UMA FERRAMENTA 3D, VIA WEB, PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO COM ESBOÇO DA ARMADURA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS DISSERTAÇÃO DE MESTRADO UMA FERRAMENTA 3D, VIA WEB, PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO COM ESBOÇO DA ARMADURA AUTOR: ROGÉRIO PEDROSA SALES ORIENTADOR: PROF. DR. JOSÉ MÁRCIO FONSECA CALIXTO 2010

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS "UMA FERRAMENTA 3D, VIA WEB, PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO COM ESBOÇO DA ARMADURA" Rogério Perosa Sales Dissertação apresentaa ao Programa e Pós-Grauação em Engenharia e Estruturas a Escola e Engenharia a Universiae Feeral e Minas Gerais, como parte os requisitos necessários à obtenção o título e "Mestre em Engenharia e Estruturas". Comissão Examinaora: Prof. Dr. José Marcio Fonseca Calixto DEES - UFMG - (Orientaor) Prof. Dr. Sebastião Salvaor Real Pereira DEES - UFMG Prof. Dr. Giuseppe Barbosa Guimarães PUC - RJ Belo Horizonte, 28 e abril e 2010

3 ii AGRADECIMENTOS Agraeço ao Prof. Dr. José Calixto pelos ensinamentos, orientação e apoio, ao Departamento e Engenharia e Estruturas a UFMG que contribuiu para o aprimoramento o meu aprenizao e aos professores o Curso que contribuíram com seus comentários e sugestões para aprimoramento o mesmo.

4 iii SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO Justificativa Objetivo Estrutura a Dissertação REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Linguagens e Programação HTML Hypertext Mark-up Language Java Java 3D Ferramentas existentes, via web, para ensino e aprenizagem e concreto armao METODOLOGIA Hipóteses e Cálculo Flexão normal simples e seções retangulares Proceimento e imensionamento Critérios a NBR 6118 (2007) Prescrições a NBR 6118 (2003) Flexão normal composta e seções retangulares Proceimento e imensionamento Armauras assimétricas Proceimento e imensionamento Armauras simétricas Prescrições complementares a NBR Cisalhamento e seções retangulares Tensões e Cisalhamento Hipóteses Básicas... 52

5 iv Prescrições gerais a NBR 6118 (2007) Verificação o estao limite último Prescrições complementares a NBR APRESENTAÇÃO DOS PROGRAMAS Introução Programa para Dimensionamento e Seções Retangulares Solicitaas à Flexão Normal Simples Programa para Dimensionamento e Seções Retangulares Solicitaas à Flexão Normal Composta Programa para Dimensionamento e Seções Retangulares Solicitaas ao Cisalhamento CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 87

6 v LISTA DE FIGURAS FIGURA Applet para o imensionamento e seções retangulares em concreto armao sujeitas à flexão normal simples (VERZENHASSI et al. 2004)... 8 FIGURA Applet para imensionamento e seções e concreto armao solicitaas à flexão normal composta (VERZENHASSI, 2005) FIGURA 2.3 Applet para o imensionamento e vigas sujeitas ao Cisalhamento (ASSIS e BITTENCOURT, 2003) FIGURA 3.1 Domínios e estao limite último e uma seção transversal FIGURA 3.2 Diagrama parábola-retângulo a istribuição e tensões na seção e concreto FIGURA 3.3 Diagrama tensão-eformação para aços e armaura passiva FIGURA 3.4 Seção retangular à flexão normal simples FIGURA Diagrama e eformação na armaura upla FIGURA 3.6 Dimensionamento à flexão normal simples em seções retangulares FIGURA Distribuição transversal as armauras longituinais FIGURA 3.8 Seção retangular e concreto armao FIGURA 3.9 Diagrama e eformações e equilíbrio e forças na seção e concreto (primeiro caso) FIGURA Diagrama e eformações e equilíbrio e forças na seção e concreto (seguno caso) FIGURA Diagrama e eformações e equilíbrio e forças na seção e concreto (terceiro caso) FIGURA 3.12 Seção retangular e concreto armao com armaura istribuía (terceiro caso) FIGURA Diagrama e eformações e equilíbrio e forças na seção e concreto (quarto caso) FIGURA 3.14 Seção retangular e concreto armao com armaura istribuía (quarto caso)... 38

7 vi FIGURA 3.15 Algoritmo computacional para imensionamento e seções retangulares e concreto com armaura simétrica sujeitas a esforços e flexão normal composta (Parte 1/7) FIGURA 3.16 Algoritmo computacional para imensionamento e seções retangulares e concreto com armaura simétrica sujeitas a esforços e flexão normal composta (Parte 2/7) FIGURA 3.17 Algoritmo computacional para imensionamento e seções retangulares e concreto com armaura simétrica sujeitas a esforços e flexão normal composta (Parte 3/7) FIGURA 3.18 Algoritmo computacional para imensionamento e seções retangulares e concreto com armaura simétrica sujeitas a esforços e flexão normal composta (Parte 4/7) FIGURA 3.19 Algoritmo computacional para imensionamento e seções retangulares e concreto com armaura simétrica sujeitas a esforços e flexão normal composta (Parte 5/7) FIGURA 3.20 Algoritmo computacional para imensionamento e seções retangulares e concreto com armaura simétrica sujeitas a esforços e flexão normal composta (Parte 6/7) FIGURA 3.21 Algoritmo computacional para imensionamento e seções retangulares e concreto com armaura simétrica sujeitas a esforços e flexão normal composta (Parte 7/7) FIGURA Grampo FIGURA Viga e seção retangular submetia à flexão normal simples (estáio I) FIGURA 3.24 Viga-paree isostática FIGURA 3.25 Consolo curto FIGURA Moelo e funcionamento e viga como treliça FIGURA Diagonal comprimia o concreto FIGURA Diagonal tracionaa a armaura transversal FIGURA Valores e τ c FIGURA Applet para o imensionamento e seções retangulares em concreto armao solicitaas à flexão normal simples... 67

8 vii FIGURA 4.2 Exemplo e imensionamento e uma seção solicitaa à flexão normal simples FIGURA 4.3 Apresentação o etalhamento a seção a viga em 3D FIGURA Apresentação o etalhamento a viga após alteração o valor a altura útil () FIGURA Apresentação o etalhamento a viga rotacionaa em 3D FIGURA Apresentação o etalhamento e uma seção e uma viga solicitaa por momento fletor negativo FIGURA Applet para o imensionamento e seções retangulares em concreto solicitaas à flexão normal composta FIGURA Exemplo e imensionamento e uma seção retangular solicitaa à flexão normal composta com armaura não-simétrica FIGURA Apresentação o etalhamento a viga em 3D FIGURA Exemplo e imensionamento e uma viga solicitaa à flexão normal composta com armaura simétrica FIGURA Apresentação o etalhamento o pilar com armaura simétrica em 3D FIGURA Apresentação o etalhamento o pilar após alteração o valor a altura útil () FIGURA Applet para o imensionamento ao cisalhamento e seções retangulares em concreto armao FIGURA Exemplo e imensionamento ao cisalhamento e uma seção retangular em concreto armao FIGURA Apresentação o etalhamento a viga em 3D

9 viii LISTA DE TABELAS TABELA Valores e K L sem a consieração a uctiliae TABELA Valores finais e K L, com a consieração a uctiliae TABELA Valores as relações entre e, para se ter φ = 1 (nível e tensão em A s) TABELA Taxas mínimas e armaura e flexão para vigas TABELA 3.5 Valores máximos e k L para assegurar uctiliae TABELA 3.6 Valores e ρ w,min TABELA 3.7 Valores e τ w2 (Moelo I) TABELA 3.8 Valores e τ c TABELA 3.9 Valores e τ w,min para o Moelo I TABELA 3.10 Valores e τ w2 (Moelo II)... 62

10 ix RESUMO Com o esenvolvimento tecnológico, a utilização e computaores no setor eucacional se expaniu e, com ela, vários sistemas foram criaos para as iferentes áreas e conhecimento. Nas isciplinas a área e engenharia e estruturas isto não é iferente: muitos professores isponibilizam para seus alunos programas e computaores que realizam os cálculos necessários. Porém, estes são sistemas comerciais estinaos ao profissional a área e não ao apreniz. Neste sentio e também com a finaliae e auxiliar o ensino as isciplinas e concreto armao, esta issertação apresenta ferramentas computacionais, com acesso pela Internet, para o imensionamento e esboço o etalhamento e seções retangulares e concreto armao solicitaas à flexão normal simples, à flexão normal composta e ao cisalhamento. No imensionamento aotaram-se os critérios e prescrições a NBR 6118 (2007). Em toos os casos, o esboço o etalhamento utiliza uma ferramenta inâmica em 3D que permite aos usuários visualizar a seção imensionaa e iferentes ângulos. Palavras-chave: Ensino e engenharia, concreto armao, ensino a istância, web.

11 x ABSTRACT The technological evelopment has expane the use of computers in eucation worlwie. In structural engineering courses it is no ifferent: many professors provie their stuents computer programs which help them o the necessary calculations to solve problems. However, these programs are esigne for professional engineers an not stuents. In this scenario an also to assist professors teach reinforce concrete courses, this issertation presents computational tools, accesse at Internet, for esigning an etailing rectangular reinforce concrete sections subjecte to bening, combine flexure an axial forces an shear. NBR 6118 (2007) criteria are employe herein. A ynamic 3D tool is use in the etailing scheme which allows stuents view the esigne concrete sections from ifferent angles. Keywors: Engineering eucation, reinforce concrete esign, e-learning, web.

12 1 INTRODUÇÃO Nas isciplinas e Concreto Armao pertencentes aos currículos os cursos e Engenharia Civil, os professores freqüentemente se eparam com problemas no aprenizao os alunos. Estes problemas estão relacionaos à falta e motivação, ao ingresso o aluno com eficiências nos conhecimentos básicos e à ificulae e visualização os processos e resultaos. Muitas são as ificulaes para emonstrar, por exemplo, o comportamento e uma estrutura e concreto sujeita a alguma solicitação. Em geral, o conteúo as isciplinas e Concreto Armao é aborao com a apresentação sistemática e conceitos e cálculos que emanam a absorção e uma grane quantiae e informações por parte os alunos bem como a visualização e efeitos e fenômenos a que são submetias as estruturas e concreto. Destaca-se, portanto, a importância o esenvolvimento e novos mecanismos para auxiliar a prática ocente estas isciplinas com a finaliae e minimizar os problemas citaos. Para ministrar as isciplinas a área e engenharia e estruturas, alguns professores isponibilizam para os alunos programas para computaores e calculaoras que realizam os cálculos necessários. Porém, estes são sistemas comerciais estinaos ao

13 2 profissional a área e não ao apreniz. O resultao os cálculos é apresentao por esses programas sob a forma e tabelas com grane quantiae e números a serem analisaos. Logo, os alunos são treinaos a analisar os resultaos sem os relacionar ao comportamento físico a estrutura, não seno capazes e esenvolver a habiliae e síntese, essencial para o profissional atuante na área e engenharia. 1.1 Justificativa Com o esenvolvimento tecnológico, a utilização os computaores no setor eucacional se expaniu e, com ela, a criação e sistemas para as iferentes áreas e conhecimento. O esenvolvimento e sistemas eucacionais se istingue as outras aplicações por possuírem algumas peculiariaes que evem ser consieraas urante o seu esenvolvimento seno, a principal elas, os aspectos peagógicos que, por possuírem um alto grau e subjetiviae intrínseco ao processo e ensinoaprenizagem, às vezes tornam complicao o seu mapeamento igital (ALMEIDA, 2004). Diante estas ificulaes é importante que se faça uma revisão na metoologia e ensino as isciplinas a área e estruturas com a finaliae e proporcionar formas alternativas para a construção o saber. Com a finaliae e oferecer subsíios e auxílio ao professor as isciplinas e concreto armao, este trabalho propõe o planejamento, esenvolvimento e implantação e um ambiente e ensino-aprenizagem que será isponibilizao para a web. 1.2 Objetivo O objetivo esta issertação é a implementação e uma ferramenta, via web, para o imensionamento e o esboço triimensional e seções retangulares em concreto armao. Esta ferramenta everá ser funcional para o ensino e a aprenizagem e imensionamento e estruturas e concreto armao.

14 3 Para o correto esboço este etalhamento e estruturas e concreto armao, os seguintes aspectos serão consieraos: Barras longituinais para os esforços e flexão e e tração/compressão; Barras transversais para os esforços cisalhantes; A correta proporção entre as imensões o elemento estrutural e as barras e aço efinias pelo usuário; Prescrições a Norma NBR-6118/2003 em relação ao etalhamento e elementos lineares (capítulo 18 esta norma). Para o esenvolvimento este trabalho, é importante a consieração e aspectos relacionaos à ergonomia computacional e moo a garantir uma boa interação entre o usuário e o sistema. 1.3 Estrutura a Dissertação A issertação está iviia em cinco capítulos. Este primeiro capítulo apresenta uma introução referente ao uso e ferramentas computacionais para o auxílio o ensino/aprenizao, englobano aina a justificativa e objetivo o trabalho. O capítulo 2 apresenta os recursos computacionais utilizaos para o esenvolvimento as ferramentas para o imensionamento e esboço o etalhamento e seções e concreto armao. Aina nesse capítulo são apresentaas ferramentas existentes, via web, para ensino e aprenizagem e concreto armao. O capítulo 3 abora a metoologia e cálculo para o imensionamento e peças e concreto armao submetias aos esforços e flexão normal simples, flexão normal composta e cisalhamento, toas elas obeeceno às prescrições a Norma NBR 6118 (2003). No capítulo 4 encontra-se a escrição os três programas computacionais esenvolvios neste trabalho, com acesso via web, para o imensionamento e esboço o etalhamento as seções e concreto armao. O primeiro eles refere-se a peças solicitaas à flexão

15 4 normal simples, o seguno para solicitações e flexo-compressão e, por último, para o cisalhamento. Por fim, o capítulo 5 apresenta as consierações finais e sugestões para trabalhos futuros.

16 5 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 Linguagens e Programação Para o esenvolvimento a ferramenta computacional para visualização 3D será necessária a utilização e alguns recursos e ferramentas tecnológicas que suportem esenvolvimento para web. As linguagens e programação escolhias para a implementação as páginas e os móulos (applets e móulos e computação gráfica) serão HTML, Java e Java3D. Neste subitem, são escritas sucintamente caa uma estas ferramentas a serem utilizaas HTML Hypertext Mark-up Language A HTML (HyperText Markup Language, que significa Linguagem e Marcação e Hipertexto) é uma linguagem e marcação utilizaa para prouzir páginas na web. Uma linguagem e marcação é um conjunto e cóigos aplicaos a um texto ou a aos com o fim e aicionar informações particulares sobre esse texto ou ao ou sobre trechos específicos. Documentos HTML poem ser interpretaos por navegaores ou browsers, como o Microsoft Internet Explorer ou o Fire Fox.

17 Java A linguagem Java começou a ganhar reconhecimento em 1995 quano seus recursos para implementação e páginas web foram apresentaos ao público. Agora aplicações poeriam ser executaas entro os browsers nos applets Java e tuo seria isponibilizao pela Internet instantaneamente. Foi o estático HTML os browsers que promoveu a rápia isseminação a inâmica tecnologia Java. Em pouco tempo o número e usuários cresceu rapiamente e granes forneceores e tecnologia anunciaram suporte para a tecnologia Java. Hoje é uma referência no mercao e esenvolvimento e software. Java tornou-se popular pelo seu uso na Internet e hoje possui seu ambiente e execução presente em web browsers, mainframes, SOs, celulares, palmtops, entre outros. Algumas vantagens a linguagem Java poem ser citaas: Programação orientaa a objeto; Sintaxe similar a Linguagem C/C++ e, principalmente, a C#; Recursos e Ree - possui extensa biblioteca e rotinas que facilitam a cooperação com protocolos TCP/IP, como HTTP e FTP; Segurança - poe executar programas via ree com restrições e execução; Portabiliae - Inepenência e plataforma - "write once, run anywhere". Diferentemente as linguagens convencionais, que são compilaas para cóigo nativo, a linguagem Java é compilaa para um bytecoe que é executao por uma máquina virtual (JVM - Java Virtual Machine). Essa implementação, no entanto, tem algumas limitações intrínsecas. A pré-compilação exige tempo, o que faz com que programas Java emorem um tempo significativamente maior para começarem a funcionar. Somase a isso o tempo e carregamento a máquina virtual. Isso não é um grane problema para programas que roam em serviores e que everiam ser inicializaos apenas uma vez. Muitas pessoas acreitam que por causa esse processo, o cóigo interpretao Java tem baixo esempenho, mas isso não é verae. Novos avanços têm tornao o compilaor inâmico (JVM), em muitos casos, mais eficiente que o compilaor estático.

18 7 A linguagem Java permite a implementação e programas que poem ser executaos em páginas web, enominaos applets. Os applets são anexaos em uma página web através e instruções em HTML Java 3D Um os métoos para apresentar moelos e visualização em 3D via web é a utilização as bibliotecas Java3D. Java 3D é uma API (Application Programming Interface, ou Interface e Programação e Aplicativos) 2D e 3D para a linguagem Java baseaa em grafos e cena. Ela foi construía teno como base o OpenGL, com a iferença e que a estrutura e grafo e cena traz às aplicações o paraigma a programação orientaa a objetos, como o polimorfismo, para a criação e aplicações em ambientes triimensionais. O grafo e cena é estruturao como uma árvore conteno vários elementos que itam o moo como a cena será construía e exibia, além e comportamentos que poerão ser observaos ao longo o tempo, como animações, respostas a interação o usuário, e colisões entre outros. Teno em vista as faciliaes atuais torna-se bastante viável a utilização estes recursos para a eucação em engenharia. Estes recursos gráficos poem ser e grane ajua para as isciplinas e concreto armao os cursos e engenharia civil e arquitetura, pois oferecem maior flexibiliae em visualização e aos e motivação para o aprenizao. 2.2 Ferramentas existentes, via web, para ensino e aprenizagem e concreto armao Meiante tantos atributos vantajosos a Internet como ferramenta e auxílio na relação ensino/aprenizagem, as universiaes e escolas se propuseram a oferecer aos estuantes possibiliaes e navegar pela Internet através e uma varieae e recursos tais como suportes hipermíia com acesso on-line a bancos e aos e sistemas e simulação.

19 8 Nesse sentio, iversos trabalhos e estuos foram feitos ou vêem seno esenvolvios. Iniciao a partir e coorenação a PUC-Rio e com a colaboração e iversas universiaes (UFAL, UFMG, UFPR e USP), o Projeto e-tools visa o esenvolvimento e objetos eucacionais para uma ree e ensino e aprenizagem em engenharia e estruturas. Esses objetos são elementos e uma nova metoologia e ensino e aprenizagem baseaa no uso o computaor e a Internet. A FIGURA 2.1 apresenta um applet com um objeto eucacional para o imensionamento e seções retangulares e concreto armao solicitaos à flexão normal simples, elaborao por VERZENHASSI et al. (2004) sob a orientação o Prof. Sérgio Scheer. A FIGURA 2.2 ilustra um applet para o imensionamento e seções e concreto armao solicitaas à flexão normal (VERZENHASSI, 2005). FIGURA Applet para o imensionamento e seções retangulares em concreto armao sujeitas à flexão normal simples (VERZENHASSI et al. 2004)

20 9 FIGURA Applet para imensionamento e seções e concreto armao solicitaas à flexão normal composta (VERZENHASSI, 2005). ASSIS e BITTENCOURT (2002) esenvolveram iversos hipertextos, animações e applets para serem isponibilizaos na Internet e também em CD-ROM enfocano tópicos selecionaos as isciplinas Concreto Armao e Protenio, voltaos ao ensino e alunos e grauação. Seguno Assis, o uso e recursos multimíia no ensino e isciplinas a Engenharia e Estruturas tem trazio benefícios aos alunos, ao ajuá-los a visualizar várias situações teóricas importantes e fomentar a capaciae e procurar informações e transformá-las em conhecimento. A FIGURA 2.3 ilustra um applet para o imensionamento e vigas solicitaas ao cisalhamento.

21 10 FIGURA 2.3 Applet para o imensionamento e vigas sujeitas ao Cisalhamento (ASSIS e BITTENCOURT, 2003) Atualmente já existem iversos objetos eucacionais voltaos ao ensino e engenharia e estruturas. No entanto, a visualização as peças estruturais como vigas e pilares aina está restrita a imagens em uas imensões apresentaas e moo estático na maioria as vezes.

22 11 3 METODOLOGIA Neste trabalho foram aotaos os métoos e cálculo para o imensionamento e peças estruturais em concreto armao obeeceno às prescrições a Norma NBR 6118 (2003). Dentre os esforços solicitantes, o momento fletor é, em conições normais, o esforço preponerante no imensionamento e peças estruturais como lajes e vigas. Normalmente o momento fletor atua em conjunto com a força cortante. Neste capítulo são apresentaas as metoologias para o imensionamento e seções e concreto armao submetias à flexão normal simples, flexão normal composta e ao cisalhamento, assim como as prescrições normativas referentes ao etalhamento e às isposições construtivas para caa caso.

23 Hipóteses e Cálculo As hipóteses e cálculo no estao limite último, nos casos e flexão normal simples ou composta, normal ou oblíqua e e compressão ou tração uniforme, excluías as vigas parees, são as seguintes: As seções transversais permanecem planas. Os casos possíveis são ilustraos na FIGURA 3.1; FIGURA 3.1 Domínios e estao limite último e uma seção transversal Para o encurtamento e ruptura o concreto nas seções não inteiramente comprimias consiera-se o valor convencional e 3,5 0 / 00 (omínios 3 a 4a na FIGURA 3.1). Nas seções inteiramente comprimias (omínio 5 na FIGURA 3.1) amite-se que o encurtamento a bora mais comprimia, na ocasião e ruptura, varie e 3,5 0 / 00 a 2,0 0 / 00, manteno-se inalteraa e igual a 2,0 0 / 00 a eformação a 3/7 a altura total a seção, a partir a bora mais comprimia. O alongamento máximo permitio ao longo a armaura e tração é e 10 0 / 00 (omínios 1 e 2 a FIGURA 3.1), a fim e prevenir eformação plástica excessiva.

24 13 A istribuição as tensões o concreto na seção se faz e acoro com o iagrama parábola-retângulo a FIGURA 3.2. Permite-se a substituição esse iagrama pelo retângulo e altura 0,8x, com a seguinte tensão: I. II. 0,85. fck γ c c 0,80. fck γ, no caso a largura a seção, meia paralelamente à linha neutra, não iminuir a partir esta para a bora comprimia;, caso contrário. A resistência à tração o concreto é esprezaa. FIGURA 3.2 Diagrama parábola-retângulo a istribuição e tensões na seção e concreto A tensão na armaura é a corresponente à eformação eterminaa e acoro com as alíneas anteriores e obtia na iagrama tensão eformação corresponente à classe o aço (FIGURA 3.3).

25 14 FIGURA 3.3 Diagrama tensão-eformação para aços e armaura passiva 3.2 Flexão normal simples e seções retangulares Proceimento e imensionamento Critérios a NBR 6118 (2007) Seguno Tepeino (apu SILVA 2005), no caso a seção retangular, poe-se, sem erro consierável e obteno-se grane simplificação, aotar, para os omínios 2 e 3 (seção subarmaa ou normalmente armaa), o iagrama retangular para as tensões no concreto, representao na FIGURA 3.4. A s ε c 0,0035 f c = 0,85 f c h x ε s M y = 0.8x A sσ s R cc = f c.b.y A s ε s ε y A s f y b FIGURA 3.4 Seção retangular à flexão normal simples

26 15 Para que a tensão σ s na armaura tracionaa seja igual a f y, é necessário e suficiente que a profuniae relativa a linha neutra (x/) seja menor ou igual à profuniae relativa limite o omínio 3, aa por: ξ 3,lim x 0, 035 = = ε + 0, 035 3,lim y (3.1) com ε y, eformação e cálculo ao escoamento a armaura, aa por ε y = f y / E s. De acoro com a FIGURA 3.4 poe-se escrever as seguintes equações e equilíbrio: M As = 0 M = R cc. ( y/2) + A s. σ s. ( ) (3.2) F h = 0 N = 0 = R cc + A s. σ s A s. f y (3.3) Ao iviir toos os termos a equação (3.2), e equilíbrio em termos e momentos, por uma quantiae que tem a mesma imensão e um momento, como o termo f c.b. 2, obtém-se uma equação e equilíbrio em termos aimensionais, que epois e substituío o valor e R cc =f c.b.y e cancelaos os valores iguais no numeraor e enominaor fica: A' = + s σ' s ' K K' 1 (3.4) f b c com M K = (3.5) 2 f b c y fby c 2 y y α K' = = 1 = α 1 2 f b 2 2 c (3.6) Nestas expressões K é o parâmetro aimensional que mee a intensiae o momento fletor solicitante (externo) e cálculo enquanto K é também um parâmetro aimensional que mee a intensiae o momento fletor resistente (interno) e cálculo evio ao concreto comprimio. O terceiro termo e (3.4) mee a intensiae o momento fletor resistente (interno) e cálculo evio à armaura A s comprimia.

27 16 Na equação (3.6), α é o valor a profuniae relativa a linha neutra referente ao iagrama retangular simplificao e tensões no concreto, ou seja: ( x ) 0,8 ξ α = y = 0,8 = (3.7) A equação (3.6) representa uma equação o seguno grau em α e, portanto, conforme (3.7), em função a incógnita x (profuniae a linha neutra), que quano resolvia fornece as uas raízes o problema, seno o valor aplicável no caso ao por: α = 1 1 2K' (3.8) Voltano-se à equação (3.4), multiplicano-se e iviino-se o último termo simultaneamente por f y, obtém-se a expressão para o cálculo a armaura comprimia A s : fcb K K' A' s = φ (3.9) f ' y 1 one φ representa o nível e tensão na armaura comprimia, aa por: φ = σ s / f y 1 (3.10) A partir a equação e equilíbrio (3.3) etermina-se a armaura e tração A s aa por: f by A' A + σ' c s s s = (3.11) f y f y Multiplicano-se e iviino-se simultaneamente o seguno termo e (3.11) por e substituino a relação σ s / f y o terceiro termo pela equação (3.10), obtém-se: A fcb y = A' s φ (3.12) f s + y

28 17 De (3.7) e (3.8) sabe-se que α = y = 1 1 2k' que levao em (3.12) fornece: A s1 ( 1 1 2K' ) fcb = (3.13) f y A s2 fcb K K' = A' s φ = (3.14) f ' y 1 e A s = A s1 + A s2 (3.15) Uma vez calculaa a armaura A s, com sua parcela A s2 poe-se obter a armaura A s aa por: A s = A s2 / φ (3.16) As expressões (3.13) a (3.16) são as utilizaas para o cálculo a armaura e flexão em vigas com seção retangular. A armaura e compressão A s nem sempre é necessária para equilibrar o momento externo M (representao aimensionalmente por K), que nesse caso será equilibrao internamente apenas pelo momento evio ao concreto comprimio (representao aimensionalmente por K ). A única possibiliae matemática e se ter armaura A s nula e conseqüentemente também A s2, é fazer em (3.9) ou em (3.14) K = K. Essa igualae tem uma explicação física coerente com a situação e armaura simples (sem armaura e compressão), ou seja, quano o momento externo M, (K) for equilibrao pelo momento interno evio ao concreto comprimio, (K ), isto é K = K, não seno necessário armaura e compressão. Conforme visto anteriormente na equação (3.1), a máxima profuniae relativa a linha neutra para se ter seção subarmaa ou normalmente armaa é a corresponente ao limite o omínio 3. Com essa profuniae limite obtém-se o máximo momento interno resistente K L, que eve ser equilibrao pelo momento externo limite K L. Para essa situação limite, a partir a equação (3.6), obtém-se:

29 18 K L = K L = α L (1 - α L / 2) (3.17) com α L = (y/) L = 0,8.(x/) L = 0,8. ξ 3,lim (3.18) O valor e ξ 3,lim epene o tipo e aço empregao. A TABELA 3.1 (SILVA 2005) apresenta esses valores bem como as emais granezas utilizaas no cálculo. Aço TABELA Valores e K L sem a consieração a uctiliae f y (kn/cm 2 ) ε y ( ) ξ 3,lim α L K L (x/) 3,lim CA-25 21,74 1,035 0,772 0,617 0,427 CA-50 43,48 2,070 0,628 0,503 0,376 CA-60 52,17 2,484 0,585 0,468 0,358 A relação ξ = (x/), além e satisfazer ao limite estabelecio em (3.1), eve também atener aos limites fixaos no item a NBR 6118 (2003) que, para melhoria a uctiliae, fixa a profuniae relativa limite em: ξ lim = (x/) lim 0,50 para concretos com f ck 35 MPa ξ lim = (x/) lim 0,40 para concretos com f ck > 35 MPa (3.19) Observano-se a TABELA 3.1, nota-se que toos os valores e ξ 3,lim são superiores aos as equações (3.19) e que, portanto, para se atener às prescrições e melhoria e uctiliae as vigas eve-se ter os seguintes valores e K L (TABELA 3.2), que agora não mais epenem o tipo e aço, mas sim apenas a resistência f ck o concreto, menor ou maior que 35 MPa.

30 19 TABELA Valores finais e K L, com a consieração a uctiliae f ck K L 35 MPa 0,320 > 35 MPa 0,269 A partir a equação (3.5) e consierano os valores limites a TABELA 3.2 obtém-se: M,L = K L. (f c.b. 2 ) (3.20) M L = (3.21) K f b L c one: M,L é o máximo momento fletor e cálculo resistio com armaura simples L é a altura útil mínima necessária para resistir ao M com armaura simples Caso o momento e cálculo atuante seja maior que M,L ou aina que a altura útil seja menor que L, o que significa em ambos, K > K L, torna-se necessário para o equilíbrio a utilização e armaura e compressão A s. Essa situação, com a utilização simultânea e armaura e tração A s e e compressão A s, caracteriza seções imensionaas à flexão com armaura upla. Na situação e armaura upla K > K L (M > M,L ), basta fazer nas equações e imensionamento à flexão em seções retangulares, equações (3.13) a (3.16), K = K L. Essa igualae significa fisicamente que o momento interno resistente referente ao concreto comprimio K é igual ao máximo momento fletor e cálculo resistio com armaura simples K L. Essa parcela o momento total será resistia pelo concreto comprimio e pela armaura tracionaa A s1. A iferença (M M,L ), que em termos aimensionais fica (K K L ), será absorvia pela parcela a armaura e tração A s2 e pela armaura e compressão A s.

31 20 No cálculo a armaura A s aparece o nível e tensão φ na armaura comprimia, que normalmente vale 1, ou seja, σ s = f y. A tensão na armaura comprimia σ s é função a eformação ε s, que por sua vez epene a profuniae relativa a linha neutra ξ = (x/). Na situação e armaura upla (one A s 0), essa profuniae relativa é constante e igual a ξ lim = (x/) lim ao na equação (3.19), para caa uma as uas faixas e resistência o concreto (f ck 35 MPa ou f ck > 35 MPa). ε c,max =0,0035 x lim ε s ε s FIGURA Diagrama e eformação na armaura upla Consierano os valores limites a equação (3.19) nota-se que ambos, (x/)=0,4 e (x/)=0,5, são menores que os valores e ξ 3,lim = (x/) 3,lim a TABELA 3.2 para as três categorias e aço CA-25, CA-50 e CA-60. Além isso, o valor a profuniae relativa o omínio 2 é ao por ξ 2,lim = (x/) 2,lim = (3,5 / 13,5) = 0,259. Poe-se concluir, portanto, que para as três categorias e aços empregaos em peças e concreto armao, a profuniae relativa limite que efine a armaura upla estará no omínio 3, ou seja: ξ 2,lim = 0,259 < ξ lim = (x/) lim < ξ 3,lim (3.22) A efinição o ELU para o omínio 3 é ε c,max = 3,5, conforme inicao na FIGURA 3.5. A eformação ε s poe ser calculaa a partir a seguinte equação, retiraa por semelhança e triângulos na FIGURA 3.5:

32 21 x ε' s = ' lim 0,035 x lim (3.23) x ' x lim ' lim ε' s = 0,035 = 0,035 (3.24) x lim x lim Caso ε s seja menor que o valor a eformação e cálculo corresponente ao escoamento ε y, a tensão σ s é obtia pela aplicação a Lei e Hooke, σ s = E s. ε s, o que implica em valor e φ menor que 1. Caso contrário σ s = f y, o que implica em φ = 1. Fazeno ε s ε y em (3.23) obtém-se a inequação (3.25) que expressa a relação ( /) abaixo a qual se tem φ = 1: ' x lim ε y 1 0,035 (3.25) A TABELA 3.3 apresenta os valores entre e para se ter o nível e tensão φ igual a 1 na armaura e compressão. TABELA Valores as relações entre e, para se ter φ = 1 Aço (nível e tensão em A s) f ck 35 MPa (x/) lim 0,5 f ck > 35 MPa (x/) lim 0,40 ( /) (/ ) ( /) (/ ) CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550 CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121 CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616 Os valores a TABELA 3.3 são as relações usuais para vigas e concreto armao, ou seja, geralmente o nível e tensão na armaura comprimia é igual a 1. No entanto, para situações pouco comuns, não contemplaas na TABELA 3.3, o valor e φ = σ s / f y 1, poe ser obtio com σ s = E s. ε s f y, a partir a equação (3.23):

33 22 x ' lim 0,035 Es φ = 1 (3.26) x f y lim Too o imensionamento e seções retangulares submetias à flexão normal simples encontra-se e forma resumia na FIGURA 3.6.

34 23 FLEXÃO NORMAL SIMPLES SEÇÃO RETANGULAR (TEPEDINO) A s σ c =f c =0,85f c y=0,8x A s.σ s A s M A s f y R cc =f c by -y/2 - b M K = f b c 2 K K L K = K K > K L K = K L A A + A s s1 A' s = A s2 φ s2 A A s1 s2 fcb = f y ( 1 1 2K' ) fc b K K' = f 1 ' y f ck Valores e K L K L 35 MPa 0,320 > 35 MPa 0,269 Relações entre e para se ter o nível e tensão φ = 1 Aço f ck 35 MPa f ck > 35 MPa ( /) (/ ) ( /) (/ ) CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550 CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121 CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616 σ' φ = f s y ( x ) ( ' ) 735 φ = f y f y em kn/cm 2 lim ( x )lim FIGURA 3.6 Dimensionamento à flexão normal simples em seções retangulares

35 Prescrições a NBR 6118 (2003) Armaura longituinal mínima e tração De acoro com o item a NBR-6118 (2003), a armaura mínima e tração, em elementos estruturais armaos ou protenios eve ser eterminaa pelo imensionamento a seção a um momento fletor mínimo ao pela expressão a seguir, respeitaa a taxa mínima absoluta e 0,15 %: M,min = 0,8.W 0. f ctk,sup (3.27) one: W 0 é o moulo e resistência a seção transversal bruta e concreto, relativo à fibra mais tracionaa; f ctk,sup é a resistência característica superior o concreto à tração aa por f ctk,sup = 1,3. f ctm = 0,39. (f ck ) 2/3 com f ck em MPa. O imensionamento para M,min eve ser consierao atenio se forem respeitaas as taxas e armaura a TABELA 3.4 abaixo. TABELA Taxas mínimas e armaura e flexão para vigas Forma a seção Valores e ρ min 1) = (A s,min / A c ) - % f ck (MPa) ω min Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 1) Os valores e ρ min estabelecios nesta tabela pressupõem o uso e aço CA-50, γ c =1,4 e γ s =1,15. Caso esses fatores sejam iferentes, ρ min eve ser calculao com base no valor e ω min ao.

36 25 A taxa mecânica mínima e armaura longituinal e flexão para vigas, ω min, que aparece na TABELA 3.4, é aa por: A s,minf y f y ω min = = ρmin (3.28) A f f c c c De (3.28) poe-se obter ρ min a partir o valor ao e ω min : f c ρ min = ωmin (3.29) f y Os valores a TABELA 3.4 foram obtios para aço CA-50, γ c =1,4 e γ s =1,15. Como exemplo para esses valores, a taxa mínima para seção retangular com concreto f ck =30 MPa, fica: ρ min = (30/1,4) x 0,035 / (500/1,15) = 0,00173 = 0,173 % (3.30) Para outros valores e tipo e aço ou e coeficientes e ponerações os materiais, não se poe usar a TABELA 3.4, eveno-se calcular a taxa mínima pela equação (3.29), que é o caso por exemplo, as lajes, one se usa normalmente aço CA-60. Área máxima as armauras e tração e compressão A soma as armauras e tração e e compressão (A s + A s ) não eve ter valor maior que 4%A c, calculaa na região fora a zona e emenas. Distribuição transversal as armauras longituinais O espaçamento mínimo livre entre as faces as barras longituinais, meio no plano a seção transversal conforme mostra a TABELA 3.4, eve ser igual ou superior ao maior os seguintes valores: na ireção horizontal (a h ) - 20 mm; - iâmetro a barra φ long [NBR 7480 (2007)], o feixe ou a luva; - 1,2 vez o iâmetro máximo o agregao;

37 26 na ireção vertical (a v ) - 20 mm - iâmetro a barra φ long [NBR 7480 (2007)], o feixe ou a luva; - 0,5 vez o iâmetro máximo o agregao. b útil φ transv c a h a v φ long b w FIGURA Distribuição transversal as armauras longituinais Com base na TABELA 3.4, a largura útil (b útil ) a viga fica igual a: b útil = b w 2. (c + φ transv ) (3.31) one: c é o cobrimento nominal a armaura φ transv é o iâmetro a armaura transversal (estribo)

38 27 Desta forma, o número máximo e barras longituinais com iâmetro φ long que cabem em uma mesma camaa, ateneno ao espaçamento horizontal a h especificao acima, fica: n barras/camaa bútil + ah (3.32) a + φ h long Aota-se como valor final o número e barras por camaa, a parcela inteira o número calculao em (3.32). 3.3 Flexão normal composta e seções retangulares Proceimento e imensionamento Armauras assimétricas Definições Seja uma seção retangular qualquer e concreto armao, cujas características geométricas estão representaas na FIGURA 3.8. x FIGURA 3.8 Seção retangular e concreto armao

39 28 Os elementos inicaos têm as seguintes enominações: b = largura; h = altura total; = altura útil; A s = armaura e tração (ou menos comprimia); A s = armaura e compressão (ou mais comprimia); N = força normal última e cálculo; será consieraa positiva, quano e compressão; e M = momento fletor último e cálculo. Observe-se que é a istância entre o centro a armaura A s e a bora mais próxima. Não eve ser confunio com o COBRIMENTO, e efinio como a istância entre as superfícies o concreto e as barras a armaura. A istância (h - ) entre o centro a armaura A s e a bora que lhe é próxima ar-se-á pela esignação, seno freqüentemente iferente e `. Simplificações No caso a seção retangular, é altamente conveniente aotar o iagrama simplificao retangular para as tensões o concreto. Essa simplificação facilita extremamente a análise e a formulação o problema apesar e introuzir um erro e pequeno significao nos resultaos. Primeiro Caso De acoro com CALIXTO et al., consierar-se-á como primeiro caso aquele em que existe ao menos uma armaura tracionaa, poeno haver ou não uma armaura e compressão, como ilustra a FIGURA 3.9.

40 29 0,01 A s. σ s FIGURA 3.9 Diagrama e eformações e equilíbrio e forças na seção e concreto (primeiro caso) Poem-se armar as seguintes equações e equilíbrio: N = f. b. y) + ( A'. σ ' ) ( A. σ ) (3.33) ( c s s s s N h. + M 2 = ( f c.b.y ). y + ( A' 2 s. σ' s ).( ' ) (3.34) Diviino ambos os laos a equação (3.33) por fc.b. 2 teremos: k = h N. + M 2 f. b. c α A' s. f y ' = α (3.35) 2 f. b. 2 ϕ c one k é o parâmetro aimensional que mee a intensiae o momento fletor solicitante (externo) e cálculo e y 0,8 x α = =. (3.36) σ ' s ϕ = (3.37) f y

41 30 α Fazeno α. 1 = k', one k é o parâmetro aimensional que mee a intensiae 2 o momento fletor interno resistio pelo bloco comprimio e concreto, a área e armaura e compressão A s fica aa por : f c. b. k k' 1 A' s =.. (3.38) f y ' ϕ 1 Esta última expressão mostra que somente haverá necessiae e armaura e compressão A s se k > k, nunca poeno ser k < k. A NBR 6118 prescreve que para assegurar a uctiliae as estruturas nas regiões e apoios as vigas e/ou pilares ou e ligações com outros elementos estruturais, a posição a linha neutra no ELU eve obeecer aos seguintes limites: x/ 0,50 para concretos com f ck 35 MPa; x/ 0,40 para concretos com f ck > 35 MPa. Portanto existe um limite para a relação x/ e conseqüentemente um valor limite para o parâmetro aimensional k, enominao k L, corresponente ao máximo momento interno resistente pelo bloco comprimio e concreto que assegure uctiliae na ruptura. Se não vejamos: y 0,8 x α = =. x α L 0, 8 (3.39) máximo e α L k ' α L. 1 = k L (3.40) 2 A TABELA 3.5 apresenta os valores finais e k L.

42 31 TABELA 3.5 Valores máximos e k L para assegurar uctiliae f ck k L 35 MPa 0,320 > 35 MPa 0,269 Assim, caso se tenha, no cálculo, k k L, faremos k = k na equação (3.38), ou seja, não existe necessiae e armaura e compressão. Caso contrário faremos k = k L nesta mesma equação seno, portanto, A s iferente e zero. Respeitano-se os limites acima para o valor e k, assegura-se a uctiliae e a seção será sempre sub-armaa. Seção sub-armaa é aquela seção para a qual o aço escoa antes a ruptura o concreto à compressão. Nessas conições, σ s = fy na equação (3.33), que após um rearranjo e termos fica igual: f bα N = ϕ c A s +. A' s = As1 + A s2 f y (3.41) one A s1 = f bα N c f y = f c b (1 1 2k') N f y (3.42) f cb k k' As2 = ϕ. A' s =. (3.43) f ' y 1 O valor e ϕ poe ser tabelao, para as iversas qualiaes e aço, em função e ε s e, portanto, e x/ ou y/. Deve ser notao na equação (3.41) que o valor e As poe, em eterminaas circunstâncias, ser negativo, o que contraria a hipótese inicial e existir ao menos uma armaura e tração. Caso isto ocorra eve-se passar ao caso seguinte.

43 32 Seguno Caso Conforme mostra a FIGURA 3.10, este caso correspone à hipótese na qual o equilíbrio a seção poe ser conseguio apenas com a compressão o concreto, em parte a seção, e a armaura A s. Chega-se a este quano, no cálculo pelo caso anterior, conclui-se que As < 0. FIGURA Diagrama e eformações e equilíbrio e forças na seção e concreto (seguno caso) As equações e equilíbrio são: ) '. ' ( ).. ( s s c A y b f N σ + = (3.44) = ' 2... ' 2. y y b f M h N c (3.45) Transformano esta última equação tem-se: h b f M h N y c + + =. ' ') ( ' 2 (3.46)

44 33 Na equação acima, eve-se ter y h por razões óbvias. No limite, a seção e concreto já estará totalmente comprimia. Caso se obtenha y > h em eve-se passar ao caso seguinte. Com o valor obtio e y, a área e armaura comprimia A s é aa por: ' ( N f A s ϕ. f c = (3.47) y. b. y) e As será sempre igual a zero. Eventualmente, poe-se obter A s < 0. Isto significa que, em teoria, nenhuma armação será necessária, bastano a seção e concreto, parcialmente comprimia, para equilibrar os esforços solicitantes. Nestas conições eve ser aotaa a armaura mínima para peças comprimias fixaa em Norma. Terceiro Caso Este caso (FIGURA 3.11) trata a hipótese na qual o concreto está totalmente comprimio e existem uas armauras (As e A s) ambas também comprimias. Chegase a este caso quano, no cálculo pelo caso anterior, conclui-se que y > h.

45 34 fc = 0, 85 f c As σ s FIGURA Diagrama e eformações e equilíbrio e forças na seção e concreto (terceiro caso) As equações e equilíbrio são: N = ( f.b.h ) + ( A'. σ ' ) + ( A. σ ) (3.48) c s s s s M = h h A' s. σ ' s. ' As. σ s (3.49) 2 2 Neste caso ocorre uma inefinição na posição a linha neutra, que poe ser qualquer, ese que x > 1,25 h e que as armauras sejam suficientes para atener às equações acima. O iagrama e eformação (FIGURA 3.11), que correspone ao omínio 5 (ver FIGURA 3.1), mostra que as tensões σ s e σ's a que estão submetias as armauras epenem os respectivos alongamentos ε s e ε s, que por sua vez são funções a posição a linha neutra. Como existem mais incógnitas que equações, haverá, pois, uma infiniae e soluções e equilíbrio, as quais, naturalmente, a mais interessante seria aquela que minimizasse a soma As + A s. A fim e simplificar a análise, aotar-se-á para y/h > 1 a linha neutra no infinito, ou seja, seção uniformemente comprimia, com ε c = ε s = ε s = 0,002. Tal simplificação, que levanta a ineterminação e facilita substancialmente a análise, justifica-se pelos fatos e ser estreita a faixa e variação possível em termos e

46 35 excentriciae a solicitação, significano pequena inciência e casos esta natureza, e e ser pequeno e favorável à segurança o excesso obtio que, em geral, não ultrapassa em 2% o mínimo possível a soma as armauras. Resolveno, agora, o sistema e equações acima para As e A s com suposição e que σ s = σ s = φ fy teremos: A s = ( N h f c. b. h). ' M 2 ϕ. f. y ( ' ) (3.50) A' s = ( N h f c. b. h). + M 2 ϕ. f. y ( ' ) (3.51) Aina entro este caso e solicitação existe uma variante aliás, e bastante interesse prático, no arranjo a armaura, consistino em consierá-la não concentraa junto às boras mas, conforme a FIGURA 3.12, composta por uma parcela A o s, centraa, e uma outra ΔAs que reforça apenas a bora mais comprimia.

47 36 FIGURA 3.12 Seção retangular e concreto armao com armaura istribuía (terceiro caso) Esta forma e calcular e istribuir a armação é, via e regra, mais conveniente e econômica, para um tipo e solicitação muito freqüente em eifícios (pilares sujeitos à compressão N com pequena excentriciae). As equações e equilíbrio ficam: s s s c A A h b f N ' ). º ( ).. ( σ +Δ + = (3.52) = ' 2. '. h A M s s σ Δ (3.53) Resolvias estas equações temos: = y c s f h M h b f N A. 1. ' 2.. º ϕ (3.54) = y s f h M A. 1. ' 2 ϕ Δ (3.55)

48 37 Quarto Caso Trata-se a hipótese, pouco comum, mas possível, e estar a seção totalmente tracionaa em flexão composta. Chega-se a ela ao obter-se k < 0 no primeiro caso. A seção funcionará como seno constituía apenas pela armaura; o concreto em naa ajuará visto estar totalmente fissurao (FIGURA 3.13). Seria o caso e um tirante com carga N (negativa = tração) excêntrica. As σ s FIGURA Diagrama e eformações e equilíbrio e forças na seção e concreto (quarto caso) Analogamente ao terceiro caso, a seção será consieraa uniformente tracionaa com ε s = ε s = ε y e, conseqüentemente, σ s = σ s = fy. Esta solução alia a simpliciae à economia, pois minimiza a soma As + A s. As equações e equilíbrio são: N = ( A + A' ). f (3.56) s s y M h h = As. f y. A' s. f y. ' (3.57) 2 2

49 38 Resolvias, ão: A s = h N. ' + M 2 f.( ') y (3.58) A ' s = h N. ' M 2 f.( ') y (3.59) A variante, análoga àquela apresentaa para o terceiro caso, é aqui também cabível e igualmente conveniente: uma armaura composta e uma parcela A o s centraa e outra ΔAs, agora reforçano a bora mais tracionaa (fig.10). FIGURA 3.14 Seção retangular e concreto armao com armaura istribuía (quarto caso) As equações e equilíbrio são: N = ( Aº + ΔA ). f (3.60) s s y h M = Δ As. f y. (3.61) 2

50 39 Resolvias, ão: M N h 2 Aº s = (3.62) f y M h 2 Δ As = (3.63) f y Proceimento e imensionamento Armauras simétricas O proceimento utilizao para o imensionamento e seções retangulares com armauras simétricas e sujeitas a flexão normal composta é iterativo; portanto, ele foi esenvolvio por meio e algoritmos. A FIGURA 3.15 à FIGURA 3.21 apresentam o algoritmo computacional para o cálculo as armauras e aço nestas seções. A notação utilizaa no algoritmo computacional está apresentaa a seguir: A c A s = área a seção transversal e concreto, em cm²; = área total a armaura e longituinal, em cm²; A s1 = área a armaura longituinal superior, em cm²; A s2 = área a armaura longituinal inferior, em cm²; b = largura a seção transversal e concreto, em cm; = altura útil a seção transversal e concreto, em cm; = istância o CG a armaura à bora mais próxima a seção, em cm; f c f y h = resistência à compressão o concreto, em kn/cm²; = tensão e escoamento e cálculo a armaura, em kn/cm²; = altura total a seção transversal e concreto, em cm; M = momento e cálculo aplicao na seção, em kn.cm; N = força normal e cálculo, em kn, aplicaa na seção; será positiva se e compressão e negativa caso contrário;

51 40 R cc R s1 R s2 x x 1 x 2 = resultante e compressão no concreto; = resultante e tração na armaura superior; = resultante e tração na armaura inferior; = profuniae a linha neutra, em cm; = posição inicial a linha neutra no omínio 1 (seção toa tracionaa); = posição final a linha neutra no omínio 5 (seção toa comprimia); x 23 = posição a linha neutra no limite entre os omínios 2 e 3; x 34 = posição a linha neutra no limite entre os omínios 3 e 4; ε 1 ε 2 ε c ε y = eformação e cálculo na armaura superior; = eformação e cálculo na armaura inferior; = eformação e cálculo no concreto; = eformação e escoamento e cálculo a armaura;

52 41 INÍCIO Daos e Entraa b, h,,, f c, f y, ε y, M, N A c = b.h Tolerância = 0,005 A.V. M = 0.F..V. N 0 (tração).f. (tração) A s1 = A s2 = -0,5.N.f y (compressão) A s1 = A s2 = 0,5.(N.-A c.f c )/ f y x 1 = -(.ε y -10. )/(10-ε y ) x 2 = 1,25h x 23 = (3,5/13,5). x 34 = [3,5/(3,5+ε y )]. Calcula FLEXÃO SIMPLES.V. N = 0.F. Calcula FLEXÃO COMPOSTA FIGURA 3.15 Algoritmo computacional para imensionamento e seções retangulares e concreto com armaura simétrica sujeitas a esforços e flexão normal composta (Parte 1/7).

53 42 Calcula FLEXÃO SIMPLES Contaor A = 1 Contaor A 600.V..F. x = x 34.V. Tolerância = 2. Tolerância A st = (Contaor A -1).Contaor A /100 A s = 0,5.A st Contaor B = 1 Tolerância = 0,16.V. Sem solução para N = 0.F. Contaor A = Contaor A + 1.F. Contaor B 1000.V. x = Contaor B.x 34 /1000.V. x.f. ε 1 = 10.(x- )/(-x) ε 1 = 10.( -x)/(-x) R s1 = -A s. ε 1.21 ε 1 = εy.v. ε 1 ε y.f. R s1 = A s. ε 1.21 R s2 = A s.f y R cc = f c.b.0,8x N,calc = R cc + R s1 R s2 M,calc = R cc.(0,5h-0,4x) + + R s1.(0,5h- ) + R s2.(-0,5h) Aux 1 = abs(n,calc /1,4) Aux 2 = abs(m,calc M )/abs(m ) Aux 1 10 e Aux 2 Tolerância Contaor B = Contaor B + 1 Saía: A s1 = A s2 = A s FIGURA 3.16 Algoritmo computacional para imensionamento e seções retangulares e concreto com armaura simétrica sujeitas a esforços e flexão normal composta (Parte 2/7).

54 43 Calcula FLEXÃO COMPOSTA Contaor C = 1 Contaor C 600.F..V. A st = (Contaor C -1).A c /100 A s = 0,5.A st Calcula Domínio 1 C Calcula Domínio 2 e 3 D Calcula Domínio 4 e 4a E Calcula Domínio 5 B Contaor C = Contaor C + 1 F.F. x = 5.h.V. Saía: A s1 = A s2 = A s Tolerância = 2. Tolerância Tolerância = 0,16.F..V. Sem solução! Será calculao nova solução para M = 0 kn.m M = 0 A FIGURA 3.17 Algoritmo computacional para imensionamento e seções retangulares e concreto com armaura simétrica sujeitas a esforços e flexão normal composta (Parte 3/7).

55 44 Calcula Domínio 1 Contaor D = 1 Contaor D 80.F. C.V. x = x 1 + abs(x 1 ).Contaor D /80 ε 1 = 10.[abs(x)+ ]/[+abs(x)] R s1 = A s. ε 1.21 R s2 = A s.f y N,calc = -(R s1 + R s2 ) M,calc = (R s2 R s1 ).(0,5h- ) Aux 1 = abs(n N,calc )/abs(n ) Aux 2 = abs(m,calc M )/abs(m ) Contaor D = Contaor D + 1.F..V. Aux 1 Tolerância e Aux 2 Tolerância.V. B FIGURA 3.18 Algoritmo computacional para imensionamento e seções retangulares e concreto com armaura simétrica sujeitas a esforços e flexão normal composta (Parte 4/7).

56 45 Calcula Domínio 2 e 3 Contaor E = 1 Contaor E 300.F. D.V. x = Contaor E.x 34 /300.V. x.f. ε 1 = 10.(x- )/(-x) ε 1 = 10.( -x)/(-x) R s1 = -A s. ε 1.21 ε 1 ε y.v. ε 1 = εy.f. R s1 = A s. ε 1.21 R s2 = A s.f y R cc = f c.b.0,8x N,calc = R cc + R s1 R s2 M,calc = R cc.(0,5h-0,4x) + + R s1.(0,5h- ) + R s2.(-0,5h) Aux 1 = abs(n N,calc )/abs(n ) Aux 2 = abs(m,calc M )/abs(m ) Contaor E = Contaor E + 1.F. Aux 1 Tolerância e Aux 2 Tolerância.V. B FIGURA 3.19 Algoritmo computacional para imensionamento e seções retangulares e concreto com armaura simétrica sujeitas a esforços e flexão normal composta (Parte 5/7).

57 46 Calcula Domínio 4 e 4a Contaor F = 1 Contaor F 150.V..F. E x = x 34 + (Contaor F /150).(h-x 34 ).V. x >.F. ε 1 = 3,5.(x- )/x ε 1 ε y.v. ε 1 = εy.f. ε 2 = 3,5.(x-)/x R s1 = A s.f y R s2 = A s. ε 2.21 R cc = f c.b.0,8x N,calc = R cc + R s1 + R s2 M,calc = R cc.(0,5h-0,4x) + + R s1.(0,5h- ) - R s2.(-0,5h) ε 2 = 3,5.(-x)/x R s1 = A s. ε 1.21 R s2 = A s. ε 2.21 R cc = f c.b.0,8x N,calc = R cc + R s1 R s2 M,calc = R cc.(0,5h-0,4x) + + R s1.(0,5h- ) + R s2.(-0,5h) Aux 1 = abs(n - Ncalc)/abs(N ) Aux 2 = abs(mcalc M )/abs(m ) Contaor F = Contaor F + 1.F. Aux 1 Tolerância e Aux 2 Tolerância.V. B FIGURA 3.20 Algoritmo computacional para imensionamento e seções retangulares e concreto com armaura simétrica sujeitas a esforços e flexão normal composta (Parte 6/7).

58 47 Calcula Domínio 5 Contaor G = 1 Contaor G 500.V..F. F x = h + (Contaor G /500).4.h ε 1 = 2.(x- )/(x-3h/7) ε 2 = 2.(x-)/(x-3h/7) ε 1 ε y.v. ε 1 = εy.f. R s1 = A s. ε 1.21 R s2 = A s. ε 2.21.V. x x 2.F. R cc = f c.b.0,8x N,calc = R cc + R s1 + R s2 M,calc = R cc.(0,5h-0,4x) + + R s1.(0,5h- ) - R s2.(-0,5h) R cc = f c.a c N,calc = R cc + R s1 + R s2 M,calc = R s1.(0,5h- ) - R s2.(-0,5h) Aux 1 = abs(n N,calc )/abs(n ) Aux 2 = abs(m,calc M )/abs(m ) Contaor G = Contaor G + 1.F. Aux 1 Tolerância e Aux 2 Tolerância.V. B FIGURA 3.21 Algoritmo computacional para imensionamento e seções retangulares e concreto com armaura simétrica sujeitas a esforços e flexão normal composta (Parte 7/7).

59 Prescrições complementares a NBR 6118 Para seções não essencialmente comprimias (omínios 1 a 4), as prescrições complementares a NBR 6118 são as mesmas para o caso a flexão normal simples (item 3.2.2). No caso e seções essencialmente comprimias, a NBR 6118 apresenta as prescrições escritas a seguir. Armaura Longituinal 10 mm φ barra longituinal (1/8) a menor imensão a seção transversal. A área mínima e armaura As everá ser: A N = one Ac = área a seção real. S, min 0,15 0,004A c f y A área máxima e armaura As everá ser sempre 0,08 (Ac) real mesmo nas regiões e emena por traspasse. Distribuição transversal a armaura longituinal: Em seções poligonais, eve existir pelo menos uma barra em caa vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras istribuías ao longo o perímetro; O espaçamento mínimo livre entre as faces as barras longituinais, meio no plano a seção transversal, eve ser igual ou superior ao maior os seguintes valores: 20 mm, iâmetro a barra ou o feixe ou a luva e 1,2 vez o iâmetro máximo o agregao; O espaçamento máximo entre eixos as barras longituinais, ou e centros e feixes e barras, eve ser menor ou igual a uas vezes a menor imensão (b) a seção no trecho consierao, sem exceer 40 cm. e e eixo eixo 40 cm 2 b

60 49 Armaura Transversal A armaura transversal e pilares, constituía por estribos, eve ser colocaa em toa a altura o pilar, seno obrigatória sua colocação na região e cruzamento com vigas e lajes. φ estribo 5 mm 1 φ 4 barra longituinal O espaçamento longituinal (s) entre estribos, meio na ireção o eixo o pilar, para garantir o posicionamento e impeir a flambagem as barras longituinais, eve ser igual ou inferior ao menor os seguintes valores: s 20 cm; menor imensão a seção; 12 φ ong para CA 50, 24 φ ong para CA 25 Os estribos garantem contra a flambagem as barras longituinais situaas em seus cantos e as por eles abrangias, situaas no máximo à istância e 20 φ estribo o canto, se nesse trecho e comprimento 20 φ estribo não houver mais e uas barras, não contano a o canto. Quano houver mais e uas barras nesse trecho ou barra fora ele, eve haver estribos suplementares ou grampos. 20 φt 20 φt 20 φt 20 φt FIGURA Grampo GRAMPO

61 Cisalhamento e seções retangulares Tensões e Cisalhamento Consiere-se apenas por simpliciae, uma seção retangular submetia à flexão normal simples e inicialmente com o concreto aina não fissurao, ou seja estáio I (FIGURA 3.23). Conforme as hipóteses a Resistência os Materiais, o iagrama e tensões e cisalhamento (ou tangenciais) e o iagrama e tensões normais estão inicaos respectivamente nas FIGURA 3.23b e FIGURA 3.23c. Na FIGURA 3.23b, τ representa a tensão e cisalhamento para pontos istantes y a linha neutra LN aa por: τ = V.Q / (b w. I) (3.64) one V é a força cortante atuante na seção transversal, Q e I são, respectivamente, o momento estático a área A 1 acima e y e o momento e inércia a seção, ambos em relação à linha neutra LN. h A 1 LN y τ τ o M z R cc R tc b w a) seção transversal b) iagrama e tensões c) iagrama e tensões tangenciais τ normais σ FIGURA Viga e seção retangular submetia à flexão normal simples (estáio I) O valor e τ atinge o seu valor máximo τ o, quano y = 0, ou seja, na linha neutra. Nessas conições, para um iagrama linear e tensões normais, conforme a FIGURA 3.23c, a relação (I/Q o ) representa o braço e alavanca z, entre as resultantes e compressão R cc e e tração R tc no concreto, poeno a equação (3.64) ser reescrita como: τ o = V.Q o / (b w. I) = V / b w.(i/q o ) = V / (b w. z) (3.65)

62 51 As equações (3.64) e (3.65) foram obtias com as hipóteses a Resistência os Materiais consierano-se material homogêneo, ou seja, concreto não fissurao, seno portanto só aplicáveis no estáio I, situação e ocorrência pouco comum para peças e concreto armao. Consierano-se agora o concreto já fissurao, funcionano no estáio II, as equações (3.64) e (3.65) serão válias ese que se espreze a resistência o concreto tracionao abaixo a LN, consiere istribuição linear e tensões e compressão no concreto e, além isso, que a armaura e tração A s seja homogeneizaa para uma nova área equivalente em concreto igual a (α e A s ), com α e igual a relação entre os móulos e elasticiae o aço e o concreto. Nesse caso, aina conforme as hipóteses a Resistência os Materiais para materiais compostos, a eterminação a LN, que coincie com a profuniae a área comprimia, é obtia pela igualae entre os momentos estáticos essa área e a área tracionaa (α e A s ) em relação à LN. O imensionamento no estao limite último para flexão normal simples, estáio III, pressupõe iagrama parabólico (simplificao em retangular) e tensões e compressão no concreto oriunas o momento fletor e cálculo M, e moo que não valem mais as equações (3.64) e (3.65), caso se pretena obter com as mesmas o braço e alavanca z, como relação entre I e Q o. No entanto a equação (3.65) continua vália ese que se aote para z no estao limite último, o mesmo valor já obtio no imensionamento à flexão, ou seja: z = 0,4.x = K z. (3.66) No intuito e simplificar o cálculo aota-se um valor méio para K z conforme a NBR 6118 (2003) igual a 0,9, ficano portanto a tensão máxima e cisalhamento, equação (3.65), agora na situação e cálculo, aa por: τ o = V / (b w. 0,9.) = 1,11. V / (b w. ) (3.67) one τ o e V são, respectivamente a tensão máxima e cisalhamento e a força cortante e cálculo.

63 52 Define-se a partir a equação (3.67) uma tensão convencional e cisalhamento e cálculo, aa por: τ w = V / (b w. ) (3.68) que não tem significao físico, apenas servirá e referência para verificações futuras a resistência a peça ao cisalhamento. Já a tensão aa pela equação (3.67) tem significao físico, representano a máxima tensão e cisalhamento na seção transversal, que poe ser reescrita conforme (3.68) como: τ o = 1,11. τ w (3.69) Hipóteses Básicas As prescrições que se seguem aplicam-se a elementos lineares, armaos ou protenios, submetios à força cortante, eventualmente combinaos com outros esforços. Não se aplicam, portanto, a elementos e volume (ex.: bloco e funação), lajes (trataa separaamente), vigas paree e consolos curtos. h l < 2 h FIGURA 3.24 Viga-paree isostática FIGURA 3.25 Consolo curto As conições fixaas pela NBR-6118 (2007) amitem ois moelos e cálculo em função a inclinação as bielas e compressão, conforme a FIGURA 3.26, que pressupõem a analogia com o moelo em treliça e banzos paralelos, associaos a mecanismos resistentes complementares esenvolvios no interior o elemento estrutural, representao por uma componente aicional enominaa V c.

64 53 biela comprimia s (espaçamento as barras tracionaas) banzo comprimio h θ α h zcotgθ zcotgα V s z(cotgθ+cotgα) banzo tracionao FIGURA Moelo e funcionamento e viga como treliça Prescrições gerais a NBR 6118 (2007) Vigas submetias à força cortante evem conter armaura transversal mínima A sw,min constituía por estribos com taxa geométrica aa por: ρ sw = (A sw,min / b w. s. senα) > 0,2. f ctm / f ywk (3.70) one b w é a largura méia a alma, s é o espaçamento longituinal os estribos inclinaos e um ângulo α, f ctm é a resistência méia à tração o concreto e f ywk é resistência ao escoamento o aço a armaura transversal. A resistência méia à tração f ctm é aa no item a NBR 6118 (2007). A resistência à tração inireta f ct,sp e a resistência à tração na flexão f ct,f evem ser obtias em ensaios realizaos e acoro as normas NBR 7222 e NBR 12142, respectivamente. A resistência à tração ireta f ct poe ser aa por: f ct = 0,9. f ct,sp = 0,7. f ct,f (3.71) ou na falta e ensaios para obtenção e f ct,sp e f ct,f, poe ser avaliao o seu valor méio ou característico por meio as seguintes equações:

65 54 f ctm = 0,3. f ck (2/3) (3.72) f ctk,inf = 0,7. f ctm (3.73) f ctk,sup = 1,3. f ctm (3.74) one f ck e f ctm são expressos em MPa. A resistência ao escoamento o aço a armaura transversal A sw é aa por: f ywk = f yk => estribos 500 MPa (3.75) f ywk = 0,7.f yk => barras obraas (3.76) f yw = f y => estribos (3.77) 435 MPa f yw = 0,7.f y => barras obraas (3.78) A partir as equações (3.70) e (3.72) para espaçamento s = 100 cm e estribos verticais, α = 90 o, obtém-se: A sw,min (b w ). (0,2. 0,3.f ck 2/3 ) / 500 = ρ w,min. b w (3.79) one ρ w,min é a taxa mínima e armaura transversal, constituía por estribos, aa por: ρ w,min = 0,012. f ck (2/3) (3.80) A partir a equação (3.80), com f ck expresso em MPa poe-se tabelar o valor e ρ w,min : TABELA 3.6 Valores e ρ w,min f ck (MPa) ρ w,min 15 0, , , , ,128

66 Verificação o estao limite último Cálculo a resistência A resistência e uma viga, numa eterminaa seção transversal, eve ser consieraa satisfatória quano verificaas simultaneamente as ruínas por esmagamento a biela comprimia equação (3.81) e a ruptura a armaura transversal tracionaa equação (3.82), trauzias pelas seguintes conições: V S V R2 (3.81) V S V R3 = V c +V sw (3.82) one V R2 é a força cortante resistente e cálculo, relativa à ruína as iagonais comprimias, obtia e acoro o moelo e cálculo I ou II escritos aiante. V R3 = V c +V sw é a força cortante e cálculo, relativa à ruína por tração iagonal; V c é a parcela e força cortante absorvia por mecanismos complementares ao e treliça e V sw é a parcela resistia pela armaura transversal, ambas obtias e acoro o moelo e cálculo I ou II escritos aiante. Moelo e cálculo I O moelo e cálculo I amite iagonais e compressão inclinaas e θ igual a 45 o em relação ao eixo longituinal o elemento estrutural e amite aina que a parcela complementar V c tenha valor constante, inepenente e V S.

67 56 Verificação a compressão iagonal o concreto V R2 = 0,27. α v2. f c. b w. = τ w2. b w. (3.83) one α v2 = ( 1 f ck / 250 ) (f ck em MPa) (3.84) τ w2 = 0,27. α v2. f c (3.85) Vale frisar que embora para o cálculo e α v2 a uniae utilizaa seja o MPa, para a obtenção o esforço V R2 em kn, eve-se transformar o τ w2 para kn/cm 2. Analogamente a tensão convencional e cisalhamento τ w, equação (3.68), τ w2 representa a tensão máxima convencional e cisalhamento, e tal forma que para se verificar a resistência a iagonal comprimia, equação (3.81), escrita em termos e esforços, basta atener à seguinte expressão, escrita em termos e valores convencionais e tensão e cisalhamento: τ w τ w2 (3.86) TABELA 3.7 Valores e τ w2 (Moelo I) f ck (MPa) τ w2 (MPa) 15 0,181.f ck = 2, ,177.f ck = 3, ,174.f ck = 4, ,170.f ck = 5, ,166f ck = 5,81

68 57 V R2 = R cc,max. senθ z(1+cotgα)senθ R cc,max θ = 45 o α z = 0,9 z(1+cotgα) FIGURA Diagonal comprimia o concreto Da FIGURA 3.27 nota-se que a resistência máxima na iagonal comprimia, R cc,max, poe ser aa por: R cc,max = σ cc,max. b w. z. (1 + cotgα). senθ (3.87) one σ cc,max é a tensão normal máxima na iagonal comprimia e concreto. V s = V R2 = R cc,max. senθ = σ cc,max. b w. 0,9.. (1 + cotgα). sen 2 θ (3.88) De (3.83) e (3.88) com θ = 45 o, obtém-se: τ w2. (b w. ) = σ cc,max. 0,45. (1 + cotgα).(b w.) (3.89) σ cc,max = τ w2 / 0,45. (1 + cotgα) (3.90) 2,22. τ w2 para α = 90 o σ cc,max = (3.91) 1,11. τ w2 para α = 45 o com os valores e τ w2 aos na TABELA 3.7, obtém-se os valores a tensão máxima e compressão na iagonal comprimia para α = 90 o e α = 45 o.

69 58 Diviino-se a equação (3.88) por (b w.) chega-se ao valor a tensão convencional e cisalhamento τ w2. A tensão máxima e compressão σ cc,max na biela e concreto quano tracionaa transversalmente é igual a 0,6.α v2.f c. Para θ = 45 o e α = 90 o chega-se a expressão (3.85) aa pela NBR Cálculo a armaura transversal Da equação (3.82) V R3 = V c +V sw, a primeira parcela corresponente à força cortante resistente absorvia por mecanismos complementares ao e treliça, que é aa no moelo I por: V c = 0 nos elementos estruturais tracionaos quano a LN se situa fora a seção; V c = V c0 na flexão normal simples e na flexo-tração com a LN cortano a seção; V c = V c0. (1 + M 0 / M S,max ) 2. V c0 na flexo-compressão, seno M 0 o valor o momento fletor que anula a tensão normal e compressão na bora a seção e M S,max o momento fletor e cálculo. com V c0 = 0,6. f ct. b w. = τ c0. b w. (3.92) para f ct = f ctk,inf / γ c (3.93) one f ctk,inf é aa na eq. (3.73) e tomano-se para o coeficiente e poneração o concreto γ c =1,4, a tensão convencional e cisalhamento corresponente aos mecanismos complementares, τ c0, poe ser aa pela seguinte expressão:

70 59 τ c0 * = 0,6. f ct = 0,6. 0,7.0,3. f ck 2/3. / 1,4 (MPa) (3.94) com τ c0 = τ c0 * / 10 = 0,009. f ck 2/3 (kn/cm 2 ) (3.95) one τ c0 * e τ c0 representam a mesma tensão convencional expressa em MPa e kn/cm 2, respectivamente. Na equação (3.95) eve-se usar f ck em MPa, para se obter τ c0 em kn/cm 2. TABELA 3.8 Valores e τ c0 f ck (MPa) τ c0 (kn/cm 2 ) 15 0, , , , ,0963 Da equação (3.82) a parcela resistia pela armaura transversal tracionaa V sw é eterminaa conforme o esquema mostrao na fig. 5.6.

71 60 V R3 = V c + V sw = V c + R St senα R St A sw α θ z s z(cotgθ + cotgα) V S FIGURA Diagonal tracionaa a armaura transversal Para θ = 45 o estabelecio no moelo I, obtém-se: V sw = R St. senα = (A sw / s). z. (1 + cotgα). f yw. senα (3.96) De (3.96) com z=0,9., consierano-se estribos verticais (α = 90 o ) para vigas submetias à flexão normal simples (V c = V c0 ), a equação (3.82), V S V c + V sw, iviia por (b w.) para transformar esforços em tensões convencionais e cisalhamento fica: τ w τ c0 + (A sw / s). 0,9..43,5 / (b w.) (3.97) com (A sw / s) [ (τ w - τ c0 ) / 39,15]. b w = ρ w *. b w (cm 2 / cm) (3.98) Para s=100 cm a taxa ρ w * se transforma na taxa ρ w aa por : ρ w = 100. ρ w * = 100. (τ w - τ c0 ) / 39,15 (3.99) e finalmente A sw ρ w. b w (cm 2 / m) (3.100) Fazeno na equação (3.99) ρ w = ρ w,min = f ck 2/3 obtém-se um valor mínimo e τ w, para o moelo I, abaixo o qual a colocação a armaura mínima A sw,min = ρ w,min.b w,

72 61 absorve a totaliae o esforço e cisalhamento. Assim substituino-se o valor e τ c0 pela equação (3.95), obtém-se: τ w,min = (39,15/100) f 2/3 ck +0,009. f 2/3 2/3 ck = 0,0137. f ck (3.101) TABELA 3.9 Valores e τ w,min para o Moelo I F ck (MPa) τ w,min (kn/cm 2 ) 15 0, , , ,132 Moelo e cálculo II O moelo e cálculo II amite iagonais e compressão inclinaas e θ, em relação ao eixo longituinal a peça, variano livremente entre 30 o e 45 o. Amite aina que a parcela complementar V c sofra reução com o aumento e V S. Verificação a compressão iagonal o concreto V R2 = 0,54. α v2. f c. b w.. sen 2 θ.(cotgα + cotgθ) = τ w2. b w. (3.102) Com α v2 ao na equação (3.84) e τ w2 ao por: τ w2 = 0,54. α v2. f c. sen 2 θ.(cotgα + cotgθ) (3.103) Para estribos verticais, ou seja α = 90 o, os valores e τ w2 são aos na TABELA 3.10.

73 62 TABELA 3.10 Valores e τ w2 (Moelo II) f ck τ w2 (MPa) (MPa) θ = 30 o θ = 45 o 15 0,157.f ck = 2,35 0,181. f ck = 2, ,154.f ck = 3,07 0,177. f ck = 3, ,150.f ck = 3,76 0,174 f ck = 4, ,147.f ck = 4,41 0,170. f ck = 5,09 Cálculo a armaura transversal V R3 = V c +V sw (3.104) one: V c = 0 nos elementos estruturais tracionaos quano a LN se situa fora a seção V c = V c1 na flexão normal simples e na flexo-tração com a LN cortano a seção V c = V c1. (1 + M 0 / M S,max ) < 2. V c1 na flexo-compressão, seno M 0 o valor o momento fletor que anula a tensão normal e compressão na bora a seção e M S,max o momento fletor e cálculo. Com V c1 = V c0 quano V S V c0 V c1 = 0 quano V S = 0, interpolano-se linearmente para valores intermeiários Definino-se analogamente uma tensão convencional e cisalhamento proveniente e V c1, tem-se: τ c1 = V c1 / (b w. ) (3.105)

74 63 Os valores e V c1, ou os corresponentes valores e τ c1, equação (3.106), poem ser representaos na FIGURA 3.29: τ c1 = τ c0 [ 1 (τ w - τ c0) / (τ w2 - τ c0 ) ] (3.106) τ c1 τ c1 = τ c0 [ 1 (τ w - τ c0) / (τ w2 - τ c0 ) ] τ c0 τ c1 =τ c0 τ co τ w2 τ w FIGURA Valores e τ c1 A parcela e tração absorvia pela armaura transversal V sw é aa por: V sw = (A sw / s). z. (cotgθ + cotgα). f yw. senα (3.107) De (3.82), V S V c + V sw, iviino-se por b w., fazeno-se em (3.107) z = 0,9., α = 90 o e s = 100 cm, obtém-se a equação para a armaura transversal A sw. A sw = ρ w. b w (cm 2 / m) (3.108) ρ w = 100. (τ w - τ c1 ) / (39,15. cotgθ) (3.109) com τ c1 ao e acoro a FIGURA 3.29.

75 64 Deslocamento o iagrama e momentos fletores: São mantias as conições estabelecias no moelo I, seno o eslocamento o iagrama e momentos fletores no moelo II, ao por: a l = 0,5.. (cotgθ -cotgα) (3.110) one a l 0,5., no caso geral; a l 0,2., para estribos inclinaos e 45º Prescrições complementares a NBR 6118 iâmetro a armaura transversal A sw θ t 5 mm θ t b w /10 espaçamento máximo os estribos para τ w 0,67.τ w2 s max = 0,6. 30 cm para τ w > 0,67.τ w2 s max = 0,3. 20 cm A armaura transversal A sw poe ser constituía por estribos ou pela combinação e estribos e barras obraas, entretanto essas últimas não evem suportar mais o que 60% o esforço total resistio pela armaura.

76 65 4 APRESENTAÇÃO DOS PROGRAMAS 4.1 Introução Neste capítulo são apresentaos três programas computacionais com acesso via web implementaos para o imensionamento e esboço o etalhamento e seções retangulares em concreto armao. O primeiro etalha peças submetias à flexão normal simples, o seguno para peças submetias à flexão normal composta e, por último, peças solicitaas ao cisalhamento. Toas as ferramentas acima citaas foram esenvolvias utilizano-se a linguagem e programação JAVA e foram compilaas na forma e Applet para possibilitar o acesso pela Internet. Um os fatores que motivou a escolha esta linguagem como base para a implementação os programas foi a sua portabiliae, ou seja, os programas poem ser executaos em qualquer computaor inepenentemente e qual sistema operacional esteja instalao. Para isso, os programas compilaos em JAVA são executaos por uma máquina virtual (JVM - Java Virtual Machine). Caso o computaor não tenha o JVM instalao, é necessário instalá-lo antes e executar os programas. O JVM poe ser baixao iretamente no sítio a Sun gratuitamente:

77 Programa para Dimensionamento e Seções Retangulares Solicitaas à Flexão Normal Simples O programa para imensionamento e seções retangulares e concreto armao solicitaas à flexão normal simples é voltao para o auxílio o ensino aos alunos e engenharia civil e arquitetura urante os primeiros contatos com a isciplina e Concreto Armao. A FIGURA 4.1 apresenta a tela inicial o programa. O enereço para acesso ao programa é:

78 67 FIGURA Applet para o imensionamento e seções retangulares em concreto armao solicitaas à flexão normal simples Para efetuar algum imensionamento, evem-se fornecer os aos geométricos a seção, características o concreto e o aço, o momento fletor solicitante e os coeficientes e majoração a carga e e minoração a resistência o concreto e o aço. Os momentos fletores poem ser positivos ou negativos. Como exemplo, consiere uma viga e concreto armao com seção transversal e 20 cm e largura e 40 cm e altura teno uma seção solicitaa por um momento fletor kn.cm. Será aotao o concreto e resistência característica à compressão e 25 MPa e o aço a armaura o tipo CA-50. Inicialmente, será consieraa uma altura útil igual a 35 cm. Esta altura irá epener o iâmetro as barras e aço aotaas, a sua

79 68 isposição e a altura e cobrimento. Na etapa e esboço o etalhamento a viga o programa irá calcular a altura útil e acoro com o etalhamento aotao para comparação com a altura útil aotaa inicialmente. Após inserir os aos no programa, eve-se pressionar o botão EXECUTAR para que o imensionamento seja realizao. A entraa e aos com o resultao o imensionamento no programa está mostraa na FIGURA 4.2. Como resultao, são apresentaas as principais informações, como as áreas e armaura tracionaa As e comprimia A s bem como um resumo os cálculos efetuaos pelo programa no campo Memória e Cálculo. Neste exemplo, obteve-se a área e aço tracionaa As = 15,68 cm² e área e aço comprimia A s = 5,90 cm².

80 69 FIGURA 4.2 Exemplo e imensionamento e uma seção solicitaa à flexão normal simples. Para prosseguir ao etalhamento a seção a viga, evem-se fornecer os iâmetros as barras e aço longituinal a serem aotaas para resistir aos esforços e flexão. O iâmetro o estribo e o cobrimento a armaura são necessários para o cálculo a altura útil real bem como para o esboço o etalhamento a seção. Neste exemplo, consiere que sejam aotaas barras e aço tracionaas e 20 mm e iâmetro, barras comprimias e 16 mm, estribos e 6,3 mm e espessura e cobrimento e 3 cm. Após inserir esses aos, eve-se pressionar o botão VISUALIZAR

81 70 RESULTADOS para que seja apresentaa, em 3D, uma parte a viga incluino a seção analisaa com a armaura etalhaa, conforme ilustrao na FIGURA 4.3. FIGURA 4.3 Apresentação o etalhamento a seção a viga em 3D. Na janela e visualização a viga, são apresentaas algumas informações como a quantiae e o iâmetro as barras e aço aotaas e a altura útil calculaa e a aotaa. A quantiae e barras é calculaa com base nas áreas e aço obtias (As, As ou áreas mínimas). A informação a altura útil calculaa é importante para se comparar com aquela aotaa inicialmente nos cálculos. Se a iferença entre as uas for maior que 5%, será exibia uma mensagem para aotar um novo valor e altura útil e moo a se ter um resultao coerente com o etalhamento aotao. Neste exemplo, a altura útil aotaa foi e 35 cm e a altura útil calculaa pelo programa foi e 33,8 cm. Para

82 71 corrigir a altura útil, eve-se sair a janela e visualização os resultaos e alterar o valor a altura útil. Sempre após alterar qualquer ao e entraa no programa, evese pressionar o botão EXECUTAR. A FIGURA 4.4 ilustra o etalhamento a viga após a correção a altura útil aotaa. Observe agora que, com a reução a altura útil aotaa, houve um acréscimo as áreas e aço tracionaa e comprimia. Conseqüentemente houve um aumento o número e barras e aço na viga, gerano um novo valor e altura útil calculaa. FIGURA Apresentação o etalhamento a viga após alteração o valor a altura útil (). A parte a viga apresentaa na janela poe ser rotacionaa para uma melhor visualização as barras e aço. Pressionano-se o botão o mouse sobre a janela e visualização a viga, consegue-se rotacioná-la e, ao se pressionar qualquer outra tecla, a viga será mostraa na posição inicial.

83 72 FIGURA Apresentação o etalhamento a viga rotacionaa em 3D. O programa para imensionamento e peças solicitaas à flexão normal simples possibilita a entraa e momentos fletores positivos e negativos. Continuano o imensionamento esta mesma viga, analisa-se a seguir uma seção na qual o momento fletor atuante é igual a kn.cm. O resultao obtio será o mesmo em relação às áreas e aço tracionaas e comprimias; porém o etalhamento estas barras será o inverso em função o sinal o momento fletor, conforme ilustra a FIGURA 4.6.

84 73 FIGURA Apresentação o etalhamento e uma seção e uma viga solicitaa por momento fletor negativo. Para efetuar qualquer alteração nos aos iniciais, eve-se sempre pressionar o botão EXECUTAR para que o programa efetue os novos cálculos. 4.3 Programa para Dimensionamento e Seções Retangulares Solicitaas à Flexão Normal Composta O programa para imensionamento e peças em concreto armao solicitaas à flexão normal composta poe ser usao para o imensionamento e vigas e pilares. A FIGURA 4.7 apresenta a tela inicial o programa. O enereço para acesso ao programa é:

85 74 FIGURA Applet para o imensionamento e seções retangulares em concreto solicitaas à flexão normal composta O programa para o imensionamento e seções retangulares solicitaas à flexão normal composta é semelhante ao programa para flexão normal simples. Basicamente, a iferença entre os ois está na opção e escolha o tipo e armaura simétrica ou não simétrica. Para efetuar algum imensionamento, evem-se fornecer os aos geométricos a peça, características o concreto e o aço, o momento fletor e a força axial solicitantes e os coeficientes e majoração a carga e e minoração a resistência o concreto e o aço. A opção pelo tipo e armaura simétrica e não-simétrica irá influenciar no

86 75 etalhamento a peça. Normalmente, sugere-se que os pilares tenham armaura simétrica. Neste programa, os momentos fletores evem ser sempre positivos. Esforços axiais positivos representam forças e compressão e negativos e tração. Como exemplo, consiere os mesmos aos o exemplo apresentao no item 4.2, ou seja, uma peça e concreto armao e 20 cm e largura e 40 cm e altura solicitaa por um momento fletor kn.cm, concreto e resistência característica à compressão e 25 MPa e o aço a armaura o tipo CA-50 e altura útil igual a 35 cm. A estes aos, acrescenta-se uma força axial e compressão e 100 kn. Inicialmente, será aotaa armaura não-simétrica. Após inserir os aos no programa, eve-se pressionar o botão EXECUTAR para que o imensionamento seja realizao. A entraa e aos com o resultao o imensionamento no programa está mostraa na FIGURA 4.8. Neste exemplo, obtevese a área e aço tracionaa As = 14,07 cm² e área e aço comprimia A s = 7,51 cm². Comparano-se com o exemplo o item 4.2, observa-se que, ao aplicar uma força e compressão, a área e aço tracionaa As iminuiu e a área e aço comprimia A s aumentou.

87 76 FIGURA Exemplo e imensionamento e uma seção retangular solicitaa à flexão normal composta com armaura não-simétrica. Assim como no exemplo o item 4.2, consiere que sejam aotaas barras e aço tracionaas e 20 mm e iâmetro, barras comprimias e 16 mm, estribos e 6,3 mm e espessura e cobrimento e 3 cm. Após inserir esses aos, eve-se pressionar o botão VISUALIZAR RESULTADOS para que seja apresentaa, em 3D, uma parte a viga com a armaura etalhaa, conforme ilustrao na FIGURA 4.9.

88 77 FIGURA Apresentação o etalhamento a viga em 3D. Assim como no programa e flexão normal simples, na janela e visualização a viga, são apresentaas algumas informações como a quantiae e o iâmetro as barras e aço aotaas e a altura útil calculaa e a aotaa. Agora, consiere que a peça este exemplo seja um pilar e que se eseja aotar armaura simétrica no seu etalhamento. Nesta conição, eve-se selecionar a opção Armaura Simétrica na janela principal o programa e novamente pressionar o botão EXECUTAR. A FIGURA 4.10 ilustra os resultaos obtios.

89 78 FIGURA Exemplo e imensionamento e uma viga solicitaa à flexão normal composta com armaura simétrica. Consiere, agora, que sejam aotaas barras e aço e 20 mm e iâmetro, estribos e 6,3 mm e espessura e cobrimento e 3 cm. Após inserir esses aos e pressionar o botão VISUALIZAR RESULTADOS, será apresentaa a janela com o pilar em 3D, conforme ilustrao na FIGURA 4.11.

90 79 FIGURA Apresentação o etalhamento o pilar com armaura simétrica em 3D. Para refinar os resultaos, poe-se corrigir a altura útil aotaa para =33,8 cm conforme apresentao na janela e visualização em 3D (ver FIGURA 4.11) e recalcular. Os novos resultaos estão apresentaos na FIGURA Reuzino-se a altura útil, como era e se esperar, houve um acréscimo nas áreas e aço. Neste exemplo, no entanto, este acréscimo não foi suficiente para ter que aumentar a quantiae e barras e aço.

91 80 FIGURA Apresentação o etalhamento o pilar após alteração o valor a altura útil (). 4.4 Programa para Dimensionamento e Seções Retangulares Solicitaas ao Cisalhamento O programa para imensionamento e seções retangulares em concreto armao solicitaas ao cisalhamento poe ser usao para o imensionamento e vigas e pilares. A FIGURA 4.13 apresenta a tela inicial o programa. O enereço para acesso ao programa é:

92 81 FIGURA Applet para o imensionamento ao cisalhamento e seções retangulares em concreto armao O programa e imensionamento ao cisalhamento em seções retangulares segue a mesma filosofia apresentaa anteriormente para as situações e flexão normal simples e normal composta. A entraa e aos se inicia com as informações a geometria a seção em análise, as proprieaes o concreto e o aço utilizaos, o valor o esforço cortante na seção e os coeficientes e majoração a carga e e minoração a resistência os materiais. O imensionamento permite aina a escolha entre os Moelos I e II aotaos pela NBR 6118 (2007). Para o moelo I basta especificar o ângulo θ igual a 45º. No caso o moelo II o valor este ângulo eve estar no intervalo 30º θ < 45º.

93 82 Como exemplo, consiere os mesmos aos o exemplo apresentao no item 4.2, ou seja, uma seção e concreto armao e 20 cm e largura e 40 cm e altura solicitaa por um esforço cortante 100 kn. O concreto tem resistência característica à compressão e 25 MPa e o aço empregao é o tipo CA-50. A altura útil a seção é igual a 35 cm e eseja-se empregar o moelo I (θ igual a 45º) a NBR 6118 (2007). Após inserir os aos no programa, eve-se pressionar o botão EXECUTAR para que o imensionamento seja realizao. A entraa e aos com o resultao o imensionamento no programa está mostraa na FIGURA Neste exemplo, obtevese a área e aço para armaura transversal A sw = 6,29 cm²/m.

94 83 FIGURA Exemplo e imensionamento ao cisalhamento e uma seção retangular em concreto armao Para prosseguir com o esboço o etalhamento a seção, evem-se fornecer os iâmetros as barras a armaura longituinal, o iâmetro o estribo e a espessura o cobrimento. Estas informações são necessárias para o cálculo a altura útil real a seção. Para o exemplo em questão, foram aotaas barras e 20 mm e iâmetro para a armaura longituinal inferior, e 16 mm para a armaura superior, estribos e 6,3 mm e iâmetro e espessura e cobrimento igual a 3 cm. Após inserir esses aos, eve-se pressionar o botão VISUALIZAR RESULTADOS para que seja apresentaa em 3D,

95 84 uma parte a peça incluino a seção analisaa com a armaura etalhaa, conforme ilustrao na FIGURA FIGURA Apresentação o etalhamento a viga em 3D. Assim como nos programas e flexão, na janela e visualização a seção, são apresentaas algumas informações como o iâmetro e o espaçamento os estribos bem como a altura útil calculaa e a aotaa.