Transparências de apoio às aulas teóricas. Maria Isabel Ribeiro António Pascoal

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1 Capítulo - Modlação INTRODUÇÃO AO CONTROLO MAE º sstr 0/03 Transparências d apoio às aulas tóricas Cap Modlação d Sistas Físicos Maria Isabl Ribiro António Pascoal Todos os diritos rsrvados Estas notas não pod sr usadas para fins dis@ntos daquls para qu fora laboradas (lccionação no Ins@tuto Suprior Técnico) s autorização dos autors

2 Capítulo - Modlação Dfinir o qu é u odlo discu@r o su uso para rspondr a prguntas sobr sistas Zsicos Introduzir os concitos d ntrada, saída dinâica Dar xplos d odlos d sistas Zsicos doínios divrsos Linarização Rfrências o Cap. do livro d Franklin, Powl, Nai (rfrência principal) o Cap. - do txto d Karl Astro, Richard Murray, disponívl na Wb.

3 Capítulo - Modlação Rvisão sobr Introdução ao Controlo Actuação Sista Zsico Coputação Snsorianto / Prcpção Controlo Snsorianto + Coputação + Actuação Sistas d controlo por rtroaçcão ocorr uitos doínios Objc<vos do controlo Modificar o coportanto d sistas co as sguints rstriçõs: " Estabilidad cadia fchada " Robustz fac a incrtzas d odlização " Atnuação d prturbaçõs

4 Modlos Capítulo - Modlação Modlo rprsntação atá@ca d u sista Zsico, biológico, cânico, d inforação,... U odlo fornc ua prdição d coo é o coportanto do sista O projcto d controladors para sistas Zsicos faz- s a par@r d u odlo dss sista. Os odlos não tê qu sr xactos. Modlos qu dscrva uito dtalhadant u sista pod sr coplxos Dsconhc- s todos os fnónos Zsicos qu rgula o coportanto do sista Na odlação faz- s, uitas vzs, hipótss siplifica@vas A rtroacção garant robustz a incrtzas ( dtrinados liits) no odlo Os odlos usados para controlo rlaciona ntradas co saídas (vntualnt) co variávis intrnas do sista

5 Modlos Capítulo - Modlação O odlo qu s driva dpnd da prgunta a qu s prtnd rspondr sobr o sista Zsico. Prguntas difrnts odlos difrnts Prguntas iguais as hipótss siplifica@vas difrnts odlos difrnts Ao so sista Zsico pod corrspondr odlos difrnts Dv sr scolhidas scalas d tpo d spaço adaptadas às qustõs a qu s prtnd rspondr

6 Modlo Capítulo - Modlação D ntrada- saída rlaciona dirctant a ntrada co a saída Equação difrncial Linar ou não linar Variant ou invariant no tpo Função d Transfrência Só para sistas linars invariants no tpo D stado rlaciona a ntrada, a saída variávis intrnas do sista r(t) Entrada Sista y(t) Saída

7 Modlação: Explos Capítulo - Modlação Alguns xplos d sistas Zsicos Sistas cânicos Circuitos léctricos Sistas lctrocânicos Sistas téricos Sistas hidráulicos Dinâica d populaçõs...

8 Capítulo - Modlação Sista d Controlo d Vlocidad (Cruis Control) v rf (t) + _ Controlador Motor v(t) Snsor d vlocidad Objc@vo do sista d controlo Mantr constant a vlocidad do vículo Modlo do sista Zsico Entrada: força grada plo otor Saída: vlocidad v(t) do autoóvl v(t) Qual é o odlo atá@co dst sista Zsico qu rlaciona co v(t)? Fazndo hipótss siplifica@vas obt- s u odlo.

9 Sistas Mcânicos d Translação Capítulo - Modlação Li d Nwton (séc. XVII) F d(v)/ F soa das forças aplicadas ao corpo (N) v vctor vlocidad do corpo (/s) M assa do corpo (Kg) v onto linar Kg/s A força total aplicada a u corpo rígido é igual à drivada ord ao tpo do su onto linar

10 Sistas Mcânicos d Translação Capítulo - Modlação Elntos Básicos Massa Mola X f (t) d x(t) Massa - Arazna nrgia cinética K X Mola - Arazna nrgia potncial Kconstant da ola K K x(t) f s (t) (t) f s K x(t) f s (t) força d rstituição da ola, rsultado d ua dforação (alonganto ou coprssão). Kx(t) é a força qu é ncssário xrcr para fctuar o alonganto (x(t)>0) ou a coprssão (x(t)<0).

11 Sistas Mcânicos d Translação Capítulo - Modlação Elntos Básicos Atrito X (t) f d β dx(t) b b x(t) f d (t) X β dx(t) Atrito - Elnto dissipador d nrgia bcoficint d atrito viscoso A força d atrito, f d (t), qu s opõ ao ovinto, é proporcional à vlocidad siplificação da ralidad é usualnt ua função não linar da vlocidad

12 Capítulo - Modlação Sista d Controlo d Vlocidad (Cruis Control) v(t) Qual é o odlo atá@co dst sista Zsico qu rlaciona co v(t) assuindo as hipótss siplifica@vas? Hipótss siplifica<vas: Inércia rotacional das rodas é dsprzávl O atrito qu s opõ ao ovinto é proporcional à vlocidad (atrito viscoso) O autoóvl ov- s no plano horizontal β Sista v (t) Força xtrna aplicada dx(t)

13 Sistas Mcânicos d Translação Capítulo - Modlação Explo d ª Ord β Força xtrna aplicada Sista v (t) dx(t) Li d Nwton d x(t) forças aplicadas Força xtrna + fd (t) βv(t) Força do atrito dv(t) dv(t) Rprsntação d ntrada- saída o no doínio do tpo o ntrada: o saída: v(t) o Equação difrncial linar d coficints constants d ª ord o Sista d ª ord A força d atrito opõ-s ao ovinto dv(t) + βv(t)

14 Sistas Mcânicos d Translação Capítulo - Modlação Explo d ª Ord β Força xtrna aplicada Sista x(t) Li d Nwton Força xtrna forças aplicadas d x(t) dx(t) d x(t) + fd(t) β Força do atrito Rprsntação d ntrada- saída o no doínio do tpo o ntrada: o saída: x(t) o Equação difrncial linar d coficints constants d ª ord o Sista d ª ord A força d atrito opõ-s ao ovinto d x(t) + β dx(t)

15 Sistas Mcânicos d Translação Capítulo - Modlação Explo d ª Ord K β dx(t) β Força xtrna aplicada Sista x(t) Kx(t) d x(t) forças aplicadas dx(t) d x(t) f (t) β Kx(t) d x(t) + β dx(t) + Kx(t)

16 Função d Transfrência Capítulo - Modlação dv(t) + βv(t) EQUAÇÃO DIFERENCIAL - Rprsntação atá@ca do sista no doínio do tpo para ua dada ntrada a saída pod obtr- s por rsolução da quação difrncial Aplicando Transforada d Laplac unilatral considrando condiçõs iniciais nulas sv (s) + βv(s) F(s) V(s) TL[v(t)] F(s) TL[] X(s) 0 x( τ) s τ d τ Transforada d Laplac unilatral V(s) F(s) s + β FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA - Rprsntação atá@ca do sista no doínio da variávl coplxa s

17 Função d Transfrência Capítulo - Modlação r(t) SLIT y(t) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA G(s) Y(s) R(s) c.i. 0 R(s) Quocint da transforada d Laplac do sinal d saída pla transforada d Laplac do sinal d ntrada considrando nulas as condiçõs iniciais G(s) Y(s) Para condiçõs iniciais nulas Y (s) G(s).R(s ) A função d transfrência é u concito potnt para dscrvr o coportanto d sistas do ponto d vista d ntrada/saída Para SLITs, a função d transfrência caractriza copltant o sista do ponto d vista d ntrada- saída

18 Função d Transfrência Capítulo - Modlação r(t) SLIT y(t) Obtnção da solução da quação difrncial qu é a rprsntação do coportanto d ntrada- saída r(t) Rsolução da q.difrncial y(t) R(s) G(s) Y(s) R(s) G(s) c.i. 0 Y(s) TL TL - R(s) Y (s) G(s).R(s) S as condiçõs iniciais for nulas Y(s) A função d transfrência é u concito potnt para dscrvr o coportanto d sistas do ponto d vista d ntrada/saída

19 Capítulo - Modlação Função d Transfrência Diagraa d Blocos v(t) dv(t) + βv(t) V(s) F(s) s + β F(s) s + β V(s) x(t) F(s) s + β V(s) s X(s) O so sista Zsico Modlos difrnts F(s) s(s + β) X(s) x(t) + βx(t)

20 Cruis Control ( plano horizontal) Capítulo - Modlação v(t) Sista Zsico odlo do sista Zsico V rf (s) + _ K F(s) s + β V(s) V(s) V (s) rf? controlador Sista controlado co controlador proporcional

21 Sistas Mcânicos d Rotação Capítulo - Modlação rotação torno d u ixo Li d Nwton- Eulr d θ(t) T(t) J T soa dos binários aplicados ao sista (N- ) d θ(t) vctor aclração angular a qu o corpo stá sujito (rad/s ) J onto d inércia (Kg- ) (suposto constant) A soa dos binários qu actua nu corpo é igual ao produto do onto d inércia dss corpo pla sua aclração angular.

22 Sistas Mcânicos d Rotação Capítulo - Modlação Inércia Elntos Básicos d θ(t) T(t) J ω dω J - Vlocidad angular Arazna nrgia cinética rotacional Mola Rotacional (t) T s K θ(t) Mola arazna nrgia potncial rotacional K constant da ola T s (t) binário d rstituição da ola rsultado d ua dforação torno do ponto d quilíbrio. K θ(t) é o binário qu é ncssário xrcr para fctuar a rotação.

23 Sistas Mcânicos d Rotação Capítulo - Modlação Elntos Básicos Atrito Rotacional (t) T d β ω(t) β Atrito - Elnto dissipador d nrgia b - coficint d atrito viscoso O binário d atrito T d (t), qu s opõ ao ovinto, é proporcional à vlocidad angular siplificação da ralidad é usualnt ua função não linar da vlocidad

24 Sistas cânicos d rotação Capítulo - Modlação Engrnag (caixa d dsul@plicação) Roda dntada ntrada Raio - # dnts - r N Roda dntada saída Raio - # dnts - r N A vlocidad linar é igual no ponto d contacto das duas rodas a dsul@plicação angular é invrsant proporcional ao quocint do núro d dnts. r θ r θ θ θ r r N N

25 Sistas cânicos d rotação Capítulo - Modlação Engrnag (caixa d dsul@plicação) Roda dntada ntrada Raio - # dnts - r N Roda dntada saída Raio - # dnts - r N Supondo qu a ngrnag n o acuula n dissipa nrgia a ul@plicação d binário é dirctant proporcional ao quocint do núro d dnts das rodas. Rsuo T θ T θ T T θ θ N N Enrgia rotacional θ θ Τ Τ N N N N

26 Capítulo - Modlação Explo: Pêndulo T c (t) θ L g Pêndulo Massa toda concntrada na xtridad Braço d coprinto L [] Binário aplicado T c (t) [N.] Prgunta: Coo varia o ângulo θ(t) coo função d T c (t)? Monto d inércia torno do ponto d rotação J L Jθ(t) binários aplicados L θ(t) T (t)-g L sinθ c g θ (t) + sinθ L Tc (t) L Eq. Difrncial não linar Não s pod obtr dirctant a Função d Transfrência Faz- s linarização g θ θ gcos θ gsin θ

27 Carro co pêndulo Capítulo - Modlação M b L I F x θ Massa do carro Massa do pêndulo Coficint d atrito no ovinto do carro Coprinto do pêndulo Inércia do pêndulo Força xtrna aplicada ao carro Posição do carro Ângulo do pêndulo rla@vant à vr@cal Prtnd- s: Equaçõs da dinâica d ovinto do sista tros d x d θ hyp://

28 Carro co pêndulo Capítulo - Modlação Soa das forças no rfrncial horizontal associado ao carro M x + bx + N F Soa das forças no pêndulo na dircção horizontal N x + Lθcosθ Lθ N força d racção (dsconhcida) aplicada plo pêndulo sinθ (M + )x + bx + Lθcosθ Lθ sinθ F

29 Carro co pêndulo Capítulo - Modlação Soa das forças prpndiculars ao pêndulo Psinθ + Ncosθ gsinθ Lθ + xcosθ Soa dos ontos torno do cntróid do pêndulo PLsinθ NLcosθ Iθ (I + L )θ + glsinθ Lxcosθ

30 Carro co pêndulo Capítulo - Modlação (M + )x + bx + Lθcosθ Lθ (I + L )θ + glsinθ Lxcosθ sinθ F Sista d quaçõs difrnciais não linars

31 Sistas Elctrocânicos Capítulo - Modlação Motor d corrnt conanua Parâtros caractrís<cos: R a - rsistência Oh L a - indutância Hnry a - tnsão d ntrada no circuito da aradura Volt i a - corrnt no circuito da aradura - Apr v b - força contra- lctrootriz Volt T binário disponívl no vio do otor

32 Motor d corrnt con nua Capítulo - Modlação O rotor gira nu capo agnético Equação do circuito da aradura di a R aia + La + vb(t) a dθ (t) v b Kb K ω(t) Força contra-lctrootriz b tnsão aos trinais da rsistncia quda d tnsão na bobina Forca contra- lctrootriz tnsão d ntrada no stator Ra Ia(s) + LasIa(s) + V b(s) E a (s) E a (s) + _ R a + L a s I a (s) Θ (s) V b (s) sk b

33 Motor d corrnt con nua Capítulo - Modlação Binario acssívl no vio do otor T K t I a T (s) K I (s) I (s) (proporcional a i a ; K t K b ) t a a T (s) K t E a (s) + _ R a + L a s I a (s) K t T (s) Q (s) V b (s) sk b (Ra + Las)T (s) + KbsΘ(s) E K t a (s) tros T tro θ

34 Motor d corrnt con nua Capítulo - Modlação Equação do ROTOR Ω ( s) TL[ ω(t)] J sω(s) + βω (s) T (J s + βs)θ(s) T (s) (s) E a (s) + _ R a + L a s I a (s) K t T (s) s(sj + β ) Q (s) V b (s) sk b Por rduçõs sucssivas do diagraa d blocos, obtnha a função d transfrência do otor.

35 Motor d corrnt con nua Capítulo - Modlação (Ra + Las)T (s) + KbsΘ(s) E K t a (s) (J s + βs)θ(s) T (s) (Ra + Las)(Js + βs) Θ(s) + KbsΘ(s) E K t S L a pudr sr dsprzada ( coparação co R a ) a (s) R a (Js + β) + Kb sθ(s) E K t Θ E a (s) (s) K s(s + a) a (s) Θ E a (s) (s) s[s + K t/(r (β J Função d TRANSFERÊNCIA da fora a J ) K tk + R a b )]

36 Controlo d posição d u otor d corrnt con nua Capítulo - Modlação Θ E a (s) (s) K s(s + a) Ε a (s) Ω (s) K (s+ a) s Θ (s) Dinâica da vlocidad angular Intgrador (posicao angular é o intgral da vlocidad angular. Pólo zro!) R(s) + _ K Ε a (s) K s + a s Θ (s) Θ(s) G(s) R(s) s KK + sa + KK

37 Capítulo - Modlação Dinâica d condução d u robot óvl Y W rodas otoras θ(t) y(t) {R} Prgunta: Coo varia no tpo a posição (x,y) orintação θ do vículo função das vlocidads linars das duas rodas? {W} x(t) rodas otoras trasiras XW rodas diantiras não otorizadas x(t) y(t) θ(t) v v v d d d (t) + v (t) + v (t) v L (t) cos( θ(t)) (t) sin( θ(t)) (t) v d (t) vlocidad linar da roda dirita v (t) vlocidad linar da roda squrda L distância ntr rodas Sista d 3 quaçõs difrnciais não linars

38 Capítulo - Modlação Dinâica d condução d u robot óvl Y W rodas otoras θ(t) y(t) {R} Controlo: Qu valors dv tr v (t) v d (t) para qu o vículo siga u dtrinado cainho? v x(t) v y(t) v θ(t) d d d (t) + v (t) + v (t) v L (t) cos( θ(t)) (t) sin( θ(t)) (t) Coordnadas do cainho a sguir {W} Controlador x(t) É co bas nst odlo do sista Zsico (é u odlo siplificado) qu s projcta o controlador v v d XW (x,y,θ)

39 Linarização Capítulo - Modlação Sista não linar Aproxiação linar Explo: carro a alta vlocidad v(t) Força xtrna aplicada β Vlocidad lvada Força d atrito: tro linar + tro quadrá@co f d (t) β v(t) β v(t) β v(t) βv(t) dv(t) Sista não linar

40 Linarização: Explo Capítulo - Modlação Condição d quilíbrio Sista não linar Aproxiação linar torno d ua situação d quilíbrio O qu é ua situação d quilíbrio? S o sista s@vr nua situação d quilíbrio não houvr nnhua prturbação, l anté- s indfinidant nssa situação O sista stá nua situação d quilíbrio quando ua força xtrna iguala a força d atrito β v(t) βv(t) dv(t) dinâica não linar Caractrização do quilíbrio v(t) ct v dv(t) 0 f βv βv 0 f β v + β v Os pars (v, f ) qu sa@sfaz sta rlação são pontos d quilíbrio do sista

41 Linarização: xplo Capítulo - Modlação Estudo do coportanto do sista torno d ua situação d quilíbrio (v, f ) v(t) v + δv(t) δ f + Incrntos pqunos torno do quilíbrio dv(t) β v(t) βv(t) d(v + δv(t)) (f + δ) β(v + δv(t)) β(v + δv(t)) V ct. linar linar??? dδv(t) (f + δ) β (v + δv(t)) β????

42 Linarização: xplo Capítulo - Modlação v(t) (v + δv(t))??? v Apr. séri d Taylor torno do ponto d quilíbrio dsprzando os tros não linars (ord suprior à ª) v v Apr. séri d Taylor df f(x) f(x0) + dx x x 0 (x x 0 ) + d f dx x x 0 (x x 0 ) +... v(t) v + v δv(t) Dsprzando tros d ord suprior É válido para incrntos pqunos dδv(t) (f + δ) β(v + δv(t)) β(v + v δv(t))

43 Linarização: xplo Capítulo - Modlação dδv(t) (f + δ) β(v + δv(t)) β(v + f β v + β v Condição d quilíbrio v δv(t)) dδv(t) δ β δv(t) β v δv(t) dδv(t) + (β + βv ) δv(t) δ Eq. difrncial linar δv(s) δf(s) [s + (β + β v )] Função d transfrência

44 Linarização: xplo Capítulo - Modlação Sista não linar v(t) dv(t) + β v(t) + βv(t) δ Sista Linarizado δv(t) dδv(t) + (β + βv ) δv(t) δ Rlaciona incrntos na saída co incrntos na ntrada Os incrntos são torno d u dtrinado ponto d quilíbrio (v,f ) A localização do pólo dpnd da vlocidad d opração v δv(s) δf(s) [s + (β + β v )] Função d transfrência

45 Pêndulo: Linarização Capítulo - Modlação T c (t) L g θ (t) + sinθ L Tc (t) L θ g Não linar dvido ao tro sinθ θ 0, T c 0 Ponto d quilíbrio do sista Para θ pqunos (pqunas prturbaçõs torno do ponto d quilíbrio) sinθ θ Modlo linar qu dscrv o coportanto do sista, as só para θ pqunos g θ (t) + θ L Tc (t) L