Moacy José Stoffes Junior QUEDA DE CORPOS NA PRESENÇA DE FORÇAS RESISTIVAS. Dr. Carlos Mergulhão Junior (orientador)

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1 Moacy José Stoffes Junior QUEDA DE CORPOS NA PRESENÇA DE FORÇAS RESISTIVAS Dr. Carlos Mergulhão Junior (orientador) Ji-Paraná-RO, noebro de 8

2 FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA DEPARTAMENTO DE FÍSICA CAMPUS JI-PARANÁ Por: Moacy José Stoffes Junior QUEDA DE CORPOS NA PRESENÇA DE FORÇAS RESISTIVAS Trabalho de Conclusão de Curso subetido ao Departaento de Física da Fundação Uniersidade Federal de Rondônia, coo requisito pra obtenção do titulo de graduação no curso de Licenciatura plena e Física. Ji-Paraná-RO, noebro de 8

3 QUEDA DE CORPOS NA PRESENÇA DE FORÇAS RESISTIVAS Moacy José Stoffes Junior Este trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado para obtenção do titulo de graduação no curso de Licenciatura Plena e Física e aproado e sua fora final, no dia 15 de dezebro de 8, pelo prograa de graduação do Departaento de Física da fundação Uniersidade Federal de Rondônia, capus de Ji-Paraná. Banca Exainadora Dr. Carlos Mergulhão Junior. Orientador Dr. Walter Trenephol Junior Drª. Laudilene Olena

4 Dedico, a eus pais.

5 Agradecientos Agradeço á inha faília, por sepre estar do eu lado e por proporcionar o apoio financeiro durante esses três anos e eio. Aos colegas de tura pelo apoio, ajuda e oentos que passaos juntos. Tenha certeza, ocês ora e eu coração. E especial a Adilson, Queila, Geoana, Jais, Daniela e Mohaeds.

6 Resuo O objetio desse trabalho é analisar os efeitos da ação de forças iscosas de resistência do ar sobre a dinâica de u corpo e queda. A princípio foi utilizado à odelage usual ediante a aplicação das Leis de Newton resolendo analiticaente e depois coputacionalente, ia o prograa Modellus, as equações resultantes desses odelos. Foi erificado que realente existe ua dependência da assa no alor final do tepo de queda de corpos e dois casos: capos graitacionais constantes (caso idealizada) e capos graitacionais dependentes da altura (caso ais realista).

7 Lista de Figuras FIGURA.1.1 Esquea de u corpo e queda lire...13 FIGURA..1 Esquea de u corpo e queda na presença de forças de resistência do ar (baixa elocidade)...16 FIGURA.. Esquea de u corpo e queda na presença de forças de resistência do ar (baixa elocidade)...17 FIGURA..3 Esquea de u corpo e queda na presença de forças de resistência do ar (alta elocidade)...19 FIGURA..4 Gráfico do tepo de queda ersus assa...1 FIGURA..5 Esquea de u corpo e queda na presença de forças de resistência do ar... FIGURA Esquea de u corpo e queda lire, considerando a aceleração da graidade ariáel co a altura...5 FIGURA 3.1. Esquea de u corpo e queda lire, considerando a aceleração da graidade ariáel co a altura e ua força de resistência do ar proporcional à elocidade...6 FIGURA Velocidade x Tepo, considerando a força de resistência do ar proporcional ao quadrado da elocidade co a aceleração da graidade ariáel co a altura...7 FIGURA Espaço x Tepo - queda lire (ausência da resistência do ar)...7

8 Lista de Parâetros F = Força resultante, e newtons (N). = Velocidade, e etros por segundos (/s). (t) = Função horária da elocidade, e etros por segundos (/s). s(t) = Função horária do espaço, e etros (). g = Graidade na superfície terrestre, e etros por segundo ao quadrado (/s ). b = Coeficiente de arraste linear, e quilograas por segundo (Kg/s). = Coeficiente de arraste quadrático, quilograa por etro (Kg/). V T = elocidade terinal ou elocidade liite, e etros por segundos (/s). t = Tepo, e segundos(s). t q = Tepo de queda, e segundos (s). H = Altura, e etros (). = Massa, e quilograas (Kg). T = Massa da terra, 5.98x 1 4 quilograas (Kg). R T = Raio édio da terra, 6.37x1 6 etros (). G = 6.67x s - g -1 Constante de graitacional uniersal. f = Força de resistência do ar, e newtons (N).

9 Suário 1. Introdução Aspectos históricos referentes ao oiento ertical dos corpos Aplicações do Estudo Métodos Nuéricos e Coputacionais Estudo do Moiento Vertical Queda Lire Queda na Presença de Forças Viscosas de Resistência do Ar Estudo do Moiento Vertical: Capo Graitacional ariáel co a altura Estudo do Moiento Vertical: Co resistência do ar Alguas coparações de odelos usando a g constante ou ariáel Considerações sobre alguns fenôenos que aparece deido as Forças de Resistência do Ar Perdas de Inforação I Perdas de Inforação II Forças Dissipatias Conclusão Referências...35

10 9 1. Introdução Este trabalho de conclusão de curso te por objetio analisar o oiento ertical de corpos na presença do capo graitacional terrestre, leando e conta a força de resistência do ar e a ariação do capo graitacional terrestre co a altura do corpo e obserar o coportaento das grandezas físicas, entre as quais o tepo de queda, a elocidade terinal, função horária da elocidade e espaço, pois são aspectos cineáticos iportantes historicaente para o desenoliento da Física e árias aplicações tecnológicas do dia-a-dia huano. Será abordado o oiento ertical dos corpos e dois cenários distintos. No prieiro será leado e conta a influência da resistência do ar e no segundo, será considerado a resistência do ar e a ariação do capo graitacional terrestre co a altura. Todo o desenoliento desse trabalho será feito co base na dinâica newtoniana (clássica), ua ez que, as elocidades de corpos usuais são uito enores que a elocidade da luz, não sendo assi iportante lear e conta as correções relatiísticas. Inicialente fareos u bree leantaento histórico sobre queda de corpos na superfície terrestre. E seguida analisareos cuidadosaente a idealização clássica, na qual se despreza a resistência do ar. Depois, discutireos coo o oiento ertical dos corpos é influenciado pela resistência do ar e pela ariação do capo graitacional co a altura. 1.1 Aspectos históricos referentes ao oiento ertical dos corpos U dos prieiros estudos sisteatizados acerca do oiento de corpos foi feito por Aristóteles (384-3 a. C.) e falaa que corpos ais assios atingiria o solo prieiro que corpos enos assios (GATTI et al., 4). Aristóteles acreditaa que a terra ocupaa o centro do unierso, teoria geocêntrica, e de acordo co a sua

11 filosofia, era tendência dos corpos e ire ao seu lugar natural: no caso u corpo feito de atéria tenderia ir para a terra que tabé é feito de atéria. Segundo o odelo de Aristóteles haia apenas quatro eleentos: terra, água, ar e fogo. Assi o eleento terra iria e direção ao centro da terra, o eleento ar acia da superfície, o eleento água entre o eleento terra e ar. Por esse otio ua pedra caía, a fuaça subia. O odelo Aristotélico parecia conincente para a época, entretanto, não tinha nenhua sustentação física e experiental, baseaa apenas na obseração não cuidadosa dos fenôenos (GATTI et al., 4). O odelo de Aristóteles se sustentou por quase anos, até que a be sucedida teoria heliocêntrica de Copérnico triunfou. Mas foi co estudos de Galileu- Galilei ( ) que leou a forulação geral da cineática da queda dos corpos (GATTI et al., 4). Galileu foi o prieiro que obserou a existência de ua força de resistência do ar. Quando depois de ários experientos afirou categoricaente que se eliinaros copletaente a influência do ar, todos os corpos atinge ao eso tepo o solo (HALLIDAY, et al,). No entanto Galileu não foi capaz de deterinar quanto essa resistência do ar influenciaa no oiento do corpo (HARRES, ). Isaac Newton ( ) dedicou boa parte de sua ida ao desenoliento da das leis da dinâica. A dinâica newtoniana é ua teoria co grande ebasaento teórico dado pelo desenoliento do cálculo diferencial e integral por ele eso desenolido e paralelo co outros estudiosos da época. A teoria de Newton culinou co o seu liro Princípios Naturais da Filosofia Natural (GATTI et al., 4). Ua ez que, foi nesse liro que ele enunciou pela prieira ez três leis fundaentais da dinâica. Leis essas que fundaenta a Física clássica até hoje. A teoria newtoniana sofreu alguas correções que são necessárias quando se odela sisteas de alta energia, correções feitas pela Teoria da Relatiidade Especial de Einstein de 195 e outras correções de natureza quântica necessárias para explicar o undo icroscópico. Entretanto nosso estudo ai se concentrar e ua situação acroscópica a baixas elocidades (situação clássica) que a teoria de Newton pode ser aplicada co precisão. 1

12 11 1. Aplicações do Estudo Ebora uitas ezes as forças de resistência não seja percebidas, elas estão presentes e uitos fenôenos interessantes tais coo: aerodinâica de autoóeis, lançaento de foguetes, pára-quediso, hidrodinâica de fluidos iscosos e ua infinidade de outras aplicações. É fácil obserar que os autoóeis de corrida tê sua área secção transersal diinuída ao áxio para eitar o atrito co o ar. Essa diinuição da área de arraste terá efeito direto na elocidade final do eso, ua ez que a força de resistência do ar é proporcional ao quadrado da elocidade. O coeficiente de proporcionalidade depende, entre outras coisas, dessa área, desse odo é tão interessante essa diinuição. Sabeos que para u objeto encer a energia potencial graitacional terrestre ele te que ser lançado co certa elocidade inicial. Se não learos e conta que parte da energia cinética inicial é dissipada pela força de resistência ar, esse objeto ai encer essa barreira de potencial? Não. As forças de resistência do ar são forças dissipatias, desse odo nunca fornece energia a esse objeto e pelo contrário consoe a sua energia ecânica. O exeplo ais conhecido de atuação de força de resistência do ar é o caso do pára-quedista. Quando o eso se encontra e ua deterinada altura, existe ua deterinada energia potencial associada a ele. Se não existisse nenhua força dissipatia atuando, toda essa energia potencial transforaria e energia cinética, auentando significatiaente sua elocidade final. Dessa fora dificilente o páraquedista sobreieria ao ipacto co o solo. No entanto, a existência de ua força de resistência do ar faz co que o pára-quedista atinja ua deterinada elocidade final suficienteente pequena para não causar nenhu dano ao eso no oento do ipacto co o solo. 1.3 Métodos Nuéricos e Coputacionais As equações que odela sisteas físicos naturais geralente enole u grande núero de parâetros, o que torna a solução analítica uita coplexa ou ipossíel de ser obtida. Diante dessas situações dee-se usar étodos nuéricos para se analisar e resoler a equação dinâica que odela esse sistea.

13 Os étodos nuéricos coputacionais alé de ser ua ferraenta poderosa na solução de probleas coplexos, tê sido altaente recoendando e usados para difundir a Física, até coo ferraenta alternatia para o ensino científico. O uso da inforática no ensino fundaental e édio é defendido por ários autores. No entanto essa utilização é uito reduzida quando se trata do ensino de Física. Ao longo do desenoliento desse trabalho destacareos coo pode ser utilizado u software educacional para abordar probleas físicos que exige ua fundaentação ateática não existente nesses estudantes. 1

14 13. Estudo do Moiento Vertical O caso e estudo é unidiensional, ou seja, lançaento ertical e queda de u corpo sob ação da força de graidade da superfície terrestre. Por ser u oiento unidiensional, não usareos a notação etorial. Por coneniências de estudo, é uito cou considerar condições ideais, nas quais são desprezadas inicialente a força de resistência do ar e qualquer influência de outros agentes externos ao sistea, coo por exeplo, o ento. Os corpos classicaente estudados são objetos de diensões pontuais, co sua assa fixa e concentrada no seu centro de graidade..1 Queda Lire A queda lire é o caso ais siples de oiento ertical, onde são desprezadas todas as influências externas, inclusie a força de resistência do ar. Nesse caso ideal considera-se apenas a força de atração graitacional terrestre. Esse prieiro fenôeno a ser descrito é bastante failiar. Sendo que é de nosso conheciento que a Terra prooca no projétil ua aceleração g para baixo. y H V g FIGURA.1.1 Esquea de u corpo e queda lire.

15 Para obter a equação horária inicialente aos escreer a equação dinâica que odela esse sistea. Podeos fazer isso utilizando a segunda Lei de Newton: 14 F d a (t) (.1.1) dt Coo a única força que atua nesse sistea é a força da graidade F g, logo: d dt g (.1.) Integrando abos os ebros da equação (.1.), tereos ( t) t d( t) gdt (.1.3) Encontraos que: ( t) gt (.1.4) Podeos obter tabé a equação horária do espaço integrando a equação que define a elocidade instantânea: d ( t) y( t) (.1.5) dt obtendo y( t) t dy( t) ( gt) dt (.1.6) H o Sendo sua solução:

16 15 1 y( t) gt H t (.1.7) Encontraos o y(t) coo inicialente propoos. Igualando a equação (.1.7) a zero, podeos encontrar o tepo de queda do corpo, que é dado por: hg t q (.1.8) g Considerando que o corpo é abandonado do repouso queda é dado por:, teos que o tepo de H t q (.1.9) g Coo pode-se obserar, a assa do corpo não tee nenhua influência no tepo de queda do corpo, quando desconsiderado a resistência do ar, confirando assi a afiração de Galileu.. Queda na Presença de Forças de Resistência do Ar As leis da Física que rege as forças de atrito entre sólidos são be definidas teoricaente. Mas quanto se trata de forças de atrito enolendo fluidos, os resultados obtidos se baseia e inestigações experientais e soluções aproxiadas da equação dinâica básica da hidrodinâica: equação de Naier-Stoes. Todo corpo que se oe no seio de u fluido, relatiaente a este, experienta por parte do fluido a ação de forças que soente exerce a sua influência quando o corpo se apresenta e oiento relatiaente ao fluido. O conheciento que se te destas forças é fruto de inestigações experientais (FERREIRA, 1). Quando o corpo passa, o fluido é deslocado por ele, saindo do espaço que está sendo inadido e refluindo para o espaço que está sendo desocupado. As forças que aparece e decorrência do oiento de u corpo no seio de fluido são deido a duas causas principais:

17 16 b g FIGURA..1 Esquea de u corpo e queda na presença de forças de resistência do ar (baixa elocidade) O fluido exerce ua força de resistência por dois otios principais, sendo eles: 1º A iscosidade do fluido, que dá surgiento a forças de atrito interno no fluido (FERREIRA, 1). º A inércia do fluido, anifestando-se nos choques do óel co as partículas que constitue o fluido. O efeito da inércia esta intiaente ligada à densidade e, e altas elocidades, à copressibilidade do fluido (FERREIRA, 1)...1 Queda na Presença de Forças de Resistência do Ar para corpos e baixa elocidade Quando o corpo e queda se encontra e baixas elocidades pode-se usar a lei de Stoes: A força de resistência que o fluido exerce sobre o corpo e queda é proporcional a sua elocidade (CIÊNCIA VIVA, 8). y H V g b FIGURA.. Esquea de u corpo e queda na presença de forças de resistência do ar (baixa elocidade)

18 17 Mateaticaente: f b (..1) Usando a segunda lei de Newton teos: F d g b a (..) dt Integrando a equação anterior, d b g t dt (..3) obteos após alguns cálculos a equação: b b ln g ln g t (..4) b b Isolando na equação anterior a ariáel da elocidade, teos finalente a equação das elocidades: t) e b b b ( t ln( g ) b g ( (..5) Toando liite da função horária da elocidade quando o tepo tendo ao infinito ou quando a aceleração seja zero, tereos a elocidade terinal: g V T (..6) b

19 Ua obseração interessante que pode ser feita é que a elocidade terinal independe da elocidade inicial. Isso ocorre pela perda de energia deido ação das forças de resistência do ar. 18 Integrando a equação (..5), obteos b b ( ln( ) t g g b y( t) H e gt b b b b (..7) É ipossíel isolar analiticaente a ariáel t da equação (..8), sendo assi, não podeos analisar analiticaente a influência da assa no seu tepo de queda... Queda na Presença de Forças de Resistência do Ar para corpos e alta elocidade Quando u corpo se desloca no seio de fluido, o fluido exerce sobre ele ua força de arraste que tende a reduzir a elocidade. A força de arraste auenta quando a elocidade do corpo auenta. E elocidades baixas, a força de arraste é proporcional à elocidade (estudado no tópico anterior) e e altas elocidades é aproxiadaente proporcional ao quadrado da elocidade. (TIPLER, ). y H V g K FIGURA..3 Esquea de u corpo e queda na presença de forças de resistência do ar (alta elocidade) Mateaticaente, teos então

20 19 f (..8) Usando a segunda lei de Newton, teos: dt d a g F (..9) Integrando a equação anterior: t dt g g d g d 1 (..1) Obteos após ários cálculos a equação de elocidades para este caso: r r r r e e g g g g e g e g t ) ( (..11) onde, t g r. 1 3 (..1) Toando liite da função da elocidade quando o tepo tendo ao infinito ou quando a aceleração seja zero, tereos a elocidade terinal: g V T (..13) Integrando a equação (..11), obteos: D C B A H t y ) ( (..14) onde:

21 3 ln ln ) ( g e e g g g g A r r 3 ln ln ) ( g e e g g g B r r ln ) ( 1 ln ) ( 1 ) (. g g e g g g g t g g C r ln ) ( 1 ln ) ( 1 ) (. g g e g g g g t g D r Isolar a ariáel t na equação (..15) é extreaente trabalhoso, no entanto se considerar que o corpo e queda parte do repouso pode-se isolar o tepo de queda. g e e t H H q 1 ln (..15) de onde se obsera ua dependência no tepo de queda do alor da assa do corpo. Para analisar a influência da assa inercial do corpo no tepo de queda, construiu-se o gráfico a seguir nuericaente usando o EXCEL.

22 1 TEMPO DE QUEDA x MASSA TEMPO DE QUEDA,5,51,5,49,48,47,46, MASSA FIGURA..4 Gráfico do tepo de queda e (s) ersus assa (g). Note no gráfico anterior a dependência do tepo de queda co a assa inercial do corpo. Assi, considerando a resistência do ar, o corpo ais pesado realente atinge o solo antes do que o ais lee pois o seu tepo de queda é enor, ressurgindo a afiração aristotélica. Para erificar a consistência da solução obtida, foi toado o liite de / tendendo a zero na equação (..16), iplicando na ausência da resistência do ar, e fazendo alguas aproxiações por séries de Taylor chega-se ao resultado já esperado para o tepo de queda no ácuo: H t q (.1.9) g..3 Modelo Geral para u Corpo e queda na Presença de Forças Viscosas

23 y H g V K b FIGURA..5 Esquea de u corpo e queda na presença de forças de resistência do ar. f (..16) b O prieiro tero é considerado no liite de pequenas elocidades e o segundo, no liite de grandes elocidades. Esta equação conté, na erdade, dois teros de ua expansão de Taylor e teros da elocidade (NUSSENZVEIG, 1981). O coeficiente de arrasto depende da fora geoétrica do corpo e das propriedades do fluido (ar) no qual está inserido o corpo e queda. Analisando as forças que atua e u corpo e queda lire na presença de forças iscosas obteos a equação diferencial: F d dt g b (..17) Integrando a aceleração e função do tepo, usando a condição inicial e t, obtee-se o resultado. Act d 1 e ( t) A Act c (..18) 1 e Onde b d, d c, A 4c

24 Partindo da solução obtida anteriorente e efetuando o liite da elocidade quando o tepo tende ao infinito, tereos 3 V T li ( t) t d A c b b 4 (..19) Integrando a elocidade e função do tepo, ipondo que o espaço inicial é zero, após ários cálculos, chega-se à função horária: d c s( t) A 1 ln t c 1 Be 1 B Act (..) O estudo do caso geral só é interessante para obtenção de ua fora geral para escreer a função horária da elocidade e do espaço de u corpo e queda, as sepre as equações (..19), (..) e (..1) recai e u dos casos estudados anteriorente, pois a força de resistência do ar ou é linear ou é quadrática, inexistindo as duas ao eso tepo. Os resultados de todos os casos até aqui estudados ostra a dependência da assa no alor da aceleração de queda (er eq...18) e no tepo de queda quando se considera a força de resistência do ar.

25 4 3. Estudo do Moiento Vertical: Capo Graitacional Variáel co a Altura A partir dos estudos de Galileu e de Newton, foi se firando a idéia que leis uniersais goerna o oiento dos corpos e pode ser aplicados aos oientos ocorridos tanto no céu coo na terra. A questão da época é que espécie de força os corpos exerce u sobre o outro para oere segundo as leis de Kepler? A resposta foi dada pela Lei da graitação Uniersal de Newton: Matéria atrai atéria, na razão direta do produto das assas e inersa do quadrado da distância (GATTI, 4). Mateaticaente: M F G. (3.1.1) d Considerando a seguinte situação: (3.1.1) H d M RT FIGURA Esquea de u corpo e queda lire, considerando a aceleração da graidade ariáel co a altura.

26 No estudo do oiento ertical a equação (3.1.1) é extreaente interessante, ua ez que, enole o parâetro distância do corpo ao centro da Terra, que nesse caso será a altura y. Inicialente serão desconsideradas as forças resistias do ar, podendo assi aplicar o principio da conseração da energia ecânica. 5 F M M G. G (3.1.) d ( R y) t V ( x) y MG Fdy ( R y) t (3.1.3) E V ( y) K (3.1.4) dy dt E ( y) MG R T 1/ (3.1.5) Para u deterinado alor da energia E tereos u ponto de retorno e: y R MG (3.1.6) E A fi de obter a função horária y(t), calcula-se a integral abaixo: y dy t (3.1.7) MG y 1/ ( E ) ( R y) t Fazendo ua udança de ariáel: Ey cos (3.1.8) MG MG ( sen cos ) t (3.1.9) 3 / ( E)

27 6 Expressão esta que não pode ser resolida analiticaente. 3.1 Estudo do Moiento Vertical: Co resistência do ar Considerando a situação a seguir: b (3.1.1) H d M RT FIGURA 3.1. Esquea de u corpo e queda lire, considerando a aceleração da graidade ariáel co a altura e ua força de resistência do ar proporcional à elocidade. Analisando as forças atuantes teos: M F G. b d (3.1.) No caso da equação (3.1.) não se pode aplicar o principio da conseração da energia ecânica, porque há presença de forças dissipatias. Desse odo fica ipossíel a obtenção de fora analítica da solução de (3.1.), necessitando assi utilizar algu étodo nuérico. Utilizando o software Modellus e partindo das equações dinâicas:

28 7 obteos a presença de ua elocidade terinal: FIGURA Velocidade x Tepo, considerando a força de resistência do ar proporcional ao quadrado da elocidade co a aceleração da graidade ariáel co a altura. Noaente foi obserado a dependência do tepo de queda co a assa: Corpo de assa u 1 g; cura e preto. Corpo de assa u 1 g; cura e erde. Corpo de assa u 1 g; cura e rosa. FIGURA Espaço x Tepo, considerando a força de resistência do ar proporcional ao quadrado da elocidade, co aceleração da graidade ariáel co a altura, para assas diferentes. Neste caso fora obtidos os resultados: Massa do corpo Tepo de queda Módulo da elocidade terinal (Kg) (s) (/s) 1 374, ,81

29 ,5 Eidenciando a influência da assa do corpo no alor do tepo de queda e da elocidade terinal. 3. Alguas outras coparações de odelos usando a graidade constante ou ariáel Resolendo o odelo para ua altura inicial de 1., e considerando duas situações: situação 1 que corresponde a ua força graitacional que depende da altitude e ua outra (situação ) que independe. Co isto teos as equações: Usando o prograa Modellus, obteos o gráfico:

30 9 FIGURA Espaço x Tepo - queda lire (ausência da resistência do ar) Note que nos resultados acia, o tepo de queda dierge nos dois casos e esta diergência auenta quando se auenta a altura inicial de queda. Os resultados obtidos co o Modellus ostrara que o tepo de queda é pouco influenciado pela ariação do capo graitacional co altura, quando se considera alturas uito enores que o raio terrestre. Os resultados para o caso co resistência do ar antiera o coportaento obserado co o capo graitacional constante.

31 3 4. Considerações sobre alguns fenôenos que aparece deido as Forças de Resistência do Ar No caso idealizado, queda lire, o corpo e queda te soente oiento translacional, pois, a única força existente atua no seu centro de graidade e está na direção ertical. Entretanto quando obseraos u caso real de u corpo e queda, nota-se que alé do oiento translacional existe outras foras de oiento deido à ação da força de resistência do ar. 4.1 Perdas de Inforação I Iagineos a seguinte situação hipotética: U cubo de assa M co seu centro de graidade localizado no seu centro geoétrico, as arestas desse cubo são diferenciadas pelos núeros 1,, 3, 4, 5 e 6. Esse cubo é abandonado e repouso do topo de u prédio, co a identificada co o núero 1 para baixo, desconsiderando as forças de resistência do ar. Qual a probabilidade desse cubo incidir a face identificada co o núero 1 no solo desconsiderando as leis da ecânica? Usando a probabilidade estatística teos: Espaço aostral. (1,, 3, 4, 5 e 6 ) Eleentos faoráeis. (1) Probabilidade de u eento acontecer. Eleentos faoráeis/ Espaço aostral P = (1/6) *1% = 16.67% Usando a estatística 16.67% é o aior alor percentual que podeos afirar que o corpo ai incidir face identificada co o núero 1. Considerando agora a ecânica newtoniana, a única força que está atuando nesse corpo é a força peso, direcionada para baixo e localizada no centro de graidade do eso. Coo não há nenhua outra força atuando, não haerá nenhu torque para girar o cubo, logo ele incidirá face identificada co o núero 1 no solo.

32 Agora aos considerar a situação hipotética anterior, as considerando a força de resistência do ar e ariação do capo graitacional co a altura. Da probabilidade estatística teos: Espaço aostral. (1,, 3, 4, 5 e 6 ) Eleentos faoráeis. (1) Probabilidade de u eento acontecer. Eleentos faoráeis/ Espaço aostral P = (1/6) *1% = 16.67% Usando a estatística 16.67% é o aior alor percentual que podeos afirar que o corpo ai incidir face identificada co o núero 1. Usando a ecânica newtoniana: Considerando a ecânica, a força peso é ariáel co a altura, direcionada para baixo e localizada no centro de graidade do eso. Mas agora teos a força de resistência do ar proporcional à elocidade do corpo e e sentido contrário. Coo essa prieira força atua no seu centro de graidade e a força de resistência do ar não atua exataente e seu centro de graidade. Co isso o soatório dos torques sobre o corpo não se cancela fazendo o cubo girar. Se ele cair de ua grande altitude, fica difícil preer quantas ezes este cubo ai girar, e assi a ecânica newtoniana não poderá dar nenhua inforação sobre qual face do cubo ai incidir no solo. Coparando os dois casos Na prieira situação hipotética (se resistência do ar), pode-se afirar que o cubo incidirá a face identificada co o núero 1 no solo. No entanto na segunda situação a única certeza que teos é o 16.67% da probabilidade estatística. Coo nos dois casos fora dadas as esas condições de iniciais, obsera-se perda de inforação quando se considera a força de resistência do ar Perdas de Inforação II Se arreessaros bolinhas do alto de u edifício co elocidades diferentes, a força de resistência do ar faz co que se aproxie da esa elocidade terinal, ua ez que a esa independe da elocidade inicial. Ua pessoa que esteja na calçada dificilente conseguirá dizer a elocidade exata co que as bolinhas fora arreessadas (BOUSSO e POLCHINSKI, 4). A situação apresentada no parágrafo anterior, ostra de fora clara que ocorre perda de inforação deido à força de resistência do ar. Mas o objetio principal no

33 oento é discutir usando u exeplo siples, que as forças dissipatias poderia dar ua conexão entre a física clássica e quântica. U sistea clássico conté ais inforações que u sistea quântico, já que as ariáeis pode lear e conta qualquer alor, enquanto sisteas quânticos só trabalha co alores discretos que pode ocorrer co certa probabilidade. Desse odo, para u sistea clássico gerar u sistea quântico ele teria de perder inforação. Isso poderia acontecer naturalente deido ao atrito e outras forças de dissipação (BOUSSO e POLCHINSKI, 4). A situação descrita no prieiro parágrafo desse tópico obsera-se ua asta gaa de condições iniciais lea ao eso tipo de coportaento e longo prazo, conhecido coo atrator. Atratores são discretos, assi coo os estados quânticos. As leis a que eles obedece deria, as diferente das leis de Newton. De acordo co t Hooft, as deriadas não são outras senão da ecânica quântica. A natureza, portanto poderia ser clássica a níel ais detalhado, as pareceria quântica por causa da dissipação. Teríaos a ecânica quântica coo liite de baixa energia de algua teoria ais fundaental (BOUSSO e POLCHINSKI, 4) Forças Dissipatias São forças de orige interatôicas que geralente aparece quando existe oiento relatio entre dois eios. Estão presentes e quase todos os sisteas físicos naturais. Ua conseqüência direta da ação das forças dissipatias é que condições iniciais diferentes pode lear ao eso coportaento e longo prazo, ou seja pode conduzir a presença de u atrator. U atrator pode ser definido coo ua região do espaço de fase para o qual u sistea dinâico tende durante a sua eolução teporal e neste subespaço ele eentualente se estabiliza. Ou seja, u atrator é u conjunto de alores no espaço de fase para o qual o sistea igra co o tepo (se for u fluxo) ou por iterações (se for u apa). U atrator pode ser único ponto fixo, ua coleção de pontos regulaente isitada, ou ua região (bacia de atração). (FIEDLER e PRADO, 1995). No caso que estudaos, obseraos que a força de resistência do ar tinha duas contribuições (er eq...18) existe ua elocidade terinal que é independente da condição inicial, esse coportaento pode ser ua eidência da existência de u atrator, que lea o corpo e queda a ua elocidade terinal. Entretanto, tal conjectura precisaria ser erificada.

34 Ebora interessante o estudo realizado nesse capítulo 4, ele não te nenhu ebasaento experiental. Portanto as discussões leantadas dee ser consideradas a níel especulatio, ua ez que, a ecânica quântica é a ais be sucedida teoria da física. 33

35 34 5. Conclusão Historicaente erece destaque no contexto deste trabalho de conclusão de curso, os trabalhos de Galileu Galilei, que experientalente chegou a seguinte conclusão: se eliinaros copletaente a resistência do ar, ateriais cae co a esa rapidez (HALLIDAY, ET. AL., ). Desta afiração segue então ua outra questão: qual a influência da resistência do ar nesta rapidez, ou seja, coo a resistência do ar influencia o tepo de queda dos corpos? Os resultados encontrados tanto analiticaente, quanto nuericaente, para o tepo de queda de u corpo, na presença de forças resistias, confira as preisões da física clássica: a assa do corpo soente influência o tepo de queda dos corpos quando se considera a força de resistência do ar na equação dinâica. Nesta situação, o ais pesado realente atinge o solo prieiro. Por outro lado, os resultados tabé ostra que o tepo de queda sofre ariações consideráeis quando se trata de grandes trajetórias ou corpos pouco assios e situações reais enolendo corpos e queda lire co resistência do ar. A idealização clássica da queda lire, ebora intuitia para estudo, não odela adequadaente casos reais de corpos e queda na presença de forças resistias. Alé das inconsistências co os resultados experientais, quando trata o problea de fora idealizada, tabé perde uitas inforações qualitatias do sistea.

36 35 6. Referências (1) BOUSSO, R. e POLCHINSKI, J., O Panoraa da Teoria de Cordas. Scientific Aerican, Nº 9, outubro, 4. () CIÊNCIA VIVA. Força de Resistência do Ar. Artigos, agos. 8. Disponíel e < Acesso e; out. 8. (3) FERREIRA, G. F. Leal. Projeteis co Resistência do ar Quadrático na Velocidade. Reista Brasileira de Física,. 3, n.3, p , set. 1 (4) FIEDLER-FERRARA Nelson & PRADO, Caren P. Cintra, Caos - ua introdução, São Paulo: Editora Edgard Blucher, (5) GATTI, SANDRA Regina Teodoro et al. A historia da ciência na foração do professor de física: subsídios para o curso sobre o tea atração graitacional isando udanças de postura na ação docente. Ciência & Educação,.1, n. 3, p , 4. (6) HALLIDAY, Daid; RESNICK Robert; KRANE, K, Física 1. ol. 1, 4 ed. Rio de Janeiro: LTC,. (7) HARRES, João batista Siqueira. Desenoliento histórico da dinâica; referente à eolução das concepções dos estudantes sobre força e oiento. ln; Encontro Ibérico-aericano sobre Inestigação e Educação e Ciências, I,, Burgos (Espanha). (8) NUSSENZVEIG, H. Moysés, Curso de Física Básica: Mecânica. ol. 1, ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1981.

37 (9) TIPLER, Paul A. Física. ol. 1, 4 ed. Rio de Janeiro: LTC,. 36