O Overshoot e o Undershoot em Sistemas de Controle Lineares Contínuos no Tempo: Um Tutorial.

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1 O Overshoot e o Undershoot em Sstemas de Controle Lneares Contínuos no Tempo: Um Tutoral. Céla Aparecda dos Res* Neusa Augusto Perera da Slva* Marcelo Carvalho Mnhoto Texera + * Departamento de Matemátca; + Departamento de Engenhara Elétrca; Unversdade Estadual Paulsta - UNESP, Faculdade de Engenhara de Ilha Soltera - FEIS, C.P. 31, Ilha Soltera - SP, Brasl. Resumo Este trabalho trata de um tutoral relatvo às condções que permtam avalar extremos, overshoot e undershoot na resposta a degrau de sstemas de controle lneares contínuos no tempo. Em termos de contrbuções dos autores, apresenta-se uma condção necessára e sufcente para a determnação de extremos na resposta a uma entrada degrau untáro de uma classe de sstemas contínuos de tercera ordem, medante o uso da confguração de pólos-zeros da correspondente função de transferênca. Apresenta-se, também uma classe de sstemas de tercera ordem, com pólos e zeros reas negatvos, exbndo o efeto do undershoot. Palavras-chaves: Extremos, overshoot, undershoot, pólos, zeros. 1. INTRODUÇÃO. O conhecmento das característcas da resposta a degrau é mportante em engenhara de controle. De fato, exstem alguns problemas tas como problemas de controle do exo de máqunas ferramentas e problemas em que um robô necessta segur uma trajetóra pré-defnda, onde as respostas a degrau não podem apresentar extremos (Howell, 1996, 1997; Rachd, 1995; Leon de la Barra, 1994). Dessa forma, o estudo de condções que permtam avalar overshoot e undershoot na resposta a degrau é de grande mportânca na teora de controle. Mutas contrbuções teórcas recentes têm sdo fetas no sentdo de clarfcar a nfluênca dos zeros e das localzações de pólos e zeros da planta na parte transente da resposta a degrau (Wdder, 1934; Mta, e Yoshda, 1981; Mangalvedekar, 1987; Mddleton, 1991; El- Khoury 1993, Rachd, 1995, 1999a; Howell, 1996, 1997; León de la Barra, 1992, 1994, 1994a, 1996, 1998; Moore, 1990; Hauksdóttr, 1996; Ln e Fang, 1997). Apesar de bastante valosas, essas contrbuções anda não oferecem um quadro claro de como e quas varações extensas nas localzações de pólos e zeros podem nfluencar o overshoot e o undershoot. Por exemplo, o problema de determnar o número exato de extremos da resposta a degrau permanece em aberto (El-Khoury, 1993). Além da não exstênca de técncas que permtam classfcar os extremos da resposta a degrau, faltam condções necessáras e sufcentes para a determnação de overshoot e undershoot em sstemas contínuos. Dessa forma, o objetvo desse trabalho é efetuar uma dscussão dos resultados exstentes na lteratura relatvos a extremos, overshoot e undershoot na resposta a degrau de sstemas de controle lneares contínuos no tempo, além de apresentar as

2 contrbuções dos autores com relação ao assunto. Este artgo é organzado como segue. Apresenta-se, na seção dos, um estudo relatvo a extremos na resposta a uma entrada degrau de sstemas lneares nvarantes no tempo. Na seção três são tratados resultados relatvos a overshoot e na seção quatro, resultados relatvos a undershoot. Na seção cnco apresentam-se as conclusões do trabalho. 2. OS EXTREMOS NA RESPOSTA A DEGRAU DE SISTEMAS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO. O efeto dos zeros na resposta a degrau de sstemas lneares nvarantes no tempo e a relação dos mesmos com os extremos da resposta a degrau, tem merecdo atenção de város pesqusadores desde os anos 30. É fato conhecdo que quando os pólos da função de transferênca são reas e negatvos, sua resposta a degrau apresenta um número fnto de extremos. Wdder (1934), prova que o número de zeros da função de transferênca, no ntervalo de convergênca, é pelo menos gual ao número de extremos que pode ocorrer na resposta a degrau do sstema lnear estável. Mas precsamente, consdere a função de transferênca raconal m ( s z ) = 1 G ( s ) = g (1) n ( s p ) j= 1 com pólos reas p n <...< p 1 < 0 e zeros reas z, = 1, 2,..., m. G(s) em (1) é estável e além dsso, estrtamente própra e sem cancelamento de zeros. O pólo p 1 é o pólo domnante e o pólo p n é o pólo mas rápdo. A resposta a degrau de G(s) é defnda como G(s) y(t) = L -1 s, t [0, + ), (2) com a condção ncal y(0) = 0, onde L -1 é o operador transformada nversa de Laplace. Introduz-se em El Khoury (1993), a segunte defnção de extremo local na resposta a degrau. Defnção 2.1: A função y(t) tem um extremo local em t * se exste ε > 0 tal que [y(t * ) - y(t * - τ)] [y(t * ) - y(t * + τ)] > 0, τ (0, ε). Seja o ntero η 0 o número de extremos locas de y(t) para t > 0. Para especfcar η, é convenente classfcar os zeros de G(s) em quatro dferentes conjuntos, M 1 = { z : H( z ) = 0, 0 < z < }, M 2 = { z : H( z ) = 0, p1 < z 0}, M 3 = { z : H( z ) = 0, pn < z < p1 } e M 4 = {z : H(z) = 0, - < z < pn }. Seja m, = 1, 2, 3, 4, o número de zeros pertencentes a uma dada classe M, tal que m = m 1 + m 2 + m 3 + m 4. Daí, um lmtante nferor para η é obtdo (Wdder (1934)). Teorema 2.1: (Wdder (1934)) (Teorema do Lmtante Inferor) O número de zeros de G(s) no ntervalo de convergênca é no máxmo gual ao número de extremos locas de y(t). Equvalentemente, η m 1 + m 2. Do Teorema 2.1, observa-se que os zeros localzados nas classes M 1 e M 2 causam extremos. Além dsso, o problema de encontrar um lmtante nferor para o número de extremos da resposta a degrau, fo resolvdo.

3 Segundo El Khoury (1993), nas aplcações em controle, o conhecmento de um lmtante superor para o número de extremos é freqüentemente mas mportante do que o conhecmento de um lmtante nferor. Por exemplo, quando o lmtante superor é gual a zero, exste a garanta de que a resposta a degrau é monótona, o que mplca na não exstênca de extremos. El Khoury mostra que o número de extremos na resposta a degrau, para t > 0, é lmtado superormente por m p, onde p é o número de vezes que um número ímpar de zeros ocorre entre dos pólos consecutvos. Para a apresentação desse resultado, é necessára a ntrodução das seguntes defnções. Defnção 2.2: Um pole bracket é o ntervalo aberto (p -1, p ) entre dos pólos dstntos e consecutvos p -1 < p de G(s), e p o número de pole brackets contendo um número ímpar de zeros de G(s). Defnção 2.3: Seja x um ntero. Então a pardade de (x) := 0 se x é par e a pardade de (x) := 1 se x é ímpar. Teorema 2.2: (El-Khoury (1993)) (Teorema do Lmtante Superor) O número de extremos de y(t), para t > 0 é lmtado superormente por m 1 + m 2 + m 3 - p. Além dsso, a pardade do número de extremos é gual à pardade de m 1 + m 2 + m 3 - p. Equvalentemente, η m 1 + m 2 + m 3 - p ou pardade(η) = pardade (m 1 + m 2 + m 3 - p). Os teoremas do lmtante superor e nferor podem ser combnados e fornece o segunte resultado geral de lmtação. Teorema 2.3: (El-Khoury (1993)) (Teorema de lmtação Geral) () m 1 + m 2 η m 1 + m 2 + m 3 - p; (3) () pardade (η) = pardade (m 1 + m 2 ) = pardade (m 1 + m 2 + m 3 - p). (4) Do Teorema 2.3, podem ser deduzdos os seguntes resultados prátcos: Se o sstema não tem zeros e possu apenas pólos reas, então não exste a possbldade da ocorrênca de extremos, nclundo tanto overshoot como undershoot; Os extremos da resposta a degrau podem também ser causados por zeros localzados entre o pólo domnante e o pólo mas rápdo (conjunto M 3 ). Os zeros à esquerda do pólo mas rápdo não causam extremos (conjunto M 4 ); A relação (4) estabelece que se a pardade (m 1 + m 2 ) = 0, então os valores ímpares entre o lmtante nferor e o lmtante superor fornecdo por (3), exclu o conjunto de possíves valores de η. Apesar do Teorema 2.3 ser um resultado mportante, o problema da determnação do número exato de extremos da resposta a degrau permanece um problema em aberto (El khoury, 1993). Rachd (1995) apresenta uma condção sufcente sobre os zeros para evtar extremos na resposta a degrau de sstemas lneares de ordem alta com zeros e pólos estáves, as quas clarfcam o relaconamento das posções entre pólos e zeros no semplano s, para a ocorrênca de extremos. Para detalhar tal resultado, consdere um sstema de controle lnear estável, descrto pela função de transferênca com ganho untáro: m ( 1+ t s) = 1 G(s) = (5) n ( 1 + T js) j = 1 com zeros z < 0 e pólos p j < 0. O Lema segunte, que fornece uma seqüênca de decomposção da expressão (5), e o teorema a segur são encontrados em Rachd (1995).

4 Lema 2.1: A função de transferênca G(s) em (5) pode sempre ser reescrta sob a forma r1 r t 2js G(s) = G1 ( s ) G2( s ) com G1(s) =, G2j = e r1 + r2 = n. (6) = 1 = T s 1+ T s 1 Teorema 2.3: a resposta a degrau do sstema (5) não tem extremos para t 0 se o rearranjo (6) pode ser tomado tal que valem as condções t 2 j < T2 j para j pertencente a [1, r 2 ]. Observe que do Teorema 2.3, obtém-se as seguntes conseqüêncas: Se o sstema (5) possu apenas um zero fnto z, sua resposta a degrau não apresentará extremo se exste pelo menos um pólo p tal que z < p; Quando o sstema (5) tem dos zeros dstntos e fntos z 1 e z 2, não ocorrem extremos na resposta a degrau se exstem dos pólos p 1 e p 2, tas que z 1 < p 1 e z 2 < p 2. Note que não se exge que p 1 e p 2 sejam dstntos, mas se p 1 = p 2, a multplcdade de p 1 deve ser pelo menos dos. Apesar de tornar mas claro o problema do relaconamento de pólos e zeros da função de transferênca para a não ocorrênca de extremos, o Teorema 2.3 é apenas uma condção sufcente. De fato, consdere um sstema de segunda ordem, com dos zeros reas dstntos z 1 e z 2, e dos pólos reas dstntos p 1 e p 2, cuja função de transferênca seja dada por: p1 p2 ( s + z1 )( s + z2 ) G( s ) =. (7) z z ( s + p )( s + p ) Se a posção relatva entre os pólos e zeros de (7) for tal que p 2 < z 2 < z 1 < p 1, então G(s) pode ou não apresentar extremos. A demonstração desse resultado é dada pelo teorema a segur. Teorema 2.4: (Res e Slva (2001)) O sstema cuja função de transferênca é dada por (7) possu extremo se e somente se ocorre uma das seguntes condções: (a) z 2 < λ 2 < λ 1 < z 1 e λ 1 + λ 2 > z 1 + z 2 ; (8) (b) λ 2 < λ 1 < z 2 < z 1 ou λ 2 < z 2 < z 1 < λ 1 e λ 1 + λ 2 < z 1 + z 2 ; (9) O Teorema 2.4 apresenta uma condção necessára e sufcente para a ocorrênca de extremos na resposta a degrau de sstemas de controle lneares de segunda ordem, contínuos no tempo, com pólos e zeros reas dstntos. Além dsso, este teorema é uma complementação ao resultado de Rachd (1995), sendo, portanto, uma de nossas contrbuções nesse artgo. Para sstemas de ordem maor do que dos ocorrem stuações semelhantes. De fato, seja G(s) com pólos e zeros reas, dada por: 3 2 λ ( s z ) G( s ) =. (10) 2 3 z ( s λ ) Tem-se, então, o segunte resultado. Teorema 2.5: O sstema (10) possu extremos se e somente se λ < z. Prova: A prova segue do cálculo dreto dos pontos crítcos de y(t). Coroláro 2.5: O sstema (10) não possu extremos se e somente se z < λ. Prova: Segue do fato de que os pontos crítcos de y(t) são negatvos se e somente se z < λ. 2j

5 Observa-se que o resultado obtdo no Coroláro 2.5 concde com os resultados obtdos por Rachd (1995), no Teorema 2.3. Observa-se, além dsso, que os resultados desse coroláro são provenentes da não exstênca de pontos crítcos em tas sstemas. 3. O OVERSHOOT EM SISTEMAS CONTÍNUOS Foram apresentados na seção dos, os resultados encontrados na lteratura relatvos a extremos de sstemas de controle contínuos no tempo. Apesar de mportantes, essas contrbuções anda não oferecem um quadro claro de como e quas varações extensas nas localzações de pólos e zeros podem nfluencar o overshoot e o undershoot. Por exemplo, o problema de determnar o número exato de extremos da resposta a degrau permanece em aberto (El-Khoury, 1993). Além dsso, não é possível efetuar a classfcação dos extremos da resposta a degrau. Daí a mportânca de se determnar condções necessáras e sufcentes para a determnação de extremos, overshoot e undershoot em sstemas contínuos. Quando o sstema apresenta pólos e zeros reas, a resposta a degrau é uma combnação de exponencas, daí a dfculdade da determnação dreta de extremos e conseqüentemente a classfcação dos mesmos. Isso justfca a escassez de resultados relatvos a overshoot em sstemas contínuos, na lteratura. Ln e Fang (1997) consderam um sstema lnear de tercera ordem SISO com uma função de transferênca não estrtamente própra dada por: y( s R( s ) 3 2 ) cs + bs + as + 1 = K, (11) 3 2 ps + qs + rs + 1 onde K pode ser assumdo sem perda de generaldade gual a um. Medante o uso dos coefcentes de (11), são obtdas condções necessáras e sufcentes para um tal sstema não apresentar overshoot na resposta a degrau ou resposta a degrau monótona não decrescente, quando os pólos são reas. No caso de pólos complexos, uma condção sufcente e duas condções necessáras são obtdas para uma tal classe de sstemas não ter overshoot. Mddeleton (1991) prova que pólos reas no semplano aberto dreto mplcam overshoot na resposta a degrau da malha fechada. Tal resultado é apresentado a segur. Lema 3.1: (Mddeleton (1991)) Um sstema estável, com realmentação untára que possu um pólo real p de malha aberta, stuado no semplano aberto dreto, deve ter overshoot na sua resposta a degrau. Além dsso, a quantdade de overshoot está relaconada ao tempo de subda do sstema e a localzação do pólo p, no semplano dreto. Res e Slva (2001) apresentam a classfcação dos pontos crítcos da resposta a uma entrada degrau untáro de G(s) em (7). Além dsso, obtém-se condções necessáras e sufcentes para exstênca de overshoot em tal sstema. Mas precsamente: Teorema 3.1: (Res e Slva (2001)) Sob as hpóteses do Teorema 2.4, o sstema (7) apresenta overshoot se e somente se z 2 < λ 2 < λ 1 < z 1 e λ 1 + λ 2 > z 1 + z 2. Resultados análogos aos obtdos no Teorema 3.1 também foram obtdos para sstemas de segunda ordem, com um zero real e pólos reas. Além dsso, uma expressão para o cálculo dreto do overshoot é fornecda (Res e Slva (2001) e Res (1994)). Atualmente, pesqusas estão sendo realzadas pelos autores, vsando à obtenção de uma caracterzação completa dos sstemas de segunda ordem, com pólos e zeros reas, pólos e zeros

6 complexos, no sentdo da obtenção de condções necessáras e sufcentes para determnação de extremos, overshoot e undershoot em tas sstemas. 4. SISTEMAS CONTÍNUOS NO TEMPO E DE FASE NÃO MÍNIMA. Um sstema é chamado de fase mínma, se todos os seus zeros estão localzados no semplano aberto esquerdo. Já os de fase não mínma ou sstemas de reação reversa são os sstemas lneares estáves para os quas a função de transferênca apresenta zeros no semplano aberto dreto do plano s (RHP). Tas sstemas são dentfcados da segunte forma: na aplcação de um degrau na entrada, a saída ncalmente começa em dreção contrára ao valor de regme. Segundo Mta e Yoshda (1981), Leon de La Barra (1994) esses sstemas podem apresentar uma das seguntes característcas: undershoot ncal ou do tpo A, undershoot tpo B e undershoot do tpo r u. A segur, apresenta-se uma caracterzação dessas característcas. Seja um sstema raconal SISO caracterzado pela função de transferênca G(s) contínua no tempo estrtamente própra, assntotcamente estável e de fase não mínma, sem zeros na orgem. Tem-se então a segunte defnção de undershoot ncal, encontrada em Leon de La Barra (1994). Defnção 4.1: Seja G(s) como descrto anterormente e com ganho não nulo k. Seja y(t) a correspondente resposta no tempo a uma entrada degrau untáro postvo. Então y(t) apresenta undershoot ncal se y(t)k < 0 para todo t tal que 0 < t < t 1. Mta e Yoshda (1981), contrbuem com as defnções de undershoot do tpo A e do tpo B. Defnção 4.2: Seja y(t), t 0, a resposta escalar no tempo, sufcentemente suave, de um sstema dnâmco e assuma que y(0) = 0 e se y (η) é a n-ésma dervada de y(t), então: (a) exste um ntero postvo e fnto η tal que: (n-1) (n) y( + 0) =, L, = y ( t ) t= + 0 = 0 e y (t ) t= ; (12) (b) O valor de regme de y(t) exste e é dferente de zero. Então se dz que y(t) possu undershoot do tpo A se y (η) (+0)y( ) < 0. Defnção 4.3: Se não exste undershoot ncal e exste um ntervalo (a, b) tal que y(t) y( ) < 0 para todo t pertencente a (a, b), então dz-se que y(t) apresenta undershoot do tpo B. Segundo Vdyasagar (1986), a relação y (η) (+0)y( ) < 0 é uma versão matemátca natural do fato da resposta a degrau ncalmente começar em dreção contrára ao valor de regme. O undershoot do tpo B ocorre se não exste undershoot ncal e exste um ntervalo aberto onde a resposta a degrau tem snal oposto ao valor de regme. Já o undershoot do tpo r u, (Leon de La Barra (1994)), fornece uma descrção mas detalhada do fenômeno do undershoot, medante a especfcação do número de vezes que a resposta a degrau apresenta undershoot para t > 0. Defnção 4.4: Seja G(s) como descrta anterormente e com ganho não nulo k, e y(t) a sua resposta no domíno do tempo a um degrau untáro e postvo. Então dz-se que y(t) apresenta undershoot do tpo r u para t > 0 se as seguntes três condções são satsfetas: Exstem exatamente r u valores dferentes de t, 0 < t1 < L < tr < + tas que y ( t ) k 0, =, L, ru <, (13) y(t) & = 0, = 1, L, r t= t u u, (14)

7 k y(t) & > 0, = 1, L, r t = t u. (15) O Teorema segunte, estabelece uma condção necessára e sufcente para a resposta a uma entrada degrau de uma planta SISO estável, apresentar undershoot ncal, encontrado em Vdyasagar (1986). Teorema 4.1: (Vdyasagar (1986)) O sstema tem undershoot ncal se e somente se sua função de transferênca tem um número ímpar de zeros reas RHP. De acordo com Porter (1987), este fato fo provado por Normatsu e Ito em Além dsso, Mta e Yoshda (1981) também provaram tal resultado como um coroláro de um teorema mas geral relatvo ao fenômeno do undershoot em plantas MIMO estáves. Note que este teorema é também váldo quando G(s) tem pólos complexos conjugados. É também mportante realçar que zeros complexos conjugados do semplano aberto dreto, não têm qualquer nfluênca na determnação do undershoot ncal. Para uma dscussão dessa regra na determnação de dferentes tpos de extremos, sugere-se como letura, Leon de la Barra (1992). Leon de La Barra (1994), contrbu para uma caracterzação posteror, fornecendo novos esclarecmentos das correlações entre zeros do semplano aberto dreto de uma função de transferênca escalar contínua no tempo, e a natureza do undershoot na sua resposta a degrau, com o segunte teorema. Teorema 4.2: Seja G(s) como anterormente descrta, com ganho k = 1, e m 1 zeros reas no semplano aberto dreto. Então y(t) apresentará pelo menos undershoot do tpo r u para t > 0, com r u dado explctamente por ru =& nt[(m 1 + 1)/2], onde [.] denota a parte ntera. É claro que se m 1 é par, y(t) não apresenta undershoot ncal (Vdyasagar, 1986), então y(t) será ncalmente postva, revertendo necessaramente seu snal depos. Por outro lado, se m 1 é ímpar, o snal ncal de y(t) será sempre oposto ao snal de seu valor de regme, determnando assm, undershoot ncal. Este teorema também é váldo para plantas tendo pólos complexos conjugados. Sob hpóteses adconas relatvas à confguração pólo-zero de G(s), é possível estabelecer um resultado mas forte que o teorema anteror. Para tal, sejam m 1, m2, m3, m4 e p como no Teorema de Lmtação Geral. Coroláro 4.1: Se em adção as hpóteses do Teorema 4.2, G(s) tem somente zeros reas e pólos reas smples que satsfazem a condção de bracketng p = m 3, junto com m 2 1, então y(t) apresentará exatamente undershoot do tpo r u para t > 0, com r u como no Teorema 4.2. O Coroláro 4.1 fornece, para uma classe maor de sstemas contínuos no tempo e de fase não mínma, o número exato de vezes que a resposta a degrau assocada apresenta undershoot. A sua prncpal lmtação está no fato que plantas com pólos complexos conjugados não estão ncluídos na classe anterormente referda. Além dsso, pode-se observar, também com relação ao undershoot: Os resultados relatvos a undershoot até então dscutdos, relaconam o efeto na resposta a degrau causado por zeros de fase não mínma. No entanto, zeros do semplano aberto esquerdo também podem causar extremos que acarretam o undershoot. Por exemplo, consdere o sstema de fase mínma cuja função de transferênca G(s) seja dada por (10), com z = -0.1 e p = -1. Pelo Teorema 2.5, como p < z, G(s) possu extremos. Medante a análse da resposta a degrau y(t), nota-se a exstênca de um ponto de mínmo negatvo e um de máxmo. Dessa forma, o undershoot apresentado por y(t) é devdo ao zero z = - 0.1, que é um zero real negatvo. Portanto, o sstema (10) é uma classe de sstemas de fase mínma apresentando o efeto do undershoot.

8 Outro ponto é que a resposta a degrau y(t) do sstema caracterzado pela função de transferênca contínua no tempo pode apresentar undershoot em t = t o mas não satsfazendo a condção (15) da Defnção 4.4. Uma dscussão mas detalhada desse fato será efetuada na subseção Undershoot do tpo r u Estenddo na Resposta a Degrau A Defnção 4.5 de undershoot do tpo r u, exge as seguntes hpóteses (León de la Barra, 1994). Hpótese 1: Consdere um sstema raconal SISO caracterzado pela função de transferênca contínua no tempo G(s). G(s) é também estrtamente própra, assntotcamente estável e de fase não mínma, não possundo zeros na orgem do plano complexo. Tal defnção caracterza o número de vezes em que a resposta a degrau apresenta undershoot, consderando o número de mínmos locas negatvos de ky(t). É fácl ver que as condções (13)-(15) são sufcentes para a exstênca de um mínmo local negatvo em t = t, mas em partcular a condção (15) não é necessára. Consdere por exemplo que as condções (13) and (14) são verfcadas em t = t e que & y (t )= 0. Suponha que exste uma constante postva δ tal que para todo t (t - δ, t ) tem-se k& y(t)<0, e que para todo t (t, t + δ ) tem-se k& y(t)> 0, respectvamente. Então, exste um mínmo local de ky(t) em t = t (Courant, (1965), pp. 242). Slva et al. (2001) encontra um exemplo dessa stuação, o qual e apresentado a segur. Example 1: Consdere a função de transferênca G(s) dada por: ( s - z )( s - z~ ) 7 0 (s - z) (s - z )( s s ) = 1 G(s)= (16) (s + 1) [(s + 1) + π ] [ (s + 1) + 4π ] sendo que z, z, = 1,..., 7 são zeros complexos conjugados de G(s) e z, z, z ~ 0 são zeros reas. Os valores de z, z, z ~ 0 e z, = 1,..., 7 são dados por z 0 = , z = , z ~ = , z 1 = j, z 2 = j, z 3 = j, z 4 = j, z 5 = j, z 6 = j e z 7 = j. Observa-se que G(s) tem ganho k = 1. A Fgura 1, mostra o gráfco y(t), de onde se depreende que y(t) tem um mínmo local negatvo em t = 1 s. Slva et all (2001) mostra que y(1) = -2π + 1 < 0, y& (1)= 0, e & y&(1)= 0, respectvamente. Então, a condção (15) na Defnção 4.4 não é satsfeta em t=1, mas pela Fgura 1, a resposta a degrau exbe undershoot do tpo B. Medante os resultados obtdos no Exemplo 1, observa-se a necessdade de uma caracterzação mas geral de undershoot múltplo na resposta a degrau. Tal caracterzação, dada a segur, é uma das contrbuções de Slva et all (2001), o undershoot do tpo r u estenddo. Defnção 4.1.1: Seja G(s) como na hpótese 1 e com ganho não nulo k. Seja y(t) resposta a um degrau untáro e postvo. Então dz-se que y(t) apresenta undershoot do tpo r u estenddo para t > 0 se as seguntes três condções são satsfetas: Exstem exatamente r ue valores dferentes de t, 0 < t 1 < t 2 <... < < +, tas que () () y(t ) k <0, = 1,..., r, (17) ue y(t) & t=t = 0, = 1,..., r ue, (18) tr ue

9 () k & y(t ) > 0, ou (19) t=t & y(t ) = 0, e exste uma constante postva δ t=t tal que, (20) k y( & t )< 0, para todo t (t -,t ) e (21) δ k y( & t )>0 para todo t (t,t + δ ), = 1,..., r ue. (22) Tem-se então o segunte teorema. Fgura 1: Resposta a degrau untáro para G(s) dada por (16). Teorema 4.1.2: (Slva et al. (2001)) Seja G(s) como na Hpótese 1, com ganho untáro e m 1 zeros reas no semplano aberto dreto. Então y(t) apresentará pelo menos undershoot do tpo r u estenddo para t > 0 com r ue, no sentdo da Defnção e dado r u e = nt[(m 1 + 1)/2], onde [.] denota a parte ntera. 5. CONCLUSÕES Apresentou-se, nesse trabalho, um tutoral relatvo ao estudo de extremos, overshoot e undershoot especfcamente para sstemas de controle lnear estáves e contínuos no tempo. Dessa forma, são as seguntes as contrbuções do trabalho: () apresentação dos resultados relatvos a extremos, overshoot e undershoot e descrtos na lteratura, de uma forma ddátca, bem como a apresentação de referêncas bblográfcas; () apresentação de um novo resultado relatvo ao assunto para funções de transferênca de sstemas de controle lneares estáves e contínuos no tempo de tercera ordem, com pólos e zeros reas, a saber: Teoremas 2.5 e Coroláro 2.5 (condção necessára e sufcente para a exstênca de extremos); () a assocação de zeros localzados no semplano esquerdo a undershoot. Apresentou-se uma classe de sstemas possundo apenas pólos e zeros reas localzados no semplano aberto esquerdo, em que a resposta a uma entrada degrau untáro apresenta undershoot, o sstema de fase mínma (10). Observa-se que na lteratura, os resultados relatvos a undershoot estão assocados apenas a zeros de fase não mínma. Esse trabalho permtrá um melhor entendmento no que dz respeto ao posconamento de pólos e zeros para a ocorrênca de extremos, overshoot e undershoot em sstemas de controle lneares contínuos no tempo. Apesar dos resultados obtdos pelos autores serem apenas para sstemas de segunda e tercera ordem, com pólos e zeros reas, acredta-se que tas contrbuções são mportantes, vsto que na prátca, em dversas stuações exste a necessdade de se efetuar a redução da ordem do sstema. Além dsso, tas resultados podem ter váras aplcações em engenhara de controle e podem, por exemplo, serem usados em projetos de controladores sem overshoot (Moore, 1990).

10 6. REFERÊNCIAS Courant, R., John F. (1965). Introducton to Calculus and Analyss, vol. 1., New York, Ny: John Wley & Sons. El-Khoury, M et all. (1993). Influence of Zero Locatons on the Number of Step-response Extrema, Automatca, vol. 29, n o 6, pp Hauksdóttr, A. S. (1996). Analytc Expressons of Transfer Functon Responses and Chose of Numerator Coeffcentes (Zeros), IEEE Trans. Automat. Control, vol. 41, n o 10, p Howell, J. R. (1996). Comment Regardng On undershoot n SISO Systems, IEEE Trans. Automat. Control, vol. 41, n o 12, p Howell, J. R. (1997). Some classes of Step-response Model Wthout Extrema, Automatca, vol. 33, n o 7, p León de la Barra, B.A. (1992). Zeros and ther nfluence on tme and frequency doman propertes of scalar feedback systems, Ph.D., dssertaton, Dept. Electr. Comp. Eng., Unv. of Newscastle, Australa. León de la Barra, B.A. (1994). On undershoot n SISO systems, IEEE Trans. Automat. Control, vol. 39, n o 3, pp León de la Barra, B.A., Fernández, M. A. (1994a). Transent Propertes of Type m Contnuous Tme Scalar Systems, Automátca, vol. 30, n o 9, pp León de la Barra, B.A., et all (1998). Lnear Multvarable Servomechansms Revsted: Systems Type and Accuracy Trade-offs, Automátca, vol. 34, n o 11, pp Ln, S. and Fang, C. (1997). Nonovershootng and Monotone Nondecreasng Step Response of a Thrd- Order SISO Lnear System, IEEE Trans. Automat. Control, vol. 42, n o 9, p Mangalvedekar, H.A. (1987). Comments on On undershoot and nonmnmum phase zeros, IEEE Trans. Automat. Control, vol. 32, n o 8, p Mddleton, R.H. (1991). Trade-offs n lnear control system desgn, Automatca, vol. 27, n o 2, pp Mta, T. and Yoshda, H. (1981). Undershootng phenomenon and ts control n lnear multvarable servomechansms, IEEE Trans. Automat. Control, vol. 26, n o 2, pp Moore, K. L and Bhattacharyya, S. P. (1990). A Technque for Choose Zero Locatons for Mnmal Overshoot, IEEE Trans. Automat. Control, vol. 35, n o 5, pp Porter, B. (1987). Comments on On undershoot and nonmnmum phase zeros, IEEE Trans. Automat. Control, vol. 32, n o 3, p Rachd, A. (1995). Some condtons on zeros to avod step-response extrema, IEEE Trans. Automat. Control, vol. 40, n o 8, pp Rachd, A. Scal C., (1999a), Control of overshoot n the response of chemcal processes, Computers &Chemcal Engneerng, 23: S1003-S1006, Suppl. S Jun 1. Res, C. A. (1994). Determnação do sobre-snal e tempo de manobra em sstemas lneares monovaráves com zero ou autovalor múltplo. São Paulo, Tese (Doutoramento) - Escola Poltécnca, Unversdade de São Paulo. Res, C. A., Slva N. A. P. (2001). Condções Necessáras e Sufcentes Para a Exstênca de Overshoot em Sstemas Lneares Contínuos e de Segunda Ordem, Anas da 1 a Escola Braslera de Aplcações em Dnâmca e Controle, pp Slva N. A. P., Res, C. A. (2001), On The Defnton of Type R u Undershoot n The Step Response, Anas da 1 a Escola Braslera de Aplcações em Dnâmca e Controle, pp Vdyasagar, M. (1986). On undershoot and nonmnmum phase zeros, IEEE Trans. Automat. Control, vol. 31, n o 5, p Wdder, O. V. (1934). The Inverson of Laplace Integral and the Related Moment Problem, Trans. Am. Math. Soc., vol. 36, pp

11 THE OVERSHOOT AND UNDERSHOOT IN THE LINEAR CONTROL CONTINUOUS TIME SYSTEM: A SURVEY Céla Aparecda dos Res* cela@fqm.fes.unesp.br Neusa Augusto Perera da Slva* neusa@fqm.fes.unesp.br Marcelo Carvalho Mnhoto Texera + marcelo@fqm.fes.unesp.br * Departamento de Matemátca; + Departamento de Engenhara Elétrca; Unversdade Estadual Paulsta - UNESP, Faculdade de Engenhara de Ilha Soltera - FEIS, C.P. 31, Ilha Soltera - SP, Brasl. Keywords: Extrema, overshoot, undershoot, poles, zeros Abstract: A survey about condtons to avod overshoot and undershoot n the step-response of scalar contnuous tme transfer functons s presented. Addtonally, one smple result s offered: one necessary and suffcent condton for the exstence of extremes n the step-response of thrd order contnuous tme transfer functons, based on ts poles and zeros. The authors presented also a class of mnmum phase thrd order contnuous tme system wth real open left half plane poles that exhbts undershoot n the step response.