Decisões Sequenciais Árvores de Decisão

Transcrição

1 Teoria da Decisão Decisão Uni-Objectivo Decisões Sequenciais Árvores de Decisão

2 Árvores de Decisão Uma Árvore de Decisão é uma forma gráfica que se utiliza para representar um conjunto de decisões sequenciais, isto é, uma situação em que decisões são tomadas por ordem cronológica, e em que as alternativas disponíveis ao Decisor dependem de condições incontroláveis e das decisões tomadas anteriormente

3 Árvores de Decisão... Nó de Acaso Cada ramo conduz a um resultado possível, que tem uma certa probabilidade de ocorrer... Nó de Decisão Cada ramo representa uma alternativa possível Ramos Relações entre os nós

4 Árvores de Decisão Normalmente, não se deixam ligados dois nós do mesmo tipo 0,8 1 0,32 1 0,4 0,6 3 0,2 2 0,6 0,08 3 2

5 Árvores de Decisão C 1 A D 2 B 3 A e C 1 A e D 2 B 3

6 Exemplo 6 O João está a ponderar participar num concurso televisivo. A inscrição no concurso é de 10. Neste concurso, o João poderá responder no máximo a 3 perguntas e respeitar as regras que a seguir se enunciam. A primeira questão é sobre História. Se o João acertar ganha 100. Se o João errar o jogo termina. O João acredita que tem 80% de probabilidade de acertar esta resposta.

7 Exemplo 6 Se o João acertar a resposta à pergunta de História, pode optar por terminar o jogo e receber os 100 ou em alternativa responder a uma pergunta sobre Geografia. Se o João acertar a resposta a esta pergunta ganha 300 mas se errar o jogo termina e o João nada recebe. O João acha que tem 60% de probabilidade de responder acertadamente à questão de Geografia.

8 Exemplo 6 Se o João acertar a resposta à pergunta de Geografia, pode optar por terminar o jogo e receber os 300 ou em alternativa responder a uma pergunta sobre Cinema. Se o João acertar a resposta a esta pergunta ganha 500 mas se errar o jogo termina e o João nada recebe. O João acha que tem 40% de probabilidade de responder acertadamente à questão de Cinema. Qual a estratégia que aconselha ao João?

9 Exemplo 6 O João está a ponderar participar num concurso televisivo. Participa N Participa

10 Exemplo 6 A primeira questão é sobre História. Se o João acertar ganha 100. Se o João errar o jogo termina. O João acredita que tem 80% de probabi- lidade de acertar esta resposta. Participa N Acerta 0,2 Acerta 0,8

11 Exemplo 6 Se o João acertar a resposta à pergunta de História, pode optar por terminar o jogo e receber os 100 ou em alternativa responder a uma pergunta sobre Geografia. Continua Termina Jogo

12 Exemplo 6 O João acha que tem 60% de probabilidade de responder acertadamente à questão de Geografia. Continua N Acerta 0,4 Acerta 0,6

13 Exemplo 6 Se o João acertar a resposta à pergunta de Geografia, pode optar por terminar o jogo e receber os 300 ou em alternativa responder a uma pergunta sobre Cinema. Acerta 0,6 Continua Termina Jogo

14 Exemplo 6 O João acha que tem 40% de probabilidade de responder acertadamente à questão de Cinema. N Acerta 0,6 Continua Acerta 0,4

15 Exemplo 6 N Acerta 0,2 Continua N Acerta 0,4 N Acerta 0,6 Acerta Continua 0,6 Acerta 0,4 Participa Acerta 0,8 Termina Jogo Termina Jogo N Participa

16 Exemplo 6 Não Participa 0 Não Acerta História -10 Termina = 90 Participa Acerta História Continua Não acerta Geografia Termina = 290 Acerta Geografia Não acerta Cinema -10 Continua Acerta Cinema = 490

17 Exemplo N Acerta 0,4 N Acerta 0,2 Continua N Acerta 0,6 Acerta Continua 0,6 Acerta 0, Participa Acerta 0,8 N Participa Termina Jogo Termina Jogo

18 Exemplo N Acerta 0,2 Continua N Acerta 0,4 190 N Acerta 0,6 Acerta Continua 0,6 Acerta 0, Participa Acerta 0,8 N Participa Termina Jogo Termina Jogo

19 Exemplo N Acerta 0,2 Continua N Acerta 0,4 190 N Acerta 0,6 Acerta Continua 0,6 Acerta 0, Participa Acerta 0,8 290 N Participa Termina Jogo Termina Jogo

20 Exemplo N Acerta 0,2 Continua 170 N Acerta 0,4 190 N Acerta 0,6 Acerta Continua 0,6 Acerta 0, Participa Acerta 0,8 290 N Participa Termina Jogo Termina Jogo

21 Exemplo N Acerta 0,2 Continua 170 N Acerta 0,4 190 N Acerta 0,6 Acerta Continua 0,6 Acerta 0, Participa Acerta 0, N Participa Termina Jogo Termina Jogo

22 Exemplo N Acerta 0,2 Continua 170 N Acerta 0,4 190 N Acerta 0,6 Acerta Continua 0,6 Acerta 0, Participa Acerta 0, N Participa Termina Jogo Termina Jogo

23 Exemplo N Acerta 0,2 Continua 170 N Acerta 0,4 190 N Acerta 0,6 Acerta Continua 0,6 Acerta 0, Participa 142 N Participa Acerta 0,8 170 Termina Jogo 290 Termina Jogo

24 Exemplo 6 A opção escolhida que maximiza o Ganho Esperado é a opção Participa. As restantes decisões estão condicionadas aos resultados das fases aleatórias. Se o João responder correctamente à primeira questão deverá continuar a jogar, pois essa é a decisão que maximizará o Ganho Esperado

25 Exemplo 6 Se o João responder correctamente à segunda questão, então deverá terminar, pois, mais uma vez, essa é a decisão que maximizará o Ganho Esperado. Na estratégia a propor não vale a pena referir os cenários de resposta errada, pois nesses casos o João não tem decisão a tomar, há uma alternativa possível

26 Árvores de Decisão No entanto, como se viu anteriormente o Critério do Valor Esperado assume que o Decisor é Neutro face ao Risco. Então como introduzir a apetência do Decisor face ao Risco? Utilizando-se uma FUNÇÃO UTILIDADE!

27 Árvores de Decisão E se as distribuições nos nós de acaso forem contínuas? APROXIMAÇÃO A UMA DISTRIBUIÇÃO DISCRETA Método de Aproximação Estendida de Pearson-Tukey (EP-T)

28 Considere que num nó de acaso os possíveis resultados seguem uma distribuição contínua. O método EP-T aconselha a que se considerem três resultados possíveis: 1 Elevado com 0,185 de probabilidade; 2 Média com 0,63 de probabilidade e 3 Baixo com 0,185 de probabilidade

29 Os resultados referentes a cada um dos níveis são: 1 Elevado Percentil de 95 % 2 Média Percentil de 50 % 3 Baixo Percentil de 5%

30 Fácil de implementar; Simplifica significativamente a análise; Limitado a distribuições unimodais e pouco assimétricas Não é possível de utilizar quando uma decisão posterior ao momento de acaso depende de um resultado específico

31 Num problema de decisão sequencial sabe--se que o valor da taxa de inflacção no próximo ano deverá seguir uma distribuição Normal(µ = 1,5; σ = 0,3) Os percentis de 5% e 95% de uma Normal(1,5 ; 0,3) são, respectivamente 1,01 e 1,99 Então pelo método EP-T vem...

32 Inflação Normal(µ = 1,5; σ = 0,1) 0,185 0,185 0,63 Inflação Elevada (1,99%) Inflação Média (1,50%) Inflação Baixa (1,01%)

33 Árvores de Decisão E se não for possível conhecer-se as probabilidades em cada um dos nós de acaso? Então está-se perante uma Situação de Incerteza, e nesse caso é possível utilizar-se os critérios referidos anteriormente para uma tomada de decisão em Incerteza

34 Árvores de Decisão E se os valores nas extremidades da árvore não forem determinísticos, mas estocáticos? SIMULAÇÃO!!!

35 Teoria da Decisão Decisão Uni-Objectivo Teoria da Utilidade

36 Teoria da Utilidade Nos exemplos anteriores não se teve em consideração a atitude do decisor face ao Risco. Ao introduzir-se esse factor é possível colmatar algumas falhas do Critério do Valor Esperado. A Teoria da Utilidade, desenvolvida por von Neumann e Morgenstein, visa modelar o modo como um decisor reage perante diferentes níveis de risco.

37 Exemplo 8 Jogo 1 Jogo 2 Branca Preta Ganho Prob Ganho Prob Pelo critério do Valor Esperado: J1: 30 x x 0.4 = 22.4 J2: 60 x x 0.5 = 25.0 Mas esta é a alternativa mais arriscada!!! Exemplo baseado. Secção de Teoria da Utilidade - Decision Analysis for Management Judgment, Goodwin e Wright, John Wiley & Sons

38 Exemplo 8 Para se deduzir a função Utilidade de um decisor, é necessário avaliar cada um dos resultados possíveis. Usualmente considera-se como o pior resultado possível com o valor de Utilidade zero, e o melhor com Utilidade 1. Assim tem-se: Ganho Utilidade ? 11? -10 0

39 Exemplo 8 E qual será a Utilidade de 30? E de 11? Ganho Utilidade ? 11? Para tal existem vários métodos. De seguida apresenta-se o método mais utilizado: Método da Equivalência Probabilística.

40 Método da Equivalência Probabilística O método propõe que se proponha ao decisor que opte entre receber uma determinada quantia, e jogar um jogo (chamado de Lotaria) em que se pode receber o pior e o melhor valor, com determinadas probabilidades. Por exemplo, para determinar U(30) pode perguntar-se: - Prefere A Receber 30 u. m. ou B Jogar um jogo em que pode ganhar 60, com 75% de probabilidade, e perder 10, com 25%?

41 Método da Equivalência Probabilística 60?

42 Método da Equivalência Probabilística Se o Decisor preferir A, é porque considera que perder 10 u. m. com 25% de probabilidade é demasiado arriscado. U(30) > 0,75? B A 0,75 0, Se preferir B, é porque ainda não considera o risco suficientemente elevado para ponderar aceitar o ganho certo. U(30) < 0,75 Então vai-se modificando as probabilidades até o Decisor se sentir indeciso entre o ganho de 30 u. m. e a lotaria.

43 Método da Equivalência Probabilística? B A 0,75 0,85 0,25 0, O valor de U(30) é calculado utilizando-se as probabilidades que causaram a indecisão. Supondo que esses valores foram 0,85 e 0,15. Então: U(30) = 0,85 x U(60) + 0,15 x U(-10) = 0.85 Ou seja, a utilidade de um valor é igual à probabilidade de sair o melhor valor na lotaria de indiferença!

44 Exemplo 8 Supondo agora que U(11) = 0,6 pode-se determinar qual a Utilidade Esperada de cada um dos jogos. Jogo 1 Jogo 2 Branca Preta Utilidade Prob Utilidade 1 0 Prob E(U(Jogo1)) = 0,60x0,85+0,40x0,60 = 0,75 E(U(Jogo2)) = 0,50x1,00+0,50x0,00 = 0,50

45 Teoria da Utilidade O método anterior pode ser muito difícil de utilizar, pois obriga o Decisor a fazer juizos de valor demasiado complexos. A abordagem seguinte baseia-se em questões mais fáceis de serem respondidas, pois faz comparações com lotarias mais simples

46 Exemplo 8 Ganho Utilidade ? 11? Método da Equivalência em Situação de Certeza. O método propõe que se proponha ao decisor uma lotaria (I) com dois resultados possíveis e equiprováveis, o melhor e o pior caso da análise.

47 Método da Equivalência em Situação de Certeza A questão que é colocada ao Decisor é: - Quanto é que está disposto a pagar para jogar a lotaria I? Por exemplo, neste caso: Quanto pagaria por uma lotaria em que pode ganhar 60, com 50% de probabilidade, e perder 10, com 50%?

48 Método da Equivalência em Situação de Certeza X? 60 - x I x

49 Método da Equivalência em Situação de Certeza X? 60 - x I x

50 Método da Equivalência em Situação de Certeza O valor da resposta representa o ponto de Utilidade 0,5 Suponha-se que na questão anterior a resposta foi de 15, então U(15) = 0,50 A partir daí efectuam-se novas questões com as lotarias: II - Quanto está disposto a pagar para jogar uma lotaria em que perde 10 com 50% e ganha 15 com 50%? III - Quanto está disposto a pagar para jogar uma lotaria em que ganha 15 com 50% e ganha 60 com 50%?

51 Método da Equivalência em Situação de Certeza X 3? B A III 0,50 0,50 60 x 3 15 x 3

52 Método da Equivalência em Situação de Certeza Os valores relativos às respostas obtidas representam, respectivamente os ponto de Utilidade 0,25 e 0,75 Supondo agora que se obteve a seguinte função de Utilidade: Utilidade 0 0,25 0,50 0,75 1,00 Ganho Utilidade $ Repete-se o procedimento até se obter uma escala de utilidades suficientemente fina.

53 Utilidade Exemplo 8 Ganho Por interpolação determina-se a Utilidade dos valores desejados. Utilidade U(30) 0.50 U(11) 0.25 U(11)- U(5) = U(15)- U(5) (11-5) (0,5 - U(11) = 0, ,25) $ U(11) = 0,25 + 0,15 = U(30) = 0,786 0,4

54 Exemplo 8 Jogo 1 Jogo 2 Branca Preta Ganho Prob Ganho Prob Pelo critério do Valor Esperado: J1: 30 x 0, x 0,4 = 22,4 J2: 60 x 0,5 10 x 0,5 = 25,0 Mas esta é a alternativa mais arriscada!!! Exemplo baseado. Secção de Teoria da Utilidade - Decision Analysis for Management Judgment, Goodwin e Wright, John Wiley & Sons

55 Exemplo 8 Agora é já possível determinar qual a Utilidade Esperada de cada um dos jogos. Jogo 1 Jogo 2 Branca Preta Utilidade 0,786 0,325 Prob. 0,6 0,4 Utilidade 1 0 Prob 0,5 0,5 E(U(Jogo1)) = 0,60x0, ,40x0,325 = 0,602 E(U(Jogo2)) = 0,50x1,00 + 0,50x0,00 = 0,50

56 Teoria da Utilidade Existem muitos mais métodos de se modelar a função Utilidade de um Decisor. Curiosamente, diferentes métodos podem produzir funções Utilidade muito diferentes!!!

57 Interpretação das funções Utilidade Ganho Utilidade Utilidade Decisor com AVERSÃO ao Risco $

58 Interpretação das funções Utilidade Utilidade Decisor 1 NEUTRO ao Risco $

59 Interpretação das funções Utilidade Utilidade Decisor 1 PROPENSO ao Risco $

60 Interpretação das funções Utilidade Decisor simultaneamente PROPENSO e Utilidade 1 AVESSO ao Risco $

61 Teoria da Utilidade Os métodos de construção de funções Utilidade podem ser aplicados a atributos não monetários (distância, tempo, etc...) Existem modelos generalizados para a situação multi-atributo No entanto é alvo de várias críticas...

62 Teoria da Utilidade A Utilidade é um conceito difícil de explicar ao Decisor A construção de funções Utilidade exige que o Decisor responda a questões complexas, cujas respostas poderão não ser muito fiáveis A utilização de diferentes métodos de modelação da Utilidade pode conduzir a paradoxos

63 Teoria da Utilidade Alguns autores recomendam que só se utilize a Teoria da Utilidade em situações em que o Risco é a preocupação mais relevante para o Decisor Caso contrário, sugere-se a utilização de Funções de Valor para se modelar a importância subjectiva de cada resultado.

64 Teoria da Utilidade Para mais informações sobre Teoria da Utilidade consultar: Goodwin e Wright, Decision Analysis for Management Science, John Wiley & Sons