Simulação numérica de escoamentos gás-sólido em leito fluidizado borbulhante utilizando a teoria cinética dos escoamentos granulares

Transcrição

1 UNES - Univridad Etadual aulita Júlio d Mquita Filho Capu d Bauru Faculdad d Ennharia d Bauru Dpartanto d Ennharia Mcânica Siulação nuérica d coanto á-ólido lito fluidizado borbulhant utilizando a toria cinética do coanto ranular ndrza Tanrino Minto Licnciada Matática Bauru 29

2 Siulação nuérica d coanto á-ólido lito fluidizado borbulhant utilizando a toria cinética do coanto ranular ndrza Tanrino Minto Dirtação aprntada à Faculdad d Ennharia da UNES Capu d Bauru, coo part do rquiito para obtnção do título d Mtr Ennharia Mcânica. Orintador: rof. Dr. Hélio parcido Navarro Bauru 29

3 o u aado pai, Joé nlo Suny, font d inpiração o quai u nada ria, ddico t trabalho.

4 radcinto Du, pla vida, pla capacidad concdida para ralização d onho coo t trabalho, por rpondr a oraçõ d todo por abnçoar co a prnça d poa nciai na inha vida. o u pai Joé nlo Suny, u irão Roério inha cunhada Roana, a tia Marilda, avô délio, avó Marília dai failiar plo aor, pla paciência, pla oraçõ, por acrditar incntivar u trabalho. inha obrinha Laria Suzana, iplnt por xitir. o Clo, u naorado, plo u ntinto, apoio coprnão. o rofor Dr. Hélio parcido Navarro, plo apoio orintação no dnvolvinto do trabalho. o rofor Dr. Luiz Eduardo d Ânlo Sanchz ua poa ndréa Roa Sanchz, pla aizad. o rofor Dr. Lubn Cabza-Góz, plo auxílio co atrial biblioráfico tranião d conhcinto. o rofor do Dpartanto d Ennharia Mcânica da Unp Bauru, qu contribuíra no dnvolvinto dt trabalho. o aio, qu tivra prnt contribuíra dirta ou indirtant na ralização do trabalho. o funcionário da ó Graduação da FEB, plo atndinto colaboração.

5 o Núclo d Ennharia Térica Fluido do Dpartanto d Ennharia Mcânica da EESC/US, pla acolhida facilidad ofrcida. CES, plo auxílio financiro concdido para a ralização do trabalho. todo qu u não tnha ncionado, a qu contribuíra para ralização dt trabalho, inha incra ratidão.

6 nt qu abr a ua nova idéia jaai voltará ao u taanho oriinal (lbrt Eintin)

7 Suário LIST DE FIGURS... i LIST DE TBELS... iii SIMBOLOGI... iv RESUMO... vii BSTRCT... viii INTRODUÇÃO plicaçõ do coanto á ólido lito fluidizado prnça da difuão nuérica na iulação do coanto á ólido lito fluidizado Caractrítica do coanto á ólido Objtivo aprntação do trabalho... 4 TEORI HIDRODINÂMIC Introdução Forulação Eulriana/Eulriana Cláica rocdinto para a forulação do odlo da dua fa parada Toria Cinética do Ecoanto Granular Modlo Hidrodinâico Li d Fchanto METODOLOGI DE SOLUÇÃO NUMÉRIC Introdução Equação d tranport calar intração obr u volu d control Solução nuérica para coanto á ólido Equação d Quantidad d Movinto Equação d Quantidad d Movinto dicrta Condiçõ d contorno Eliinação parcial do acoplanto na intrfac Equação para a corrção da prão do fluido Forulação Condiçõ d contorno Equação para corrção da fração voluétrica do ólido Tro convctivo... 44

8 Tro tranint Tro d ração Equação d corrção RESULTDOS Introdução Coparação do rultado d iulação obtido pla TCEG alébrica TCEG co o odlo d ua ED para o coputo da tpratura ranular Coparação do rultado d iulação obtido pla TCEG alébrica variando o diâtro da partícula Rultado d iulação obtido pla TCEG_dp_JJ para partícula d diâtro d p = 125 µ CONCLUSÕES E RECOMENDÇÕES Contário finai Concluõ do trabalho Rcondaçõ para futuro trabalho REFERÊNCIS BIBLIOGRÁFICS ÊNDICE Tora utilizado para obtr a quaçõ d balanço locai intantâna nralizada ÊNDICE B O Códio Coputacional MFIX... 86

9 i Lita d Fiura Fiura 1.1 Lito fluidizado borbulhant...4 Fiura 2.1 Difrnt ri d coanto bifáico d acordo co Ihii (1975)...7 Fiura 2.2 Subdiviõ do étodo da édia Ihii (1975), Ihii Mihia (1984)...8 Fiura 2.3 rocdinto ral para a forulação do odlo d dua fa Enald, irano ltdt (1996)... 1 Fiura 2.4 rocdinto ral iplificado para forulação da TCEG, baado no trabalho d Thrdthianon (1994)...12 Fiura 2.5 Ri d coanto ranular...19 Fiura 3.1 Volu d control ua alha unidinional...29 Fiura 3.2 Volu d control dlocado unidinional...33 Fiura 3.3 Condição d dlizanto livr plna adrência na pard lt...35 Fiura 3.4 Condiçõ d contorno para o fluxo...43 Fiura 4.1 Gotria condiçõ iniciai d contorno uada na iulaçõ...52 Fiura 4.2 Fração d vazio no tpo t =,36 na iulação co: a) TCEG_al., b) TCEG_dp_JJ c) TCEG_dp_n...56 Fiura 4.3 Fração d vazio no tpo t =,79 na iulação co: a) TCEG_al., b) TCEG_dp_JJ c) TCEG_dp_n...57 Fiura 4.4 Bolha iulada por Gunthr Syalal (21): a) ditribuição da vlocidad do á ao rdor d ua bolha iolada b) fluxo d aa da fa aoa na uprfíci da bolha...58 Fiura 4.5 Bolha xprintai d Kuipr t al. (1993): a) bolha no tpo t =,46 b) bolha no tpo t =, Fiura 4.6 Fração d vazio no tpo t = 1, na iulação co: a) TCEG_al., b) TCEG_dp_JJ c) TCEG_dp_n...59 Fiura 4.7 rfi da vlocidad axial édia no tpo co altura,5 tro acia da ntrada do lito conidrando o odlo TCEG_al., TCEG_dp_JJ TCEG_dp_n. a) vlocidad do ólido b) vlocidad do á...6 Fiura 4.8 rfi da vlocidad axial édia no tpo co altura,15 tro acia da ntrada do lito conidrando o odlo TCEG_al., TCEG_dp_JJ TCEG_dp_n. a) vlocidad do ólido b) vlocidad do á...61

10 ii Fiura 4.9 rfi da vlocidad axial édia no tpo co altura,29 tro acia da ntrada do lito conidrando o odlo TCEG_al., TCEG_dp_JJ TCEG_dp_n. a) vlocidad do ólido b) vlocidad do á...61 Fiura 4.1 rfi da tpratura ranular no tpo t =,36 na iulação co: a) TCEG_al., b) TCEG_dp_JJ c) TCEG_dp_n...63 Fiura 4.11 rfi da tpratura ranular no tpo t =,79 na iulação co: a) TCEG_al., b) TCEG_dp_JJ c) TCEG_dp_n...64 Fiura 4.12 rfi da tpratura ranular no tpo t = 1, na iulação co: a) TCEG_al., b) TCEG_dp_JJ c) TCEG_dp_n...65 Fiura 4.13 Fração d vazio na iulação conidrando a TCEG_al. co d p = 125µ para: a) tpo t =,36, b) tpo t =,79 c) tpo t = 1,...67 Fiura 4.14 Foração d bolha d Makkai, Wriht Ocon (26)...68 Fiura 4.15 rfil da tpratura ranular no tpo t =,79 na iulação conidrando a TCEG_al. co d p = 125µ...69 Fiura 4.16 rfi da vlocidad axial édia no tpo da fa ólida conidrando o odlo TCEG_al co partícula d d p = 5 µ d p = 125 µ para: a),5 tro acia da ntrada do lito, b),15 tro acia da ntrada do lito c),29 tro acia da ntrada do lito...7 Fiura 4.17 Fração d vazio na iulação conidrando a TCEG_dp_JJ co d p = 125µ para: a) tpo t =,36 b) tpo t =, Fiura 4.18 rfi da vlocidad axial édia no tpo da fa ólida coparando o odlo TCEG_dp_JJ TCEG_al.co partícula d d p = 125µ para: a),5 tro acia da ntrada do lito b),29 tro acia da ntrada do lito...72 Fiura 4.19 rfil da tpratura ranular no tpo t =,79 na iulação conidrando a TCEG_dp_JJ co d p = 125µ...73

11 iii Lita d Tabla Tabla 4.1 Condiçõ d contorno na pard para a fa ólida...52 Tabla 4.2 Modlo hidrodinâico uado na iulaçõ...53 Tabla 4.3 arâtro do MFIX...54

12 iv Siboloia Síbolo rábico Ára da fac do volu d control, [ 2 ]. C D Coficint d arrato para ua partícula nu io infinito. D d p f r Tnor taxa d dforação. Diâtro da partícula, []. Coficint d rtituição para a colião ntr a partícula. Força d intração ntr a fa á ólida. r clração da ravidad, [/ 2 ]. I J col J vi q r R R Função radial d ditribuição. Tnor idntidad. Taxa d diipação d nria ranular atravé da coliõ inlática. Taxa d diipação d nria ranular atravé do aortcinto vicoo. Fluxo difuivo d nria ranular, [J/( 2 )]. rão da fa aoa, [a]. rão do ólido, [a]. Núro d Rynold baado no diâtro da partícula. Tro font. S S Tnor da tnõ para a fa fluido ólida, [a] t v r v r u, v, V r Tpo, []. Vlocidad édia axial da fa á ólida, rpctivant, [/]. Vlocidad na dirçõ x, y, z da fa aoa / ólida no volu d control, [/]. Corrlação para a vlocidad trinal para a fa ólida. Síbolo Gro β Função d arrato.

13 v Γ dl Taxa d produção d nria ranular plo dlizanto á-partícula. Γ Coficint d difuão da propridad tranportada. η Fração voluétrica da fa (á ou ólido). Fração voluétrica da fa aoa (fração d vazio). Fração d vazio para ínia fluidização. Fração voluétrica da fa ólida. Coficint da função d rtituição. θ Tpratura ranular, [ 2 / 2 ]. λ Vicoidad voluétrica, [k/.]. λ λ Vicoidad voluétrica da fa aoa ólida, rpctivant, [k/.]. µ Vicoidad diâica, [k/.]. µ µ Vicoidad dinâica da fa aoa ólida, rpctivant, [k/.]. Dnidad do á do ólido, rpctivant, [k/ 3 ]. σ Tnor da tnõ. σ σ Tnor da tnõ para a fa á ólida. τ τ Tnor da tnõ vicoa, [a]. Tnor da tnõ vicoa do ólido, [a]. ropridad tranportada. Ânulo d atrito intrno. ω pk Fator d ob rlaxação para a corrção da prão da fa k. Subcrito b n Fa aoa. Índic da fa (= ou =). Fa ólida. Fac da ba do volu d control. Fac lt do volu d control. Fac nort do volu d control. Fac ul do volu d control.

14 vi t Fac do topo do volu d control. Fac ot do volu d control. Sobrcrito p v Ri plático. Ri vicoo. brviatura Sila CFD ED IIT LFB LFC MFIX NETL SIMLE TCEG VC Coputational Fluid Dynaic. Equação difrncial parcial. Illinoi Intitut of Tchnoloy. Lito fluidizado borbulhant. Lito fluidizado circulant. Multipha Flo ith Intrpha Xchan. National Enry Tchnoloy Laboratory. Si Iplicit Mthd for rur Linkd Equation. Toria Cinética do Ecoanto Granular. Volu d control.

15 vii Ruo Minto,. T. (29). Siulação nuérica d coanto á-ólido lito fluidizado borbulhant utilizando a toria cinética do coanto ranular. Bauru, p. Dirtação (Mtrado) Faculdad d Ennharia d Bauru, Univridad Etadual aulita. No prnt trabalho dnvolv- u tudo d odla atática iulação nuérica do coanto bifáico á-ólido u lito fluidizado borbulhant. É aprntado o odlo hidrodinâico,, para coanto bifáico á-ólido conidrando a Toria Cinética do Ecoanto Granular. É uado o odlo Eulriano d dua fa parada conidrando a odla do tnor da tnõ da fa ólida atravé do atrito ntr a partícula da toria cinética do coanto ranular. O códio font MFIX (Multipha Flo ith Intrpha Xchan) dnvolvido no NETL (National Enry Tchnoloy Laboratory) é utilizado para a iulaçõ nuérica. O rultado d iulação ão obtido rolvndo a tpratura ranular albricant ou atravé d ua quação difrncial parcial. Obtê- rultado ai ralítico no uo da ED co condição d contorno d dlizanto parcial na pard. Ua variação no diâtro da partícula (partícula do rupo B do rupo /B) é invtiada, concluindo- qu dv r acrcntado ao códio MFIX outro parâtro fíico para iulaçõ co partícula do rupo /B. alavra-chav: Ecoanto á-ólido, lito fluidizado borbulhant, toria cinética do coanto ranular, MFIX, iulação nuérica.

16 viii btract Minto,. T. (29). Nurical iulation of a-olid flo in bubblin fluidizd bd uin th kintic thory of ranular flo. Bauru, p. Dirtação (Mtrado) Faculdad d Ennharia d Bauru, Univridad Etadual aulita. In th prnt ork i dcribd a athatical odl and nurical iulation of a-olid flo in th bubblin fluidizd bd. It i prntd th hydrodynaic odl,, for a-olid flo conidrin th Kintic Thory of Granular Flo. It i ud th to fluid Eulrian odl hr th olid pha tr tnor i odld conidrin th friction btn th particl and th kintic thory of ranular flo. Th cod MFIX (Multipha Flo ith Intrpha Xchan) dvlopd in NETL (National Enry Tchnoloy Laboratory) i ud for nurical iulation. Th rult ar obtaind ith th coput of th ranular tpratur uin a partial diffrntial quation or an albraic xprion. It a obtaind or ralitic rult hn i ud a DE ith boundary condition of th partial lip. variation in th diatr of th particl (particl in Group B and Group /B) it i analyzd. It i alo concludd that hould b addd to th cod MFIX othr phyical paratr for iulation ith particl of roup /B. Kyord: Ga-olid flo, bubblin fluidizd bd, kintic thory of ranular flo, MFIX, nurical iulation.

17 Capítulo 1 INTRODUÇÃO 1.1 plicaçõ do coanto á ólido lito fluidizado iulação d coanto á-ólido é ua iportant ára dntro da cânica do fluido. Ecoanto á-ólido tê vária aplicaçõ indútria d ptrólo, quíica, talúrica, faracêutica d ração d nria. Da aplicaçõ, dtaca- ai iportant conoicant o craquador catalítico para convrão d fraçõ pada d ptrólo aolina o cobutor d lito fluidizado para ração d nria térica létrica. Ebora a raçõ quíica o proco d tranfrência d calor influnci dirtant a taxa d convrão do rator catalítico a ficiência térica d intalaçõ nrética, ta ão altant influnciada plo proco hidrodinâico, o quai dtrina a ditribuição pacial da fa péci nvolvida. Coo a hidrodinâica é doinant no proco d tranport d aa nria crta cala tporai paciai, é iprcindívl o u tudo coprnão. inda na atualidad a coprnão do proco hidrodinâico báico qu acontc coanto ultifáico na intalaçõ indutriai é incoplta inuficint. Lito fluidizado d coanto á-ólido aparc divra aplicaçõ indutriai. Exit o rator d lito fluidizado borbulhant (LFB) o rator d lito fluidizado circulant (LFC), o quai ditinu plo ri d fluidização. O lito borbulhant ão caractrizado por alta dnidad d particulado, plo dnvolvinto d bolha d á qu proov rcirculação itura, plo proco d lutriação qu proov o arrato d particulado ai fino. aior part do lito é forada d partícula cuja vlocidad trinai ão aior qu a vlocidad do á. O lito circulant opra ri d fluidização rápida, ond o coanto d á ocorr co vlocidad uprior à vlocidad trinal do particulado. Baixa dnidad d particulado alta taxa d circulação ão caractrítica d tipo d lito.

18 2 1.2 prnça da difuão nuérica na iulação do coanto á ólido lito fluidizado Ua caractrítica do lito fluidizado á-ólido é a prnça d bolha, a quai afta o dpnho do rator. i, é iportant ntndr a ua caractrítica coportanto. Count pod- dfinir bolha coo riõ co pouco ou ólido. Ua dfinição da bolha dntro do lito faz- ncária, poi a caractrização da rião co pouco ólido pod r abíua. Gidapo (1994), Bouillard, Gidapo Lyczkoki (1991) ntr outro caractriza a riõ coo aqula co fraçõ d vazio aior do qu,8. E apcto fíico ntr outro dv r analiado durant a obtnção do rultado d iulação. No tudo d coanto bifáico pod- dcrvr o coanto á-ólido qu acontc lito fluidizado coo odlo hidrodinâico d dua fa, o quai trata o fluido o ólido coo dua fa parada contínua qu toda a partícula ão conidrada idêntica caractrizada por u diâtro édio ftivo co propridad d atriai idêntica. Ea idéia d dcrvr o lito fluidizado coo odlo hidrodinâico d doi fluido xit dd o ano nta. Divro autor dcrvra odlo na época, Davidon (1961), Jackon (1963), Murray (1965), Collin (1965) ndron Jackon (1967), Start (1968). O conjunto d quaçõ propoto por pquiador é difícil d rolvr, oluçõ nuérica para prdizr bolha aparcu ai tard co Gidapo (1994), Bouillard, Gidapo Lyczkoki (1991), Kuipr t al. (1993), Sanyal Cbai (1994), Bor, Qi Rnz (1997) Syalal O Brin (1989). No tudo ralizado por autor fora obrvada, a partir do contorno da fração d vazio, bolha d fora alonada pontiauda ao invé d bolha co fora arrdondada ncontrada xprintalnt utilizada na análi tórica d Collin (1965) d Start (1968). Et tudo lvara ao qutionanto o odlo d doi fluido é d alua fora incoplto qu rultaria na prdição d bolha co fora não-fíica ou a técnica nuérica utilizada ra inadquada para rolvr a quaçõ corrtant. Rcntnt tudo nuérico otrara qu o probla talvz tja na técnica nuérica. Gunthr Syalal (21) invtiara o fito d difuão nuérica da quaçõ do coanto áólido u lito fluidizado borbulhant. Sundo o autor, étodo d alta ord produzira bolha ai ralítica, co ua fora arrdondada. No prnt trabalho rá adotado u qua d dicrtização d alta ord qu produza rultado fíico cornt na fora da bolha, coo o Suprb d Sby (1984).

19 3 1.3 Caractrítica do coanto á ólido No coanto á-ólido xit riõ qu ão caractrizada pla cinética ou coliõ do particulado, outra doinada plo atrito, outra pla cobinação do doi fator. contribuição aditiva do fito cinético dvido ao atrito no tnor da tnõ do particulado foi tudada por Sava (1982) por Johnon Jackon (1987). D acordo co raal t al. (21) o fito cinético ão baado na toria cinética do coanto ranular qu conidra o fito intrticial do á. O tnor da tnõ cinético utiliza a tpratura ranular qu pod r calculada d dua fora: atravé d ua quação difrncial parcial adicional qu rprnta o balanço da nria pudo-térica da flutuaçõ da vlocidad da partícula, ito é, ua quação adicional para a tpratura ranular, ou atravé d ua xprão alébrica. O fito dvido ao atrito ão caractrizado por u odlo d coanto qua-tático propoto por Schaffr (1987) odificado por Srivatava Sundaran (23) para contabilizar flutuaçõ no tnor taxa d dforação. força intrfaciai inclu força d arrato, força d utntação, força d aa virtual, ntr outra. Na quaçõ d coanto d dua fa dvido a rand difrnça d dnidad a força intrfaciai ão no inificant xcto a força d arrato. Conqüntnt, divra iulaçõ ont a força d arrato ão contabilizada. Ua dcrição dtalhada do quacionanto da força intrfaciai é aprntada por Enald, irano ltdt (1996). Gralnt a força d arrato atuando ua partícula u coanto fluido-ólido pod r rprntada plo produto do coficint d tranfrência da quantidad d ovinto pla vlocidad d dlizanto ntr a dua fa. U do priiro trabalho para o cálculo d coficint foi propoto por Richardon Zaki (1954). Wn Yu (1966) tndra o trabalho d autor aprntando ua corrlação para rand fraçõ d vazio. Din Gidapo (199) utilizara a quação d Erun (1952) para fa dna a quação d Wn Yu (1966) para fa dipra. Syalal O Brin (1988) propura u odlo para o cálculo do coficint d arrato baado na dida da vlocidad trinai da partícula lito fluidizado. U tudo dtalhado obr a divra corrlaçõ para cálculo do coficint d arrato é aprntado rcntnt por Du t al. (26).

20 4 1.4 Objtivo aprntação do trabalho Nt trabalho prtnd- analiar a influência u coanto á-ólido lito fluidizado borbulhant, quando na toria cinética do coanto ranular utiliza- ua xprão alébrica ou rolv- ua quação difrncial parcial (ED) para o coputo da tpratura ranular. ara ito utiliza- u lito fluidizado borbulhant rtanular co jato cntral, aprntado na fiura 1.1. Na ba do lito injta- á a ua vlocidad unifor para qu ocorra a fluidização da partícula ólida xitnt u intrior. No jato, cntralizado na ba, o á ntra co vlocidad uprior ocaionando a foração d bolha. Fiura 1.1 Lito fluidizado borbulhant O trabalho t coo objtivo ralizar iulaçõ nuérica co odlo ulriano do contínuo para aba a fa coparar rultado para divro parâtro coo fração d vazio, vlocidad do á do ólido tpratura ranular. coparaçõ rão fita variando o diâtro da partícula rolvndo- a tpratura ranular albricant ou atravé d ua ED. iulaçõ nuérica fora ralizada utilizando o códio MFIX Multipha Flo ith Intrpha Xchan. Inforaçõ obr o MFIX pod r ncontrada Syalal, Ror O Brin (1993) na páina.fix.or. O trabalho tá truturado cinco capítulo. No capítulo 1 aprnta- ua pquna dcrição do coanto á-ólido, co dtaqu para principai caractrítica aplicaçõ, prnça d difuão nuérica iulaçõ finalnt, aprnta- o objtivo para o dnvolvinto do trabalho. O capítulo 2 traz a forulação tórica

21 5 hidrodinâica do odlo d dua fa parada utilizando o procdinto da TCEG (Toria Cinética do Ecoanto Granular). No trciro capítulo t- a todoloia d olução nuérica utilizada no códio MFIX, ond ncontra a fórula d corrção dicrtizada. O capítulo 4 otra rultado d iulação nuérica bidinional obtido a partir do odlo hidrodinâico para lito fluidizado borbulhant co jato cntral. prnta- iulaçõ co o pro da TCEG co forulação alébrica co rolução d ua quação difrncial parcial para o coputo da tpratura ranular. Copara- rultado para doi tipo d condiçõ d contorno na pard da fa ólida, no cao qu rolv a ED. lé dio, analia- a influência do diâtro da partícula na iulaçõ co o uo da forulação alébrica. Conclui- o trabalho no capítulo 5, co propota d trabalho futuro.

22 Capítulo 2 TEORI HIDRODINÂMIC 2.1 Introdução odla nuérica para coanto d fluido utiliza odlo atático qu baia fundantalnt quaçõ difrnciai parciai, co condiçõ iniciai d contorno prcrita, a quai rprnta ataticant o fnôno fíico qu ocorr no coanto. plicação d li fíica d conrvação, tai coo conrvação d aa, d quantidad d ovinto (2º li d Nton) d nria (1º li da Trodinâica) da quaçõ contitutiva ão nciai para o fchanto do ita d ED. E coanto bifáico xit u aravant na aplicação da li dvido à prnça d dua fa difrnt a xitência d intrfac qu para a fa, ai o odlo atático rá xpro atravé d dua quaçõ d balanço d aa, quantidad d ovinto nria, para cada fa. O coanto bifáico ão claificado ri d coanto vário canio d tranport ntr a fa a pard b coo ntr a dua fa dpnd d ri. Ihii (1975) aprnta ua tabla co vário ri d coanto bifáico (coanto co fa contínua, coanto ito coanto co fa dipra) qu dpnd da otria da intrfac xitnt no coanto, ri o quai pod ocorrr iultanant nu ita ipl dificultando ua odla. rfrida tabla pod r vita na fiura 2.1.

23 7 Tipo adrõ Gotria Confiuração Explo ESCOMENTO EM ELÍCUL Ecoanto co fa contínua Ecoanto ito Ecoanto co fa dipra ESCOMENTO NULR JTOS ESCOMENTO ISTONDO ESCOMENTO NULR COM BOLHS ESCOMENTO NULR DISERSO ESCOMENTO NULR DISERSO COM BOLHS ESCOMENTO EM BOLHS ESCOMENTO EM NÉVO ESCOMENTO COM RTÍCULS SÓLIDS Fil líquido á. Fil aoo u líquido. Núclo líquido fil aoo. Núclo aoo fil líquido Jato d líquido u á Jato d á u líquido. Bolão d á u líquido. Bolha d á u fil líquido, núclo aoo. Gota d u núclo aoo, fil líquido na pard. Gota d líquido no núclo aoo, bolha d á no fil líquido junto a pard. Bolha d á u líquido. Gota u á. artícula ólida u á ou líquido. Rfrianto por líquido. Ebulição plícula. Ebulição plícula. Condnador. ulvrização. Condnador a jato. Ebulição d ólido líquido convcção forçada. Evaporador co nuclação junto à pard. Grador d vapor. Canal d u rator tipo BWR. Coluna d xtração. Rfrianto por pulvrização. Tranport pnuático ou hidráulico. Fiura 2.1 Difrnt ri d coanto bifáico d acordo co Ihii (1975) od- contornar probla aplicando localnt a quaçõ d balanço cada fa, odlando apropriadant a condiçõ d contorno na intrfac. oré, ua forulação ral baada variávi locai intantâna intrfac ovinto, rulta u probla d ultifrontira, co poição d intrfac dconhcida. Io torna ipraticávl para a aioria do cao a obtnção d odlo atático, portanto d

24 8 oluçõ (ISHII MISHIM, 1984). ara liinar parcialnt a dificuldad Ihii Mihia (1984) rlata trê procdinto principai adotado para dnvolvr odlo atático bifáico, a partir do ponto d vita acrocópico: 1) Modlo da Difuão: Conidra u contínuo intraindo; 2) Volu d Control: Equaçõ d balanço potulada; 3) Método da Média: Equaçõ d balanço édia. O doi priiro procdinto baia- principalnt hipót, intuição fíica iilaridad auida co coanto onofáico. O étodo da édia é ataticant ai rioroo rqur ua apla anipulação da quaçõ. Ua dcrição ai dtalhada d cada étodo pod r ncontrada Ihii Mihia (1984). O étodo da édia é o ai utilizado na atualidad dividi- trê rupo (ISHII, 1975): a édia d Eulr; a édia d Laran; a édia tatítica d Boltzann. E rupo tabé ubdivid vário outro rupo coo é otrado na fiura 2.2. Dpndndo do procdinto d édia adotado, xit varia forulaçõ difrnt para u ita bifáico. Método da Média Média d Eulr Valor édio tporal Valor édio pacial Média voluétrica Média d ára Média d linha Valor édio tatítico Valor édio ito Média d Laran Valor édio tporal Valor édio tatítico Média Etatítica d Boltzann ropridad d tranport Fiura 2.2 Subdiviõ do étodo da édia Ihii (1975), Ihii Mihia (1984) Nt trabalho fora utilizada a forulação Eulr/ Eulr a forulação Eulr/ Boltzann (Toria Cinética do Ecoanto Granular - TCEG) qu ão dcrita na çõ

25 9 2.2 Forulação Eulriana/Eulriana Cláica forulação Eulriana/Eulriana cláica prit a obtnção do dnoinado odlo d dua fa parada. Et odlo utiliza o procdinto da édia d Eulr, contitui- nua da principai forulaçõ da quaçõ d capo para u ita bifáico. Tal forulação é b dcrita na litratura pod r ncontrada Ihii (1975), Dlhay chard (1976) (1977), Dr (1983), ntr outro. O odlo d dua fa é forulado conidrando cada fa parado, tro d u ita d quaçõ d conrvação d aa, quantidad d ovinto nria, para cada fa rpctivant. Vito qu aba a fa intra ntr i, aparc na quaçõ d capo tro dvido a a intração, qu pcifica o tranport d aa, quantidad d ovinto nria atravé da intrfac rocdinto para a forulação do odlo da dua fa parada O procdinto para a forulação do odlo d dua fa parada é aprntado na fiura 2.3 provnint d Enald, irano ltdt. (1996). idéia ral é forular balanço intrai d aa, quantidad d ovinto nria u volu d control fixo qu nvolva aba a fa. otriornt aplicando o tora d Libniz Gau- Otraradkii (apêndic ) o balanço intrai dão ori a doi tipo d quaçõ locai: a quaçõ locai intantâna para cada fa a quaçõ d alto locai intantâna qu rprnta a intração ntr a dua fa. Nua unda tapa aplica- o procdinto d édia d Eulr à quaçõ locai. Dvido à introdução d nova variávi na quaçõ d capo, o tro d intração na intrfac, raliza- u trciro pao qu conit na aplicação d li d fchanto co o objtivo d odlar o tro não conhcido na quaçõ d balanço. or últio ão tablcida condiçõ iniciai d contorno, copltando a forulação do odlo d dua fa parada.

26 1 Balanço intral d aa, quantidad d ovinto nria Tora d Gau d Libniz Equaçõ locai intantâna condiçõ d alto rocdinto da édia Equaçõ édia d balanço Li d fchanto Sita fchado d quaçõ difrnciai parciai Condiçõ iniciai d contorno Modlo d dua fa Fiura 2.3 rocdinto ral para a forulação do odlo d dua fa Enald, irano ltdt (1996) U dnvolvinto dtalhado dta todoloia voltado para coanto áólido é aprntado Enald, irano ltdt (1996). Cabza-Góz (1999) Cabza-Góz (23) tabé aprnta u tudo d dnvolvinto. 2.3 Toria Cinética do Ecoanto Granular O odlo da dua fa parada para coanto á-ólido ncita d li contitutiva para a forulação do tnor da tnõ cada fa analiada. ara o cao da fa continua (á) conidra- u odlo rolóico Ntoniano, o qu é batant razoávl. No cao da fa dipra (particulado) au- a a hipót d fluido Ntoniano, o qu contitui ua aproxiação uito roira, ainda ai quando a fa dipra é copota d partícula ólida. Nt cao a conidração da fa ólida coo fluido Ntoniano iplica na procura d u valor, cornt fiicant, da vicoidad dinâica voluétrica da fa ólida, para rolvr o ita d quaçõ d ED qu copõ o odlo tradicional da dua fa parada. ara contornar probla uito pquiador na atualidad

27 11 utiliza a toria cinética do coanto ranular (TCEG). Eta toria apóia- na forulação d Eulr/Boltzann. TCEG baia- na iilaridad ntr o coanto d u atrial ranular, o qual coprnd ua população d partícula co ou á intrticial a olécula d u á (EIRNO LECKNER, 1998). U inificado iportant na TCEG é o da tpratura ranular, qu contitui ua dfinição d tpratura para o ólido lhant à tpratura d u á qu noralnt aprnta- na trodinâica cláica na tatítica. uir dcrv- d anira ucinta inificado, undo Sinclair Jackon (1989) qu fora o priiro a propor ua dcrição fundantal da tnõ na fa ólida no contxto do odlo da dua fa parada uando a TCEG. intraçõ da partícula do á ra rtrita a força d arrato útuo, cujo valor ra dpndnt da concntração da partícula da difrnça ntr o valor édio locai da vlocidad da fa aoa ólida. Dd qu o á não dliza livrnt na pard do duto, xit u prfil d vlocidad do á copltant dnvolvido corrpondntnt u prfil d vlocidad do particulado induzido pla força d arrato xrcida plo á obr a partícula. Coo rultado dt ovinto cialhant, a partícula colid ntr i, rando ua coponnt alatória do ovinto do particulado. Eta flutuaçõ do particulado ra ua prão ftiva na fa ólida, junto co ua vicoidad ftiva a quai rit à tnõ cialhant do conjunto d partícula. ba a prão a vicoidad ftiva dpnd fortnt da tpratura ranular, qu dv r calculada albricant ou pla olução d ua ED parada qu rprnta o balanço da nria pudotérica do ovinto flutuant da partícula. nria cinética do ovinto alatório ou flutuant do particulado é análoa àqula do ovinto térico da olécula d u á Eta nria pudotérica é rada plo trabalho ftuado pla tnõ d cialhanto ftivo na fa particulada, diipada pla coliõ inlática partícula partícula conduzida d acordo co o radint da tpratura ranular. forulação da TCEG pod r dnvolvida uindo o procdinto ral iplificado otrado na fiura 2.4. Et procdinto é u ruo do atrial aprntado Thrdthianon (1994).

28 12 Equação intro difrncial d Boltzann Equação d tranport d Maxll Tora d tranport dno d Jnkin Sava Equaçõ contitutiva Sita d quaçõ da TCEG Fiura 2.4 rocdinto ral iplificado para forulação da TCEG, baado no trabalho d Thrdthianon (1994) riirant forula- a quação intro difrncial d Boltzann para frqüência d ditribuição d vlocidad f. Eta quação odla o coanto dd o ponto d vita icrocópico do ita. Nua unda tapa forula- a quação d tranport d Maxll. Eta quação prit forular o coanto dd o ponto d vita acrocópico, proporcionando ua quação d tranport hidrodinâica qu poibilita o cálculo d ua propridad ψ tranportada (por xplo, aa, quantidad d ovinto ou nria). Nu trciro pao forula- o tora d tranport para coanto dno d Jnkin Sava, aprntado Jnkin Sava (1983) Lun, Sava Jffry (1984). Et tora baia- na quação d tranport para a dno aprntada Chapan Colin (1961) é dnoinado tabé coo quação d tranport d Maxll Chapan por Sava (1983) Gidapo (1994), nralizando o tora d tranport válido para a coanto d partícula diluído. or últio forula- a quaçõ contitutiva qu prit calcular o tro não odlado qu fora introduzido na quaçõ d tranport acrocópica (THERDTHINWONG, 1994 apud SILV, 26). forulação da TCEG para o odlo do doi fluido, undo irano Lcknr (1998), é dnvolvida atravé d doi procdinto fundantai: o priiro qu conidra u coanto ranular co, ( influência do á intrticial). ara t tipo d procdinto, apó o trabalho pioniro d Sinclair Jackon (1989), Din (199) Din

29 13 Gidapo (199) aplicara pla priira vz a TCEG na iulação bidinional tranint d u lito borbulhant a frio co ba no trabalho d Sava (1983), Jnkin Sava (1983), Lun, Sava Jffry (1984) Chapan Colin (1961). N trabalho a função ditribuição d vlocidad do ólido foi odlada atravé da função d ditribuição d vlocidad d Maxll, o qu fz válido t procdinto apna para coanto áólido dno (lito borbulhant). Entrtanto, Gidapo (1994) tndu ta todoloia para coanto dipro (lito circulant). O undo procdinto conidra o á intrticial ntr a partícula do coanto. irano Lcknr (1998) aprnta ua dtalhada dicuão do undo procdinto aplicado a coanto turbulnto á-ólido lito fluidizado circulant. Ma hadi (1988) Koch (199) tabé conidra o undo procdinto u tudo. Na TCEG a rolução da quação da conrvação da tpratura ranular pod r fita albricant ou atravé d ua ED. O doi procdinto ão aprntado no odlo hidrodinâico. 2.4 Modlo Hidrodinâico O odlo d dua fa parada é obtido por io d aplicação, ao ita ral d ED, da condiçõ iniciai d contorno apropriada. Eta condiçõ ão dfinida função da otria, da intraçõ fíica da fa co o contorno do ita do tado inicial do doínio fíico conidrado. prnta- o odlo hidrodinâico d Gidapo (1994) auindo a não xitência d tranfrência d aa nria ntr a fa (fa não rant) tratando d u odlo iotérico para aba a fa (á ólido). Conrvação da Maa para a fa aoa ( ) t r ( v ). = (2.1)

30 14 Conrvação da Maa para a fa ólida ( ) t r. = ( v ) (2.2) Na quaçõ d conrvação d aa o priiro tro da qurda rprnta a variação tporal d acuulo d aa por unidad d volu o undo tro rprnta a variação d fluxo d aa convctivo. Conrvação da Quantidad d Movinto para a fa aoa t r r r r r r ( v ) ( v v ) = σ f (2.3) Conrvação da Quantidad d Movinto para a fa ólida t r r r r r ( v ) ( v v ) = σ σ f r r (2.4) ond ão a fraçõ d vazio d ólido, rpctivant; v r v r ão a vlocidad édia locai da fa aoa ólida, rpctivant; σ σ ão o tnor da tnõ da dua fa; f r é a força d intração ntr a dua fa por unidad d volu r é o capo ravitacional. Na quaçõ (2.3) (2.4), o priiro tro da qurda rprnta a taxa líquida d aunto da quantidad d ovinto. O undo tro da qurda rprnta a tranfrência d quantidad d ovinto por convcção. Do lado dirito da quaçõ o tro qu nvolv o tnor da tnõ rprnta a força d uprfíci noral d cialhanto.

31 Li d Fchanto Na quaçõ conrvativa édia d balanço aparc tro dconhcido, tai tro rão odlado pla li d fchanto, a quai ão claificada trê tipo: 1) Li contitutiva: rlata propridad fíica da fa utilizando dado xprintai ou axioa. travé da li contitutiva ão odlado o tnor da tnõ vicoa, a vicoidad dinâica, a vicoidad voluétrica a prão para toda a fa. 2) Li d tranfrência: quaçõ pírica qu dcrv a difrnt intraçõ d intrfac ntr a fa. travé da li d tranfrência odla-, na intrfac, o tranport d quantidad d ovinto conidrando o arrato na intrfac função da vlocidad rlativa ntr a fa. 3) Li topolóica: dcrv a ditribuição pacial d ua variávl pcífica do coanto. Ua dicuão dtalhada obr a li d fchanto pod r ncontrada Enald, irano ltdt (1996), Cabza-Góz (1999), rnold, Dr Lahy (199), ntr outro. Força d intração ntr a fa O canio forulaçõ da força d intraçõ ntr a fa tê ido tudado co dtalh por divro autor. Do tudo na dinâica d partícula fluido, divro canio fora ncontrado: força d arrato, cauada por difrnça na vlocidad ntr a fa; puxo, cauada plo radint d prão do fluido; fito d aa virtual, cauada por aclração rlativa ntr a fa; força d lvação d Saffan, cauada plo radint d vlocidad do fluido; força Manu, cauada pla rotação da partícula; força Bat, a qual dpnd do ovinto da partícula atravé do fluido; força Faxn, a qual é ua corrção aplicada para o fito d força virtual força d Bat para o radint d vlocidad do fluido força dvido a radint d tpratura prão (SYMLL, ROGERS O BRIEN, 1993). Na quaçõ d coanto d dua fa dvido a rand difrnça d dnidad a força intrfaciai ão no inificant xcto a força d arrato.ea força odla- função da vlocidad rlativa ntr a fa do coficint d quantidad d ovinto na intrfac, tabé dnoinado função d arrato β pod- dtriná-la atravé d doi procdinto: a partir d corrlaçõ para o coficint d arrato obr ua partícula nua

32 16 upnão d partícula, C D, ou a partir da quda d prão por unidad d coprinto nua upnão d partícula. r r r i a força d arrato ntr a fa á ólida é xpra por f ( v v ) = β, ond a função d arrato β dpnd do procdinto adotado. náli ai rioroa obr o procdinto d obtnção d funçõ d arrato ão aprntada Enald, irano ltdt (1996). U do priiro odlo para o arrato foi propoto por Richardon Zaki (1954): r β = n1 (2.5) Vr ond n dpnd do núro d Rynold baado na vlocidad trinal, V r, d ua partícula iolada. xprão d Garid l-dibouni (1977) pod r uada para o cálculo d V r. 2 2 Vr =,5,6 R (,6 R ),12 R (2B ) (2.6) ond o núro d Rynold para a fa ólida é dado por: R = r r v v d p µ (2.7) o valor para B ão: 4,14 = 1,28.8 B = 2,65,85 >,85 Wn Yu (1966) tndra o trabalho d Richardon Zaki (1954), aprntando ua corrlação para rand fraçõ d vazio (,8): r r 3 v v 2,65 β = CD 4 d p (2.8)

33 17 Din Gidapo (199) prara a quação d Erun (1952) para o cálculo na rião dna a quação d Wn Yu (1966) para o cálculo na rião dipra: r r 3 v v 2,65 β = CD 4 d p,8 (2.9) β 2 µ = 15 1, 75 2 d p r r v v d p <,8 ond o coficint d arrato é xpro por:, ( 1,15 R ) , R < 1 CD = R (2.1),44, R 1 Syalal, Ror O Brin (1993) propura ua corrlação d arrato conidrando u odlo baado dida d vlocidad trinai da partícula no lito fluidizado na fora: β = 3 CD 4 2 Vr r r v v d p (2.11) aqui C D é u coficint d arrato para ua fra: (,63 4,8 R ) 2 C D = V r (2.12) Rcntnt, Du t al. (26) aprntara u dtalhado tudo obr odlo para cálculo do coficint d arrato na tranfrência d quantidad d ovinto na intrfac ntr a fa.

34 18 Tnor da tnõ O tnor da tnõ σ é rprntado por σ = I τ, ond o priiro tro rprnta a prão hidrotática ( I é o tnor unitário) o undo tro dnoinado tnor da tnõ vicoa rfr- ao ovinto dinâico da ação da força uprficiai vicoa. Sundo Kuipr t al. (1992), apar d qu o tnor da tnõ vicoa para aba a fa dva dpndr da fração do vazio da drivada paciai d vlocidad, conidrando tabé u fito d ória, não há diponívl ua forulação ral co o valor corrto da contant do atrial. D fato, o aunto rlacionado a roloia do pó d fluidização ainda não conduzira à propoição d u odlo rolóico unificado. lo fato citado o tnor da tnõ vicoa τ para aba a fa, é odlado auindo a rlação tnão/dforação para u fluido Ntoniano. τ = 2 µ D λtr D I (2.13) ond D, o tnor taxa d dforação é dado por: D = 1 2 r v r T ( v ) (2.14) ara a fa aoa ua- a hipót d Stok aprntada Whit (1992), 2 λ = µ 3 (2.15) i, para ta fa o tnor da tnõ é xpro por = I µ S, σ 2 ond S = 1 2 r v r T ( v ) 1 r v I 3 (2.16) qu é a prão do á, µ é a vicoidad dinâica da fa aoa I é o tnor unitário.

35 19 odla da fa ólida é u tanto ai coplxa, auindo- a a hipót d fluido Ntoniano para o particulado fica- co ua aproxiação uito roira o tnor da tnõ dta fa dv r odlado co toria propota na litratura qu dcrv coanto ranular para contornar o probla. Exit doi ri qu claifica o coanto ranular, rprntado na fiura 2.5: u vicoo ou rápido, no qual a tnão é cauada por tranfrência d ovinto coliional, u plático ou lnto, no qual a tnão é cauada dvido ao atrito ntr a partícula (JENKINS COWIN,1979). Fiura 2.5 Ri d coanto ranular Srivatava Sundaran (23) au o tnor da tnõ da fa ólida coo ipl oa d u tnor da tnõ cinético v σ u tnor da tnõ d atrito p σ. v p = σ σ (2.17) σ Tal forulação captura o doi liit xtro d u coanto ranular; o ri vicoo ond a contribuição doinant da dvido à cinética do coanto o ri plático ond o atrito é doinant. Makkai, Wriht Ocon (26), alé do fito d atrito cinética, jula r d xtra iportância a conidração d força coiva ntr a partícula para a forulação do tnor da tnõ do particulado. No tudo d Syalal, Ror O Brin (1993), a toria cinética do coanto ranular, qu é b dcrita por Jnkin Sava (1983), Lun, Sava Jffry (1984), uada para coanto dipro (rápido) a toria d tado crítico, undo Schaffr (1987), uada para coanto dno (lnto) ão cobinada por io d ua chav no ponto d copactação crítico para a ínia fluidização altrnando a forulação do tnor da tnõ da fa ólida ntr a dua difrnt rlaçõ contitutiva:

36 2 σ p p I τ, = v v I τ, > (2.18) qu é a fração d vazio para ínia fluidização o obrcrito p v indica o ri plático vicoo, rpctivant. O tnor da tnõ no ri plático ão uualnt dcrito pla toria da cânica do olo. Eta toria idaliza o atriai d tal fora qu u coportanto poa r auido coo indpndnt da taxa d tnão (TUZUN t al., 1982). O tnor da tnõ oriina- da fricção ntr a partícula ão dcrito por odlo fnonolóico. Na toria da cânica do olo xit doi principai coponnt. O priiro é a função d capo, qu dfin ua uprfíci no paço da tnõ dntro da qual o atrial coportará laticant (ou prancrá ríido a laticidad for dconidrada) o ponto d tnão dv ncontrar- durant a dforação plática. O undo é a rra d coanto, a qual tablc rlaçõ ntr o coponnt d tnão taxa do tnor da tnõ. Mai dtalh pod r ncontrado Tuzun t al. (1982). Siilarnt à funçõ uada na toria d coanto plático d Jkin (1987), ua função arbitrária qu prit crta quantidad d copribilidad na fa ólida rprnta o tro da prão do ólido para o ri d coanto plático: p = (2.19) ond é rprntado por ua li pírica: ( ) n = co valor típico da contant d =1 25 n =1. (2.2) forulação para o tnor da tnõ é baada no tudo d Schaffr (1987) qu propô ua quação rlacionada co a prão do ólido: p τ = 2µ ond p D (2.21)

37 21 p µ = in 2 I 2D (2.22) é o ânulo da partícula no atrito intrno I 2D é o undo invariant do tnor taxa d dforação: [ ] 2 1 I 2D = ( D11 D22 ) ( D22 D33) ( D33 D11 ) D12 D23 D31 (2.23) O tro vicoo na quação do tnor da tnõ da fa ólida ão baado ua fora odificada da toria cinética d partícula férica, inlática uav dnvolvida por Lun, Sava Jffry (1984). prão da fa ólida é xpra por: v = k 2 θ (2.24) 1 k1 2 1 = ond é o coficint d rtituição para a coliõ da fa ólida é co ( ) a função d ditribuição radial no contato da partícula. Na litratura a forulaçõ para difr conidravlnt, abaixo cita- alua da forulaçõ: Din Gidapo (199): 3 1 = 5,ax (2.25) Ma hadi (1986): = 2 3 ( 1 2,5 4,594 4, ), ,ax (2.26)

38 22 Carnahan Starlin (1969): 2 1 1,5,5 = 2 3 (2.27) Syalal, Ror O Brin (1993) dprza o trciro tro da quação (2.27) adota a função d ditribuição radial ndo: 1 1,5 = 2 (2.28) função d ditribuição radial é introduzida coo ua dida para a probabilidad d contato/colião ntr partícula quando o á torna- dno (LU t al.,24). Ito inifica qu nu á rarfito é iual a unidad, a tnd ao infinito quando a olécula tão b prto, d anira qu o ovinto ja qua ipoívl (EIRNO LECKNER, 1998). Na litratura xit ua concordância co o fato d qu dv auntar co o aunto da fração voluétrica do ólido, a a corrlaçõ difr conidravlnt ntr i (BOEMER t al., 1995). Já o coficint d rtituição é a dida da laticidad da colião ntr dua partícula pod r dfinido coo razão da difrnça d vlocidad ant dpoi da coliõ. Diz- qu ua colião é prfitant lática o coficint d rtituição é = 1 prfitant plática =. Exprinto otra qu não é contant dpnd fortnt da vlocidad d ipacto da partícula (DU t al., 26). Goldchidt, Kuipr Van Saaij (21) otrara qu a hidrodinâica d lito d á fluidizado dno dpnd fortnt da nria diipada pla colião partícula-partícula. Lu t al. (24) otra qu a tpratura ranular aunta co o aunto do coficint d rtituição. Et uito outro tudo rvla qu o valor d ão nívi no rultado d iulaçõ d coanto á-ólido. Continuando co a toria cinética dnvolvida por Lun, Sava Jffry (1984), o tnor da tnõ vicoa da fa ólida é xpro por: v v v τ = 2 µ D λ tr D I (2.29)

39 23 ond v µ v λ ão a vicoidad dinâica voluétrica da fa ólida no ri vicoo, rpctivant, a quai não ão propridad fíica rai, a pod r dduzida, ão xpra por: λ v K 2 = θ (2.3) v µ K 3 = θ (2.31) contant K 2 é dada por K = 4 d ( 1 2 p K3 2 ) 3 π [ 2 8d p (1 )(3 1) ] (1 ) d 3 p π K = 1 6(3) 5 1 π 3 a contant K 3 é Obrva- qu a partir da quação (2.24) introduziu- na forulaçõ a variávl θ dnoinada tpratura ranular. tpratura ranular é proporcional à nria cinética do particulado é dfinida coo a édia da flutuação da vlocidad da partícula C r : 1 r C 2 θ = (2.32) 3 i, ua quação rprntando o balanço da nria pudo-térica (tpratura ranular) da flutuaçõ da vlocidad da partícula confor Srivatava Sundaran (23) raal t al.(21), é dada por: 3 2 t r r r r ( θ ) ( vθ ) = q τ : v Γdl Jcol Jvi r (2.33) ond a taxa d produção d nria ranular dvido ao dlizanto á-partícula, a taxa d diipação d nria ranular atravé da coliõ inlática a taxa d diipação d nria ranular atravé do aortcinto vicoo, ão xpra rpctivant por:

40 24 πθ µ p dl d v v r r = Γ (2.34) ) (1 48 θ η η π d J p col = (2.35) = 3βθ vi J (2.36) O fluxo difuivo q r d nria ranular é calculado por: ( ) ( ) ( )( ) θ η η π η η η λ = q r (2.37) ond θ βλ λ λ 2 ) 5( 6 1 = ( ) η η πθ λ = d p. Outra aborda é utilizar ua xprão alébrica para o cálculo da tpratura ranular, θ, obtida da quação da conrvação da nria d Lun, Sava Jffry (1984), auindo qu a nria ranular é diipada localnt, dprzando contribuiçõ d difuão d convcção rtndo ont o tro d diipação ração. quação da nria ranular alébrica é: ( ) ( ) = K D tr K D tr K K D tr K D tr K θ (2.38) co π p d K 2 4 ) (1 12 =. i o tnor da tnõ do ri vicoo da fa ólida é xpro por:

41 25 ( ) [ ] ( ) ( ) b b v S I v = ηµ η η η η η µ α ηµ θ η σ ) ( ) ( 4 1 r (2.39) co α = 1,6; ( ) [ ] I v v v S T r r r = ; ( ) ( ) = ; θ βµ µ µ 2 ) ( 2 1 = ; 96 5 πθ µ d p = ; π µ µ b = ; 2 ) 1 ( = η. No rultado dt trabalho rão aprntada coparaçõ d iulaçõ d coanto á-ólido utilizando para o cálculo da tpratura ranular aba abordan aprntada no odlo dcrito, a olução co ED a alébrica.

42 Capítulo 3 METODOLOGI DE SOLUÇÃO NUMÉRIC 3.1 Introdução Fnôno rlacionado co coanto d fluido ão dcrito ataticant por quaçõ difrnciai parciai (ED). Tai quaçõ nvolv não linaridad ua forulaçõ o qu torna ipraticávl, na aioria da vz, ua rolução analítica. Co o advnto do coputador diital a partir da década d 5 uriu a poibilidad d bucar oluçõ nuérica para ED. O étodo nuérico ofrc ua frranta indipnávl na dtrinação d oluçõ aproxiada. ara obtr ua olução aproxiada, faz- o uo d u étodo d dicrtização qu aproxia a quaçõ difrnciai por u ita d quaçõ alébrica, qu pod r rolvida no coputador. aproxiaçõ ão aplicada a pquno doínio no paço /ou tpo tal qu a olução nuérica fornc rultado locai dicrto no paço tpo. Muito bora, a prcião do dado xprintai dpnd da qualidad da frranta utilizada, a prcião da olução nuérica é dpndnt da qualidad da dicrtização utilizada (FERZIGER ERIC, 1999). Via d rra, obtr oluçõ nuérica da quaçõ d conrvação circuntância advra é ua tarfa uito difícil virtud da naturza não linar do tro d inércia, principalnt quando tro rprnta o canio prdoinant no tranport d propridad fíica. Rcntnt, a anira ai adquada d tratar a nãolinaridad é u do principai aunto no capo d CFD (Coputational Fluid Dynaic). O étodo nuérico convncionai pod rolvr facilnt o probla difuivo, a não o convctivo. Coplicaçõ adicionai aparc no cao qu o coanto nvolv núro d Rynold lvado, pcialnt ri turbulnto. i, é d fundantal iportância qu o tro convctivo prnt na quaçõ d tranport ja tratado d anira apropriada, lvando conta a não-linaridad aociada (FERREIR, 21).

43 Equação d tranport calar intração obr u volu d control técnica d volu finito é utilizada para obtr a vrão dicrta d ua ED, intrando a ua rião ou volu do paço. Et étodo tá intrincant liado ao concito d fluxo ntr riõ, ou volu, adjacnt. O fluxo d ua randza é a quantidad da randza qu atrava ua frontira co ára, por unidad d tpo. quantidad líquida d ua randza, qu atrava a frontira do volu d control VC por unidad d tpo, é calculada pla intração, obr a frontira, da difrnça ntr o fluxo qu ntra o qu a d VC. E fluxo pod r convctivo, dvido à vlocidad difuivo, cauado pla não uniforidad da ditribuição pacial d (FORTUN, 2). ara obtr- a quaçõ dicrta, utiliza- a quação d tranport dada por: t x i x i ( ) ( vi ) = Γ R xi (3.1) quação (3.1) é a quação d tranport para ua propridad calar da fa á = ou fa ólida =. O priiro tro da qurda rprnta a taxa d intrcâbio; o undo tro da qurda o priiro tro da dirita rprnta o fito d convcção difuão rpctivant o últio tro é o tro font R para a quantidad. E coanto ultifáico o tro font contabiliza a tranfrência d aa d quantidad d ovinto na intrfac. Intrando a quação (3.1) tro a tro obr u volu d control, rprntado na fiura 3.1, crvndo da qurda para a dirita, t-: Tro Tranint t VC old V [ ] t ( ) dv ( ) ( ) (3.2)

44 28 Tro Convctivo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b t t t n n n i VC i v v u u dv v x (3.3) E qu é a ára da ção tranvral do volu d control t, b ão o topo a ba, rpctivant, d ua fac da célula. Tro Difuivo b b t t n n VC i i z z y y x x dv x x Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ (3.4) Tro Font O tro font é ralnt não linar é priirant linarizado coo u: R R R (3.5) ara a tabilidad do qua nuérico, é ncial qu R (TNKR, 198). Então a intral do tro font obr u volu d control oriina: V R V R dv R VC (3.6)

45 29 Fiura 3.1 Volu d control ua alha unidinional Sundo Kaibara, Frrira Navarro (24), atualnt a rtriçõ TVD Total Variation Diinihin t dontrado rand utilidad na contrução d qua d dicrtização d ord lvada. O canio fundantal dt odlo é o uo da naturza diipativa da difrnciação d priira ord. Equa qu atifaça a rtriçõ TDV pou caractrítica atrativa, ua oluçõ ão b rolvida, livr d ocilaçõ convrnt. Et qua ua u liitador qu dliita o valor da propridad na fac do volu d control quando a variação local é onótona. Mai dtalh obr qua TVD pod r ncontrado Hartn (1984). Nt trabalho utiliza- o qua d dicrtização Suprb d Sby (1984) d unda ord, o qual é u qua TVD tá iplntado no MFIX, para obtr rultado d iulação para a hidrodinâica do coanto á-ólido u lito fluidizado borbulhant co jato cntral. Encontra- no pêndic B alua inforaçõ obr o arquivo a técnica d olução do MFIX. i, uando o étodo d volu finito técnica d dicrtização obté- a vrão dicrtizada da quação d tranport (3.1): ( ) ( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V R R z z y y x x v v u u V t b b B b t t T t S n N n W E b b B b b t t t T t S n n n N n W E óld Γ Γ Γ Γ Γ Γ = = (3.7) E W i - 1 i 1/2 i i 1 i 1/2 x x E x x

46 3 ond ( = 1 ) é u fator d convcção pondrado, calculado por convniência d proraação. qui dfin- a dnidad acrocópica coo: =. quação (3.7) pod r rarranjada d fora a obtr o uint ita d quaçõ linar para : a = a S (3.8) nb nb nb ond S é a contribuição da dicrtização do tro tranint a intral do tro font linarizado, o ubcrito nb rprnta a contribuição da fac E, W, N, S, T B da célula. 3.3 Solução nuérica para coanto á ólido Eta ção dcrv a olução nuérica para coanto ultifáico adotada plo códio MFIX. Ua xtnão do SIMLE Si Iplicit Mthod for rur-linkd Equation d atankar (198) é utilizada para a rolução da quaçõ dicrtizada. Vário ponto iportant prcia r dicutido quando alorito dnvolvido para coanto onofáico é tndido para rolvr a quaçõ d u coanto ultifáico. Spaldin (198) lita trê ponto a uir, o quai l claifica coo o priiro é óbvio, o undo u tanto no, o trciro pod paar r notado. i) Há ai capo d variávi, portanto ai quaçõ coparada co coanto onofáico. Ito daclra a coputação, a não torna o alorito ai coplxo. ii) prão aparc na trê quaçõ d quantidad d ovinto para coanto onofáico, a não há ua quação convnint para rolvr o capo d prão. O fundantal do alorito SIMLE é a ddução d ua quação para a prão a quação d corrção para a prão. corrção da prão propicia a corrção para o capo da vlocidad tal qu a quação da continuidad é atifita xatant (para a prcião da áquina). Não há ua única anira para a ddução d tal quação para coanto ultifáico, dd qu há ai d ua quação para a continuidad no coanto ultifáico. iii) quaçõ d quantidad d ovinto para o coanto ultifáico ão fortnt acoplada por io do tro d intrcâbio d quantidad d ovinto. Fazr t tro totalnt iplícito é ncial para o uco do

47 31 qua nuérico. Eta é a principal idéia no Iplicit Multifild Fild (IMF), técnica d Harlo dn (1975), qu ta iplntada no K-Fix (Kachina-Fully Iplicit Exchan) proraa d Rivard Torry (1977). No MFIX, a quaçõ d quantidad d ovinto ão rolvida todo o doínio coputacional. ara tornar o tro d intrcâbio totalnt iplícito toda a quaçõ para cada coponnt d vlocidad (tanto da fa á coo da fa ólida) dv r rolvida junta, o qu oriina ua atriz co trutura não padrão. Ua altrnativa ai barata é utilizar o alorito d liinação parcial (E artial Eliination lorith ) d Spaldin, 198 qu rá dicutido adiant. No coanto ranular ultifáico outro doi ponto crítico dtrina o uco do qua nuérico. U é o tratanto da riõ co alta concntraçõ d ólido (riõ próxia ao pacotanto). fração d volu d ólido varia d zro até u valor áxio torno d,6 na rião do pacotanto. O liit infrior é facilnt anipulávl pla forulação d quaçõ linar tai qu valor não-nativo da fração d volu ão calculado. rtrição da fração d volu d ólido no ou abaixo do valor áxio é ai difícil. foração da rião d pacotanto é análoa à condnação do vapor coprívl u líquido incoprívl. força d ração qu rit à copactação do io ranular rulta na prão do ólido, a qual dv r ditinuida da prão do fluido. Eta ituação foi tratada no odlo S 3, d ritchtt, Blak Gar (1978), IIT Illinoi Intitut of Tchnoloy, d Gidapo Etthadih (1983) pla introdução d ua quação d tado qu rlaciona a prão do ólido co a fração d volu do ólido. função da prão do ólido aproxia- do liit do pacotanto, ai rtarda a copactação do ólido. Et étodo prit ao io ranular r uavnt coprívl. O io ranular pod tabé r conidrado incoprívl coo foi fito por Syalal O`Brin (1988). O MFIX utiliza ua quação para a corrção da fração voluétrica d ólido. quação para a corrção da prão do ólido rqur qu não daparça quando. quação para a corrção da fração voluétrica d ólido não poui tal rtrição, a dv contabilizar o fito da prão do ólido tal qu a coputação ja tabilizada na rião d pacotanto. Ua unda qutão iportant é a dificuldad no cálculo do capo da variávi na intrfac na quai ua fração voluétrica tnd a zro. O capo d variávi aociado

48 32 a ua fa não tá dfinido na riõ ond a fração voluétrica é zro, ai pod aditir valor arbitrário. Entrtanto, u alorito coputacional não dv utilizar tal arbitraridad no conjunto d valor. O cálculo da coponnt da vlocidad tai intrfac é ai difícil do qu a quantidad calar dvido a linarização do tro convctivo não linar. E ua intrfac ond a fração voluétrica da fa tá próxia d zro a coponnt noral da vlocidad torna- uito rand. Dd qu o produto da fração voluétrica da fa da coponnt da vlocidad é ainda próxio d zro, o rro na conrvação d quantidad d ovinto é nlinciávl. Entrtanto, valor lvado da vlocidad da fa rapidant dtabiliza o cálculo, o étodo é ncário para prvnir tai dtabilizaçõ. O MFIX utiliza u cálculo aproxiado da vlocidad noral na intrfac (dfinido por u pquno valor inicial para a fração voluétrica da fa). Ecoanto á-ólido ão inrntnt intávi. Cálculo no tado távl ão poívi ont para pouco cao, tai coo tranport pnuático (diluído) d ólido. ara a aioria do coanto á-ólido, ua iulação tranint é conduzida o rultado ão édio-tporai. Siulaçõ tranint divr, rand aplitud para o pao tporal é aditida. ao tporai co aplitud uito pquna torna a coputação uito lnta. O MFIX ajuta autoaticant a aplitud do pao, dntro d liit pcificado plo uuário, para rduzir o tpo d procanto Equação d Quantidad d Movinto dicrtização da quaçõ d quantidad d ovinto é lhant àqula d tranport calar, xcto qu o volu d control ão dlocado. D acordo co atankar (198), a coponnt d vlocidad prão ão araznada nua a localização da alha, valor irrai para prão pod aparcr. Ua alha dlocada é uada para prvnir tai capo d prão não fíico. Coo otrado na fiura 3.2, o volu d control calar é dlocado. Na dirção x dcola- ia célula para lt, da a fora na dirção y dloca- ia célula para nort na dirção z dloca- ia célula para o topo.

49 33 NW N i 1/2 i i 1/2 i 1 i 3/2 W p E S NE Fiura 3.2 Volu d control dlocado unidinional Equação d Quantidad d Movinto dicrta ara calcular a convcção na variação da quantidad d ovinto, a coponnt da vlocidad ão rqurida na poiçõ E, W, N S. Ela ão calculada a partir do valor vizinho, por io d ua édia aritética: ( u ) E f E ( u ) p ( f E )( u ) = 1 (3.9) ( v ) N f p ( v ) NW ( f p )( v ) NE = 1 (3.1) O valor da fração voluétrica rqurida no cntro da célula p é calculado d anira lhant: ( α ) p f p ( α ) W ( f p )( α ) E qu = 1 (3.11) f E x = (3.12) x x p f p xe = (3.13) x x W E ora a coponnt x da quação da quantidad d ovinto pod r crita coo: a p ( u ) a ( u ) b ( ) ( ) ( ) ( ) Fl ( ul u ) V p = nb nb p p α p E W nb l p (3.14)

50 34 quação (3.14) é lhant à quação d tranport calar dicrtizada, xcto plo doi últio tro: o tro do radint d prão é dtrinado baado no valor corrnt d é adicionado ao tro font da quação linar. O tro d tranfrência na intrfac acopla toda a quaçõ para a a coponnt (x, y ou z). O procdinto para dacoplar a quaçõ rá dicutido adiant. dfinição do tro rtant na quação (3.14) é dada na dz rlaçõ uint: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) E E p x l u p l nb u p nb p B B b B B b T T t T T t S S S S N N n N N n W W W W E E E E x D V t a S V V R u V R u a b S V R V R a a a D a D a v D a v D a u D a u D a = = = = = = = = = = µ α α α α α α α α ; ; ; ; ; ; ; ; (3.15) Na quaçõ aprntada (3.15) a dfinição do duplo colcht é dada por: [ ] [ ] > =,, R R R R Condiçõ d contorno Na iulação d u coanto á-ólido bidinional, utilizou- para a fa aoa a hipót d plna adrência na pard, ou ja, condição d não dlizanto. No cao da fa ólida o tablcinto da condiçõ d contorno na pard é ai coplicado dvido à dificuldad da caractrização da intração da partícula co a pard. condiçõ d contorno na pard, iplntada no MFIX para a olução da quação linar ão dada a uir. coponnt da vlocidad na dirção y na pard lt é

51 35 utilizada coo xplo, fiura 3.3. iplntação para a outra coponnt localizaçõ é análoa. 1. Dlizanto Livr na pard ( i, j 1 2, k) v ( i 1, j 1 2, k) = v (3.16) 2. lna drência na pard ( i, j 1 2, k) v ( i 1, j 1 2, k) = v (3.17) 3. Dlizanto arcial na pard v h v v v n ( ) = (3.18) ond n dnota a difrnciação ao lono da dirção noral (xtrior). i-1 i i-1 i Dlizanto lna drência Livr Fiura 3.3 Condição d dlizanto livr plna adrência na pard lt fora dicrta da quação (3.18), por xplo, na fac lt é: h 1 h 1 v = x E x 2 2 E ( i, j 1 2, k) v v ( ) v i 1, j 1 2, k hvv (3.19) quação (3.19) é ua condição d dlizanto nralizada, qu pod dcrvr a condição d não dlizanto (, v = ) dlizanto parcial (, v ) v h, dlizanto livr ( = ) v h. h ua condição d v

52 Eliinação parcial do acoplanto na intrfac prnça d tro d tranfrência na intrfac é ua caractrítica qu ditinu a quaçõ do coanto ultifáico da quaçõ do coanto onofáico. Noralnt, o tro d tranfrência na intrfac acopla fortnt a coponnt d vlocidad tpratura cada fa co a variávi corrpondnt da outra fa. O dacoplanto da quaçõ por io do cálculo do tro d tranfrência na intrfac a partir do valor da itração antrior tornará a itraçõ intávi ou forçará pao tporai pquno. No outro xtro, a olução d toda a quaçõ dicrta para ua crta coponnt lvará a ua atriz não padrão d ord lvada. Ua altrnativa ftiva qu anté u alto rau d acoplanto ntr a quaçõ nquanto fornc ua atriz ptadiaonal padrão é o alorito d liinação parcial d Spaldin (198). O alorito é ilutrado co a uint quação odlo: t i xi x i M l l l x (3.2) i l= ( ) v = Γ R R F ( ) (Not qu F = F = ). Et últio tro da quação (3.2) é o tro qu acopla l F l a quaçõ. quação corrpondnt dicrta é: ( a ) ( ) = ( a ) ( ) b V Fl[ ( ) ( ) ] nb nb nb M l= l (3.21) a qual é lhant fora à quação dicrta da quantidad d ovinto. riirant, dicuti- o probla co u dacoplanto dirto da quaçõ. or xplo, conidr o cao do fluxo d dua fa (M = 1): [ ] ( ) ( ) ( a ) ( ) b VF ( ) ( ) a = nb nb 1 1 (3.22) nb [ ] ( ) ( ) ( a ) ( ) b VF ( ) ( ) a1 1 = 1 nb 1 nb (3.23) nb Quando 1 F a dua quaçõ tão dacoplada a olução para ( ), por xplo, é:

53 37 ( ) ( a ) nb( ) nb nb = (3.24) ( a ) b Quando F 1 a quaçõ tão fortnt acoplada a oluçõ ão: ( ) = ( ) ( a ) ( ) b ( a ) ( ) nb nb 1 nb 1 nb b1 nb 1 = ( a ) ( a1 ) (3.25) U qua itrativo qu trata o tro d tranfrência na intrfac rant coo u tro font forncrá a olução corrta para valor pquno d F 1, a falhará no cao qu F 1. ortanto, para tal aproxiação, a aplitud do pao tporal dv r toada uficintnt pquna tal qu o valor d F1 ja pquno coparação ao valor d b b 1. ara obtr a convrência nquanto utiliza- rand aplitud para o pao tporal, o qua itrativo dv r projtado tal qu l poa calcular a dua oluçõ liitada acia. or ta razão, Spaldin (198) ur o uint alorito d liinação parcial: Rolv- para ( ) 1 da quação (3.23) para obtr: ( ) 1 = nb ( a ) ( ) b VF ( ) 1 nb 1 nb 1 ( a1 ) VF1 1 (3.26) Subtitui na quação (3.22) para obtr-: ( a ) ( a ) ( a1 ) ( a ) VF1 1 VF1 VF1 1 VF1 nb ( ) = ( a ) ( ) ( a ) ( ) 1 nb p nb 1 nb b1 nb nb b (3.27) outra fa: U procdinto lhant pod r utilizado para a ddução da quação para a

54 38 ( a ) 1 ( a ) ( a ) ( a ) VF1 VF1 VF1 VF1 nb ( ) = ( a ) ( ) ( a ) ( ) 1 nb p nb 1 nb nb b 1 nb b1 (3.28) O conjunto d quaçõ linar para 1 ão dacoplado por io do tratanto do últio tro na quaçõ (3.27) (3.28) coo tro font avaliado co ( ( 1) nb da itração antrior. Quando F ou F, pod- rcorrr ao liitant da 1 oluçõ da quaçõ acia. ortanto, a xpctativa é qu u qua itrativo baado na quação antrior convirja para todo o valor d F 1. 1 ) nb Equação para a corrção da prão do fluido U pao iportant é a ddução da quação dicrta para a prão do fluido, a qual rá dcrita nta ção Forulação coponnt x para a quação da quantidad d ovinto dicrta para dua fa, por xplo, é: ( ) ( u ) a ( u ) b ( ) ( ) ( ) a = nb nb nb F1 [( u1 ) ( u ) ] V ( u ) a ( u ) b ( ) ( ) ( ) a1 1 = 1nb 1 nb 1 1 nb F1 [( u ) ( u1 ) ] V ( ) E ( ) W ( ) E W ( ) E W (3.29) (3.3) ond dnota a fa fluido = ( 1 ) é a prão do ólido. Coo tablcido na ção 3.3, priiro rolv- a quaçõ (3.29) (3.3) utilizando o capo d prão o capo da fração d vazio da itração antrior para calcular ua tntativa do capo d vlocidad u, u 1 outra coponnt da vlocidad.

55 39 F1 ( u ) = anb ( u ) nb b ( ) ( ) ( ) ) E W nb [( u1 ) ( u ) ] V a a1 F1 ( u1 ) = a1nb ( u1 ) nb b1 ( 1 ) ( ) ( ) ) E W nb [( u ) ( u1 ) ] V ( ) ( ) ) E W (3.31) (3.32) O valor rai difr da tntativa (valor trla) pla uint corrçõ: ( ) ( ) ( ) E E E = ; ( ) ( ) ( E E ) E = ; ( ) ( ) ( u u u ) = ; (3.33) ( ) ( ) ( u1 = u1 u1 ) para a outra coponnt da vlocidad a fórula ão iilar. Subtitu- a corrçõ (quaçõ (3.33)) na quaçõ (3.29) (3.3), da quação rultant ubtra- a quaçõ (3.31) (3.32) para obtr-: F1 ( u ) = anb ( u ) nb ( ) ( ) ( ) ) E W nb [( u1 ) ( u ) ] V a a1 F1 ( u1 ) = a1nb ( u1 ) nb ( 1 ) ( ) ( ) ) E W nb [( u ) ( u1 ) ] V ( ) ( ) ) E W (3.34) (3.35) ara dnvolvr ua quação aproxiada para a corrção da prão do fluido, oitira- o tro d convcção prão do ólido da quação d quantidad d ovinto, obtndo-: ( u ) = ( ) ( ) ( ) ) F [( u ) ( u ) ] V a 1 1 (3.36) E W

56 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] V u u F u a W E = (3.37) Not qu a iplificaçõ não aftaria a prcião da olução convrida, ntrtanto, pod aftar a taxa d convrência da itraçõ. Da quação (3.37), obté-: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V u F u V F a W E = (3.38) Subtituindo na quação (3.36), t-: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V u F a u F F u a W E W E = (3.39) Iolando ( ) u, obté-: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W E V F a V F u V F a Va F a = (3.4) qu pod- rcrvr coo: ( ) ( ) ( ) ( ) W E d u = (3.41) ond ( ) ( ) = V F a Va F a V F a V F d (3.42) Slhantnt, ( ) ( ) ( ) ( ) W E d u 1 1 = (3.43) ond

57 41 ( ) ( ) = V F a Va F a V F a V F d (3.44) Loo a corrçõ para a vlocidad ão dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W E d u u = (3.45) Subtituindo a quação (3.45) quaçõ lhant para a dai coponnt da vlocidad na quação da continuidad na ua fora dicrta, (tal quação é a quação d tranport dicrta para = 1, dtalh d ua ddução pod r ncontrado Syalal (1998)) para a fa fluido, obté- ua quação para a corrção da prão. ( ) ( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) = = l l b B b b B b b t T t t t T t S S n N n n n N n W W E E R V d d d v d v d u d u V t (3.46) ond =1. quação (3.46) pod r crita na fora padrão: ( ) ( ) = nb nb nb b a a (3.47) ond

58 42 ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ; ; ; ; ; ; b b B b b B t t t T t T S S n n n N n N W W E E d a d a d a d a d a d a = = = = = = (3.48) B T N W E a a a a a a a = (3.49) ( ) ( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) = l l b b B b b t t t T t S n n n N n W E R V v v u u V t b (3.5) pó rolvr a quação (3.47) para a corrção da prão do fluido, a vlocidad do fluido do ólido ão corriida. Not qu quando ua tntativa para o capo d vlocidad do fluido atifaz a quação da continuidad, a corrção para a prão vai à zro. lé d qu o capo d vlocidad corriida para o fluido é tal qu atifaz a quação da continuidad Condiçõ d contorno condiçõ d contorno para a quaçõ d corrção da prão na frontira d ntrada aída d fluxo ão forulada coo u. fiura 3.4 ilutra a célula fictícia a adjacnt para abo o cao. célula fictícia tão obrada. Nnhua quação

59 43 para a corrção da prão é diponívl na célula. quação para a corrção da prão para a célula intrna adjacnt é odificada coo u, plo uo da inforação da condiçõ d contorno. Vlocidad Epcificada ara a condição d ntrada ilutrada na fiura 3.4, a ubtituição da vlocidad pcificada na quação (3.46), rulta : a = ; a = ae aw an at ab not qu ( ) v no tro b (quação (3.5)) é o o qu ( ) (3.51) v pcificado na frontira d ntrada. dai frontira d ntrada ão tratada d anira análoa. condição d contorno na pard iprávi é lhant àqula da frontira d ntrada, dd qu a vlocidad noral (à pard) é pcificada coo zro. rão Epcificada Quando a prão é pcificada nua célula, a prão corriida naqula célula é zro, para a condição ilutrada na fiura 3.4, t-: ( ) = (3.52) n v Vlocidad pcificada rão pcificada Fiura 3.4 Condiçõ d contorno para o fluxo

60 Equação para corrção da fração voluétrica do ólido O uco da técnica nuérica dpnd criticant da ua capacidad para lidar co o pacotanto do ólido. No cálculo do MFIX liit ão tabilizado incluindo o fito d prão do ólido na dicrtização da quação d continuidad da fa ólida. Ito é ralizado drivando ua quação d corrção para a fração voluétrica d ólido, coo dcrito nta ção Tro convctivo ara t étodo ncita- d ua quação d tado qu rlacion a prão do ólido co a fração voluétrica d ólido. ( ) = (3.53) dfin- K = (3.54) Então, ua pquna variação na prão do ólido pod r calculada função d ua variação na fração voluétrica do ólido. = K (3.55) Confor dicutido antriornt, intrando u tro convctivo u volu d control obté-, por xplo: ( u ) dv = ( u ) ( u ) x (3.56) VC i, prcia- dnvolvr fórula para cálculo d fluxo coo ( u ).

61 45 Dnota- a vlocidad do ólido obtida d ua tntativa para o capo d prão fração voluétrica do ólido por ( u. Et é o capo d vlocidad do ólido. vlocidad ) ral do ólido pod r rprntada por: ( u ) ( u ) ( u ) = (3.57) ond a corrção ( u é dada pla corrção no capo d prão do ólido: ) ( u ) ( ) ( ) ) = (3.58) iilarnt a ção antrior. ora, ubtituindo ( ) ( u ) [( K ) ( ) ( K ) ( ) ] E da quação (3.55) (3.58), obté-: = (3.59) E E lé dio, a fraçõ d volu pod r xpra coo ua oa do valor atuai acrcido d ua corrção. ( ) ( ) ( ) = (3.6) Multiplicando a quaçõ (3.57) (3.6) ubtituindo a quação (3.59), obté-: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u u ( u ) ( ) ( u ) ( ) ( u ) ( ) [( K ) ( ) ( K ) ( ) ] E E (3.61) ond inorou- o produto da corrçõ. Rlbrando qu o valor da fac d ua célula pod r crito função do valor do cntro da célula uando fator convctivo, t-: ( ) ( ) ( ) = E (3.62) ora o fluxo ( u ) pod r crito coo: ( é contant no Mfix).

62 46 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] E E E K K u u u " (3.63) Rcrvndo, t-: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) E E K u K u u u (3.64) Tro tranint Intrando o tro tranint no volu d control, t-: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] V t t V V t V t dv t VC = = = (3.65) Tro d ração O tro d ração é anipulado lvando- conta a dfinição da função d duplo colcht d Syalal (1998). [ ] [ ] > =,, R R R R (3.66) Da dfinição acia u qu: [ ] [ ] [ ] [ ] R R R = (3.67) i, intrando- l R no volu d control:

63 47 VC RldV = V = V = V = V Rl = V R l R l Rl R l R l ( ) ( ) R l ( ) ( ) R l ( ) ( ) ( ) R R l l ( ) ( ) ( ) R l V ( ) = V R l (3.68) Equação d corrção Juntando todo o tro antrior, a quação para corrção da fração voluétrica d ólido pod r crita coo: ( ) = anb ( ) b a nb nb (3.69) ae aw an as at [( ) ( K ) ( ) ( u ) ] = (3.7) E [( ) ( K ) ( ) ( u ) ] W E W = (3.71) [( ) n ( K ) n ( ) ( v ) ] n n N N n = (3.72) [( ) ( K ) ( ) ( v ) ] = (3.73) S [( ) t ( K ) t ( ) ( ) ] t t T T S = (3.74) t ab [( ) b ( K ) b ( ) ( ) ] b = (3.75) b B B b

64 48 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) l b b b t t t n n n b b b t t t n n n V R t V K v v u u a = (3.76) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] = l b b b t t t n n n R V t V v v u u b (3.77) Dpoi d calcular a corrção da fração voluétrica do ólido pla quação (3.69), a vlocidad do ólido (quaçõ ) a fração voluétrica do ólido (quação 3.6) ão corriida. Suarizando o procdinto d cálculo para coanto á ólido aprnta- o alorito 3.1 qu ilutra o pao da olução nuérica, nvolvndo a quaçõ d corrção dcrita no dcorrr do capítulo. lorito 1. Início do pao tporal. Cálculo da propridad fíica, coficint d intrcâbio taxa d ração. 2. Cálculo do capo d vlocidad baado no capo d prão atual:,, v u. (quaçõ (3.9) (3.1)) 3. Cálculo da corrção da prão do fluido. (quação (3.47))

65 49 4. tualização do capo d prão do fluido aplicando ua ob rlaxação: = ϖ p. Calcula a vlocidad d corrção d atualiza o capo d vlocidad: u = u u, para = até M. (ara a fa ólida, u calculado nt pao é dnotado coo 6). u no pao 5. Cálculo do radint para utilizar na quação d corrção da fração voluétrica do ólido. Calcula a corrção da fração voluétrica do ólido. (quação (3.69)) 6. tualização da fração voluétrica do ólido ( no Mfix): p = ϖ. Sob rlaxação ont na riõ ond < cp > ; ito é, ond o ólido tá dnant pacotado a fração voluétrica d ólido tá auntando. Calcula- a corrção da vlocidad para a fa ólida atualiza o capo d vlocidad da fa ólida: u = u u. (para = 1 até M). = 7. Calcula- a fração d vazio: v. ( v é uualnt iual a 1). 8. Cálculo da prão do ólido a partir da quação d tado ( ) =. 9. Cálculo da tpratura péci. 1. Utiliza- o ríduo noralizado calculado no pao 2, 3, 5 9 para chcar a convrência. S o critério d convrência não é atifito continua a itraçõ (pao 2), não incrnta- o pao tporal. (pao 1).

66 Capítulo 4 RESULTDOS 4.1 Introdução Nt capítulo aprnta- o rultado d iulação nuérica do coanto hidrodinâico á-ólido u lito fluidizado borbulhant conidrando o procdinto baado na toria cinética do coanto ranular TCEG para o cálculo do tnor da tnõ da fa ólida. tpratura ranular foi calculada d dua fora: atravé d ua quação difrncial parcial ou atravé d ua xprão alébrica. Conidrou- o odlo d dicrtização Suprb para abo o cao, dvido t r d alta ord produzir rultado fíico cornt na fora da bolha, undo Gunthr Syalal (21). iulaçõ fora ralizada u códio coputacional abrto crito na linua d proraação Fortran. E códio é dnoinado MFIX (Multipha Flo ith Intrpha Xchan) tá contant dnvolvinto plo Dpartanto d Enria NETL (National Enry Tchnoloy Laboratory). Dtalh obr a toria pod r ncontrado Syalal, Ror O Brin (1993). O códio dcrv a hidrodinâica, tranfrência d calor raçõ quíica ita fluido-ólido. El t ido uado, para iular LFC LFB. O cálculo ralizado no MFIX fornc dado tranint co ditribuiçõ tridinionai d prão, vlocidad, tpratura, fraçõ d aa para péci. vrão atual do códio baia na forulação Eulriana-Eulriana para odlar a fa aoa ólida, rpctivant. O uo do códio prit ttar divro apcto, dd nuérico, coo fito do qua d dicrtização da quaçõ, tabé parâtro fíico, coo o uo d rlaçõ contitutiva. O códio prit a fora d procanto qüncial parallo. ara o dnvolvinto do trabalho utilizou- u coputador ntiu IV co procador d 2,66 GHz 512MB d ória RM Rando cc Mory. Utilizou coo platafora para o códio MFIX o ita opracional LINUX, qu é ratuito rido pla nora d oftar livr, na vrão OpnSu 1.3, alé do copilador Fortran- Intl na vrão acadêica para a linua d proraação Fortran, ditribuído ratuitant pla INTEL (.intl.co).

67 51 Na çõ 4.2, rão aprntada coparaçõ ntr o rultado da iulaçõ nuérica, para a uint variávi: fração voluétrica do á, vlocidad axial d aba a fa do coanto tpratura ranular. Na ção 4.2 copara- o rultado obtido pla aplicação da TCEG co a tpratura ranular odlada atravé d ua quação alébrica, d ua ED co condição d contorno d dlizanto parcial na pard d ua ED co condição d contorno d não dlizanto na pard. Na çõ analia- o fito da variação do diâtro da partícula. ara io na çõ aprnta- ráfico para partícula co diâtro d p = 125µ. E ráfico ão coparado co o obtido na ção 4.2 para partícula co diâtro d p = 5µ. D acordo co a claificação d Gldart (1973) a partícula co diâtro d p = 5µ prtnc ao rupo B a partícula co diâtro d p = 125µ prtnc ao rupo /B. Na iulaçõ da ção 4.3 utilizou a TCEG co a tpratura ranular odlada atravé d ua quação alébrica, nquanto na ção 4.4 odlada atravé d ua ED. fiura 4.1 aprnta a otria bi-dinional do lito fluidizado co jato d ar cntralizado, prado na iulaçõ dnvolvida. Conidrou- o ita cartiano d coordnada. dinão do lito é d,3937 d larura por,5844 d altura. Inicialnt o ar ntra pla ba do lito co vlocidad d,234 / a fi d antê-lo u tado d ínia fluidização. pó,13 d iulação, a vlocidad do ar no jato, cntralizado na ba do lito, aunta para 5,2 / ocorrndo ntão a foração d bolha. Tai parâtro fíico fora adotado d Gidapo (1994). Outra inforaçõ condiçõ iniciai d contorno ão pcificada na fiura. ara a condiçõ d contorno na pard, auiu- a condição d não dlizanto para a fa á, ou ja, vlocidad nula. ara a fa ólida utilizou- a condição d não dlizanto na pard quando rolv a tpratura ranular albricant na TCEG. Quando o coputo da tpratura ranular é fito atravé d ua ED ralizou- dua iulaçõ, variando a condiçõ d contorno na pard, na priira utilizou- o odlo padrão do MFIX propoto por Johnon Jackon (1987) na unda utilizou- a condição d não dlizanto na pard, aba a condiçõ aprntada na tabla 4.1. Na dirção noral conidrou- vlocidad nula. ara a prão fração d ólido na pard conidrou- dlizanto livr, ou ja, radint nulo na dirção noral à pard.

68 52 Ára Livr Condiçõ iniciai No lito: =,44 v =,5318 / Na ára livr: = 1 v f =,234 /,2922 Lito Condiçõ d contorno No jato cntral: = 1 v = 5,2 / À qurda à dirita do jato: = 1 v =,234 / Fiura 4.1 Gotria condiçõ iniciai d contorno uada na iulaçõ Tabla 4.1 Condiçõ d contorno na pard para a fa ólida Condição d dlizanto parcial na pard, Johnon Jackon (1987) 1 n r π. τ. 2 t θ vl 2 3 ax = 3 2 ( 1 ) 2 r r π π 3 n. q = θ vl θ 6 ax 4 ax vl = v v Condição d não dlizanto na pard v = tabla 4.2 rtoa a quaçõ, prada no coanto á-ólido, qu fora dicrtizada para a ralização da iulação.

69 53 Tabla 4.2 Modlo hidrodinâico uado na iulaçõ 1. Equação da continuidad, fa ( =, ) ( ) r ( v ) = t 2. Equação da Quantidad d Movinto, Modlo Fa aoa: r r r r r r ( v ) ( vv ) = σ f t Fa ólida: r r r r r r r ( v ) ( vv ) = σ σ f t 3. Tnor da Tnõ Fa aoa: v r T v v 3 r σ = µ v 2 Fa ólida: ( ) I I p p I τ, σ = v v I τ, > (vr forulação coplta no capítulo 2, ua- ua xprão alébrica ou rolv- ua ED para o cálculo da tpratura ranular) 4. Dfinição da Fração Voluétrica =1 5. Equação d tado (fa aoa coo á idal) p = RT 6. Função d rrato na Intrfac r r 3 C v D v β = 4 2 V d, ond: p r (,63 4,8 R ) 2 C D = V r, r r v v d p R =, µ 2 2 Vr =,5,6 R (,6 R ),12 R (2B ), 4,14 =, 1,28.8 B = 2,65,85 >,85

70 54 tabla 4.3 aprnta o parâtro uado no MFIX para iulação. Tabla 4.3 arâtro do MFIX Dado da Siulação Diâtro da partícula d p = 5µ (Grupo B) d p = 125µ (Grupo /B) Dnidad do ólido = 2.66 k/ 3 Dnidad do á = 1,2 k/ 3 Vicoidad do á µ = 1,8x1-5 a. Coficint d rtituição =,8 Ânulo d atrito intrno = 3º Fração d vazio para ínia fluidização f =,42 Condiçõ coputacionai Malha (124x18) nó Tpo ral d cálculo δx =,3175, δy =,541 t = Coparação do rultado d iulação obtido pla TCEG alébrica TCEG co o odlo d ua ED para o coputo da tpratura ranular O corrto ntndinto a prvião do coportanto d bolha lito fluidizado é ua qutão fundantal, poi ta ão rponávi por uita propridad do lito fluidizado. Epcificant, o proco d tranfrência d calor aa ão ravnt aftado pla foração propaação d bolha d á (KUIERS t al., 1993). Sundo Gidapo (1994) a odla d fluidização co jato cntral é vantajoa, poi tablc u fluxo padrão. Nt trabalho fora fita análi conidrando- o qua nuérico Suprb, pod- obrvar a corência fíica na fora da bolha, tanto na iulaçõ da TCEG alébrica (aqui dnoinada TCEG_al.) quanto da TCEG co ED (aqui dnoinada TCEG_dp_JJ para a condição d contorno d Johnon Jackon (1987) TCEG_dp_n

71 55 para a condição d não dlizanto na pard), para partícula co diâtro d p = 5µ. ara coparaçõ co dado xprintai pod- uar Gidapo (1994) Kuipr t al. (1993). Exit ua rand difrnça no tpo d xcução ntr a iulaçõ ond rolv a tpratura ranular albricant ou atravé d ED. iulação co a TCEG alébrica foi ralizada aproxiadant 27 hora, nquanto a TCEG_dp_JJ a TCEG_dp_n lvara aproxiadant hora, rpctivant. Ito ocorr, poi nquanto na TCEG alébrica rolv ua quação xplícita para o coputo da tpratura ranular, na TCEG_dp acrcnta- ao ita quaçõ ua ED rfrnt a tpratura ranular. fiura copara o prfi da bolha ntr a TCEG_al., a TCEG_dp_JJ a TCEG_dp_n no tpo t =,36 t =,79, rpctivant, d iulação nuérica. Na fiura ão plotado a fraçõ d vazio. Ralta- qu nt capítulo, ond aparc fiura rprntando fraçõ d vazio tpratura ranular, o ixo da abcia rprnta a larura do lito, ai coo o ixo da ordnada rprnta a altura do lito. Qualitativant, obrvado na fiura 4.2, a fora da bolha no tpo t =,36 ão lhant na trê iulaçõ. Co a volução do tpo d iulação, coo pod r vito na fiura 4.3 qu rprnta o tpo d,79, vê- qu xit ua aior proxiidad ntr a TCEG_al. a TCEG_dp_n.

72 56 (a) (b) (c) Fiura 4.2 Fração d vazio no tpo t =,36 na iulação co: a) TCEG_al., b) TCEG_dp_JJ c) TCEG_dp_n Na fiura 4.3, aprnta- o prfil da bolha tourando no tpo t =,79, nota- qu a iulação co a TCEG_dp_JJ rprntou lhor o apcto fíico da bolha dvido capturar ua não itria ua fora. Eta não itria é cauada pla quda d partícula ólida atravé do topo da bolha. Tai intabilidad, alé d cauar irrularidad no prfil da bolha, pod aftar inificativant a dinâica do lito.

73 57 (a) (b) (c) Fiura 4.3 Fração d vazio no tpo t =,79 na iulação co: a) TCEG_al., b) TCEG_dp_JJ c) TCEG_dp_n Fnôno lhant pod r vito na iulaçõ d Gunthr Syalal (21) no xprinto d Kuipr t al. (1993), confor fiura , rpctivant. Na iulaçõ d Gunthr Syalal (21) a dinõ do lito utilizado, a condiçõ d contorno iniciai dai parâtro d iulaçõ fora iuai à aprntada nt trabalho. fiura 4.4 (a) aprnta a ditribuição da vlocidad do á ao rdor d ua bolha iolada a fiura 4.4 (b) o fluxo d aa da fa aoa na uprfíci da bolha, aba fiura rprnta o tpo t =,59 d iulação. Obrva- qu a não itria ncionada antriornt tá prnt nta fiura.

74 58 (a) (b) Fiura 4.4 Bolha iulada por Gunthr Syalal (21): a) ditribuição da vlocidad do á ao rdor d ua bolha iolada b) fluxo d aa da fa aoa na uprfíci da bolha No xprinto d Kuipr t al. (1993), cujo lito aprnta dinõ d,57 d larura por,5 d altura, a vlocidad d injção do á no jato cntral é uprior ao aprntado nt trabalho, chando a 1/. fiura 4.5 (a) 4.5 (b) rprnta a bolha no tpo t =,46 t =,56, rpctivant. lo fato da vlocidad do jato r uprior, nota- qu nta fiura a bolha cha à uprfíci tpo infrior coparado ao tpo aprntado na iulaçõ dt trabalho. Ma a aitria da bolha prit, confirando o rultado d iulação aprntado antriornt. (a) (b) Fiura 4.5 Bolha xprintai d Kuipr t al. (1993): a) bolha no tpo t =,46 b) bolha no tpo t =,56

75 59 fiura 4.6 copara o prfi da bolha ntr a TCEG_al., a TCEG_dp_JJ a TCEG_dp_n no tpo d iulação t = 1. Obrva- qu a uprfíci do lito t coportanto lhant na iulaçõ da TCEG_al. da TCEG_dp_n. Nota- qu o rultado da TCEG_dp_JJ aprnta aior intabilidad na uprfíci do lito. Io dv a aitria na fora da bolha. i, o odlo da TCEG_dp_JJ prit captar lhor o coportanto fíico do lito. Salinta- qu o proco d foração d bolha no lito é ua da principai caua d intabilidad do coanto lito borbulhant. (a) (b) (c) Fiura 4.6 Fração d vazio no tpo t = 1, na iulação co: a) TCEG_al., b) TCEG_dp_JJ c) TCEG_dp_n

76 6 Na fiura 4.7, ão ilutrado o ráfico para a vlocidad édia no tpo da fa ólida aoa trê altura do lito,,5,,15,29, rpctivant. Na fiura ão coparado o prfi axiai d vlocidad para a trê iulaçõ: TCEG_al; TCEG_dp_JJ TCEG_dp_n. Nota- na fiura 4.7, qu o ráfico da vlocidad do ólido da vlocidad do á u o o prfil, io dvido à força d arrato r a única força d intração ntr a fa, o prfil d vlocidad do particulado é induzido pla força d arrato xrcida plo á obr a partícula. Nta fiura contata- qu a vlocidad do á alcança valor uprior à vlocidad da partícula, o qu tá cornt fiicant dvido à fa ólida r ai dna do qu a fa aoa. Na ba do lito, vito na fiura 4.7 o ráfico da TCEG_al., TCEG_dp_JJ TCEG_dp_n coincid para aba a fa do coanto. Confor a altura aunta, obrva- na fiura qu o prfi da vlocidad do á do ólido ão aproxiadant lhant no cao do odlo da TCEG_al da TCEG_dp_n, difrindo do odlo da TCEG_dp_JJ. TCEG_al. TCEG_dp_JJ TCEG_dp_n TCEG_al. TCEG_dp_JJ TCEG_dp_n v [/] V [/] oição na larura do lito [] (a) oição na larura do lito [] (b) Fiura 4.7 rfi da vlocidad axial édia no tpo co altura,5 tro acia da ntrada do lito conidrando o odlo TCEG_al., TCEG_dp_JJ TCEG_dp_n. a) vlocidad do ólido b) vlocidad do á

77 61 TCEG_al. TCEG_dp_JJ TCEG_dp_n TCEG_al. TCEG_dp_JJ TCEG_dp_n v [/] V [/] oição na larura do lito [] (a) oição na larura do lito [] (b) Fiura 4.8 rfi da vlocidad axial édia no tpo co altura,15 tro acia da ntrada do lito conidrando o odlo TCEG_al., TCEG_dp_JJ TCEG_dp_n. a) vlocidad do ólido b) vlocidad do á TCEG_al. TCEG_dp_JJ TCEG_dp_n TCEG_al. TCEG_dp_JJ TCEG_dp_n v [/] V [/] oição na larura do lito [] (a) oição na larura do lito [] (b) Fiura 4.9 rfi da vlocidad axial édia no tpo co altura,29 tro acia da ntrada do lito conidrando o odlo TCEG_al., TCEG_dp_JJ TCEG_dp_n. a) vlocidad do ólido b) vlocidad do á

78 62 Na fiura obrva- qu o áxio da vlocidad acontc ond ncontra o jato. fiura 4.9 anté coportanto para o cao da TCEG_dp_JJ, o qu não é vidnciado, nta fiura, para o cao da TCEG_al. da TCEG_dp_n. Na fiura 4.9 nota- qu o odlo d ED co condição d Johnon Jackon (1987) (TCEG_dp_JJ) tabé aprntou u ráfico não iétrico para a vlocidad édia do á do ólido, captando ai a aitria na fora da bolha confor vito na fiura 4.3 (b). O prfil d vlocidad aprntado no ráfico da fiura 4.7, 4.8, 4.9, no cao da TCEG_dp_JJ, ur qu a prnça d bolha induz ua circulação lobal do atrial do lito, a partícula ão lvada plo jato d á dpoi coça a prdr ovinto dvido ao atrito. Outra variávl iportant a r analiada é a tpratura ranular θ. aior difrnça no uo da quação iplificada da TCEG alébrica rlação à TCEG co rolução d ua ED é qu na priira a nria ranular é diipada localnt tado tacionário, ndo o proco d convcção difuão dprzívi. Eta aproxiação é válida ont ob a hipót qu a fração voluétrica da fa ólida antnha- lvada a vlocidad do ólido antnha- rlativant baixa (VN WCHEN t al., 1998). Et é u ri típico do LFB`. Na iulaçõ ralizada co a TCEG_al. aparcra, poradicant, valor uito alto para a tpratura ranular na riõ próxia ao jato, tai valor ra dtoant co aqul ncontrado litratura, portanto para a plota do ráfico valor fora dconidrado, já qu não aftaria o prfil da fiura. Na riõ dna do lito, co alta concntração d particulado, taxa lvada d colião ntr partícula caua fort diipação d nria flutuant a tpratura ranular atin o liit ínio. O liit áxio da tpratura ranular é atinido na rião borbulhant prto da injção do á, ond a fort aclração ra nria flutuant (BOEMER, QI RENZ, 1997). Eta afiração tá d acordo co o rultado ncontrado na fiura 4.1,

79 63 (a) (b) (c) Fiura 4.1 rfi da tpratura ranular no tpo t =,36 na iulação co: a) TCEG_al., b) TCEG_dp_JJ c) TCEG_dp_n

80 64 (a) (b) (c) Fiura 4.11 rfi da tpratura ranular no tpo t =,79 na iulação co: a) TCEG_al., b) TCEG_dp_JJ c) TCEG_dp_n

81 65 (a) (b) (c) Fiura 4.12 rfi da tpratura ranular no tpo t = 1, na iulação co: a) TCEG_al., b) TCEG_dp_JJ c) TCEG_dp_n Coparando a fiura 4.2, 4.3, , 4.11, 4.12, rpctivant, nota- a influência da fração voluétrica do ólido na tpratura ranular, a qual acopanha viivlnt o prfil da bolha. Sundo Bor, Qi Rnz (1997) no qu rfr à nria flutuant tro d tpratura ranular, toricant, a oluçõ ond rolv ua quação difrncial parcial aprntaria lhor rultado. Ma no cao d lito dno coo o lito fluidizado borbulhant rultado ria iilar ao calculado co a xprão alébrica. Entrtanto na iulaçõ ralizada fora obtido rultado difrnt quando utiliza ua quação alébrica ou ua ED para o coputado da tpratura ranular.

82 66 fiura 4.1, otra difrnça obtida na tpratura ranular ntr o odlo da TCEG_al., da TCEG_dp_n, da TCEG_dp_JJ. Nota- qu o odlo da TCEG_dp_JJ aprntou lhor rultado qu o odlo da TCEG_dp_n, últio foi lhor qu o odlo da TCEG_al. Io dv a fora d cálculo da tpratura ranular da condiçõ d contorno conidrada. O odlo da TCEG_dp_JJ captou a não itria do prfil da bolha. Coparando o odlo qu calcula iplificadant a tpratura ranular (TCEG_al.) co o odlo qu utiliza ED (TCEG_dp_n TCEG_dp_JJ), dtaca- qu últio aprntara, coo prado, ua aior nria cinética ranular riõ d intabilidad da uprfíci do lito da bolha ai coo na rião do jato cntral. Dvido a lhança obtida no prfil da bolha ntr a TCEG_al. a TCEG_dp_n, vito na fiura 4.2, 4.3, 4.6, conclui- qu para a iulaçõ ralizada, o uo da TCEG_al. apar d aprntar rultado iplificado para a tpratura ranular, ria adquado por rqurr u tpo coputacional nor na iulaçõ. N cao, dvria, por xplo, altrar outro parâtro para captar o o rultado da ED, coo rfinar a alha coputacional. No cao d rolvr- a TCEG co ED, a condição d contorno d Johnon Jackon (1987) crtant é ai indicada, poi captura lhor o apcto fíico do coanto. Entrtanto o tpo coputacional rqurido para cao é ai alto. 4.3 Coparação do rultado d iulação obtido pla TCEG alébrica variando o diâtro da partícula O rultado da iulação co a partícula do rupo /B, ou ja, partícula co diâtro d p = 125µ, rolvndo- a tpratura ranular albricant, ão aprntado a uir. ara a ralização dta iulação ncitara- aproxiadant 17 hora. Nota ua inificativa difrnça no prfil da bolha u alto doínio da fração d vazio, iplicando nua obr xpanão do lito. fiura 4.13 aprnta a fraçõ d vazio para partícula co diâtro d p = 125µ no tpo t =,36, t =,79, t = 1. Ea fiura otra ua difrnça crítica rlação à fiura 4.2 (a), 4.3 (a) 4.6 (a), ou ja, rlação à iulação ond uou partícula co diâtro d p = 5µ para a TCEG_al. partícula d diâtro d p = 125µ

83 67 aprnta u coanto hooêno b iturado co bolha contorno dfinido, palhada por todo lito. Enquanto na iulação co partícula aior a bolha ão b dfinida poicionada no cntro do lito. Na fiura 4.13 contata- tabé ua obr xpanão do lito, ultrapaando a altura d,2922. (a) (b) (c) Fiura 4.13 Fração d vazio na iulação conidrando a TCEG_al. co d p = 125µ para: a) tpo t =,36, b) tpo t =,79 c) tpo t = 1, Makkai, Wriht Ocon (26) copara rultado xprintai co iulaçõ lito fluidizado co partícula do rupo B rupo /B. Sundo t autor a obr xpanão do lito para o rupo /B ocorr plo fato do MFIX nlinciar a

84 68 força coiva xitnt ntr partícula ua iulaçõ. E autor propõ u odlo conidrando a coxitência d atrito-colião, no intrédio do coanto dno, no tnor da tnõ u tro nvolvndo forc coiva ntr partícula, para qu ocorra a rdução da obr xpanão do lito. D fato, para partícula aior coo do rupo B, Molru (1982) dcrv a força coiva coo não iportant ntão pod r dprzada. Ma d acordo co Maiilla Doni (1976) a força coiva ntr partícula d diâtro nor ão xcivant alta rlação ao po da partícula, portanto conidrada coo principal fator na tabilidad do coportanto do coanto. fiura 4.14 otra a foração d bolha no xprinto d Makkai, Wriht Ocon (26) ua iulaçõ no MFIX. O lito xprintal utilizado foi d,138 d diâtro por,15 d altura o tpo d ralização do xprinto foi d 5. Dtalh obr o quipanto ond ralizou o xprinto pod r ncontrado tabé Makkai Wriht (24). ara a iulaçõ Makkai, Wriht Ocon (26) utilizara a a pcificaçõ do xprinto, ndo o tpo d iulação iual a 4. Exprintal: Grupo B Exprintal: Grupo /B Siulação MFIX: Grupo B Siulação MFIX: Grupo /B Fiura 4.14 Foração d bolha d Makkai, Wriht Ocon (26)

85 69 Obrva- qu a bolha xprintai, tanto para o rupo B quanto para o rupo /B d partícula, aparc no cntro do lito co contorno b dfinido. difrnça crítica ntr a fora da bolha aparc ua iulaçõ, ai coo na ralizada nt trabalho, ond para partícula do rupo /B ocorr a obr xpanão do lito bolha contorno dfinido. fiura 4.15 aprnta o prfil da tpratura ranular no tpo d iulação t =,79 para partícula d diâtro d p = 125µ. Lbrando qu, ai coo na plota do ráfico da tpratura ranular co a TCEG_al. para partícula d diâtro d p = 5µ, valor não cornt fiicant fora dprzado para plota do ráfico. Fiura 4.15 rfil da tpratura ranular no tpo t =,79 na iulação conidrando a TCEG_al. co d p = 125µ Nta iulação confira- a fort rlação ntr a tpratura ranular θ a fração voluétrica do ólido. Ito fica viívl na fiura 4.15, ai coo o prfil da fração d vazio palha- plo lito o o acontc co o prfil da tpratura ranular. Obrv qu o valor ai alto d θ ocorr ond xit ai á, ou ja, a tpratura ranular acopanha o prfil da bolha.

86 7 Na fiura 4.16 aprnta- o ráfico do prfil d vlocidad axial, da fa ólida, co édia no tpo altura difrnt do lito. Copara- a iulaçõ co partícula d diâtro d p = 5µ d p = 125µ. D p _5µ D p _125µ v [/] oição na larura do lito [] (a) D p _5µ D p _125µ D p _5µ D p _125µ v [/] v [/] oição na larura do lito [] (b) oição na larura do lito [] (c) Fiura 4.16 rfi da vlocidad axial édia no tpo da fa ólida conidrando o odlo TCEG_al co partícula d d p = 5µ d p = 125µ para: a),5 tro acia da ntrada do lito, b),15 tro acia da ntrada do lito c),29 tro acia da ntrada do lito Contata- novant qu a vlocidad áxia ocorr no cntro do lito ond tá localizado o jato. Coo já ra prado, a partícula co diâtro nor atin

87 71 vlocidad uprior rlação à partícula aior, ito fica viívl na fiura Et prfi d vlocidad confira a caractrítica do coanto co a partícula nor qu fora aprntada na fiura 4.13 do prfil da bolha. Sundo o tudo d Makkai, Wriht Ocon (26) o valor da vlocidad da partícula diinu quando aunta o valor da força coiva. Sndo ai, na iulaçõ co partícula do rupo /B não dv nlinciar o fito d coão ntr partícula para obtnção d lhor rultado. 4.4 Rultado d iulação obtido pla TCEG_dp_JJ para partícula d diâtro d p = 125 µ Vito qu, a iulação co a TCEG alébrica para partícula d diâtro d p = 125 µ não aprntou rultado cornt fiicant qu a iulação co a TCEG rolvndo ua ED para a tpratura ranular utilizando a condição d contorno d Johnon Jackon (1987) para partícula d diâtro d p = 5 µ aprntou u rultado ai ralítico na fora da bolha, outra iulação foi ralizada. i utilizou- a TCEG_dp_JJ co partícula d diâtro d p = 125 µ. O tpo total dta iulação foi d aproxiadant 43 hora. uir aprnta- o rultado. fiura 4.17 traz o prfil da fração d vazio, ou ja, a fora da bolha no tpo t =,36 t =,79. fiura 4.18 aprnta o ráfico d vlocidad axial da fa ólida co édia no tpo, na altura,5 tro,29 tro acia da ntrada do lito. or fi na fiura 4.19 pod- vr o prfil da tpratura ranular no tpo d iulação t =,79.

88 72 (a) (b) Fiura 4.17 Fração d vazio na iulação conidrando a TCEG_dp_JJ co d p = 125µ para: a) tpo t =,36 b) tpo t =,79 TCEG_al. TCEG_dp_JJ TCEG_al. TCEG_dp_JJ v [/] v [/] Fiura 4.18 rfi da vlocidad axial édia no tpo da fa ólida coparando o odlo TCEG_dp_JJ TCEG_al.co partícula d d p = 125µ para: a),5 tro acia da ntrada do lito b),29 tro acia da ntrada do lito oição na larura do lito [] (a) oição na larura do lito [] (b)