INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA CÂMPUS PRESIDENTE EPITÁCIO SP MARIA ISABELA BACHEGA GUIMARÃES

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1 INSTITUTO FDRAL D DUCAÇÃO, CIÊNCIA TCNOLOGIA CÂMPUS PRSIDNT PITÁCIO SP MARIA ISABLA BACHGA GUIMARÃS TRABALHO SOBR MÉTODOS D DTRMINAÇÃO D RTA TANGNT: MÉTODOS D FRMAT, BARROW O USADO NOS DIAS ATUAIS. PRSIDNT PITÁCIO 2017

2 MARIA ISABLA BACHGA GUIMARAS TRABALHO SOBR MÉTODOS D DTRMINAÇÃO D RTA TANGNT: MÉTODOS D FRMAT, BARROW O USADO NOS DIAS ATUAIS. Trabalho realizado para a disciplina de Calculo I ministrada pelo Professor Cleber Luiz Cunha, para os discentes da Federal de São Paulo, câmpus Presidente pitácio. PRSIDNT PITÁCIO 2017

3 Introdução O ponto que marca o inicio do Cálculo Diferencial, é determinado a partir do momento em que ocorreu o aparecimento da necessidade do desenvolvimento de questões sobre reta tangente. Os Gregos usavam a definição de que reta tangente de uma curva era a qual só se encontrasse em um único ponto com essa mesma reta. Porém esse era um método impreciso e então foi necessário encontrar um método mais rigoroso para ser feita essa definição de reta tangente de uma curva. Com isso foram realizados diversos estudos de métodos realizados por vários matemáticos ao longo do tempo estando entre estes os métodos de Fermat e Barrow que serão apresentados a baixo.

4 Método de Fermat Pirre Fermat ( ) foi um advogado e politico francês, a matemática em sua vida sempre foi um hobby e ele nunca atuou como um matemático profissional. Mesmo não atuando na profissão é um dos maiores matemáticos do seu tempo, deixando contribuições significativas em diversas áreas, e também é conhecido como um dos criadores da geometria analítica e do calculo diferencial. le foi um dos primeiros a considerar a ideia da família das curvas, e essas curvas podendo ser determinadas pela equação do tipo y = kx n, onde k é uma constante e n = 2, 3, 4 etc. le elaborou um método algébrico para determinar os pontos extremos da função, ou seja, onde o coeficiente angular da reta tangente era nulo, isso por volta de 1629, porem os seus trabalhos só foram publicados cerca de 20 anos após sua morte. Portanto quando e reta tangente tiver f(x), com x = c, sendo c os pontos de máximo ou mínimo da curva, e se f for derivável no ponto então f (c) = 0. Porém este método não afirma que será encontrado máximo e mínimo absoluto de uma função. Para calcular o máximo e mínimo de um conjunto fechado é necessário encontrar os pontos críticos do gráfico e também calcular a função nos extremos. Os pontos absolutos serão o maior e o menor resultado encontrado nos cálculos de pontos críticos e extremos da função. xplicando o método acima de outra maneira temos que para encontrar os valores de máximo e mínimo para f(a) tem que substituir o valor de A por A +, sendo este valor de uma incógnita tão pequena quando comparado a A que f(a) se iguala f(a + ) quase não apresentava diferença ele acabava considerando elas iguais mesmo que isso não fosse verdade. A partir desse ponto ele cancelava todos os limites possíveis e dividia tudo por os membros que tivessem restado era desprezado. Simplificando a equação temos a equação a seguir para = 0. f(a + ) f(a) [ ] = 0 Para um primeiro exemplo de sua técnica ele escolheu uma equação de um número qualquer conhecido e outro número desconhecido e, portanto a equação ficou da seguinte mateira. f(a) = A(B A) = AB A 2

5 Com a formula de fornecida por Fermat, para o calculo de máximo, temos a equação a seguir de f(a). f(a + ) = (A + )[B (A + )] = AB A 2 + B 2A 2 f(a + ) f(a) = B 2A f(a + ) f(a) = B 2A ** A equação apresentada entre os asteriscos devem ter os valores para considerados 0 portanto A deve ser escolhido como 1 2 B. Ficando da seguinte forma: f ( 1 2 B) = 1 2 B (1 2 B) = 1 4 B2 O método apresentado por Fermat não prova que o valor obtido é realmente o valor de máxima de fa. sse método determina apenas os pontos críticos de uma função, entendesse como pontos críticos os pontos onde a derivada de f(a) é nula como foi mostrado anteriormente. Como ele não fazia distinção entre os pontos máximos e mínimos (algo que pode ser classificado como falha) ele considerava os pontos críticos. Isso pode ser observado na seguinte equação: f(a) = 3A 5 5A 3 Outra falha encontrada em seu método é que não é compatível com a equação f(a) = A 2/3, pois segundo Fermat ela tem valor mínimo de A = 0, mas a derivada de f(a) não existe neste ponto e não é nula em ponto algum.

6 Método de Barrow O matemático inglês Isaac Barrow ( ), desenvolveu um m método para encontrar tangentes. Seu procedimento era similar ao de Fermat, mas no lugar de usar um único incremento Barrow usava duas quantidades, equivalentes ao que hoje chamamos de x e y. le percebeu que se temos uma função f e sua derivada g para calcular a integras dessa derivada em um intervalo fechado é o mesmo que calcular a f(a) e f(b) e depois subtrair f(a) de f(b). Portanto ficando da seguinte forma: b g(x) = f(x) g(x)dx = f(b) f(a) a le usava o triangulo característicos da curva, aplicando o método de semelhanças de triângulos entre a b = M P para calcular T P. Aplicando este método na parábola y 2 levando em conta que x e y são x = e e y = a fica a seguinte equação: (y + a) 2 = p(x + e) y 2 + 2ay + a 2 = px + pe Se tirar os termos independentes de a e e, e se eliminarmos os termos de maior grau, ficamos com a seguinte equação simplificada: 2ay = pe a e = p 2y

7 Método moderno Nos dias de hoje para a resolução de uma derivada é comum usar duas regras, ou pela maneira de um limite ou pelas regras de derivação. A característica que mais diferencia esse método dos demais já apresentados é que este pode ser usado em qualquer ponto e pode ser aplicado para intervalos finitos ou infinitos. De uma maneira reduzida a equação da reta pode ser escrita da seguinte forma. y = m(x) + b, sendo m o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear da mesma, e a formula a segui pode ser usada no calculo do coeficiente angular: y = m. x. Para os cálculos de derivadas da reta tangente também pode ser usado a seguinte formula: f (x) = lim f(x + x) f(x) x ainda existe as possibilidades do uso das regras de derivação, sendo estas. Regra da constante, que mostra que a derivada de um número real é 0. Regra da potencia ou regra do tombo para quando a variável é uma potência. Ainda existe outras regras como a regra da homogeneidade, regra da soma, regra do produto e regra do quociente.

8 Solução da equação y = x 3 + 2x, nos pontos (1;3) Resolvendo pelo método de Fermat. f(a + ) f(a) = B 2A ** = 0 Substituindo as equações chegamos a outra equação que será mostrada a segui: { f[(x2 + 2x) + ] f(x 2 + 2x) } = y 2(x 2 + 2x) Usando a equação no ponto (1;3) e considerando = 0 f[( ) + ] f( ) { } = 3 2( ) f[( ) + ] f( ) { } = 3 2( ) = 1 Chegamos então a uma indeterminação de 0 0 fatoração da equação. Dividimos toda a equação por x x 2 x 2 + 2x x + 2x x x + 1 Aplicando a equação novamente na equação de Fermat temos: f(x ) f(x + 1) = y 2x + 1 f( ) f(1 + 1) = = 0 e com isso deve ser realizada um Assim chegamos a conclusão que o ponto (1; 3) é o ponto onde a reta será nula.

9 Resolvendo a equação pelo método atual. Para resolver a equação no método atual, vamos a busca do coeficiente linear por meio da formula, mt = f f(x+ x) f(x) (x) = lim. Sabendo que a função dada é x f(x) = x 3 + 2x, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente. mt = f (x 3 + 2x) = lim f(x 3 + 2x) + x f(x 3 ) x mt = f (x 3 + 2x) = lim (x 3 + 2x) (x 3 ) mt = f (x 3 + 2x) = lim x o f (x) = 2 Como pode ser observada a equação chega a resposta de um valor 2, e o que nos indica que este é o coeficiente angular da reta. Para calcular os valores de y calculamos a equação separadamente e depois substituímos os valores. f(x 3 ) Usando a regra do tombo para essa equação. f(2x) f (x) = lim f(x + x) f(x) x *Regra do tombo: a n = n. a n 1 f f(2x + x) f(2x) (x) = lim x x 3 = 3. x 3 1 f (x) = lim 2x = 2 x 3 = 3x 2 x o ntão chegamos a f (x) = 3x 2 + 2, e aplicando a equação do coeficiente angular da reta tangente temos. f (3x 2 + 2) = lim f(3x 2 + 2) + x f(3x 2 + 2) x f (3x 2 + 2) = lim f( ) + 0 f( ) 0 f (3x 2 + 2) = 0 0 ntão conclui-se que o resultado se repete, dando novamente uma resposta igual a 0 e assim mostrando que quando os pontos forem (1; 3) a reta será nula.

10 Bibliografia /931601_DanielM_Rigitano_F809_RF.pdf 1ef7890a98ba1.pdf %202.pdf