O número de indemnizações até à ruína e recuperação. Alfredo Duarte Egídio dos Reis

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1 O número de indemnizações até à ruína e recuperação Alfredo Duarte Egídio dos Reis Lisboa, Maio de 22

2 Resumo da Lição de Síntese apresentada para as provas de agregação de Alfredo Duarte Egídio dos Reis, no consurso do grupo III de disciplinas(matemática) do Instituto Superior de Economia e Gestão da Universidade Técnica de Lisboa. Alfredo Duarte Egídio dos Reis Maio de 22 i

3 O número de indemnizações até à ruína e recuperação Resumo da Lição de Síntese OtemapropostoparaaLiçãodaSíntesecobreumproblemaespecífico da Teoria da Ruína, ramo da Teoria do Risco, com aplicação na actividade seguradora. A apresentação das matérias propostas é um desenvolvimento que pode ser apresentado como uma aula final da disciplina de Complementos de TeoriadoRisco domestradoemciênciasactuariais do ISEG. Esta apresentação pode ser considerada como um desenvolvimento e extensão natural das matérias apresentadas nessa disciplina, já que o estudante uma vez tendo frequentado o programa da cadeira já terá adquirido todos os conceitos e instrumentos necessários à compreensão do tema e seu desenvolvimento. Nessa disciplina aborda-se de uma forma geral o problema da ruína de uma carteira de seguros no modelo clássico, seja ela a probabilidade de ruína eventual ou em tempo finito, sejam outros problemas adjacentes tais como a gravidade de ruína, a reserva antes de ruína, a perca agregada máxima, ou ainda introduzindo algumas variações ao modelo clássico, em tempo contínuo, como sendo a introdução de barreiras, reflectoras ou absorventes, e resseguro ao modelo. O problema da ruína de uma carteira é um problema muito importante para o negócio da actividade seguradora, pois do nível da sua probabilidade se faz depender o cálculo do prémio, assim como o nível de investimento de partida que será necessário avaliar tendo em vista a sobrevivência da mesma. Em muitas situações o cálculo da probabilidade de ruína eventual só é possível de forma aproximada, pois nesses casos não se consegue uma fórmula fechada para a sua probabilidade. O problema da probabilidade de ruína em tempo finito ainda é um problema mais difícil, sendo que na maior parte dos casos apenas se consegue a sua quantificação de forma aproximada. No programa da disciplina de Complementos de Teoria do Risco a probabilidade de ruína em tempo finito no modelo clássico é abordada de uma forma superficial, exactamente pela dificuldade do tema considerando o nível que se pretende para o curso. No entanto, este problema é abordado de uma forma mais elaborada quando se fala do modelo discreto de Poisson, já que se pode utilizar este modelo e seus resultados para aproximar o cálculo da probabilidade no modelo contínuo. Com o tema que que se propõe, pode-se ter uma idéia sobre a probabilidade em tempo finito, já que se propõe avaliar a probabilidade de ocorrência de ruína na n-ésima indemnização. Note-se que a ruína, a acontecer, ocorre no instante de uma indemnização. Assim sendo, o método que se propõe-se pretende calcular a probabilidade de ruína nos instantes possíveis da sua ocorrência, sem no entanto especificar em termos de tempo onde eles se situam, mas apenas em que indemnização. Para a resolução deste problema, o método necessita do cálculo da função de probabilidade do número de indemnizações durante um período de reserva negativa, caso a ruína aconteça, e que se designa por Tempo de Recuperação do processo. O tema desta apresentação é baseado em Egídio dos Reis (21) ii

4 Conteúdo 1 Introdução 1 2 O número de indemnizações até à ruina 4 3 O número de indemnizações até à recuperação 5 4 O caso com reserva inicial nula, u = 7 iii

5 1 Introdução Nesta primeira secção faz-se uma apresentação sumária do modelo clássico de risco, em tempo contínuo, definindo as variáveis que se utilizam, abordando ainda de forma sumária os diferentes problemas envolvidos, e apresenta-se o tópico central. No processo clássico de risco as indemnizações ocorrem segundo um processo de Poisson com determinada intensidade, o prémio é fixo, cobrado de forma contínua ao longo do tempo, e as indemnizações são consideradas pagas no instante da sua ocorrência. Seja {U(t),t } o processo de risco em tempo contínuo, tal que U(t) =u + ct S(t), t, em que U(t) éareservaderiscoacumuladanointervalo(,t], u = U() é a reserva inicial, c éo prémio cobrado por unidade de tempo, S(t) = P N(t) j=1 X j (S(t) =se N(t) =) são as indemnizações agregadas até ao instante t, N(t) é o número de indemnizações no mesmo intervalo de tempo, com distribuição de Poisson (λt), e{x j } j=1 é uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d., que representam os montantes individuais das indemnizações. Além disso, a sequência {X j } é independente de {N(t)}. Designa-se por B(x) e b(x), respecitvamente, a função de distribuição e a função de densidade de X j, sendo que B() =. Assume-seaindaqueovaloresperadodeX j existe e é igual a b 1 eque c>λb 1.Parasimplificar escreve-se a = λ/c. Uma trajectória do Processo Reserva de Risco está representada na Figura 1. É uma trajectória que representa o acontecimento ruína". O instante de ruína é representado pela variável aleatória T, i.e., ½ inf{t : U(t) < } T =. se U(t) t A probabilidade de ruína eventual é ψ(u) =Pr{U(t) < para algum t> U() = u} =Pr{T < U() = u}, sendo que o seu complementar δ(u) =1 ψ(u) representa a probabilidade de sobrevivência eventual. É conhecido que ψ() = ab 1. Veja-se Veja-se Egídio dos Reis (1999) ou Bowers, Gerber, Hickman, Jones & Nesbitt (1986) ou ainda Centeno (21). Se se permitir que o processo continue mesmo que ruína ocorra, o processo recupera, mais tarde ou mais cedo, para valores positivos, acontecimento com probabilidade um. A variável aleatória que representa o tempo de recuperação é T. U(T ) é a gravidade de ruína com função de distribuição e densidade (impróprias) d G(u; x) =Pr{T < e U(T ) > x U() = u} e G(u; x) =g(u; x) dx e U(T ) é a reserva imediatamente antes de ruína com função de distribuição e densidade (impróprias) F (u; x) =Pr T< e U(T ) <x U() = u ª d e F (u; x) =f(u; x). dx Quando u =tem-se g(; x) =f(; x) =a[1 B(x)]. Sobre as distribuições G(u; x) e F (u; x) podem consultar-se os textos de referência Gerber, Goovaerts & Kaas (1987), Dufresne & Gerber (1988) e Dickson (1992). As variáveis aleatórias U(T ) e U(T ) não são em geral independentes. Com u = e B(x) =1 exp{ βx}, U(T ) e U(T ) são condicionalmente independentes, dado T<. Para algumas escolhas particulares de B(x) conseguem-se formas fechadas simples para as probabilidades de ruína, nomeadamente nos seguinte exemplos: 1

6 6 u % % %% T U(T ) U(T ) % T + T %% 7 U(t) - t ¾ M - ¾ K - ind. ind. Figura 1: O processo reserva de risco Exemplo 1 B(x) =1 exp{ βx} ψ(u) = a β e Ru g(u; x) = λ c e βx e Ru f(,x) = g(,x)=βe βx ½ a f(u; x) = 2 R 1 e Ru (exp{ ax} exp{ βx}) para x<u a R exp{ βx} (β a exp{ Ru}) para x>u R = β a Exemplo 2 P (x) =1 (1 + βx)exp{ βx} 2

7 ψ(u) = G(u; x) = 2X k=1 k=1 R k = (1/2) β + R k β(3β + R k ) (3β +2R k) e R ku 2X β + R k β(3β + R k ) ³3β +2R k β 2 + βr k x +3β +2Rk e βx e R ku ³ a 2β ± p a 2 +4aβ g(; x) = f(,x)= 1 2 βe βx β2 xe βx, k =1, 2. F (u; x) = ( G(u x, x) 1 G(,x) 1 ψ() [ψ(u z) ψ(u)] para x u 1 G(,x) ψ() G(,x) 1 ψ() ψ(u) 1 ψ() para x>u Para calcular a probabilidade de ruína em tempo finito a tarefa é mais difícil, em geral é feita através de cálculo aproximado. Existem, no entanto, expressões para a probabilidade em tempo finito, que são as chamadas equações de Seal. São pouco práticas, já que a sua utilização directa não é fácil. Seja a probabilidade de ruína em tempo finito, ψ(u, t): ψ(u, t) = Pr(T<t)=Pr{U(τ) < para algum τ, <τ t u = U()} δ(u, t) = 1 ψ(u, t) As equações de Seal são as seguintes [veja-se Seal (1978)]: δ(u, t) = F (u + ct, t) c δ(,t) = 1 ct Z ct F (x, t)dx Z t δ(,t x)df (u + cx, x) em que F (x, t) é a função de distribuição das indemnizações agregadas no período (,t). Muito se tem discutido na literatura actuarial ácerca da probabilidade de ruína, seja ela eventual ou em tempo finito. Pode-se abordar o problema da ruína com outra perspectiva, em vez de se tentar estudar o tempo que decorre até a á ruína, se acontecer, pode-se contar indemnizações e avaliar em que indemnização ocorre. Note-se que se a ruína acontecer esta ocorre no instante de uma indemnização. Seja M a variável aleatória que representa o número de indemnização que ocorrem até ao evento ruína". O objectivo desta apresentação é calcular a função de probabilidade de M. Aprimeira abordagem deste problema é feita, de forma limitada, por Stanford & Stroiński (1994), através de transformadas de Laplace-Stieltjes, calculadas recursivamente, sobre a distribuição do incremento (positivo ou negativo) da reserva de risco entre duas indemnizações consecutivas. Estes autores consideraram uma família particular de distribuições para B(x). O método que se apresenta, também baseado em transformadas de Laplace, é não só mais simples como os resultados são gerais. Para a resolução do problema presente é necessário calcular a distribuição do número de indemnizações durante o período de recuperação (T ), particularmente para u =. SejaK avariávelaleatóriaquerepresentaestaquantidade. Este problema não foi estudado pelos autores Stanford & Stroiński (1994). Sejam P (u; n) a probabilidade de que a ruína ocora até à n-ésima indemnização, inclusive, partindo de uma reserva inicial u, ep(u; n) a respectiva função de probabilidade. Sejam T c e Tc as 3

8 variáveis aleatórias, condicionadas, que representam o tempo de ruína e o tempo de recuperação, dado T <. A gravidade de ruína condicionada ao evento T < é representada pela v.a. Y c. Seja q(u; n) a função de probabilidade de K. O suporte de K é o conjunto {, 1, 2,...}, enquanto queosuportedem é {1, 2,...}, i.e., para que possa haver ruína tem que haver pelo menos uma indemnização, enquanto que o processo uma vez arruinado pode recuperar sem nenhuma ocorrência. Obviamente tem-se e ψ(u) =lim n P (u; n). p(u;1) = P (u;1) p(u; n +1) = P (u; n +1) P (u; n), n =1, 2,... 2 O número de indemnizações até à ruina Considerando a primeira ocorrência de indemnização tem-se p(u;1) = p(u; n +1) = = a r=u λ exp{ λt} λ exp{ λt} u+ct Z u+ct b(x)dxdt = ae au e ax [1 B(x)] dx (1) u b(x)p(u + ct x; n)dxdt, n 1 (2) e a(r u) b p(r; n)dr, (3) com a convolução b p(r; n) = R r x= b(x)p(r x; n)dx. Seja p(s; n +1)= R e su p(u; n +1)du a transformada de Laplace (TL) de p(u; n +1).ATLde(3) vem, para n =1, 2,... p(s; n +1) = a e su e a(r u) b p(r; n)drdu a = p(a; n) b(a) p(s; n) b(s), s 6= a, (4) s a atendendo à propriedade da transformada de uma convolução, e onde b(s) éatldeb(x). De forma semelhante, obtém-se usando (1) p(s;1) = ae (s a)u e ax [1 B(x)] dxdu onde ḡ(; s) é a TL da densidade g(,x). Da fórmula (3) com u =obtém-se p(; n +1) = r=u u = (s a) 1 (ḡ(; a) ḡ(; s)), s 6= a, (5) s= ae as b p(s; n)ds = a p(a; n) b(a), n =1, 2,... (6) donde, p(s; n +1)= p(; n +1) a b(s) p(s; n), n 1(s 6= a) (7) s a 4

9 A transformada (7) é recursiva e necessita do cálculo de p(; n +1). Resulta imediatamente de (1) que p(; 1) = ḡ(; a) (8) Por substituição sucessiva em (7) e usando (5) obtém-se n 1 n 1 a b(s) X i a b(s) p(s; n) = ( 1) n (s a) n ḡ(; s)+ ( 1) i p(; n i), n =1, 2,... i+1 i= (s a) p(s;1) = (s a) 1 (ḡ(; a) ḡ(; s)), s 6= a com ḡ(; s) =a[1 b(s)]/s e ḡ(; a) =1 b(a). Invertendo p(s; n) obtém-se a função de probabilidade p(u; n), que depende das probabilidades p(; i), i =1, 2,...,n. A secção seguinte trata do cálculo de p(; i). Atendendo às propriedades das transformadas de Laplace de convoluções obtém-se n 1 X p(u; n) = ( 1) n a n 1 b (n 1) g(;.) h(u; n)+ ( a) i b i h(u; i +1) p(; n i), n =2, 3,... p(s;1) = h(u;1) p(; 1) g(;.) f(u;1) h(u; i) = h i (u;1)= eau u i 1, i =1, 2,..., (i 1)! sendo que (s a) i, i =1, 2,...,n,éaTLdafunçãoh(u; i). i= 3 O número de indemnizações até à recuperação Nesta secção vai-se abordar a distribuição da variável aleatória K, representa o número de indemnizações que ocorrem durante um período de reserva negativa, condicionada ao evento ruína". A sua abordagem necessita da distribuição de Y c. Recorde-se que uma vez tendo ocorrido ruína, dado a hipótese inical c>λb 1, o processo {U(t)} recupera para valores positivos com probabilidade um. A função de probabilidade é q(u; n) =Pr[K = n], n =, 1, 2,... O método de cálculo recorre a um resultado retirado de Gerber (199). Considere-se o processo de risco com u =econsidere-seotempodeprimeirapassagemporumnívelpositivox, fixo. Suponham-se fixados x e S k = X 1 + X X k (S ), k =, 1, 2,... Dados x e S k,gerber (199) mostrou que a probabilidade condicionada da primeira passagem do processo {U(t) u =} pelo nível x entre as indemnizações k e (k +1)é: q(k x, S k )=x ak (S k + x) k 1 e a(sk+x), k =, 1, 2,... (9) k! Se se considerar agora que no processo {U(t) U() = u} a ruína aconteceu e com gravidade x, pode-se então recomeçar o processo partindo da reserva x e considerar o tempo de recuperação até ao nível zero, ou seja partindo de zero e atingir pela primeira vez o nível positivo x. Então a probabilidade (condicionada, dado x e S k ) de ocorrer k indemnizações até à recuperação é dada pela expressão (9). Para k =1, 2,..., sabendo que a densidade de S k éak-ésima convolução de b(.) e que a densidade de Y c é g(u;.)/ψ(u), tem-seque q(u; k) = q(k x, z)b k (z) 5 g(u; x) dzdx, k =1, 2,... (1) ψ(u)

10 Calculando primeiro o integral interior de (1), tem-se q(k x) = Sabendo que (z + x) k 1 = P k 1 n= q(k x) = xak k! e ax = xak k! e ax = ak k! e ax x ak (z + x) k 1 e a(z+x) b k (z)dz, k =1, 2,... k! k 1 n z n x k 1 n (parak =1, 2,...)obtém-se Xk 1 µ k 1 z n x k 1 n e az b k (z)dz n n= Xk 1 µ Z k 1 x k 1 n z n e az b k (z)dz n n= X µ k 1 x k n ( 1) n d n! n ds n b(s) k + x k b(a) k. s=a Ã k 1 n=1 Calculando agora o integral exterior de (1), tem-se ψ(u)q(u; k) = = ak k! q(k x)g(u, x)dx Ã k 1 = ( a)k k! X µ µ k 1 ( 1) n d n Z n ds n b(s) k x k n e ax g(u, x)dx n=1 s=a + b(a) k x k e ax g(u, x)dx Ã k 1 X µ µ k 1 d n µ n ds n b(s) k d k n ḡ(u; s) s=a dsk n n= onde o símbolo d ds b(s) k s=a = b(a) k. Se se aplicar a regra de Leibnitz para derivadas de um produto obtém-se ψ(u)q(u; k) = ( a)k k! µ d k 1 ds k 1 ³ b(s)kḡ (u; s) s=a, k =1, 2,... s=a! Para k =, pode-se obter q(u;) apartirde(9)coms, q(u;)= R q( x, ) g(u;x) ψ(u) dx. Em resumo q(u; ) = ḡ(u; a)/ψ(u) q(u;1) = a b(a)ḡ (u; a)/ψ(u) (11) µ q(u; n) = ( a)n d n 1 b(s)nḡ ψ(u)n! ds n 1 (u; s), n =2, 3,... s=a Note-se que as transformadas envolvidas nas fórmulas acima existem para, pelo menos, s, vejase Gerber (1979). Para cálculo da distribuição da gravidade de ruína pode consultar-se o texto, já mencionado, Gerber et al. (1987), e além disso Lin & Willmot (1999) ou Willmot (2)., 6

11 4 O caso com reserva inicial nula, u = Nesta secção considera-se o caso particular u =e q(; n), n =, 1, 2.., que irá permitir calcular p(; n), n =1, 2,... Quando u =é fácil concluir que ḡ(; s) =a[1 b(s)]/s e ḡ (; s) = ḡ(; s)+a b (s) /s, portanto ḡ(; a) =1 b(a) e ḡ (; a) = ḡ(; a)/a b (a). Sabendo que ψ() = ab 1,tem-se q(; ) = ḡ(; a)/ψ() = 1 b(a) /ab 1 q(; 1) = a b(a)ḡ (; a)/ψ() = b(a) ḡ(; a)/a + b (a) /b 1 (12) µ q(; n) = ( a)n 1 d n 1 b(s)nḡ b 1 n! ds n 1 (; s), n =2, 3,... s=a Pode-se estabelecer uma relação directa entre as v.a. s M e K quando u =. Sejam as v.a. s condicionadas, dado T<, T c and Tc. Tal como foi explicado por Egídio dos Reis (1993) [pode consultar-se também Dickson & Egídio dos Reis (1994)], estas duas variáveis aleatórias têm a mesma distribuição. Portanto ψ()q(; n) =p(; n +1), n =, 1, 2,... (13) Exemplo 3 B(x) =1 exp{ βx}. Tem-se, ψ() = a/β, b(s) =β(β + s) 1, ḡ(,s)=a(β + s) 1, obtendo-se p(,n+1) = ψ()q(.n) = (2n)! n+1 1 b(a) b(a) n, n =, 1, 2,... n!(n +1)! Referências p(,n+1) ψ() = q(.n) = (2n)! n!(n +1)! 1 b(a) n b(a) n+1, n =, 1, 2,... Bowers, N. L., Gerber, H. U., Hickman, J. C., Jones, D. A. & Nesbitt, C. J. (1986), Actuarial Mathematics, 1st edn, The Society of Actuaries, Itasca, Illinois, USA. Centeno, L. (21), Teoria do Risco, Texto de Apoio nō 17/TA, Cemapre-ISEG, Rua do Quelhas 6, Lisboa. Dickson, D. C. M. (1992), On the distribution of the surplus prior to ruin, Insurance: Mathematics &Economics11, Dickson, D. C. M. & Egídio dos Reis, A. D. (1994), Ruin problems and dual events, Insurance: Mathematics & Economics 14, Dufresne, F. & Gerber, H. U. (1988), The surpluses immediately before and at ruin, and the amount of the claim causing ruin, Insurance: Mathematics & Economics 7, Egídio dos Reis, A. D. (1993), How long is the surplus below zero?, Insurance: Mathematics & Economics 12, Egídio dos Reis, A. D. (1999), Teoria da Ruína, Texto de Apoio nō 17/TA, Cemapre-ISEG, Rua do Quelhas 6, Lisboa. 7

12 Egídio dos Reis, A. D. (21), How many claims to get ruined and recovered? Documento de trabalho nō 1-21,Cemapre-ISEG. Submetido para publicação a Insurance: Mathematics and Economics. Gerber, H. U. (1979), An Introduction to Mathematical Risk Theory, S.S. Huebner Foundation for Insurance Education, University of Pennsylvania, Philadelphia, Pa. 1914, USA. Gerber, H. U. (199), When does the surplus reach a given target?, Insurance: Mathematics & Economics 9, Gerber, H. U., Goovaerts, M. J. & Kaas, R. (1987), On the probability and severity of ruin, Astin Bulletin 17, Lin, X. S. & Willmot, G. E. (1999), Analysis of a defective renewal equation arising in ruin theory, Insurance: Mathematics and Economics 25, Seal, H. L. (1978), Survival Probabilities, John Wiley & Sons, New York. Stanford, D. A.& Stroiński, K. J. (1994), Recursive methods for computing finite-time ruin probabilities for phase-distributed claim sizes, Astin Bulletin 24(2), Willmot, G. E. (2), On evaluation of the conditional distribution of the deficit at the time of ruin, Scandinavian Actuarial Journal 1(1),