Roteiro da aula: Jogos dinâmicos com informação incompleta. Mas-Collel e Green capítulo 9 Refinamentos do conceito de Equilíbrio de Nash

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1 Roteiro da aula: Jogos dinâmicos com informação incompleta Mas-Collel e Green capítulo 9 Refinamentos do conceito de quilíbrio de Nash Racionalidade seqüencial quilíbrio Bayesiano perfeito quilíbrio bayesiano perfeito forte quilíbrio Seqüencial Forward dução Aplicações de NPS quilíbrio de Nash rembling Hand xtensivo (,) Racionalidade Seqüencial a estratégia de um jogador deve especificar ações ótimas em todo ponto na árvore do jogo. Isso significa que o estratégias de equilíbrio especificam comportamento ótimo a partir de qualquer ponto de decisão na árvore do jogo. Um jogador é o itular e o outro é um ntrante potencial. Racionalidade Seqüencial: depois de entrar a única estratégia ótima para o jogador é escolher Podemos representar o jogo na forma normal: Jogador se joga (,) (-,) Jogador se joga (,) (,) (-,-) (,) xemplo : Jogo dinâmico finito de informação perfeita Forma Reduzida 4

2 Proposição: em jogos dinâmicos finitos de informação perfeita a dução Retroativa captura a idéia de Racionalidade Seqüencial. eorema de Zermelo: odo jogo finito de informação perfeita tem um quilíbrio de Nash em stratégias Puras que pode ser derivado através de dução Retroativa. Além disso, se nenhum jogador tem os mesmos payoffs em qualquer dois nódulos terminais, então há um único quilíbrio de Nash que pode ser derivado por dução Retroativa. xemplo : Jogo dinâmico de informação imperfeita (,) (-,-) (,-) (-,-) (,) Jogador NPS captura a idéia de Racionalidade Seqüencial Jogador,,- -,- -,- (,) (,) 5 6 O mesmo jogo representado na forma Normal Jogador, Se, Se, Se Jogador se se Jogar Jogar,,,,, -,- Proposição: em um jogo finito de informação perfeita todo nódulo de decisão inicia um subjogo; Proposição: todo NPS é um quilíbrio de Nash, afinal, o jogo como um todo é um subjogo, mas nem todo quilíbrio de Nash é um NPS. Proposição: odo jogo finito de informação perfeita tem NPS de estratégia pura e se nenhum jogador tem os mesmos payoffs em quaisquer dois nódulos terminais, então o NPS é único., Se,- -,- 7 8

3 xemplo : he Niche Choice Game (,) Small Large Niche Niche Small Niche Large Niche Small Niche Large Niche (-6,-6) (-,) (,-) (-,-) Jogador Jogador -6,-6 -,,- -,- Proposição: Considere um jogo na forma extensiva envolvendo sucessivas jogadas de -jogos simultâneos com os jogadores observando as estratégias puras jogadas em cada jogo imediatamente depois que seu jogo é concluído. Assuma que o payoff de cada jogador é igual à soma dos payoffs nas jogadas dos -jogos. Se há um único quilíbrio de Nash em cada -jogo, então, há um NPS que consiste em cada jogador jogar o N em cada -jogo, independentemente do que tenha acontecido previamente. Idéia básica: aplicação da lógica de dução Retroativa Observação: NPS exclui depedência da história de estratégias nessa classe de jogos. Proposição: se cada subjogo tem um único N, então, o NPS não pode ser histórico depedente; (,) (,-) (,) (-,) 9 Jogo da Centópeia enfraquece a noção de NPS (ver Rosenthal, 98, para uma introdução olhar Montet e Serra) Crenças e Racionalidade Sequencial O NPS nem sempre é suficiente para capturar Racionalidade Seqüencial Alguns jogos podem deixar passar NPS em ameaças vazias: ocorre quando o único subjogo do jogo é próprio jogo. Nesse caso todos os N do jogo são também NPS, inclusive os N em ameaças vazias.

4 xemplo : xemplo : Jogo dinâmico de informação imperfeita (,) Jogo dinâmico de informação imperfeita (,) Nova questão: como eliminar o N não razoável??? NPS: (out, lutar NPS: (, acomodar Observe: qualquer que seja a estratégia de ntrada do jogador o itular prefere se a ntrada ocorrer. (-,-) (,) (-,-) (,) (-,-) (,) (-,-) (,) Agora: o jogador ntrante possui duas estratégias para ntrar A Firma itular: é incapaz de antecipar qual a estratégia que a Firma usou se ela entra. Nesse caso, o único subjogo é o próprio jogo, então, os dois NS são NPS, ou seja, não é possível usar NPS para selecionar entre os Ns. 4 quilíbrio Bayesiano Perfeito Fraco A solução desse problema exige um novo refinamento da noção de quilíbrio. Saída: reforçar a noção de Racionalidade Seqüencial. Racionalidade Seqüencial: a Ação do jogador deve ser ótima para alguma crença [do ] sobre qual a estratégia será usada pelo jogador. No jogo: se o escolhe ntrar não é uma escolha ótima do jogador para qualquer crença que o possa ter. Conseqüência desse novo raciocínio: devemos considerar formalmente a CRNÇA dos jogadores e usá-la para testar racionalidade seqüencial dos jogadores. Novo conceito solução: quilíbrio Bayesiano Perfeito Fraco ou quilíbrio Seqüencial Fraco (Myerson, 99) xigência básica do BP : em qualquer ponto do jogo uma estratégia do jogador deve prescrever ações ótimas a partir daquele ponto dadas as estratégias dos jogadores oponentes e e as suas crenças sobre o que ocorreu no jogo até aquele ponto de decisão. Além disso, suas crenças devem ser consistentes com as estratégias que estão sendo jogadas. Definições novas:. Sistema de crenças. Racionalidade Seqüencial de stratégias 5 6 4

5 Crenças Definição: um sistema de crenças µ em um jogo na forma extensiva é a especificação de uma probabilidade µ ( x) [,] para cada nódulo de decisão x no jogo extensivo, tal que: µ ( x) = CI x CI É gerada pela natureza Sistema de Crenças: specifica, para cada conjunto de informação, uma avaliação probabilística, realizada, essa avaliação, pelo jogador que toma decisão naquele ponto de decisão. A avaliação consiste em estimar as probabilidades relativas de se encontrar e cada um dos pontos de decisão do conjunto de informação, condicionadas ao jogo realizar ou alcançar aquele conjunto de informação. Utilidade esperada: dados um Conjunto de informação alcançado e um conjunto de crenças, ou seja, as probabilidades condicionais de está em cada ponto de decisão de seu conjunto de informação, estima a utilidade esperada se ele segue uma ou outra estratégia, dadas as escolhas dos demais jogadores. 7 Utilidade sperada: valor esperado da utilidade obtida com as escolhas do jogadores dadas suas crenças, conjuntos de informações e os payoffs possíveis e as escolhas dos demais jogadores. [ i /, µ, i, i] U CI s s Agora: racionalidade sequencial exige que a escolha do jogador em cada ponto de decisão maximize a utilidade esperada do jogador que escolhe. Definição de uma estratégias Seqüencialmente racional: uma estratégia em um jogo dinâmico é considerada seqüencialmente racional e um conjunto de informação e dado um sistema de crenças se, para o jogador i que escolhe no Conjunto de informação CI, temos: U / CI, µ, sci, s U / CI, µ, s CI, s s CI S CI CI CI CI i i i i i i i Se s satisfaz essa condição para todo Conjunto informação, então, dizemos que s é seqüencialmente racional dado o sistema de crenças. tuição: nas condições especificadas acima nenhum jogador acha interessante desviar dadas as suas crenças sobre o que já ocorreu e sobre as estratégias dos rivais. 8 Condições para definir um BP stratégias devem ser seqüencialmente racionais dadas as crenças Sempre que possível, crenças devem ser consistentes com as estratégias. Ou seja, no equilíbrio jogadores devem ter crenças corretas sobre as escolhas de estratégias dos seus oponentes. [falta definir crenças consistentes] Definição Crenças consistentes: para cada pondo de decisão pertencente a um conjunto de informação o jogador deve calcular a probabilidade de realização daquele ponto de decisão dado a estratégia s escolhida por ele. deve atribuir probabilidades condicionais de está em cada um desses pontos de decisão dado que o jogo realiza ou alcança o conjunto de informação, usando regra de Bayes. Pr ob( x / s) Pr ob( x / CI, s) = Pr ob( x / s) x CI 9 5

6 xemplo : Jogo dinâmico de informação imperfeita NPS: (out, lutar NPS: (, acomodar (,) (-,-) (,) (-,-) (,) Suponha que o jogador usa a seguinte stratégia Mista: ( ) (,, ) =,, 4 4 Pr ob( CI / s) = 4 Usando Bayes: Prob ( s/ CI) = = + 4 Prob ( s / CI) = 4 = 4 ssas devem ser as crenças consistentes de. Crenças de consistentes com a stratégia de. quilíbrio Bayesiano Perfeito BP = ( s, µ ) Definição de BP : a estratégia e um sistema de crenças constituem um BP se eles possuem as seguintes propriedades: i. A estratégia s é seqüencialmente racional dado o sistema de crençasμ ii. O sistema de crenças µ é derivado de s através de regras de Bayes sempre que possível. Questão: as M são não completas, pois alguns CI podem ser realizados com Probabilidade nula. Isso inviabilizaria o uso de regra de Bayes. Saída: BP permite atribuir qualquer probabilidade positiva a CI que não seriam realizados. [visão agnóstica] ( ) Isso significa que CI que Pr CI / s >, temos: Pr ( x/ s) µ ( x) = x CI Pr ( CI / s) Proposição: uma estratégia s é um quilíbrio de Nash de um jogo na forma extensiva se e somente se existe um sistema de crenças µ tal que: i. A estratégia s é seqüencialmente racional dado µ em todo conjunto de informação tal que Prob(CI / s) > ii. O sistema de crenças µ é derivado de s através de Regra de Bayes, sempre que possível. Observação: exige-se racionalidade seqüencial apenas para o caminho do equilíbrio. Proposição: todo equilíbrio Bayesiano perfeito é um equilíbrio de Nash, mas nem todo quilíbrio de Nash é um BP. 4 6

7 Voltanto ao xemplo : Jogo dinâmico de informação imperfeita NPS: (out, lutar NPS: (, acomodar (,) (-,-) (,) (-,-) (,) quilíbrio Bayesiano Perfeito : Firma deve jogar se ntrada ocorre, porque esta é a ação ótima da firma iniciando em seu conjunto de informação para qualquer sistema de crenças. µ(x)=, pois a Prob (CI/, acomodar se entrar)> BP = ( se entrar, ) É único. s= acomodar se entrar é uma estratégia seqüencialmente racional. Join Venture entry Game ntrar Só Propor JV itular acomodar Aceitar Rejeitar acomodar acomodar Análise de possibilidades: Firma deve aceitar a JV, pois isso garante um payoff positivo para ela, qualquer que seja a estratégia escolhida pela firma. Firma deve propor a JV, pois se aceita, a firma estará melhor, qualquer que seja a estratégia escolhida por. (-,,) (,,) (,,-) (4,4,) (-,,) (,,) Descrição: rês Firmas:,, itular Firma tem uma tecnologia importante para a firma Firma itular: observa se entra mas não sabe se ela conta com a aliança de A join Venture é imbatível mesmo se a firma itular lutar. 5 6 Pr ( CIitular / s ) > Aplicando Bayes: probabilidade do ponto de decisão do meio no Conjunto de informação do =. A estratégia ótima de no ponto de decisão do meio = se a ntrada ocorre. BP = {( Pr opor JV, se declina ), (Aceitar), ( Aco mod ar se ntra) } ro NPS, porém em ameaça vazia: Novo xemplo: IN IN µ ( µ ) Jogador : deseja lutar se entra via IN Jogador : sua jogada ótima depende do comportamento de que é indicado por ou seja, deseja entrar se >-. γ γ NPS = {(, se declina ),( Declina),( se ntra) } γ Solução: crenças consistentes exige-nos olhar apenas para o caso em que > γ 7 8 7

8 µ itular = crença de de que é a estratégia que escolherá se entrar. ( µ itular ) = crença de de que é a estratégia que escolherá se entrar. Firma deseja se e somente se: Ganho de Ganho de - µ + ( µ ) µ BP : µ = ( µ ) = Firma deve aleatorizar no equilibrio com probabilidade positiva de jogar e Situacoes que nao funcionam: ) Se µ > em BP isso geraria uma contradiçao, pois, nesse caso, deveria com prob.,, isso implicaria que deveria escolher, com prob., o BP iria requerer µ =, o que representa uma contradiçao. Situacoes que nao funcionam: ) Se µ < em BP isso geraria uma contradiçao, pois, nesse caso, deveria com prob.,, isso implicaria que deveria escolher, com prob., o BP BP : iria requerer µ =, o que representa uma contradiçao. µ = ( µ ) = Firma deve aleatorizar no equilibrio com probabilidade positiva de jogar e 9 Isso significa que a probabilidade de lutar deve fazer com que a firma seja indiferente entre IN e IN: = IN IN σ + ( σ ) = γσ + ( σ ) σ = γ + ou ( γ + ) = > Pr ( ) = γ + IN IN BP para γ >: ( σ, σ, σ ) =,, σ = ; µ = γ + 8