Grupos Central-por-Finito: Coberturas de Grupos e um Problema de Paul Erdős

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1 Universidade de Brasília Departaento de Mateática Prograa de Pós-Graduação e Mateática DISSERTAÇÃO Grupos Central-por-Finito: Coberturas de Grupos e u Problea de Paul Erdős Aluno: Rebeca Chuffi Saccochi Orientadora: Cristina Acciarri Brasília, dezebro de 205

2 Rebeca Chuffi Saccochi Grupos Central-por-Finito: Coberturas de Grupos e u Problea de Paul Erdős Dissertação apresentada ao Prograa de Pós- Graduação e Mateática do Departaento de Mateática da Universidade de Brasília, e cupriento às exigências para obtenção do Título de Mestre e Mateática Orientadora: Profa. Cristina Acciarri O aluno foi bolsista de estrado da CAPES/CNPq

3 Ficha catalográfica elaborada autoaticaente, co os dados fornecidos pelo(a) autor(a) CSA9 g Chuffi Saccochi, Rebeca Grupos central-por-finito: coberturas de grupos e u problea de Paul Erdos. / Rebeca Chuffi Saccochi ; orientador Cristina Acciarri. -- Brasília, p. Dissertação (Mestrado - Mestrado e Mateática) -- Universidade de Brasília, Cobertura de grupos. 2. Teoria de Grafos. 3. Problea de Paul Erdos. I. Acciarri, Cristina, orient. II. Título.

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5 Agradecientos Gostaria de agradecer aos eus pais, Vinícius Antunes Saccochi e Caroline Nakad Chuffi, e à inha irã, Lara Chuffi Saccochi, pelo aor e paciência durante todos esses anos, eso nos oentos difíceis. À inha orientadora, Cristina Acciarri, pela paciência, extrea dedicação ao trabalho que fizeos e conselhos valiosos tanto e teros acadêica coo para vida. Aos professores e trabalhadores do Departaento de Mateática. E particular, ao Professor José Antônio de Freitas, pela paciência ao inistrar a prieira atéria de Álgebra que eu fiz na graduação. À Professora Aline Pinto, pelas explicações excepcionais, pelo quadro ipecável e por ser u exeplo de pessoa e de profissional. Ao Professor Celius Magalhães, por e ter e ajudado a superar eus edos e por ter acrescentado uito à inha foração acadêica. À Professora Cátia Regina Gonçalves, pela sua aneira be huorada de levar a vida que é ua inspiração para i. À Jéssyca Cristine Souza, pelo apoio incondicional e toda essa jornada, desde o pri- eiro seestre da graduação, se ela co certeza eu não alcançaria etade do que foi conquistado. Muito obrigada por ser paciente, e acopanhar desde sepre e sepre e achar no cantinho da tristeza depois das provas. À Angélica Felix, por ter e acopanhado desde a graduação, por ser essa aiga super atenciosa e ais iportante, ser ua pessoa sincera e e fazer ter certeza de que todas as inhas sapatilhas são estranhas. Obrigada por tudo, aiga. Ao Bruno Xavier, pelas conversas descontraídas, pela ajuda e Geoetria Diferencial e por e carregar no LoL. Ao Leandro Chiarini, ua pessoa que e divertiu por anos. Nunca esquecerei da integral de "ln(x)cos(x)". Alé disso, u aigo que e ajudou bastante, não só e teros de Mateática, as e protegendo de pessoas que encara eu sapato. Ao Michell Dias, pelos oentos divertidos de estudo na sala do estrado e pelo copanheiriso e todo esse período de estrado (inclusive nos oentos de coer torta do natural no eio da tarde). Ao Victor Barbosa Jatobá, por ter e ajudado ao longo desses quatro anos e três eses e por ter e influenciado a seguir esse cainho acadêico. E tabé por ter e abandonado e fugido pra Chicago e e obrigado a e esforçar ainda ais para que tudo desse certo. Obrigada pelo apoio desde o coeço (e até o fi, já era).

6 AGRADECIMENTOS Aos eus treze gatos, Janine, Márcia, Fanha, Carinhosa, Mundo, Doce, Lili, Pietro, Irina, Tigor, Mandioca, Buba e Macaxeira, por tere e acalado e oentos de estresse e estare sepre dispostos a e acopanhar. Ao CNPq/CAPES pelo apoio financeiro concedido durante a elaboração deste trabalho.

7 Suário Agradecientos Resuo Abstract Introdução i ii iii Capítulo. Preliinares Capítulo 2. Grafos 5 2. Definições e resultados básicos Ua versão do Teorea Infinito de Rasey Propriedades do grafo não-coutativo 6 Capítulo 3. Grupos central-por-finito 8 3. PE-grupos Grupos cobertos por subgrupos abelianos 27 Capítulo 4. Análise Quantitativa Relacionando [G : Z(G)] e ω(g) Relacionando [G : Z(G)] e a(g) Relacionando ω(g) e a(g) Relacionando ω e G e u grupo finito 49 Capítulo 5. Grupos extraespeciais Produto Central p-grupos Extraespeciais 54 Capítulo 6. Apêndice Construção de Γ(G) no GAP Deonstração Teorea Referências Bibliográficas 68

8 Resuo U grupo G é dito central-por-finito se o índice do centro [G : Z(G)] é finito. É possível caracterizar a classe dos grupos central-por-finito de várias aneiras. Ua dessas, devida a R. Baer [9], assegura que u grupo é central-por-finito se, e soente se ele adite ua cobertura finita por subgrupos abelianos. A partir de u problea de teoria dos grafos proposto por Paul Erdős, B. H. Neuann [8, 4.4] caracterizou os grupos central-por-finito de outra aneira, assegurando que u grupo é central-por-finito se, e soente se ele é u PE-grupo, isto é, u grupo cujo grafo não-coutativo Γ(G) não possui subgrafos copletos infinitos. Essas duas caracterizações leva a considerar, de aneira natural, três indicadores nuéricos relacionados a u grupo central por finito. Prieiro, [G : Z(G)], o índice do centro, segundo, a(g), o núero ínio de subgrupos abelianos necessários para cobrir o grupo G de fora irredundante, e terceiro, ω(g), o taanho do aior subgrafo copleto de Γ(G), isto é, o taanho do aior clique do grafo Γ(G). U problea interessante então é relacionar essas três quantidades, encontrando cotas de ua e função de outra e tabé deterinar condições sob as quais vale as igualdades. E geral, dado G u grupo central-por-finito, sepre teos que ω(g) a(g) [G : Z(G)] c ω(g), onde c é ua constante. Alé disso, quando G é finito, é natural relacionar os indicadores [G : Z(G)], a(g) e ω(g) não só entre eles, as tabé co a orde de G. Portanto, neste trabalho vaos estudar as duas caracterizações de grupos central-porfinito encionadas anteriorente, relacionar os três indicadores nuéricos ω(g), a(g) e [G : Z(G)] e apresentar vários exeplos, entre eles a faília de grupos extraespeciais de orde p 2n+. Palavras-chave: Grupos Central-por-finito, PE-grupos, Coberturas de Grupos, Grafo não-coutativo. i

9 Abstract A group G is said to be central-by-finite if the index of the center [G : Z(G)] is finite. It is possible to characterize the class of central-by-finite groups in any ways. One of the, due to R. Baer [9], guarantees that a group G is central-by-finite if and only if G can be covered by finitely any abelian subgroups. Motivated by a question on graph theory proposed by Paul Erdős, B. H. Neuann [8, 4.4] has characterized central-by-finite groups in a different way, ensuring that a group G is central-by-finite if and only if G is a PE-group, that is, a group whose non-couting graph Γ(G) contains no infinite coplete subgraph. Both characterizations lead us to consider, in a natural anner, three nuerical indicators related to a central-by-finite group. First, [G : Z(G)], the index of the center, second, a(g), the iniu nuber of abelian subgroups necessary to cover the group G in an irredundant way, and finally, ω(g), the size of the biggest coplete subgraph of Γ(G), that is, the size of the biggest clique of Γ(G). It is interesting, then, to relate those three quantities, finding bounds of one in function of the other and also deterining conditions under which equalities hold. In general, for a central-by-finite group G we have that ω(g) a(g) [G : Z(G)] c ω(g), where c is a constant. Besides that, when G is finite, it is natural to relate the indicators [G : Z(G)], a(g) e ω(g) not only with each other, but also with the order of G. Therefore, in this essay we are going to study the two characterizations entioned above, relate the three nuerical indicators ω(g), a(g) and [G : Z(G)], and present any exaples, aong the, the class of extraspecial p-groups of order p 2n+. Keywords: Central-By-Finite Groups, PE-groups, Covering of Groups, Non-Couting Graph. ii

10 Introdução Seja G u grupo arbitrário, denotaos por Z(G) o centro de G. Ua fora de edir quão "longe" u grupo é de ser abeliano é dada achando o índice [G : Z(G)] de Z(G) e G, já que G é abeliano se, e soente se [G : Z(G)] =. Dizeos que G é u grupo central-por-finito se o índice do centro [G : Z(G)] é finito. U resultado be conhecido devido a R. Baer [24] caracteriza os grupos central-por-finito coo grupos que adite ua cobertura finita por subgrupos abelianos, isto é, grupos que pode ser vistos coo a união de u núero finito de subgrupos abelianos. Ua das iplicações desse resultado é óbvia, pois se G é central-por-finito, podeos escolher u transversal T = {t,..., t n } para Z(G) sobre G e considerando os subgrupos A i = (Z(G), t i ), teos que G pode ser visto coo a união de n subgrupos abelianos A i. A outra iplicação do teorea de Baer é enos óbvia e segue de u resultado de B. H. Neuann [9], que trata de coberturas finitas de u G por classes laterais de subgrupos e garante que dada qualquer cobertura de u grupo G por u núero finito de classes laterais de subgrupos H i, sepre é possível retirar as classes laterais dos respectivos subgrupos de índice infinito se perder a propriedade de cobertura de G. Essa observação aplicada ao nosso caso, garante que dada ua cobertura finita de G por subgrupos abelianos, sepre podeos excluir da esa subgrupos de índice infinito, se, por isso, perder a propriedade de cobertura de G. Sabendo disso, é siples achar u subgrupo central de índice finito e G. E vista dessa caracterização, dado G u grupo central-por-finito, é natural considerar o conceito de cobertura irredundante de G por subgrupos abelianos e definir o núero a(g) coo o taanho da enor cobertura irredundante de G por abelianos. E particular, surge a questão: dado G u grupo central-por-finito, que relação existe entre o índice do centro n = [G : Z(G)] e a(g)? De fato, B. H. Neuann e [9] observa que se o índice do centro de G é n, então a(g) n e que a igualdade vale se, e soente se n =. É possível tabé encontrar ua cota superior para n dependendo apenas de a(g), poré a prova é ais técnica. De fato é possível estudar u problea ais geral, ou seja, considerar ua cobertura finita de G por classes laterais de subgrupos. U caso particular dessas coberturas é justaente ua cobertura dada por subgrupos e quando nos reduzios a esse caso, adicionando alguas condições sobre as interseções dos subgrupos da cobertura acha- se ua cota do tipo n c 2a(G), onde c é ua constante. iii

11 INTRODUÇÃO iv Outra fora de olhar quando u grupo é "distante" de ser abeliano é considerando a relação de coutatividade entre pares de eleentos e G. De fato, G será abeliano se, e soente se para todo par x e y de eleentos de G, teos que x e y couta. Portanto, se u grupo é abeliano e quereos achar u conjunto (não unitário) de eleentos distintos que não couta dois a dois, não achaos tal conjunto. Agora, considerando u grupo nãoabeliano, sepre teos subconjuntos de eleentos distintos que não couta dois a dois e o aior taanho desse subconjunto e G (quando for possível definir) dará inforações sobre o quão "longe" de ser abeliano é o grupo. Notaos que existe ua aneira uito intuitiva de representar esses conceitos, associando a G u grafo. Dado G u grupo, há várias aneiras de associar a G u grafo. Chaaos de grafo não-coutativo de G, denotado por Γ(G), o grafo não-direcionado cujo conjunto de vértices é o conjunto de eleentos de G e dois vértices x e y são ligados por ua aresta se, e soente se [x, y] *, isto é, se e soente se x e y não couta coo eleentos de G. E geral, dado Γ u grafo e V seu conjunto de vértices, u subconjunto X de V é dito u clique de Γ se o subgrafo induzido por X é copleto, e outras palavras, se todos vértices de X estão conectados dois a dois por ua aresta. Considerando o grafo não-coutativo Γ(G), u clique dele corresponde a u subconjunto de G cujos eleentos não couta dois a dois. Paul Erdős, e 975, propôs o seguinte problea: Seja G u grupo tal que Γ(G) não conté nenhu subgrafo infinito copleto; existe ua cota superior finita para a cardinalidade de u subgrafo copleto de Γ(G)? Chaareos os grupos cujo grafo Γ(G) não te cliques infinitos de grupos de Paul Erdős, ou soente PE-grupos. B. H. Neuann [8] respondeu a essa questão afirativa- ente, isto é, para G u PE-grupo, existe cota superior finita para a cardinalidade de u clique de Γ(G). O interessante é que B. H. Neuann não soente ostra a existência de ua cota, as de fato tabé prova que a classe dos PE-grupos coincide exataente co a classe dos grupos central-por-finito. Lebraos que u grupo cujas classes de conjugação são todas finitas é chaado u FC-grupo. A ideia principal de Neuann foi ostrar que tanto PE-grupos quanto grupos central-por-finito são FC-grupos e logo ver que se G é u FC-grupo as não é central-por-finito, então ele não pode ser u PE-grupo. Dessa fora, veos que se G é u PE-grupo, então G é central-por-finito. A recíproca ve de ua observação ais eleentar: se G é central-por-finito e seu centro te índice n, então dados quaisquer n + eleentos de G, pelos enos dois deles estão na esa classe lateral de Z(G) e portanto couta. E vista da caracterização provada por Neuann é natural definir para u PE-grupo a quantidade ω(g), a cardinalidade do aior clique de Γ(G). E particular, segue que se n > é o índice do centro, então ω(g) n. Agora, dado G u grupo central-por-finito, coo ele é u PE-grupo, ua questão inte- ressante é perguntar se é possível obter ua cota para n = [G : Z(G)] e função de ω(g).

12 INTRODUÇÃO v E [22], L. Pyber ostrou que se G é u grupo tal que ω(g) é finito (de fato, ele é u PEgrupo), então existe ua constante c tal que n c ω(g). A ideia principal dessa deonstração foi reduzir o problea ao estudo de p-grupos de classe de nilpotência 2. De fato, Pyber encontra u subgrupo C tal que C ::: Z(C), de classe no áxio 2 e G e logo, usando a cadeia de subgrupos Z(G) ::: Z(C) ::: C ::: G acha a cota desejada para o índice de Z(G). Das duas caracterizações citadas acia, segue que sepre teos três indicadores nuéricos relacionados a u grupo G central-por-finito, n, o índice do centro, a(g), o taanho da enor cobertura irredundante finita de G por subgrupos abelianos e ω(g), a cardinalidade do aior clique de Γ(G). Da esa fora coo já foi observada a relação entre n e ω(g) e entre n e a(g), é tabé natural relacionar ω(g) co a(g). E [3], E. A. Bertra observa que coo dois eleentos de u clique de Γ(G) não couta, eles nunca pode pertencer a u eso subgrupo abeliano e ua cobertura finita de G. Assi, ω(g) a(g). Conside- rando essa cota superior, é interessante nos perguntaros quando teos a igualdade. Ua condição suficiente para que ω(g) = a(g) é pedir que todos os centralizadores dos eleentos não centrais de G seja abelianos. Co esse resultado é fácil verificar, por exeplo, que grupos não abelianos de orde pq co p e q prios, p < q e q (odp) sãos tais que ω(g) = a(g), assi coo os grupos extraespeciais de orde p 3, para p 2. Por outro lado, e [3] Bertra apresenta ua elegante prova devida a I. M. Isaacs da existência de ua função onótona f tal que a(g) f (ω(g)), o que nos dá ua cota superior para a(g) e função de ω(g) do tipo a(g) (ω(g)!) 2. Resuindo, se G é u grupo central-por-finito, e geral teos que ω(g) a(g) [G : Z(G)] c ω(g), para algua constante c. Notaos coo as várias caracterizações dos grupos central-por-finito nos leva a re- lacionar entre si a quantidade ω(g), associada ais às características do grafo Γ(G), e os indicadores a(g) e [G : Z(G)], ais explicitaente associados aos aspectos puraente estruturais do grupo G. De qualquer fora as estreitas relações entre essas quantidades são naturais, já que todas elas nos dão inforações sobre as relações de coutatividade entre os eleentos de G e, e algu sentido, todos ede quanto u grupo não-abeliano G está "longe" de ser abeliano. Coo foi encionado, u grupo G central-por-finito é sepre u FC-grupo e portanto faz sentido definir k(g) coo a aior cardinalidade de ua classe de conjugação e G. Vereos tabé que k(g) te ua relação estreita co os deais indicadores e te u papel iportante na obtenção de alguas das cotas. Agora restringindo nossa atenção a u grupo finito G, surge naturalente a questão de relacionar os três indicadores ω(g), a(g) e [G : Z(G)] não soente entre eles, as tabé co a cardinalidade de G. Alé da óbvia relação entre G e o índice do centro de G, quereos destacar que e [6], D. R. Mason provou que para u grupo de orde finita existe u inteiro k G /2 + e subgrupos abelianos A,..., A k que fora ua cobertura irredundante de G. Assi, e particular teos que a(g) [ G /2] +. Ao que diz respeito a relação entre ω(g) e a cardinalidade de G, e [3] Bertra ostra, usando tabé u arguento de Teoria de Grafos, que se G é u grupo finito contendo u subgrupo próprio

13 INTRODUÇÃO vi M tal que para qualquer eleento não trivial x de M teos C G (x) ::: M, então ω(g) [ G /3 ], onde [r] é o aior inteiro enor ou igual a r. E particular, desse resultado segue que se G é u grupo finito não-abeliano, p é u prio que divide a orde de G e existe x e G tal que C G (x) te orde p, então ω(g) [ G /3 ]. Analisareos os 2-grupos extraespeciais de orde 2 2a+. Para esses grupos, u resultado devido a I. M. Isaacs diz que a(g) 2 a + e ω(g) = 2a +. Alé disso, vereos que p- grupos extraespeciais de taanho 2 2a+ e a > 2 nunca satisfaze ω(g) = a(g). E conclusão, essa dissertação te coo objetivo caracterizar e analisar grupos central- por-finito, relacionando os três indicadores nuéricos ω(g), a(g) e [G : Z(G)] apresentados acia. O trabalho está dividido e cinco capítulos e u apêndice. No Capítulo, ireos lebrar alguns resultados e definições básicas de Teoria de Grupos que serão utilizados ao longo da dissertação. No Capítulo 2, vaos apresentar alguas definições de Teoria de Grafos, be coo alguas observações e resultados sobre grafos não-coutativos e ua versão infinita do teorea de Rasey. No Capítulo 3, apresentareos os resultados de Baer e Neuann caracterizando das duas aneiras já citadas grupos central-por-finito. No Capítulo 4 analisareos as relações entre os indicadores quantitativos, ω(g), a(g) e [G : Z(G)], associados a u grupo central-por-finito. No Capítulo 5 vaos considerar a faília dos grupos extraespeciais e analisar os indicadores ω(g), a(g) e [G : Z(G)] neste caso específico. Finalente, no Apêndice vaos definir ua função para o prograa GAP utilizada para construir o grafo não-coutativo de u grupo finito G e tabé ireos apresentar alguns detalhes técnicos de alguas deonstrações "analíticas" utilizadas nessa dissertação.

14 Capítulo Preliinares O capítulo a seguir te coo objetivo apresentar definições e resultados a respeito de Teoria de Grupos que serão utilizados ao longo deste trabalho. Assuireos os Teoreas de Isoorfiso e o Teorea de Lagrange. Utilizaos coo referências principais os livros de I. M. Isaacs, [8] e de D. Robinson [23]. Dado u grupo G, denotaos u subgrupo H de G por H ::: G. U subgrupo próprio M de G é dito axial se sepre que M está contido e H, para H u subgrupo, ou M = H ou G = H. Definios então o subgrupo de Frattini, denotado por Φ(G), coo a interseção de todos os subgrupos axiais de G. Se G não te subgrupos axiais, então definios Φ(G) = G. Dado H u subgrupo de G, podeos definir ua relação de equivalência nos eleentos de G da seguinte aneira: x y xy H. Assi, as classes de equivalência dessa relação são chaadas de classes laterais de H e G. Se escolheros u único eleento de cada classe lateral distinta, tereos u subconjunto T de G chaado transversal de H e G. Podeos definir as classes laterais à direita ou a esquerda, isto é, {Ha a G} ou {ah a G}. O núero de classes laterais à direita é eso que o núero de classes laterais à esquerda e é chaado de índice de H e G. Denotareos por [G : H] o núero de classes laterais. U subgrupo N de G é dito noral se gn = Ng, para todo G e g e é denotado por N ::: G. Definios centro de G por Z(G) = {x G xg = gx, g G} e teos que Z(G) é u subgrupo noral de G. Se K ::: H ::: G, então [G : K] = [G : H][H : K]. Vaos lebrar alguns resultados sobre índices de subgrupos.

15 . PRELIMINARES 2 Proposição.0.. Seja H, K ::: G. Então [G : H K] [G : H][G : K]. Deonstração. Denotareos o conjunto de classes laterais à esquerda de u subgrupo D ::: G por {ad}. Note que H, K ::: G, então H K tabé é u subgrupo de G. Considere a função ϕ : {a(h K)} {ah} {ak} tal que ϕ(a(h K)) = (ah, ak). Vaos ostrar que ϕ está be definida. De fato, dados a(h K) e b(h K) e {a(h K)} teos que ab está e H K, isto é, ab está e H e ab está e H. Assi, por definição, ah = bh e ak = bk, logo ϕ(a(h K)) = (ah, ak) = (bh, bk) = ϕ(b(h K)). Portanto ϕ está be definida. Agora basta ostrar que ϕ é injetiva. Se ϕ(a(h K)) = ϕ(b(h K)), teos que (ah, ak) = (bh, bk), e assi ah = bh e ak = bk. Logo, ab está e H K, então a(h K) = b(h K), e portanto ϕ é injetiva. Assi, teos o resultado. D Da esa fora teos que se A,... A n são subgrupos de G, [G : n A ] [G : A ] [G : A ]. (.0.) i n Proposição.0.2. Seja G u grupo e H e K subgrupos de G. Se H e K tê índice finito e G e [G : H K] = [G : H][G : K], então G = HK. Deonstração. Prieiro teos que [G : H K] = [G : H][H : H K] = [G : H][HK : K]. Logo, se [G : H K] = [G : H][G : K], então [G : K] = [HK : K]. Mas tabé teos que [G : K] = [G : HK][HK : K] = [G : HK][G : K], logo [G : HK] =, isto é, G = HK. D Dado X subconjunto de G, dizeos que G é gerado por X se sepre que g pertence a G, podeos escrever g = c c n tais que c i está e X ou c i está e X. Nesse caso, denotaos G = (X). Se X é finito, dizeos que G é finitaente gerado. Proposição.0.3. Seja H u subgrupo próprio de u grupo G tal que o índice [G : H] é finito e seja p o enor divisor de [G : H]. Então existe u inteiro positivo log p [G : H] e eleentos x,, x e G tais que G = (x,, x, H). Deonstração. Definios H 0 = H e para j, definios H j = (x j, H j ) para x j algu eleento escolhido e G \ H j enquanto H j < G. Coo [G : H] é finito, teos que existe u tal que H = G. Dessa aneira, construíos a série de subgrupos H = H 0 < H < < H = G. Agora teos que [H j : H j ] divide o índice de [G : H] e coo o enor prio que divide [G : H] é p, teos que [H j : H j ] p. Assi, Logo, teos que log p [G : H]. [G : H] = [H : H ] [H : H 0 ] p. Para copletar a nossa deonstração, notaos que G = H = (x, H ) = = (x,, x, H), coo queríaos. D

16 . PRELIMINARES 3 Agora, o enor prio p que divide a orde de [G : H] satisfaz 2 p, então a Proposição.0.3 para p = 2 vale para qualquer subgrupo próprio de índice finito de G. A orde de u grupo é definida coo a cardinalidade desse grupo. Seja g u eleento de G. A orde de g, denotada por o(g) é definida coo o(g) = n, se n é o enor núero inteiro não negativo tal que x n =, e o(g) = caso contrário. Definios o expoente de u grupo, denotado por exp(g), o enor inteiro positivo tal que x = para todo x e G, quando esse inteiro existe. Caso contrário definios exp(g) =. A deonstração do próxio resultado pode ser encontrada e [23,.6.7] Proposição.0.4 (Teorea de Cauchy). Se p é u prio que divide a orde de u grupo finito G, então G conté u eleento de orde p. Agora vaos definir e apresentar alguas propriedades de coutadores. Dados x e y e G, o coutador de x e y, denotado por [x, y], é definido por [x, y] = x y xy. Dizeos que x é igual o conjugado de y por u quando x = u yu e denotareos u yu = y u. Teos tabé que (g ) u = u g u e g u u g u = então, (g ) u = (g u ). (.0.2) Teos que x e y couta se, e soente se, [x, y] =. Teos tabé que se x couta co y, xy = yx, então yx = x y, portanto x couta co y. Proposição.0.5. Seja G u grupo e x, y e z eleentos quaisquer de G, teos que: i) [x, y] = [y, x] ; ii) [xy, z] = [x, z] y [y, z]; iii) [x, yz] = [x, z][x, y] z. As igualdades acias são siples de verificar. A seguir vaos definir o conceito de ação de u grupo G e u conjunto não vazio X para apresentar a Equação das Classes. Definição.0.6. Seja G u grupo e X u conjunto. Dizeos que G age e X se existe ua função G X X definida por (g, x) x g, onde x g é u eleento de X definido unicaente, e se alé disso as seguintes igualdades vale: (i) x = x, para x e X; (ii) x gh = (x g ) h, para x e X e g, h e G. Dada ua ação de G e u conjunto X, é possível definir o estabilizador de u eleento e X, u subgrupo de G definido por Stab G (x) = {g G x g = x}. Podeos tabé definir subconjuntos de X, chaados órbitas de u eleento x e X, que fora ua partição de X, da seguinte aneira, Orb G (x) = {x g g G}.

17 . PRELIMINARES 4 Por exeplo, podeos considerar a ação de G e G por conjugação, isto é, se x e g estão e G, definios x g = x gx. Neste caso, Stab G (x) = C G (x) e Orb G (x) = Cl(x), a classe de conjugação de x. A partir dessas definições, podeos apresentar o seguinte resultado que pode ser encontrado e [8, 4.0 Corollary]: Teorea.0.7 (Equação das Classes). Seja G u grupo e Cl(x) a classe de conjugação de x. Então, para x e G teos que [G : C G (x)] = Cl(x). Seja p u prio. Dizeos que G é u p-grupo se a orde de G é p b, para b u inteiro não negativo. Seja G u grupo qualquer, se H é u subgrupo de G e ao eso tepo é u p-grupo, então dizeos que H é u p-subgrupo de G. Agora se G = p α e p não divide, dizeos que P é u p-subgrupo de Sylow se P é u subgrupo de G de orde p α. A seguir lebraos u dos resultados ais iportantes sobre subgrupos de Sylow de u grupo finito. Os detalhes da deonstração pode ser encontrados e [23,.6.6] Teorea.0.8 (Teorea de Sylow). Seja G u grupo finito e p u núero prio. Se G = p α tal que p não divide, então: (i) Todo p-subgrupo de G está contido e algu p-subgrupo de Sylow. E particular, p-subgrupos de Sylow sepre existe; (ii) Se n p é o núero de p-subgrupos de Sylow e G, então n p (od p); (iii) Todos os p-subgrupos de Sylow são conjugados e G.

18 Capítulo 2 Grafos O objetivo deste capítulo é explanar alguas noções básicas sobre Teoria de Grafos. Coo principal referência deste capítulo usareos o livro Graph theory with applications [4] de J. A. Bondy e U. S. R. Murty. Apresentareos tabé resultados relacionados ao grafo não-coutativo de u grupo, be coo ua versão do Teorea de Rasey. 2. Definiçõ es e resultados básicos Intuitivaente, u grafo é pensado coo u diagraa que conté u conjunto de pontos e u conjunto de linhas que liga alguns desses pontos. Apresentareos a definição foral de grafo abaixo, poré podeos visualizá-lo coo u diagraa forado por pontos e linhas, coo descrito acia, de fora que a parte relevante será definir quando dois pontos são ligados. Definição 2... U grafo não direcionado Γ é u trio ordenado {V(Γ), E(Γ), ψ Γ } que consiste de u conjunto não vazio V(Γ), cujos eleentos são chaados de vértices, u conjunto E(Γ) disjunto de V(Γ), cujos eleentos são chaados de arestas e ua função ψ Γ, chaada função de incidência, que associa cada aresta de Γ, isto é, cada eleento de E(Γ), a u par não ordenado de vértices (não necessariaente distintos) de Γ. Se e é ua aresta e u e v é o par de vértices tal que ψ Γ (e) = (u, v) então dizeos que e liga u e v ou, de fora equivalente, que u e v são as extreidades de e. Note que, eso utilizando o síbolo (u, v) para representar ua aresta ligando u e v, este par não é ordenado. Todos os grafos aqui considerados serão grafos não direcionados, por isso nos referireos a eles siplesente coo grafos. Definição U grafo Γ é dito subgrafo de u grafo Γ, denotado por Γ Γ, se V(Γ ) V(Γ), E(Γ ) E(Γ) e ψ Γ é a restrição de ψ Γ a E(Γ ). Dizeos que dois subgrafos são disjuntos se eles não te vértices e cou. Exeplo Considere V(Γ) = {v, v 2, v 3, v 4, v 5 } e E(Γ) = {e, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } co a seguinte função de incidência: ψ Γ (e ) = (v, v 2 ), ψ Γ (e 2 ) = (v 2, v 3 ), ψ Γ (e 3 ) = (v 3, v 3 ), ψ Γ (e 4 ) = (v 3, v 4 ), 5

19 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS BÁSICOS 6 ψ Γ (e 5 ) = (v 2, v 4 ), ψ Γ (e 6 ) = (v 4, v 5 ), ψ Γ (e 7 ) = (v 2, v 5 ), ψ Γ (e 8 ) = (v 2, v 5 ). Coo encionaos anteriorente, podeos representar as arestas e i por linhas e os vértices v i por pontos. Tais pontos (vértices) são ligados por ua linha (aresta) de acordo co a função de incidência ψ Γ. Por exeplo, ψ Γ (e ) = (v, v 2 ) significa que teos dois pontos (vértices), v e v 2, que deve ser ligados pela linha (aresta) e. Podeos então representar esse grafo da seguinte aneira: Figura 2... Exeplo de grafo Γ Definição As extreidades de ua aresta são ditas incidentes à aresta e a aresta é dita incidente às suas extreidades. Dois vértices incidentes à esa aresta são chaados adjacentes be coo duas arestas incidentes ao eso vértice. Ua aresta co extreidades iguais é chaada de laço e co extreidades distintas é chaada de link. Para ilustrar a definição acia, volteos a Figura 2... Os vértices v 3 e v 2 são incidentes à aresta e 2 (portanto v 3 e v 2 são adjacentes) e a aresta e 2 por sua vez, é incidente aos vértices v 3 e v 2. As arestas e, e 2, e 5, e 7 e e 8 são adjacentes duas a duas, pois são incidentes ao eso vértice cou v 2. Coo a aresta e 3 te extreidades iguais a v 3, e 3 é u laço e e 2, por sua vez, é u exeplo de link. Existe várias aneiras de associar u grafo a u grupo. Neste trabalho utilizareos o grafo não-coutativo associado a u grupo G, que pode ser definido coo segue: Definição Dado u grupo G, definios o grafo não-coutativo de G, denotado por Γ(G), coo o grafo cujo conjunto de vértices é forado pelos eleentos de G \ Z(G),

20 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS BÁSICOS 7 isto é, V(Γ(G)) = G \ Z(G), e cuja relação entre as arestas é: dados g e h e V(Γ(G)), eles estão conectados por ua aresta de Γ(G) se, e soente se [g, h] * isto é, se g e h não couta coo eleentos de G. Podeos definir esse grafo utilizando coo conjunto de vértices todos os eleentos de G, isto é, incluindo tabé os eleentos do centro, coo é feito no artigo de B. H. Neuann [8]. Desta fora, eleentos de Z(G), coo couta co todos os eleentos de G, não estarão ligados co nenhu vértice por ua aresta, portanto tais vértices serão representados por pontos soltos no grafo Γ(G). Utilizando os prograas GAP [7] para calcular as arestas e Wolfra Matheatica 0. [7] para plotar o grafo não-coutativo, coo pode ser visto no Apêndice 6, podeos construir grafos não-coutativos de alguns grupos finitos de ordens não uito grandes. Por exeplo, considere o grupo diedral de orde 6: D 6 = (ρ, τ τ 2 = ρ 3 =, ρ τ = ρ ). Seu grafo não-coutativo pode ser representado pelo grafo abaixo, co 5 vértices, pois Z(D 6 ) = {}. Observaos, por exeplo, que ρ e ρ 2 não são ligados por ua aresta pois [ρ, ρ 2 ] = enquanto ρ e ρτ estão, pois [ρ, ρτ] = ρ *. Figura Grafo não-coutativo de D 6 Definição U grafo é chaado planar se adite ua representação no plano na qual linhas (arestas) diferentes apenas se intersecta nos extreos, no caso das arestas sere incidentes a u vértice e cou, e não se intersecta, no caso de não sere incidentes a nenhu vértice e cou. Dado u grafo planar, deve existir ua representação tal que as arestas não se intersecta fora das extreidades. Coo há várias aneiras de representar u grafo, pode haver

21 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS BÁSICOS 8 ua e que as arestas se intersecta fora das extreidades, eso o grafo sendo planar. Vaos ostrar u exeplo e que isso acontece. Considere o grupo diedral de orde 8: D 8 = (ρ, τ τ 2 = ρ 4 =, ρ τ = ρ ) Podeos representar o grafo não-coutativo de D 8 coo na Figura 2..3, u grafo co 6 vértices, pois Z(D 8 ) = {, ρ 2 }. Observaos que os eleentos que não são ligados por ua aresta, coo ρ 2 τ e τ, couta coo eleentos de D 8. Nessa representação, há arestas que se intersecta fora de suas extreidades, as não necessariaente excluíos a opção desse grafo ser planar. Figura Grafo não-coutativo de D 8 A seguir, teos ua outra fora de representar o eso grafo: Figura Grafo não-coutativo de D 8 - Planar

22 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS BÁSICOS 9 Na Figura 2..4, as arestas não se intersecta fora das suas extreidades, portanto podeos perceber que o grafo Γ(D 8 ) é planar. Notaos que é possível caracterizar os grafos não coutativos planares e voltareos a esse arguento ais tarde. Definição U grafo Γ é dito finito se seu conjunto de vértices V(Γ) e seu conjunto de arestas E(Γ) são finitos e é dito infinito caso contrário. U grafo Γ é dito siples se ele não te nenhu laço e se dadas duas arestas distintas e i * e j, teos que ψ Γ (e i ) * ψ Γ (e j ), ou seja, arestas distintas não tê as duas extreidades iguais. Nesta seção, ireos considerar apenas grafos finitos a enos que se diga o contrário. De fato, fazeos esta restrição para trabalhar u pouco ais co a relação entre o núero de vértices e o núero de arestas de u grafo, be coo a relação de incidência entre vértices e arestas. Desta fora, para facilitar a notação, denotareos por v(γ) o núero de vértices e por ε(γ) o núero de arestas de u grafo. Ua observação iportante sobre grafos não-coutativos é a seguinte. Note que, dado G u grupo, seu grafo não-coutativo sepre é u grafo siples, visto que [x, x] = para todo x e G, portanto não há laços, e há apenas ua fora de ligar u vértice a outro por ua aresta pela fora pela qual o grafo é definido. Dois grafos Γ e Γ 2 são iguais (Γ = Γ 2 ), se V(Γ ) = V(Γ 2 ), E(Γ ) = (Γ 2 ) e ψ Γ = ψ Γ2. Portanto, dois grafos iguais pode ser representados pelo eso diagraa co os esos conjuntos de vértices e arestas (inclusive noeados da esa aneira) e co a esa função de incidência. Por outro lado, é possível que dois grafos não seja iguais, as tenha a esa estrutura a enos do noe dos vértices e arestas. Nesse caso, os dois grafos não são iguais, as são chaados de isoorfos. Definição Dois grafos Γ e Γ 2 são ditos isoorfos, denotado por Γ - Γ 2, se existe bijeções θ : V(Γ ) V(Γ 2 ) e φ : E(Γ ) E(Γ 2 ) tais que ψ Γ (e) = (u, v) se, e soente se ψ Γ2 (φ(e)) = (θ(u), θ(v)). O par (θ, φ) é chaado de isoorfiso entre Γ e Γ 2. Teos que a relação de isoorfiso entre grafos é ua relação de equivalência. De fato, dado Γ u grafo, podeos definir θ e φ coo a função identidade e assi Γ é isoorfo a Γ e portanto teos reflexividade. A relação é siétrica, pois sepre que Γ e Γ 2 são isoorfos, se toaros as funções inversas das bijeções θ e φ, que tabé serão bijeções, tereos que Γ 2 e Γ são isoorfos. Agora, se Γ e Γ 2 são isoorfos co bijeções θ e φ e se Γ 2 e Γ 3 são isoorfos co bijeções θ 2 e φ 2, para ver que Γ e Γ 3 são isoorfos, basta toar coo as novas duas bijeções a coposta de θ e θ 2 e a coposta de φ e φ 2. Definição U grafo siples é dito copleto se, dado qualquer par de vértices, há sepre ua aresta ligando u ao outro. Para introduzir u conceito relacionado co grafos copletos, precisaos da definição de u subgrafo induzido por u subconjunto de vértices.

23 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS BÁSICOS 0 Definição Dado Γ u grafo. Denotaos V(Γ) = V e seja V u subconjunto de V não vazio. Definios Γ[V ], o subgrafo induzido por V, coo o subgrafo de Γ cujo conjunto de vértices é V e cujo conjunto de arestas é forado pelas arestas de Γ que tê abas extreidades e V. Definição 2... Dado Γ u grafo siples, u subconjunto S de V(Γ) é dito u cli- que de Γ se Γ[S ] é copleto. Definios o taanho do clique S coo a cardinalidade do subconjunto S. Portanto, podeos definir ω(γ) coo o taanho do aior clique de Γ. Definição Dado Γ u grafo, u subconjunto I de V(Γ) é dito u conjunto independente de vértices de Γ se, dados quaisquer v i e v j e I, teos que v i e v j não são adjacentes, isto é, não estão conectados por ua aresta. Definição Seja Γ u grafo. O copleentar de Γ é u grafo Γ co o eso conjunto de vértices de Γ, isto é, V(Γ) = V(Γ ), e tal que x e y estão conectados por ua aresta e Γ se, e soente se x e y não estão conectados por ua aresta e Γ. E particular, u clique e Γ corresponde a u conjunto independente e Γ e vice versa. Dado G u grupo, é possível definir o grafo coutativo associado a G, que é exataente o grafo copleentar a Γ(G). Assi, cliques no grafo não-coutativo de G equivale a conjuntos independentes no grafo coutativo de G. Utilizareos u exeplo para esclarecer alguas das definições dadas acia. Nova- ente, considere o grafo não-coutativo de D 8 ostrado na Figura 2..3, considere V(Γ(D 8 )) = V, Γ(D 8 ) = Γ, V = {τ, ρ 3 τ, ρ 3 } e V = {ρ 2 τ, ρτ, ρ} Figura Grafo não-coutativo de D 8, destacando subgrafos induzidos por V ev Coo ostrado na Figura 2..5, o subgrafo e verelho à direita é o subgrafo induzido por V, Γ[V ] e qualquer ua de suas arestas te abas extreidades e V. Notaos

24 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS BÁSICOS tabé que este subgrafo, e particular, é u subgrafo copleto pois, prieiro, Γ[V ] é u subgrafo de u grafo siples, portanto tabé é siples, e segundo, {ρ 3, τ}, {τ, ρ 3 τ} e {ρ 3 τ, ρ 3 } são arestas de Γ[V ], assi qualquer par de vértices e V está ligado por ua aresta. Da esa aneira podeos construir o subgrafo Γ[V ], que é representado pelo subgrafo e verelho à esquerda na Figura Coo V V =, teos que Γ[V ] e Γ[V ] são subgrafos disjuntos de Γ. Teos ainda que Γ[V ] e Γ[V ] são isoorfos. Seja Defina então (θ, φ) da seguinte fora ψ(e ) = (ρ 3, ρ 3 τ), ψ(e 2 ) = (τ, ρ 3 τ), ψ(e 3 ) = (τ, ρ 3 ) ψ(e 4 ) = (ρ, ρ 2 τ), ψ(e 5 ) = (ρτ, ρ 2 τ), ψ(e 6 ) = (ρτ, ρ). θ(ρ 3 ) = ρ 2 τ, θ(ρ 3 τ) = ρτ, θ(τ) = ρ φ(e ) = e 5, φ(e 2 ) = e 6, φ(e 3 ) = e 4. Assi, teos o isoorfiso entro os dois subgrafos Γ[V ] e Γ[V ]. Por exeplo, ψ(e ) = (ρ 3, ρ 3 τ) e ψ(φ(e )) = ψ(e 5 ) = (ρτ, ρ 2 τ) = (θ(ρ 3 τ), θ(ρ 3 )). Tabé teos que dados quatro vértices distintos de Γ, pelo enos dois deles couta, isto é, pelo enos dois deles não estão ligados por ua aresta. Podeos ver isso notando que [τ, ρ 2 τ] = [ρ, ρ 3 ] = [ρτ, ρ 3 τ] =, ou seja, dados quatro eleentos de G \ Z(G), no caso extreo e que três eleentos desta lista não coutare, o quarto coutará co pelo enos u dos outros três pela identidade anterior. Portanto, o taanho áxio de u clique e Γ é 3, então ω(γ) = 3. Definição Seja Γ u grafo e v V(Γ). i) Definios o grau de u vértice v, denotado por d Γ (v), coo o núero de arestas de Γ que são incidentes a v. Note que quando há u laço, tal aresta conta coo duas incidências para a contage de d Γ (v). ii) U grafo Γ é dito k-regular se d Γ (v) = k, para todo v e V(Γ). U grafo é dito regular se é k-regular para algu k inteiro não negativo. Notaos, por exeplo, na Figura 2.., que d Γ (v 3 ) = 4. Denotareos por δ(γ) o grau ínio entre os graus dos vértices de Γ e por (Γ) o grau áxio entre os graus dos vértices de Γ. No grafo não-coutativo de D 8 da Figura 2..6, destacaos as arestas incidentes à ρ e verelho. Dessa aneira, teos que d Γ(D8)(ρ) = 4. Observaos tabé que qualquer vértice v de Γ(D 8 ) é tal que d Γ(D8)(v) = 4, portanto Γ(D 8 ) é u grafo 4-regular.

25 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS BÁSICOS 2 Figura Grafo não-coutativo de D 8 Definição Dado Γ u grafo, definios M = ( i j ), a atriz de incidência associada a Γ, coo: i j = 0, se v i não é extreidade de e j ;, se v i é extreidade de e j, as e j não é u laço; 2, se v i é extreidade de e j e e j é u laço. co v i e V(Γ), e j e E(Γ), i v(γ) e j ǫ(γ). O próxio resultado te coo objetivo relacionar o núero de arestas ǫ(γ) de u grafo Γ co os graus de cada vértice. Teorea Seja Γ u grafo. Denote V(Γ) = V e d Γ (v) = d(v) para todo v e V. Teos que d(v) = 2ǫ(Γ). (2..) v V Deonstração. Seja M = ( i j ) a atriz de incidência de Γ. Teos que, fixando v i, a soa das entradas da linha i é precisaente d(v i ), pois cada ua dessas entradas indica a incidência de v i co cada ua das arestas de Γ. Portanto, L v V d(v) é exataente a soa de todas as entradas de M. Por outro lado, se fixaros ua aresta, ela te sepre duas extreidades (distintas ou não), ou seja, cada aresta é contada duas vezes, ua coo incidência da prieira extreidade e outra coo incidência da segunda. Portanto soando todas as entradas de M, soaos todos os núeros de incidência, e o resultado é igual a duas vezes L o núero de arestas. Portanto v V d(v) = 2ǫ(Γ). D Corolário Dado Γ u grafo, o núero de vértices de grau ípar é par.

26 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS BÁSICOS 3 Deonstração. Seja V e V 2 os subconjuntos de vértices de grau ípar e par de Γ, respectivaente. Coo V V 2 = V, teos d(v) = d(v) + d(v) (2..2) v V v V v V 2 Note que L v V d(v) é u núero par, pela identidade e (2..). Teos que L v V 2 d(v) tabé é par, pois é a soa dos graus do vértices de grau par, portanto a soa de núero pares. Portanto, por (2..2), L v V 2 d(v) tabé é u núero par. Por outro lado, L v V 2 d(v) é a soa de núeros ípares pela definição de V 2. Para a soa de núeros ípares ser par, a quantidade de teros na soatória deve ser par, portanto a cardinalidade de V 2 é par. D Agora apresentareos u conceito que divide os vértices de u grafo e classes de equivalência e que, por consequência, divide o grafo e coponentes. As inforações sobre essas coponentes são suficientes para dizer se, dados dois vértices de u grafo, é possível fazer u cainho alternando arestas e vértices, que parte do prieiro vértice e chega ao segundo. Definição Ua sequência w = v 0 e...e k v k finita e não vazia de teros que alterna entre vértices e arestas (e tal que v i e v i são extreidades de e i para i k) é chaada de cainho e Γ se as arestas {e,..., e k } e os vértices {v 0,..., v k } são distintos. Chaareos de (v 0, v k )-cainho o cainho w = v 0 e...e k v k definido acia. O copriento de u cainho é definido pela quantidade de arestas e w, isto é, k. Se w = v 0 e...e k v k é u cainho e v k, v 0 são ligados por ua aresta e k+, então w = v 0 e...e k v k e k+ v 0 é chaado ciclo. Definição Seja Γ u grafo. Dois vértices u e v são ditos conectados se existe u cainho que liga u e v, chaado de (u, v)-cainho. Se u e v estão conectados, o taanho do enor (u, v)-cainho é chaado de distância entre u e v, e é denotado por d(u, v). Denotareos por dia(γ) = ax d(u, v) o diâetro de u grafo. u,v V(Γ) Notaos que a propriedade de ser conectado é ua relação de equivalência nos vértices de u grafo. Portanto, existe ua partição de V e conjuntos não vazios V,..., V n tal que dois vértices são conectados se, e soente se, eles pertence ao eso conjunto V i. Definição Os subgrafos Γ[V ],..., Γ[V n ] induzidos por V,..., V n são chaados de coponentes de Γ. Se Γ te exataente ua coponente, Γ é dito conectado. Na Figura 2..7, representaos u grafo Γ cujo conjunto de vértices V pode ser dividido e dois conjuntos, V = {v 3, v 4, v 5, v 6 } e V 2 = {v, v 2 }, pois todos os vértices de V são conectados por ua aresta dois a dois, be coo os vértices de V 2. Portanto, as coponentes de Γ são os grafos induzidos por V e V 2, destacados e azul e verelho, respectivaente.

27 2. UMA VERSÃO DO TEOREMA INFINITO DE RAMSEY 4 Figura Γ, grafo co duas coponentes 2.2 Ua versão do Teorea Infinito de Rasey Mostrareos nesta seção ua versão do Teorea Infinito de Rasey [5], resultado que será utilizado no próxio capítulo. Teorea Seja Γ u grafo siples infinito. Então Γ possui ou u clique infinito, ou u conjunto independente infinito. Deonstração. Prieiro, assuindo Axioa da Escolha, [9, Theore 0.20], vaos ostrar que qualquer conjunto infinito X te u subconjunto infinito enuerável. De fato, basta definir ua função f : N X que seja injetiva, pois dessa fora f (N) é ua cópia de N e X, isto é, u subconjunto infinito enuerável. Coo X é infinito, portanto não vazio, podeos escolher x X eleento e X e definir f () = x X. Suponha agora que { f (),..., f (n)} já esteja definidos. Definios então A n = X \ { f (),..., f (n)}, que é u conjunto não vazio pois X é infinito e escolheos x An e A n. Daí, definios f (n + ) = x An. Definindo a função f indutivaente desta fora, teos que ela é injetiva, pois dados e n inteiro positivos diferentes, digaos, < n teos que f () está e { f (),..., f (n )} e f (n) não está e { f (),..., f (n )}, logo f (n) e f () são diferentes, coo queríaos. Portanto, coo Γ é u grafo infinito, teos que V(Γ) é infinito, então existe u subcon- junto infinito enuerável de vértices V e V(Γ). Assi, se provaros o resultado para u grafo infinito enuerável, teos o resultado para qualquer grafo infinito, pois valerá para o subgrafo infinito enuerável induzido por V e portanto valerá para Γ. Assi, se perda de generalidade vaos supor que V(Γ) = {v,...} é u conjunto infinito enuerável. A ideia da prova é construir indutivaente ua sequência de triplas (x i, Y i, ε i ) que satisfaz as seguinte propriedades: (i) os x i são vértices distintos; (ii) os Y i são subconjuntos infinitos decrescentes de vértices, isto é, Y 0 Y Y i ; (iii) os vértices x i pertence a Y j se, e soente se j < i e x i é adjacente a todos vértice de Y i ( nesse caso definios ε i = ) ou x i não é adjacente a nenhu vértice de Y i ( nesse caso definios ε i = 0).

28 2. UMA VERSÃO DO TEOREMA INFINITO DE RAMSEY 5 Coeçaos a construir a sequência co Y 0 = V(Γ). Escolhendo x Y 0 e considerando que Y 0 é infinito, há duas possibilidades: () Se x é adjacente a u núero finito de vértices de Y 0, então existe infinitos vértices de Y 0 que não são adjacentes a x ; (2) Caso contrário, x é adjacente a u núero infinito de vértices de Y 0. Se tiveros no caso (), se x não é adjacente a ele eso, definios Y coo o conjunto infinito de vértices de Y 0 que não são adjacentes a x tirando o eleento x. Caso contrário, definios Y coo o conjunto infinito de vértices de Y 0 que não são adjacentes a x. Se tiveros no caso (2), se x for adjacente a ele eso, consideraos Y coo o conjunto infinito de vértices de Y 0 que são adjacentes a x tirando o eleento x. Caso contrário, definios Y coo o conjunto infinito de vértices de Y 0 que são adjacentes a x. Se estiveros no caso (), definios ε = 0 e se estiveros no caso (2), definios ε =. Definios Y i recursivaente a partir de Y i da seguinte fora: escolhendo x i e Y i, já teos que x i * x i, pois coo feito para i =, a escolha de Y i é feita de fora que x i não pertence a Y i. Se existe infinitos vértices e Y i que não são adjacentes a x i, escolheos Y i coo esse conjunto infinito de vértices, tirando x i, caso ele esteja incluído. Se existe infinitos vértices que Y i que são adjacentes a x i, escolheos Y i coo esse conjunto infinito de vértices, tirando x i, caso ele esteja incluído. Assi, as condições (i) e (ii) para forar as triplas (x i, Y i, ε i ) que gostaríaos são naturalente satisfeitas. Para ver a condição (iii), teos que coo x i Y i por construção, se j < i teos j i e portanto Y i está contido e Y j por (ii) e assi x i está contido e Y j. Por outro lado, suponha que x i está e Y j. Teos por construção que x i está e Y i e x i não está e Y i. Então, se tivésseos i j, teríaos que Y j estaria contido e Y i, u absurdo pois x i está e Y j, as não está e Y i. Portanto, j < i. Teos tabé por definição que, dependendo do ε i, x i é adjacente a todos os eleentos de Y i ou não é adjacente a nenhu. Assi, teos a sequência que queríaos no início. Agora, notaos que a sequência (ε i ) i N é ua sequência infinita na qual ε i = 0 ou ε i =, para todo i, alé de ser ua sequência liitada. Segue que essa sequência possui sub- sequência (ε ir ) r N convergente. Para tanto, tal subsequência, neste caso, deve ser constante co todos os teros iguais a 0 ou a. Se teos ua subsequência (ε ir ) r N constante tal que os teros são todos iguais a zero, teos a correspondente sequência infinita (x ir, Y ir, ε ir ) r N. Toaos então a sequência in- finita de vértices distintos (x ir ), dados x ik, x il teros de (x ir ), teos que x ik e x il não são adjacentes. De fato, suponha se perda de generalidade que i k < i l. Então Y il está contido e Y ik e coo ε ik = ε il = 0 teos por definição que x ik não é adjacente a nenhu eleento de Y ik. Então, coo Y il está contido e Y ik, que por sua vez está contido e Y ik, teos que x ik e x il não pode ser adjacentes. Portanto, coo todos os eleentos da sequência (x ir ) r N

29 2. UMA VERSÃO DO TEOREMA INFINITO DE RAMSEY 6 são distintos vértices, {x i, x i2,...} é u conjunto infinito independente de vértices.

30 2. PROPRIEDADES DO GRAFO NÃO-COMUTATIVO 6 Da esa fora, se teos ua subsequência (ε ir ) r N constante tal que os teros são todos iguais a u, teos que x ik é adjacente a todos os vértices de Y ik e coo x i2 está e Y i j e Y i j está contido e Y ik, teos que x ik e x i j são adjacentes e isso vale para todos os teros da sequência, portanto {x i, x i2,...} é u clique infinito de Γ. D 2.3 Propriedades do grafo não-coutativo Apresentareos alguns resultados gerais sobre grafos não-coutativos associados à u grupos G que pode ser encontrados no artigo Non-couting graph of a group, [] de A. Abdollahi, S Akbari e H. R. Maiani. Proposição Seja G u grupo não abeliano e Γ(G) seu grafo não-coutativo. Então dia(γ(g)) = 2. E particular, Γ(G) é u grafo conexo. Deonstração. Por siplicidade, denotareos V(Γ) apenas por V. Seja x e y dois vértices distintos de V. Se x e y são adjacentes, então teos que existe ua aresta e os ligando, ou seja w = xey é o enor cainho ligando x e y, assi d(x, y) =. Agora suponha que x e y não são adjacentes, isto é, [x, y] =. Coo se perda de generalidade podeos supor que V = G \ Z(G), teos que x e y não estão e Z(G), assi existe x e y e V tais que x não couta co x e y não couta co y, isto é, existe arestas ligando x e x e ligando y e y. Agora, se x e y são adjacentes ou se x e y são adjacentes, denotando por e uv ua aresta que liga u e v, teos o cainho w = xe xy y e y yy de taanho 2 ligando x e y. Se x e y são adjacentes, teos o cainho w = xe xx x e x yy de taanho 2 ligando x e y. Coo x e y não são adjacentes e que d(x, y) >, então d(x, y) = 2. Caso contrário, isto é, se x e y não são adjacentes e se x e y não são adjacentes, toaos z = x y. Para o prieiro caso teos que, [z, x] = [x y, x] = [x, x] y [y, x] = [x, x] y, pois y e x couta. Mas se tivésseos [x, x] y =, teríaos que [x, x ] = y =, u absurdo, pois x e x não couta. Então [x, x] y = [z, x] *, ou seja, existe ua aresta e zx ligando x e z. Analogaente, teos que [z, y] * e assi existe ua aresta e yz ligando x e z. Assi, teos u cainho w = ye yz ze zx x de taanho 2 ligando y e x, portanto, d(x, y) = 2. Logo teos que dia(γ(g)) 2. Suponha por absurdo que dia(γ(g)) =. Então, dado qualquer a e V = G\Z(G), teos que a está e V e [a, a ] =. Assi, se a e a fosse distintos, coo eles não são adjacentes, teríaos que d(a, a ) = 2, pela prieira parte da deonstração, e teríaos u absurdo, pois dia(γ(g)) =. Assi, a única possibilidade é que a = a. Agora, dados a e G \ Z(G), b e Z(G) e g qualquer eleento de G, teos que [ab, g] = [a, g] b [b, g] = [a, g] b.

31 2. PROPRIEDADES DO GRAFO NÃO-COMUTATIVO 7 Então, para todo g e G, se [ab, g] = teríaos que [a, g] =, u absurdo, pois a não está no centro de G. Então, ab está e G \ Z(G). Portanto, teos que ab = (ab) e assi (ab) 2 =. Teos, de fora análoga, que a 2 =. Então, coo b Z(G), teos = (ab) 2 = abab = a 2 b 2 = b 2. Daí, teos que para todo eleento g e G, g 2 =, ou seja, G é abeliano, que é u absurdo, portanto dia(γ(g)) = 2, coo queríaos. E particular, Γ(G) é u grafo conectado pois dados x e y e V, teos que d(x, y) = ou d(x, y) = 2, então sepre existe u (x, y)- cainho ligando x e y. Coo já foi observado é possível caracterizar os grafos não-coutativos que são planares. Mais precisaente teos o seguinte resultado: Seja G u grupo não abeliano. Γ(G) é planar se, e soente se G é isoorfo a D 8, S 3, ou Q 8. A deonstração desse resultado será apresentada no próxio capítulo, já que ua das ferraentas "chave" usadas para a prova é o Teorea D

32 Capítulo 3 Grupos central-por-finito Dizeos que u grupo G é central-por-finito se o índice [G : Z(G)] é finito. Estaos interessados na classe de grupos central-por-finito pois é ua classe de grupos já uito estudada e co uitos resultados e propriedades interessantes. Teos, por exeplo, o be conhecido Lea de Schur, que diz que se u grupo G é central-por-finito, então seu subgrupo derivado G é finito. Tabé é interessante observar que o conjunto dos autoorfisos internos Inn(G) é finito se, e soente se G é central-por-finito, entre outras características. O objetivo deste capítulo é apresentar duas caracterizações de u grupo G central-por- finito, ua relacionada ao grafo não-coutativo Γ(G) e a outra relacionada co ua cobertura finita de G por subgrupos abelianos. 3. PE-grupos Paul Erdös forulou o seguinte problea que foi respondido afirativaente por B. H. Neuann e A proble of Paul Erdös on groups [8]: Seja G u grupo tal que Γ(G) não te subgrafos copletos infinitos. Neste caso, existe ua cota superior finita para a cardinalidade de u subgrafo copleto de Γ(G)? Chaaos então, grupos de Paul Erdös, ou PE-grupos, os grupos que satisfaze a hipótese do problea acia. Definição 3... Dado G u grupo e seja Γ(G) seu grafo não-coutativo. Dizeos que G é u PE-grupo se e Γ(G) não existe subgrafos copletos infinitos. Observe que se G é u PE-grupo, então dado qualquer conjunto infinito de eleentos de G, visto coo subconjunto de vértices de Γ(G), tal conjunto não pode induzir u subgrafo copleto. Então pelo enos dois vértices desse conjunto infinito não estão ligados por ua aresta. E teros da estrutura do grupo, teos então que se G é u PE-grupo, dado qualquer conjunto infinito de eleentos de G, pelo enos dois deles não estão ligados por ua aresta e Γ(G) e portanto, por definição, esses dois eleentos couta. Nosso objetivo nesta seção é ostrar que G é u PE-grupo se, e soente se G é centralpor-finito e desta fora tereos nossa prieira caracterização de grupos central-por-finito. 8

33 3. PE-GRUPOS 9 Dizeos que u grupo G é u FC-grupo se todas as classes de conjugação e G são finitas, isto é, Cl(x) é finito para todo x e G. A seguir ostrareos que abos, PEgrupos e grupos central-por-finito, são FC-grupos, e este é o prieiro passo para ostrar a caracterização encionada acia. Lea Seja G u grupo. Se G é central-por-finito, então G é u FC-grupo. Deonstração. Por hipótese teos que o índice [G : Z(G)] é finito. Lebraos que Z(G) = n x G C G (x) ::: C G (x) para todo x e G. Assi, [G : C G (x)] [G : Z(G)] <. Agora, pela Equação das Classes (Teorea.0.7), teos [G : C G (x)] = Cl(x) para todo x e G. Portanto, pela observação anterior, todas as classes de conjugação e G são finitas e assi G é u FC-grupo, coo queríaos. Lea Se G é u PE-grupo, então G é u FC-grupo. Deonstração. Vaos ostrar o resultado por absurdo. Supondo que G não é u FC- grupo, vaos ostrar que G não pode ser u PE-grupo. Coo G não é u FC-grupo, teos que existe u g e G tal que Cl(g) é infinito. Defina então T g coo o conjunto de eleentos de G tais que eleentos distintos de T g dão orige a conjugados distintos do eleento g. Coo Cl(g) é infinito, teos que existe infinitos conjugados de g, isto é, existe infinitos eleentos distintos g s, co s e G. Portanto, T g é u conjunto infinito. Seja Γ(G) o grafo não-coutativo de G. Considere o subgrafo induzido por T g, Γ(G)[T g ], que denotareos por Γ[T g ]. Coo Γ[T g ] é infinito, pelo Teorea de Rasey (Teorea 2.2.), Γ[T g ] te u clique infinito ou u conjunto independente infinito. Se Γ[T g ] te u clique infinito, então Γ[T g ] te u subgrafo infinito copleto e portanto Γ(G) tabé o te. Assi, G não é u PE-grupo, que é u absurdo. Agora se Γ[T g ] te u conjunto independente infinito, digaos U V(Γ[T g ]) = T g, teos que, para todo u e v e U, [u, v] = pois, por definição de conjunto independente, não há arestas ligando u e v. Portanto todos os eleentos de U couta coo eleentos de G. Considere o conjunto gu = {gu u U}. Notaos que gu = gv se, e soente se u = v, assi coo U é u conjunto infinito, gu é tabé u conjunto infinito. Se u e v são eleentos distintos e U, D [gu, gv] = (gu) (gv) (gu)(gv) = u g v ugv = u g uv gv = (g ) u g v = (g u ) g v. Coo, e particular, u e v estão e T g, teos que g u e g v são dois eleentos distintos e então [gu, gv] = (g u ) g v *. Por essa observação, dados quaisquer eleentos distintos

34 3. PE-GRUPOS 20 de gu eles não pode coutar. Portanto Γ[gU] é u subgrafo copleto infinito de Γ(G) e portanto G não é u PE-grupo, ua contradição. D Agora vaos caracterizar os FC-grupos e teros do índice de alguns subgrupos específicos. Lea G é u FC-grupo se, e soente se o índice [G : C G (S )] é finito para todo subconjunto finito S de G. Deonstração. Lebraos que, pela Equação das Classes, teos que [G : C G (x)] = Cl(x), para todo x e G. Segue que G é u FC-grupo se, e soente se [G : C G (x)] é finito para todo x e G. Lebraos tabé que se S é u subconjunto finito de G e se para todo s e S o centralizador C G (s) te índice finito e G, pelo Lea.0., C G (S ) = n s S C G (s) tabé te índice finito e G. Portanto se G é u FC-grupo, teos que [G : n s S C G (s)] é finito, ou seja, [G : C G (S )] é finito, para qualquer conjunto finito S. Por outro lado, se [G : C G (S )] é finito para todo conjunto finito S de G, consideraos S = {g}, para g G. Assi tereos que C G (S ) = C G (g) sepre te índice finito e G, coo queríaos. Já sabeos que todo grupo central-por-finito é u FC-grupo. Considere H u grupo finito não-abeliano. Definios G = {(x i ) i N x i H e x i * apenas para u núero finito de índices}, o produto direto de infinitas cópias de H, u subgrupo próprio do grupo H H se restrições nas entradas (x i ). Coo H é finito, para todo g eleento de G, teos que Cl(g) é finita. Por outro lado, coo Z(G) é isoorfo ao produto direto infinito de cópias de Z(H), logo G/Z(G) é isoorfo ao produto direto de infinitas cópias de H/Z(H). Coo H não é abeliano, teos que H/Z(H) é não trivial e portanto G/Z(G) é u grupo infinito. Logo, teos que G não é centralpor-finito. Logo ne todos os FC-grupos são central-por-finito. Agora vaos ver alguas condições suficientes para que u FC-grupo seja central-por-finito. Lea Se G é u FC-grupo finitaente gerado, então G é central-por-finito. Deonstração. Prieiro observaos que se G = (S ), então o centro de G é igual a C G (S ). De fato, coo Z(G) = n x G C G (x), teos que Z(G) C G (S ). Por outro lado, dado x e C G (S ) e g e G teos que coo G = (S ), g = c c 2... c n tal que i c i ou c estão e S, para todo i. Assi, coo x está e C G (S ), x couta co todos os eleentos de S e portanto tabé co os inversos dos eleentos de S. Dessa fora, x couta co todos os c i e assi couta co g para todo g e G. Portanto C G (S ) está contido e Z(G). Por hipótese G é u FC-grupo e é finitaente gerado, isto é, G = (S ), co S u subconjunto finito. Do Lea 3..4 segue que [G : C G (S )] <. Mas pela observação feita antes, [G : C G (S )] = [G : Z(G)] <, ou seja, G é central-por-finito. D D

35 3. PE-GRUPOS 2 Lea G é u grupo central-por-finito se, e soente se G é u FC-grupo e conté u subgrupo abeliano A tal que o índice [G : A] é finito. Deonstração. Assua que A é u subgrupo abeliano de G tal que [G : A] é finito. Seja Q u conjunto de geradores do subgrupo abeliano A e R u transversal de A e G. Teos então que coo R = [G : A], por hipótese, R será finito. Note que G = U r R Ar e portanto, qualquer eleento de G pode ser escrito coo ar, co r e R e a e A. Coo A é gerado pelos eleentos de Q teos que S = Q R é u conjunto de geradores para G. Pela deonstração do Lea 3..5, coo G é gerado por S, teos que, Z(G) = C G (S ) = C G (Q R). Tabé teos que, Portanto, C G (Q R) = x Q R C G (x) = t x Q C G (x) t y R C G (y) = C G (Q) C G (R). Z(G) = C G (Q) C G (R). Agora, coo Q é u conjunto de geradores de A e A é abeliano, os eleentos de A couta e e particular A C G (Q). Assi, [G : C G (Q)] [G : A] <, ou seja, C G (Q) te índice finito e G. Agora coo R é finito e G é u FC-grupo, pelo Lea 3..4, C G (R) te índice finito. Assi, coo vios no Lea.0., [G : Z(G)] = [G : C G (Q) C G (R)] [G : C G (Q)][G : C G (R)]. Teos que coo [G : C G (Q)], [G : C G (R)] abos são finitos, [G : Z(G)] tabé é finito e portanto G é central-por-finito. Reciprocaente, se G é central-por-finito, teos que [G : Z(G)] < e Z(G) é abeliano. Tabé, pelo Lea 3..2, qualquer grupo central-por-finito é u FC-grupo. D Podeos forular o lea anterior na sua fora negativa e tal resultado será útil para ostrar que se G é u FC-grupo, as não é central-por-finito, então G não é u PE-grupo. Corolário Se G é FC-grupo, as não é central-por-finito, e te u subgrupo A co índice finito, então A não é abeliano. Deonstração. Suponha por absurdo que o subgrupo A de G co índice finito seja abe- liano. Então, pelo Lea 3..6, teos que G é central-por-finito, ua contradição. Já vios que tanto PE-grupos, coo grupos central-por-finito são FC-grupos. Agora quereos ostrar que se G é u FC-grupo, as não é central-por-finito, então G não pode ser u PE-grupo. Para tanto precisareos prieiro do seguinte lea que é bastante técnico e utiliza ferraentas de teoria de grafos e alguas propriedades de coutadores (Veja Proposição.0.5). D

36 3. PE-GRUPOS 22 Lea Seja G u FC-grupo que não é central-por-finito e assua que G contenha duas sequências finitas de eleentos, co as seguintes propriedades: (i) Se i * j, então [a i, a j ] * ; (ii) Se i * j, então [a i, b j ] = ; (iii) Para todo i, [a i, b i ] * ; (iv) Para todo i, j, [b i, b j ] =. (a,..., a n ), (b,..., b n ) Então G conté outros dois eleentos a n+, b n+ tais que as quatro propriedades (i),(ii),(iii) e (iv) continua válidas para as sequências de copriento n +. (a,..., a n+ ), (b,..., b n+ ) Seja Γ(G) = Γ o grafo não-coutativo de G. Antes de coeçaros a deonstração, vaos analisar o subgrafo induzido pelos vértices V n = {a,..., a n, b,..., b n }. Observe que e Γ[V n ] teos u subgrafo copleto induzido pelos vértices {a,..., a n }, pois se i * j teos pela propriedade (i) que [a i, a j ] *, portanto para todo i * j teos que a i, a j são adjacentes e assi o subgrafo induzido por {a,..., a n } é copleto. Teos tabé que, pela propriedade (iii), para todo i [a i, b i ] * e assi a i e b i são sepre adjacentes. Pela propriedade (ii), se i * j, então [a i, b j ] =, ou seja, a i e b j não são adjacentes sepre que i * j. Por últio, pela propriedade (iv) teos que nenhu b i é adjacente a outro b j, para i, j n. Para ilustrar nossa situação, vaos representar o grafo Γ[V n ] nos casos n = 2, 3, 4. Figura 3... Grafo induzido por V 2 = {a, a 2, b, b 2 }. Figura Grafo induzido por V 3 = {a, a 2, a 3, b, b 2, b 3 }.

37 3. PE-GRUPOS 23 Figura Grafo induzido por V 4 = {a, a 2, a 3, a 4, b, b 2, b 3, b 4 }. Deonstração do Lea Seja S n = {a,..., a n, b,..., b n } e A n = C G (S n ). Coo S é finito e por hipótese G é u FC-grupo, pelo Lea 3..4, A n = C G (S n ) te índice finito e G. Pelo Corolário 3..7, teos que A n não é abeliano. Coo A n não é abeliano, e particular, teos que A n não é trivial, e que existe dois eleentos a, b e A n tais que [a, b] *. Definios: a n+ = ab b 2 b n e b n+ = b. Para ilustrar a construção desta sequência, partindo do caso n = 2, Figura 3..4 Coo vios, seja S 2 = {a, a 2, b, b 2 } e A 2 = C G (S 2 ), coo A 2 não é abeliano, esco- lheos a e b e A 2 que não couta. Assi, construíos: Figura 3..5