Exercícios comentados - Probabilidades

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA Núcleo de Estudos Estatísticos e Biométricos Prof.: Marcelo Tavares Administração I Exercícios comentados - Probabilidades 1- Uma loja de material de construção possui 2 caixas de conexões. Na primeira, das 30 conexões 11 são defeituosas. Na segunda caixa, de 12 conexões, 4 apresentam defeitos. Uma conexão é retirada aleatoriamente de cada caixa. Calcule a probabilidade de: a) Apenas uma ser defeituosa b) Ambas serem defeituosas c) Ambas não serem defeituosas a) Temos duas possibilidade de retirar duas conexões e uma ter defeito P( 1ª def e 2ª sem def) ou P(1ª sem def e 2ª def) = P( 1ª def e 2ª sem def) + P(1ª sem def e 2ª def) = 1ª def. 2ª sem def + 1ª sem def. 2ª def = = 0,37.0, , 63.0,33 = 0, , 21 = 0, 46 ou 46% b) P(1ª def e 2ª def) = 1ª def. 2ª def =. = = 0,12 ou 12% c) P(1 a sem def e 2 a sem def)= 1 a sem def. 2 a sem def = = = 0,42 ou 42% Em um grupo de 97 empresas nacionais, 63 possuíam filiais em São Paulo(SP), 63 em Salvador(SSA), 51 no Rio de Janeiro(RJ), 43 empresas possuíam filiais em SSA e SP, 35 em SSA e RJ, e 33 em SP e RJ. Quatro empresas não possuíam filiais em nenhum destes estados. Calcule a probabilidade de uma empresa escolhida

2 aleatoriamente: a) Possuir filial nos três estados b) Possuir filial apenas em SP c) Possuir em ambos os estados SSA e RJ Vamos construir um diagrama com as informações fornecidas pelo enunciado SP pra facilitar o entendimento na resolução SSA do exercício. a 43 - x b x 33-x 35-x c RJ Utilizando as informações do exercício vamos montar três equações : SP: a + 43 x + x + 33 x = 63 a + 76 x = 63 a = x então a = x 13 SSA: b + 43 x + x + 35 x = 63 b + 78 x = 63 b = x então b = x 15 RJ: c + 33 x + x + 35 x = 51 c + 68 x = 51 c = x então c = x 17 Total: a + b + c + 43 x + x + 33 x + 35 x + 4 = 97 Substituindo os valores de a, b e c na equação total temos: (X 13) +( x 15) + (x 17) + 43 x + x + 33 x + 35 x + 4 = 97 x = 97 então x = 27 Temos então: a = = 14 b = = 12 c = = 10

3 27 a) P(3 estados ) = 97 a 14 b) P( apenas SP ) = = x 8 c) P( SSA e RJ ) = = O risco de uma pessoa sofrer um acidente em uma atividade durante a sua vida profissional é de 1/50. Se três pessoas trabalharem nessa atividade, determine: a) a probabilidade das três pessoas se acidentarem b) a probabilidade de nenhuma pessoa sofrer um acidente c) a probabilidade de pelo menos uma pessoa se acidentar Primeiramente a probabilidade da pessoa sofrer um acidente durante a vida é 1 50, e de não sofrer é =. Vamos a resolução: a) P(x = 3 acidentes) = 1ª acidenta e 2ª acidenta e 3ª acidenta = = 0, 02*0, 02*0, 02 = 0, ou 0,0008% b) P( x = 0 acidentes) = 1ª não acidenta e 2ª não acidenta e 3ª não acidenta = = 0,98*0,98*0,98 = 0,9412 ou 94,12% c) P( pelo menos 1 acidente) = P(x 1) = 1 P(x = 0) = 1 0,9412 = 0,06 ou 6%. Como três pessoas trabalham nessa atividade podemos ter no mínimo zero (nenhum) acidente e no máximo três acidentes como mostra a figura abaixo Se o exercício pede pelo menos um acidente isto quer dizer que, estão valendo:1 acidente ocorrido ou 2 acidentes ocorridos ou 3 acidentes ocorridos. Só não serve nenhum acidente ocorrido.

4 4.Um aluno chega atrasado em 40% das aulas e esquece o material didático em 18% das aulas. Supondo eventos independentes, calcule a probabilidade de: a. O aluno chegar na hora e com material b. Não chegar na hora e ainda sem material Como o exercício afirma que o aluno chega atrasado em 40% das aulas então: Ele chegar atrasado = 40% = 0,40, ele não chegar atrasado = 60% = 0,6. O exercício afirma também que ele esquece o material didático em 18% da aula, ou seja, ele esquecer o material = 18% = 0,18 e ele não esquecer o material =82% = 0,82. a)qual a probabilidade de o aluno chegar na hora e com material? Como os eventos são independentes temos: / P chegar na hora c / material = P ( chegar na hora e c material ) = P( c / material) = 0,60 0,82 = 0,492 ou 49,2% P chegar na hora b)qual a probabilidade de o aluno não chegar na hora e sem material? P n chegar na hora e s / material P n chegar na hora s / material = ( ) = ( ) P( s / material) = 0,40 0,18 = 0,072 ou 7,2% P n chegar na hora 5.Um pesquisador estudou o comportamento de consumo de bebidas lácteas no Brasil. Analisou a classe econômica do consumidor e o principal aspecto determinante da escolha a marca. Os dados obtidos estão tabulados na tabela a seguir: Classe/Aspecto Preço Qualidade Soma Alta Media Baixa Total Qual a probabilidade de um consumidor escolhido o acaso: a) Priorizar o preço, dado que é da classe alta. b) Priorizar a qualidade, dado que é da classe media. c) Ser da classe baixa, dado que atribui maior importância ao fator qualidade. Utilizando os dados da tabela de contingência vamos responder as perguntas:

5 a)priorizar o preço dado que é da classe alta, temos uma probabilidade condicional então: P ( preço classe alta) P ( preço / classe alta) = = 42 = 0,4286 ou 42,86% P classe alta 98 b)priorizar a qualidade dado que é da classe media, temos uma probabilidade condicional então: P( qualidade classe media) P ( qualidade / classe media) = = P classe media 21 = 0,3621 ou 36,21% 58 c)ser da classe baixa dado que atribuiu maior importância ao fator qualidade: P( classe baixa qualidade) P( classe baixa / qualidade) = = P qualidade 97 = 0,5575 ou 55, 75% 174