PREVISÃO DE RESULTADOS EM PARTIDAS DE FUTEBOL

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1 PREVISÃO DE RESULTADOS EM PARTIDAS DE FUTEOL Marcelo Leme de Arruda Unversdade Federal do Ro Grande do Norte Semana de Estatístca 03

2 Modelos de Prevsão Ingredentes: Representação paramétrca Descrção matemátca da probabldade de um dado resultado ou placar "Equação das probabldades" Método de estmação Forma de obtenção dos parâmetros da "equação das probabldades" a partr de dados e nformações reas

3 Modelos de Prevsão Ingredentes: 3 Análse de Qualdade Quão "bom" é o modelo? Atrbutos de qualdade Meddas de qualdade Valores de referênca

4 Representação Paramétrca Estem duas formas abordagens de representação paramétrca: * Representação para o RESULTADO: Pvtóra Pempate Pderrota * Representação para o PLACAR do jogo: P00 P0 P0 P0 P P P0 P P

5 Representação Paramétrca Representação para o RESULTADO Váras podem ser formuladas, mas a mas conhecda é a Representação de radley- Terry: p, j P vencer j Eemplo: jogo A com 4 e 5 A j 4 então: p A, e 9 p, A 5 9

6 Representação Paramétrca Construção de radley-terry Embora seja etremamente ntutva, a Representação de radley-terry pode ser matematcamente construída a partr da Dstrbução de Gumbel também conhecda como Dstrbução de Valores Etremos. Defnção: dz-se que X ~ Gumbelµ, β se: f ep β µ β e µ β

7 Representação Paramétrca Construção de radley-terry então: F P X e µ e β Consderemos agora que cada tme tem um escore latente S "escore latente" sgnfca um placar não-observável mas que ndretamente defne o vencedor eemplo: adrez. Suponhamos então que o tme tem um escore latente S que segue uma Dstrbução de Gumbel com parâmetros β e µ log.

8 Representação Paramétrca Construção de radley-terry então: F s P S s e slog e Assm, o resultado de um jogo entre dos tmes e j pode ser representado por uma varável aleatóra S S. j E pode-se mostrar que essa varável tem dstrbução de probabldade F δ P ln ln j δ j e

9 Representação Paramétrca Construção de radley-terry e, por fm, que a probabldade de vtóra do tme contra o tme j é gual a: P vencer j P e > 0 ln ln j P 0 j

10 Representação Paramétrca radley-terry - Observações A formulação padrão de radley-terry se aplca somente a confrontos smples onde não este a possbldade de empate eemplo: adrez - Rankng Elo. Porém, estem adaptações / epansões que contemplam: * Possbldade de empate; * Efeto "vantagem do prmero jogador" jogar com as brancas, jogar no seu própro campo etc.; * Margem de vtóra * etc.

11 Representação Paramétrca Representação para o PLACAR Váras podem ser formuladas, mas a mas usual é a Dstrbução de Posson, ou seja, se X é o número de gols marcados por um tme num dado jogo, então: e P X P marcar gols! Eemplo: se E[X],8 ou seja, se. o tme "marca em méda,8 gol por jogo", então a probabldade de ele marcar 3 gols é: P X 3 e,8,8 3! 3 0,6

12 Representação para o PLACAR MAS... pode-se consderar que E[X] e PX dependam da força do adversáro. Por sso, uma representação mas adequada pode ser a Dstrbução de Holgate:, mn 0!!!, y y y e y Y X P Representação Paramétrca

13 Representação Paramétrca Construção da Holgate Assm como vmos com a Representação de radley-terry, a Dstrbução de Holgate também tem sua razão de ser. Consderemos três varáves ndependentes P, P e P, com dstrbuções de Posson: P ~ Posson P ~ Posson P ~ Posson

14 Representação Paramétrca Construção da Holgate E defnamos X e Y da segunte forma: X P P Y P P Então, a Dstrbução de Holgate é a dstrbução do vetor X,Y, ou seja: P X, Y y P P P, P P y Notem que é a presença comum de P nas epressões de X e Y que provoca a dependênca entre as duas varáves.

15 Estmação dos Parâmetros Estem város modos possíves para estmar obter os parâmetros de uma representação: * Máma Verossmlhança * Mínmos Quadrados Modelos Lneares * Estmação ayesana / Métodos Iteratvos * Estmação dreta * etc.

16 Estmação dos Parâmetros Máma Verossmlhança É a procura, dentre todos os valores possíves que os parâmetros podem assumr, daqueles que mamzam a probabldade de ocorrênca dos resultados observados. Eemplo - radley-terry: N N n p j, L n j j j j j verossmlhança de um jogo verossmlhança total

17 Máma Verossmlhança Eemplo numérco - radley-terry: Estmação dos Parâmetros D A D C D C A A D C C A A L Então, a verossmlhança total para esses jogos é: A vence A vence C vence C C vence D vence D D vence A D A C D C A D C A D C A

18 Máma Verossmlhança Estmação dos Parâmetros ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln D A C D C A D C A D C A l e portanto a log-verossmlhança total é: Por fm, calculando-se as dervadas e gualando-as a zero: D C A l l l l

19 Estmação dos Parâmetros Máma Verossmlhança chegamos a equações do tpo: A A A C A D 0 Em geral, não há solução analítca para essas equações, mas estem métodos numércos faclmente programáves e através dos quas podemos encontrar: ˆ ˆ A 0,45 0,45 ˆ ˆ C D 0,5 0,5

20 Máma Verossmlhança Estmação dos Parâmetros Observação : a solução das equações não é únca! Para perceber sso, basta notar que, se A,, C e D são soluções estmadores de MV, então A A A A A k k k L D C C D C C CD k k k L e k A, k, k C e k D também são EMV. etc.

21 Estmação dos Parâmetros Máma Verossmlhança O que se costuma fazer é escolher k de forma que a soma dos parâmetros seja gual a : ˆ ˆ ˆ ˆ A C D 0,45 0,45 0,5 0,5 ˆ A ˆ ˆ C ˆ D, k, ˆ ˆ A 0,375 0,375 ˆ ˆ C D 0,5 0,5

22 Estmação dos Parâmetros Máma Verossmlhança Observação Posson Holgate: Eemplo Tme A 3 Tme L e 0 3 3!!! Essa epressão é geralmente mpratcável de se dervar e gualar a zero. Se consderamos a verossmlhança total para um conjunto de jogos, é anda mas nvável obter analtcamente os EMV.

23 Estmação dos Parâmetros Mínmos Quadrados Consste em tratar os parâmetros como váráves dependentes de nformações observadas varáves eplcatvas: θ L ε Esse parâmetro θ pode ser: * o de radley-terry do tme ; * o da Posson de um tme ; * uma função dos s de Posson dos dos adversáros do jogo ; * etc. k k

24 Estmação dos Parâmetros Mínmos Quadrados A forma padrão de estmação dos θ é a mnmzação dos erros quadrátcos: ε θ L k k Ε [ θ L k k ] Os estmadores de mínmos quadrados são, então, as soluções das equações erro ndvdual erro quadrátco total Ε 0 Ε 0 etc.

25 Estmação dos Parâmetros Mínmos Quadrados e, a partr das estmatvas ˆ, ˆ etc., podemos calcular ˆ θ ˆ L ˆ ˆ k k Observações: * Vantagem dos MQ sobre os EMV: podemos embutr nos qualquer fator de nteresse, nclusve relações de dependênca entre tmes adversáros. Um eemplo numérco, nclusve dsso será vsto mas à frente, no estudo de caso.

26 Estmação dos Parâmetros Mínmos Quadrados Observações: * MQP Mínmos Quadrados Ponderados: alternatva que dfere dos MQO MQ Ordnáros por permtr nclusão de pesos dade do jogo, mportânca do campeonato etc.: Ε w [ θ L k k] * A abordagem até aqu analsada é de Regressão Lnear Múltpla. Mas estem modelos baseados em abordagens mas compleas, como Regressão Logístca, GLM etc.

27 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Métodos Iteratvos: os parâmetros são dretamente atualzados, a partr dos seus valores anterores e dos resultados ou placares efetvamente observados. Eemplo hpotétco - a probabldade de o tme X marcar g gols é: P G e g g Posson g! e o valor de é atualzado por k 0, k 0, 8 valor atualzado de para o jogo k valor orgnal de para o jogo k gols marcados no jogo k g k

28 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo numérco: Suponhamos que k 3,5 e que o tme marcou gols nesse jogo g k. então, o valor do parâmetro para o prómo jogo será k 0, 3,5 0,8,3

29 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo real - Rankng Elo de Seleções onde P X vencer Y radley-terry y 0 0 θ 00 / 400 θ / 400 se a seleção X caso contráro jogar em casa y é defndo de modo análogo

30 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo real - Rankng Elo de Seleções S o resultado observado da seleção X se a seleção X vencer 0,5 se a seleção X empatar 0 se a seleção X perder S e resultado esperado da seleção X P tme X ganhar 0 P tme X perder y 0 y y y

31 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Então: ' θ θ K S S Eemplo numérco: o e Constante que depende da competção e da dferença de gols a favor de X. valor orgnal antes do jogo contra Y de θ valor atualzado após o jogo contra Y de θ Suponhamos que, ncalmente, θ 800 então, gnorando o efeto "jogar em casa": θ 0 /

32 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo numérco: Suponhamos também que y 5 então, o resultado esperado de X é S e P tme y X ganhar y 0 y 0 P tme ,8 X perder supondo agora que o tme X ganhe o jogo contra o tme Y ou seja: S o, temos:

33 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo numérco: ' θ θ K So Se 800 K 0,8 Para jogos de Copa do Mundo e gnorando a dferença de gols, K 60 e, portanto, os valores atualzados de θ e seram: ' θ ,8 8 θ / 400 e 0 07, 5

34 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Estmação ayesana: atrbução de uma dstrbução de probabldades aos parâmetros pror e atualzação dessa dstrbução em função das nformações observadas verossmlhança. Notação: θ f θ - dstrbução a pror do parâmetro θ - dstrbução verossmlhança de, condconal ao valor de θ. θ - dstrbução a posteror de θ, condconal ao valor de.

35 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Dstrbução a Posteror: θ Θ θ θ f θ f θ dθ θ "probabldade" pror de θ assumr um determnado valor. f θ "probabldade" verossmlhança de observar o valor, em função do valor de θ.

36 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Dstrbução a Posteror: θ Θ θ θ f θ f θ dθ θ "probabldade posteror de θ assumr um dado valor, atualzada pelo valor observado de. Θ θ f θ dθ constante de normalzação

37 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo: Verossmlhança: e f P X!.e. o número X de gols marcados segue uma Posson com méda Pror: β Γ e β.e. a méda segue uma dstrbução Gama com parâmetros e β

38 Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo: Estmação dos Parâmetros Posteror: MAS: Posson e Gama são Dstrbuções Conjugadas, o que faclta a obtenção da posteror, sem necessdade de calcular a ntegral do denomnador. Γ Γ 0!! β β β β d e e e e f

39 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo: Posteror: β Γ e β.e. depos da observação do valor, a méda segue uma dstrbução atualzada Gama com parâmetros e β

40 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Como calcular PX para o prómo jogo? Estem três abordagens: * Dstrbução f com parâmetro gual à Esperança a posteror de. * Dstrbução f com parâmetro gual à Moda a posteror de. * Dstrbução Predtva: 0 DP P d o

41 Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo: Estmação dos Parâmetros Posteror: β β Γ e o o o o * Esperança a posteror: ] [ β o o E! a e X P o o β β

42 Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo: Estmação dos Parâmetros Posteror: * Moda a posteror: ] [ β o o Moda! a e X P o o β β β β Γ e o o o o

43 Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo: Estmação dos Parâmetros Posteror: * Dstrbução Predtva β β Γ e o o o o Γ β β d e e DP o o o!

44 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo: Novamente, o fato de Posson e Gama serem Dstrbuções Conjugadas, faclta o trabalho e elmna a necessdade de calcular a ntegral: * Dstrbução Predtva nomal Negatva: DP o β o β

45 Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo numérco: Estmação dos Parâmetros Verossmlhança Posson: β β Γ e e! e X P f Pror para Gama com β :

46 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo numérco: Suponhamos que o tme marcou gols, ou seja, fo observado o. então: A posteror para será uma Gama com parâmetros o 3 e β : o β β e 4 e Γ

47 Estmação dos Parâmetros Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Eemplo numérco: Por fm: * Esperança a posteror: 3 E[ 0 ],5 P X e,5,5! * Moda a posteror: Moda[ 0 ] P X e!

48 Estmação ayesana e Métodos Iteratvos Estmação dos Parâmetros * Dstrbução Predtva nomal Negatva o o DP β β Obs: os modelos teratvos e bayesanos reas são, em geral, bem mas compleos que os eemplos aqu apresentados. Eemplo numérco:

49 Estmação dos Parâmetros Estmação Dreta Utlzação dreta de nformações descrtvas eternas e pré-estentes. Eemplo: R pontos da seleção X no Rankng da FIFA R y pontos da seleção Y no Rankng da FIFA P R X vencer Y radley-terry R Ry PROLEMA: as nformações utlzadas como parâmetros não necessaramente guardam coerênca concetual com as probabldades.

50 3 Verfcação de Qualdade * Análse Anteror Aprecação qualtatva das característcas da construção do modelo. * Análse Posteror Avalação quanttatva dos resultados predtvos obtdos pelo modelo Índces de confronto entre prevsões realzadas probabldades e resultados efetvamente observados.

51 3 Verfcação de Qualdade Análse Anteror Pergunta: o que o modelo faz, faz sentdo? Eemplo Rankng FIFA radley-terry: P X vencer Y P Y vencer X R R R R R PORÉM: o método de cálculo do Rankng FIFA não mplca que uma seleção com k vezes a pontuação de outra, tenha uma probabldade de vtóra gual a k vezes a de derrota! y R y y R R y

52 3 Verfcação de Qualdade Análse Posteror Se basea em duas meddas/atrbutos: A Medda de Confabldade Idéa básca: de uma moeda que tenha Pcara 80% e Pcoroa 0%, esperase observar, no longo prazo, 80% de caras e 0% de coroas. Nesse caso, teríamos: MC # caras # jogadas 0,8 # coroas # jogadas 0,

53 3 Verfcação de Qualdade Medda de Confabldade Em termos futebolístcos: onde: MC p # VO p # VP p # EO # EP p p # DO # DP p p p # VP # EP # DP quantdade de resultados p p p vtóras, empates e derrotas que tnham probabldade p de ocorrer # VO # EO # DO quantos desses resultados p p p efetvamente aconteceram

54 3 Verfcação de Qualdade Medda de Confabldade Observação: Probabldades são números reas. Por sso, costuma-se trabalhar com ntervalos: onde: MC I # VOI # EO # VP # EP I I I # DO # DP # VP I # EPI # DPI quantdade de resultados V, E, D cujas probabldades de ocorrênca estavam dentro do ntervalo I # VO I # EOI # DOI quantos desses resultados efetvamente aconteceram I * centro do ntervalo I I I I *

55 3 Verfcação de Qualdade Medda de Confabldade Eemplo numérco ste Chance de Gol: I I* #P #O [0 ; 0,] 0, , 0,005 [0, ; 0,] 0, ,30 0,0065 [0, ; 0,3] 0, ,355 0,0 [0,3 ; 0,4] 0, ,44 0,008 [0,4 ; 0,5] 0, , [0,5 ; 0,6] 0, ,540 0,000 [0,6 ; 0,7] 0, ,603 0,00 [0,7 ; 0,8] 0, ,676 0,0055 [0,8 ; 0,9] 0, ,77 0,0050 [0,9 ; ] 0, ,88 0,0046 # O # P I I # OI I # PI MC Soma 0,0483 *

56 3 Verfcação de Qualdade Medda de Confabldade Interpretação Gráfca ste Chance de Gol: 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 dagonal azul proporções esperadas I * lnha vermelha proporções observadas #OI/#PI

57 3 Verfcação de Qualdade Medda de Confabldade Interpretação Gráfca ste Chance de Gol: 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 MC dstânca entre as lnhas azul e vermelha conseqüentemente: melhor MC possível 0

58 3 Verfcação de Qualdade Análse Posteror Medda de DeFnett É uma medda de eatdão das prevsões. Idéa básca: confronto entre o vetor de probabldades prevsões PV, PE, PD e o vetor correspondente ao resultado de fato observado:, 0, 0 se o tme ganhou o jogo; 0,, 0 se o tme empatou o jogo; 0, 0, se o tme perdeu o jogo.

59 3 Verfcação de Qualdade Medda de DeFnett Todos os vetores PV, PE, PD possíves podem ser assocados a pontos do smple trângulo em R 3 :,0,0 vtóra. PV, PE, PD 0,,0 empate 0,0, derrota

60 3 Verfcação de Qualdade Medda de DeFnett Então, a Dstânca de DeFnett é a dstânca quadrátca entre o pontos correspondentes à prevsão realzada e ao resultado ocorrdo: DDF PV PV PV 0 0 PE PE PE 0 0 PD PD PD 0 0 se vencer; se empatar; se perder. E a Medda de DeFnett é a méda artmétca das Dstâncas de DeFnett para todos os jogos consderados.

61 3 Verfcação de Qualdade Medda de DeFnett Valores de Referênca: * Melhor DDF possível: * "Preguçoso": magne um modelo que sempre atrbua probabldades /3, /3, /3, para todos os jogos possíves. então, para esse modelo: MDF ,6667 Logo, é mas convenente, mas rápdo, mas barato etc. usar o "modelo preguçoso" do que um modelo que tenha DDF > 0,6667.

62 3 Verfcação de Qualdade Análse Posteror C "Taa de Funconamento" Quantas vezes proporconalmente o modelo produz valores nadequados. Eemplo: radley-terry "TF" proporção de vezes em que foram estmados valores postvos para. Eemplo: nomal Negatva "TF" proporção de vezes em que foram estmados valores de p entre 0 e.

63 3 Verfcação de Qualdade Análse Posteror D "Taa de Acerto" MITO! Quantas vezes proporconalmente o modelo "acertou" o vencedor dos jogos. observação : tudo o que tem probabldade 95% de acontecer, tem 5% de não acontecer. observação : se um tme tem probabldade de 5% de vtóra, então a hpótese de esse tme ganhar o jogo está contemplada e medda em 5%. PORTANTO, não é correto utlzar a "taa de acerto" como medda de qualdade.

64 3 Verfcação de Qualdade Análse Posteror D "Taa de Acerto" MITO! Eemplo: tme X tme Y Modelo I Modelo II Pvtóra de X 0,90 0,35 Pempate 0,06 0,33 Pvtóra de Y 0,04 0,3 Suponha que o tme Y tenha vencdo o jogo. Então, os dos modelos teram "TA" 0. Mas, claramente, I "errou muto mas" que II.

65 4 - Estudo de Caso: Chance de Gol Dstrbuções de Posson unvaradas,.e., para um jogo entre os tmes e j: Representação Paramétrca:! g e g G P g! g e g G P g j j j G número de gols marcados pelo tme G j número de gols marcados pelo tme j

66 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Estmação dos Parâmetros Funções a serem estmadas: D j E[ G G ] j j S j quanto o tme é "melhor que o j E[ G G ] j j "poder ofensvo conjunto dos dos tmes A partr dessas funções D j e S j, pode-se obter os de cada tme: S D j j j S D j j

67 Estmação dos Parâmetros Equações de estmação regressão: 4 Estudo de Caso: Chance de Gol k Nk N k k k k Nk N k k k Y Y Y D X X X S ε β β β ε K K S k soma de gols no k-ésmo jogo X k se o tme partcpou do k-ésmo jogo; 0 se não partcpou,,..., N são hperparâmetros a serem estmados

68 Estmação dos Parâmetros Equações de estmação regressão: 4 Estudo de Caso: Chance de Gol k Nk N k k k k Nk N k k k Y Y Y D X X X S ε β β β ε K K D k dferença de gols no k-ésmo jogo Y k se o tme fo "mandante" β, β,..., β N são hperparâmetros a serem estmados - se fo "vstante" 0 se não partcpou do k-ésmo jogo

69 Estmação dos Parâmetros Aplcando a essas equações técncas de análse de regressão múltpla, obtemos os estmadores de mínmos quadrados 4 Estudo de Caso: Chance de Gol N β N β β ˆ,, ˆ, ˆ ˆ,, ˆ, ˆ K K e que são aqueles que mnmzam os erros quadrátcos ] [ Nk N k k k k X X X S ε K ] [ Nk N k k k k Y Y Y D β β β ε K

70 Estmação dos Parâmetros Então, a partr de 4 Estudo de Caso: Chance de Gol N β N β β ˆ,, ˆ, ˆ ˆ,, ˆ, ˆ K K e Suponhamos agora que o prómo jogo o k-ésmo seja entre os tmes e j. j k N N k k k j k N N k k k Y Y Y D X X X S β β β β β ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,,,,,, K K podemos calcular e, conseqüentemente: ˆ ˆ ˆ k k D S ˆ ˆ ˆ k k j D S e

71 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Eemplo Numérco Campeonato hpotétco: Jogo - Tme A 3 Tme Jogo - Tme C 5 Tme D Jogo 3 - Tme A 40 Tme C Jogo 4 - Tme Tme D Jogo 5 - Tme A 0 Tme D Queremos calcular as probabldades para o Jogo 6 - Tme Tme C

72 Eemplo Numérco Campeonato hpotétco: 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Jogo - Tme A 3 Tme Jogo - Tme C 5 Tme D Jogo 3 - Tme A 40 Tme C Jogo 4 - Tme Tme D Jogo 5 - Tme A 0 Tme D Então, temos, para a prmera equação de regressão: X S

73 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Eemplo Numérco Campeonato hpotétco: Jogo - Tme A 3 Tme Jogo - Tme C 5 Tme D Jogo 3 - Tme A 40 Tme C Jogo 4 - Tme Tme D Jogo 5 - Tme A 0 Tme D que é "equvalente" a "soluconar" o sstema de equações Tme A Tme C Tme A Tme Tme A Tme Tme D Tme C Tme D Tme D 5 6 4

74 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Jogo - Tme A 3 Tme Jogo - Tme C 5 Tme D Jogo 3 - Tme A 40 Tme C Jogo 4 - Tme Tme D Jogo 5 - Tme A 0 Tme D Analogamente, para a segunda equação de regressão: D Y Eemplo Numérco Campeonato hpotétco:

75 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Eemplo Numérco Campeonato hpotétco: Jogo - Tme A 3 Tme Jogo - Tme C 5 Tme D Jogo 3 - Tme A 40 Tme C Jogo 4 - Tme Tme D Jogo 5 - Tme A 0 Tme D que é "equvalente" a "soluconar" o sstema de equações β β β β β Tme A Tme C Tme A Tme Tme A β β β β β Tme Tme D Tme C Tme D Tme D 4 4 0

76 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Eemplo Numérco Calculando-se os estmadores de mínmos quadrados, encontramos: ˆ ˆ ˆ ˆ Tme A Tme Tme C Tme D,5,5 4 0,75 de onde obtemos: ˆ β ˆ β ˆ β ˆ β Tme A Tme Tme C Tme D 0,5 0 0,5 0,875 Eˆ [ G G ],5 0,5 4 0,75 0 C 6,5 Eˆ [ G G ] 0, ,5 0,875 0 C 0,5

77 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Eemplo Numérco Por fm: ˆ Eˆ[ G GC ] Eˆ[ G GC ] 6,5 0,5 ˆ Eˆ[ G GC ] Eˆ[ G GC ] 6,5 0,5 C 3,5 3 e, conseqüentemente: P G b e 3,5 3,5 b! b P G C c e 3 3 c! c

78 Cálculo de PV, PE e PD 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Como calcular PV, PE e PD? b C C b G P b G P G G P P empate > > c b C c c G P b G P G G P P de vtóra < < c b C c c G P b G P G G P C P de vtóra PORÉM, não este fórmula fechada para as duas prmera somas.

79 Cálculo de PV, PE e PD 4 Estudo de Caso: Chance de Gol * Dstrbução de Skellam: C d d C C C I e d G G P / 0 empate C G G P P então: > > 0 0 de vtóra d C c d G G P G G P P < < 0 0 de vtóra d C c d G G P G G P C P

80 Cálculo de PV, PE e PD 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Então, a probabldade de empate pode ser calculada de forma eata: C C I e P ˆ ˆ empate 0 ˆ ˆ N d C d d C C I e P / ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ de vtóra e as probabldades de vtóra de cada tme podem ser apromadas pelas somas: / ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ de vtóra N d C d d C C I e C P

81 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Cálculo de PV, PE e PD * Retângulo Truncado: então, podem ser fetas as apromações: Pempate soma da dagonal Pvtóra de soma do trângulo superor Pvtóra de C soma do trângulo nferor

82 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Eemplo Numérco ˆ 3,5 ˆ 3 Então, lembrando que e C e fazendo as somas pela dstrbução de Skellam truncada entre -0 e 0, chegamos às probabldades Pvtóra de 0,498 Pempate 0,57 Pvtóra de C 0,345

83 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Eemplo Numérco Após a realzação do jogo, o mpacto dessas probabldades na Medda de Confabldade será: * Soma de ao denomnador da parcela referente ao ntervalo [0,4 ; 0,5]; * Soma de ao numerador se o tme vencer o jogo e de 0 em caso contráro. * Soma de ao denomnador da parcela referente ao ntervalo [0, ; 0,]; * Soma de ao numerador se o tme empatar o jogo e de 0 em caso contráro.

84 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Eemplo Numérco Após a realzação do jogo, o mpacto dessas probabldades na Medda de Confabldade será: * Soma de ao denomnador da parcela referente ao ntervalo [0,3 ; 0,4]; * Soma de ao numerador se o tme perder o jogo e de 0 em caso contráro.

85 4 Estudo de Caso: Chance de Gol Eemplo Numérco Após a realzação do jogo, o mpacto dessas probabldades na Medda de DeFnett será: DDF 0,498 * se o tme vencer o jogo; 0,57 0 0, ,396 DDF 0,498 0 * se o tme empatar o jogo; 0,57 0,345 0,078 DDF 0, ,57 * se o tme perder o jogo. 0 0,345 0,70

86 5 Comentáros Fnas Modelos sufcentemente "bons" no sentdo da análse anteror podem proporconar a formação de rankngs. Rankngs Paramétrcos Eemplo: radley-terry j j P j P j j j j é melhor que derrotar derrotar > > >

87 Rankngs Paramétrcos Eemplo: Chance de Gol 5 Comentáros Fnas j G G P G G P G E G E G G E j j j j j é melhor que ] [ ] [ 0 ] [ < > > > > > β β Portanto, os tmes podem ser tecncamente ranqueados em função dos seus parâmetros radley-terry ou β Chance de Gol.

88 5 Comentáros Fnas Resultados Placares Eemplo play-off de cnco jogos: Tme M 0 Tme N Tme M 0 Tme N Tme M 0 Tme N Tme M 0 Tme N Tme N 70 Tme M Modelos baseados em resultados: 4 vtóras do Tme M contra do Tme N portanto, o Tme M é "melhor".

89 5 Comentáros Fnas Resultados Placares Eemplo play-off de cnco jogos: Tme M 0 Tme N Tme M 0 Tme N Tme M 0 Tme N Tme M 0 Tme N Tme N 70 Tme M Modelos baseados em placares: "placar agregado" de 74 para o Tme N portanto, o Tme N é "melhor".

90 5 Comentáros Fnas Áreas para Estudos Futuros * Modelos "ntermedáros" que conclem "placar" e "resultado"; * Modelos que levem em consderação os jogadores desfalques, reforços etc.; * Modelos de comparação hstórca Hungra de 954 rasl de 970, Santos de Pelé arcelona de Mess etc.

91 Seção COMO TUDO FUNCIONA