PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL. Notas de Aula

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Resistência dos Materiais I Notas de Aula Profa. Maria Regina Costa Leggerini

2 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I. OBJETIVO FUNDAMENTAL A Resistência dos Materiais se preocupa fundamentalmente com o comportamento das diversas partes de um corpo quando sob a ação de solicitações. Ao estudar-se o equilíbrio interno de um corpo, as solicitações internas fundamentais (M, Q, N e Mt) são determinadas. Se está penetrando no interior da estrutura, para analisar-se, em suas diversas seções, a existência e a grandeza dos esforços que a solicitam. A avaliação destes esforços foi objeto de estudo na disciplina de Estruturas Isostáticas que deve preceder a Resistência dos Materiais. Consideram-se corpos reais, isótropos e contínuos constituídos de pequenas partículas ligadas entre si por forças de atração. Com a aplicação de esforços externos supõe-se que as partículas destes corpos se desloquem e que isto prossiga até que se atinja uma situação de equilíbrio entre os esforços externos aplicados e os esforços internos resistentes. Este equilíbrio se verifica nos diversos pontos do corpo citado e se manifesta sob a forma de deformações (mudança da forma original), dando origem à tensões internas. Observe-se que o equilíbrio se dá na configuração deformada do corpo, que admitiremos como igual à configuração inicial, pois em estruturas estaremos sempre no campo das pequenas deformações. Resumindo, em um corpo que suporta cargas ocorre: 1. Um fenômeno geométrico que é a mudança da sua forma original: Isto é deformação. 2. Um fenômeno mecânico que é a difusão dos esforços para as diversas partes do corpo: Isto é tensão. É claro que se entende que a capacidade que um material tem de resistir as solicitações que lhe são impostas é limitada, pois pode ocorrer a ruptura do corpo quando o carregamento for excessivo. É necessário conhecer esta capacidade para que se projete com segurança. Pode-se resumir um problema de Resistência dos Materiais conforme fluxograma abaixo: Estrutura Cargas Externas Ativas Solicitações Tensões Cargas Externas Reativas Deformaçõe Limite Resistente do Material Critério de Resistência (Coeficiente de Segurança) PROJETO VERIFICAÇÃO 2

3 II. TENSÕES Conforme se citou, as tensões que se desenvolvem nas partículas de um corpo são consequência dos esforços (força ou momento) desenvolvidos. Como os esforços são elementos vetoriais (módulo, direção e sentido) a tensão como consequência também o será. Lembra-se do método das seções visto em Isostática: Supõe-se um corpo carregado e em equilíbrio estático. Ao se cortar este corpo por um plano qualquer e isolando-se uma das partes, pode-se dizer que na seção cortada devem se desenvolver esforços que se equivalham aos esforços da parte retirada, para que assim o sistema permaneça em equilíbrio. Estes esforços são decompostos e se constituem nas solicitações internas fundamentais. O isolamento de qualquer uma das partes deve levar ao mesmo resultado. As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação e reação devem ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. r r R e M são as resultantes das solicitações internas referidas ao centro de gravidade da seção de corte da barra. Partindo-se deste raciocínio pode-se afirmar que em cada elemento de área que constitui a seção cortada, está sendo desenvolvido um elemento de força, cujo somatório (integral) ao longo da área mantém o equilíbrio do corpo isolado. R r = ρ.da A 3

4 O Momento M resultante se deve à translação das diversas forças para o centro de gravidade da seção. A tensão média ( r ρ m ) desenvolvida no elemento de área citado nada mais é do que a distribuição do efeito da força pela área de atuação da mesma. Α F Sejam: A Elemento genérico de área Α F r Elemento de força que atua em Α r ρ m tensão média r r F ρm = A Como a tensão é um elemento vetorial se pode representá-la aplicada em um ponto determinado, que obtem-se fazendo o elemento de área tender ao ponto ( A 0), e então: r ρ = Tensão atuante em um ponto ou tensão resultante em um ponto ou gráficamente: r ρ = lim A 0 r r F df = A da ρ Ainda por ser um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espaço segundo três direções ortogonais que se queira, portanto escolhe-se como referência duas direções contidas pelo plano da seção de referência "S" (x,y) e a terceira perpendicular à este plano (n). 4

5 y x τ y τ x σ z Isto permite dividir as componentes da tensão do ponto em duas categorias: 1. Tensões Tangenciais ou de Cisalhamento (τ) - contidas pela seção de referência 2. Tensão Normal (σ) - perpendicular à seção de referência Costuma-se em Resistência dos Materiais diferenciar estas duas tensões pelos efeitos diferentes que elas produzem (deformações) e se pode adiantar que normalmente trabalham-se com estas componentes ao invés da resultante. Também se pode convencionar como seção de referência a seção transversal da peça em estudo. Cabe observar-se entretanto que mudada a referência mudam também as componentes. S S' ρ τ τ σ x y τx' ρ τy' σ' Existem casos em que a seção transversal não é a de maior interesse, como será demonstrado oportunamente nas solicitações compostas. Nestes casos o procedimento será alterado. A. TENSÕES NORMAIS (σ) A tensão normal tem a direção perpendicular à seção de referência e o seu efeito é o de provocar alongamento ou encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendo-as paralelas. 5

6 Costuma-se medir a deformação de peças sujeitas a tensão normal pela deformação específica longitudinal (ε). 1. Conceito: É a relação que existe entre a deformação medida em um corpo e o seu comprimento inicial, sendo as medidas feitas na direção da tensão. σ σ li lf l i comprimento inicial da barra l f comprimento final da barra l deformação total l = l f - l i l ε = l i Observe que no exemplo dado l > 0 portanto ε > 0 (alongamento) Pode-se mostrar um outro exemplo onde l < 0 conseqüentemente ε < 0 (encurtamento) σ σ li Neste exemplo l 0 portanto ε 0 lf 2. Sinal: 6

7 (+) alongamento Corresponde à uma tensão de tração que também será positiva (-) encurtamento Corresponde à uma tensão de compressão que também será negativa 3. Unidade: - adimensional quando tomarmos para l a mesma unidade que para li -Taxa milesimal (o/oo ) - Nestes casos medimos l em mm e l i em m(metros). B. TENSÕES TANGENCIAIS ( τ ) É a tensão desenvolvida no plano da seção de referência tendo o efeito de provocar corte ou cisalhamento nesta seção. 1. Lei da Reciprocidade das tensões tangenciais Esta lei representa uma propriedade especial das tensões tangenciais. Pode-se provar a sua existência a partir das equações de equilíbrio estático. Pode-se enunciá-la de forma simples e aplicá-la. Suponha duas seções perpendiculares entre si formando um diedro retangulo. Se em uma das faces deste diedro existir uma tensão tangencial normal a aresta de perpendicularidade das faces, então, obrigatóriamente na outra face, existirá a mesma tensão tangencial normal a aresta. Ambas terão o mesmo módulo e ambas se aproximam ou se afastam da aresta de perpendicularidade. São chamadas de tensões recíprocas." Para facilitar a compreensão, pode-se representa-la gráficamente: (c) A figura (c) demonstra o desenvolvimento das tensões de cisalhamento longitudinais, recíprocas às tensões de cisalhamento desenvolvidas pelo esforço cortante. 7

8 2. Distorção Específica ( γ ) Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais. Supõe-se um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tensões tangenciais em suas faces. Para melhor ser visualisar a deformação considera-se fixa a face compreendida pelas arestas A e B. τ C C D D τ A γ B τ CC' tg γ = = CA DD' DB τ Como em estruturas trabalha-se sempre no campo das pequenas deformações e então γ <<< 1 rad, então arco e tangente se confundem : 2.1 Conceito: CC' DD' γ = CA DB Distorção específica é a relação entre o deslocamento observado e a distância respectiva, medida perpendicular ao deslocamento. Representa fisicamente a variação que sofre o ângulo reto de um corpo submetido a tensões de cisalhamento. 2.2 Unidade: As observações quanto a unidade da distorção seguem as da deformação específica longitudinal: adimensional ou taxa milesimal, ressalvando-se que quando adimensional representa um arco expresso em radianos. III. DEFORMAÇÕES E ELASTICIDADE Deformação é a alteração da forma de um corpo devido ao movimentos das partículas que o constituem. A tendência dos corpos de voltarem a forma original devido a força de atração entre as partículas representa a elasticidade do material. Quanto mais um corpo tende a voltar a sua forma original, mais elástico é seu material, ou seja, quanto mais ele resiste a ser deformado maior é a sua elasticidade. 8

9 Pode-se diferenciar os tipos de deformações observando um ensaio simples, de uma mola presa a uma superfície fixa e submetida sucessivamente a cargas cada vez maiores até a sua ruptura. A. DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS Uma deformação é elástica quando cessado o efeito do carregamento o corpo volta a sua forma original. Exemplo: No exemplo acima, se medidas numéricamente as grandezas vamos ver que: P d 1 1 P2 Pn = =... = = k (constante elástica da mola) d d 2 n Conclui-se que as duas propriedades que caracterizam uma deformação elástica são: 1. Deformações reversíveis 2. Proporcionalidade entre carga e deformação. B. DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS: Se fosse aumentada a carga sobre esta mola ela chegaria a uma situação em que terminaria a proporcionalidade e apesar da tendência do corpo em assumir sua forma original, sempre restariam as chamadas deformações residuais. Considera-se então terminado o regime elástico e o corpo passa a atuar em regime plástico. Note-se que no regime plástico termina a proporcionalidade e a reversibilidade das deformações. Se fosse aumentada ainda mais a carga, o próximo limite seria a ruptura. 9

10 IV. CORPO DE DOUTRINA DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Em Resistência dos Materiais trabalha-se com corpos que apresentam determinadas características: A. CONTINUIDADE: Um corpo é considerado contínuo quando qualquer de suas amostras trabalha de maneira idêntica as demais. Não havendo descontinuidade, as tensões e as deformações não variam bruscamente entre dois pontos vizinhos no interior deste corpo carregado. Nestes casos tanto as tensões como as deformações podem ser expressas por funções contínuas em relação as ordenadas dos pontos que constituem o corpo. Observe-se que a continuidade não implica em homogeneidade pois podemos ter corpos com material não homogêneo e no entanto eles trabalham de maneira contínua (exemplo : concreto). B. HIPÓTESE DE BERNOULLI (SEÇÕES PLANAS) Bernoulli observou a seguinte característica no funcionamento dos corpos sujeitos à solicitações: "Uma seção plana e perpendicular ao eixo longitudinal de uma peça, continuará plana e perpendicular ao eixo da mesma durante e após sua deformação. Eixo longitudinal Linha Elástica C. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS O efeito produzido por um conjunto de cargas atuando simultaneamente em um corpo é igual a soma dos efeitos produzidos por cada uma das cargas atuando isolada. Este princípio pode ser generalizado, mas só é válido quando causa e efeito forem diretamente proporcionais o que se aplica a grande maioria dos casos em Resistência dos Materiais. Somente em casos de peças submetidas a flambagem (desequilíbrio elasto-geométrico do sistema) ou no Trabalho de Deformação este princípio não será válido devido a inexistência de proporcionalidade entre causa e efeito, o que será oportunamente demonstrado. Observe-se que este princípio já foi utilizado em outras disciplinas, como por exemplo, no cálculo das reações de apoio em uma estrutura isostática. 10

11 = + V. LEI DE HOOKE A maioria dos projetos de peças serão tratados no regime elástico do material, sendo os casos mais sofisticados trabalhados em regime plástico e se constituindo no que há de mais moderno e ainda em estudo no campo da Resistência dos Materiais. Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que é a base de funcionamento dos corpos em regime elástico. As tensões desenvolvidas e suas deformações específicas consequentes são proporcionais enquanto não se ultrapassa o limite elástico do material. A Lei de Hooke pode ser representada pelas expressões analíticas: σ ε τ γ = E(mod. de elasticidade longitudinal) = G(mod.de elasticidade transversal) Estes módulos de elasticidade são constantes elásticas de um material, e são determinados experimentalmente. VI. LEI DE POISSON ( DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA TRANSVERSAL) notação : εt Poisson determinou experimentalmente a deformação que as peças sofrem nas direções perpendiculares a da aplicação da tensão normal. σ σ li lf D D+ D 11

12 A. CONCEITO: Deformação específica transversal é a relação entre a deformação apresentada e o seu comprimento respectivo, ambos medidos em direção perpendicular à da tensão. ε t D = D Os estudos de Poisson sobre a deformação transversal levam as seguintes conclusões: 1. ε e εt tem sempre sinais contrários 2. As deformações específicas longitudinais e transversais são proporcionais em um mesmo material ε t ε = µ O coeficiente de Poisson é a terceira constante elástica de um material, também determinada experimentalmente. 3. Em uma mesma seção a deformação específica transversal é constante para qualquer direção perpendicular ao eixo. σ σ b b+ b li lf a a+ a a a b = = ε t = cons tan te b As constantes elásticas de um mesmo material se relacionam pela expressão: G = E 2(1 + µ ) 12

13 Resumindo: ε ε ε x y z σ x = E σ x = µ µ E σ x = µ E µ = Coeficiente de Poisson VII. LEI DE HOOKE GENERALIZADA Hooke enunciou a sua lei tomando como exemplo corpos submetidos a tensão em uma só direção. Na prática os corpos podem estar sujeitos a tensão em todas as direções, o que pode ser simplificado reduzindo-as a três direções ortogonais tomadas como referência. A figura a seguir mostra um prisma elementar submetido a tensões normais com resultante nas três direções tomadas como referência no espaço : x, y, e z. y σ y σ z σ x σ x σ z z σ y Poisson observou que uma tensão provoca deformação em sua direção e em direções perpendiculares a sua também. Poisson: 13

14 εt = µ ε Hooke: σ = ε E O efeito da tensão σx seria: na direção x : na direção y : na direção z: ε ε t ε x t εt y εt z σ = - µ E σ = -µ E σx = E σx = µ E σx = µ E Pode-se fazer este raciocínio com as demais tensões. Para determinação da deformação resultante em uma direção, por exemplo x: efeito de σx efeito de σy efeito de σz ε x εt x εt x σx = E σy = µ E σz = µ E Adotando-se o princípio da superposição de efeitos teríamos: ε x σx = E σy + µ E Esta expressão simplificada algébricamente fica: σz + µ E análogamente y 1 = E y x z ε x = 1 E [ σ µ ( σ + σ )] x 1 ε [ σ µ ( σ + σ )] e ε = [ σ µ ( σ + σ )] Estas expressões se constituem na LEI DE HOOKE GENERALIZADA y z z E z x y 14

15 Observações: 1. Tensão em uma só direção não implica em deformação em uma só direção. 2. Para a dedução das expressões anteriores as tensões normais foram representadas de tração e portanto positivas. Se alguma delas for de compressão deverá figurar nas fórmulas com o sinal negativo convencionado. 3. Resultados positivos para a deformação específica indicam alongamentos enquanto que resultados negativos significarão encurtamentos. VIII. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS Para serem determinadas as características mecânicas dos materiais são realizados em laboratório ensaios com amostras do material, que são chamadas de corpos de prova. No Brasil estes ensaios são realizados empregando-se métodos padronizados e regulamentados pela ABNT. O ensaio mais costumeiro é o de tração simples, onde determinam-se as TENSÕES LIMITES dos diversos materiais, que indica a tensão máxima alcançada pelo material, em laboratório, sem que se inicie o seu processo de ruptura. Com a realização destes ensaios pode-se classificar os materiais em dois grupos: materiais dúteis materiais frageis A. MATERIAIS DÚTEIS : São considerados materiais dúteis aqueles que sofrem grandes deformações antes da ruptura. Dentre os materiais dúteis ainda temos duas categorias: 1. Dútil com escoamento real: exemplo: aço comum Num ensaio de tração axial simples costuma-se demonstrar os resultados atravéz de um diagrama tensão x deformação específica (σ x ε ). No caso de material dútil com escoamento real a forma deste diagrama segue o seguinte modelo: 15

16 reta OA - Indica a proporcionalidade entre σ x ε, portanto o período em que o material trabalha em regime elástico (lei de Hooke). Deformações reversíveis. σp - Tensão de proporcionalidade Representa o limite do regime elástico. curva AB - A curvatura indica o fim da proporcionalidade, caracterizando o regime plástico do material. Podemos notar que as deformações crescem mais rapidamente do que as tensões e cessado o ensaio já aparecem as deformações residuais, que graficamente podemos calcular traçando pelo ponto de interesse uma reta paralela à do regime elástico. Notamos que neste trecho as deformações residuais são ainda pequenas mas irreversíveis. σe - Tensão de escoamento Quando é atingida a tensão de escoamento o material se desorganiza internamente (a nível molecular) e sem que se aumente a tensão ao qual ele é submetido, aumenta grandemente a deformação que ele apresenta. trecho BC - Chamado de patamar de escoamento. Durante este período começam a aparecer falhas no material (estricções), ficando o mesmo invalidado para a função resistente. curva CD - Após uma reorganização interna o material continua a resistir a tensão em regime plástico, porém agora com grandes e visíveis deformações residuais. As estricções são agora perceptíveis nítidamente. Não se admitem estruturas com esta ordem de grandeza para as deformações residuais. σr - Tensão de ruptura Conforme se pode analisar no ensaio acima, o material pode ser aproveitado até o escoamento, portanto sua TENSÃO LIMITE será a TENSÃO DE ESCOAMENTO. 2. Dútil com escoamento convencional Exemplo: aços duros Se comporta de maneira semelhante ao anterior, mas não apresenta patamar de escoamento. Como em estruturas não se admitem grandes deformações residuais se convenciona este limite, ficando a tensão correspondente convencionada como TENSÃO DE ESCOAMENTO, que é também a TENSÃO LIMITE do material. 16

17 OBSERVAÇÕES: Os materiais dúteis de uma maneira geral são classificados como aqueles que apresentam grandes deformações antes da ruptura, podendo também ser utilizados em regime plástico com pequenas deformações residuais. Apresentam uma propriedade importantíssima que é resistirem igualmente a tração e a compressão. Isto quer dizer que o escoamento serve como limite de tração e de compressão. B. MATERIAIS FRÁGEIS Exemplo : concreto São materiais que se caracterizam por pequenas deformações anteriores a ruptura. O diagrama σ x ε é quase linear sendo quase global a aplicação da lei de Hooke. Nestes casos a tensão limite é a tensão de ruptura. Ao contrário dos materiais dúteis, eles resistem diferentemente a tração e a compressão, sendo necessário ambos os ensaios e obtendo-se assim dois limites: σt = Limite de ruptura a tração σc = Limite ruptura a compressão Em geral estes materiais resistem melhor a compressão do que a tração. IX. CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA - COEFICIENTE DE SEGURANÇA Em termos gerais um projeto está sempre ligado ao binômio economia x segurança. Deve-se aotar um índice que otimize este binômio. 17

18 Pode-se dizer também que mesmo sendo determinada em laboratório a utilização da tensão limite em projetos é arriscada, pois os valores são trabalhados com diversos fatôres de incerteza. Em vista do que foi exposto adota-se o seguinte critério: A tensão limite é reduzida divindo-a por um número que se chama coeficiente de segurança (s). Para que este número reduza o módulo da tensão limite, ele deve ser maior do que a unidade. Então, para que haja segurança: s 1 As tensões assim reduzidas, que são as que realmente se pode utilizar. São chamadas de tensões admissíveis ou tensões de projeto. Para serem diferenciadas das tensões limites são assinaladas com uma barra (σ ). σ adm σ = s lim Resumindo analíticamente o critério de segurança conforme abaixo, para os diversos casos: MATERIAIS DÚTEIS σ s e σ máxt = = σe (tensão de escoamento σ s admissível) e σ máxc = = σe (tensão de escoamento admissível) MATERIAIS FRÁGEIS σ s T σ máxt = = σt (tensão de tração admissível) σc σ máxc = = σc (tensão de compressão s admissível) 18

19 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1. Uma barra de latão de seção circular de diametro 3 cm está tracionada com uma força axial de 50 kn. Determinar a diminuição de seu diametro. São dados do material o módulo de elastcidade logitudinal de 1, kn/cm2 e o seu coeficiente de Poisson 0,3. R: 5, cm 2. Uma barra de aço de 25 cm de comprimento e seção quadrada de lado 5 cm suporta uma força axial de tração de 200 kn. Sendo E = 2, kn/cm2 e µ = 0,3, qual a variação unitária do seu volume? R: 0, Suponha a barra do problema anterior sumetida à uma força axial de tração. Experimentalmente determinou-se o módulo de sua deformação específica longitudinal 0,001. Sabendo-se que o seu coeficiente de Poisson é de 0,33, pergunta-se qual o volume final desta barra? R: 625,212 cm3 4. Uma barra de alumínio de seção circular de diametro 30 mm está sujeita à uma força de tração de 50 kn. Determine: a. Tensão normal. b. Deformação específica longitudinal. c. Alongamento em uma distância padrão de 200 mm. d. Variação do diâmetro. e. Variação da área da seção. f. Variação de volume em um comprimento padrão de 200 mm. Admite-se E = 0, kgf/cm2 µ = 0,25 5. A placa da figura é submetida a tensões normais de compressão na direção z de módulo 10 kn/cm2. Sabe-se que a deformação é impedida na direção x devido à presença de elementos fixos A e B. Pede-se : a. Deformação específica na direção y b. Deformação total na direção y Dados do material : E = 105 kn/cm2 µ =

20 σz z y x σz σz z z A x B 6 cm y σz 10 cm 2 cm σz R: (a) 1, (b) 0, cm 6. A figura abaixo mostra um prisma submetido à força P =30 kn e Q = 32 kn. As peças A e B são fixas. Pede-se a deformação específica longitudinal na direção y e a deformação total na direção z. E = 103 kn/cm2 µ= 0,2 20

21 z Q P x y P Q P z A x B 4 cm P 4 cm Q A z x B 2 cm Q R: εy = - 4, lz = 5, cm 21

22 7. Considere um ensaio cuidadosamente conduzido no qual uma barra de alumínio de 50 mm de diâmetro é solicitada em uma máquina de ensaio. Em certo instante a força aplicada é de 100 kn e o alongamento medido na direção do eixo da barra 0,219 mm em uma distancia padrão de 300 mm. O diâmetro sofreu uma diminuição de 0,0125 mm. Calcule o coeficiente de Poisson do material e o seu módulo de elasticidade longitudinal. R: µ= 0,33 E =0, kn/cm2 22

23 CAPÍTULO II TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL (SIMPLES) I. CONCEITO: Quando um corpo que está sob ação de forças externas, na direção do seu eixo longitudinal, origina-se Esforços Normal no seu interior, mesmo sendo de equilíbrio a situação. Assim como todo o corpo está em equilíbrio, qualquer parte sua também estará. Adotando-se o método nas seções, e seccionando o corpo, na seção de corte de área A, deve aparecer uma força equivalente ao esforço normal N, capaz de manter o equilíbrio das partes do corpo isoladas pelo corte (fig b e c). Observe que se as partes isoladas forem novamente unidas, voltamos a situação precedente ao corte. Neste caso, apenas a solicitação de esforço normal N, atuando no centro de gravidade da seção de corte é necessária para manter o equilíbrio. Na prática, vistas isométricas do corpo são raramente empregadas, sendo a visualização simplificada por vistas laterais. 23

24 P P P N σ N σ P P P Σ FV = 0 N - P = 0 N = P Admite-se que este esforço normal se distribui uniformemente na área em que atua (A), ficando a tensão definida pela expressão: N σ = A sendo: N Esforço Normal desenvolvido A Área da seção transversal A tração ou Compressão axial simples pode ser observada, por exemplo, em tirantes, pilares e treliças. A convenção adotada para o esforço normal (N) Normal N + tração - compressão 24

25 Nas tensões normais, adota-se a mesma convenção. As deformações desenvolvidas podem ser calculadas diretamente pela lei de Hooke: P P l l + l ε = l l σ ε = E N = P σ = N A l = σ l E l l = N EA ou : l = N.l E.A II. VALIDADE DA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME Ao adotar-se as equações acima, deve-se ter em mente que o comportamento do material é idealizado, pois todas as partículas do corpo são consideradas com contribuição igual para o equilíbrio da força N. Pode-se calcular a resultante de força N aplicada no centróide da seção forem somadas todas as resultantes de força que atuam em todos os elementos de área que constituem a seção transversal. N = σ.da A No caso de adotar-se a distribuição uniforne, em todos os elementos de área atua a mesma tensão. Decorre daí que: N = σ. A Nos materiais reais esta premissa não se verifica exatamente. Por exemplo, os metais consistem em grande número de grãos e as madeiras são fibrosas. 25

26 Sendo assim, algumas partículas contribuirão mais para a resistência de que outras, e o diagrama verdadeiro de distribuição de tensões varia em cada caso particular e é bastante irregular. Os métodos de obtenção desta distribuição exata de tensões são tratados na teoria matemática da elasticidade e mesmo assim apenas casos simples podem ser resolvidos. Neste caso observa-se que quanto mais perto da carga aplicada estiver a seção em estudo, maior será o pico de tensões normais. Em termos práticos porém, os cálculos pela equação da tensão uniforme são considerados corretos. Dois fatores de concentração de tensões, onde a distribuição uniforme não é válida, são mostrados abaixo, e representam peças com variações bruscas de seção. Deve-se ter um cuidado adicional para com as peças comprimidas, pois peças esbeltas devem ser verificadas a flambagem. A flambagem representa uma situação de desequilíbrio elasto-geométrico do sistema e pode provocar o colapso sem que se atinja o esmagamento. 26

27 III. TRELIÇAS Treliça ideal é um sistema reticulado, indeformável, cujas barras tem todas as extremidades rotuladas e cujas cargas estão aplicadas nestas rótulas. Pelo fato das rótulas não transmitirem momento e devido à ausência de cargas nas barras podemos dizer que as barras de uma treliça estão sujeitas apenas a esforços normais que devem ser calculados. Treliça é uma opção estrutural em casos de grandes vãos ou grandes carregamentos em que estruturas tradicionais seriam muito pesadas e dispendiosas. Como as treliças são constituídas de barras delgadas o peso próprio destas barras é desprezado. Exemplo: P P P P B D F A C E G H Observações: 1. Qualquer polígono que constitua um sistema reticulado, quando articulado em seus vértices é deformável (hipostático) com exceção dos casos abaixo: P P 2. As treliças surgiram como um sistema mais econômico que as vigas para vencerem vãos maiores ou suportar cargas maiores. 3. Embora o caso mais geral seja o de treliças espaciais, o mais frequente é o de treliças planas, que será o estudado em nosso curso. 4. Imaginamos as barras rotuladas em suas extremidades (isto é, sendo livre sua rotação relativa nos nós), conforme figura a. Não é frequente, no entanto, a união destas barras nesta forma, sendo mais comum ligar as barras nos nós atravéz de chapas auxiliares, nas quais rebitamos, soldamos ou parafusamos as barras neles concorrentes (fig. b). 27

28 (a) (b) Estas ligações criarão sempre pequenas restrições à livre rotação relativa das barras nos nós, com o aparecimento de pequenos momentos nas barras. Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no mesmo plano e que estes eixos se encontrem em um único ponto em cada nó, os resultados reais diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria que vamos desenvolver, sendo ela válida do ponto de vista prático. A. TRELIÇAS PLANAS Pode-se facilmente demonstrar que as barras de uma treliça por terem suas extremidades rotuladas (rótulas não absorvem momento), e por terem as cargas aplicadas apenas nos nós, desenvolvem apenas esforços normais constantes ao longo de suas barras. Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma treliça. Sabe-se que uma rótula não transmite momento, e apenas esforços na direção do eixo da barra. Por outro lado, as cargas externas só estão aplicadas nos nós. A análise do equilíbrio nos mostra que nas extremidades das barras de uma treliça só existem esforços na direção do eixo longitudinal da mesma e que são de mesmo módulo, porém sentidos contrários. A existência de esforços perpendiculares ao eixo da barra (esforço cortante) é descartada pois as barras não são carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas extremidades momentos nulos. P P Conclusão: A única solicitação interna desenvolvida é um Esforço Normal constante ao longo da mesma. Como o esforço normal é constante ao longo da barra pode-se calcular o seu valor em uma seção qualquer da barra que se deseja. Lembrando a convenção adotada considera-se positivo os esforços de tração e negativos os esforços de compressão. 28

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30 B. CLASSIFICAÇÃO QUANTO A SUA ESTATICIDADE Pode-se classificar uma treliça quanto a sua estaticidade de maneira muito simples. Sejam: b - número de barras n - número de nós ou rótulas r - número de reações externas As incognitas do problema serão em número de (b + r), representando o número de reações (r) e a solicitação de esforço normal em cada barra (b). O número de equações será de 2n, pois em cada nó se aplicam duas equações de equilíbrio de um ponto material (Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 ). Então: r + b 2 n Treliça hipostática. r + b = 2 n Sugere tratar- se de uma treliça isostática, o que não pode ser confirmado sem antes analisarmos os apoios externos e a lei de formação interna da treliça em questão. r + b > 2 n Sugere tratar- se de uma treliça hiperestática, sendo válidas as observações feitas no caso anterior. C. CLASSIFICAÇÃO QUANTO À LEI DE FORMAÇÃO Quanto a formação as treliças podem ser : 1. Simples : A treliça será simples se puder ser obtida a partir de configurações indeformáveis pela adição de duas a duas barras partindo nós já existentes para novos nós (um novo nó para cada duas novas barras). Exemplo: 2. Composta A treliça é isostática é composta quando for formada por duas treliças simples ligadas por 3 barras não simultaneamente concorrentes ou paralelas, ou por um nó e uma barra sendo que esta barra não concorre no nó citado. A resolução de uma treliça composta pode recair no caso de duas treliças simples, mediante o cálculo prévio dos esforços nos elementos de ligação, o que permitirá isolá-las para fins de cálculo estático. 30

31 Exemplo: 3. Complexa: Uma treliça complexa é classificada por exclusão, ou seja, quando não é simples e nem composta. Observe que não se pode afirmar se ela é isostática pela simples análise (b+r = 2 n) dos números de barras e nós, que é uma condição necessária mas não suficiente para garantir a isostaticidade. Exemplo: D. MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE TRELIÇAS ISOSTÁTICAS SIMPLES MÉTODO DOS NÓS É o método natural de resolução que consiste em se estudar o equilíbrio de cada nó isolado. Devemos INICIAR E PROSSEGUIR pelos nós que possuam apenas duas incógnitas à determinar (esforço normal de 2 barras). Aplicamos as equações de equilíbrio estático: Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Note-se que se o nó tiver mais de duas barras à serem determinadas (2 incógnitas) 2 equações não bastam para a solução do sistema. 1 - Cálculo das reações externas (se necessário) 2 - Escolha do 1º nó à ser examinado 3 - Aplicação das equações de equilíbrio no nó escolhido 4 - Resolvido o primeiro nó, passamos ao segundo sempre com o cuidado de verificar se ela tem apenas duas incógnitas (2 barras à serem determinadas) 31

32 OBS: Este método apresenta o problema de acumular os erros de cálculos que por acaso forem cometidos. Exemplo 1: 20 kn 20 kn E F 3 m C D 3 m A B 3 m R: VA = - 40 kn HA = 20 kn ( ) VB = 60 kn N AB = 0 N AC = + 20 kn N AD = + 28,28 kn N BD = - 60 kn N CD = - 20 kn N CE = 0 N CF = + 28,28 KN N EF = - 20 kn N DF = - 40 kn IV. PESO PRÓPRIO DAS PEÇAS O peso próprio das peças constitui-se em uma das cargas externas ativas que devem ser resistidas. Pode-se observar como se dá a ação do peso próprio: Peças de eixo vertical Peças de eixo horizontal pp G 32

33 Nota-se que nas peças horizontais o peso próprio constitui-se em uma carga transversal ao eixo, desenvolvendo Momento Fletor e Esforço Cortante. No caso das peças verticais o peso próprio (G), atua na direção do eixo longitudinal da peça e provoca Esforço Normal, que pode ter um efeito diferenciado dependendo da sua vinculação: Nas peças suspensas (tirantes) o efeito do peso é de tração e nas apoiadas (pilares) este efeito é de compressão. O peso próprio de uma peça (G) pode ser calculado, multiplicando-se o volume da mesma pelo peso específico do material: G = A. γ.l Sendo: A - área da seção transversal da peça l - comprimento γ peso específico do material Na tração ou compressão axial a não consideração do peso próprio é o caso mais simples. A não consideração do peso próprio se dá em peças construídas em materiais de elevada resistência, quando a mesma é capaz de resistir a grandes esforços externos com pequenas dimensões de seção transversal, ficando portanto o seu peso próprio um valor desprezível em presença da carga externa. Nestes casos é comum desprezar-se o peso próprio da peça. Exemplo: Treliças e tirantes. A. ESFORÇOS, TENSÕES E DEFORMAÇÕES Considere uma barra sujeita a uma carga externa P e ao seu próprio peso, conforme figura abaixo: Sejam: G A - área de seção transversal da peça γ - peso específico do material P l - comprimento da peça P - carga externa atuante na peça Pode ser feita a determinação de uma expressão genérica para o cálculo das tensões normais desenvolvidas ao longo da barra e a deformação total consequente. Usando o método das seções a barra é cortada por uma seção S qualquer e isolado um dos lados do corte. Separar-se em duas partes um corpo. Sendo uma delas extremidade livre, é conveniente que esta parte seja isolada pois evita o cálculo das reações vinculares. 33

34 Como o peso do material deve ser considerado, na seção cortada deve aparecer um esforço normal que equilibre a carga externa e também o peso próprio do material isolado. Isto indica que a posição da seção de corte tem agora importância, pois ela determina o peso da peça isolado pelo corte. De acôrdo com esta conclusão deve-se criar uma variável que nos indique a posição da seção de corte desejada. Fazendo x ser uma ordenada genérica da posição da seção à ser analizada e como a barra tem um comprimento L: N(x) S 0 x L g(x) x P Aplica-se a equação de equilíbrio pertinente: Σ Fy = 0 N - P - g = 0 N = P + g(x) onde g (x ) é o peso parcial da barra isolada pelo corte Para que seja avaliado o peso de um corpo, multiplica-se o seu volume por seu peso específico V = A.x gx = A. γ. x Observe que o esforço normal varia linearmente em função da ordenada x da seção de referência. Como x = 0 x = l N = P + A. γ. x 0 x L pode-se calcular os valores extremos do esforço normal N = P Nmáx = P + A. γ. L Chamando de G o peso total da barra G = A. γ.l Pode-se escrever de outra forma o máximo esforço normal: 34

35 Nmáx = P + G A descrição da variação do esforço normal pode ser expressa de forma gráfica: Assim como se desenvolveram as expressões analíticas para o esforço normal, pode-se desenvlver a expressão para as tensões normais: Sabendo que N σ (x) = A Como N(x) = P + A. γ. x então: σ P = + A ( x) γ.x P + A. γ.x σ (x) = ou A Substituindo x por seus valores extremos tem-se: x = 0 x = L σ = σ P A máx = P A + γ. l Com modificações algébricas pode-se expressar o valor da tensão máxima em função do peso total da barra, colocando A como denominador comum às parcelas: ou P + A. γ.l σ máx = A σ máx = P + G A Para a determinação da deformação total ( l ) sofrida por uma barra sujeita à uma carga externa (P) e ao seu peso próprio (G), e utiliza-se o método das seções. Isola-se um trecho 35

36 desta barra cortando-a por duas seções transversais S e S' infinitamente próximas, formando um prisma de comprimento elementar dx que se alongará apresentando um comprimento dx + dx. N+ N S l S S dx S N dx dx + dx x P ε = dx dx = ε. dx dx = σx σx σ dx =. dx (alongamento do trecho de comprimento dx) E E como visto anteriormente então: σ P dx = EA dx + γ. x E dx x = P A + γ.x Como se quer o alongamento da barra toda deve-se fazer o somatório dos diversos trechos de comprimento dx que compõem a barra, ou seja: Efetuando as integrais: l = l 0 P EA l = γ.x.dx +.dx E P.l E.A 2 γ.l + 2.E 36

37 Pode-se expressar a equação da deformação total em função do peso total G da peça, fazendo algumas modificações algébricas: Observações: l = l EA P + G 2 1. Nas expressões acima deduzidas a carga P das primeiras parcelas representa esforços externos à peça em estudo ficando as segundas parcelas com o efeito do peso próprio. 2. Tanto o esforço normal máximo como a tensão normal máxima foram expressos em duas equações, uma em função do peso específico do material e outra em função do peso total da peça. A utilização de uma ou outra equação depende da conveniência do problema. 3. Como foi utilizado na dedução destas expressões, um exemplo em que tanto a carga externa como o peso próprio são esforços de tração, ambas as parcelas são positivas. No caso de haver qualquer um destes efeitos negativo (compressão) deve-se mudar o sinal da parcela correspondente. V. BARRAS DE IGUAL RESISTENCIA Se a área da seção transversal de uma barra varia contínuamente de modo que em todas as seções atingimos a tensão admissível do material, a barra será chamada de igual resistência. Existem duas razões para se variar a área da seção transversal de uma peça ao longo de seu comprimento: 1. Se a área da seção fôr constante ao longo de seu comprimento, aproveita-se a tensão admissível do material em apenas uma seção (a seção de tensão máxima) ficando as demais com tensões abaixo da tensão que o material poderia estar desenvolvendo. Pode-se conseguir uma economia de material diminuindo a área das seções onde a tensão é inferior à tensão admissível. 2. Nos casos em que o peso específico do material é elevado em presença de sua resistência procura-se variar a área da seção tornando a peça mais leve e econômica. Para atingir-se a situação ideal que descreve uma barra de igual resistência, deve-se formar uma equação que determine a lei de variação da área, mantendo a tensão constante e no máximo. Se chegaria à uma lei logarítmica do tipo: A = Ao. e onde Ao é a área inicial (situação mais favorável), γ o peso específico do material, σ a tensão admissível do mesmo e x a variável que marca a posição da seção na peça. O que teóricamente seria o ótimo, pela dificuldade de execução não se mostra econômico pois não é fácil a execução de uma peça com seção variando segundo uma lei logarítmica. Pode-se, entretanto, fazer a área da seção variar descontinuamente, mantendo-a constante em determinados trechos e assim torná-la mais leve e portanto mais econômica. γ x σ 37

38 Este procedimento simplificado leva ao que se chama de barra de igual resistência aproximada, o que na prática é o mais usado. VI. SISTEMAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS Se diz que um sistema é estáticamente indeterminado quando necessita-se de mais condições para resolvê-lo do que as simples condições estáticas. A. PEÇAS CONSTITUÍDAS DE DOIS MATERIAIS DIFERENTES E COAXIAIS Na prática surge frequentemente a necessidade de se projetar peças constituidas de dois ou mais materiais diferentes, sujeitas á tração ou compressão axial. Como exemplo para o problema vamos supõe-se um cilindro envolto por um tubo. As peças são construídas em materiais diferentes e comprimidos entre os pratos de uma prensa. Sendo os materiais coaxiais tem o centro de gravidade comum. 38

39 Corta-se esta peça e adotando-se o método das seções para serem determinadas as tensões atuantes nestes materiais: N1 = σ1. A1 N2 = σ2. A2 Σ Fv = 0 P - N1 - N2 = 0 P =N1 + N2 Esta condição da estática não é suficiente pois precisa-se determinar duas incógnitas, de modo que precisa-se de outra condição para o problema. Estas são chamadas de Condições de Compatibilidade, são próprias dos casos e normalmente referem-se à condições de deformações obrigatórias para que os sistemas analisados trabalhem conforme se observa. Neste caso pode-se usar a condição de que se a peça trabalha como um bloco único, portanto a deformação dos diversos materiais deve ser a mesma. l1 = l 2 = l então: Como l1 = l2 = l N l E1. A N2.l = E2.A N 1. l N2.l N 1 N2 = = E A E.A 2 2 E A E.A Substituindo N1 e N 2 por seus valores teremos: 39

40 σ1. A1 E1. A1 σ2. A2 = E2.A 2 ou simplesmente: σ E 1 1 = σ E 2 2 σ σ 1 2 = E E 1 2 Interpretando físicamente a equação acima, ve-se que a quantidade de tensão desenvolvida em cada material é proporcional à sua elasticidade. Como E1 e E2 correspondem à constantes de um material a relação entre as tensões também é uma constante que poderemos chamar de n. σ n.σ Logo: 1 = 2 E n = E 1 2 Levando este valor à equação de equilíbrio estático temos: P = (n.σ2) A1 + σ2. A 2 ou isolando σ2 σ 2 = P n.a1 + A 2 B. PEÇAS HIPERESTÁTICAS P a b Em casos como o acima indicado, onde a vinculação é excessiva (peça hiperestática), precisase também condições além das estabelecidas pelo equilíbrio estático. Como os vínculos nas extremidades são de 3ª espécie, conclui-se que a deformação na direção da carga aplicada é impedida. Considerando-se a barra formada por dois trechos determinados pelo ponto de carga aplicada, podemos montar o seguinte sistema: R1 P R2 a b 40

41 Σ Fx = 0 R1 + P - R2 = 0 Equação de Compatibilidade: l = 0 l1 + l2 = 0 N1. l1 l1 = E.A N2. l2 l2 = E.A Pode-se expressar N1 e N2 em função das cargas externas P, R1 e R 2, e então obtem-se duas equações com duas incógnitas (R1 e R2 ), o que torna o siatema algébricamente viável. VII. PEÇAS E RECIPIENTES DE PAREDES FINAS Outra aplicação de tensões normais uniformemente distribuidas ocorre na análise simplificada de peças ou recipientes de paredes finas assim como tubos, reservatórios cilíndricos, esféricos,cônicos, etc. sujeitos à pressão interna ou externa de um gás ou líquido. Por serem muito delgadas as paredes destas peças, considera-se uniforme a distribuição de tensões normais ao longo de sua espessura e considera-se também que devido à sua flexibilidade estas peças não absorvem e nem transmitem momento fletor ou esforço cortante. A relação entre a espessura e o raio médio da peça não deve ultrapassar 0,1, sendo excluída a possibilidade de descontinuidade da estrutura. Nestes casos também existe a possibilidade de ruptura por flambagem das paredes sujeitas à compressão, possibilidade esta que não será considerada de momento. As aplicações deste estudo se dão em tanques e recipientes de armazenagem de líquidos ou gazes, tubulações de água ou vapor (caldeiras), cascos de submarinos e certos componentes de avião, que são exemplos comuns de vasos de pressão de paredes finas. A. TUBOS CILINDRICOS DE PAREDES FINAS Seja o tubo de paredes finas abaixo: Seja: pi - pressão interna ri - raio interno t - espessura da parede Intuitivamente se pode observar suas transformações quando sujeito por exemplo à uma pressão interna pi: 41

42 Observe que o arco genérico de comprimento ds após a atuação da pressão interna alongou e passou a medir ds+ ds, portanto houve uma tensão de tração capaz de alongá-lo. Como o arco aumentou na sua própria direção, e como o arco considerado ds é um arco genérico, pode-se concluir que em todos os arcos elementares que constituem a circunferência se desenvolve uma tensão normal, que por provocar um alongamento é de tração (+) e por ter a direção da circunferência chama-se de tensão circunferencial( σcirc ). 1. Deteminação da tensão circunferencial e de sua deformação Para a determinação do valor desta tensões consida-se um tubo de comprimento 'L' conforme desenho: Secciona-se o tubo segundo um plano diametral longitudinal e aplicamos as equações de equilíbrio: Ao efetuar-se o corte, na seção cortada devem aparecer tensões que equilibrem o sistema. Conforme já foi visto são tensões circunferenciais. Pode-se substituir as presões internas por um sistema equivalente: 42

43 Aplicando a equação de equilíbrio estático pertinente: Σ Fy = 0 σcirc 2.L.t - pi.2.ri.l = 0 2.L.t área de corte onde atua a σcirc 2.ri.L área onde atua pi Efetuando modificações algébricas chega-se na expressão: σ circ = pi. ri À tensão crcunferencial corresponde uma deformação circunferencial. ε circ t ds = ds Considerando-se o comprimento dos arcos como o da circunferencia toda: comprimento inicial = 2.π.ri comprimento final = 2.π. (ri + ri ) então ds = 2.π. (ri + ri ) - 2.π.ri = 2.π. ri ε circ Pela lei de Hooke 2. π. ri ri = = = εrad 2. π.ri ri então comparando os valores: ε σ E circ circ = = p i.ri t.e r ri i p i.ri = t.e Observações: p i.r ri = t.e Chega-se aos valores das tensões e deformações circunferenciais tomando-se como exemplo o caso de tubos sujeitos à pressão interna. Quando se estiver diante de um caso onde atuam pressões externas, pode-se adaptar o formulário. Pode-se citar como exemplo destes casos tubulações submersas que estão sujeitas à pressão do líquido na qual estão submersas (pressão externa). i 2 43

44 Podemos notar que sob o efeito de pressões internas o comprimento da circunferência que compõe a seção do tubo diminui ao invés de aumentar e portanto as tensões circunferenciais são de compressão e portanto negativas. Da mesma maneira o raio da seção diminui e portanto também sua variação é negativa. O formulário fica: σ circ pe.r = - t e r e pe. r = - t.e e 2 B. RESERVATÓRIOS CILÍNDRICOS DE PAREDES FINAS Reservatórios cilíndricos de paredes finas nada mais são do que tubos com as extremidades fechadas. Pode-se notar que a ação da pressão sobre as paredes longitudinais do reservatório exercem o mesmo efeito que nos tubos, e que a ação da pressão nas paredes de fechamento faz com que a tendência do reservatório seja aumentar de comprimento. Isto sugere o aparecimento de tensões na direção do eixo longitudinal do reservatório chamadas de tensões longitudinais(σ long). O cálculo do valor destas tensões é feito fazendo um corte transversal no reservatório e aplicando equações de equilíbrio. Se fosse isolado um elemento de área da parede do reservatório, a seguinte situação apareceria: σ circ σ long p i.ri = t p i.ri = 2.t 44

45 C. RESERVATÓRIOS ESFÉRICOS DE PAREDES FINAS Quando submetido à pressão, um reservatório esférico de paredes finas desenvolve tensões circunferenciais em todas as direções, pois todas as direções formam circunferências. Um elemento de área da parede deste reservatório seria representado: O valor destas tensões circunferenciais seria: σ circ = p i.r 2.t i 45

46 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1. Uma barra de seção transversal retangular de 3 x 1 cm tem comprimento de 3 m. Determinar o alongamento produzido por uma carga axial de tração de 60 kn, sabendose que o módulo de elasticidade longitudinal do material é de kn/cm2. R: 0,3 cm 2. Determine as tensões normais desenvolvidas no pilar abaixo indicado nas seções de topo, meia altura e base. O material com que ela é construída tem peso específico 30 kn/m 3. Vista Frontal Vista Lateral 90 kn 90 kn 60 m 30 m 2 m 3. Uma barra de aço e outra de alumínio tem as dimensões indicadas na figura.determine a carga "P" que provocará um encurtamento total de 0,25 mm no comprimento do sistema. Admitimos que as barras são impedidas de flambar lateralmente, e despreza-se o peso próprio das barras. Dados: Eaço = kn/cm2 OBS : medidas em cm EAl = 0, kn/cm2 46

47 P Aço Seção 50 x cm Alumínio Seção 100 x cm R : P kn 4. A treliça da figura suporta uma força de 54 tf. Determine a área das seções transversais das barras BD, CE e DE sabendo-se que a tensão admissível de escoamento do material é de l.400 Kgf/cm2. Determine também o alongamento da barra DE sendo E= 2,1. 104kN/cm2. R: ADE = 38,57 cm2 lde = 0,133 cm ACE =28,92 cm2 ABD = 14,46 cm2 5. Para a treliça da figura determine as áreas mínimas necessárias às hastes FG e CD, sendo dados do material : σt = 4 kn/cm2 σc = 6 kn/cm2 s = 2 47

48 R: ACD=20 cm2 AFG= 19,4 cm2 6. Para a treliça da figura determine as áreas necessárias às hastes DF e DE sendo dados: σt = 16 kn/cm2 σc = 20 kn/cm2 s = 2 R: ADF = 9 cm2 ADE = 12,5 cm2 7. Um cilindro sólido de 50 mm de diametro e 900 mm de comprimento acha-se sujeito à uma força axial de tração de 120 kn. Uma parte deste cilindro de comprimento L1 é de aço e a outra parte unida ao aço é de alumínio e tem comprimento L2. a. Determinar os comprimentos L1 e L2 de modo que os dois materiais apresentem o mesmo alongamento. b. Qual o alongamento total do cilindro. Dados: Eaço = kn/cm2 EAl = 0, kn/cm2 48

49 R: (a) L1 = 66,5 cm L2 = 23,33 cm (b) l = 0,04 cm 8. Um pilar de tijolos recebe uma carga axial de 70 kn. Dimensione-o com seção quadrada de lado a levando em conta que a tensão admissível de compressão para esta alvenaria é de 0,08 kn/cm 2. Dimensione também o seu bloco de fundação, com seção igualmente quadrada e lado b, sabendo que o solo onde o sistema assenta tem uma tensão de compressão admissível de 0,025 kn/cm 2. (DICA: O peso próprio dos materiais deve ser considerado). Dados : γ alvenaria = 15 kn/m 3. γ concreto = 25 kn/m kn a a 4 m 2 m b b 49

50 9. A carga P aplicada à um pino de aço é transmitida por um suporte de madeira por intermédio de uma arruela de diametro interno 25 mm e de diametro externo "d". Sabendo-se que a tensão normal axial no pino de aço não deve ultrapassar 35 MPa e que a tensão de esmagamento média entre a peça de madeira e a arruela não deve exceder 5MPa, calcule o diametro "d" necessário para a arruela. R: 6,32 cm 10. Aplica-se à extremidade C da barrade aço ABC uma carga de 66,7 kn. Sabe-se que Eaço é de 2,1.104 kn/cm2. Determinar o diametro "d" da parte BC para a qual o deslocamento do ponto C seja de 1,3 mm. R: 21,8 mm 11. Usando o desenho do problema anterior, suponha as duas partes da barra de alumínio com módulo de elasticidade longitudinal de 0,7. 104kN/cm2. O diametro da parte BC é de 28 mm. Determinar a máxima força que pode ser aplicada na extremidade C sabendo-se que o seu deslocamento não pode ultrapassar 3,8 mm. Sabe-se que a tensão de escoamento admissível para o alumínio é de 16,5 kn/cm2. R: P 84 kn 12. O fio de aço CD de 2 mm de diametro tem seu comprimento ajustado para que sem nenhum carregamento exista uma distancia média de 1,5 mm entre a extremidade B da viga rígida ABC e o ponto de contato E. Pede-se determinar em que ponto deve ser colocado o bloco de 20 kgf sobre a viga de modo a causar contato entre B e E. 50