c m L R Fgura 4.9 Capacdade de carga admesoal F em fução da relação L/D do macal. (, ) ε 4

65 L/D /4 L/D / L/D L/D 8 F 6 4 F F U c m L R ε Fgura 4.8 Capacdade de carga admesoal F em fução da relação L/D do macal. (,8 ) 3

66 µ ef (c) ε Fgura 4.7 Vscosdade efetva aparete µ ef em fução do ídce de característca reológca. ( L/D )

67 T ef ( C) ε Fgura 4.6 Temperatura efetva do flme Tef em fução do ídce de característca reológca. ( L/D )

68 T T f R c Q t R c N L 4π Q Q l t ε Fgura 4.5 Elevação de temperatura admesoal T em fução do ídce de característca reológca. ( L/D )

69 H f H f m H f U L R c U Fgura 4.4 erda de potêca admesoal ε H f em fução do ídce de característca reológca. ( L/D ) 9

70 5.8.. ( R c) f / 5 f ( R / c) R F c F a ε Fgura Coefcete de atrto f ( R / c) em fução do ídce de característca reológca. ( L/D ) 8

71 U R ω m c c θ (graus) Fgura 4. Dstrbução de pressão o plao médo do macal para excetrcdade.7 em fução do ídce de característca reológca. ( L/D ) 7

72 max 8 6 U R ω m c c ε Fgura 4. ressão máxma admesoal do flme max em fução do ídce de característca reológca. ( L/D ) 6

73 Q l.5 Q l Q l R c N L ε Fgura 4. Vazão lateral admesoal Q l em fução do ídce de característca reológca. ( L/D ) 5

74 Q t Q t Q t R c N L ε Fgura 4.9 Vazão crcuferecal de etrada admesoal Q t em fução do ídce de característca reológca. ( L/D ) 4

75 F F F U c m L R ε Fgura 4.8 Capacdade de carga admesoal F em fução do ídce de característca reológca. ( L/D ) 3

76 S.5 S m π F ε Fgura Número de Sommerfeld S em fução do ídce de característca reológca. ( L/D )

77 6 5 Caso soté rmco Caso termedá ro Caso adabá tco 4 3 U R ω m c c θ (graus) Fgura 4.6 Dstrbução de pressão o plao médo do macal em fução dos Casos térmcos, para L/D,, e ε,7 95

78 Caso soté rmco Caso termedá ro Caso adabá tco U R ω m c c θ (graus) Fgura 4.5 Dstrbução de pressão admesoal o plao médo do macal em fução dos casos térmcos, para L/D,, e ε,7 94

79 4 3.5 Caso Isoté rmco Caso Itermedá ro Caso adabá tco 3.5 U R ω m c c θ (graus) Fgura 4.4 Dstrbução de pressão admesoal o plao médo do macal em fução dos casos térmcos, para L/D,,8 e ε,7 93

80 8 6 Caso Isoté rmco Caso Itermedá ro Caso Adabá tco 4 F 8 6 F F U c m L R ε Fgura 4.3 Capacdade de carga admesoal do macal em fução dos casos térmcos, para L/D e, 9 9

81 6 4 Caso Isoté rmco Caso Itermedá ro Caso Adabá tco F F F U c m L R Fgura 4. Capacdade de carga admesoal do macal em fução dos casos térmcos, para L/D e, ε 9 9

82 9 8 Caso Isotermco Caso Itermedá ro Caso Adabatco 7 F F F U c m L R Fgura 4. Capacdade de carga admesoal do macal em fução dos casos térmcos, para L/D e,8 ε 9

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87 54 3. Dscretzação por Dfereças Ftas da Equação de Reyolds ara colocar a equação (3.b) a forma de dfereças ftas devemos dscretzar a dstrbução de pressão ( ( θ, z) ), coforme mostra a fgura 3.. z θ π s t t, z t -,,, 3,- π θ ' π θ 3 4 s s Fgura 3. Malha para a solução computacoal Ode:,, 3,..., s ;,, 3,..., t ; s é o úmero de tervalos a dreção crcuferecal ; t é o úmero de tervalos a dreção axal ; s é o úmero de ós a dreção crcuferecal ; t é o úmero de ós a dreção axal. Desta forma, a posção crcuferecal e a posção axal de cada poto odal é dada por:

88 55 π θ (3.a) ( ) θ ( ) s ( ) ( ) z z (3.b) t Substtudo-se a equação (3.a) as equações (3.a) e (3.c), obtém-se: A ( ) ε se ( ) ε cos π s ( ) π s (3.3a) C 6mε se ε cos ( ) ( ) π s π s (3.3b) As codções de cotoro de Reyolds a forma admesoal, dadas pelas equações (3.4a) e (3.4b), podem ser represetadas grafcamete como mostra a fgura 3.. z π π θ ' π θ (a) (b) Fgura 3. (a) dstrbução admesoal de pressão o plao médo do macal (b) codções de cotoro de pressão o plao ( θ, z) π θ ' π θ

89 56 ara colocar os dferecas parcas da gradeza em forma de dfereças ftas desevolve-se em sére de Taylor a gradeza, da segute forma: Na dreção θ tem-se que;...!,, θ θ θ θ (3.4a)...!,, θ θ θ θ (3.4b) ou ) (! 3,, θ θ θ θ θ E (3.5a) ) (! 3,, θ θ θ θ θ E (3.5b) ode ) ( 3 θ E e ) ( 3 θ E represetam erros de tercera ordem. Subtrado-se a equação (3.5a) de (3.5b), obtém-se: ( ),, E E θ θ (3.6a) assm, ( ) θ θ θ,, E E (3.6b) O segudo termo do lado dreto da equação (3.6b) represeta erros de seguda ordem, os quas são desprezados resultado em:

90 57, θ θ, (3.7) Somado-se as equações (3.5a) e (3.5b), obtém-se: θ,,, 3 ( E ) E θ! 4 (3.8a) assm, ( E ),,, 3 E4 θ θ θ (3.8b) Sedo E 3 e E 4 erros de quarta ordem, o segudo termo do lado dreto da equação (3.8b) represeta erros de seguda ordem, os quas são desprezados resultado em:,,, θ θ (3.9) Aalogamete, a dreção z, tem-se: z, z, (3.) e, z z,, (3.) obtém-se: Substtudo-se as equações (3.7), (3.9) e (3.) a equação (3.b),

91 58 C z B A,,,,,,,, θ θ (3.) Mapulado-se algebrcamete e explctado-se,, obtém-se: ( ) [ ] ( ) [ ] { ( ) } ( ) [ ],,,,, 4 θ θ θ θ θ B z B z C z A z A (3.3) ou ( ) C C C C 4 3,,,,, (3.4) ode : ) 4( θ B z D (3.5a) ( ) [ ]D z A C θ (3.5b) ( ) [ ]D z A C θ (3.5c) D B C ) ( 3 θ (3.5d) D z C C ) ( 4 θ (3.5e) A equação (3.4) é a equação de Reyolds dscretzada a forma de dfereças ftas. Coforme as codções de cotoro estabelecdas aterormete, as pressões odas,,, serão sempre ulas ou postvas. Com relação a θ em

92 59 ' θ e θ π θ, é uma codção atural e satsfeta automatcamete, vea kus e Sterlcht [3]. Assm, para e s,, (3.6) para e t, No caso de um programa computacoal, a codção de cotoro é mposta fazedo-se ( para a s e a t ). Assm, as pressões, odas, serão calculadas para a s e a t, obedecedo o segute crtéro: se, fazer.,, Coforme pode-se observar, a equação (3.4) represeta um sstema de equações algébrcas, o qual é solucoado o presete trabalho utlzado-se o método teratvo de Gauss-Sedel. No osso caso específco é utlzado também o esquema de sobre-relaxação sucessva (SOR). O obetvo do método SOR é acelerar o processo de covergêca das pressões odas (obtdas através do método de Gauss-Sedel), podedo também resultar em uma cosderável desaceleração caso o fator de sobre-relaxação ão sea o mas adequado. O esquema de cálculo é o segute: sedo, k, k, k, ( W ) ( ) (3.7) ot k, k k k k k, C, C, C3(,, ) C (3.8) 4 ode; k,, 3,... represeta as terações; k dca a teração atual; k dca a teração ateror; W ot é o fator de sobre-relaxação

93 6 O valor de W ot ormalmete está compreeddo etre e. Uma das formas de prever o valor de W ot é o proposto por Lloyd e McCallo [3]; ode, ( α ) / W ot (3.9) α π d π 4 L α (3.3) π d N s L Como em toda solução através de um método teratvo, os cálculos são repetdos até a covergêca. ara tato, é ecessáro que se mpoha um crtéro de parada, o qual pode ser estabelecdo pela segute equação; k k k,, Ψ, (3.3) ode Ψ é o fator de covergêca ( erro ) do processo teratvo. De posse da dstrbução de pressão, podem-se determar város outros parâmetros de teresse à aálse predtva do comportameto operacoal de um macal radal hdrodâmco, tas como: capacdade de carga, vazões, coefcete de atrto, úmero de Sommerfeld, etc. 3.3 Cálculo dos arâmetros Resultates 3.3. Capacdade de carga A fgura 3.3 mostra a dstrbução de pressão e as compoetes de carga radal, Fr, e tagecal, Ft, de um macal radal hdrodâmco.