CÉSAR TARABAY SANCHES MODOS NÃO-LINEARES DE VIBRAÇÃO E CONTROLE ATIVO DE RISERS. Tese de Doutorado. Área de Concentração: Engenharia de Estruturas

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1 CÉSAR TARABAY SANCHES ODOS NÃO-LNEARES DE VBRAÇÃO E CONTROLE ATVO DE RSERS Tese de Doutorado Área de Cocetração: Egehara de Estruturas Oretador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Ngro azzll Tese apresetada à Escola Poltécca da Uversdade de São Paulo para obteção do Título de Doutor em Egehara Cvl. São Paulo 9

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3 A prayer for the wld at heart, ept cages. Teessee Wllams as, do bem fudo, chego muto pesatva à coclusão de que ão exste ada mas dfícl que etregar-se totalmete. Essa dfculdade é uma das dores humaas. Clarce Lspector.

4 v À mha grade e etera paxão, Aa. Aos meus eteros amores: Pa, ãe, Cao, Vó, Kauã e Braquha.

5 v Agradecmetos Ates de tudo, gostara de dzer muto obrgado ao meu oretador, Professor Carlos Eduardo Ngro azzll. Sem ele, este texto ão estara aqu. Foram mutos altos e baxos, típcos de uma orada ao descohecdo. mago que ão teha sdo ada fácl para ele a empretada de me oretar. Agradeço muto todo o esforço e pacêca dele esta árdua tarefa. Agradeço de forma especal à mha famíla: Pa, ãe, Cao e ao meu, recém chegado e muto amado, sobrho e aflhado, Kauã. Eles são parte de mha hstóra e, portato, parte de mm mesmo. Agradeço ao meu Pa pelo exemplo de perseveraça e força. esmo date das stuações mas adversas, ele uca fraqueou. Espero que mha ãe estea vedo esta mha realzação e que sto sea motvo de alegra para ela. Agradeço à mha Avó, que tão pacetemete me esou mhas prmeras lções. Não posso dexar de agradecer à Braquha por ter me esado a ser mas humao. Obrgado à lda pelo calor humao. Agradeço ao Zé e à Beta por terem sempre me tratado como flho e pelos delcosos almoços de Domgo. Ao Pedro, obrgado por ter vdo de Lorea para prestgar mha defesa. Ao Guseppe e à Nayse, agradeço por terem me recebdo de braços abertos. Agradeço à Vó Nayse e à aha por me tratarem como eto e pelo exemplo de força que elas são. Ao meu velho amgo Campello, sou grato por ter camhado comgo, lado a lado, durate todo o tempo. Agradeço ao meu grade amgo Odulpho pela auda com os mult-modos e, prcpalmete, pelo covívo e amzade de tatos aos. Agradeço ao meu caro amgo lsboeta, Carlos Tago, que, além de me receber e apresetar Lsboa, sempre me cetvou a coclur o doutorado. Agradeço aos meus grades amgos de Aberdee, The Cheap Guys : Paolo, Chrsta, Ralf e aro. Sem eles ão tera sdo possível sobrevver ao tmdador e géldo cza de Aberdee. Agradeço ao meu amgo e parcero de pesqusa, aro Keber, pelo apoo durate os trabalhos e pelas aulas sobre a Eslovêa. Um muto obrgado, também, ao meu grade amgo Jauáro pelo compahersmo e apoo durate todos esses aos. Ao árco, agradeço a auda a loga e trgate camhada ao autocohecmeto.

6 v agal, muto obrgado por ter me auxlado a atravessar os vales. Obrgado aos meus caros amgos Herque e Estela que resstram bravamete às logas horas da defesa e às cerveas que se seguram. Agradeço ao Crstao Schmdt pela amzade e suporte aos trabalhos desevolvdos o laboratóro. Agradeço à CAPES pelo apoo a este trabalho. Ao Departameto de Estruturas e Fudações da EPUSP, agradeço pelo cetvo e suporte. Esta pesqusa fo, em sua maor parte, elaborada o LC (Laboratóro de ecâca Computacoal) da EPUSP, que proporcoou os recursos materas ecessáros para a realzação dos trabalhos. Além dsso, o LC teve e tem papel fudametal a cração de um ambete cetfcamete stgate, pos permte o covívo de colegas pesqusadores, estmulado a dscussão cetífca e o florescmeto de ovas déas. Agradeço ao Professor Raúl Gozález pelo exemplo de espírto cetífco e por ter me auxlado e apoado durate os desevolvmetos de sstemas de cotrole utlzado EF. Um muto obrgado aos Professores Celso Pesce e Clóvs arts pelos esclarecmetos sobre o comportameto dâmco de rsers e pelo apoo dado a esta pesqusa especalmete equato estve em Lsboa para o SOPE. Agradeço à Uversdade de Aberdee por ter me recebdo em suas depedêcas e proporcoado um ambete agradablíssmo para o desevolvmeto dos trabalhos cetífcos. Boa parte deste trabalho fo desevolvda o Fraser Noble Buldg e o Hub. Agradeço de forma especal ao Professor ara Wercgroch, que, além de me co-oretar equato estava em Aberdee, sempre apoou e cetvou este trabalho. Sou muto grato, também, à Royal Socety pelo apoo e cetvo a esta pesqusa, especalmete, com relação aos desevolvmetos realzados em Aberdee. Agradeço a todos que, coscetemete ou ão, fzeram parte desta avetura.

7 v Agradecmeto Especal Estas lhas se fazem poucas para expressar mha gratdão para com esta pessoa. Sem ela, ada fara setdo. O sol a po o Leblo sera géldo. A acochegate e vva Amsterdam sera fra e dstate. A Torre Effel apeas um amotoado de metal. O apaxoate e alaraado pôr-do-sol em Aberdee sera cza e sem vda. Ela me apoou os mometos mas dfíces: as frustrações, as perdas, as dores... me acompahou as maores alegras e realzações... também dvdmos o smples cotdao... quebrado a cabeça para fazer um ovo prato ou dvddo a ppoca o cema... Ela, mas do que qualquer outra pessoa, sabe como fo absorvete e tesa a elaboração deste trabalho. Ela sabe das agústas e asedades... Ela me apoou e teve uma eorme força, que ão se de ode ela cosegue... Ela, mas do que eu mesmo, acredtava... Por sso tudo, e muto mas, dedco este trabalho e agradeço mesamete à mha sempre amada Aa.

8 CÉSAR TARABAY SANCHES ODOS NÃO-LNEARES DE VBRAÇÃO E CONTROLE ATVO DE RSERS Tese de Doutorado Área de Cocetração: Egehara de Estruturas Oretador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Ngro azzll São Paulo 9

9 Sumáro Lsta de Fguras... Lsta de Tabelas...5 Lsta de Símbolos...6 Resumo... Abstract... Capítulo trodução.... Obetvo.... Justfcatva...4. Revsão Bblográfca Orgazação deste Texto...9 Capítulo odos Não-Leares de Vbração.... Varedades varates..... Varedades varates em Sstemas Leares..... Varedades varates em Sstemas Não-Leares...9. Sstema Dscretzado pelo étodo dos Elemetos Ftos ult-modos...58 Capítulo Rsers Retos Suetos a Carregametos Axas...6. Sem Peso Própro Com Peso Própro Correteza..... Vbração duzda por Vórtces Rser Reto...9 Capítulo 4 Rsers em Cateára Fxo-Fxo Vbração duzda por Vórtces Rser em Cateára Fxo-Acorado...4 Capítulo 5 Cotrole Atvo Rser Reto sem Peso Própro Rser Reto com Peso Própro Rser em Cateára Com Extremos Fxos, VV e Cotrole Cotrole Ótmo Regulador Quadrátco Lear Rser Reto sem Peso Própro Rser Reto com Peso Própro Rser Reto com VV e Cotrole Coclusão...6 Referêcas Bblográfcas...64

10 Lsta de Fguras. Campo de exploração em águas profudas com Rser Towers...5. Detalhes de um Rser Tower...6. Campo de exploração em águas profudas com SCR s Fgura esquemátca de um SCR s Comparação de custo etre Rser Tower e SCR Espectro de eerga de oda característca para mar b-modal....: Vga de exo reto e sua seção trasversal : Elemeto ftesmal de vga : Elemeto fto de vga com ses graus de lberdade...5. Rser reto esquemátco; odelo de Beroull-Euler odelo do rser reto com 6 elemetos Resposta o tempo para o prmero modo Dagrama de fase para o prmero modo Resposta o tempo para o prmero modo Dagrama de fase para o prmero modo Resposta o tempo para o prmero modo Dagrama de fase para o prmero modo Resposta o tempo para o prmero modo Dagrama de fase para o prmero modo odelo esquemátco com peso própro Dagrama de fase admesoal para a resposta va EF Resposta o tempo para o prmero modo Dagrama de fase para o prmero modo Resposta o tempo para o prmero modo Dagrama de fase para o prmero modo Resposta o tempo para o prmero modo Dagrama de fase para o prmero modo Resposta o tempo para o prmero modo...9. Dagrama de fase para o prmero modo...9. Forma modal do prmero modo de vbração ormal ão-lear...9. Dagramas de fase para o mult-modo ão-lear Dagramas de fase para as terações mult-modas....4 Fotografas do mult-modo (prmero e tercero modos)....5 Rser com correte costate de velocdade U....6 Resposta o tempo para o prmero modo Dagrama de fase para o prmero modo Resposta o tempo para o prmero modo Dagrama de fase para o prmero modo...6. Resposta o tempo para o prmero modo...7. Dagrama de fase para o prmero modo...7. Resposta o tempo para o prmero modo...8. Dagrama de fase para o prmero modo St e Cd para um corpo cldríco; estera de Vo Kármá Resposta o tempo para VV, rser reto....6 Dagrama de fase para VV, rser reto...

11 4 4. odelo esquemátco de rser em cateára odelo de elemetos ftos com umeração dos graus de lberdade Codções de cotoro fxo-fxo SCR fxo-acorado Freqüêcas aturas de um SCR Forma modal do prmero modo Rser em cateára; prmero modo Dagrama de fase para o prmero modo Forma modal do prmero modo Rser em cateára; prmero modo Dagrama de fase para o prmero modo Resposta o tempo, SCR-VV Dagrama de fase, SCR-VV Forma modal do prmero modo; ampltude cal m Rser em cateára; prmero modo; ampltude cal de m Dagrama de fase para o prmero modo; ampltude cal de m Sstema de cotrole Rser reto sem peso própro com cotrole Dagrama de fase Força de cotrole Rser reto sem peso própro com cotrole Dagrama de fase Força de cotrole Rser reto com peso própro com cotrole Dagrama de fase Força de cotrole Rser reto com peso própro com cotrole Dagrama de fase Força de cotrole Resposta o tempo Dagrama de fase Rser reto sem peso própro com cotrole ótmo Dagrama de fase Força de cotrole Rser reto sem peso própro com cotrole ótmo Dagrama de fase Força de cotrole Rser reto com peso própro com cotrole ótmo Dagrama de fase Força de cotrole Rser reto com peso própro com cotrole ótmo Dagrama de fase Força de cotrole Resposta o tempo, rser reto com cotrole Dagrama de Fase, rser reto com cotrole...59

12 5 Lsta de Tabelas. Propredades físcas do rser Propredades físcas do rser Propredades físcas do rser Propredades físcas do rser...

13 6 Lsta de Símbolos a, b coefcetes das relações modas a b c r f f u l m m rs costate costate escalares aceleração correspodete à -ésma coordeada geeralzada força de cotrole modal Rgdez da mola comprmeto do elemeto massa cocetrada elemeto da matrz de massa da dâmca lear elemeto da matrz de relações modas p s deslocametos geeralzados costate r s Número complexo assocado ao modo r r s Número complexo cougado assocado ao modo r u, U u deslocameto modal, deslocameto logtudal de um poto da barra, força de cotrole, velocdade da correte deslocameto logtudal de um poto do exo da barra u rs V v x x x elemeto da matrz de rgdez da teora lear velocdade modal, deslocameto trasversal de um poto da barra deslocameto trasversal de um poto do exo da barra abscssa axal, deslocameto em relação à posção deformada da mola Posção de equlíbro estátco estável Posção de equlíbro estátco stável x Posção de equlíbro estátco estável x lm ampltude correspodete à freqüêca ula x lm ampltude correspodete à freqüêca ula x lm ampltude correspodete à freqüêca ula

14 7 y t A A B C D Número real Tempo área da seção trasversal termo costate da equação de movmeto de prmera ordem coefcetes de termos leares da equação de prmera ordem coefcetes de termos leares da equação de prmera ordem coefcetes de termos leares das equações de seguda ordem D coefcetes de termos quadrátcos das equações de seguda ordem D l coefcetes de termos cúbcos das equações de seguda ordem E ódulo de elastcdade do materal E m coefcetes de termos quadrátcos da equação de prmera ordem F -ésma compoete do campo vetoral F F m coefcetes de termos quadrátcos da equação de prmera ordem G m coefcetes de termos quadrátcos da equação de prmera ordem H mp coefcetes de termos de quarta ordem da equação de movmeto K mometo de érca da seção trasversal coefcetes de termos leares das equações de seguda ordem K coefcetes de termos quadrátcos das equações de seguda ordem K l coefcetes de termos cúbcos das equações de seguda ordem L comprmeto da barra L mp coefcetes de termos de quarta ordem da equação de movmeto coefcetes de termos leares das equações de seguda ordem coefcetes de termos quadrátcos das equações de seguda ordem l coefcetes de termos cúbcos das equações de seguda ordem N mp coefcetes de termos de quarta ordem da equação de movmeto R mp coefcetes de termos de quarta ordem da equação de movmeto S r subespaço do espaço de fase assocado ao r-ésmo modo

15 8 T X Y q r u r v x x y y z z r z r w C F K r N N N elemeto da matrz do sstema de prmera ordem learzado Relação modal correspodete à -ésma coordeada geeralzada Relação modal correspodete à -ésma velocdade geeralzada vetor de coordeadas geeralzadas parte real do r-ésmo autovetor r-ésmo autovetor real ou parte magára do r-ésmo autovetor vetor de deslocametos geeralzados vetor de deslocametos geeralzados o state zero vetor de velocdades geeralzadas vetor de velocdades geeralzadas o state zero vetor de deslocametos e velocdades geeralzados vetor de deslocametos e velocdades geeralzados o state zero r-ésmo autovetor complexo vetor de varáves modas matrz de amortecmeto campo vetoral do sstema de prmera ordem matrz de rgdez, matrz de gaho matrz de massa matrz de relações modas matrz dos coefcetes das relações modas matrz dos coefcetes das relações modas N matrz dos coefcetes das relações modas Q r R T U X Z α matrz do sstema learzado as varáves modas matrz de trasformação de coordeadas matrz de prmera ordem do sstema learzado vetor de forças elástcas vetor de deslocametos geeralzados a base formada pelos autovetores vetor de deslocametos e velocdades geeralzados a base u K, v,, u, v clação das barras

16 9 r α α r β β δ ϕ θ θ rs costate real gradeza auxlar da formulação de elemetos ftos costate real gradeza auxlar da formulação de elemetos ftos delta de Kroecer âgulo de fase, deslocameto agular a partr da cofguração deformada deslocameto agular a partr da horzotal gradeza auxlar da formulação de elemetos ftos r λ autovalor relatvo ao modo r μ rs ν rs ξ r φ r ρ ρ rs σ rs τ rs elemeto da matrz de amortecmeto costate gradeza auxlar da formulação de elemetos ftos Escalares Fução de terpolação ampltude de deslocameto, desdade do materal gradeza auxlar da formulação de elemetos ftos gradeza auxlar da formulação de elemetos ftos gradeza auxlar da formulação de elemetos ftos ψ ω Fução de terpolação freqüêca atural r ω freqüêca modal do modo r ω D,r freqüêca atural amortecda do r-ésmo modo Γ operador T a ova base u K, v,, u, v Ω Ψ matrz de mudaça de base de ordem matrz de mudaça de base do espaço de fase de dmesão

17 Resumo Este trabalho tem por obetvos: o estudo do comportameto dâmco ãolear de rsers oceâcos, utlzado modos ão-leares de vbração, e o cotrole atvo das vbrações eles duzdas. Uma formulação ão-lear do método dos elemetos ftos é utlzada para a modelagem dos sstemas estruturas com város graus de lberdade. Pela aplcação do método das varedades varates ao modelo de elemetos ftos, determam-se os modos ormas ão-leares. Para o caso de ressoâcas teras, pode ser ecessáro determar mult-modos ão-leares, o que se faz pela aplcação do método das múltplas escalas. Aprecável esforço cetífco ada é ecessáro para uma compreesão profuda da dâmca de rsers. utas das questões em aberto estão relacoadas a aplcações em águas ultraprofudas. Recetemete, ovas reservas de óleo e gás foram descobertas o mar braslero em águas ultraprofudas, com lâmas d água superores a 5m. Assm, a dústra offshore se depara com um ovo couto de problemas e desafos relacoados à dâmca ão-lear de rsers. Desta forma, a aálse modal ão-lear pode ter um mportate papel a modelagem de Rser- Tower s, SCR s (Steel Cateary Rser), etre outros sstemas oceâcos. Um procedmeto completo cosderara dversos aspectos como movmetos duzdos por odas (W Wave duced oto) e por corretes oceâcas. Nesta últma categora, ressaltam-se as vbrações duzdas por vórtces (VV Vortex duced Vbrato). A todos esses feômeos se somam o escoameto tero, deslocameto mposto, cotato com o solo marho, etc. Nota-se que a aálse modal ão-lear é adequada para represetar o comportameto da dâmca global dos rsers por meo de modelos matemátcos com poucos graus de lberdade. Dfereças relevates etre as abordages lear e ãolear são ecotradas a forma modal e os dagramas de fase. Tas dfereças podem ser mportates quado o arrasto e a érca do fludo forem cosderados. ult-modos são utlzados para abordar ressoâcas teras utlzado aálses acopladas que são mportates o caso de exctação mult-modal de modos altos por VV. De fato, modos ão-leares podem ser útes a elaboração de modelos matematcamete reduzdos que apresetem uma resposta qualtatva e quattatvamete coerete com a resposta da aálse de rsers sob carregametos reas. A aálse modal ão-lear é uma técca ovadora que permte um aprofudameto do etedmeto do comportameto da dâmca dos rsers e a elaboração de modelos matemátcos com poucos graus de lberdade. Por serem modelos meores, cosomem meos tempo de processameto levado a respostas mas rápdas, essecas para sstemas de cotrole efcetes. Algus exemplos de sstemas de cotrole são estudados este trabalho.

18 Abstract The preset wor has the followg obectves: deep uderstadg of the olear structural behavour of rser dyamcs, by usg o-lear modal aalyss, ad the study of these structural systems whe a actve cotrol system s coupled. The fte elemet method provdes a set of o-lear equatos of moto for the structural system cosdered. These o-lear equatos of moto are hadled by the so-called varat mafold approach: o-lear vbrato modes are defed as movemets whose traectores phase space are cofed to a two-dmesoal varat mafold. addto, the method of multple scales s used to determe the o-lear mult-modes, whe teral resoaces come to play. Rser dyamcs stll demads great research efforts, may of the ope topcs beg related to deep ad ultra-deep water applcatos. The offshore dustry has already begu to explore water depths at the lmts of the curret techology ad has plas to access stes over 5 metre-deep. Therefore, offshore dustry wll face ew challeges cocerg the o-lear dyamcs of rsers. No-lear modal aalyss wll play a mportat role the proect developmet of hybrd towers, SCR s ad so o. A complete desg procedure cosders several ssues assocated wth the dyamc respose to wave-duced motos (W) of the Floatg Producto Uty (FPU) ad to ocea currets. ths latter category oe may cte vortex-duced motos (V) of spar-type FPUs ad vortex-duced vbrato (VV). Results pot out that o-lear modal aalyss s adequate to capture the global dyamc behavour of rsers. Relevat dffereces wth respect to lear aalyss mght the appear the modal shape ad phase traectores. Such dffereces mght be mportat whe drag ad erta flud loads wll be further cosdered. ult-modes should be cosdered to approach teral resoace. Couplg aalysg may be relevat the case of mult-modal exctato of hgher modes VV. No-lear modes are beleved to play a mportat role degree-of-freedom model reducto, thus allowg for good qualtatve ad quattatve respose aalyss of rsers uder sea loadg. No-lear modal aalyss s a ovatve techque that allows for deeper uderstadg of rser dyamcs. addto, reduced models ca be foud order to dmsh the processg tme. Reducg the calculato tme s very mportat whe cotrol systems are cosdered. Ths wor studes some examples of rsers that are cotrolled by actve systems, whch are cosderably affected by the processg tme.

19 Capítulo trodução A exploração de óleo e gás em águas profudas e ultraprofudas tem sdo alvo de ateção e de vestmetos crescetes. Algus fatores que mpulsoam tal feômeo estão assocados ao declío das taxas de crescmeto de produção de óleo e ao aumeto sgfcatvo do preço do barrl de petróleo, quado se observa a tedêca domate das últmas décadas. Este últmo pode ser assocado à falta de vestmetos em prospecção, produção, refaras, baxa capacdade de armazeameto, aceleração do cosumo de óleo e dervados e esgotameto das reservas de eerga ão-reováves. O declío a produção está assocado à maturação de mportates campos em produção, especalmete, os países dtos de prmero mudo que, va de regra, são os maores cosumdores. Como resposta a esta stuação, dversas compahas saem em busca de ovas bacas produtoras, mutas vezes localzadas em países em desevolvmeto. Etretato, tas empresas ecotram-se em desvatagem estratégca frete às compahas acoas que, obvamete, possuem o apoo de seus goveros e, além dsso, possuem vestmetos extesvos as suas regões. Uma maera de cotorar tas dfculdades se dá pela formação de cosórcos etre empresas estrageras e as compahas acoas, ode estas últmas possuem partcpação maortára. Estes blocos mostram-se teressates uma vez que vablzam os desevolvmetos de ovas tecologas, além do tercâmbo das tecologas detro e fora do país. O ar do Norte, por exemplo, atgu seu pco de produção em 999. Da mesma forma, outros mportates campos produtores atgram a maturdade e mpulsoaram a dústra do óleo para ovas descobertas, detre as quas se destacam países como Agola, Ngéra e Brasl. Neste últmo ressalta-se a recete descoberta a Baca de Satos, o campo de Tup. Tal reserva localza-se a aproxmadamete 6m

20 da superfíce do mar, sedo que desta profuddade total m correspodem à lâma d água. Como á mecoado aterormete, devdo às codções ecoômcas e geopolítcas, dversas sttuções prvadas e públcas têm laçado esforços para o desevolvmeto de tecologas para solução dos problemas orgados da exploração em codções cada vez mas severas. Este ceáro de desafos ustfca o presete trabalho a medda em que este desevolve uma ferrameta para a aálse de determados sstemas estruturas submetdos a codções extremas de solctação orudas da exploração em água profudas. A exploração em águas ultraprofudas leva os sstemas estruturas a regmes ão-leares de reposta dâmca que ates podam ser eglgecados em codções mas ameas de solctação. No etato, tas efetos ão-leares toram-se sgfcatvos em fução, por exemplo, do aumeto do comprmeto dos rsers, das velocdades das corretes oceâcas, do escoameto tero, da dversdade e tesdade das odas, das codções de cotacto com o leto marho, etc. Como resultado de tas efetos, feômeos deseados podem ocorrer, tas como a redução da vda útl dos elemetos, falhas, fltrações e vazametos. Date deste ceáro, fazem-se ecessáros modelos matemátcos e computacoas cada vez mas sofstcados capazes de represetar adequadamete os sstemas reas. A partr de tas modelos, ovos procedmetos e códgos podem ser elaborados levado em cota efetos, até etão, ão completamete cohecdos. O trabalho utlza o método dos elemetos ftos para a dscretzação cal dos sstemas estruturas, cosderado a complexdade de vculação, geometra e carregameto típca dos proetos de egehara. Em seguda, a aálse modal ãolear é aplcada para determação das propredades dâmcas desses sstemas. Proetos típcos de egehara offshore apresetam complexdade elevada. sto se deve à varedade de seus carregametos, que podem ser orudos de dversas orges, tas como odas, corretes, vetos, etc., e à dversdade de sua geometra e

21 4 propredades físcas mutas vezes ão-leares. Geometras complexas levam a modelos matemátcos com um grade úmero de graus de lberdade. Este elevado úmero de graus de lberdade demada cosderável esforço computacoal. Este esforço é tato maor a medda em que codções de cotoro complexas como as TDZ s (Touch Dow Zoes), ão-leardades físcas e ãoleardades geométrcas são levadas em cosderação. Além de aumetar o tempo de cálculo computacoal, essa massa de dados dfculta a compreesão do comportameto prcpal dos sstemas estruturas ou a compreesão dos efetos mas sgfcatvos a dâmca de rsers. A abordagem va modos ão-leares de vbração tem por obetvo a redução do úmero de graus de lberdade dos modelos estruturas sem perder a capacdade de descrção do seu comportameto, ou característca, prcpal dos sstemas. Por esta abordagem algus poucos modos ão-leares de vbração seram sufcetes para capturar o comportameto dos sstemas. odos ão-leares são capazes de capturar a fluêca de modos superores devdo à cosderação de termos ão-leares a sua formulação. Assm, um úco modo ão-lear pode guardar formações de dos ou mas modos leares. O elevado úmero de graus de lberdade de um sstema pode dfcultar substacalmete a aálse, por exemplo, de um sstema de cotrole atvo. Para este últmo a velocdade de obteção da resposta é crítca para efcêca do cotrole estrutural. Quado maor o úmero de graus de lberdade, maor o tempo de cálculo e, portato, maor o atraso a obteção da resposta. odos ão-leares podem desempehar papel crucal a redução do volume de cálculos, levado a respostas mas rápdas do sstema de cotrole. Além dsso, os modos ão-leares de vbração permtem uma compreesão qualtatva da eorme massa de dados forecda o modelo de elemetos ftos. O volume de dados resultates de uma aálse o domío do tempo é cosderável mesmo para uma aálse lear, sedo ada maor para as aálses ão-leares. A tarefa de terpretação dessa massa de dados é por vezes árdua e demorada. Assm os modos ão-leares poderam ser utlzados como uma teressate ferrameta a

22 5 compreesão da dâmca ão-lear dessas repostas o domío do tempo. Não obstate, os modelos reduzdos orudos dos modos ão-leares de vbração devem ser comparados com os resultados do modelo completo de elemetos ftos para sua valdação e calbragem. Fgura. Campo de exploração em águas profudas com Rser Towers. A seleção do coceto de rser mas efcaz para um determado campo de exploração é de extrema mportâca em proetos para águas profudas. Dos mportates caddatos são: o rser de aço em cateára (Steel Cateary Rser - SCR), que é laçado dvdualmete, e a torre de rsers (Rser Tower), que cosste em um couto de rsers empacotados uma torre vertcal. Ao logo dos últmos quze aos aproxmadamete, mutos esforços têm sdo drecoados para o desevolvmeto de sstemas de exploração offshore em águas profudas e ultraprofudas. calmete os rsers utlzados para águas rasas foram utlzados para a exploração de reservas em águas profudas. Etretato, a

23 6 ecessdade de desevolver campos com profuddades superores a ml metros de profuddade levou ao desevolvmeto de ovos cocetos de rsers, por exemplo, os SCR s e os Rser Towers. Fgura. Detalhes de um Rser Tower. A fgura. (ver [76]) apreseta os Rser Towers de forma geral, equato a fgura. (ver [76]) mostra detalhes desse sstema. Já a fgura. apreseta um campo de exploração com SCR s. A represetação esquemátca de um SCR pode ser aprecada a fgura.4. O coceto de Rser Tower cosste em um couto de rsers empacotados utos em toro de um tubo cetral, que é fabrcado e motado oshore. Este couto é utlzado para trasportar fludos ou para garatr adequada rgdez mecâca, ou para ambos. Esta colua vertcal é tracoada por meo de uma estrutura flutuate localzada o topo da colua ou dstrbuída ao logo da colua. A terface com o fudo do mar é estátca e cosste em uma âcora sobre a qual a colua de rsers se coecta por meo de um dspostvo mecâco desevolvdo para absorver a clação devda ao movmeto dâmco da torre (flex ot). No fudo do mar os rsers vertcas e os flowles horzotas se tercoectam através de spools e dversas

24 7 outras coexões. O topo do Rser Tower, que é poscoado a uma profuddade ótma para mmzar os efetos das odas e das corretes, é coectado à udade flutuate através de uma sére de tubos curtos flexíves. Esses tubos são flexíves e desevolvdos para garatr a cotudade do fluxo e para absorver os movmetos de heave da udade flutuate. O coceto de Rser Tower tem sua orgem o Golfo do éxco, ode em 988 um couto de rsers empacotados fo stalado o Bloco 9 (The Gree Cayo Bloc 9). Fgura. Campo de exploração em águas profudas com SCR s (ver [76]). O coceto de SCR é, bascamete, uma extesão do coceto de steel flowle, que é levado à superfíce do mar e coectado à udade flutuate. Coseqüetemete, cada flowle exge um SCR dvdualmete. O SCR é stalado utlzado a tecologa de ppelay que requer soldagem offshore, que é um poto crítco. O prmero SCR fo stalado o Golfo do éxco, o desevolvmeto de Auger, em 994. Desde etão, um úmero cosderável tem sdo stalado o Golfo do éxco e, prcpalmete, o Brasl.

25 8 Fgura.4 Fgura esquemátca de um SCR s (ver [76]). O SCR é um úco tubo suspeso em cateára a partr do suporte da udade flutuate. O SCR dexa a udade flutuate em cateára até tocar o fudo mar quado segue horzotalmete, coforme fgura.4. A terface com a udade flutuate cosste em uma estrutura de hag off e uma uta flexível para absorver as varações dâmcas de mometo geradas pela udade flutuate. A terface com o fudo do mar é dâmca. O poto de toque (Touch Dow Pot - TDP) pode se mover tato axalmete quato lateralmete. A essa regão de toque dá-se o ome de Touch Dow Zoe TDZ. Um sstema de acoragem pode, também, ser corporado para establzar o rser axalmete. Essa teração cra uma regão bastate sesível à fadga que, freqüetemete, requer aálse, seleção de materal e processo de fabrcação especas. SCR s são estruturas domadas pela fadga, com os carregametos hdrodâmcos proveetes de odas e corretes, cludo aqueles gerados pela vbração duzda por vórtces (Vortex duced Vbrato - VV), desempehado um papel sgfcatvo o seu proeto e posteror fabrcação. Geralmete, SCR s são fabrcados offshore utlzado uma embarcação especal que ormalmete possu uma extesão de stalação. Em geral, SCR s precsam ser stalados uma vez que a udade flutuate de produção estea poscoada. sto evolve uma operação complcada etre a embarcação de ppelay e a udade

26 9 flutuate de produção, sedo que a embarcação de ppelay trabalha bastate próxma da udade de produção. Até a atualdade, o coceto de Rser Tower tem sdo uma solução que respode favoravelmete a certas exgêcas que o toram uma solução compettva cotra os SCR s e flexíves, por exemplo, quato ao cogestoameto do leto marho e exgêcas de solameto térmco. Etretato, Rser Towers tedem a ser soluções mas caras até profuddades de pelo meos m, com a solução em SCR geralmete estmada em % mas barata. A fgura.5 lustra a evolução do custo versus a profuddade para ambos SCR e Rser Tower. O custo vara learmete para ambos os sstemas com uma clação maor para o SCR. Quado alcaçada uma profuddade crítca, a taxa de crescmeto do custo cresce sgfcatvamete para o SCR devdo aos equpametos de stalação utlzados para suportar altas trações. A mudaça da taxa de crescmeto depede de outros fatores além da profuddade; o etato, para um SCR típco, a mudaça ocorre ao redor de 8 m de profuddade. Uma mudaça a taxa de crescmeto de custo do Rser Tower também ocorre devdo a mudaças as exgêcas de proeto em fução da profuddade. Tal aumeto da taxa de crescmeto de custo é esperada para uma profuddade ao redor de 5 m. Custo Profuddade Fgura.5 Comparação de custo etre Rser Tower e SCR (ver [76]).

27 Para os rsers, de forma geral, o carregameto predomate é de atureza hdrodâmca (Pesce [69]). Admtem-se para o proeto de rsers as odas de superfíce, a correteza oceâca e o veto. As odas afetam o sstema estrutural de duas maeras: uma dretamete, ao logo do comprmeto do rser (mas propramete uto à superfíce, dmudo sua fluêca com a profuddade), e outra dretamete, pela alteração da posção da udade flutuate, que serve de apoo à extremdade superor do rser, e pelo movmeto mposto à udade flutuate. A correteza além de agr sobre a udade flutuate, acoa o rser ao logo de seu comprmeto, determado a cofguração estátca e afetado a resposta dâmca através das vbrações duzdas por vórtces (VV). A ação do veto se dá de forma dreta através da movmetação da udade flutuate. Há ada o carregameto assocado ao fluxo tero de óleo ou gás que pode ser relevate em determadas codções. Dversas escalas de tempo e comprmeto estão presetes a dâmca deste sstema complexo. A escala de tempo de varação da correteza, por exemplo, é de cerca de das ou de horas, em regões fluecadas pela maré ltorâea. As escalas de tempo característcas do veto são bem varadas, podedo ser bem pequeas (algus segudos), quado assocadas às raadas. A escala de tempo característca dos movmetos das udades flutuates o plao horzotal (surge, sway, yaw), por sua vez, é de cerca de a mutos, posto que se caracterzam por apresetar elevadíssma érca e pequea restauração propcada pelo sstema de fudeo. Já os movmetos os plaos vertcas (heave, roll, ptch) ocorrem em períodos característcos de algus segudos (cerca de para plataformas sem-submersíves, para avos e segudos para TLP's). Surge é o movmeto de traslação logtudal; sway o lateral; yaw o de rotação em toro da vertcal; heave correspode à osclação vertcal; roll à rotação em toro do exo logtudal e ptch a rotação em toro do exo trasversal.

28 A fgura.6 apreseta a dstrbução de eerga de oda para o mar braslero a regão da baca de Campos. Como pode ser observado, trata-se de uma dstrbução b-modal com dos pcos em toro das freqüêcas. Hz e. Hz, correspodedo a períodos de s e 5 s, respectvamete. Além de b-modal, as odas a regão da baca de Campos também são b-drecoas. Em geral, as odas de superfíce caracterzam-se por espectros de eerga cotíuos de largura de bada relatvamete estreta. Odas de grade ampltude e comprmeto apresetam períodos típcos da ordem de a 5 segudos e odas de pequeas ampltudes e pequeos comprmetos, períodos de cerca de a 7 segudos. No etato, dversos casos de carregameto devem ser cosderados a estmatva da vda à fadga do rser e, em algus casos, essas relações etre períodos e ampltudes podem ser vertdas. Eerga de Oda..8 S ( m. s ) w (Hz) Fgura.6 Espectro de eerga de oda característca para mar b-modal. Com relação às lhas elástcas dos rsers, três são as prcpas escalas de comprmeto presetes. A prmera é o própro comprmeto suspeso. A seguda, o dâmetro da lha, muto pequeo se comparado ao comprmeto. A tercera escala é deomada "comprmeto de flexão", e mede a dstâca característca detro da qual o comportameto de vga, domate uto às extremdades ou restrções geométrcas

29 termedáras, é compatblzado ao comportameto de cateára, que rege o comportameto global da lha. Os períodos aturas dos modos trasversas baxos, com sem-comprmeto de oda da ordem da profuddade, são domados pela rgdez geométrca. Depedem do verso da raz quadrada da profuddade. Os modos trasversas altos, com sem-comprmeto de oda da ordem do comprmeto de flexão, são domados pela rgdez flexoal, o etato. Os modos logtudas, assocados à dâmca de barra, são domados pela rgdez axal. O período assocado ao feômeo de lberação de vórtces depede, falmete, do dâmetro da lha e da tesdade da correteza. Valores típcos podem ser ecotrados a faxa abaxo de segudos (Pesce [69]).

30 . Obetvo Esta pesqusa tem por obetvo o estudo da dâmca e do cotrole atvo de rsers com comportameto ão-lear, utlzado modos ão-leares de vbração para obteção de modelos matemátcos reduzdos (com poucos graus de lberdade). Todos os modelos estudados são plaos. Os modos ormas ão-leares de vbração são obtdos utlzado-se a abordagem por varedades varates. Os mult-modos ãoleares de vbração são ecotrados utlzado-se o método das múltplas escalas. São estudadas ressoâcas teras por meo de modelo de modos acoplados. Estudam-se prmeramete rsers retos por uma abordagem aalítca. As equações de movmeto, os modos ormas e os mult-modos são determados aaltcamete. Depos, para o mesmo sstema estrutural, determam-se as equações de movmeto, os modos ormas e os mult-modos utlzado-se um sstema dscretzado pelo método dos elemetos ftos. As respostas das duas abordages, aalítca e método dos elemetos ftos (EF), são comparadas para dferetes geometras e codções cas para vbrações lvres. Posterormete abordam-se rsers em cateára, porém apeas através do EF. Determam-se as formas modas, as respostas temporas e dagramas de fase para dferetes ampltudes. Em fução destas últmas, ecotram-se dferetes freqüêcas que são aalsadas e relacoadas com dferetes propredades e codções de cotoro dos rsers em estudo. A partr das equações modas ão-leares dos rsers troduz-se um sstema de cotrole atvo. O método de cotrole é o de alocação de pólos. O observador utlzado é o de Lueberger. Serão utlzados gaho lear e observador também lear, apesar de o sstema estrutural ser ão-lear. Destaca-se a utlzação de cotrole ótmo para alocação dos pólos. Utlza-se o Regulador Lear Quadrátco Determístco (Lear Quadratc Regulator LQR). As expressões fas, demostrações e mplemetação computacoal são apresetadas. Prmeramete, aborda-se a teora cosderado sstemas leares e posterormete estedem-se os cocetos para os sstemas ão-leares.

31 4. Justfcatva Como abordado a trodução, devdo às codções ecoômcas e geopolítcas corretes, o desevolvmeto de tecologas para produção em águas profudas é prordade a dústra petrolífera. Os aspectos téccos evolvdos a execução de empreedmetos exploratóros cada vez mas ousados se mostram desafadores. Este ceáro de desafos ustfca a presete pesqusa uma vez que esta tem por obetvo o desevolvmeto de ferrametas computacoas aplcadas à aálse dâmca ãolear de rsers e, além dsso, à compreesão dos feômeos evolvdos. Prmeramete, apreseta-se um software de cálculo automátco capaz de calcular os modos ão-leares ormas de estruturas retculadas sob protesão cal. Este software, obvamete, é adequado para a determação dos modos ão-leares de rsers. Apeas modelos plaos são processados pelo software. Desevolve-se, também, a aálse e compreesão da dâmca. Tas estudos se processam pela determação de resposta o tempo e dagramas de fase que mostram as varações da freqüêca com ampltude, valores de ampltudes máxmos e mímos, partcpação dos sstemas de amarração, etc. Para o estudo do cotrole atvo de rsers, utlzam-se rotas em programas de matemátca smbólca para o desevolvmeto dos observadores de estado. Os sstemas com cotrole são smulados e suas respostas são aalsadas, de forma a mostrar a fluêca dos cotroles a dâmca global.

32 5. Revsão Bblográfca Roseberg [75], defu modos de vbração como sedo vbrações em uíssoo de um sstema autôomo admssível. Os sstemas admssíves são tas que, a ausêca de esforços exteros dâmcos, possuem uma úca cofguração de equlíbro, sedo permtdo executar vbrações lvres em toro da mesma e, a preseça de exctação extera, realzar vbrações forçadas (em regme permaete). Por sua vez, as vbrações em uíssoo devem ter as segutes propredades: o movmeto das massas é equperódco; durate metade do período, o sstema passa precsamete uma vez pela cofguração de equlíbro; em um quarto de período, as velocdades das massas passam smultaeamete por zero, e os deslocametos atgem os seus máxmos; e o deslocameto de qualquer massa, em qualquer state, pode ser determado ucamete pelo deslocameto de uma das massas. Roseberg aplcou o método geométrco, que cosste em prmero calcular as relações etre as coordeadas geeralzadas e, depos, a frequêca modal. Uma extesão desta dscussão pode ser ecotrada em Pa e Roseberg [66] (968). Shaw e Perre (99) [79], abordaram modos de vbração através das varedades varates. Na aálse lear, modos de vbração são determados a partr da solução de um problema de autovalores, sedo que os respectvos autovetores determam as formas modas. Porém, Shaw e Perre observaram que tal solução está cotda uma superfíce plaa bdmesoal o espaço de fase. Desta forma, sugerram que a traetóra da solução modal de um sstema ão-lear devera estar cotda uma superfíce bdmesoal o espaço de fase, que ão ecessaramete sera um plao. sto sgfca dzer que, uma extesão dos modos leares, as coordeadas geeralzadas guardam etre s relações ão-leares para os sstemas ão-leares. Em outros trabalhos, Shaw e Perre, [8] (99), [8] (994) e [8] (999), abordam sstemas massa-mola ão-leares através das varedades varates determado os modos ormas ão-leares desses sstemas estruturas. Também, abordam modelos reduzdos utlzado modos ão-leares.

33 6 Nayfeh [6], em 994, aborda problemas com vgas através de modos ãoleares e método das múltplas escalas. Para determar a dâmca da varedade varate é ecessáro resolver a equação do osclador modal equvalete, o que Nayfeh faz através do método das múltplas escalas. Em outras publcações, Nayfeh [6] (995), [6] (), utlzado o método das múltplas escalas [6], determa os modos ão-leares de uma barra smplesmete egastada e estuda terações ão-leares aaltcamete, computacoalmete e expermetalmete. Outros autores se dedcam ao estudo de expasões locas dos modos ãoleares e à aalse da establdade e outros métodos de aálse dâmca ão-lear em [], [45], [46], [54], [57], [58], [59] e [85]. Trabalhos com sstemas massa-mola e modos ão-leares podem ser ecotrados em Vaas [9] e [9], Gedelma et al [9], e Kg e Vaas [9]. Em Lacarboara et al [4], [4], ecotra-se o estudo das ressoâcas teras para estruturas udmesoas e estruturas abatdas. As bases do desevolvmeto das equações ão-leares de movmeto utlzadas este trabalho podem ser ecotradas em azzll [48] (99) e Brasl e azzll [5]. azzll, Soares e Baracho Neto publcam, em, [49] artgo sobre redução de modelos dscretzados pelo método dos elemetos ftos utlzado modos ão-leares de vbração. Em, Soares et al [87] desevolvem o cálculo dos modos ão-leares por meo de software de cálculo. Abordam-se sstemas formados por barras e dscretzados pelo método dos elemetos ftos. Utlza-se a abordagem por varedades varates. Uma explaação mas extesa sobre o tópco pode ser aprecada em [86] (998). Baracho Neto [6] também aborda estruturas compostas por barras dscretzadas por elemetos ftos, porém determado os modos ormas e os mult-modos pelo método das múltplas escalas. Ecotram-se soluções temporas, recuperado-se posterormete as relações modas, ou sea, as varedades varates. Outros trabalhos de Baracho Neto [5],[7] e [8] exploram modos ormas ão-leares

34 7 e mult-modos ão-leares com ressoâcas teras : e : utlzado o método das múltplas escalas. Bov et al [], [] e [] também aborda ressoâcas teras e vbrações forçadas. Pesce et al [7], em 999, publcam trabalho sobre a determação dos autovalores de rsers em águas profudas. O trabalho apreseta uma solução aalítca fechada. São abordados sstemas learzados cosderado a rgdez geométrca dos rsers. Pesce e arts [7] em 5 apresetam modelo de teração fludo estrutura. Trata-se de modelo umérco computacoal para a determação da dâmca de rsers. Um ao depos, 6, Pesce e arts [7] publcam trabalho sobre a dâmca local a regão do TDP (Touch Dow Pot) relacoado esta últma com a dâmca global do rser. Ada abordam a determação dos modos de vbração e suas relações com as exctações proveetes de vbrações duzdas por vórtces VV. Em 989, arts [47] publca trabalho sobre o amortecmeto atvo para redução de vbrações duzdas por vórtces (VV) em rsers. Slvera et al [84] vestga a tesão efetva em rsers submetdos à VV. Em Delft, Keber et al [5], 6, apresetam trabalho aplcado a aálse modal ão-lear ao estudo da dâmca de rsers. As vbrações são duzdas por vórtces (VV) e modos ão-leares são calculados por varedades varates. Em 7, trabalho apresetado por Keber et al [6] dscute a dâmca de rsers cosderado ão-leardades geométrcas fracas e exctados por corretes oceâcas. Como seqüêca deste trabalho, Keber et al [7] publcam estudo sobre a teração fludo-estrutura em rsers exctados por vórtces orudos de correte oceâca. Na seqüêca dos trabalhos, Keber [8] realza estudo sobre a fluêca da tesão cal em rsers, com foco em como a protesão cal ateua ou aumeta a ampltude da resposta temporal.

35 8 Newberry et al [64] também propõem cotrbuções teressates ao estudo de cabos submersos com ressoâca tera :. Em Parra [67] e Blevs [] valosos desevolvmetos teórcos e resultados expermetas podem ser aprecados o estudo das vbrações duzdas por vórtces (VV) em rsers rígdos acoplados a um sstema de molas. Ada em Blevs ecotram-se resultados também para rsers flexíves. Kuper [4] publca resultado teressate, ada ão totalmete compreeddo, sobre vbrações em water tae rsers (rsers para tomada de água) que sugerem a possível exstêca de ressoâcas teras em tas aplcações. azzll [5], 7, publca abordagem aalítca para o cáculo dos modos ão-leares em barras pré-tesoadas comparado as respostas aalítcas com respostas obtdas va EF e varedades varates. A determação aalítca dos modos ão-leares é feta através do método das múltplas escalas. A extesão deste trabalho é apresetada em [5], com o cálculo de mult-modo, além dos modos ormas, pela va aalítca e utlzado EF, ambos utlzado o método das múltplas escalas. Esse mult-modo acopla o prmero e o tercero modos de vbração que teragem fortemete devdo à ressoâca tera. Em 996, Gozález Lma [] apreseta trabalho sobre a traslação de vga flexível em tempo mímo. Neste estudo, valosos cocetos relatvos à utlzação do cotrole atvo ótmo são detalhados. Adcoalmete, um modelo físco é costruído e utlzado para obteção de resultados expermetas que calbram o modelo teórco. Neste trabalho fca clara a costrução do observador e suas mplcações a dâmca do sstema. O observador de estados utlzado este texto é o observador de Lueberger [44]. Em Chag [7] e Ogata [65] ecotram-se os desevolvmetos relatvos ao regulador quadrátco lear (Lear Quadratc Regulator LQR) adotados este texto. Preumot, [7] e [74] (, 997), publca amplo trabalho em cotrole atvo de estruturas. Nesses trabalhos ota-se forte êfase o estudo de cabos e estruturas

36 9 assocadas a estes. Dversas abordages são apresetas utlzado sstemas SSO e O com alocação de pólos utlzado regulador quadrátco ótmo. Gattull ([4], [5], [6], [7] e [8]) publca exteso estudo sobre dâmca ão-lear, especalmete, de cabos. Também aborda o cotrole da vbração de cabos assocados a outros sstemas estruturas. Tas cotroles podem ser passvos e atvos. Para ambos, resultados expermetas são gerados realmetado os modelos matemátcos. Srl et al [88], [89] e [9] cotrbuem com estudo de cabos com ressoâca tera. Em Fuo et al [], [] ecotram-se estudos teressates com relação ao cotrole atvo de cabos submetdos à vbrações forçadas. Bosses e Preumot [4], Achre e Preumot [], [] abordam o problema de cabos em potos e seus sstemas de medção de vbrações orudas de esforços aerodâmcos (Fug [])..4 Orgazação deste Texto O capítulo aborda cocetos relatvos a modos ão-leares de vbração. ca-se o capítulo com modos ão-leares ormas e varedades varates. Em seguda dsserta-se sobre o método dos elemetos ftos e o elemeto ão-lear utlzado a dscretzação dos rsers. Posterormete, ada o mesmo capítulo, procede-se ao desevolvmeto dos mult-modos ão-leares. Dscutem-se ada as mplemetações fetas para o cálculo de modos ão-leares de rsers. Ressalta-se que o software aqu utlzado somete costró modelos bdmesoas, ou sea, modelos plaos. O capítulo trata de modos ão-leares de rsers retos. São aalsados rsers sem peso própro, com peso própro e com correte. Além dsso, são determados os mult-modos dos exemplos sem e com peso própro. Comparações são fetas para dferetes ampltudes cas e os resultados são comparados etre s. Para o rser com correte, é estudada sua dâmca quado são cosderados VV s (vbrações duzdas por vórtces).

37 No capítulo 4, determam-se os modos ão-leares ormas para rsers em cateára (SCR s). Relações da freqüêca com ampltude são abordadas, assm como as mudaças as formas modas quado os efetos ão-leares são cosderados. Também se dscute a capacdade de mesmo um úco modo ão-lear de vbração capturar fluêcas de modos superores. Além dsso, para o SCR de extremdades fxas ou fxa-acorada, são estudadas as vbrações duzdas por vórtces. No capítulo 5, são troduzdos sstemas de cotrole atvo para os rsers do capítulo. Comparam-se resultados com e sem cotrole: ampltudes, freqüêcas, respostas o tempo e dagramas de fase. Também se abordam os íves de tesão e taxa de amortecmeto para tas sstemas de cotrole. Estudam-se sstemas de cotrole atvo ótmo, as vbrações duzdas por vórtce para o rser reto com peso própro e o SCR com extremos fxos. Por fm, o capítulo 6 traz as coclusões e trabalhos futuros. Fechado o texto ecotram-se as referêcas usadas esta pesqusa.

38 Capítulo odos Não-Leares de Vbração Este capítulo tem por obetvo a cocetuação e o estudo do procedmeto de cálculo para modos ão-leares. Apreseta-se a abordagem por varedades varates para a determação dos modos ão-leares ormas. Prmeramete, aplca-se esse coceto para os sstemas leares. Posterormete, o método é esteddo para os sstemas ão-leares. O sstema ão-lear de seguda ordem com equações dferecas é trasformado em um sstema de prmera com equações dferecas. A partr do sstema de prmera ordem determam-se as relações modas e a equação ão-lear do osclador modal. Dscute-se, também, a dscretzação de sstemas estruturas pelo método dos elemetos ftos, abordado as ão-leardades geométrcas cosderadas a formulação do elemeto. Utlza-se elemeto plao de vga de exo reto baseado a teora de Beroull-Euler cosderado em sua formulação ão-leardades geométrcas. No fal da seção, apresetam-se os desevolvmetos matemátcos mplemetados o software de cálculo para a cosderação de rsers. Tas alterações toram o software capaz de ldar com as tesões teras dos rsers orudas da cofguração estátca dessas estruturas. Por fm, apreseta-se a determação dos mult-modos. Estes últmos são calculados utlzado-se o método das múltplas escalas. Para o cáculo dos modos ão-leares ormas fo gerado um software, em FORTRAN, chamado modolr. Este software é uma versão atualzada do modol, ver [86] e [77], que recebeu aprmorametos para poder processar rsers. Portato, o modolr é um subproduto deste trabalho. Para o cálculo dos mult-modos ãoleares, utlzou-se um software gerado por Baracho Neto [6]. Este capítulo apreseta as teoras e os modelos matemátcos utlzados a elaboração dos programas. Ambos os programas tratam, apeas, de modelos plaos e vbrações lvres.

39 . Varedades varates.. Varedades varates em Sstemas Leares Cosdere-se um sstema estrutural lear, com graus de lberdade, que possua amortecmeto proporcoal ou ão-proporcoal. A equação matrcal deste sstema pode ser escrta a forma: & x C x& K x. ode é a matrz de massa, C é a matrz de amortecmeto e K é a matrz de rgdez, todas quadradas de ordem. O equação. pode ser escrta a forma: z & T z.. ode x z, y x&, T y K C Para o sstema. os deslocametos geeralzados para um determado modo r (ver [86]) pode ser escrto como fução das varáves modas a forma: r r ode, [ ] matrz T ; N N N, r N e u () t w, sedo u ( t) e v ( t) v () t modal, respectvamete, com r z r N w.. r N são a parte real e a parte magára do autovetor r da v u&. o deslocameto modal e a velocdade A equação. mostra que o vetor de deslocametos e velocdades geeralzados do r-ésmo modo z r é uma combação lear de r N e r N. Nota-se,

40 portato, que o movmeto modal o espaço de fase de dmesão, está restrto ao subespaço r S gerado por r N e r N, sto é, dar uma codção cal que perteça a faz com que todo o movmeto se desevolva este subespaço. Desta forma, etedese que r S é um subespaço varate ao fluxo. r S Vale otar que r N e r N são vetores learmete depedetes e, portato, dsttos etre s. Logo, r N e r N podem apresetar deslocametos geeralzados dsttos. Desta forma, r N e r N podem represetar formas modas dferetes. As varáves u(t) e v(t) são, como á mecoado aterormete, respectvamete, o deslocameto modal e a velocdade modal. Portato, quado v(t) é ulo, u(t) é dferete de zero sedo a forma modal defda pelo vetor v(t) é dferete de zero e a forma modal é defda pelo vetor r N. Quado u(t) é ulo, r N. Devdo a esta alterâca de formas modas, o movmeto observado pode ser uma oda ãoestacoára, o caso de amortecmeto ão-proporcoal, (se N ), ode os deslocametos geeralzados podem ão se aular o mesmo state e, também, podem ão atgr seus valores máxmos o mesmo state. r O subespaço r S pode ser eteddo como uma varedade, do poto de vsta topológco [86]. Desta forma, etede-se que o subespaço S r é uma varedade varate do sstema dâmco. Coclu-se, portato, que a solução modal para um sstema lear com amortecmeto ão-proporcoal é um movmeto que se processa uma varedade varate bdmesoal o espaço de fase [79]. Vale otar que a defção clássca de modos de vbração ão se aplca a sstemas leares com amortecmeto ão-proporcoal. Nos sstemas leares, as varedades varates do sstema dâmco são plaos do espaço de fase que cotêm o poto de equlíbro. Assm, todos os deslocametos e velocdades geeralzados podem ser escrtos como uma fução lear das varáves modas, que são um deslocameto geeralzado e sua respectva velocdade. Partdo deste fato, é possível propor um procedmeto dferete para o cálculo das soluções modas. Este ovo procedmeto cosste em determar, prmeramete, as fuções que relacoam deslocametos e velocdades geeralzados

41 4 com as varáves modas. Estas fuções são dtas relações modas. Na verdade, tratase de determar as varedades varates do sstema dâmco. Uma vez ecotradas as varedades, é possível defr a dâmca do sstema através da equação do osclador modal equvalete. Este procedmeto é uma geeralzação do método geométrco de Roseberg [75]. Sedo assm, as varáves modas são escolhdas a segute forma: u( t) x ( t),.4 e v( t) y ( t) x& ( t),.5 sedo u (t) e v (t) as varáves modas e o ídce refere-se ao grau de lberdade escolhdo para defção das varáves modas. Cosderem-se dos vetores learmete depedetes N e N de dmesão, que defem uma varedade varate o espaço de fase. Pode-se escrever, z N w,.6 ode

42 5 [ ] b b b b a a a a N N N,.7 e y x x x v u & w..8 Substtudo.6 em., T N w w N &..9 Observado a equação.9, ota-se que a depedêca com relação ao tempo está guardada as varáves w e w&. Para elmar-se a depedêca do tempo, case por se escrever w& a forma, z z v v v u & & & & & &w.. Substtudo.6 à dreta da gualdade em. vem, T N w z &.. A expressão. pode ser escrta de forma mas explícta como,

43 6 v u b b a a T T T T T T z z z z z,,,,,, L L L L L L & & & & &.. De., utlzado otação dcal, vem, [ ] v u T v z, & &.. ode, e são os elemetos da matrz N. Substtudo. em. tem-se, Q w w v u T T z z v v v u,, & & & & & &,.4 ode,,, T T Q..5 Substtudo.4 em.9, T N w Q w N,.6 e, portato, dada a arbtraredade de w, T N Q N..7

44 7 Após escrever w& como fução de w, e substtur a equação.9, obtém-se a expressão.7 que depede do tempo. Na verdade as varáves em questão são apeas aquelas que descrevem as relações modas, sto é, são os elemetos da matrz N. O problema agora se tora puramete geométrco, sedo que a determação de N defe a varedade varate a qual se desevolve o movmeto. Explctado os elemetos de.7, vem,,,,,,,,,,, T T T T T T T T T T L L L L L L L L..8 Lembrado., reescreve-se.8 como,,,,,,,,,,,, T T T T T T T T L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L O L L O L L L L L L..9 A partr de.9 ota-se que Q N é uma matrz x, assm como N T. Logo, se uma prmera letura coclu-se que seam 4 equações ão-leares e depedetes, deve-se observar que as equações correspodetes às lhas e são prevamete satsfetas, e, desta maera, restam 4-4 equações.

45 8 Vale lembrar que, para um sstema estrutural com graus de lberdade, exstem modos de vbração e que, portato, teremos subespaços S r que represetam as varedades varates do problema. No etato, cada subespaço gerado a partr do cohecmeto de dos vetores learmete depedetes que são compoetes de r N e r S é r N, r N. Assm, o sstema.7 deve apresetar soluções reas dsttas para N, correspodedo às varedades varates. Uma vez determadas as relações modas segue-se a determação do osclador modal equvalete. Partcularzado. para o r-ésmo modo, r r r &,. z T N w e observado que, como mostra., r r r, r r r r [ u v ] & u v& z& T.. A repetção de um ídce deota a soma em até (otação dcal). Ao logo deste texto será utlzada esta otação, excetuado os casos ode, explctamete, sea dto o cotráro. Obtém-se, r r ( ω ) u r r r r u& ξ ω u&,. ode r r ω T,. é a freqüêca atural do modo r, e

46 9 ξ r T, r ω r.4 é a taxa de amortecmeto do modo em questão. A solução do osclador modal. é dada por: u r r r ξ ω t r r r () t e ρ cos( ω t ϕ ) d,.5 ode ω r d r ω ξ.6 r é a freqüêca amortecda do r-ésmo modo, e das codções cas. r ρ e r ϕ são costates que depedem Esta abordagem vsa a ecotrar prmeramete as relações modas e depos as equações que descrevem a dâmca do modo para compor o movmeto total. A solução de.7, pode demadar um cosderável esforço computacoal. Logo, para os modos leares de vbração, uma abordagem através de um problema de autovalores, pode represetar um gaho, tedo em vsta a exstêca de rotas efcetes o tratameto de tas problemas, mesmo sedo T ão smétrca. Porém, esta vsão geométrca será mportate para a defção dos modos ãoleares, uma das extesões do coceto aqu apresetado... Varedades varates em Sstemas Não-Leares Neste trabalho, cosdera-se a defção proposta por Shaw e Perre [79]: odo ão-lear de vbração é um movmeto ão-forçado que se desevolve em uma varedade varate bdmesoal o espaço de fase do sstema; essa varedade

47 4 cotém um poto de equlíbro estável e, esse poto, é tagete a um plao que correspode a um autoespaço do sstema learzado em toro do equlíbro. Pode-se eteder modos ão-leares de vbração como uma extesão atural do coceto de modos de vbração para sstemas ão leares. Em sstemas leares, os deslocametos e velocdades geeralzados podem ser escrtos como uma combação lear de apeas um deslocameto geeralzado e sua respectva velocdade e, desta forma, o movmeto fca restrto a um subespaço bdmesoal e plao r S do espaço de fase de dmesão. Para sstemas ão-leares, os deslocametos e velocdades são escrtos como fução de um deslocameto geeralzado e sua respectva velocdade, porém estas fuções são geralmete ão- r leares. Em coseqüêca, o subespaço S matém-se bdmesoal, porém trata-se agora de uma superfíce o espaço de fase, em geral, ão-plaa. Para uma compreesão melhor, supõe-se o segute couto de equações dferecas de movmeto de seguda ordem de um sstema ão-lear autôomo, & x f (x, K, x, y, K, y ),.7 ou, a forma de um sstema de prmera ordem: x& y& y& f (x, K, x, y, K, y,.8 ) ode, K, e f são fuções de classe C, suetas às segutes codções cas f (, K,,, K,).9 com, K,. Na forma matrcal, tem-se

48 4 z F(z) &. ode, y y x x z z z z & & & & & & & & &z e. ) z,, (z f ) z,, (z f z z ),z, (z K K K F.. O correspodete sstema learzado de. pode ser determado a partr de z F z z ) ( &.. Sedo F() z T,.4 vem z T z &..5

49 4 Estededo-se o coceto utlzado para os modos leares, escrevem-se os deslocametos e velocdades como fuções de apeas um deslocameto geeralzado e sua respectva velocdade. Para tato, escolhem-se: u( t) x ( t),.6 e v( t) y ( t) x& ( t),.7 sedo as varáves modas. Desta forma, durate um movmeto modal qualquer deslocameto ou velocdade é uma fução de u e v, x X (u, v),.8 y Y (u, v),.9 com, K,. e, em especal, x X (u, v) u,.4 y Y (u, v) v..4 Substtudo as expressões.8 e.9 em.8 obtêm-se x& y& y Y ( u, v) f (x, K, x..4, y, K, y ) f (X (u, v), K,X (u, v),y (u, v), K,Y (u, v))

50 4 Em otação matrcal tem-se, x X(u, v),.4 y Y(u, v),.44 ode x x x, X X(u, v) X (u, v), (u, v) y y y, e Y (u, v) Y(u, v)..45 Y (u, v) Utlzado.4 e.44 pode-se escrever z a forma, x X(u, v) z..46 y Y(u, v) Desea-se elmar a depedêca do tempo a expressão.. Portato, desevolve-se a dervada o tempo de z a forma, z& d dt z dw z w dt X u Y u X X(u, v) v u& u Y (u, v) v& Y v u X(u, v) v v,.47 Y(u, v) f v ode, f f (X (u, v), K, X (u, v),y (u, v), K, Y (u, v)). O segudo membro da gualdade em. pode ser escrto:

51 44 f f y Y (u, v) y Y (u, v) Y,.48 (x, K, x, y, Ky ) f(x(u, v), K, X (u, v),y (u, v), KY (u, v)) f (x, K, x, y, Ky ) f (X(u, v), K, X (u, v),y (u, v), KY (u, v)) ode, Y (u, v) Y e.49 Y (u, v) f(x(u, v), K, X (u, v),y (u, v), KY (u, v)) f..5 f (X (u, v),, X (u, v),y (u, v), Y (u, v)) K K Reescreve-se. a partr de.47 e.48 obtedo-se X(u, v) u Y(u, v) u X(u, v) v v Y..5 Y(u, v) f f v Nota-se em.5 a ausêca da depedêca do tempo o que faz com que o problema tore-se puramete geométrco. Escrevedo os elemetos das matrzes de.5 tem-se,

52 45 -ésma lha ()-ésma lha X(u, v) u X (u, v) u Y (u, v) u Y (u, v) u X(u, v) v X (u, v) v Y (u, v) f v Y (u, v) v Y (u, v) v v Y (u, v),.5 (u, v) f(u, v) f (u, v) f (u, v) vale otar que, X (u, v),.5 u X (u, v),.54 v Y (u, v), e.55 u Y (u, v)..56 u Observado a relação.5, coclu-se que exstem - equações dferecas ão leares depedetes, uma vez que as equações correspodetes à lha são satsfetas prevamete. A solução desse sstema de equações ão é um problema trval. Porém, o sstema.5 deve forecer soluções dsttas e reas que devem correspoder aos modos de vbração do problema. Desta forma, escreve-se a equação do osclador modal como:

53 46 r r r r r r r r r r r r r & u f (X (u, u& ), K, X (u, u& ),Y (u, u& ), K, Y (u, u& )),.57 ode o ídce r correspode ao r-ésmo modo de vbração. Em algus problemas, a descrção geométrca do modo ão-lear pode cocdr com a lear, sto é, as fuções que relacoam os deslocametos e as velocdades geeralzados com as varáves modas são leares. Estes modos de vbração são dtos smlares. Porém, sto ão mplca dzer que a dâmca do modo será lear, sto é, a equação do osclador modal é ão-lear. Portato, a varedade varate do sstema ão-lear cocde tegralmete com o plao que defe o autoespaço do modo learzado e, desta forma, o movmeto modal se desevolve detro deste plao, porém a sua dâmca é ão-lear. Vale ressaltar que a escolha da varável modal é aleatóra, porém deve-se tomar o cudado de ão escolher varáves que correspodam a potos odas as formas modas. Devdo à complexdade que o sstema.5 pode apresetar, tora-se coveete uma solução aproxmada. A aproxmação que será feta adate se utlza de séres de potêcas para represetar as relações modas, mpodo-se respeto às equações dferecas.4 que regem o sstema estrutural. Desta forma, tem-se: X Y ( u, v) a u a v a u a 4 u v a 5 v a 6 u a 7 u v a 8 u v a 9 v ( u, v) b u b v b u b u v b v b u b u v b u v b v com, K,. Portato, as relações modas são aproxmadas através de séres de potêcas de u e v. As varáves a,..., a 9 e b,..., b 9 são as cógtas a determar, pos são elas que defem as formas modas, sto é, as varedades varates. Cosdera-se, também, que as fuções f (x, K, x, y, K, y ), com, K, possam ser escrtas como séres de potêcas de x e y a forma,

54 47 f ( x, K, x, y, K, y ) B x C y E m x x m F m x y m G m y y m,.59 H mp x x m x p L mp x x m y p N mp x y m y p ode,,m,p, K,, em B, C, E m, F m, G m, H mp, L mp e N mp. Para determação das relações modas substtu-se.58 e.59 em.5 e gualam-se os coefcetes das varáves u, v, u, u v, v, u, u v, u v e v em ambos os membros, sto é, gualam-se os coefcetes dos termos até tercera potêca. Ecotra-se, portato, um sstema de 8 equações que têm por cógtas os coefcetes a e b, ode, K, e, K, 9. etade dessas equações está assocada à prmera equação de.5: X(u, v) X(u, v) v u v f Y,.6 chamadas equações do prmero grupo. Outra metade das equações está assocada à seguda equação de.5: Y(u, v) Y(u, v) v u v f f.6 chamadas equações do segudo grupo. aores detalhes a determação das relações modas podem ser ecotrados em Soares [86].

55 48. Sstema Dscretzado pelo étodo dos Elemetos Ftos Neste trabalho utlza-se o elemeto vga de exo reto (Fgura.) formulado por azzll [48]. Trata-se de um elemeto baseado a teora de Beroull-Euler que cosdera em sua formulação ão-leardades geométrcas. O y dx Elemeto ftesmal x G y Seção Trasversal Geérca z Fgura.: Vga de exo reto e sua seção trasversal. A Fgura. mostra um elemeto plao de vga de comprmeto ftesmal prmeramete deformado e, depos, submetdo a uma deformação por flexão composta ormal. Para seções geércas, o movmeto pode dexar de ser plao e a flexão ormal pode fcar oblíqua. Na verdade, a formulação vale para flexão composta ormal, por sso é coveete cosderar seção smétrca em relação ao exo cetral de érca Gy. A ordeada y mede a dstâca em relação ao exo da vga. Os exos x e y referem-se ao sstema local do elemeto de vga. O poto O é orgem do sstema local de coordeadas. R dθ y x ds y ds dx Fgura.: Elemeto ftesmal de vga.

56 49 Na Fgura. tem-se que: d s é o comprmeto de uma fbra sobre o exo da vga a cofguração deformada; ds é o comprmeto de uma fbra com ordeada y em relação ao exo da vga a cofguração deformada; R é o rao de curvatura; dθ é o âgulo etre as seções trasversas. Para proceder à formulação do elemeto fto de vga ão-lear, o que mplca, em últma aálse, ecotrar as suas matrzes de rgdez, de amortecmeto e de massa, aplca-se a equação geeralzada de Lagrage. Em um sstema com graus de lberdade tem-se: d dt L Q & r L Qr r N,.6 ode,, K,, e L é o Lagrageao do sstema, r N são as forças geeralzadas, Q r os deslocametos geeralzados L T V,.6 sedo T a eerga cétca e V a eerga potecal total. Para vículos holôomos, a posção do cetro de massa de um elemeto de massa ftesmal dm em relação a um referecal ercal é dada pelo vetor: ( Q,,Q, t) R R,.64 K Utlzado.64 a expressão da eerga cétca pode ser escrta a forma,

57 5 ( ) Ω dm T R R & &,.65 ode Ω é a regão ocupada pelo corpo deformado e, t Q Q r r R R R & &,.66 Utlzado otação dcal, pode-se reescrever.65 como: C Q B Q Q A T r r s r rs & & &,.67 ode, dm Q Q A s r rs Ω R R,.68 dm t Q B r r Ω R R,.69 dm t t C Ω R R..7 Substtudo.67 em.6: r r r r s r s s r s rs t s r st t rs s rs N Q V Q C t B Q Q B Q B Q t A Q Q Q A Q A Q A & & & & &&,.7 O elemeto de vga possu 6 graus de lberdade 6 q,, q K coforme Fgura.. Os deslocametos q e 4 q são os deslocametos axas correspodetes,

58 5 respectvamete, ao ó cal e ao ó fal do elemeto. Aalogamete, os deslocametos q e q 5 são os deslocametos trasversas correspodetes, respectvamete, ao ó cal e ao ó fal do elemeto. Os graus de lberdade q e q 6 são, respectvamete, as rotações do ó cal e do ó fal do elemeto. y q q 5 q O q q 6 q 4 x Fgura.: Elemeto de vga com ses graus de lberdade. Os deslocametos horzotas e vertcas do exo da vga são dados por: u q φ K q φ, e v q ψ K q ψ, ode φ, K, φ6 e ψ, K, ψ 6 são fuções de forma dadas por:

59 5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x l x l x x x l x l x x l x x x x l x l x x x x l x l x x l x x x φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ.74 A posção de qualquer poto pertecete à vga é dada pelo vetor: v y u x R..75 Observado a Fgura., a equação.75 pode ser escrta como, ycosθ v yse θ u x y ycosθ v y yse θ u x R..76 Na expressão.7, o lugar da eerga potecal total (V) cosderar-se-á a eerga de deformação elástca (U), uma vez estabelecda que a parcela r N clurá as forças coservatvas. A eerga de deformação é dada pela expressão: Ω Ω ε d E U,.77 ode, E é o módulo de elastcdade do materal e ε é dado por, θ y λ ε,.78

60 5 [ ] / ode, ( u ) ( v ) λ e ( u ) u ( u ) ( v ) v v θ. Substtudo.76 e.77 em.7, ecotra-se a equação de movmeto da vga o sstema local, que é dada por r sq & s dr sq & s U r f,.79 m ode, m rs, d rs e U, r,s, K, 6 são, respectvamete, os termos da matrz de r massa, da matrz de amortecmeto e do vetor de forças elástcas do elemeto. Ada a equação.79, f represeta um termo do vetor das forças odas do elemeto o sstema local. Vale otar que, para determar os modos ão-leares, a equação global de movmeto deve ser gualada a zero, sedo, portato, homogêea. Em sstemas ão-leares, a equação de movmeto tem a segute forma m ( q) q& d( q, q& ) q& ( q) q f..8 Detalhes sobre a determação de.8 podem ser ecotrados em [48]. Reescrevedo.8 e utlzado otação dcal, vem m q& d q& q f,.8 ode m q q,.8 l q l d D D q& D q&,.8 l q l K K q K q e.84 l q l

61 54 U q..85 A matrz de rotação que relacoa coodeadas locas com as coordeadas globas pode ser escrta a forma (ver [77]): θ θ θ θ θ θ θ θ cos se se cos cos se se cos a..86 Aplcado a matrz de rotação a (ver [77]) em.8 e realzado as trasformações teras às matrzes, tem-se a segute equação de movmeto do elemeto de vga o sstema global: f q q d q m & & &,.87 ode l q l q q m,.88 l q l q D q D D d & &,.89 l q l q K q K K,.9 sedo t a a l l,.9 m t m a a a l l,.9

62 55 p o m a a a a,.9 t l m l o Dl a D a,.94 t l D m l a D a a,.95 t l m D p o m a D a a a,.96 t l m l o K l a K a,.97 t l K m l a K a a,.98 t l m K p o m a K a a a..99 t l m l o Uma vez ecotradas as equações de movmeto dos elemetos o sstema global segue-se a motagem da equação de movmeto global. O sstema de equações ecotrado é de seguda ordem. Para aplcar-se o procedmeto proposto por Shaw e Perre, é ecessáro trasformar este sstema de equações dferecas de seguda ordem em um sstema de equações dferecas de prmera ordem. Algus sstemas estruturas podem apresetar uma cofguração deformada cal a partr da qual se desea determar os modos ão-leares. Esse é o caso dos exemplos tratados este estudo: rsers retos pré-tesoados e rsers em cateára. Para tato, admte-se que o vetor de deslocametos geeralzados possa ser escrto a forma: ode, q q c,. q q c é o vetor de deslocametos geeralzados a partr da cofguração deformada e q é o vetor de deslocametos geeralzados para a determação da cofguração deformada cal.

63 56 Substtudo. em.87,.88,.89 e.9 vem: c c c f q q q d q m & & &,. ode ( ) ( ) ( ) l l q q q q q q m c c l c,. ( ) ( ) ( ) l l q q q q D q q D D d c c l c & & & &,. ( ) ( ) ( ) l l q q q q K q q K K c c l c..4 A equação. pode ser escrta a forma: c c c c c c f q q d q m & & &,.5 com ( ) ( ) l c c l c Q l Q l QQ l Q c q q q m,.6 ( ) l c l c l c q D q q D D D d & &,.7 ( ) ( ) l c c l c Q Q Q QQ QQ QQ Q q q K q K K K K K K K K K,.8

64 57 ode Q l Q l l QQ l Q q q q q q l l,.9 e l l l q K K q K K q K K q q K K q q K K q q K K q K K l Q l l Q l Q l l QQ l QQ l l QQ Q.. As equações. a. apresetam as atualzações fetas o software modol para gerar o software modolr.

65 58. ult-modos Segue-se a lha proposta por Shaw et al [], [], [] e [79], em que os mult-modos são eteddos como uma extesão dos modos ão-leares sgulares de vbração o caso em que há teração etre desses modos. Tas terações podem ser fruto de stuações de ressoâca tera. Os movmetos orudos se desevolvem em uma varedade varate o espaço de fase do sstema cua dmesão é gual a duas vezes o úmero de modos que teragem etre s. Os multmodos são, localmete, expressos por combações leares dos modos leares. O desevolvmeto das expressões relacoadas aos mult-modos evolve grade trabalho algébrco e extesa mapulação de dados. Portato, a opção o decorrer do texto será a de explcar a metodologa fazedo referêca a resultados ecotrados a lteratura e, tato quato possível, omtdo a apresetação de extesas expressões termedáras que ão seam absolutamete ecessáras ao etedmeto da técca. Cosderem-se as equações de movmeto de estruturas dscretzadas pelo método dos elemetos ftos: & p & F,. rs s Drs ps U, r r com rs rs rs rs p p p, D rs D D D p& p, rs rs p& rs. U, r Krs ps Krs p ps K p p p, rs s ode, D são, respectvamete, as matrzes de massa e de amortecmeto vscoso e U e F os vetores de forças restauradoras elástcas e de carregametos. Estudam-se apeas vetores de carregametos ulos ou, quado se tratar de vbrações em toro da

66 59 cofguração deformada de equlíbro, vetores de carregametos estátcos, excetuado os exemplos ode sea dto explctamete o cotráro, como os exemplos que cosderam vbrações duzdas por vórtces. Os ídces r, s,, assumem valores de a, ode é o úmero de graus de lberdade da estrutura. Segudo o procedmeto usual do método das múltplas escalas [6], escrevem-se as coordeadas geeralzadas em fução do parâmetro admesoal ε ( < ε << ) p () t p ε p ε p ε p.... s s s s s ode, ps ps ( T T,,K), ps ps ( T T,,K) e p ps ( T T,,K), T, T caracterza a cofguração estátca de equlíbro; s,,..., T s ; p s ostra-se que: d dt d dt D ε D ε D K ( D D ) K D ε DD ε D.4 ode T ε t e d D. dt Substtu-se a equação. as equações de movmeto.. Após a substtução, ecotra-se a expressão com todos os termos em ε, ε e ε. Coletado os termos em ε ecotra-se: Equações de ordem ε

67 6 rsd ps DrsD ps Krs ps.5 Os autovalores são da segute forma: Ψ α β.6 u u u ode, u dca o modo. Caracterzado o prmero modo ressoate pelo ídce e o segudo pelo ídce, a solução da equação.5 pode ser escrta a forma: Ψ T ΨT ps Ase As e c. c..7 ( K ( K ode As As T, T, ) e As As T, T, ). Covém otar que é ustamete esse o poto em que se deve preparar as expressões a fm de que, as ordes superores, admtam a possbldade de acoplameto modal, o que se cosegue caracterzado a solução de ordem ε ão mas por apeas um modo, seão pelos dos modos acoplados (teramete ressoates). É essa etapa que se garate que o mult-modo é tagete aos autoespaços do sstema learzado. É teressate ressaltar que é essa seleção que cofere ao multmodo seu caráter varate, vsto que cofa o movmeto (a ordem ε ) aos modos ε, às combações ão- leares selecoados e, como se perceberá as ordes leares desses. ε e Equações de ordem ε Coletado os termos em ε vem:

68 6 * rs ( p p p ) D rs D D rs p p s s rs D * rs D p s rs ( rs p rs p p rs p p ) rs pd ps ( Drs Drs p ) ( D pd ps) s ( Krs p Krs p p Krs p p Kr p p ) ps K * rs p s D D p s,.8 ode * rs, * D rs e * rs K são os elemetos das matrzes de massa, amortecmeto e rgdez escrtas para a cofguração deformada de equlíbro (proveetes de teora de seguda ordem). A solução de.8 pode ser escrta a forma: Ψ T T T Ψ Ψ ps Ase Ase Bse α T α T Fse Fs e c. c. Cs ( Ψ e ) Ψ T..9 [6]. A determação de As, As, s B, C s, Fs e Fs pode ser ecotrada em Equações de ordem ε Coletado-se os termos ε vem:

69 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * s s r rs s s r rs s rs s rs s rs s rs s rs s s r s r s r s r rs rs s s r rs s rs rs s rs rs s rs s rs s rs s rs s rs s rs s rs p p K K p D p D D D p D p p D p p p p K p D p D p D p D p p p p p K K K K K K p D p D p D D p D p p p D p p p D D p p p D D p p D D p D D p K p D D p D.. A solução de. pode ser escrta a forma: ( ) ( ) ( ).. c c e J e e H e H e A e A p T s T s T s T s T s T s s Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ.. A determação de s A, s A, s H, s H, s e s J pode ser ecotrada em [6]. A teora e os modelos matemátcos apresetados esta seção são as bases do programa para cálculo dos mult-modos ão-leares elaborado por Baracho Neto [6].

70 6 Capítulo Rsers Retos Suetos a Carregametos Axas Este capítulo tem o obetvo de estudar os modos ão-leares de rsers retos submetdos a dferetes codções de carregameto axal. Evdeca-se a mportâca de tas estruturas a exploração em águas ultra profudas em arraos cohecdos como Rser Towers. Em geral, estes arraos se demostram soluções, além de teccamete desafadoras, mas ecoômcas, se comparadas aos rsers em cateára, para profuddades guas ou superores a 8 m. Nas seções segutes, serão abordados três casos de rser reto: o prmero caso apreseta força ormal costate de tração ao logo de todo o comprmeto, ou sea, o peso própro é descosderado; o exemplo segute trata do mesmo rser, porém com o acréscmo do peso própro que leva à varação da força ormal em fução da profuddade; e o últmo caso admte-se também, além da tesão de tração e do peso própro, a exstêca de correte de velocdade costate ao logo do rser e a varação da protesão devdo ao peso própro. O prmero caso será estudado por duas abordages. A prmera delas se trata de uma abordagem aalítca. A seguda é feta utlzado-se o método dos elemetos ftos. As duas abordages apresetam boa cocordâca e resultados adequados para ampltudes reduzdas. Com o aumeto das ampltudes, os dos métodos apresetam respostas dsttas. O segudo exemplo também será abordado por ambas as metodologas, mas o tercero caso será utlzado apeas o.e.f., pos este método é mas adequado para sstemas complexos com relação a carregametos, geometra, codções de cotoro, etc.

71 64. Sem Peso Própro Nesta seção, estuda-se um rser reto com extremdades artculadas, porém fxas após aplcação da protesão cal N. Ressalta-se que se trata de uma smplfcação do problema real, ode a embarcação mpõe o deslocameto a superfíce. O peso própro é descosderado. A fgura. apreseta o sstema estrutural de forma esquemátca. N z,w Superfíce z,w Superfíce Fudo do mar Fudo do mar x,u x,u Fgura. Rser reto esquemátco carregado axalmete com força ormal de tração costate N ; odelo de Beroull-Euler.

72 65 Na fgura., x é exo logtudal do rser e u é o deslocameto de um poto P qualquer, pertecete ao exo, esta dreção. O exo perpedcular ao exo x é o exo z e w é o deslocameto a dreção de z do poto P. Deoma-se S uma seção trasversal qualquer e ϕ a rotação desta seção. P e S são as posções fas do poto P e da seção trasversal S, respectvamete. O comprmeto do rser é dcado por l. Assumdo a hpótese cemátca de Beroull-Euler (ver azzll et al [5]) tem-se: up u z s ϕ u zw wp w z( cosϕ ) w, w ϕ arcta w u. ode o ídce P é relatvo ao poto P geérco. A deformação, em um poto P geérco do rser, é dada por: P u P ( u P ) ( w P ) u zw ( w ε ) ε zw,. ode ε é a deformação axal, ( w ). ε u. [68]: A equação de movmeto trasversal é dervada do prcípo de Hamlto, ver l u u mw& V l Ew EA w dx w,.4 l l ode EA e E são a rgdez axal e a rgdez à flexão; m é a massa por udade de comprmeto. O deslocameto axal u é o deslocameto axal mposto em x, ou sea, aplca-se uma força N e permte-se que o vículo teha um deslocameto u a

73 66 dreção x. Em seguda, restrge-se o vículo, mpeddo deslocametos a dreção x durate a dâmca do sstema. Portato, o rser apreseta uma cofguração deformada estátca cal dada pela trodução de u e, coseqüetemete, de N. u u t Neste estudo ( l, ) l. A partr da equação.4 e com o auxílo das equações.,. e. ecotrase: v ( w, t) m w& E w N w,.5 ode N ( w, t) é a força ormal ou axal, e pode ser escrta como: N l EA w' dx l ( w t) N,,.6 sedo, N a força ormal costate ao logo do comprmeto do rser orgada pela trodução do deslocameto u. Por ora, o amortecmeto será descosderado, sedo troduzdo os exemplos que estudam as vbrações duzdas por vórtces. Aplcado o método das múltplas escalas para a solução da equação.5 ecotra-se: π N α π ω,.7 l m l ode ω é a freqüêca do modo lear e α vale: E α..8 m A equação ão-lear do osclador modal é dada por (ver [5])

74 67 U& ω U Λ U,.9 ode U é o deslocameto modal e Λ vale: 4 4 EA π Λ.. 4m 4 l A equação.9 é obtda aplcado o método das múltplas escalas em.5. Admte-se que a solução de.5 é da forma: w x, t) ε w ( x, T, T...) ε w ( x, T, T...).... ( ode T ε t, q d q dt q d D, D ε D ε D..., dt d dt ( D D )... DD ε D ε D. Substtu-se a expressão. em.5. Coletado os termos em ε, ε e ε e aplcado as codções de solvabldade ecotra-se.9. aores detalhes em [5]. As equações de. a. apresetam a abordagem aalítca. Um segudo cálculo para a determação dos modos ão-leares é feto utlzado-se o método dos elemetos ftos para a dscretzação do sstema estrutural. Em seguda, determam-se os modos ão-leares utlzado a abordagem por varedades varates utlzado-se o modolr (relações modas e equação do osclador modal). O modelo de elemetos ftos utlzado é composto de 6 elemetos retos ão-leares, como é possível observar a fgura., que, também, apreseta as codções de cotoro e a umeração dos graus de lberdade. Trata-se de um modelo de complexdade computacoal méda. O processameto deste modelo levou aproxmadamete 7 horas utlzado um computador com GB de memóra RA e um processador de.6ghz.

75 68 Ressalta-se que a formulação dos modos ão-leares utlzado o EF (étodo dos Elemetos Ftos) demada cosderável esforço algébrco e computacoal, como pode ser observado em [6], [77] e [86]. Com relação aos modelos computacoas, a determação dos modos ão-leares, ou sea, as relações modas e equação do osclador modal, é a etapa que exge grades tempos de processameto. Em cotrapartda, o tempo de smulação do sstema é bastate pequeo, mesmo se tratado de um sstema ão-lear. Os grades tempos de processameto se devem ao fato de o programa trabalhar com tesores até quarta ordem e versão da matrz de massa. Claramete, uma otmzação do programa sera bastate teressate e útl, podedo costar a lsta de trabalhos futuros. Fudo do ar Superfíce 5 6 elemetos Fgura. odelo do rser reto com 6 elemetos e 77 graus de lberdade. A tabela. apreseta as propredades físcas do rser em estudo. ódulo de Youg Comprmeto Área da Seção Trasversal ometo de érca Força Normal cal assa por udade de comprmeto (água tera massa adcoada) E l 8m A, m 5 4,74 m 6 N N, N / m m 4,4g / m 4 Tabela. Propredades físcas do rser. Em todo este capítulo, será estudado o prmero modo ão-lear. Por smplcdade, omte-se, daqu por date o ídce que se refere ao modo deseado, ou sea, a ausêca de ídce, etede-se que. Utlzado-se a equação.9, obtda

76 69 através da abordagem aalítca e os dados da tabela., ecotra-se a segute equação do osclador modal: 5 U & 4, U,8 U,. ode U é o deslocameto modal. Neste caso, U fo escolhdo de tal forma que ele é gual ao deslocameto trasversal do poto localzado a metade do comprmeto do rser. Através do.e.f. e das varedades varates ecotra-se a segute equação do osclador modal: U & 4, U,9 V,4 U,97 UV,98 V. 5 5,8 U,5 U V 6, UV,8 V ode V é a velocdade modal, ou sea, V U&. Observado as equações dos oscladores modas. e. ota-se, em especal, a ausêca do termo em UV a equação. (aalítca). Na equação., os coefcetes de V, U, UV, V, U V e V são, a verdade, ulos. Os coefcetes, 4, 5 e 8 são resíduos da solução umérca que, para estes coefcetes, tede a zero. De maera smplfcada, a equação. pode ser reescrta a forma: 5 U & 4, U 5,8 U 6, UV.4 Desta forma, fca evdete a prcpal dfereça etre as duas abordages, ou sea, o termo em UV, que a solução aalítca ão é capaz de capturar. O que se deve levar em cosderação a aprecação das duas soluções é o valor das ampltudes. Em outras palavras, essas soluções são aproxmações (uma aalítca e a outra umérca) que têm suas valdades restrtas a determados valores de ampltudes. Nos estudos

77 7 que se seguem, verfca-se que a solução aalítca apreseta bos resultados, em relação à resposta o tempo, até ampltudes da ordem de 5m para este exemplo. A tegração das equações. e.4 fo feta através do método de Ruge- Kutta. As fguras. e.4 mostram a resposta para os sstemas lear,.e.f. e aalítco. As codções cas (em t ) adotadas foram U ( ) m ( ) m s U e V V /. Para todos os exemplos deste texto a velocdade modal cal é ula. Portato, os próxmos exemplos omte-se a velocdade modal cal e subetede-se que ela valha zero. Os exemplos deste texto tratam, em sua mora, de vbrações lvres. Tas exemplos podem admtr ampltudes e velocdades excessvamete grades que ão correspodem aos valores de ampltude e velocdade ecotrados roteramete em aplcações prátcas. Estes valores excessvos têm a úca faldade de estudar os feômeos ão-leares, a dâmca ão-lear dos rsers e a robustez dos modelos matemátcos e computacoas aqu tratados. Observado a fguras. fca evdete a boa cocordâca das duas soluções ão-leares (.E.F. e aalítca). Nota-se que ambas as soluções ão-leares apresetam uma freqüêca maor que a solução lear. Etede-se, portato, que as soluções ão-leares apotam um hardeg (efeto da rgdez geométrca ãolear) do sstema estrutural com o aumeto da ampltude cal. Este aumeto da rgdez ão é capturado pelo sstema lear. No etato, as traetóras o plao de fase apresetadas a fgura.4, mostram a solução ão-lear aalítca próxma à solução lear. A solução ão-lear aalítca é represetada, topologcamete, por um modo smlar (ver [86]), ou sea, a solução lear e a solução ão-lear aalítca são smlares topologcamete, mas possuem dâmcas dsttas. A smlardade topológca se deve ao fato de a solução ão-lear aalítca admtr que o prmero modo ormal ão-lear de vbração sea seodal. A solução ão-lear utlzado EF e varedaes varates ão faz esta hpótese e, poratato, sua forma modal ão é smlar. Em razão desta smplfcação adotada pela solução ão-lear aalítca, a equação do osclador modal aalítco apreseta um úco termo ão-lear, que é o termo em U. Equato a equação do osclador modal va EF, tem-se termos ão-

78 7 leares em U e em UV. Em ambos os casos esses termos tetam represetar os mesmos feômeos, porém o caso aalítco esta tetatva é feta com um úco termo e o caso umérco com dos. Claramete, a resposta aalítca ão está em codções de capturar os efetos ão-leares orudos da velocdade V, que estão assocados aos efetos ercas troduzdos e equação.79. No etato, para valores de ampltude ferores a 5m, estes efetos ão são sgfcatvos com relação à resposta o tempo. Não obstate, as fguras.5 e.6 apresetam resultados para uma ampltude cal de 5m. Novamete, as soluções ão-leares seguem cocordado, porém, o fal do tervalo de tegração (fg..5), á é possível otar uma pequea dscrepâca. A tedêca de aumeto da rgdez cotua presete as soluções ãoleares e, obvamete, ão é percebda pela solução lear. Verfca-se também o dagrama de fase o dstacameto da solução ão-lear va EF das outras duas soluções, evdecado que a solução va EF possu uma topologa dstta e, portato, ão-smlar.

79 7 Resposta o Tempo 5 5 u ( m ) t ( s ) Lear EF Aalítco Fgura. Resposta o tempo para o prmero modo; ampltude cal de m. Períodos:. s (lear); 9. s (EF); 9. s (aalítco) Dagrama de Fase... v ( m / s ) u ( m ) Lear EF Aalítco Fgura.4 Dagrama de fase para o prmero modo; ampltude cal de m.

80 7 Resposta o Tempo 5 5 u ( m ) t ( s ) Lear EF Aalítco Fgura.5 Resposta o tempo para o prmero modo; ampltude cal de 5 m. Períodos:. s (lear); 8.57 s (EF); 8. s (aalítco). Dagrama de Fase v ( m / s ) u ( m ) Lear EF Aalítco Fgura.6 Dagrama de fase para o prmero modo; ampltude cal de 5 m.

81 74 Com o tuto de vestgar o aumeto da rgdez, as fguras.7 e.8 apresetam as resposta para uma ampltude cal de m. Neste caso, apesar de as soluções ão-leares cotuarem capturado o erecmeto da estrutura, é possível observar sgfcatva dfereça etre elas. sto se deve fortemete à preseça do termo em UV a solução pelo.e.f.. Este termo é fluecado pela velocdade ao quadrado que gaha mas mportâca quato maor for a ampltude cal. Tomado-se uma ampltude cal de 5m, obtêm-se as fguras.9 e.. Nelas se observa o completo descolameto etres as soluções ão-leares. Além dsso, ota-se que a solução ão-lear pelo.e.f. apreseta uma freqüêca feror à freqüêca do sstema lear. Curosamete, este sstema estrutural verte sua tedêca de hardeg, passado a apresetar softeg. Este resultado mostra a mportâca do termo em UV. Quato maores as ampltudes, e coseqüetemete maores as velocdades, maor é a fluêca deste termo. Esta fluêca também pode ser aprecada observado o dagrama de fase (fg..), que apreseta uma alteração sgfcatva. Nota-se que a ão-smlardade do modo de vbração ãolear va EF, utamete com a fluêca do termo em UV, pode ser resposável pela a versão da tedêca de hardeg a medda em este modo é capaz de sofrer a fluêca de modos superores como, por exemplo, o tercero modo. Esta fluêca pode dmur a rgdez a flexão do sstema levado à tedêca de softeg observada as fguras.9 e..

82 75 Resposta o Tempo u ( m ) t ( s ) Lear EF Aalítco Fgura.7 Resposta o tempo para o prmero modo; ampltude cal de m. Períodos:. s (lear); 8.58 s (EF); 6.9 s (aalítco). Dagrama de Fase v ( m / s ) u ( m ) Lear EF Aalítco Fgura.8 Dagrama de fase para o prmero modo; ampltude cal de m.

83 76 Resposta o Tempo u ( m ) t ( s ) Lear EF Aalítco Fgura.9 Resposta o tempo para o prmero modo; ampltude cal de 5 m. Períodos:. s (lear);.65 s (EF); 5.5 s (aalítco). Dagrama de Fase v ( m / s ) u ( m ) Lear EF Aalítco Fgura. Dagrama de fase para o prmero modo; ampltude cal de 5 m.

84 77. Com Peso Própro Nesta seção, aalsa-se um rser com as mesmas propredades físcas, geometra e codções de cotoro da seção ateror. Porém, este caso, cosdera-se seu peso própro p. Admte-se que força ormal cal, a seção trasversal uto à superfíce, teha valor N. A força ormal cal ao logo do rser vara learmete segudo a expressão: N ( x, ) N(,) p x,.5 ode x é o exo logtudal com setdo da superfíce para o fudo do mar. A fgura. mostra um arrao esquemátco do sstema estrutural em questão. Nesta seção, apresetam-se, através de uma abordagem aalítca, as equações de movmeto ão-lear do rser reto cosderado-se a fluêca do peso própro. Cosderado as equações.,. e., e, utlzado o prcípo de Hamlto (maores detalhes em Pars [68] e erovtch [54]), a segute equação de movmeto trasversal pode ser escrta (ver azzll et al [5]): l V ul u p l mw& Ew EA. w dx x w pw.6 l l EA Em qualquer state, a força ormal ao logo do rser pode ser calculada por: l (, EAu l EA N x t) N ( ) t px p x w l dx..7 l

85 78 p N z,w Superfíce z,w Superfíce p p Fudo do mar Fudo do mar x,u x,u Fgura. odelo esquemátco com peso própro. Observado as equações.6 e.7, é possível reescrever.6 a forma: ( x, t) w p. v mw& Ew N w.8 Admte-se, agora, uma aproxmação. Com o tuto de elmar a depedêca espacal de ( x t) N,, toma-se o valor médo da força ormal N ao logo do rser e substtu-se N a equação.8 para se chegar a: l V EA mw& Ew Nw w w dx pw,.9 l

86 79 ode N pl N ( ).. O deslocameto axal pode ser escrto como: u ( x, t) N EA ( l x) px( l x) EA x l dw x dξ w dξ l dx.. A equação.9 é retomada a forma: l V w& αw βw μw w dx ε γ w,. ode E N EA p α ; β ; μ ; ε γ, < ε <.. m m ml m A solução de., utlzado o método das múltplas escalas, pode ser escrta a forma: w x, t) ε w ( x, T, T...) ε w ( x, T, T...)....4 ( ode as segutes escalas de tempo são assumdas: T ε t,.5 com,,. Os segutes operadores dferecas são toduzdos:

87 8 D q d dt d dt D d dt D q q, ε D ε D...,.6 ε D D ε ( D D D ).... Substtudo as expressões.4,.5 e.6 em. e coletado os de mesma ordem ε, é possível ecotrar equações dferecas cuas soluções e codções de solvabldade permtem a determação dos modos ão-leares. Solução de Ordem ε Coletado os termos em ε, vem: D As codções de cotoro são: V α w βw.7 w w ) w ( l) w () w ( l).8 ( A solução w pode ser escrta a forma: w πx x, T, T...) w ( x, T, T...), w ( x, T, T...) A ( T, T...)s.9 l ( Substtudo.9 em.7 vem: D π α π. l l A ω A, ω β A solução de. pode ser escrta a forma complexa:

88 8 A ω T ( T, T...) e c.. Y c. Solução de Ordem ε Coletado os termos emε, vem: α. V D w w βw DDw Y As codções de solvabldade levam a Portato, a solução w á está cotda em w. D, etão Y Y ( T,...). Solução de Ordem ε Coletado os termos emε, vem: D w V αw βw DDw μw w dx ω x T ωt ω T π [ ω e D Y Λ ( Y e Y Y e )] s, l l. ode μl π EA π Λ l 4m l As codções de solvabldade levam a: ω D Y Λ Y Y..5 Para determar a solução de.5, Y é escrto a forma:

89 8 θ Y ae, a, θ R..6 Pode-se determar que: a Λ a ( T ), θ θ ( T ) at..7 8ω Cosderado as soluções defdo o tempo por: w, w e w, o -ésmo modo ão-lear é w ( x, t) ( εa ) cos( Ω t θ ) ( εa ) Λ ω cos πx 4 ( Ω t θ ) s O( ε ), l u π 8l ( x, t) ( εa ) cos( Ω t θ ) π 6l ( εa ) πx l cos ( Ω t θ ) 4 ( εa ) [ cos ( Ω t θ )] s O( ε ), Λ ω πx s l.8 ode ε a é a ampltude do -ésmo modo lear assocado. forma: A relação etre a freqüêca ão-lear e a ampltude pode ser escrta a Ω Λ ω ( εa )..9 8ω Costrução da Varedade varate Um modo ão-lear pode ser caracterzado escrevedo-se os deslocametos e velocdades geeralzados como fuções de duas varáves modas escolhdas ad hoc. Com este tuto, cosderam-se as segutes varáves modas:

90 8 U () t w ( x, t), V ( t) U& ( t),.4 ode x é tal que, π s x. l.4 Os deslocametos do -ésmo modo podem ser escrtos em fução das varáves modas: w w u ( x, t) F ( x) U ( t), u ( x, t) F ( x) U ( )..4 t Observado a expressão.4, as velocdades podem ser escrtas em termos das varáves modas como: w u w & G V u& G U V,.4, 4 ode F πx l ( x) w G s e u F ( x ) w u π πx G s l l A equação do osclador modal pode ser escrta como: U& ω U ε ΛU..45 Como a seção ateror, estuda-se o modelo de rser com peso própro pela abordagem aalítca (descrta acma) e pela abordagem va.e.f. e varedades varates (utlzado-se o programa de computador modolr). O modelo de elemetos ftos utlzado é o mesmo da fgura., que possu 6 elemetos e 77 graus de lberdade.

91 84 O modelo de elemetos ftos utlzado é o mesmo utlzado a seção ateror, apresetado a fgura., com a adção do peso própro. A tabela. apreseta as propredades físcas do rser. ódulo de Youg E, N / m Comprmeto l 8m Área da Seção Trasversal A, m ometo de érca 5 4 4,74 m 6 Força Normal cal (o topo) N N 5 Força Normal cal (a base) N l 6,94 N assa por udade de comprmeto (água tera m 4,4g / m massa adcoada) Peso submerso do rser por udade de comprmeto p 77N / m Tabela. Propredades físcas do rser. Como á mecoado a seção ateror, estuda-se este capítulo o prmero modo; por smplcdade, omte-se o ídce que se refere ao modo deseado, ou sea, a ausêca de ídce etede-se que. Utlzado-se a equação.45, obtda através da abordagem aalítca e os dados da tabela., ecotra-se a segute equação do osclador modal para o rser reto com peso própro: 5 U &,7 U,8 U,.46 ode U é o deslocameto modal. Neste caso, U fo escolhdo de tal forma que ele sea gual ao deslocameto trasversal do poto localzado a metade do comprmeto do rser. Comparado-se as equações. e.46 ota-se que os coefcetes de U as duas equações são guas. sto se deve ao fato do termo em U represetar a fluêca da rgdez à flexão, que se matém alterada do prmero exemplo para o segudo. Já o coefcete em U se altera, uma vez que a freqüêca lear é sgfcatvamete fluecada pela rgdez geométrca do sstema. Tal rgdez é fluecada pela varação da força ormal, troduzda pela cosderação do peso própro do rser p.

92 85 Através do.e.f. e das varedades varates ecotra-se a segute equação do osclador modal para o rser reto com peso própro: U &,7 U,85 V 7, U,9 UV,7 V, ,5 U 8,9 U V,7 UV, V ode V é a velocdade modal, ou sea, V U&. Novamete, ota-se a ausêca do termo em UV a equação.46 (aalítca). Na equação.47, os coefcetes de V, U, UV, V, U V e V são desprezíves. De maera smplfcada, a equação.47 pode ser reescrta a forma: 4 U &,7 U,5 U,7 UV.48 termos em Comparado-se as equações. e.48 ota-se a versão dos sas dos U e UV. A equação. é o osclador modal ão-lear para o rser reto sem peso própro e a equação.48 é o osclador modal ão-lear para o rser reto com peso própro, ambas ecotradas utlzado EF e varedades varates. Apesar da versão de sas, ambos os termos em U e UV estão aclopados para represetar o mesmo feômeo da dâmca ão-lear de rsers. O termo em está relacoado aos efetos ercas troduzdos a equação.79 e, é aálogo ao termo θ & θ, ecotrado o estudo do pêdulo duplo (ver [6], [8], [], [55], [94], [95] e [96]), que, também, represeta a fluêca dos efetos ercas a dâmca do sstema. Estes efetos se toram sgfcatvos quado cosderado o peso própro, pos este altera a rgdez do sstema ao logo do comprmeto do rser. Assm, o período de vbração também se altera ao logo da estrutura dado orgem às travellg waves, ou sea, os potos odas se deslocam o tempo. UV O modelo de elemetos ftos é capaz de cosderar a varação da força ormal ao logo do rser e, portato, leva a uma solução mas adequada do que a solução aalítca apresetada este texto. Uma formulação aalítca que cosdera a

93 86 varação da força ormal e apreseta resultados coeretes com os resultados ecotrados esta tese, é apresetada em [5]. Admesoalzado a equação.48 da segute forma: U V U ˆ e Vˆ,.49 l l e admtdo-se ( ), U ˆ ecotra-se o dagrama de fase apresetado a fgura. que cocorda com os resultados apresetados por azzll e Wercgroch [5] dû/dt û Fgura. Dagrama de fase admesoal para a resposta va EF. A tegração das equações.46 e.48 fo feta através do método de Ruge- Kutta. As fguras. e.4 mostram a resposta para os sstemas lear,.e.f. e aalítco. As codções cas (em t ) adotadas foram U U ( ) m ( ) m s e V V /. Para todos os exemplos deste capítulo a velocdade modal cal é ula. Portato, os próxmos exemplos omte-se a velocdade modal cal e subetede-se que ela valha zero.

94 87 Observado as fguras. e.4, verfca-se que a solução ão-lear aalítca ão cocde, como esperado, com a solução lear. No etato, a solução ão-lear aalítca também dverge da solução ão-lear va.e.f.. A freqüêca ecotrada pela solução ão-lear aalítca é maor que a freqüêca do sstema lear. Cotraramete, a solução ão-lear va.e.f. ecotra uma freqüêca meor que a freqüêca lear. Equato a solução aalítca prevê um aumeto da rgdez do sstema estrutural, a solução va.e.f. apota uma redução da rgdez desse mesmo sstema. Essa dfereça é explcada pelo termo em UV, que exste a solução aalítca, o etato exerce um papel mportate a solução va.e.f.. Tomado-se, por exemplo, a fgura.4 (dagrama de fase), o tervalo 5m U 5m, observase uma redução sgfcatva da velocdade modal para a solução pelo.e.f. Tal redução mplca aumeto do período e coseqüete redução da freqüêca. Apesar de o termo em U levar ao aumeto da freqüêca, o termo em tedêca devdo aos valores sgfcatvos de ampltude e velocdade. UV supera essa

95 88 Resposta o Tempo 5 5 u ( m ) t ( s ) Lear EF Aalítco Fgura. Resposta o tempo para o prmero modo; ampltude cal de m. Períodos: 8, s (lear); 9,6 s (EF); 6,5 s (aalítco) Dagrama de Fase.5.5 v ( m / s ) u ( m ) Lear EF Aalítco Fgura.4 Dagrama de fase para o prmero modo; ampltude cal de m.

96 89 Resposta o Tempo 5 5 u ( m ) t ( s ) Lear EF Aalítco Fgura.5 Resposta o tempo para o prmero modo; ampltude cal de 5 m. Períodos: 8, s (lear); 44,4 s (EF); 4,6 s (aalítco) Dagrama de Fase v ( m / s ) u ( m ) Lear EF Aalítco Fgura.6 Dagrama de fase para o prmero modo; ampltude cal de 5 m.

97 9 Não obstate, as fguras.5 e.6 apresetam resultados para uma ampltude cal de 5m. Novamete, as soluções ão-leares dscordam. A tedêca de aumeto da rgdez cotua presete a solução aalítca e o cotráro a solução va.e.f. Com tuto de vestgar o comportameto das duas soluções ão-leares, as fguras.7 e.8 apresetam as respostas para uma ampltude cal de m. Neste caso, a solução ão-lear aalítca dverge substacalmete da lear, apresetado sgfcatvo erecmeto. Em oposção, a solução va.e.f. mostra queda sgfcatva da freqüêca e, portato, dmução da rgdez. sto se deve fortemete, como dto aterormete, à preseça do termo em UV a solução pelo.e.f. Uma stuação ada mas extrema é ecotrada tomado-se uma ampltude cal de 5m. Os resultados podem ser observados as fguras.9 e.. No dagrama de fase apresetado a fgura. ota-se o forte estragulameto da resposta do sstema ão-lear va.e.f. Para este ível de ampltude é possível otar, o caso da solução va.e.f., a fluêca do tercero modo lear o prmero modo ão-lear, ver fgura.. Vale ressaltar que até este poto foram estudados apeas modos ão-leares ormas e ão mult-modos. No etato, verfca-se a capacdade do prmero modo ormal ser fluecado pelo tercero modo. Date desta costatação, relembra-se que este sstema estrutural apreseta ressoâca tera com relação racoal etre as freqüêcas dos modos leares e relações típcas que deflagram acoplametos ão-leares, como as ão-leardades cúbcas e o acoplameto etre prmero e tercero modos ão-leares. Tal propredade motva o estudo de mult-modos a segur.

98 9 Resposta o Tempo u ( m ) t ( s ) Lear EF Aalítco Fgura.7 Resposta o tempo para o prmero modo; ampltude cal de m. Períodos: 8, s (lear); 5,77 s (EF);, s (aalítco) Dagrama de Fase 5 4 v ( m / s ) u ( m ) Lear EF Aalítco Fgura.8 Dagrama de fase para o prmero modo; ampltude cal de m.

99 9 Resposta o Tempo u ( m ) t ( s ) Lear EF Aalítco Fgura.9 Resposta o tempo para o prmero modo; ampltude cal de 5 m. Períodos: 8, s (lear); 57, s (EF); 9,75 s (aalítco) Dagrama de Fase 6 4 v ( m / s ) u ( m ) Lear EF Aalítco Fgura. Dagrama de fase para o prmero modo; ampltude cal de 5 m.

100 y (m) x (m) Orgal Um U5m Um U5m Fgura. Forma modal do prmero modo de vbração ormal ão-lear para dferetes valores de ampltude cal U.

101 94 ult-modos Não-Leares Um mult-modo ão-lear, que acopla modos ormas, é um padrão de vbrações lvres ão-leares a partr de uma cofguração estátca de equlbro, que se desevolve uma varedade varate de dmesão cotda o espaço de fase. Portato essa varedade varate é tagete o poto de equlíbro aos correspodetes auto plaos do sstema lear (maores detalhes ver Shaw et al [8] e Nayfeh [6]). Logo, uma vez que as codções cas perteçam à varedade varate, a dâmca do sstema se desevolverá exclusvamete detro dessa varedade. Os mult-modos serão determados de forma semelhate aos modos ormas, utlzado-se o método das múltplas escalas. Solução de Ordem ε Coletado os termos em ε, vem (ver capítulo ): V D w α w βw..5 A solução de.5 pode ser escrta a forma: ω T πx w Y ( T ) e s c. c. l.5 A partr deste poto, cosdera-se um mult-modo que acopla o prmero e o tercero modo apeas. Estes modos foram escolhdos para compor o mult-modo devdo às ão-leardades cúbcas que são característcas dos sstemas estruturas abordados este texto. O prmero e o tercero modo serão detfcados com os ídces e, respectvamete. A resposta temporal de ordem ε, que tem cotrbução exclusvamete desses dos modos, pode ser escrta a forma:

102 95 ω T πx x ω T π w Y ( T ) e s Y ( T ) e s c. c., l l.5 ode ω ω..5 Solução de Ordem ε Coletado os termos emε e observado as codções de solvabldade, vem: Y ( T ) Y Y ( ). Y, T.54 Solução de Ordem ε Coletado os termos emε, vem: ( w ). V D w α w βw DDw μw dx.55 l A solução de.55 é escrta a forma: w π x πx A, s A, s..56 l l Substtudo.56 em.55, vem:

103 96 πx ( D A ω A ) s ( D A ω A ) ω, 4 π μ l 4 9π μ l ω T πx ωt ( D Y e cc) s ω ( D Y e cc), l l, πx s l πx s l πx s l ωt ωt ωt ( Y e cc)( Y e Y Y 9Y e 9Y Y cc) ω x T ωt ω T π ( Y e cc)( Y e Y Y 9Y e 9Y Y cc) s., l.57 Coletado os termos em x s π a expressão.57: l D A 4 π μ l, ω A, ω ωt ( D Y e cc) ωt ωt ωt ( Y e cc)( Y e Y Y 9Y e 9Y Y cc)..58 Coletado os termos em s πx a expressão.57: l D A, 4 9π μ l ω A, ω ωt ( D Y e cc) ωt ωt ωt ( Y e cc)( Y e Y Y 9Y e 9Y Y cc)..59 A elmação dos termos seculares em.58 e.59 leva a: ω D Y ω D Y Λ Y Y 8Λ Y Y Y 8Λ Y Y Y 4Λ Y Y,,.6 Separado as partes reas e magáras, as segutes equações dferecas são tegradas:

104 97 ( ) ( ) ,,,, T a a a a a D a T a a a a a D a cost a a D cost a a D Λ Λ Λ Λ Λ Λ ω θ θ θ ω ω θ θ θ ω.6 Após a elmação dos termos seculares, as soluções podem ser escrtas como: , ) ( ) (, ) ( ) (, cc e Y e Y Y e Y Y A cc e Y Y e Y Y e Y A T T T T T T Λ Λ Λ Λ Λ Λ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω.6 As expressões.6 e.64 defem o mult-modo que acopla o prmero e tercero modos.

105 98 w, ( x, t) ( εa )( εa ) Λ ( εa ) cos( Ω t θ ) ( εa ) cos ( Ω t θ ) [( Ω Ω ) t θ θ ] [( Ω Ω ) t θ θ ] 8Λ ( εa ) cos( Ω t θ ) ( εa ) cos( Ω t θ ) ( εa )( εa ) 9Λ cos 96ω 9Λ cos 9ω, 9Λ cos 64ω 9Λ cos ω, 88ω ω, [( Ω Ω ) t θ θ ], [( Ω Ω ) t θ θ ],,,,,,,, πx s l π x s l π x s, l πx s l.6 π u, ( x, t) 6l π 6l π 8l ( εa ) [ cos( Ω t θ )] ( εa ) [ cos( Ω t θ )] πx 4πx 4 ( εa )( εa ) cos( Ω t θ ) cos( Ω t θ ) s s O( ε ),,, 6πx s l πx s l, l l Ω Λ Λ ω [ ( ) 8( ) ]; εa εa Ω ω [ 8( εa ) 4( εa ) ] ω 8ω Um programa de computador para cálculo automátco dos mult-modos fo desevolvdo por Baracho Neto [6]. Este programa utlza o.e.f. para a dscretzação do sstema estrutural e o método das múltplas escalas para determação dos mult-modos. A segur será apresetado o mult-modo : (lea-se o mult-modo que acopla o prmero e o tercero modos) para o rser reto com peso própro calculado aaltcamete e umercamete (va.e.f.).

106 99 ( 8 l Fgura. Dagramas de fase p w.4l) p w(. ) para o multmodo ão-lear obtdo aaltcamete (dreta) e va EF (esquerda). A fgura. mostra as traetóras de fase do mult-modo : proetadas o plao p p8. Escolheu-se os deslocametos p e p 8 como varáves modas, pos o prmero é o grau de lberdade (deslocameto trasversal próxmo do meo do comprmeto.4l ) com maor ampltude para o prmero modo, e o segudo é o grau de lberdade (deslocameto trasversal de um poto localzado a uma dstâca.l da superfíce) com maor ampltude para o tercero modo. A traetóra à esquerda fo obtda va.e.f. e a da dreta fo obtda aaltcamete. As duas traetóras de fase são qualtatvamete smlares, vale lembrar que ambas as abordages se tratam de aproxmações e que, portato, ambas são corretas detro de suas hpóteses de aplcação. A fgura. apreseta os dagramas de fase p 8 p& 8 e p p&. Observa-se um movmeto meor próxmo do deslocameto cal segudo por um movmeto maor que leva o sstema a um ovo atrator smétrco ao prmero. A teração etre os dos modos acoplados (prmero e tercero) é capturada pelo mult-modo. Portato, acredta-se que mult-modos seam capazes de represetar o prcpal comportameto global dos sstemas estruturas com um úmero reduzdo de graus de lberdade.