EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1 VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Rio de Janeiro / 008 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

2 UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo Branco - UCB. Un3e Universidade Castelo Branco Equações Diferenciais / Universidade Castelo Branco. Rio de Janeiro: UCB, p.: il. ISBN Ensino a Distância.. Título. CDD Universidade Castelo Branco - UCB Avenida Santa Cruz, Rio de Janeiro - RJ Tel. (1) Fa (1)

3 Responsáveis Pela Produção do Material Instrucional Coordenadora de Educação a Distância Prof.ª Ziléa Baptista Nespoli Coordenadora do Curso de Graduação Sonia Albuquerque - Matemática Conteudista Antonio Fábio Serafi m Supervisor do Centro Editorial CEDI Supervisor do Centro Editorial CEDI Joselmo Botelho

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5 Apresentação Prezado(a) Aluno(a): É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de graduação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, conseqüentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docente esperam retribuir a sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua. Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhecimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica. Seja bem-vindo(a)! Paulo Alcantara Gomes Reitor

6 Orientações para o Auto-Estudo O presente instrucional está dividido em três unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com êito. Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades complementares. As Unidades 1 e correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1. Na A poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das três unidades. Havendo a necessidade de uma avaliação etra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o conteúdo de todas as Unidades Programáticas. A carga horária do material instrucional para o auto-estudo que você está recebendo agora, juntamente com os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso. Bons Estudos!

7 Dicas para o Auto-Estudo 1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo. - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções. 3 - Não deie para estudar na última hora. 4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor. 5 - Não pule etapas. 6 - Faça todas as tarefas propostas. 7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina. 8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a auto-avaliação. 9 - Não hesite em começar de novo.

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9 SUMÁRIO Quadro-síntese do conteúdo programático Contetualização da disciplina UNIDADE I EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Introdução Classificação Ordem e Grau Soluções Solução Geral e Solução Particular UNIDADE II EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM.1 - Introdução Equações Separáveis Equações Homogêneas Equações Eatas Fator Integrante Equações Lineares... 9 UNIDADE III APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM NA GEOMETRIA Família de Curvas Aplicações Trajetórias Ortogonais Glossário Gabarito Referências bibliográficas... 45

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11 Quadro-síntese do conteúdo programático 11 UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS I - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Introdução 1. - Classificação Ordem e Grau Soluções Solução Geral e Solução Particular Diferenciar uma equação diferencial ordinária de uma equação diferencial parcial; Determinar a ordem e o grau de uma equação; Verificar se uma função é solução da equação dada; Resolver problemas, dado o valor inicial. II - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM.1 - Introdução. - Equações Separáveis.3 - Equações Homogêneas.4 - Equações Eatas.5 - Fator Integrante.6 - Equações Lineares Transformar uma equação da forma normal para a forma diferencial e vice-versa; Identificar os diversos tipos de equações diferenciais; Resolver uma equação diferencial separável; Resolver uma equação diferencial homogênea; Resolver uma equação diferencial eata; Determinar o fator integrante e resolver a equação usando o fator integrante; Resolver uma equação diferencial linear. III - APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFEREN- CIAIS DE 1ª ORDEM À GEOMETRIA Família de Curvas 3. - Aplicações Trajetórias Ortogonais Identificar famílias de curvas, dada uma equação diferencial; Representar uma família de curvas no plano cartesiano; Determinar a equação diferencial de uma família de curvas; Encontrar as trajetórias ortogonais a uma família de curvas.

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13 Contetualização da Disciplina 13 Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido, evitando as receitas prontas e o formalismo ecessivo. O objetivo é fazer com que você compreenda as idéias básicas da disciplina de Equações Diferenciais e, quando necessário, saiba transferir as estruturas adquiridas às outras áreas de conhecimento. É importante observarmos a importância do perfeito entendimento das disciplinas de Cálculo I, II e III para a compreensão dessa disciplina. Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado.

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15 UNIDADE I 15 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Introdução Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. Vejamos alguns eemplos: 1. - Classificação Uma equação diferencial pode ser classificada em: Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) quando eiste apenas uma variável independente. Eemplos: Os itens a, b e c do eemplo anterior. Equação Diferencial Parcial quando a função incógnita depende de mais de uma variável independente. Podemos citar, como eemplo, os itens a, b e c, que são equações diferenciais ordinárias, enquanto o item d é uma equação diferencial parcial Ordem e Grau A ordem de uma equação diferencial é a ordem mais alta derivada que nela comparece. Eemplos:

16 16 O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita como um polinômio na função incógnita e suas derivadas, é dado pela maior potência que define a ordem da equação. Eemplos: Soluções Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente, num intervalo, é uma função y(), que verifica identicamente a equação para todo no intervalo. Eemplos: a) Verifique se y = ² 1 é uma solução da equação () + y = 1 4 y' : Se y = ² 1 y =. Então:. Logo, y = ² 1 não é solução da equação () + y = 1 4 y'. b) Dada a equação diferencial ordinária y +y=0, verifique se y = C. e é solução da mesma. Se y = C. e y' =. C. e y ' + y =. C. e +. C. e = 0. Logo, y = C. e é solução da equação y +y= Solução Geral e Solução Particular Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução da equação, enquanto a solução geral é o conjunto de todas as suas soluções. Eemplo: A solução y = C. e é uma solução geral da equação, mas, quando atribuímos valores a C (constante arbitrária), obtemos soluções particulares da equação. Como: y = e ; y =. e ; y = e ; são soluções particulares da equação.

17 Eercícios de Fiação 1) Determine a ordem e o grau das equações abaio. 17 ) Verifique se a função dada constitui uma solução da equação correspondente, onde c é constante. 3) Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y' ' y = 0? ( a ) y = e ( b ) y = sen ( c ) y = ( d ) y =0 ( e ) y = + 1 ( f ) y = 3 4) Determine a solução do problema de valor inicial, sabendo que a solução geral da y = c. e em que c é uma constante arbitrária. equação é (), Eercícios de Auto-avaliação 1) Verifique se a função dada constitui uma solução da equação correspondente, em que c e k são constantes. ) Mostre que y 1 = 1 é solução de mas não o é em qualquer intervalo I = 1,1 : mais amplo contendo ] [

18 18 3) Determine o valor de 4) Determine uma solução particular da equação y ' + 4 y = 0, sabendo que y( 0 ) = 0 e y' ( 0) = 1 e y = c1. sen + c. cos é a solução geral da equação. Verifique a solução encontrada na equação dada.

19 UNIDADE II 19 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM.1 - Introdução Uma equação diferencial de 1ª ordem pode ser escrita na forma diferencial ou na forma normal., FORMA NORMAL y = f (, y) Eemplos: FORMA DIFERENCIAL M (, y).d + N (, y).dy = 0 Eemplos: Observe que os eemplos a e b das duas formas são os mesmos, escritos de forma diferente.. - Equações Separáveis Seja uma equação diferencial, na forma diferencial,. A equação se diz separável ou de variáveis separáveis, se: M ( y) = A( ), função somente de ; N ( y) = B( y) Eemplos:, função somente de y. SOLUÇÃO GERAL: Consideremos a equação separável: A solução é:

20 0 Eemplos: 1) Resolver a equação Solução: ) Resolver a equação Solução: + 1 y, = y : + 1 Então: Observe no segundo eemplo que nem sempre temos condições de eplicitar y em função de. Logo, a solução ficará na forma implícita. 3) Resolver a equação Solução: A condição dada de y ( 0 ) = 1 nos leva a uma solução particular da equação. Eercícios de Fiação 1) Resolva as equações diferenciais abaio:

21 1 ) Pesquise equações diferenciais separáveis, resolva e verifique o resultado encontrado, derivando a resposta..3 - Equações Homogêneas Função Homogênea n Uma função f (, y) é dita homogênea se f ( t, t. y) t. f (, y) Eemplos: a). =, onde n é o grau de homogeneidade. Temos:. Logo, é uma função homogênea de grau. + y b) ( ) f, y = e t. + t. y t. Temos: f ( t t y) e e ( + y) n.,. = = t. f (, y). + y Logo, a função ( ) Equação Homogênea f, y = e não é homogênea. Uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem, (, y) N( y) M e, forem homogêneas com o mesmo grau de homogeneidade. é dita homogênea se as funções

22 Observe que sendo M (, y) N(, y) e homogêneas, com o mesmo grau de homogeneidade, temos: Fazendo: separáveis., a equação se transforma em uma equação de variáveis Vejamos: Como: Conseqüentemente a equação pode ser escrita. Logo:. Portanto, fazendo as transformações transformamos uma equação homogênea em uma equação separável em e t. Resolvendo a equação separável e substituindo voltamos às variáveis originais. Eemplo: Resolva a equação: (y ). d + ( + y). dy = 0. Solução: Como M e N são funções homogêneas de grau 1, logo a equação é uma equação homogênea. Substituindo y = t. e dy = t.d +.dt, temos:

23 Simplificando a equação por, encontramos: 3 Encontramos: Substituindo t = y Encontramos: Obs.: Algumas equações diferenciais ordinárias podem ter mais de uma classificação, logo, mais de uma forma diferente de ser resolvida. Como eemplo, temos o segundo eercício, que mostra uma equação que é separável e homogênea e pede para resolver das duas formas. Eercícios de Fiação 1) Verifique se as funções dadas abaio são homogênea e, em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade: ) A equação é uma equação de variáveis separáveis e é uma equação homogênea. Resolva das duas formas, comparando os resultados obtidos: 3) Resolva a equação diferencial caso seja homogênea:

24 4 4) Resolva as equações diferenciais abaio:.4 - Equações Eatas Uma equação diferencial de M(, y).d + N(, y).dy = 0 é dita eata se eiste uma função ( y) u, tal que: du (, y) = M(, y).d + N(, y).dy. Mas (diferencial total). Comparando a definição com a diferencial total, temos: Se M e N são funções contínuas com derivadas parciais primeiras contínuas em uma região do plano y, então a equação é eata se, e somente se: SOLUÇÃO: Se Eemplos: 1) Resolver a equação:. Solução: Primeiro devemos verificar se ela é eata.

25 Logo: 5 Então a solução é:. ) Resolver a equação: Solução: Inicialmente, vamos verificar se ela é eata. A solução é dada por: Então: Portanto, g '() y = 1 g() y = y + K. Logo,. Eercícios de Fiação 1) Verifique se cada equação abaio é eata ou não: ) Resolva as equações que forem eatas:

26 6 3) Resolva a equação diferencial eata, dado o valor inicial: 4) Verifique se a equação diferencial é: a) separável b) homogênea c) eata.5 - Fator Integrante Seja a equação diferencial. M Sabemos que quando ocorre y N = ela é dita eata. Se a equação não for eata, tenta-se transformar essa equação em uma equação eata, mediante uma multiplicação por um fator adequado. Eemplo: A equação 1 Mas, se multiplicarmos a equação por, obtemos:, que é uma equação diferencial M N 1 eata, pois = =. y 1 Esse fator, é chamado fator integrante. Definição Seja a equação diferencial M(, y).d + N(, y).dy = 0. Uma função ( y) I, é um fator integrante da equação M(, y).d + N(, y).dy = 0 se a equação diferencial I(, y).[m(, y).d + N(, y).dy] = 0 é eata. Em geral, toda equação tem um fator integrante, como é provado, porém em alguns casos é difícil encontrá-lo. Eemplo: Verifique se a função I( y) Solução: 1, = é fator integrante da equação. y Observe que a equação M N (, y) = y M (, y) (, y) =. y + 1 N (, y) y =. y = y M y não é eata, pois: (, y) N (, y). Se I( y) 1, = é um fator integrante da equação, a equação y é eata.

27 Aplicando a propriedade distributiva, a equação fica da seguinte forma:. 7 Temos: M N (, y) = y M (, y) 1 y (, y) = + N (, y) Portanto, I( y) y = 1 = 1 M y (, y) = N (, y). 1, = é um fator integrante da equação. y Teorema Se não é uma equação eata e possui uma solução geral u(, y) = K, K R, então, eiste um fator integrante. Dem.: Diferenciando ( y) u, = K, temos:. Logo:. (1) Da equação inicial podemos tirar que () Comparando (1) e (), temos: u u M : = y N (, y) (, y) Sendo M N (, y) (, y) = I(, y), segue-se que: Mas Colocando o fator ( y) I, em evidência, temos: Portanto, para toda equação diferencial que possui solução temos um fator integrante, ( y) I,.

28 8 Determinação do Fator Integrante Muitas vezes o fator integrante é determinado por inspeção. O êito de encontrar o fator integrante vai depender, então, da habilidade do calculista em reconhecer que determinado grupo de termos constitui uma equação diferencial eata, ou um fator integrante para aquela equação. Em alguns casos, os fatores integrantes podem ser determinados com o auílio do teorema a seguir, que nos dá condições de descobrir um fator integrante quando as funções satisfazem as determinadas condições. Seja a equação diferencial e a função ( y) I, um fator integrante. 1 N a) Se.( M N ) g(), y = equação. 1 M b) Se.( M N ) h(), y y = equação. função somente de, então função somente de y, então c) Se M = y. f (. y) e N =. g(. y), então a função I(, y) equação. 1 =. M y. N é um fator integrante da é um fator integrante da é um fator integrante da Eemplo: Resolva a equação diferencial, encontrando um fator integrante: Solução: Transformando para a forma diferencial, encontramos:. Observe que: Logo, não é uma equação diferencial eata. Vamos então pesquisar um fator integrante. 1 N integrante. 1 função apenas de, então 1 Se.( M N ) =.( 0) =, y é um fator Conseqüentemente, a equação é eata. Conferindo: é eata, vejamos:. Portanto, resolvendo a equação :

29 Seja ( y) u, a solução da equação, logo: 9 Então: u =.. y. e + g' () =.. y. e. e g' () =. e. Portanto,. Logo, a solução é ou K e K 1 y = y = + y = K 1. e. e e + 1 Eercícios de Fiação 1) Determine um fator integrante para cada equação abaio: ) Dada a equação diferencial. dy y. d = 0, pede-se: a) encontrar um fator integrante e resolver como uma equação diferencial eata. b) resolver como uma equação diferencial separável. 3) Encontre um fator integrante e resolva a seguinte equação: y. d +. y. dy = Equações Lineares Uma equação diferencial de 1ª ordem é dita equação diferencial linear quando ela pode ser escrita na forma:, () y g() y + f. =. O aspecto característico dessa equação é o fato de ela ser linear em y ser quaisquer funções dadas de. e y', enquanto f () e g() podem

30 30 Eemplos: Resolução de uma Equação Linear 1º Caso: Quando () = 0 g. No caso de g () = 0, temos y + f (). y = 0. Temos:, Podemos escrever: Observe que no caso de () = 0 g toda equação linear é uma equação separável. º Caso: Quando () 0 g., No caso de g () 0, temos y + f (). y = g(). Logo: Verificamos que a equação obtida não é eata, pois. Portanto, vamos pesquisar um fator integrante para essa equação. 1 Sabemos que se.( ) N M y N é uma função apenas de, podemos descobrir um fator integrante. No caso, temos: então: é um fator integrante da equação. Multiplicando a equação pelo fator integrante, a transformamos numa equação eata. Temos:

31 Chamando 31 Mas Resolvendo a equação, temos: h temos: u = y. e. h ' + j' (). Mas falta descobrir j (), então, derivando a solução u em relação a Comparando u na diferencial total, temos: h () h h ' + j' = e. f. y g e. Lembrando que y. e. h. Portanto, podemos escrever: Logo, a solução Ou. Mas. Portanto,, Logo, se y + f (). y = g(), com () 0 g.

32 3 Eemplos: 1) Resolva a equação y ' + 3. y = 0 : Como () = 0, g estamos na situação de equação linear vista como no primeiro caso, logo: ) Resolva a equação y' + y = 3 : É uma equação linear do tipo visto no º caso, com Como g () 0, temos: Eercícios de Fiação 1) Resolva as equações diferenciais de variável linear: ) Resolva a equação diferencial, dado o valor inicial: Eercícios de Auto-avaliação 1) Resolva as equações diferenciais:

33 Para ilustrar o seu conhecimento, pesquise sobre as equações de Bernoulli, Riccati, Lagrange e Clairaut. 33

34 34 UNIDADE III APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM NA GEOMETRIA Família de Curvas Para cada valor fio de k, k R, a equação F(, y, k) representa uma curva no plano y e, para k variável, ela representa um número infinito de curvas. A totalidade dessas curvas é chamada família de curvas de um parâmetro, e k é chamado parâmetro da família. E.: a) F (, y, k) = + y k = 0 representa uma família de retas paralelas, cada reta corresponde precisamente a um valor de k. Por eemplo, para k = 1 + y 1 = 0 k = + y = 0 k = 3 + y 3 = 0 k = 1 + y + 1 = 0

35 b) representa uma família de circunferências de centro na origem e raio K. 35 Por eemplo, para k = 1 k = k = 3 + y + y + y = 1 = 4 = Aplicações 1) Determine a equação diferencial da família de circunferências de raio K e centro na origem: Solução: Derivando implicitamente, temos: ) Determine e identifique a família de curvas cuja equação diferencial é Solução: y y' = : y = C. A família de curvas é representada por =, que é uma família de parábolas de vértice na origem. y C.

36 Trajetórias Ortogonais Duas famílias de curvas são mutuamente ortogonais quando as curvas de uma família interceptam as curvas da outra, formando um ângulo reto, formando assim uma rede ortogonal. Quando são dadas as curvas de uma família e queremos descobrir uma outra família ortogonal, as curvas da família a ser obtida são chamadas de trajetórias ortogonais das curvas dadas. O ângulo de intersecção entre duas curvas é definido como o ângulo entre suas tangentes no ponto de intersecção. Seja uma família de curvas que pode ser representada por uma equação diferencial y ' = f (, y). Uma curva da família que passa por um ponto ( 0, y 0 ) tem nesse ponto o coeficiente angular f ( 0, y 0 ). O coeficiente angular da trajetória ortogonal que passa por ( 0, y 0 ) deve ser o recíproco negativo de 1 f ( 0, y 0 ), isto é, f (, y ), porque esta á a condição para que as tangentes de duas curvas em ( ) 0, y sejam perpendiculares. (Geometria Analítica Duas retas r e s são perpendiculares se o produto dos coeficientes angulares for igual a 1). 1 y' =, e as trajetórias ortogonais são de- f Logo, a equação diferencial das trajetórias ortogonais é: terminadas integrando essa equação. (, y) Eemplo: Dada a família de parábolas = c, encontre: y. a) A equação diferencial dessa família. b) A equação diferencial das trajetórias ortogonais. c) As trajetórias ortogonais. Solução: a) Se Logo, 1 1 b) y' = = y' =. f (, y) y y y y y' =.. y' =. c). Eercícios de Fiação 1) Ache a equação da curva que passa pelo ponto (, 1) e cujo coeficiente angular é, em cada ponto, igual a y 1 + : ) Represente as famílias de curvas abaio por equações diferenciais:

37 3) Dada a família de curvas a) A equação diferencial dessa família. b) A equação diferencial das trajetórias ortogonais. c) As trajetórias ortogonais. 37 4) Pesquise sobre: aplicações de equações diferenciais de 1ª ordem. (Sugestão problemas de variação de temperatura, problemas envolvendo queda de corpos com resistência do ar, circuitos elétricos, etc.)

38 38 Se você: 1) concluiu o estudo deste guia; ) participou dos encontros; 3) fez contato com seu tutor; 4) realizou as atividades previstas; Então, você está preparado para as avaliações. Parabéns!

39 Glossário Equação Diferencial - equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. Equação Eata - equação M(,y).d + N(,y).dy = 0, em que a derivada parcial de M em relação à variável y é igual à derivada parcial da função N em relação a. Equação Homogênea - equação M(,y).d + N(,y).dy = 0, em que M e N são funções homogêneas com o mesmo grau de homogeneidade. Equação Linear - equação M(,y).d + N(,y).dy = 0, que pode ser escrita na forma: y + f().y = g(). Equação Separável - equação M(,y).d + N(,y).dy = 0, que você pode escrever M(,y) = A() e N(,y) = B(y). Fator Integrante - uma função I(,y) é um fator integrante da equação M(,y).d + N(,y).dy = 0, se I(,y).[ M(,y). d + N(,y).dy ] = 0 é uma equação eata. Solução Geral - é o conjunto de todas as soluções da equação diferencial. Solução Particular - a solução particular é qualquer solução da equação. 39

40 40 Gabarito Eercícios de Fiação Unidade I Página 17: 1) a) 3ª ordem e 1º grau b) ª ordem e 7º grau ) a) é solução b) não é solução c) é solução d) é solução 3) a) é solução b) não é solução c) é solução d) é solução e) não é solução f) não é solução 4) y =. e 3 Unidade II Página 0:

41 41 Página 3: 1) a) É homogênea de grau b) É homogênea de grau 1 c) É homogênea de grau 1 d) Não é homogênea ) Os dois resultados obtidos devem ser iguais ou equivalentes. 3) Não é homogênea. 4) a) b) Página 5: 1) a e b são eatas. 3)

42 4 4) a) é separável b) é homogênea c) não é eata Página 9: ) = K y 3) Fator integrante: Solução: 1 (a equação admite outros fatores integrantes); y Página 3: 1) a) b) y = K. e K y = e c) y = 3. + K. ) y = 3. cos. cos Unidade III Página 36: 1) ) y a) y ' = b) y' = 3 y 3) a) b) 3 y y' = y' = 3 y

43 c) 3 y + = K Eercícios de Auto-avaliação: 43 Unidade I Página 17: 1) a) Não é solução b) É solução c) É solução d) É solução 3) a = 1 e b = 1; 1 4) Solução particular: y =. sen Para verificar que é solução é só substituir y e y' na equação dada. Unidade II Página 3: b) y y c) + y = cos + k; k = 1 + y + cos = 1 i). y. sen + y = K

44 44 y j) + y. + = K 3 3 k) y = K. e 1 1 l) y = e + K. e m) e y = + + K

45 Referências Bibliográficas BRONSON, Richard. Moderna Introdução às Equações Diferenciais. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 4 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 000. KREYSZIG, Erwin. Matemática Superior. Tradução de Carlos Campos de Oliveira. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Ltda., 198. v. 1. LEIGHTON, Walter. Equações Diferenciais Ordinárias. Tradução de Luiz Adauto da Justa Medeiros. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução de: Antonio Paques, Otilia Teresinha W. Paques, Sebastião Antonio José Filho e Seiji Hariki. São Paulo: Editora Harper & Row do Brasil Ltda. (HARBRA), v. I. MUNEM, Mustafá A. & FOULIS, David J. Cálculo. Traduzido por André Lima Cordeiro, André Vidal Pessoa, Evandro Henrique Magalhães de Almeida Filho e José Miranda Formigi Filho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Ltda., 198. v. I. THOMAS JUNIOR, George B. Cálculo. Tradução de Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Ltda., v

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