Modelo matemático Two-echelon Capacitated Vehicle Routing Problem para a logística de distribuição de encomendas

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1 Modelo matemátio Two-ehelon Capaitated Vehile Routing Problem para a logítia de ditribuição de enomenda Karina Pedrini Fraga, Rodrigo de Alvarenga Roa, Glaydton Matto Ribeiro 3, Carlo Antonio Silva 4 e Raimundo Frana Júnior 4 Reumo: Muita idade vêm enfrentando difiuldade de mobilidade urbana e, por io etão impondo retriçõe para à irulação de aminhõe de maior porte. Aim, emprea de logítia vêm atuando em uma logítia de doi nívei uando Centro de Ditribuição Urbano (CDU) que reebem aminhõe de maior porte e fraionam a arga para ditribuir ao liente em aminhõe de pequeno porte. Para olaborar om ete planejamento, ete artigo realiza uma adaptação de um modelo matemátio baeado no Two-ehelon Capaitated Vehile Routing Problem (E-CVRP) para reolver de forma integrada a formação de rota entre o depóito entral e o CDU e a rota dete para o liente. O modelo foi apliado à logítia do Correio na região metropolitana do Epírito Santo e intânia om até 4 CDU e 5 liente foram tetada om o uo do olver CPLEX.6 obtendo a rota para a entrega no doi nívei. Palavra-have: Two-Ehelon Capaitated Vehile Routing Problem, frota heterogênea, retrição de aeo logítia revera. Abtrat: Many itie are faing diffiultie in urban mobility and therefore are impoing retrition on the movement of larger tru. Thu, logiti ompanie developed a two level logiti trategy baed on Urban Ditribution Center (CDU) that reeive larger tru and plit the argo to put in mall tru to ditribute to utomer. To upport thi type of logiti planning, thi paper preent an adaptation of a mathematial model baed on the Two-ehelon apaitated Vehile Routing Problem (E-CVRP) to plan the route from the entral depot to the atelite and from thee to the lient. The model wa applied to the logiti of Correio in the metropolitan area of the Epírito Santo, Brazil, and intane with up to 4 CDU and 5 lient were teted uing CPLEX olver.6 obtaining route for deliverie at both level. Keyword: Two-Ehelon Capaitated Vehile Routing Problem, heterogeneou fleet, ite dependene, revere logiti.. INTRODUÇÃO A mobilidade urbana vem enfrentando problema que têm motivado a impoição de retriçõe legai a veíulo de grande porte e om arga peada em mai de 00 idade braileira (Portal Tranporta Brail, 04). Ea retriçõe viam minimizar o impato omo o ongetionamento e a poluição onora e do ar por meio da diminuição ou upreão da irulação de veíulo de grande porte em via urbana, o que pode reultar na melhoria da qualidade de vida da população. Uma poível opção de reduzir a irulação de veíulo de grande porte na idade é etruturar a logítia de ditribuição de arga utilizando Centro de Ditribuição Urbana (CDU). O CDU ão intalaçõe loalizada preferenialmente próxima à entrada da idade ou junto a terminai aéreo, ferroviário ou portuário e detinam-e a fraionar arga reebida por meio de veíulo de grande porte em veíulo menore, que fazem a ditribuição dentro do perímetro urbano (Craini et al., 009; Soyal et al., 04). Apó a revião da literatura, pode-e ontatar que o modelo que mai e adequa à realização do roteamento de veíulo no ontexto da logítia urbana por meio do uo de Karina Pedrini Fraga, Metrado em Engenharia Civil - Tranporte, UFES. (pfraga@yahoo.om.br) Rodrigo de Alvarenga Roa, Metrado em Engenharia Civil - Tranporte, UFES. (rodrigo.a.roa@ufe.br) 3 Glaydton Matto Ribeiro, Programa de Engenharia de Tranporte, COPPE-UFRJ. (glaydton@pet.oppe.ufrj.br) 4 Carlo Antonio Silva, CORREIOS/SA. (ailva@orrerio.om.br) 5 Raimundo Frana Júnior, CORREIOS/SA. (rfjunior@orreio.om.br) Manurito reebido em 6/03/06 e aprovado para publiação em 5/08/06. CDU é o Two-ehelon Capaitated Vehile Routing Problem (E-CVRP). O E-CVRP foi propoto reentemente e embora poua poua publiaçõe na área, tem reebido ada vez mai atenção em periódio om alto fator de impato (Jepen; Rope e Spoorendon, 03). Aim, ete artigo via adaptar o modelo matemátio E-CVRP propoto por Perboli et al. (0) para a logítia de ditribuição de arga em nívei, om o uo de CDU. O modelo difere do modelo propoto por Perboli et al. (0) por ua função objetivo. No modelo propoto nete artigo, a função objetivo além de minimizar o uto de tranporte e de arregamento e dearregamento, omo propoto por Perboli et al. (0), bua minimizar também o tamanho da frota do primeiro e do egundo nívei. Ea mudança na função objetivo é importante, poi vária emprea operam om frota alugada e, uualmente, neta ituação, o uto do aluguel do veíulo é muito uperior ao uto do quilômetro rodado. Aim, om ea mudança, é poível avaliar o impato do uto da frota no uto total de ditribuição. O modelo propoto foi apliado ao planejamento da entrega de enomenda do Correio na Região Metropolitana da Grande Vitória, Epírito Santo. A ditribuição de enomenda pelo Correio na Região Metropolitana da Grande Vitória (RMGV) tem iníio no Centro de Tratamento de Carta e Enomenda (CTCE), para onde ão enaminhada toda a arga detinada a liente dea região. Do CTCE, a enomenda ão enviada ao Centro de Entrega e Enomenda (CEE), de aordo om a ditânia do liente a er atendido. Atualmente, exitem ino CEE na RMGV: um na idade de Vitória, um na idade de Vila Velha, um em Cariaia, um em Viana e um em Serra. Ete artigo é parte de TRANSPORTES v. 4, n. 3, 06. ISSN: (online). DOI:0.437/tranporte.v4i3.095 TRANSPORTES v. 4, n. 3 (06), p

2 FRAGA, K.P.; ROSA, R.A.; RIBEIRO, G.M.; SILVA, C.A, JUNIOR, R. F. Cidade Cliente Centro de Ditribuição Urbano Cidade Indútria Centro de Ditribuição Urbano Cliente Cidade 3 Do CEE, a arga ão enviada a ponto etratégio, num total de 5 ponto, de onde ão entregue ao detinatário. Ete artigo e propõe a reolver o planejamento da ditribuição de arga do CTCE até o 5 ponto etratégio, não abrangendo o detinatário final, vito que para atender ee elo da adeia é utilizada uma outra frota para a realização do tranporte. Aim, a adeia de ditribuição de enomenda do Correio pode er modelada em doi nívei, endo o primeiro nível ompoto pelo tranporte do CTCE para o CEE e o egundo nível ompoto pelo tranporte do CEE para o ponto etratégio. O retante dete artigo etá organizado da eguinte forma: a Seção apreenta oneito obre o E-CVRP, aim omo uma revião da literatura aera do E-CVRP. A Seção 3 detalha o modelo matemátio propoto nete artigo. A Seção 4 apreenta o o problema real etudado e dereve a intânia analiada na apliação do E-CVRP. O reultado do modelo propoto e ua análie ão apreentado na Seção 5. Por fim, a onluõe ão apreentada na Seção 6.. REFERENCIAL TEÓRICO Tendo em vita a nova opçõe logítia de dividir a rede de ditribuição ou oleta em vário nívei, é poível obter, além da redução do uto de tranporte, ganho no ponto de vita ambiental, já que om a ditribuição em vário nívei é viável a utilização de veíulo menore para a realização de entrega a urta ditânia, o que reduz a poluição do ar e o ongetionamento da via urbana (Manini, 03). Na maioria da veze, a logítia é implementada em doi nívei e para tal ão implantado Centro de Ditribuição Urbana (CDU) (Craini et al., 009). O CDU ão intalaçõe loalizada preferenialmente próxima à entrada Centro de Ditribuição Urbano 3 Figura. Centro de Ditribuição Urbano Fonte: Adaptado de Qua (008, p.67) Cliente da idade ou junto a tranporte aéreo, ferroviário ou terminai de navegação. O CDU detinam-e a fraionar arga reebida por meio de veíulo de grande porte em veíulo menore, que fazem a ditribuição dentro do perímetro urbano (Craini et al., 009; Manini, 03). Podee ver na Figura um deenho equemátio da ditribuição de arga por meio de um CDU. Para deenvolver um roteamento de veíulo que uporte a logítia urbana por meio do uo de CDU, o problema de roteamento em doi nívei que tem ido mai itado na literatura é o Two-ehelon Capaitated Vehile Routing Problem (E-CVRP) (Cuda et al., 05). O E- CVRP é um problema NP-hard de ditribuição em doi nívei, que analia o problema em doi nívei, endo ompoto por depóito e atélite, que ão depóito intermediário que funionam omo CDU, fraionando a arga reebida em veíulo menore para erem entregue ao liente. No primeiro nível, é realizado o tranporte da arga demandada pelo liente do depóito ao atélite e, no egundo nível, a entrega do atélite ao liente. No atélite oorrem atividade de dearregamento do veíulo do primeiro nível e arregamento do veíulo do egundo nível (Baldai et al., 03; Perboli e Tadei, 00; Soyal et al., 04). O E-CVRP tem por objetivo enontrar um onjunto de rota para ada nível, de maneira a atifazer a demanda de todo o liente, repeitando a apaidade do atélite e do veíulo, om a minimização do uto total de ditribuição. Embora o tranporte em itema de ditribuição de doi nívei ó permita entrega em um memo nível, o problema não deve er reolvido tratando ada nível eparadamente. Ito e deve ao fato que eventualmente a otimização da rota do primeiro nível que define a quantidade entregue ao atélite não leve obrigatoriamente à rota ótima no egundo nível, poi a eolha do volume entregue 8 TRANSPORTES v. 4, n. 3 (06), p. 8-89

3 Modelo Matemátio Two-Ehelon Capaitated Vehile Routing Problem Para a Logítia de Ditribuição de Enomenda ao atélite pode não permitir a reelização de rota ótima no egundo nível (Cuda; Guataroba; Speranza, 05). Como o veíulo do egundo nível pouem apaidade menor que a apaidade do veíulo do primeiro nível, o E-CVRP é de grande relevânia para o atendimento de liente loalizado em idade que pouem regulamentaçõe que retrinjam o tráfego de grande veíulo em ua via, batando a inerção de atélite em tai idade (Baldai et al., 03; Cuda et al., 05; Soyal et al., 04). Perboli et al. (0) apreentaram formalmente a lae Two-ehelon Vehile Routing Problem e ua variação mai báia, E-CVRP, aim omo um modelo de Programação Inteira Mita e Inequaçõe para a reolução dete problema, apreentando ontribuiçõe ao trabalho de Feliu et al. (007). Perboli et al. (0) propueram também dua matheuriti, dividing-baed heuriti e emiontinuou heuriti e utilizaram intânia enontrada na literatura aera do CVRP para tetar o modelo e a heurítia. Jepen et al. (03) propueram uma heurítia Branh-and-ut para o E-CVRP. Site e Wiare (04) deenvolveram uma nova abordagem para a modelagem e reolução do E-CVRP ao integrar modelo matemátio PLIM om Programação Lógia por Retriçõe (PLR). Santo et al. (03) deenvolveram uma reformulação da Programação Inteira para o E-CVRP e implementaram dua heurítia Branh-and-prie (BP) para a ua olução. Craini et al. (008) propueram a heurítia Splitlarge-route, Add and Exhange para o problema E-CVRP, baeada na abordagen de lutering e multi depóito. Craini et al. (00) reolveram o E-CVRP om o uo de uma família de heurítia Multi-Start, de maneira que ada nível foi tratado om um ubproblema e reolvido eparadamente e equenialmente, num proeo iterativo. Um algoritmo híbrido Ant Colony Optimization foi deenvolvido por Meihua et al. (0) a partir da ombinação de trê meta-heurítia para a reolução do E-CVRP. O método reolve o problema dividindo-o em ubproblema CVRP e a metaheurítia Ant Colony Optimization e Multiple Neighborhood Deent ão ombinada para a reolução dee CVRP. Em eguida, a meta-heurítia Threhold- Baed Loal Searh é utilizada para melhorar a olução viável enontrada anteriormente. Hemmelmayr et al. (0) reolveram o E-CVRP no ontexto da Logítia Urbana om o deenvolvimento de uma meta-heurítia Adaptive Large Neighborhood Searh (ALNS). Craini et al. (0) oluionaram o E-CVRP om o uo de meta-heurítia baeada em Greedy Randomized Adaptive Searh Proedure (GRASP) ombinado om Path Relining. Baldai et al. (03) deenvolveram um modelo matemátio om bae em programação dinâmia (PD), em um método dual-aent e um algoritmo exato para reolver o E-CVRP. Zeng et al. (04) deenvolveram uma heurítia híbrida, ompota de GRASP e de uma Variable Neighborhood Deent (VND) para reolução e melhoria da olução, repetivamente, do E-CVRP. Como artigo de revião, podem er enontrado o trabalho de Manini (03) e Cuda et al. (05). Manini (03) reviou o problema de roteamento exitente na literatura de Logítia Urbana envolvendo multi-ehelon ditribution ytem (ME-DS), inluive o E-CVRP e o método utilizado para ua reolução. Cuda et al. (05) fizeram um etudo da publiaçõe obre Two-ehelon Routing Problem, em que abordaram oito prinipai artigo da lae E-CVRP. Variaçõe do E-CVRP também ão enontrada na literatura. Craini et al. (009) apreentaram uma variação do E-CVRP, hamada de two-ehelon, ynhronized, heduled, multi-depot, multiple-tour, heterogeneou vehile routing problem with time window (SS-MDMT- VRPTW), ao tratar o gereniamento da Logítia Urbana. Ee autore deenvolveram um modelo e formulaçõe gerai para a nova lae a partir de Programação Linear Inteira, ma não realizaram nenhum experimento omputaional para a mema. Grangier et al. (04) abordaram uma nova lae do E-CVRP, hamada two-ehelon multipletrip vehile routing problem with attelite ynhronization (E-MTVRP-SS) e utilizaram uma meta-heurítia Adaptive Large Neighborhood Searh para reolução do problema. Soyal et al. (04) abordaram pela primeira vez a variação time-dependent em problema E-CVRP, o Twoehelon Capaitated Vehile Routing Problem with Time Dependent (E-CVRPTD), aim omo fatore que influeniam no onumo de ombutível, omo o tipo de veíulo, a ditânia perorrida, a veloidade e a arga tranportada pelo veíulo. Ee autore deenvolveram um modelo matemétio de PLIM baeada no modelo propoto por Jepen et al. (03) e tetaram o modelo em um ao real, uma adeia de uprimento loalizada no Paíe Baixo, om depóito, atélite e 6 liente. 3. MODELO MATEMÁTICO PROPOSTO O modelo matemátio foi adaptado do modelo matemátio propoto por Perboli et al. (0), modifiando a função objetivo que paa a oniderar o uto da frota do primeiro nível e do egundo nível. De aordo om Perboli et al. (0), o E-CVRP é ompoto por um depóito e por um número onheido de atélite. Cada atélite poui loalização onheida e ua apaidade é definida omo a quantidade máxima de veíulo do egundo nível que podem iniiar uma rota a partir dee atélite. Cada nível poui uma frota homogênea de veíulo, endo que a frota de veíulo do primeiro nível enontra-e loalizada no depóito e a frota de veíulo do egundo nível é ompartilhada pelo atélite. No primeiro nível, a rota pouem iníio e fim no depóito, enquanto no egundo nível a rota devem terminar no atélite de origem. Cada veíulo do primeiro nível pode tranportar produto de um ou mai liente e atender mai de um atélite por rota, ma não é permitido que ejam realizada entrega diretamente do depóito ao liente. Cada atélite pode er ervido por um ou mai veíulo do primeiro nível, enquanto ada liente ó pode er atendido por meio de um únio veíulo do egundo nível. Aim, onidera-e que entrega fraionada ó podem oorrer no primeiro nível. O uto total de ditribuição é dado pelo uto da rota realizada no doi nívei e pelo uto de manueio da arga no atélite, endo ete uto proporional à arga arregada/dearregada. A diferença entre o modelo propoto e o modelo de Perboli et al. (0) onite na mudança do Função Objetivo do modelo. Enquanto o modelo de Perboli et al. (0) tem uma Função Objetivo que bua minimizar o uto da viagen realizada e o uto de manueio da arga, a Função Objetivo do modelo propoto via minimizar o uto da viagen realizada, o uto do manueio da arga e o tamanho da frota de ada nível. TRANSPORTES, v. 4, n. 3 (06), p

4 FRAGA, K.P.; ROSA, R.A.; RIBEIRO, G.M.; SILVA, C.A, JUNIOR, R. F. O E-CVRP pode er definido omo um grafo não orientado G ( N, E), onde o onjunto de vértie N é dado omo N V V V.N V 0 V V. O vértie V 0 v0 repreenta o depóito, enquanto V V, V,..., V n repreenta o ubonjunto do n atélite e V n, n,..., n n o ubonjunto do n liente. O onjunto da areta E é definido omo E 0, j : jv ( i, j) : i, j{ V V }, i j e repreenta a areta que interligam o vértie. O modelo é ompoto pelo parâmetro: m : número de veíulo do primeiro nível; m : número de veíulo do egundo nível; m : número máximo de rota do egundo nível que podem e iniiar em um atélite ; K : apaidade do veíulo do primeiro nível; K : apaidade do veíulo do egundo nível; d : demanda de um liente i ; i : uto de perorrer um aro i, j ; F : uto de operação por m 3 de arga manueada no depóito intermediário ; f : uto do veíulo do primeiro nível; e f : uto do veíulo do egundo nível. A variávei de deião ão dividida em trê grupo. No primeiro grupo ão definido doi onjunto de variávei de deião relaionada ao aro, um para ada nível: x : repreenta a quantidade de veíulo do primeiro nível que perorrem um aro i, j do primeiro nível; e y : variávei binária que aumem valor igual a e um veíulo do egundo nível ai de um nó i e hega a um nó j, ambo do egundo nível, em uma rota iniiada em um atélite. Cao ontrário, eu valor é 0. O egundo grupo ontém a eguinte variávei de deião: z j : variávei binária que aumem valor igual a quando um liente j deve er ervido por um atélite e valor igual a 0 em ao ontrário. Ea variável é reponável por relaionar ada liente a um depóito e por ligar o doi nívei de tranporte. O tereiro grupo repreenta o fluxo de arga que paa atravé de ada aro e de ada atélite: Q : india o fluxo de arga que paa em um aro i, j do primeiro nível; Q : india o fluxo de arga que paa por um aro i, j do egundo nível, em uma rota iniiada em um atélite ; e, por fim, D : define a quantidade de arga que paa pelo atélite. Função objetivo Minimizar x y F D i, jv0 V, i j V i, jv V, i j V x0i f yj f iv V jv Sujeito a: x0 i m iv x x () () j i jv V0, j iv V0 i (3) V V 0 yj m V jv (4) yj m j V (5) V (6) V D j Q Q ji di 0, i j iv v0, i j iv (7) y j y j jv jv iv v j V V 0 Q K x (8) i, j V V0, i j Q Q ji iv, i j iv, i j zjd j j não é um atélite (9) D j j é um atélite j V V, V Q K y (0) i, j V V, i j, V Q 0 iv0 () i V jv Q j 0 () V 84 TRANSPORTES v. 4, n. 3 (06), p. 8-89

5 Modelo Matemátio Two-Ehelon Capaitated Vehile Routing Problem Para a Logítia de Ditribuição de Enomenda D y z d jv j y ji z j j z j V i V V, j V, V i V, j V, V (3) (4) (5) y zj i V V (6) y ji z j V, V j i V (7) z iv y j y z j x l lv V 0 0, 0, x Q 0 Q 0 j V, V j V j V, V i, j V, V V j V, V V 0 0, j V V 0 i, j V V 0 i, j V V, V (8) (9) (0) () () (3) (4) Depoi da definiçõe expota anteriormente, ão apreentada a eguir a função objetivo e a retriçõe do modelo propoto. O modelo poui uma função objetivo, repreentada pela Equação (), que é ompota por ino parela. A ª e a ª parela onitem no omatório do uto da viagen realizada atravé do aro do primeiro e do egundo nívei, repetivamente. A 3ª parela repreenta o uto de arregamento e dearregamento da arga em ada atélite. A 4ª e 5ª parela apreentam o omatório do uto da frota de primeiro e egundo nívei, repetivamente. A função objetivo deve er minimizada. A Retrição () determina que o número de rota perorrida no primeiro nível não pode exeder a quantidade de veíulo da frota de primeiro nível. Da mema maneira, na Retrição (4), o número de rota de egundo nível não pode exeder o número de veíulo da frota de egundo nível. A Retriçõe (3) indiam que, para 0, ou eja, e for o depóito, ada rota do primeiro nível deve iniiar e terminar no depóito. Se for um atélite, ea retriçõe garantem que o número de veíulo que hegam ao atélite é igual ao número de veíulo que aem dee memo atélite. A Retriçõe (5) garantem que o número de rota que iniiam em um atélite não pode exeder o número máximo de rota que podem er iniiada nee atélite. A Retriçõe (6) definem que toda rota de egundo nível que e iniiar em um determinado atélite deve retornar ao memo atélite. De aordo om a Retriçõe (7) e (9), o fluxo reultante de arga em ada nó, no primeiro e no egundo nível, repetivamente, deve er igual à demanda dee nó, om exeção do depóito, onde o fluxo reultante deve er igual à arga total demandada pelo liente, om inal negativo. A Retriçõe (8) aeguram que o fluxo paando num aro i, j do primeiro nível não deve exeder a apaidade do veíulo de primeiro nível utilizado nee aro. Na Retriçõe (0), o fluxo paando num aro i, j do egundo nível não deve exeder a apaidade do veíulo do egundo nível utilizado nee aro. A Retriçõe () e () garantem que, em ada rota do primeiro nível e do egundo nível, não retorna arga para o depóito e para o atélite onde a rota e iniiou, repetivamente. A Retriçõe (3) definem a quantidade de arga que paa pelo atélite. A Retriçõe (4) e (5) garantem que um liente é ervido por um atélite omente e reeber arga advinda dee atélite. A Retriçõe (6) e (7) garantem que apena uma rota do egundo nível paa em ada liente, ou eja, ada liente é viitado apena uma vez. A Retriçõe (8) aeguram que ada liente é atendido por apena um atélite. A Retriçõe (9) etabeleem que uma rota do egundo nível e iniia em um atélite omente e ee atélite já foi atendido por uma rota do primeiro nível. A Retriçõe (0) a (4) determinam o domínio da variávei, endo y e z j variávei binária, x variávei de valor inteiro e maior que zero, e Q variávei maiore ou iguai à zero. 4. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA E LEVANTAMENTO DOS DADOS Foram realizada divera reuniõe om a equipe de ditribuição de enomenda do Correio, eminentemente aixa Sedex, para entender a logítia atual de ditribuição. Além dio, por meio dea reuniõe foi poível determinar o parâmetro neeário para a reolução do problema. Com io, a adeia de ditribuição de enomenda do Correio foi adaptada ao itema de ditribuição twoehelon oniderando o CTCE omo o depóito; o CEE omo o atélite; e o ponto etratégio omo o liente. Dea forma, o primeiro nível é ompoto pelo CTCE e pelo CEE e o egundo nível é ompoto pelo CEE e o liente. Um eboço dee itema é ilutrado na Figura. TRANSPORTES, v. 4, n. 3 (06), p

6 FRAGA, K.P.; ROSA, R.A.; RIBEIRO, G.M.; SILVA, C.A, JUNIOR, R. F. C C C9 Legenda: D : Depóito S,..., S5: Satélite S C,..., C9: Cliente : Rota do º nível S : Rota do º nível D S5 C3 S3 S4 C8 C5 C6 C7 C4 Figura. Ditribuição modal do aeo e da viagen atraída ao CAA Foram riado trê grupo de intânia de tete: o º grupo, Intânia a 3, om 0 liente a erem atendido em ada intânia; o º grupo, Intânia 4 a 6, om 5 liente a erem atendido em ada intânia; e o 3º grupo, Intânia 7 a 9, om 5 liente a erem atendido em ada intânia. Foram definida nove intânia de tete de maneira a poibilitar a análie do omportamento do modelo om a variação do número de liente a erem atendido e do atélite diponívei para a realização do fraionamento da arga. Dentro de ada grupo de intânia de tete variou-e o número de atélite e manteve-e ontante o número de liente a erem atendido. Além dio, foi riado o 4º grupo, om a Intânia 0 que, aim omo a Intânia 9, retrata o problema real, em que exitem 4 atélite que atendem 5 liente om a diferença que na Intânia 0, o 4 atélite obrigatoriamente têm que er utilizado. A Tabela apreenta toda a intânia. Na Tabela, a oluna Grupo repreenta o grupo de intânia de tete. A oluna Intânia repreenta toda intânia reai e de tete definida e utilizada. A oluna Satélite india a quantidade de atélite em ada intânia e a oluna Cliente apreenta a quantidade de liente oniderado em ada intânia. A oluna Veíulo e Veíulo repreentam, repetivamente, o número de veíulo do primeiro e do egundo nívei. Tabela. Intânia Avaliada Grupo Intânia Satélite Cliente Veíulo Veíulo (un) (un) (un) (un) A quantidade de arga entregue via Correio foi definida a partir da proporção de arta entregue a ada liente diariamente. De aordo om o Correio, a proporção de enomenda entregue ao liente tem orrelação om a quantidade de arga entregue. A ditânia entre todo o nó envolvido no problema foram determinada a partir do álulo da ditânia entre CEP, realizado om o auxílio do ite MapaCep (05). O uto de tranporte para ada nível foram etimado om preço de merado em R$,00/m perorrido no primeiro nível e em R$,50/m perorrido no egundo nível. O uto de manueio é o memo para todo o atélite, vito que ete uto é dado por liitação e deve er padronizado para toda a unidade e foi oniderado omo R$,00 por m³ de enomenda manueada no atélite. Tabela. Reultado Enontrado pelo CPLEX Grupo Intânia Satélite Satélite Cliente Veíulo utilizado Veíulo utilizado Função diponívei utilizado (um) (um) (um) Objetivo (R$) ; ; ,00 ; ; 3 ; ; ,00 3 ; ; 3; 4 ; ; ,00 4 ; ,00 5 ; ; 3 3; ,00 6 ; ; 3; 4 3; ,00 7 ; ; , ; ; 3 ; ,00 9 ; ; 3; 4 ; 3; , ; ; 3; 4 ; ; 3; ,00 86 TRANSPORTES v. 4, n. 3 (06), p. 8-89

7 Modelo Matemátio Two-Ehelon Capaitated Vehile Routing Problem Para a Logítia de Ditribuição de Enomenda C4 C9 C5 C3 C0 C5 S C8 S3 C C6 D C4 C C6 C C3 Legenda: Depóito Satélite Cliente Rota do º nível Rota do º nível O valore do veíulo do primeiro nível e do egundo nível ão, repetivamente, R$ 9.000,00 e R$ 0.000,00. Para a ditribuição da enomenda do CTCE ao CEE (primeiro nível) é utilizada uma frota homogênea de veíulo om apaidade maior que a frota homogênea de veíulo utilizada para a entrega da enomenda do CEE ao liente (egundo nível). O valore relativo à apaidade do veíulo e ao uto para obtê-lo ofreram inremento de aordo om a demanda determinada para ada intânia, mantendo-e ontante dentro de ada grupo de intânia, de maneira que o veíulo da intânia do Grupo 3 pouem apaidade maior que o veíulo da intânia do Grupo e do Grupo ; e o veíulo da intânia do Grupo pouem apaidade maior que o veíulo da intânia do Grupo, independentemente da quantidade de atélite diponívei para a intânia. Para a definição da apaidade do veíulo, foi utilizado apena 60% da apaidade total do veíulo do egundo nível em função da difiuldade de e arrumar a arga no veíulo, obretudo, para repeitar a equênia de entrega na arrumação do aminhão. 5. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE RESULTADOS C C7 C0 S C3 C Figura 3. Ilutração do roteamento da Intânia 0 O reultado foram alançado apó a exeução da intânia reai e de tete, definida na Seção 4, om o uo do olver CPLEX.6. A Tabela motra o reumo dee reultado. Na Tabela, a primeira oluna india o grupo a que ada intânia pertene e a egunda oluna identifia ada intânia. A oluna Satélite diponívei exibe quai atélite etavam diponívei para a realização da ditribuição e a oluna Satélite utilizado apreenta quai atélite foram utilizado. A oluna Cliente india a quantidade de liente a erem atendido em ada intânia. A oluna Veíulo utilizado e Veíulo utilizado indiam a quantidade de veíulo utilizado para a ditribuição de enomenda no primeiro nível e no egundo nível, repetivamente. A oluna Função Objetivo apreenta o valor enontrado para a função objetivo om a implementação de ada intânia. O CPLEX reolveu a Intânia de a 8 e 0, repeitando a retriçõe de apaidade e de fluxo. O CPLEX não enontrou a olução ótima para a Intânia 9, hegando a um upper bound (UB) de 78.50,00, omo apreentado na Tabela, e a um lower bound (LB) de 78.5,00, om um gap de 0,% apó 8 hora de exeução do CPLEX. No entanto, foi obervado que, om 7 minuto de exeução do CPLEX, o modelo já apreentava o memo valor de UB, tendo alançado um LB de 69.03,00, ou eja, apó pratiamente 8 hora não houve melhora no UB, ubindo muito lentamente o LB. O valore que mai impataram na Função Objetivo foram o valore orrepondente ao uto de obtenção da frota do primeiro e do egundo nívei. Io porque o valor de obtenção da frota utilizada é de grandeza maior que o outro uto. Com io, a variaçõe na Função Objetivo podem er expliada, prinipalmente, pelo tamanho da frota a erem utilizada para realizar a ditribuição da enomenda no doi nívei. A quantidade de liente a erem atendido e o atélite utilizado também influeniam o valor da Função Objetivo, por determinarem o tamanho da rota a er perorrida e, no ao do liente, a quantidade de enomenda a erem entregue, que ão manueada no atélite e geram um uto de manueio. De aordo om a Tabela, nenhuma intânia utilizou a apaidade total do veíulo diponívei e a Intânia de 3 a 9 não utilizaram todo o atélite diponívei para ada intânia apreentada na Tabela no reultado do roteamento realizado pelo CPLEX. Inluive, uma omparação entre a Intânia reai 9 e 0 india que a utilização de trê atélite em vez do quatro utilizado para o atendimento do atuai 5 liente gera uma eonomia no uto total de ditribuição. Aim, para o problema etudado, uma análie por parte da gerênia do Correio deve er realizada a fim de e avaliar a perpetiva de não utilizar o Satélite, levando-e em onideração o uto do armazém que pode er eonomizado e o reflexo dea alteração no uto da TRANSPORTES, v. 4, n. 3 (06), p C4 S4 C5 C C8 C7 C9

8 FRAGA, K.P.; ROSA, R.A.; RIBEIRO, G.M.; SILVA, C.A, JUNIOR, R. F. emprea, aim omo quetõe omeriai. A Figura 3 ilutra o roteamento obtido na reolução da Intânia 0. Diante do expoto, pode-e pereber que o modelo propoto é apaz de promover uma logítia de ditribuição integrada entre o doi nívei do problema da logítia de ditribuição de enomenda do Correio, om a minimização do uto de tranporte e do tamanho da frota a er utilizada e om a evidênia do atélite mai intereante para a realização do roteamento, de aordo om a ua loalização. Aim, o modelo propoto pode ervir ao Correio omo ferramenta para planejamento da logítia de ditribuição de enomenda, ma também ao planejamento etratégio da emprea. 6. CONCLUSÕES Ete artigo propô uma adaptação de um modelo matemátio para o problema de ditribuição em doi nívei E- CVRP para a logítia de ditribuição de enomenda do Correio etruturada em doi nívei. A adaptação do modelo teve omo bae o modelo matemátio E-CVRP propoto por Perboli et al. (0) e diferenia-e dele por oniderar o uto da frota em ada nível na função objetivo. O modelo é apaz de promover uma logítia de ditribuição integrada entre o doi nívei do problema, motrando a frota neeária no doi nívei para o atendimento de todo o liente e o atélite mai intereante para a realização do roteamento, não oniderando, no entanto, o uto de e manter ada atélite, ma apena a ua loalização. O reultado indiaram que é poível realizar a logítia do Correio reduzindo o número de atélite, gerando uma eonomia no uto total de ditribuição. Aim, para o problema etudado, uma análie por parte da gerênia do Correio deve er realizada a fim de e avaliar a perpetiva de não utilizar um atélite, levandoe em onideração o uto do armazém que pode er eonomizado e o reflexo dea alteração no uto da emprea, aim omo quetõe omeriai. Cabe ao getore do Correio fazerem uma análie da importânia da exitênia do atélite não eolhido pelo modelo para a realização do fraionamento da arga a erem entregue ao liente. O CPLEX oneguiu reolver o modelo matemátio de forma ótima em intânia om até 8 nó e a intânia om 9 nó reultou em um pequeno gap de 0,%. A metodologia apreentada pode ervir omo uma ferramenta de logítia para o Correio e para itema imilare. No entanto, por e tratar de um problema NP-hard, o modelo propoto para o E-CVRP não reolveria problema om intânia muito maiore que a apreentada. Aim, omo ugetão para trabalho futuro, ugere-e a riação de meta-heurítia para reolução de problema om AGRADECIMENTOS O autore agradeem a CAPES, à FAPES (458/03 e proeo /06) e ao CNPq (47748/0-5 e 33408/04-9) pelo apoio finaneiro à pequia e ao Correio pelo apoio à informaçõe obre o problema etudado. REFERÊNCIAS Baldai, R.; Mingozzi, A. e Roberti, R. (03) An Exat Algorithm for the Two-Ehelon Capaitated Vehile Routing Problem. Operation Reearh, v. 6, n., p DOI: 0.87/opre.0.53 Craini, T.G.; Manini, S.; Perboli, G. e Tadei, R. (0) GRASP with path relining for the two-ehelon vehile routing problem. CIRRELT, v. 45. Craini, T. G.; Manini, S.; Perboli, G.; Tadei, R. (008) Lower Bound for the Two-Ehelon Vehile Routing Problem. Anai do EU/MEETING, Troye, Frane. Craini, T.G.; Manini, S.; Perboli, G. e Tadei, R. (00) Multitart heuriti for the two-ehelon vehile routing problem. CIRRELT, v. 30. Craini, T. G.; Riiardi, N. e Storhi, G. (009) Model for Evaluating and Planning City Logiti Sytem. CIRRELT, v.. Cuda, R.; Guataroba, G. e Speranza, M. G. (05) A urvey on two-ehelon routing problem. Computer & Operation Reearh, v. 55, p DOI: 0.06/j.or Feliu, J. G.; Perboli, G.; Tadei, R. e Vigo, D. (007) The Twoehelon Capaitated Vehile Routing Problem. Tehnial Report, Control and Computer Department Politenio de Torino, Univerity of Bologna, Bologna, Italy. Grangier, P.; Gendreau, M.; Lehuédé, F. e Roueau, L. M. (04) An Adaptive Large Neighborhood Searh for the Two- Ehelon Multiple-Trip Vehile Routing Problem with Satellite Synhronization. CIRRELT, v. 33. Hemmelmayr, V. C.; Cordeau, J. F. e Craini, T. G. (0) An adaptive large neighborhood earh heuriti for two-ehelon vehile routing problem ariing in ity logiti. Computer & Operation Reearh, v. 39, p DOI: 0.06/j.or Jepen, M.; Røpe, S. e Spoorendon, S. (03) A branh-andut algorithm for the ymmetri two-ehelon apaitated vehile routing problem. Tranportation Siene., v. 47, n., p DOI: 0.87/tr Manini, S. (03) Multi-Ehelon Ditribution Sytem in City Logiti. European Tranport, v. 54, n.. MAPACep. Pequia geral no ite. Diponível em: < Aeo em: 04 jul. 05. Meihua, W.; Xuhong, T.; Shan, C. e Shumin, W. (0) Hybrid ant olony optimization algorithm for two ehelon vehile routing problem. Proedia Engineering, v. 5, p DOI: 0.55/04/57467 Perboli, G. e Tadei, R. (00) New Familie of Valid Inequalitie for the Two-Ehelon Capaitated Vehile Routing Problem. Eletroni Note in Direte Mathemati, v. 36, p DOI:0.06/j.endm Perboli, G.; Tadei, R. e Vigo, D. (0) The Two-Ehelon Capaitated Vehile Routing Problem. Tranportation Siene, v. 45, n. 3, p DOI: 0.87/tr TRANSPORTES v. 4, n. 3 (06), p. 8-89

9 Modelo Matemátio Two-Ehelon Capaitated Vehile Routing Problem Para a Logítia de Ditribuição de Enomenda Portal Tranporta Brail (04). Pequia geral no ite. Diponível em: < Aeo em: 03 jul. 05. Qua, H. (008) Sutainability of Urban Freight Tranport - Retail Ditribution and Loal Regulation in Citie. Eramu reearh intitute of management, Rotterdam. Santo, F. A.; Da Cunha, A. S. e Mateu, G. R. (03) Branhand-prie algorithm for the Two-Ehelon Capaitated Vehile Routing Problem. Optimization Letter, v. 7, p DOI: 0.007/ Site, P. e Wiare J. (04) A novel integrated approah to the modelling and olving of the Two-Ehelon Capaitated Vehile Routing Problem. Prodution & Manufaturing Reearh: An Open Ae Journal, v., n., p DOI: 0.080/ Soyal, M., Bloemhof-Ruwaard, J. M. e Beta, T. (04) The time-dependent two-ehelon apaitated vehile routing problem with environmental onideration. International Journal of Prodution Eonomi, v. 64, p DOI: 0.06/j.pe Zheng-Yang, Z.; Wei-Sheng, X.; Zhi-Yu, X.; Wei-Hui, S. (04) A Hybrid GRASP+VND Heuriti for the Two-Ehelon Vehile Routing Problem Ariing in City Logiti. Mathematial Problem in Engineering, v. 04, p. -. DOI: 0.55/04/57467 TRANSPORTES, v. 4, n. 3 (06), p