CEM Centro de Estudos Matemáticos

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1 Centro de Estudos Matemáticos Florianópolis Professor: Erivaldo Equação do primeiro grau Santa Catarina 1. (Uftm) Em uma balança de dois pratos de uma farmácia de manipulação, 10 comprimidos A estão perfeitamente equilibrados com 15 comprimidos B. Se um dos 10 comprimidos A for colocado no prato dos comprimidos B e um dos 15 comprimidos B for colocado no prato que anteriormente tinha somente comprimidos A, este ficará com 40 mg a menos que o outro. A relação entre as massas dos comprimidos A e B, em mg, é dada corretamente por a) B = A 0. b) B = A 10. c) A = B + 5. d) A = B e) A = B x 1 2. (Epcar) Sobre a equação kx = 1, na variável x, é correto afirmar que k a) admite solução única se 2 k 1e k b) NÃO admite solução se k = 1 c) admite mais de uma solução se k = 1 d) admite infinitas soluções se k = 0. (Espm) Se três empadas mais sete coxinhas custaram R$ 22,78 e duas empadas mais oito coxinhas custaram R$ 20,22, o valor de uma empada mais três coxinhas será: a) R$ 8,60 b) R$ 7,80 c) R$ 10,40 d) R$ 5,40 e) R$ 1,00 4. (Ifsp) A companhia se saneamento básico de uma determinada cidade calcula os seus serviços de acordo com a seguinte tabela: Preço dos 10 primeiros m Preço de cada m para o consumo dos 10 m seguinte Preço de cada m consumido acima de 20 m. Preço (em R$) 10,00 (tarifa mínima) 2,00,50 Se no mês de outubro de 2011, a conta de Cris referente a esses serviços indicou o valor total de R$ 65,00, pode-se concluir que seu consumo nesse mês foi de a) 0m. b) 40 m. c) 50 m. d) 60 m. e) 65 m.

2 Centro de Estudos Matemáticos 5. (Mackenzie) Em uma urna há bolas verdes e bolas amarelas. Se retirarmos uma bola verde da urna, então um quinto das bolas restantes é de bolas verdes. Se retirarmos nove bolas amarelas, em vez de retirar uma bola verde, então um quarto das bolas restantes é de bolas verdes. O número total de bolas que há inicialmente na urna é a) 21 b) 6 c) 41 d) 56 e) (Uff) Colocando-se 24 litros de combustível no tanque de uma caminhonete, o ponteiro do marcador, que indicava 1 4 do tanque, passou a indicar 5 8. Determine a capacidade total do tanque de combustível da caminhonete. Justifique sua resposta. 7. (Uftm) João foi jantar em um restaurante com um cupom de promoção que diz dar 20% de desconto no preço das bebidas, 40% no preço do prato principal e 50% no da sobremesa. De acordo com instruções do cupom, os descontos não incluem os 10% de serviços do garçom que, portanto, devem ser calculados sobre os valores sem o desconto. Ao pedir a conta, João notou que ela veio sem valores em dois lugares, conforme indicado a seguir. Filé com arroz e fritas... R$ (valor com desconto) Suco... R$ 6,00 (valor com desconto) Pudim caramelado... R$ 4,25 (valor com desconto) Serviços de garçom... R$ Total... R$ 2,85 De acordo com as informações do cupom e da conta, João conclui corretamente que o preço do prato principal, sem o desconto do cupom, em reais, foi igual a a) 28,50. b) 29,00. c) 0,00. d) 0,50. e) 1, (Uespi) Um grupo de amigos divide a conta de um restaurante. Se cada um contribui com R$ 1,00, faltam R$ 24,00; se cada um contribui com R$ 16,00, sobram R$ 12,00. Quantos são os amigos? a) 18 b) 16 c) 14 d) 12 e) 10

3 Centro de Estudos Matemáticos 9. (Uerj) Para comprar os produtos A e B em uma loja, um cliente dispõe da quantia X, em reais. O preço do produto A corresponde a 2 de X, e o do produto B corresponde à fração restante. No momento de efetuar o pagamento, uma promoção reduziu em 10% o preço de A. Sabendo que, com o desconto, foram gastos R$ 50,00 na compra dos produtos A e B, calcule o valor, em reais, que o cliente deixou de gastar. 10. (Fgv) a) Por volta de 1650 a.c., o escriba Ahmes resolvia equações como x+ 0,5x = 0, por meio de uma regra de três, que chamava de regra do falso. Atribuía um valor falso à variável, por exemplo, x = 10, ,5 10 = 15 e montava a regra de três: Valor falso Valor verdadeiro x 0 10 x = x = Resolva este problema do Papiro Ahmes pelo método acima: Uma quantidade, sua metade, seus dois terços, todos juntos somam 26. Qual é a quantidade? b) O matemático italiano Leonardo de Pisa ( ), mais conhecido hoje como Fibonacci, propunha e resolvia, pela regra do falso, interessantes problemas como este: 1 Um leão cai em um poço de 50 pés de profundidade. Pé é uma unidade de medida de 7 comprimento. Ele sobe um sétimo de um pé durante o dia e cai um nono de um pé durante a noite. Quanto tempo levará para conseguir sair do poço? Resolva o problema pela regra do falso ou do modo que julgar mais conveniente. Observe que, quando o leão chegar a um sétimo de pé da boca do poço, no dia seguinte ele consegue sair.

4 Centro de Estudos Matemáticos Gabarito: 1) [D] Sejam a e b, respectivamente, as massas dos comprimidos A e B. De acordo com as informações, obtemos o sistema 10a = 15b, 9a + b = 14b + a 40 cuja solução é a = 60 e b = 40. Portanto, a = b ) [A] x k 1 kx = 1 k x x + 1= k x (k 1) = k 1 x = k 2 k 1 Se k 2 for diferente de 1, x é único. Se k = 1, a equação possui infinitas soluções. Se k = 1, a equação não possui solução. Portanto, a alternativa [A] é a correta. ) [A] Sejam e e c, respectivamente, os preços de uma empada e de uma coxinha. De acordo com o enunciado, obtemos e + 7c = 22,78 e + 7c = 22,78 2e + 8c = 20,22 e = 10,11 4c (10,11 4c) + 7c = 22,78 Assim, 0, 12c + 7c = 22,78 5c = 7,55 c = R$ 1,51. e= 10,11 4 1,51= R$4,07. Portanto, o valor de uma empada mais três coxinhas é igual a 4,07 + 1,51 = R$ 8,60.

5 Centro de Estudos Matemáticos 4) [A] De acordo com o problema, escreve-se a equação em que x é o consumo mensal em outubro de ( ) ,50 x 20 = ,5x 70 = 65,5x = 105 x = 0m. 5) [E] Sejam a e v, respectivamente, o número de bolas amarelas e o número de bolas verdes que há inicialmente na urna. De acordo com as informações, obtemos 1 (v 1 + a) = v 1 5 a = 4v 4 a = 48 : :. 1 a = v+ 9 v = 1 (v + a 9) = v 4 Portanto, o resultado pedido é a+ v = = 61. 6) Volume do tanque = x 5x x = 24 5x 2x = 192 x = 192 x = 64L 8 4 7) [C] Sejam f e s, respectivamente, os valores do prato principal e da taxa de serviço. Temos que a taxa de serviço é dada por: 6 4,25 s = 0,1 f + + s = 0,1 f + 1,6. 0,8 0,5 Além disso, o total da conta é obtido através da equação: 0,6 f ,25 + s = 2,85 0,6 f + s = 22,6. Portanto, segue que 0,6f + 0,1 142 f + 4 1,6 = 22,6 0,7f = 21 f = 0,00. s

6 Centro de Estudos Matemáticos 8) [D] Sejam n o número de amigos e c o valor da conta. De acordo com as informações do enunciado, obtemos o sistema: c = 1n c = 16n 12 Portanto, 16n 12 = 1n + 24 n = 12. 9) Se o cliente gastou R$ 50,00, então 9 2x x x x + = 50 + = x + 5x = x = x = Portanto, o cliente deixou de gastar = R$ 25, ) a) Seja x a quantidade procurada. Então, x 2x 7x x+ + = 26 x+ = Tomando arbitrariamente x = 6, obtemos = 1. Segue que 6 Valor falso 6 1 Valor verdadeiro x 26 6 x = x= b) Seja n o número de dias que o leão leva para chegar a um sétimo de pé da boca do poço. Desse 1 1 modo, como 50 = 50 + e sabendo que o leão sobe um sétimo de pé durante o dia e cai um 7 7 nono de pé durante a noite, temos: 1 1 2n n = 50 = 50 n = 6 25 = dias. 6 Portanto, de acordo com o enunciado, o leão levará n+ 1= = 1576 dias para sair do poço.