Teoria dos Jogos Repetidos

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Angélica Figueira Festas
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1 Teoria dos Jogos Repetidos Os processos de interação estratégica nos quais os jogadores decidem sem conhecer as decisões dos demais podem ser tratados como jogos simultâneos. Já os processos de interação estratégica em que os jogadores decidem em uma ordem predeterminada e conhecem o que foi decidido na etapa anterior, podem ser analisados como jogos seqüenciais. Vamos tratar agora de um outro tipo de processo de interação estratégica, que também demanda um modelo de jogo peculiar. Vamos tratar dos processos de interação estratégica que possuem uma história. Existem processos de interação estratégica que se desenvolvem no tempo e, desse modo, possuem uma história que é de conhecimento comum dos jogadores. Pense, por exemplo, em uma relação comercial entre duas empresas, em que uma das empresas apanha um insumo específico da outra empresa, ou seja, uma matéria-prima que tem de ser entregue com determinadas características físicas e em um dado prazo, para não atrasar o processo produtivo da empresa compradora. Ao mesmo tempo, para oferecer esse insumo, a empresa produtora tem de realizar certos investimentos em volume significativo, os quais somente atendem às necessidades da empresa compradora, e que deixa de certa forma a empresa produtora na dependência de que sua cliente cumpra as condições contratuais do fornecimento do insumo, realizando os pagamentos acertados contratualmente, para que a empresa produtora não tenha prejuízos. Ainda que a empresa compradora não possa ter certeza acerca do comportamento da empresa fornecedora do insumo na etapa atual da transação, ela pode observar a história da relação comercial com a empresa fornecedora, no momento de encomendar umaa nova entrega do insumo específico. O mesmo pode ser feito pela empresa produtora quanto ao comportamento de sua cliente ao honrar os compromissos anteriores. Por sinal, essa é uma prática bastante comum no mundo dos negócios: observa-se a história do comportamento dos parceiros, ao se ponderar a conveniência de prosseguir com a relação. Também entre políticos, especialmente entre congressistas que devem realizar, com freqüência, acordos para que suas plataformas políticas se transformem efetivamente em leis, a consideração da história dos acordos que são fechados e da forma com que esses acordos são ou não respeitados, serve como indicador claro acerca de quais congressistas são confiáveis na hora de se fechar um acordo, e quais não são.

2 Um ponto importante é que esses processos envolvem etapas que se repetem, sendo que, muitas vezes, essas etapas podem ser de tal natureza que se justifique sua modelagem como jogos simultâneos. Por exemplo, na relação comercial entre as duas empresas que mencionamos no início, embora haja um histórico de relação entre elas, cada vez que a empresa compradora do insumo específico adquire o produto, ela não sabe se a fornecedora decidiu produzir o insumo com a qualidade e rapidez necessárias. Da mesma forma, a empresa que fornece o insumo tem de tomar sua decisão quanto a acordar uma nova entrega e realizar os investimentos específicos necessários sem saber se sua cliente, também dessa vez, terá escolhido honrar seus compromissos ou não. Desse modo, pode acontecer que, embora os jogadores conheçam as decisões que foram tomadas em etapas anteriores, a cada nova etapa em que são chamados a decidir, eles o façam sem saber o que os demais jogadores estão decidindo naquela etapa. Quando estamos nos defrontando com esse tipo de situação, um tipo particular de modelagem em jogos, conhecido como modelos de jogos repetidos, pode ser útil para analisar esse gênero de interação estratégica. Esse tipo de jogo possui grande interesse sempre que se discute como induzir à cooperação, quando os jogadores possuem ganhos significativos ao agir de forma não-cooperativa em cada etapa do processo de interação estratégica. Esse tipo de discussão é relevante nos casos em que não há uma instituição com poder coercitivo tal como as cortes de justiça e a polícia que obrigue os jogadores a se comportarem cooperativamente. Em alguns exemplos mais dramáticos, pode ser até que a cooperação dos jogadores seja proibida legalmente, como é o caso dos cartéis. Apesar de serem proibidos legalmente, infelizmente, cartéis existem. E existem, de forma ainda mais surpreendente, apesar dos ganhos de curto prazo por se descumprir o cartel serem significativos. Para entendermos a Teoria dos Jogos Repetidos vamos considerar o dilema do prisioneiro: Repetindo um jogo como o dilema dos prisioneiros, é possível, sob determinadas circunstâncias, implementar o equilíbrio cooperativo (não confessa-não confessa), no jogo estático(o ponto é muito mais geral que o jogo específico do dilema dos prisioneiros. Qualquer jogo estático no qual há uma situação que ambos estão melhores, mas não é equilíbrio, e uma situação na qual ambos estão piores mas é equilíbrio).como isto ocorre?com a possibilidade de punição, e que esta punição ocorra em equilíbrio. Um exemplo que não funciona: dilema dos prisioneiros repetido um número finito de vezes (T)

3 Suponha que os dois jogadores jogassem a seguinte estratégia Jogo coopera em t=1 S i = Jogo coopera em t=, se (coopera,coopera) em todo t < i = 1,1 caso contrário joga não coopera até T Note que há o princípio da punição. Eu digo, no entanto, que isto não funciona. Por que? Note que, não importa o que ocorrer, o equilíbrio na última vez que eles jogarem o jogo (no período T ), será (não-coopera,não-coopera). Não há que nenhum jogador possa fazer em T 1 que mude este fato. Dado isto, o último período possível para fazer algo é T 1. Mas aí T 1 se torna, efetivamente, o último período!! E tudo se repete... Por indução retroativa, o único equilíbrio se o dilema dos prisioneiros for repetido finitamente é (nãocoopera, nãocooopera) sempre. Isto ocorre mesmo existindo a possibilidade de punir por um número super alto de períodos. Solução 1: mudar o último jogo Suponha, como no exercício da lista, que os caras repetem o dilema dos prisioneiros um número T finito de vezes (quantas vezes não é importante), e, em seguida jogam o seguinte jogo: c n c (10,10) (1,1) n (0,0) (0,0) A presença deste último jogo abre a possibilidade de sustentar (coopera,coopera) em todos os dilemas do prisioneiros anteriores. Por que? Pense que no jogo c n c (10,10) (1,1) n (0,0) (0,0) que ocorre em T 1, ambos (c,c) e (n,n) são equilíbrios de Nash. Como se pode punir no último jogo com (n,n). O que mudou em relação anterior é que, no último jogo, há duas situações (equilíbrios) possíveis, e não somente 1. É isto que se significa existir um punição em equilíbrio. A melhor dica é que, de alguma forma, deve-se punir dizendo que, se não - coopera for observado em qualquer estágio, eu jogo não - coopera no último jogo. O que tem que ser verdade a respeito da estratégia do outro jogador para que esta estratégia seja ótima

4 para mim? O que é preciso que seja verdade a respeito da minha atitude quanto ao futuro para que isto seja ótimo para mim? Solução 2: repetir o dilema dos prisioneiros infinitas vezes Outra maneira de resolver o problema é que não exista um último jogo, ou seja, é que o jogo seja repetido infinitas vezes. Note que, (c,c) não é sustentado porque há um último jogo, e não há nada que possa ser feito antes que altere o fato de que (n,n) ocorre neste último jogo, porque depois disto é como se o mundo acabasse. Se o mundo não acaba, é fácil ver que sempre há a possibilidade de punir, se as pessoas valorizam o futuro suficientemente. Agora, um par de estratégias tais como Jogo coopera em t=1 S i = Jogo coopera em t=, se (coopera,coopera) em todo t < i = 1,1 caso contrário joga não coopera até T tem chance de ser um equilíbrio. A intuição aqui é que os jogadores têm que valorizar o futuro o suficiente para que este par de estratégias funcione. Suponha que os dois jogadores descontam o futuro com uma taxa β [0, 1], como no exercício. Suponha que o jogador 2 joga a estratégia acima. Considere o problema do jogador 1. Se é ótimo para ele cooperar hoje, então será ótimo sempre (por que? provavelmente porque todo período é uma repetição do anterior, dado que o mundo nunca acaba). Então, se ele coopera, cooperará sempre, e seu payoff é: 5 + β5 + β β = β Se não coopera seu payoff, dada a estratégia do jogador 2 e sua resposta ótima a isto, é: 10 + β ( 1) + β 2 ( 1) + β 3 ( 1) + = 10 β β Ou seja, dado que, até razão em contrário, 2 joga cooperar, o jogador 1 ganha 10 no curto prazo, mas perde 6 (a diferença de 5 para -1) em todos os períodos subseqüentes. O que tem que ser verdade a respeito de β para que seja ótimo? Em outras palavras, que tem que ser verdade a respeito de quanto o jogador 1 valoriza o futuro para que

5 cooperar seja ótimo para ele? Já pra ver como montar um equilíbrio é só fazer o mesmo para o jogador 2.

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