SUPRIMENTOS DE SONDAS: UMA ABORDAGEM DE PROGRAMAÇÃO ESTOCÁSTICA. Bruno Ferreira Vieira

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1 SUPRIMENTOS DE SONDAS: UMA ABORDAGEM DE PROGRAMAÇÃO ESTOCÁSTICA Bruno Ferreira Vieira Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia de Produção, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, omo parte dos requisitos neessários à obtenção do título de Doutor em Engenharia de Produção. Orientador: Virgílio José Martins Ferreira Filho Rio de Janeiro Março de 2014

2 SUPRIMENTOS DE SONDAS: UMA ABORDAGEM DE PROGRAMAÇÃO ESTOCÁSTICA Bruno Ferreira Vieira TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO. Examinada: Prof. Virgílio José Martins Ferreira Filho, D.S. Prof. Edilson Fernandes de Arruda, D.S. Profª. Laura Silvia Bahiense da Silva Leite, D.S. Prof. Paulo César Ribas, D.S. Prof. Silvio Hamaher, Dr. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL MARÇO DE 2014

3 Vieira, Bruno Ferreira Suprimentos de Sondas: Uma Abordagem de Programação Estoástia/ Bruno Ferreira Vieira. Rio de Janeiro: UFRJ/ COPPE, XII, 107p.: il., 29,7 m. Orientador: Virgílio José Martins Ferreira Filho. Tese (doutorado) UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia de Produção, Referênias Bibliográfias: p Programação Estoástia. 2. Sondas Offshore. 3. Logístia Offshore. I. Ferreira Filho, Virgílio José Martins. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia de Produção. III. Título iii

4 Dedio esse trabalho a minha esposa Camila, a minha filha Shushanaah e a meus pais, José Gil e Solange. iv

5 Agradeimentos A Deus sempre. A minha esposa Camila agradeço o inentivo, a ompreensão e a ajuda nesse período, sem os quais esse trabalho não seria onluído. Aos meus pais pelo inentivo onstante na busa pelo onheimento. Ao professor Virgílio por sua orientação e paiênia. A Felipe Bellini, Luiz Augusto Petrus Levy e aos olegas do CENPES/PDEP/TOOL por todo o apoio para a onretização desse trabalho. v

6 Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ omo parte dos requisitos neessários para a obtenção do grau de Doutor em Ciênias (D.S.). SUPRIMENTOS DE SONDAS: UMA ABORDAGEM DE PROGRAMAÇÃO ESTOCÁSTICA Bruno Ferreira Vieira Março/2014 Orientador: Virgílio José Martins Ferreira Filho Programa: Engenharia de Produção Esse trabalho tem omo objetivo usar ténias de programação estoástia para reduzir os ustos logístios relativos a suprimentos de sondas offshore, onsiderando que esse assunto é de grande importânia para a indústria do petróleo no Brasil. Dado o grande número de poços que preisam ser perfurados para atender o resimento esperado da produção naional de petróleo nos próximos dez anos, faz-se importante o aumento dos níveis de atendimento e a redução de ustos de adeia de suprimentos. Atrasos na entrega de suprimentos omo produtos químios e tubos podem resultar em tempo de parada de sondas, ujas taxas diárias de afretamento representam o maior usto na perfuração e na ompletação de um poço. Para tratar o problema foi formulado um modelo de otimização estoástia linear om variáveis positivas reais e inteiras. Dada a difiuldade de se resolver modelos de otimização om inerteza, vários métodos de resolução (disretização de enários, aproximação por média amostral, aproximação por latin hyperube sampling e redução de enários por bakward indution) foram usados. Os resultados mostram as diferenças entre ada um dos métodos de resolução e os ustos elevados de se usar modelos determinístios que usam a média omo parâmetro, ou seja, a inlusão de inerteza nos modelos é essenial para redução de ustos e melhoria de efiiênia. vi

7 Abstrat of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Dotor of Siene (D.S.). STOCHASTIC PROGRAMMING OF DRILLING RIGS SUPPLIES Bruno Ferreira Vieira Marh/2014 Advisor: Virgílio José Martins Ferreira Filho Department: Prodution Engineering The goal of this work is to use tehniques of stohasti programming to redue logisti osts regarding supplies to offshore drilling rigs. Sine there is an inreasing number of wells that need to be drilled for PETROBRAS oil prodution to reah its expeted growth over the next ten years, it is fundamental to inrease servie levels and to redue supply-hain offshore osts. Delays in deliveries of supplies suh as hemials and pipes may result in the interruption of the ativities of a drilling rig, whose daily rates represent the highest ost in the drilling and ompletion of a well. To deal with this problem, it was formulated a stohasti linear optimization model with mixed-integer deision variables. Due to the diffiulty in solving models with unertainty, several resolution methods (senario disretization, sample average approximation, approximation by latin hyperube sampling and senario redution by bakward indution) so that the optimal solution be found. The results show the differenes between the resolution methods and the high osts of using deterministi models that that use the mean as a parameter, to wi inluding unertainty is essential for reduing osts and improving effiieny levels. vii

8 SUMÁRIO I INTRODUÇÃO... 1 II METODOLOGIA E LITERATURA... 4 II.1 Breve Histório da Programação Estoástia... 4 II.2 Modelo de Dois Estágios... 5 II.3 Modelo Multiestágios... 6 II.4 Modelos om Restrições de Probabilidade... 8 II.5 Modelos om Medidas de Riso... 9 II.6 Valor da Informação Perfeita (EVPI) e Valor da Solução Estoástia (VSS) II.7 Ténias de Abordagem de Modelos Estoástios II.8 Modelos Estoástios em Cadeia de Suprimentos II.9 Síntese III O PROBLEMA DE SUPRIMENTO DE SONDAS OFFSHORE III.1 Aspetos Relevantes na Perfuração Offshore III.1.1. Etapas de Perfuração III.1.2. Produtos Químios III.2 Logístia na Exploração e Produção Offshore III.2.1 Dimensionamento de Sondas III.2.2 Sequeniamento de Projetos de Exploração om Restrição de Sondas III.2.3 Dimensionamento de Equipamentos Crítios para Atividades de Poço III.2.4 Planejamento e Sheduling de Frota Offshore e de Instalações Submarinas III.3 Desrição do Problema III.3.1 Modelo Coneitual III.3.2 Hipóteses adotadas III.3.3 Síntese IV MODELO MATEMÁTICO IV.1. Formulação Matemátia IV.2. Modelo sem Roteamento IV.2.1 Função Objetivo IV.2.2 Balanço de Massa IV.2.3 Limitações de Peso IV.2.4 Restrições de Não-Anteipatividade IV.3 Modelo om Roteamento V MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: ABORDAGENS ESTOCÁSTICAS E ROTEIRIZAÇÃO V.1 Abordagens Estoástias V.1.1 Modelo Disretizado V.1.2 Modelo om Sample Approximation Average (SAA) V.1.3. Modelo om Latin Hyperube Sampling (LHS) V.1.4. Modelo para obtenção de limites superiores V.1.5. Modelo om resolução por redução de enários V.2 Algoritmo usado para roteamento VI CASO DE APLICAÇÃO VI.1 Dados VI.1.1 Distânia VI.1.2 Parâmetros de Peso VI.1.3 Parâmetros de Estoque VI.1.4 Parâmetros de Custo VI.2 Análise das Variáveis Estoástias VI.2.1 Distribuição de Probabilidade da Demanda de Produtos Químios VI.2.2 Distribuição de Probabilidade de Demanda de Tubos VI.3 Resultados dos Métodos de Resolução sem Roteamento VI.3.1 Resultados do Modelo sem Roteamento Disretizado VI.3.2 Resultados do Modelo sem Roteamento om Sample Approximation Average (SAA). 73 viii

9 VI.3.3 Resultados do Modelo sem Roteamento om Latin Hyperube Sampling (LHS) VI.3.4 Resultados do Modelo sem Roteamento para Obtenção de Limites Superiores VI.3.5 Resultados do Modelo sem Roteamento om Redução de Cenários VI.4. Resultados dos Métodos de Resolução om Roteamento VI.4.1 Resultados dos Métodos de Resolução om Roteamento Disretizados VI.4.2 Resultados dos Métodos de Resolução om Roteamento e om SAA VI.4.3 Resultados dos Métodos de Resolução om Roteamento e om LHS VI.4.4 Resultados do Modelo om Roteamento para Obtenção de Limites Superiores VI.4.5 Resultados do Modelo om Roteamento e om Redução de Cenários VI.5 Síntese dos Prinipais Resultados VII CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO I ANEXO II ix

10 Lista de Figuras Figura I.1 Curva de produção projetada (fonte Petrobras)... 1 Figura III.1 Imagem de navio sonda Figura III.2 Imagem de sonda semi-submersível Figura III.3 Modelo sem roteamento Figura III.4 Modelo om roteamento Figure III.5 Navio de suprimento em atividade Figura III.6 Navio de suprimento oioso (fundeado) Figure III.7 Restrições de não-anteipatividade Figura III.8 Tubos Figura III.9 Produtos químios Figura III.10 Porto de Maaé Figura V.1 Árvore de deisão para produtos químios Figura V.2 Árvore de deisão para tubos Figura V.3 Árvore de deisão para os tubos no método de redução de enários x

11 Lista de Tabelas Tabela VI.1 Testes de aderênia das demandas de produtos químios Tabela VI.2 Resultados do modelo sem roteamento disretizado Tabela VI.3 EVPI e VSS para o modelo sem roteamento disretizado Tabela VI.4 Resultados do modelo SAA sem roteamento om 1 amostra Tabela VI.5 Tamanho do modelo SAA sem roteamento Tabela VI.6 Resultados dos limites inferiores do modelo SAA sem roteamento Tabela VI.7 Resultados dos limites superiores do modelo SAA sem roteamento Tabela VI.8 Resultados do modelo LHS sem roteamento (dividido em 5 espaços equiprováveis) 77 Tabela VI.9 Resultados para obtenção de limites superiores para modelo sem roteamento Tabela VI.10 Modelo sem roteamento e sem redução de enários e om redução de enários.. 79 Tabela VI.11 Resultados do modelo disretizado om roteamento em ordem resente Tabela VI.12 EVPI e VSS para o modelo disretizado om roteamento em ordem resente Tabela VI.13 Resultados do modelo SAA om roteamento em ordem resente om 1 amostra. 81 Tabela VI.14 Tamanho do modelo SAA om roteamento Tabela VI.15 Resultados dos limites inferiores do modelo SAA om roteamento em ordem resente Tabela VI.16 Resultados dos limites superiores do modelo SAA om roteamento em ordem resente Tabela VI.17 Resultados do modelo LHS om roteamento em ordem resente Tabela VI.18 Resultados para obtenção de limites superiores para modelo om roteamento em ordem resente Tabela VI.19 Modelo om roteamento em ordem resente sem redução de enários e om redução de enários xi

12 Lista de Abreviaturas Abreviatura CVar EEV EV EVPI LHS MIP PSV RP SAA Var VSS WS Signifiado Conditional Value-at-risk Expeted Result of the Expeted Value Expeted Value Expeted Value of Perfet Information Latin Hyperube Sampling Mixed Integer Programming Platform Supply Vessel Reourse Problem Sample Average Approximation Value-at-risk Value of the Stohasti Solution Wait and See xii

13 I INTRODUÇÃO Dados os planos arrojados para aumento da produção naional nos próximos anos (a Petrobras planeja dobrar a produção em pouos anos om a entrada em operação das plataformas no pré-sal da baia de Santos) e o aqueimento do merado da indústria do petróleo, é preiso maximizar o uso de reursos rítios omo sondas e suprimentos de sondas. Prinipalmente ao se levar em onsideração os altos ustos das sondas para águas ultra-profundas (era de US$ por dia), ou seja, uma sonda parada por falta de suprimentos ausa grande prejuízo diário além de atrasar o ronograma de perfuração e ompletação de poços, que por onsequênia pode aarretar em adiamentos de produção de óleo, podendo inlusive afetar os planos de investimento de médio e de longo prazos. Em resumo, falhas na programação da adeia de suprimentos de uma empresa de petróleo na área de exploração e produção preisam ser minimizadas. Seguem os planos de urva de produção para os próximos anos: Figura I.1 Curva de produção projetada (fonte Petrobras) Nesse ontexto, indústrias de grande esala, omo a do petróleo, a de proessos e a de produtos farmaêutios têm investido mais na redução de ustos de 1

14 estoque e de distribuição. Nesses ramos, a omplexidade é enorme, dados o grande número de produtos e de entros de distribuição intermediárias. Nos últimos anos om o aumento da veloidade de proessamento dos omputadores, tem oorrido maior uso tanto na literatura aadêmia quanto nas empresas omeriais de softwares que permitam a inserção de modelos de programação estoástia, que onsideram a inerteza inerente a modelos de maximização intertemporais. A eliminação dos piores enários por meio de restrições probabilístias também tem sido bastante usada quando se importa não só om o valor esperado mas também om a diminuição de risos. Nesse ontexto a formulação de modelos logístios estoástios para redução de ustos e risos assume grande relevânia para grandes empresas do ramo de petróleo, em partiular para a Petrobras. O objetivo desse trabalho é propor um modelo para suprimento de sondas que inorpore inertezas nos modelos de logístia offshore levando ainda em onsideração as partiularidades presentes nas operações das mesmas. Ao ontrário de outros modelos de adeia de suprimentos nos quais a demanda não-atendida de um produto resulta apenas na perda de um luro por unidade de produto, no aso das sondas a falta de qualquer unidade de ertos produtos pode levar a prejuízos enormes. Além disso, existe grande inerteza assoiada à demanda dos produtos pelas sondas. Ao onsiderar esses fatores relaionados às partiularidades das atividades das sondas residem as ontribuições dessa tese, já que esse ainda é um tema pouo abordado que apresenta grande potenial de ganhos na literatura de logístia offshore. O presente trabalho está organizado da seguinte forma. No apítulo II, são desritos as prinipais ténias de programação estoástia e os papers mais relevantes enontrados na literatura aadêmia para o tratamento da programação estoástia de suprimentos de sondas. No apítulo III, serão feitos uma introdução aos prinipais aspetos de perfuração e de logístia de poços offshore, uma desrição 2

15 ompleta do problema e serão enumeradas as premissas usadas para resolução. No apítulo IV, serão desritos os modelos e os métodos de solução usados. No apítulo V, serão desritos os dados utilizados e os ritérios usados na determinação dos parâmetros e das funções de distribuição de probabilidade. No apítulo VI, serão analisados os resultados obtidos. Por fim, no apítulo VII, serão avaliados os resultados dessa tese de doutorado e os possíveis trabalhos posteriores. 3

16 II METODOLOGIA E LITERATURA A programação estoástia é uma estrutura para a modelagem de problemas que envolvem inerteza ao ontrário dos problemas de otimização determinístia que são formulados om a premissa de que os parâmetros são onheidos (Sahinidis (2004)). Claramente essa premissa é bastante forte, em problemas reais difiilmente é verdadeira. Destaando a importânia de se medir as inertezas Birge e Louveaux (2012) afirmaram que... de aordo om um ditado franês Gérer, est prévoir, que pode ser traduzido omo (A arte de) gereniar está em prever. No presente, a probabilidade e a estatístia nos ensinaram há muito tempo que o futuro não poder ser previsto perfeitamente mas deve ser tratado omo aleatório ou inerto. O objetivo da programação estoástia está preisamente em ahar uma deisão ótima em problemas om inerteza. Além disso, omo ita Grossmann (2012), a otimização de problemas de larga esala, entre os quais estão os de otimização om inerteza, busa soluções para problemas desafiadores que são difíeis de serem resolvidos por abordagens monolítias, de modo que boas ténias de modelagem e habilidade na formulação de algoritmos desempenham papeis fundamentais. Nas seções seguintes serão feitos um breve histório da programação estoástia e uma desrição de alguns dos prinipais modelos usados e papers pesquisados mais similares ao projeto em questão de programação estoástia de suprimentos de sondas. II.1 Breve Histório da Programação Estoástia 4

17 A programação estoástia foi riada em meados do séulo XX e foi uma onsequênia dos avanços em programação linear e não-linear. Muitos anos passaram, entretanto, até que modelos efiientes de programação estoástia fossem formulados e analisados. Para uma revisão sobre modelos de otimização ver Biegler e Grossmann (2004) e para uma introdução sobre programação estoástia ver Birge e Louveaux (2012). Atualmente, existe na teoria de programação estoástia uma grande variedade de modelos. Alguns dos prinipais são: modelos de dois estágios; modelos multiestágios; modelos om restrição de probabilidade; modelos om medidas de riso. II.2 Modelo de Dois Estágios O modelo estoástio linear de dois estágios lássio foi formulado originalmente por Dantzig (1955) e Beale (1955). É um modelo básio de programação estoástia sendo que vários modelos mais omplexos, omo o multiestágios, derivam de alterações nas restrições ou na função objetivo do modelo de dois estágios. O modelo é definido pelas seguintes equações 1 : T T minz = x + E [minq( ω) y( ω)] (2.1) ξ s t. Ax = b T ( ω) x Wy( ω) = h( ω) 0, y( ω) 0. (2.2) + (2.3) x (2.4) 1 Os modelos apresentados nas próximas subseções II.2, II.3 e II.4 seguem a nomenlatura de Birge e Louveaux (2012). 5

18 As variáveis de deisão do primeiro estágio, que onstituem as deisões tomadas om inerteza, são representadas por um vetor x( n 1 x1 ). Relativas também ao primeiro período são também o vetor ( n1 x1 que muitas vezes é um vetor de ustos), o vetor b ( m1 x1em geral representa os reursos disponíveis) e a matriz A ( 1 x m1 n ). As variáveis de deisão do segundo estágio, que onstituem as deisões tomadas após a resolução da inerteza, são representadas por um vetor y ( n 2 x1). No segundo estágio, há a realização de um vetor de eventos aleatórios ω Ω, após a sua realização tornam-se onheidos q(ω) (em geral o vetor de ustos n 2 x1 da variável de deisão de segundo estágio na função objetivo), o vetor h(ω) (um vetor de reursos m 2 x1 das variáveis de deisão), e T(ω) (uma matriz m 2 x n1 ). Ressalte-se que um únio evento aleatório ω define todo o vetor de eventos T estoástios ξ = ( q ) T (ω, h ) T (ω, T ( ) T 1 ω,..., T T m2( ω ) ), ou seja, o vetor pode ter até n 1 + m 2 + ( m 2 x n1 ) elementos. A difiuldade omputaional na resolução de problemas estoástios de dois períodos reside na parte estoástia do modelo, que o torna muito mais omplexo que o modelo determinístio. II.3 Modelo Multiestágios O modelo multiestágios é uma generalização do modelo de dois estágios, no qual o número de períodos é aumentado. 6

19 Na vida real, a maior parte das deisões é intertemporal, ou seja, há vários períodos no qual são tomadas deisões om inerteza em ada período, aumentando a ada período o onjunto de dados disponíveis para o tomador de deisões. Há vários modelos na literatura. Nesse trabalho, será usada a formulação proposta por Birge e Louveaux (2012), om número finito de períodos H e om uma matriz de reursos determinístia W: minz = 1x 1 + E 2[min2( ω) x E H minh ( ω) xh ]] (2.5) ξ + ξ s. t. W x = h (2.6) T ( ω) x W x ( ω ) = h ( ω) 2 2 TH 1( ω) xh 1 + WH xh ( ωh ) = hh ( ω) x ; x 0,..., xh 0; t 2,..., H = 2 2 (2.7) (2.8) As variáveis de deisão x i dependem do histório até i, o que é visualizado no modelo pela expressão ω i. Na maioria dos modelos, supõe-se independênia entre os resultados da variável aleatória nos diversos períodos. Além disso, supõe-se que a variável aleatória é exógena. Nos últimos anos, os modelos multiestágios de programação estoástia têm sido usados om mais frequênia (Grossman (2005)), em espeial em modelos de otimização intertemporal de adeias de suprimentos. Em geral, lassifiam-se as deisões em três níveis: o nível operaional (urto prazo), nível tátio (médio prazo) e nível estratégio (longo prazo). Os modelos de programação estoástia multiestágios podem ser usados em todos esses níveis, visto que a premissa básia desses 7

20 modelos (a tomada de deisões om variáveis om inerteza) pode oorrer em todos os níveis. Conforme itam Gupta e Grossmann (2011) as restrições de nãoanteipatividade, que desempenham a função de garantir a existênia de inerteza, representam tipiamente 80% das restrições em problemas estoástios multiestágios e são proporionais ao quadrado do número de enários, ou seja, difiulta-se muito o tratamento omputaional de problemas do mundo real. Inlusive grandes empresas omo Petrobras, ver por exemplo Moraes (2013) e, Perdigão (vide já tem usado modelos intertemporais om inerteza a fim de obterem melhores resultados. II.4 Modelos om Restrições de Probabilidade A neessidade de garantia de altos níveis de qualidade de serviços para muitos empreendimentos ou o alto usto de falta de ertos produtos é o que enseja o uso de modelos om restrições de probabilidade. No aso desse trabalho, os usto da nãoentrega de suprimentos em sondas pode ser muito alto se levar à parada da sonda. Mantendo o paralelismo om as seções anteriores, referente à nomenlatura das variáveis e parâmetros, segue a forma básia das restrições de probabilidade: P{ A ( ω) x ( ω)} α ( ω) i h i (2.9) i O parâmetro α é um perentual ( 0 < α < 1) que representa o nível de serviço que será prestado. Valores típios empregados em problemas do gênero estão na faixa dos 80% a 95% (Kall e Wallae (1994)). Obviamente quando o valor é um ou zero, deixa de existir uma restrição de probabilidade. Saliente-se que quanto maior o 8

21 valor de α, maior tende a se tornar o valor ótimo da função objetivo, ou seja, há uma punição em se tentar reduzir o riso. O índie i ( 1 i I, sendo I o número de restrições de probabilidade) numera as restrições que devem ser satisfeitas onjuntamente. II.5 Modelos om Medidas de Riso Além dos modelos om restrições de probabilidade, que impedem a oorrênia dos piores enários, outra forma de lidar om o riso é a de inserir ustos ao riso na função objetivo. Esse último tipo de abordagem é vantajosa quando a obtenção de altos níveis de serviço tem um usto elevado ou é inviável eonomiamente (You e Grossmann (2009)). Os modelos que maximizam valor esperado omo os de dois estágios e o e de multiestágios partem da premissa bastante forte de que o tomador de deisão é indiferente ao riso, o que não oorre na maioria dos asos. A tendênia é a aversão ao riso, ou seja, o onsumidor ou o tomador de deisão (representando as empresas) preferem reeber um montante fixo igual ao valor esperado da função objetivo a reeber um montante inerto mas de mesmo valor esperado (Mas-Collel et al. (1995)). Uma das formas mais omuns de inlusão de riso é a inlusão de um termo relativo à variânia na função objetivo. Uma típia função objetivo desse tipo é: T T T min z = x + E [minq( ω) u( ω)] + ρvar [minq( ω) u( ω)] (2.10) ξ ξ 9

22 Com a inserção desse novo termo, tende-se a obter uma menor variabilidade em troa de um maior usto esperado. O temo ρ representa o usto por unidade de variânia (quanto maior, mais avesso ao riso é o tomador de deisão). Uma das rítias a esse tipo de modelo é a inlusão de termos quadrátios na função objetivo, o que torna mais omplexa a resolução do problema, ainda mais em modelos de larga esala. Além disso, os enários muito bons, que também ontribuem para o aumento da variânia, ausam usto maior na função objetivo. Uma forma de evitar essas difiuldades onsiste em inserir na função objetivo apenas os módulos dos onjuntos de probabilidades que apresentem usto maior que o usto esperado. Para asos disretos ou que sejam disretizados Ahmed e Sahinidis (1998), propuseram o seguinte índie de variabilidade: z p z > 0, s S s s s s s, (2.11) s Sendo que z s representa o usto total em ada enário e p s representa a probabilidade de que ada enário oorra. A função objetivo ganha então a seguinte forma: p s S s min E ( z + ρ (2.12) ξ ) s Mais uma vez ρ onstitui o parâmetro om o peso relativo a enários ruins na função objetivo e pode variar bastante de aordo om as neessidades de ada tomador de deisão. Ressalte-se que esses modelos de programação estoástia têm sido também usados em finanças (Barbaro e Bagajewiz (2004)). 10

23 Grossmann (2012) afirma que a vantagem da otimização robusta é que os métodos são mais tratáveis que os de programação estoástia (Li et al. (2011)). Gebreslassie et al. (2012) usam um modelo om função multiobjetivo sendo que uma das funções objetivo é a tradiional minimização da função usto e a outra uma função de minimização do riso. Para medir o riso Gebreslassie et. al. (2012) usam medidas de riso, a primeira é a de downside risk representada pelas equações abaixo: s Custo Ω, ψ 0, s S ψ (2.13) s s S s min Drisk ( x, Ω) = p s. ψ ( x, Ω) (2.14) s A equação 2.13 india que quando o usto de um enário for maior que o limite (Ω), então ψ (a variável de riso é maior que zero). A equação 2.14 é a função objetivo. A segunda medida de riso é a CVar (Valor em Riso Condiional, do inglês_ Conditional Value at Risk) que é baseado nas seguintes equações (Gebreslassie et. al.(2012)): VaR 0 (2.15) φ Custo VaR, φ 0, s S (2.16) s s s mincvar( x, α) = s p. φ s 1 α s + VaR, α (0,1) (2.17) 11

24 O VaR (value-at-risk) é definido, a um dado intervalo de onfiança, omo o valor mínimo om probabilidade maior ou igual a α de o usto exeder ou igualar esse valor. No modelo de Gebreslassie et. al. (2012), os autores onluem que a medida de riso CVar é mais adequada que o downside risk, pois a probabilidade de oorrênia de enários de baixo usto é maior que om o downside risk. Além disso, o modelo om downside risk depende muito da esolha de Ω. II.6 Valor da Informação Perfeita (EVPI) e Valor da Solução Estoástia (VSS) O Valor da Informação Perfeita (EVPI em inglês) é uma das medidas mais omuns 2 para mensurar o valor da inerteza de um problema estoástio: EVPI = RP - WS (2.18) Sendo que RP é o valor da solução do problema estoástio (RP - problema de reurso) e WS é o valor da solução se fosse pudesse possível esperar e ver (wait and see) o resultado, ou seja, se o problema não tivesse inerteza. O EVPI é tradiionalmente definido omo o valor que o planejador estaria disposto a pagar pela informação perfeita. Já o valor da solução estoástia (VSS) representa o ganho do planejador ao levar em onsideração a distribuição das funções de probabilidade das variáveis estoástias e, não, apenas a média (EV) onforme é feito em um problema determinístio. 2 A notação matemátia dessa subseção se baseia em Birge e Loveaux (2012). 12

25 VSS = EEV - RP (2.19) EEV é o valor esperado da solução determinístia que usa a média das variáveis estoástias omo parâmetro. É definido pela equação: EEV = E ( z ( x( ξ), ξ) (2.20) ξ O EEV mede o quanto x (ξ ) usta de modo que as deisões de segundo estágio são tomadas otimamente a partir das deisões de primeiro estágio. II.7 Ténias de Abordagem de Modelos Estoástios Como o uso de distribuições ontínuas pode gerar difiuldades omputaionais, o uso de amostragem de Monte Carlo tem se tornado bastante popular, pois permite uma grande diminuição de tempo de proessamento om pequena perda de preisão (Mak et al. (1999)). O nível de auráia por Monte Carlo pode ser esolhido pelo usuário omo mostra Shapiro (2000) e Ruszzynski e Shapiro (2003), om a seguinte expressão que é válida independentemente da distribuição de probabilidade dos parâmetros inertos: S( n) = n s= 1 ( E( z) z ( n 1) ) 2 (2.21) 13

26 Sendo S(n) um estimador não-enviesado da variânia de uma amostra de tamanho n, s é o índie dos enários e z é variável de usto. Conforme Shapiro e Homem-de-Mello (2001), o uso de amostragens de Monte Carlo pode ser usado para obter limites superiores e inferiores para o problema de otimização estoástia de dois estágios. O problema de dois estágios pode ser formulado da seguinte forma: v* = min{ f ( x) = E [ F( x, ω)] G( x, ω) g( x) dx} ω (2.22) x X = Ω Isso fia laro ao se fazer as seguintes definições: X = { x Ax = b} f ( x) = T Q( x) = E x + Q( x) ω [Q( x, ω)] Q( x, ω) = min { q y T y Wy = h( ω) Tx} (2.23) A prinipal difiuldade de resolução onsiste no álulo da integral. A abordagem por Monte Carlo ou Sample Average Approximation, visa a obter uma aproximação om N enários por: ^ v N 1 N n = min{ x X n = F( x, ω )} (2.24) 1 N Como provam Shapiro e Homem-de-Mello (2001) esse é um estimador para o limite inferior para o problema, já que: E v N ) v* ( ^ ω (2.25) A difiuldade está em obter o valor da esperança que é aproximado pelo uso de A amostras independentes e identiamente distribuídas (i.i.d): L N, A 1 A ^ v A a= 1 N, a = (2.26) Sendo L N,A, o limite inferior om N enários e A amostras. 14

27 pode-se usar: Para se obter um estimador não-enviesado para a variânia do limite inferior, s 2 L A = 1 ^ ( v A 1 a= 1 N, a L N, A ) 2 (2.27) Por fim, om uma tolerânia α, pode-se definir um intervalo de onfiança ((1- α) ver Casella e Berger (2002)) para L N,A : z sl [ LN, A, LN, A α A + zα sl ] A (2.28) P(z z α )=1-α. Sendo z α o valor do desvio de uma distribuição normal padrão tal que Já para se obter um limite superior pode-se usar uma solução perto do ótimo, o mais usual é a solução de x (denotada por ^ x ) om um onjunto de enários por SAA. Em seguida são geradas A amostras om N enários ada, sendo tanto as amostras quanto os enarios i.i.d. Assim, para ada amostra: ^ f N = 1 N N n = 1 ^ F( x, ) n ω (2.29) amostras: O estimador do limite superior (U N,A ) será a média dos resultados das A U N, A = 1 A A ^ a = f 1 N, a (2.30) Novamente, para se obter um estimador não-enviesado para a variânia do limite inferior, pode-se usar: s 2 U A = 1 ^ ( f A 1 a= 1 N, a U N, A ) 2 (2.31) 15

28 Por fim, om uma tolerânia α, pode-se definir um intervalo de onfiança (1- α) para U N,A : zα su zα su, U N A + ] (2.32) A A [ U N, A, Hollmann (2011) propôs uma heurístia hamada Adaptive Senario Refinement (ASR) para a geração de enários para a resolução de problemas estoástios inteiros. Para o aso de modelos estoástios multienários om grande número de enários, Karuppiah et al. (2010) propõem uma heurístia para redução do numero de enários. Conforme sugerem Homem-de-Mello e Bayraksan (2013) e Linderoth et al. (2006), para redução da variânia amostral têm sido usados outros métodos além de Monte Carlo. O Latin Hyperube Sampling (LHS) é um desses métodos, introduzido por MKay et al. (1979), e se baseia na deomposição do espaço amostral em N partições equiprováveis para em seguida gerar amostras aleatórias em ada um desses N espaços. Por fim, são feitas permutações aleatórias entre os N subespaços. Em geral, geram-se valores aleatórios de distribuições uniformes (0;1) e depois usa-se uma função inversa umulativa da distribuição de probabilidade. Um problema do LHS é que as amostras não são independentes, ou seja, os resultados lássios do teorema do limite entral não se apliam, e os intervalos de onfiança não podem ser onstruídos de forma onvenional. Para ontornar esse problema, têm sido geradas várias repliações de tamanho N e usa-se a média de ada repliação omo estimador. II.8 Modelos Estoástios em Cadeia de Suprimentos 16

29 Na literatura, os modelos mais similares aos de logístia de suprimentos de sondas que inluem inerteza foram os enontrados em modelos de adeia de suprimentos da indústria de proessos que assim omo a indústria do petróleo também representam sistemas de larga esala que envolvem valores monetários muito altos. Dada a resente ompetição na área de adeia de suprimentos e o desenvolvimento de ferramentas matemátias para otimização em larga esala, modelos de otimização inlusive om grande número variáveis e restrições têm sido usados om suesso para reduzir ustos e risos. Conforme afirmou Grossmann (2005), há grande interesse entre uma variedade de indústrias omo a do petróleo em atingir o objetivo de otimizar toda a adeia produtiva. Vários artigos têm sido esritos para tratar as inertezas envolvidas em modelos de adeia de suprimentos. Subrahmanyam et al. (1994) onstitui um exemplo de busa de valores de variáveis que apresentassem resultados ao menos medianos em todos os enários. A difiuldade de modelos baseados em enários é o resimento exponenial do tamanho do problema quando o número de enários aumenta. O artigo de You et al. (2009), no qual é usado um modelo estoástio para lidar om as inertezas e para redução do usto esperado, é um bom exemplo de modelo que pode ser adaptado de artigos de otimização em adeia de suprimentos para a indústria do petróleo. Como esreveu Grossman (2005), a área de otimização ao longo da adeia de suprimentos usa bastante o onheimento da área de pesquisa operaional. O modelo de You et al. (2009) visa a reduzir os ustos esperados totais de uma adeia de indústria de produtos químios om fábrias, entros de distribuição e onsumidores espalhados no mundo. Com abordagem similar também foi o artigo de Poojari et al. (2008). 17

30 A premissa de You et al. é de que a demanda e as taxas de frete são variáveis estoástias, as outras variáveis tais omo tempo de transporte e usto de falta do produto são determinístias. A variável de deisão é a quantidade a ser transportada em ada enário e em ada período. Outro aspeto nesse modelo é o aumento da inerteza quando se aumenta o número de períodos para o qual a previsão é feita. Em outras palavras, a margem de erro é menor para períodos mais próximos do atual. Apesar de modelos determinístios forneerem resultados de implementação mais fáil, apresentam em geral resultados finais piores, pois são onsideradas apenas os valores médios das variáveis. De modo a tentar orroborar as vantagens do uso de modelos estoástios em relação aos determinístios, You et al. (2009) omparou os resultados obtidos de modelos determinístios nos quais eram usados simplesmente os valores médios da demanda e da taxa de frete om os de modelos estoástios e verifiou que os ustos esperados eram era de 5% menores nos modelos estoástios. Oliveira (2012) usa modelos de programação estoástia para otimização om inerteza na adeia de suprimentos do setor de petróleo (downstream_ na distribuição de produtos derivados do petróleo). Shutz et al. (2009) propõe a resolução de um modelo de desenho de adeia de suprimentos om inerteza usando aproximação por média amostral (SAA em inglês) e usam relaxação lagrangeana, omo algoritmo de solução. Para o uso de SAA em modelos estoástios multiestágios ver Shapiro (2005) e para desrição do algoritmo para SAA ver Kleywegt et al. (2001). Papers reentes, omo Hashem et al. (2012) inluem o uso de algoritmos genétios para a resolução de um modelo multiobjetivo robusto de planejamento agregado de produção. 18

31 Khor (2012) propõe um algoritmo, que tem o objetivo de ter um menor usto omputaional, similar ao de You et al. (2009) usando CVaR omo medida de riso para solução de modelo estoástio de planejamento de refinaria. Quando o número de enários é muito grande de modo a impossibilitar o tratamento omputaional do problema, seja por falta de memória ou por tempo exessivo na resolução do problema, ténias de redução de enários têm sido usadas a partir do paper de Heitsh e Romish (2003). II.9 Síntese Nessa seção foi feita uma breve apresentação sobre os prinipais modelos de programação estoástia e, dada a omplexidade de resolução de modelos de otimização estoástia (muitas vezes a solução só poder ser obtida por métodos numérios), foram apresentados os prinipais métodos de resolução usados na literatura, entre eles métodos de redução de enários e métodos de aproximação por médias amostrais. 19

32 III O PROBLEMA DE SUPRIMENTO DE SONDAS OFFSHORE Neste apítulo é desrito o problema objeto deste trabalho. Iniialmente, são apresentados os aspetos relevantes na perfuração offshore que definem o ontexto em que o problema se enontra. A seguir uma breve revisão bibliográfia mostra problemas orrelatos existentes na literatura. Por fim o problema é desrito. III.1 Aspetos Relevantes na Perfuração Offshore O objetivo na perfuração de um poço offshore de petróleo é que a perfuração seja feita o mais rapidamente possível satisfazendo todas as restrições de tenologia, de qualidade e de segurança. Esses objetivos são muitas vezes onflitantes e sujeitos a inertezas signifiativas (Thomas (2004)). A onstrução de poços offshore depende de fatores que podem ser interdependentes e estoástios: formação geológia (omplexidade, tipo da formação). Em geral, os poços são lassifiados em: exploratórios nos quais não há reservas provadas de petróleo e de desenvolvimento que estão em ampos om reservas provadas. Nos poços exploratórios, a inerteza é maior, ou seja, a perfuração é feita om mais uidado pois o riso de blowout (fluxo desontrolado de líquidos e gases vindos da formação (paredes do poço)). Assim, o usto de poços exploratórios tende a ser maior que o usto de poços em desenvolvimento; araterístias do loal (profundidade, distânia da osta, ondições limátias). Para modelos om inlusão das ondições limátias nas restrições, ver Shyoshu et al. (2010); fatores exógenos (gereniamento de projeto, experiênia dos operadores); ondições de merado (oferta e demanda de sondas). 20

33 Como mostra Westney (2001), o adequado gereniamento de risos de projetos offshore é essenial para aumentar as probabilidades de suesso de um projeto, além de failitar a redução de ustos e diminuir a possibilidade de que más deisões sejam tomadas. A onstrução de poços marítimos é omposta de quatro fases: desenho e planejamento, que são geralmente iniiadas por geólogos e engenheiros de reservatório e depois enaminhadas aos engenheiros de perfuração, exeução que ostuma ser aompanhada om atenção já que os ustos om perfuração representam em média de 40 a 60% dos ustos de apital para desenvolvimento de um ampo (Kaiser (2009)) e a análise na qual pode ser feita uma avaliação do projeto omo um todo. Dados os altos ustos e o uso de informações para poços na mesma área, são feitos registros metiulosos sobre a onstrução de ada poço. Em geral, a estimativa de ustos é feita por meio da deomposição de ustos, em que o engenheiro de poço estima tempos e ustos esperados. Em águas om profundidade superior a 500m, onde está a maioria da produção brasileira só podem ser usadas navios-sondas ou sondas-semisubmersíveis, onforme ilustram as figuras III.1 e III.2: Figura III.1 Imagem de navio sonda 21

34 Figura III.2 Imagem de sonda semi-submersível Ao longo das últimas déadas, vários métodos foram propostos para avaliar ustos e omplexidade de perfuração, mas devido ao grande número de fatores que ausam impato na avaliação de desempenho, é difíil onstruir modelos preditivos (Kaiser (2007)). No Golfo do Méxio, a avaliação da performane de perfuração tem alta visibilidade entre o omando das empresas. Ao longo dos anos uma variedade grande de modelos de ustos foi desenvolvido mas essas ténias são em geral onfideniais e os dados não estão disponíveis ao públio (Ibid.). III.1.1. Etapas de Perfuração Os poços são perfurados em estágios (Roha e Azevedo (2009)): 1. Perfura-se até uma determinada profundidade; 2. Remove-se a broa e a oluna de perfuração; 3. São inseridos os revestimentos e feita a imentação do revestimento às paredes do poço; 4. Volta-se à etapa 1 e perfura-se até outra profundidade. 22

35 A profundidade que será perfurada entre ada revestimento varia de aordo om as formações geológias abaixo, sendo que a temperatura e a pressão tendem a ser maiores e a tornar mais lentas e omplexas as atividades de perfuração. III.1.2. Produtos Químios Os produtos químios desempenham importante função na perfuração. A lama de perfuração omo é hamada tradiionalmente serve para: ontrolar as pressões da formação em diferentes profundidades; arregar o material que está sendo perfurado; lubrifiar a broa; estabilizar as paredes da formação. A lama de perfuração em geral onsiste de quatro partes: 1. os fluidos de base que pode ser água, óleo, material sintétio e araterizam a base; 2. sólidos ativos que geram a visosidade do sistema, em geral bentonita; 3. sólidos inertes que regulam a densidade do fluido; 4. outros aditivos que ontrolam propriedades químias, físias e biológias da lama de perfuração. Os produtos químios são indispensáveis ao funionamento da sonda e sua falta leva a tempo de sonda parada, ou seja, produz grandes prejuízos. (1996). Para maiores detalhes sobre fluidos de perfuração ver Caenn e Chillingar 23

36 III.2 Logístia na Exploração e Produção Offshore Na área da logístia apliada ao desenvolvimento de ampos de petróleo, os prinipais problemas estudados na literatura (Mazzini et al. (2010)), todos abordados pela pesquisa operaional, são: dimensionamento de sondas, sequeniamento de projetos de exploração om restrição de sondas, dimensionamento de equipamentos rítios para atividades de poço e planejamento e sheduling de frota offshore e de instalações submarinas. III.2.1 Dimensionamento de Sondas As sondas são reursos rítios nas operações de exploração e de desenvolvimento de ampos, já que representam o item mais aro nas atividades de perfuração. É normal, portanto, a premissa de que o dimensionamento e a aloação de sondas devem ser feitas de forma independente de outros reursos. Em geral é tratado omo um problema de simulação (Shyoshou et al. (2010)). III.2.2 Sequeniamento de Projetos de Exploração om Restrição de Sondas Como afirma Tavares (2002), a pesquisa operaional tem dado onstruções ientífias esseniais para o desenvolvimento da área de gereniamento de projetos por meio do desenvolvimento de algoritmos que auxiliam no suporte às deisões gereniais. 24

37 O objetivo é definir o ordenamento de um onjunto de tarefas que resulte no menor tempo possível de modo que sejam respeitadas as relações de preedênia entre as tarefas e os limites de reursos a ada instante de tempo. Esse tipo de problema é geralmente tratado na literatura omo um problema de programação matemátia (Blazewiz (1991)), por programação inteira. São problemas NP-árduo (Blazewiz et al. (1983)). Como afirma Vasonellos (2006), a definição de sequeniamento de projetos onstitui um problema de otimização ombinatória de difíil solução dada a nãoonvexidade do espaço de soluções. Por essa razão, são muito usados algoritmos não-exatos, heurístias e meta-heurístias. Vasonellos (2006) usou algoritmos genétios para a solução do problema, tendo omo objetivo obter minimizar o tempo para a realização de todos os projetos (makespan mínimo). Conforme Tavares (2002), projetos mais realistas adotam a hipótese de estoastiidade para representar a inerteza do projeto. As inertezas em geral se referem à duração e ao usto das operações para ada atividade. Para exemplos de modelos om orrelação entre as variáveis de usto e de duração e om uso do valor presente líquido na função objetivo ver Tavares et al. (1998). III.2.3 Dimensionamento de Equipamentos Crítios para Atividades de Poço Entre os prinipais problemas relaionados à logístia de perfuração e desenvolvimento de ampos de petróleo, esse é o de esopo mais similar ao que pretende se tratar nessa tese. Considera-se geralmente que, após a definição do dimensionamento de sondas e o sequeniamento, deve-se seleionar o dimensionamento dos equipamentos rítios neessários em sondas de perfuração. 25

38 Mazzini et al. (2010) formularam um modelo para dimensionamento de reursos rítios neessários nas sondas para atividades de perfuração, ompletação e restauração de poços. Esses reursos rítios preisam ser ontratados om anteedênia em alguns asos de até um ano om o objetivo de atender as atividades do ronograma de sondas da ompanhia. Fazem parte dessa lista que tem aproximadamente 50 itens: motor de alto torque, have hidráulia, unidade de perfilagem, oluna de assentamento e medidor de inlinação. Materiais de onsumo não foram onsiderados no modelo pois são de fáil aquisição e não são objetos de ontrato. A ausênia de um equipamento para a atividade prevista da sonda leva a ustos de sonda parada além do atraso nos projetos da empresa om diminuição de valor presente líquido. O foo do modelo de Mazzini et al. (2010) é eonômio sendo que a sequenia de projetos do ronograma não é alterada, ou seja, não se altera o sequeniamento pré-definido em etapa anterior. Apenas é permitido o atraso de atividades para as quais haja indisponibilidade de equipamentos. A função objetivo é omposta por duas parelas: o usto de ontratação de equipamentos e o usto de atraso das sondas. O modelo om variáveis binárias e inteiras foi rodado usando omo dados o ronograma de atividades de sondas da Petrobras para as regiões Sul e Sudeste no ano de O resultado mais signifiativo foi a não-otimalidade de um nível de serviço de 100%. Em outras palavras, se o usto de atraso de sondas for zero, aumenta-se muito o usto de ontratação de equipamentos de modo que há gastos adiionais de era de U$40 milhões em relação à solução ótima om nível de serviço de 95,4%. III.2.4 Planejamento e Sheduling de Frota Offshore e de Instalações Submarinas 26

39 Trabalhos reentes nessa área inluem o de Leite (2012), no qual são desritas as operações de logístia offshore da Petrobras na Baia de Campos. Dados os problemas existentes na programação de PSVs (Platform Supply Vessels), Leite propõe uma nova estratégia que visa a diminuir o número de viagens de PSVs sem diminuir o nível de serviços. De aordo om as simulações feitas om base em dados histórios, pode-se diminuir substanialmente os ustos logístios. Já Uglane e Friedberg (2012) implementaram um modelo determinístio de otimização para geração de rotas e sheduling de PSVs na Baia de Campos. Cruz (2013) implementou um modelo om inerteza para sheduling de arranjos submarinos para produção offshore, usando diversas metodologias para sua resolução. III.3 Desrição do Problema O problema tratado é abordado por programação estoástia e será resolvido por diversos métodos que serão desritos no apítulo V. Na seção III.3.1 será expliado o modelo oneitual que inlui: modelo sem roteamento e om roteamento; dados de entrada; variáveis de deisão restrições. 27

40 Além disso, serão desritas as hipóteses usadas no modelo de programação estoástia de adeia de suprimentos na seção III.3.2 e será feita uma síntese na seção III.3.3. III.3.1 Modelo Coneitual Na primeira formulação será usado um modelo mais simples sem roteamento no qual se supõe que ada baro de suprimento arrega no porto, desarrega em uma únia plataforma e depois retorna ao porto, onforme ilustrado pela figura III.3: III.4: Figura III.3 Modelo sem roteamento Na segunda formulação, o roteamento é inluído onforme ilustrado na figura 28

41 Figura III.4 Modelo om roteamento Assim, na formulação om roteamento (mais próxima da realidade), a distânia total a ser perorrida será bem menor, sendo, porém, neessário definir a rota a ser usada pelos baros supridores. Dados: loalização geográfia do porto (no aso, Maaé) onde os baros supridores arregam produtos a serem transportados para as sondas; onjunto de 10 sondas que realizaram atividades na Baia de Campos entre 2010 e 2011 om suas respetivas: loalizações geográfias, taxas diárias de aluguel e apaidades máximas de arga; a função de distribuição de probabilidade das demandas de ada um dois produtos (produtos químios e tubos) de ada uma das sondas; onjunto de baros de suprimento om suas respetivas: apaidades de transporte (medida em metros quadrados de onvés), usto diário de afretamento e ustos por distânia perorrida; 29

42 parâmetros usados para determinação dos ustos (desritos no apítulo VI) e na determinação das ondições do período iniial, prinipalmente o estoque iniial. Variáveis de deisão: definição das rotas a serem perorridas por ada baro supridor (no problema om roteamento); definição se o baro de suprimento está em atividade ou oioso também no modelo om roteamento (onforme figuras III.5 e III.6), o que dependerá do número total de baros de suprimento e da realização das demandas; Figure III.5 Navio de suprimento em atividade Figura III.6 Navio de suprimento oioso (fundeado) 30

43 quantidades a serem transportadas por ada baro para ada plataforma em ada período; estoque de ada produto em ada plataforma e demanda não-atendida de ada produto em ada plataforma, esta variável de deisão pode ser alulada a partir da quantidade transportada. A demanda não-atendida seria omo um estoque negativo, ou seja, a orrelação entre estoque e demanda não-atendida é imediata. O modelo tem o objetivo de minimizar o usto total esperado de adeia de suprimento, que deve inluir: os ustos de estoque, que levam em onsideração o fato de ser ustoso ter produtos que não estão sendo utilizados em ada sonda; os ustos de falta de produtos que levam a tempo de sonda parada. A partiularidade desse problema é que o usto de falta não é proporional à demanda não-atendida. O usto de falta é o mesmo se faltar uma unidade de um produto ou se faltar unidades de ada um dos produtos, já que a falta de qualquer unidade do produto leva à parada da sonda. O ômputo desse tipo de usto torna neessária a inlusão de variáveis binárias, o que aumenta a omplexidade do problema; os ustos de transporte dos baros supridores, que será proporional à distânia perorrida no total e ao número de navios supridores ativos e oiosos; os ustos de se estar abaixo do estoque de segurança, que representam uma forma de evitar falta de produtos; o usto de o baro de suprimento ter de retornar para fazer a entrega por falta de disponibilidade de área da sonda para reeber o produto. 31

44 Na prátia, esse problema oorre om erta frequênia e atrapalha bastante o umprimento do planejamento. Sujeito a restrições de: apaidade, já que tanto o baro supridor quanto às sondas têm uma apaidade máxima passível de transporte ou estoque respetivamente; restrições de rota, já que uma sonda pode ser atendida apenas por uma únia rota; balanço de massa, que relaiona a quantidade transportada, demanda, estoque e demanda não-atendida nos diferentes períodos; restrições de não-anteipatividade, que fazem as deisões serem tomadas sob ondições de inerteza que pode ser ilustrado pela figura III.7: Figure III.7 Restrições de não-anteipatividade III.3.2 Hipóteses adotadas 32

45 Não foram onsideradas no modelo variáveis omo: lima que em ondições adversas impede operações de navios supridores nas sondas; fatores não-observáveis, omo gereniamento de projeto, pois são de difíil mensuração; falhas meânias tanto nos baros supridores quanto nas sondas. É impossível identifiar todas as araterístias relevantes das atividades das sondas, é apenas possível estabeleer relações empírias para medir o desempenho dessas operações (Kaiser e Pulsipher (2007)). Em suma, modelos feitos para retratar as operações de sondas neessariamente preisam de simplifiações. O modelo supõe um horizonte temporal de médio prazo (de 14 dias divididos em 2 períodos de 7 dias), ou seja, é feita uma entrega por semana. Esse número de períodos é menor que o normalmente utilizado (12 períodos ou 1 ano). A intenção dessa mudança é tornar o modelo mais adequado às demandas de produtos nas atividades desempenhadas pelas sondas, que preisam de entrega de suprimentos om uma frequênia maior. A atividade de uma sonda em um determinado poço pode também levar menos ou mais de um mês, dependendo da profundidade do poço, das araterístias geológias e das atividades realizadas. Considerou-se que a programação das sondas já está definida, onforme usado em trabalhos omo Mazzini et al. (2010), pois, omo a definição do itinerário das sondas já é um problema bastante omplexo, o mais usual é resolvê-lo separadamente. Há inerteza sobre o tempo de ada operação (de perfuração ou ompletação da sonda) e om relação à demanda de ada sonda, por ada produto, em ada período. 33

46 Dadas as difiuldades omputaionais de se lidar om muitas variáveis estoástias, resolveu-se tratar apenas a demanda das sondas omo variáveis inertas que foram separadas em dois produtos prinipais: tubos e produtos químios uja falta leva à parada da sonda. Nos dois períodos é preiso deidir a quantidade a ser transportada antes da realização da demanda. Figura III.8 Tubos Figura III.9 Produtos químios Por meio de dados histórios relativos à Baia de Campos, estimaram-se as distribuições apropriadas para simbolizar a função distribuição de probabilidade das demandas dos dois produtos (onforme será disutido no apítulo VI) por sonda, isto é, de vinte variáveis aleatórias. Nesse trabalho, foi usada a hipótese de independênia na demanda para esses dois produtos de sondas. 34

47 O modelo é omposto por um porto (para o modelo foi onsiderado o porto de Maaé, que é um porto entral para a Petrobras em todo o Sul-Sudeste) de onde são embaradas todas as meradorias que serão transportadas para as 10 sondas. Para simplifiação, é suposto que não há problemas de estoagem, ou seja, os produtos estão sempre disponíveis no porto. Ressalte-se que essa premissa é realista, pois, de fato, as entregas para sondas na Baia de Campos são feitas em ondições normais por Maaé. Figura III.10 Porto de Maaé omo dado. O sheduling dos baros de suprimento nos piers do porto será onsiderado Destaque-se que os modelos sem roteamento e om roteamento têm omo premissa a homogeneidade da frota de reboadores em relação aos prinipais aspetos: usto; veloidade; apaidade de armazenagem. Ressalte-se a omplexidade do modelo om roteamento que é omposto por dois problemas bastante omplexos: o problema de roteamento de veíulos (no aso baros supridores) que é NP-difíil; 35

48 o problema de otimização sob inerteza para deidir as quantidades a serem transportadas de ada produto, para ada sonda, em ada período. duas etapas: Como forma de tornar o problema tratável, foi riado um meta modelo om 1. uso de uma heurístia para definição das rotas a serem perorridas por ada navio supridor (desrita no apítulo V); 2. modelo de programação estoástia ujos métodos de amostragem e resolução serão desritos no apítulo V, no qual se definem os estoques e as quantidades a serem transportadas. III.3.3 Síntese Em suma, o objetivo do modelo é exeutar o planejamento, tendo omo base um modelo de adeia de suprimentos, para entrega de produtos (tubos e produtos químios) om demanda altamente estoástia para suprimentos de sondas, levando em onsideração as partiularidades das operações offshore. 36

49 IV MODELO MATEMÁTICO O problema tratado é abordado por programação estoástia e será resolvido por diversos métodos, sendo que na primeira formulação será usado um modelo mais simples, sem roteamento, no qual se supõe que ada baro de suprimento arrega no porto, desarrega em uma únia plataforma e depois retorna ao porto. Na segunda formulação, o roteamento é inluído. IV.1. Formulação Matemátia Sejam os seguintes onjuntos : Sondas, onjunto S; Produtos, onjunto P; Períodos, onjunto T; Cenários, onjunto C; Rotas, onjunto R de todas as rotas possíveis. Índies: s é o índie de ada sonda (no aso, varia de 1 a 10); p é o índie de ada produto (no aso, pode ser 1 ou 2); t é o índie de ada período (no aso, poder 1 ou 2); é o índie de ada enário; r é o índie de ada rota; 37

50 C g p Grupo de enários ligados ao produto p; C g r Grupo de enários ligados à rota r. Parâmetros 3 : a é o número de amostras, sendo que ada amostra têm n enários; CapPSV é a apaidade de armazenamento do PSV em metros quadrados desontada a folga do bakload (desarga de produtos da sonda para o navio supridor); CF s usto de falta por sonda, que implia usto de sonda parada; CI s,p usto de estoagem por produto por sonda; CoefSeg é um oefiiente de segurança usado para a obtenção do usto de transporte total esperado; CR usto de retorno do reboador; CReb é o valor da diária do reboador; CReb r é o usto do reboador ao perorrer a rota r; CRebO é o usto do reboador oioso, ou seja, o usto do reboador que não está sendo usado pois outros já atendem a demanda das sondas; CS s,p usto de se estar abaixo do estoque de segurança por sonda por produto; CT é um esalar que representa o usto de transporte por distania por unidade de produto; DE s,p, é a demanda por produto, por sonda, por período. É a variável estoástia do problema; 3 O álulo dos parâmetros será detalhado no apítulo VI. 38

51 Dist s,t é a distânia da sonda s ao porto no período t. Esse parâmetro é usado no modelo sem roteamento; ε é uma onstante estritamente maior que zero, foi usado o valor de 0,00001; I0 s,p é o estoque iniial por produto, por sonda; IS s,p é o estoque de segurança por produto, por sonda; LL é uma onstante que representa um limite mínimo para atendimento de restrições; M p é o peso por unidade de produto; Mmax s é o peso máximo por sonda; n é o número de enários; P é a probabilidade de oorrênia de ada enário; RebT é número total de reboadores disponíveis. Pode ser tanto um parâmetro quanto uma variável de deisão. Para o planejamento de urto prazo é um parâmetro e em termos de médio prazo pode ser uma variável de deisão. Como o foo desse trabalho é o planejamento de urto prazo, esse termo será tratado omo um parâmetro e será igual a 6; UL 1 é uma onstante que representa um limite máximo de estoque por produto por sonda; UL 2 é uma onstante que representa um valor elevado para que as restrições de apaidade de sondas sejam sempre satisfeitas; VM é a veloidade média do reboador; Variáveis de deisão: 39

52 tr s,p, é a quantidade de ada produto que deve ser transportada para ada sonda em ada período em ada enário antes de onheido o valor da demanda estoástia; i s,p, é o estoque em ada sonda de ada produto em ada período e em ada enário. Apenas no primeiro período, o estoque é dado; dn s,p, é a demanda não-atendida em ada sonda de ada produto, em ada período e em ada enário. w s,p, é o valor que se está abaixo do estoque de segurança em ada sonda, de ada produto, em ada período e em ada enário. y 1,s, é uma variável binária que india quando houve demanda não-atendida estritamente positiva em uma sonda de qualquer um dos dois produtos em um período em um dado enário. Se for igual a 1, há demanda não-atendida de pelo menos um dos produtos. Se for igual a 0, não houve demanda não-atendida de nenhum dos produtos; y 2,s,p, é uma variável binária que india quando houve demanda não-atendida estritamente positiva em ada sonda de ada produto, em um período, em um enário. Se for igual a 1, a demanda não-atendida é igual a zero. Se for igual a 0, a demanda não-atendida é maior que zero; y 3,s, é uma variável binária que india quando há neessidade de retorno do reboador pois a apaidade de arga da sonda em peso da sonda seria violada. Quando for 1, signifia que o reboador preisa retornar depois. Caso ontrário, não; y r,s,t é uma variável binária que india se a sonda s faz parte da rota r. Se for igual a 1, faz parte. Caso ontrário, não. Destaque-se que as rotas não serão neessariamente iguais nos dois períodos; 40

53 r 1,s,p é uma variável de deisão riada de forma a forçar o atendimento das restrições de não-anteipatividade para ada sonda no primeiro período (nas seções seguintes será detalhado o uso dessas variáveis). r 2s,p,i são variáveis de deisão riadas de forma a forçar o atendimento das restrições de não-anteipatividade para ada sonda no segundo período. O índie i se refere a um grupo de enários para um produto para o qual tem de ser tomada uma únia deisão; r 3,i são variáveis de deisão riadas de forma a forçar o atendimento das restrições de não-anteipatividade para ada rota no segundo período. O índie i se refere a um grupo de enários para o qual tem de haver o mesmo número de reboadores por rota; reb r, é uma variável inteira que india o número de reboadores que deve ser usado na rota r, no período t e no enário ; dist r é a distânia total perorrida pela rota r. Ressalte-se que todas as variáveis e parâmetros são maiores ou iguais a zero. A função objetivo e as restrições dos modelos, o primeiro sem roteamento e o segundo om roteamento, são desritas nas seções seguintes. No apítulo V, serão detalhados os diversos métodos usados na resolução do problema. IV.2. Modelo sem Roteamento IV.2.1 Função Objetivo A função objetivo inlui o somatório de ustos em todos os períodos e enários (sendo P a probabilidade de ada enário oorrer), que podem ser divididos em: 41

54 o usto de estoagem total (it) nas sondas (omo o espaço e o peso que podem ser transportados na sonda são limitados, deve ser omputado um usto de estoagem) que é proporional a um usto de estoagem por produto (CI s,p ). Considera-se que o usto de estoque é o mesmo por unidade de produto: = s p t it i CI, P s, p, s p (4.1) o usto de falta total (ft) de todos os produtos nas sondas que é muito alto por levar a tempo de sonda parada (a taxa diária de sonda pode ultrapassar os U$ por dia). Esse usto esperado é igual ao usto de sonda parada ( f ) multipliado pela variável binária (y 1,s, ), ujo valor é um quando há falta de pelo menos um produto em um enário e zero quando não falta nenhum dos dois produtos em um enário, e pela probabilidade de oorrênia de ada enário. s = s t ft ) ( y1, s, fsp (4.2) O álulo da variável de deisão binária y 1,s, depende da variável y 2,s,p,, ujo álulo será expliado na seção de restrições de balanço de massa. Para tanto, usase a seguinte regra lógia: se y 2, s,1, então: y 1, s, = 0 ou y = 1 2, s,2, = 0; (4.3) Baseando-se em Bisshop (2012), essa restrição lógia pode ser transformada em restrições linear por meio das seguintes equações: 42

55 ( 1 y s p t ) y,,,, 1, s, s, 2 (4.4) p Por meio da equação 4.4 sempre que a demanda não-atendida dos dois produtos em uma sonda em dado período em um dado enário for zero, então y 2 será zero. ( 1 y2, s, p, ) y 1, s, UL1 s, (4.5) p Já a equação 4.5 faz que quando houver demanda não-atendida de pelo menos um produto, y 2 será um. os ustos de transporte totais esperados (ttr) de produtos dos portos às sondas que são iguais a distânia do porto à sonda ( Dist, ) multipliada por uma onstante por unidade de distânia (CT), pela probabilidade de ada enário e pela quantidade transportada (tr s,p, ). s t ttr = CT tr Dist P ) s p t ( s, p, s, t (4.6) os ustos totais (st) de se manter estoques abaixo do estoque de segurança (IS). Estes ustos têm por objetivo tentar evitar faltas de produtos nas sondas e podem ser alulados por: CSs p ( ISs, p is, t ) P ( ISs p is t ) > p,,,, p,, st = 0 s p t, (4.7) O parâmetro CS s,p representa o usto unitário por se manter estoque do produto p abaixo do estoque de segurança na sonda s. O termo ( IS i ) 0 ) preisa ser 43 ( s, p s, p, >

56 transformado para ser usado em programação linear por meio das seguintes equações lineares: IS i w s, p, t (4.8) s, p s, p, t, s, p, t,, s, p, t, 0 w (4.9) Assim quando houver estoque abaixo do estoque de segurança, a variável w s,p, será estritamente positiva. Logo, o termo st será: = s p t st CSsws, p, P (4.10) Em suma, w é uma variável que india o estoque neessário para se alançar o estoque de segurança, assumindo valores estritamente positivos apenas quando o estoque for menor que o nível de segurança. por fim, foi ontabilizado um usto de exesso de estoque (iet) que onsiste no aso de uma sonda estar om estoque grande o sufiiente para impossibilitar o desembarque de todos os produtos transportados do reboador para a sonda. Neste aso o reboador se destina ao próximo ponto de parada para depois retornar a sonda. Esse usto pode ser representado pela seguinte equação: iet = CR y, s, P s t 3 (4.11) Na maioria dos asos, esse usto tende a ser zero, mas pode ser neessário para evitar o riso da existênia de restrições de limitação de peso inviáveis prinipalmente na determinação do EEV, já que, no álulo desse valor, as quantidades a serem transportadas são parâmetros, onforme será detalhado no apítulo V, e omo em métodos de Monte Carlo om número de enários elevado 44

57 podem oorrer demandas bem abaixo da média, ou seja, poderia haver inviabilidade de algumas restrições de apaidade de peso se não houvesse uma variável de folga omo y 3. Além disso, esse usto representa um problema real nas sondas que força o reboador a retornar à sonda. O oefiiente CR representa o usto de retorno do reboador à sonda e foi estimado em uma diária do reboador. Esse valor é mais alto que o tempo real (algo em torno de seis a oito horas) mas onsiderando os problemas operaionais ausados por esse retorno usou-se um fator de punição de um dia. Logo, a função objetivo (f.o.) será: ( + ft + ttr + st iet) f o. = min it +. (4.12) IV.2.2 Balanço de Massa Há duas equações que representam o balanço de massa. A primeira equação é a base do balanço de massa: a quantidade transportada de ada produto para ada sonda mais o estoque em t-1 e mais a demanda nãoatendida é igual a demanda de ada produto em ada sonda mais o estoque o estoque no período t mais a demanda não-atendida no período t-1: trs, p, + is, p, t 1, + dns, p, = DEs, p, + is, p, + dns, p, t 1, s, p, (4.13) Ressalte-se que no período iniial o estoque é dado, passando a ser uma variável de deisão no período seguinte. A segunda equação representa uma restrição não-linear. Essa restrição se baseia no fato de que a existênia de estoque em t implia o atendimento de toda a 45

58 demanda (se i s p,, >0, dn s, p, =0) e de que o ontrário também é válido (se dn s, p, 0, i s, p, =0). Essa relação pode ser expressa pela restrição abaixo: dns, p, is, p, = 0 s, p, (4.14) Em suma, uma das duas variáveis é igual a zero. Para se linearizar a equação 4.14, primeiro deve-se transformá-la nas seguintes restrições: se dn então : i s, p, s, p, > 0, = 0 (4.15) e se i s, p, então : dn > 0, s, p, = 0 (4.16) Conforme indiado por Bisshop (2012) esse tipo de restrições pode ser transformada nas seguintes restrições lineares: dns, p, 2, s, p,, is, p, UL2 y2, s, p, s, p, s, p, LL( 1 y2, d, p, s) s, p, s, p, UL2 ( 1 y2, s, p, ) s, p, i dn ε LLy s, p, t (4.17) (4.18) ε (4.19) (4.20) Sendo que y 2 é uma variável de deisão binária e LL e UL 2 são onstantes que representam limites inferiores e superiores respetivamente sufiientemente grandes 46

59 para que as equações 4.17 e 4.18 não sejam ativas quando y 2 for igual a 1 e para que as restrições 4.19 e 4.20 não sejam ativas quando y 2 for igual a zero. Como todas as variáveis e parâmetros do problema são maiores ou iguais a zero, basta que LL seja igual a ε. IV.2.3 Limitações de Peso Em ada sonda, há uma limitação físia que pode ser tanto por volume quanto por massa. No aso, foi onsiderada restrição por massa ( M é a massa do produto p) de modo que há um limite máximo de estoagem de produtos por sonda ( M maxs ): p M p ( trs, p, + is, p, t 1, DEs, p, ) M max s + y3, s, UL2 s, (4.21) p Sendo UL 2, um limite superior que garante o atendimento da restrição quando a variável binária y 3 for igual a 1. IV.2.4 Restrições de Não-Anteipatividade Essas restrições são formuladas para garantir a existênia de inerteza no proesso de deisão: tr tr s,p, para o1 o 1, = r1, s, p s,p período (4.22) para o 2 período para ada grupo de enários i o s, p, 2, = r2, s, p, i, s,p (4.23) Essas restrições serão detalhadas no apítulo V. Seguem abaixo todas as equações definitivas do modelo: 47

60 ( + ft + ttr + st iet) f o. = min it +. (4.12) = s p t it i CI, = s t ft ) f P ( y, s, P s, p, s p (4.1) 1 (4.2) s ( 1 y s p t ) y,,,, 1, s, s, 2 (4.4) p ( 1 y2, s, p, ) y 1, s, UL1 s, (4.5) p ttr = CT tr Dist P ) IS s p t ( s, p, s, t (4.6) i w s, p, t (4.8) s, p s, p, t, s, p, t,, s, p, t, 0 w (4.9) = s p t = CR st CSsws, p, P (4.10) iet y, P, s, t s t trs, p, + is, p, t 1, + dns, p, = DEs, p, + is, p, + dns, p, t 1, s, p, dns, p, LLy2, s, p, s, p, is, p, UL2 y2, s, p, s, p, is, p, LL( 1 y2, d, p, s) s, p, dns, p, UL2 ( 1 y2, s, p, ) s, p, 3 (4.11) (4.13) ε (4.17) (4.18) ε (4.19) (4.20) M p ( trs, p, + is, p, t 1, DEs, p, ) M max s + y3, s, UL2 s, (4.21) tr p s,p, para o1 o 1, = r1, s, p s,p período (4.22) tr para o 2 o s, p, 2, = r2, s, p, i, s,p período para ada grupo de enários i (4.23) IV.3 Modelo om Roteamento No roteamento, serão definidas as rotas perorridas por ada baro de suprimento. No modelo essa informação é ontida na variável y r,s,t, que é uma variável binária que tem valor 1 quando a sonda s faz parte da rota r. roteamento. Abaixo serão apresentadas as mudanças na formulação do modelo om 48

61 No modelo om roteamento, as prinipais diferenças são: o álulo dos ustos de transporte, as restrições de apaidade de armazenamento por reboador, as restrições de número máximo de reboadores e as restrições de roteamento. As demais equações e restrições permaneem as mesmas. A restrição de apaidade é dada pela equação: ( trs p,. yr, s, t ) rebr,. CapPSV r,, (4.24) s p O número total de reboadores usados não pode exeder o número total de reboadores disponível: rebr Re bt, (4.25) r Para fazer o roteamento, impõe-se a ondição de que ada sonda seja atendida apenas por uma rota: yr s, t = 1 s, t, (4.26) r Há restrições de não-anteipatividade para o roteamento também: o rebr, 2,s = r3, i s,p para o 2 período e para ada grupo de enários i (4.27) Já usto de transporte total será dado por: 49

62 CReb ttr = VM CoefSeg r t ( dist. reb r ). P + CRebO (RebT reb P ) r, r, (4.28) t r O usto de transporte total passa a ser distribuído entre os reboadores que estão sendo usados (reb r, ) e os oiosos (RebT- reb r, ). Seguem as equações definitivas do modelo om roteamento: = s p t = y, s t it i CI, ft ) ( + ft + ttr + st iet) f o. = min it +. (4.12) P s, p, s p (4.1) ( 1 s, fsp (4.2) ( 1 y s p t ) y,,,, 1, s, s, 2 (4.4) p ( 1 y2, s, p, ) y 1, s, UL1 s, (4.5) p CReb ttr = VM CoefSeg IS w s r t ( dist. reb r ). P + CRebO 50 (RebT reb P ) r, r, (4.28) t r i w s, p, t (4.8) s, p s, p, t, s, p, t,,, p, t, 0 = s p t = CR st CS w, P s s p, t iet y, P (4.9), (4.10), s, t s t s, p, + is, p, t 1, + dns, p, = DEs, p, + is, p, + dns, p, t 1, s, p, s, p, LLy2, s, p, s, p, s, p, UL2 y2, s, p, s, p, s, p, LL( 1 y2, d, p, s) s, p, s, p, UL2 ( 1 y2, s, p, ) s, p, tr dn i i 3 (4.11) (4.13) ε (4.17) (4.18) ε (4.19) dn (4.20) M p ( trs, p, + is, p, t 1, DEs, p, ) M max s + y3, s, UL2 s, (4.21) p tr s,p, para o1 o 1, = r1, s, p s,p período (4.22) tr para o 2 o s, p, 2, = r2, s, p, i, s,p período para ada grupo de enários i (4.23) ( trs p,. yr, s, t ) rebr,. CapPSV r,, (4.24) s p

63 rebr Re bt, (4.25) r r y r, s, t = 1, s t (4.26) o rebr, 2,s = r3, i s,p para o 2 período e para ada grupo de enários i (4.27) 51

64 V MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: ABORDAGENS ESTOCÁSTICAS E ROTEIRIZAÇÃO Nesse apítulo, são apresentados os métodos de resolução usados para a resolução do modelo estoástio e ao algoritmo de resolução para o modelo om roteamento. V.1 Abordagens Estoástias Uma vez que o problema estoástio não possui uma solução analítia, assim omo grande parte dos problemas de programação estoástia (Birge e Louveaux (2012)), várias abordagens foram feitas onforme desrito nas subseções a seguir: V.1.1 Modelo Disretizado Foram formulados enários disretizados que representam a distribuição de probabilidade de áreas da distribuição ontínua para enumerar os enários onforme desrito abaixo. Para o aso dos produtos químios foi disretizada a distribuição de probabilidade em três enários (número mínimo para avaliar a importânia de modelos om inerteza, para mais detalhes ver Keefer (1994)) para todas as sondas: baixa demanda que ondensa a demanda entre zero e um terço, sendo usado o ponto médio de um sexto da probabilidade; 52

65 média demanda que ondensa a demanda entre um terço e dois terços, sendo usado o ponto médio de três sextos da probabilidade; alta demanda que ondensa a demanda entre dois terços e três terços, sendo usado o ponto médio de ino sextos da probabilidade; Foi onsiderado que o parâmetro de probabilidades seria o mesmo nos dois períodos. Já a demanda de tubos, onforme detalhado no apítulo VI, foi tratada omo uma binomial om probabilidade de 0,7 de haver demanda. entre si. As demandas dos dois produtos também são onsideradas independentes Foram riados enários 36 enários. Para o produto 1 (produtos químios) são 9 enários e para o produto 2 (tubos) são 4 enários. Pela hipótese de independênia, são então tratados 36 enários. Assim para ada uma das nove possibilidades de realização de demanda do produto 1 riam-se quatro enários para ada uma das possibilidades de realização de demanda do produto 2. Para ilustrar os enários, segue na figura V.1 a árvore de deisão de dois períodos para produtos químios: 53

66 t=0 t=1 t=2 alta enários alta (1,10,19,28) média (2,11,20,29) média baixa (3,12,21,30) alta (4,13,22,31) T média (5,14,23,32) baixa (6,15,24,33) baixa alta (7,16,25,34) T T média (8,17,26,35) Restrições de nãoanteipatividade do 1 0 período Restrições de nãoanteipatividade do 2 0 período baixa (9,18,27,36) Figura V.1 Árvore de deisão para produtos químios Abaixo na figura V.2, segue a árvore de deisão para os tubos: t=0 t=1 t=2 sim enários sim (1,...,9) não (10,...,18) não T sim (19,...,27) Restrições de nãoanteipatividade do 1 0 período Restrições de nãoanteipatividade do 2 0 período T não (28,...36) Figura V.2 Árvore de deisão para tubos 54

67 Para impedir que as deisões sejam tomadas sob ondições de informação perfeita, foram aresentadas as restrições de não-anteipatividade. Para o primeiro período, usa-se o seguinte onjunto de restrições: tr s, p,1, = r 1, s, p s,p (5.1) Essas restrições fazem que possa ser tomada apenas uma deisão no primeiro período e, não, uma deisão para ada enário, o que orresponderia a um modelo sem inerteza. Para o segundo período, o número de restrições é maior: tr tr tr tr tr s,1,2, s,1,2, s,1,2, s,2,2, s,2,2, = r = r = r = r = r 2, s,1 1 2, s,1 2 2, s,1 3 2, s,2 1 2, s,2 2 para C 1 1 = { 1,2,3,10,11,12,19,20,21,28,29,30} e s para C1 2 = {4,5,6,13,14,15,22,23,24,31,32 e 33} e s para C1 3 = {7,8,9,16,17,18,25,26,27,34,35 e 36} e s para C2 1 = {1,2,...,18}e s para C = {19,20,...,36}e s 2 2 (5.2) Para mensurar o valor da estoastiidade no modelo foram alulados o RP, o WS, o EV e o EEV (valor esperado da solução determinístia). Em função desses, foi alulado o EVPI e o VSS. O EEV foi alulado de forma um pouo diferente da formulada na literatura, já que o modelo proposto nesse trabalho difere do modelo estoástio de dois estágios, pois enquanto no modelo lássio apenas a variável de primeiro estágio é tomada em ondições de inerteza, no modelo desse trabalho nos dois períodos há deisões tomadas sob inerteza. Assim, para a determinação do EEV, alulou-se o valor ótimo de tr s,p, para o modelo determinístio. Em seguida, esses valores foram inseridos omo inpu ou seja, 55

68 deixaram de ser variáveis e viraram parâmetros no modelo estoástio disretizado e foram obtidos os valores ótimos do EEV. Ressalte-se que nesse modelo a deisão básia é de hear ada restrição de balanço de massa e verifiar se ada uma delas será satisfeita om a adição de estoque ou de demanda não-atendida. Para o modelo disretizado om roteamento foi neessário aresentar outro grupo de restrições de não-antiipatividade, já que o número de reboadores atuando em ada rota (reb r, ) depende de seis possibilidades de realização do primeiro período: grupo de enários 1: oorre quando a demanda de produtos químios for alta e quando houver realização de demanda de tubos, onsiste nos enários 1, 2, 3, 10, 11 e 12; grupo de enários 2: oorre quando a demanda de produtos químios for alta e quando não houver realização de demanda de tubos, onsiste nos enários 19, 20, 21, 28, 29 e 30; grupo de enários 3: oorre quando a demanda de produtos químios for média e quando houver realização de demanda de tubos, onsiste nos enários 4, 5, 6, 13, 14 e 15; grupo de enários 4: oorre quando a demanda de produtos químios for média e quando não houver realização de demanda de tubos, onsiste nos enários 22, 23, 24, 31, 32 e 33; grupo de enários 5: oorre quando a demanda de produtos químios for baixa e quando houver realização de demanda de tubos, onsiste nos enários 7, 8, 9, 16, 17 e 18; 56

69 grupo de enários 6: oorre quando a demanda de produtos químios for baixa e quando não houver realização de demanda de tubos, onsiste nos enários 25, 26, 27, 34, 35 e 36. equações: Essas restrições podem ser representadas pelo seguinte onjunto de reb r,2, = r 3,1 para C 1 = { 1,2,3,10,11,12} e r reb r,2, = r 3,2 para C 2 = {19,20,21,28,29,30} e r reb reb r,2, r,2, = r = r 3,3 3,4 para C para C 4 3 = {4,5,6,13,14,15} e r = {22,23,24,31,32,33} e r (5.3) reb r,2, = r 3,5 para C 5 = {7,8,9,16,17,18} e r reb r,2, = r 3,6 para C 6 = {25,26,27,34,35,36} e r V.1.2 Modelo om Sample Approximation Average (SAA) Para a resolução por SAA, as restrições de não-anteipatividade do segundo período foram similares às do primeiro período, já que omo o modelo não é disretizado não há nós pré-definidos ao final do primeiro período. Ou seja, no modelo SAA, a quantidade transportada não é indexada pelo enário (tr s,p,t ). Definiu-se um enário omo a realização de uma variável aleatória para ada sonda, para ada produto, para ada período. Assim, ada enário envolveu a realização de 40 variáveis aleatórias. Consideraram-se os enários equiprováveis, ou seja, se o número de enários for n, a probabilidade de ada enário é 1/n. Para a obtenção de limites inferiores e superiores foi usada a metodologia proposta por Shapiro e Homem-de-Mello (2001), expliada na seção II.7, que sugere o uso de um número a de amostras de tamanho n para a obtenção de um intervalo de 57

70 onfiança para a obtenção de um limite inferior om um nível α de signifiânia. Para a obtenção de um limite superior é sugerido o seguinte proedimento: 1. o uso de estimadores não-enviesados, o mais omum é o uso de estimadores obtidos por Monte Carlo; 2. Em seguida, om esses estimadores são obtidos os valores da função objetivo para a amostras diferentes de n enários gerados por Monte Carlo, obviamente o resultado obtido será aima do ótimo e onstituirá um limite superior om um nível α de signifiânia. V.1.3. Modelo om Latin Hyperube Sampling (LHS) Com o intuito de tentar obter método de amostragem que obtivesse menores variânias, foi utilizado o LHS, para mais detalhes ver Homem-de-Mello e Bayraksan (2013). A função de distribuição de probabilidades dos produtos químios foi dividida em 5 espaços ada um ontendo um quinto da função de distribuição de probabilidade da demanda. Em ada um desses espaços foi usada a função de distribuição de probabilidade onsiderada mais adequada (a esolha da função de distribuição de probabilidade será detalhada no apítulo VI). Em suma, há a realização de dois sorteios para a demanda de produtos químios de ada sonda em dado período: um para determinar em qual quinto da função de distribuição de probabilidade da demanda será esolhida a amostra, ou seja, é um sorteio aleatório disreto om 5 resultados equiprováveis; sendo n o valor seleionado aleatoriamente no primeiro sorteio, em seguida sorteia-se um valor de uma distribuição ontínua uniforme distribuída no intervalo [(n-1)/5 ; n/5] e usa-se uma função inversa da função de distribuição de probabilidade de demanda para determinar o valor que será usado. 58

71 Para a demanda de tubos, ontinuam sendo feitos sorteios aleatórios de uma binomial om 0,7 de probabilidade de realização de demanda. Para que pudessem ser usados os testes lássios de intervalo de onfiança usados no SAA, foram geradas 3 amostras aleatórias de ada demanda de produtos químios por sonda, por período e foi usado o valor médio das demandas. Caso não seja adotado esse proedimento, as amostras não são independentes, e, por onsequênia, o teorema lássio do limite entral não é válido (Shapiro et al. (2009)). V.1.4. Modelo para obtenção de limites superiores Com o intuito de estabeleer limites superiores, o problema foi soluionado para diversos níveis de probabilidade altos (todos aima de 80%) de realização da demanda estoástia, sendo que para ada nível de probabilidade onsiderou-se que o valor da demanda de ada sonda por produtos químios foi igual ao nível de probabilidade assoiado. Por exemplo, para o valor de 80% de probabilidade, usa-se o valor da demanda que orresponde a esse valor da função distribuição de probabilidade. Já para os tubos, que seguem uma distribuição binomial, onsiderou-se a oorrênia de demanda para todas as sondas em todos os períodos. V.1.5. Modelo om resolução por redução de enários Dados os tempos omputaionais elevados para modelos om muitos enários e os problemas assoiados à falta de memória RAM, onsiderou-se que poderia ser adequado o uso de ténias de redução ótima de número de enários (Dupaova et al. (2003)). 59

72 Foram gerados enários disretizados da seguinte forma: a demanda por produtos químios foi disretizada em 100 enários ada um deles om um por ento de probabilidade para todas as sondas e para os dois períodos, sendo usado o ponto médio de ada intervalo. Assim, o primeiro intervalo tem omo valor 0,5% para todas as sondas e para os dois períodos, o segundo, 1,5% e assim suessivamente, até o último, 99,5%; a demanda por tubos foi disretizada em quatro enários para todas as sondas onforme ilustrado abaixo: t=0 t=1 t=2 sim enários sim (1) não (2) não T sim (3) T não (4) Figura V.3 Árvore de deisão para os tubos no método de redução de enários Por fim, multipliando-se o número de enários dos produtos químios om o número de enários dos tubos, hega-se ao número de 400 enários de modo que o primeiro enário orresponde ao aso em que as demandas por produtos químios orrespondem ao ponto médio de 0,5% e há realização de demanda de tubos nos dois períodos. Já o segundo enário orresponde ao ponto médio de 0,5% e há realização 60

73 de demanda de tubos apenas no primeiro período. O tereiro enário orresponde ao ponto médio de 0,5% e há realização de demanda de tubos apenas no segundo período. O quarto enário orresponde ao ponto médio de 0,5% e não há realização de demanda de tubos em nenhum período. No quinto enário, as demandas por produtos químios orrespondem ao ponto médio de 1,5% e há realização de demanda de tubos nos dois períodos. Segue-se dessa forma até o último enário. Essa definição dos enários foi feita de forma a possibilitar a resolução do problema om todos os enários em um limite de tempo elevado e fazer a posterior omparação om os resultados obtidos om o algoritmo de redução de enários. O algoritmo de redução de enários adotado foi o de bakward redution baseado em Heitsh e Romish (2003). Usou-se o algoritmo de bakward indution e, não, o de forward indution pois aquele ostuma apresentar resultados melhores quando o número de enários exluídos é maior do que 25% (Heitsh e Romish (2003)). O algoritmo de bakward indution foi implementado da seguinte forma: Passo 1_gera-se a matriz de ustos C N x N, sendo N o número iniial de enários e ada elemento da matriz é alulado da seguinte forma: ( n, n1) = (5.4) s p t abs( DEs, p, n DEs, p, n1 ) n = 1,..., N n 1= 1,..., N A matriz leva em onsideração o valor absoluto da soma das diferenças entre as realizações das demandas. Passo 2_aha-se o mínimo de ada linha da matriz C N x N : ( n, j*) min j ( ( n, j)) n = 1,..., N j = 1,..., N = (5.5) 61

74 mínimo: Passo 3_multiplia-se (n,j*) pela probabilidade de ada enário n e aha-se o ( l*, j*) min n ( probn ( ) ( n, j*)) n = 1,..., N = (5.6) O enário l* será o primeiro a ser exluído. Passo 4_faz-se a redistribuição de probabilidade do enário que exluído: prob ( j*) = prob( j*) + prob( l*) (5.7) Passo 5_elimina-se a linha e a oluna l* da matriz C de modo que ela passa a ser uma matriz quadrada om uma linha e uma oluna a menos. desejado. Passo 6_repetir passos 2 a 5 até que seja eliminado o número de enários V.2 Algoritmo usado para roteamento Para fazer o roteamento das sondas foi adaptado o algoritmo de Gillett e Miller (1974) da seguinte forma: Passo 1: Tendo omo origem as oordenadas do porto de Maaé, derivaramse as oordenadas x e y das sondas nos dois períodos; Passo 2: Considerou-se que as sondas posiionadas nos dois primeiros quadrantes seriam positivas e as no tereiro e quarto quadrantes seriam negativas, 62

75 para depois alular-se a posição de ada uma das sondas para ada um dos períodos em radianos, ou seja, a ontagem foi de π a π; Passo 3: Ordenaram-se as sondas em ordem deresente de radianos. O objetivo de fazer o ordenamento dessa maneira foi evitar o transporte na parte terrestre, que obviamente não pode oorrer; Passo 4: Calulou-se a demanda média da soma dos dois produtos de ada sonda por período (demmédia(s,t)); Passo 5: Iniia-se o roteamento pelo vértie não-roteado (sonda) na posição om mais radianos em ada período, e são adiionados os vérties om mais radianos até que a soma das demandas médias dos vérties não exeda a apaidade livre do reboador (CapPSV). Quando a apaidade do reboador for exedida, iniiase uma nova rota e repete-se o proedimento até que todos os vérties estejam roteados; período. Passo 6: Por fim, alulam-se as distânias perorridas em ada rota, em ada Com o intuito de se testar a influênia do sentido no roteamento, testou-se também o algoritmo de roteamento om ordem resente de radianos, isto é, o passo 3 foi alterado. 63

76 VI CASO DE APLICAÇÃO Os dados foram baseados nas operações offshore da Petrobras na Baia de Campos em 2011 e alguns parâmetros foram estimados baseados na opinião de experts. A função de distribuição de probabilidade dos produtos foi fundamentada nos resultados de testes estatístios de aderênia. Os modelos desritos foram rodados em um omputador intel orei7, om 8GB de memória RAM no software AIMMS versão 3.13, sendo usado omo solver o GUROBI versão 5.0. VI.1 Dados Como base de dados, foram usados dados de quantidades transportadas em metro quadrado por Platform Supply Vessels (P.S.V.) para dez sondas de perfuração (nove semi-submersíveis e um navio-sonda, que foram denominadas de S1 a S10) na Baia de Campos no período de 8 de março de 2011 a 27 de setembro de 2011 para a modelagem do problema, totalizando um período de trinta semanas. A seguir serão desritos os ritérios e métodos usados na determinação dos parâmetros e nas funções de distribuição de probabilidade das variáveis estoástias. VI.1.1 Distânia Por meio das oordenadas de latitude e longitude de ada sonda em ada período foram aluladas as distânias (usadas para a determinação do usto de 64

77 transporte total) om relação ao porto de Maaé de onde é feito o transporte para as sondas e as plataformas da Baia de Campos. VI.1.2 Parâmetros de Peso A massa dos dois produtos ( M ) foi normalizada para 1. Já para a determinação do limite máximo de estoagem de produtos por sonda ( M max ), foi usada a seguinte fórmula: p s M max = CoefSegurança.( Máx, ) M (6.1) s p s p p Sendo que CoefSegurança é um oefiiente de segurança (foi usado 1,2) e Máx, é o maior valor do histório de quantidade transportada por produto por sonda s p multipliada por M p. Tentou-se assim que em ondições normais o limite de peso não fosse ultrapassado, ou seja, almeja-se que a restrição de peso seja inativa. Considerou-se, todavia, que sua inlusão era importante para evitar asos em que fossem transportadas quantidades muito grandes em um únio período. VI.1.3 Parâmetros de Estoque O estoque iniial I0 s, p foi determinado omo dez por ento da média da quantidade transportada por produto para ada sonda nos 30 períodos: 65

78 I N t = 1 s, p = 0,1. tr N s, p, t 0 (6.2) Sendo que N=30. O estoque de segurança foi definido omo duas vezes o desvio-padrão da série temporal de quantidade transportada por sonda, por produto: IS s, p 2 s, p, t = desvp( tr ) (6.3) Tendo em vista que o desvio-padrão e o valor do estoque de segurança estão relaionados om a variabilidade, faz sentido que o estoque de segurança seja proporional ao desvio-padrão. Considerou-se que 2 seria um oefiiente de proporionalidade adequado, visto que no aso de uma distribuição normal padrão obre mais de 97% da função de distribuição de probabilidade aumulada. VI.1.4 Parâmetros de Custo O usto de estoagem por sonda por produto (CI s,p ) levou em onsideração o usto de estoque nas sondas, ou seja, relaionou-se o valor dos produtos om uma taxa de juros representando os ustos de se investir em material não-usado em determinado período, onforme a equação abaixo: CI in. preço s, p = p (6.4) Sendo que in representa a taxa de juros nominal. 66

79 O usto de falta por sonda ( CF ) foi alulado om base na profundidade que a s mesma poderia atuar. Para sondas om apaidade de perfurar em águas om lâmina de água (L.D.A.) superior ou igual a 2.000m foi estimado que o usto diário de afretamento era de US$ / dia e para as outras foi onsiderado o valor de US$ Em suma: CF = se L.D.A de Si 2000m (6.5) s CF = se L.D.A de Si < 2000m (6.6) s Multiplia-se por 7 pois trata-se de ustos semanais. O parâmetro relativo aos ustos de transporte (CT) foi alulado om base nos ustos por metro quadrado transportado por reboador multipliado por dois (representando o trajeto de ida e volta) dividido pela veloidade média do reboador, pela área oupada do onvés e por um oefiiente de segurança. Desse modo, CT foi obtido por meio da seguinte equação: 2 C Reb = VM CapPSV Coef.seg CT (6.7) O usto de rota por reboador foi estimado de forma semelhante. A diferença onsiste na inlusão do termo dist r no numerador que não é mais multipliado por dois e na exlusão do termo relativo à área no denominador. Segue a equação abaixo: C Reb C Reb distr = VM Coef.seg r (6.8) 67

80 O usto de reboador oioso foi estimado, om base em espeialistas da área naval, omo 80% do gasto om reboador em movimento, devido à diminuição dos gastos om ombustível e diesel que oorre quando os reboadores estão fundeados aguardando, onforme a equação abaixo: C ReO = C Reb 0,80 (6.9) O parâmetro de ustos CS s foi onsiderado diretamente proporional ao usto de sonda parada (na proporção de 5%) e inversamente proporional ao tempo de transporte dos produtos do porto à sonda (3 dias). Considerou-se assim que 1,6% seria um fator apropriado: CS =, (6.10) s CF s VI.2 Análise das Variáveis Estoástias Devido à ausênia de dados agregados das variáveis estoástias do modelo (demanda de produtos químios e de tubos), foram usados omo proxy os dados de quantidade transportados onsolidados. VI.2.1 Distribuição de Probabilidade da Demanda de Produtos Químios Para se fazer os testes estatístios de aderênia para as séries de quantidades transportadas das dez sondas, usou-se uma média móvel de ino semanas, período no qual uma sonda tendia a permaneer em uma dada loalização. 68

81 Todos os testes foram rodados no programa Stat:Fit versão2. Para todas as séries os parâmetros foram estimados por meio do estimador de máxima verossimilhança. Conforme Mithell (1971), foram preferidos os testes de Kolmogorov- Smirnov e de Anderson-Darling aos testes qui quadrado que tendem a forneer resultados piores para amostras pequenas. Ressalte-se que seria preferível a realização dos testes om amostras maiores, om era de em pontos, mas a espeifiidade do problema impossibilita a existênia de muitos pontos, já que séries maiores (om um número maior de semanas) poderiam refletir araterístias geológias bem diferentes de modo que se agruparia numa mesma amostra pontos que araterizam outras funções de distribuição de probabilidade. Considerou-se que apesar do pequeno número de pontos usados nos testes de aderênia, esses possuíam araterístias similares pois os poços estavam próximos. Considerou-se a priori que uma distribuição normal trunada (o ponto zero teria uma probabilidade disreta de oorrênia) poderia ser adequada, pois apresenta a média omo moda e é simétria em relação à média (araterístias que podem ser esperadas na demanda por produtos químios em sondas). Além disso, o uso de médias-móveis tende a aproximar as amostras de uma distribuição normal pelo teorema do limite entral. Assim, quando o p-valor dos testes de aderênia da distribuição normal à amostra não foram rejeitados, usou-se a distribuição normal. Segue tabela om os prinipais resultados para os testes de aderênia dos produtos químios das sondas: 69

82 Tabela VI.1 Testes de aderênia das demandas de produtos químios Sondas Distribuição Kolmogorov-Smirnov Anderson- (p-valor) Darling (p-valor) S1 Normal (13,7 ;5,99) 0,621 0,877 S2 Lognormal(-1,41; 3,61;0,56) 0,312 0,497 S3 Normal (28,99 ;8,03) 0,971 0,976 S4 Normal (11,53; 5,79) 0,632 0,761 S5 Lognormal(5,65 ;2,44;0,69) 0,81 0,813 S6 Normal (30,37; 9,65) 0,803 0,938 S7 Lognormal (16,25; 2,71;1,17) 0,908 0,891 S8 Normal (26,13; 15,96) 0,533 0,438 S9 Lognormal (1,72; 2,93; 1,08) 0,738 0,752 S10 Normal (39,46; 7,33) 0,468 0,342 Para a maioria das amostras a distribuição normal obteve bons p-valores, em amostras nas quais havia uma maior onentraão de valores próxima de zero, a distribuição Lognormal apresentou bons resultados (nessas amostras a hipótese de distribuição normal foi rejeitada). Não se usou a distribuição Loglogisti nesses asos pois apesar de os p-valores dos testes de aderênia serem bons, a distribuição da urva à direita da média apresentou dispersão aima do razoável. Segue o gráfio da distribuição normal de produtos químios obtida para S1 obtida do Stat:Fit versão2: Figura VI.1_Teste de aderênia para produtos químios de S1 (normal) 70

83 Como exemplo de gráfio da distribuição Lognormal obtida segue a distribuição de produtos químios obtida para S2: Figura VI.2_Teste de aderênia para produtos químios de S1 (Lognormal) Nota-se que nas duas distribuições, apenas em um dos quadrantes os dados não se ajustam bem às urvas de distribuição esolhidas. VI.2.2 Distribuição de Probabilidade de Demanda de Tubos Dada a partiular araterístia da entrega de tubos para sondas, em geral é feita uma entrega grande em uma únia semana para atender as diversas fases de perfuração de um poço, tornou-se pouo adequado realizar testes de aderênia om os dados de transporte. Após análise das operações e onversas om profissionais envolvidos na operação de sondas, onsiderou-se adequado o uso de uma distribuição binomial, sendo que a probabilidade de haver demandas por tubos foi estimada em 0,7 por semana para todas as sondas. Para o valor da média dos períodos om demanda, foi usada a média ( µ tub, s ) dos períodos usados, dividida por P tub, onforme a equação abaixo: 71