C 0 grupo gerado pelo operador de ondas em R N

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1 Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós Graduação em Matemática Mestrado em Matemática C grupo gerado pelo operador de ondas em R N Igor Laélio Barbosa Souza João Pessoa PB Março de 25

2 Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós Graduação em Matemática Mestrado em Matemática C grupo gerado pelo operador de ondas em R N por Igor Laélio Barbosa Souza sob a orientação do professor Prof. Dr. Flank David Morais Bezerra João Pessoa PB Março de 25

3 Catalogação na publicação Universidade Federal da Paraíba Biblioteca Setorial do CCEN S729c Souza, Igor Laélio Barbosa. C grupo gerado pelo operador de ondas em R N / Igor Laélio Barbosa Souza- João Pessoa, f. Orientador: Flank David Morais Bezerra Dissertação (Mestrado)- UFPB/CCEN.. Matemática. 2. Semigrupos. 3. Grupos. 4. Operador de ondas. 5. Gerador infinitesimal-c grupos. UFPB/BC CDU: 5(43)

4 C grupo gerado pelo operador de ondas em R N por Igor Laélio Barbosa Souza Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós Graduação em Matemática da Universidade Federal da Paraíba como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Análise Aprovada em 2 de março de 25. Banca Examinadora: Prof. Dr. Flank David Morais Bezerra UFPB (Orientador) Prof. Dr. Jefferson Abrantes dos Santos UFCG (Examinador Externo) Profa. Dra. Miriam da Silva Pereira UFPB (Examinador Interno) O autor foi bolsista da CAPES durante a elaboração desta dissertação.

5 Aos meus pais...

6 Agradecimentos A Deus, Grande Arquiteto do Universo, pela fonte de sabedoria, inspiração e pela conclusão de mais uma etapa da minha vida, na qual sempre esteve presente. Aos meus queridos e amados pais, Norma Suely e Hélio Lucas, pelo apoio incondicional, carinho, exemplo e dignidade, fundamentais para a formação do meu caráter, por terem colocado os estudos como prioridade e pelo incentivo dado a cada passo que caminhei. Aos meus irmãos, Ingrid Raíra, Ian Felipe e Devid Lucas pela força e ajuda nos melhores e piores momentos. Às minhas tias, em especial Tia Ane, por todo apoio que me deu. Ao meu orientador, o professor Doutor Flank David Morais Bezerra, pela paciência, apoio, postura, dedicação e contribuições, mostrando-se sempre disponível. Aos meus colegas de Mestrado, em especial Cassio Nunes, Isabelly Camila e Wasthenny Vasconcelos por todas as horas de estudos em grupo. Aos membros da banca examinadora que se dispusera a avaliar este trabalho. Aos demais professores do Curso de Mestrado em Matemática da Universidade Federal da Paraíba. À CAPES, pelo apoio financeiro. Enfim, a todos aqueles que direta ou indiretamente contribuíram para a minha formação profissional, ética e moral.

7 Se a saudade chegasse pelo ar como as ondas da rádio, em que lembrança você sintonizaria a memória? Cristovam Buarque

8 Resumo Neste trabalho apresentamos uma introdução à teoria de C semigrupos (e C gru po) de operadores lineares e limitados, e mostramos que operador de ondas em R N é o gerador infinitesimal de um C grupo de operadores lineares e limitados em um espaço de Banach apropriado. Palavras-chave: semigrupos, grupos, operador de ondas, gerador infinitesimal de C grupos.

9 Abstract In this work, we present an introduction to the theory of C semigroup (and C group) of bounded linear operators, and we show that wave operator in R N is the infinitesimal generator of a C group of bounded linear operators in a appropriate Banach space. Keywords: semigroups, groups, waves operator, infinitesimal generator of C groups.

10 Sumário Introdução Resultados básicos da teoria das distribuições 4. Espaço das funções testes Distribuições sobre um aberto do R N Distribuições temperadas Transformada de Fourier Espaços de Sobolev Semigrupos de operadores lineares e limitados Semigrupos uniformemente contínuos de operadores lineares e limitados Semigrupos fortemente contínuos de operadores lineares e limitados O Teorema de Hille-Yosida Teorema de Lumer-Phillips A caracterização do gerador infinitesimal de C semigrupos C grupos de operadores lineares e limitados A transformada inversa de Laplace O dual de um semigrupo Perturbações e aproximações O operador de ondas em R N 3 3. Equação de ondas C grupo gerado pelo operador de ondas C Semigrupo gerado pelo operador de ondas amortecidas Referências Bibliográficas 4 x

11 Notações N denota o conjunto dos números naturais {, 2,...}; Z denota o conjunto dos números inteiros {..., 2,,,, 2,...}; K denota o corpo dos números reais, R, ou corpo dos números complexos, C; I n denota a matriz identidade de ordem n; L(X, Y ) denota o espaço dos operadores lineares limitados de X em Y, onde X e Y são espaços de Banach, munido da norma T L(X,Y ) = sup T x Y ; x X x X Em particular, denotaremos o espaço L(X, X) simplesmente por L(X); X Y denota a imersão do espaço topológico X no espaço topológico Y, isto é, o espaço topológico X é um subespaço topológico de Y e a aplicação identidade definida em X e tomando valores em Y é contínua; Ω denota a fronteira de Ω, onde Ω R N é um conjunto aberto; R(A) denota a imagem do operador A. int(ω) denota o interior do conjunto Ω. d(a, B) denota a distância do conjunto A ao conjunto B. xi

12 Introdução Neste trabalho estudamos teoria das distribuições, a transformada de Fourier e a teoria de semigrupos e grupos de operadores lineares e limitados em espaços de Banach. O nosso principal objetivo é provar que o operador de ondas em R N é o gerador infinitesimal de um C grupo de operadores lineares e limitados em um apropriado espaço de Banach. Para melhor descrever o resultado aqui estudados, a seguir, daremos algumas definições. Seja X um espaço de Banach. Entende-se por um semigrupo de operadores lineares e limitados em X, uma família {T (t)} t de operadores lineares e limitados de X em X que satisfaz (i) T () = I (I é o operador identidade em X); (ii) T (t + s) = T (t)t (s) para todos t, s. Um semigrupo de operadores lineares e limitados {T (t)} t será chamado de fortemente contínuo ou C semigrupo se lim T (t)x = x, para todo x X. t + O operador linear A : D(A) X definido no domínio pela lei de formação D(A) = Ax = lim t + T (t)x x t { x X; lim T (t)x x t + t = d+ T (t)x dt } existe para todo x D(A) t= é chamado de gerador infinitesimal do semigrupo {T (t)} t. Uma família {T (t)} <t< de operadores lineares e limitados em um espaço de Banach X é um C grupo de operadores lineares e limitados se (i) T () = I (I é o operador identidade em X); (ii) T (t + s) = T (t)t (s) para todos < t, s < ;

13 (iii) lim t T (t)x = x, para todo x X. O gerador infinitesimal A do grupo {T (t)} <t< é definido por Ax = lim t T (t)x x t quando o limite existe, o domínio de A é o conjunto de todos os elementos x X onde o limite acima existe. Seja X um espaço de Banach. Considere A : D(A) X um operador linear(não necessariamente limitado), u D(A) e o problema de valor inicial para uma equação diferencial linear autônoma em [, ), du = Au, t >, dt u() = u. Supondo que o problema () possui uma única solução global, em algum sentido, isto é, existe uma única aplicação u : [, ) X tal que u(t) D(A) para todo t, vale a equação du dt = Au, em algum sentido para todo t e u() = u. A idéia da teoria de semigrupos é que a solução de um problema de valor inicial, como o problema (), para um operador linear não limitado A sobre um espaço de Banach X; possa ser dada por T (t)u, para todo t, se o operador A gerar o semigrupo. Esta teoria, é portanto, uma ferramenta poderosa no estudo de solução de sistemas equações diferenciais. Estruturamos o trabalho da seguinte maneira. No Capítulo, estudamos os resultados necessários a serem utilizados no decorrer do trabalho. Iniciamos com resultados básicos da teoria das distribuições, também apresentamos a transformada de Fourier e finalmente os espaços de Sobolev. capítulo tem como base o livro do Medeiros [] () Este No Capítulo 2, apresentamos a teoria de C semigrupos de operadores lineares e limitados e a caracterização dos seus geradores infinitesimais. Este capítulo tem como base o livro do Pazy [2]. No Capítulo 3, estudamos o problema de valor inicial para a equação de ondas em R N, isto é, 2 u t = u, x 2 RN, t > u(x, ) = u (x), u t (x, ) = v (x), x R N. 2 (2)

14 Este problema de valor inicial é equivalente ao sistema de primeira ordem u = I u, t v v u (x, ) = u (x), x R N, v v (x) (3) onde v = u. Usando teoria de semigrupos de operadores lineares e limitados, mostramos que o operador ( ) t I A := é o gerador infinitesimal de um C grupo de operadores lineares e limitados para uma escolha apropriada do espaço de Banach. Assim, o problema (2) está associado a um C grupo {T (t)} <t<, onde T (t) = e ta, para todo t R. Finalmente, apresentamos o problema de valor inicial para a equação de ondas amortecidas em R N, isto é, 2 u t + a(x) u 2 t = u, x RN, t > u u(x, ) = u (x), t (x, ) = v (x), x R N, onde a função a : R N R é estritamente positiva, tal que < a a(x) a, para todo x R N. Usando teoria de semigrupos de operadores lineares e limitados, e Teorema 2.57, mostramos que o operador ( ) ( ) I C := + a(x)i é o gerador infinitesimal de um C semigrupo. Assim, o problema (4) está associado a um C grupo {T (t)} <t<, onde T (t) = e tc, para todo t R. (4) 3

15 Capítulo Resultados básicos da teoria das distribuições Este capítulo é dedicado à teoria das distribuições. Alguns resultados sobre os espaços de Lebesgue L p (Ω) são enunciados e suas provas são omitidas. Para maiores detalhes, veja [, 7, 8,, 6]. Seja N N. Dados α = (α,..., α N ) N N e x = (x,..., x N ) R N, define-se α = α α N, x α = x α... x α N N, e α! = α!... α N!. No que segue, D α denota operador derivação de ordem α e é definido por α x α... x α. N N Em particular, se α = (,..., ) define-se D u = u para toda função u, e se α é uma lista cujas entradas são todas iguais a zero, exceto a i ésima entrada que é igual, u define D i como sendo a derivada parcial da função u com relação à variável x i. x i Se α, β N N, então escreve-se β α quando β i α i para i =,..., N. Quando u e v forem funções numéricas suficientemente deriváveis, tem-se a regra de Leibnz dada por D α (uv) = β α α! β!(α β)! (Dβ u)(d α β v).. Espaço das funções testes Sejam u uma função numérica e mensurável definida em um conjunto Ω R N, e {O i } i I a família de todos subconjuntos abertos O i de Ω tais que u = quase sempre (q.s.) em O i. Considere o subconjunto aberto O = i I O i, então u = quase sempre em O. Como consequência deste fato, temos a seguinte definição. 4

16 . Resultados básicos da teoria das distribuições Definição.. Sejam u uma função numérica e mensurável definida em um conjunto Ω R N, e {O i } i I a família de todos subconjuntos abertos O i de Ω tais que u = quase sempre (q.s.) em O i. O subconjunto fechado de Ω, tal que supp(u) = Ω\O é chamado de suporte de u, denotado por supp(u). Observe que se u for contínua em Ω, então supp(u) = {x Ω; u(x) }, ou seja, o supp(u) é o fecho do conjunto {x Ω; u(x) } em Ω. Proposição.. Sejam u e v funções numéricas, mensuráveis em Ω e λ K, λ. Então (i) supp(u + v) [supp(u)] [supp(v)]; (ii) supp(uv) [supp(u)] [supp(v)]; (iii) supp(λu) = λsupp(u). Prova: Para provar (i), dado x / [supp(u)] [supp(v)], então x / supp(u), isto é, x O u, onde O u = O iu, i I u e {O iu } i Iu é uma família dos abertos onde u é zero quase sempre. Por outro lado, x / supp(v), isto é, x O v, onde O v = O iv e {O iv } i Iv é uma família dos abertos i I v onde v é zero quase sempre. Daí, x O u O v = O iuv, onde O iuv é um aberto contido em Ω, com u + v = quase sempre em O iuv. Então x O, tal que Logo, x / supp(u + v) e portanto O = i I uv O iuv. supp(u + v) [supp(u)] [supp(v)]. Para provar (ii), dado x / [supp(u)] [supp(v)], então x O uv, onde O uv = O iuv, i I uv 5

17 . Resultados básicos da teoria das distribuições sendo u = = v quase sempre em O iuv, onde O iuv são abertos de Ω. Isso significa que uv = quase sempre em O iuv, onde O iuv é um aberto de Ω. Então x O uv tal que Logo, x / supp(uv) e portanto O uv = i I uv O iuv. supp(uv) [supp(u)] [supp(v)]. Para provar (iii), considere os seguintes conjuntos, F = {O i Ω; O i aberto e u = q.s. em O i }, F 2 = {P i Ω; P i aberto e λu = q.s. em P i }. Claramente F = F 2, basta notar que O i F O i = P i F 2 P i o que é equivalente a ( ) Ω\ O i F O i = Ω\ ( P i F 2 P i ), e pela definição de suporte, supp(u) = supp(λu). (.) Não é difícil notar que λsupp(u) = supp(u), (.2) logo, por. e.2, λsupp(u) = supp(λu). (.3) Proposição.2. Seja u uma função numérica e mensurável no R N. A função τ y u definida por (τ y u)(x) = u(x y), denominada translação de u por y, tem a seguinte 6

18 . Resultados básicos da teoria das distribuições propriedade supp(τ y u) = y + supp(u). (.4) Prova: Se x / y + supp(u), então não existe z supp(u) tal que x = y + z, ou seja, x y = z. Isto implica que x y / supp(u), logo x y O = i I O i, onde u( ) = quase sempre em O i, isto é, x y O i tal que u( ) = quase sempre em O i, segue que x O i + y tal que u( y) = quase sempre em O i, portanto, x / supp(τ y u). Agora se x / supp(τ y u), então x O = i I O i, isto implica que x O i tal que τ y u( ) = quase sempre em O i, logo u( y) = quase sempre em O i, então x y O i tal que u( ) = quase sempre em O i, portanto x y / supp(u), segue que x / y + supp(u), o que prova (.4). Agora apresentaremos os espaços L p (Ω) e algumas propriedades. Definição.2. Sejam Ω um subconjunto aberto do R N e p <, denota-se por L p (Ω), a classe de todas as funções u definidas em Ω, mensuráveis tais que u p é integrável em Ω, munido da norma u L p (Ω) = ( Ω ) u(x) p p dx. O espaço L p (Ω) munido da norma L p (Ω) é um espaço de Banach. Quando p = 2, L 2 (Ω) é um espaço de Hilbert com o produto escalar onde v é o conjugado de v. (u, v) L 2 (Ω) = Ω u(x)v(x)dx, Definição.3. Seja Ω um subconjunto aberto do R N. Denota-se por L (Ω) a classe de todas as funções u definidas em Ω, mensuráveis em Ω que são essencialmente limitadas munido da norma u L (Ω) = sup ess u(x), x Ω 7

19 . Resultados básicos da teoria das distribuições onde L (Ω) pode ser apresentada como em [4], na seção 4.2. Definição.4. Diz-se que u L p loc (Ω) ( p < ) se uχ K L p (Ω) para todo conjunto compacto K Ω, onde uχ K (x) = u(x) se x K e uχ K (x) = se x / K. R N. Note que se u L p loc (Ω), então u L loc (Ω), seja qual for Ω subconjunto aberto do Definição.5. Sejam u e v funções numéricas definidas no R N. Define-se convolução das funções u e v a operação (u v)(x) = u(x y)v(y)dy = R N v(x y)u(y)dy. R N A seguir, temos mais uma propriedade do suporte de funções nos espaços L p (R N ). Proposição.3. Sejam u L (R N ) e v L q (R N ) com q. Então supp(u v) supp(u) + supp(v). (.5) Prova: Fixe x R N tal que a função y u(x y)v(y) seja integrável. Temos (u v)(x) = u(x y)v(y)dy = R N [x supp(u)] [supp(v)] u(x y)v(y)dy. Utilizando as propriedades de suporte apresentadas, prova-se a segunda igualdade: supp(u(x y)v(y)) [supp(u(x y))] [supp(v(y))] = [x supp(u)] [supp(v(y))]. Se x / supp(u) + supp(v), então [x supp(u)] [supp(v)] =, pois nesse caso, x / supp(v). Assim u(x y)v(y) =, ou seja, (u v)(x) =. Isso significa que x / supp(u v), logo (u v)(x) = q.s. em [supp(u) + supp(v)] c. Em particular (u v)(x) = q.s. em int((supp(u) + supp(v)) c ). Portanto, supp(u v) supp(u) + supp(v). Definição.6. Seja Ω um subconjunto aberto do R N. O espaço vetorial das funções numéricas definidas em Ω com suporte compacto, possuindo derivadas parciais de todas as ordens em todos os pontos de Ω é representado por C (Ω). Os elementos de C (Ω) são chamados de funções testes em Ω. 8

20 . Resultados básicos da teoria das distribuições Exemplo.. Seja ρ : R N R a função definida por e x 2 se x < ρ(x) = se x, onde x 2 = x 2 + x x 2 N, tem-se ρ C (R N ). Lema.4. Seja k = R N ρ(x)dx, onde ρ é a função do Exemplo. e para cada n N considere a função ρ n : R N R definida por ( n N ρ n (x) = k ) ρ (nx), para todo x R N. Então ρ n é uma função teste do R N possuindo as seguintes propriedades () ρ n (x) n N /ke; (2) supp(ρ n ) = {x R N ; x /n}; (3) ρ n (x)dx = ρ n (x) =. R N x /n Prova: Note que ρ n (x) para todo x R N. Além disso, observa-se que para x < /n e x 2 e, pois x 2. Então ( ) n N e k x 2 ( n N ke ), (.6) o que implica ρ n (x) n N /ke para x < /n. Para provar (2), basta notar que sendo ρ n uma função contínua, segue que supp(ρ n ) = {x R N ; ρ n (x) }, mas por (), supp(ρ n ) = {x R N ; nx < } = {x R N ; x /n}. 9

21 . Resultados básicos da teoria das distribuições Para provar (3), vamos calcular a integral de ρ n. R N ρ n (x)dx = = = ( n N R k ( N ) n N k ( ) n N k ) ρ(nx)dx x </n x </n Fazendo y = nx, então dy = n N dx, e daí R N ρ n (x)dx = = = ( ) e nx n N 2 dx + k e nx 2 dx. ( ) n N k ( ) n N k ( ) k x </n y < y < e e e nx 2 dx y 2 dy n N y 2 dy. x /n e nx 2 dx Substituindo k, temos ρ n (x)dx = R N x </n ρ n (x)dx =. Definição.7. Uma sequência de funções testes no R N com as propriedades (), (2) e (3) é denominada sequência regularizante. Lema.5. Se u C (R N ), então u L (R N ). Prova: De fato, basta notar que u(x) dx = R N supp(u) u L (R N ) u(x) dx supp(u) dx = u L (R N ) supp(u) <, onde supp(u) é a medida do suporte de u. Portanto, u pertence a L (R N ). Proposição.6. Sejam u C (R N ) e v L p (R N ), p <. Então D α (u v) = (D α u) v para todo α N N e u v pertence a C L p (R N ). Se v possui suporte compacto, então u v é uma função teste no R N.

22 . Resultados básicos da teoria das distribuições Prova: Para mostrar que D α (u v) = (D α u) v, é suficiente provar para um α j = (,,...,,,..., ), onde a j-ésima posição é e as demais são iguais a zero, então D α (u v) = D j (u v) = usando a definição de derivada, temos x j (u v), (u v)(x + he j ) (u v)(x) (u v)(x) = lim x j h h [ = lim u(x + he j y)v(y)dy h h R N = lim h R N ] u(x y)v(y)dy R [ ] N u(x + hej y) u(x y) v(y)dy. Pelo teorema da convergência dominada de Lebesgue, segue Logo, [ ] u(x + hej y) u(x y) (u v)(x) = lim v(y)dy x j h R h [ N ] u(x y + he j ) u(x y) = lim v(y)dy R N h h ( ) = u(x y) v(y)dy. x j R N h x j (u v)(x) = ( u/ x j v)(x), para todo j,..., N. (.7) Portanto, D α (u v) = (D α u) v, para todo α N N. Para provar que u v pertence a L p (R N ), basta usar o teorema 2 associado ao Lema Teorema.7 (Teorema da convergência dominada de Lebesgue). Seja {f n } n N uma sequência de funções em L (Ω) que satisfaçam (a) f n (x) f(x) q.s. em Ω; (b) Existe uma função g em L (Ω) tal que para todo n N, f n (x) g(x) q.s. em Ω. Então f L (Ω) e f n f L (Ω). Prova: Ver [3], p. 44, Teorema

23 . Resultados básicos da teoria das distribuições.5. Para mostrar que u v pertence a C (R N ), considere u C (R N ) e v L p (R N ), segue que u/ x j C (R N ) e assim ( u/ x j v)(x) C (R N ), pois se x n x para todo n N, então ( ) u v (x n ) = x j R N Calculando o limite quando n tente ao, segue ( ) u lim v (x n ) = lim n x j = = = x j [u(x n y)]v(y)dy. n R N R N lim n [u(x n y)]v(y)dy x j [u(x n y)]v(y)dy x j [u(x y)]v(y)dy R x N j ( ) u v (x). x j Segue que u v C (R N ), portanto, u v pertence a C (R N ) L p (R N ). Para mostrar a terceira e última parte, basta usar (.5), ou seja, supp(d α u v) supp(d α u) + supp(v), como supp(d α u) e supp(v) são compactos, e supp(d α u v) = supp(d α (u v)), temos supp(d α (u v)) contido em um compacto. Agora, usando o fato de que supp(d α (u v)) supp(u v), segue que supp(u v) está contido em um compacto, ou seja, u v é uma função teste do R N. Lema.9. Sejam K e F dois subconjuntos do R N, disjuntos, onde K compacto e F fechado. Existe uma função teste φ no R N tal que φ(x) em K, φ(x) em F e φ(x). Teorema.8 (Desigualdade de Young). Sejam u L (R N ) e v L p (R N ) com p. Então para quase todo x R N a função u u(x y)v(y) é integrável em R N, além disso, u v L p (R N ) e vale a desigualdade Prova: Ver [8], p. 24, Teorema 8.7. u v L p (R N ) u L (R N ) v L p (R N ). (.8) 2

24 . Resultados básicos da teoria das distribuições Prova: Para construir uma função φ que satisfaça as condições impostas, considere ɛ = d(k, F )/4 e construa os conjuntos F = {x R N ; d(x, K) 2ɛ} e K = {x R N ; d(x, K) ɛ}. Definindo a função v : R N R de modo que v(x) = d(x, F )/[d(x, F ) + d(x, K )] para todo x R N, a função procurada é dada por φ = ρ n v, onde ρ n é apresentada no Lema.4 e n N tal que ɛn. De fato, quando x F, segue que v(x) =, logo φ = ρ n v = R N ( n N Quando x K, segue que v(x) =, logo φ = ρ n v = R N k ( n N E para x / K F, segue que < v(x) <, logo φ = ρ n v = assim, φ é a função desejada. R N k ( n N k ) ρ (n(x y)) dy =. ) ρ (n(x y)) dy =. ) ρ (n(x y)) v(y)dy, A partir de agora, nosso objetivo é mostrar que C (Ω) é denso em L p (Ω), p <. Para tal, começaremos com o seguinte resultado de continuidade. Proposição.. Seja u L p (Ω), p <. Então a aplicação translação R N L p (R N ) y τ y u é contínua. Prova: Considerando y R N e {y n } um sequência de vetores de R N com y n y, tem-se τ yn u τ y u p = u(x y L p (R N ) n ) u(x y) p dx R N = u(x y z n ) u(x y) p dx R N = u(x z n ) u(x) p dx, R N onde z n = (y n y). 3

25 . Resultados básicos da teoria das distribuições Observe que é suficiente demonstrar que a aplicação é contínua para y =. Para isso, seja {y n } é uma sequência de vetores do R N tal que y n, prova-se a continuidade para u = χ O onde χ O é a função característica de um subconjunto aberto limitado O de R N, ou seja, u(x), se x O χ O (x) =, se x R N \O. Tem-se τ yn u τ y u p L p (R N ) = R N χ O (x y n ) χ O (x) p dx. (.9) Observe que χ O (x y n ) χ O (x) para todo x R N \ O. De fato, se x O, então lim χ O(x y n ) = χ O (x). Se x int(r N \ O), então χ O (x) = e lim χ O (x y n ) = n n χ O (x) =, logo χ O (x y n ) χ O (x), q.s. em R N. (.) Por outro lado, onde U = χ O (x y n ) χ U (x) p χ U (x) p, para todo x R N, (.) (O + y n ) O é um subconjunto aberto do R N. De fato, se x U, então n= χ U (x) se x / (O + y n ) χ O (x y n ) χ U (x) = n= χ U (x) se x / O. Portanto, vale (.) e aplicando o teorema da convergência dominada de Lebesgue (veja Teorema.7) a integral da direita de (.9), usando (.) e (.) temos ou seja, χ O (x y n ) χ O (x) p dx = lim χ O (x y n ) χ O (x) p dx =, R N n R N τ yn u u em L p (R N ) quando n. Logo a translação é contínua em y = para uma função escada u do R N, isto é, u é igual a uma combinação linear finita de funções características de subconjuntos abertos limitados de R N. Note que o conjunto das funções escadas de R N é denso em L p (R N ). Então, dados 4

26 . Resultados básicos da teoria das distribuições u L p (R N ) e ɛ >, existe uma função ϕ de R N tal que u ϕ L p (R N ) < ɛ/3. Tem-se τ yn u u L p (R N ) = τ yn u τ yn ϕ + τ yn ϕ ϕ + ϕ u L p (R N ) τ yn u τ yn ϕ L p (R N ) + τ yn ϕ ϕ L p (R N ) + ϕ u L p (R N ) = τ yn (u ϕ) L p (R N ) + τ yn ϕ ϕ L p (R N ) + ϕ u L p (R N ) = u ϕ L p (R N ) + τ yn ϕ ϕ L p (R N ) + ϕ u L p (R N ) = 2 u ϕ L p (R N ) + τ yn ϕ ϕ L p (R N ) < 2ɛ/3 + ɛ/3 = ɛ, para todo n n, o que prova o resultado desejado. Teorema.. Seja {ρ n } uma sequência regularizante dada no Lema.4. Se u L p (R N ), p <, então a sequência {ρ n u} converge para u em L p (R N ). Prova: Usando o fato de que ρ y /n n(y)dy =, temos (ρ n u)(x) u(x) = = ρ n (y)u(x y)dy ρ n (y)u(x)dy y /n y /n ρ n (y)[u(x y) u(x)]dy. (.2) y /n Quando p =, resulta do teorema de Fubini 3 ρ n u u L (R N ) = = R N y /n y /n 3 ρ n (y)[u(x y) u(x)]dy dx ( ) ρ n (y) [u(x y) u(x)] dx dy R N y /n ρ n (y) τ y u u L (R N )dy. Teorema.2 (Teorema de Fubini). Sejam Ω, Ω 2 subconjuntos abertos do R N. Assuma que F L (Ω Ω 2 ). Então para x Ω, q.s., F L y(ω 2 ) e Ω 2 F (x, y)dµ 2 L x(ω ). Analogamente, para y Ω 2, q.s., F L x(ω ) e Ω F (x, y)dµ L y(ω 2 ). Além disso, dµ Ω F (x, y)dµ 2 = Ω 2 dµ 2 Ω 2 F (x, y)dµ = Ω F (x, y)dµ dµ 2. Ω Ω 2 (.3) Prova: Ver [3], p. 9, Teorema.. 5

27 . Resultados básicos da teoria das distribuições Pela proposição anterior, sabe-se que τ y u é contínua, logo lim (ρ n u) u L n (R N ) =. No caso < p <, considere q tal que p + q Hölder 4, obtém-se (ρ n u)(x) u(x) p y /n =. De (.2) e da desigualdade de ρ n (y)[u(x y) u(x)] p dy ( ) p ρ n (y) q q dy [u(x y) u(x)] p dy. y /n y /n (.4) Pela propriedade () de sequências regularizantes, ρ n (x) nn ke, assim y /n ρ n (y) q dy y /n onde w N é o volume da esfera unitária do R N. Portanto n Nq nnq dy = dy = nnq k q eq k q e q y /n k q e w q N n, N ( ρ n (y) q dy y /n ) p q ( n Nq N k q e q w N = w p q N n(nq N) p q k p e p = Cn Np( q ) ) p q = Cn N, (.5) onde C = wp/q N k p e p e sabemos que =. Considerando (.4) e (.5), temos q p ρ n u u p Cn N y /n [u(x y) u(x)] p dy. 4 Teorema.3 (Desigualdade de Hölder). Sejam f L p (Ω) e g L q (Ω), com p e p + q =, (se p =, então q = ) então fg L (Ω) e Prova: Ver [4], p. 96, Teorema 4.6. fg L (Ω) f L p (Ω) g L q (Ω). 6

28 . Resultados básicos da teoria das distribuições Integrando ambos os lados e aplicando o teorema de Fubini (veja Teorema.2), segue ρ n u u p dx Cn N R N y /n [u(x y) u(x)] p dxdy R N Cw N sup y /n τ y u u p. L p (R N ) Novamente pela continuidade da translação de τ y, segue que o que prova o teorema. Observação.. lim (ρ n u) u p =, n L p (R N ) É interessante mencionar o caso linear do Teorema da mudança de variáveis 5, que foi usado para mostrar que dy = w N y /n n N. Onde o volume da esfera de raio r, w N (r) é dado por w N (r) = rn π N/2 quando N é par e w (N/2)! N (r) = N! [rn π (N )/2 2 ( ) N N 2!] quando N é ímpar. Observe que destas fórmulas resulta lim w N(r) =. N Para mais detalhes, consulte [9], p. 394, Exercício 6.2. Então, para mostrar que y /n dy = w N n N, façamos f(y) =, T (x) = n x e X = B(; ). 5 y /n dy = = = y /n ny B(;) = w N n N. f(y)dy f(y)dy n N dx Teorema.4 (Teorema da mudança de variáveis, caso linear). Sejam T : R N R N uma transformação linear invertível, X R N um conjunto J-mensurável e f : T (X) R uma função integrável. Então f(y)dy = f(t x) det T dx T (X) Prova: Ver [9], p. 382, Seção VI. X 7

29 . Resultados básicos da teoria das distribuições Lema.5. Seja Ω um subconjunto aberto do R N. Existe uma sequência de conjuntos compactos {K n } tal que K n K n+ para todo n N, e Ω = n= K n. Prova: Basta tomar K n do seguinte modo K n = { x Ω; d (x, Ω) } {x R N ; x n}. n Teorema.6. O espaço C (Ω) é denso em L p (Ω) para p <. Prova: Seja u L p (Ω). Pelo Lema.5, existe uma sequência de subconjuntos compactos {K n } em Ω, para cada n N. Considere a função u n = uχ Kn, onde χ Kn a função característica de K n. Note que u n L p (Ω) para cada n, e a sequência {u n } converge para u em L p (Ω), essa convergência decorre do Teorema da convergência dominada de Lebesgue (veja Teorema.7). Do modo que as funções u n foram definidas, elas possuem suporte compacto, então para provar o teorema, basta aproximar as funções u n por funções de C (Ω). Para isto, seja u L p (Ω), u com suporte compacto, e considere r = d(supp(u), Ω), que é um número positivo. Defina ũ : R N K por u(x), se x Ω ũ(x) =, se x R N \Ω. Duas propriedades são claras para ũ. () ũ L p (R N ). Basta observar que ũ p dx = R N Ω ũ p dx + ũ p dx = u p dx < R N \Ω Ω (2) supp(ũ) = supp(u) é um compacto do R N. Essa igualdade dos suportes segue diretamente de suas propriedades apresentadas anteriormente. Portanto, pelo Teorema., (ρ n ũ) é uma sequência de funções testes no R N que converge para u em L p (R N ). Seja v n a restrição a Ω da função ρ n ũ, então v n é uma função teste em Ω para cada n 2/r e a sequência converge para u em L p (Ω). 8

30 . Resultados básicos da teoria das distribuições Definição.8. Diz-se que um sequência {ϕ n } de funções de C (Ω) converge para zero, quando as seguintes condições forem satisfeitas a) Os suportes de todas as funções testes ϕ n estão contidos num compacto fixo K, ou seja, supp(ϕ n ) K para todo n =, 2,.... b) Para cada multi-índice α N N, a sequência {D α ϕ n } converge uniformemente em K. Para ϕ C (Ω), diz-se que ϕ n converge para ϕ em C (Ω), quando a sequência {ϕ n ϕ} converge para zero no sentido dado acima. Denominaremos por espaço das funções testes em Ω e representaremos por D(Ω) o espaço vetorial C (Ω) com esta noção de convergência..2 Distribuições sobre um aberto do R N Nesta seção apresentaremos a noção de distribuições sobre um conjunto aberto contido no R N. Definição.9. Seja Ω um subconjunto aberto do R N. Uma distribuição sobre Ω é um funcional linear T sobre D(Ω) que é contínuo no sentido da convergência definida sobre D(Ω), ou seja, a sequência { T, ϕ n } converge para zero em K, sempre que a sequência {ϕ n } em D(Ω), converge para zero no sentido da Definição.8. Note que T, ϕ n é o valor de T em ϕ n. O conjunto de todas as distribuições sobre Ω é um espaço vetorial com as operações usuais, a saber, este espaço é o dual topológico, D (Ω), de D(Ω). Neste espaço vetorial, diz-se que uma sequência {T n } converge para zero em D (Ω), quando para toda função teste ϕ D(Ω), a sequência { T n, ϕ } converge para zero em K. Neste caso, escreve-se lim T n = em D (Ω) e diz-se que n quando lim T n = T em D (Ω) n lim (T n T ) = em D (Ω). n Exemplo.2. Seja u L loc (Ω). Considere o funcional linear T u definida em D(Ω) por T u, ϕ = Ω 9 u(x)ϕ(x)dx,

31 . Resultados básicos da teoria das distribuições para toda ϕ D(Ω). Então T u é uma distribuição sobre Ω. De fato, primeiramente note que T u está bem definida, pois se ϕ D(Ω), então ϕ C (Ω) e Ω (uϕ)(x)dx = supp(ϕ) supp(ϕ) C ϕ (uϕ)(x)dx supp(ϕ) onde as duas desigualdades são justificadas, por sup ϕ C ϕ e u L loc (Ω), res- x supp(ϕ) pectivamente. u(x) ϕ(x) dx u(x) dx <, Agora, para mostrar que T u é uma distribuição sobre Ω, suponha que ϕ n ϕ em D(Ω), então existe um compacto K Ω tal que supp(ϕ n ϕ) K para todo n =, 2,..., segue T u (ϕ n ) T u (ϕ) = = Ω Ω u(x)ϕ n (x)dx Ω u(x)ϕ(x)dx u(x)[ϕ n (x) ϕ(x)]dx u(x) dx, sup ϕ n (x) ϕ(x) x K como sup ϕ n (x) ϕ(x) quando n, segue que T n converge uniformemente x K para T em D(Ω). O lema a seguir caracteriza as distribuições quando u L loc (Ω). Lema.7 (Lema de Du Bois Raymond). Sejam u L loc (Ω) e T u definida no exemplo anterior. O funcional linear T u se, e somente se u quase sempre em Ω. Prova: Não é difícil ver que se u quase sempre em Ω, então T u. Para mostrar que a condição T u implica u = quase sempre em Ω, considere um subconjunto aberto limitado O de Ω, pelo Teorema.6, sabemos que D(O) é denso em L (O). Então dado u L (O), para cada ɛ > existe v D(O) tal que O K u v dx < ɛ. (.6) Por hipótese, u(x)ϕ(x)dx =, para toda ϕ D(O), pois O é um subconjunto O 2

32 . Resultados básicos da teoria das distribuições aberto limitado de Ω, então de (.6) temos O v(x)ϕ(x)dx = = v(x)ϕ(x)dx u(x)ϕ(x)dx O O [v(x)ϕ(x) u(x)ϕ(x)]dx O max ϕ v(x) u(x) dx O ɛmax ϕ, (.7) para toda ϕ D(O). Agora, considere os conjuntos K = {x O; v(x) ɛ} e K 2 = {x O; v(x) ɛ} que são compactos e disjuntos de Ω. Pelo Lema.9, existem ϕ e ϕ 2 em D(O) tais que ϕ = em K, ϕ = em K 2 e ϕ, ϕ 2 = em K, ϕ 2 = em K 2 e ϕ 2. Tomando ψ = ϕ ϕ 2, obtém-se: ψ = em K, ψ = em K 2 e ψ. Logo v(x)ψ(x)dx = v(x)ψ(x)dx + v(x)ψ(x)dx, O O\K K onde K = K K 2. Segue que v(x)ψ(x)dx = v(x)ψ(x)dx v(x)ψ(x)dx, K O O\K Observe que pela definição de K e K, que v ɛ em O\K, e levando em conta (.7) temos v(x)ψ(x)dx v(x)ψ(x)dx + v(x)ψ(x)dx K O O\K ɛ max ϕ + ɛ ψ(x) dx ɛ + ɛ O\K. O\K Usando a definição de ψ e desta última desigualdade, segue v(x) dx = v(x)ϕ(x) dx ɛ + ɛ O\K. K K 2

33 . Resultados básicos da teoria das distribuições Portanto O u(x) dx u(x) v(x) dx + v(x) dx + v(x) dx O K O\K ɛ + ɛ + ɛ O\K + ɛ O\K = 2ɛ + 2ɛ O\K. Fazendo ɛ tender a zero, obtém-se u quase sempre em O, como O foi escolhido arbitrariamente, resulta que u quase sempre em Ω. Observação.2. Basicamente o Lema de Du Bois Raymond nos diz que para cada u L loc (Ω), o funcional liner T u é determinado por uma única função u quase sempre em Ω, ou seja, se u, v L loc (Ω), então T u = T v se, e somente se u = v quase sempre em Ω. Por isso, diz-se a distribuição u ao invés de dizer a distribuição T u. Depois que caracterizamos as distribuições definidas por funções de L loc (Ω), uma pergunta natural é: Todas as distribuições são definidas por funções de L loc (Ω)? A resposta é negativa, como veremos no exemplo que segue. Exemplo.3. Seja x Ω e δ x a forma linear em D(Ω) definida do seguinte modo δ x, ϕ = ϕ(x ), para toda ϕ D(Ω). Primeiramente note que δ x está bem definida, pois para cada x Ω toda função ϕ D(Ω) está bem definida. Para mostrar que δ x é uma distribuição, tome uma sequência {ϕ n } em D(Ω) que converge para ϕ em D(Ω), então δ x, ϕ n = ϕ n (x ) ϕ(x ) = δ x, ϕ em R. Logo δ x é uma distribuição sobre Ω, denominada Distribuição de Dirac ou Medida de Dirac concentrada em x. Quando x = escreve-se δ. Agora vamos mostrar que δ x não é definida por uma função u L loc (Ω), isto é, não existe u L loc (Ω) de modo que Ω u(x)ϕ(x)dx = ϕ(x ), para toda ϕ D(Ω). De fato, se existisse uma tal função u, então Ω u(x) x x 2 ϕ(x)dx = x x 2 ϕ(x ) x=x =, 22

34 . Resultados básicos da teoria das distribuições para toda ϕ D(Ω), mas pelo Lema de Du Bois Raymond tem-se x x 2 u(x) = quase sempre em Ω, ou seja, u = quase sempre em Ω, logo δ x contradição. L loc (Ω). =, o que é uma Portanto, existem distribuições que não são definidas por funções de Exemplo.4. Existem sequências {u n } de funções de L loc (Ω) que convergem para uma distribuições T em D (Ω), mas o limite T não pode ser definido por uma função de L loc (Ω). De fato, sejam x Ω e B r (x ) = {x R N ; x x r} uma bola contida em Ω. Para cada < ɛ < r, seja θ ɛ a função teste θ ɛ (x) = kɛ N ρ ( x x sendo ρ : R N R a função definida por ɛ ), para todo x Ω, e x 2 se x < ρ(x) = se x, a função teste do Exemplo. e k = R N ρ(y)dy. Tem-se para ϕ D(Ω), θ ɛ, ϕ = Ω kɛ N ρ ( x x ɛ ) ϕ(x)dx = kɛ N Se y = x x, então x = ɛy + x ɛ e dx = ɛ N dy daí kɛ N Ω ( ) x x ρ ϕ(x)dx = ɛ kɛ N = k Ω Ω Ω ( ) x x ρ ϕ(x)dx. ɛ ρ(y)ϕ(ɛy + x )ɛ N dy ρ(y)ϕ(ɛy + x )dy. Observe que quando ɛ tende a zero, ϕ(ɛy + x ) tende a ϕ(x ). Logo Assim, ρ(y)ϕ(ɛy + x )dy ϕ(x ) quando ɛ +. k Ω lim ɛ + θ ɛ = δ x em D (Ω). Mas como vimos anteriormente, δ x uma função de L loc (Ω). não é uma distribuição definida por Lema.8. Sejam u L p loc (Ω) e {u n} uma sequência de funções de L p loc (Ω), p < 23

35 . Resultados básicos da teoria das distribuições, tal que Então lim u n = u em L p n loc (Ω). lim u n = u em D (Ω). n Prova: De fato, seja ϕ D(Ω) e O um subconjunto aberto limitado de Ω tal que supp(ϕ) O. Se p =, temos T u, ϕ = Ω u(x)ϕ(x)dx, então, dada uma sequência u n u em L loc (Ω), temos u n, ϕ u, ϕ = u n u, ϕ = [u n (x) u(x)]ϕ(x)dx Ω max ϕ(x) u n (x) u(x) dx, x O O como u n u em L loc (Ω), seque que u n u em D (Ω). Se p <, considere o seu conjugado q, ou seja, + q p sequência u n u em L p loc (Ω), temos =, então, dada uma u n u, ϕ u n u L p (O ϕ L q (O). Como u n u em L p loc (Ω) e ϕ L q (O) <, então u n u em D (Ω). Observação.3. As seguintes afirmações são verdadeiras para p <. (i) D(Ω) é um subespaço vetorial denso em L p loc (Ω); (ii) L p loc (Ω) é um subespaço vetorial denso em D (Ω); (iii) D(Ω) é um subespaço vetorial denso em D (Ω). Com efeito, para mostrar que D(Ω) é denso em L p loc (Ω), tome u Lp loc (Ω) e {K n} uma sequência de subconjuntos de Ω dados no Lema.5. Para cada aberto O n = int(k n ), pelo Lema.9, determina-se ϕ n D(O n ) tal que u ϕ n L p (O \ ) < n. 24

36 . Resultados básicos da teoria das distribuições A sequência {ϕ n } de funções testes converge em Ω para u em L p loc (Ω), quando n. O Lema.8 mostra que L p loc (Ω) é denso em D (Ω). Definição.. Seja T uma distribuição sobre Ω e α N N. A derivada de ordem α de T é o funcional linear D α T definida em D(Ω) por D α T, ϕ = ( ) α T, D α ϕ, para toda ϕ D(Ω). Observe que D α é uma distribuição sobre Ω. De fato, desde que D α ϕ D(Ω) quando ϕ D(Ω), D α T é um funcional linear em D(Ω), e claramente linear. Suponha que ϕ n ϕ em D(Ω), então supp(d α (ϕ n ϕ) supp(ϕ n ϕ) K, para algum compacto K Ω. Além disso, D β (D α (ϕ n ϕ)) = D β+α (ϕ n ϕ) converge para zero uniformemente em K, quando n, para cada multi-índices β. Portanto, D α ϕ n D α ϕ em D(Ω). Desde que T D (Ω) segue D α T (ϕ n ) = ( ) α T D α ϕ n ( ) α T D α ϕ = DT (ϕ). Portanto, D α T D (Ω). Segue da definição acima que cada distribuição T sobre Ω possui derivadas de todas as ordens. Assim, as funções de L loc (Ω) possuem derivadas de todas as ordens no sentido das distribuições. Note que a aplicação D α : D (Ω) D (Ω) T D α T é linear e contínua no sentido da convergência definida em D (Ω). Isto significa que, se lim T n = T em D (Ω), então lim D α T n = D α T em D (Ω). n n O exemplo a seguir, nos mostra que a derivada de uma função de L loc (Ω) não é, em geral, uma função de L loc (Ω). Esse fato nos induz a definir uma classe de espaços de Banach de funções chamados de Espaços de Sobolev, que veremos mais adiante. Exemplo.5. Seja u uma função de Heaviside, isto é, u é definida em R e tem a seguinte forma: u(x) = se x > e u(x) = se x <. Note que ela pertence a L loc (R) mas sua derivada u = δ não pertence a L loc (R). Como mostra-se usando a definição de derivada u, ϕ = u, ϕ = ϕ (x)dx = ϕ() = δ, ϕ, 25

37 . Resultados básicos da teoria das distribuições para todo ϕ D(R). Exemplo.6. Se u C k (R N ) para cada α N N tal que α k, a derivada D α u, no sentido das distribuições, é igual a derivada no sentido clássico, isto é, D α T u = T D α u, para todo α k. Para provar isto, usa-se a fórmula da integração de Gauss, basta notar que para todo ϕ D(R N ) e u C k (R N ) temos u(x)dϕ(x)dx = R N = = supp(ϕ) (supp(ϕ)) supp(ϕ) u(x)dϕ(x)dx (uϕ)(x)dx Du(x)ϕ(x)dx. supp(ϕ) Du(x)ϕ(x)dx Isto implica que a derivada no sentido das distribuições de u é igual a derivada no sentido usual. Exemplo.7. Seja u L loc (RN ) e k N. Suponha que para cada α k, D α u pertença a L loc (RN ). Então, para cada ϕ em D(R N ) e α k, tem-se D α (ϕ u) = ϕ D α u. Sabendo que D α u é a derivada no sentido das distribuições, a prova da igualdade acima é uma simples aplicação da definição de derivada no sentido clássico e do Teorema de Fubini (veja Teorema.2), a mesma já foi provada na Proposição.6. Utilizando a fórmula de Leibniz para funções, podemos mostrar que se ρ C (Ω) para cada ϕ D(Ω), o produto ρϕ D(Ω), e se lim ϕ n = em D(Ω), então n lim ρϕ n = em D(Ω). Quando T é uma distribuição sobre Ω, define-se o produto n ρt como um funcional linear definido em D(Ω) do seguinte modo ρt, ϕ = T, ρϕ, para todo ϕ D(Ω). Segue que ρt é uma distribuição sobre Ω. Dado α N N, para calcular a derivada de ρt aplica-se a fórmula de Leibniz D α (ρt ) = β α α! β!(α β)! Dβ ρd α β T. Para verificar esta igualdade, é suficiente tomar α = e i = (,,...,,,..., ) e para todo ϕ D(Ω) tem-se D i (ρt ), ϕ = ρt, D i ϕ = T, ρd i ϕ. 26

38 . Resultados básicos da teoria das distribuições Note que D i (ρϕ) = ρd i (ϕ) + (D i ρ)ϕ e ρd i (ϕ) = D i (ρϕ) (D i ρ)ϕ, então T, ρd i ϕ = T, ρd i ϕ = T, D i (ρϕ) + (D i ρ)ϕ = T, D i (ρϕ) + T, (D i ρ)ϕ = D i T, ρϕ + (D i ρ)t, ϕ = ρd i T, ϕ + (D i ρ)t, ϕ = ρd i T + (D i ρ)t, ϕ. Suponha Ω e U subconjuntos abertos de R N tais que Ω U. Para cada função ϕ em D(Ω) considere ϕ(x) = ϕ(x) se x Ω e ϕ(x) = se x U\Ω. Segue que ϕ D(U) e mais (a) D α ϕ = D α ϕ para todo α N N ; (b) Se lim n ϕ n = em D(Ω), segue que lim n ϕ n = em D(U). Se T D (U), o funcional linear T Ω definido em D(Ω) dada por T Ω, ϕ = T, ϕ para todo ϕ em D(Ω), é uma distribuição sobre Ω denominada restrição de T a Ω. Note que D α (T Ω ) = (D α T ) Ω para todo α N N, e T D (U). De fato, D α T Ω, ϕ = D α T, ϕ = ( ) α T, D α ϕ = ( ) α T, D α ϕ = D α T, ϕ, para todo ϕ em D(Ω)..3 Distribuições temperadas Nesta seção trataremos de uma classe especial de distribuições, chamadas de distribuições temperadas, usaremos esta classe de distribuições para definir a transformada de Fourier. Definição.. Uma função ϕ C (R N ) diz-se rapidamente decrescente no infinito, quando para cada k N tem-se p k (ϕ) = max α k sup x R N ( + x 2 ) k D α ϕ(x) <, 27

39 . Resultados básicos da teoria das distribuições o que é equivalente, a dizer que lim x p(x)dα ϕ(x) = para todo polinômio p de N variáveis reais e α N N. Considere S(R N ) o espaço vetorial das funções rapidamente decrescentes no infinito com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, e munido da seguinte noção de convergência: uma sequência {ϕ n } de funções de S(R N ) converge para zero, quando para todo k N a sequência {p k (ϕ n )} converge para zero em K. A sequência {ϕ n } converge para ϕ, onde ϕ S(R N ), se {p k (ϕ n ϕ)} converge para zero em K para todo k N. Definição.2. Os funcionais lineares definidos em S(R N ), contínuas no sentido da convergência definida em S(R N ) são chamados de distribuições temperadas, e esse espaço vetorial é denotado por S (R N ). Assim lim T n = T em S (R N ) se lim T n, ϕ = T, ϕ, para todo ϕ S(R N ). n n Proposição.9. O espaço das funções testes em R N, D(R N ), é um subespaço vetorial do S(R N ). Além disso, D(R N ) é denso em S(R N ). Prova: De fato, seja θ D(R N ) tal que θ(x) =, se x e θ(x) =, se x 2. Para cada n N, defina θ n (x) = θ( x n ) para todo x RN, então a sequência de funções {θ n u} de D(R N ) converge para u em S(R N ). Para mostrar essa convergência usemos a fórmula de Leibniz para funções, segue que D α (θ n (x)u(x)) D α u(x) = θ n (x)d α u(x) + (D α θ n (x))u(x) D α u(x) = θ n (x)d α u(x) D α u(x) + (D α θ n (x))u(x) = θ n (x)d α u(x) D α u(x) + α! ( x ) β!(α β)! n β Dβ θ D α u(x). n β α β> 28

40 . Resultados básicos da teoria das distribuições Portanto, p k (θ n u u) = max sup ( + x 2 ) k θ n (x)d α u(x) D α u(x) α k x R N α! ( x ) + β!(α β)! n β Dβ θ D α u(x) n β α,β> max sup ( + x 2 ) k θ n (x)d α u(x) D α u(x) α k x R N + max α k sup x R N ( + x 2 ) k β α,β> α! ( x ) β!(α β)! n β Dβ θ D α u(x) n max sup ( + x 2 ) k θ n (x)d α u(x) D α u(x) α k x R N + max α k sup x R N ( + x 2 ) k β α,β> α! ( x ) β!(α β)! n β Dβ θ D α u(x). n (.8) A primeira parcela converge para zero como consequência da definição de funções rapidamente decrescente no infinito e o fato de que θ n (x)d α u(x) = D α u(x) para x n. E quando n a segunda parcela de (.8) tende a zero também. Observação.4. Note que a função u(x) = e x 2 pertence a S(R N ) mas não pertence a D(R N ). De fato, basta notar que lim x x k e x 2 =, onde p k (x) = x k e α = (,,..., ). Mas u(x) não pertence a D(R N ), pois seja qual for k >, temos u(x) >, para todo x tal que x > k. Mas note que se T é uma distribuição temperada, então sua restrição a D(R N ) é uma distribuição sobre R N, a qual ainda representamos por T. Além disto, se S é uma distribuição sobre R N tal que existe C > e k N satisfazendo a condição S, ϕ Cp k (ϕ), para toda ϕ D(R N ), (.9) então, por D(R N ) ser denso em S(R N ), segue que S pode ser estendida como uma distribuição temperada. Exemplo.8. Uma vez que δ, ϕ p (ϕ), para toda ϕ D(R N ), segue de (.9) que δ S (R N ). De fato, basta notar que p (ϕ) = max sup ( + x 2 ) D ϕ(x) = max sup ϕ(x), α k x R N α k x R N ou seja, δ, ϕ ϕ() max α k sup x R N ϕ(x). 29

41 . Resultados básicos da teoria das distribuições Exemplo.9. Seja u L loc (RN ) tal que C = R N u(x) dx <, ( + x 2 ) k para algum k N, então u, ϕ Cp k (ϕ) para toda ϕ D(R N ). Consequentemente u é uma distribuição temperada. Exemplo.. Como consequência do Exemplo.9 e notando que R ( + x N 2 ) dx <, para todo m > N m 2, (.2) segue que toda u L p (R N ), p, define uma distribuição temperada. Observação.5. As seguintes afirmações são verdadeiras para p < e p + q = (i) D(R N ) é um subespaço vetorial denso em S(R N ); (ii) S(R N ) é um subespaço vetorial denso em L q (R N ); (iii) D(R N ) é um subespaço vetorial denso em L q (R N ). Então por dualidade resulta (iv) L p (R N ) é um subespaço vetorial denso em S (R N ); (v) S (R N ) é um subespaço vetorial denso em D (R N ); (vi) L p (R N ) é um subespaço vetorial denso em D (R N ). Prova: Todos os itens são de fáceis demonstrações. Exemplo.. Se T S (R N ) e α N N, então o funcional linear D α T é definido em S(R N ) por D α T, ϕ = ( ) α T, D α ϕ, para toda ϕ S(R N ) é uma distribuição temperada. Observação.6. Seja T S (R N ) e ρ C (R N ). O produto ρt não é necessariamente uma distribuição temperada. Definição.3. Seja ρ C (R N ). Diz-se que ρ é lentamente crescente no infinito, quando para cada α N N, existe um polinômio p α, tal que D α ρ(x) p α (x), para todo x R N. 3

42 . Resultados básicos da teoria das distribuições Exemplo.2. Seja T S (R N ). Se ρ é lentamente crescente no infinito, então ρt é uma distribuição temperada..4 Transformada de Fourier Dada uma função u L (R N ), define-se sua transformada de Fourier como sendo a Fu definida no R N por (Fu)(x) = (2π) N 2 R N e i(x,y) u(y)dy, para todo x R N, onde (x, y) = x y + x 2 y x N y N. Desde que e i(x,y) =, então ou seja, Fu está bem definida. (Fu)(x) u (2π) N L (R N ), para todo x R N, 2 Observação.7. Também será usada a notação û para a transformada de Fourier da função u. Usaremos as duas notações, ao longo do texto, para simplificar algumas expressões. Proposição.2. As seguintes afirmações são verdadeiras. (i) Se u, v L (R N ) e a K, então (au + v) = aû + v; (ii) Se u, v L (R N ), então (u v) = (2π) N 2 û v; (iii) Se u L (R N ) e x α u L (R N ) para α k, então û C k (R N ) e D α û = (( i) α x α u); (iv) Se u C k (R N ), D α u L (R N ) para α k e D α u C (R N ) para α k, então D α u = (ix) α û; (v) (Lema de Riemann-Lebesgue)F(L (R N )) C (R N ); (vi) Se (τ h u)(x) = u(x h), então (τ h u)(x) = e i(x,h) û(x), 3

43 . Resultados básicos da teoria das distribuições além disso, τ h û = f, onde f(x) = e i(x,h) u(x). Prova: A prova do item (i) é imediata. Para provar (ii), usaremos o teorema da mudança de variáveis (veja Teorema.4). (u v)(x) = e i(x,y) (u v)(y)dy (2π) N 2 R N = e i(x,y) u(x)v(y x)dxdy (2π) N 2 R N R N = e i(x,y) u(x)v(y x)dxdy (2π) N 2 R N R N = e i(x,x) u(x)e i(x,y x) v(y x)dxdy (2π) N 2 R N R N = e i(x,x) u(x)dx e i(x,y x) v(y x)dy (2π) N 2 R N R N = e i(x,x) u(x)dx e i(x,w) v(w)dw (2π) N 2 R N R ( N ) = (2π) N 2 e i(x,x) u(x)dx e i(x,w) v(w)dw (2π) N 2 R N (2π) N 2 R N = (2π) N 2 û v(x). Para provar (iii), basta notar que ( ) D α û(x) = D α e i(x,y) u(y)dy (2π) N 2 R N = D ( α e i(x,y) u(y) ) dy (2π) N 2 R N = ( i) α y α e i(x,y) u(y)dy (2π) N 2 R N = e i(x,y) ( i) α y α u(y)dy (2π) N 2 R N = (( i) α x α u)(x). Para provar (iv), primeiro considere N = α =, desde que u C, temos û (x) = (2π) 2 R e i(x,y) u (y)dy, 32

44 . Resultados básicos da teoria das distribuições usando o método de integração por partes, segue û (x) = (2π) 2 = (2π) 2 = ixû(x), ( u(y)e i(x,y) (ix) e i(x,y) u(y)dy R R ) ( ix)e i(x,y) u(y)dy onde û (x) é a derivada no sentido clássico da transformada de Fourier de u. O argumento para N >, α = é o mesmo, só que calcula-se j u integrando com respeito a j ésima variável e para o caso geral, segue por indução sobre α. Para provar (v), considere u L (R N ) e uma sequência {u n } C (R N ) C (R N ), desde que C (R N ) é denso em L (R N ), então û n û uniformemente quando u n u em L (R N ). Uma vez que C (R N ) é fechado na norma da convergência uniforme, tem-se que û C (R N ). Para provar (vi), aplica-se a transformada de Fourier em u(x h), como segue Considerando y h = w, temos (τ h u)(x) = e i(x,y) u(y h)dy. (2π) N 2 R N (τ h u)(x) = e i(x,w+h) u(w)dw (2π) N 2 R N = e i(x,h) e i(x,w) u(w)dw (2π) N 2 R N = e i(x,h) û(x). Similarmente, temos τ h (û(x)) = (2π) N 2 = (2π) N 2 = f(x), e i(x h,y) u(y)dy R N e i(x,y) e i(h,y) u(y)dy R N onde f(x) = e i(h,x) u(x). Observação.8. Desde que S(R N ) L (R N ), para cada ϕ S(R N ), estão bem definidas Fϕ e F ϕ e mostra-se que elas são rapidamente decrescentes no infinito. Além disso 33

45 . Resultados básicos da teoria das distribuições F : S(R N ) S(R N ) e F : S(R N ) S(R N ) são isomorfismos contínuos. Antes de mostrarmos esses isomorfismos apresentaremos dois resultados. () F(D α ϕ) = i α x α Fϕ; (2) D α (Fϕ) = F(( i) α x α ϕ). As provas são similares às provas da Proposição.2. Lema.2. Se ϕ S(R N ) é definida por ϕ (x) = e x 2 2, então Fϕ = ϕ. Prova: Seja α uma lista cujas entradas são iguais a zero, exceto j ésima entrada que é igual a. Segue que D α ϕ (x) = D j ϕ (x) = x j ϕ (x) = x α ϕ (x), multiplicando ambos os lados por i, temos D α ϕ (x)i = ix α ϕ (x), aplicando a transformada de Fourier, F (D α ϕ (x)i) = F( ix α ϕ (x)), aplicando a propriedade (iii) e (iv) da Proposição.2, segue xf(ϕ )(x) = D α F(ϕ )(x) ou seja integrando ambos os lados, segue D α Fϕ (x) F(ϕ )(x) = x, ln(f(ϕ )) = x c, aplicando a função exponencial, resulta F(ϕ ) = Ce x 2 2. Então, para x = temos C = F(ϕ )() = (2π) N 2 R N e i(y,) e 34 y 2 2 dy = (2π) N 2 R N e y 2 2 dy

46 . Resultados básicos da teoria das distribuições Fazendo w = y 2, então dw = Portanto, 2 N 2 C = 2 N 2 (2π) N 2 dy, isto é, 2 N 2 dw = dy. R e w2 dw = 2 N 2 π N (2π) N 2 =. 2 Fϕ = ϕ. Teorema.22. Seja u S(R N ), então û S(R N ) e vale a fórmula de inversão u(x) = (2π) N 2 R N e i(x,y) û(y)dy, para todo x R N, (.2) e dados u, v S(R N ), tem-se ûvdy = R N u vdy. R N (.22) Prova: Sejam u, v S(R N ), pelo item (2) da Observação.8, sabemos que û C (R N ) e juntamente com o item () da Observação.8 e o item (iv) da Proposição.2 para cada α, β N N, x α D β û(x) = x α ( i) β (xβ u)(x) = ( i) β ( i 2 ) α x α ( x β u)(x) = ( i) α+β i α x α ( x β u)(x) = (Dα (x β u)(x)) (2π) N 2 D α (x β u) L (R N ), logo, pela Definição., û S(R N ). Desde que, para todo λ R, u(x)v(y)e i(y,λx) é 35

47 . Resultados básicos da teoria das distribuições mensurável, aplicando a desigualdade de Minkowski 6, temos R N u(x) v(λx)dx = o que prova (.22), pela igualdade acima ainda temos = = u() v(x)dx = lim R N λ u(x) (2π) N 2 v(y)e i(y,λx) dydx R N R N v(y)(2π) N 2 u(x)e i(λy,x) dxdy R N R N û(λy)v(y)dy, R N R N u ( x λ ( x = lim v R λ N = v() û(x)dx. R N λ Tomando v(x) = e x 2 2 na igualdade anterior, temos u() e x 2 2 dx = R N û(x)dx, R N ) v(x)dx ) û(x)dx ou seja, u() = (2π) N 2 R N û(x)dx, usando o item (v) da Proposição.2 o que prova (.2). u(x) = u () x = N (2π) 2 = (2π) N 2 R N u x (ξ)dξ R N û(ξ)e i(x,ξ) dξ, 6 Teorema.23 (Desigualdade de Minkowski). Sejam f e g funções de L p (R N ), com p, então f + g é uma função de L p (R N ) e Prova: Ver [4], p.93, Teorema 4.7. f + g L p (R N ) f L p (R N ) g L p (R N ). 36