Desigualdades Universais para Autovalores de Operadores Poliharmônicos

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1 Desguadades Unversas para Autovaores de Operadores Poharmôncos PEREIRA, Rosane Gomes; ADRIANO, Lev Rosa Insttuto de Matemátca e Estatístca, Unversdade Federa de Goás, Campus II- Caxa Posta 131, CEP Goâna, GO, Bras. E-ma: rosanegope@yahoo.com.br; ev@mat.ufg.br Paavras chaves: Varedades Remannanas, Operadores Poharmôncos, Cotas Unversas, Desguadade tpo-yang. 1 Introdução Seja Ω um domíno conexo, mtado e com frontera suave no espaço Eucdano R n, n, ν o campo norma untáro exteror de e seja um ntero postvo. Souções de u = 0 num domíno Ω R n são as cásscas funções harmôncas que descrevem a posção de equíbro de uma membrana eástca homogênea. Souções de u = 0 são chamadas bharmôncas, e eas modeam o equíbro de pacas homogêneas. Smarmente, souções de u = 0, N; são chamadas poharmôncas. Podemos então naturamente consderar o segunte probema de autovaor Seja u = λu em Ω u = u ν = = 1 u ν 1 = < λ 1 λ λ 3, a sequênca de autovaores do probema 1.1, onde cada autovaor é repetdo de acordo com a sua mutpcdade. O caso = 1 é bastante estudado, desde os trabahos de Wey, [1], e Courant-Hbert, []. Mas também para, as funções poharmôncas possuem nteressantes apcações na físca. Outras questões surgram ao ongo dos anos, como por exempo, nvestgar os autovaores do probema 1.1 para quaquer, com respeto as chamadas propredades unversas, sto é, propredades que não dependem do domíno Ω propramente, mas somente de sua dmensão

2 n. Estas propredades unversas então resutam em reações entre dferentes autovaores. Em [4], Payne, Póya e Wenberger mostraram a segunte estmatva λ k+1 λ k k λ, k = 1,,, para Ω R. Este resutado se estende facmente para Ω R n como λ k+1 λ k 4 kn λ, k = 1,,, 1. Mutos trabahos nteressantes surgram generazando a desguadade 1. como por exempo [5],[7],[8],[9],[10], [11] e outros. Nesta dreção, menconaremos dos resutados. Em 1980, He e Protter [10] mostraram λ λ k+1 λ kn 4, k = 1,,,. Em 1991, Yang [11] provou uma desguadade mas forte λ k+1 λ λ k λ 0, k = 1,,,. n A desguadade acma, conforme Yang mesmo observou, e comprovado posterormente em [5], [6], [7] é a mehor das desguadades cásscas que são obtdas segundo o método desenvovdo por Payne-Póya-Wenberger. O objetvo deste trabaho é obter uma desguadade unversa do tpo Yang, para os autovaores do probema 1.1 para quaquer. Ou seja, vamos consderar o probema de autovaor mas gera u = λu em M u M = u ν = = 1 u M ν 1 = 0 M onde M é uma varedade Remannana compacta com frontera possvemente vaza e é o operador Lapacano em M. Resutados e Dscussão Nos resutados seguntes são apresentadas desguadades unversas para os autovaores do operador poharmônco em domínos compactos no Espaço Eucdeano e na Esfera.

3 Teorema.1. Seja Ω um domíno mtado conexo em um espaço eucdano R n, n-dmensona, e seja o apacano de R n. Denote por λ o -ésmo autovaor do probema de autovaor Então temos u = λu em Ω u = u ν = = 1 u ν 1 = 0. 4n + λ k+1 λ n 1 λ k+1 λ λ λ k+1 λ λ 1..3 Coroáro.1. Sobre as mesmas hpóteses do Teorema.1, temos λ k+1 1 n + λ + λ 1 k k n λ 1 + n + λ 1 k n λ 1 1 λ 1 k k 1.4 e λ k n + 1 n + 1 λ λ n + 1 λ 1 k 1..5 Teorema.. Seja λ o -ésmo autovaor do segunte probema de autovaor u = λu em Ω u = u ν = = 1 u ν 1 = 0, onde Ω é um domíno compacto conexo em uma n-esfera untára S n. Então temos λ k+1 λ 1 n { { λ k+1 λ a 1 λ 1 λ k+1 λ n + 4λ 1 } a 1 λ 1 + a 0 } 1..6

4 Coroáro.. Sobre as mesmas hpóteses do Teorema., temos λ k+1 1 λ + 1 a k 1 λ a 1 λ 1 + a 0 kn + 4 { 1 + a 4n 4 k 4 1 λ a 1 λ 1 + a 0 kn + 4 λ 1 } 1 1 λ 1 k k e λ k+1 U k+1 + U k+1 V k+1, onde λ 1 e U k+1 = 1 k V k+1 = 1 k λ + 1 λ + 1 a 1 λ a 1 λ 1 + a 0 n + 4λ 1 λ a 1 λ a 1 λ 1 + a 0 n + 4λ 1. 3 Concusões Concuímos que a desguadade obtda para um domíno compacto no Espaço Eucdeano é mas forte do que a conhecda desguadade tpo Payne-Póya-Wenberg. Aém dsso, esta, cobre a mportante desguadade de Yang em autovaores do Lapacano de Drchet. Referêncas [1] Wey,H. - Das asymptotsche Verteungsgesetz der Egenwerte nearer parteer Dfferentagechungen, Math. Ann. 71, 191, [] Courant,R., Hbert, D. - Methoden der mathematschen Physk I, 3rd ed., Sprnger, [3] Jost, J., L-Jost, X. Q., Wang, Q., Xa, C. - Unversa bounds for egenvaues of the poyharmonc operators, To appear n Trans. Amer. Math. Soc. [4] Payne, L. E., Póya, G., Wenberger, H. F. - On the rato of consecutve egenvaues, J. Math. and Phys, 35, 1956, [5] Ashbaugh, M. S. Isopermetrc and unversa nequates for egenvaues, n Spectra theory and geometryednburgh, 1998, E. B. Daves and Yu Safaov eds,. London Math. Soc. Lecture Notes, vo. 73, Cambrdge Unv. Press, Cambrdge, 1999, pp

5 [6] Ashbaugh, M. S. The unversa egenvaue bounds of Payne-Póya-Wenberger, He-Protter, and H. C. Yang. Spectra and nverse spectra theory Goa, 000. Proc. Indan Acad. Sc. Math. Sc. 11, 00, [7] Ashbaugh, M. S., Herm, L. A unfed approach to unversa nequates for egenvaues of eptc operators, Pacfc J. Math., 17, 004, [8] Cheng, Q. M., Yang, H. C. Estmates on egenvaues of Lapacan, Math. Ann., 331, 005, [9] Harre, E. M., Mche, P. L. Commutator bounds for egenvaues, wth appcatons to spectra geometry, Commun. Part. Dffer. Eq., 19, 1994, [10] He, G. N., Protter, M. H. Inequates for egenvaues of the Lapacan, Indana Unv. Math. J., 9, 1980, [11] Yang, H. C. Estmates of the dfference between consecutve egenvaues, preprnt, 1995 revson of Internatona Centre for Theoretca Physcs preprnt IC/ 91/ 60, Treste, Itay, Apr 1991.