Instituto de Matemática - UFRJ ESPAÇOS DE SOBOLEV. por. L. A. Medeiros M. Milla Miranda. Professor Emérito UFRJ Professor Titular UFRJ

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1 Instituto de Matemática - UFRJ ESPAÇOS DE SOBOLEV (Iniciação aos Problemas Elíticos não Homogêneos ) por L. A. Medeiros M. Milla Miranda Professor Emérito UFRJ Professor Titular UFRJ Rio de Janeiro, RJ 2000

2 M488e Medeiros, Luis Adauto da Justa, Espaços de Sobolev : iniciação aos problemas elíticos não homogêneos/ Luis Adauto da Justa Medeiros, Manuel Antolino Milla Miranda - Rio de Janeiro: UFRJ. IM, p. Inclui bibliografia. 1. Espaços de Sobolev. 2. Equações Diferenciais Parciais Elípticas. I. Milla Miranda, Manuel Antolino. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matemática. III. Título. ISBN: X CDD-20 a

3 Que Stendhal confessasse haver escrito um de seus livros para cem leitores, cousa é que admira e consterna. O que não admira, nem provavelmente consternará é se este outro livro não tiver os cem leitores de Stendhal, nem cinqüenta, nem vinte e, quando muito, dez. Dez? Talvez cinco. Brás Cubas

4 i Dedicado à memória de nosso saudoso Pedro Humberto Rivera Rodriguez por seu talento matemático e caráter exemplar.

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6 Prefácio O presente livro teve sua origem no início dos anos setenta, cujo prefácio, reproduzido a seguir traz informações históricas sobre sua origem. Nesta edição, o Capítulo III versa sobre os problemas de Dirichlet e Neumann, para o Laplaciano, no caso não homogêneo com escolhas gerais das condições de fronteira. Este capítulo segue as idéias de Lions [8] e Lions-Magenes [11], enriquecidos com as referências da Bibliografia Complementar, particularmente Aubin [18], Brezis [19], Chavent [21], Dautray- Lions [22], Kesavan [23]. O conteúdo deste livro inclui parte dos programas de disciplinas básicas sobre equações diferenciais parciais do Instituto de Matemática da UFRJ. Os autores agradecem aos colegas e aos seus alunos pelo estímulo para aperfeiçoar as edições anteriores que convergiram para a atual. Em particular, gostaríamos de deixar nossos agradecimentos ao Marcos Araújo, pela cuidadosa revisão do texto acrescentado modificações que o tornaram mais inteligível. Ao Wilson Góes, agradecemos pelo perfeito trabalho de digitação. Rio de Janeiro, maio de 1997 L.A. Medeiros M. Milla Miranda iii

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8 Prefácio (1 a edição) A idéia de escrever este texto surgiu-nos quando em 1970 iniciamos um seminário sobre espaços de Sobolev e equações diferenciais parciais, realizado no Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas, na esperança de despertar a atenção de algum estudante para o aspecto das equações diferenciais parciais formulado em termos destes espaços. Aquele seminário continuou no Instituto de Matemática da UFRJ, estimulado e fortalecido pela inclusão de novos participantes. O plano de trabalho teve como base os textos [7] e [8] do Professor J.L. Lions, complementado com alguns trabalhos mencionados na bibliografia dos mesmos. Posteriormente, foram incluídas no Curso de Pós-Graduação do IM-UFRJ, certas disciplinas fundamentadas nos espaços de Sobolev, para as quais este texto se adapta consideravelmente. Deste modo, preparamos esta monografia, baseada nas exposições feitas no seminário de equações diferenciais parciais e em nossas aulas nas disciplinas de pós-graduação do IM, tendo por objetivo introduzir estudantes interessados em linhas de pesquisa ligadas às equações diferenciais parciais não lineares, controle ótimo de sistemas governados por equações diferenciais parciais, inequações variacionais ou análise numérica de elementos finitos. A exposição divide-se em três capítulos. O Capítulo I é um pequeno fascículo de resultados sobre distribuições a ser usado nos capítulos seguintes. O Capítulo II contém os teoremas elementares sobre os espaços de Sobolev e, com base neste, é possível entender vários aspectos do estudo de soluções fracas de equações diferenciais parciais, o que é feito no Capítulo III e nos Apêndices. v

9 vi No início deste prefácio referimo-nos ao fortalecimento do Seminário de Equações Diferenciais Parciais do IM-UFRJ e retornamos a ele, deixando aqui fixada a nossa gratidão à Beatriz, Eliana, Milla e Perla, pelo entusiasmo que sempre nos transmitiram quando mencionávamos a idéia de escrever este texto, bem como por suas valiosas críticas e sugestões. Resta-nos, portanto, a esperança de que possamos de fato atrair a atenção daqueles interessados em matemática aplicada, para este aspecto das equações diferenciais parciais, lembrando, todavia que, como diz Erich From, ter esperança, significa estar pronto a todo momento para aquilo que ainda não nasceu e, todavia, não desesperar se não ocorrer nascimento algum durante nossa existência. Ao redigirmos este texto, recebemos apoio financeiro do Fundo Nacional de Desenvolvimento Científico (FNDCT) e do CEPG-UFRJ. Finalizando, lembramos uma vez mais que a boa impressão dos textos de Métodos Matemáticos, deve-se à dedicação do Sr. Arlindo Coutinho de Azevedo, chefe da Seção de Reprografia do IM, bem como de seus auxiliares, enquanto a datilografia perfeita é trabalho de arte do Sr. Wilson Góes. Rio de Janeiro, agosto de 1975 L.A. Medeiros P.H. Rivera

10 Prefácio (2 a edição) Esta introdução aos Espaços de Sobolev que aqui apresentamos, é uma revisão dos Capítulos I e II de nossa monografia Espaços de Sobolev e Equações Diferenciais Parciais (Bibliografia número 11). A presente edição além das correções decorrente da revisão acima mencionada, vem aumentada do estudo do traço de ordem m e do traço da derivada normal. Deste modo, a exposição fica completa, servindo de base ao estudo de uma ampla variedade de problemas relacionados aos sistemas governados por equações diferenciais parciais. Para uma exposição completa consulte Lions-Magenes número 11 da Bibliografia. Rio de Janeiro, janeiro de 1977 L.A. Medeiros P.H. Rivera vii

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12 Sumário 1 Resultados Básicos Sobre Distribuições Introdução Espaço de Funções Testes Os Espaços L p (Ω) e Convolução de Funções Exemplos de Funções Testes Regularização de Funções Convergência em D(Ω) Distribuições sobre um aberto Ω do R n Produto de Funções por Distribuições Restrição de Distribuições Distribuições Temperadas Transformada de Fourier Espaços de Sobolev Introdução Propriedades Elementares dos Espaços de Sobolev Geometria dos Espaços de Sobolev O Espaço W m,p 0 (Ω) O Espaço W m,q (Ω) ix

13 x SUMÁRIO Reflexividade dos Espaços de Sobolev Os Espaços H m (Ω) e H m (Ω) Imersões de Espaços de Sobolev Caso mp < n Caso mp = n Caso mp > n Caso n = Caso p = Prolongamento Caso Ω = R n Caso Ω Aberto Limitado Imersões dos Espaços W m,p (Ω) Imersões Contínuas Imersões Compactas Espaços H s (Ω) Teoremas de Traço Traço da Derivada Normal Fórmula de Green Problemas Elíticos não Homogêneos Introdução Problema de Dirichlet Problema de Neumann Teorema do Traço. Fórmula de Green

14 Capítulo 1 Resultados Básicos Sobre Distribuições 1.1 Introdução No presente capítulo serão fixadas terminologia, a notação e certos resultados sobre integração e teoria das distribuições, resultados estes a serem usados no desenvolver deste texto. Com a letra K representa-se, simultaneamente, o corpo dos números reais R ou o dos números complexos C. Por N representa-se o monóide dos números naturais e por Z o anel dos inteiros. Dados α = (α 1, α 2,...,α n ) N n e z = (z 1, z 2,...,z n ) K n define-se α = α 1 + α α n, z α = z α 1 1 z α z αn n, α! = α 1!α 2!...α n!. Por D α denota-se o operador de derivação de ordem α definido por α / x α 1 1 x α x αn n e para α = (0, 0,..., 0) define D 0 u = u para toda função u. Por D i, para i = 1, 2,..., n, representa-se a derivação parcial / x i. 1

15 2 CAPÍTULO 1. RESULTADOS BÁSICOS SOBRE DISTRIBUIÇÕES Se α, β N n, escreve-se β α quando β i α i para todo i = 1, 2,..., n. Quando u e v forem funções numéricas suficientemente deriváveis, tem-se a regra de Leibniz dada por D α (uv) = β α α! β!(α β)! (Dβ u)(d α β v). Sejam E e F dois espaços topológicos com E F. Para indicar que a imersão de E em F é contínua será usada a notação E F. Por Ω representa-se um subconjunto aberto do R n e por Γ sua fronteira. Será fixada em Ω a medida de Lebesgue dx. 1.2 Espaço de Funções Testes Inicia-se introduzindo alguns resultados e noções prévias Os Espaços L p (Ω) e Convolução de Funções Seja u uma função numérica definida em Ω, u mensurável, e seja (O i ) i I a família de todos os subconjuntos abertos O i de Ω tais que u = 0 quase sempre em O i. Considera-se o subconjunto aberto O = O i. Então u = 0 quase sempre em O. Como conseqüência deste i I fato, o suporte de u, o qual é denotado por supp u, é definido como sendo o subconjunto fechado de Ω, suppu = Ω\O. Observe que se u é contínua em Ω então supp u é igual ao fecho em Ω do conjunto {x Ω; u(x) 0}. Sejam u e v funções numéricas, mensuráveis em Ω e λ K, λ 0. Mostra-se que supp (u + v) (supp u) (supp v) supp (uv) (supp u) (supp v) supp (λu) = λsupp u

16 1.2. ESPAÇO DE FUNÇÕES TESTES 3 Seja u uma função numérica, mensurável no R n. A função τ y u definida por (τ y u)(x) = u(x y) denomina-se a translação de u por y. Mostra-se que supp(τ y u) = y + supp u. Representa-se por L p (Ω), 1 p <, o espaço de Banach das funções numéricas u definidas em Ω, mensuráveis cuja potência p, u p, é integrável em Ω, equipado com a norma ( 1/p. u L p (Ω) = u(x) dx) p No caso p = 2, L 2 (Ω) é um espaço de Hilbert com o produto escalar (u, v) L 2 (Ω) = u(x) v(x) dx, v complexo conjugado de v. Ω Ω Por L (Ω) denota-se o espaço de Banach das funções numéricas u, mensuráveis em Ω e que são essencialmente limitadas em Ω, equipado com a norma u L (Ω) = sup ess u(x). x Ω Denota-se por L p loc (Ω), 1 p <, o espaço localmente convexo das funções numéricas u, mensuráveis em Ω, equipado com a família de semi-normas {p O ; O subconjunto aberto limitado de Ω} onde ( p O (u) = O u(x) p dx) 1/p. Diz-se que a sucessão (u ν ) de funções de L p loc (Ω) converge para zero em Lp loc (Ω) se lim p O(u ν ) = 0 para todo O aberto limitado de Ω. ν Seja u L p loc (Ω) e (u ν) uma sucessão de funções de L p loc (Ω). Diz-se que (u ν) converge para u em L p loc (Ω) se (u ν u) converge para zero em L p loc (Ω).

17 4 CAPÍTULO 1. RESULTADOS BÁSICOS SOBRE DISTRIBUIÇÕES Proposição (Desigualdade de Interpolação) Se u L p (Ω) L q (Ω) com 1 p q então u L r (Ω) para todo p r q e se tem a desigualdade onde 0 θ 1 verifica 1 r = θ p + 1 θ q u L r (Ω) u θ L p (Ω) u 1 θ L q (Ω) (1.2.1) Demonstração: Se p = q então θ = 1/2; se r = p, θ = 1 e se r = q, θ = 0. Nestes três casos tem-se uma igualdade em (1.2.1). Considere-se o caso 1 p < r < q <. Observe que neste caso 0 < θ < 1. Tem-se, pela desigualdade de Hölder: ( u r dx = u rθ+r(1 θ) dx Ω Ω Ω ) 1/α ( u rθα dx u r(1 θ)α ) 1/α (1.2.2) Ω com α = p/rθ, α = q/r(1 θ). Observe que = 1. De (1.2.2) resulta α α u r dx u p/α L p (Ω) u q/α L. q Ω Daí, notando que 1 r = θα p e 1 r = (1 θ)α q, obtém-se a desigualdade (1.2.1). No caso 1 p < r <, segue-se que p = rθ e 0 < θ < 1. Portanto u r dx = u rθ+r(1 θ) dx u r(1 θ) L (Ω) u p L p (Ω) implicando na desigualdade (1.2.1). Ω Ω Sejam u e v funções numéricas definidas no R n. Considera-se a convolução u v das funções u e v, isto é, (u v)(x) = u(x y)v(y) dy = R n v(y)v(x y) dy. R n Tem-se o seguinte resultado: Desigualdade de Young. Sejam u L p (R n ) e v L q (R n ) com 1 p, 1 q, e r o número real verificando 1 r = 1 p + 1 q 1 0. Então u v Lr (R n ) e u v L r (R n ) u L p (R n ) v L q (R n ). (1.2.3)

18 1.2. ESPAÇO DE FUNÇÕES TESTES 5 Além disso, supp(u v) supp u + supp v. (1.2.4) Exemplos de Funções Testes Representa-se por C0 (Ω) o espaço vetorial das funções numéricas definidas em Ω, com suporte compacto, possuindo em Ω derivadas parciais contínuas de todas as ordens. Os elementos de C0 (Ω) são denominados funções testes em Ω. Exemplo 1. Seja ρ: R n R definida por: exp ( 1/(1 x ρ(x) = 2 )) se x < 1 0 se x 1 sendo x 2 = x x x2 n. Mostra-se que ρ pertence a C 0 (Rn ) e que supp ρ = {x R n ; x 1}. Exemplo 2. Seja k ρ(x) dx sendo ρ a função do Exemplo 1. Para cada ν = 1, 2,...,n,... R n considere a função ρ ν : R n R definido por ρ ν (x) = (ν n /k)ρ(νx) para todo x R n. Mostra-se que ρ ν é, para cada ν, uma função teste no R n possuindo as seguintes propriedades: a) 0 ρ ν (x) ν n /ke b) ρ R n ν (x) dx = ρ x 1/ν ν(x) dx = 1 c) supp ρ ν = {x R n ; x 1/ν} Uma sucessão (ρ ν ) de funções testes no R n com as propriedades a), b), c) é denominada uma sucessão regularizante. Exemplo 3. Sejam u C0 (Rn ) e v L p (R n ), 1 p <. Então u v pertence a C (R n ) L p (R n ) e D α (u v) = (D α u) v para todo α N n. Quando v possui suporte compacto, então, por (4), u v é uma função teste no R n.

19 6 CAPÍTULO 1. RESULTADOS BÁSICOS SOBRE DISTRIBUIÇÕES Exemplo 4. Considere-se dois subconjuntos K e F do R n, disjuntos, sendo K compacto e F fechado. Então existe uma função teste ϕ no R n tal que ϕ(x) = 1 em K, ϕ(x) = 0 em F e 0 ϕ(x) 1. Para construir tal ϕ considere ε > 0 definido por ε = dist(k, F)/4 e construa os conjuntos F 0 = {x R n ; dist(x, K) 2ε}, K 0 = {x R n ; dist(x, K) ε}. Considere ν N tal que εν 1. Então se v: R n R é definida por v(x) = dist(x, F 0 )/(dist(x, F 0 )+dist(x, K 0 )) para todo x R n, segue-se que ϕ = ρ ν v satisfaz todas as condições requeridas Regularização de Funções O objetivo nesta seção é mostrar que C0 (Ω) é denso em Lp (Ω), 1 p <. Inicia-se, para isto, com um resultado de continuidade. Proposição Seja u L p (R n ), 1 p <. Então a aplicação translação R n L p (R n ) y τ y u, é contínua. Demonstração: Note-se que é suficiente demonstrar que a aplicação é contínua em y = 0. Com efeito, seja y R n e (y ν ) uma sucessão de vetores de R n com y ν y. Tem-se: τ yν u τ y u p L p (R n ) R = u(x y ν ) u(x y) p dx = u(x z ν ) u(x) p dx n R n onde z ν = y ν y 0. Provar-se-á, portanto, que a translação é contínua em y = 0. Seja (y ν ) uma sucessão de vetores do R n com y ν 0. Primeiro mostra-se a continuidade para u = χ O onde χ O é a função característica de um subconjunto aberto limitado O de R n. Tem-se: τ yν u u p L p (R n ) R = χ O (x y ν ) χ O (x) p dx. (1.2.5) n

20 1.2. ESPAÇO DE FUNÇÕES TESTES 7 Observe que χ O (x y ν ) χ O (x) para todo x R n \ O ( O fronteira de O), logo Por outro lado χ O (x y ν ) χ O (x) quase sempre em R n. (1.2.6) χ O (x y ν ) χ U (x) p χ U (x), x R n (1.2.7) ( onde U é o conjunto U = O + y ν ) O, U aberto limitado do R n. Aplicando o Teorema ν=1 da Convergência Dominada de Lebesgue à integral da direita de (1.2.5), decorre de (1.2.6) e (1.2.7) que τ yν u u em L p (R n ) quando ν. Resulta da primeira parte que a translação é contínua em y = 0 para u função escada de R n, isto é, para u igual a uma combinação linear finita de funções características de subconjuntos abertos limitados de R n. Note-se que o conjunto das funções escadas do R n é denso em L p (R n ). Seja u L p (R n ) e ε > 0. Então existe uma função escada ψ de R n tal que u ψ L p (R n ) < ε. Tem-se: τ yν u u L p τ yν u τ yν ψ L p + τ yν ψ ψ L p + ψ u L p = que prova, finalmente, o resultado desejado. = 2 ψ u L p + τ yν ψ ψ L p < 3ε para ν ν 0 Teorema Seja (ρ ν ) a sucessão regularizante dada no Exemplo 2. Se u L p (R n ), 1 p <, então a sucessão (ρ ν u) converge para u em L p (R n ). Demonstração: Tem-se: (ρ ν u)(x) u(x) = pois y 1/ν y 1/ν ρ ν (y) dy = 1. Se p = 1, do Teorema de Fubini, resulta ρ ν u u L 1 (R n ) y 1/ν ρ ν (y){u(x y) u(x)} dy (1.2.8) ρ ν (y) τ y u u L 1 (R n ) dy,

21 8 CAPÍTULO 1. RESULTADOS BÁSICOS SOBRE DISTRIBUIÇÕES e o Teorema é uma conseqüência da continuidade da translação τ y u demonstrada na Proposição No caso 1 < p <, considere q tal que 1 p + 1 q Hölder, obtém-se: Note que { (ρ ν u)(x) u(x) p y 1/ν y 1/ν ρ ν (y) q } p/q ρ ν (y) q dy νnq k q e q y 1/ν y 1/ν onde w n é o volume da esfera unitária do R n. Portanto, ( y 1/ν = 1. De (1.2.8) e da desigualdade de u(x y) u(x) p dx. (1.2.9) dy = νnq k q e w 1 q n ν n ) p/q ρ ν (y) q wn p/q dy k p e p ν(nq n)p/q = C ν np(1 1 q ) = C ν n (1.2.10) onde C = wn p/q /k p e p. Considerando (1.2.10) em (1.2.9) e aplicando o Teorema de Fubini, resulta ρ ν u u p L p (R n ) C νn y 1/ν τ y u u p L p (R n ) dy C w n sup τ y u u p L p (R n ). y 1/ν Esta expressão e a continuidade da translação acarretam o Teorema Observação 1 Para o conjunto aberto Ω do R n, pode-se construir uma sucessão de conjuntos compactos {K ν } tal que K ν K ν+1, ν, ; e Ω = K ν. ν=1 Com efeito, é suficiente considerar K ν como sendo K ν = {x Ω; dist(x, Γ) 1 ν } {x Rn ; x ν} onde Γ é a fronteira de Ω.

22 1.2. ESPAÇO DE FUNÇÕES TESTES 9 Corolário 1 C 0 (Ω) é denso em Lp (Ω) para 1 p <. Demonstração: Seja {K ν } a sucessão de subconjuntos compactos de Ω dada na Observação 1. Se u L p (Ω), para cada ν = 1, 2,... seja χ K ν a função característica de K ν e considere a função u ν = u χ K ν. Segue-se que u ν L p (Ω) para cada ν e a sucessão (u ν ) é convergente para u na norma L p (Ω), convergência que decorre do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue. Desde que as funções u ν possuem suporte compacto, para provar o corolário é suficiente aproximar as funções u ν por funções de C0 (Ω). De fato, seja u L p (Ω), u com suporte compacto, e considere r = dist(suppu, Γ), que é um número positivo. Defina ũ: R n K por u(x) se x Ω ũ(x) = 0 se x CΩ Diz-se que ũ é a extensão de u por zero fora de Ω. Tem-se ũ L p (R n ) e supp ũ = supp u é um compacto de R n. Portanto, (ρ ν ũ) é uma sucessão de funções testes no R n que converge para ũ em L p (R n ). Represente por v ν a restrição a Ω da função ρ ν ũ. Resulta que v ν é uma função teste em Ω para cada ν 2/r e a sucessão (v ν ) converge para u em L p (Ω) Convergência em D(Ω) Diz-se que uma sucessão (ϕ ν ) de funções de C 0 as seguintes condições forem satisfeitas: (Ω) é convergente para zero, quando a) Os suportes de todas as funções testes ϕ ν, da sucessão dada, estão contidos num compacto fixo K. b) Para cada α N n, a sucessão (D α ϕ ν ) converge para zero uniformemente em K. Se ϕ C 0 (Ω), diz-se que a sucessão (ϕ ν ) de elementos de C 0 (Ω) converge para ϕ em C 0 (Ω), quando a sucessão (ϕ ν ϕ) converge para zero no sentido dado acima.

23 10 CAPÍTULO 1. RESULTADOS BÁSICOS SOBRE DISTRIBUIÇÕES O espaço vetorial C 0 denominado espaço das funções testes em Ω. (Ω) com esta noção de convergência é representado por D(Ω) e 1.3 Distribuições sobre um aberto Ω do R n Define-se como distribuição sobre Ω a toda forma linear T sobre D(Ω) que é contínua no sentido da convergência definida sobre D(Ω). Isto significa que para toda sucessão (ϕ ν ) de D(Ω), convergente para zero no sentido definido em 1.2.4, então a sucessão ( T, ϕ ν ) converge para zero em K. (Note que K = R ou C e T, ϕ ν é o valor de T em ϕ ν ). O conjunto de todas as distribuições sobre Ω é um espaço vetorial o qual representa-se por D (Ω). Neste espaço vetorial diz-se que uma sucessão (T ν ) de vetores de D (Ω) converge para zero em D (Ω), quando para toda função teste ϕ D(Ω), a sucessão ( T, ϕ ν ) converge para zero em K. Neste caso escreve-se lim ν T ν = 0 em D (Ω). Diz-se que lim T ν = T em D (Ω), ν quando lim (T ν T) = 0 em D (Ω). ν Exemplo 1. Seja u L 1 loc (Ω). Considere a forma linear T u definida em D(Ω) por: T u, ϕ = u(x)ϕ(x) dx para toda ϕ D(Ω). Mostra-se sem dificuldades que T u é uma distribuição sobre Ω. Ω Proposição (Lema de Du Bois Raymond) Seja u L 1 loc (Ω). Então T u = 0 se e somente se u = 0 quase sempre em Ω. Demonstração: Claramente se u = 0 quase sempre em Ω então T u = 0. Mostra-se, então, que a condição T u = 0 implica u = 0 quase sempre em Ω. Com efeito, considere-se um subconjunto aberto limitado O de Ω. Sabe-se pelo Corolário 1 que D(O) é denso em L 1 (O). Conseqüentemente, como u L 1 (O), vem que para cada ε > 0 existe v D(O) tal que u v dx < ε. O

24 1.3. DISTRIBUIÇÕES SOBRE UM ABERTO Ω DO RN 11 Da hipótese e desta última desigualdade, resulta: vϕ dx = (vϕ uϕ) dx ε max ϕ (1.3.11) para toda ϕ D(O). Considere-se os conjuntos O O K 1 = {x O; v(x) ε} e K 2 = {x O; v(x) ε}, que são subconjuntos compactos disjuntos de O. Do Exemplo 4 da Seção 1.2.2, vem que existem ϕ 1, ϕ 2 em D(O) tais que: ϕ 1 = 1 em K 1 Dϕ 1 = 0 em K 2 0 ϕ 1 1 ϕ 2 = 0 em K 1 ϕ 2 = 1 em K 2 0 ϕ 2 1 Tomando-se ψ = ϕ 1 ϕ 2, obtém-se: ψ = 1 em K 1, ψ = 1 em K 2, 1 ψ 1. Resulta, portanto, vψ dx = vψ dx + vψ dx, O O\K K onde K = K 1 K 2. Observando-se que v ε em O\K e levando em consideração (1.3.11) obtém-se: K vψ dx O vψ dx + O\K vψ dx ε + ε med(o). Da definição de ψ e desta última desigualdade, encontra-se: v dx = vψ dx ε + med(o)ε. K K Portanto, u dx u v dx + v dx + v dx 2ε + 2ε med(o). O O K O\K

25 12 CAPÍTULO 1. RESULTADOS BÁSICOS SOBRE DISTRIBUIÇÕES Fazendo-se ε tender para zero obtém-se que u = 0 quase sempre em O. Sendo O arbitrário, resulta que u = 0 quase sempre em Ω. A demonstração acima é válida para u tomando valores reais. Se u toma valores complexos, observa-se que a condição uϕ dx = 0 para toda ϕ em D(O), implica Ω (Re u)ϕ dx = 0, (Im u)ϕ = 0, ϕ D(Ω), ϕ uma função real. Ω Ω A proposição segue aplicando a demonstração feita acima a cada uma destas integrais. Observação 2 Do Lema de Du Bois Raymond segue-se que para cada u L 1 loc (Ω), tem-se T u univocamente determinada por u sobre Ω, quase sempre, no seguinte sentido: se u, v L 1 loc (Ω) então T u = T v se e somente se u = v quase sempre em Ω. Por esta razão, identificase u com a distribuição T u por ela definida e diz-se a distribuição u ao invés de dizer a distribuição T u. É oportuno observar que existem distribuições não definidas por funções de L 1 loc (Ω), como pode ser visto no exemplo que se segue. Exemplo 2. Seja x 0 um ponto de Ω e δ x0 a forma linear definida em D(Ω) do seguinte modo: δ x0, ϕ = ϕ(x 0 ) para toda ϕ D(Ω). Fácil é verificar que δ x0 é uma distribuição sobre Ω, denominada distribuição de Dirac ou medida de Dirac concentrada em x 0. Quando x 0 = 0 escreve-se δ 0. Mostra-se que a distribuição δ x0 não é definida por uma função u de L 1 loc (Ω), isto é, não existe u L 1 loc (Ω) tal que u(x)ϕ(x) dx = ϕ(x 0 ) para toda ϕ D(Ω). Ω De fato, se existisse uma tal função u, então u(x) x x 0 2 ϕ(x) dx = x x 0 2 ϕ(x) x=x0 = 0 Ω

26 1.3. DISTRIBUIÇÕES SOBRE UM ABERTO Ω DO RN 13 para toda ϕ D(Ω). Pelo Lema de Du Bois Raymond tem-se x x 0 2 u(x) = 0 quase sempre em Ω, mostrando que u(x) = 0 quase sempre em Ω, isto é, δ x0 = 0 o que é uma contradição. Observação 3 Existem sucessões (u ν ) de funções de L 1 loc (Ω) que convergem para distribuições T em D (Ω), mas o limite T não pode ser definido por uma função de L 1 loc (Ω). De fato, seja x 0 Ω e B r (x 0 ) = {x R n ; x x 0 r} uma bola contida em Ω. Para cada 0 < ε < r, seja θ ε a função teste θ ε (x) = 1 ( x kε ρ x0 ) n ε para todo x Ω, sendo ρ a função teste definida no Exemplo 1 da Seção 1.2 e k = R n ρ(y) dy. Tem-se, para ϕ D(Ω), θ ε, ϕ = 1 kε n Assim Ω ( x x0 ) ρ ϕ(x)dx = 1 ρ(y)ϕ(εy + x 0 )dy ϕ(x 0 ) quando ε 0 +. ε k Ω lim θ ε 0 + ε = δ x0 em D (Ω). Exemplo 3. Seja (u ν ) uma sucessão de funções de L p loc (Ω), 1 p < ; tal que lim u ν = u em ν L p loc (Ω). Então resulta que lim u ν = u em ν D (Ω). De fato, seja ϕ D(Ω) e O um subconjunto aberto limitado de Ω tal que suppϕ O. Se p = 1, tem-se: u ν u, ϕ = Ω (u ν (x) u(x))ϕ(x)dx max ϕ(x) ϕ(x) u ν (x) u(x) dx, x O O e se 1 < p <, considera-se o seu conjugado q, isto é, 1 p + 1 q u ν u, ϕ u ν u L p (O) ϕ L q (O). As desigualdades acima implicam nossa afirmação. = 1, obtendo-se:

27 14 CAPÍTULO 1. RESULTADOS BÁSICOS SOBRE DISTRIBUIÇÕES Observação 4 Tem-se a seguinte cadeia, para 1 p <, sendo cada inclusão densa na seguinte. D(Ω) L p loc (Ω) D (Ω), Com efeito, a continuidade da imersão de D(Ω) em L p loc (Ω) é fácil de verificar e a continuidade da imersão de L p loc (Ω) em D (Ω) foi mostrada no Exemplo 3. A densidade de D(Ω) em D (Ω) será provada posteriormente. Para mostrar que D(Ω) é denso em L p loc (Ω), procede-se como se segue. Seja u L p loc (Ω) e (K ν) a sucessão de subconjuntos compactos de Ω dada na Observação 1. Para cada aberto O ν = int K ν determina-se ϕ ν D(O ν ) tal que u ϕ ν L p (O ν) < 1 ν A sucessão (ϕ ν ) de funções testes em Ω converge para u em L p loc (Ω) quando ν. Considere uma distribuição T sobre Ω e α N n. A derivada de ordem α de T é, por definição, a forma linear D α T definida em D(Ω) por: D α T, ϕ = ( 1) α T, D α ϕ para todo ϕ D(Ω). Não é difícil mostrar que D α T é uma distribuição sobre Ω. Segue-se da definição acima que cada distribuição T sobre Ω possui derivadas de todas as ordens. Assim, as funções de L 1 loc (Ω) possuem derivadas de todas as ordens no sentido das distribuições. Observe que a aplicação D α : D (Ω) D (Ω), T D α T é linear e contínua no sentido da convergência definida em D (Ω). Isto significa que se lim T ν = T em D (Ω) então lim D α T ν = D α T em D (Ω). ν ν Outro resultado que vale a pena mencionar é que a derivada de uma função de L 1 loc (Ω), não é, em geral, uma função de L 1 loc (Ω), como mostra o exemplo que vem a seguir. Tal fato,

28 1.3. DISTRIBUIÇÕES SOBRE UM ABERTO Ω DO RN 15 motivará a definição de uma classe significativa de espaços de Banach de funções, conhecidos sob a denominação de Espaços de Sobolev, tendo este texto como um dos objetivos fazer um estudo introdutório destes espaços. Exemplo 4. Seja u a função de Heaviside, isto é, u é definida em R e tem a seguinte forma: u(x) = 1 se x > 0 e u(x) = 0 se x < 0. Ela pertence a L 1 loc (R) mas sua derivada u = δ 0 não pertence a L 1 loc (R). De fato, tem-se: para todo ϕ D(R). u, ϕ = u, ϕ = 0 ϕ (x) dx = ϕ(0) = δ 0, ϕ Exemplo 5. Se u C k (R n ), para cada α k, a derivada D α u no sentido das distribuições é igual à derivada no sentido clássico, isto é, D α T u = T D α u para todo α k. Isto é uma conseqüência simples da fórmula de integração de Gauss. Exemplo 6. Seja u L 1 loc (Rn ) e k N. Suponha que para cada α k, D α u pertença a L 1 loc (Rn ). Então, para toda ϕ em D(R n ) e α k, tem-se: D α (ϕ u) = ϕ D α u. Note que D α u é a derivada no sentido das distribuições. A igualdade acima é uma conseqüência da definição de derivada e do Teorema de Fubini. A seguir serão fixados certos resultados sobre multiplicação de uma distribuição por uma função, restrição de uma distribuição, distribuição temperada e transformada de Fourier Produto de Funções por Distribuições Se ρ C (Ω) para cada ϕ D(Ω) tem-se ρϕ D(Ω) e se lim ϕ ν = 0 em D(Ω) isto ν implica lim ρϕ ν = 0 em D(Ω) (segue-se da Fórmula de Leibniz para funções). Quando T é ν uma distribuição sobre Ω, define-se o produto ρt como a forma linear definida em D(Ω) do seguinte modo: ρt, ϕ = T, ρϕ para toda ϕ em D(Ω).

29 16 CAPÍTULO 1. RESULTADOS BÁSICOS SOBRE DISTRIBUIÇÕES Segue-se que ρt é uma distribuição sobre Ω. Se α N n, tem-se a fórmula de Leibniz: D α (ρt) = β α α! β!(α β)! Dβ ρ D α β T. Verificar-se-á esta fórmula no caso α = e i = (0,...,1,..., 0). Para todo ϕ em D(Ω) tem-se: D i (ρt), ϕ = ρt, D i ϕ = T, ρ(d i ϕ) = T, D i (ρϕ) + (D i ρ)ϕ = = T, D i (ρϕ) + T, (D i ρ)ϕ = D i T, ρϕ + (D i ρ)t, ϕ = = ρd i T + (D i ρ)t, ϕ Restrição de Distribuições Suponha-se Ω e U subconjuntos abertos do R n tais que Ω U. Para cada função ϕ em D(Ω) considere-se ϕ(x) = ϕ(x) se x Ω e ϕ(x) = 0 se x U\Ω. Tem-se ϕ D(U) e mais: a) D α ϕ = D α ϕ para todo α N n b) Se lim ν ϕ ν = 0 em D(Ω), segue-se que lim ν ϕ ν = 0 em D(U). Como uma conseqüência daqueles resultados, se T D (U), a forma linear T Ω definida em D(Ω) por T Ω, ϕ = T, ϕ para todo ϕ em D(Ω), é uma distribuição sobre Ω denominada a restrição de T a Ω. De a) prova-se que D α (T Ω ) = (D α T) Ω para todo α N n e T D (U) Distribuições Temperadas Uma função ϕ C (R n ) diz-se rapidamente decrescente no infinito, quando para cada k N tem-se que é equivalente a dizer que p k (ϕ) = max α k sup x R n (1 + x 2 ) k D α ϕ(x) <, (1.3.12) lim x p(x)dα ϕ(x) = 0 (1.3.13)

30 1.3. DISTRIBUIÇÕES SOBRE UM ABERTO Ω DO RN 17 para todo polinômio p de n variáveis reais e α N n. Considere o espaço vetorial S(R n ) das funções rapidamente decrescentes no infinito, no qual definiremos a seguinte noção de convergência: uma sucessão (ϕ ν ) de funções de S(R n ) converge para zero, quando para todo k N a sucessão (p k (ϕ ν )) converge para zero em K. A sucessão (ϕ ν ) converge para ϕ em S(R n ) se (p k (ϕ ν ϕ)) converge para zero em K para todo k N. As formas lineares definidas em S(R n ), contínuas no sentido da convergência definida em S(R n ) são denominadas distribuições temperadas. O espaço vetorial de todas as distribuições temperadas com a convergência pontual de sucessões será representado por S (R n ). Assim tal que lim T ν = T em S (R n ) se lim T ν, ϕ = T, ϕ, ϕ S(R n ). ν ν Tem-se D(R n ) S(R n ). O espaço D(R n ) é denso em S(R n ). De fato, seja θ D(R n ) θ(x) = 1 se x 1 e θ(x) = 0 se x 2. (1.3.14) Para cada ν N, define-se θ ν (x) = θ(x/ν) para todo x R n. Seja u S(R n ) então a sucessão (θ ν u) de funções de D(R n ) converge para u em S(R n ). Para mostrar a convergência observe que pela Fórmula de Leibniz para funções, resulta Portanto α k x R n D α (θ ν (x)u(x)) D α u(x) = (θ ν (x)d α u(x) D α u(x))+ + α! 1 θ(x/ν)d α u(x). β!(α β)! ν β Dβ β α β>0 p k (θ ν u u) max sup (1 + x 2 ) k θ ν (x)d α u(x) D α u(x) + [ α k x R n ] + max sup (1 + x 2 ) k α! 1 β!(α β)! ν β Dβ θ(x/ν)d α β u(x) β α, β>0 (1.3.15) A segunda parcela do segundo membro de (1.3.15) converge para zero quando ν como pode ser visto facilmente. A primeira parcela converge para zero como conseqüência da expressão (1.3.13) e do fato que θ ν (x)d α u(x) = D α u(x) para x ν.