MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ADAPTAÇÃO VIA MOVIMENTO DE MALHAS EM

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1 MINISÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ADAPAÇÃO VIA MOVIMENO DE MALHAS EM ESCOAMENOS COMPRESSÍVEIS por Gustavo Boo Dssertação para obteção do ítulo de Mestre em Egehara Porto Alegre, Março de 004

2 ADAPAÇÃO VIA MOVIMENO DE MALHAS EM ESCOAMENOS COMPRESSÍVEIS por Gustavo Boo Egehero Mecâco Aeroáutco Dssertação submetda ao Corpo Docete do Programa de Pós-Graduação em Egehara Mecâca, PROMEC, da Escola de Egehara da Uversdade Federal do Ro Grade do Sul, como parte dos requstos ecessáros para a obteção do ítulo de Mestre em Egehara Área de Cocetração: Feômeos de rasporte Oretador: Prof. Dr. Armado Mguel Awruch Aprovada por: Prof. Dr. Paulo R. F. exera Profa. Dra. Adrae P. Petry Prof. Dr. Horáco A. Velmo Prof. Dr. Ju S. O. Foseca Coordeador do PROMEC Porto Alegre, 3 de Março de 004.

3 Dedco este trabalho às mhas rmãs, Adrea, Cecíla e Alejadra, à mha amorada Gulaa, e em especal à mha mãe Mrta.

4 AGRADECIMENOS Ao professor Armado Mguel Awruch, pela dedcação, apoo e, sobretudo, pelos valosos cohecmetos trasmtdos. Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Egehara Mecâca da UFRGS, pela ateção recebda e pelos esametos trasmtdos. Aos colegas de Pós-Graduação e em especal a todos que fazem parte do laboratóro CEMACOM, pela agradável covvêca proporcoada. À mha mãe e mhas três rmãs, pela dedcação em todos os mometos de mha vda, sempre me apoado, dado seguraça e cetvo para coqustar meus sohos. De forma especal, a mha amorada pelo apoo, compahersmo e amor a etapa fal deste trabalho. Ao Cetro Nacoal de Supercomputação da UFRGS, que possbltou a realzação de parte deste trabalho. À CAPES, pela cocessão da bolsa de estudos, possbltado a mha total dedcação a este trabalho. Ao Brasl, pelo caloroso acolhmeto do seu povo e possbldade de aprofudar meus estudos. v

5 RESUMO Apreseta-se, este trabalho, uma técca adaptatva de elemetos ftos baseada somete o movmeto de ós, preservado a coectvdade orgal dos elemetos. São apresetadas aplcações para smular escoametos compressíves com odas de choque. Este método é caracterzado por uma estmatva de erro medda as arestas dos elemetos, e a métrca de Rema é defda usado o tesor Hessao, que cotém dervadas seguda das varáves relevates. Os ós são movmetados matedo, tato quato é possível, a suavdade da malha e ortogoaldade local. O cotrole da malha realza-se usado um método de otmzação ão lear, ode a fução objetvo a ser mmzada cotém termos da meddas suavdade da malha, ortogoaldade local e cotrole de volume da célula. O sstema de equações dferecas parcas é resolvdo usado o método de elemetos ftos, empregado uma sére de aylor e o clássco método de Bubov-Galerk para a dscretzação do tempo e do espaço, respectvamete. Emprega-se um elemeto soparamétrco hexaédrco de oto ós e as correspodetes matrzes do elemeto são obtdas aaltcamete empregado a tegração umérca reduzda. Um algortmo de movmeto de malha é cluído o cotexto da descrção Arbtrára Lagrageaa-Euleraa (ALE). Falmete, exemplos em duas e três dmesões para escoametos trasôcos e supersôcos são aalsados e os resultados são comparados com os obtdos por outros autores. v

6 ABSRAC A adaptatve fte elemet mesh techque based oly odes moto, preservg the orgal elemet coectvty, s descrbed ths work. Applcatos to smulate hgh compressble flows wth strog shocks are also preseted. hs method s characterzed by a edge-based error estmate, ad the Remaa metrc s defed usg the Hessa tesor, whch cotas secod dervatves of a relevat varable. he odes are moved keepg, as much as possble, mesh smoothess ad local orthogoalty. he mesh cotrol s performed usg a o-lear optmzato method, where the objectve fucto to be mmzed cotas terms to measure grd smoothess, local orthogoalty ad cell volume cotrol. he system of partal dfferetal equatos s solved usg the fte elemet method, employg a aylor seres ad the classcal Bubov-Galerk methods for tme ad space dscretzato, respectvely. A soparametrc eght ode hexahedrcal elemet s used ad the correspodg elemet matrces are obtaed aalytcally employg reduced umercal tegrato. A mesh movemet algorthm s cluded the cotext of the Arbtrary Lagraga- Eulera (ALE) descrpto. Examples for two ad three-dmesoal trasoc ad supersoc flows are vestgated ad results are compared wth those obtaed by other authors. v

7 RESUMEN Se preseta em este trabajo, ua técca adaptatva de elemetos ftos basada solamete e el movmeto de odos, preservado la coectvdad orgal de los elemetos. So presetadas aplcacoes para smular fludos compresbles co odas de choque. Este método es caracterzado por ua estmatva de error medda e las arstas de los elemetos y la métrca de Rema es defda usado el tesor Hessao, que cotee dervadas seguda de las varábles relevates. Los odos so movdos mateedo, tato como es posble, la suavdad de la malla y la ortogoaldad local. El cotrol de la malla se realza usado u método de optmzacó o leal, dode la fucó objetvo a ser mmzada cotee térmos de las meddas de suavdad de la malla, ortogoaldad local y cotrol de volume de la célula. El sstema de ecuacoes dferecales parcales es resuelto usado el método de elemetos ftos, empleado ua sere de aylor y el clásco método de Bubov-Galerk para la dscretzacó del tempo y del espaco, respectvamete. Se emplea u elemeto soparamétrco hexaédrco de ocho odos y las correspodetes matrces del elemeto so obtedas aalítcamete empleado tegracó umérca reducda. U algortmo de movmeto de malla es cludo e el cotexto de la descrpcó Arbtrara Lagrageaa-Euleraa (ALE). Falmete, ejemplos e dos y tres dmesoes para fludos trasócos e supersócos so aalzados y los resultados so comparados co los obtedos por otros autores. v

8 ÌNDICE. Itrodução..... Os Métodos Adaptatvos..... Estratégas dos Métodos Adaptatvos Método h Método r Método p Métodos híbrdos A Dâmca dos Fludos Computacoal em Escoametos Compressíves Objetvos e Coteúdo do rabalho Adaptação de Malhas Va Movmeto de Nós Vatages do Método Adaptatvo Va Movmeto de Nós Revsão dos Métodos Adaptatvos Método Baseado a Mmzação ou Equdstrbução da Itegral da Medda de Erro Método Baseado a Atração e Repulsão de Pseudoforças etre Nós Equações que Goveram o Escoameto de Fludos Itrodução Equações Goverates Equações de Coservação Equações Costtutvas Equações de Naver-Stokes e de Coservação de Massa e de Eerga Equações de Euler e de Coservação de Massa e de Eerga Equações Complemetares Equação de Estado Le de Vscosdade de Sutherlad Admesoalzação das Equações Forma Vetoral Compacta das Equações de Coservação O Modelo Numérco de aylor-galerk Itrodução Dscretzação emporal das Equações: Sére de aylor... 3 v

9 4.3. Dscretzação Espacal das Equações: Aplcação do Método de Galerk Modelo umérco para escoametos ão dfusvos Modelo umérco para escoametos dfusvos Vscosdade Artfcal e Establdade Numérca Esquema de dfusvdade artfcal Codção de establdade Itegração Explícta das Matrzes de Elemeto Elemeto Isoparamétrco Hexaédrco de Oto Nós rasformação do Domío de Itegração Itegração Aalítca das Matrzes de Elemeto ratameto das Itegras de Cotoro A Formulação Lagrageaa-Euleraa Arbtrara Itrodução Equações Modfcadas Modelo Numérco Método de Adaptação de Malha Va Movmetos de Nós Itrodução Aálse Método de Gradete Cojugado Determação da Fução de Peso ou de Motoração Estmatva do erro Característcas Geras do Códgo Itrodução Covergêca do Processo Iteratvo Resíduo e Estado Estacoáro Codções de Cotoro Sóldo para Fludos Não Vscosos Codções de Cotoro Sóldo para Fludos Vscosos Aplcação do Método Adaptatvo Exemplos de Aplcação Aálse de um domío quadrado com uma fução de motoração aalítca Escoameto em um caal com um obstáculo em forma de rampa Escoameto em um caal com um obstáculo em forma de degrau Escoameto sobre um aerofólo Escoameto ao redor de uma esfera x

10 9.6. Escoameto ao redor de um coe Coclusões e Sugestões Coclusões Sugestões para rabalhos Futuros... 3 Referêcas Bblográfcas... 4 Aexo A... 3 x

11 Lsta de Símbolos Letras Romaas Maúsculas [ B] [ C] C AF Ce [ D] j [ E] * E F F G H H I I S I O I V J J J K K j [ K] L ref M [ M] [ M ] D Matrzes de codução Matrzes de codução de seguda ordem Coefcete de amortecmeto fctíco Número de Courat-Fredrchs-Lewy Matrzes de dfusão Equação de Quatdade de Movmeto Matrzes de dfusão Equação de Eerga Matrzes de dfusão adcoas ermos teratvos Fução objetvo global Vetor de varáves de fluxo Vetor de termos dfusvos e de codutbldade térmca Matrz Hessaa Matrz Hessaa modfcada Fucoal da fução custo total Itegral da medda de suavdade da malha Itegral da medda de ortogoaldade da malha Itegral da medda do volume de cotrole da malha Matrz jacobaa Matrz versa da matrz jacobaa Matrz adjuta da matrz jacobaa raço da matrz de coefcetes de codutbldade térmca Compoetes da matrz de coefcetes de codutbldade térmca Matrz de codutbldade térmca Comprmeto de referêca Número de Mach Matrz de massa Matrz de massa dscreta x

12 OR P Pr Q R Re SM U V ref VOC Medda de ortogoaldade local da malha Vetor de termos de pressão Número de Pradtl Fote ou sumdouro Equação de eerga Resíduo o método de Galerk Número de Reyolds Medda de suavdade local da malha emperatura Vetor de varáves de campo Velocdade de referêca Medda de volume de cotrole local da malha Letras Romaas Músculas a aref a c p cv e bj { f j } {} g p q {} q t u v w x Velocdade do som Velocdade do som a correte-lvre ão perturbada Coordeadas materas Calor específco a pressão costate Calor específco a volume costate Eerga total específca Compoetes da resultate das forças de volume Vetor equvalete às ações superfcas devdas à dfusão Vetor equvalete às ações superfcas devdas à codução Compoete da dreção ormal Pressão Fluxo de calor Vetor equvalete às ações superfcas devdas à dfusão empo Eerga tera específca Compoetes de velocdade Compoetes de velocdade de malha Coordeadas espacas x

13 Letras Gregas Maúsculas Φ N [ Φ] * Φ Γ Ω Fuções de terpolação Matrz lha de fuções de terpolação Matrz lha de fuções de terpolação avaladas o cotoro Domío superfcal cotoro Domío volumétrco Letras Gregas Músculas α β δ δ j γ λ Parâmetro de poderação da suavdade e ortogoaldade da malha Parâmetro de poderação do volume de cotrole da malha Coefcete de seguraça do cremeto de tempo crítco Delta de Kroecker - Compoetes do tesor de Kroecker Relação etre os calores específcos - Costate do gás Coefcete de vscosdade volumétrca µ Coefcete de vscosdade absoluta θ ρ σ j τ j ξ ζ Coefcete de poderação Massa específca Compoetes do tesor de tesões de Cauchy Compoetes do tesor de tesões vscosas ou desvadoras Coordeadas aturas do elemeto fto hexaédrco Compoetes do vetor posção a descrção ALE ou coordeadas mstas x

14 Ídce de Fguras Fgura ÍULO Pág. 5. Espaço computacoal e físco do elemeto soparamétrco de 8 ós Relações cemátcas a descrção ALE 5 7. Mapeameto etre o espaço físco e o espaço computacoal Célula tpo defda para o caso bdmesoal Célula tpo defda para o caso trdmesoal Dreções cojugadas para uma equação quadrátca de varáves Aproxmação do erro o caso udmesoal rasformação S(α) o caso bdmesoal Compoetes de velocdade os cotoros sóldos Campo de varação da fução f(x,y) Varação da malha em fução do parâmetro α com β =,0. Caso (A): α = 0.0 e 8 caso (B): α = Esquema do escoameto supersôco sobre uma rampa Evolução da malha para algus cclos. Malha (A) ou malha cal, malha (C) 84 depos de duas adaptações, malha (E) depos de quatro adaptações e malha (I) ou malha fal, depos de oto adaptações 9.5 Dstrbução do úmero de Mach para a malha cal (Malha A) e a malha fal 84 (Malha I) 9.6 Dstrbução do úmero de Mach ao logo da lha y = 0.60 e 0.0 x.0 85 para a malha cal (Malha A) e para a malha fal (Malha I) 9.7 Dstrbução da massa específca ao logo da lha y = 0.60 e 0.0 x.0 85 para a malha cal (Malha A) e para a malha fal (Malha I) 9.8 Dstrbução do úmero de Mach ao logo da lha y = 0.50, depos de 5 86 adaptações, segudo At-Al-Yaha et al. [996] 9.9 Malha obtda sem cotrole de ortogoaldade e suavzação Malha fal e dstrbução da massa específca, segudo Ode et al., [986] para 87 o caso da rampa com clação de 0 º 9. Amplação de uma zoa da malha fal (Malha I) Resíduo para o problema da rampa Esquema do escoameto supersôco sobre um degrau 89 xv

15 9.4 Malha cal de elemetos ftos, Malha (A) Malha fal de elemetos ftos, Malha (L) Dstrbução do úmero de Mach para a malha cal, Malha (A), e a malha fal, Malha (L) 9.7 Dstrbução da massa específca para a malha cal, Malha (A), e a malha fal, Malha (L) 9.8 Dstrbução do úmero de Mach ao logo da lha y = 0.40 e x 0.50 para a malha cal (Malha A) e para a malha fal (Malha L) 9.9 Dstrbução da massa específca ao logo da lha y = 0.40 e x 0.50 para a malha cal (Malha A) e para a malha fal (Malha L) 9.0 Dstrbução de massa específca em t = 4.0, segudo Löher et al. [985] Dstrbução de massa específca e malha fal em t = 4.0, segudo Hasbo et al. [99] 9. Amplações de zoas a malha fal (Malha L) Esquema do escoameto trasôco sobre o aerofólo Malha cal de elemetos ftos, Malha (A) Detalhe da malha fal (Malha E) Dstrbução do úmero de Mach para a malha cal, Malha (A), e a malha fal, Malha (E) 9.7 Dstrbução da massa específca para a malha cal, Malha (A), e a malha fal, Malha (E) 9.8 Dstrbução do úmero de Mach, segudo Bauma et al. [99] Malha sem adaptação e dstrbução do úmero de Mach para M = 0.80 e α = º, segudo Daehoffer [99] 9.30 Malha com refameto e dstrbução do úmero de Mach para M = 0.80 e α = º, segudo Daehoffer [99] 9.3 Malha com redstrbução de ós e dstrbução do úmero de Mach para M = e α = º, segudo Daehoffer [99] 9.3 Esquema do escoameto supersôco sobre mea esfera Malha cal de elemetos ftos, Malha (A) Malha fal sobre a esfera, Malha (E) Dstrbução de úmero de Mach para a malha fal, Malha (E) 0 xv

16 9.36 Dstrbução de úmero de Mach, segudo Mola e Huot [99] Dstrbução de erro e malha fal (Malha E) em um dos plaos de smetra Dstrbução de úmero de Mach para a malha cal (Malha A) e para a malha 04 fal (Malha E) 9.39 Dstrbução da massa especfca ao logo da lha y = 0.30 para a malha cal 05 (Malha A) e para a malha fal (Malha E) 9.40 Resíduo para o problema da esfera Esquema do escoameto supersôco sobre um coe Malha cal de elemetos ftos, Malha (A) Malha fal de elemetos ftos, Malha (D) Detalhe da malha fal (Malha D) Dstrbução da pressão para a malha fal, Malha (D) Dstrbução da pressão, segudo Cebral e Löher Dstrbução de úmero de Mach para a malha cal, Malha (A), e a malha fal, Malha (D), o plao yz Dstrbução de úmero de Mach para a malha cal, Malha (A), e a malha 0 fal, Malha (D), o plao xy 9.49 Resíduo para o problema do coe Ídce de abelas abela ÍULO Pág. 7. Fluxograma do método de gradete cojugado de Fletcher-Reeves Fluxograma do método de adaptação corporado o MEF 79 xv

17 CAPÍULO Itrodução. Os Métodos Adaptatvos Os métodos de adaptação de malha têm mportate aplcabldade em város problemas físcos as dversas áreas da egehara, tas como a mecâca dos sóldos, a dâmca dos fludos, combustão, trasferêca de calor e massa, cêca dos materas, etc.. Os feômeos físcos estas áreas desevolvem algumas sgulardades em determadas regões localzadas, podedo-se ctar como exemplos: odas de choques, camada lmte, odas de detoação, etc.. Etre os casos típcos de aplcação em algumas áreas de egehara tem-se: o escoameto reatvo em um cldro de motor, escoameto ao redor de um aerofólo ou corpo em movmeto a dâmca dos fludos, e crescmeto de crstas ou mudaça de fases a fabrcação de semcodutores, etre outros. A vestgação umérca destes problemas físcos pode levar à ecessdade de utlzação de malhas extremamete refadas para solucoar problemas de grades varações de algumas varáves localzadas em pequeas regões do domío físco. A complexdade da solução deste tpo de problema está o fato de que, calmete, se descohece ode estas regões estão stuadas. Os métodos adaptatvos a mecâca computacoal são geralmete baseados em uma déa smples: quado o erro a solução é muto grade, o tpo de aproxmação (tamaho de malha, localzação dos ós, ordem de aproxmação, etc.) deve ser mudado com a faldade de dmur o erro. Apesar da mplemetação da adaptação se basear, prcpalmete, em métodos covecoas, esta ada tem mutas cosas a defr, como por exemplo: a déa de tetar reduzr o erro mplca que este é cohecdo ou pode estmar-se de alguma maera. Portato, o prmero passo em adaptação é gerar uma medda da qualdade da solução, e esta medda pode

18 varar desde examar ad hoc o gradete da solução, até uma estmatva rgorosa do erro a posteror. A partr do mometo que tem-se a estmatva do erro, ecessta-se determar como fazer para reduzr sstematcamete este erro até o ível desejado. Em geral se pode adotar dferetes estratégas [Ode et al., 990b], das quas as prcpas são: refar o tamaho da malha (método de adaptação h); cremetar a desdade de ós a malha por realocação dos mesmos (método de adaptação r); cremetar localmete a ordem da aproxmação (método de adaptação p); ou uma combação destas téccas (ex.: método de adaptação h-p). Cada uma destas téccas requer demadas específcas o problema computacoal. Podemos ressaltar que uma boa mplemetação da estratéga de adaptação pode levar a um cosderável aumeto a exatdão da aproxmação umérca e também a uma dmução o custo computacoal [L et al., 00].. Estratégas dos Métodos Adaptatvos Neste tem, detalha-se as dferetes estratégas usadas os város métodos adaptatvos e as prcpas vatages e desvatages de cada um deles... Método h Este método evolve refameto do tamaho da malha, adcoado ós localmete em regões ode certos dcadores de erro são maores. O processo de refameto pode basear-se [George, 99] em: um refameto local ao redor de algums potos; ou um refameto por partção de um elemeto (bseção, trseção, etc.). Este método se mplemeta faclmete o caso bdmesoal, porém, surgem dfculdades para a cocepção e mplemetação os casos trdmesoas. São métodos robustos que

19 3 permtem, por exemplo, atacar váras fretes de odas ao mesmo tempo em problemas de Mecâca dos Fludos Computacoal. Além da ecessdade de terpolação etre a malha atga e a ova malha, estes métodos possuem a desvatagem de aparecem dspersões umércas quado equações dferecas parcas hperbólcas (como as equações de Euler) são aproxmadas umercamete [Zegelg, 999]. A geração de ovos ós faz com que toda a estrutura de dados (úmero de ós, coectvdade, etc.) seja modfcada e o tratameto das codções teras etre as regões refadas e as ão refadas seja feta com cudado. [Esema, 987]. Sua utlzação em problemas ão estacoáros tora-se custosa, apesar do desrefameto (remoção de um ou város ós) solucoar sto. Para mas detalhes do método ver os trabalhos de Ode [Ode et al., 986, 987] e Zegelg [999], etre outros autores... Método r Neste método se realoca cotua e automatcamete os vértces (ou ós) dos elemetos o domío espaço-tempo de maera a ter uma desdade da malha maor as regões de grades gradetes, equato a malha retém a estrutura regular, torado o processo computacoal mas smples. Em décadas passadas, este método fo um dos meos populares a comudade de elemetos ftos [Cao et al., 999], devdo prcpalmete ao fato de ão exstr um procedmeto seguro, efcaz e geral para a obteção do movmeto da malha. Não obstate, o método r tem característcas dferetes dos outros métodos de adaptação, por exemplo, a malha pode mudar cotuamete (problemas ão estacoáros) e, prcpalmete, possu uma estrutura de dados smples, sedo faclmete mplemetado. O método usa uma quatdade fxa de úmeros de elemetos e ós, portato a exatdão aumeta as regões ode exstem as cocetrações de ós, dmudo as outras regões. Etretato, a dmução desta exatdão em algumas regões é sgfcate devdo aos maores erros estarem cocetrados as regões ode foram fetos os refametos [Esema, 987]. ambém, o úmero fxo de ós pode orgar problemas quado se tem váras fretes com descotudades em dferetes regões do domío espacal.

20 4 Esta classe de métodos é geralmete projetada para reduzr alguma medda de erro (L, etc.) o resíduo, ou equdstrbudo o mesmo [Daz et al., 983], matedo a ortogoaldade e suavdade da malha...3 Método p Este método leva em cosderação o grau do polômo usado a aproxmação de elemetos ftos de cada elemeto. A déa é cremetar a ordem de aproxmação os elemetos com maor erro matedo o tamaho da malha. Este método fo extesamete desevolvdo em mecâca dos sóldos por algus pesqusadores [Szabó et at., 976; Kkuch, 986]. No caso de mecâca dos fludos fo aplcado pela prmera vez as equações de Naver-Stokes por Demkowcz et al. [985]...4 Método híbrdos Geralmete, téccas mas efcetes evolvem uma combação de estratégas h e r ou h e p. Etretato, a mapulação da estrutura de dados é bastate complexa em algus métodos adaptatvos híbrdos [Demkowcz et al.,989]. A estratéga adaptatva h-r [Arey et al, 990; Jes et al., 003] é cosderada prmaramete como uma técca de pré-processameto, ode os ós são poscoados uma malha cal, de maera a fcar alhados com as característcas específcas do escoameto, tas como: oda de choque, camada lmte, sgulardades, etc.. Portato, superpodo a um esquema r o esquema h, aproveta-se a vatagem de reduzr a dspersão de erro do método r com a vatagem de resolver estruturas de pequeas escala pelo método h. Além dsso, evta-se um refameto excessvo. E acotece o mesmo com o método h-p [Ode et al., 989, 990a e 994; Patra et al., 997; Rachowcz et al., 997] que é o mas utlzado dos esquemas híbrdos..3 A Dâmca dos Fludos Computacoal em Escoametos Compressíves Nas últmas décadas, mutos esforços foram dedcados a desevolver téccas efcetes e precsas de solução umérca das equações goverates de váras áreas de egehara, etre as quas destacam-se a Dâmca dos Fludos Computacoal, DFC.

21 5 Apesar dos Métodos das Dfereças Ftas, MDF, e dos Volumes Ftos, MVF serem muto usados a dâmca dos fludos, destaca-se o Método dos Elemetos Ftos, MEF, como um dos mas usados. Icalmete, fo crado a década de 50 para o cálculo de problemas estruturas [urer et al., 956; Clough, 960]. Na década de 70, a partr dos resultados teórcos de problemas mstos [Babuška, 973; Brezz, 974], passou a ter uma ampla utlzação a mecâca dos fludos. Apeas a algus aos atrás, utlzou-se o MEF para a solução de problemas de escoametos de fludos compressíves a alta velocdade (advectvos-domates). Isto se deve, à extesão do método de alta ordem do tpo Lax-Wedroff [Lax e Wedroff, 960] aplcado em dfereças ftas. A partr desta expasão, surgram os métodos de aylor-galerk [Doea, 984; Zekewcz et al., 984; Löher et al., 984] e de Galerk com lhas característcas [Löher et al., 985; Zekewcz e aylor, 99]. Falzado, deve destacar-se também o método SUPG (do glês, Streamle Upwd Petrov-Galerk Method), troduzdo por Hughes [986a]. Geralmete, o MEF é obtdo após a aplcação do método dos resíduos poderados de Galerk ou da forma varacoal fraca das equações goverates. Esta formulação é equvalete ao Prcípo dos rabalhos Vrtuas a Mecâca dos Sóldos e sua solução equvale à da forma forte [Hughes, 987a]. A aplcação da técca de Galerk stadard, ou também chamada de Bubov-Galerk gera aproxmações cetras para os operadores dferecas (equvalete às dfereças cetras em dfereças ftas). Quado os termos advectvos são domates em relação aos termos dfusvos ou vscosos, os esquemas do tpo dfereças cetras são afetados por osclações espúras, as quas, por serem esquemas ão dsspatvos [Malska, 995], valdam a solução de elemetos ftos. Para elmar as osclações espúras das compoetes de velocdade, começou-se a empregar os esquemas de tpo upwd (a motate) aplcados aos termos advectvos, ode a formação que está a motate é tratada de forma preferecal em relação à formação que está a jusate do poto cosderado, ou seja, bascamete um elemeto a motate de outro elemeto é poderado mas fortemete do que um elemeto a jusate desse elemeto [Brooks e Hughes, 98a]. Icalmete, detro destes esquemas fo troduzdo o esquema cohecdo como formulação de Petrov-Galerk [Chrste e Grffths, 976], o qual mostrou-se adequado à resolução de problemas udmesoas, através da trodução das fuções de terpolação

22 6 modfcadas. Mas sua extesão a problemas multdmesoas ão fo satsfatóra. São chamados de Petrov-Galerk [Hughes, 987b] os métodos que usam uma poderação dferete do método de Galerk stadard. Falmete, o método establzado de elemetos ftos mas cohecdo, é o método SUPG, troduzdo por Brooks e Hughes [98a; 98b], ode um termo de dfusão artfcal que atua apeas a dreção da lha de correte é adcoado para aumetar o cotrole sobre o termo advectvo-dfusvo das equações de Euler e Naver-Stokes [Hughes et al., 986a e Hughes e Mallet, 986b]. O método de aylor-galerk é uma alteratva aos esquemas upwd e bascamete cosste em uma expasão em séres de aylor o tempo e posterormete é aplcada uma dscretzação através do método de Galerk stadard sobre o domío espacal [You ad Park, 995]. Esta formulação tem-se mostrado satsfatóra a smulação de escoametos altamete compressíves, mas os resultados decaem a sua qualdade a medda que o grau de compressbldade dmu. O presete trabalho usa o método de aylor-galerk para a solução das equações que goveram os escoametos compressíves. Uma descrção Lagrageaa-Euleraa Arbtrára, ALE (do glês, Arbtrary Lagraga- Eulera) é utlzada para permtr a solução de problemas que evolvem movmetos relatvos de malha. Orgalmete, o método fo empregado em problemas que evolvem grades movmetos relatvos etre corpos e superfíces, ou seja, problemas de teração fludo-estrutura [Hughes et al.,98]. Esta descrção, que é mas geral, possu as propredades das descrções Lagrageaa e Euleraa [Doea et al., 98]. A descrção Euleraa permte que o meo teha grades dstorções, o etato, ão cosegue detfcar os cotoros móves. Equato que a descrção Lagrageaa, os cotoros e terfaces são precsamete detfcados, porém, ão são adequados para meos com grades dstorções como acotece o caso de escoameto de fludos. Portato, para cotorar as dfculdades do movmeto relatvo de malha em regões de grades varações das varáves, utlza-se a formulação ALE. Algumas aplcações do MEF a solução de escoametos de fludos compressíves foram realzadas, tas como as de Kessler [00], Petry [00] e exera [00] o âmbto do Programa de Pós-Graduação da Uversdade Federal do Ro Grade do Sul (UFRGS). O elemeto soparamétrco trdmesoal de oto ós e a sua tegração através de expressões

23 7 aalítcas, foram utlzados por Rossa [000], o cotexto da solução de problemas de escoametos compressíves e por Kessler [00] para problemas hpersôcos..4 Objetvos e Coteúdo do rabalho Este trabalho tem como objetvo desevolver um algortmo de adaptação va movmeto de malhas em escoametos de fludos compressíves bdmesoas e trdmesoas, com êfase a solução de problemas com odas de choque. O texto está desevolvdo em 0 capítulos que se tratam: O Capítulo é costtuído pela presete trodução. No Capítulo, apreseta-se a formação sobre o método r (realocação de ós). No Capítulo 3, são apresetadas as equações que goveram os escoametos compressíves de fludos. No Capítulo 4, descreve-se o modelo umérco de aylor-galerk. O Capítulo 5, aborda a tegração explícta das matrzes de elemetos hexaédrcos trlear de oto ós. O Capítulo 6 apreseta a descrção Lagrageaa-Euleraa Arbtrara, equato o Capítulo 7, apreseta-se a mplemetação da estratéga de realocação de ós. No Capítulo 8, faz-se uma breve apresetação dos aspectos computacoas. O Capítulo 9 mostra algus exemplos e aplcações. Por últmo, o Capítulo 0 apresetam-se as coclusões, além de sugestões para trabalhos futuros.

24 CAPÍULO Adaptação de Malhas Va Movmeto de Nós. Vatages do Método Adaptatvo Va Movmeto de Nós Os métodos mas populares usados para a dscretzação de equações dferecas parcas são: elemetos ftos, volume ftos e dfereças ftas. Quado utlzam-se malhas com ós uformemete espaçados, desperdça-se freqüetemete esforço computacoal para obter um erro de trucameto acetável as regões de grade varação da solução ou de seu gradete. Nestas zoas deveram se ter uma meor separação etre os ós em comparação com as outras regões que tem uma varação sgfcate da solução. No caso de escoameto de fludos cotedo odas de choque em movmeto, superfíces de cotato e camadas lmtes, somete uma pequea porção do domío requer uma meor separação etre os ós. Portato, podera-se cosegur uma mportate ecooma movedo os ós de maera a cocetrar os mesmos as áreas de grade varação da solução. Para determar apropradamete uma oda de choque, a separação dos ós ao redor desta tem que ser algumas vezes meor que a espessura da oda. A espessura da oda de choque está assocada com os valores dos coefcetes dos termos dfusvos, que são termos com a seguda dervada espacal da velocdade a equação da coservação da quatdade de movmeto, sedo freqüetemete da mesma ordem que a magtude dos coefcetes (represetados pela vscosdade do fludo). Portato, se os coefcetes dos termos dfusvos são reduzdos, a espessura da oda de choque também é reduzda. Obvamete, coefcetes ulos daram lugar a resultados fscamete corretos. Fscamete, os coefcetes verdaderos são muto pequeos, e a prátca são substtuídos por coefcetes maores para permtr separações maores etre os ós. O uso de métodos adaptatvos permte uma meor separação etre os ós e, portato, coefcetes meores e mas realstas fscamete do que pode-se obter com os métodos sem adaptação.

25 9 Além dsso, pode-se redstrbur os ós às regões de grade varação da solução com mímo custo computacoal, maxmzado assm a precsão da solução.. Revsão dos Métodos Adaptatvos Quado se cosderam os algortmos de movmeto de malhas para a solução de equações em dervadas parcas (EDP) fuções do tempo, as téccas as quas estão baseados os movmetos da malha são freqüetemete extraídas da lteratura de geração de malhas adaptatvas para problemas estacoáros. Uma destas téccas é a equdstrbução, a qual evolve a localzação dos ós da malha de maera que alguma medda da solução ou o erro é gualada sobre cada subtervalo. Outra técca é mmzação a que gera a malha a partr de um prcpo varacoal, através de um fucoal [Brackbll et al., 98]. Estas téccas podem ser utlzadas os métodos de adaptação de malha, devdo a que a úca dfereça exstete é a malha, ode este caso ela é movda jutamete com a aproxmação umérca desevolvda o tempo, de tal maera que as motvações fudametas da estratéga usadas a gerações de malha são preservadas. Algus dos prcpas métodos adaptatvos trasformam as EDP das varáves represetadas pelo vetor A de coordeadas físcas (x, t) para um espaço físco - dmesoal com coordeadas computacoas -dmesoas (ξ, t) o qual os ós estão gualmete espaçados. Os métodos adaptatvos podem ser classfcados de acordo com a maera em que é feta a dstrbução dos ós, segudo Hawke et al. [99]: redstrbução para mmzar ou equdstrbur a tegral de uma medda de erro; redstrbução por uso de pseudoforças dervadas da medda de erro. A classfcação é artfcal, já que as fórmulas que se obtêm o fal de cada um dos processos tem muto em comum.

26 0.. Método Baseado a Mmzação ou Equdstrbução da Itegral da Medda de Erro Perso e Kutler [980] resolveu um problema udmesoal o qual as EDP foram trasformadas das coordeadas físcas x para as coordeas computacoas ξ com os ós equdstrbudos. A medda de erro fo o quadrado da dervada tercera da solução com relação a ξ ι. As EDP foram reduzdas para equações dferecas ordáras (EDO) para cada ó, usado dfereças cetras. Os ós foram movmetados para algus passos de tempo, mmzado a tegral da medda do erro. A fm de resolver as EDP depedetes do tempo, Dwyer et al. [980] e Dwyer [984] usaram uma trasformação do sstema de coordeadas espacas (x, x, t) para o sstema de coordeadas (ξ, ξ, t), fazedo uma equdstrbução tegral da medda do erro. Os dos trabalhos foram baseados a solução adaptatva de valores de cotoro de dos potos. Para a medda do erro, usou-se dervadas com relação ao comprmeto do arco etre as duas curvas de costates ξ ou ξ o espaço físco. Para mater a trasformação suave, usou-se a relação de separação etre ós de elemeto para elemeto. Os dados foram trasferdos da malha atga à malha ova por terpolação. Com a versão udmesoal do método se obtveram bos resultados, resultado em um erro de trucameto equvalete ao obtdo por uma malha ão adaptada com dez vezes mas ós. Porém, os problemas bdmesoas [Dwyer et al., 980], obtveram-se soluções osclatóras em algumas regões da malha que orgaram dstorções. ambém, Dwyer et al. [980] relatou problemas quado a adaptação fo permtda próxmo ao cotoro. Brackbll et al. [98] estedeu o método de geração automátca de malha adaptatva usado por Wslow [967], trasformado as EDP bdmesoas das varáves físcas A de coordeadas (x, x, t) para as coordeadas umércas (ξ, ξ, t). Uma soma poderada de três meddas de erro (suavdade da malha, ortogoaldade e trucameto do erro) fo usada para determar a trasformação de coordeadas. O sstema de EDO para as coordeadas espacas fo obtdo usado o cálculo varacoal para mmzar a tegral do volume do erro trasformado para coordeadas umércas. O sstema de EDO para as coordeas espacas fo resolvdo usado o método teratvo de Jacob. Os dados da malha atga para a malha ova foram trasferdos por meo de

27 uma fução de terpolação. Um excelete cotrole das característcas da malha, como também, a redução o erro da solução foram obtdos com este método. Kres et al. [986] mostraram que alterado a medda do trucameto do erro do método ateror pode-se melhorar os resultados o caso de algus problemas com varação espacal grade (muta separação etre os ós). Carcallet et al. [986a] desevolveram um método que soma, para todos os ós, as meddas da suavdade e ortogoaldade da malha, assm como também a da suavdade da solução. O procedmeto fo aplcado uma malha retagular e o método é uma extesão do trabalho de Hayes et al. [986] e Keo et al. [986], os quas usam somete as prmeras duas meddas spradas o método de Brackbll et al. [98]. Os valores das três meddas são calculados para cada ó e estão explcadas suctamete a segur para o caso bdmesoal. A suavdade da malha é motorada pela soma dos quadrados das dfereças das áreas dos elemetos com cotoros em comum e esta soma é zero quado as áreas são guas. Os quatro vetores posção relatva com orgem um dado poto (que é o ó em questão) são usados para quatro produtos escalares, os quas são elevados ao quadrado e somados para motorar a ortogoaldade dos ós. O produto escalar é escolhdo de forma que a soma seja zero quado a malha é localmete ortogoal. Falmete, para motorar a suavdade da solução escolheram a segute medda de erro: o produto da área dos quatro elemetos coectados ao ó pelo gradete das compoetes da solução, apropradamete acodcoado. A soma de todos os ós é feta para formar uma medda global da qualdade da malha, a qual é aáloga à tegral de volume de Brackbll et al. [98]. O método smplex ão-lear é utlzado para achar a ova posção dos ós até que o fucoal seja mmzado. O método demostrou ser robusto já que fucoa corretamete com elemetos que tem jacobao egatvo. O método de Carcallet et al. [986a] fo usado para a solução de EDP smples, reduzdo o erro a ordem de ses vezes em comparação com uma malha sem adaptação e gual úmero de ós.

28 Keo et al. [986] e Carcallet et al. [986b] amplaram as meddas de qualdade da malha para o caso trdmesoal. O últmo trabalho utlza uma medda de suavdade da malha modfcada para cosegur agrupar ós em lhas, superfíces ou regões trdmesoas específcas. O método de movmeto de elemetos ftos é uma técca de solução de EDP desevolvda por Mller e Mller [98]. A medda do erro pode ser terpretada como sedo o quadrado do resíduo das EDP escrtas a forma de elemetos ftos. As EDO para os valores odas das varáves físcas e as coordeadas odas são obtdas mmzado a tegral da medda do erro sobre as coordeadas espacas. Herbst et al. [98] baseado o trabalho ateror, substtuu as fuções de forma por aproxmações cúbcas de Hermte, mas cocluu-se que ambos os métodos tedem a equdstrbur a seguda dervada espacal da solução sobre a malha com sgfcate redução do erro. Este método fo faclmete aplcado em problemas udmesoas, mas tem assocadas mutas dfculdades para sua aplcação em problemas bdmesoas ou trdmesoas... Método Baseado a Atração e Repulsão de Pseudoforças etre Nós Em mutos métodos, um ó atra outros quado a medda de erro de trucameto do ó é maor que uma medda méda. Ao cotráro, se a medda é meor que a méda, os ós são repeldos. Goffo [983] baseou-se o trabalho de Dwyer et al. [980] e usou como medda do erro a força das molas que ue os ós de uma malha bdmesoal. Os ós são movmetados de maera a equdstrbur as forças das molas ao logo de lhas de coordeadas computacoas costates. Este método fo aplcado com êxto o MVF para a solução das equações de Naver-Stokes em corpos rombudos. A costate de rgdez da mola está assocada à medda do erro, a qual é uma soma poderada das dervadas espacas de cada compoete da solução das varáves físcas A. O procedmeto de adaptação fo somete aplcado ao logo das lhas de coordeadas computacoas. Os ós foram movdos perodcamete durate algus

29 3 passos de tempo medate um procedmeto teratvo. Os dados da malha atga à ova malha foram trasferdos por meo de uma fução de terpolação. O método ateror fo esteddo por Nakahask e Dewert [987], já que adcoou-se efetos de torção aos efetos axas da mola. Isto ajusta à dstrbução dos ós o domío bdmesoal, forçado a ortogoaldade a malha. O método fo aplcado para a solução das equações de Naver-Stokes e de Euler para escoametos sobre aerofólos em regmes subsôcos e supersôcos. A costate de rgdez da mola aos efetos axas é proporcoal ao gradete da solução etre os dtos ós, equato que a costate de rgdez da mola à torção é uma pequea fração da prmera, de forma que a ortogoaldade da malha esteja reforçada as regões de gradetes pequeos. Uma terpolação é usada para trasferr a formação desde a malha atga à ova malha depos que todas a lhas forem adaptadas. O método também fo empregado em problemas trdmesoas por Nakahask e Dewert [986]. Eles sugerram que o método pode ser aplcado a problemas de escoametos ão estacoáros, avalado a velocdade a malha depos de cada adaptação. odos os métodos requerem costates de poderação específcas. Portato, a solução do problema freqüetemete evolve um cclo para escolher as costates de poderação, e em fução do comportameto da solução determa-se se as costates devem ser alteradas. A redução do úmero de costates de poderação ou sua escolha automátca é uma área a ser aprmorada em futuras téccas de adaptação.

30 CAPÍULO 3 Equações que Goveram o Escoameto de Fludos 3. Itrodução As equações fudametas que goveram o escoameto de um fludo vscoso, trasete são dadas pelas equações da cotudade, da quatdade de movmeto e da eerga. Estas equações são apresetadas em forma coservatva, pos são obtdas a partr de um volume ftesmal fxo o espaço [Aderso, 99]. odas elas estão em coordeadas cartesaas trdmesoas e são aplcadas a todo o domío cosderado. 3. Equações Goverates 3.. Equações de Coservação As equações são dadas as segutes expressões, segudo Schlchtg [979]: Equação de Coservação da Massa: ( ρ v ) ρ + = 0 (3.) t x Equações de Coservação da Quatdade de Movmeto: ( v ) ( v v ) ρ j ρ j σj + bj = 0 t x x Equação de Coservação de Eerga: (3.) ( ρe) ( ρev ) t + x x ( v σ ) K Q = 0 j j x j x j (3.3)

31 5 todas elas váldas o domío Ω, e sedo em todos os casos,j =,,3. As equações são apresetadas em otação dcal de Este, ou seja, ocorre somatóro os termos com ídces repetdos (exceto quado dca-se o cotráro). Nestas expressões, v são as compoetes do vetor velocdade segudo o exo x, ρ é a massa específca do fludo, e é a eerga total específca, é a temperatura, K j são as compoetes do tesor de codutbldade térmca, b j é a compoete da resultate de forças de volume segudo o exo x, Q é uma fote ou sumdouro de eerga, σ j são as compoetes do tesor de tesões e t é o tempo. 3.. Equações Costtutvas As Equações Costtutvas relacoam às compoetes do tesor de tesões, às pressões e aos gradetes das compoetes de velocdade, coforme às segutes expressões: σ j = pδ j + τ j (3.4) v v v j k τ j = µ + + λ δj xj x xk as quas, p é a pressão termodâmca, δ j é o delta de Kroecker ( δ j =, para = j e δ j = 0, para (3.5) j), τ j são as compoetes do tesor de tesões vscosas, µ é o coefcete de vscosdade absoluta e λ é o coefcete de vscosdade volumétrca ( λ = µ 3 para a hpótese de Stokes). 3.3 Equações de Naver-Stokes e de Coservação de Massa e de Eerga Substtudo as Equações Costtutvas as Equações de Coservação da Quatdade de Movmeto, obtêm-se as Equações de Naver-Stokes, que goveram o comportameto dos escoametos de fludos vscosos. As Equações de Coservação fcam: Equação de Coservação de Massa: ( ρ v ) ρ + = 0 (3.6) t x

32 6 Equações de Coservação da Quatdade de Movmeto: ( j) ( j ) ρv ρv v p + τj + δj bj = 0 t x x x Equação de Coservação de Eerga: ( ) ( ) ( pvj ) ρe ρev + ( vjτj) + δj Kj Q= 0 t x x x x xj (3.7) (3.8) 3.4 Equações de Euler e de Coservação de Massa e de Eerga Desprezado as equações (3.4) e (3.5) os efetos vscosos, tem-se que: σ = (3.9) j pδ j Com esta cosderação podem ser obtdas algumas característcas de escoametos com elevado úmero de Reyolds. Falmete, as equações que goveram o escoameto de fludos ão vscosos, fcam: Equação de Coservação de Massa: ( ρ v ) ρ + = 0 (3.0) t x Equações de Coservação da Quatdade de Movmeto: ( j) ( j ) ρv ρv v p + + δ j bj = 0 t x x Equação de Coservação de Eerga: ( ) ( ) ( pvj ) ρe ρev + + δ j Kj Q= 0 t x x x xj (3.) (3.) 3.5 Equações Complemetares 3.5. Equação de Estado No caso de escoametos de gases compressíves, em especal aqueles deomados gases

33 7 perfetos, é utlzada a Equação de Estado dos gases perfetos que relacoa a pressão, a eerga tera específca e a massa específca da segute forma: ( γ ) p = ρ u (3.3) Ode, u é a eerga tera específca e γ = c / c é a relação etre os coefcetes de calor p v específco a pressão costate e a volume costate, respectvamete. Covêm também expressar as segutes relações: u = c (3.4) v u = e v v (3.5) Ode, vv é a eerga cétca específca Le de Vscosdade de Sutherlad Em escoametos com altos gradetes de temperatura, como é o caso dos escoametos compressíves, a vscosdade ão pode ser cosderada costate, porém uma fução da temperatura. Exstem algumas les empírcas para represetar a depedêca da vscosdade com a temperatura, etre as quas a Le de Sutherlad, que estabelece que: 3 S + ref µ = µ (3.6) ref S + ref ode o subídce ref dca estado de referêca, e S é uma propredade do gás em udades de temperatura. Por exemplo, para o ar tem-se [Whte, 00]: S = 0, 4 K (3.7)

34 8 3.6 Admesoalzação das Equações As Equações de Coservação são admesoalzadas, de forma a trabalhar com problemas admesoalzados para facltar a comparação com outros escoametos semelhates e com exemplos da lteratura exstetes a área. Multplcado as Equações de Coservação (3.6) e (3.0) por L ref ρ ref a ref, (3.7) e L ref (3.) por ρref a ref gradezas admesoas: L ref e (3.8) e (3.) por 3 ρref a ref pode-se defr as segutes t a t L ref = tempo admesoal; ref x x = coordeadas espacas admesoas; Lref v v a = compoetes admesoas de velocdade; ref ρ ρ = massa específca admesoal; ρ ref p p = pressão admesoal; ρ a ref ref e e = eerga total específca admesoal; a ref c u = eerga tera específca admesoal. a v ref Ode, L ref é um comprmeto de referêca, a ref e ρ ref são a velocdade do som e a massa específca da correte ão perturbada, respectvamete. As equações admesoalzadas de coservação, desprezado os efetos de codutbldade térmca, as forças de volume, e as fotes ou sumdouros, resultam, para os fludos vscosos:

35 9 Equação de Coservação de Massa: ( ρv ) ρ + t x = 0 (3.8) Equações de Coservação da Quatdade de Movmeto: ( ρv j ) ( ρv j v ) t + x x v µ x j v + x j v + λ x k k p δ j + x j = 0 (3.9) Equação de Coservação de Eerga: ( ) ( ρev ) ρe v v j v pv k j u + v j µ + + λ δ j + K = 0 t x x xj x xk xj x x (3.0) Cosderado que M ref e Re ref são o Número de Mach e o Número de Reyolds da correte ão perturbada respectvamete, e Pr é o Número de Pradlt defdo a partr do traço do tesor K j, as quatdades µ, λ e k fcam defdas através das segutes expressões: a) Le de Vscosdade de Sutherlad admesoalzada: M S + u ref ref u µ = Re ref S + u u ref 3 (3.) λ = µ (3.) 3 c S S = (3.3) c v ref ode, Re ρ V L ref ref ref ref = (3.4) µ ref

36 0 M ref V ref = (3.5) a ref b) Le de Sutherlad admesoalzada para o coefcete de codutbldade: Mref γ Sk + uref u K = Re ref Pr S k u u + ref 3 (3.6) cpµ ref cp Pr = ; γ = ; K c v K K + K + K 33 cv S K = ; S K = (3.7) 3 c ref Mas formações referda à Le de Sutherlad para a vscosdade ou para a codutbldade térmca, assm como os valores das costates S e [00]. S K, ecotram-se em Whte As equações admesoalzadas para fludos ão vscosos, obtêm-se smplesmete elmado os termos vscosos as equações de coservação de quatdade de movmeto e de eerga, e os termos de codutbldade térmca a equação de coservação de eerga. 3.7 Forma Vetoral Compacta das Equações de Coservação A partr deste poto, utlzam-se sempre as equações admesoalzadas, depedete que seja para o caso dos fludos vscosos, ou para o caso de escoametos de fludos ão vscosos. Assm, todas as varáves são admesoas, embora o traço utlzado a seção ateror ão apareça para facltar a otação. Empregado os segutes arrajos: ρ ρv U = ρv ρv 3 ρe ; F = ρv ρvv + pδ ρvv + pδ ρv3v + pδ v 3 ( ρe + p) ; G = τ 0 τ τ τ 3 u jvj K x (3.8) ode, =,,3, U é o vetor de varáves de campo, F é o vetor de varáves de fluxo e G é o

37 vetor de termos vscosos e de codutbldade térmca. Etão, as equações de coservação para fludos vscosos fcam resumdas a segute equação vetoral: U F G + + = 0 t x x em Ω (3.9) Etretato, estas equações para o caso de fludos ão vscosos fcam expressas por: U F + = 0 t x em Ω (3.30) Para defr totalmete o problema, deve-se adcoar ao sstema de equações, dado pelas expressões (3.9) e (3.30), as codções cas e de cotoro para as varáves. As codções cas, t = 0, vêm dadas por: v = v 0 ρ = ρ 0 (3.3) (3.3) u = u0 (3.33) As codções de cotoro essecas ou forçadas (também chamadas codções de cotoro de Drchlet) são as segutes: v = v em Γv ρ = ρ em Γρ u = u em Γu ode, v, ρ e u são os valores prescrtos das varáves v, ρ e u as partes cotoro. Γ v, Γ ρ e (3.34) (3.35) (3.36) Γ u do por: As codções de cotoro aturas (ou codções de cotoro de Neuma) vêm dadas ( δ τ ) p j + j j = t em σ Γ (3.37) K = q x em Γ (3.38) q ode, j são os coseos dretores da ormal um poto de Γ σ com o exo x j, t é a compoete

38 de uma força de superfíce a dreção do exo x atuado a parte Γ σ do cotoro, é a compoete da dreção ormal do cotoro calor que etra ou sa do volume Ω, através da superfíce Γ q, segudo a dreção do exo x, e q é o fluxo de Γ q. Evetualmete poderão exstr o cotoro perdas de temperatura por radação e covecção, porém estas perdas ão serão cluídas o presete trabalho.

39 CAPÍULO 4 O Modelo Numérco de aylor Galerk 4. Itrodução O método de aylor-galerk de um passo, troduzdo por Doea [984], é aplcado sobre as equações goverates. Em um prmero mometo, as varáves de campo são expaddas o tempo segudo uma sére dscreta de aylor. Isto permte obter os valores daquelas em um determado passo de tempo ( ) + t, a partr do passo de tempo ateror t. Posterormete, o método de Galerk stadard (ou Bubov-Galerk) é aplcado para obter-se a aproxmação espacal. 4. Dscretzação emporal das Equações: Sére de aylor Desevolvedo as varáves de campo das equações por uma expasão o tempo, segudo uma sére de aylor [Yoo e Moo, 998], obtém-se: + s U t + s + U U = U + t t! t (4.) ode, o superídce dca o passo de tempo. Além dsso, defe-se: + s + U U s U = + t t t 0 s (4.) + s + U U s U = + t t t 0 s (4.3)

40 4 ode, s e s são parâmetros que defem se o esquema é explícto ( s s ) = =, semmplícto ou mplícto ( s s ) s =/, e substtudo a equação (4.), resulta: 0 = =, como dca [Yoo e Moo, 998]. Adotado s =/ e + U U U U t t t t + + t U = t (4.4) A equação (4.4) é a expressão que defe o esquema de avaço o tempo, mas ada é precso substtur ela as dervadas prmera e seguda de por expressões obtdas a partr das equações de coservação. U e U + com relação ao tempo, A equação vetoral (3.9), represetado as Equações de Coservação, é expressa por: U F G = t x x com =,,3 (4.5) Aalogamete, para o cremeto U +, tem-se: F G U = t x x (4.6) Ates de substtur as expressões (4.5) e (4.6) a equação (4.4), é precso obter as dervadas seguda de U e U + com relação ao tempo. Expaddo o vetor F, como se mostra as segutes expressões: F = C + P (4.7) C ρ v ρ vv = ρ vv ρ vv 3 ρ ev ; P = 0 pδ pδ pδ pv 3 (4.8)

41 5 a equação (4.5) pode ser expressa da segute forma: U C P G = t x x x (4.9) Dervado em relação ao tempo a expressão (4.9), obtém-se: U C P G = t t x x x (4.0) U C P G = t x t t t (4.) Utlzado a regra da cadea, tem-se: U C U G U P = t x U t U t t (4.) observado que: C U = v (4.3) ode, = e deomado: b = G U (4.4) tem-se: U U U P = v b t x t t t (4.5)

42 6 Substtudo a expressão (4.9) em (4.5), obtém-se: U Ck Pk G k P = ( v + b ) t x xk xk xk t (4.6) com,k =,,3 Mas, cosderado a expressão (4.7), e adotado a segute learzação: + + P P P P = = t t t (4.7) a equação (4.6) trasforma-se em: b (4.8) + U Fk G k P = ( v + ) t x xk xk t Aalogamete, obtém-se a segute expressão para o cremeto U + : + ( P ) U Fk G k = ( v + b ) (4.9) t x xk xk t Agora, as expressões (4.5), (4.6), (4.8) e (4.9) podem ser substtuídas a equação (4.4). Se sto for feto cosderado que as compoetes da matrz quado comparadas com Desprezado os termos: v, a matrz ( v + ) b são desprezíves b pode ser substtuída pelo fator v. t x + G k t G ; k x 4 x x k k e t 4 x + ( Pk ) k pelo fato do prmero e segudo serem termos de ordem superor, dado que estes evolvem dervadas terceras da posção. Já, o tercero pode ser desprezado por coter a dervada do cremeto de um cremeto, multplcada por outro cremeto. Obtém-se a segute equação para os cremetos das varáves:

43 7 + F G t F U = t + vk + x x xk x t + + x x x x x F P G t F vk k (4.0) Na equação (4.0), os cremetos das varáves de campo U devem ser obtdos através de um processo teratvo, um vez que estão defdos para o mesmo tempo que os termos cremetas do segudo termo do lado dreto da equação. Falmete, adotado a segute omeclatura: ρ v ρvv pδ + P F = F + P = ρvv + pδ ρvv 3 + pδ 3 v ( ρ e+ p) (4.) e adcoado um cotador de úmero de terações I, o esquema de avaço o tempo para o caso de escoametos de fludos vscosos fca represetado pela segute expressão: + F G t F UI+ = t + vk + x x xk x P t FI GI t F I + + vk x x x k x (4.) Para modelar escoametos de fludos ão vscosos, smplesmete se elmam os termos que cotêm o vetor G, resultado a segute expressão: + F t F UI+ = t + vk + x xk x P + + t FI t F I + + vk x x k x (4.3) Deve-se observar que o esquema de avaço o tempo das equações (4.) e (4.3) é, em prcpo, um esquema sem-mplícto, dado que o vetor de cógtas o tempo + é obtdo a partr dos vetores F e G, avalados o tempo, e dos vetores dos cremetos de

44 8 F e G, avalados o tempo +. No etato, este esquema será resolvdo em forma explícta, segudo será oportuamete mostrado a seção 4.3., coservado todas as característcas de um sstema explícto. 4.3 Dscretzação Espacal das Equações: Aplcação do Método de Galerk Nas expressões (4.) e (4.3), todas as fuções evolvdas já foram dscretzadas o tempo, mas ão o espaço. Os vetores ( U, F, F e fuções cotíuas da posção, sgfcado que: P G ) e os cremetos temporas são ada U = U ( x ) com =,,3 (4.4) Etretato, os cremetos temporas que apareceram também são fuções da posção, sgfcado ter: U = U ( x ) = U ( x ) U ( x ) (4.5) Para dscretzar o espaço o domío cotíuo utlza-se o MEF, o qual cosste em dvdr o domío em elemetos e aproxmar as varáves de campo os elemetos através de polômos que terpolam os valores das varáves a partr dos valores delas os ós dos elemetos. Neste trabalho, utlzam-se elemetos tr-leares hexaédrcos de oto ós. Portato, têm-se oto fuções de terpolação, ou fuções de forma, costtudo a segute matrz: [ Φ] = [ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ] Φ 8 (4.6) Após a dscretzação do domío, as varáves aproxmadas, obtdas por terpolação, fcam represetadas pelas segutes expressões: U [ Φ] { U} = (4.7) Nestas expressões, { U } é o vetor de valores odas da varável. Por exemplo, para o vetor de varáves de campo tem-se:

45 9 { U} = { ρ} { ρv} { ρv} { ρv3} { ρe} (4.8) ode, o vetor { ρ v } cotém os produtos dos valores de ρ e v em cada um dos oto ós do elemeto, ou seja: { ρv } = ( ρv ) ( ρv ) ( ρv ) 8 (4.9) Aqu está sedo represetado apeas o vetor { U }, mas este procedmeto é esteddo a todas a varáves. Deve-se saletar o fato de que os vetores U, F e P F cotêm as varáves aproxmadas, formadas pelos produtos das fuções de terpolação costtuídas por polômos cohecdos e os valores odas das varáves que são as cógtas do problema a serem determadas. Etretato, o vetor precsam de um tratameto especal. G ão aparece aqu, dado que estes termos Uma vez aplcado o MEF, é ecessáro adotar um método que permta estabelecer equações para determar os valores odas das varáves, de forma que a dfereça etre os valores das varáves aproxmadas por terpolação e os valores reas das varáves que eram as cógtas orgas o modelo matemátco cotíuo, seja mmzada. No cotexto do MEF, o método dos resíduos poderados cosste em tomar as fuções aproxmadas um elemeto, as quas troduzdas as equações (4.) e (4.3) ão são satsfetas, fcado um resíduo para cada equação devdo ao fato de ão serem as fuções aproxmadas as soluções exatas daquelas equações. Este resíduo é defdo para um escoameto de fludos vscosos como:

46 30 + F G t F R = UI+ t + vk x x xk x P t FI GI t F I + vk x x x k x (4.30) Este resíduo é poderado de alguma forma e obrgado a satsfazer uma codção para mmzá-lo. Etre os métodos de resíduos poderados que podem ser utlzados, o método de Galerk é aquele o qual se podera o resíduo com relação às varações das varáves do problema, exgdo que o produto tero etre ambos seja ulo. Assm, defdo o produto tero como a tegral de volume o elemeto fto do produto etre o resíduo e a varação do vetor das varáves, tem-se: Ωe { δ } [ ] d {} δur dω = 0 U Φ R Ω = 0 (4.3-a) portato, [ Φ] dω = {} 0 Ωe Ωe R (4.3-b) ode, R é o resíduo da equação e Ω e é o domío do elemeto. Desta forma, resolvedo a equação (4.3-b) para os valores odas das varáves de campo, obtém-se a solução do problema dscretzado, um vez que estes valores são, precsamete aqueles que mmzam o resíduo. O resíduo, o caso de escoameto de fludos ão vscoso obtém-se da equação (4.3) Modelo umérco para escoametos ão dfusvos Dado que os termos vscosos e de codutbldade térmca, que estão presetes a equação (4.), requerem um tratameto especal [Burbrdge, 999], calmete, desevolve-se o método para o caso de fludos ão vscosos, adcoado depos os termos correspodetes ao caso vscoso. Itroduzdo as varáves aproxmadas a equação (4.3), e aplcado o método de Galerk, tem-se, para cada elemeto do domío, a segute gualdade:

47 3 F t F Φ dω= t Φ dω + Φ vk dω + x xk x + [ ] UI+ [ ] [ ] Ωe Ωe Ωe P+ + t F I t F I (4.3) + [ ] d [ ] vk d Φ Ω + Φ Ω x e x e k x Ω Ω Aplcado o eorema de Gauss-Gree as tegras cotedo dervadas segudas, e desprezado os termos de cotoro resultates da tegral cotedo o vetor expressão (4.3) trasforma-se em: F t Φ F Φ dω= t Φ dω vk dω + x xk x + [ ] UI+ [ ] Ωe Ωe Ωe t [ ] [ ] * + k k Φ v dγ + x Γe P+ + t F I t Φ F I + [ ] d vk d Φ Ω Ω x e x e k x Ω Ω F F +, a (4.33) * ode, a matrz Φ cotém as fuções de terpolação avaladas o cotoro do elemeto e k são as compoetes do vetor ormal ao cotoro, e por coveção apotado para fora do domío. Agora, substtudo a expressão (4.7) e suas equvaletes a equação (4.33), obtém-se: + Φ (4.34) [ Φ] [ Φ] dω { } = t [ Φ] dω { } I U + F x Ωe Ωe t Φ [ ] Φ [ ] t * Φ [ ] ([ Φ]{ vk} ) dω { } + Φ ([ Φ]{ vk} ) k { } dγ + F x e k x F x Ω Γe t [ Φ] P + t [ Φ] [ Φ] + + [ Φ] dω { } ( [ Φ]{ v } ) I k F dω { } x I F e x Ω e k x Ω [ ] Etão, defdo as segutes matrzes e vetores: [ M ] [ ] [ ] = Φ Φ dω (4.35) Ωe

48 3 [ B ] [ ] [ C ] [ ]{ v } Ωe [ ] Φ = Φ Ω ( k ) d (4.36) x Ωe [ ] [ Φ] Φ = Φ dω (4.37) x x k ( ) * {} g [ ]{ } Γe [ ] { F } Φ = Φ Φ vk k dγ x com,k =,,3 (4.38) a equação (4.34) pode ser escrta em forma matrcal da segute maera: t t = I+ + + t P + t + + [ B ] { F } [ C ] { F} I I + [ M ] { U} t [ B ] { F} [ C ] { F} {} g Fazedo, (4.39) C t B = [ B] + [ C] (4.40) obtém-se: t = I+ + + t + + C [ M ] { U} t B { F} {} g + ( [ B ] { } B { } ) C + P I F I (4.4) A equação (4.4) fo defda para um elemeto geérco, portato, para resolver as equações é precso prmeramete efetuar a motagem das equações de elemeto para obter o sstema completo. Se sto fosse feto utlzado a matrz [M], como fo defdo, o resultado sera um sstema de equações acopladas que ão poderam ser resolvdas explctamete. No etato, defdo a segute matrz dagoal: [ ] [ m ] M D = (4.4) MN

49 33 ode, α M MN se M = N m MN = (4.43) 0 se M N 8 N = α = 8 8 M N= M= MN M MN (4.44) e M MN são os elemetos da matrz [M], etão, obtém-se o segute esquema explícto: t = I+ D + + t - + C + + [ M D] ( [ B ] { P} B { } I I ) F com =,,3 + - C { U} t [ M ] B { F} {} g (4.45) Assm, a equação (4.45) represeta o modelo umérco de aylor-galerk para escoametos compressíves de fludos ão vscosos Modelo umérco para escoametos dfusvos Os termos dfusvos cotdos o vetor como se mostra adate: G ão podem ser terpolados de forma dreta, G [ Φ] { G } = com =,,3 (4.46) A expressão (4.46) ão pode ser utlzada em forma dreta porque sto mplcara dspor dos valores odas do vetor G e, dado que os termos dfusvos e de codutbldade térmca cotém dervadas das varáves de campo, esses valores odas ão podem ser obtdos quado o elemeto utlzado é lear. Assm, tora-se ecessáro tegrar por partes utlzado o eorema de Gauss-Gree. Além dsso, estes termos têm característcas especas para cada equação de coservação e, por sso, a expasão dos termos dfusvos pode ser ecotrada o Aexo A.

50 34 Para smplfcar a otação, cosdera-se: ρ F = ρ v (4.47) ρ F v j ρ vv j pδj = + com,j =,,3 (4.48) ρ F e ρ ev pv = + (4.49) ode as equações fcam expressas da segute maera: Equação de Coservação de Massa: t ρ + = I+ + + t - C ρ + + [ M D] B { F } I - C ρ ρ { } t [ M D] B { F } { g } (4.50) Equação de Coservação da Quatdade de Movmeto: t = I+ + + j + t - C ρv + + [ M D] [ B ] { pδ } B { F } [ D ] { v} { } + [ ] - C ρv { } [ ] { } ρv ρ vj t M D B F j D v { f j} { g j } + + ( j I j I j I ) (4.5) Equação de Coservação de Eerga: t I t C ρe + * + [ M D] [ B ] { pv} B { F } E { v} [ K]{ u} I I I + - C ρe ρe { ρ e} = t [ MD] B { F } [ E ] { v} [ K]{} u {} q { g } ( I ) - (4.5) Nestas equações, as matrzes [ ] D C M, B e [ B ], e o vetor {} g já foram defdos as expressões (4.4), (4.40), (4.36) e (4.38), respectvamete, com o auxlo das expressões complemetares (4.35), (4.37), (4.43) e (4.44). Etretato, tem aparecdo ovas matrzes e vetores de elemeto que se defem a segur:

51 35 [ D] j = [ ] [ ] [ ] [ ] λ Φ Φ Φ Φ µ + dω + µ dω ; µ x() x () x x Ω = k =,3 se = j, e = k =,3 = 3 k =, Ωe e k k Ωe [ ] [ ] [ ] [ ] d Φ Φ Φ Φ µ Ω+ λ dω x x x x j Ωe j ; se j (4.53) ode, o parêtese o subídce dca que ão é aplcada a coveção da soma, mesmo que os ídces estejam repetdos. { f } [ ] { } [ ] { } [ ] { } Φ Φ Φ = Φ v + v + v dγ * j µ j λ k δj x e xj x Γ k (4.54) com,j,k =,,3 [ E ] [ ]{ v} [ ] [ ] [ ] [ Φ] k [ ] [ ] Φ Φ Φ Φ = µ ( Φ ) + µ ( [ Φ ]{ vk} ) + x e k xk x x Ω k Φ + λ ( [ Φ]{ vk} ) dω x x (4.55) [ ] { } [ ] [ ] v { v } [ ] * Φ Φ Φ E = [ E ] + µ j + Φ + x e x j x Ω j [ ] [ Φ] { v } [ ] Φ + λ k Φ dω xk x (4.56)

52 36 [ K ] [ ] [ Φ] Φ = K dω (4.57) x x Ωe ( ) * {} q [ ] { } [ ] {} * + Φ K u dγ x Γe [ ] { } [ ] [ ] { } { } Φ Φ Φ = Φ Φ vj µ vj + v + λ vk δj dγ+ x e x j x Γ k Φ (4.58) 4.4 Vscosdade Artfcal e Establdade Numérca 4.4. Esquema de dfusvdade artfcal Em problemas evolvedo escoametos compressíves podem aparecer fortes descotudades em forma de odas de choque. A solução dreta através do esquema de aylor-galerk para este tpo de problemas coduz à aparção de osclações de alta freqüêca as proxmdades dos choques, motvo pelo qual é ecessára a adoção de algum método que permta capturar as descotudades. No presete trabalho, emprega-se o método de dfusvdade artfcal, descrto por Burbrdge [999]. ( ) Uma vez obtdos os cremetos { U } +, o valor das varáves de campo para o tempo + t, tora-se: { } + { } { = U + U} + U (4.59) O Método de Vscosdade Artfcal cosste em adcoar termos dspatvos que smulem a ação da vscosdade as proxmdades das descotudades, sgfcado ter: { } + { } + U U + [ M ] { D} S = (4.60) D sedo { U } + o vetor de varáves de campo suavzadas e { } S umérco que fca defdo da segute forma: D o vetor de amortecmeto

53 { e AF e ( ) { } e} { } = C C S [ M ] [ M ] D D U (4.6) e Deve-se observar que os vetores e matrzes das expressões (4.59) e (4.60) que ão levam o subídce e são vetores globas, ou seja, que fo efetuada a motagem das equações de elemeto. Pelo cotráro, a expressão (4.6), todas as magtudes são de elemeto e levam o subídce e. Nesta últma equação, o símbolo de somatóro dca o processo de motagem do produto o teror da chave, C AF é um coefcete de amortecmeto fctíco defdo pelo usuáro, e segute expressão: C e é o Número de CFL (Courat-Fredrchs-Lewy) local que vem dado pela e 37 C e t = t (4.6) e ode, t é o tervalo de tempo adaptado e te é o tervalo de tempo do elemeto e. Falmete, segute forma: S e é a méda dos valores odas do sesor de pressões calculada da S e em sn em N = = (4.63) ode, os s são os valores do sesor de pressões em cada um dos ós do elemeto, extraídos N a partr do vetor global { s } : {} s [ M] [ M ] { p} D e e = e [ M] [ M ] { p} D e e e (4.64) Nesta expressão, as barras dcam que deve ser calculado o valor absoluto dos elemetos dos vetores ou matrzes cotdos etre elas. Na equação (4.63), em é o úmero de elemetos que compartlham um determado ó.

54 Codção de establdade Uma vez motadas as equações de elemeto, o sstema resultate é um sstema explícto, já que aquelas equações ão fcam acopladas. Os esquemas explíctos são codcoalmete estáves, o qual sgfca dzer que devem cumprr alguma codção de establdade que lmte o valor do cremeto de tempo utlzado. No caso do esquema explícto de aylor-galerk para escoametos compressíves, a codção de establdade é a Codção de CFL, que pode ser expressa da segute forma: L te =δ a+ e ( vv ) (4.65) ode, te é o cremeto de tempo crítco do elemeto, δ é um coefcete de seguraça, Le é um comprmeto característco do elemeto e a é a velocdade do som. Em forma admesoalzada, a expressão (4.65) resulta: Le Lref te =δ a + M a ref (4.66) ode, M é o úmero de Mach local. Falmete, o cremeto de tempo crítco adotado é o meor cremeto escolhdo detre todos os elemetos.

55 CAPÍULO 5 Itegração Explícta das Matrzes de Elemeto 5. Elemeto Isoparamétrco Hexaédrco de Oto Nós Para a aálse do escoameto através do algortmo desevolvdo o Capítulo 4, tora-se ecessáro formar as matrzes e vetores a ível de elemeto. Neste trabalho é utlzado o elemeto hexaédrco trlear de oto ós, empregado-se as fuções de terpolação clásscas para expadr as compoetes de Quatdade de Movmeto, a Eerga e a Massa Específca. Na Fgura 5., mostra-se o elemeto adotado o espaço computacoal segudo as dreções dos exos locas, e um elemeto geérco usado o espaço físco, segudo as dreções dos exos globas. Fgura 5.- Espaço computacoal e físco do elemeto soparamétrco de 8 ós As fuções de terpolação são dadas através da segute expressão: Φ N = 8 [ + ξ ξ ][ + ξ ξ ][ + ξ ξ ] N N 3 N 3 (5.) ode, o ídce N dca o úmero do ó local, que vara de até 8. Portato, ξ, N N ξ e ξ 3 N

56 40 são as coordeadas aturas do ó N e são valores cohecdos e fxos que podem ser agrupados os segutes arrajos: { ξ } = { } { ξ } = { } { ξ } = { } 3 (5.) Vale saletar que a expressão (5.) vem dada em forma dcal e ão matrcal. Assm, as fuções assm obtdas são as oto fuções que compõem a matrz lha descrta pela segute expressão: [ Φ] = [ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ] Φ 8 (5.3) Como já fo mecoado aterormete, todas as varáves de campo são terpoladas da segute forma: f [ Φ]{ f } = (5.4) ou também: f Φ f N N (5.5) = 8 N = sgfcado, o produto escalar da matrz de fuções de terpolação e o vetor que cotém os valores odas de uma determada varável de campo ou de um produto de varáves de campo. As expressões (5.4) e (5.5) são equvaletes, sedo que a prmera fo escrta em forma matrcal e a seguda em forma dcal. Como pode ser observado, para os subídces odas a forma dcal aqu adotada ão segue a coveção de Este, a qual cotua sedo utlzada para os subídces que dcam compoetes espacas. Pelo fato de tratar-se de um elemeto soparamétrco, a geometra do elemeto pode ser terpolada da mesma forma a partr dos valores odas das coordeadas espacas, da segute maera:

57 4 x [ Φ]{ } = (5.6) x x Φ N x N (5.7) = 8 N = 5. rasformação do Domío de Itegração As matrzes a ível de elemeto, já defdas aterormete, vêm dadas em termos das fuções de terpolação e suas dervadas. Geercamete tem-se: [ Φ] F [ Φ], dω Ωe x (5.8) Etretato, o domío de tegração será trasformado do espaço físco para o espaço computacoal, trasformado a expressão geérca (5.8) a segute expressão, também geérca: I ( ξ, ξ, ξ 3 ) dξ dξ dξ3 (5.9) Para sto, as dervadas das fuções de terpolação com relação as coordeadas espacas devem ser expressas em termos de dervadas com relação as coordeadas aturas. Sabe-se, da expressão (5.), que: Φ ( ξ, ξ ξ ) = Φ, (5.0) N N 3 e da expressão (5.7), que: = x ( ξ, ξ ξ ) x (5.), 3 Etão, pela regra da cadea, para as fuções de terpolação, tem-se: Φ ξ N j Φ = x N x ξ j com, j =,,3 N =,,...,8 (5.) ou, em forma matrcal, fca a segute expressão:

58 4 [ ] [ ] j j x x ξ Φ = ξ Φ (5.3) Desevolvedo para os subídces espacas e j, segudo a coveção da soma de Este, pode-se expressar: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Φ Φ Φ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ = ξ Φ ξ Φ ξ Φ x x x x x x x x x x x x (5.4) ode a matrz que cotém as dervadas j x ξ é a matrz jacobaa de trasformação: [ ] ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ = = J x x x x x x x x x j J (5.5) Deve-se observar que ( ) 3,, J ξ ξ ξ = ξ = f x j j, e cosderado as expressões (5.6), obtém-se: ( ) [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } ξ Φ ξ Φ ξ Φ ξ Φ ξ Φ ξ Φ ξ Φ ξ Φ ξ Φ = ξ ξ ξ ,, x x x x x x x x x J (5.6) ou também:

59 43 [ Φ] { x } J j = j (5.7) ξ odava, precsa-se expressar as dervadas [ Φ] x em fução das dervadas [ Φ] ξ j, portato é ecessáro verter o sstema das expressões (5.), (5.3) e (5.4), fcado etão: [ Φ] [ Φ] = J (5.8) ξ - j x j ode, a versa da matrz jacobaa pode-se obter através da a segute expressão: J = J J (5.9) sedo, J a trasposta da matrz adjuta da matrz J, e J é o determate da matrz jacobaa. Desta forma só falta expressar apeas o dferecal de volume em termos das coordeadas aturas para poder trasformar as tegras da forma (5.8) em tegras da forma (5.9). Sabedose que o dferecal de volume em termos das coordeadas aturas fca: dω = J dξ (5.0) dξ dξ 3 etão, as expressões (5.8) e (5.0) devem ser substtuídas em (5.8) para obter as tegras da forma (5.9), as quas devem ser tegradas aaltcamete ou umercamete. 5.3 Itegração Aalítca das Matrzes de Elemeto As tegras do tpo (5.9) podem ser resolvdas umercamete, utlzado o método de quadratura de Gauss Legedre. Mas, para dmur o tempo computacoal e a área de memóra ecessára para a smulação, serão tegradas aaltcamete. Além do mas, para facltar o trabalho com as expressões evolvdas, estas serão smplfcadas utlzado um poto de tegração o cetro do elemeto ( ξ =, ξ = 0, ξ 0) 0 3 =, ode serão calculados a matrz

60 44 jacobaa e o seu determate. As fórmulas assm calculadas serão exatas o caso de ter uma malha de hexaedros de faces paralelas e resultarão uma boa aproxmação quado os hexaedros estejam pouco dstorcdos. o cetro do elemeto, obtém- Segudo a expressão (5.7), calculado as dervadas se a segute matrz Jacobaa: [ Φ] ξ J ( 0) J = J J 3 ( 0) J ( 0) J3 ( 0) ( 0) J ( 0) J 3 ( 0) ( 0) J ( 0) J ( 0) 3 33 = 8 { ξ } { } { } { } { } { } x ξ x ξ x3 { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } ξ x ξ x ξ x3 ξ x ξ x ξ x (5.) e a sua versa: J ( 0 ) ( ) ( 0) J 0 = J (5.) ode a trasposta da matrz adjuta é: [ JJ33 J3J3 ] ( ) [ J3J3 JJ33] ( ) [ JJ3 J3J ] 0 0 ( 0 ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ 3 3] 0 0 ( 0 ) [ JJ3 JJ3] ( ) [ JJ3 JJ3 ] ( ) [ JJ JJ] 0 0 ( 0 ) J ( 0) = J J J J J J J J J J J J (5.3) Desta maera, tem-se tudo para tegrar aaltcamete as matrzes de elemeto expressas o capítulo ateror. Desta forma obtém-se: Matrz [M]: J M = Φ Φ dω = Φ Φ 0 dξ dξ dξ MN M N M N Ωe ( ) 3 (5.4) com M,N =,,...,8 e tegrado:

61 45 Ωe M MN = ξm ξn ξm ξn ξ3m ξ3n (5.5) sedo, δ MN o delta de Kroecker. M D MN Ωe = δ MN 8 (5.6) Matrzes [ B ] : Φ Φ N N - B MN = ΦM dω = ΦM J j ( 0 ) dξdξdξ3 x J (5.7) e ξ Ω j e, tegrado: B MN = 8 J + J + J 3 ( 0) ( 0) ( 0) ξ ξ ξ N N 3 N ξ ξ ξ M M M ξ ξ ξ N N N ξ ξ ξ 3 M 3 M M ξ ξ ξ 3 N 3 N N + + (5.8) Matrzes [ C ] : C Φ Φ = Φ dω = 8 M N MN M vk M M = x e k x Ω 8 Φ - M Φ - N = vkm kj h ( 0 ) dξdξdξ3 8 J J J M = ξ j ξ h com,j,k,h =,,3 ; M,N =,,...,8 (5.9) Nesta últma expressão o fator escalar etre parêtess 8 Φ M = M v fo smplfcado tomado as fuções de terpolação o cetro do elemeto. Isto equvale a tomar a méda dos valores odas da varável, que por ser um valor defdo para o elemeto todo, pode sar da tegral, smplfcado a tegração. A perda de exatdão será meor quato meor for o tamaho do elemeto. Itegrado (5.9), fca: k M

62 46 ode, C 8 MN = vk M akmn 8 M = Ω e (5.30) ak MN kj ( 0) J h ( 0) A jh MN = J (5.3) e com o fator A jh MN defdo da segute maera: A j MN = ξ = = ξ M M ξ ξ j N j N ξ...se = ξ ( k )...se ξ ξ se sedo : se se + ξ 3 ( k ) k ( h) j, j, M M k N N se sedo : se se = e j = k = 3 = e j = 3 k = = 3 e j = k = M ξ = j = k = e = j = = j = 3 h N k = e k = e h = 3 h = 3 h = (5.3) ode o parêtese os subídces k e h dcam que ão é aplcada a coveção da soma, mesmo que os ídces estejam repetdos. Matrzes [ D ] j : No caso de ser j, tem-se: D jmn M N M N = µ Ω + λ Ω = Ωe Φ Φ Φ Φ d x x x x j Ωe j Φ Φ µ ( ) dξdξdξ3 + M - N - = Jk J jh J 0 ξ k ξh Φ J J J( 0) dξdξdξ3 ΦM - N - + λ jk h ξ k ξh d (5.33)

63 47 Deve-se otar que a expressão (5.33) obtém-se: D = D, ou, em forma matrcal [ D] [ D]. Etão, tegrado j MN j NM j = j D = µ a + λ Ω Ω jmn jmn jmn e e Por outro lado, o caso de ser = j, e cosderado que: a (5.34) se = k =,3 ; se = k =, 3; se = 3 k =, ; e l,h =,,3 tem-se a segute expressão: D M N M N = µ + λ Ω + µ Ω = () MN ( ) Ωe Φ Φ Φ Φ d x x x x () Ωe k k Φ - M Φ - N = ( µ + λ) Jl J() ( 0 h J ) dξdξdξ3 + ξ l ξh J Φ J J ΦM - N - + µ kl kh ξ - l ξ - - h ( 0) dξ dξ dξ 3 d (5.35) ode, ovamete, os subídces etre parêteses ão seguem a coveção da soma. Etão, tegrado a expressão (5.35), obtém-se: Matrz [ K: ] K MN D Ωe = µ + λ a + µ Ω Ω ()() ( ) () MN MN kk MN e e M N = Ω = K Φ x Φ x Φ Φ = J J J d ( 0 ) M - N - K j h d d d 3 ξ j ξh a ξ ξ ξ (5.36) (5.37) que tegrada resulta: K MN = K Ω e a MN (5.38)

64 48 Matrzes [ E ] : E Φ Φ Φ Φ = Φ v dω + Φ v dω M N M N MN µ M M µ M jm M= x M e j xj = x e x Ω Ω j Φ Φ + λ Φ dω = Ωe 8 M N M vjm M = xj x Φ 8 ΦM - N - = vm µ jk 8 J J jh J( 0 ) M = ξ k ξ h 8 ΦM - N v jm λ jk M = ξk ξ h 3 8 Φ - M Φ - N + vj M µ k jh ( 0 ) dξdξdξ3 8 J J J + M = ξ k ξ h Φ J J J ( 0 ) dξ dξ dξ + h dξdξdξ3 (5.39) Uma vez tegrado, a matrz fca: E MN = µ v M amn + µ vj M ajmn + λ vj M ajmn 8 M= Ωe 8 M= Ωe 8 M= Ωe (5.40) Matrzes E * : 8 8 * ΦN Φ N ΦM EMN = E MN + µ vjn + v N ΦN dω + N= x N e = x j x Ω j 8 ΦN ΦM + λ vkn ΦN dω = N = x xj Ωe ΦM - ξk N kvj N ξk N jkv N N jh N= N= ξ h = + Φ 8 J J J J ( 0 ) 3 - ΦM - knjlkvl N N h ( 0 ) d d d 3 EMN J J ξ h 8 + ξ Φ ξ ξ ξ + 8 N = dξ dξ dξ + (5.4) Itegrado, fca: 8 8 * - - EMN = E MN + ξkn Jk vjn + ξkn J jk v N B jnm + 8 N= N= ξkn Jlk vl N B NM 8 N = (5.4)

65 49 Nesta últma expressão, a matrz [ B ] aparece com os seus subídces odas vertdos, dcado a trasposção da matrz. 5.4 ratameto das Itegras de Cotoro As tegras de cotoro, apresetadas o capítulo ateror para fludos ão vscosos, equação (4.33), são dadas por: * F j g = Φ v dγ com,j =,,3 (5.43) x Γe j {} e para fludos vscosos, expaddo os termos vscosos e de codutbldade térmca, obtêm-se: { f j} * τ j d (5.44) Γe = Φ Γ * * {} q = Φ ( τ j vj ) dγ + Φ K dγ (5.45) Γe u x Γe * ode, são as compoetes do vetor ormal ao cotoro, apotado para fora, e Φ é a matrz de fuções de terpolação da face de cotoro o elemeto que pode ser expressa da segute forma: Φ * N 0 se N ão é ó de cotoro = [ + η ηn ] [ + η ηn ] se N é ó de cotoro 4 (5.46) ode, η e η são as coordeadas a face de cotoro do elemeto, e N =,,3...,8. Nas expressões (5.44) e (5.45), represeta as compoetes do vetor ormal ao cotoro e o fator restate é sempre uma ação ou força atuate a superfíce de cotoro. Assm, por

66 50 exemplo, j τ é força por udade de área e ( K u x ) é um fluxo térmco através da superfíce do cotoro. No capítulo ateror foram expressos os vetores equvaletes às ações de cotoro, uma vez que as varáves foram substtuídas pelas correspodetes varáves aproxmadas. Segudo fo dcado aquele capítulo: ( ) * {} [ ]{ } Γe [ ] { } Φ g = Φ Φ vk k F dγ (5.47) x { f } [ ] { } [ ] { } [ ] { } Φ Φ Φ = Φ v + v + v dγ * j µ j λ k δj x e xj x Γ k ( ) * {} q [ ]{ } [ ] {} * + Φ K u dγ x Γe [ ] { } [ ] [ ] { } { } Φ Φ Φ = Φ Φ vj µ vj + v + λ vk δj dγ+ x e xj x Γ k Φ com,j,k =,,3 (5.48) (5.49) Etretato, para smplfcar a tegração destes termos, tomam-se os valores médos das ações atuates o elemeto, cosderado esse valor médo de elemeto como o valor atuate a face de cotoro. Como exstem quatro ós pertecetes à face de cotoro do elemeto, aquela ação resulta dstrbuída uformemete etre os quatro ós da face de cotoro do elemeto. Desta forma, em cada ó de cotoro atua uma força ou ação que é gual à quarta parte da méda daquela ação o elemeto. Assm, obtém-se os respectvos vetores equvaletes às ações de cotoro da segute maera: 8 8 g = v J F U dγ (5.50) 4 8 N= 8 N= - {} kn k ξkn k N { } = U dγ (5.5) { j} τ j { } f 4 0 Γ e Γe

67 5 8 q = v U d K u d 4 Γ + U Γ 4 8 (5.5) - {} ( τ ) { } ξ J { } j 0 j kn k N 0 Γ N = e Γe ode: τ j = µ ξ 0 knjkvjn + ξknj jkv N + λ ξknj lkvl N (5.53) 8 N= N= 8 N= são as médas das tesões vscosas o elemeto, equato que as médas das compoetes de velocdade vêm dadas por: 8 v j = v 0 j N (5.54) 8 N = Por últmo: Γ e = dγ com UN = Γe se N é ó de cotoro 0 se N ão é ó de cotoro (5.55) sedo, Γ e a área da face de cotoro do elemeto.

68 CAPÍULO 6 A Formulação Lagrageaa-Euleraa Arbtrára 6. Itrodução Devdo ao fato de que exste uma movmetação da malha com relação ao fludo o processo de adaptação a ser mplemetado este trabalho, utlza-se uma descrção ALE, evtado com sto a terpolação dos valores das varáves da malha atga à malha ova. Exstem dos potos de vsta clásscos com relação a esta movmetação. O prmero deles é a descrção Lagrageaa, a qual a malha utlzada para dscretzar o domío é soldára com o fludo e movmeta-se com ele. O segudo poto de vsta é a descrção Euleraa, a qual o fludo se movmeta equato a malha permaece fxa em relação ao sstema de referêca. Cosdera-se uma partícula represetatva o poto P 0 de um meo cotíuo C, coforme Fgura 6., uma cofguração cal, t = 0, defda pelas coordeadas a : Fgura 6.- Relações cemátcas a descrção ALE

69 53 a = ( a, a, a3 ) (6.) As coordeadas a são chamadas de coordeadas materas. A cofguração deformada da partícula, orgalmete em P 0, está localzada agora o poto P defdo pelo vetor posção x : x = ( x, x, x3 ) (6.) As coordeadas x, as quas defem a posção atualzada da partícula, são chamadas de coordeadas espacas. O vetor d, udo os potos P 0 e P, é o vetor deslocameto e pode ser expresso por: d = x a (6.3) Numa descrção Lagrageaa, o movmeto do meo cotíuo é represetado em termo das coordeadas materas por equações do tpo: x = g ( a, t) (6.4) Estas equações podem ser terpretadas como o mapeameto da cofguração cal a cofguração atualzada. Por outro lado, a descrção Euleraa, o movmeto do meo cotíuo é defdo através das relações versas às equações (6.4) em termo das coordeadas espacas, como segue: a = gˆ ( x, t) (6.5) Em problemas com movmeto de malha, ehuma destas descrções toram-se satsfatóra. Utlza-se, etão, a descrção ALE, a qual represeta uma geeralzação das duas aterores. Nesta descrção, a malha movmeta-se segudo uma velocdade arbtrára de compoetes segute: w e, depededo dos valores destas velocdades de malha, pode-se dcar o Se w = 0 para todo, a malha está fxa, correspodedo ao caso da descrção Euleraa.

70 54 Se w = v para todo, a malha se movmeta juto com o fludo, correspodedo ao caso da descrção Lagrageaa. Se w v e w 0 para todo, etão a malha se movmeta segudo uma velocdade arbtrára w, correspodedo ao caso da descrção ALE Como observa-se a Fgura 6., a descrção ALE qualquer poto da malha R é detfcado pelo vetor posção ζ, que é expresso por equações do tpo: * ζ = g ( a, a, a3, t) (6.6) A descrção ALE pode ser vsta como o mapeameto da cofguração cal do meo cotíuo a cofguração atualzada da malha. 6. Equações Modfcadas Utlzado a descrção ALE, as equações de Coservação de Massa, da Quatdade de Movmeto e de Eerga, dcadas as expressões (3.8) (3.9) e (3.0), resultam modfcadas da segute maera: Equação de Coservação de Massa: ρ w + [ ρ ( v w )] + ρ = 0 (6.7) t x x Equações de Coservação da Quatdade de Movmeto: ( ρv ) t j + x p w [ ρv ( v w )] τ + + ρv = 0 j x j x j j x (6.8) Equação de Coservação de Eerga: ( ρe) t + x [ ρe ( v w )] ( v τ ) x j j + ( pv ) x j j x u K x j + w ρe x = 0 (6.9) com,j =,,3

71 55 Expaddo as dervadas ode aparecem os fatores ( v w ), reagrupado termos e adotado a otação vetoral, obtém-se: U F G U t x x x + + w = 0 (6.0) A expressão (6.0) represeta em forma vetoral as Equações de Coservação utlzado uma descrção ALE para fludos vscosos. Para fludos ão vscosos, os termos dfusvos e de codutbldade térmca são descosderados, resultado a segute equação vetoral: U F U t x x + w = 0 com,j =,,3 (6.) 6.3 Modelo Numérco Emprega-se para o esquema de avaço o tempo e dscretzação o espaço o método descrto por Burbrdge [999]. Portato, as equações (4.), (4.3), (4.46), (4.50), (4.5) e (4.5) adcoam-se ovos termos decorretes da movmetação da malha.

72 CAPÍULO 7 Método de Adaptação de Malhas Va Movmetos de Nós 7. Itrodução A precsão de um esquema umérco pode aumetar otavelmete quado um úmero fxo de ós da malha é damcamete redstrbuído apeas para melhorar a regão ode acotecem grades varações a solução. ambém, outra vatagem que pode ocorrer é o aumeto da efcêca computacoal quado se compara a solução da malha adaptada com uma malha refada. A establdade a maora dos esquemas umércos depede da qualdade da malha, em partcular da sua suavdade, portato, o processo de adaptação da malha ão tera que resultar uma excessva e descotrolada dstorção da malha cal. Com o termo suavdade se pretede dcar que a regulardade da malha, ou seja, o tamaho de um elemeto com relação a seus vzhos ão tem que varar bruscamete. Exstem duas maeras de fazer adaptação, como fo vsto o Capítulo. A prmera é equdstrbudo alguma medda de erro sobre o domío e a outra possbldade é fazedo uso dos prcípos varacoas. Os prmeros métodos de adaptação de malha começaram com a prmera categora, geralmete baseados em algortmos de movmetos de ós em uma dmesão [Dwyer, 984; Esema, 985]. Os métodos de aproxmação varacoal ão estão codcoados e, portato, são mas promssores para a adaptação multdmesoal de malhas. São baseados a mmzação de uma medda de poderação da varação de alguma quatdade da solução ou de um erro umérco sobre o domío computacoal [Brackbll et al., 98]. O método desevolvdo este trabalho utlza a ultma aproxmação com o objetvo de alcaçar o cotrole efetvo sobre os cofltates requermetos de malha regular, ortogoaldade local e adaptação.

73 57 Neste setdo, procura-se uma boa qualdade da malha para evtar algumas dfculdades, tas como: excessva dstorção da malha adaptada; falta de covergêca do algortmo que resulta freqüetemete o comportameto osclatóro durate o processo de adaptação da malha; excessvo agrupameto dos ós o que coduz ao colapso a malha localzada as regões de grades varações da solução. as coveetes foram relatados por hompso [984] para determados métodos de adaptação de malha aplcados a problemas bdmesoas, levatado assm séras pergutas sobre a cofabldade dos métodos. O presete método fo desevolvdo a partr do método varacoal apresetado por Brackbll et al. [98], que abrage a parte de otmzação baseada os trabalhos de Carcallet et al.[986a] e Keo et al. [986]. A aálse de erro está baseada o trabalho de At-Al-Yaha et al. [996]. A formulação do método será mostrada para um escoameto bdmesoal devdo ao fato de poder exergar mas faclmete o problema, mas o algortmo fo desevolvdo para problemas trdmesoas. Uma vez mostrado o desevolvmeto em escoametos bdmesoas, apreseta-se a mesma formulação, porém empregada em casos trdmesoas. 7. Aálse Devdo às smlardades cocetuas, dscutram-se prmero o método varacoal de geração da malha de Brackbll et al. [98]. Neste trabalho, coseguu-se o cotrole da qualdade e adaptação da malha fazedo um mapeameto, Fgura 7., etre o espaço físco (x, y) e o espaço computacoal uformemete dscretzado (ξ, η). As propredades dferecas do mapeameto determam as propredades da malha computacoal. A matrz jacobaa, J, da trasformação do espaço físco para o espaço computacoal determa o volume da célula computacoal e a ortogoaldade da malha é dada por o escalar, as lhas cojugadas da malha são ortogoas. ξ η, que se aula quado

74 58 Fgura 7. Mapeameto etre o espaço físco e o espaço computacoal Pode-se escrever tegras que resultam em uma medda das propredades do mapeameto sobre a malha computacoal. A suavdade global do mapeameto que é a varação o espaço da malha ao logo das curvas de ξ e η é dada por uma tegral: I ( ξ ) ( η ) = + S xy xy dxdy (7.) a ortogoaldade do mapeameto é meddo por: I 3 O = ( xy ) ( xyη) J dx dy ξ (7.) e o cotrole de volume por: I w( ξη, ) J dxdy V = (7.3) ode w é uma fução de motoração. O operador gradete e a matrz jacobaa são defdos por: xy = + j x y ξ η η ξ J = ξxηy ηx ξy = x y x y Sedo x e y as coordeadas o espaço físco, ξ e η as coordeadas o espaço computacoal e e j são os versores as dreções dos exos x e y, respetvamete.

75 59 As coordeadas depedetes (ξ, η) e depedetes (x, y) são trasformadas através das segutes equações: = ξ + η + ξ + η ξ η IS x x y y J d d (7.4) IO = xξ xη + yξ y η dξ dη (7.5) I = w( x, y) dξ dη (7.6) V x y x y = = ξ η η ξ ode, agora J ( xξ yη xη yξ) Este problema varacoal se resolve empregado a equação de Euler-Lagrage do cálculo varacoal, ode a fução custo total a ser mmzada fca: I (, η) = I ξ = I + λ I + λ I (7.7) λ, λ O S V O 0 O V V ode, λ O e λ V são os multplcadores de Lagrage. O resultado da aplcação das equações de Euler-Lagrage é a obteção de um sstema ãolear de equações dferecas acopladas de seguda ordem em um espaço de coordeadas físcas (x, y) que foram resolvdas por Brackbll et al. [98] usado terações e dscretzado em dfereças ftas. A fm de melhorar a efcêca computacoal e a cofabldade, Carcallet et al.[986] e Keo et al. [986] adotaram uma formulação mas heurístca para o problema de adaptação local. O método desevolvdo dfere do método varacoal já que em vez de usar dfereças ftas dretas para a represetação das dervadas parcas em (7.) e (7.), utlzam-se outras aproxmações para avalar a suavdade local, ortogoaldade e cotrole de volume da malha. Cosdera-se o problema local para otmzação de uma malha computacoal a qual está descrta por quatro elemetos vzhos o caso bdmesoal (ou oto elemetos o caso trdmesoal). Utlza-se uma célula tpo que é defda por todos os elemetos que cocorrem ao ó P j = P(x j, y j ) que é o cetro da célula, coforme Fgura 7..

76 60 Cosdera-se que os potos da malha uem-se por segmetos de lha reta, os quas fcam defdos por vetores posção que uem o poto P j com os vzhos medatos: ( ) ( ) r = x x + y y j (7.8) +, j +, j, j +, j, j ( ) ( ) r = x x + y y j (7.9), j+, j+, j, j+, j ( ) ( ) r = x x + y y j (7.0), j, j, j, j, j ( ) ( ) r = x x + y y j (7.), j, j, j, j, j ode î e ĵ são os vetores utáros o sstema de coordeadas cartesaas as dreções x e y. A célula tpo é suave se exstem mudaças mímas de área (ou volume o caso trdmesoal) de uma célula elemetar à outra vzha. A medda que quatfca a suavdade local da malha, SM,j, é formada pela soma dos quadrados das dfereças de áreas de um elemeto para o próxmo:, j= ( ) + ( 3) + ( 3 4) + ( 4 ) (7.) SM A A A A A A A A ode A k é uma medda da área dos k elemetos, que pode aproxmar-se pelo módulo do produto vetoral do vetores posção local, ou seja: ( ) A = r r = x y y x (7.3) +, j, j+ +, j, j+ +, j, j+ Fgura 7. Célula tpo defda para o caso bdmesoal

77 6 A célula tpo é ortogoal se as lhas de coordeadas curvlíeas ξ = = costate e η = j = costate terceptam P j um âgulo reto, coforme Fgura 7.. Portato, a quatdade que resulta em uma medda da ortogoaldade local da célula tpo é determada pelo produto escalar dos vetores posção que estão assocados ao ó cetral: ( + + ) ( + ) ( ) ( + ) OR = r r + r r + r r + r r, j, j, j, j, j, j, j, j, j (7.4) O fucoal de cotrole do volume para a célula tpo é escrto pela formula geral: VOC = A W (7.5), j j, j Nesta equação A j é a área da célula tpo (ou volume para o caso trdmesoal) e W,j é um valor postvo de uma fução de poderação (ou fução de motoração) apropradamete escolhda e avalada em P j. Esta fução de peso será dscutda adate com mas detalhes. Faclmete pode-se observar a equação (7.5) que mmzar a soma de todas as células tpo do fucoal do volume de cotrole farão que a célula tpo dmua sua área (ou volume o caso trdmesoal) quado W é grade e aumete quado W é pequeo. Uma formulação smples, que ão é exata, porém mas efcete computacoalmete fo proposta por Carcallet et al.[986], para obter VOC,j cosderado a célula tpo como um sstema de molas coectadas etre os ós. A adaptação se produz mmzado a eerga de este sstema, ou seja: VOC w r + w r + w r + w r (7.6), j +, j, j+ 3, j 4, j Ode, as costates das molas seram: w W W + = ( j+ j) w = ( W, j+ W, j + ),, w W W = ( j+ j) w4 = ( W, j+ W, j ) 3,, A fução objetvo global, F, obtém-se por uma combação lear poderada das meddas da qualdade local da malha e do fucoal de cotrole de volume local para cada célula tpo, de maera que sobre todas as células tpo fcará:

78 6 m OR, j SM ( ), j F = α + VOC j OR α + max SM β = = max, j (7.7) ode, α e β são parâmetros de poderação que permtem cotrolar a suavdade da malha e ortogoaldade local o caso de otmzação estátca, β = 0, ou de adaptação, β 0. Este parâmetros varam etre: 0 α e 0 β sedo: ORmax = max, j OR, j e SM max = max, j SM, j a expressão (7.7). No caso do parâmetro β as melhores adaptações da malha sempre são cosegudas com β =.0. Normalza-se SM,j e OR,j por seu valor máxmo para assegurar que cada medda seja do mesmo ordem de magtude a expressão de F em (7.7). A fução objetvo global pode-se reescrever como fução do vetor cotedo as coordeadas físcas de todos os ós da malha e ordeados aturalmete: {( x, y ):, } j j m j = (7.8) ode, m e são a quatdade de ós a dreção e j, respectvamete. Desta forma, pode-se escrever que a expressão (7.7), F = F( ). A mmzação sem restrções da fução F( ), de x m x varáves, realza-se usado o método de gradete cojugado de Fletcher-Reeves [Press et al., 99]. Empregou-se para caso trdmesoal a medda de suavdade e ortogoaldade proposta por Keo et al. [986]. A medda de suavdade local está dada pela dstâca relatva etre o ó da malha e seus vzhos e apresetada pela segute expressão: ( + + ) ( ) ( ) ( r, j+, kr, j+, k) ( r, j, k+ r, j, k+ ) ( r, j, k r, j, k ) SM = r r + r r + r r +, j, k, j, k, j, k, j, k, j, k, j, k, j, k (7.9) Equato que a medda de ortogoaldade local fca:

79 63 ( + + ) ( + ) ( ) ( + ) ( r+, jk, r, jk, ) ( r, j, kr, jk, ) ( r, jk, r, jk, ) ( r, j+, kr, jk, ) ( r+, j, kr, j, k+ ) ( r, j, k r, j, k+ ) + ( r, j, kr,, k+ ) + ( r, j+, kr, j, k+ ) OR = r r + r r + r r + r r +, j, k, j, k, j, k, j, k, j, k, j, k, j, k, j, k, j, k (7.0) Na Fgura 7.3 mostra-se a célula tpo para o caso trdmesoal. Fgura 7.3 Célula tpo defda para o caso trdmesoal 7.3 Método de Gradete Cojugado Geralmete o método de gradete cojugado é usado para ecotrar o mímo de fuções quadrátcas de varáves em terações, porém pode ser usado também para fuções geras. A fução objetvo, F, para o caso trdmesoal é uma fução polomal de ordem maor que dos e, portato, com a faldade de otmzar o uso do método de mmzação, pode ser escrta da segute forma: (,, ) F x y z = a x + a y + a z + a x y + a x z + a y z + P P P P P 3 P 4 P P 5 P P 6 P P + a x + a y + a z + a 7 P 8 P 9 P 0 ode, os coefcetes de F são fuções do tpo:

80 64 ( P P P P P P ) a f x, y, z, x, y, z, x, y, z = ; a f ( x y z ) 6 =,, ; = ( P P P P P P ) ; a7 f ( yp, zp, x, y, z) a f x, y, z, x, y, z, x, y, z = ; = ( P P P P P P ) ; a8 f ( xp, zp, x, y, z) a3 f x, y, z, x, y, z, x, y, z = ; = ( ) ; a9 f ( xp, yp, x, y, z) a4 f x, y, z = ; = ( ); a f ( x y z ) a5 f x, y, z 0 =,, ; sedo xp, yp, z P as coordeadas do ó P jk, e x, y, z as coordeadas do ó, que vara de até o úmero total de ós da malha. Agora pode-se cosderar o problema de mmzação de uma fução quadrátca, ou seja: Mmzar ( ) q x = x A x+ c x (7.) ode, A é uma matrz smétrca e postva defda. Defe-se as dreções cojugadas, ou dreções que são mutuamete cojugadas com relação à matrz A, como vetores d que satsfazem as codções segutes: d Ad 0, j, 0 e j j = (7.) O método das dreções cojugadas fucoa da segute maera: ca-se com o poto cal x 0 e um cojuto de dreções prcpas d 0, d,..., d -. Mmza-se q(x) ao logo de d 0 para obter x. Etão com x, mmza-se q(x) ao logo de d para obter x. Falmete, mmza-se q(x) ao logo de d - para obter x. O poto x é a solução míma. A covergêca obtém-se para terações quado se tem uma fução quadrátca. No algortmo, o gradete de q(x) é empregado para gerar as dreções cojugadas. Deota-se com g o gradete de q(x), com q ( ) g = x = A x + c, sedo x k o poto k k k correte, com o sub-ídce k dcado o úmero da teração. A prmera dreção d 0 determa-se através da dreção de descda mas proucada (steepest descet drecto) - g 0. Sedo assm, para achar o ovo poto x k+ mmza-se q(x) ao logo de d k. Deste modo, tem-se:

81 65 x = x +α d (7.3) k+ k k k ode α k é obtdo através da busca em lha, mmzado f ( α) = q( + α ) dq ( ) d 0 α α =, tem-se: x d. Fazedo k k k k k α k = d g d Ad k (7.4) ambém a codção exata de busca em lha dq ( ) d 0 α α = é dada por: d g (7.5) = k k+ 0 Uma etapa mportate é escolher d k+ da segute maera: d = g + β d (7.6) k+ k+ k k Isto represeta um desvo a dreção de descda mas proucada (steepest descet drecto) g k+ como é mostrado a Fgura 7.4. Exgdo que d k+ seja cojugado de d k, ou d Ad, tem-se que satsfazer: k+ k = 0 gk+ Adk + βk dk Ad k = 0 (7.7) Fgura 7.4 Dreções cojugas para uma equação quadrátca de varáves. A partr da equação (7.3), d = ( x x ) α, e portato, = ( ) equação (7.7) agora fca: k k+ k k Ad g g α. A k k+ k k

82 66 k ( ) k+ k+ k αkdk Adk β = g g g (7.8) Usado a equação (7.5) e (7.6) com k substtuído por (k-) tem-se: d g = g g (7.9) k k k k Portato, a equação (7.4) fca: k k k α k = g g d Ad k (7.30) Substtudo α k a codção préva dada pela equação (7.8) tem-se: k ( ) k+ k+ k gk gk β = g g g (7.3) Cosderado, que: ( β ) g g = g d + d = β g d k+ k k+ k k k k k+ k ( α ) = β + = k gk k dk A dk 0 obtém-se a versão de Fletcher-Reeves, ode: k+ k+ β k gk gk = g g (7.3) Como se trata de um processo teratvo tem-se dos crtéros de covergêca, os quas são: ates de começar a busca em lha, verfca-se a codção ecessára para o ótmo: q ( ) x ε (7.33) k G ode ε G é a tolerâca do gradete e é dado pelo usuáro. Este crtéro satsfaz-se quado o processo falza porque o gradete desaparecerá em um poto de extremo local. também verfcam-se as reduções sucessvas em q com o segute crtéro de covergêca:

83 67 ( ) ( ) ε ε ( ) q xk+ q xk = A + R q x (7.34) k ode ε A é a tolerâca absoluta a mudaça do valor da fução, e ε R é a tolerâca relatva. Para ε A adota-se 0-4, equato que para ε G cosdera-se, 0 -. Somete quado a equação (7.34) é satsfeta para duas terações cosecutvas se cosdera a falzação do processo. Nota-se que para ter-se um crtéro de falzação robusto, verfca-se o gradete e a fução. ambém mpõe-se um o lmte o úmero de terações. Os passos do processo computacoal do gradete cojugado de Fletcher-Reeves pode-se resumr o fluxograma da abela 7. abela 7. Fluxograma do método de gradete cojugado de Fletcher-Reeves Ico com k = 0 e poto cal x 0. SE q ( ) x ε FAÇA: k G. compute-se d k = q( x k ) 3. determa-se α k da equação (7.30) e com este x k+ da equação (7.3) 4. determa-se β k da equação (7.3) e a ova dreção d k+ com equação (7.6) 5. SE a codção (7.34) ão se satsfaz: retora-se ao passo Fm 7.4 Determação da Fução de Peso ou de Motoração O objetvo fal do processo de adaptação é predzer as característcas da malha ótma. Esta pode ser defda como a malha a qual o úmero de graus de lberdade requerdos para atgr um ível específco de exatdão é mímo. Portato, a escolha da fução de peso, W, do fucoal de cotrole de volume é muto mportate já que este tem que dcar as regões ode deve-se fazer a adaptação da malha. Ou seja, desta escolha depederá a maor ou meor efcêca do método. Sabe-se do trabalho de Babuška e Rheboldt [978], que quado ós são adcoados a malha orgal, o camho para melhorar a exatdão umérca é adcoar os mesmos somete

84 68 as regões de fortes gradetes. Falmete, fo provado o caso udmesoal por Brackbll et al. [98], que aumetar a resolução dos gradetes reduz o erro umérco. Portato, tutvamete se pesara que a fução de motoração tera que respoder ao gradete de alguma varável que cotrole o feômeo, podedo ser para um escoameto de fludos compressíves o gradete da massa específca, e para um problema de camada lmte, o gradete da velocdade; mas sto ão garate que se aumete a exatdão a solução. Outro crtéro é defr um tpo de erro e tomar este como fução de peso, como é apresetado o trabalho de Demkowcz e Ode [986], o qual fez uma aproprada escolha de W em termos da orma do erro, e o processo de adaptação varacoal mmza uma aproxmação do erro local terpolado. Porém, em stuações prátcas, exstem algus fatores que fazem com que atgr a malha ótma seja extremadamete dfícl. Algus destes fatores são: o coceto de ótmo está tmamete lgado com a exatdão, ão tedo uma úca defção. Por sso, para defr o ótmo de uma malha ecessta-se estabelecer uma orma ou a uma medda de erro. Falmete, as estmatvas de erro produzdas são baseadas a solução computacoal e portato depederão da mesma. Em vsta destas observações e lmtações, desevolveu-se uma estratéga heurístca de adaptação, empregado o crtéro de erro. Estma-se o erro drecoal para o esquema de movmeto de malha baseado os trabalhos de At-Al-Yaha et al. [996, 997], mas este ão preserva a restrção a ortogoaldade, e portato as malhas obtdas têm uma mportate asotropa. Esta estratéga usa uma estmatva de erro, a qual está baseada em cocetos da teora da terpolação. As vatages de usar dcadores de erro drecoas tora-se evdete quado se cosdera a atureza da solução em escoametos com odas de choques, de modo que estas característcas podem mas faclmete represetar uma malha a qual exstem alogametos em dreções especfcas. Embora que esta estmatva do erro ão teha uma dedução matemátca rgorosa, atgu-se sucessos cosderáves, fazedo uso da mesma em stuações prátcas [aghaddos et al., 999; At-Al-Yaha et al., 00; Domperre et al., 00].

85 Estmatva do erro As estmatvas exatas do erro são freqüetemete dfíces de obter para problemas complexos e/ou custosas de avalar. Portato, aceta-se uma estmatva meos precsa, mas computacoalmete smples a fm de melhorar a adaptação. Devdo a que a estmatva de erro somete serve como um dcatvo do erro relatvo etre malhas sucessvas, ão deve levar mas que uma porcetagem pequea do tempo total da solução. Neste poto, mostra-se um smples e efcete método que estma o erro, o mesmo é dervado da teora de terpolação de elemetos ftos. Para elemetos leares, se cohece através da fórmula de erro de Lagrage que o termo do erro é proporcoal à seguda dervada. Por causa da smplcdade, a dervação da estmatva do erro se faz para o problema udmesoal de uma varável escalar (varável chave) e a partr destes resultados se geeralza para os casos bdmesoas e trdmesoas. Quado se resolve a equação de Euler, a varável chave é detfcada e etão a adaptação da malha é baseada a aálse de erro desta úca varável. A escolha da melhor varável para usar como varável chave é uma perguta que tem resposta de acordo com o tpo de problema que se estuda, podedo ser o úmero de Mach, M, a pressão, p, ou a massa específca, ρ, para um problema de escoameto de fludos compressíves, equato que para a camada lmte a melhor escolha sera a velocdade, v. Como o foco de estudo este trabalho são os problemas de escoametos compressíves, escolhe-se a massa específca devdo ao fato de que é uma varável prmtva. Além do mas, com a mesma pode-se determar p, utlzado a equação de estado dos gases perfetos. Falmete, ão se escolhe o úmero de Mach, M, devdo ao fato de resultar do campo de velocdades. Além dsso, a equação de coservação de massa ão tem termos dfusvos, portato, para escoametos compressíves a massa específca é a varável mas adequada para o tratameto de odas de choque. Cosdera-se um problema udmesoal o qual a solução da varável ρ é aproxmada por ρ h, usado uma fução de terpolação leal. O erro local E e defe-se sobre um elemeto e, como: e ( ) ( ) ( ) E ξ = ρ ξ ρ ξ (7.35) h

86 70 Se a solução exata é uma fução lear, etão o erro sera ulo devdo ao tpo de fução de terpolação empregada. Além dsso, se a solução exata é ão lear, mas é suave, etão esta pode represetar-se para algus ordem de precsão usado fuções de terpolação polomas. Para uma aproxmação de prmera ordem, o erro E e sobre um elemeto pode-se obter através da dfereça etre a solução com um elemeto fto usado fuções de terpolação quadrátcas e a solução computada usado fuções de terpolação leares. Para obter uma aproxmação quadrátca tera obvamete que se resolver um ovo problema com fuções de terpolação quadrátcas. Este procedmeto, embora possível, ão é acoselhável devdo a que se tem um maor custo computacoal em comparação com o problema orgal. Uma alteratva para estmar uma aproxmação quadrátca a partr de elemetos ftos leares é empregada. Assume-se que os valores odas das aproxmações leares e quadrátcas cocdem, ou seja, o valor odal do erro é ulo. Portato, uma solução quadrátca pode-se costrur em cada elemeto, uma vez que o valor da seguda dervada é cohecdo. Expaddo a solução ρ desde a extremdade do elemeto e e cosderado que o erro odal é zero, o erro E e sobre um elemeto com terpolação lear pode-se escrever como: E e = ξ e ( h ξ) d ρ dx h e (7.36) ode, h e represeta o comprmeto do elemeto e ξ é a coordeada local do elemeto, coforme Fgura 7.5. Esta solução aproxmada é exata para os ós. O erro total sobre o elemeto o tervalo [0, h e ] determa-se através da raz meda quadrátca (rms) e é defdo por Perare et al. [987], com sedo: h e rms E e d ρh e = ξ = e h 0 e 0 dx e E d h (7.37) Portato, o erro de terpolação deste problema udmesoal é proporcoal ao produto da dervada seguda e ao quadrado do comprmeto característco do elemeto h e. Portato, a malha ótma é defda como a malha a qual a rms é equdstrbuída sobre todo o elemeto, sto é,

87 7 h e d ρ dx h e = C (7.38) ode, C deota uma tolerâca especfcada pelo usuáro (costate e postva). Fgura 7.5 Aproxmação do erro com caso udmesoal A metodologa mostrada acma é estedda para o caso de elemetos multdmesoas, devdo a que o cotoro de cada elemeto bdmesoal pode ser cosderado como um elemeto udmesoal. A seguda dervada de ρ h é agora cosderada com relação a uma dreção defda pelo vetor utáro V, como segue: V ρ h = V HV (7.39) ode, H represeta a matrz Hessaa de ρ h que tem a segute forma: H ρh ρ h x xy = ρh ρh yx y (7.40) Devdo a que ρ h é lear, a dervada seguda ão pode represetar-se. Portato, para restaurar uma estmatva cotíua da dervada seguda emprega-se uma formulação fraca [At- Al-Yaha et al., 996], porém combada com uma massa dscreta ou dagoalzada, obtedo-se os valores odas, segutes:

88 7 φ ρ ρ φ h h dω + φ φ j dγ ΩI x I ρ h j x Γ x = x j I φφdω Ω I (7.4) com I =,...,Nos e,j =,,3 ode, Nos é o úmero total de ós da malha, φ é um vetor cotedo as fuções de forma, Ω I é a área (ou volume o caso trdmesoal) dos elemetos que compartlham o ó I, sedo Γ I os cotoros desses elemetos. As dervadas ρh x são os valores odas da dervada prmera os elemetos cosderados, e obtdos através de um processo de suavzação baseado o método dos mímos quadrados. A matrz H pode-se dagoalzar da segute maera: ( α) ( α) H = R Λ R (7.4) ode, Λ é a matrz dagoal dos valores própros de H, e R é a matrz dos vetores própros. A trasformação Λ é o valor absoluto das dervadas segudas a dreções dos exos obtdos por uma rotação de um âgulo α com respeto aos exos orgas x e x, fazedo correspoder o meor autovalor λ com o exo x. Esta rotação se operacoalza através da matrz de rotação R(α), e elma as dervadas segudas cruzadas. lmtada por: Devdo a que o erro deve ser postvo, a seguda dervada de ρ h em qualquer dreção é ρh x = V HV V HV (7.43) ode, a matrz Hessaa modfcada H é uma matrz smétrca e postva defda, que fo obtda cosderado os valores absolutos dos autovalores da matrz Hessaa H, ou seja, que H vem dada por: ( ) α ( α) ( α) ( α) H = R Λ R = S S (7.44)

89 73 ode, S( α ) = R Λ, coforme Strage [988]. A trasformação S de um crculo de rao utáro sera uma elpse, grada em um âgulo α e cujos exo maor e exo meor são os recíprocos da raz quadrada dos autovalores λ e λ, respetvamete, coforme dcado pela Fgura 7.6. Etão, pode-se obter um movmeto drecoal da malha mapeado uma malha uforme através da trasformação S(α ). No caso trdmesoal, a esfera de rao utáro trasforma-se em um elpsode. Fgura 7.6 rasformação S(α ) o caso bdmesoal O crtéro de adaptação udmesoal dado em (7.38) pode ser reescrto para um problema bdmesoal ou trdmesoal como: he V HV = C (7.45) h = No método desevolvdo, o erro é equdstrbuído sobre o cotoro do elemeto, ode x x represeta a medda Eucledaa do comprmeto de um elemeto de extremdades e j [x, x j ] e = ( ) V x x h é o vetor de base utáro. O termo j e defdo como a métrca de Rema. Levado em cota as equações (7.44) e (7.45) tem-se: V HV a equação (7.45) é ( x x ) H ( x x ) ( x x ) R ( α) Λ Λ R ( α)( x x ) j j = j j = C (7.46) Portato, uma malha ótma é defda como aquela a qual o comprmeto de todos os cotoros a métrca defda é gual a C. O prcípo de equdstrbução é aplcado para um comprmeto d a métrca de Rema, lembrado que H é fução das coordeadas espacas, e que etão é ecessáro tegrar ao logo do comprmeto do lado.

90 74 Portato, a estmatva baseada o erro é computada avalado umercamete a segute fórmula para cada cotoro da malha: ( x, xj) ( x xj) Hm( x xj) d = (7.48) sedo cosderado. H m o valor médo, obtdo através dos valores de H os extremos do cotoro Esta estmatva do erro baseado o cotoro do elemeto é calculada em cada ó somado os valores de d que cocorrem a esse ó e é váldo para toda a célula tpo; como as mesmas tem dferetes tamahos, toma-se o valor de d por udade de volume. Isto faz com que a êfase da medção do erro seja maor os elemetos meores durate o processo de adaptação, já que sto é cosstete com o fato de que a dstorção da malha devdo ao termo correspodete ao volume de cotrole (VOC) é mas provável de aparecer a regão de grades varações da solução, ou seja, em zoas ode os elemetos serão meores. Portato, um cotrole de qualdade mas cudadoso é requerdo estas regões. Além dsso, sto mpede que as regões com pouca varação da solução fquem sem ós. em que se otar que o escalar d(x, x j ) represeta o erro a dreção do cotoro em que é determado. Falmete, este trabalho, o fucoal VOC a ser mmzado a fução F, equação (7.7), é defdo como d por udade de volume em lugar da equação (7.6) proposta por Carcallet et al.[986].

91 CAPÍULO 8 Característcas Geras do Códgo 8. Itrodução Neste capítulo serão apresetadas algumas das prcpas característcas do códgo computacoal desevolvdo este trabalho. Icalmete, utlzou-se um códgo desevolvdo por Burbrdge [999] para escoametos compressíves trdmesoas. O programa está codfcado a lguagem FORRAN e vetorzado para aprovetar as característcas dos supercomputadores vetoras Cray. No códgo orgal, acrescetou-se a formulação ecessára para produzr a adaptação da malha para problemas de escoametos com odas de choque. 8. Covergêca do Processo Iteratvo A aálse de covergêca do processo teratvo é realzada cosderado-se a covergêca a méda das varáves de campo U através das segutes expressões: ρi+ ρi Nos r ρ I+ = ρi Nos (8.) r ρv I+ = Nos ρv ρv ρv ρv I+ I I+ I Nos ρv I ρv I (8.) r ρe I+ = Nos ρe Nos I+ ρe ρe I I (8.3) ode, Nos é o úmero total de ós da malha.

92 76 O processo teratvo atge a covergêca quado satsfaz-se as codções ρ ri + OL, ρ r v ρ I + OL e r e I + OL, sedo OL uma certa tolerâca defda pelo usuáro. 8.3 Resíduo e Estado Estacoáro O ecerrameto do processo de solução ocorre quado o tempo atge um lmte máxmo prevamete estabelecdo pelo usuáro, ou quado o escoameto atge o estado estacoáro ates de ser alcaçado aquele tempo máxmo. Cosdera-se que o estado estacoáro é atgdo quado o resíduo temporal médo, defdo segudo a expressão: R = ρ ρ + + Nos (8.3) permaece abaxo de uma certa tolerâca defda pelo usuáro, ou atge um úmero de passos de tempo também defda pelo usuáro. 8.4 Codções de Cotoro Sóldo para Fludos Não Vscosos Em escoametos de fludos ão vscosos, a codção de ão deslzameto os cotoros sóldos é descosderada, o que sgfca que estes cotoros a velocdade ão é ecessaramete ula. Somete a compoete ormal ao cotoro é forçosamete ula. Portato, os ós de cotoro sóldo a velocdade é calculada da mesma forma que o resto do domío. Posterormete, decompõe-se o vetor velocdade uma compoete tagete ao cotoro, e outra compoete ormal ao mesmo. Falmete, mpõe-se que esta últma seja ula. Supodo cohecdos os vetores ormas aos cotoros sóldos, em cada um dos ós destes cotoros tem-se coforme à Fgura 8., o vetor V que é o vetor velocdade ates de aplcar as codções de cotoro o ó de cotoro sóldo N, sedo π o plao tagete ao cotoro o ó N; V é a compoete ormal da velocdade, V τ é a compoete tagecal localzada o plao π e é o vetor ormal ao cotoro o ó N. Etão, uma vez calculada a velocdade V, deve-se forçar a segute codção os ós de cotoro sóldo: V = 0 V = V (8.4) τ

93 77 A compoete V τ pode ser calculada defdo os vetores τ e τ através do segute produto vetoral: sedo estes vetores mostrados a Fgura 8.. τ = V (8.5) τ = τ (8.6) Fgura 8.: Compoetes de velocdade os cotoros sóldos Assm, sedo V τ a projeção tagecal do vetor V sobre τ, resulta: V τ = τ τ τ ode, o símbolo ( ) dca um produto escalar. Etão, as codções de cotoro (8.4) são aplcadas substtudo o vetor V por sua compoete tagecal. τ (8.7) 8.5 Codções de Cotoro Sóldo para Fludos Vscosos Em escoametos evolvedo fludos vscosos, cosdera-se que as partículas de fludo em cotato com os cotoros sóldos são soldáras aos mesmos, sedo esta codção cohecda a termologa em glês pelo ome de o slp codto. Em problemas os quas os cotoros sóldos ão se movmetam, esta codção resume-se a segute expressão: usada os ós de cotoro sóldo. V = 0 (8.8)

94 Aplcação do Método Adaptatvo No códgo de escoametos compressíves trdmesoas fo acoplado o método de adaptação, apresetado o Capítulo 7. No códgo desevolvdo, o usuáro determa em que tempo (I adap ) o método adaptatvo tem que ser empregado. Como se deduz, este crtéro é prátco, mas adcoa outro parâmetro o processo. Uma boa alteratva para evtar o uso de I adap sera usar o coefcete de amortecmeto fctíco, ou seja, se adaptara a malha sucessvamete até atgr o coefcete de amortecmeto fctíco prescrto pelo usuáro. A adaptação sempre ca-se quado o resíduo tem pouca varação, e uma vez cocluído o processo de adaptação, cotua-se aplcado o MEF até atgr a covergêca fal. As ovas coordeadas da malha obtêm-se depos de aplcar um coefcete de relaxação (θ x, θ y e θ z ) os cremetos x, y e z, para cada uma das dreções. Os coefcetes de relaxação varam em um tervalo de 0 a de maera de evtar excessvos deslocameto dos ós. Os cremetos são determados pela dfereça das coordeadas ovas e atgas, as três dreções. Portato, a ova posção das coordeadas é determada pela segute expressão: x + = x + θ x (8.9) m m x y + = y + θ y (8.0) m m y z + = z + θ z (8.) m m z ode, m dca o úmero de adaptação e =,...,Nos. A velocdade de atualzação da malha, w, para a formulação Lagrageaa-Euleraa Arbtrára é calculada a partr dos cremetos etre as posções ovas e atgas das coordeadas da malha e do cremeto de tempo. Devdo à utlzação desta formulação, ão precsa-se terpolação etre ambas as malhas. Bascamete, o fucoameto do método de adaptação cluído detro do método de elemetos ftos se pode resumr o fluxograma mostrado a abela 8..

95 79 abela 8. Fluxograma do método de adaptação corporado ao modelo Ico Letura de dados e cálculo de parâmetros depedetes do tempo; K = 0; Iíco do Laço de empo K = K +; Cálculo das matrzes de elemeto e termos ão teratvos; Icalzação do x = 0 ; Iíco do Método Adaptatvo SE K = I adap FAÇA:. Determação da matrz hessaa modfcada, pela equação (7.44);. Otmzação da fução F() através da equação (7.7); ova atga 3. Cálculo do vetor x = x x ; ova atga 4. Determação do vetor x = x + θ x x; Fm Método Adaptatvo Iíco do Laço Iteratvo. Cálculo de termos teratvos;. Cálculo dos cremetos U + e atualzação das varáves: + + U = U + U ; Fm Laço Iteratvo Determação das velocdades w da formulação ALE em fução de x e do tervalo de tempo t. Fm Laço empo

96 CAPÍULO 9 Exemplos de Aplcação 9. Aálse de um domío quadrado com uma fução de motoração aalítca Neste exemplo, aalsa-se como fluecam os parâmetros de cotrole da fução objetvo global, sobre um quadrado cujos lados tem dmesões guas a. A malha de elemetos ftos é formada por 88 ós e 400 elemetos hexaédrcos de 8 ós, com só uma camada de elemetos de dmesão gual a 0.0 a dreção z (0 x 0 x ), por tratar-se de um problema bdmesoal. A fução aalítca que se mpõe é dada por: { ( ) ( ) } { ( x ) ( y ) } { ( x ) ( y ) } f( x, y) = 000exp 0 x 0. + y exp exp ode, x e y são as coordeadas espacas. Na Fgura 9., mostra-se como o campo de varação da fução é suave. Fgura 9. Campo de varação da fução f(x,y)

97 8 Deve-se lembrar que os parâmetros de cotrole da fução objetvo global, defdos a equação (7.7), são os segutes: α é o cotrole de ortogoaldade local e o cotrole de suavzação local; β é o cotrole da fução de motoração. Na Fgura 9. mostram-se as malhas para dferetes valores do parâmetro α (α = 0.0 e α = 0.5) com β fxo (β =.0). Pode-se coclur que cosderado o coefcete α dferete de zero, o termo de cotrole de volume passa a ter uma maor mportâca em comparação com os termos de cotrole de qualdade da malha, ode a maor cocetração da malha surge para o caso em que α =0.5, Fgura 9., caso (B). Deve-se otar que para este exemplo o efeto da ortogoaldade e suavzação ão podem ser corretamete aalsados devdo ao fato de que a malha cal é gualmete espaçada e ortogoal. Fgura 9. Varação da malha em fução do parâmetro α com β=,0. Caso (A): α=0.0, caso (B): α=0.50 O efeto do parâmetro β é pouco sgfcatvo quado se tem valores maores que,0. Equato que valores do parâmetro α dferetes de 0.5 também afetam pouco o resultado fal da malha uma vez que partu-se de uma malha uforme e com ortogoaldade. Coclu-se que os melhores valores dos parâmetros que cotrolam à fução objetvo global são:

98 8 cotrole de ortogoaldade local: α = 0.50 cotrole de suavzação local: α = 0.50 cotrole da fução motor: β =.0 Portato, esses valores serão tomados para todos os exemplos do capítulo. 9. Escoameto em um caal com um obstáculo em forma de rampa Aalsa-se o escoameto supersôco (M = 3), estacoáro e ão dfusvo, através de uma rampa de 6 º cuja geometra é mostrada esquematcamete a Fgura 9.3. Fgura 9.3 Esquema do escoameto supersôco sobre uma rampa As codções admesoas da correte-lvre ão perturbada o cotoro de etrada são as segutes: v = 3.0, v = 0.0 e v3 = 0.0; e = ; ρ =.0 Como codções de cotoro, empregou-se para o cotoro sóldo as codções de cotoro sóldo descrtas a seção 8.4. Nos cotoros lateras é mposta a codção de

99 83 velocdade trasversal ula ( v 3 = 0.0 ). No cotoro de saída, ão é ecessáro aplcar ehuma restrção às compoetes da velocdade. As codções cas são mpostas uformemete em todo o domío com exceção dos ós pertecetes aos cotoros. Nos ós que ão pertecem ao cotoro, as codções cas são as segutes: 0 v = 3.0, 0 v = 0.0 e 0 v 3 = 0.0 ; 0 e = ; 0 u =.7857 ; p = e 0 ρ =.0 Por se tratar de um problema bdmesoal, a malha é formada por apeas um elemeto a dreção z e cosdera-se que a dmesão esta dreção é gual a 0,50. A malha é formada por 3 ós e 09 elemetos, coforme Fgura 9.4 (A). O processo de adaptação fo costtuído de 8 adaptações, as quas se fazem a cada 900 terações. Defe-se a malha cal como malha (A) e a malha fal como malha (I), sedo cada adaptação termedára defda pela seqüêca das letras, como por exemplo: a malha (B) obtém-se depos de uma adaptação e 900 terações, a malha (C) obtém-se depos de duas adaptações e 800 terações, e assm sucessvamete. Este procedmeto será utlzado em todos os exemplos. Para os coefcetes de relaxação empregou-se θ x = 0., θ =.0 e θ z = 0.0. Na Fgura 9.4 mostra-se a evolução da malha para algus cclos. Nas Fguras 9.5, são apresetados os campos de dstrbução do úmero de Mach para a malha cal (malha A) e para a malha fal (malha I). Comparado-se ambas as fguras comprova-se a mportâca que tem a adaptação da malha o processo de capturar a oda de choque de compressão com o âgulo correto. A dstrbução de massa especfca é smlar à de umero de Mach, portato, ão é mostrado. Os gráfcos de dstrbução do úmero de Mach e massa especfca ao logo da lha y = 0.60 e 0.0 x.0 são apresetados as Fguras 9.6 e 9.7, respectvamete. A orgem do sstema de exos coordeados, localza-se o íco da rampa. Estes resultados mostram um bom grau de semelhaça com os resultados obtdos por At- Al-Yaha et al. [996], como pode ser vsto as Fguras 9.6 e 9.8, embora o método utlzado por At-Al-Yaha et al. ão preserva a ortogoaldade. y

100 84 Fgura 9.4 Evolução da malha para algus cclos. Malha (A) ou malha cal, malha (C) depos de duas adaptações, malha (E) depos de quatro adaptações e malha (I) ou malha fal, depos de oto adaptações Fgura 9.5 Dstrbução do úmero de Mach para a malha cal (Malha A) e a malha fal (Malha I)

101 85 Fgura 9.6 Dstrbução do úmero de Mach ao logo da lha y = 0.60 e 0.0 x.0 para a malha cal (Malha A) e para a malha fal (Malha I) Fgura 9.7 Dstrbução da massa específca ao logo da lha y = 0.60 e 0.0 x.0 para a malha cal (Malha A) e para a malha fal (Malha I)

102 86 Fgura 9.8 Dstrbução do úmero de Mach ao logo da lha y = 0.50, depos de 5 adaptações, segudo At-Al-Yaha et al. [996] Fca demostrado, coforme a Fgura 9.9, a vatagem de haver cosderado a fução objetvo global a ortogoaldade e suavzação, ou seja, mater o cotrole de qualdade da malha durate todo o processo de adaptação. Nesta fgura a dstorção mostrada a malha obteve-se depos das prmeras adaptações, otado a ausêca total de ortogoaldade e suavzação em determadas regões. No trabalho de Ode et al. [986] também se aalsou uma rampa, com as mesmas codções de escoameto smulado este trabalho, com a dfereça de que a rampa tem uma clação de 0º e o domío computacoal é meor, porém pode ser feta uma comparação com os resultados fas apeas para fs de uma aálse qualtatva das malhas, coforme as Fguras 9.0 e 9.. O método empregado por Ode et al. faz uma equdstrbução do erro, embora ão cotrola ortogoaldade em a suavzação, obtém uma malha fal com boa qualdade. Na Fgura 9. mostra-se uma amplação em uma zoa da malha fal com o objetvo de verfcar a boa qualdade da malha obtda com o método.

103 87 Fgura 9.9 Malha obtda sem cotrole de ortogoaldade e suavzação Fgura 9.0 Malha fal e dstrbução da massa específca, segudo Ode et al., [986] para o caso da rampa com clação de 0 º Falmete, mostra-se a varação de resíduo, a Fgura 9.. O processo de adaptação cou-se quado o resíduo começa a ter pouca varação, ou seja, para o passo de tempo gual a Os pcos o resíduo são devdo à ova malha obtda depos de cada adaptação. Uma vez cocluída a últma adaptação, adaptação (I), dexa-se falmete covergr. Adotou-se para os parâmetros do códgo os segutes valores: coefcete de seguraça para o tervalo de tempo, δ = 0.3, coefcete de amortecmeto fctíco, C = 0., lmte de resíduo do processo teratvo gual a gual a e falmete, o lmte de resíduo do processo temporal AF

104 88 Fgura 9. Amplação de uma zoa da malha fal (Malha I) Resíduo 0 - (B) (D) (F) (H) 0-3 (C) 0-4 (E) (G) (I) Quatdade de Passos de empo Fgura 9. Resíduo para o problema da rampa

105 Escoameto em um caal com um obstáculo em forma de degrau Este exemplo cosste a passagem de um escoameto supersôco (M = 3), ão dfusvo, por um caal que tem sua seção trasversal abruptamete reduzda por um degrau, como mostra-se esquematcamete a Fgura 9.3. Fgura 9.3 Esquema do escoameto supersôco sobre um degrau As codções admesoas da correte-lvre ão perturbada são as segutes: v = 3.0, v = 0.0 e = ; e v3 = 0.0 ; ρ =.0 Como codções de cotoro, empregou-se para o cotoro sóldo as codções de cotoro sóldo descrtas a seção 8.4. Nos cotoros lateras é mposta a codção de velocdade trasversal ula ( v 3 = 0.0 ). No cotoro de saída, ão é ecessáro aplcar ehuma restrção às compoetes da velocdade. As codções cas são mpostas uformemete em todo o domío com exceção dos ós pertecetes aos cotoros. Nos ós que ão pertecem ao cotoro, as codções cas são as segutes: 0 v = 3.0, 0 v = 0.0 e 0 v 3 = 0.0 ; 0 e = ; 0 u =.7857 ; p = e 0 ρ =.0

106 90 Por ser um problema bdmesoal, apeas um elemeto a dreção z é empregado, com uma dmesão gual a 0,50. A malha utlza 8386 ós e 403 elemetos. Os elemetos são uformemete dstrbuídos a dreção x e y, coforme Fgura 9.4. O processo de adaptação fo costtuído de 0 adaptações, as quas se fazem a cada 0 terações, empregado-se θ x = 0.80, θ y = 0.80 e θ z = 0.0 como coefcetes de relaxação. Utlzaram-se poucas terações etre cada adaptação devdo ao fato que o problema é trasete, adotado-se um tempo fal admesoal gual a t = 4.0. O processo de adaptação cou-se em t = Na Fgura 9.5, apreseta-se a malha fal (Malha L) e as Fguras 9.6 e 9.7 mostramse os campos de dstrbução do úmero de Mach e massa específca a malha cal, Malha (A), e a malha fal. Novamete, comprova-se que, com a técca de adaptação de malha, os resultados melhoram cosderavelmete. Fgura 9.4 Malha cal de elemetos ftos, Malha (A) Fgura 9.5 Malha fal de elemetos ftos, Malha (L)

107 9 Fgura 9.6 Dstrbução do úmero de Mach para a malha cal, Malha (A), e a malha fal, Malha (L) Fgura 9.7 Dstrbução da massa específca para a malha cal, Malha (A), e a malha fal, Malha (L) ambém, mostra-se uma comparação da dstrbução do úmero de Mach e massa específca ao logo da lha y = 0.40 e 0.40 x 0.40 para a malha cal e a malha fal, as Fguras 9.8 e 9.9.

108 9 Fgura 9.8 Dstrbução do úmero de Mach ao logo da lha y = 0.40 e 0.50 x 0.50 para a malha cal (Malha A) e para a malha fal (Malha L) Fgura 9.9 Dstrbução da massa específca ao logo da lha y = 0.40 e 0.50 x 0.50 para a malha cal (Malha A) e para a malha fal (Malha L) Estes resultados apresetam um bom grau de semelhaça com os resultados obtdos por Löher et al. [985], como pode ser vsto comparado as Fguras 9.7 (Malha A) e 9.0, embora

109 93 a malha utlzada por Löher seja meos refada que a utlzada este trabalho. Os resultados apresetados por Hasbo et al. [99] a Fgura 9., obtdos utlzado um método de adaptação de malha, refam muto bem a oda de choque, porém cocetram essa regão um maor úmero de elemetos. Deve-se otar que exste uma mportate dfereça a regão de teração com a parede superor, quado é comparado com os resultados obtdos o presete trabalho e em Löher et al. [985]. Fgura 9.0 Dstrbução da massa específca em t = 4.0, segudo Löher et al. [985] Fgura 9. Dstrbução da massa específca e malha fal em t = 4.0, segudo Hasbo et al. [99] Falmete, a Fgura 9., apreseta-se duas amplações a malha fal, a fm de verfcar a boa qualdade de malha obtda.

110 94 Fgura 9. Amplações de zoas a malha fal (Malha L) Adota-se para os parâmetros do códgo os segutes valores: coefcete de seguraça para o tervalo de tempo, δ = 0.3, coefcete de amortecmeto fctíco, C = 0., lmte de resíduo do processo teratvo gual a gual a , e falmete o lmte de resíduo do processo temporal AF 9.4 Escoameto sobre um aerofólo Este exemplo cosste a passagem de um escoameto trasôco (M = 0.8) compressível, ão dfusvo, sobre um aerofolo NACA 00 com o âgulo de ataque da corretelvre gual a α =,5 º, como é mostrado esquematcamete a Fgura 9.3. O problema do escoameto que passa sobre um aerofólo NACA 00 fo tratado por város pesqusadores. Etre eles, podem ser mecoados os trabalhos de Daehoffer [99] e Bauma et al. [99]. As codções admesoas da correte-lvre ão perturbada são as segutes: v = , v = e v3 = 0.0; e = ; ρ =.0 Como codções de cotoro, empregou-se para o cotoro sóldo as codções de cotoro sóldo descrtas a seção 8.4. Nos cotoros lateras é mposta a codção de velocdade trasversal ula ( v 3 = 0.0 ). No cotoro de saída, ão é ecessáro aplcar ehuma restrção às compoetes da velocdade.

111 95 As codções cas são mpostas uformemete em todo o domío com exceção dos ós pertecetes aos cotoros. Nos ós que ão pertecem ao cotoro, as codções cas são as segutes: 0 v = , 0 v = e 0 v 3 = 0.0 ; 0 e = ; 0 u =.7857 ; p = e 0 ρ =.0 A malha é de tpo C e formada por apeas um elemeto a dreção z com elemetos que tem um comprmeto essa dreção gual a 0.50, por se tratar de um problema bdmesoal. A malha utlzada este exemplo possu 9940 ós e 4800 elemetos, coforme a Fgura 9.4. O processo de adaptação fo costtuído de 4 adaptações, as quas se fazem a cada 300 terações, empregado-se θ x = 0.0, θ = 0.0 e θ z = 0.0 para os coefcete de relaxação. y Fgura 9.3 Esquema do escoameto trasôco sobre o aerofólo

112 96 Fgura 9.4 Malha cal de elemetos ftos, Malha (A) Na Fgura 9.5, mostra-se a malha obtda depos de 4 adaptações, Malha (E). A dstrbução do úmero de Mach e massa específca para as malha cal (Malha A) e malha fal (Malha E) são apresetados as Fguras 9.6 e 9.7. Fgura 9.5 Detalhe da malha fal (Malha E)

113 Malha ( A ) Malha(E) Fgura 9.6 Dstrbução do úmero de Mach a malha cal, Malha (A) e a malha fal, Malha (E) Malha ( A ) Malha ( E ) Fgura 9.7 Dstrbução da massa especfca para a malha cal, Malha (A) e para a malha fal, Malha (E) A dstrbução do úmero de Mach obtda por Bauma et al. [99] é mostrada a Fgura 9.8. Deve saletar que este trabalho se fez um refameto a regão ode está localzada a oda de choque. Comparado a Fgura 9.6 com 9.8 verfca-se o bom grau de cocordâca os resultados. Falmete, mostram-se para um aalse qualtatvo os resultados apresetados por Daehoffer [99], o qual fez um estudo comparatvo dos métodos adaptatvos (método r e h) com o MVF. No trabalho se faz um aálse em um aerofólo NACA 00 com M = 0.80 e

114 98 α = º. Exste uma leve dfereça de α =0.5 º porém podem ser váldos para comparar os resultados das malhas fas. Apreseta-se a malha e dstrbução do úmero de Mach para o caso da malha sem adaptação, coforme a Fgura 9.9, para o caso de refameto, coforme a Fgura 9.30 e para o caso de movmeto de ós, coforme a Fgura 9.3. Fgura 9.8 Dstrbução do úmero de Mach, segudo Bauma et al. [99] Fgura 9.9 Malha sem adaptação e dstrbução do úmero de Mach para M = 0.80 e α = º, segudo Daehoffer [99]

115 Fgura 9.30 Malha com refameto e dstrbução do úmero de Mach para M = 0.80 e α = º, segudo Daehoffer [99] Fgura 9.3 Malha com redstrbução de ós e dstrbução do úmero de Mach para M = 0.80 e α = º, segudo Daehoffer [99] Covém mecoar que o processo de adaptação os ós sobre o cotoro do aerofólo foram dexados lvres. Adota-se para os parâmetros do códgo os segutes valores: coefcete de seguraça para o tervalo de tempo, δ = 0.3, coefcete de amortecmeto fctíco, C = 0., lmte de 3 resíduo do processo teratvo gual a0 e falmete, o lmte de resíduo do processo temporal 3 gual a0. AF

116 Escoameto ao redor de uma esfera Neste tem ca-se a apresetação dos exemplos trdmesoas. Começa-se aalzado o escoameto supersôco ( M = 3), estacoáro e ão dfusvo, ao redor de mea esfera de rao utáro (R =.0), como pode ser vsto esquematcamete a Fgura 9.3. Devdo à smetra do problema, estuda-se apeas um quarto do domío. A malha empregada tem 965 ós e 844 elemetos hexaédrcos de oto ós, coforme a Fgura Fgura 9.3 Esquema do escoameto supersôco sobre mea esfera As codções admesoas da correte-lvre ão perturbada a superfíce de etrada são as segutes: v = 3.0, v = 0.0 e v3 = 0.0; e = ; ρ =.0 Como codções de cotoro, empregou-se para o cotoro sóldo as codções de cotoro sóldo descrtas a seção 8.4. Nos cotoros de smetra é mposta a codção de velocdade trasversal ula. No cotoro de saída, ão é ecessáro aplcar ehuma restrção às compoetes da velocdade. As codções cas são mpostas uformemete em todo o domío com exceção dos ós pertecetes aos cotoros. Nos ós que ão pertecem ao cotoro, as codções cas são as segutes:

117 0 0 v = , 0 v = e 0 v 3 = 0.0 ; 0 e = ; 0 u =.7857 ; 0 p = e 0 ρ =.0 O processo de adaptação fo costtuído de quatro adaptações, as quas são fetas a cada 500 terações, cado-se o passo de tempo 5500 e empregado-se para os coefcetes de relaxaçãoθ x = 0.80, θ = 0.80 e θ z = y Mostra-se a Fgura 9.34, a malha obtda depos do processo de adaptação sobre a esfera. Equato a Fgura 9.35, apreseta-se o resultado para o úmero de Mach obtdo a presete smulação, uma vez que tem-se atgdo o estado estacoáro. Observa-se que este resultado está próxmo à dstrbução do úmero de Mach obtda por Mola e Huot [99], apresetado a Fgura A dstrbução de erro sobre um dos plaos de smetra e a malha fal são apresetados a Fgura Note-se que os deslocametos da malha são proporcoas à magtude do erro, ou seja, os máxmos deslocametos da malha se orgam ode o erro é máxmo. Fgura 9.33 Malha cal de elemetos ftos, Malha (A)

118 0 Fgura 9.34 Malha fal sobre a esfera, Malha (E) Fgura 9.35 Dstrbução de úmero de Mach para a malha fal, Malha (E)

119 03 Fgura 9.36 Dstrbução de úmero de Mach, segudo Mola e Huot [99] As dstrbuções do úmero de Mach para a malha cal e a malha fal são apresetadas a Fgura Observa-se uma cocetração das lhas de Mach para o caso da malha adaptada, sedo esta cocetração meos mportate a regão de estagação. A dstrbução de massa específca ao logo da lha de y = 0.30 é apresetada a Fgura Note-se que exste uma melhora prcpalmete a regão frotal da oda de choque. Vale lembrar que a orgem do sstema de exos coordeados acha-se o cetro da esfera. Falmete, a Fgura 9.40 apreseta-se a varação do resíduo. Neste exemplo, o processo de adaptação cou-se quado o resíduo atgu um valor de 0-5, correspodedo sto a, aproxmadamete, 5500 passos de tempo. Adota-se para os parâmetros do códgo os segutes valores: coefcete de seguraça para o tervalo de tempo, δ = 0.3, coefcete de amortecmeto fctíco, C = 0., lmte de resíduo do processo teratvo gual a 0-4 e, falmete, o lmte de resíduo do processo temporal gual a 0-5. AF

120 04 Erro Fgura 9.37 Dstrbução de erro e malha fal (Malha E) em um dos plaos de smetra Fgura 9.38 Dstrbução de úmero de Mach para a malha cal Malha (A) e para a malha fal Malha (E)

121 05 Fgura 9.39 Dstrbução de úmero de Mach ao logo da lha y = 0.3 para a malha cal (Malha A) e para a malha fal (Malha E) (B) (D) 0 - Resíduo 0-3 (C) (E) Quatdade de Passos de empo Fgura 9.40 Resíduo para o problema da esfera

122 Escoameto ao redor de um coe Aalsa-se o escoameto supersôco (M = 3), estacoáro e ão dfusvo, ao redor de um coe com o âgulo de ataque da correte-lvre gual a α = 0 º, como pode ser vsto esquematcamete a Fgura 9.4. Devdo à smetra do problema com relação ao plao xy, estuda-se apeas a metade do domío. A malha empregada tem 468 ós e 58 elemetos hexaédrcos de oto ós, coforme a Fgura 9.4. Fgura 9.4 Esquema do escoameto supersôco sobre um coe As codções admesoas da correte-lvre ão perturbada são as segutes: v =.9544, v = e v3 = 0.0; e = ; ρ =.0 Como codções de cotoro, empregou-se para o cotoro sóldo as codções de cotoro sóldo descrtas a seção 8.4. No cotoro de smetra é mposta a codção de velocdade trasversal ula. No cotoro de saída, ão é ecessáro aplcar ehuma restrção às compoetes da velocdade. As codções cas são mpostas uformemete em todo o domío com exceção dos ós pertecetes aos cotoros. Nos ós que ão pertecem ao cotoro, as codções cas são as segutes:

123 07 0 v =.9544, 0 v = e 0 v 3 = 0.0 ; 0 e = ; 0 u =.7857 ; 0 p = e 0 ρ =.0 O processo de adaptação fo costtuído de três adaptações, as quas são fetas a cada 700 terações, cado-se a 0700 passos de tempo e empregado-se para os coefcetes de relaxaçãoθ x = 0.0, θ = 0.30 e θ z = 0.0. y A malha fal (Malha D) e detalhe da mesma são apresetados as Fguras 9.43 e Na Fgura 9.45, mostra-se a dstrbução de pressão obtda a presete smulação. Observe-se que este resultado está próxmo à dstrbução de pressão obtda por Cebral e Löher [998], apresetado a Fgura Nas Fguras 9.47 e 9.48, compara-se o campo de dstrbução do úmero de Mach para a malha cal (Malha A) e a malha fal (Malha D) os plaos yz e xy, respectvamete. Nota-se que, devdo ao âgulo de ataque, exste uma assmetra o campo de dstrbução do úmero de Mach e por coseqüêca também o erro. Fgura 9.4 Malha cal de elemetos ftos, Malha (A)

124 08 Fgura 9.43 Malha fal de elemetos ftos, Malha (D) Fgura 9.44 Detalhe da malha fal (Malha D)

125 09 Fgura 9.45 Dstrbução da pressão para a malha fal, Malha (D) Fgura 9.46 Dstrbução de pressão, segudo Cebral e Löher [998]