Procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes.

Transcrição

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2 Procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes. 2

3 EXEMPLOS Resultado no lançamento de um dado; Taxa de inflação do próximo mês; Resultados de loteria; Jogos. 3

4 Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 4

5 EXEMPLOS Lançamento de um dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Lançamento de duas moedas Ω = {CC, CK, KC, KK} em que C = cara e K = coroa 5

6 São subconjuntos do Espaço Amostral (Ω). Notação: A, B, C, D... evento impossível Ω evento certo 6

7 Exemplos: Considere o Ω do lançamento de um dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Alguns Eventos: A: sair uma face par A = {2, 4, 6} B: sair uma face maior que 3 B = {4, 5, 6} 7

8 Definição: p A = n(a) n(ω) Em que: p(a) = probabilidade de ocorrência do Evento A n(a) = número de casos favoráveis n(ω) = número de casos possíveis 8

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10 No lançamento de 1 dado perfeito, determine: A) probabilidade de sair um número par; B) probabilidade de sair um número primo; C) probabilidade de sair um número maior que 4; D) probabilidade de sair um número menor do que 7. 10

11 No lançamento simultâneo de 2 dados perfeitos, determine: A) probabilidade de sair uma soma par; B) probabilidade de sair uma soma igual a 7; C) probabilidade de sair uma soma que é um número primo; D) probabilidade de sair em ambos os dados números pares. 11

12 Um famoso jogo do sistema operacional Windows é o Campo Minado, em que o jogador precisa descobrir em que posições (delimitadas pelos quadrados) estão colocadas 10 minas (bombas). 12

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14 Qual a melhor opção de clique para o jogador efetuar: A) Qualquer um dos 8 quadrados que cercam o número 2 já revelado. B) Qualquer um dos 8 quadrados que cercam o número 1 já revelado. C) Qualquer um dos quadrados restantes não incluídos nas opções anteriores. 14

15 No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas e distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas: A) Pelo menos 2 caras B) Exatamente 2 caras 15

16 Consideremos todos os números naturais de 4 algarismos distintos que se podem formar com os algarismos 1, 3, 4, 7, 8 e 9. Escolhendo um deles ao acaso, qual é a probabilidade de sair um número que comece por 3 e termine por 7? 16

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18 p ഥA = 1 p(a) A ഥA U Ou seja, 100% dos casos, menos os casos que não são favoráveis.

19 No lançamento simultâneo de dois dados, vamos determinar a probabilidade de não sair soma 4. n(ω) = 36 elementos Evento A Soma 4: {(3,1), (1,3), (2,2)} p A = 3 36 = 1 12

20 Evento Complementar Não sair soma 4 p A ҧ = = p ഥA = 11 12

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22 Existência de, pelo menos, dois eventos: A e B. Sendo que a probabilidade de ocorrência de um deles depende da ocorrência do outro. p(a/b) = p(a B) p(b) restrição do número de elementos do espaço amostral (Ω)

23 Exemplo: Uma família planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de nascerem 3 filhos homens, sabendo que o primeiro que nasceu é homem? Evento A: nascer 3 homens Evento B: o 1º é homem Espaço Amostral Ω = {HHH,HHM,HMH,HMM,MMM,MMH,MHM,MHH}

24 Uma família planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de nascerem 3 filhos homens, sabendo que o primeiro que nasceu é homem? Restrição do Espaço Amostral O primeiro que nasceu é homem Evento B = {HHH,HHM,HMH,HMM} Evento A = {HHH} p A = 1 4

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26 Na ocorrência de, pelo menos, 2 eventos, podemos ter: Evento A depende da ocorrência do Evento B, ou vice-versa: Probabilidade Condicional. Evento A não depende da ocorrência do Evento B, ou vice-versa: Eventos Independentes.

27 Nesse caso, basta multiplicar as probabilidades de cada evento: p A B = p A. p(b)

28 No lançamento de 3 moedas, qual a probabilidade de obtermos 3 resultados iguais a CARA (C)? (Considere Cara: C e Coroa: K) p A B C = p A. p B. p C p A B C = = 1 8 Ou seja, apenas 1 elemento dos 8 elementos do espaço amostral é resultado favorável.

29 p A B = p A + p B p(a B) A B 29

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31 O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é a) 1 3 b) 5 12 c) d) 1 2 e) 19 36

32 Uma pesquisa sobre grupos sanguíneos ABO, na qual foram testadas pessoas, revelou que têm o antígeno A, o antígeno B e não têm nenhum antígeno. Nessas condições, qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, escolhida aleatoriamente, tenha os dois antígenos? Dica: união e interseção de eventos

33 Lança-se um par de dados não-viciados. Se a soma nos dois dados é 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles. Dica: probabilidade condicional

34 A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino é 1. Então, supondo que o casal venha a 4 ter três filhos, a probabilidade de serem exatamente dois do mesmo sexo é: a) 3 16 b) 1 16 c) 3 8 d) 1 8 e) 9 16 Dica: evento complementar

35 Gustavo e sua irmã Caroline viajaram de férias para cidades distintas. Os pais recomendam que ambos telefonem quando chegarem ao destino. A experiência em férias anteriores mostra que nem sempre Gustavo e Caroline cumprem esse desejo dos pais. A probabilidade de Gustavo telefonar é 0,6 e a probabilidade de Caroline telefonar é 0,8. A probabilidade de pelo menos um dos filhos contactar os pais é: a) 0,20 b) 0,48 c) 0,64 d) 0,86 e) 0,92

36 Um piloto de Fórmula 1 estima que suas chances de subir ao pódio numa dada prova são de 60% se chover no dia da prova, e de 20% se não chover. O Serviço de Meteorologia prevê que a probabilidade de chover durante a prova é de 75%. Nessas condições, calcule a probabilidade de que o piloto venha a subir ao pódio.

37 A figura a seguir representa uma parede quadrada na qual estão pintados discos de raio r. Se uma bola é lançada totalmente ao acaso contra a parede, a probabilidade de ela tocar fora dos discos está entre a) 14% e 16% b) 17% e 19% c) 20% e 22% d) 23% e 25% e) 26% e 28%

38 Um município de 628km² é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10km do município, conforme mostra a figura: Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente, a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40%

39 Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna. Uma jogada consiste em: 1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2; 2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão; 3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; 4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo. Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar? A) Azul. B) Amarela. C) Branca. D) Verde. E) Vermelha. Cor Urna 1 Urna 2 Amarela 4 0 Azul 3 1 Branca 2 2 Verde 1 3 Vermelha 0 4

40 Em que lugar do campo minado é melhor o jogador efetuar o próximo clique?

41 O mal funcionamento de uma das máquinas de uma indústria fez com que 10% das peças produzidas em um determinado lote apresentassem defeito. Escolhendo-se aleatoriamente cinco peças desse lote, a probabilidade aproximada de que menos de três delas apresentem esse defeito, se cada peça retirada é reposta antes de se retirar a próxima, é de a) 90% b) 91% c) 93% d) 96% e) 99%

42 Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a: a) 1/7 b) 1/3 c) 2/3 d) 5/7 e) 4/7

43 Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a: a) 0,624 b) 0,064 c) 0,216 d) 0,568 e) 0,784

44 A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.

45 Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é A) E1E3. B) E1E4. C) E2E4. D) E2E5. E) E2E6.

46 Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados Contos de Halloween. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas relações em: Divertido, Assustador ou Chato. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem. O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.

47 O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem Contos de Halloween. Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto Contos de Halloween é Chato é mais aproximada por A) 0,09. B) 0,12. C) 0,14. D) 0,15. E) 0,18.

48 A queima de cana aumenta a concentração de dióxido de carbono e de material particulado na atmosfera, causa alteração do clima e contribui para o aumento de doenças respiratórias. A tabela abaixo apresenta números relativos a pacientes internados em um hospital no período da queima da cana.

49 Escolhendo-se aleatoriamente um paciente internado nesse hospital por problemas respiratórios causados pelas queimadas, a probabilidade de que ele seja uma criança é igual a A) 0,50, o que comprova ser de grau médio a gravidade dos problemas respiratórios que atingem a população nas regiões das queimadas. B) 0,63, o que mostra que nenhum aspecto relativo à saúde infantil pode ser negligenciado. C) 0,67, o que indica a necessidade de campanhas de conscientização que objetivem a eliminação das queimadas. D) 0,75, o que sugere a necessidade de que, em áreas atingidas pelos efeitos das queimadas, o atendimento hospitalar no setor de pediatria seja reforçado.

50 O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir: Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0 a probabilidade de ela calçar 38,0 é A) 1/3 B) 1/5 C) 2/5 D) 5/7 E) 5/14

51 Um apostador tem três opções para participar de certa modalidade de jogo, que consiste no sorteio aleatório de um número dentre dez. 1ª opção: comprar três números para um único sorteio. 2ª opção: comprar dois números para um sorteio e um número para um segundo sorteio. 3ª opção: comprar um número para cada sorteio, num total de três sorteios. Se X, Y, Z representam as probabilidades de o apostador GANHAR ALGUM PRÊMIO, escolhendo, respectivamente, a 1ª, a 2ª ou a 3ª opções, é correto afirmar que: a) X<Y<Z b) X=Y=Z c) X>Y=Z d) X=Y>Z e) X>Y>Z

52 Um apostador tem três opções para participar de certa modalidade de jogo, que consiste no sorteio aleatório de um número dentre dez. 1ª opção: comprar três números para um único sorteio. 2ª opção: comprar dois números para um sorteio e um número para um segundo sorteio. 3ª opção: comprar um número para cada sorteio, num total de três sorteios. Escolhendo a 2ª opção, a probabilidade de o apostador NÃO GANHAR em qualquer dos sorteios é igual a: a) 90% b) 81% c) 72% d) 70% e) 65%

53 José Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão, de modo independente, entre meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, meio hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho. Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e representando os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR a seguir indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y):

54 Segundo o combinado, para que José e Antônio viajem juntos, é necessário que y x 1/2 ou que x y ½. De acordo com o gráfico e nas condições combinadas, as chances de José e Antônio viajarem juntos são de: a) 0 % b) 25 % c) 50 % d) 75 % e) 100 %

55 Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante três fichas voltadas para baixo, estando representadas em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas a seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$200,00. A probabilidade de o PARTICIPANTE não ganhar qualquer prêmio é igual a: a) 0 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/2 e) 1/6

56 Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante três fichas voltadas para baixo, estando representadas em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas a seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$200,00. A probabilidade de o CONCORRENTE ganhar exatamente o valor de R$400,00 é igual a: a) 0 b) 1/3 c) 1/2 d) 2/3 e) 1/6

57 Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das ilhas de calor da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:

58 Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é A) 1 5 B) 1 4 C) 2 5 D) 3 5 E) 3 4

59 Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b? A) 4/27 B) 11/54 C) 7/27 D) 10/27 E) 23/54

60 O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? A) 2 (0,2%) 4 B) 4 (0,2%)² C) 6 (0,2%)² (99,8%)² D) 4 (0,2%) E) 6 (0,2%) (99,8%)

61 A maioria dos sistemas informatizados é protegida por senhas, sendo usual o sistema bloquear o acesso quando ocorrem três tentativas de acesso, com fornecimento de senha incorreta. Pedro esqueceu a senha do computador que usa na casa de sua avó, chamada JOAQUINA. Porém, lembra-se que a senha é um anagrama do nome de sua avó, começando com A. Supondo que Pedro faça as suas tentativas, fornecendo anagramas distintos que começam com A, a probabilidade de Pedro ter acesso ao computador com 1, 2 ou 3 tentativas, sem que o sistema bloqueie seu acesso, é igual a: A) 1 7! + 1 7! + 1 7! B) 1 7! + 1 (7! 1) + 1 (7! 2) C) 1 7!. 1 6!. 1 5! D) 1 7!. 1 7!. 1 7!