1 Teoria da Utilidade

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1 Teoria do Risco 2006/07, Disciplina Optativa, 2 o s. 1 Teoria da Utilidade 1. O Sr. Bonifácio quer fazer face a uma perda aleatória X. Considera a seguinte função utilidade: u(x) = exp{ 0, 015x}, <x<+ (a) Sabendo que X N(100, ), mostre que o prémio máximo que está disposto a pagar para segurar esta perca é de 175. (b) Sabendo que X N(80,σ 2 ), calcule o conjunto de valores de σ para os quais o prémio máximo que está disposto a pagar para adquirir um seguro sobre X é superir a Considere a seguinte função utilidade u(x) = x, x 0. A um decisor, que detém uma capital w, é proposto a troca desse capital por um de dois montantes aleatórios à sua escolha X e Y. As distribuições de probabililidades de X e Y são dadas por: x f(x) e y g(y) (a) Mostre que o decisor prefere X a Y. (b) Determine para que valores de w o decisor deve declinar a oferta? (c) Será que usando outra função utilidade poderá concluir que Y é preferível a X? 3. Um investidor decidiu orçamentar para o próximo ano todo o seu dinheiro em um de dois investimentos alternativos. No início do ano em questão a sua riqueza era de A, sendo que a riqueza resultante do investimento i édeax i, onde X i (i =1, 2) é a riqueza acumulada de uma unidade investida. O investidor considera que X i tem distribuição Lognormal com parâmetros µ i e σ i. O investimento escolhido é o que maximiza a utilidade esperada da sua riqueza no fim do ano relativamente à função utilidade u(x) =k log x, x > 0 (k>0) (a) Mostre que a decisão é independente da riqueza inicial. (b) Mostre que o investidor não escolhe nessariamente o investimento com maior valor esperado E[X i ]. (c) Considere os parâmetros: µ 1 =0, 09; σ 1 =0, 25; µ 2 =0, 1. Encontre os valores de σ 2 que verificam E[X 1 ] >E[X 2 ] emostrequeaescolharecaino2 o investimento. 4. Um decisor detém uma riqueza A e considera a função utilidade u(x) = exp{ 0, 002x}. Admite a possibilidade de uma perda de X e, sendo que esta a acontecer acontecerá apenas uma vez. A probabilidade de não existir perda é de 0,9 e a distribuição do montante (dado que existe perda) tem distribuição Gama(α;0, 01), com média 100α. (a) Calcule o prémio máximo que o decisor está disposto a pagar por um seguro sobre este risco quando α =2. (b) Para que valores de α o decisor estará disposto a pagar pelo menos um prémio de 100? 5. O Sr. Aníbal Dúvidas utiliza a seguinte função utilidade como auxiliar em tomada de decisões: u(x) =x 0.01x 2, x<50. Com uma riqueza inicial w, o Sr. Aníbal poderá ter que fazer face a uma perda de montante c com probabilidade q, sendo 1 q a probabilidade de esta não surgir. Considere que c w<50. Para fazer face a esta perda aleatória ele pondera a compra de um seguro.

2 (a) Para os valores de c =10, q =0.5 e os diferentes valores de w =10, 20, 30. Calcule o(s) prémio(s) máximo(s) que o Sr. Aníbal está disposto a pagar, por forma a cobrir o seu risco. Justifique os procedimentos. (b) Há decisores que defendem que quanto maior for a riqueza de um indivíduo, maior a sua capacidade para absorver uma perca. Tendo em atenção os resultados da alínea anterior, considera que o Sr. Aníbal pertence a esse grupo de decisores? Justifique. Verifique ainda que o prémio máximo é superior à perca esperada do risco. 6. O Sr. Prudêncio utiliza a seguinte função utilidade como auxiliar em tomada de decisões: u(x) = exp { 0.005x}. É possuidor de uma propriedade que está sujeito a certo tipo de dano. A probabilidade de que no próximo período a propriedade não seja danificada é de 3/4. Em caso de dano, a função de densidade de probabilidade de uma perda (positiva) é dada por f(x) =0.01e x/100, x>0. Uma seguradora propõe ao Sr. Prudêncio uma cobertura para o próximo período, propondo-se pagar metade de qualquer tipo de perda que ocorra. Verifique que a perca esperada para o período é de 25 u.m. equeoprémiomáximoqueoproprietário está disposto a pagar é de u.m. 7. Uma seguradora utiliza, nas suas decisões, uma função utilidade do tipo u 1 (x) = (1 exp{ 0.005x}). Por outro lado, um potencial segurado utiliza para a sua decisão económica uma função utilidade u 2 (x) = exp{ 0.007x}. O tipo de risco a segurar é o que a seguir se descreve. A probabilidade de que uma propriedade nãosejadanificada no próximo período é de 0.9. A probabilidade de ocorrer dano mais de uma vez é negligenciável. No caso de haver dano, o montante da indemnização é uma variável aleatória exponencial de média 100 u.m. (a) Determine a função distribuição do risco, classificandoav.a. emcausa. Verifique que a sua função geradora de momentos é x M(x) = 0.01 x, x<0.01, e determine o valor esperado do risco. (b) A seguradora e o segurado estudam a possibilidade de estabelecerem um contrato de seguro segundo o qual, o risco é transferido na totalidade para a seguradora. Diga, justificando, se a apólice é praticável. (c) Qual o prémio mínimo que a seguradora estaria disposta a aceitar, para se responsabilizar por qualquer dano que ocorresse? 2

3 Teoria do Risco 2006/07, Disciplina Optativa, 2 o s. 2 Modelo de Risco Individual 1. Suponha que T = qx +(1 q) Y e Z = IX +(1 I) Y em que I Bernoulli(q) e independente das v.a. s X e Y. (a) Compare os valores esperados E(T k ) e E(Z k ), k =1, 2. (b) Considere que X e Y são iid e com distribuição N(0; 1). i. Calcule E(T 2 ) e E(Z 2 ), k =1, 2. ii. Identifique as distribuições de T e Z. 2. Seja S = X 1 +2X 2 +3X 3 em que X k Poisson(k), k =1, 2, 3 e são independentes. Calcule Pr [S = s] para s =0, 1,..., Determine a distribuição de S = X 1 +X 2,emqueX k são independentes e com distribuição Exponencial(k), k =1, 2: (a) Usando a fórmula da convolução; (b) Calculando a função geradora de momentos e por esta identificando a distribuição. 4. Determinada carteira é composta por 2000 apólices de seguro de vida a um ano. Metade delas são caracterizadas por um pagamento de um montante b 1 =1e uma probabilidade de morte no período de uma ano de q 1 =1%. Para a outra metade temos b 2 =2e q 2 =5%. Utilizando o teorema do limite central, calcule o menor valor da carga de segurança, em percentagem, a ser adicionada ao prémio líquido, de forma que a probabilidade do pagamento total de indemizações exceder o prémio total seja no máximo de 5%. 5. Uma carteira é constituída por dois tipos de contratos. Para o contrato k, k =1, 2, a probabilidade de uma indemnização é q k e o número de apólices é n k. No caso de uma indemnização, o seu montante é x, com probabilidade p k (x): n k q k p k (1) p k (2) p k (3) Tipo Tipo Considere que os contratos são independentes. Sejam S k o montante total de indemnizações dos contratos de tipo k e S = S 1 + S 2. (a) Calcule a média e a variância de S. (b) Determine o capital mínimo de forma a cobrir as indemnizações agregadas com probabilidade (aproximada) de 95%. 6. Considere uma carteira com apólices de seguro de vida a um ano. Seja n k o número de apólices da carteira com capital seguro b k. A composição da carteira é a seguinte: b k n k A probabilidade de morte no ano é de 0.01, sendo as apólices independentes. A seguradora decidiu fazer um resseguro do tipo Excesso de Danos com nível de retenção 2, pagando um prémio equivalente a 120% do prémio puro que recebe por apólice. Depois de cobrados os prémios, a seguradora cedente retira dessa quantia total um montante B que vai reservar para o pagamento das indemnizações que ocorram e do prémio do resseguro. 3

4 (a) Calcule a média e a variância das indemnizações totais do segurador cedente, depois de resseguro. (b) Recorrendo à aproximação à Normal, calcule aproximadamente o valor de B de forma que este cubra os custos a que se destina em 95% dos casos. 4

5 3 Modelo de Risco Colectivo Teoria do Risco 2006/07, Disciplina Optativa, 2 o s. 1. Seja um risco relativo a determinado período representado pela v.a. Xque tem distribuição Poisson composta(λ, F ( )). λ éoparâmetrodepoissonesejamm k e m(t), respectivamente o k-ésimo momento em relação à origem e a f.g.m. (caso exista) da distribuição dos montantes individuais F ( ). A f.g.m. de X caso exista é dada pela expressão M X (t) =exp{λ (m(t) 1)} (a) Mostre, justificando todos os passos, que o coeficiente de assimetria de X édadopelaexpressão γ X = λm 3 / (λm 2 ) 3/2. (b) Explique o sentido da assimetria da distribuição de X e calcule o limite do coeficiente de assimetria quando λ. Interprete cuidadosamente o resultado. (c) Suponha agora que λ =10e a f.d.p. dos montantes particulares é dada pela expressão f(z) =3, ,5 (10 + z) 4,5, z > 0. obtendo-se relativamente a X: E[X] =40,V[X] = /3 e E[(X E[X]) 3 ]= /5. i. Aproxime Pr[X > 100] considerando a aproximação de X ànormaleàgamadeslocadacom parâmetros k, α e β: k + α/β = λm 1 ; α/β 2 = λm 2 ; 2/ α = γ X (ver (a)). ii. Comente os resultados obtidos em (i) referindo justificadamente qual das duas aproximações considera mais adequada/desadequada. 2. Seja S = X 0 +X X N (X 0 0) a v.a. que representa as indemnizações agregadas de um risco num determinado período, X i é a indemnização particular i, independente de X j ( i 6= j) e independente de N ( i) que tem distribuição de Poisson(λ). A distribuição comum das indemnizações individuais é uma Lognormal com parâmetros µ e σ 2, com densidade f(x) = ³ xσ 1 n 2π exp (log x µ) 2 / 2σ 2 o, x>0. Sabe-se que E(S) =λe(x) e V (S) =λe(x 2 ). O segurador deste risco fez um resseguro do tipo X-Loss com retenção M (>0). (a) Calcule a média e a variância do montante agregado que ficou da responsabilidade do segurador (pós-resseguro). Justifique todos os procedimentos. (b) Mostre que o ressegurador paga em média por período um valor total (inclui indemnizações nulas) µ λ exp ½µ + 12 ¾ µ µ log M µ σ 2 log M µ σ2 1 Φ M 1 Φ σ σ Justifique todos os procedimentos. 3. O montante das indemnizações agregadas de uma carteira num ano tem distribuição Poisson composta. A f.d.p. dos montantes particulares é a seguinte: f(x) = x 4, x > 100 A seguradora admite a aquisição de um resseguro X-Loss com retenção M, 0 M <, paraesta carteira. Sejam X(M) e Y (M) as v.a. s que representam os montantes globais liquidos a pagar pela seguradora e resseguradora, respectivamente. Calcule o valor de M que minimiza V [X(M)] + V [Y (M)] Considere separadamente os valores M 100 e M >

6 4. Considere uma carteira de seguro automóvel. A companhia seguradora assume que a distribuição do número de acidentes num ano para cada uma das apólices da carteira é uma Poisson de média 0,3. O custo de reparação do automóvel após o sinistro tem distribuição de Pareto(4;1500). A companhia seguradora admite que o segurado só faz participação do acidente quando o custo de reparação excede 210. Cada acidente que é participado dá origem a uma indemnização que é paga na totalidade pela companhia, que incorre ainda numa despesa adicional de 100. Calcule o montante esperado que a companhia paga num ano em indemnizações e despesas relativamente a cada apólice. 5. Uma carteira de seguros consiste em n apólices. Para cada apólice o número de indemnizações num ano tem distribuição de Poisson com parâmetro θ e o montante da indemnização individual tem média m (>0) e desvio padrão s. O parâmetro θ tem o mesmo valor para todas as apólices da carteira mas o seu valor é desconhecido. Considera-se então que θ é uma variável aleatória com média µ e desvio padrão σ. Seja X a v.a. que representa o montante global de indemnizações na carteira. A seguradora estuda a variabilidade da carteira através do coeficiente de variação, CV (X), representado pelo quociente entre odesviopadrãodex e a respectiva média. (a) Mostre que quando n aumenta, mantendo m, s, µ e σ fixos, CV (X) decresce para um valor limite, que será zero se e só se σ for zero. (b) Explique o resultado de (a). 6. O número de indemnizações a que um segurado dá origem por período tem distribuição de Poisson com média 0,1. Cada indemnização toma os valores 5000 e com probabilidades 0,8 e 0,2 respectivamente. Determine a probabilidade das indemnizações agregadas serem superior a Considere que as indemnizações agregadas de uma determinada carteira têm distribuição binomial negativa composta. O número esperado de sinistros é 100 e a variância do número de sinistros é 200. Os primeiros três momentos em relação à origem das indemnizações particulares são 200, e Osprémiossãode24mil uros. Qual a probabilidade aproximada do rácio de perca (quociente entre as indemnizações agregadas e os prémios) ser superior a 110%. Utilize a aproximação à Normal, Gama deslocada e Normal Power. Tire conclusões. 8. Considere o modelo de risco coletivo. Sejam as v.a. s, S que representa as indemnizações agregadas produzidas por um risco num determinado período, X i a indemnização individual i e N onúmerode indemnizações no referido período. S = P N i=0 X i, X 0 0. Sejam ainda, f(.), p n e g(.) as funções de probabilidade de X i,den edes, respectivamente. Ainda, f(1) = 0.4, f(2) = 0.6. (a) Sejam, p j 1 =0.1j, j =1, 2, 3, 4. Sabendo que g(x) = P n=0 p nf n (x), calculeg(x), parax = 0, 1,..., 5. (b) Considere agora que N Poisson(2). Calculeg(x), parax =0, 1,..., 5, usando a fórmula recursiva de Panjer. 9. Considere o modelo de risco coletivo. Sejam as v.a. s, S que representa as indemnizações agregadas produzidas por um risco num determinado período, X i a indemnização individual i e N onúmerode indemnizações no referido período. S = P N i=0 X i, X 0 0. Sejam ainda, f(.), p n e g(.) as funções de probabilidade de X i,den edes, respectivamente. Sejam as funções x f(x) n p n (a) Sabendo que g(x) = P n=0 p nf n (x), calculeg(x), parax =0, 1,...,4. (b) Considere agora as variáveis aleatórias N 1 e N 2 representando, respectivamente, o número de indemnizações de montante igual a 1 e a 2. Calcule Pr[N 1 =1], Pr[N 2 =1]e Pr[N 1 =1,N 2 =1]. Tire conclusões sobre a independência de N 1 e N 2. 6

7 (c) Suponha nesta alínea que N representa o número de acidentes sofridos num determinado ano por um condutor segurado e N Poisson(λ). Se ocorre um acidente existe uma probabilidade p de que os montantes dos danos excedam um montante dedutível (franquia). Deduza a distribuição do número de acidentes que resultam num pagamento de indemnização. 10. Seja N tal que p n =(a + b/n)p n 1, n =1, 2, 3,... esejas = P N i=1 X i. X i está distribuida nos inteiros positivos e suponha a existência de E(S r ), r =1, 2,... (a) Mostre que E(S r ) pode ser calculado recursivamente: Xr 1 E(S r )=(1 a) 1 E(S i )E(X r i ) a i=0 µ r i + b µ r 1 i (b) Suponha que N tem distribuição de Poisson com média λ. Verifique µ S = λe(x), V (S) =λe(x 2 ) e µ 3,S = λe(x 3 ). 7

8 Teoria do Risco 2006/07, Disciplina Optativa, 2 o s. 4 Teoria da Ruína 1. Seja X i Gama(2; 2) e λ =1,c=1, 1. Calculeocoeficiente de ajustamento. (R =0, 1225). 2. Sejam m(t), m k e R, respectivamente, a f.g.m. de X, momento de ordem k em relação à origem e o coeficiente de ajustamento. Sabendo que exp{rx} = P k=0 (1/k!)(Rx)k (explique!), mostre que R< 2(c λm 1) λm 2 3. Seja P (x) =1 exp{ βx}, x>0(β>0). Sabe-seque ψ 0 (u) = λ c ψ(u) λ c Z u 0 p(u x)ψ(x)dx λ [1 P (u)] (1) c (a) Mostre que o coeficiente de ajustamento é R = β λ/c. (b) Mostre utilizando (1), que ψ(u) =ψ(0) exp{ Ru}. (c) Conclua utilizando a solução da alinea anterior que ψ(0) = λ/βc. Emparticular,sec =(1+θ)λm 1, mostre que ψ(0) = (1 + θ) 1. Para as alíneas seguintes considere c =(1+θ)λm 1 e β =1. (d) Interprete sucintamente a relação coeficiente de ajustamento e probabilidade de ruína eventual. (e) Explique o efeito do parâmetro de Poisson λ edocoeficiente de carga θ na probabilidade de ruína para este caso (c =(1+θ)λm 1 ). 4. Sejaoprocessoderisco{U(t)} t 0 : U(t) =u+ct S(t), onde u ( 0) é a reserva inicial, c é o prémio por unidadedetempoe{s(t)} t 0 é um processo Poisson composto (λ, P (x)) ep (0) = 0. Sejamp(x) e δ(u) respectivamente, a f.d.p. das indemnizações particulares e a probabilidade de sobrevivência eventual. (a) Mostre que (justifique todos os procedimentos) d du δ(u) =λ c δ(u) λ c Z u 0 δ(u x)p(x)dx (b) Considere λ =1, c =1e p(x) =12e 3x 12e 4x, x>0 Considere a transformada de Laplace de δ(u): δ(s) =cδ(0)/ (cs λ + λ p(s)) de δ(u). p(s) éat.l. de p(x) e δ(0) = 1 λm 1 /c, sendo m 1 a indemnização particular média. Mostre que (justifique todos os procedimentos): δ(u) =1 5 8 e u e 5u 5. Suponha que λ =10, p(x) =8e 4x 7e 7x,x>0, e c =5.Calculeψ(u). 6. Considere o processo clássico de risco {U(t),t 0}. O prémio é calculado segundo o princípio do valor esperado, com coeficiente de carga θ = 0.4 e a distribuição das indemnizações individuais é dada pela densidade p(x) = 3e 3x +7e 7x /2. (a) Qual dos valores 0, 1 e 6 é raiz da equação 1+(1+θ)m 1 R = m(r)? Destes valores, qual é o coeficiente de ajustamento? Justifique. 8

9 (b) Uma das quatro expressões abaixo é a probabilidade de ruína para o processo. Discuta (sem calcular) qual delas é a expressão correcta, explicando porque é que as outras não o podem ser. Justifique cuidadosamente. 1. ψ(u) = e u e 6u 2. ψ(u) = e u e 6u 3. ψ(u) = e 0.5u e 6.5u 4. ψ(u) = e 0.5u e 6.5u 7. Considere o processo clássico de risco {U(t),t 0 U(0) = u}. O prémio é calculado segundo o princípio do valor esperado, com coeficiente de carga θ. Sejam λ =3, c =1e função distribuição das indemnizações individuais (I (.) é a função indicatriz): P (x) = µ1 19 e 3x 89 e 6x I (0,+ ). (a) Mostre que a distribuição das indemnizações individuais é uma mistura de distribuições exponenciais e indentifique-as. (b) Calcule o valor esperado m 1,ocoeficiente de carga θ, af.g.m. m(s) e a probabilidade de ruína eventual ψ(0). (c) Mostre que a probabilidade de ruína é dada pela expressão ψ(u) = 4 9 e 2u e 4u, u O processo das indemnizações agregadas de um determinado risco é um processo Poisson composto com parâmetro λ. As indemnizações particulares têm distribuição exponencial de média 1. O prémio por unidadedetempoéc =(1+θ)λm 1 (θ>0). Seja B(u, n) a probabilidade de ruina até à n-ésima indemnização (inclusivé), n =1, 2,..., para este risco, dado uma reserva inicial u 0. (a) Mostre que (b) Encontre uma expressão para B(u, 2). B(u, 1) = exp{ u} 2+θ 9. Duas seguradoras decidem partilhar a responsabilidade de indemnizações de um determinado risco. A partilha é feita com base no seguinte: A primeira companhia paga uma proporção α e a segunda companhia paga a proporção complementar 1 α sobre cada indemnização. O processo das indemnizações agregadas para este risco é um processo de Poisson composto. As indemnizações particulares têm f.d.p. p(x), x > 0. O prémio anual cobrado pela companhia i (i =1, 2) étal que o seu coeficiente de ajustamento é um valor fixo R i > 0. O acordo sobre a partilha do risco é tal que a proporção α deve ser encontrada por forma a minimizar o prémio total anual a ser cobrado pelas duas seguradoras. Mostre que o valor óptimo é. R 2 α = R 1 + R 2 9

10 Teoria do Risco 2006/07, Disciplina Optativa, 2 o s. 5 Princípios de Cálculo do Prémio 1. Um princípio é sub-aditivo se para dois riscos X e Y, P X+Y P X + P Y. (a) Mostre que o princípio do valor esperado é sub-aditivo. (b) Sob que condições o princípio da variância é sub-aditivo? (c) Dê uma interpretação desta propriedade. 2. Diga qual é a transformada de Esscher com parâmetro h de (a) Distribuição de Poisson com média λ. (b) Distribuição Gama de média α/β. Sob que condições a transformada existe? 3. Prove que o princípio de Esscher satisfaz a Propriedade 2, Consistência e Aditividade. 4. Prove que o princípio exponencial é aditivo. 5. Considere o princípio de risco ajustado com índice de risco ρ. Calcule prémios para os seguintes riscos com ρ =1, 2; 1, 5; 1, 8 ecomente: (a) X U(0; 2) (b) Y exp(1) (c) Z Pareto(2; 1) 6. Considere um risco X, representando as indemnizações agregadas num ano. A v.a. X Normal(µ, σ 2 ), sendo µ e σ 2 tais que Pr[X <0] ' 0. O segurador decidiu ressegurar o risco por forma a pagar Y = X se X<Me Y = M se X M, sendo o restante (Z) pago pelo ressegurador (tratado Stop-Loss). M é uma quantia fixa positiva. (a) Seja P (β,m) o prémio de resseguro, calculado pelo princípio exponencial, i.e. pelo princípio da utilidade nula com função utilidade u(x) = exp{ βx}, β>0. Mostreque µ µ M µ P (β,m) =β 1 log Φ +exp ½β (µ M)+ 12 ¾ µ M µ σ β2 σ 2 1 Φ βσ σ Justifique todos os procedimentos. [Nota: Genericamente, prémio pelo pr. exponencial para um risco Z : P Z = β 1 log E (exp {βz}). lim β 0 + P Z = E [Z]]. (b) Sejam µ =1, 2; σ 2 =1/4; β =0, 2 e M =1, 4. i. Calcule P (β,m). Explique o comportamento de P (β,m) como função de β,para um dado valor de M. ii. Seja P (0, 2; 1, 4) = (1 + θ) E[Z], ouseja,igualaoprémiopelopr. do valor esperado. Calcule a carga θ associada. (Nota: Se não resolveu (i) faça P (0, 2; 1, 4) = 0, 1204) 7. Calcule a transformada de Esscher com parâmetro h da distribuição Binomial(n; p) e verifique, identificando os parâmetros, que a transformada é ainda binomial. 10

11 Teoria do Risco 2006/07, Disciplina Optativa, 2 o s. 6 Teoria da Credibilidade 1. Sejam X 1 e X 2 v.a. s que representam as indemnizações agregadas de um risco relativamente a dois anos consecutivos. A distribuição de cada X j (j =1, 2) depende de um parâmetro, fixo mas deconhecido, θ. Dado θ as v.a. s X 1 e X 2 são iid com distribuição comum N(θ, τ 2 ). A distribuição aprioride θ é N(µ, σ 2 ). (a) Mostre que as variáveis X 1 e X 2 têm a mesma distribuição. (b) Calcule E[X 1 X 2 ] em função de µ e σ 2 emostrequex 1 e X 2 não são (incondicionalmente) independentes, apesar de terem a mesma distribuição. (c) Interprete a afirmação em (b). 2. O número de indemnizações anuais de um determinado risco tem distribuição de Poisson com média θ. O valor de θ é fixo mas desconhecido. A distribuição aprioride θ éuniformeem[0; 1]. Sejamx 1,..., x n o número observado de indemnizações em anos sucessivos para este risco, e seja x = P n i=1 x i/n. (a) Mostre que a média a posteriori pode ser escrita na forma: R 1 0 e nθ θ nx+1 dθ R 1 0 e nθ θ nx dθ (b) Suponha n =5. Calcule a média da distribuição a posteriori de θ para x =0e x =0, 2. (c) Utilizando as respostas em (b) mostre que a média a posteriori de θ não pode ser escrita na forma (µ = E[θ]) zx +(1 z)µ 3. Seja N o número de indemnizações dum risco num ano. A distribuição condicional de N dado λ é Poisson com média λ, sendo λ uma tiragem casual de um colectivo com distribuição Gama(α, β), com α e β conhecidos. Seja λ o estimador de credibilidade linear para λ, i.e. 4. λ = a + bn = zn +(1 z)µ com z = σ 2 /(µ + σ 2 ) sendo E[λ i ]=µ, V[λ i ]=σ 2 (não é preciso mostrar). Considere ainda o estimador Bayes de λ: amédia a posteriori E[λ N]. (a) Sejam W 1,W 2,..., W n uma sequência de v.a. s iid com variância σ 2.SejaW = P n i=1 W i/n, mostre que X n (n 1) 1 Wi W 2 é um estimador centrado para σ 2. (b) Supunhamos válidos os pressupostos do modelo de Bühlmann. Utilizando (a) mostre que N 1 é estimador centrado para E[σ 2 (θ)]. N X j=1 i=1 X n (n 1) 1 2 Xij X.j i=1 11

12 5. Os dados abaixo correspondem às indemnizações agregadas, em 6 anos consecutivos, de 5 apólices de seguro de incêndio industrial referentes a uma carteira de uma seguradora. Os montantes estão deflacionados e são expressos em 1.000C=. A pó li ce Ano (a) Discuta as hipóteses de aplicabilidade do modelo de Bühlmann, para este caso. (b) Calcule o Prémio de Credibilidade para cada uma das apólices. c ADER 12