M 9 - Noções de Matemática Financeira

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1 M 9 - Noções de Financeira (ESPM-SP) Observe as proposições abaixo: I. (0%) % III. 3% 0 % 8% II. 9% 3% IV. 3% 9 % % Estão corretas: a) Apenas I e II d) Apenas II, III e IV b) Apenas II e III e) Nenhuma delas c) Apenas I e III X I. Verdadeiro, pois (0%) 0 % II. Falso, pois 9% 30% III. Verdadeiro, pois 3% 0 % 0 8% IV. Falso, pois 3% 9 % 9 0, % (PUC-SP) Uma certa mercadoria que custava R$,0 teve um aumento, passando a custar R$,0. A taxa de reajuste sobre o preço antigo é de: a),0% c),% X e) 6,0% b) 0,0% d),6% Reajuste,0,0,00 00, Taxa de reajuste: 06, 6%, 0 (UFRN) Dois supermercados (X e Y) vendem leite em pó, de uma mesma marca, ao preço de R$,00 a lata. Numa promoção, o supermercado X oferece latas pelo preço de 3, e o supermercado Y dá um desconto de 0% em cada lata adquirida. Responda, justificando, em qual dessas promoções você economizaria mais, se comprasse: a) latas b) latas a) Supermercado X: Leva (latas) Ganha (latas) Em latas temos um desconto no valor de 3 latas, ou seja: 3 9 R$,00 R$,00 Supermercado Y: 8 00 x 0 00x 960 Υ x 9,60 Em latas temos um desconto de 0%, ou seja, R$ 9,60. A economia maior seria no supermercado X. b) Supermercado X: Leva (latas) Ganha (latas) Em latas temos um desconto no valor de latas, ou seja: 9 R$,00 R$ 8,00 Supermercado Y: 00 x 0 00x 880 Υ x 8,80 Em latas temos um desconto de 0%, ou seja, R$ 8,80. A economia maior seria no supermercado Y (UFPE) Quando o preço da unidade de determinado produto diminuiu 0%, o consumo aumentou 0% durante certo período. No mesmo período, de que percentual aumentou o faturamento da venda deste produto? X a) 8% b) 0% c) % d) % e) 30% O faturamento será de 0,9 9,0,08 do faturamento anterior. Logo, aumentou em 8%. (UFRJ) A fim de atrair a clientela, uma loja anunciou um desconto de 0% na compra à vista de qualquer mercadoria. No entanto, para não ter redução na margem de lucro, a loja reajustou previamente seus preços, de forma que, com o desconto, os preços retornassem aos seus valores iniciais. Determine a porcentagem do reajuste feito antes do desconto anunciado. Seja x: valor inicial e i: porcentagem de aumento (x 0 i 9 x): preço com aumento (x 0 i 9 x) 9 0,8: preço com desconto Então: (x 0 i 9 x) 9 0,8 x Θ i 0, %

2 3 6 (Fuvest-SP) Segundo um artigo da revista Veja, durante o ano de 998, os brasileiros consumiram 6 milhões de litros de vinhos nacionais e milhões de litros de vinhos importados. O artigo informou ainda que a procedência dos vinhos importados consumidos é dada pela seguinte tabela: Itália Θ 3% Alemanha Θ 3% Portugal Θ 0% Argentina Θ 6% Chile Θ 6% Outros Θ 6% França Θ 6% O valor aproximado do total de vinhos importados da Itália e de Portugal, em relação ao total de vinhos consumidos pelos brasileiros, em 998, foi de: a),3% X b) 3,3% c),3% d),3% e) 6,3% Vinhos importados da Itália e de Portugal: 3% Total de vinhos importados desses dois países: 0,3 9 milhões 9,6 milhões (A) Total de vinhos consumidos pelos brasileiros: 83 milhões (B) Daí, temos: A B 96, 83 Λ 0, 033 3, 3% 8 (UERJ) Uma máquina que, trabalhando sem interrupção, fazia 90 fotocópias por minuto foi substituída por outra 0% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha de fazer o mesmo número de cópias que a antiga fazia em uma hora de trabalho ininterrupto. Para isso, a nova máquina vai gastar um tempo mínimo, em minutos, de: a) b) 30 c) 3 X d) 0 90 fotocópias por minuto; com aumento de 0%, temos: 90 9 (,) 3 fotocópias por minuto A nova máquina, para fazer o mesmo número de cópias que a antiga fazia em minuto, leva x minutos. 90 x 3 Θ 90 x 3 3 Para fazer o mesmo número de cópias que a antiga fazia em uma hora de trabalho, a nova gasta: h 9 60 min 0 min (Fuvest-SP) A porcentagem de fumantes de uma cidade é 3%. Se 3 em cad fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes ficará reduzido 800. Calcule: a) o número de fumantes da cidade b) o número de habitantes da cidade 7 (UFES) Um empregado recebe um salário mensal para trabalhar 8 horas diárias. Trabalhando horas extras todo dia, ele tem um acréscimo de 0% em seu salário. Quanto ele ganha a mais por hora extra? a) 0% b) 60% c) 80% X d) 00% e) 0% Sendo: x n o de fumantes e y n o de habitantes da cidade 3 a) x x 800 Θ x b) 0,3y Υ y 000 salário hora normal x hora extra y Salário por dia: 8x Com duas horas extras diárias, passa a ganhar 8x 0 y por dia. De acordo com os dados, temos: 8x 0 y, 9 (8x) Υ y x Υ y x O valor da hora extra é o dobro do da hora normal. Logo, ele ganh00% a mais por hora extra. 0 (PUC-RJ) Um vendedor oferecia sua mercadoria da seguinte maneira: Um é R$ 00,00, três são R$ 0,00. O freguês que levasse três unidades da mercadoria estaria recebendo um desconto de: a) 0% X b) % c) 0% d) 30% e) 0% Valor de 3 mercadorias: Valor do desconto: , % 3

3 (PUC-RS) O valor de um produto foi acrescido de quatro vezes o da época de seu lançamento no mercado. A porcentagem que o valor atual representa, em relação ao preço inicial, é de: a) 00% b) 0% X c) 00% d) % e) % Seja x o valor de lançamento. O valor atual é de x 0 x x, que representa um aumento de 00% em relação a x. (Unesp-SP) Um advogado, contratado por Marcos, consegue receber 80% de uma causa avaliada em R$ ,00 e cobr% da quantia recebida, a título de honorários. A quantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a parte do advogado, será de: a) 000 X c) e) b) d) (Fuvest-SP) O limite de consumo mensal de energia elétrica de uma residência, sem multa, foi fixado em 30 kwh. Pelas regras do racionamento, se este limite for ultrapassado, o consumidor deverá pagar 0% a mais sobre o excesso. Além disso, em agosto, a tarifa sofreu um reajuste de 6%. Suponha que o valor pago pelo consumo de energia elétrica no mês de outubro tenha sido 0% maior do que aquele que teria sido pago sem as regras do racionamento e sem o aumento de tarifa em agosto. Podese, então, concluir que o consumo de energia elétrica, no mês de outubro, foi de aproximadamente: a) 30 kwh c) 367 kwh e) 3 kwh X b) 33 kwh d) 38 kwh Seja x a quantidade de kwh consumido em outubro e p o preço do kwh antes do aumento. I) O valor que teria sido pago sem as regras de racionamento e sem o aumento seria p 9 x. II) O valor pago com as regras de racionamento e com o aumento foi [(x 30) 9,0 0 30] 9,6p III) Como o valor pago em outubro com o aumento e com as regras de racionamento é 0% superior ao que teria sido pago sem as regras de racionamento e sem aumento, temos: [(x 30) 9,0 0 30] 9,6p,0p 9 x Υ Υ [,0x ] 9 6 0x Π Υ 7x x Υ x 33,70 Λ 33 kwh 80% da causa: 0, % % 8%: 0, Ele receberá R$ ,00. 3 (IBMEC) A renda per capita é definida como o quociente do produto interno bruto (PIB) pela população economicamente ativa. Se no próximo ano a população economicamente ativa aumentar,%, de quanto deverá aumentar o PIB para que a renda per capita dobre no referido ano? a),% b) % X c) % d) 300% e) 00% ( PIB) RPC Π ( PIB) RPC 9PEA PEA No próximo ano teremos: x 9 ( PIB) x 9 9 ( RPC RPC 9 PEA) Π, 9 PEA, 9 PEA Π x, e, portanto, o PIB deve aumentar %. (UFMG) Uma loja aumenta o preço de um determinado produto cujo valor é R$ 600,00 para, em seguida, a título de promoção, vendê-lo com desconto de 0% e obter ainda os mesmos R$ 600,00. Para que isso aconteça, o aumento percentual do preço deverá ser de: a) 0% X b) % c) 30% d) 0% Seja x a porcentagem do aumento. 600( 0 x)( 0,0) 600 Υ ( 0 x)(0,80) 0 x 080 Υ x, 0, %

4 6 (IBMEC) Obter um lucro de % sobre o preço de compra de uma mercadoria é equivalente a qual porcentagem sobre o preço de venda desta mercadoria? a) % X b) 0% c) % d) 0% e) % Venda Compra 0 Lucro I) V C 0 % C Π V % C Π 00 V C 00 II) V V 0L V L 0% V L X 9 (Unifesp-SP) Uma empresa brasileira tem 30% de sua dívida em dólares e os restantes 70% em euros. Admitindo-se uma valorização de 0% do dólar e uma desvalorização de % do euro, ambas em relação ao real, pode-se afirmar que o total da dívida dessa empresa, em reais: a) aumenta 8%. d) diminui,%. b) aumenta,%. e) diminui 7,6%. c) aument,6%. Seja D a dívida da empresa. I) A parcela da dívida, em dólares, após uma valorização deste em 0%, será: 0% 9 (30% D) 33% D II) A parcela da dívida, em euros, após uma desvalorização deste em %, será: 98% 9 (70% D) 68,6% D III) Logo, o total da dívida após os reajustes será: 33% D 0 68,6% D 0,6% D, que corresponde a um aumento de,6%. 7 (UFOP-MG) O preço de uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos, de 0% e 0%. De quantos por cento foi o aumento total dessa mercadoria? a) 30% X b) 3% c) % d) % e) % Seja x o preço inicial: x( 0 0,0)( 0 0,0) x 9, 9,,3x x( 0 0,3) Sofreu um aumento total de 3%. 8 (UEL-PR) Um artigo é vendido em uma loja por R$,00. Sobre esse preço são dados dois abatimentos sucessivos: um de 6% e outro de p%. Se o preço de tal artigo reduziu-se a R$ 8,90, então p é igual a: a) 8 b) 0 X c) d) e) 6 desconto 6% 3 desconto p% 3 p ( 0, 6) 890, 00 p 0 8, p 078, Υ p 00 0 (FGV-SP) O Sr. Macedo possui uma loja de sapatos. Cada par é comprado por um certo valor e é vendido com uma margem de contribuição (diferença entre o preço de venda e de compra) igual 0% do preço de venda. a) Se cada par for vendido por R$ 60,00, qual o preço de compra? b) Se o preço de compra for de R$ 0,00, qual a margem de contribuição, expressa como porcentagem do preço de compra? a) Sendo x (o preço de compra) e y (o preço de venda), a partir do enunciado, temos: y x 30% 9 y Π y x 0,3 9 y Π x 0,7 9 y Para um preço de venda de R$ 60,00, temos o preço de custo de R$,00, pois: x 0, Π x b) Para um preço de compra de R$ 0,00, o preço de venda y será tal que: 0 0,7 9 y Π y 00 7 Assim, a margem de contribuição, expressa como porcentagem do preço de compra, será: y x p x Λ 0, 86%

5 (UFMG) Um televisor estava anunciado por R$ 00,00 para pagamento à vista ou em três prestações mensais de R$ 8,00 cada; a primeira delas a ser paga um mês após a compra. Paulo, em vez de pagar à vista, resolveu depositar, no dia da compra, os R$ 00,00 numa caderneta de poupança, que lhe renderia % ao mês, nos próximos 3 meses. Desse modo, ele esperava liquidar a dívida, fazendo retiradas de R$ 8,00 daquela caderneta nas datas de vencimento de cada prestação. Mostre que a opção de Paulo não foi boa, calculando quanto a mais ele teve de desembolsar para pagar a última prestação. o mês Θ 00( 0 0,0) 0,00 8,00 3,00 o mês Θ 3( 0 0,0) 33,0 8,00 6,0 3 o mês Θ 6,0( 0 0,0) 9,3 8,00 9,3 3,7 (FGV-SP) Um investidor aplicou R$ 000,00 a juros simples, à taxa de 0% ao ano. a) Qual o montante, se o prazo da aplicação for de meses? b) Qual o gráfico do montante em função do prazo n da aplicação, expresso em trimestres? 3 (UEPA) Como medida de segurança contra o desmatamento, o IBAMA instalou um posto de fiscalização em uma área da Amazônia que fica distante 80 km de uma cidade onde mora um de seus técnicos. Esse técnico vai e volta todo dia ao posto em seu carro, que consome diariamente 6 litros exatos de combustível, o que corresponde a % da capacidade do tanque do carro. Para atender a uma denúncia de desmatamento, o técnico deverá ir e voltar a uma área distante 80 km de sua cidade. Para tanto, encheu o tanque de combustível de seu carro, que estava vazio. a) Considerando a situação acima, justifique, com base em seus cálculos, se o combustível é suficiente ou não para que o fiscal faça o percurso de ida e volta à cidade de origem. b) Considerando que, no momento do abastecimento, o litro do combustível custava R$,00 e que o pagamento seria efetuado em 60 dias, a % ao mês de juro simples, qual o valor pago no vencimento? a) Distância diária percorrida 60 km Consumo de 6 litros e, portanto, rendimento de 0 km/σ. Como 6 litros correspondem a % da capacidade do tanque, temos 6 litros de combustível com o tanque cheio, que corresponde a uma autonomia de 60 km. Portanto é suficiente o combustível para o fiscal ir e voltar da sua cidade até o local de desmatamento, que totaliza 60 km. b) 6 litros Ο R$,00 R$ 8,00 para o abastecimento. Como o pagamento vai ser efetuado daqui a meses, a % de juros simples totalizará R$ 8,00 0 R$,6 0 R$,6 R$ 33,. a) Após meses anos, o montante será de R$ 833, b) Como a taxa de juros simples é de 0% ao ano, o que corresponde a 0 % 0% ao trimestre, após n > 0 trimestres, o montante será de n ( n) reais, cujo gráfico está representado a 00 seguir: montante (em reais) (FGV-SP) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de,% ao mês, triplica em: a) 7 meses c) 8 meses e) 9 meses X b) 80 meses d) 90 meses Um capital C triplica quando os juros dele decorrentes forem iguais a C. C 9, 9 t Portanto, C Υ, t 00 Υ t n o de trimestres 6

6 (ESPM-SP) Um capital de R$ 6 000,00 é aplicado por meses a juros compostos de % a.m. Qual é o valor dos juros resultantes dessa aplicação? a) R$ 6 9,0 b) R$ 6 80,00 c) R$ 6,60 X d) R$ 9,0 e) R$ 80,00 M C( 0 i) t M 6 000( 0 0,0) Υ M ,08 6 9,0 J 6 9, ,0 Υ J R$ 9,0 Você pode usar um dos dados abaixo:,0,08,,0736,0 9,08 8 (FGV-SP) Fábio recebeu um empréstimo bancário de R$ 0 000,00 para ser pago em duas parcelas anuais, a serem pagas respectivamente no final do primeiro ano e do segundo ano, sendo cobrados juros compostos à taxa de 0% ao ano. Sabendo que o valor d a parcela foi R$ 000,00, podemos concluir que o valor da a foi de: a) R$ 8 800,00 c) R$ 9 00,00 X e) R$ 9 600,00 b) R$ 9 000,00 d) R$ 9 00,00 I) Depois de pagar a primeira parcela de R$ 000,00, o valor da dívida passou a ser: 0% 9 R$ 0 000,00 R$ 000,00 R$ 8 000,00 II) O valor da a parcela, a ser paga um ano depois, é: 0% 9 R$ 8 000,00 R$ 9 600,00 6 (ESPM-SP) Um capital de R$ 0 000,00 foi aplicado do seguinte modo: uma parte a juros simples de 6% ao mês e o restante a juros compostos de % ao mês. Depois de 3 meses, as duas aplicações tiveram o mesmo rendimento. A maior parte aplicada foi aproximadamente: a) R$ 00,00 X c) R$ 900,00 e) R$ 6 300,00 b) R$ 7 00,00 d) R$ 8 600,00 Seja o capital x aplicado a juros compostos de % ao mês e (0 000 x) aplicado a juros simples de 3% ao mês, durante 3 meses. Como o rendimento é o mesmo: ( x) x 9[( 0, ) ] 00 ( x) 98 x 9 ( 0, 86) 00,86x x x 90 Portanto, as quantias são R$ 900,00 e R$ 00,00. 7 (IBMEC) Investindo-se um capital a uma taxa de juros mensais de 7%, em regime de capitalização composta, em quanto tempo o capital inicial dobrará? Considere: log 0,3; log,07 0,03 X a) 0 meses c) meses e) meses b) meses d) 3 meses 9 (Unesp-SP) O preço de tabela de um determinado produto é R$ 000,00. O produto tem um desconto de 0% para pagamento à vista e um desconto de 7,% para pagamento em 30 dias. Admitindo que o valor a ser desembolsado no pagamento à vista possa ser aplicado pelo comprador em uma aplicação de 30 dias, com um rendimento de 3%, determine: a) quanto o comprador teria ao final da aplicação; b) qual é a opção mais vantajosa para o comprador, pagar à vista ou aplicar o dinheiro e pagar em 30 dias (justifique matematicamente sua resposta). O preço à vista do produto é, em reais: (00% 0%) 900,00 O preço após 30 dias é, em reais: (00% 7,%) 98,00 a) Aplicando o valor a ser desembolsado no pagamento à vista a uma taxa de 3% o comprador teria, no final dos 30 dias e em reais: (00% 0 3%) 97,00 b) A opção mais vantajosa para o comprador é pagar à vista, pois se aplicar o dinheiro e pagar 30 dias após, deverá desembolsar R$,00 a mais para completar os R$ 98,00 necessários. Investindo um capital x, a 7% de juros mensais, após t (meses) teremos: x 9 (,07) t log 03, t Para que x 9 ( 07, ) x Π t log Π 07, log 07, 003, Π t 0 meses 7

7 (FGV-SP) Um aparelho de TV é vendido por R$ 000,00 em dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o o como entrada e o o um mês após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto de % sobre o preço de R$ 000,00. A taxa mensal de juros simples do financiamento é aproximadamente igual a: X a) 8,7% b) 7,7% c) 6,7% d),7% e),7% I) Preço de venda: R$ 000,00 II) Preço da TV para pagamento à vista: 0, R$ 960,00 III) No pagamento em duas parcelas, o cliente: paga R$ 00,00 no ato; fica devendo R$ 960,00 R$ 00,00 R$ 60,00; paga R$ 00,00 no mês seguinte e, portanto, paga R$ 0,00 de juros. IV) A taxa de juros mensal cobrada sobre o que o cliente ficou devendo é: 0 Λ 0,0869 Λ 8,7% (FGV-SP) O Sr. Oliveira aplicou R$ 0 000,00 numa caderneta de poupança e R$ ,00 num fundo de ações por ano. Neste período, a caderneta de poupança rendeu 8% e o fundo de ações apenas %. a) Qual a taxa de rendimento global do Sr. Oliveira, no período? b) Quanto ele deveria ter aplicado no fundo de ações (mantida a aplicação de R$ 0 000,00 na caderneta de poupança) para que sua taxa global fosse de 6% ao ano? a) A caderneta de poupança rendeu 8% de R$ 0 000,00 R$ 600,00 de juros e o fundo de ações rendeu % de R$ ,00 R$ 600,00 de juros. A taxa de rendimento global foi, portanto: R$ 600, 00 0 R$ 600, i R$ 0 000, 00 0 R$ , ,0,% b) Sua taxa global de rendimento teria sido 6%, se a quantia x aplicada no fundo de ações tivesse sido tal que: 8% 9R$ 0 000, 00 0 % R$ x 6% Π R$( 0 000, 00 0 x) , 0x Π 006, Π x Π ,0x ,06x Υ x 0 000,00 X Em questões como, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas. 3 (UFBA) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 6 000,00 a uma taxa de juros compostos de 0% ao ano e saldou a dívida da seguinte maneira: anos após ter contraído a dívida, pagou R$ 60,00; anos após o primeiro pagamento, pagou mais R$ 3 00,00; ano após o segundo pagamento, quitou a dívida. Nessas condições, pode-se afirmar: (0) Depois do primeiro pagamento, a pessoa ficou devendo R$ 30,00. (0) Após o segundo pagamento, a dívida correspondia a 0% do valor do empréstimo. (0) No momento em que a pessoa quitou o empréstimo, a dívida correspondia a R$ 3 300,00. (08) O montante pago pelo empréstimo foi igual a R$ 9 000,00. (6) O valor pago pelos juros da dívida correspondeu a 3,% do valor do empréstimo. A uma taxa de 0% ao ano, de juros compostos, temos: I) Após ano Θ dívida de R$ 6 600,00 II) Após anos Θ III) Após 3 anos Θ dívida de R$ 00,00 IV) Após anos Θ V) Após anos Θ dívida de R$ 7 60,00 o pagamento de R$ 60,00 dívida de R$ 6 00,00 o pagamento de R$ 3 00,00 dívida de R$ 3 300,00 3 o pagamento: total da dívida saldo devedor: R$ 3 000,00 Logo: (0) Falso (0) Verdadeiro (0) Verdadeiro (08) Falso; pois R$ 60,00 0 R$ 3 00,00 0 R$ 3 300,00 R$ 8 60,00 (6) Verdadeiro; pois juros da dívida R$ 60,00 correspondem a 3,% de R$ 6 000,00 Portanto: (UFV-MG) Uma pessoa deposita uma quantia em dinheiro na caderneta de poupança. Sabendo-se que o montante na conta, após t meses, é dado por M(t) C 9 0,0t, onde C é uma constante positiva, o tempo mínimo para duplicar a quantia depositada é: a) 6 anos e 8 meses d) 9 anos e 3 meses b) 7 anos e 6 meses e) 0 anos e meses c) 8 anos e meses Θ Θ saldo devedor: R$ 000,00 Para se duplicar a quantia depositada devemos ter: C 9 0,0 9 t 9 C Π 0,0 9 t Π t 00 meses 8 anos e meses 8

8 M 0 - Progressões (PUC-RS) A soma dos termos da seqüência numérica (,,,,,..., ( ) n ) com n 7 Μ é: a) c) X e) 0 ou b) 0 d) ou I) Para uma quantia ímpar de termos: 0 S I 0 ( 0 ) 0 ( 0 ) 0 ( 0 ) 0... S I II) Para uma quantia par de termos: S II ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0... S II 0 0 (Unesp-SP) Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioria dos mamíferos. Considere uma colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote por a n o número de casais adultos desta colônia ao final de n meses. Se, a e, para n >, a n 0 a n 0 a n, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês será: a) 3 b) 8 c) 6 X d) e) De acordo com o enunciado, temos: a a 0 0 a 0 a 0 3 a a Portanto, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês será. 3 (PUC-SP) Os termos da seqüência (0, 8,, 9,, 0, 3,...) obedecem a uma lei de formação. Se a n, em que n 7 Μ*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então 0 0 a é igual a: a) 8 X b) 9 c) 60 d) 6 e) 6 0 (Unifor-CE) Considere a seqüência (a n ), na qual n 7 Μ {0} e, a,, a 8 etc. O termo geral dessa seqüência é um dos que estão dados abaixo. Qual deles? a) a n n 3 X d) a n 3n n b) a n n n e) a n n 6 c) a n n 6 a) a n n 3 3 a 3 (não satisfaz) b) a n n n 9 9 a (não satisfaz) c) a n n a (não satisfaz) d) a n 3n n a a Logo, o termo geral é a n 3n n. (Unifesp-SP) A soma dos termos que são números primos da seqüência cujo termo geral é dado por a n 3n 0, para n natural, variando de a, é: a) 0 b) 6 c) 8 X d) 33 e) 36 I) Os termos da seqüência a n 3n 0, < n < (n 7 Μ) são: a a a II) A soma dos termos que são primos é: 0 0 a Na seqüência (0, 8,, 9,, 0, 3,..., 0,..., a,...), temos: I) 0 é o décimo quinto termo da PA (8, 9, 0,...) e vale II) a é o vigésimo oitavo termo da PA (0,,,...) e vale III) 0 0 a

9 (PUC-RJ) Três números estão em progressão aritmética. A soma dos três números é. Assinale a opção que apresenta o valor correto do termo do meio. a) b) 6 X c) 7 d) e) 3 3 números em PA: x r, x, x 0 r x r 0 x 0 x 0 r Θ 3x Θ x 7 9 (UERN) A seqüência de números positivos (x, x 0 0, x,...) é uma progressão aritmética, cujo décimo termo é: a) 9 X b) 9 c) 0 d) 0 e) 0 (x, x 0 0, x,...) Θ PA de números positivos x x ( x 0 ) 0 0 Υ x x 0 0 x ± 9 x x (não convém) PA: (,,,...) ; r r Ι (UFCE) Uma seqüência de números reais é dita uma progressão aritmética de segunda ordem quando a seqüência formada pelas diferenças entre termos sucessivos for uma progressão aritmética. Assinale a alternativa na qual se encontra parte de uma progressão aritmética de segunda ordem. a) (0,,,, 3) d) (7, 3,, 0, ) X b) (6, 8,, 7, ) e) (,, 8, 0, 30) c) ( 3, 0,,, 8) I) Na seqüência (6, 8,, 7, ), temos: a 8 6 a 8 7 a 7 a a 7 7 II) Como (, 7,, 7) é uma PA de razão, (6, 8,, 7, ) é uma PA de segunda ordem. 0 (MACK-SP) Se f(n), n 7 Μ, é uma seqüência definida por: f(0) f(n 0 ) f(n) 0 3, então f(00) é: a) 97 b) 600 X c) 60 d) 60 e) 607 f(0) n 0 Θ f() f(0) n Θ f() f() n Θ f(3) a (,, 7, 0,...) PA r 3 Como f(0); a f(); f(), temos: f(00) a 0 Υ a r a f(00) 60 8 (PUC-RJ) Para que a progressão aritmética de razão r x seja decrescente, x deve assumir valores no intervalo: a), c), b), PA decrescente Π r, 0 r x Logo, x, 0 x, 9 ( ) x. Υ x. x 7 0, d), 0 Xe), 0 (UFRN) Numa progressão artimética de termo geral a n 8, tem-se que a 0 a O primeiro termo dessa progressão é: a) 6 b) c) d) 3 X e) 8 a 0 a Υ 0 r 8 0 3r 0 0 r r 8 Υ r e 0 ( ) Υ r 8 r 0 r 60

10 X (UFSM-RG) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma seqüência de T (a inicial de seu nome), conforme a figura: Supondo que o guri conseguiu formar 0 T completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: a) mais de 300 bolitas d) exatamente 300 bolitas b) pelo menos 30 bolitas e) exatamente bolitas c) menos de 0 bolitas o T Θ bolitas o T Θ 9 bolitas 3 o T Θ 3 bolitas PA (, 9, 3,..., 0 ). Cálculo de 0 :0 0 9r ( 0 ) Cálculo de S 0 : S 0 30 Ele possuí0 bolitas (Unesp-SP) A Rádio Sinfonia inicia sua programação às 6 h. A programação é formada por módulos musicais de 0 minutos, intercalados por mensagens comerciais de minutos. Em vista disso, o primeiro módulo musical se iniciará às 6 h (0 minutos após às 6 h), o segundo às 6h min ( minutos após às 6 h), e assim por diante. Indique por h n a quantidade de minutos, após às 6 h, em que se iniciará o módulo musical de número n. a) Escreva uma expressão matemática para h n em função de n. b) Uma pessoa sintonizou esta rádio às 9h 30min, quando estava tocando o décimo módulo musical. Determine h 0 e quantos minutos a pessoa ouvirá de música, até que se inicie a próxima mensagem comercial. a) As quantidades de minutos, após às 6 h, em que se iniciará cada módulo musical, são os termos da progressão aritmética (0; ; ;...; h n ;...) onde h n 0 0 (n ) 9 Υ h n (n ), n 7 Μ*. b) h 0 9 (0 ) 98 min 3h e 8min. A pessoa que sintoniza a rádio às 9h e 30min (0 minutos após o início das transmissões) perdeu (0 98) min do décimo módulo musical, restando, portanto, 8 min de música até que se inicie a próxima mensagem musical. 3 (UFSCar-SP) Uma função f é definida recursivamente como f(n 0). f(n) 0 Sendo f(), o valor de f(0) é: X a) b) 0 c) d) 60 e) 6 fn ( ) 0 f(n 0 ) Π f(n 0 ) f(n) 0 Π f(n 0 ) f(n). A seqüência, (f(); f(); f(3);...; f(0);...) é uma progressão aritmética de razão r e a f(). Portanto, f(0) r Π Π Π X (MACK-SP) Os comprimentos de uma seqüência de circunferências estão em progressão aritmética de razão. Os raios dessas circunferências definem uma: a) progressão aritmética de razão π b) progressão aritmética de razão c) progressão aritmética de razão π d) progressão geométrica de razão π e) progressão geométrica de razão π Seja (C n ) (π r ; π r ;...; π r n ; π r n 0 ;...)? n 7 Μ*, a seqüência dos comprimentos das circunferências de raios r ; r ;...; r n ; r n 0 ;... respectivamente. Como (C n ) é uma progressão aritmética de razão, temos: π r π r Π r r (constante) e, portanto, a seqüência (r n n 0 n n 0 n π ) (r ; r ;...) dos raios é uma progressão aritmética de razão. π 6

11 (UEL-PR) Interpolando-se sete termos aritméticos entre os números 0 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo termo central é: a) b) X c) d) e) 7 (0,, 98) 7 termos 0 0 8r a 9 a r 98 n 9 8r 88 r? r termo central: a a 0 r Ι a 9 (UFSC) Qual a soma dos 0 primeiros termos de uma progressão aritmética na qual o primeiro termo é igual à razão e 0 a 8 8? 0 a 8 8 Υ 0 r 0 0 7r 8 8 Como r, temos: ( 0 ) 9 S (Fuvest-SP) Responda: a) Quantos múltiplos de 9 há entre 00 e 000? b) Quantos múltiplos de 9 ou há entre 00 e 000? a) Os múltiplos inteiros de 9 compreendidos entre 00 e 000 formam uma progressão aritmética de primeiro termo 08, último termo 999 e razão 9. Sendo n a quantidade de termos desta progressão, tem-se: (n ) 9 9 Π n 00 b) Entre 00 e 000, existem: I) 00 múltiplos de 9, conforme item anterior. II) múltiplos de : (0, 0, 3,..., 990) (n ) 9 Π n 60 III) múltiplos simultaneamente de 9 e : (3, 80,,..., 990) Θ r (n ) 9 Π n 0 Assim, entre 00 e 000 existem múltiplos inteiros de 9 ou. 0 (UFPA) A soma de uma PA de oito termos é 6 e a razão é. Então, o sexto termo é: a) b) c) 3 d) X e) De acordo com os dados: S 8 6 r Cálculo de a 6 : a 6 0 r ( ) Υ a 6 ( a 0 a ) 9 S 8 6 ( 0 a 8 ) 0 a r Υ 0 7( ) 8 Ι (UFAL) O termo geral de uma seqüência é a n n 7,? n 7 Μ {0}. A soma dos vinte primeiros termos dessa seqüência é: a) 70 X b) 700 c) 670 d) 60 e) 80 a n n 7,? n 7 Μ* 3; a ; ;... A seqüência ( 3,,,...) é uma PA cujo o termo é 3 e a razão é. a 0 0 9r ( S 0 0 ) (UFPel-RS) Numa Olimpíada de, envolvendo alunos de o grau, foi proposto o seguinte problema: Em certa progressão aritmética, a soma dos termos de ordem ímpar é 0 e a soma dos termos de ordem par é 6; a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é 3. Calcule o número de termos dessa progressão aritmética. 0 S n 0 0 a a n 0 a 0 a 0 a a n 6 0 a n 3 S n 30 ( a 0 a ) 9n n 3 9 n Υ 30 Υ n 6

12 (UFSCar-SP) A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale e o produto desses termos é zero. Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo dessa seqüência vale: X a) 0 b) c) d) 3 e) (Fatec-SP) Um auditório foi construído de acordo com o esquema abaixo: Seja a PA (x r, x r, x, x 0 r, x 0 r). Então, (x r) 0 (x r) 0 x 0 (x 0 r) 0 (x 0 r) Π Π x Π x 3. (3 r) 9 (3 r) (3 0 r) 9 (3 0 r) 0 e r é inteiro positivo, r 3. Portanto, a PA é ( 3; 0; 3; 6; 9) e o o termo da PA é zero. Palco a fila 8 lugares a fila lugares 3 (UNI-RIO) Considere uma progressão aritmética de elementos cujo primeiro elemento é log 3. Sabendo-se que a soma destes elementos é log 8, determine a razão desta seqüência. log 3; n ; S log 8; r? 0 a 0 0 a log 8 log 3 0 log 3 0 r 0 log 3 0 r 0 log 3 0 3r log 8 log 3 0 6r log ( ) log 3 0 6r 6 0 log 3 Υ r X A platéia tem 8 filas de assentos e cada fila tem lugares a mais que a anterior. Se forem convidadas 800 pessoas para assistir a um evento e todas comparecerem, a) ficarão vagos 0 lugares. b) ficarão vagos 6 lugares. c) faltarão lugares. d) faltarão 0 lugares. e) não sobrarão nem faltarão lugares. Número de assentos por fila: (8,, 6, 0,...) PA onde: 8; r e 8 0 7r ( ) 98 S 8 76 (capacidade do auditório) lugares faltando. X (UFCE) A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética é 0. O 8 o termo desta PA é: a) 0 b) c) 0 d) e) 30 ( a 0 a ) 9 S 0 Como a 8 0 7r Υ a 8 7r a 8 0 7r ( a 7r 0 a 0 7r) 9 a Então S 0 Υ a (PUC-RS) A razão da PG cuja soma é 0, é: a) X b) c) d) 0 e) , ,3 0 0, , , que é a soma dos termos da PG (0,3; 0,003; 0,00003;...) de razão

13 3 3 7 (UENF-RJ) Dois corredores vão se preparar para participar de uma maratona. Um deles começará correndo 8 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distância em km; o outro correrá 7 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distância em km. A preparação será encerrada no dia em que eles percorrerem, em quilômetros, a mesma distância. Calcule a soma, em quilômetros, das distâncias que serão percorridas pelos dois corredores durante todos os dias do período de preparação. I) Corredor : (8 km; 0 km; km;...) PA de razão e 8 Corredor : (7 km; 8 km; 9 km;...) PA de razão e b 7 Para que a preparação seja encerrada, devemos ter: a n 8 0 (n ) (n ) 9 Ε n 0 Portanto, no 0 o dia. II) Distância percorrida pelo corredor : ( 8 0 6) 90 S 70 km 0 III) Distância percorrida pelo corredor : ( 7 0 6) 90 S' km 0 Logo, a soma das distâncias será: S 0 0 Sδ km b n 9 (Unesp-SP) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0, cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente. pilha n a vez pilha na a vez pilha n a vez Determine, ao final de 9 dessas operações, a) quantas tábuas terá a pilha. b) a altura, em metros, da pilha. A quantidade de tábuas na pilha, em função do número de vezes em que se repetiu a operação descrita, é dada pela seqüência (a n ) (; ; ; 8;...), uma progressão geométrica de razão. Após a nona operação, a quantidade de tábuas na pilha é a A altura da pilha será de 6 9 0, cm 8 cm,8 m. 8 (UFSCar-SP) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é x e a razão é. Se a soma dos quatro primeiros termos é 3 900, pode-se afirmar que x, é igual a: a) b) X c) d) e) A progressão geométrica de primeiro termo x e razão é ( x ; x 0 ; x 0 ; x 0 3 ;...). A soma dos quatro primeiros termos dessa progressão é e, portanto: x 0 x 0 0 x 0 0 x Π Π x ( ) Π x x Π Π 6 3 x x 6 Assim sendo: (Unicap-PE) Os números que representam, em graus, os ângulos internos de um quadrilátero estão em progressão geométrica de razão. Qual o valor, em graus, do menor dos ângulos internos? Sejam ε, ψ, υ e τ os ângulos internos do quadrilátero. Portanto: ε 0 ψ 0 υ 0 τ 360). Como (ε, ψ, υ, τ) é PG de razão, temos: ε 0 ε 0 ε 0 8ε 360) ε 360) Π ε ) 6

14 (UEPG-PR) Sabe-se que o número de bactérias em um meio de cultura duplica de hora em hora. Se ao final d a hora existem bactérias nesse meio, qual o número de bactérias ao final de 0 horas? X a) 0 c) 08 e) 03 b) 30 d) (PUC-SP) Numa progressão geométrica, a diferença entre o o e o o termo é 9 e a diferença entre o o e o o termo é 76. O o termo da progressão é: X a) 3 b) c) 6 d) 8 e) 9 a 9 a a 76 a hora: bactérias a hora: 9 bactérias 3 a hora: 9 8 bactérias. 3 Υ (,, 8,...) PG q q 9 q q 3 76 Υ (q ) 9 q 3 (q ) 76 (II) : (I) Θ q 3 6 Ι q Substituindo em (I), vem: ( ) 9 Ι 3 (I) (II) a Ao final d0 a hora: 0 9 q n X 3 (UFU-MG) Considere a n o termo geral de uma progressão geométrica de razão e primeiro termo. Podemos afirmar que a representação gráfica dos pontos (n, a n ) no plano cartesiano, em que n 7 Μ, está contida no gráfico de uma função: a) quadrática c) linear b) exponencial d) logarítmica n n n a a 9 q Υ a 9 Υ a n 7 Μ n n, n (equivalente a uma função y x Θ f exponencial) Graficamente: x n a n 0 3 a n n 3 (Cesesp-PE) Uma alga cresce de modo que a cada dia ela cobre uma superfície de área igual ao dobro da coberta no dia anterior. Se esta alga cobre a superfície de um lago em 00 dias, assinale a alternativa correspondente ao número de dias necessários para que duas algas da mesma espécie da anterior cubram a superfície do mesmo lago. a) 0 dias c) 98 dias e) 3 dias b) dias X d) 99 dias Seja x a área coberta por uma alga no o dia. Então: x área coberta no o dia x área coberta no 3 o dia 8x área coberta no o di 3 No 00 o dia, a área coberta será: 00 9 q 99 x 9 99 Para duas algas, teremos: o dia: x o dia: x 3 o dia: 8x. 3 (x, x, 8x,...) PG x q Depois de n dias, essas duas algas cobriram uma área de: a n 9 q n x 9 n x 9 n Fazendo a n 00 Υ x 9 n x 9 99 Υ n 99 Υ (x, x, x, 8x,...) PG Duas algas levarão 99 dias para cobrir a superfície do lago. x q Esta representação está contida no gráfico de uma função exponencial. 6