CREDITRISK+: Implementação da Modelagem Estatística de Risco de Crédito e Cálculos Alternativos Através da Transformada Rápida de Fourier no R.

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1 CREDITRISK+: Implementação da Modelagem Estatística de Risco de Crédito e Cálculos Alternativos Através da Transformada Rápida de Fourier no R. M. A. S. Sanfins a 1 & T. M. Clark a 2 a Universidade Federal Fluminense, IM, RJ, Brasil Resumo Neste trabalho utiliza-se conceitos de funções geradoras de probabilidade, convoluções e Transformada Rápida de Fourier (em inglês Fast Fourier Transform - FFT) para realizar cálculos de forma alternativa e simplificada para a modelagem do risco de crédito. Além disso, implementa-se tais cálculos no R com exemplos de fenômenos economicos. Os scripts utilizados serão públicos, com um objetivo de se criar uma library e será enviada ao R-Project. Palavras Chaves: CreditRisk+, cálculo do risco de crédito, implementação no R. 1 Introdução Durante os últimos 15 anos muitos artigos relacionados com o cálculo do risco de credito foram publicados. Para o cálculo do risco existem diferentes metodologias, como por exemplo o CreditMetrics (JP Morgan,1997), PortifolioManager(KMV, 1997), Mckinsey s CreditPortfolioView (Wilson, 1997) e o CreditRisk+ (Credit Suisse Financial Products, 1997). 1 Orientador: marcosanfins@gmail.com 2 Aluno: clark.thiago@gmail.com 1

2 2 CreditRisk+ cálculos alternativos e implementação no R 2010 O CreditRisk+ é o maior representante dos modelos atuariais com metodologia baseada em técnicas aplicadas na industria de seguros. O método CreditRisk+ tem como objetivo estimar a distribuição de perdas em carteiras de créditos. Trata-se de um método estatístico baseado no risco de default não assumindo qualquer premissa sobre suas causas ou em qual instante do tempo que poderá ocorrer. O CreditRisk+ considera as taxas de default como variáveis aleatórias continuas, assumindo a variação das taxas na análise a fim de incorporar a incerteza das variáveis. Frequentemente fatores externos, como o estado da economia, torna relacionada a incidência de default. Mesmo assim, não existe ligação casual entre eles. Os efeitos desses fatores são incorporados no modelo através da variação das taxas de default e análise de setores. O processo de avaliação do risco de crédito consiste na frequencia dos default e na severidade das perdas. Para estimar a distribuição de perda da carteira, o CreditRisk+ assume que a distribuição de eventos default é aproximada à distribuição de Poisson. O modelo básico assume que os eventos de default são independentes, ou seja, as taxas de default são fixas. Porém sabe-se que essa aplicação na realidade é muito difícil, pois estudos anteriores provam que as taxas de default variam ao longo dos anos. O método propõe então uma forma mais sofisticada, onde a incerteza das taxas de default são levadas em consideração. As taxas de default, assim, assumem uma distribuição Gama, que terá a mesma média da distribuição sem variação, porém suas caudas serão mais grossas. A probabilidade de eventos extremos aumenta, devido à correlação implícita na volatilidade, quando incorporado a volatilidade a taxa de default. Como o modelo não assume nenhuma premissa sobre os eventos de default, a relação é explicada pela existência de fatores extremos. Na analise de setores é possível agrupar os devedores de acordo com a influencia de fatores extremos, de tal modo que permite medir os benefícios da diversificação e eventuais concentrações em fatores. 2 Metodologia e Análise Além das formas de cálculo proposta pelo documento técnico do CreditRisk+, conforme referência [3], existem formas alternativas do cálculo e modelagem do risco de credito. Uma dessas formas é pela função geradora de probabilidade.

3 m. a. s. sanfins & t. m. clark. 3 Definição 2.1. Seja X uma variável aleatória discreta. Note que E[t x ] = Consequentemente, E[t x ] é a função geradora de probabilidade de X. t j P [X = j]. Outro conceito estatístico utilizado é a convolução das funções geradoras de probabilidade adaptado ao nosso caso. Definição 2.2. Sejam N e K variáveis aleatórias independentes. Então, j=0 P n+k (t) = E[t n+k ] = E[t n t k ] = E[t n ] E[t k ] = P n (t) P k (t). Portanto, através das definições 2.1 e 2.2 podemos calcular a perda de uma carta de crédito. Definição 2.3. Seja i o valor que desejamos calcular de perda em uma carta de crédito. Então o resultado de ( ) d i P n (t) P k (t) dt, i! implica na probabilidade da carta de crédito sofrer uma perda i durante um dado período de tempo. Outros métodos de cálculo do risco podem ser obtidos através da FFT. Introduzirá, a seguir, o algoritimo que será utilizado no cálculo do risco de crédito. Algoritimo 2.1. Se f = [f 0, f 1,..., f m 1 ] e g = [g 0, g 1,..., g k 1 ] representam dois vetores de probabilidade então, o algoritmo de convolução da FFT consiste em: Completar os vetores f e g com 0 para que cada um tenha tamanho n m + k. Aplicar a FFT para cada vetor f = F F T (f) e g = F F T (g). Calcular o produto de h = f g, elemento por elemento. Para recuperar o vetor de probabilidade como uma convolução de f e g devemos aplicar a Inversa da FFT, definida por IFFT,em h.

4 4 CreditRisk+ cálculos alternativos e implementação no R 2010 Quando analisa-se perdas em carta de créditos de, por exemplo seguradoras, a metodologia chamada de frequência e severidade (frequency/severity) é mais um método alternativo, onde defini-se frequencia como o numero de defaults em uma carta de crédito dado um período de tempo e severidade como a quantidade, em unidade monetária, para cada default individual, ou seja, a perda expressada em unidades monetárias no evento. (Loss Given Default - LGD). Neste método a frequência média de perda e a serveridade média de perda são utilizadas para calcular a média esperada da perda acumulada, é necessário saber não só a média mas, também, a distribuição acumulada de perda para quantificar a variabilidade de perda. Além de estimar a frequência e severidade média, distribuições probabilísticas são usadas para descrever, qualquer possível, variação no número de contingências e não certeza sobre as perdas. A distribuição acumulada de perda combina os efeitos da frequência/severidade das perdas. As perdas acumuladas são representadas como a soma Z, de um número aleatório N, de um empréstimo(ou bandas (x 1, x 2, x 3,..., x n )) não pago. Portanto, considere-se a função característica Φ Z (t) = E[e it(z) ] = E N [E[e it(x 1,x 2,x 3,...,x n) N ]] = E N [Φ X (t) N ] = P N (Φ X (t)), onde P N é a função geratriz de probabilidade de N. Esta relação sugere que em termos da função características pode-se calcular a distribuição acumulada de perda com o seguinte algoritimo. Algoritimo 2.2. Os passos são: Transformar as distribuição de probabilidade de severidade em uma distribuição discreta. Chegaremos nisso dividindo a carta de crédito em bandas(x 1, x 2, x 3,..., x n ) de exposição tal que cada banda é composta por devedores que sua exposição corresponde ao tipo da banda. Se f = [f 0, f 1,..., f m 1 ] representa o vetor de severidade, então o termo f i deve ser calculado considerando que eles representem o quociente do valor esperado de defaults de cada banda, e o valor esperado de defaults na carta de crédito. Completar o vetor de probabilidade de severidade com zero para que tenha tamanho n. Aplicar a FFT para o vetor de probabilidade de severidade f x = F F T (f x ). Aplicar a função geratriz de probabilidade da frequencia para a FFT do vetor de severidade: fz = P n ( f x ).

5 m. a. s. sanfins & t. m. clark. 5 Aplicar a IFFT para recuperar a distribuição de perda acumulada: fz = IF F T ( f x ). Em situações que os riscos individuais são sujeitos a mesma influência de default utilizase uma distribuição composta secundaria. A perda agregada da carta de crédito pode ser calculada em dois passos: O controle de default do parâmetro externo é retirado de uma função de distribuição, neste caso a distribuição Gama; A gravidade de cada parâmetro externo é obtida na realização da função de distribuição condicional, condicionada na realização do parâmetro externo escolhido no primeiro passo, que assumi-se ter a distribuição de Poisson. O modelo é chamado de processo de Possion Misto (Mixed Poisson), onde o parâmetro µ tem distribuição Gama com parâmetros α e β.o qual pode ser aproximado à distribuição Binomial Negativa com parâmetros µ e σ. Neste caso a distribuição eventos default será P N = P (N = n) = Γ(α + n) Γ(α)n! ( ) 1 α ( ) β n, 1 + β 1 + β onde α = µ2 σ 2 e β = σ2 µ. E a função geradora de probabilidade é dada por P N (t) = [1 β(t 1)] α Para a análise de vários setores considera-se que cada setor da carta de crédito é independente, de tal forma que seja possivel dividir a carta de crédito em sub cartas de créditos atendendo a cada setor. Assim, cada setor ter;a um peso a ik correspondente ao seu próprio risco. Após ser calculada a distribuição de cada sub carta de crédito será então possível calcular a distribuição de perda da carta inteira, pelo algoritimo 2.1. O risco de mercado é originado pela volatilidade nos preços dos ativos financeiros. Ele é geralmente mensurado através da metodologia Value-at-Risk(VaR), que fornece uma medida de perda durante um determinado período e intervalo de confiança. A metodologia introduzida a cima é muito útil não só para o cáculo, de forma alternativa, das distribuições de perda de qualquer carta de crédito, mas também para o cálculo do VaR. Para maior detalhes sobre o esposto acima o leitor poderá consultar as seguintes referências.

6 6 CreditRisk+ cálculos alternativos e implementação no R 2010 Referências [1] SILVEIRA, M. A. M., Avaliação do Risco de Crédito Agregado: Aplicações do CRED- ITRISK+ Em Instituições NÃO-Financeiras, Escola de Pós Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas, Tese de Mestrado, (2007). [2] MELCHIORI, M. R., CreditRisk+ by Fast Fourier Transform, Universidade Nacional del Litoral, (2004). [3] WILDE, T., CreditRisk+ A Credit Risk management Framework, Credit Suisse First Boston, CreditRisk+ Technical document, (1997) [4] BLUHM, C., OVERBECK, L., WAGNER, C., An Introduction to Credit Risk Modeling, Chapman & Hall/CRC, (2002). [5] WANG, S. S., Aggregation of Correlated Risk Portfolios: Models & Algorithms, CAS Committee on Theory of Risk. Working Paper, (1999) [6] GORDY, M. B., Saddlepoint Approximation of CreditRisk+,Published in Journal of Banking and Finance, 26(7): , (2002) [7] GORDY, M. B., A comparative anatomy of credit risk models, Journal of Banking and Finance, 24: , (2000).