OTIMIZAÇÃO E ANÁLISE DE ROBUSTEZ DE LIGAÇÕES APARAFUSADAS EM ESTRUTURAS METÁLICAS

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1 Proceeings CLME7/VCEM 8º Congresso Luso-Moçambicano e Engenharia / V Congresso e Engenharia e Moçambique Mauto, 4-8 Setembro 7; E: J.. Silva Gomes et al.; Publ: INEGI/EUP 7 ARTIGO RE: 7 OTIMIZAÇÃO E ANÁLISE DE ROBUSTEZ DE LIGAÇÕES APARAUSADAS EM ESTRUTURAS METÁLICAS Carlos Conceição António * Universiae o Porto, aculae e Engenharia, Deart. Engª Mecânica - Porto, Portugal * cantonio@fe.u.t RESUMO Teno como objectivo a obtenção o menor custo a ligação reseitano as restrições geométricas e e integriae estrutural imostas ela regulamentação em vigor, o Eurocóigo 3 e o Regulamento e Estruturas em Aço ara Pontes e Eifícios, formula-se um roblema e minimização restringio. Este roblema é resolvio recorreno ao um algoritmo e otimização e esquisa evolucionária. Na arte a Ligação Aarafusaa too-a-too or cobre-juntas aresenta-se a efinição teórica ara Perfis Iguais incluino as restrições revistas no EC3. O roblema é estuao o onto e vista a Imutação e Custos e mãoe-obra e a criação e Bibliotecas e Materiais. A ermuta estruturaa e informação efectuaa elos oeraores o algoritmo evolucionário baseao numa estratégia elitista ermite a contínua melhoria a solução e rojecto com mérito mais elevao na oulação. Assim, a esquisa conuz semre à obtenção e uma solução à qual corresone o menor custo e à satisfação as restrições e rojecto e acoro com os cóigos e construção. Por último é estuaa a variabiliae a solução ótima em função as acções em jogo na junta aarafusaa. INTRODUÇÃO O rojecto ótimo e estruturas metálicas é hoje em ia uma mais-valia ateneno aos custos envolvios e às conições imostas elos cóigos construtivos. Em geral a otimização e estruturas metálicas baseia-se no eso a estrutura como variável relacionaa com os custos e construção. Toavia, as estruturas metálicas obrigam ao seccionamento em elementos estruturais mais equenos or motivos iversos relacionaos com a tecnologia e construção, o transorte e a montagem a estrutura no seu too. Daqui resulta a necessiae e consierar no rojecto ótimo e estruturas metálicas o roblema as ligações os elementos estruturais. Este asecto tem como consequência a exigência e um nível e etalhe mais elaborao os custos e as restrições imostas elas normas construtivas. Os custos e rojecto e e execução as ligações estruturais nos ias e hoje oem reresentar até % o custo total a obra Pavlovčič et al. 4 o que torna remente a necessiae e reuzir ao mínimo estes custos e justifica a reocuação e o esforço e otimização que se tem verificao ese então. Neste trabalho aresentam-se as soluções mais racionais o onto e vista económico e e robustez ara unir erfis usano chaas, arafusos, orcas e anilhas e iversos aços reseitano as restrições imostas elo Eurocóigo 3 EC3. Este tio e ligação é enominao e Ligação too-a-too or cobre-junta e é alicável aos seguintes casos: a Ligações Rígias seguno o 6.4.., b Ligações com resistência arcial seguno o , c Ligações ao corte - Categoria A seguno o , Ligações traccionaas - Categoria D seguno o Eurocóigo

2 Simósio-6: Otimização ara o Desenvolvimento Sustentável Teno como objectivo a obtenção o menor custo a ligação reseitano as restrições geométricas e e integriae estrutural imostas ela regulamentação em vigor, o Eurocóigo 3 EC3 e o Regulamento e Estruturas em Aço ara Pontes e Eifícios REAPE, formula-se um roblema e minimização restringio. Este roblema é resolvio recorreno ao um algoritmo e otimização e esquisa evolucionária Conceição António. Na arte a Ligação Aarafusaa too-a-too or cobre-juntas aresenta-se a efinição teórica ara Perfis Iguais incluino as restrições revistas no EC3. O roblema é estuao o onto e vista a Imutação e Custos e mão-e-obra e a criação e Bibliotecas e Materiais. Na efinição o roblema e otimização aresentao neste trabalho consieram-se aenas ligações too a too e erfis iguais com juntas aarafusaas e cobre-juntas, conforme se aresenta na igura. Consiere-se que a ligação aarafusaa é comosta or linhas e colunas e arafusos com o resectivo ar e anilhas e orcas. A ligação é simétrica em relação ao lano méio o erfil aralelo à alma e também é simétrica ao lano que seara os ois erfis. Na efinição as acções em jogo neste roblema consierou-se que os carregamentos são toos comlanares com o órtico a estrutura gerano um Momento lector, Esforço Transverso e Esforço Normal. ig. - Ligação too a too e ois elementos estruturais com cobre-juntas aarafusaas. As variáveis usaas no imensionamento ótimo as juntas são esignaas or variáveis e rojecto. As variáveis e rojecto são assim: número e colunas e arafusos, o número e linhas e arafusos, as esessuras as cobre-juntas, os iâmetros os arafusos, as istâncias entre colunas e arafusos, os materiais os arafusos, os materiais as chaas e cobrejuntas. Estas variáveis referem-se quer ao banzo quer è alma os erfis a unir. As restrições geométricas e associaas à análise a integriae estrutural a junta aarafusaa revistas elo Regulamento Euroeu Eurocóigo 3 ara o imensionamento e ligações viga-viga erfazem um total e 5 restrições DEINIÇÃO DO PROBLEMA A ligação é o tio união viga too-a-too usano arafusos, anilhas e orcas e acoro com as normas EN. Alica-se a ligações o tio cobre-junta simles os tios: a Ligações rígias seguno o 6.4.., b Ligações com resistência arcial seguno , c Ligações ao corte-categoria A efinias em , Ligações traccionaas-categoria D efinias em Consiere-se que a ligação é simétrica e está iviia em linhas e colunas e arafusos e acoro com a ig

3 Proceeings o 8º Congresso Luso-Moçambicano e Engenharia / V Congresso e Engenharia e Moçambique As variáveis e rojecto são: número e linhas e arafusos; os arafusos; e c n c e n c, número e colunas e arafusos; t e t, esessuras a cobre-junta;, istâncias entre colunas e arafusos; m c e m m e n l e n l,, iâmetros, materiais os arafusos; m e, materiais as cobre-juntas. Os ínices sueriores inicam a localização: no banzo e na alma. L i e h c e ig. - Ligação com cobre-junta. Restrições geométricas Estas restrições relacionam-se com limitações geométricas associaas ao tio e erfil a ligar, ao tio e arafusos e às istâncias, seguno o EC3. As restrições são efinias no Eurocóigo 3 EC3, em formato e inequações, têm e ser moificaas ara se aatar ao formato usao no rojecto ótimo que revê a normalização as restrições. Na ligação a restrição ao número e linhas é seno o iâmetro o furo 3 hc g n INT l 3 e a folga f efinios seguno o o EC3: + f com, + f INT INT INT Imono restrições à istância, entre linhas: g

4 Simósio-6: Otimização ara o Desenvolvimento Sustentável -94- com, 3 l c n h 4 3 t g 4 4 g 5 As restrições associaas às istâncias e e e, consierano serviço exterior, são t. g t. g 7 As restrições à istância entre colunas, são, 7. g t g 9 9 g As restrições em e e ara a classificação baixo a classe nominal as suerfícies em contacto, quaro o EC3 são: t. g 5. g inalmente, eve-se imor a existência e elo menos uma linha e arafusos, 3 c h g 3

5 Proceeings o 8º Congresso Luso-Moçambicano e Engenharia / V Congresso e Engenharia e Moçambique e o número e linhas o banzo eve ser ar: 3 n l g INT n l 4 As istâncias e são também sujeitas a restrições geométricas e e resistência estrutural associaas à encurvaura a cobre-junta seguno o EC3. Restrições e integriae estrutural O seguno gruo e restrições que o EC3 efine refere-se à análise a integriae estrutural e inclui as verificações e resistência a 5 tios e solicitações iferentes: corte os arafusos, esmagamento as chaas e cobrejunta, tracção as chaas e cobrejunta, comressão as chaas e cobrejunta e flexão a cobrejunta a alma. Seguno o EC3 o momento flector será transmitio em arte ela alma e em arte elos banzos o erfil. O esforço e corte V ys é integralmente transmitio elos arafusos a alma. b y V x. S t f T w h 3 z x V x. S ig. 3 - Definição geométrica a ligação e too com cobre-junta. Os momentos flectores ara os banzos e a alma o erfil são, M f.z.s h t f M z.s bt f 5 I z M w.z.s b t f h t f I z M z.s 6 e o esforço e corte sobre os arafusos os banzos rovocao elo momento flector é: M f.z.s Vx.S 7 h t f -94-

6 Simósio-6: Otimização ara o Desenvolvimento Sustentável Da influência o esforço normal euz-se o esforço e corte sobre caa arafuso os banzos suerior e inferior ao resectivamente or V N x.s x.s + 8 V.S n n n n + n n l c l c l c V N x.s x.s + 9 V.S n n n n + n n l c l c l c Na alma, consieram-se esforços e corte seguno x, y e os evios à acção o momento flector M wz. S. O esforços e corte vertical e horizontal máximos igura 4 nos arafusos a alma são: H max max Vy.S n n l c V M w.z.s N x.s fi + hc 3 nl nc + nl nc O esforço e corte máximo nos arafusos a alma é então, Seguino a notação estabelecia no EC3: 6 n l f i n n n + c l l max Vmax Hmax 3 R + R j max, j3 4 V.S V max e R max h c 3 H j max e ig. 4 - Definição os esforços actuantes sobre os arafusos a cobre-junta a alma. -94-

7 Proceeings o 8º Congresso Luso-Moçambicano e Engenharia / V Congresso e Engenharia e Moçambique Resistência ao corte os arafusos: Para a cobre-junta os banzos j, e ara a alma j3 vem, O valor a resistência ao corte r j β V.S j Lf V.R, j e 5 V.S j r 3, j3 6 V.R V.R é efinio, - Para arafusos as classes 4.8, 5.8,.9 com coro too roscao: V.R - Para arafusos as classes 4.6, 5.6, 8.8 com coro too roscao: V.R one γ Mb é o coeficiente e segurança nos arafusos, A s é a área ao corte no coro roscao e e Em 5, longas:. 5 f A s ub 7 γ Mb. 6 f A s ub 8 γ Mb f ub é a tensão e rotura o arafuso e o asso a rosca. São aos or: γ Mb A s π 9 4 β Lf é o coeficiente e reução a resistência ao corte o arafuso ara juntas Este coeficiente está sujeito às conições: Lf L 5 j β 3 r L j r β Lf 3 5 Resistência ao esmagamento: É verificaa se, β Lf r

8 Simósio-6: Otimização ara o Desenvolvimento Sustentável em que V.S j r, j, e b.r f u reresenta a tensão e rotura a cobre-junta e b.r r 35 8 f t ub b.r r f t u b.r e α são aos or:. 5 α fu t b.r 37 γ Mb. f ub α MIN,,, f u Cobre-junta em tracção: Devem ser verificaas as conições exlicitas em 5..3 o EC3. Assim, tem-se ara o banzo à tracção: NS r 39 N t.r em que N S reresenta o esforço instalao já consierao nas equações 8 ou 9 e N t. R é a resistência à tracção a cobre-junta aa or: one net f y e A f y. 9 Anet fu N t.r MIN, 4 γ M γ M f u são a tensão e limite elástico e a tensão e rotura à tracção ara o aço, A é a área útil a secção transversal. Os coeficientes arciais e segurança 5.., EC3 são: γ M., γ M., γ M. 5 4 Não é necessário consierar os furos ara as ligações no banzo em tracção ese que, f y A f γ M r. 9 fu A f.net γ M 4 one A e f A são a área a secção resistente à tracção o banzo sem e com furos. f. net Cobre-junta em comressão: Deve-se verificar as conições efinias no 5..4 o EC3, -944-

9 Proceeings o 8º Congresso Luso-Moçambicano e Engenharia / V Congresso e Engenharia e Moçambique - Resistência as secções transversais ara o banzo à comressão, N r S 43 N c.r em que N S é o esforço instalao já calculao seguno 8 ou 9, N c. R é a resistência à encurvaura local a secção bruta ara secções as classes, e 3 aa or: Nc.R A f y 44 γ M - Resistência à encurvaura global a cobre-junta sujeita à comressão, N r 3 S 45 N b.r r χ 46 4 com: χ N f y b.r χ β A A 47 γ M λ λ β A 48 λ φ + φ λ e E λ π, f y + α λ. λ 49 φ + seno β A e α. 49. O arâmetro α é um factor e imerfeição ara curva e encurvaura tio c secções cheias - quaro o EC3 e λ a esbelteza o moo e encurvaura, igura 5: seno.. 5 λ MAX, 5 i i i o raio e giração mínimo a secção a cobre-junta em comressão. ig. 5 - Moo e encurvaura a cobre-junta. Cobre-junta a alma sujeita a flexão: Devem ser verificaas as conições exlícitas no 5..5 o EC3. A restrição relativa à resistência a secção transversal a alma sujeita a flexão comosta é -945-

10 Simósio-6: Otimização ara o Desenvolvimento Sustentável M r 5 S 5 M one M S é o momento flector actuante sobre a cobre-junta e alma calculao em 6 e M c.r é o momento resistente a secção transversal consierao aenas ara as classes e : seno f y a tensão e ceência e M c.r c.r wl M f y 5 γ w l é calculao através e: t h c w l 53 4 Por analogia com o quaro 5.3. EC3, garantino a classe ou a secção a cobre-junta à flexão, h c r6 t ε com one f y é a tensão e ceência em N/mm. O esforço transverso transversal eve satisfazer: seno Vy.S r 7, V l.r Vl.R 35 ε 54 f y A f y v3 M V y. S, e uma secção 55 γ V l. R a resistência lástica ao esforço transverso e A v a área ao corte aa or A v hc t 56 A restrição associaa à flexão com esforço transverso, EC3, vem escrita como, V 8 y.s r. 5 V < 57 l.r Se 57 se verificar, não é necessário reuzir o momento resistente calculao em 5, caso contrário: M c.r MV. R, com ρ A v f y MV.R w l 4 t 58 γ M e V y.s ρ 59 Vl.R -946-

11 Proceeings o 8º Congresso Luso-Moçambicano e Engenharia / V Congresso e Engenharia e Moçambique M r 9 V.R < 6 Mc.R Para evitar a análise a resistência à encurvaura or esforço transverso 5.6 EC3 eve-se garantir: h r < 69 ε t Não é necessário consierar os furos as ligações nas verificações ao esforço transverso se 6 f y A v r < 6 fu A v.net one A v. net reresenta a área resistente a secção com furos. Se a restrição 6 for violaa, oe-se amitir uma área e corte efectiva com o valor e: fu A v A v.net 63 f y O PROBLEMA DE PROJECTO ÓPTIMO A ligação aarafusaa ótima é obtia e acoro com um moelo que minimiza o custo a ligação e reseita as restrições. Os custos a ligação são: - Custo ara o conjunto arafuso/anilha/orca a cobre-junta, - Custo total o material a cobre-junta : one C arf C + Canilha + C orca 64 [. 4 + n c ] t Cc C mat hc 65 C c é o custo unitário o material. A função objectivo ara a cobre-junta é: C + Cmaq C ω n c nl arf + mat 66 seno C maq o custo e maquinagem. Consierano a ligação comleta efine-se a função objectivo global: O roblema e otimização é efinio como: sujeito às restrições, W ω + ω 67 Minimizar W x ω x + ω x

12 Simósio-6: Otimização ara o Desenvolvimento Sustentável one x x, i, K, Nr ϕ i 69 i ϕ i reresenta genericamente as funções g e restrições geométricas e e integriae estrutural efinias na Secção, e e restrições. r j associaas resectivamente às N r é o número total ALGORITMO DE OPTIMIZAÇÃO A técnica e esquisa evolucionária aotaa baseia-se num algoritmo genético Conceição António,. Os AGs são métoos e otimização baseaos nas leis a selecção natural e a sobrevivência as esécies cuja formulação é conhecia nos meios científicos como Teoria evolucionária e Darwin. A qualiae as soluções oe ser meia através e uma função e mérito que é efinia a artir e um moelo matemático que ermite classificar o valor e caa inivíuo/solução ertencente a uma oulação. A meição relativa o mérito as soluções caniatas ermite a orenação e osterior selecção as melhores no AG. No resente trabalho a unção e Mérito relaciona-se com os custos a ligação e com a amlitue a violação as restrições. A metoologia aotaa ermite enalizar simultaneamente os custos e as violações as restrições fazeno convergir o algoritmo no sentio a solução ótima. O objectivo é obter o incremento o mérito a oulação. Assim, o roblema e otimização é reescrito como: Maximizar N r x K + K W x K Ψi x 7 i com Ψ x i ξ x η [ ϕ x ], se ϕ x i, se φ one ξ e η são calculaos e os valores e K são arbitrários. A função objectivo x efinia em 67 e as restrições são: i i > 7 i W é ϕ x foram efinias na secção 3. As variáveis e rojeto x i -948-

13 Proceeings o 8º Congresso Luso-Moçambicano e Engenharia / V Congresso e Engenharia e Moçambique Os AGs não usam em geral o valor real as variáveis e rojecto chamao fenotio, mas sim um valor coificao esignao or genotio. Ao vector os valores coificaos e uma solução, chama-se cromossoma. O cromossoma é constituío or entiaes mais equenas esignaas or genes que estão associaas ao valor coificao e caa variável. Ateneno à natureza iscreta o omínio e toas as variáveis e rojecto aota-se uma coificação inteira ara o resectivo genotio. Com efeito, o número e colunas e e linhas e arafusos são valores inteiros haveno or isso uma corresonência irecta entre o genotio e o fenotio. As variáveis relacionaas com os materiais os arafusos e as chaas e cobrejuntas são associaas a um conjunto e rorieaes mecânicas que caracterizam caa solução e rojecto material como um too, aí ser aconselhável a utilização e um número e cóigo inteiro. As esessuras as cobre-juntas e os iâmetros os arafusos or questões relacionaas com a aronização as imensões iscretas e fabrico e comercialização também aconselham a utilização e um cóigo inteiro. inalmente as istâncias entre colunas e arafusos or razões construtivas têm omínios bem efinios elo que um iscretização aequaa ermite a utilização e uma coificação inteira. A oulação inicial é geraa aleatoriamente. O algoritmo genético rocee à evolução a oulação e soluções usano um esquema aresentaa na ig.6. Neste esquema a oulação actual, P t, é iviia em ois granes gruos, A e B. O gruo A reresenta o gruo e cromossomas com as N A melhores soluções elite e o gruo B reresenta os restantes cromossomas. A oulação seguinte, P t+ é obtia usano os seguintes três oeraores genéticos selecção, cruzamento e mutação ver figura 6. P t P t+ A Selecção B Cruzamento CC Mutação ig. 6 - Estratégia Evolucionária aotaa no AG. A selecção é um oeraor que escolhe a arte a oulação que transitará ara a oulação seguinte. Aota-se uma estratégia elitista na qual somente os melhores cromossomas em A a oulação actual transitarão ara a oulação seguinte. Desta forma garante que as sucessivas oulações terão valor e mérito não ecrescente. O cruzamento é um oeraor que transforma ois cromossomas rogenitores num novo cromossoma que irá assim conter genes características e ambos os rogenitores. O esquema e cruzamento aotao escolhe ois cromossomas rogenitores, um ertencente ao gruo A e outro ertencente ao gruo B. O material genético o novo cromossoma cromossoma filho, é obtio usano a técnica Parametrize Uniform Crossover, Sears e Djong 99. Deois e os ois rogenitores terem sio escolhios os genes o novo cromossoma serão seleccionaos e caa um os ais e uma forma enviesaa mais material genético o rogenitor que tem melhor mérito. A mutação é um oeraor que é usao neste esquema com vista a manter a iversiae na -949-

14 Simósio-6: Otimização ara o Desenvolvimento Sustentável oulação e assim evitar ótimos locais. Essencialmente, este oeraor limita-se a criar novos cromossomas aleatoriamente que constituem o gruo C inserio na oulação P t+ referia na ig.6. EXEMPLO NUMÉRICO Consiera-se a ligação e too um erfil HE 4A sujeito às acções: esforço cortante 5 6 instalao, V y.s [N]; momento flector instalao, M z. S 7. 5 [Nmm] e esforço normal instalao, 5 x.s N [N]. Os aos o erfil estão efinios no anexo A. No Algoritmo Genético utilizou-se uma oulação e soluções. O gruo A a elite é constituío or 6 inivíuos que são transferios ara a oulação P t+ e o gruo C a 6. mutação também é formao or 6 inivíuos. Na equação 7 usou-se K, K. e K. Os valores e ξ e η são calculaos consierano uma enalização e 5 ara uma violação forte as restrições e.5, e uma enalização e ara uma violação fraca as restrições e.. 9 c u s to me lh o r s o lu ç ã o e lite c u s to io r s o lu ç ã o e lite 8 7 c u s to e u ro s g e ra ç ã o ig. 7 - Evolução os custos a ligação urante o rocesso e otimização. Utilizano valores aroriaos ara os custos os materiais os elementos e ligação e os custos e maquinagem, chega-se à solução ótima: -95-

15 Proceeings o 8º Congresso Luso-Moçambicano e Engenharia / V Congresso e Engenharia e Moçambique l l n c 6 ; n c 3, n ; n 3; t mm ; t 5 mm ; 6 mm ; 6 mm; 6 mm ; 55 mm ; m 6; m 5; m c ; m c. Dao o carácter reliminar este estuo não se inserem as bibliotecas e valores usaos nos cálculos. Na ig. 7 mostra-se a evolução a melhor e a ior solução a elite gruo A ara a minimização os custos a ligação. Aenas são mostraas as soluções que não violam as restições o roblema e otimização. CONCLUSÕES Aresentou-se um moelo numérico e otimização e ligações aarafusaas com cobrejuntas, sujeitas a flexão simles e esforços normais, entre elementos estruturais iênticos. As variáveis e rojecto consieraas estão relacionaas com a efinição os elementos e ligação. As restrições geométricas e e integriae estrutural foram efinias e acoro com o Eurocóigo 3. O objectivo é a minimização os custos os materiais e e maquinagem necessários ara obter uma ligação otimizaa satisfazeno as restrições imostas elo cóigo construtivo. AGRADECIMENTOS Os autores agraecem o suorte financeiro conceio ela unação ara a Ciência e a Tecnologia CT, Portugal, através o financiamento lurianual o laboratório associao LAETA.. REERÊNCIAS []-Conceição António CA. A hierarchical genetic algorithm for reliability base esign of geometrically non-linear comosite structures, Comosite Structures, 54, ,. []-Eurocoe 3 -Design of Steel Structures - Part.: General rules an rules for builings, CEN, Brussels, 99. [3]-NP ENV 993--, Eurocóigo 3: Projecto e estruturas e aço. Parte.: Regras gerais e regras ara eifícios, 998. [4]-Pavlovčič, L., Krajnc, A., Beg, D. Cost unction analysis in structural otimization of steel frames, Struct. Multiscilinary Otimization, [5]-REAPE - Regulamento e Estruturas em Aço ara Pontes e Eifícios, Imrensa Nacional a Casa a Moea, Lisboa, 986. [6]-Sears, W.M. e DeJong, S.K., On the Virtues of Parametrize Uniform Crossover, Proceeings of the ourth International Conference on Genetic Algorithms,. 3-36,

16 Simósio-6: Otimização ara o Desenvolvimento Sustentável ANEXO A: DADOS DE ENTRADA DO PROGRAMA Legena: Esessura o banzo mm Esessura a alma mm Altura a cobrejunta o banzo mm Altura a cobrejunta a alma mm Esforço cortante N Momento flector Nmm Esforço normal N Tensão e ceência o material o erfil MPa Tensão e rotura à tracção o material o erfil MPa Altura o erfil mm Largura o banzo o erfil mm Raio e concorância alma/banzo o erfil mm Momento e inércia o erfil seguno o eixo zz mm A: HEA 4-95-