UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Deodifiação de Sinais DTMF Via Transformada Aritmétia de Fourier Juliano Bandeira Lima

2 Juliano Bandeira Lima Deodifiação de Sinais DTMF Via Transformada Aritmétia de Fourier Reife 2004

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA DECODIFICAÇÃO DE SINAIS DTMF VIA TRANSFORMADA ARITMÉTICA DE FOURIER por JULIANO BANDEIRA LIMA Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétria da Universidade Federal de Pernambuo omo parte dos requisitos para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Elétria. ORIENTADOR: RICARDO M. CAMPELLO DE SOUZA, Ph.D. Reife, Junho de Juliano Bandeira Lima, 2004

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5 Aos meus amados pais Beto e Elza, e ao meu estimado irmão Renato. iii

6 Agradeimentos Primeiramente, agradeço a Deus por todos os dons que Ele me onedeu e que, hoje, posso oloar a serviço das outras pessoas. Agradeço aos meus pais que, durante toda a minha vida, sempre me apoiaram inondiionalmente, e a todos que me ofertaram inentivo, força, onsolo e arinho. Agradeço também: Ao Prof. Dr. Riardo Menezes Campello de Souza, pela orientação uidadosa e estimulante, pela experiênia que me foi transmitida e pela onfiança em mim depositada. Ao Prof. Dr. Hélio Magalhães de Oliveira, pela ontagiante vibração que torna ainda mais prazerosa a aquisição do onheimento, a pesquisa e as desobertas. Aos demais professores e olegas do urso de Engenharia, que ontribuíram na minha formação profissional e pessoal. JULIANO BANDEIRA LIMA Universidade Federal de Pernambuo 15 de Junho de 2004 iv

7 Resumo da Dissertação apresentada à UFPE omo parte dos requisitos neessários para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Elétria. DECODIFICAÇÃO DE SINAIS DTMF VIA TRANSFORMADA ARITMÉTICA DE FOURIER Juliano Bandeira Lima Junho/2004 Orientador: Riardo M. Campello de Souza, Ph.D. Área de Conentração: Comuniações. Palavras-have: Série de Fourier, Transformada Disreta de Fourier, Transformada Aritmétia de Fourier, algoritmos rápidos, DTMF. Número de Páginas: xv A sinalização DTMF (Dual-Tone Multifrequeny) tem diversas apliações importantes, sendo usada em muitos sistemas de Teleomuniações, tais omo telefonia a telado, orreio de voz, omério eletrônio e sistemas banários interativos. Com a demanda resente por taxas de transmissão ada vez mais elevadas nesse ontexto, a veloidade de deodifiação dos sinais DTMF torna-se um parâmetro importante no projeto desses sistemas. Uma vez que a deodifiação é realizada via multiplexação temporal em um proessador digital de sinais, um menor tempo de deodifiação implia apaidade de proessar simultaneamente um maior número de anais. Esta dissertação propõe um novo método, baseado na Transformada Aritmétia de Fourier, para a deodifiação dos sinais DTMF. O método proposto é mais efiiente, em termos de omplexidade omputaional, do que as ténias usualmente utilizadas nesse enário. São enfatizadas as vantagens omputaionais que esta nova ténia oferee sobre outros algoritmos que alulam a Transformada Disreta de Fourier. Resultados de simulações são apresentados e algumas implementações são sugeridas. Uma breve análise do desempenho do método proposto, na presença de quantizadores, é feita. v

8 Abstrat of Dissertation presented to UFPE as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master in Eletrial Engineering. DTMF DECODING VIA ARITHMETIC FOURIER TRANSFORM Juliano Bandeira Lima June/2004 Supervisor: Riardo M. Campello de Souza, Ph.D. Area of Conentration: Communiations. Keywords: Fourier Series, Disrete Fourier Transform, Arithmeti Fourier Transform, fast algorithms, DTMF. Number of Pages: xv Dual-Tone Multifrequeny (DTMF) signalling has manifold appliations and has been used in a broad range of modern Teleommuniation systems, suh as, for instane, telephony, voie mail, e-ommere, and interative home banking. Due to the ever inreasing demand for higher transmission rates in this senario, the fast deoding of a DTMF signal beomes a highly important requirement for suh systems. A smaller deoding time results in a apaity of simultaneously proessing a larger number of hannels. In this dissertation, a new method for the deoding of DTMF signals is proposed. The approah, whih applies the Arithmeti Fourier Transform, is more effiient, in terms of omputational omplexity, than existing tehniques, thus allowing a faster DTMF deoding. Theoretial aspets and features that determine the auray and the omplexity of the proposed tehnique are disussed. The robustness of this method in the presene of quantizers is also examined. Simulation results are presented and a few implementations are suggested. vi

9 Sumário Lista de Tabelas ix Lista de Figuras xi Prefáio xii Capítulo 1 A Representação em Série de Fourier de Sinais Periódios e a Transformada Disreta de Fourier Representação em Série de Fourier de Sinais Periódios em Tempo Contínuo A Transformada Disreta de Fourier A DFT e os Coefiientes da Série Algoritmos Rápidos: Cooley-Tukey e Goertzel A Transformada Rápida de Fourier de Cooley-Tukey O Algoritmo de Goertzel...10 Capítulo 2 A Transformada Aritmétia de Fourier Preliminares Matemátios Tufts- Sadasiv Reed- Tufts Reed-Shih (AFT Simplifiada) Exemplos e Comentários...21 Capítulo 3 O Sistema DTMF e os Parâmetros da AFT O Sistema DTMF A Freqüênia de Amostragem O Comprimento da Transformada A Interpolação...32 vii

10 Capítulo 4 A Apliação da AFT A Deodifiação DTMF: N = N = 114, Interpolação de Primeira Ordem N = 114, Interpolação de Ordem Zero O Arredondamento na AFT Comentários e Outros Resultados...51 Capítulo 5 Implementações e Complexidade Computaional O Número de Operações N = 114, Interpolação de Primeira Ordem N = 114, Interpolação de Ordem Zero AFT Arredondada AFT versus Outros Algoritmos...60 Capítulo 6 Efeitos da Quantização na Deodifiação DTMF A Quantização A AFT e os Sinais DTMF Quantizados...64 Capítulo 7 Conlusões 70 Apêndie A Demonstração dos Teoremas 2.6 e A.1 Teorema A.2 Teorema Apêndie B Listagem de Programas 77 Apêndie C Jean Joseph Baptiste Fourier 84 Apêndie D Notação 87 Apêndie E Artigos 89 Bibliografia 90 viii

11 Lista de Tabelas 1.1 Resumo das Propriedades da DFT Amostras exigidas para o álulo das médias de Bruns Freqüênias DTMF e índies j orrespondentes Índies dos oefiientes harmônios orrespondentes às freqüênias DTMF (N = 114, F s = 8 khz) Somas de Bruns assoiadas ao n-ésimo oefiiente harmônio (N = 114, F s = 8 khz) Desrição das amostras neessárias ao álulo das somas de Bruns (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de primeira ordem) Desrição das amostras neessárias ao álulo das somas de Bruns (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de primeira ordem) Módulos dos oefiientes harmônios e erros perentuais de estimativa para ada sinal DTMF (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de primeira ordem) Desrição das amostras neessárias ao álulo das somas de Bruns (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de ordem zero) Desrição das amostras neessárias ao álulo das somas de Bruns (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de ordem zero) Módulos dos oefiientes harmônios e erros perentuais de estimativa para ada sinal DTMF (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de ordem zero) Índies dos oefiientes harmônios assoiados a 2n-ésima soma de Bruns (N = 114, F s = 8 khz) Somas de Bruns assoiadas ao n-ésimo oefiiente harmônio usando arredondamento (N = 114, F s = 8 khz) Módulos dos oefiientes harmônios e erros perentuais de estimativa para ada sinal DTMF, usando arredondamento (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de primeira ordem)...49 ix

12 4.12 Módulos dos oefiientes harmônios e erros perentuais de estimativa para ada sinal DTMF, usando arredondamento (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de ordem zero) Valor médio do erro perentual de estimativa para ada freqüênia DTMF (N = 114, F s = 8 khz, interpolações de ordem um e zero) Complexidade omputaional da AFT Simplifiada na deodifiação de sinais DTMF (N = 114, F s = 8 khz) Desrição das amostras neessárias ao álulo de B 20 (0) e B 24 (0) (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de primeira ordem) Número otimizado de adições neessárias ao álulo de ada soma de Bruns na deodifiação de sinais DTMF (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de primeira ordem) Complexidade omputaional da AFT Simplifiada, usando arredondamento, na deodifiação de sinais DTMF (N = 114, F s = 8 khz) Comparativo entre a omplexidade omputaional da FFT de Cooley-Tukey de base 2 (N = 128), do algoritmo de Goertzel (N = 114) e da AFT (N = 114) na deodifiação de sinais DTMF (F s = 8 khz) Módulos dos oefiientes harmônios e erros perentuais de estimativa para ada sinal DTMF (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de primeira ordem, 256 níveis de quantização) Módulos dos oefiientes harmônios e erros perentuais de estimativa para ada sinal DTMF (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de ordem zero, 256 níveis de quantização) Módulos dos oefiientes harmônios e erros perentuais de estimativa para ada sinal DTMF, usando arredondamento (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de primeira ordem, 256 níveis de quantização) Módulos dos oefiientes harmônios e erros perentuais de estimativa para ada sinal DTMF, usando arredondamento (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de ordem zero, 256 níveis de quantização) Valor médio do erro perentual de estimativa para ada freqüênia DTMF (N = 114, F s = 8 khz, interpolações de ordem um e zero, 256 níveis de quantização)...69 x

13 Lista de Figuras 3.1 Telado DTMF Sinal x 1 (t) orrespondente ao dígito 1 do sistema DTMF Diagrama simplifiado da parte transmissora de um sistema PCM Seqüênia x 1 [i] orrespondente ao dígito 1 do sistema DTMF Diferenças entre as freqüênias DTMF e as freqüênias amostradas pela DFT Diagrama otimizado para o álulo de B 20 (0) e B 24 (0) (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de primeira ordem) Diagrama otimizado para o álulo de B 120 (0) (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de primeira ordem) Diagrama simplifiado para o álulo dos oefiientes a n (N = 114, F s = 8 khz, interpolação ordem zero) Diagrama otimizado para o álulo dos oefiientes a n e b n, usando arredondamento (N = 114, F s = 8 khz, interpolação de primeira ordem) Quantizador uniforme om 8 níveis Modelo de ruído aditivo para o erro de quantização...64 C.1 Jean Baptiste Joseph Fourier...84 E.1 Frontispíio dos artigos redigidos aeitos...89 xi