EFEITO DE PARÂMETROS DO MÉTODO MULTIGRID CS E FAS SOBRE O TEMPO DE CPU PARA A EQUAÇÃO DE LAPLACE BIDIMENSIONAL

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1 Proceedings of te 11 t Brazilian Congress of Termal Sciences and Engineering -- ECIT 006 Braz. Soc. of Mecanical Sciences and Engineering -- ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006 Paer CIT EFEITO DE PARÂMETROS DO MÉTODO MULTIGRID CS E FAS SOBRE O TEMPO DE CPU PARA A EQUAÇÃO DE LAPLACE BIDIMESIOAL Márcio Augusto Villela Pinto Deartamento de Matemática e Estatística, Universidade Estadual de Ponta Grossa, Ponta Grossa, PR, Brasil marciov@demec.ufr.br Carlos Henrique Marci Deartamento de Engenaria Mecânica, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, PR, Brasil marci@demec.ufr.br Resumo. Sobre o temo de CPU necessário ara resolver numericamente a equação de Lalace bidimensional, verifica-se o efeito causado or: número de nós, de iterações internas e de malas, três solvers (Gauss-Seidel, MSI e ADI), e esquemas de correção (CS) e de aroimação comleta (FAS) com multigrid geométrico e ciclo V. O método de diferenças finitas é usado ara discretizar a equação diferencial com um esquema de ª ordem de acurácia. Verificou-se que: (1) o esquema FAS é mais ráido do que o CS; () o solver MSI é mais ráido do que Gauss-Seidel e ADI; (3) o número de iterações internas é 1 ara o CS e entre 3 e 5 ara o FAS; e (4) recomenda-se usar o número máimo ossível de malas. Palavras-cave: solver, CFD, diferenças finitas, transferência de calor, métodos numéricos. 1. Introdução Modelos matemáticos na dinâmica dos fluidos comutacional surgem em fenômenos físicos que envolvem fluidos em movimento, com ou sem troca de calor (Fortuna, 000; Maliska, 004). Estes modelos matemáticos, em geral, não têm soluções analíticas conecidas. Buscam-se então soluções numéricas transformando-se o modelo contínuo em um modelo discreto. Um método de discretização muito usado é o método de diferenças finitas (Golub e Ortega, 199; Tanneill et al.,1997), onde, em roblemas bidimensionais, o domínio (, ) R : 0, 1 é articionado em um número de incógnitas (ou número de ontos), dado or: =, (1) onde e são o número de incógnitas nas direções coordenadas e, resectivamente. Isto introduz uma mala com os ontos ( i j, ) = (( i 1),( j 1) ), com 1 = e 1 1 =, () 1 onde i = 1,...,, j = 1,..., e e os comrimentos de cada elemento nas direções coordenadas e, resectivamente. este caso, estabelece-se uma mala com elementos de tamano or que se denota or Ω. A discretização desses modelos matemáticos conduz a grandes sistemas de equações algébricas do tio r r A v = f, (3) onde A é uma matriz quadrada, f r é o vetor indeendente e v r é o vetor de incógnitas. A estrutura da matriz A deende do método e das aroimações numéricas usados ara discretizar o modelo matemático. Várias técnicas numéricas têm sido estudadas ara resolver o sistema dado ela Eq. (3) com o menor custo comutacional e a solução a mais róima ossível da eata (sem erros de iteração, Ferziger e Peric, 1999). A resolução or métodos diretos não é recomendável, visto que na rática, a matriz dos coeficientes é muito grande e o custo da inversão da matriz é alto (Golub e Van Loan, 1989). Para roblemas de grande orte os métodos iterativos são mais adequados (Burden e Faires, 1997). O método do gradiente conjugado (Burden e Faires, 1997; Golub e Ortega, 199), introduzido or Hestenes e Stiefeld (195), usa técnicas que são mais esecíficas ara geometrias simles e é um método sensível ao condicionamento da matriz.

2 Proceedings of ECIT ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paer CIT O método multigrid, roosto originalmente or Fedorenko (1964), é atualmente um método numérico muito usado ara resolver iterativamente sistemas de equações do tio da Eq. (3). A idéia básica é usar um conjunto de malas e eecutar alternativamente iterações em cada nível de mala e soluções aroimadas desta equação em malas mais grossas (Briggs et al., 000). São usados oeradores ara transferir informações da mala fina ara a mala imediatamente mais grossa (rocesso camado de restrição) e da mala grossa ara a mala imediatamente mais fina (rocesso de rolongação). Briggs et al. (000) trabalaram com a razão de engrossamento r = afirmando ser uma rática universal e que r não traz vantagens. Em cada mala o sistema de equações é resolvido com um método iterativo com roriedades de reduzir raidamente os erros oscilatórios (roriedades de suavização). Com este conceito, vários trabalos (Brandt, 1977; Stüben, 1999; Wesseling e Oosterlee, 001; Moro, 004; Pinto et al., 005a e 005b), aresentaram bons resultados numéricos ara roblemas de dinâmica dos fluidos. Os resultados de Fedorenko (1964) mostram que a taa de velocidade de convergência com o uso da técnica multigrid é muito melor que a dos métodos iterativos uros. O objetivo do método multigrid é acelerar a convergência a fim de reduzir o temo de CPU necessário ara resolver a Eq. (3). Os melores desemenos do método multigrid são obtidos em roblemas totalmente elíticos (Wesseling, 199), ou seja, roblemas dominados ela difusão; e os menores em roblemas dominados ela advecção (Ferziger e Peric, 1999). O método multigrid ode ser alicado a malas estruturadas, conecido como multigrid geométrico (Wesseling e Oosterlee, 001), bem como a malas não-estruturadas, conecido como multigrid algébrico (Stüben, 001). Em Wesseling e Oosterlee (001) são aontados vários desafios ara o multigrid geométrico, como: a solução das equações de avier-stokes, roblemas com erturbações singulares, roblemas de camada limite onde aarecem as malas fortemente alongadas, ou mesmo a aralelização de algoritmos. este artigo os seguintes arâmetros são estudados: número de incógnitas, número de iterações internas (número de iterações do método numérico a fim de suavizar as comonentes de erro), o número de níveis (número de malas ercorridas) e os solvers Gauss-Seidel (GS), MSI e ADI (Tanneill et al.,1997). Os objetivos são: verificar o efeito desses arâmetros sobre o temo de CPU ara o multigrid geométrico e realizar comarações entre o esquema de correção (CS) e o esquema de aroimação comleta (FAS) com ciclo V roosto em Wesseling (199). Os resultados são comarados com os obtidos na bibliografia. São usados oeradores de restrição or injeção e rolongação or interolação bilinear (Briggs et al., 000). O modelo matemático considerado neste trabalo envolve um roblema bidimensional linear de condução de calor, ou seja, a equação de Lalace com condições de contorno de Diriclet. Este artigo está organizado da seguinte forma: na seção é aresentada uma visão geral do método multigrid. a seção 3, é aresentado o modelo matemático e numérico. a seção 4 são descritos os eerimentos numéricos e seus resultados. E na seção 5 é aresentado a conclusão do trabalo.. O método multigrid Para reduzir o erro de discretização, malas muito refinadas são necessárias a fim de se resolver roblemas de mecânica dos fluidos e transferência de calor. Isso gera sistemas de equações muito grandes. A resolução destes roblemas através de métodos numéricos requer um custo comutacional demasiadamente alto e muitas vezes inviável devido ao grande número de equações a serem resolvidas em cada asso iterativo. Uma oção ara melorar a taa de convergência destes roblemas é o método multigrid (Briggs et al., 000), que acelera consideravelmente a resolução dos sistemas lineares envolvidos no roblema. Métodos multigrid são métodos iterativos ara a solução de sistemas lineares, sendo, ortanto, fortemente deendentes da estimativa inicial atribuída às incógnitas do roblema. Uma técnica eficiente usada ara aliviar as fortes oscilações do resíduo da Eq. (3) em cada mala, definido or: v r v R = f A, (4) é suavizar as oscilações or um método de relaação (método iterativo). este trabalo retende-se comarar o desemeno dos métodos: GS, MSI e ADI. As rimeiras iterações deste rocesso, geralmente, têm ráida convergência, caracterizando a resença de modos oscilatórios de erro. Porém, aós algumas iterações o rocesso torna-se lento, sinalizando a redominância de modos suaves (Brandt, 1977). Este é eatamente o momento onde é recomendável transferir o roblema de relaação ara uma mala mais grossa, ois os modos de erros suaves na mala fina tornam-se erros oscilatórios na mala grossa (Wesseling, 199). Podem ser usados dois tios de esquemas com o método multigrid (Briggs et al., 000): o esquema de correção (Correction Sceme, CS) e o esquema de aroimação comleta (Full Aroimation Sceme, FAS). O esquema CS, a Eq. (3) é resolvida aenas na mala mais fina; nas malas mais grossas, resolve-se a equação do resíduo. Já no caso do esquema FAS, a Eq. (3) é resolvida em todas as malas. O esquema CS é geralmente utilizado em roblemas lineares e o esquema FAS em roblemas não-lineares. A taa de convergência ideal (teórica) do multigrid é indeendente do tamano da mala, isto é, indeende do número de ontos da mala (Hirsc, 1988; Ferziger e Peric, 1999). ão é muito efetivo usar somente dois níveis de mala (Roace, 1998); ara obter um bom desemeno do multigrid, diversos níveis de malas devem ser usados (Tanneill et al., 1997). Pinto et al. (005a e 005b) recomendam usar todos os níveis.

3 Proceedings of ECIT ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paer CIT Os oeradores de transferência da mala fina ara a mala grossa são camados de oeradores de restrição e são r r r r H H denotados genericamente or I φ = φ. Onde φ, no caso do esquema CS, assume o resíduo R dado ela Eq. (4) e no caso do esquema FAS assume a solução aroimada do roblema além do resíduo R r. este trabalo faz-se uso do oerador de injeção ara roblemas bidimensionais que ode ser visto em Briggs et al. (000). Os oeradores de transferência da mala grossa ara a mala fina são camados de oeradores de rolongação, ou r r r H interolação, e são denotados genericamente or I Hφ = φ. Onde φ, no caso do esquema CS assume a aroimação do erro na equação residual, ou seja, a correção, e no caso do esquema FAS assume a solução aroimada do roblema, além da correção. este trabalo faz-se uso do oerador de interolação bilinear que também ode ser visto em Briggs et al. (000). 3. Modelos matemático e numérico O roblema linear de condução de calor bidimensional (equação de Lalace) com condições de contorno de Diriclet, em coordenadas cartesianas, considerado neste trabalo é (Maliska, 004): T T T + = 0, 0 <, < 1 (,1) = sen( π. ), T(,0) = T( 0, ) = T( 1, ) onde T é a incógnita e reresenta a temeratura. A solução analítica do roblema é T ( ) sen( π. ) ( π. ) ( π ), (5) = 0 sen, =. (6) sen A discretização do domínio é feita com malas uniformes cujos ontos são dados ela Eq. (). Para cada um dos ( ) ( ) ontos interiores da mala, a Eq. (5) é discretizada com o método de diferenças finitas com diferença central (CDS) (Tanneill et al.,1997), resultando em onde vi vi, 1, j i j vi, j + vi+ 1, j vi, j 1 vi, j + vi, j+ + = sen ( π. ), i, v i,1 = v 1, j = v, j 1 = 0 = 0, i 1, v, é uma aroimação (solução numérica) ara a solução eata ( ) Rearranjando os termos da Eq. (7), obtém-se T i, j. j 1, (7) a v = a v + a v + a v + a v + b, (8) P n s S w W e E onde os coeficientes são dados or a = +, a n = 1, a s = 1, a w = 1, a e = 1 e b = 0. Se v r e f r r r t t são denotados or v = ( v 1,..., v ) e f = ( f 1,..., f ), resectivamente, onde f r é o vetor indeendente formado elos termos b, então o sistema da Eq. (7), ode ser reresentado or um sistema de equações algébricas do tio dado ela Eq. (3), onde A é uma matriz entadiagonal or, simétrica e definida ositiva (Briggs et al., 000; Burden e Faires, 1997). A Eq. (3) é resolvida com o método multigrid fazendo-se uso dos dois esquemas (CS e FAS) citados na seção anterior. este caso, os sistemas de equações do tio da Eq. (3), onde f r agora reresenta o termo fonte (resíduo ou solução aroimada) a cada nível de mala, são resolvidos com os solvers GS, MSI e ADI. Resolve-se também o roblema, aenas na mala mais fina, com os métodos singlegrid: GS, MSI, ADI e Eliminação de Gauss (Elim.Gauss). O número de iterações internas (ITI) do método multigrid é o número de iterações do solver (método numérico) a fim de suavizar os comonentes do erro.

4 Proceedings of ECIT ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paer CIT Resultados Os algoritmos foram imlementados na linguagem FORTRA 95 com o uso do alicativo Comaq Visual Fortran 6.6 usando-se recisão dula. As simulações foram realizadas num microcomutador com rocessador Intel Pentium 4 com.66 GHz e 1 GB de RAM. Cerca de 400 simulações foram realizadas com as seguintes variantes: número de incógnitas (), número de iterações internas (ITI), número de níveis de malas (L) e solvers (GS, MSI e ADI). São aresentados neste trabalo os resultados mais reresentativos. O critério de convergência ara as iterações eternas (ITE) (número de ciclos necessários ara suavizar as comonentes de erro) é baseado na razão entre a norma L 1 do resíduo (Ferziger e Peric, 1999) numa determinada iteração e a norma do resíduo da estimativa inicial. O resíduo de cada nó é calculado através da Eq. (4). este trabalo adota-se r =. Adota-se também ε =10 7 e v r = (0,0,...0) ara a tolerância sobre o critério de convergência e a estimativa inicial, resectivamente. O foco deste trabalo é a minimização do temo de CPU. Entende-se or temo de CPU, o temo gasto ara gerar malas, atribuir a estimativa inicial, calcular os coeficientes e resolver o sistema linear da Eq. (3). Este temo é medido usando-se a função TIMEF da biblioteca PORTLIB do FORTRA 95. Através de testes realizados verificou-se que a incerteza desta função é aroimadamente de ± s Esquema de correção (CS) Iterações internas (ITI) A Fig. 1a mostra a influência do número de iterações internas (ITI) sobre o temo de CPU ara alguns valores de e o solver MSI. Verificou-se que, ara cada mala, em geral o menor temo de CPU ocorre com o menor valor de ITI. Aumentando-se o valor de ITI, em geral aumenta-se significativamente o temo de CPU. Este comortamento da Fig. 1a também ocorre com os outros solvers testados: GS e ADI. Para os três solvers testados, a Tab. 1 mostra o número de iterações internas ( ITI ), que é o ITI que resulta no menor temo de CPU. Observa-se que e o solver influenciam muito ouco o valor de ITI. Para muito grande, ITI = 1 com qualquer solver. Portanto, recomenda-se utilizar ITI = 1 com o esquema CS e os solvers GS, MSI e ADI. Este valor de ITI difere daquele encontrado (Pinto et al., 005) em roblemas unidimensionais lineares (equações de Poisson e advecção-difusão), onde ITI = 3 ara o solver GS e o mesmo método multigrid = = = Mínimo ITI L MG-GS MG-MSI MG-ADI Mínimo a) úmero de iterações internas (ITI) com solver MSI. b) úmero de níveis de malas (L) ara = Figura 1. Método multigrid (MG) com esquema CS. Tabela 1. úmero de iterações internas ( ITI ) ara o esquema CS. GS MSI ADI

5 Proceedings of ECIT ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paer CIT íveis de malas (L) A Fig. 1b mostra a influência do número de níveis de malas (L) sobre o temo de CPU, ara = nós e os três solvers testados. Para esta mala, L máimo = 9, isto é, usando-se a razão de engrossamento r =, ara resolver a mala mais fina de nós, ode-se usar no máimo mais 8 malas, que são: 5757, 1919, 6565, 3333, 1717, 99, 55 e 33, que aresenta aenas um nó interno. Verificou-se que, ara cada solver, o número de níveis de mala (L ), ocorre em geral ara L = L máimo 1, onde L é o L que resulta no menor temo de CPU. Diminuindo-se o valor de L, em geral aumenta-se significativamente o temo de CPU. Este resultado é raticamente o mesmo encontrado (Pinto et al., 005) em roblemas unidimensionais lineares (equações de Poisson e advecçãodifusão), onde L L máimo ara o solver GS e o mesmo método multigrid. Portanto, recomenda-se utilizar L = L máimo com o esquema CS e os solvers GS, ADI e MSI úmero de incógnitas () A Fig. mostra a influência do número de incógnitas () sobre o temo de CPU ara os três solvers (GS, MSI e ADI) usados com o método multigrid (MG). Também são mostrados resultados ara os mesmos três solvers mas usando-se o método adrão de mala única, aqui camado de singlegrid (SG). Além disso são aresentados resultados ara um método direto, eliminação de Gauss (Elim.Gauss), também baseado em mala única. As malas usadas são: 55, 99,... até 6565 (Elim.Gauss) ou (SG) ou (MG) nós MG-GS MG-MSI MG-ADI SG-GS SG-MSI SG-ADI SG-Gauss Figura. Temo de CPU versus número de incógnitas () com esquema CS. a Fig. são mostrados aenas os ontos cujo temo de CPU não é muito influenciado ela incerteza de sua medição. Verificou-se que, ara malas com > 10 4, o temo de CPU do método multigrid com qualquer solver é significativamente menor do que o método singlegrid iterativo, que or sua vez é significativamente menor do que o método singlegrid direto (Elim.Gauss). Por eemlo, ara a mala 6565 nós, o temo de CPU do SG-MSI e SG- Elim.Gauss é de 0,84 s e 5737, s, resectivamente, ou seja, o SG-MSI é cerca de 6830 vezes mais ráido do que o SG-Elim.Gauss. Outro eemlo, ara a mala nós, o temo de CPU do MG-MSI e SG-MSI é de 13,3 s e 7006 s, resectivamente, ou seja, o MG-MSI é cerca de 57 vezes mais ráido do que o SG-MSI. Estas diferenças ficam cada vez maiores à medida que aumenta, ois as inclinações das curvas dos solvers com MG são menores do que com SG. Entre os métodos iterativos, em geral, observa-se que:

6 Proceedings of ECIT ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paer CIT t ( MSI) < t ( GS) t ( ADI). (9) CPU CPU < CPU Para os ontos da Fig., a Tab. aresenta a inclinação () das curvas, obtida or ajuste geométrico de mínimos quadrados considerando a seguinte função: t CPU = c, (10) onde reresenta a ordem do solver associado ao método emregado, e c é um coeficiente que deende de cada método e cada solver. O método multigrid ideal é aquele cujo = 1, isto é, aquele cujo temo de CPU cresce linearmente com o tamano do roblema, ou com o número de incógnitas. Portanto, ara cada método e solver, quanto mais róimo da unidade estiver seu, melor é o seu desemeno. A ordem dos solvers com o multigrid é ouco afetada se o esquema adotado é o CS ou o FAS. Mas a ordem é muito afetada em função do método adotado, se direto ou iterativo, e se singlegrid ou multigrid. Entre os três solvers testados, o MSI é o mais eficiente com qualquer método emregado, isto é, requer o menor temo de CPU ara resolver um dado sistema com incógnitas. E entre os métodos, o MSI é o mais eficiente com o método multigrid e o esquema FAS. Pela Tab., ode-se notar que, tanto ara os métodos singlegrid, quanto ara os métodos multigrid com o uso do esquema FAS, quanto mais fortemente imlícito for o método, mais ráido ele é. Esta análise sofre uma equena variação no caso dos métodos multigrid com o uso do esquema CS quando se trata dos métodos GS e ADI, mas mesmo assim, o método mais fortemente imlícito (MSI) continua sendo o mais ráido. Tabela. Ordem () dos métodos e solvers. Solver Tio de solver Singlegrid Esquema CS Esquema FAS Elim.Gauss direto GS iterativo ADI iterativo MSI iterativo Esquema de aroimação comleta (FAS) Iterações internas (ITI) A Fig. 3a mostra a influência do número de iterações internas (ITI) sobre o temo de CPU ara alguns valores de e o solver MSI. Verificou-se que, ara cada mala, o menor temo de CPU ocorre com ITI = 4. Diminuindo-se ou aumentando-se o valor de ITI em relação ao, ode-se aumentar significativamente o temo de CPU. Este comortamento da Fig. 3a também ocorre com os outros solvers testados: GS e ADI. A Tab. 3 mostra o número de iterações internas ( ITI ) ara os três solvers testados. Observa-se que e o solver influenciam muito ouco o valor de ITI. Como na rática rocura-se resolver roblemas de grande orte, recomenda-se utilizar ITI = 3, 4 ou 5, resectivamente, ara os solvers GS, MSI e ADI. 10 = = = Mínimo MG-GS MG-MSI MG-ADI Mínimo ITI L a) úmero de iterações internas (ITI) com solver MSI. b) úmero de níveis de malas (L) ara = Figura 3. Método multigrid (MG) com esquema FAS.

7 Proceedings of ECIT ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paer CIT Tabela 3. úmero de iterações internas ( ITI GS MSI ADI ) ara o esquema FAS. a seção anterior, verificou-se que ara o esquema CS, ITI = 1 com qualquer solver. Já nesta seção, verificouse que ara o esquema FAS, ITI = 3 a 5, deendendo do solver. Portanto, o esquema utilizado (CS ou FAS) influencia o número de iterações internas do método multigrid íveis de malas (L) A Fig. 3b mostra a influência do número de níveis de malas (L) sobre o temo de CPU, ara = nós e os três solvers testados. Verificou-se que, ara cada solver, o número de níveis de mala (L ) ocorre na média ara L = L máimo 1. Diminuindo-se o valor de L, em geral aumenta-se significativamente o temo de CPU. Portanto, recomenda-se utilizar L = L máimo com o esquema FAS e os solvers GS, MSI e ADI. a seção anterior, verificou-se que ara o esquema CS, L = L máimo 1, com qualquer solver. Já nesta seção, ocorre o mesmo ara o esquema FAS. Portanto o esquema utilizado (CS ou FAS) não tem grande influência sobre o número de níveis ara o método multigrid úmero de incógnitas () A Fig. 4 mostra a influência do número de incógnitas () sobre o temo de CPU ara os três solvers (GS, MSI e ADI) usados com o método multigrid (MG). Também são mostrados resultados ara os mesmos três solvers mas usando-se o método singlegrid (SG) e eliminação de Gauss (Elim.Gauss) também baseado em mala única. As malas usadas são: 55, 99,... até 6565 (Elim.Gauss) ou (SG) ou (MG) nós. a Fig. 4 são mostrados aenas os ontos cujo temo de CPU não é muito influenciado ela incerteza de sua medição. Verificou-se que, ara malas com > 10 4, o temo de CPU do método multigrid com qualquer solver é significativamente menor do que o método singlegrid iterativo, que or sua vez é significativamente menor do que o método singlegrid direto (Elim.Gauss). Por eemlo, ara a mala nós, o temo de CPU do MG-MSI e SG- MSI é de 3,8 s e 7006 s, resectivamente, ou seja, o MG-MSI é cerca de 1844 vezes mais ráido do que o SG-MSI. Estas diferenças ficam cada vez maiores à medida que aumenta, ois as inclinações das curvas dos solvers com MG são menores do que com SG. Entre os métodos iterativos, em geral, ara o esquema FAS também vale a Eq. (9). Para os ontos da Fig. 4, a Tab. aresenta a inclinação () das curvas, obtida or ajuste de mínimos quadrados considerando a função dada na Eq. (10) Esquema CS versus FAS a Fig. 5 se faz uma comaração entre os esquemas multigrid CS e FAS em função de diversos valores de. Podese notar que o solver MSI que é o mais eficiente com qualquer esquema. Pode-se notar ainda que, o esquema FAS é mais ráido do que o CS em qualquer, entre 3, e 4,0 vezes. Isso também ocorre ara os solvers GS (entre,1 e,9 vezes) e ADI (entre 1,7 e,6 vezes). Por eemlo, ara a mala nós, o temo de CPU do MG-MSI-FAS e MG-MSI-CS é de 14,7 s e 494,3 s, resectivamente, ou seja, o MG-MSI-FAS é cerca de 4,0 vezes mais ráido do que o MG-MSI-CS. Portanto, recomenda-se o uso do esquema FAS com o solver MSI ara a equação de Lalace bidimensional. Esta constatação é inédita e ineserada ois o esquema CS é indicado ara resolver equações lineares, caso deste trabalo, e o esquema FAS, ara equações não-lineares. Aqui vemos que o esquema CS erde a egemonia erante o esquema FAS, mesmo que ara um roblema linear. Os resultados do resente trabalo diferem daqueles comentados em Brandt (1977). Ele fez análises teóricas e eerimentais (numéricas) entre as razões de engrossamento r =, 3 e 3/ ara diversos roblemas, mas não se referiu à Eq. (5) eatamente. Brandt mostra referência elo esquema CS em relação ao esquema FAS no caso de roblemas lineares. Segundo Brandt, cada ciclo iterativo do esquema FAS é mais caro comutacionalmente se comarado ao esquema CS devido à transferência de informações a reseito do resíduo e da solução ara as malas mais grossas. Seja o roblema de minimização do temo de CPU em função do uso dos diferentes esquemas CS e FAS. Para este roblema, constatou-se que o esquema tem uma forte influência da qualidade das informações transferidas ela restrição e ela rolongação e, rincialmente, ela transferência de informações a reseito do resíduo e da solução ara as malas mais grossas. Para o esquema FAS, or eemlo, a estimativa inicial ara as malas mais grossas é semre a restrição da solução suavizada da mala imediatamente mais fina, enquanto que ara o esquema CS, a estimativa inicial é semre a estimativa inicial nula. Ou seja, o esquema FAS tem semre estimativas iniciais melores ara os roblemas

8 Proceedings of ECIT ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paer CIT nas malas grossas. Com isto, constatou-se no resente trabalo que o número de ciclos ou iterações do esquema FAS é significativamente menor do que o esquema CS. Por eemlo, ara a mala nós, o número de ciclos ou iterações do MG-MSI-FAS é de aenas 3 contra do MG-MSI-CS MG-GS MG-MSI MG-ADI SG-GS SG-MSI SG-ADI SG-Gauss Figura 4. Temo de CPU versus número de incógnitas () com esquema FAS MG-CS MG-FAS Figura 5. Temo de CPU versus número de incógnitas () ara o método multigrid (MG) com o solver MSI e os esquemas CS e FAS.

9 Proceedings of ECIT ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paer CIT Conclusão este trabalo verificou-se o efeito de diversos arâmetros sobre o temo de CPU necessário ara resolver um roblema com o método multigrid (MG) geométrico. Os arâmetros considerados foram: número de nós (), número de iterações internas (ITI), número de níveis de malas (L), solvers (GS, MSI e ADI), e esquemas de correção (CS) e de aroimação comleta (FAS). O modelo matemático considerado é um roblema bidimensional linear, governado ela equação de Lalace com condições de contorno de Diriclet. Esta equação foi discretizada com o método de diferenças finitas. Com base nos resultados deste trabalo, verificou-se que: 1) O esquema FAS é mais ráido do que o CS. ) Para os esquemas CS e FAS, o solver MSI é mais ráido do que o GS e o ADI. Portanto, mesmo com o método multigrid, quanto mais fortemente imlícito é o solver, mais ráido ele é. 3) O esquema utilizado influencia o número de iterações internas: ara o esquema CS, ITI = 1 com qualquer solver; e, ara o esquema FAS, ITI = 3 a 5, deendendo do solver. 4) O esquema utilizado não tem grande influência sobre o número de níveis de mala: L L máimo ara os esquemas CS e FAS com os solvers GS, MSI e ADI. Segundo o conecimento dos autores, estas constatações são inéditas na literatura disonível. 6. Agradecimentos O rimeiro autor agradece o aoio do Laboratório de Eerimentação umérica (LEA), do Deartamento de Engenaria Mecânica da UFPR, or disonibilizar sua infra-estrutura, da Universidade Estadual de Ponta Grossa e da CAPES (Coordenação de Aerfeiçoamento de Pessoal de ível Suerior) elo suorte financeiro e dos amigos do LEA. O segundo autor é bolsista do CPq (Conselo acional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico). 7. Referências Brandt, A., Multi-Level adative solutions to boundar-value roblems, Matematics of Comutation, vol. 31, , Briggs, W. L. and Henson, V.E., Mccormick, S.F., A Multgrid Tutorial, ª ed., SIAM, 000. Burden, R. L. and Faires, J. D., umerical Analsis, 6ª ed., Brooks/Cole Publising Coman, Dennis, J. E. and Scnabel, R., umerical Metods for Unconstrained Otimization and onlinear Equations. Pratice Hall, Fedorenko, R. P., On te Seed of Convergence of an Iteration Process, USSR Comut. Mat. And Mat. Ps., vol. 4 (3), Ferziger, J. H. and Peric, M., Comutational Metods for Fluid Dnamicas, ª ed., Sringer, Fortuna, A. O., Técnicas Comutacionais ara Dinâmica dos Fluidos, Edus, 000. Golub, G. H. and Ortega, J. M., Scientific Comuting and Differential Equations: An Introduction to umerical Metods, Academic Press, Inc., 199. Golub, G. H. and Van Loan, C., Matri Comutations, ª ed., Jons Hokins Press, Baltimore, Hestenes, M. and Stiefeld, E., Metods of Conjugate Gradients for Solving Linear Sstems, Journal of Researc of te ational Bureau of Standards, vol. 49, , 195. Hirsc, C., umerical Comutational of Internal and Eternal Flows, vol.1, Wile, Maliska, C. R., Transferência de calor e mecânica dos fluidos comutacional, LTC, ª ed., 004. Moro Filo, R. C., Alicação da Técnica Multigrid em Transferência de Calor Comutacional, XXV Iberian Latin_American Congress on Comutational Metods in Engineering, 004. Pinto, M. A. V.; Santiago, C. D.; Marci, C. H., Effect of Parameters of a Multigrid Metod on te CPU Time for One-dimensional Problems, Proceedings of te International Congress of Mecanical Engineering (COBEM), Paer 0619, 005a. Pinto, M. A. V.; Santiago, C. D.; Marci, C. H., Efeito de Parâmetros do Método Multigrid sobre o Temo de CPU ara a Equação de Burgers Unidimensional, Proceedings of te Iberian Latin-American Congress on Comutational Metods in Engineering (CILAMCE), Paer Cil , 005b. Roace, P. J., Fundamentals of Comutational Fluid Dnamics, Hermosa Publisers, Stüben, K., Algebraic Multgrid (AMG): an introduction wit alications, in: GMD-Reort 70, ovember Stüben, K., A Review of Algebraic Multgrid, Journal of Comutation and Alied Matematics, vol. 18, , 001. Tanneill, J. C., Anderson, D. A. and Pletcer, R. H., Comutational Fluid Mecanics and Heat Transfer, ª ed., Wasington: Talor & Francis, Wesseling, P., An Introduction to Multgrid Metods, Jon Wile & Sons, 199. Wesseling, P. and Oosterlee, C. W., Geometric Multgrid wit Alications to Comutational Fluid Dnamics, Journal of Comutation and Alied Matematics, vol. 18, , 001.

10 Proceedings of ECIT ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paer CIT EFFECT OF CS AD FAS MULTIGRID PARAMETERS O THE CPU TIME FOR TWO-DIMESIOAL LAPLACE S EQUATIO Márcio Augusto Villela Pinto Deartment of Matematics and Statistics, State Universit of Ponta Grossa, Ponta Grossa, PR, Brazil marciov@demec.ufr.br Carlos Henrique Marci Deartment of Mecanical Engineering, Federal Universit of Paraná, Curitiba, PR, Brazil marci@demec.ufr.br Abstract On te necessar CPU time to solve a roblem, one verifies te effect considered b: number of nodes, number of inner iterations, number of grid levels, solvers (GS, MSI and ADI) and Correction (CS) and Full Aroimation Scemes (FAS). Te considered roblem involves a two-dimensional linear roblem: Lalace s equation wit Diriclet boundar conditions. Te finite difference metod is used to discretizate te differential equation. Te algebraic linear sstems are solved wit te tree solvers associated to geometric multigrid wit V-ccle. Some literature results are confirmed and some new ones are resented. Te main conclusions of tis work are tat FAS is faster tan CS and MSI solver is faster tan GS and ADI solvers for bot CS and FAS scemes. Kewords: solver, CFD, finite difference, eat transfer, numerical metods.