Teorema Espectral. Fabiani Coswosck CEUNES/UFES. August 6, Introdução Terminologia e Notação... 5

Transcrição

1 Teorema Espectral Fabiani Coswosck CEUNES/UFES August 6, 200 Contents Introdução 4. Terminologia e Notação Conceitos Básicos 6 2. Espaço Vetorial, Produto Interno e Norma Soma Direta e Decomposição Ortogonal Exemplos `2 (N ), o conjunto das sequências complexas quadrado-somáveis Aplicações Lineares Homomor smos e Isometrias Espaços de Aplicações Lineares Topologias Forte e Fraca de Operadores em L (H) Exemplos O operador H em `2 (N ) Funcionais Lineares e Espaço Dual Adjunto de um Operador Limitado em Espaços de Hilbert Álgebras 24 4 Teoria Espectral Séries para o Resolvente Série de Neumann Série de Taylor do Resolvente Exemplos O espectro do operador H Cálculo Funcional Contínuo 32 6 Teorema Espectral 38 7 Conclusão Teorema Espectral e Diagonalização de Operadores em Dimensão Finita A Tópicos de Teoria da Medida 45 A. Teoremas de Convergência

2 Apresentação A Análise Funcional é a disciplina da Matemática que estuda certas "estruturas algébrico-topológicas". Mais especi camente, seu tema são os operadores lineares em espaços vetoriais de dimensão in nita (ou nita). A teoria é vasta, complexa e extremamente importante para a Matemática devido a sua ubíqua relação com outras disciplinas, tais como a teoria das equações diferenciais parciais, a pesquisa operacional e a Mecânica Quântica. O Teorema Espectral é um resultado fundamental da Análise Funcional. Didaticamente, ele permite uma introdução "transversal" ao tema, no sentido de proporcionar ao iniciante a oportunidade de estudar de forma integrada vários tópicos da teoria. Naturalmente, essa característica também constitui uma di culdade para quem labora com os rudimentos da álgebra e da análise. Contornar essas di culdades foi um dos desa os deste trabalho de conclusão de curso. O Teorema Espectral visto nos cursos introdutórios de álgebra linear diz o seguinte: Todo operador auto-adjunto A : C n! C n é diagonalizável, i.e., existe uma base ortonormal de C n com respeito à qual a matriz de representação de A é diagonal. Fabiani apresenta no seu Trabalho de Conclusão de Curso uma versão algébrica do Teorema Espectral, que essencialmente constitui uma descrição da *-álgebra fracamente fechada gerada num espaço de Hilbert por um operador auto-adjunto limitado. Cabe ressaltar que o teorema de diagonalização acima possui diversas generalizações em espaços vetoriais de dimensão in nita. Todavia, em nenhuma dessas generalizações reconhecemos imediatamente o caso elementar razão pela qual Halmos achou pertinente discutir o tema num artigo 2. Breve contextualização do Teorema Espectral Aqui, apresento um resumo da teoria que pode servir como guia para leitura do texto de Fabiani. Destaco que os enunciados apresentados aqui diferem daqueles enunciados no texto, mas são equivalentes. Sejam H um espaço de Hilbert e L (H) a *-álgebra dos operadores limitados em H, munida da conjugação de nida pelo adjunto de Hilbert. Considere um operador limitado A em H; o espectro de A é de nido por := f 2 C = I A é invertível em L (H)g No caso de A ser auto-adjunto (A = A), a *-álgebra P gerada por A em L (H) é dada por: 3 ( n ) X P = k A k ; a 0 ; :::; a n 2 C; n 2 N P é *-homomorfa à álgebra P dos polinômios numa variável complexa, sendo o *-homor smo dado por! X n A : P! P ; A k z k = nx k A n No contexto da Análise Funcional, uma pergunta que colocamos naturalmente é a de saber qual é a *-álgebra C gerada por A em L(H) que é topologicamente fechada com respeito à topologia da norma. Embora essa questão esteja naturalmente relacionado à anterior, ela é signi cativamente mais complicada e sua resposta depende dos seguintes fatos não-triviais: (i) O espectro de A é um subconjunto compacto não vazio de C; (ii) Aplicação espectral polinomial (válido para operadores limitados em geral, não necessariamente auto-adjuntos): (p ) = p ( ) ; 8p 2 P W. Rudin, Functional Analysis 2nd edition, McGraw-Hill, 99: Prefácio. 2 P. R. Halmos, What does the spectral theorem say?, American Mathematical Monthly, Vol. 70, No. 3 (963): Usamos a convenção A 0 = I. 2

3 (iii) Fórmula para o raio espectral (válido para operadores limitados em geral, não necessariamente auto-adjuntos): 4 := sup fjj ; 2 g = lim n! kan k =n A partir desses fatos, provamos que o isomor smo A : P! P constitui-se numa isometria quando P é munido da norma da convergência uniforme no espectro de A, kpk A := sup fjp (z)j ; z 2 g ; 8p 2 P Combinado esse resultado com o Teorema de Stone-Weierstrass 5, obtemos o teorema que responde a questão sobre o fecho topológico da *-álgebra gerada por A: Cálculo Funcional Contínuo: se A é um operador auto-adjunto, então existe um (único) isomor- smo isométrico entre C e a *-álgebra C 0 ( ) das funções contínuas de nidas no espectro de A A : C 0 ( )! C cuja restrição a P é idêntico a A. O espaço dos operadores limitados L (H) possui muitas topologias (a topologia da norma é apenas uma delas), úteis para diferentes ns. Portanto, também é natural nos perguntarmos sobre o fecho da *-álgebra gerada pelo operador A com respeito à essas topologias. O Teorema Espectral (na versão algébrica apresentada por Fabiani) é essencialmente a resposta à pergunta sobre qual é *-álgebra W gerada por A em L(H) que é topologicamente fechada com respeito à topologia fraca (ou forte) de operadores. Teorema Espectral: se A é um operador auto-adjunto, então existe um (único) isomor smo entre W e a *-álgebra das funções complexas Borel-mensuráveis regulares limitadas de nidas no espectro de A A : B 0 ( )! W tal que: - A restrição de A a P coincide com A ; - A é limitado, considerando B 0 ( ) munido da norma do supremo em e L(H) munido da norma de operadores. - A é contínuo em relação à topologia fraca em B 0 ( ) e à topologia fraca de operadores em L(H). A construção de A apresentada por Fabiani baseia-se no Teorema de Riesz-Markov, que fundamenta a de nição de medida espectral. O apêndice sobre Teoria da Medida foi inserido para coletar os fatos necessários, dentre os quais (usados apenas na demonstração do Teorema Espectral) o Teorema de Convergência Dominada e o Teorema da Densidade de Funções Contínuas em L. O texto de Fabiani evolui em torno da construção explícita dos *-homomor smos ^ A e A sem discutir os aspectos topológicos destacadas acima. Embora ela mencione conceitos de álgebra, o tema não é desenvolvido limitação que decorreu das limitações de tempo e espaço. Lúcio Fassarella 7/07/200 4 Destacamos que a prova de (iii) apresentada aqui depende do Princípio da Limitação Uniforme, sobre o qual não tivemos oportunidade de discutir aqui. 5 Teorema de Stone-Weierstrass: o conjunto dos polinômios numa variável complexa é denso no conjunto das funções contínuas num domínio compacto, considerando a topologia da convergência uniforme. 3

4 Introdução O presente documento exibe uma versão algébrica do Teorema Espectral para operadores lineares auto-adjuntos limitados que atuam em espaços de Hilbert (outra abordagem, usando operador de multiplicação, pode ser encontrado nas referências). Motivações para o tema Na resolução de certas equações diferenciais ordinárias é encontrada como solução funções de operadores. Em alguns casos, ela é obtida mediante a função exponencial que, por possuir uma expressão em série de potências, é desnecessário um conhecimento mais aprofundado sobre o assunto. Para ilustrar este fato, considere o problema de determinar a solução, para a seguinte equação: d dt u (t) = Au (t) ; u (0) = u 0 () onde u 0 é um elemento dado do espaço de Banach N e A : N! N é um operador linear contínuo. Prova-se que a solução da equação () possui a forma onde e At := X j=0 u (t) = e At u 0 t j j! Aj ; t 2 ( ; +) e a convergência de e At é analisada mediante a norma de operadores em espaços de Banach. Funções de operadores O Cálculo Funcional Contínuo e o Teorema Espectral de nem "naturalmente" a ação de funções contínuas e funções Borel-mensuráveis regulares limitadas em operadores auto-adjuntos. Precisamente, se f é uma função complexa contínua de nida no espectro de A, tomamos uma sequência (p n ) de polinômios que converge uniformemente para f em para de nir o operador f pelo limite na topologia da norma f = lim n! p n Se g é uma função complexa Borel-mensurável regular limitada no espectro de A, tomamos uma sequência (f n ) de funções contínuas que converge pontualmente 6 para g em para de nir o operador g pelo limite na topologia fraca g = w lim f n n! O Teorema Espectral garante que essas de nições são naturais, no sentido de que a correspondência entre funções e operadores preserva as relações algébricas (é um *-isomor smo). O texto foi desenvolvido pressupondo que o leitor possua conhecimentos de Álgebra linear, medida e integração e noções de espaços métricos. O trabalho está estruturado do seguinte modo: No capítulo 2, forneceremos os conceitos e resultados básicos para o desenvolvimento do texto. No capítulo 3, de niremos Álgebras e faremos uma breve discussão sobre o assunto. No capítulo 4, será feito o estudo do espectro de operadores lineares limitados em espaços de Hilbert que auxiliará no desenvolvimento do capítulo 5, onde trataremos do cálculo funcional contínuo. Finalmente, no capítulo 6, apresentaremos e provaremos o teorema espectral usando como ponto de partida o Cálculo Funcional Contínuo. Esperamos que proporcione a outros estudantes material de apoio e conhecimento para estudos posteriores. 6 Portanto, (f n) converge em L com respeito a qualquer medida de Borel regular em : 4

5 . Terminologia e Notação Dado um número complexo z denotaremos por Re (z) e Im (z), respectivamente, as partes real e imaginária de z. Coletamos aqui alguns símbolos usados e seus signi cados: N = f0; ; 2; :::g : conjunto dos números naturais (incluindo o zero) N = f; 2; :::g : conjunto dos números naturais (excluindo o zero) C : conjunto dos números complexos P : *-álgebra dos polinômios com coe cientes complexos V : espaço vetorial N : espaço vetorial normado H : espaço com produto interno ou espaço de Hilbert L (N ) : álgebra dos operadores limitados sobre o espaço vetorial normado N C (X) : espaço das funções complexas contínuas de nidas no espaço topológico X, munido da topologia da convergência uniforme h; i : produto interno k k : norma (de vetor, de operador, de funcional linear, de função) Re : designa a parte real de um número complexo Im : designa a parte imaginária de um número complexo ker : designa o núcleo de uma aplicação linear Im : designa a imagem de uma aplicação linear 5

6 2 Conceitos Básicos 2. Espaço Vetorial, Produto Interno e Norma Nesta seção de nimos os conceitos de espaço vetorial, produto interno, norma, métrica e completeza todos eles ocorrendo na de nição de espaço de Hilbert. Com isso, xamos a terminologia e notação utilizadas ao longo do texto. Pelo bem da brevidade, não deduzimos todas as propriedades que eventualmente mencionamos e usamos aqui; para uma exposição detalhada, sugerimos os livros [8], [5], [7]. De nição (Espaço Vetorial) Um espaço vetorial é um conjunto (não-vazio) V equipado com a seguinte estrutura: Existe uma aplicação V V! V; (x; y) 7! x + y chamada adição que satisfaz as seguintes condições, para x, y, z 2 V: (E:i) Comutatividade: x + y = y + x (E:ii) Associatividade: (x + y) + z = x + (y + z) (E:iii) Identidade aditiva: existe um elemento em V, denotado por 0 tal que x + 0 = x (E:iv) Inverso aditivo: para qualquer x 2 V, existe um elemento de V, denotado por x, tal que Existe uma aplicação C V! V; x + ( x) = 0 (; x) 7! x chamada multiplicação escalar que satisfaz as seguintes condições, para x, y 2 V,, 2 C: (E:v) Associatividade: (x) = () x (E:vi) Distributividade: (x + y) = x + y ( + ) x = x + x (E:vii) Identidade multiplicativa: x = x De nição 2 (Subespaço) Um subconjunto (não-vazio) V de um espaço vetorial V tal que, para todo x, y 2 V e 2 C valem x + y 2 V ; x 2 V é chamado subespaço vetorial de V. De nição 3 (Produto Interno) Um espaço vetorial complexo H é chamado espaço com produto interno se para cada par ordenado de vetores x e y em H é associado um número complexo hx; yi, chamado produto interno ou produto escalar entre x e y, satisfazendo as condições abaixo: (P:i) hx; yi = hy; xi (P:ii) hx + y; zi = hx; zi + hy; zi (P:iii) hx; yi = hx; yi se x 2 H, y 2 H e 2 C (P:iv) hx; xi 0 para todo x 2 H (P:v) hx; xi = 0 somente quando x = 0 Observe que o produto interno é linear na primeira variável e antilinear (ou conjugado linear) na segunda variável. Dizemos que funções de duas variáveis nestas condições são sequilineares. 6

7 De nição 4 (Norma) Seja N um espaço vetorial sobre um corpo C. Uma norma em N é uma função kk : N! R que associa a cada vetor x 2 N um número real kxk chamado norma de x, de modo a serem cumpridas as condições abaixo para quaisquer x; y 2 N e 2 C: (N:i) Se x 6= 0 então kxk 6= 0 (N:ii) k xk = jj kxk (homogeneidade) (N:iii) kx + yk kxk + kyk (desigualdade triangular) Pode acontecer que uma função p : V! C satisfaça as condições (N:ii) e (N:iii) mas não satisfaça a condição (N:i). Neste caso, dizemos que esta função é uma seminorma. A partir desta de nição temos as seguintes consequências para a norma: (a) A norma do vetor nulo é zero, pois (b) A norma do simétrico de x é a norma de x, já que k0k = k0 0k = j0j k0k = 0 k xk = j j kxk = kxk Com a desigualdade triangular e esses dois resultados obtemos ainda: (c) A norma é uma função não-negativa. De fato, k0k = kx + ( x)k kxk + k xk = 2 kxk Logo, kxk 0. Além disso, concluímos que kxk = 0 se, e somente se, x = 0. De nição 5 (Espaço Normado) Um espaço normado é um espaço vetorial equipado com uma norma. É fácil veri car que k k : N! R ; x 7! kxk = hx; xi =2 é uma norma. Desse modo todo espaço com produto interno pode ser normado. Teorema 6 Seja H um espaço com produto interno. Para x; y 2 H valem: a) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: jhx; yij kxk kyk b) Desigualdade de Minkowski: c) Identidade de Polarização: 4 hx; yi = kx + yk kxk + kyk kx + yk 2 kx yk 2 + i kx + iyk 2 kx iyk 2 d) Lei do Paralelogramo: 2 kxk 2 + kyk 2 = kx + yk 2 + kx yk 2 A prova desse teorema é simples, qualquer dúvida consultar [7, Theorem 2.2 p.307] [9, p.5, 6 e 8]. Observação 7 Destacamos os seguintes fatos concernentes à relação entre os conceitos de norma e produto interno: i) A norma num espaço normado é induzida pelo produto interno se, e somente se, satisfaz a lei do paralelogramo [5, teorema 8. p.27]. ii) No caso de uma norma de nida por produto interno, a Identidade de Polarização permite-nos recuperar o produto interno através da norma. 7

8 Métrica e Completude Quando temos uma norma em um espaço vetorial normado N podemos calcular distâncias entre vetores (é bastante intuitivo). Assim, tomando x, y 2 N o valor kx yk representa a distância entre os vetores x e y. Com esse raciocínio podemos dizer que o símbolo kxk é a distância do vetor x à origem, que neste caso resume-se à magnitude do vetor. Essa distância que acabamos de descrever é um caso particular de métrica. De nição 8 (Métrica) Uma métrica num conjunto M, que pode ser ou não um espaço vetorial, é um função d : M M! R que associa a cada par de elementos x, y 2 M um número real d (x; y), chamado distância de x a y, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condições para quaisquer x, y, z 2 M: (M:i) d (x; x) = 0 (M:ii) Se x 6= y então d (x; y) > 0 (M:iii) d (x; y) = d (y; x) (M:iv) d (x; z) d (x; y) + d (y; z) O par (M; d) é chamado espaço métrico. Num espaço vetorial normado N, pode-se provar facilmente que, como a rmado acima, d (x; y) = kx métrica em N. Esta será chamada métrica induzida pela norma. yk é uma De nição 9 (Sequência Convergente e Sequência de Cauchy) Considere uma sequência (x n ) num espaço métrico (M; d). Dizemos que (x n ) é convergente e tem limite x 2 M quando para todo > 0, existe N 2 N tal que Nesse caso, denotamos n N ) d (x n ; x) < x = lim n! x n Dizemos que (x n ) é uma sequência de Cauchy quando para todo > 0 existe N 2 N tal que m; n N ) d (x m ; x n ) < Em qualquer espaço métrico, vale que toda sequência convergente é também sequência de Cauchy. A recíproca não é geralmente verdadeira e esse é o cerne da de nição de espaço métrico completo. De nição 0 (Espaço Métrico Completo) Dizemos que um espaço métrico (M; d) é completo quando nele vale que toda sequência de Cauchy é também sequência convergente. Trabalharemos, especi camente, com dois tipos de espaços normados completos: Banach e Hilbert. De nição (Espaço de Banach) Um Espaço de Banach é um espaço normado completo com respeito à métrica induzida pela norma. De nição 2 (Espaço de Hilbert) Um Espaço de Hilbert é um espaço com produto interno que é completo com respeito à norma induzida pelo produto interno. Topologia Em qualquer conjunto, uma métrica de ne canonicamente uma topologia. Por inspeção direta podemos veri car que num espaço vetorial normado munido da métrica induzida pela norma, as operações de adição, multiplicação escalar e norma são contínuas. Se a norma for induzida por um produto interno, então o produto interno também será contínuo com respeito à topologia de nida pela métrica induzida pela norma. Assim, espaços vetoriais normados são exemplos típicos de espaços vetoriais topológicos. Destacamos que o fato da topologia dos espaços vetoriais normados ser de nida por uma métrica (induzida pela norma), implica que os conceitos topológicos podem ser acessados em termos de sequências. Por exemplo, se N é um espaço vetorial normado, o fecho de um subconjunto S N é o conjunto dos limites de sequências contidas em S que convergem em N. 8

9 2.2 Soma Direta e Decomposição Ortogonal De nição 3 (Soma Direta) Um espaço vetorial V é a soma direta de dois de seus subespaços V e V 2, o que se denota por V = V V 2 se todo x 2 V possui uma representação única com x 2 V e x 2 2 V 2. x = x + x 2 De nição 4 (Ortogonalidade) Seja H um espaço vetorial com produto interno (não necessariamente completo). Dizemos que dois vetores x; y 2 H são ortogonais, e denotamos essa propriedade por x? y, quando seu produto interno é nulo, hx; yi = 0 Dado um subconjunto S H, de nimos o complementar ortogonal de S por S? = fy 2 H = y? x 8x 2 Sg Lema 5 (Propriedades do Complementar Ortogonal) Seja H um espaço vetorial com produto interno (não necessariamente completo). Para S H não-vazio, valem: i) O complementar ortogonal de S é um subespaço vetorial fechado de H: (S? ) = S? ii) O complementar ortogonal de S e o complementar ortogonal do fecho de S são iguais: S? = S? Prova. (i) Por inspeção direta, veri camos que S? é um subespaço vetorial de H: dados v; w 2 S? e ; 2 C temos que v + w 2 S? pois para todo x 2 S vale hv + w; xi = hv; xi + hw; xi = 0 Agora, dado y 2 (S? ) tomamos uma sequência (y n ) S? que converge para y, lim n! y n = y. Pela continuidade do produto interno, temos: hy; xi = h lim y n; xi = lim hy n; xi = 0 ; 8x 2 S n! n! Como x 2 S é arbitrário, isso implica que y 2 S?. (ii) Como S S, temos S? S?. Para provar a inclusão inversa, considere y 2 S?. Dado x 2 S tomamos uma sequência (x n ) S que converge para x, lim n! x n = x. Pela continuidade do produto interno, temos: Como x 2 S é arbitrário, isso implica que y 2 S?. hy; xi = hy; lim n! x ni = lim n! hy; x ni = 0 Em espaços vetoriais com produto interno, o complementar ortogonal de ne canonicamente decomposições em soma direta. Para provar esse fato, primeiro estabelecemos o conceito de projeção. Lema 6 (Projeção) Seja H um espaço vetorial com produto interno (não necessariamente completo) e seja K H um subespaço vetorial completo e fechado. Dado x 2 H, existe um único ~x 2 K tal que kx ~xk = inf fkx yk ; y 2 Kg 9

10 Além disso, vale que x ~x é ortogonal a K: x ~x 2 K? O elemento ~x 2 K é chamado projeção ortogonal de x em K. Prova. Existência. Denote := inf fkx yk ; y 2 Kg 0. Tomamos (y n ) K tal que lim kx y nk = n! Agora, dados n; m 2 N temos: e pela Lei do Paralelogramo (6): y n + y m 2 y n + y m 2 2 K x ky n y m k 2 = ky n x + x y m k 2 = 2 ky n xk ky m xk 2 ky n + y m 2xk 2 = 2 ky n xk ky m xk 2 4 y n + y m x 2 2 ky n xk ky m xk Isso implica que (y n ) é uma sequência de Cauchy: dado " > 0, seja n 0 2 N tal que r n n 0 ) ky n xk 2 + "2 4 Então, para todo n; m n 0 vale ky n y m k " " " 2 Como K é completo e fechado, temos que (y n ) converge para um elemento ~x 2 K. Pela continuidade da norma, obtemos kx ~xk = lim kx y nk = n! Unicidade. Seja y 2 K tal que kx yk =. Novamente pela Lei do Paralelogramo, temos k~x yk 2 = 2 k~x xk ky xk 2 4 ~x + y 2 x = 0 2 Portanto, y = ~x. Finalmente, para provar que x ~x é ortogonal a K. Dado y 2 K, consideramos as funções f; g : R! R ; f (t) := kx ~x + tyk 2 ; g (t) := kx ~x + ityk 2 Desenvolvendo, temos que f e g são funções quadráticas: f (t) = t 2 kyk Re hx ~x; yi t + kx ~xk 2 ; g (t) = t 2 kyk 2 2 Im hx ~x; yi t + kx ~xk 2 Pelas condições, t = 0 é ponto de mínimo de f e de g. Isso implica que Re hx ~x; yi = 0 = Im hx ~x; yi, ou seja hx ~x; yi = 0. Teorema 7 (Decomposição Ortogonal) Seja H um espaço de Hilbert e seja K H um subespaço vetorial. Denote por K o fecho topológico de K em H, com respeito à norma induzida pelo produto interno. Então, K é completo e fechado e valem: i) K é denso em H se e somente se seu complementar ortogonal é trivial, K = H () K? = f0g 0

11 ii) H se decompõe como soma direta entre o fecho de K e seu complementar ortogonal: H = K K? Prova. Sendo H completo e fechado, segue que K também é completo e fechado. Também, pela continuidade do produto interno, podemos provar que K? = K? Agora, veri camos que K \ K? = f0g: dado x 2 K \ K?, tomamos uma sequência (x n ) 2 K que converge para x, lim n! x n = x; então kxk 2 = hx; xi = lim hx; x ni = lim 0 = 0 n! n! Prova de (i) Suponha que K seja denso em H, K = H. Como K \ K? = f0g, temos K? = K? \ H = K? \ K = f0g Agora, suponha que K 6= H. Tomamos y 2 H8K, denotamos por ~y a projeção ortogonal de y em K e de nimos u := y ~y. Então u 6= 0 (pois y =2 K) e u 2 K? (pelo ítem anterior). Isso signi ca que K? 6= 0. Contrapositivamente, se K? = 0 então K = H. Prova de (ii) Dado x 2 H, denote por ~x a projeção de x em K. Então Agora, suponha que exista y 2 K e y 2 2 K? tais que x = ~x + (x ~x) 2 K + K? x = y + y 2 Então ~x y = y 2 (x ~x) 2 K \ K? Como K \ K? = f0g, concluimos que ~x = y e y 2 = (x ~x). Pela de nição de soma direta, concluimos H = K K? Corolário 8 Seja H um espaço vetorial com produto interno (não necessariamente completo) e seja T : H! H um operador linear. Denote o núcleo de T por Então ker (T ) é subespaço vetorial de H e vale ker (T ) := fx 2 H = T x = 0g H = ker (T ) ker (T )? Prova. Por inspeção direta, veri camos que ker (T ) é subespaço vetorial. A decomposição H = ker (T )ker (T )? segue imediatamente do Teorema (7).

12 2.3 Exemplos 2.3. `2 (N ), o conjunto das sequências complexas quadrado-somáveis Denotamos o conjunto das sequências de números complexos por S (N ) := f(a n ) ; a n 2 C 8n 2 N g Em S (N ) de nimos as seguintes operações de soma e multiplicação escalar: (a n ) + (b n ) := (a n + b n ) ; 8 (a n ) ; (b n ) 2 S (N ) (a n ) = (a n ) ; 8 2 C; 8 (a n ) 2 S (N ) Por inspeção direta, veri camos facilmente que S (N ) é um espaço vetorial. Em S (N ) consideramos o subconjunto das sequências quadrado-somáveis ( ) X `2 (N ) := (a n ) 2 S (N ) = ja n j 2 < Podemos provar facilmente que `2 (N ) é um subespaço vetorial de S (N ) i.e., é um subconjunto que contem a sequência nula e que é fechado com respeito às operações de soma e multiplicação escalar; para tanto, usamos a seguinte desigualdade 7 ja + bj 2 3 jaj jbj 2 ; 8a; b 2 C n= Agora, usando a identidade (que não por acaso é similar à Identidade de Polarização) ab = 4 n (a + b) 2 (a b) 2o ; 8a; b 2 C podemos provar que a seguinte aplicação está bem-de nida em `2 (N ) e constitui-se num produto-interno: h; i : `2 (N ) `2 (N )! C ; h(a n ) ; (b n )i := A norma induzida por esse produto interno é dada por X a n bn n= k k 2 : `2 (N )! [0; ) ; k(a n )k 2 :=! =2 X ja n j 2 n= Proposição 9 `2 (N ) munido das operações de soma e multiplicação escalar e produto-interno de nidos acima é um espaço de Hilbert. Além disso, o seguinte conjunto constitui uma base (de Schauder) de `2 (N ), n B e = k n ; k 2 N o () onde k n = ; n = k 0 ; n 6= k ; n 2 N ; 8k 2 N Para uma discussão e prova da primeira parte dessa proposição, vide [6, Theorem II.7, p.47]. 7 Explicitamente, temos a seguinte dedução da desigualdade: ja + bj 2 = jaj 2 + jbj 2 + ab + a b q jaj 2 + jbj jaj jbj = jaj 2 + jbj qjaj 2 jbj 2 q jaj 2 + jbj qjaj 2 + jbj 2 jaj 2 + jbj 2 = jaj 2 + jbj jaj 2 + jbj 2 = 3 jaj jbj 2 2

13 Observação 20 Embora não tenhamos oportunidade de discutir aqui, é oportuno mencionar que `2 (N ) é um espaço de Hilbert separável com dimensão in nita e todos os demais espaços de Hilbert separáveis com dimensão in nita são isomorfos a ele (nesse sentido, ele é o único espaço de Hilbert com tais propriedades). Exemplo 2 (Espaço com produto interno que não é completo) Considere o conjunto N `2 (N ) formado pelas sequências que possuem apenas um número nito de termos não nulos, N = f(a n ) 2 S (N ) = 9N 2 N ; a n = 0 8n Ng Por inspeção direta, veri camos que N é um subespaço vetorial de `2 (N ). Vamos mostrar que ele não é completo, considerando as operações de soma, multiplicação escalar e produto interno induzidas de `2 (N ). De fato, como a série =n 2 converge, segue que a seguinte sequência pertence `2 (N ) (y n ) = ; 2 ; 3 ; :::; n ; n ; n + ; ::: Agora, considere a sequência de elementos em N dada por N 3 k 7! z (k) := (z (k) n ) = ; 2 ; 3 ; :::; k ; ; 0; 0; 0::: k Evidentemente, a sequência (y n ) não pertence a N ; entretanto, pela convergência da série =n 2 deduzimos que sequência (z (k) n ) converge para (y n ) com respeito à norma de `2 (N ): lim k(z (k) n ) (y n)k k! 2 = lim k! X n=k+! =2 n 2 = 0 Logo, para provar que N não é completo basta mostrar que a sequência (z (k)) k2n N. Dados k ; k 2 2 N, suponha sem perda de generalidade, que k < k 2. Daí, é uma sequência de Cauchy em k(z (k ) n ) (z (k 2 ) n )k 2 = kx 2+ n=k +! 2 n 2 < X n=k +! =2 n 2 Usando novamente a convergência da série =n 2, podemos deduzir dessa desigualdade que (z (k) n ) é sequência de Cauchy: dado > 0 tome N > 0 tal que! =2 X n 2 < Então para quaisquer k ; k 2 2 N; k 2 k N vale n=n k(z (k ) n ) (z (k 2 ) n )k 2 < X n=k +! =2 n 2 X n=n! =2 n 2 < 3

14 2.4 Aplicações Lineares De nição 22 (Aplicação Linear) Uma aplicação linear entre os espaços vetoriais V e V 2 é uma aplicação T : V! V 2 tal que T (x + y) = T (x) + T (y) ; 8x; y 2 V ; 8; 2 C Usaremos o termo operador linear quando tivermos V = V 2. 8 Destacamos a seguinte identidade para operadores que é análoga à Identidade de Polarização (6) existente em espaços com produto interno. Proposição 23 Sejam H um espaço com produto interno (não necessariamente completo) e T : H! H um operador linear (não necessariamente limitado). Vale: ht x; yi = fht (x + y) ; (x + y)i ht (x y) ; (x y)i + i (ht (x + iy) ; (x + iy)i ht (x iy) ; (x iy)i)g ; 8x; y 2 H 4 Prova. Considere x; y 2 H xados. Para provar a identidade, basta observar que Assim, pondo y = iy obtemos Somando () e (#) obtemos 4 ht x; yi. ht (x + y) ; (x + y)i ht (x y) ; (x y)i = 2 (ht x; yi + ht y; xi) () i ht (x + iy) ; (x + iy)i ht (x iy) ; (x iy)i = 2 (ht x; yi ht y; xi) (#) Para falar em continuidade precisamos de ferramentas que nos permitam calcular e analisar distâncias. Num espaço vetorial normado, usamos a métrica induzida pela norma. De nição 24 (Continuidade) Uma aplicação T : N! N 2 é contínua no ponto x 2 N se, para cada > 0 dado, existe > 0 tal que y 2 N e ky xk < ) kt (y) T (x)k <. Quando T é contínua em todo elemento x 2 N diz-se, simplesmente que T é contínua. O conceito de continuidade possui propriedades interessantes no caso das aplicações lineares. A proposição abaixo diz que em espaços normados basta que a aplicação linear seja contínua em um ponto para termos a continuidade uniforme. Proposição 25 (Aplicações Lineares Contínuas) Seja T : N! N 2 uma aplicação linear entre espaços normados. As seguintes condições são equivalentes: (i) sup fkt xk : kxk g < (ii) Existe C > 0 tal que kt xk C kxk para todo x 2 N (iii) T é uniformemente contínua (iv) T é contínua (v) T é contínua em 0 Prova. (i) ) (ii) : Seja 0 < C < tal que C = sup fkt xk : kxk g. Para cada x 2 N, x 6= 0; o vetor x unitário donde T kxk C, ou seja, kt xk C kxk. (ii) ) (iii) : Basta notar que dados x, e y 2 N, kt x T yk = kt (x y)k C kx yk x kxk é (iii) ) (iv) : Óbvio! (iv) ) (v) : Óbvio! (v) ) (i) : Sendo T contínuo em 0 existe > 0 tal que x 2 N, kxk < ) kt xk <. Então, se kxk vale kxk. Logo, kt (x)k, ou seja, kt xk. 8 Observamos que essa terminologia não é universal. 4

15 Observação 26 Devido à condição (i), as aplicações lineares contínuas entre espaços normados são também chamadas limitadas. Neste trabalho, nos restringimos a considerar aplicações lineares contínuas (limitadas). Nos tópicos seguintes usaremos estes conceitos no estudo de alguns operadores. Proposição 27 Num espaço vetorial normado N, são contínuas as seguintes aplicações de nidas para 2 C, x; y 2 N : (; x) 7! x ; (x; y) 7! x + y ; x 7! kxk Se a norma de N for induzida por um produto interno, então o produto interno também será uma aplicação contínua: (x; y) 7! hx; yi Esses fatos podem ser demonstrados sem di culdade usando as propriedades da norma e do produto interno Homomor smos e Isometrias As aplicações lineares são os homomor smos entre espaços vetoriais as aplicações que preservam a estrutura algébrica em foco. Chamamos de isomor smo linear as aplicações lineares bijetivas. No caso de espaços normados, são também importantes as aplicações lineares que preservam a norma, essas são chamadas isometrias. De nição 28 (Isometria) Dados dois espaços normados N e N 2, uma aplicação linear T : N! N 2 é chamada isometria linear (ou isometria) quando ela preserva normas kt xk = kxk ; 8x 2 N Quando T for uma isometria sobrejetiva diremos que T é uma aplicação unitária. Segue imediatamente desta de nição que toda isometria é injetiva. Basta observar que se T x = 0 então kt xk = kxk = 0. Assim, x = 0, ou seja, acabamos de provar que o núcleo de T contém apenas o vetor nulo. Isso implica que T é injetiva. Proposição 29 Se T : H! H 2 é uma isometria entre espaços vetoriais com produto interno (não necessariamente completos), ela também preserva o produto interno, isto é, ht x; T yi = hx; yi ; 8x; y 2 H Prova. Pela de nição de isometria e pela Identidade de Polarização, temos, para todo x; y 2 H : 4 ht x; T yi = kt (x + y)k 2 kt (x y)k 2 + i kt (x + iy)k 2 kt (x iy)k 2 = kx + yk 2 kx yk 2 + i kx + iyk 2 kx iyk 2 = 4 hx; yi 5

16 2.4.2 Espaços de Aplicações Lineares Dados dois espaços vetoriais normados N e N 2, denotamos por L (N ; N 2 ) o conjunto das aplicações lineares limitadas de N em N 2. Quando N = N 2 = N, substituimos a notação L (N ; N ) por L (N ). Veri ca-se que L (N ; N 2 ) é um espaço vetorial com respeito às de nições usuais de adição e multiplicação por escalar: para A, B 2 L (N ; N 2 ) e 2 C, (A + B) (x) = Ax + Bx ; (x) = Ax Para cada T 2 L (N ; N 2 ) de nimos a norma da aplicação linear T por 9 kt k := sup fkt xk : x 2 N ; kxk g (2) Equivalentemente, kt k = inf fc 0 : kt xk C kxk ; x 2 N g Lema 30 kk é uma norma em L (N ; N 2 ) e vale kt xk kt k kxk ; 8x 2 N Prova. Considere T; S 2 L (N ; N 2 ) e 2 C. Se T 6= 0, existe x 2 N com T x 6= 0. Como T (0) = 0, isso implica que x 6= 0. Usando que kt xk e kxk são ambos não-nulos, pelo item (i) da proposição (25) obtemos 0 < kt xk kxk kt k Portanto, kt k 6= 0, satisfazendo a primeira condição de norma. As outras duas são consequências das propriedades de supremo. Homogeneidade: kt k = sup fk(t ) (x)k = jj kt xk ; x 2 N ; kxk g = jj sup fkt xk ; x 2 N ; kxk g = jj kt k Desigualdade triangular: como k(s + T ) (x)k = ksx + T xk ksxk + kt xk ksk kxk + kt k kxk = (ksk + kt k) kxk ; 8x 2 N segue que ks + T k = sup fk(s + T ) (x)k ; x 2 N ; kxk g ksk + kt k Esse lema mostra que L (N ; N 2 ) munido da norma de aplicações é um espaço normado; o seguinte mostra que é um espaço de Banach. Proposição 3 Sejam T : N! N 2 e S : N 2! N 3 aplicações lineares limitadas entre espaços vetoriais normados. Então S T é aplicação linear limitada e vale: ks T k ksk kt k Prova. Por inspeção direta, veri camos que S T é aplicação linear. Agora, k(s T ) xk ksk kt xk ksk kt k kxk ; 8x 2 N Pela de nição de norma de aplicações, isso signi ca que ks T k ksk kt k. O teorema seguinte mostra que se N 2 é completo, então L (N ; N 2 ) também é completo. 9 Observe que designamos a norma de aplicações pelo mesmo símbolo que usamos para designar a norma de vetores. Geralmente isso não causa confusão porque o contexto é su ciente para de nir o signi cado do símbolo. 6

17 Teorema 32 Se N é um espaço normado e B é um espaço de Banach, então L (N ; B) também é um espaço de Banach. Prova. Considere a sequência de Cauchy (T n ) em L (N ; B). Dado x 2 N, temos kt n x T k xk = k(t n T k ) (x)k kt n T k k kxk ; 8n; k 2 N Isso implica que a sequência (T n x) é de Cauchy em B. De na T : N! B pondo T x = lim n! T n x. Por essa de nição segue que T é aplicação linear. Mostremos que T é limitado (pertence a L (N ; B)). Dado > 0, existe N () 2 N tal que n; k N () ) kt n T k k <. Usando a continuidade da norma obtemos, para n N () kt n x T xk = lim k! kt nx T k xk lim k! kt n T k k kxk kxk ; 8x 2 N () Com isso, provamos que T é limitado: kt xk = kt n x T n x + T xk kt n x T xk + kt n xk kxk + kt n k kxk = (kt n k + ) kxk ; 8x 2 N Finalmente, veri camos que (T n ) converge para T. De fato, () implica k(t n T ) (x)k ; 8x 2 N ; kxk < ; 8n N () Pela de nição de norma de uma aplicação, kt n T k. Como > 0 é arbitrário, isso signi ca que lim n! T n = T. 7

18 2.4.3 Topologias Forte e Fraca de Operadores em L (H) O espaço dos operadores limitados sobre um espaço de Banach ou Hilbert pode ser munido de diversas topologias, úteis para propósitos distintos. Aqui, mencionamos três relacionadas ao Teorema Espectral: a topologia da norma, a topologia forte de operadores e a topologia fraca de operadores em espaços de Hilbert. De nição 33 (Topologia no Espaço de Operadores) Seja H um espaço de Hilbert e L (H) o espaço dos operadores limitados em H. A topologia da norma em L (H), denotada aqui por N, é a topologia induzida pela norma de operadores, i.e., é a topologia de nida pela seguinte sub-base de vizinhanças N A; := ft 2 L (H) = kt Ak < g ; A 2 L (H) ; > 0 A topologia forte de operadores em L (H), denotada aqui por S, é a topologia de nida pela seguinte sub-base de vizinhanças S A;x; := ft 2 L (H) = k(t A) xk < g ; A 2 L (H) ; x 2 H ; > 0 A topologia fraca de operadores em L (H), denotada aqui por W, é a topologia de nida pela seguinte sub-base de vizinhanças W A;x;y; := ft 2 L (H) = jh(t A) x; yij < g ; A 2 L (H) ; x; y 2 H ; > 0 Lema 34 As topologias N, S e W são Haussdor. 0 Prova. O argumento em cada caso é similar, por isso vamos provar apenas o caso da topologia fraca de operadores. Sejam A; B 2 L (H) operadores distintos. Então existe x 2 H tal que y := Bx Ax 6= 0; seja := kyk 2 =2; então A 2 W A;x;y; (óbvio), B 2 W B;x;y; (óbvio) e W A;x;y; \ W B;x;y; = ; pois: se T 2 W A;x;y; então jh(t B) x; yij = jh(t A) x; yi h(b A) x; yij jh(b A) x; yij jh(t A) x; yij > 2 = donde T =2 W B;x;y;. Lema 35 Em L (H), a topologia da norma é mais forte do que a topologia forte e a topologia forte é mais forte do que a topologia fraca, N S W Prova. Prova de N S Como as topologias são Hausdor, para provar essa inclusão basta mostrar que todo elemento da sub-base de S contem um elemento da sub-base de N. Com efeito, sejam A 2 L (H), x 2 H e > 0; se x = 0, então S A;x; = L (H) é aberto com respeito a N ; se x 6= 0, de nimos := = kxk e veri camos que N A; S A;x; : T 2 N A; ) k(t A) xk kt Ak kxk < kxk = ) T 2 S A;x; Prova de S W Analogamente ao caso anterior, como as topologias são Hausdor, para provar essa inclusão, basta mostrar que todo elemento da sub-base de W contem um elemento da sub-base de S. Com efeito, sejam A 2 L (H), x; y 2 H e > 0; se y = 0, então W A;x;y; = L (H) é aberto com respeito a S ; se y 6= 0, de nimos := = kyk e veri camos (usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz) T 2 S A;x; ) jh(t A) x; yij k(t A) xk kyk < kyk = ) T 2 W A;x;y; 0 Lembramos que uma topologia num conjunto X é Hausdor quando: para todo par de pontos distintos em X, existem pares de abertos disjuntos em tais que um dos abertos contem um dos pontos e o outro aberto contem o outro ponto. Lembramos que num conjunto X, dadas duas topologias e 2, dizemos que a topologia 2 é mais forte (ou mais na) do que uma topologia quando 2, ou seja: todo subconjunto de X que é aberto com respeito a é também aberto com respeito a 2. 8

19 2.5 Exemplos 2.5. O operador H em `2 (N ) Em `2 (N ), considere o seguinte aplicação H : `2 (N )! `2 (N an ) ; H (a n ) := n H é um operador bem-de nido em `2 (N ) porque se a sequência (a n ) é quadrado-somável, então a sequência (a n =n) também é quadrado-somável, pois a convergência de P a 2 n implica (por comparação) na convergência de P a 2 n=n 2. Por inspeção direta, veri ca-se que H é linear (cálculo que omitimos aqui). Agora vamos veri car que H é limitada. Para uma sequência (a n ) 2 `2 (N ) ; (a n ) 6= (0), temos kh (a n )k k(a n )k = P n= a2 n=n 2 =2 ( P n= a2 n) =2 Portanto, khk. Agora, considerando a sequência 2 n := (; 0; 0; :::) 2 `2 (N ) temos Portanto, khk =. H n = n P n= n P n= n 2 =n 2 =2 2 =2 = 2 Veja () na proposição (9). 9

20 2.6 Funcionais Lineares e Espaço Dual Dado um espaço normado N, o espaço N := L (N ; C) é chamado Espaço Dual (ou simplesmente, dual) de N e seus elementos são chamados funcionais lineares contínuos em N. Pelo teorema (32), segue imediatamente que o dual de qualquer espaço normado é um espaço de Banach (com respeito à norma de operadores). Apresentamos o seguinte fato que será utilizado posteriormente: 3 Proposição 36 Seja A : V! H uma aplicação limitada entre um espaço vetorial V e um espaço vetorial com produto interno H (não necessariamente completo). Se A = 0 para todo funcional linear contínuo : H! C, então A = 0. Prova. Suponha A 6= 0, então existe x 2 V tal que y := Ax 6= 0. De na o funcional linear Veri camos que é contínuo: : H! C ; w := hy; wi jwj = jhy; wij kyk kwk ; 8w 2 H Agora A 6= 0 pois (Ax) = kyk 2 6= 0. Por contraposição, isso prova proposição. O Teorema da Representação de Riesz mostra como é feita a identi cação entre um espaço de Hilbert e seu dual. Baseando-se neste teorema de niremos o adjunto de um operador limitado. Teorema 37 (Representação de Riesz) Se H é um espaço de Hilbert, então existe uma isometria bijetiva conjugadalinear entre H e seu dual H, y! y, dada por y x = hx; yi, 8x 2 H () Prova. Admitindo que y tem a forma () provemos que a) A aplicação y 7! y é uma isometria. Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz obtemos Em particular, y é limitado. Como k y (x)k kxk kyk ) k y k kyk 0 kyk 2 = hy; yi = y (y) = j y (y)j k y k kyk vale kyk k y k. Logo, k y k = kyk. b) A aplicação y! y é conjugada-linear. De fato, dado 2 C temos y (x) = hx; yi = hx; yi = y (x) c) Bijetividade. Como toda isometria é injetiva, basta mostrar que toda aplicação 2 H tem a forma (). Se = 0 tome y = 0. Caso 6= 0, seja N () o núcleo de. Considerando que é contínuo, temos que N () é fechado; pelo corolário (8) H = N () N ()?. Como 6= 0, temos que H 6= N (), logo N ()? 6= f0g. Tome z 2 N ()?, z 6= 0. A rmamos que vale (x) z (z) x 2 N () ; 8x 2 H pois Como z 2 N ()?, vale Daí, ((x) z (z) x) = (x) (z) (z) (x) = 0 h(x) z (z) x; zi = 0 ; 8x 2 H x hz; zi z hx; zi = 0 ) x hz; zi = z hx; zi ; 8x 2 H 3 Esta proposição é válida mesmo quando substituimos H por um espaço vetorial normado. Entretanto, esse resultado mais geral depende do Teorema de Hanh-Banach. 20

21 Logo, x = Basta tomar y = z= hz; zi z e teremos z z hx; zi = x; hz; zi hz; zi z x = hy; xi ; 8x 2 H ; 8x 2 H Diremos que o vetor y representa o funcional linear contínuo 2 N quando = y. No caso dos espaços de Hilbert, o Teorema de Representação de Riesz diz que todo funcional linear contínuo possui um único vetor que o representa. Observação 38 No Teorema de Riesz, a hipótese de H ser completo não pode ser retirada. Considere N l 2 (N ) o espaço das sequências que possuem apenas um número nito de termos não nulos o qual sabemos não ser completo. De na f : N! C pondo f (x) = P x i i= i onde x = (x ; x 2 ; :::; x k ; 0; :::; 0; :::). Segue-se que f 2 N, mas não existe y 2 N que a representa, isto é, que satisfaça f (x) = f y (x) = hx; yi para todo x 2 N. De fato, suponha que exista y = (z ; z 2 ; :::; z m ; 0; :::; 0; :::) em N tal que f (x) = f y (x) = hx; yi, onde m 2 N. Tome a sequência ( m n ) = (0; 0; :::; 0; ; 0; :::) em N cuja m-ésima coordenada é igual a e as demais são zero. Com isso, teremos 0 6= m = f (m n ) = h( m n ) ; yi = 0 Absurdo! 2

22 2.7 Adjunto de um Operador Limitado em Espaços de Hilbert Teorema 39 (Adjunto) Sejam H um espaço de Hilbert e T 2 L (H). Então existe um único operador T 2 L (H) tal que ht x; yi = hx; T yi, para x, y 2 H O operador T é chamado o adjunto de T. Prova. Fixado y 2 H, de nimos a aplicação f y : H! C ; f y (x) := ht x; yi A linearidade de f y segue das igualdades abaixo, calculadas em ; 2 C e x; z 2 H: Como f y (x + z) = ht (x + z) ; yi = ht x + T z; yi = ht x; yi + ht z; yi = f y (x) + f y (z) kf y (x)k = kht x; yik kt xk kyk kt k kxk kyk vale kf y k kt k kyk, ou seja, f y é limitado (contínuo). Conforme o Teorema de Representação de Riesz, existe um único vetor, que denotaremos por T y, em H que representa f y, isto é, que satisfaz f y (x) = hx; T yi. Portanto, ht x; yi = hx; T yi. Agora, de nimos a aplicação T : H! H ; y 7! T y Veri camos por inspeção direta que T é linear: para ; 2 C e y ; y 2 2 H temos donde Isso signi ca que hx; T (y + y 2 )i = ht x; y + y 2 i = ht x; y i + ht x; y 2 i = hx; T y i + hx; T y 2 i = hx; T y i + hx; T y 2 i ; 8x 2 H hx; T (y + y 2 ) T y T y 2 i = 0 8x 2 H T (y + y 2 ) = T y + T y 2 A prova de que T é limitado pode ser encontrada na próxima proposição, que coleta essa e outras propriedades do adjunto. Observe que o teorema acima continua válido para aplicações limitadas de nidas entre espaços de Hilbert diferentes (cuja demonstração é idêntica à do caso H = H ), passando a ter o seguinte enunciado: se T 2 L (H; H ) então existe um único T 2 L (H ; H) tal que ht x; yi = hx; T yi, para x 2 H, y 2 H. Observação 40 Considere os operadores T, S 2 L (H). Se tivermos ht x; yi = 0 para todo x, y 2 H então T = 0, pois, neste caso, teremos, em particular, kt xk 2 = ht x; T xi = 0 donde T x = 0 para todo x 2 H. Com isso, quando ht x; yi = hsx; yi, para quaisquer x, y 2 H os operadores S e T são iguais. Usaremos este raciocínio na prova da seguinte Proposição 4 (Propriedades Algébricas do Adjunto) Seja H um espaço de Hilbert. O adjunto satisfaz as seguintes propriedades, em todo T; S 2 L (H): (i) [T ] = T (ii) (T ) = T (iii) [S + T ] = S + T (iv) [T S] = S T Além disso, valem (v) kt k = kt k (vi) kt T k = kt k 2 22

23 Prova. (i) Segue da igualdade (ii) Vale ht x; yi = hx; T yi = ht y; xi = y; [T ] x = [T ] x; y h[t ] x; yi = ht x; yi = hx; T yi = hx; [T ] yi Como o adjunto de T é o único operador (T ) 2 L (H) que satisfaz h[t ] x; yi = x; [T ] y concluímos que (T ) = T. (iii) h[s + T ] x; yi = hsx; yi + ht x; yi = hx; S yi + hx; T yi = hx; [S + T ] yi. (iv) h[t S] x; yi = hsx; T yi = hx; S [T y]i = hx; [S T ] yi. (v) kt k kt k, já que kt xk 2 = jht x; T xij = jhx; T (T x)ij kxk kt k kt xk ) kt xk kt k kxk, x 2 H Pela de nição de norma de um operador segue-se que kt k kt k. Com este resultado e usando o item (i) temos que kt k = [T ] kt k kt k. Logo, kt k = kt k. (vi) Pela proposição (3), temos kt T k kt k kt k = kt k 2 ; por outro lado, kt xk 2 = jht x; T xij = jhx; T T xij kxk 2 kt T k Assim, kt k p kt T k e, portanto, kt k 2 kt T k, provando que kt T k = kt k 2. Destacamos a seguinte proposição que relaciona o núcleo e a imagem de um operador e seu adjunto: Proposição 42 (Núcleo e Imagem do Operador Adjunto) Seja T : H! H um operador limitado. Então i) Im (T )? = ker (T ) ii) Im (T ) é denso em H se, e somente se, T é injetivo Prova. (i) Dado y 2 H, valem as equivalências y 2 Im (T )?, hy; T xi = 0 8x 2 H, ht? y; xi = 0 8x 2 H, T? y = 0, y 2 ker (T? ) (ii) Para demonstrar este item usaremos a identidade provada no Lema (5):? Im (T )? = Im (T ) () ()) Suponha que Im (T ) é denso em H. Usando a identidade () seguem as igualdades:? Im (T )? = Im (T ) = H? = f0g Por (i), isso implica que T é injetiva. (() Agora, suponha que T é injetiva. Por (i), isso signi ca que Im (T )? = f0g. Como Im (T ) é um subespaço vetorial fechado de H, pelo Teorema (7) temos que Logo, Im (T ) = H. Portanto, Im (T ) é denso em H. H = Im (T )? Im (T ) Neste trabalho, focalizaremos os operadores auto-adjuntos. De nição 43 Seja H um espaço de Hilbert. Um operador T 2 L (H) é chamado de i) normal se T T = T T ii) auto-adjunto (ou hermitiano) se T = T iii) unitário se T T = I = T T, onde I é o operador identidade em H. iv) projeção ortogonal se T = T e T 2 = T v) positivo quando ht x; xi 0 para todo x 2 H Pela de nição segue que os operadores auto-adjuntos assim como os operadores unitários são operadores normais. Corolário 44 Se H é um espaço de Hilbert e A 2 L (H) é auto-adjunto então valem: (i) Im? = ker (ii) Im é densa em H se, e somente se, A é injetivo. 23

24 3 Álgebras O conceito de Álgebra pode ser entendido como uma abstração das propriedades dos conjuntos de todos os operadores de nidos num espaço vetorial, munidos da operação de nida pela composição. De nição 45 (Álgebra) Uma álgebra é um espaço vetorial (A; +; ) munido de uma operação : A A! A, chamada multiplicação, gozando das seguintes propriedades, para para todo A; B e C em A e todo escalar 2 C: i) Distributividade com respeito à adição A (B + C) = A B + A C ; (A + B) C = A C + B C ii) Associatividade com respeito à multiplicação escalar: Dizemos que uma álgebra é associativa quando Dizemos que a álgebra é comutativa quando (A B) = ( A) B = A ( B) A (B C) = (A B) C A B = B A Dizemos que a álgebra é unital (ou é uma álgebra com unidade) quando a multiplicação possui elemento neutro (chamado unidade), ou seja, quando existir um elemento I 2 A que satisfaz I A = A I = A ; 8A 2 A Observe que se a multiplicação possui um elmento neutro, então ele é único pois se b I for outro elemento neutro temos I = I b I = b I. Observação 46 Para simpli car a notação, no restante do texto vamos omitir os símbolos e para as operações multiplicação e multiplicação escalar, respectivamente. Especi camente, escreveremos A B = AB ; A = A ; 8 A; B 2 A; 8 2 C Uma álgebra pode ser munida de uma estrutura topológica de nida em termos de uma norma. De nição 47 Álgebra normada: é uma álgebra (A; +; ; ) associativa munida de uma norma k k : A! [0; ) com a seguinte propriedade: kabk kakkbk ; 8A; B 2 A Álgebra de Banach: é uma álgebra normada completa. Exemplo 48 L (N ) munido das operações usuais é uma álgebra, para todo espaço normado N. Se N for um espaço de Banach, então L (N ) é uma álgebra de Banach. Prova. As propriedades algébricas podem ser veri cadas por inspeção direta. As demais, estão contidas no lema (30), a proposição (3) e o teorema (32). 24

25 De nição 49 Uma *-álgebra é uma álgebra (A; +; ; ) munida de uma operação, chamada conjugação ou involução, : A! A satisfazendo: i) Anti-linearidade: (A + B) = A + B ; 8 A; B 2 A e 8; 2 C ii) Involução: iii) Reversão ao produto: (A ) = A ; 8 A 2 A (AB) = B A ; 8 A; B 2 A Exemplo 50 O conjunto P dos polinômios complexos munido das operações usuais de soma, multiplicação escalar, multiplicação e da seguinte operação de involução : P! P ; P (z) = nx a k z k P (z) := nx a k z k é uma *-álgebra. Prova. É fácil provar que P é uma álgebra comutativa. Como ilustração vamos provar que é involutiva, anti-linear e reverte o produto. Tomemos P (z) = P n a kz k, Q (z) = P m l=0 b lz l em P e escalares ; 2 C. Escreva X X P (z) = a k z k e Q (z) = b l z l onde a k = 0 para todo k > n e b l = 0 para todo l > m. Temos: - Anti-linearidade: (P + Q) (z) = - Involução:! X X X X (a k + b) z k = (a k + b)z k = a k z k + b k z k = P (z) + Q (z) (P ) (z) = - Reversão do produto: considerando! nx a k z k = (P Q) (z) = onde c k = P k l=0 a k lb l (k = 0; ; 2; :::), temos! nx a k z k nx a k z k = l=0 l=0 nx a k z k = P (z)! mx X b l z l = c k A k X X (P Q) (z) = c k A k = kx l=0 pois a álgebra dos polinômios complexos é comutativa. a k l b l A k = (P Q ) (z) = (Q P ) (z) Finalmente, de nimos o conceito de C*-álgebra: De nição 5 C*-álgebra é uma *-álgebra de Banach com seguinte propriedade: ka Ak = kak 2 ; 8 A 2 A Exemplo 52 L (H), o conjunto dos operadores lineares limitados de nidos num espaço de Hilbert H, com a norma de nida na página 6 é uma C*-álgebra com as operações usuais e a involução de nida pelo adjunto. Prova. As condições para ser uma *-álgebra de Banach podem ser veri cadas por inspeção direta, como no exemplo (48). A proposição (4) garante que o adjunto de Hilbert satisfaz a propriedade característica de C*-álgebra. 25

26 Exemplo 53 C (X), o conjunto das funções contínuas de nidas num espaço topológico compacto X que tomam valores em C, munido das operações de soma, multiplicação escalar e multiplicação de nidos ponto-a-ponto, é uma álgebra. Agora, de nimos a conjugação de uma função f 2 C (X) por f (x) := f (x) ; 8x 2 X Com essa conjugação, C (X) torna-se uma *-álgebra. Como X é compacto, podemos de nir a norma (como se pode veri car) k k : C (X)! [0; ) ; kfk := sup fjf (x)j ; x 2 Xg Então, C (X) munido dessa norma é uma C*-álgebra. De nição 54 (Homomor smos de Álgebras) Sejam A e B álgebras. Homomor smo de álgebras entre A e B é uma aplicação linear : A! B que preserva a multiplicação, ou seja, (AB) = (B) ; 8A; B 2 A Se A e B são *-álgebras, então um homomor smo de *-álgebras (ou *-homomor smos) entre A e B é um homomor smo de álgebras que preserva a conjugação (A ) = [] ; 8A 2 A De nimos também a seguinte terminologia especial para homomor smos de álgebras: - Isomor smo: homomor smo bijetivo; - Monomor smo: homomor smo injetivo; - Epimor smo: homomor smo sobrejetivo. 26