Palavras-chave: conhecimento matemático do professor, formação de professores, divisão de números inteiros, número racional.

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1 A EMERGÊNCIA DO NÚMERO FRACIONÁRIO NO CONTEXTO DA DIVISÃO DE INTEIROS: UM CONTRIBUTO PARA O CONHECIMENTO MATEMÁTICO DE FUTUROS PROFESSORES DOS 1.º E 2.º CICLOS DO ENSINO BÁSICO Graciosa Veloso graciosav@eselx.ipl.pt Escola Superior e Eucação e Lisboa Resumo Este texto tem como propósito contribuir para a valorização, no seio a Eucação Matemática, o esenvolvimento o conhecimento matemático os futuros professores os 1.º e 2.º ciclos, no contexto a formação inicial. Foco-me na emergência o número fracionário no contexto a ivisão e números inteiros com a preocupação e aprofunar o sentio e número racional e a compreensão a ivisão, conceitos estruturantes o programa e Matemática o Ensino Básico. O tópico programático Números racionais, além e ter funamental importância no esenvolvimento matemático os alunos o Ensino Básico, representa para muitos estuantes, futuros professores, uma grane ificulae conceptual e iática. Justifica-se, portanto, que continue a ser-lhe aa muita atenção na formação inicial, além o esenvolvimento e estuos a ele inerentes. Com um exemplo e meia e uma graneza, contextualizo a necessiae e criar o número fracionário e ientifico o problema aritmético a ela associao. Assim, partino e situações e partilha equitativa e e meia que envolvem variáveis iscretas para enquarar a operação ivisão como moelo matemático, apresento a evolução o conceito e número ligaa à superação a impossibiliae e, no universo os números inteiros, eterminar o quociente e um ivieno que não é múltiplo o ivisor. O conceito e número fracionário aparece como instrumento a superação e ligao ao significao e fração enquanto quociente. Se este artigo contribuir para uma aequaa articulação entre o esenvolvimento os conhecimentos matemático e iático tão necessário ao ensino a Matemática satisfará o principal objetivo que me propus atingir. Palavras-chave: conhecimento matemático o professor, formação e professores, ivisão e números inteiros, número racional. Introução A formação inicial e professores os 1.º e 2.º ciclos, em particular a relativa à componente matemática, tem um papel relevante aa a importância que o ensino tem na qualiae as aprenizagens as crianças. Um bom ensino requer o professor iversos tipos e conhecimento, nomeaamente, o relativo à isciplina conhecimento matemático, o iático e o curricular. 73

2 As recomenações quanto à formação matemática estes futuros profissionais expressas por Albuquerque et al. (2008) enfatizam a importância o esenvolvimento a compreensão aprofunaa a matemática que se vai ensinar, o conhecimento a natureza esta ciência e a capaciae e continuar a aprener. O Programa e Matemática o Ensino Básico (ME, 2007) preconiza que, à semelhança o que acontece noutros países, o esenvolvimento o sentio e número racional se inicie no 1.º ano e escolariae e prossiga ao longo e toa a escolariae básica. O sentio este tipo e número envolve conceitos e relações matemáticas estruturantes que importa trabalhar no processo e ensino aprenizagem, tais como os conceitos e ivisão e e número fracionário. Estuantes, futuros professores, revelam granes ificulaes e conceções erróneas em aspetos essenciais inerentes a estes conceitos como ilustra, por exemplo, Serrazina et al. (no prelo). O principal objetivo este artigo é o e contribuir para o esenvolvimento o conhecimento matemático necessário ao ensino o tópico programático Números Racionais os 1.º e 2.º ciclos, através a iscussão o problema a ivisão e um número inteiro qualquer por outro número inteiro não nulo. A expressão número inteiro esigna qualquer número natural e o zero. O corpo o artigo esenvolve-se em uas secções: Enquaramento teórico e Construção e número fracionário no contexto a ivisão e inteiros. Na primeira secção, apresento a funamentação o conteúo a seguna, no âmbito o conhecimento matemático, e seguiamente estaco os princípios a evolução a Matemática presentes no processo e construção o Campo Racional. A outra secção inicia-se com o esenvolvimento matemático a ivisão e um número inteiro por um os seus ivisores; e seguia, apresento a ivisão inteira entre ois números inteiros em que o ivieno é maior e não múltiplo o ivisor e mostro que a ivisão efinia anteriormente é um caso particular esta. Finalmente, iscuto como é que a criação e número fracionário vem ajuar a ultrapassar barreiras críticas existentes nas uas efinições anteriores, manteno, embora, as proprieaes a ivisão e a ivisão inteiras. Enquaramento teórico A minha experiência e ocência em Escolas Superiores e Eucação tem-se esenvolvio na lecionação e uniaes curriculares com conteúos matemáticos, 74

3 iáticos (a Matemática) e em supervisão e práticas e ensino. Esta iversiae tem constituío um esafio sistemático à esejável articulação entre as componentes e conhecimento matemático e e conhecimento iático, trauzio na organização e propostas e e materiais que contribuam para uma boa articulação entre a experiência matemática e respetiva reflexão constituintes essenciais a formação matemática os estuantes. Na procura e respostas a este esafio tenho-me eparao com a ificulae sistemática e localizar textos matemáticos acessíveis aos estuantes. Os textos relativos ao tema Números e Operações, e matemáticos portugueses e referência, concretamente excertos e Caraça (2002), têm-se revelao e compreensão ifícil para a generaliae os estuantes que tenho orientao. Nas outras áreas e formação existem materiais e apoio, contrariamente ao que acontece, aina, na área o conhecimento matemático orientao para o ensino. Relativamente ao esenvolvimento e sentio e número racional, existe já, na área a eucação matemática, literatura e referência, especificamente a referia em Monteiro e Pinto (2005). O mesmo não acontece relativamente ao aprofunamento matemático, persistino a necessiae e organização e proução quer e textos e estuo esses tópicos matemáticos quer sobre a matemática. Conhecimento matemático para ensinar Na área científica a Eucação Matemática há a eviência e que o conhecimento para o ensino a isciplina requer uma conexão consistente e profuna entre componentes iversas, a área científica a isciplina, a iática e a curricular, conforme passo a expor. Seguno Shulman (1986), o conhecimento necessário a um professor para ensinar abrange três imensões: o conteúo matemático propriamente ito, que contempla o conhecimento e e sobre a Matemática; o iático, relativo à aprenizagem e ao ensino (no sentio e saber como aprenem os alunos e em conhecer aspetos necessários à orientação as aprenizagens); e o curricular referente aos programas e ensino, nomeaamente ao processo e articulação horizontal e vertical os conteúos, os materiais e apoio, entre os quais os manuais escolares. Ball (1990), Ball, Hill, & Bass (2005) esenvolveram a caracterização feita pelo autor anterior apresentano o conceito e conhecimento especializao para o ensino a Matemática, sustentano esta esignação na articulação entre os conhecimentos matemático e peagógico. 75

4 Ma (1999) eviencia a istinção entre conhecimento proceimental e compreensão em profuniae a matemática que se ensina. Apresenta e iscute quatro componentes funamentais o conhecimento matemático que um professor eve ominar e moo a que compreena e oriente os seus alunos: a compreensão as ieias matemáticas básicas; a conexão entre elas, seja relativamente a conceitos ou a proceimentos; as representações múltiplas para um mesmo conceito ou processo; e a coerência longituinal. Mais recentemente têm vino a ganhar expressão perspetivas que associam o aprofunamento matemático e conceitos à reflexão sobre a prática letiva os ocentes enquanto participantes e grupos colaborativos, como se epreene a seguinte afirmação e Davis & Renert : (...) In combining the mathematical emphases of concept analysis with the interactive ynamics of lesson stuy, our concept stuies are occasions for excavating extant meanings of concepts as well as opportunities for share critiques an extensions of interpretative possibilities for peagogical purposes. (2009, p. 38) Davis (2012) argumenta, no sentio e perspetivar o conhecimento matemático como uma aptião para aprener continuamente e não como o omínio e um corpo mais ou menos rígio e conhecimento, quano afirma (...) I suggest that this knowlege is better unerstoo as a learnable isposition within a participatory frame than a boy of knowlege within a mastery frame. (2012, abce) Uma vez enquarao o esenvolvimento o conhecimento matemático no complexo que contém aina a vertente iática e a curricular passo e seguia a apresentar aspetos importantes relativos ao conhecimento sobre a Matemática. Princípios orientaores a evolução a matemática, presentes no processo e construção o campo racional As conceções relativas à natureza a Matemática influenciam o moo e ensinar esta isciplina e, portanto, interferem na aprenizagem as crianças. Seguno Shulman (1986), é importante valorizar explicitamente o esenvolvimento o conhecimento sobre a Matemática. É e acoro com esta linha e pensamento que apresento as principais ieias relativas à construção o número fracionário. 76

5 Como Caraça (2002) ocumenta, a criação os números naturais e a os números fracionários estão associaas a necessiaes sociais práticas. Os ois tipos e números vêm resolver problemas e quantiae, ou seja, abreviaamente, os naturais permitem efetuar e registar contagens e os fracionários exprimem a meia e uma graneza em função e uma uniae consieraa. Ao problema social a contagem (e objetos) a Matemática respone com a criação o conjunto os números naturais; ao problema a meia e uma graneza respone com a construção o campo racional, através a criação o número fracionário. Este autor estaca a importância a resolução e problemas na evolução a Matemática. Enuncia princípios organizaores esta ciência e aplica-os na criação o campo racional através a iscussão e resolução e O Problema a meia, como passo a apresentar. Antes, porém, importa explicitar que a meição e qualquer graneza envolve três aspetos funamentais e istintos: a escolha a uniae, a comparação com a uniae e a utilização e um número como expressão o resultao a comparação. Analise-se a seguinte situação: são aos ois segmentos e reta AB e CD e comprimentos iferentes, quaisquer. Será possível eterminar a meia o segmento e maior comprimento tomano o comprimento o outro como uniae? A resposta a esta questão é afirmativa, embora, historicamente tenha emorao muito tempo a ser aa e envolva números e natureza iferente, os irracionais problema a incomensurabiliae e os racionais. É apenas sobre estes últimos que passo a centrar a minha atenção. É muitas vezes impossível usar um número natural para trauzir a meia, ao que o segmento uniae não cabe um número inteiro e vezes no outro segmento, ao que sobeja uma parte inferior à uniae no segmento AB. Em muitos estes casos é necessário usar uma uniae auxiliar obtia por subivisão e CD num número e partes iguais e em que caa uma estas caiba um número inteiro e vezes em AB. É possível exprimir os comprimentos quer e AB quer e CD por números inteiros mas (aina) não é possível exprimir a meia e AB na uniae CD. Como resolver esta ificulae? Caraça (2002) exprime assim o impacto esta situação problemática no panorama a evolução a Matemática: Estamos em face e um ilema. Uma e uas: a) Ou renunciamos a exprimir numericamente a meição e AB com a uniae CD, o que, além e incómoo, levanta novas questões se poemos exprimir a meia em relação à nova uniae e não em relação à antiga, será porque aquela terá algum privilégio especial? Qual? Porquê? 77

6 b) Ou esejamos poer exprimir sempre a meia por um número princípio e extensão e então temos que reconhecer que o instrumento numérico até aqui conhecio - o conjunto os números inteiros é insuficiente para tal e há que completá-lo, aperfeiçoá-lo nesse sentio. Como? (Caraça, 2002, p. 34) A superação a impossibiliae e trauzir a meia por um número inteiro conseguia pela criação e um novo tipo e número número fracionário e que com este permite alargar o conjunto os números inteiros a um outro conjunto numérico, o campo racional, é orientaa seguno Caraça (2002) pelos seguintes princípios: - O princípio a extensão que sustenta a criação e novos números que representam a meia o comprimento e um segmento nas conições iscutias atrás; - O estuo a impossibiliae a ivisão (exata) e números inteiros quano o ivieno não é múltiplo o ivisor; - O princípio a economia, seguno o qual se mantêm válias quer as efinições quer as proprieaes operatórias efinias para os números inteiros. Graças à criação o número fracionário ganha significao exprimir, por vezes, este número como novo tipo e número. Ele é novo relativamente ao número inteiro. A situação e meia, ilustraa anteriormente, envolve uma impossibiliae aritmética que passo a iscutir e resolver na próxima secção. Divisão e números inteiros A impossibiliae e trauzir a meia e certas granezas por um número inteiro, como se viu anteriormente, e a sua superação vão agora ser estuaas o ponto e vista aritmético. Faço a iscussão a ivisão e números inteiros, as ificulaes encontraas e apresento a criação o número fracionário, emergino este como um novo tipo e número relativamente ao número inteiro. No processo e ensino-aprenizagem a ivisão é a operação aritmética conceptualmente mais elicaa; a sua complexiae tem sio objeto e muitos estuos seno reconhecia na História a Matemática, nomeaamente por Pacioli (1494, apu Katz, 2010) quano afirma que se uma pessoa sabe iviir, tuo o mais é fácil. Como com qualquer outra operação aritmética é importante saber qual é o universo em que a ivisão vai ser efinia, pois toas as relações e afirmações estabelecias são relativas aos elementos esse conjunto. Consiera-se como universo e trabalho 78

7 o conjunto os números inteiros não negativos, IN 0 (ou Z 0 + ), conjunto que é reunião o conjunto os números naturais com o conjunto singular que contém o número zero, ou seja, IN 0 = IN {0}. Este conjunto é infinito e iscreto entre quaisquer ois números consecutivos a ele pertencentes não há nenhum outro número inteiro. A operação ivisão vai ser apresentaa a partir a multiplicação efinia no mesmo universo numérico. Vou contextualizar estas uas operações em situações simples e quotiiano, uma relativa ao sentio e partilha equitativa e a outra relativa ao sentio e meia ou agrupamento a ivisão. Consierem-se as situações A e B: A. Os 24 alunos e uma turma estão organizaos em 8 grupos iguais. Quantos elementos tem caa grupo? B. Noutra turma, com igual número e alunos (24), também há grupos e caa um estes tem 8 alunos. Quantos grupos existem nesta turma? Estas situações poem ser matematicamente interpretaas a seguinte forma: Tabela 1: Situações e partilha equitativa e e meia Situação A Partilha equitativa Situação B Meia ou Agrupamento DADOS 24 n.º e alunos a turma 8 n.º e grupos equicarinais 24 n.º e alunos a turma 8 n.º e alunos em caa grupo PEDIDO número e elementos e caa grupo número e grupos Notas: a) O sentio e partilha equitativa provém e situações em que genericamente há D objetos (quantiae e uma graneza) a serem istribuíos igualmente por grupos e pretene-se eterminar a imensão e caa grupo, ou seja, o número e objetos (quantiae e graneza) por 1 grupo. b) O sentio e meia, ou agrupamento, está presente em situações em que, genericamente, a quantiae e uma graneza presente no ivieno vai ser meia teno como uniae e meia o valor (a mesma graneza) o ivisor. O quociente representa a meia referia. 79

8 Exprimir, em caa situação, o número e alunos a turma como prouto e 8 pela incógnita (variável representativa o que se quer saber), é uma ajua para se eterminar o que é peio em caa uma. Poem exprimir-se estas ieias usano uma equação, por exemplo, 24 = 8 x n, em que n representa o número que se esconhece em caa caso (n IN). Este número poe ser obtio eterminano o quociente e 24 por 8. Na situação A caa grupo tem 3 (24:8) alunos e na situação B existem 3 (24:8) grupos. Toos os números envolvios pertencem ao universo em que eciimos trabalhar. A ivisão aparece aqui como a operação inversa a multiplicação, porque, em caa caso é conhecio o prouto (24) e um os factores (8), faltano conhecer o outro fator. Este fator, 3, foi obtio iretamente através a ivisão. Generalizano, poe afirmar-se que a operação ivisão é a operação inversa a multiplicação porque resolve o problema e, conhecio um prouto e um os fatores, eterminar o outro fator, ou seja, usano simbologia matemática, D : = q, em que D representa o prouto (conhecio), 0 é o fator conhecio e q representa o fator esconhecio obtio através a ivisão. A terminologia específica a ivisão é: D ivieno; ivisor e q quociente. Divieno múltiplo o ivisor: possibiliae a ivisão e inteiros As uas situações aboraas anteriormente envolveram números inteiros, 24, 8 e 3. Elas exemplificam a ivisão cujo ivieno, D, é múltiplo o ivisor 0 e q é o quociente e D por. Note-se que a equação D : = q estabelecia no parágrafo anterior é equivalente à equação q x = D. Poe, assim, afirmar-se que está efinia a ivisão e inteiros no caso em que o ivieno é múltiplo o ivisor. Analisem-se ois casos particulares: o caso em que o ivisor é unitário e o caso em que o ivieno é nulo. Se o ivisor for 1, que valor terá o quociente? Esta pergunta poe ser trauzia simbolicamente pela equação, D : 1 = q que é equivalente à equação D = 1 x q. A solução é q = D, ou seja, o quociente é igual ao ivieno. Poe atribuir-se-lhe significao invocano a proprieae e 1 ser elemento neutro a multiplicação. Teno 80

9 presente esta proprieae poe-se analisar já o caso em que ivieno e ivisor são iguais e concluir que o quociente é 1. Consiere-se agora que o ivieno é nulo, D = 0 e o ivisor é um número qualquer não nulo, 0. Que valor tem o quociente q? Ora a equação 0 : = q é equivalente a 0 = q x. Seno nulo o ivieno, o prouto q x também é nulo e nulo tem e ser o quociente pois pela proprieae o anulamento e um prouto aplicaa ao caso em que um os fatores é não nulo implica que o outro fator seja nulo. Poe-se afirmar que o quociente e 0 por um número inteiro, não nulo, é 0. Este facto matemático poe ser interpretao assim: se naa há para partilhar naa há a receber ou se naa há para meir, nula é a meia, seja qual for a uniae consieraa. Em síntese, o ponto e vista matemático poe-se formalmente afirmar que foi efinia, no conjunto os números inteiros, a ivisão como a operação inversa a multiplicação o seguinte moo: D : = q, 0, e tal moo que q verifica a equação D = q x A esta efinição, a ivisão como operação inversa a multiplicação e números inteiros, estão associaas restrições ou impasses e natureza iversa que importa analisar. Uma as restrições é a e D ter que ser múltiplo e, o que significa que, ou D é nulo ou é um número natural a forma q x com q e naturais. É necessária esta restrição para garantir que o conjunto é fechao relativamente à ivisão o resultao a operação tem e pertencer ao universo em que ela está efinia. Ficam assim excluíos e, portanto, por responer, os casos em que (i) o ivieno é maior que o ivisor não seno seu múltiplo, ou seja, em que D >, D não é múltiplo e e (ii) em que o ivieno é menor que o ivisor, D <. O facto e o ivisor ter e ser não nulo é um impasse e natureza iferente, pois é impossível iviir por zero como vai ser apresentao na parte final esta secção. Divisão Inteira conceito para ultrapassar um os impasses na ivisão A efinição e ivisão atrás iscutia contempla (apenas) o caso em que o ivieno é múltiplo o ivisor, não responeno, contuo, a uma varieae e situações significativas. Analise-se uma situação em que o ivieno é maior que o ivisor e não é seu múltiplo. Ela não poe ser resolvia à custa a ivisão efinia atrás. Consiere-se como exemplo: 81

10 Dispomos e 33 objetos que queremos embalar em caixas cuja capaciae é 6. Quantas caixas se encherão, no máximo, e quantos objetos ficarão, eventualmente, por embalar? A ivisão estuaa anteriormente não é aqui aplicável, pois não existe nenhum número inteiro que multiplicao por 6 tenha 33 como prouto. Não se poe aceitar que 33 : 6 = 5, porque 6 x 5 é iferente e 33. A situação tem, contuo, solução e vamos ver como poe ser moelaa por uma nova operação - ivisão inteira - que alarga a noção e ivisão anteriormente efinia e mantém a valiae as relações nesta verificaas. Observe-se o processo e obtenção a solução o problema: ao encher 1 caixa, ficam 27 objetos por embalar, verificano-se a igualae, 33 = 1 x ; continuano ienticamente poe encher-se mais 1 caixa ficano 21 objetos por embalar, verificano-se a igualae 33 = 2 x ; como 21 é maior que 6 poe-se continuar obteno 33 = 3 x ; ienticamente se obtém 33 = 4 x e 33 = 5 x Esta igualae (e não as anteriores) é a que respone ao peio e trauz a aplicação a ientiae funamental a ivisão inteira ao caso em análise. Como 3 é inferior a 6 poe-se responer à questão, afirmano que se encheram 5 caixas restano 3 objetos (que ficaram por embalar). Do ponto e vista a situação é possível eciir não embalar estes objetos ou então usar mais uma caixa ficano esta parcialmente ocupaa. Do ponto e vista matemático iz-se que a ivisão inteira e 33 por 6 tem quociente inteiro 5 e resto 3. Não poe afirmar-se que o quociente e 33 por 6 é 5 simplesmente, pois o uso a palavra quociente significa que é exato, o que não se verifica nesta situação. Se se aceitasse que 5 era o quociente e 33 por 6, epararse-ia com cenários absuros como por exemplo que 30 e 33 representavam o mesmo número. Após a análise este exemplo, procea-se à generalização caracterizano a ivisão inteira no conjunto os números inteiros. A operação ivisão inteira efinia no conjunto os números inteiros não negativos, IN 0, é uma operação (binária) que transforma caa par orenao esses números (ivieno, ivisor), (D, ), com 0, num único par orenao e números, (q, r), em que q esigna o quociente inteiro e r o resto. À equação D = x q + r, com 0 r < chama-se ientiae funamental a ivisão inteira. Esta efinição acolhe a e ivisão como operação inversa a multiplicação no conjunto IN 0, apresentaa na subsecção anterior, o que é justificao pelo facto e a ientiae funamental se manter D = q x + 0 uma vez que D é múltiplo e e o 82

11 resto é nulo. Poe chamar-se ivisão exata a esta operação inversa a multiplicação e afirmar que na ivisão exata em IN 0, o quociente é um número natural e o resto é nulo, seno assim um caso particular e ivisão inteira. A ivisão inteira transforma um par orenao e números num único par orenao e números, par este cujo primeiro termo representa o quociente inteiro, q, e cujo seguno termo representa o resto inteiro r; não se obtém, nunca, um único número; no caso a ivisão exata, espreza-se o resto, para simplificar, uma vez que é nulo e que não gera qualquer mal entenio o ponto e vista matemático. Em síntese, como ultrapassar a impossibiliae e, pela ivisão exata se poerem resolver os casos em que o ivieno é maior que o ivisor e não é múltiplo este? Através a ivisão inteira com resto que associa a caa par orenao outro par orenao e não um número apenas. A ivisão inteira não é a operação inversa a multiplicação pois para um ivieno e um ivisor nas conições aqui explicitaas ivieno não múltiplo o ivisor - o quociente (inteiro) não é solução inteira a equação D = q x. Esta equação é impossível em IN 0. Surgimento e número fracionário no contexto a ivisão e inteiros Já foram iscutios ois tipos e situações ligaas à ivisão e números inteiros: aquela em que o ivieno era múltiplo, não nulo, o ivisor e esta anterior em que o ivieno é maior, embora não múltiplo o ivisor. Falta iscutir o caso em que o ivieno é menor que o ivisor e que é feito a seguir. Volte-se à igualae 33 = 5 x e consiere-se o seu resto 3. Como este não é nulo, significa que 33 (aina) não foi iviio exatamente por 6. Poe-se afirmar aina que para responer a este impasse se poe procurar estuar como iviir este resto, 3, pelo ivisor 6. A ivisão como operação inversa a multiplicação não é solução, pois 3 não é múltiplo e 6. Será a ivisão inteira um estratagema aequao? A igualae 3 = 0 x 6 + 3, embora veraeira e naa aianta. Realmente o quociente nulo trauz um não fracionamento o ivieno e consequentemente a manutenção o problema. A resposta a este problema é possível pela extensão a um novo conjunto numérico, que contém o conjunto IN 0, a efinição e ivisão exata apresentaa atrás e que poe ser expressa o seguinte moo: D um número inteiro não negativo inteiro positivo ( 0) e D < 83

12 Define-se a ivisão como seno a operação que permite eterminar o quociente D q =, 0 e tal moo que q verifique a equação q x = D e em que: D representa o ivieno, o ivisor D D o quociente exato. representa um exemplo e uma nova categoria e número, número fracionário A esta representação D chama-se fração própria. Se o numeraor for maior ou igual que o enominaor poe afirmar-se que se trata e uma fração imprópria. Esta caracterização a ivisão e números inteiros permite agora afirmar que é possível efectuar a ivisão e um número inteiro qualquer por um número não nulo. Nos exemplos atrás estuaos poe afirmar-se que o quociente e 3 por 6 é 33 o quociente e 33 por 6 é. 6 e que Poe-se afirmar que um número racional é too o número que se poe representar por uma fração cujos numeraor e enominaor representam números inteiros, manteno a restrição e o enominaor representar um número não nulo. Resulta assim que qualquer inteiro também é número racional. A criação o número fracionário permitiu a construção e um conjunto numérico, campo racional que é o conjunto os números racionais (não negativos representao por Q 0 +). Este conjunto é a reunião os conjuntos anteriormente invocaos, IN 0 e o conjunto os números fracionários. O aparecimento este novo conjunto numérico Campo Racional - vai permitir efetuar as seguintes afirmações: Too o número inteiro é racional. Too o número fraccionário é racional

13 Nenhum número inteiro é fraccionário. Nenhum número fraccionário é inteiro. Qualquer número racional é representável na forma e fracção. Os números racionais positivos e inferiores a 1 poem representar-se por frações próprias. Os números racionais não inferiores a 1 poem ser representaos por fracções impróprias ou por numerais mistos. π Há frações que representam números que não são racionais; por exemplo. 2 Várias relações se poem estabelecer e iscutir na análise comparativa estes ois conjuntos numéricos, Q 0 + e IN 0. Destaco as seguintes: (i) a ensiae o conjunto os números racionais Q 0 + e (ii) os efeitos a multiplicação e a ivisão tomano como universo este mesmo conjunto. Estas são uas iferenças estruturais importantes entre estes ois conjuntos numéricos. A impossibiliae e iviir por zero A efinição a operação ivisão em qualquer conjunto numérico exclui a possibiliae e o ivisor ser nulo e portanto a fração e enominaor nulo não representa um número. Interprete-se esta impossibiliae explicitano as razões que a justificam. Recore-se que atrás foi efinia a ivisão como seno a operação que permite eterminar o quociente D q =, 0, e tal moo que q verifique a equação q x = D. D representa o ivieno, o ivisor e o quociente exato. Raciocinano por absuro veja-se que se o ivisor puesse ser nulo, então existiria um quociente q que satisfaria a equação D = q x 0, para caa valor e D, nulo ou não nulo. Comece-se por este último, ou seja, D é não nulo e = 0. Pela proprieae e zero ser elemento absorvente a multiplicação, o prouto q x 0 é obrigatoriamente nulo e se por exemplo se se supusesse que D = 5, obrigaria a que 0 = 5, o que é absuro e portanto é impossível a hipótese e que se partiu. Se o ivieno e o ivisor forem nulos, D = 0 e = 0, pela efinição e ivisão ter-seá, 0 = 0 x q e qualquer valor atribuío a q seria caniato a quociente, o que é D 85

14 impossível pois este tem e ser único. Demonstrou-se que é impossível iviir por zero. A tabela seguinte apresenta resumiamente a caracterização matemática que fiz a ivisão e inteiros. Tabela 2: Divisão e números inteiros (ivisor não nulo) Relação e orem entre o ivieno e o ivisor Divisão Inteira ( 0) Divisão Exata ( 0) D D < (D, ) (q, r) D = q x + r, r < q= 0 r = D q =, q = 1, se D = q = D D fração própria D = 0 q= 0 0 r = 0 q = = 0 Consierações finais O propósito principal este artigo é o e contribuir para a valorização o esenvolvimento o conhecimento matemático na formação inicial e professores os 1.º e 2.º ciclos o Ensino Básico. Como vários autores argumentam, nomeaamente, Ma (1999), Ball (1990), Ball, Hill, & Bass (2005), o ensino requer uma compreensão profuna os conceitos e proceimentos algorítmicos elementares em articulação com outras componentes, entre as quais estaco a iática. O esenvolvimento o conhecimento necessário ao ensino os Números Racionais conta já com outros contributos importantes, e natureza iática, nomeaamente relativos a alguns os aspetos relacionaos com os significaos e fração como referem Monteiro & Pinto (2005). Há, no entanto, que prosseguir na proução e ivulgação e materiais que aprofunem o conhecimento matemático e forma acessível a quem ensina nos 1.º e 2.º ciclos. 86

15 Na linha e argumentação e Shulman (1986) e e Ma (1999) procurei operacionalizar o aprofunamento matemático o sentio e número racional, especificamente através e uma aboragem a ivisão e números inteiros como operação inversa a multiplicação, iscutino os impasses encontraos e fazeno emergir o conceito e número fracionário como meio e superação aqueles. Espero ter ao um contributo no sentio a organização e materiais e apoio ao esenvolvimento o conhecimento necessário para o ensino a Matemática, especificamente no inerente ao âmbito a e sobre a Matemática. Referências Bibliográficas Albuquerque, C., Veloso, E., Rocha, I., Santos, L., Serrazina, L., & Nápoles, S. (2008). A Matemática na Formação Inicial e Professores. Lisboa: APM. Ball, D. L. (1990). The mathematical unerstanings that prospective teachers bring to teacher eucation. The Elementary School Journal, 90(4), Ball, D. L.; Hill, H. C., & Bass, H. (2005). Knowing mathematics for teaching. American Eucator, Fall, 29(3), Caraça, B. J. (2002). Conceitos Funamentais e Matemática. Lisboa: Graiva. 4. a e. Davis, B., & Renert, M. (2009). Mathematics-for-teaching as share ynamic participation. For the Learning of Mathematics, 29(3), Davis, B. (2012). Subtlety an complexity of Mathematics teachers isciplinary knowlege. Paper presente at the 12th International Congress on Mathematical Eucation, Seul Disponível em: (aceio a 11 e novembro e 2012). Katz, V. J. (2010). História a Matemática. Lisboa: Funação Calouste Gulbenkian. Ma. L. (1999). Knowing an Teaching Elementary Mathematics. Lonon: LEA ME (2007). Programa e Matemática o Ensino Básico. Lisboa: Ministério a Eucação, DGIDC. Monteiro, C., & Pinto, H. (2005). A aprenizagem os números racionais. Quarante, 14(1), Serrazina, L. et al. (no prelo). O conhecimento matemático os futuros ocentes no início a licenciatura em eucação básica: um projeto envolveno três escolas superiores e eucação. In Atas o III Encontro Nacional e Eucação Básica. Aveiro: Universiae e Aveiro. Shulman, L. S. (1986). Those who unerstan knowlege growth in teaching. Eucational Researcher, 15(2),

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